河北省邯郸市广平一中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科)

2015-2016学年河北省邯郸市广平一中高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题.（每题5分，共计60分）1．下列说法正确的是( )A．a＞b⇒ac2＞bc2B．a＞b⇒a2＞b2C．a＞b⇒a3＞b3D．a2＞b2⇒a＞b2．若双曲线﹣=1的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则双曲线的离心率为( ) A．2 B．C．D．3．a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．抛物线y2=2px上一点Q（6，y0），且知Q点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是( )A．4 B．8 C．12 D．165．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=( )A．B．C．D．6．设x，y为正数，则（x+y）（+）的最小值为( )A．6 B．9 C．12 D．157．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )A．B．2 C．D．38．已知椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），P是椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|等差中项，则椭圆的方程是( )A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=19．数列的前n项和为( )A．B．C．D．10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是( )A．B．C．D．11．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积，则边BC的长为( ) A．B．3 C．D．712．过双曲线x2﹣y2=1的右焦点且与右支有两个交点的直线，其倾斜角范围是( ) A．[0，π）B．（，） C．（，）∪（，）D．（0，）∪（，π）二．填空题.（每题5分，共计20分）13．（文科做）命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是__________．14．已知数列{a n}满足：a3=5，a n+1=2a n﹣1（n∈N*），则a1=__________．15．离心率，焦距2c=4的椭圆的标准方程为__________．16．图中阴影部分的点满足不等式组，在这些点中，使目标函数k=6x+8y取得最大值的点的坐标是__________．三．解答题.（共计70分）17．解下列不等式：（1）﹣2x2+x＜﹣3（2）x2﹣x+＞0．18．（1）在△ABC中，若a=1，b=，B=120°．解三角形．（2）在△ABC中，若a=3，b=2，C=150°．求边c．19．设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n．20．已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC=．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．21．已知F1、F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限的一点，B也在椭圆上，且满足+=（O为坐标原点），•=0，且椭圆的离心率为．（1）求直线AB的方程；（2）若△ABF2的面积为4，求椭圆的方程．22．已知点A（2，0）是椭圆C：的右顶点，且椭圆C的离心率为．过点M（﹣3，0）作直线l交椭圆C于P、Q两点．（1）求椭圆C的方程，并求出直线l的斜率的取值范围；（2）椭圆C的长轴上是否存在定点N（n，0），使得∠PNM=∠QNA恒成立？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年河北省邯郸市广平一中高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题.（每题5分，共计60分）1．下列说法正确的是( )A．a＞b⇒ac2＞bc2B．a＞b⇒a2＞b2C．a＞b⇒a3＞b3D．a2＞b2⇒a＞b【考点】命题的真假判断与应用．【专题】证明题．【分析】由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例．【解答】解：选项A，当c=0时，由a＞b，不能推出ac2＞bc2，故错误；选项B，当a=﹣1，b=﹣2时，显然有a＞b，但a2＜b2，故错误；选项C，当a＞b时，必有a3＞b3，故正确；选项D，当a=﹣2，b=﹣1时，显然有a2＞b2，但却有a＜b，故错误．故选C【点评】本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题．2．若双曲线﹣=1的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则双曲线的离心率为( ) A．2 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】确定双曲线﹣=1的一个焦点为（c，0），一条渐近线方程为bx+ay=0，利用双曲线﹣=1的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，建立方程，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：双曲线﹣=1的一个焦点为（c，0），一条渐近线方程为bx+ay=0，∵双曲线﹣=1的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，∴=2a，∴b=2a，∴c==a，∴e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，由双曲线﹣=1的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，求出b值，是解题的关键．3．a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】计算题．【分析】先求△＞0时a的范围，结合韦达定理，以及特殊值a=1来判定即可．【解答】解：方程ax2+2x+1=0有根，则△=22﹣4a≥0，得a≤1时方程有根，当a＜0时，x1x2=＜0，方程有负根，又a=1时，方程根为x=﹣1，显然a＜0⇒方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根；方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根，不一定a＜0．a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的充分不必要条件．故选B．【点评】本题考查一元二次方程的根的分布于系数的关系，充要条件的判定，是中档题．4．抛物线y2=2px上一点Q（6，y0），且知Q点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是( )A．4 B．8 C．12 D．16【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由于Q点到焦点的距离为10，利用弦长公式可得，解得p．即为焦点到准线的距离．【解答】解：∵Q点到焦点的距离为10，∴，解得p=8．∴焦点到准线的距离=p=8．故选：B．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、弦长公式，属于基础题．5．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=( )A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．【解答】解：由题意，则，化简后得m=1.5，故选A【点评】本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得a，b，c，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．6．设x，y为正数，则（x+y）（+）的最小值为( )A．6 B．9 C．12 D．15【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】函数中含有整式和分式的乘积，展开出现和的部分，而积为定值，利用基本不等式求最值【解答】解：x，y为正数，（x+y）（）=≥1+4+2=9当且仅当时取得“=”∴最小值为9故选项为B．【点评】利用基本不等式求最值，需要满足的条件“一正，二定，三相等”7．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )A．B．2 C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】=tan60°=⇒4b2=3c2⇒4（c2﹣a2）=3c2⇒c2=4a2⇒=4⇒e=2．【解答】解：如图，∵=tan60°，∴=，∴4b2=3c2，∴4（c2﹣a2）=3c2，∴c2=4a2，∴=4，∴e=2．故选B．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．8．已知椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），P是椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|等差中项，则椭圆的方程是( )A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=1【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】根据椭圆和数列的基本性质以及题中已知条件便可求出a和b值，进而求得椭圆方程．【解答】解：由题意可得：|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4∴2a=4，2c=2，∴b=3∴椭圆的方程为．【点评】本题利用椭圆的定义求解椭圆的坐标方程，关键是求出其基本量．9．数列的前n项和为( )A．B．C．D．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据数列的特点得到数列的通项公式，然后利用裂项法进行求和即可．【解答】解：由数列可知数列的通项公式a n==，∴数列的前n项和S=2（）=2（）=，故选：C．【点评】本题只要考查数列和的计算，根据数列特点得到数列的通项公式是解决本题的关键，要求熟练掌握裂项法进行求和，本题容易出错的地方在于数列通项公式求错．10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是( )A．B．C．D．【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】由△ABF2是正三角形可知，即，由此推导出这个椭圆的离心率．【解答】解：由题，∴即∴，∴，解之得：（负值舍去）．故答案选A．【点评】本题考查椭圆的基本性质及其应用，解题要注意公式的合理选取．11．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积，则边BC的长为( ) A．B．3 C．D．7【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题．【分析】由△ABC的面积，求出AC=1，由余弦定理可得BC=，计算可得答案．【解答】解：∵=sin60°=，∴AC=1，△ABC中，由余弦定理可得BC==，故选A．【点评】本题考查三角形的面积公式，余弦定理的应用，求出AC=1，是解题的关键．12．过双曲线x2﹣y2=1的右焦点且与右支有两个交点的直线，其倾斜角范围是( ) A．[0，π）B．（，） C．（，）∪（，）D．（0，）∪（，π）【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】把直线方程与双曲线方程联立消去y，根据x1x2＞0，x1+x2＞0和判别式大于0求得k的范围，从而可得倾斜角范围．【解答】解：设直线y=k（x﹣），与双曲线方程联立，消去y，可得（1﹣k2）x2+2k2x ﹣2k2﹣1=0∵x1x2＞0∴＞0，∴k2＞1，即k＞1或者k＜﹣1①又x1+x2＞0，∴＞0，可得k＞1或者k＜﹣1，②又△=（8k4）﹣4（1﹣k2）（﹣2k2﹣1）＞0解得k∈R③由①②③知k的取值范围是k＜﹣1或k＞1．又斜率不存在时，也成立，∴＜α＜．故选：B．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．当直线与圆锥曲线相交，涉及交点问题时常用“韦达定理法”来解决．二．填空题.（每题5分，共计20分）13．（文科做）命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是若a，b不都是偶数，则a+b 不是偶数．【考点】四种命题．【专题】阅读型．【分析】欲写出它的否命题，须同时对条件和结论同时进行否定即可．【解答】解：条件和结论同时进行否定，则否命题为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．故答案为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．【点评】命题的否定就是对这个命题的结论进行否认（命题的否定与原命题真假性相反）；命题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．14．已知数列{a n}满足：a3=5，a n+1=2a n﹣1（n∈N*），则a1=2．【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用递推公式，结合递推思想求解．【解答】解：∵数列{a n}满足：a3=5，a n+1=2a n﹣1（n∈N*），∴a2=×（5+1）=3．a1==2．故答案为：2．【点评】本题考查数列的第3项的求法，是基础题，解题时要注意递推思想的合理运用．15．离心率，焦距2c=4的椭圆的标准方程为+=1或+=1．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分类法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由椭圆的焦距是4，离心率，先求出a=3，c=2，可得b，分焦点在x轴和y轴，求出椭圆的标准方程．【解答】解：∵椭圆的焦距是4，离心率，∴c=2，=，解得a=3，b2=a2﹣c2=9﹣4=5，∴当焦点在x轴上，椭圆的标准方程为+=1；当焦点在y轴上，椭圆的标准方程为+=1．故答案为：或．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，注意运用椭圆的性质，是基础题，解题时要避免丢解．16．图中阴影部分的点满足不等式组，在这些点中，使目标函数k=6x+8y取得最大值的点的坐标是（0，5）．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意，画出约束条件的可行域，结合目标函数K=6x+8y取得最大值的点的坐标即可．【解答】解：由题意画出约束条件的可行域，与直线6x+8y=0平行的直线中，只有经过M点时，目标函数K=6x+8y取得最大值．目标函数K=6x+8y取得最大值时的点的坐标M为：x+y=5与y轴的交点（0，5）．故答案为：（0，5）．【点评】本题是中档题，考查线性规划的应用，注意正确做出约束条件的可行域是解题的关键，考查计算能力．三．解答题.（共计70分）17．解下列不等式：（1）﹣2x2+x＜﹣3（2）x2﹣x+＞0．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由已知条件利用一元二次不等式的解题方法、步骤求解．【解答】解：（1）∵﹣2x2+x＜﹣3，∴2x2﹣x﹣3＞0，解方程2x2﹣x﹣3=0，得x1=﹣1或x=，∴原不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}．（2）∵x2﹣x+=（x﹣）2＞0，∴原不等式的解集为．【点评】本题考查一元二次不等式的解集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意一元二次不等式的解题方法、步骤的合理运用．18．（1）在△ABC中，若a=1，b=，B=120°．解三角形．（2）在△ABC中，若a=3，b=2，C=150°．求边c．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）由已知及正弦定理可得sinA==，结合a＜b，可得A为锐角，解得A，利用三角形内角和定理可求C，即可得解．（2）由已知及余弦定理即可求得c的值．【解答】解：（1）∵a=1，b=，B=120°，∴由正弦定理可得：sinA===，∴结合a＜b，可得A为锐角，解得A=30°，C=180°﹣A﹣B=30°．∴由A=C可得c=a=1．故：A=30°，C=30°，c=1；（2）∵a=3，b=2，C=150°．∴由余弦定理可得：c===7．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，大边对大角等知识的应用，考查了计算能力，属于中档题．19．设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n．【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由{a n}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{a n}的通项公式（Ⅱ）由{b n}是首项为1，公差为2的等差数列可求得b n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{a n+b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）∵设{a n}是公比为正数的等比数列∴设其公比为q，q＞0∵a3=a2+4，a1=2∴2×q2=2×q+4 解得q=2或q=﹣1∵q＞0∴q=2∴{a n}的通项公式为a n=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）∵{b n}是首项为1，公差为2的等差数列∴b n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴数列{a n+b n}的前n项和S n=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2【点评】本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用．在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题．20．已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC=．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．【考点】解三角形；三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）根据两角和的余弦函数公式化简已知的等式，得到cos（B+C）的值，由B+C 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B+C的度数，然后由三角形的内角和定理求出A 的度数；（Ⅱ）根据余弦定理表示出a的平方，配方变形后，把a，b+c及cosA的值代入即可求出bc 的值，然后由bc及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴又∵0＜B+C＜π，∴，∵A+B+C=π，∴．（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc•cosA得即：，∴bc=4，∴．【点评】此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，余弦定理及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．21．已知F1、F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限的一点，B也在椭圆上，且满足+=（O为坐标原点），•=0，且椭圆的离心率为．（1）求直线AB的方程；（2）若△ABF2的面积为4，求椭圆的方程．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】（1）由+=0知直线AB过原点，且A、B关于原点对称，由•=0，可得A点的横坐标为x=c，再利用椭圆的离心率为，即可求得A点的坐标，从而利用点斜式写出直线AB的方程即可；（2）将△ABF2的面积分成两份，以OF2为公共底边，则高即为A、B纵坐标之差，列方程即可解得c值，进而求得a2，b2，确定椭圆方程【解答】解：（1）由+=0知直线AB过原点，又•=0，∴⊥∴A点的横坐标为x=c，代入椭圆方程得A点纵坐标为y=又∵椭圆的离心率为，即=∴y==== c即A（c，c），∴直线AB的斜率为=∴直线AB的方程为y=x（2）由对称性知S△ABF2=×|OF2|×|y A﹣y B|=×c×c=4解得c2=8，∴a2=16，b2=a2﹣c2=8∴椭圆方程为+=1【点评】本题主要考查了椭圆标准方程及其应用和求法，椭圆的几何性质如离心率、对称性等的应用，向量在解析几何中的应用，直线方程的求法，由一定难度22．已知点A（2，0）是椭圆C：的右顶点，且椭圆C的离心率为．过点M（﹣3，0）作直线l交椭圆C于P、Q两点．（1）求椭圆C的方程，并求出直线l的斜率的取值范围；（2）椭圆C的长轴上是否存在定点N（n，0），使得∠PNM=∠QNA恒成立？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据离心率e==，长轴右端点为A，求出几何量a，b，c，即可求椭Γ的方程；设直线l的方程为：y=k（x+3），联立椭圆方程，运用判别式大于0，解不等式即可得到所求范围；（2）假设存在定点N（n，0），使得∠PNM=∠QNA恒成立，即k PN+k QN=0恒成立．运用直线的斜率公式，化简整理，结合韦达定理，即可得出结论．【解答】解：（1）由已知得，解得，则椭圆C得方程；设直线l的方程为：y=k（x+3），则联立，得（1+4k2）x2+24k2x+36k2﹣4=0，由△＞0，解得；（2）假设存在定点N（n，0），使得∠PNM=∠QNA恒成立，即k PN+k QN=0恒成立．设点P（x1，y1），Q（x2，y2），由（1）知，==，得，故存在定点．【点评】本题考查椭圆的几何性质与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．。