2015自主招生辅导(运动学与力学综合)答案

10自主招生 力学训练

一．运动学

1．如图所示，物体A 置于水平面上，A 前固定一滑轮B ，高台上有一定滑轮D ，一根轻绳一端固定在C 点，再绕过B 、D 。BC 段水平，当以速度v 0拉绳子自由端时，A 沿水平面前进，求：当跨过B 的两段绳子夹角为α时A 的运动速度v

解法一：应用微元法

设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BB ’，如图所示。 过B ’点作B ’E ⊥BD 。

当Δt →0时，∠BDB ’极小，在△BDB ’中，可以认为DE =B ’D 。

在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BB ’+BE ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度。

由图可知：BE =

θ

cos '

BB ①

由速度的定义：物体移动的速度为v 物=

t

BB t s ∆∆∆'

=1 ② 人拉绳子的速度v 0=t BB t BE BB t s ∆∆∆∆)

cos +1('=+'=2α ③ 由①②③解之：v 物=θ

cos +10

v

解法二：应用合运动与分运动的关系

物体动水平的绳也动，在滑轮下侧的水平绳缩短速度和物体速度相同，设为v 物。

根据合运动的概念，绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动。 也就是说“物体”的方向（更直接点是滑轮的方向）是合速度方向，与物体连接的BD 绳上的速度只是一个分速度，所以上侧绳缩短的速度是v 物cos a

因此绳子上总的速度为v 物+v 物cos =v 0，得到v 物=θ

cos +10

v

解法三：应用能量转化及守恒定律

由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功

设该时刻人对绳子的拉力为F ，则人对绳子做功的功率为P 1=Fv 。

绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为分为2部分，BD 绳对物体做功的功率为P 2=Fv 0cos ，BC 绳对物体做功的功率为P 2’=Fv 0

由P 1=P 2+P 2’得到v 物=

θ

cos +10

v

2.如图所示，一个半径为R 的轴环O 1立在水平面上，另一个同样的轴O 2以速度v 从这个轴环旁边滑过，试求两轴环上部交叉点A 的速度V A 与两轴环中心之距离d 的关系，轴环很薄，且第二个轴环紧靠第一个轴环滑过．

[解析]对本题而言，分解时可以引入圆心O 2交点对参照系，A 相对圆环

O 1的运动方向V A 可分解为A 相对圆心O 2的速度V ´和圆心O 2相对于圆心O 1的速度V

即有A V V V '=+

［解］由于两圆环是相同的圆环，所以交点相对两环的速度大小相等。即由V 、V ´和V A 构成的三角形为等腰三角形。由几何关系可以得出：V A 与竖直方向

的夹角 等于21AO O ∠。 cos 2d

R

θ= ①

2sin A V

V θ

= ②

由①②两式可以得出A V =

3．如图所示，一串相同汽车以等速v 沿宽度为c 的直线公路行驶，每车宽均为b ，头尾间距均为a ，则人能以最小速率沿一直线穿过马路所用时间为 。

t=ν

ab )b +a (c 22

4．半径为R 的圆柱夹在互相平行的两板之间，两板分别以速度v 1，v 2反向运动，圆柱与板无相对滑动。问圆柱于速度为v 1的接触点A 的加速度是多少？

二．力与运动 （一）物体的平衡

1.如图所示，一长L 、质量均匀为M 的链条套在一表面光滑、顶角为a 的圆锥上，当链条在圆锥面上静止时，链条中的张力是多少?

2．半径为R 的光滑球固定在水平桌面上，有一质量为M 的圆环状均匀弹性绳圈，原长为πR ，且弹性绳圈的劲度系数为k ，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上，使弹性绳圈水平停留在平衡位置上，如图所示，若平衡时弹性绳圈长为R π2，求弹性绳圈的劲度系数k

解析：由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，弹性绳圈不能看成质点，所以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中

每一小段△m 两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F.在弹性绳圈上任取一小段质量为△m 作为研究对象，进行受力分析.但是△m 受的力不在同一平面内，可以从一个合适的角度观察.选取一个合适的平面进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系.从正面和上面观察，分别画出正视图的俯视图，如图3—5—甲和2—3—5—乙.

先看俯视图3—5—甲，设在弹性绳圈的平面上，△m 所对的圆心角是△θ，则每一

小段的质量 M m πθ

2∆=

∆ △m 在该平面上受拉力F 的作用，合力为 2

sin 2)2cos(2θ

θπ∆=∆-=F F T

因为当θ很小时，θθ≈sin 所以θθ

∆=∆=F F T 2

2 再看正视图3—5—乙，△m 受重力△mg ，支持力N ， 二力的合力与T 平衡.即 θtan ⋅∆=mg T 现在弹性绳圈的半径为 R R r 2

2

22==ππ 所以 ︒===

4522

sin θθR r 1tan =θ 因此T=Mg mg πθ2∆=∆ ①、②联立，θπ

θ∆=∆F Mg 2， 解得弹性绳圈的张力为： π

2Mg

F =

设弹性绳圈的伸长量为x 则 R R R x πππ)12(2-=-=

所以绳圈的劲度系数为：R

Mg

R Mg x F k 22

2)12()12(2ππ+=-==

3．如图所示，三个完全相同的圆柱体叠放在水平桌面上。将C 柱体放上

去之前，A 、B 两柱体接触，但无挤压。假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为μ0，柱体与柱体之间的动摩擦因数为μ。若系统处于平衡状态，μ0和μ必须满足什么条件？

分析和解：这是一个物体系的平衡问题，因为A 、B 、C 之间相互制约着而有单个物体在力系作用下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。 设每个圆柱的重力均为G ，首先隔离C 球，受力分析如 图1一7所示，由∑Fc y ＝0可得

111

)2

f G += ① 再隔留A 球，受力分析如图1一8所示，由∑F Ay =0得

1121

02

N f N G +-+= ② 由∑F Ax =0得

2111

022

f N N +

-= ③ 由∑E A ＝0得

12f R f R = ④ 由以上四式可得

1222f f ==

=

112N G =，232N G =