作为判别式的二阶行列式6
行列式定义性质与计算
二阶行列式是所有位于对角线上的元素和它们不相邻的元素的 总和。
计算方法
用代数余子式展开，然后进行简单的代数运算。
例子
对于二阶行列式
二阶行列式的计算方法
``` |ab| |cd|
二阶行列式的计算方法
```
其值为 a*d - b*c。
三阶行列式的计算方法
01
02
定义
计算方法
三阶行列式是所有位于对角线上的元 素和它们不相邻的元素的总和，共有 6个项，每个项都是不同行不同列的 三个元素的乘积。
矩阵除法中行列式的应用
总结词
矩阵除法中，行列式可以帮助我们确定可 逆矩阵的逆矩阵。
VS
详细描述
在矩阵除法中，我们经常需要求出可逆矩 阵的逆矩阵。这时，行列式可以帮助我们 确定逆矩阵。具体来说，对于一个可逆矩 阵A，其行列式值|A|不为0，这意味着A 存在逆矩阵。通过使用行列式，我们可以 轻松地找到A的逆矩阵。
n阶行列式定义
01
n阶行列式是由n行n列组成的矩阵， 其值由其元素的代数余子式决定。
02
n阶行列式的一般形式为： D=a11a22...ann=(1)^t(P)i=1n(ai1j1+ai2j2+...+ainjn)j 1j2...jn(P)i=1n(ai1j1+ai2j2+...+ainj n)j1j2...jn其中t为P的逆序数，P为排 列。
解法
通过将方程组转化为行列式形式，可以求解未知数 的值。
步骤
将方程组转化为行列式形式后，根据行列式的性质 ，通过展开行列式得到未知数的值。
三阶线性方程组的解法
定义
三阶线性方程组是由三个方程组成的，每个方 程中包含未知数的三阶线性项和常数项。
二阶行列式PPT教学课件
6
课 堂 练 习（3）
判别下列二元一次方程组解的情况：
(1)84xx63yy522
(2)64xx96yy
3 5
(3)
3x 2 y
x
2 3
y
6 2
ax y 1 (4)xay 1
2020/12/09
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思考：
类比今天所学的二阶行列式的相关知识，
你能得到解下面三元一次方程组的方法吗？
x y z 6 3x y 2z 7 5x 2y 2z 15
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洋泾中学
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阅读材料一，并回答： 1、什么叫二阶行列式？
2、二阶行列式是如何展开的？
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课 堂 练 习（1）
• 展开并化简二阶行列式：
51 (1)
82
a1 (2)
1a
xy y (3)
y xy
( 4 ) c1 b1 c2 b2
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阅读材料二，并回答：
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PPT精品课件
谢谢观看
Thank You For Watching
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(2)xx2yy3600
xy3 (3)2x2y 3
(4)2xx2yy36
2020/12/09
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阅读材料三，并回答：Fra bibliotek1、二元一次方程组（*）什么时候有唯一解？
2、当 D时0，二元一次方程组（*）的解是什么情况？
x R 3二、元当一D 次 方D 程x组（D 时y*， ）0 的解是？不y是 R
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1、通过阅读材料，你知道为什么要引入行列式 这一记号吗？
2、 D,Dx分,D别y等于什么？ D, Dx中, D的y元素与方程组（*）的关系是什么？
上海高二数学行列式初步(有详细答案)绝对精品
2013年暑期高二数学行列式初步§ 二阶行列式(1)——二阶行列式 一．引入观察二元一次方程组的解法，设二元一次方程组()()11122212a x b y c a x b y c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 用加减消元法来解，()()()211221122112b b a b a b x c b c b ⨯-⨯⇒-=-; ()()()121221122121a a a b a b y a c a c ⨯-⨯⇒-=-当12210a b a b -≠时，有12211221221122c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩.二. 定义二阶行列式及展开用记号1122a b a b 来表示算式122a b a b -,即1112222a b a b a b a b =-.说明:二阶行列式表示的是四个数的一种特定的算式思考与运用 1. 解方程:3621x x =-.解:()231661204321x x x x x x orx x =⋅--=⇒--=⇒==-.2. 求函数()2212sin 22cos12xf x x =的值域.解: ()[]2222212sin 212sin cos 1sin cos 0,1222cos 12xx x f x x x x ⎛⎫==-=-=∈ ⎪⎝⎭. 3．行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d (a ，b ，c ，d ∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ＝ad －bc ，则a ＝d ＝2，bc ＝－2时，取最大值为6.答案：6三. 利用二阶行列式解二元一次方程组将1221c b c b -和1221a c a c -分别用行列式来表示,可以表示为1122c b c b 和1122a c a c ,即11220a b D a b =≠,1122x c b D c b =,1122y a c D a c =,于是上述二元一次方程组的解可以表示为xy D x DD y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(0D ≠).§ 二阶行列式(2)——作为判别式的二阶行列式一．练习与复习 (一)展开下列行列式: 1. 21111a a a --++()()()231111a a a a =-++-⨯-=;2.22cos sin cos sin 1sin cos θθθθθθ=--=--;5=;4.sin cos sin cos 2cos sin 2sin sin 2cos 2ααααααααα=-=-.(二)解下列方程组1. 12103214515x x y x y y ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩;2. 791313313312177135132x x y x y y x y⎧⎧⎧+===⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪=+==⎪⎪⎪⎩⎩⎩;3. 231232x y x y +=⎧⎨+=⎩ 无解; 4. 231462x y x y +=⎧⎨+=⎩ 无穷多解.二. 作为判别式的二阶行列式通过加减消元法将二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩化为xy D x D D y D ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩,(1) 当0D ≠时,方程组有唯一解(2) 当0D =时,若x D ,y D 中至少有一个不为零,则方程组无解; 若0x y D D ==,则方程组有无穷多解. 感受与体验 P10 练习(2) 1; P10 习题 3 思考与运用例 解关于,x y 的二元一次方程组,并对解的情况进行讨论:1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩.解: ()133m D m m m m==-+-,()11323x D m m m-==-++-,11323y D m m m -==+-+,当0D ≠,即0m ≠且3m ≠-时有唯一解11,x y m m==-; 当0m =时,0D =,而30x D =-≠,方程组无解;当3m =-时,0D =,且0x y D D ==,方程组有无穷多解. □三. 拓展与提高例1 已知三角形的三个顶点坐标分别为()0,0,()11,x y ,()22,x y ,试用行列式表示三角形的面积.()()1121212211111222S x y x x y y x y x y =++--- 11222112112211111111222222x y x y x y x y x y x y x y =+-+--- ()111221221122x y x y x y x y =-=. □例2 （1）计算行列式2346、792127、34-912-的值；（2）从上述结果中得出一个一般的结论，并证明. 解: (1) 均为0; (2) 0a bka kb=,证明:0a bkab kab ka kb=-=.同理0a ka b kb= □§ 三阶行列式(1)——三阶行列式的展开(1)一. 三阶行列式的概念用记号111222333a b c a b c a b c 表示算式123231312321213132a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++---,称为三阶行列式. 二. 三阶行列式的展开 (一) 按对角线展开例 计算三阶行列式124221342D -=---.解: ()()()()122213424D =⨯⨯-+⨯⨯-+-⨯-⨯a 11a 22a 33a 12a 23a 31a 13a 21a 32a 11a 23a 32a 12a 21a 33a 13a 22a 31()()()()11422242314-⨯⨯-⨯-⨯---⨯⨯-=-. 感受与体验 P12 练习(1)(二)按一行(或一列)展开1. 余子式 把三阶行列式中某个元素所在的行和列划去,将剩下的元素按原来的位置关系组成的二阶行列式称为该元素的余子式. 例如1133a c a c 和1133a b a b 分别是111222333a b c a b c a b c 中元素2b 和2c 的余子式. 2. 代数余子式 把余子式添上相应的符号,某元素所在行列式中的位置第i 行第j 列,该元素的代数余子式的符号为()1i j+-例如()2211331a c a c +-和()2311331a b a b +-分别是111222333a b c a b c a b c 中元素2b 和2c 的代数余子式. 注：各元素代数余子式的符号如图所示:+-+-+-+-+3. 按一行(或一列)展开111222111111333a b c a b c a A b B c C a b c =++112233a A a A a A =++=例 按第一行和第一列展开行列式124221342D -=---.解: 按第一行展开:124212122221124423234342D -⎛-⎫-=-=⋅+⋅-- ⎪----⎝⎭--14=-; 按第一列展开: 12421242422112314424221342D -⎛-⎫-=-=⋅-⋅--=- ⎪--⎝⎭--. 感受与体验 P15 练习(2) 1; 2§ 三阶行列式(2)——三阶行列式的展开(2)一.复习按对角线或按一行（一列）展开三阶行列式的方法 完成练习 P21 习题 1 (用适当的方法) 二.例题与练习例1 若行列式0021040938k=,求k 的值.解: 002108405938kk k ==⇒=.□例2 已知行列式11110211λλ-=-,求λ的值. 解: 2111134041211or λλλλλλ-=--=⇒==--. □ 例3 已知()2112150f x x x=,若()0f x >,求x 的取值范围.解:()22211212121522527505550f x x xx x x x x xx x==-+=-+-=-+>()5,1,2x ⎛⎫⇒∈-∞+∞ ⎪⎝⎭. □ 例4 把下面的算式写成一个三阶行列式: (1)023*******22132313113312-----=-; (2)112211112233332233111x y x y x y xy x y x y x y x y x y -+=. (答案不唯一) □ 例5 验证三阶行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积之和为零. 解: 例如三阶行列式111222333a b c a b c a b c 的第二行元素222,,a b c 分别与第一行的元素111,,a b c 的代数余子式相乘,即222222212121222333333b c a c a b a A b B c C a b c b c a c a b ++=-+2112222222223332222223330a b c b c a c ab a bc a b c b c a c a b a b c ==-+=. □ 例5 在直角坐标系中,不在一直线的三点:()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y 依逆时针顺序排列. (1)探求用行列式表示ABC 的面积公式;(2)当,,A B C 三点依顺时针顺序排列式, ABC 的面积公式有何变化 解: (1)记梯形,,EBCF EBAD DACF 的面积分别为123,,S S S ,()()()123321122S EB FC EF x x y y =+⋅=+-,同理有 ()()2121212S x x y y =+-,()()3313112S x x y y =+-,则 ()()()12323321331122112S S S S x y x y x y x y x y x y =--=---+-⎡⎤⎣⎦ 1122111122333322331111221x y xy x y xy x y x y x y x y x y ⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭(2)11223311121x y S x y x y =-. [说明] 本例可得两个结论:(1) 定点坐标分别为()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y 的ABC 的面积为11223311121x y S x y x y =; (2) 平面上三点()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y 共线的充要条件为1122331101x y x y x y =. 三.布置作业§ 三阶行列式(3)——三元一次方程组的行列式解法一. 复习二元一次方程组的行列式解法及解的情况的判别方法对于二元一次方程组xy D x D D y D ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩当0D ≠时,方程组有唯一解;当0D =时,若x D ,y D 中至少有一个不为零,则方程组无解;若0x y D D ==,则方程组有无穷多解.二. 三元一次方程组的行列式解法对于三元一次方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,记其系数行列式为111222333a b c D a b c a b c =, 用D 中第一列元素的代数余子式123,,A A A 依次乘以方程组的各方程,得11111111a A x b A y c A z d A ++=, 22222222a A x b A y c A z d A ++=, 33333333a A x b A y c A z d A ++=,将上述三个等式相加,得()()()112233112233112233112233a A a A a A x b A b A b A y c A c A c A d A d A d A ++++++++=++，其中记111112233222333x d b c D d A d A d A d b c d b c =++=，则x D x D ⋅=,同理可得 y D y D ⋅=，z D z D ⋅=，于是方程组x y z D x D D y D D z D ⎧⋅=⎪⋅=⎨⎪⋅=⎩当0D ≠时有惟一解x y z D x D D y D D z D ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩.例 解三元一次方程组:632752215x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩.解: 1113129522D =-=,61171291522x D =-=,161372185152y D ==,116317275215z D =-=,1,2,3x y z ∴===. □感受与体验 P19练习(3) 用行列式解下列方程组三. 当系数行列式0D =的情况当0D =时三元一次方程组可能无解,也可能有无穷多解.例 求关于,,x y z 的方程组13x y mz x mu z m x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩有惟一解的条件,并在此条件下写出该方程组的解.解: ()()11111101111mD m m m m ==-+-≠⇒≠±-, 又()()111411311x mD mmm m ==-+--,()()31y D m m =---,()41z D m =-,所以当1m ≠±时,方程组的解为43141x m y m z m ⎧⎪=⎪-⎪=⎨+⎪⎪=-⎪+⎩. □注意与二元一次方程组解的情况相区别。
二阶与三阶行列式
（1）二阶行列式—--导学案供稿人—赵艳波学习目标：1.了解行列式产生的背景；2.经历引入二阶行列式的过程；3.掌握二阶行列式展开法则及用二阶行列式解（系数行列式的值不为零的）二元一次方程组的方法，体验二阶行列式这一特定算式的特征． 学习重点：二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组．学习难点：二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组 学习过程一 知识链接：行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具．行列式概念第一次在西方出现，是1693年在莱布尼茨给洛必达的一系列信中出现的，据此，莱布尼茨得到了发明行列式的荣誉．然而，1683年在日本数学家关孝和（被誉为“算圣”、“日本的牛顿”）的著作《解伏题元法》中就有了行列式的概念．德国数学家莱布尼茨是与牛顿齐名的微积分的创始人，同时他又是数学史上最伟大的符号学者之一，堪称符号大师，他曾说：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动”．他创造的数学符号有商“ba”、比“a :b ”、相似“∽”、全等“≌”、并“ ”、交“ ”等，最有名的要算积分和微分符号了． 二 新知导学：1．二阶行列式的引入设二元一次方程组（*）⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a（其中y x ,是未知数，2121,,,b b a a 是未知数的系数且不全为零，21,c c 是常数项．）用加减消元法解方程组（*）．当01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221122112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ，引入记号21a a 21b b 表示算式1221b a b a -，即 21a a 21b b 1221b a b a -=． 2.行列式的相关概念：行列式 二阶行列式 行列式的展开式行列式的值 行列式的元素 对角线法则=D 21a a21b b ，=x D 21c c21b b ，=y D 21a a21c c ，则当=D21a a 21b b =01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解，可用二阶行列式表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DD y D D x y x ． 三．新知探究例1．展开并化简下列行列式： （1）8521 （2）8125（3）θθsin cos θθcos sin -（4）11-a 112++-a a说明：①正确运用对角线法则展开；②由（1）（2）可知，行列式中元素的位置是不能随意改变的．例2．用行列式解下列二元一次方程组：（1）⎩⎨⎧-=+=+61548115y x y x（2）⎩⎨⎧=-+=--012053y x y x说明：①当所给方程组的形式不是方程组（*）的形式时，应先化为方程组（*）的形式，才能得到正确的x D 和y D ；②注意到这两个方程组的系数行列式的值均不为零．知识拓展①二阶行列式展开的逆向使用的问题；如：算式ac b 42-可用怎样的二阶行列式来表示等．②二阶行列式的值为零时，行列式中的元素有何特征？ ③举例说明，当二元一次方程组的系数行列式的值为零时，方程组的解会有怎样的可能 四．知识巩固与检测1.展开并化简下列行列式： （1）4321--； （2）122m ； （3）yx yy y x --+2.将下列各式用行列式表示：（1）mn ab +； （2）y x y x sin cos cos sin +3.用行列式解下列二元一次方程组： （1）⎩⎨⎧=-=+1232y x y x ； （2）⎩⎨⎧=-+=+-09205.07.05.1y x y x五．学后体会：六．学后作业1.计算下列行列式的值 （1）=-2431 （2）=-xx xx sin cos cos sin（3）=a b b a log 11log （4）=+-+-yx x x y x aa a a 11 2.用行列式表示下式（1）=-ac b 42（2）=+-242x x 3.如果121lg +x x 有意义，求实数x 的范围。
(整理)二阶与三阶行列式.
9.3（1）二阶行列式—--导学案供稿人—赵艳波学习目标：1.了解行列式产生的背景；2.经历引入二阶行列式的过程；3.掌握二阶行列式展开法则及用二阶行列式解（系数行列式的值不为零的）二元一次方程组的方法，体验二阶行列式这一特定算式的特征． 学习重点：二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组．学习难点：二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组 学习过程一 知识链接：行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具．行列式概念第一次在西方出现，是1693年在莱布尼茨给洛必达的一系列信中出现的，据此，莱布尼茨得到了发明行列式的荣誉．然而，1683年在日本数学家关孝和（被誉为“算圣”、“日本的牛顿”）的著作《解伏题元法》中就有了行列式的概念．德国数学家莱布尼茨是与牛顿齐名的微积分的创始人，同时他又是数学史上最伟大的符号学者之一，堪称符号大师，他曾说：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动”．他创造的数学符号有商“ba”、比“a :b ”、相似“∽”、全等“≌”、并“ ”、交“ ”等，最有名的要算积分和微分符号了． 二 新知导学：1．二阶行列式的引入设二元一次方程组（*）⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a（其中y x ,是未知数，2121,,,b b a a 是未知数的系数且不全为零，21,c c 是常数项．）用加减消元法解方程组（*）．当01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221122112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ，引入记号21a a 21b b 表示算式1221b a b a -，即 21a a 21b b 1221b a b a -=． 2.行列式的相关概念：行列式 二阶行列式 行列式的展开式行列式的值 行列式的元素 对角线法则=D 21a a21b b ，=x D 21c c21b b ，=y D 21a a21c c ，则当=D21a a 21b b =01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解，可用二阶行列式表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DD y D D x y x ． 三．新知探究例1．展开并化简下列行列式： （1）8521 （2）8125（3）θθsin cos θθcos sin -（4）11-a 112++-a a说明：①正确运用对角线法则展开；②由（1）（2）可知，行列式中元素的位置是不能随意改变的．例2．用行列式解下列二元一次方程组：（1）⎩⎨⎧-=+=+61548115y x y x（2）⎩⎨⎧=-+=--012053y x y x说明：①当所给方程组的形式不是方程组（*）的形式时，应先化为方程组（*）的形式，才能得到正确的x D 和y D ；②注意到这两个方程组的系数行列式的值均不为零．知识拓展①二阶行列式展开的逆向使用的问题；如：算式ac b 42-可用怎样的二阶行列式来表示等．②二阶行列式的值为零时，行列式中的元素有何特征？ ③举例说明，当二元一次方程组的系数行列式的值为零时，方程组的解会有怎样的可能 四．知识巩固与检测1.展开并化简下列行列式： （1）4321--； （2）122m； （3）yx yy y x --+2.将下列各式用行列式表示：（1）mn ab +； （2）y x y x sin cos cos sin +3.用行列式解下列二元一次方程组： （1）⎩⎨⎧=-=+1232y x y x ； （2）⎩⎨⎧=-+=+-09205.07.05.1y x y x五．学后体会：六．学后作业1.计算下列行列式的值 （1）=-2431 （2）=-xx xx sin cos cos sin（3）=a b b a log 11log （4）=+-+-yx x x y x aa a a 11 2.用行列式表示下式（1）=-ac b 42（2）=+-242x x 3.如果121lg +x x 有意义，求实数x 的范围。
二阶行列式
问题提纲
1、如何引出二阶行列式？ 、如何引出二阶行列式？ 2、二阶行列式是什么？ 、二阶行列式是什么？ 3、如何计算二阶行列式的值？ 、如何计算二阶行列式的值？ 4、二阶行列式在解决二元一次线性方程组中的作用？ 、二阶行列式在解决二元一次线性方程组中的作用？
一、引入： 引入：
a1 x + b1 y = c1 其中 a1b2 − a2b1 ≠ 0 ） （ 给出一个二元一次方程组： ） 给出一个二元一次方程组： A） （ a2 x + b2 y = c2
Dx = m+2 m 4 m = (m + 2)m − 4m = m(m − 2)
Dy =
m m+2 1 m
= m 2 − (m + 2) = (m + 1)(m − 2)
(1)当m ≠ ±2时，D ≠ 0，原方程组有唯一解 m x= 先讨论系数行列式不为0的情况 的情况， 先讨论系数行列式不为 的情况， m+2 { 再讨论系数行列式为0的情况 再讨论系数行列式为 的情况 m +1 y= m+2 (2)当m = −2时，D = 0，D x = 8 ≠ 0, 原方程组无解。
由此我们得到： 由此我们得到： （1）由二阶行列式的计算法则，任何一个二阶行列式都可以表示成 ）由二阶行列式的计算法则， 乘积差的形式， 乘积差的形式，进而计算出它的值 （2）由二阶行列式的计算法则，任何两个乘积差的形式都可以表示 ）由二阶行列式的计算法则， 成一个二阶行列式。 成一个二阶行列式。
三、习题讲练： 习题讲练：
4 x − 3 y = 5 （1） 8 x + 6 y = 22
4 x + 6 y = 3 （2） 6 x + 9 y = 5
二阶行列式
例1．展开并化简下列行列式：
(1)
5 1 8 2 =5×2－8×1＝2
Байду номын сангаас
2
1 5 8 2
=1×2－5×8＝-38
由１、２可知，行列式中元素的位置是不 能随意改变的
3
cos sin
2
sin cos
2
cos cos sin sin
二阶行列式的展开
主对角线
D
a1 a2
b1 a b a b 1 2 2 1 b2
副对角线
二阶行列式的展开满足：对角线法则
二阶行列式是这样两项的代数和： 一个是从左上角到右下角的对角线 (又叫行列式的主对角线)上两个元素 的乘积，取正号；另一个是从右上 角到左下角的对角线(又叫副对角线) 上两个元素的乘积，取负号．
解:将原方程组化为:
D
Dx
3 1 1
1
3 x y 5 x 2 y 1
2
2
3 2 1 1 7
5 2 1 1 11
5 1
Dy
3 5 1 1
3 1 1 5 2
DX 11 所以x= = , D 7
DY 2 y= =D 7
11 x 7 因此，原方程组的解为 2 y 7
巩固练习 数学课本第91页，练习9.3 （1）
问题拓展
• 1.二阶行列式的值为零时，行列式中的元素有 何特征？ • 2.举例说明，当二元一次方程组的系数行列式 的值为零时，方程组的解会有怎样的可能？
D 答（1）当D=0时, x Dy 0 方程组(*)有无穷组解；
(1) b2 (2) b1 , 得 a1b2 a2b1 x c1b2 c2b1
二阶行列式
Dx 0,or Dy 0
•
系数行列式 判别式。
D a1
b1
也为二元一次方程组解的
a2 b2
巩固练习 数学课本第91页，练习9.3 （1）
• 课堂小结 • ①二阶行列式的展开法则； • ②用二阶行列式来解二元一次方程组.
精品课件！
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作业布置
数学练习部分第51页，习题9.3A 组，第1、2、3题．
• ③举例说明，当二元一次方程组的系数行 列式的值为零时，方程组的解会有怎样的 可能？
• 答：（1）当D≠0时，方程组(*) 的唯一解可以表示
成
x
DX D
y
Dy D
• （2）当D=0时, Dx Dy 0 方程组(*)有无穷组解；
• (3) 当D=0时,
方程组(*) 无解。
什么叫二阶行列式？
定义：
二阶行列式的展开满足：对角线法则
实线表示的对角线叫主对角 线，虚线表示的对角线叫副对角线。 二阶行列式是这样两项的代数和： 一个是从左上角到右下角的对角线 (又叫行列式的主对角线)上两个元素 的乘积，取正号；另一个是从右上 角到左下角的对角线(又叫次对角线) 上两个元素的乘积，取负号．
由于行列式D是由方程组（*）中未知数X、Y的系数组 成的，通常被叫做方程组（*）的系数行列式；行列式 DX和DY分别是用方程组（*）的常数项C1C2替换行列 式D中X的系数a1a2或Y的系数b1b2后得到的
例2用行列式解下列二元一次方程组：
1、54xx
11y 15 y
8 6
所以X = DX = 6, Y = DY = 2
例1．展开并化简下列行列式：
二阶行列式的概念
二阶行列式的概念二阶行列式是数学中的一个基本概念，用于描述两个元素之间的线性关系。
这个概念在代数学、线性代数以及相关的领域中都有广泛的应用。
定义：对于任意两个数a和b，以及两个有序对(i,j)，二阶行列式D(a,b,i,j)被定义为：D(a,b,i,j) = a_i * b_j - a_j * b_i其中，a_i和b_i分别表示向量a和b的第i个元素，下标i代表索引。
这个定义可以推广到任意大小的两个向量，只要它们的长度相同。
在这种情况下，二阶行列式可以被视为一个映射，它将两个向量映射到一个标量。
二阶行列式的性质：1. 交换律：D(a_i, b_j, a_j, b_i) = -D(a_j, b_i, a_i, b_j)。
2. 结合律：D(a_i+a_j, b_j, a_j, b_i) = D(a_i, b_j, a_j, b_i) + D(a_j, b_j, a_j, b_i)。
3. 行列式的值不为0当且仅当其对应的两个向量是线性相关的。
4. 行列式的值为0当且仅当其对应的两个向量是线性无关的。
二阶行列式在许多领域都有应用，包括但不限于：1. 线性方程组的解法：通过构造并使用二阶行列式，可以找到线性方程组的解。
2. 向量的内积和外积：二阶行列式可以用来计算向量的内积和外积，这两个运算在几何学和物理中都有广泛的应用。
3. 特征值的计算：在一些情况下，可以通过计算矩阵的行列式来找到其特征值。
二阶行列式在数学和相关领域中的应用非常广泛。
除了上述提到的线性方程组的解法、向量的内积和外积以及特征值的计算外，还有其他一些应用场景。
比如，在代数学中，二阶行列式可以用于研究代数的结构，以及解决一些代数问题。
在几何学中，二阶行列式可以用于描述平面或空间中的线性变换，以及研究图形和点的位置关系。
此外，二阶行列式还可以用于机器学习和数据科学中的一些问题，比如线性分类器的设计和优化，以及数据分析和可视化等。
在这些应用中，二阶行列式提供了一种有效的工具来处理和分析数据中的线性关系。
行列式的计算1二阶行列式
$number {01}
目 录
• 行列式的定义 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 二阶行列式的计算实例
01
行列式的定义
二阶行列式的定义
01
二阶行列式表示为2x2 的数字方阵，由上而下 按顺序排列，记作|a b;
c d|。
02
行列式中的数字a、b 、c、d分别表示方阵 中对应位置的元素。
THANKS
递推法
递推法是一种基于数学归纳法的计算行列式的方法，通过递推关系式逐步计算出行列式的值。
对于二阶行列式，递推法的基本思想是利用已知的二阶行列式的值，通过递推关系式计算出更高阶的 行列式的值。具体步骤为：先计算出二阶行列式的值，然后利用递推关系式逐步计算出更高阶的行列 式的值。
03
行列式的性质
行列式与转置行列式的关系
具体计算步骤为：D=a11*a22-a12*a21。其中，a11、a12、a21、a22分别代 表二阶行列式中对应的元素。
降阶法
降阶法是通过将高阶行列式转化为低阶行列式来计算的一种 方法。对于二阶行列式，降阶法就是将其转化为三角形行列 式来计算。
具体步骤为：先将二阶行列式的某一行或某一列的元素化为 零，然后利用展开式法计算剩余的元素，得到结果。
2
代数余子式具有反对称性，即对于任意一个n阶 行列式，任意交换两行或两列的位置，行列式的 值会变号。
3
代数余子式在计算行列式时具有消去性，可以通 过代数余子式展开来消去行列式中的某些元素， 从而简化计算。
02
行列式的计算方法
展开式法
展开式法是计算二阶行列式最直接的方法，根据二阶行列式的定义，将行列式按 主对角线元素相乘，副对角线元素相乘，然后相减得到算，即a*d-
行列式的计算二阶行列式
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
行列式，并记作 a11 a12
(5)
a21 a22
即
a11 a21
Dx c1b2 c2b1 D y
a1c2 a2c1
0
a1 a2
b1 b2
c1 c2
方程组有无穷多解 .
用消元法解二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
b1 , b2
Dx
c1 c2
b1 , b2
Dy
a1 a2
c1 , c2
x Dx ， D
y Dy ， D
二阶系数行列式 的运算定义
aa12
x x
b1 b2
y y
c1 , c2 .
D a1 b1 , a2 b2
D a1 b1 , a2 b2
D a1b2 a2b1
Dx
c1 c2
b1 , b2
行列式 二阶行列式的运算
aa12
x x
b1 b2
y y
c1 , c2 .
(a1b2 a2b1 0)
用加减消元法解方程组得
x c1b2 c2b1 ， a1b2 a2b1
二阶行列式(2)
§9.3 二阶行列式（2）
一、学习目标
1.通过经历在二元一次方程组系数行列式0≠D 和0=D 两种情形下讨论解的不同情况的过程，体验二元一次方程组系数行列式D 作为解的判别式的含义；
2.学会并掌握用二元一次方程组系数行列式D 判别方程组解的情况的方法；
3.通过经历讨论字母系数二元一次方程组解的情况的过程，体验并掌握讨论的依据、步骤及书写表达．
重点知识：二元一次方程组解的情况的判别与讨论.
难点知识：字母系数二元一次方程组解得情况.
二、知识点
1、判别行列式
2、二阶行列式判别二元一次方程组解的情况
三、典型例题。
二阶行列式——精选推荐
⼆阶⾏列式⿇雀虽⼩，五脏俱全。
让我们从线性⽅程组开始，探索⼆阶⾏列式的奥秘吧！⼀、解⽅程组标准⼆元⼀次⽅程组⾸先定义两个⼆元⼀次⽅程的⽅程组标准式如下：a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2⽅程求解为了解出x1,x2，我们引⼊变量A11,A21，分别乘以式 (1) 中相应等式，然后两式相加得(a11A11+a21A21)x1+(a12A11+a22A21)x2=b1A11+b2A21令A11,A21满⾜下列条件：(a11A11+a21A21)x1=b1A11+b2A21(a12A11+a22A21)=0若a22≠0,A11≠0，由a12A11+a22A21=0⇒a12a22=−A21A11，若取A11=−a22,A21=a12，代⼊ (3.1) 式中得(−a11a22+a21a21)x1=−b1a22+b2a21若取A11=a22,A21=−a12，代⼊ (3.1) 式中得(a11a22−a21a21)x1=b1a22−b2a21⾏列式的引⼊观察⽅程组 (1) 的系数表，a11a12a21a22⽐较(4),(5)中x1的系数，式 (5) 中的系数看上去与式 (6) 相近。
由此，我们引⼊⼀个记法⾏列式，其定义如下：a bc d=ad−bc于是式 (5) 可以表⽰为a11a12a21a22x1=b1a12 b2a22令 |A|=a11a12a21a22,|A1|=b1a12b2a22，则若 |A|≠0 ，则{{|||||| ||||x 1=b 1a 12b 2a 22a 11a 12a 21a 22=|A 1||A |同理，可得|A 2|=a 11b 1a 21b 2x 2=a 11b 1a 21b 2a 11a 12a 21a 22=|A 2||A |⼆、⾏列式的性质由式 (7) 中⾏列式的定义，我们发现⼆阶⾏列式有如下性质：1. 上（下）三⾓⾏列式等于其主对⾓元素之积|A |=a 11a 222. 若某⼀⾏（列）元素全部为0，则⾏列式为0|A |=0b 0d=0d −0b =0|A |=0cd =0d −0c =03. 若⽤常数 k 乘以某⼀⾏（列），则得到的⾏列式为原⾏列式的 k 倍ka kb c d =kad −kbc =k (ad −bc )=kab c d =k |A |kab kcd=kad −kbc =k (ad −bc )=kab cd =k |A |4. 交换⾏列式不同的两⾏（列），⾏列式的值改变符号a b cd =ad −bc =−(cb −da )=−c d a b a b cd=ad −bc =−(bc −ad )=−b adc5. 若⾏列式两⾏（列）成⽐例，则⾏列式的值等于0。
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例题选讲：
例3 讨论关于x,y的二元一次方程组解的 情况，若有解，请将其求出：
mx 2 y 8 2 x (m 3) y m
总结：
二元一次方程组解的判别
（1）当 D 0 时，有唯一解
（2）当 D 0 时， （ⅰ）当 Dx Dy 0 时，方程组无穷解
（ⅱ）当 Dx 0 或
其中 a1 , a2 , b1 , b2 不全为0, 当 D Dx Dy 0 时，
3x 3 y 6 2 x 2 y 4
a1b2 a2b1 , c1b2 c2b1 , a1c2 a2c1 ,
小
结
二元一次 a1 x b1 y c1 D x Dx 方程组： a x b y c D y D 2 2 2 y
4 x 6 y 6 0 (3) 6 x 9 y 9 0
4 x 6 y 3 (2) 6 x 9 y 5
例题选讲：
例2 （1） 是否存在a，使得二元一次 方 ax 6 y 15 程组 4 x 2 y 2 无解？若存在，求 出a的值，若不存在，请说明理由。 ax 6 y 15 （2） 已知二元一次方程组 4 x by 2 有无穷多解，求a、b的值。
问题拓展
★ “二元一次方程组系数行列式 D 0 ”是
“方程组有唯一解”的____________ 条件。 充要
★“二元一次方程组系数行列式D 0
”是 必要非充分 “方程组无解”的________________ 条件。
★“二元一次方程组系数行列式 D 0 ”是
充分非必要 “方程组有解”的________________ 条件。
Dy 0 时，方程组无解
（1）当 D 0 （2）当 D 0
Dx 时，有唯一解 x D y Dy 时， D
（ⅰ）当 Dx Dy 0 时，方程组来自穷解 （ⅱ）当 Dx 0 或
Dy 0 时，方程组无解
例题选讲：
例1 判别下列二元一次方程组解的情况：
4 x 6 y 3 (1) 6 x 10 y 5
作为判别式的二阶行列式
朱家角中学
陆丽华
复习回顾：
a1 x b1 y c1 (1) 二元一次方程组： (*) a2 x b2 y c2 (2) (a1b2 a2b1 ) x c1b2 c2b1 用加减消元法，可得 (a1b2 a2b1 ) y a1c2 a2c1 a1 c1 c1 b1 a1 b1 , Dy 令D , Dx a2 c2 c2 b2 a2 b2 D D x D x x D D 0 那么 当 时，有唯一解 D y D y y D
当 D 0, Dx 0 且Dy 0 时， 当 D 0, Dx 0 且Dy 0 时， 方程组无解 其中 a1 , a2 , b1 , b2 不全为0,
Dx 0 或 Dy 0 时，
a1 x b1 y c1 (1) (*) a2 x b2 y c2 (2)
x
a1 , a2 , b1 , b2 不全为0,
y
D
判断下列方程组解的情况 ，并求出 D, Dx , Dy：
2 x 3 y 1 方程组无解， (1) 2 x 3 y 2 2 1 1 3 D 0, Dx 2 3, Dy
2 3
2 2
2 x 3 y 1 (2) 4 x 6 y 2
方程组无穷解，
2 1 1 3 0, Dy D 0, Dx 0 4 2 2 6
根据以上的情况，你能得到更一般的结论吗？
小心求证：
a1 x b1 y c1 (1) 二元一次方程组： (*) a2 x b2 y c2 (2)
D x Dx 用加减消元法，可得 D y Dy 当 D 0, Dx 0 且Dy 0 时， 当 D 0,