高中一年级培优班12月份数学月考试题

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高一数学12月月考试题试题 3

卜人入州八九几市潮王学校华侨二零二零—二零二壹第一学期高一年级数学科12月份月考试卷一．选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1．把58π化为角度是()．A ．270°B ．280°C ．288°D ．318°2．设角α，那么α所在的象限为()．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．根据表格中的数据，可以断定是方程的一个根所在的区间是()．A ．〔－1,0〕B ．〔0,1〕C ．〔1,2〕D ．〔2,3〕4．假设角α是第二象限角，那么点P 〔cos α，sin α〕在()． A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．cos α=41，那么sin 〔2πα+〕()．A ．41B ．41-C ．415D ．415-6．集合，，那么()． A ．B ．C ．D ．7．当时，在同一坐标系中，函数与的图象是()． A.B.C.D.8．函数y=lnx 的零点是().A ．〔0,0〕B ．x=0C ．x=1D ．不存在9．假设角α的终边过点P 〔2sin30°，-2cos30°〕，那么sin α等于()．A ．21B ．21-C ．23-D ．33-10．函数的图象如下列图，那么的大小顺序是()．A ．1＜d ＜c ＜a ＜bB ．c ＜d ＜1＜a ＜bC ．c ＜d ＜1＜b ＜aD ．d ＜c ＜1＜a ＜b11．θ是第三象限角，且sin 4θ+cos 4θ=95，那么sin θcos θ的值是()．A ．32B ．－32C ．31D ．－31 12．α是锐角，且tan α是方程4x 2+x-3=0的根，那么sin α=()． A ．54B ．53 C ．52 D ．51 二、填空题，此题一共4题，每一小题5分，一共20分. 13．〔1〕填写上以下特殊角的度数和弧度数度 0° 30° 45° 90° 270° 360°弧度6π3π 2π π23π〔2〕填表角α弧度数2π π23π 2π(10题)14．角α-1200°，那么与α终边一样的最小正角是． 15．函数的定义域为．16．给出以下三个结论，其中正确结论的序号是．①成立的条件是角是锐角； ②假设，那么； ③假设，那么.三、解答题，此题一共4题，一共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或者验算过程. 17．〔10分〕〔1〕求证ααααααααcos sin cos sin 1cos sin 2cos sin 1+=+++++.〔10分〕〔2〕化简〔1+tan 2α〕cos2α.18．〔15分〕cos α=－53，求sin α，tan α的值.19．〔15分〕求函数的零点. 20．tan α=2.〔10分〕(1)求ααααcos -sin cos 2sin 3+的值.〔10分〕(2)求）（）（）（）（）（）（αππααππααπαπ+++cos -sin 3sin 23-sin 2cos -cos 的值.。

北京市2023-2024学年高一上学期12月月考试题数学含解析

2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --< D.x ∀∈R ，2230x x --≥4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x = D.1y x=-5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.1206.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b= B.2b a= C.4a b= D.4b a=8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年B.7年C.8年D.9年二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.14.设函数()3log ,x af x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲4.944.904.954.824.80 4.79乙 4.86 4.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.20.已知函数()()12log 21xf x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--【答案】C 【解析】【分析】解不等式()323k k Z -<<∈，求得整数k 的取值，由此可求得A B ⋂.【详解】解不等式323k -<<，得3322k -<<，k Z ∈ ，所以，整数k 的可能取值有1-、0、1，因此，{}2,0,2A B =- .故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--【答案】A 【解析】【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可．【详解】因为22205x y x y +=⎧⎨+=⎩，所以2y x =-代入225x y +=，即()2225x x +-=，解得1x =±.当=1x -时，()212y =-⨯-=；当1x =时，212y =-⨯=-.故22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是()(){}1,2,1,2--.故选：A.3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --<D.x ∀∈R ，2230x x --≥【答案】D 【解析】【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是x ∀∈R ，2230x x --≥.故选：D.4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x =D.1y x=-【答案】C 【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，ln y x =的定义域为{}0x x >，不关于原点对称，所以ln y x =是非奇非偶函数，故A 不正确；对于B ，2x y =的定义域为R ，关于原点对称，而()()122xx f x f x --==≠-，所以2x y =不是奇函数，故B 不正确；对于C ，3y x =的定义域为R ，关于原点对称，而()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以3y x =是奇函数且在R 上是增函数，故C 正确；对于D ，1y x=-定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，()()1f x f x x -==-，所以1y x=-是奇函数，1y x=-在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，不能说成在定义域上单调递增，因为不满足增函数的定义，故D 不正确.故选：C .5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的人数为0.7200140⨯=，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．6.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a【答案】C 【解析】【分析】借助中间量0,1可确定大小.【详解】对于lg2a =，由lg2lg1=0,lg2lg10=1><得01a <<，对于12log 3b =，由1122log 3log 10<=得0b <，对于0.22c =，由0.20221>=得1c >，所以b a c <<.故选：C.7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b = B.2b a= C.4a b= D.4b a=【答案】C 【解析】【分析】由对数的运算可得212log log a b +=2log 2ab=,再求解即可.【详解】解:因为212log log a b +=222log log log 2a b ab-==,所以224a b==，即4a b =，故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算,属基础题.8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是偶函数，先得到()0f x <的解集，再由()10f x -<，将1x -代入求解.【详解】因为[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，所以由()0f x <，解得01x ≤<，又因为()f x 是偶函数，所以()0f x <的解集是11x -<<，所以()10f x -<，得111x -<-<，解得02x <<所以()10f x -<的解集是{}02x x <<，故选：C9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由()f x 是R 上的增函数得()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之若对任意0a >，()()f x a f x +<，满足()()y f x a f x =+-无零点，但不满足()f x 是R 上的增函数，不满足必要性，即可判断.【详解】若()f x 是R 上的增函数，则对任意0a >，显然x a x +>，故()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之，若对任意0a >，()()f x a f x +<，即()()0f x a f x +<-，满足()()y f x a f x =+-无零点，但()f x 是R 上的减函数，不满足必要性，故“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的充分而不必要条件.故选：A.10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B 【解析】【分析】依题求出经过x 年后，A 产品和B 产品的年产量分别为310(2x，640()5x，根据题意列出不等式，求出x 的范围即可得到答案.【详解】依题经过x 年后，A 产品的年产量为1310(110()22xx+=）B 产品的年产量为1640(140()55x x +=，依题意若A 产品的年产量会超过B 产品的年产量，则3610()40(25xx>化简得154x x +>，即lg 5(1)lg 4x x >+，所以2lg 213lg 2x >-，又20.3010lg =，则2lg 26.206213lg 2≈-所以至少经过7年A 产品的年产量会超过B 产品的年产量.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.【答案】()()1,22,⋃+∞【解析】【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞，故答案为：()()1,22,⋃+∞12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.【答案】①.14②.【解析】【分析】利用韦达定理可得2212x x +、12x x -的值.【详解】因为方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，由韦达定理可得124x x +=，121=x x ，所以，()2221222121242114x x x x x x =+-=-=+⨯，12x x -===.故答案为：14；.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.【答案】1x -+（答案不唯一）【解析】【分析】由题意首先由③得到函数的单调性，再结合函数定义域，特殊点的函数值，容易联想到一次函数，由此即可得解.【详解】由③，不妨设12x x ∀<，即210x x ->，都有()()21210f x f x x x -<-，即()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以由题意可知()f x 是定义域为R 的减函数且满足()01f =，不妨设一次函数y x b =-+满足题意，则10b =-+，即1b =.故答案为：1x -+.14.设函数()3log ,x a f x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.【答案】①.2②.[)9,27【解析】【分析】①代值计算即可；②分别画出()y f x =与3y =的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．【详解】①当5a =时，()35log ,5x f x x x ≤≤=>⎪⎩因为815>，所以()43381log 81log 345f ===<，所以()()8142f f f ⎡⎤===⎣⎦.②因为函数()3y f x =-有两个零点，所以()3f x =，即()y f x =与3y =的图象有两个交点.3=得9x =，3log 3x =得27x =.结合图象可得927a ≤<，即[)9,27a ∈.所以a 的取值范围是[)9,27.故答案为：①2；②[)9,27.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A 即为函数的定义域，B 即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝(0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ；对③，A ＝(0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）35【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19253320⨯=，女生人数为12852320⨯=．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，则样本空间为：Ω＝{(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，B 3)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)，(G 1，G 2)}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A 为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A ＝{(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)}，事件A 共包含6个样本点．从而()63105P A ==所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()0,∞+【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）利用单调性定义证明即可；（3）根据单调性直接求得即可.【小问1详解】由函数()211f x x =-可知210x -¹，即1x ≠±，所以函数()f x 的定义域为{}1D x x =≠±，所以x D ∀∈，()()()221111f x f x x x -===---，故()f x 为偶函数.【小问2详解】假设()12,1,x x ∀∈+∞且12x x <，则()()()()()()()()()()()222221212121122222222212121212111111111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+--=-===--------，由()12,1,x x ∀∈+∞，12x x <知()()222121120,0,110x x x x x x ->+>++>，从而()()120f x f x ->，即()()12f x f x >.所以()f x 是()1,+∞上的减函数.【小问3详解】因为()f x 在()1,+∞上减函数，所以()f x 在()1,+∞的值域为()0,∞+.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙4.864.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】（1）4.82（2）25（3）甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.【解析】【分析】（1）利用平均数公式计算即可；（2）列表分析，利用古典概型概率公式计算即可（3）由表中数据分析波动性即可得结论.【小问1详解】乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为：4.86 4.90 4.86 4.84 4.74 4.724.826+++++=.【小问2详解】列表：2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙 4.864.904.864.844.744.72甲与乙视力值的差0.0800.090.02-0.060.07由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，故所求概率为：2426C 62C 155P ===【小问3详解】从表格数据分析可得：甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.【答案】（1）()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元【解析】【分析】（1）根据利润等于销售总额减去总成本即可得出答案.（2）求出分段函数每一段的最大值，进行比较即可得出答案.【小问1详解】由题意得：()()5020f x x C x =--，()020x <≤.因为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩所以()2150205,01022560502060756,1020x x x x f x x x x x ⎧⎛⎫--+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】当010x <≤时，函数()2145202f x x x =-+-在(]0,10单调递增，此时()()2max 110104510203802f x f ==-⨯+⨯-=.当1020x <≤时，函数()256010736f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()10,16上单调递增，在()16,20上单调递减，此时()()max 256016101673641638016f x f ⎛⎫==-⨯++=> ⎪⎝⎭.综上可得：当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元.20.已知函数()()12log 21x f x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.【答案】（1）1-（2）12m =-（3）21log 3x >【解析】【分析】（1）直接将0x =代入计算；（2）通过计算()()0f x f x --=恒成立可得m 的值；（3）解不等式()12log 212xx ++>-即可.【小问1详解】由已知得()()12log 2110f =+=-；【小问2详解】函数()f x 是偶函数，()()()()11122221log 21log 21log 212x xxx mxf x f x mx mx --⎡⎤+∴--=+--++⎢+⎣-=⎥⎦()1222210log 2x mx x mx x m =-=--=-+=，又()210x m -+=要恒成立，故210m +=，解得12m =-；【小问3详解】当1m =-时，()()12log 21x f x x =++，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时有()12log 212xx ++>-，()2211222112422l 2og 212log 21x xxxx x x --+--⎛⎫⎛⎫⇒==⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝+>--=+<⎭21log 31321223xx⇒⨯>⇒>=解得21log 3x >.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】（1）{}6,10,15B =（2）7（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=【小问2详解】设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。

高一数学12月月考试题1 5

卜人入州八九几市潮王学校菱湖2021第一学期12月月考高一数学试题卷卷Ⅰ〔一共40分〕一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题4分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1.16sin 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭〔〕 A ．12B ．－12C ．32D ．－322．假设角θ的终边经过点），（21 23-，那么θtan 的值是〔〕 A ．21B ．23-C ．3D ．33- 3．假设,0cos >θ且tan 0,θ<那么角θ的终边所在象限是〔〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4.函数),2sin()(ππ-=x x f 〕 A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数 C ．)(x f 是周期为1的偶函数D ．)(x f 是周期为2的奇函数5．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，可以将函数sin 2y x =的图像〔〕 A ．向右平移6π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度 6．图中的曲线对应的函数解析式是〔〕A ．|sin |x y = B ．||sin x y = C ．|sin |x y -=D ．||sin x y -= 7．函数)42tan(3π+=x y 的定义域是〔〕 A.},2{Z k k x x ∈+≠ππ B.},82{Z k k x x ∈-≠ππC.},82{Z k k xx ∈+≠ππ D.},2{Z k k x x ∈≠π 8.31)125cos(=+απ，且2παπ-<<-，那么)12cos(απ-的值是〔〕 A.322- B.322 C.31D.31- 9．函数()()2sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，假设将()f x 的图象向左平移个单位后得到函数()g x 的图象关于y 轴对称，那么函数()f x 的图象〔〕A.关于直线2x π=对称B.关于直线3x π=对称C.关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称D.关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 10．函数x x f 41sin )(π=，假设存在实数21,x x ，使R x ∈时，)()()(21x f x f x f ≤≤恒成立,那么21x x -的最小值为〔〕A.πB.π2C.π4D.8π卷Ⅱ〔一共110分〕二、填空题：本大题一一共7小题，单空每一小题4分，多空每一小题6分，一共36分.11.扇形的周长为4，那么当扇形的半径为▲时，它的面积最大，此时的圆心角为▲．12.3sin 5θ=，(,)2πθπ∈，那么sin()2πθ+=▲；tan θ=▲． 13.5cos 5sin 3cos 2sin -=+-αααα，那么αtan 的值是▲；假设)2cos(2)sin(απαπ-=+,那么)sin()2sin(3)2cos(5)sin(ααπαπαπ-----+-的值是▲. 14.定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，假设)()(x f x f =+π，且当]2,0[π∈x 时，()sin f x x =，那么)(x f 的周期为▲,求)35(πf 的值是▲. 15．81cos sin =⋅θθ,且24πθπ<<，那么θθsin cos -的值是▲. 16.),(4sin )(Z n n n f ∈=π，那么=++++)2018()3()2()1(f f f f ▲． 3π17.设0>ω，假设函数x x f ωsin 2)(=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,3ππ上单调递增，那么ω的取值范围是 ▲．三、解答题：本大题一一共5小题，一共74分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．18．〔本小题总分值是14分〕函数)631sin(2)(π-=x x f ． (1)继续完成表格，用五点作图法画出)(x f 在长度为一个周期的区间上的图象；(2)如何由x y sin =的图象经过适当的图象变换得到)631sin(2)(π-=x x f 的图象？〔写出一种方法即可〕 631π-x0 2π π 23π π2 x)631sin(2π-x 19．〔本小题总分值是15分〕求以下函数的值域(1)]65,6[,21sin 2sin 22ππ∈-+=x x x y ；(2)R x xx y ∈+=,sin 2sin ． 20．〔本小题总分值是15分〕函数)sin()(ϕω+=x A x f )20,0,0(πϕω<<>>A 的局部图象如下列图,且)65()0(πf f =. (1)求函数)(x f 的最小正周期；(2)求)(x f 的解析式,并求出它在]2,0[π上的值域. 21.〔本小题总分值是15分〕设函数)2(sin )(ϕ+=x x f )0(<<-ϕπ，)(x f y =的图象的一条对称轴是直线8π=x .(1)求)(x f 的最小正周期；(2)求ϕ的值，并写出)(x f 的解析式；(3)求函数)85(π+=x f y 的对称中心和单调减区间. 22．〔本小题总分值是15分〕函数1)62sin(2)(+++=a x x f π)(R a ∈． (1)假设R x ∈，求函数)(x f 的单调递增区间； (2)假设]2,0[π∈x ，函数)(x f 的最大值为4，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求满足1)(=x f ，且],[ππ-∈x 的x 的集合．。

高一数学12月月考试题试题 4

卜人入州八九几市潮王学校伟才二零二零—二零二壹第一学期十二月月考高一数学试题一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,5}A =，{2,3}B =，那么()=U C A BA ．{2}B ．{2,3}C ．{2,4}D ．{2,3,4} 2.函数31(01)x y a a a -=+>≠且图象一定过点A ．〔0，1〕B ．〔3，1〕C ．〔3，2〕D ．〔0，2〕3.以下四个函数中，在整个定义域内单调递减的是 A.101()100x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B.1()f x x= C.2()log f x x =- D.23()f x x = 4.幂函数的图象过点()24，，那么这个函数的解析式为5.函数3()21f x x x =+-一定存在零点的区间是A.11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()1,2 6．函数f (x )=3sin(0<ω<1),且f =0,那么函数f (x )的最小正周期为A.ππππ aa x f x 1)(-=〔10≠>a a 且〕的图象可能是 A. B.C.D.8. tan x=sin ,那么sin x=A. B. C. D.9.以下关于函数y=tan 的说法正确的选项是π x=成轴对称10．设角α是第二象限的角，且2cos 2cos αα-=，那么角2α是 A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角11.将函数y=sin 的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数上单调递减上单调递减12.()()()1f x x m x n =--+，并且,αβ是方程()0f x =的两根，实数,,,m n αβ的大小关系可能是A.m n αβ<<<B.m n αβ<<<C.m n αβ<<<D.m n αβ<<<二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13.假设，那么=___________． 14.()f x ＝4x 2－mx ＋5在[2，＋∞)上是增函数，那么实数m 的取值范围是_____．15.函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为[]1,2a a -，a b +=．16.函数f(x)=4sin上的最小值等于. 三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕17.(10分)〔1〕，求x 的值〔2〕计算：．18.〔12分〕集合{}2733≤≤=x x A ，{}1log 2<=x x B ．〔1〕分别求B A ，()B AC R ；〔2〕集合{}a x x C <<=1，假设A A C = ，务实数a 的取值范围.19.〔12分〕〔1〕假设2sin cos 0αα-=，求2sin 3cos 4sin cos αααα+-的值；〔2〕4sin cos 5θθ-=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin +cos θθ的值．20.〔12分〕函数f 〔x 〕＝A sin 〔ωx ＋φ〕〔A >0，ω>0，∣φ∣<,x ∈R 〕在一个周期内的图象如下列图.求：〔1〕函数f 〔x 〕的解析式.〔2〕直线y ＝与函数f 〔x 〕图象的所有交点的坐标．21.〔12分〕信息科技的进步和互联网商业形式的兴起，全方位地改变了大家金融消费的习惯和金融交易形式，如今银行的大局部业务都可以通过智能终端设备完成，多家银行职员人数在悄然减少.某银行现有职员320人，平均每人每年可创利20万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员．．1人，那么留岗职员每人每年多．．．．．创利0.2万元，但银行需付下岗职员每人每年6万元的生活费，并且该银行正常运转所需人数不得小于现有职员的34，为使裁员后获得的经济效益最大，该银行应裁员多少人？此时银行所获得的最大经济效益是多少万元？22.〔12分〕函数f (x )=sin +1.（1）用“五点法〞作出f (x )在x ∈上的简图;（2）求f (x )的最大值以及获得最大值时x 的集合;（3）写出f (x )的对称中心以及单调递增区间.。

高中一年级12月份月考试卷

天才教育高中一年级12月份月考试卷(考试时间120分钟总分150分)一、选择题（每小题5分，共60分） 1．设全集U=｛1，2，3，4，5｝，集合A=｛1，2｝，B=｛2，3｝，则A ∩(C U B)=（） A ．{}45， B ．{}23， C ．{}1 D ．{}2 2．已知函数)(x f =⎩⎨⎧≤>)0(3)0( log 2x x x x，则 f ［f(21)］的值是（） A ．3 B ．31C ．log 23D ．0 3．令0.760.76,0.7,log 6a b c ===，则三个数a 、b 、c 的大小顺序是（）A ．b ＜c ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a 4．函数2)(-+=x e x f x的零点所在的区间是（） A. )1,0( B. )2,1( C. )0,1(- D. )1,2(--5．若二次函数32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则)(x f 在区间)1,3(-上（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增 6、垂直于同一条直线的两条直线一定A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 7、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为２ｃｍ，则球的表面积是A 28cm π B 212cm π C 216cm π D 220cm π8、下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。

⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。

⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。

其中正确的个数为A 0B 1C 2D 9、下列四个命题正确的是A 两两相交的三条直线必在同一平面内B 若四点不共面，则其中任意三点都不共线C 在空间中，四边相等的四边形是菱形D 在空间中，有三个角是直角的四边形是矩形10、若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为A 1:2:3B 2：3：4C 3:2:4D 3:1:211、下列说法中正确的是A 经过两条平行直线,有且只有一个平面B 如果两条直线同平行于同一个平面,那么这两条直线平行C 三点唯一确定一个平面D 不在同一平面内的两条直线相互垂直,则这两个平面也相互垂直12、设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是 A ①和② B ②和③ C ③和④ D ①和④二、填空题(每小题4分，计16分) 13．若函数2()(1)=+-+f x x a x a 在区间[2,)+∞上是增函数，则a 的取值范围_____14、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体 (填”大于、小于或等于”).15.(2009山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).16、已知直线b a ,是直线，γβα,,是平面，给出下列命题：① b a a =βαβα ,//,//，则b a //； ② γβγ⊥⊥,a ，则β//a ； ③ b a b a ⊥⊥⊥,,βα，则βα⊥； ④ αγββ⊥a a ,//,//，则γα⊥.其中正确命题的序号 _____ 三、解答题(共74分)17．（本题满分12分）已知全集5,{|42},{|13},{|0}2U R A x x B x x P x x x ==-≤≤=-<≤=≤≥或，求：⑴A ∩B ； (2)A ∪B ； ⑶()U C B P ；18．（本题满分12分）已知f(x)=log 2(1－x)。

高一数学12月月考试题2 5

卜人入州八九几市潮王学校涑北二零二零—二零二壹高一数学12月月考试题一、选择题〔每一小题5分，一共50分〕2()1(0x f x a a -=+>且1)a ≠的图象恒过定点()A ．(2,2)B ．(2,1)C ．(3,1)D ．(3,2)2()21f x x mx =-+在[2,)+∞上是增函数，那么实数m 的取值范围是()A ．(,1]-∞B ．[1,)+∞C ．[2,)+∞D ．(,2]-∞3.为理解高一年级1200学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为60的样本，那么分段间隔为〔〕 A ．10 B ．20C ．40D ．604.以下函数中，既是奇函数又在区间()0+∞，上是增函数的是() A ．1y x=B ．2y x =C ．2y x =D.2xy =2()3f x ax bx =++是定义在[3,2]a a -上的偶函数,那么a b +的值是()A ．-1B ．1C ．-3D ．00.45a =,0.3log 0.4b =,4log 0.2c =,那么,,a b c 的大小关系是()A ．c a b >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>{}2,R x A y y x ==∈,{}148x B x -=≤,那么A B ⋂=()A ．5(,)2-∞B ．5[0,]2C ．7(0,]2D ．5(0,]28.执行如下列图的程序框图，输出的s 值为〔〕 A.-312- C.13D.2()()215,1,log ,1,aa x a x f x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩是定义在R 上的减函数,那么实数a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．1(0,)2C ．11[,)72D ．1[,1)710.设奇函数()f x 在(0,)+∞上为单调递减函数，且(2)0f =，那么不等式3()2()05f x f x x--≤的解集为()A ．(,2](0,2]-∞-⋃B ．[2,0][2,)-⋃+∞C ．(,2][2,)-∞-⋃+∞D ．[2,0)(0,2]-⋃二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕11.函数2()ln()f x x x =+的增区间为_________2log (1)y x =+的定义域是.23()(1)m f x m m x +=+-是幂函数，且该函数是偶函数,那么m 的值是..三、解答题〔每一小题10分一共50分〕 15.〔10分〕计算：(1).1101321()( 3.8)0.0022)27---+--.(2).2lg125lg 2lg500(lg 2)++16.〔10分〕集合{}62A x a x a =-≤≤,{}24120B x x x =--≤,全集为R.(1).设2a =,求()R A B ⋂.(2).假设A B B ⋂=,务实数a 的取值范围.17〔10分〕.甲、乙两名技工在一样的条件下消费某种零件，连续6天中，他们日加工的合格零件数的统计数据的茎叶图，如下列图 (1)写出甲、乙的中位数和众数；(2)计算甲、乙的平均数与方差，并依此说明甲、乙两名技工哪名更为优秀.18.〔10分〕某统计局就某地居民的月收入调查了10000人,他们的月收入均在[)1000,4000内.现根据所得数据画出了该样本的频率分布直方图如下.(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示月收入在[)1000,1500内)(1)求某居民月收入在[)3000,4000内的频率； (2)根据该频率分布直方图估计居民的月收入的中位数；(3)为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系,需再从这10000人中利用分层抽样的方法抽取100人作进一步分析,那么应从月收入在[)3000,3500内的居民中抽取多少人19.〔10分〕某地区某农产品近几年的产量统计如表：年份 2021 2021 2021 2021 2021 2021 年份代码t12 3 4 5 6 年产量y 〔万吨〕7〔1〕根据表中数据，建立y 关于t 的线性回归方程y bt a =+；〔2〕根据线性回归方程预测2021年该地区该农产品的年产量．附：121()()()ni i i nii t t y y b tt ∧==∑--=-∑，a y b t ∧∧=-.参考数据:61()() 2.8ii i tt y y =--=∑。

高一12月月考数学试题(含答案)

高一12月月考数学试题(含答案)数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．） 1.⎪⎭⎫ ⎝⎛-π 623sin 的值等于 . 2．设α角属于第二象限，且2cos 2cos αα-=，则2α角属于第象限.3.4tan 3cos 2sin 的值的符号为 .4.在函数x y sin =、x y sin =、2sin(2)3y x π=+、2cos(2)3y x π=+中，最小正周期为π的函数有个.5.已知点P(θcos ，θsin )在第三象限，则角θ的终边落在第______象限．6.设k = 80cos ，则= 100tan ____________ .7.已知()sin 1f x ax b x =++，若(5)7f =，则(5)f -=8.函数y =||xx sin sin +x x cos cos ||+||x x tan tan 的值域是 . 9.如果 αα α α cos 5sin 3cos 2sin +-= - 5，那么αtan 的值为 . 10.如果ααcos sin +=43，那么ααcos sin -的值为 .11.若(cos )cos3f x x =，那么(sin30)f ︒的值为 . 12.若集合|,3A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤，则集合B A 为．13.函数y=2sin(2x+6π)(x ∈[-π,0］)的单调递减区间是 .14.已知sin θ＝1－a 1＋a ，cos θ＝3a －11＋a ，若θ是第二象限角，则实数a 的值是________．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知角α的终边经过点P (4a ，- 3a )(a ≠0)，求 2sin α + cos α的值；16.（14分）已知扇形的周长为30，当它的半径R 和圆心角α各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值．17．（15分）已知2tan =α，求下列各式的值：（1）ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--；（2）αααα2222cos 9sin 4cos 3sin 2--；（3）αααα22cos 5cos sin 3sin 4--.18．（15分）已知)62sin()(π+-=x x f 求：（1）函数的最小正周期；（2）函数的单调增区间；（3）若63ππ≤≤-x ，求函数的值域。

高一12月月考数学试卷

高一12月月考数学试卷一．选择题（每小题5分，共60分）1.若{|0{|12}A x x B x x =<<=≤<，则A B =（）.A. {|x x <B. {|1}x x ≥C. {|1x x ≤D. {|02}x x <<2. 若角765°的终边上有一点，则的值是（） A ． 1 B ． C ．4 D．-4 3. 若cos (π+α)=－21, 23π＜α＜2π, 则sin (2π－α)的值为（） A. 21 B. 23 C. ±23 D. －23 4、已知sin(+α)=，则sin(-α)值为（）A. B.— C. D.—5.已知角α终边上一点P 的坐标为(a,3a)（a ≠0），则的值是（）A.2B.-2C.0.5D.-0.56.若有一扇形的周长为60 cm ，那么扇形的最大面积为 ( )A ．500 cm 2B ．60 cm 2C ．225 cm 2D ．30 cm 27. 已知753()2f x ax bx cx =-++，且(5),f m -= 则(5)(5)f f +-的值为（）.A. 4B. 0C. 2mD. 4m -+8、函数f(x)=2x ＋sin x 的部分图像可能是( )9、函数的定义域是（）()4,m m 4±A. B.C. D.10.函数R x x y ∈+-=),43sin(π的单调递增区间是（） A 、Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++，12732,432ππππ B 、Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++，1272,42ππππ C 、Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+，432,12-32ππππ D 、Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--，1232,4-32ππππ 11.三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C)，( ) A ．1B ．－1C ．3D ． 4 12.已知函数x y 3sin π-=在区间[]t ，0上至少取得2个最大值，则正整数t 的最小值为（ ) A 、8 B 、9 C 、10D 、11二．填空题（每小题5分，共20分）13、14.[0，2π]________． 15.已知，，则的值为 .16.对于函数给出下列四个命题： ①该函数是以为最小正周期的周期函数；②当且仅当时，该函数取得最小值－１；sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x x f x x x x ≤⎧=⎨>⎩π2()x k k Z ππ=+∈其中正确命题的序号是___________.（请将所有正确命题的序号都填上）三．解答题（共70分）17. （10分）α是第二象限角，P(x 为其终边上一点，且cos，求sin α的值． 18.（12分）已知 .(1)化简；(2)若是第三象限角，且，求的值.19.（12分）已知；（1）求的值；（2）求的值.20.（12分）已知半径为10的圆中，弦的长为10．求弦所对的圆心角的大小；求所在的扇形的弧长及弧所在的弓形的面积．21.（12分）（1）求函数f （x ）的最小正周期及对称轴；（2）求函数f （x ）的单调减区间；（3）求在区间22.（12分）已知函数y ＝f(x)的图象如图所示（1）求函数的周期,对称轴（2）求函数的单调区间（3）写出函数y ＝f(x)的解析式o AB AB ααl S x )(x f。

高一数学12月月考试卷试题 3

智才艺州攀枝花市创界学校2021年上学期一中高一数学12月月考试卷一.选择题(每一小题5分,一共50分) 1.幂函数223()(1)m m f x m m x+-=--在()0,+∞时是减函数，那么实数m 的值是()(A)2或者1-(B)1-(C)2(D)2-或者12.以下函数中，在区间(0,)+∞上是单调减函数的是()(A)12()y x =-(B)2log y x =(C)2(1)y x =- (D)1()2xy =ｏ，腰和上底均为１的等腰梯形，那么面图形的面积是〔〕(A).214.半径为R 的半圆卷成一个圆锥，那么它的体积为〔〕3R 3R 3R (D).38R 5.〔1〕书桌面是平面；〔2〕8个平面重叠起来，要比2个平面重叠起来厚；〔3〕一个平面的长是20cm ，宽是10cm ；〔4〕平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念。

〕A ．1B ．2Ｃ．3Ｄ．46.有一个几何体的三视图如以下列图所示，这个几何体应是一个()BC1AD A F 1ABCA 、棱台B 、棱锥C 、棱柱D 、都不对7.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，那么这个球的外表积是()A 、25πB 、50πC 、125πD 、都不对8、如图，在多面体ABCDEF 中，平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB,32EF =,且EF 与平面ABCD 的间隔为2，那么该多面体的体积为〔〕A 、92、B.5 C 、6D 、1529.将一个边长为a 的正方体,切成27个全等的小正方体,那么其外表积增加了() A.6a 2B.12a 2C.18a 2D.24a 21111ABCD A B C D -中，AB=6,AD=4,AA 1=3,分别过BC,A 1D 1的两个平行截面将长方体分成三局部，其体积分别记为11111112,,AEA DFD EBE A FCF D V VVV --==11113.B E BC FC V V-=假设123::1:4:1V V V=，那么截面11A EFD 的面积为〔〕A. B.二.填空题:(每一小题5分,一共20分) 11.Rt ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕直角边AB 旋转一周所成的几何体的体积为______________..12.圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和底面的一条半径有交点且成60度角,那么圆台的侧面积为13.如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，那么四棱锥B —APQC 的体积为.14.如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，那么四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是_______________.三.解答题:(前4题每一小题13分,后2题每一小题14分)15.己知半球内有一个内接正方体,求这个半球的体积与正方体的体积之比.16.有一根长为5cm,底面半径为的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕4圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,求铁丝的最短长度为多少(准确到)17.球面上有三点A 、B 、C ，己知AB=18，BC=24，AC=30，且球心到平面ABC 的间隔为球半径的21，求这个球的半径。

高一12月月考数学试题及答案

高一12月月考数学试题第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂到答题卡的相应位置. 1.若{}{}1,2,3,1,2A B ==，则A B = A.{}1,2 B.{}3 C.{}1,2,3 D.φ2.已知⎩⎨⎧≤>=0,30,log )(2x x x x f x ，则()2f -=A.9B.91C.9-D.91- 3.函数()01>=+x e y x 的反函数是A.()0ln 1>+=x x yB.()0ln 1>+-=x x yC.()e x x y >+=ln 1D.()e x x y >+-=ln 14.函数()f x =A.[)0,+∞B.[)1,+∞C.(],0-∞D.(],1-∞ 5.下列函数中与函数y x =是同一个函数的是A.y x =B.y x =-C.y 2y =6.若幂函数()()21mf x m m x =--在()0,+∞上为增函数，则实数m =A.2B.1-C.3D.1- 或27.已知各顶点都在一个球面上的正方体的体积为8，则这个球的表面积是 A.π8 B.π12 C.π16 D.π208.设()833-+=x x f x，用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中得()()()025.1,05.1,01<><f f f ，则方程的根落在区间A.()1,1.25B.()1.25,1.5C.()1.5,2D.不能确定9.在四面体PABC 中，PA PB PC 、、两两垂直，且均相等，E 是AB 的中点，则异面直线AC 与PE 所成的角为A.6π B.4π C.3π D.2πC 1A 1B 110.设ln 2a =，3log 2b =，125c -=则A.a b c <<B.a c b <<C.c b a <<D.b c a <<11.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 A.1 B.2 C.31 D.3412.已知函数())ln31f x x =+，则()1lg 2lg 2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.1-B.0C.1D.2第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写到答题卡的相应位置.13.= .14.函数2()2f x x x =-的单调增区间是 .15.已知函数()212log 21y ax x a =++-的值域为[)0,+∞,则a = .16.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请将解答过程填写在答题卡的相应位置.17.(10分)已知全集{}22,3,23U a a =+-,{}21,2A a =-,若{}5U C A =,求a 的值.18.(12分) 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC CA ===，1AA =，求1AB 与侧面1AC 所成的角.F E P D CB A19.(12分)已知关于x 的方程()22160x m x m +-+-=有一个根不大于1-，另一个根不小于1. （1）求实数m 的取值范围；（2）求方程两根平方和的最值.20.(12分)如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为正方形，⊥PA 底面ABCD ，E F 、分别是AC PB 、的中点.（1）求证：//EF 平面PCD ；（2）求证：平面⊥PBD 平面PAC .21.(12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．（1）设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数)(x f p =的表达式；（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？22.(12分)设x x f 3)(=,且)(43)(,18)2(R x x g a f x ax ∈-==+. （1）求)(x g 的解析式；（2）判断)(x g 在[]1,0上的单调性并用定义证明；(3) 设[]{}()02,2M m t m =-=-方程g 在上有两个不同的解，求集合M .D C 1A 1B 1CC 1A 1B 1AB桂林市第十八中学14级高一上学期段考数学答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D A C A B B C C D D二、填空题： 13.2514.[)()()1,1,+∞+∞也可以填15.1三、解答题：17.(10分)已知全集{}22,3,23U a a =+-,{}21,2A a =-,若{}5U C A =,求a 的值.17.解：由2235|21|3a a a ⎧+-=⎨-=⎩,6 分得2421a a a a ==-⎧⎨==-⎩或或，8 分2a ∴=10 分18.(12分) 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC CA ===，1AA =，求1AB 与侧面1AC 所成的角.18.解：取11C A 的中点D ，连接AD D B ，1, ∵1AB BC CA === ∴⊥D B 111C A ,∵1111C B A AA 面⊥ ∴D B AA 11⊥ ∴111A ACC D B 面⊥, ∴AD 是111A ACC AB 在平面内的射影∴AD B 1∠是111A ACC AB 与平面所成角 6 分PFEP DCBA∵12B D =,1AB == ∴AD B Rt 1∆中，21sin 111==∠AB D B AD B , ∴0130=∠AD B ∴111A ACC AB 与平面所成角是030. 12 分19.(12分)已知关于x 的方程()22160x m x m +-+-=有一个根不大于1-，另一个根不小于1. （1）求实数m 的取值范围；（2）求方程两根平方和的最值.19.解：（1）设()()2216f x x m x m =+-+-，则()()1010f f -≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，4 分解得：42m -≤≤6 分（2）设方程()22160x m x m +-+-=的两根为12,x x ，则()1212216x x m x x m +=--⎧⎨⋅=-⎩8 分∴()2222212121234324613444x x x x x x m m m ⎛⎫+=+-⋅=-+=-+ ⎪⎝⎭所以，当34m =时。

四川省成都2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

成都高2026届高一上期数学12月考试（答案在最后）一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.6730︒'化为弧度是（）A.3π8B.38C.673π1800D.6731800【答案】A 【解析】【分析】先将角统一成度的形式，然后利用角度与弧度的互化公式求解即可【详解】π3π673067.51808'︒=⨯=（弧度）．故选：A2.不等式2210x x --<的解集是（）A.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B.()1,2- C.1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D.()2,1-【答案】C 【解析】【分析】利用了一元二次不等式的解法求解．【详解】解：不等式2210x x --<，可化为(1)(21)0x x -+<，解得112x -<<，即不等式2210x x --<的解集为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C ．3.已知函数()()32,20243f x ax bx f =+-=，则()2024f -=（）A.－7B.－5C.－3D.3【答案】A 【解析】【分析】按题意取值即可【详解】因为()320242024202423f a b =⨯+⨯-=，所以3202420245a b ⨯+⨯=，所以()32024202420242527f a b -=-⨯-⨯-=--=-.故选：A.4.已知sin 5β=-，π02β-<<，则cos β=（）A.5B.5±C.5-D.5【答案】D 【解析】【分析】由已知，利用同角公式计算得解.【详解】由π02β-<<，得cos 0β>，而5sin 5β=-，所以25cos 5β==.故选：D5.已知函数()f x 的图象是连续不断的，有如下的,()x f x 对应值表，那么函数()f x 在区间[1,6]上的零点至少有（）x1234567()f x 123.521.5－7.8211.57－53.7－126.7－129.6A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B 【解析】【分析】根据函数值符号变化，由零点存在性定理可得.【详解】由数表可知，(2)0,(3)0,(4)0,(5)0f f f f ><><.则(2)(3)0<f f ，(3)(4)0f f <，(4)(5)0f f <，又函数()f x 的图象是连续不断的，由零点存在性定理可知，函数分别在(2,3),(3,4),(4,5)上至少各一个零点，因此在区间[1,6]上的零点至少有3个．故选：B.6.已知0.3281log ,log 27, 1.15a b c -=-==，则,,a b c 的大小关系为（）A.c<a<bB.b<c<aC.b a c<< D.c b a<<【答案】D 【解析】【分析】直接由对数函数、指数函数的单调性、运算性质即可得解.【详解】由题意33228221log log 5log 27log 3log 35a b =-=>===，00.3822log 27log 3log 21 1.1 1.1b c -==>==>=，所以,,a b c 的大小关系为c b a <<.故选：D.7.某市一天内的气温()Q t （单位：℃）与时刻t （单位：时）之间的关系如图所示，令()C t 表示时间段[]0,t 内的温差（即时间段[]0,t 内最高温度与最低温度的差），()C t 与t 之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（）.A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据()Q t 的图象确定()C t 的变化趋势，确定正确选项．【详解】由题意()C t ，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，是常数，该常数为2，只有D 满足，故选：D ．8.若定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x 同时满足：①()f x 为奇函数；②对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，则称函数()f x 具有性质P ．已知函数()f x 具有性质P ，则不等式2(4)(2)2f x f x x --<+的解集为（）A.()()3,22,1--⋃-- B.()2(),31,-∞-- C.()),31(,2(2,)-∞--+∞ D.(,3)(2,)-∞-+∞ 【答案】B 【解析】【分析】令()()f x F x x=，故()F x 在()0,∞+上单调递减，并得到()()f x F x x=在(,0)(0,)-∞+∞ 上为偶函数，分2x >和2x <两种情况，得到不等式，求出答案.【详解】不妨设120x x >>，()()()()211221121200x f x x f x x f x x f x x x -<⇒-<-，故()()()()12211212f x f x x f x x f x x x <⇒<，令()()f x F x x=，故()F x 在()0,∞+上单调递减，其中()()f x F x x=定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，又()f x 在(,0)(0,)-∞+∞ 上为奇函数，故()()()()()f x f x f x F x F x xxx---====--，所以()()f x F x x=在(,0)(0,)-∞+∞ 上为偶函数，当20x ->，即2x >时，222(4)(2)(4)(2)224f x f x f x f x x x x ----<⇒<+--，即()()224F x F x -<-，()()224F x F x -<-，故22422x x x x ->-=-⋅+，又20x ->，故21x +<，解得32-<<-x 或2<<1x -，与2x >求交集得到空集；当20x -<即2x <时，222(4)(2)(4)(2)224f x f x f x f x x x x ----<⇒>+--，即()()224F x F x ->-，()()224F x F x ->-，故22422x x x x -<-=-⋅+，又20x ->，故21x +>，解得1x >-或3x <-，与2x <取交集得(),31,2()x -∞--∈ .故选：B二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的有（）A.命题p ：0x ∃∈R ，200220x x ++<，则命题p 的否定是x ∀∈R ，2220x x ++≥B.“x y >”是“x y >”的必要不充分条件C.命题“x ∀∈Z ，20x >”是真命题D.“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件【答案】AD 【解析】【分析】利用特称量词命题的否定求解选项A ；利用不等式的性质确定选项B ；利用全称量词命题的真假判断选项C;利用一元二次方程根与系数的关系确定选项D.【详解】命题p 的否定是x ∀∈R ，2220x x ++≥，故A 正确；x y >不能推出x y >，例如21->，但21-<；x y >也不能推出x y >，例如23>-，而23<-；所以“x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，故B 错误；当0x =时，20x =，故C 错误；关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根44000m m m ->⎧⇔⇔<⎨<⎩，所以“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件，故D 正确.故选：AD.10.下列结论正确的是（）A.7π6-是第三象限角B.若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3π2C.若角α的终边上有一点()3,4P -，则3cos 5α=-D.若角α为锐角，则角2α为钝角【答案】BC 【解析】【分析】利用象限角的定义可判断A 选项；利用扇形的面积公式可判断B 选项；利用三角函数的定义四可判断C 选项；取π4α=可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为7π5π2π66-=-且5π6为第二象限角，故7π6-是第二象限角，A 错；对于B 选项，若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的半径为π3π3r ==，因此，该扇形的面积为113πππ3222S r ==⨯=，B 对；对于C 选项，若角α的终边上有一点()3,4P -，则3cos 5α==-，C 对；对于D 选项，因为α为锐角，不妨取π4α=，则π22α=为直角，D 错.故选：BC.11.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a b +，宽为内接正方形的边长d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AFBC ⊥于点F ，则下列推理正确的是（）①由图1和图2面积相等得ab d a b=+；②由AE AF≥可得2a b+≥；③由ADAE ≥可得211a b≥+；④由AD AF ≥可得222a b ab +≥.A.①B.②C.③D.④【答案】ABCD 【解析】【分析】根据图1，图2面积相等，可求得d 的表达式，可判断A 选项正误，由题意可求得图3中,,AD AE AF 的表达式，逐一分析B 、C 、D 选项，即可得答案.【详解】对于①：由图1和图2面积相等得()S ab a b d ==+⨯，所以abd a b =+，故①正确；对于②：因为AFBC ⊥，所以12a b AF ⨯⨯=，所以AF =，设图3中内接正方形边长为t ，根据三角形相似可得a t t ab -=，解得abt a b=+，所以AE a b==+，因为AE AF ≥，所以a b ≥+2a b+≥，故②正确；对于③：因为D 为斜边BC的中点，所以2AD =，因为AD AE ≥，所以2a b≥+211a b≥+，故③正确；对于④：因为AD AF ≥，所以2≥，整理得：222a b ab +≥，故④正确；故选：ABCD【点睛】解题的关键是根据题意及三角形的性质，利用几何法证明基本不等式，求得,,AD AE AF 的表达式，根据图形及题意，得到,,AD AE AF 的大小关系，即可求得答案，考查分析理解，计算化简的能力.12.已知函数12()22(R)x f x x x a a -=-++∈，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 在()1,+∞上单调递减B.函数()f x 的图象关于直线x ＝1对称C.存在实数a ，使得函数()f x 有三个不同的零点D.存在实数a ，使得关于x 的不等式()5f x ≥的解集为(][),13,-∞-+∞ 【答案】BD 【解析】【分析】对函数()f x 变形，并分析函数()f x 的性质，再判断选项ABC ，利用函数性质解不等式判断D 作答.【详解】R a ∈，函数12()(1)21x f x x a -=-++-的定义域为R ，对于A ，当1x >时，21()(1)21x f x x a -=-++-，而2(1)1y x a =-+-，12x y -=在()1,+∞上都单调递增，因此函数()f x 在()1,+∞上单调递增，A 错误；对于B ，因为12(2)(1)21()xf x x a f x --=-++-=，因此函数()f x 的图象关于直线x ＝1对称，B 正确；对于C ，对任意实数a ，由选项A 知，函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，则函数()f x 在[1,)+∞上最多一个零点，由对称性知，函数()f x 在(,1]-∞上最多一个零点，因此函数()f x 在R 上最多两个零点，C 错误；对于D ，当2a =-时，12()(1)235x f x x -=-+-≥，而(1)(3)5f f -==，由对称性及选项A 知，()f x 在(),1-∞上单调递减，当1x ≤时，得1x ≤-，当1x ≥时，得3x ≥，即()5f x ≥的解集为(][),13,-∞-+∞ ，所以存在实数a ，使得关于x 的不等式()5f x ≥的解集为(][),13,-∞-+∞ ，D 正确.故选：BD【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.第II 卷（非选择题）三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.3223827--⎛⎫-+= ⎪⎝⎭______.【答案】14-##-0.25【解析】【分析】直接由分数指数幂以及根式互化运算，以及整数指数幂运算即可求解.)3232112332433482122733----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎢⎥+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦(1222191223344--⎛⎫⎛⎫=--+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：14-.14.已知函数()()122log 2f x x x t =-+-的定义域是(),8m m +，则函数()f x 的单调增区间为______.【答案】()1,5##[)1,5【解析】【分析】先根据定义域求出,m t 的值，再结合复合函数的单调性求出单调区间.【详解】因为函数()()122log 2f x x x t =-+-的定义域是(),8m m +，所以,8m m +为220x x t -+-=的两个根，所以22401t t ∆=->⇒<则()823815m m m m m t t ++==-⎧⎧⇒⎨⎨⨯+==-⎩⎩，即()()212log 215f x x x =-++，令()12log h x x =，则()h x 在()0,∞+单调递减，令()()22215116g x x x x =-++=--+，则()g x 为开口向下，对称轴为1x =的抛物线，且()035g x x >⇒-<<，所以()3,1x ∈-时，()g x 单调递增；()1,5x ∈时，()g x 单调递减；因为()()()()212log 215f x x x h g x =-++=，所以函数()f x 的单调增区间为()1,5.故答案为：()1,515.已知1x ，2x 分别是关于x 的方程ln 2023x x =，e 2023x x =的根，则12x x =________【答案】2023【解析】【分析】令1232023ln ,e ,xy x y y x ===，画出函数1232023ln ,e ,xy x y y x===的图象，由图象的对称性即可得出答案.【详解】由已知条件有2023ln x x =，2023e x x =，令1232023ln ,e ,x y x y y x ===，画出函数1232023ln ,e ,xy x y y x===的图象，曲线1ln y x =和2e xy =关于直线y x =对称，曲线32023y x =关于32023y x=，设曲线3y 分别与12,y y 交于点121220232023,,,A x B x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点,A B 关于直线y x =对称，而点112023,A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于直线y x =对称点为112023,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即为点222023,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则212023x x =，所以122023x x =.故答案为：2023.16.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数m ，n ，都有()()()2f m n f m n f m -++=，且当0x >时，()0f x <．若()24f =-，2()(42)1f x m a m <-+-对任意[]1,1x ∈-，[)1,m ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为______．【答案】(),1-∞-【解析】【分析】根据题设条件证明函数的单调性和奇偶性确定[]1,1x ∈-内的最大值为(1)2f -=，从而可得22(42)1m a m <-+-，再分离参变量即可求实数a 的取值范围.【详解】取0,m n ==则有()()()000f f f +=，所以()00f =，取0,,m n x ==则有()()()00f x f x f -+==，所以()f x 为奇函数，任意1212,,,x x x x ∈>R 则120x x ->，因为()()()2f m n f m n f m -++=，所以()()()2f m f m n f m n -+=-，令112,22x x m n x ==-，则有()11111222222x x x x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()()12120f x f x f x x -=-<，所以()f x 在定义域R 上单调递减，所以()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减，令()()()1,0,1124m n f f f ==+==-，所以()12f =-，所以max ()(1)(1)2f x f f =-=-=，因为2()(42)1f x m a m <-+-对任意[]1,1x ∈-，[)1,m ∈+∞恒成立，所以22(42)1m a m <-+-对任意[)1,m ∈+∞恒成立，分离变量可得342a m m+<-，因为函数3y m m =-对任意[)1,m ∈+∞恒成立，所以min 132y =-=-，所以422a +<-解得1a <-，故答案为:(),1-∞-.四．解答题：本题共6小题.17题10分，18—22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设m 为实数，U =R ，集合{}2log (2)1A xx =-≤∣，{2}B x m x m =≤≤+∣．（1）若1m =，求A B ⋃，()U A B ⋂ð；（2）若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围．【答案】17.{|14}x A B x =≤≤⋃，(){|2U A B x x ⋂=≤ð或3}x >18.04m <≤【解析】【分析】（1）先求出集合,A B ，由交集、并集和补集的定义求解即可；（2）由交集的定义求解即可.【小问1详解】由2log (2)1x -≤可得：022x <-≤，则24x <≤，所以{|24}A x x =<≤，当1m =时，{|13}B x x =≤≤，所以{|14}x A B x =≤≤⋃，{|23}A B x x ⋂=<≤(){|2U C A B x x ⋂=≤或3}x >.【小问2详解】易知2m m <+恒成立，A B ⋂≠∅即224m <+≤或24m <≤解得02m <≤或24m <≤所以04m <≤.18.已知点()1,P t 在角θ的终边上，且sin 3θ=-．（1）求t 和cos θ的值；（233的值．【答案】（1）t =cos 3θ=（2【解析】【分析】（1）三角由三角函数的定义即可求解.（2）由三角函数定义、商数关系进行切弦互换即可.【小问1详解】由三角函数的定义知：6sin 3θ==-，则0t <，于是解得t =3cos 3θ==.【小问2详解】已知终边过点(1,得tan θ=(()3333312151+===-.19.杭州亚运会田径比赛于2023年10月5日收官．在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌．人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．现一60kg 的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为115km /h ν=的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力1114Q v t ∆=⋅（1t 表示该阶段所用时间）．疲劳阶段由于体力消耗过大变为22155v t =-的减速运动（2t 表示该阶段所用时间），疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力222241v t Q t ⋅∆=+．已知该运动员初始体力为010000kJ Q =，不考虑其他因素，所用时间为t （单位：h ），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力Q 关于时间t 的函数()Q t ；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？【答案】（1）()100003600,0148004001200,14t t Q t t t t -<≤⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩（2）在2h t =时，运动员体力有最小值5200kJ【解析】【分析】（1）先写出速度v 关于时间t 的函数，进而求出剩余体力Q 关于时间t 的函数；（2）分01t <≤和14t <≤两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.【小问1详解】由题可先写出速度v 关于时间t 的函数()()15,011551,14t v t t t <≤⎧=⎨--<≤⎩，代入1ΔQ 与2ΔQ 公式可得()()()1000060415,01601415516400,1411t t Q t t t t t -⋅⋅⨯<≤⎧⎪=⎡⎤-⋅--⎨⎣⎦-<≤⎪-+⎩解得()100003600,0148004001200,14t t Q t t t t -<≤⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩；【小问2详解】①稳定阶段中()Q t 单调递减，此过程中()Q t 最小值min ()(1)6400Q t Q ==；②疲劳阶段4800()4001200(14)Q t t t t=++<≤，则有4()400120040012005200Q t t t ⎛⎫=++≥+⨯ ⎪⎝⎭；当且仅当4t t=，即2t =时，“=”成立，所以疲劳阶段中体力最低值为5200kJ ，由于52006400<，因此，在2h t =时，运动员体力有最小值5200kJ ．20.我们知道，函数()y f x =图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图像关于点(),P m n 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x m n =+-为奇函数．已知函数4()42x f x =+．（1）利用上述结论，证明：函数()f x 的图像关于1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称图形；（2）判断函数()f x 的单调性（无需证明），并解关于x 的不等式：()()212f x ax a f x ++++<．【答案】（1）证明见解析（2）4()42x f x =+为减函数，答案见解析【解析】【分析】（1）由题，证明1()()12g x f x =+-为奇函数即可；（2）由题可得4()42x f x =+为减函数，又结合（1）结论可知()()212f x ax a f x ++++<()()()221110f x ax a f x x a x a ⇔+++<-⇔+++>，后分类讨论a 的值解不等式即可.【小问1详解】证明：由题意，只需证明1()()12g x f x =+-为奇函数，又1214414()()11122241424x x xx g x f x +-=+-=-=-=+⋅++，易知函数()g x 定义域为R .R R ，，x x ∀∈-∈1114414()()1144114x x x x x x g x g x ------====-+++，所以()g x 为奇函数，所以()f x 的图像关于1(,1)2成中心对称图形．【小问2详解】易知24x y =+为增函数，且240x +>，对任意的x ∈R 恒成立，所以4()42x f x =+为减函数.又由（1）知，点(,())x f x 与点(1,(1))x f x --关于点1(,1)2成中心对称，即()(1)2f x f x +-=，所以原不等式等价于2(1)2()(1)f x ax a f x f x +++<-=-，所以211x ax a x +++>-，即2(1)0x a x a +++>，由2(1)0x a x a +++=解得121x a x =-=-，，当1a >时，原不等式解集为{|x x a <-或1}x >-；当1a =时，原不等式解集为{|1}x x ≠-；当1a <时，原不等式解集为{|1x x <-或}x a >-．【点睛】关键点点睛：本题涉及函数新定义，以及利用新定义结合函数单调性解决问题.本题关键是读懂信息，第一问将证明函数对称性转化为证明函数奇偶性，第二问则利用所得结论将函数不等式转化为含参二次不等式.21.定义：对于函数()y f x =，当[],x a b ∈时，值域为11,b a⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称区间[],a b 为函数()f x 的一个“倒值映射区间”.已知一个定义在[]3,3-上的奇函数()f x ，当(]0,3x ∈时，()1112f x x =--.（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]1,3内的“倒值映射区间”；（3）求函数()f x 在定义域内的所有“倒值映射区间”.【答案】21.()111,3020,0111,032x x f x x x x ⎧-++-≤<⎪⎪==⎨⎪⎪--<≤⎩22.[]1,223.[]1,2和[]2,1--【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质求得()f x 在[)3,0x ∈-上的解析式，结合()00f =，从而求解函数()f x 的解析式；（2）根据函数()f x 在[]1,3上的单调性建立方程组求解即可；（3）根据区间的定义知0a b ab <⎧⎨>⎩，分03a b <<≤和30a b -≤<<讨论，分析函数()f x 的单调性，建立方程组求解即可.【小问1详解】()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，则()00f =，当[)3,0x ∈-时，则(]()110,3,111122x f x x x -∈-=---=-+，又()f x 是奇函数，则()()1112f x f x x =--=-++，所以()111,3020,0111,032x x f x x x x ⎧-++-≤<⎪⎪==⎨⎪⎪--<≤⎩.【小问2详解】设13a b ≤<≤，函数()3122f x x =-，因为()f x 在[]1,3上递减，且()f x 在[],a b 上的值域为11,b a⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以()()311223112213f b b b f a a a a b ⎧=-=⎪⎪⎪=-=⎨⎪≤<≤⎪⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，所以函数()f x 在[]1,3内的“倒值映射区间”为[]1,2.【小问3详解】因为()f x 在[],a b 时，函数值()f x 的取值区间恰为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中a b ¹且0,0a b ≠≠，所以11a b b a<⎧⎪⎨<⎪⎩，则0a b ab <⎧⎨>⎩，只考虑03a b <<≤或30a b -≤<<，①当03a b <<≤时，因为函数()f x 在()0,1上单调递增，在[]1,3上单调递减，故当(]0,3x ∈时，()max ()11f x f ==，则11a≤，所以，13a ≤<，则13a b ≤<≤，由（2）知，此时()f x 的“倒值映射区间”为[]1,2；②当30a b -≤<<时，可知因为函数()f x 在[]3,1--上单调递减，()1,0-上单调递增，故当[)3,0x ∈-时，()min ()11f x f =-=-，则11b≥-，所以，31b -<≤-，当[]()133,1,22x f x x ∈--=--在[]3,1--上递减，且()f x 在[],a b 上的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以()()131221312231f b b b f a a a a b ⎧=--=⎪⎪⎪=--=⎨⎪-≤<≤-⎪⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩，所以()f x 的“倒值映射区间”为[]2,1--；综上，函数()f x 在定义域内的“倒值映射区间”为[]1,2和[]2,1--.22.已知函数()()3log 31x f x mx =++是偶函数．（1）求m 的值；（2）设函数()()311log 322x g x a a x f x ⎛⎫=⋅-+- ⎪⎝⎭（R a ∈），若()g x 有唯一零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）12-（2）0a >或10a =--【解析】【分析】（1）根据偶函数性质()()f x f x -=代入即可求解；（2）令3x t =，转化为关于t 的一元二次函数，对a 分类讨论即可求解.【小问1详解】依题意，因为()f x 的定义域为R 的偶函数，所以()()f x f x -=，所以()()33log 31log 31x x mx mx -++=+-，所以()()333313log 31log log 31log 33x x x x x mx mx mx ⎛⎫+++=-=+ ⎝⎭--⎪所以3log 3x mx x mxmx --=-=-所以()210m x +=，即12m =-．【小问2详解】由（1）知()()31log 312x f x x =+-所以()()()333111log 3log 3log 31222x x x g x a a x f x a a x ⎛⎫⎛⎫=⋅-+-=⋅--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0g x =，()333131log 3=log 31log 23x x x x a a x +⎛⎫⋅-+-= ⎪⎝⎭，即1313=23x xx a a +⋅-，整理得()21313102x x a a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，其中1302x a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以0a ≠，令3x t =，则得211102at a t ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭，①当0a >时，1302x ->，即12t >，所以方程211102at a t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有唯一解，则方程对应的二次函数()21112m t at a t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，恒有()010m =-<，13022m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，13602m a a⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，所以当0a >时，方程211102at a t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有唯一解．②当0a <时，1302x -<，即102t <<，方程211102at a t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一解，因为方程对应的二次函数()21112m t at a t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的开口向下，恒有()010m =-<，13022m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以满足恒有2114021112022a a a a ⎧⎛⎫∆=++=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨+⎪⎪<<⎩，解得10a =--综上所述，当0a >或10a =--时，()g x 有唯一零点．【点睛】方法点睛：（1）利用偶函数的性质()()f x f x -=代入原函数即可求解参数；。

天津市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

天津2023年12月高一年级月考数学试卷（答案在最后）一、选择题（每题4分，共计48分）1.已知集合{1,3,5,7}A =，{4,5,6,7}B =，则A B = （）A.{5,7}B.{1,3,4}C.{1,3,4,6}D.{1,3,4,5,6,7}【答案】A 【解析】【分析】根据题意，利用交集的运算即可求出A B ⋂.【详解】解：由题可知，{1,3,5,7}A =，{4,5,6,7}B =，由交集的运算可得{}5,7A B = .故选：A.2.命题“0x ∀>，2210x x -+≥”的否定是（）A.0x ∃>，2210x x -+<B.0x ∀>，2210x x -+<C.0x ∃≤，2210x x -+<D.0x ∀≤，2210x x -+<【答案】A 【解析】【分析】根据题意，全称命题的否定是存在命题，全称改存在，再否定结论.【详解】因为命题“0x ∀>，2210x x -+≥”是全称命题，全称命题的否定是存在命题，所以命题“0x ∀>，2210x x -+≥”的否定是“0x ∃>，2210x x -+<”故选：A3.设x R ∈，则“1x <”是“220x x +-<”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解出两个不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】解不等式1x <，可得11x -<<；解不等式220x x +-<，可得2<<1x -.因为，()1,1-()2,1-，因此，“1x <”是“220x x +-<”的充分而不必要条件.故选：A.4.半径为1，圆心角为2π3的扇形的面积是（）A.4π3 B.2π3C.πD.π3【答案】D 【解析】【分析】利用扇形的面积公式即可得解.【详解】因为扇形的半径为1，圆心角为2π3，所以扇形的面积为212ππ1233⨯⨯=.故选：D.5.已知函数()ln 4f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A.（0，1） B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）【答案】C 【解析】【分析】判断函数的单调性，以及f （2），f （3）函数值的符号，利用零点存在性定理判断即可．【详解】函数()ln 4f x x x =+-，是增函数且为连续函数，又f （2）ln 2240=+-<，f （3）ln3340=+->，可得()()230f f <所以函数()ln 4f x x x =+-包含零点的区间是(2,3)．故选：C ．【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.6.已知角α的终边上有一点P 的坐标是()3,4a a ，其中0a <，则sin α=（）A.4aB.45C.35D.45-【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为0a <，所以a a =-，因为角α的终边上有一点P 的坐标是()3,4a a ，所以44sin 55a a α===-.故选：D.7.已知2log 5a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c >>B.c b a>> C.a c b>> D.b a c>>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得解.【详解】由题意，得22log 54log 2a ==>，3331log 3log 8log 92=<<=，即12b <<，0.2000.30.31c <=<=，所以a b c >>.故选：A.8.函数()2213x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（）A.()0,1 B.()0,3 C.(]0,3 D.()3,∞+【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数、指数函数性质求指数复合函数的值域.【详解】由222(1)1[1,)t x x x =-=--∈-+∞，则1()(0,3]3ty =∈，所以()2213x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,3.故选：C9.若函数()f x 和()g x 都是R 上的奇函数，()()()2F x af x bg x =++，若()25F -=，则()2F =（）A.1B.1- C.5- D.5【答案】B 【解析】【分析】利用奇函数的性质，即可求解()()22af bg +的值，即可求解()2F 的值.【详解】因为函数()f x 和()g x 都是R 上的奇函数，所以()()22f f -=-，()()22g g -=-，()()()()()22222225F af bg af bg -=-+-+=-++=⎡⎤⎣⎦，则()()223af bg +=-，()()()2222321F af bg =++=-+=-.故选：B10.化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（）A.1B.2C.4D.6【答案】B 【解析】【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)232=⨯++2343log 3log 2232=⨯=，故选：B11.函数y =）A.[)1,+∞B.[)1,3C.()1,3 D.(),3-∞【答案】B 【解析】【分析】利用具体函数定义域的求法，结合对数函数的性质即可得解.【详解】因为y =所以()12log 31030x x ⎧-+≥⎪⎨⎪->⎩，解得13x ≤<.故选：B.12.已知函数()21,01ln ,0x x f x x x-⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--，若函数()g x 有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A.[)1,0- B.[)1,+∞ C.(],1-∞ D.[)2,+∞【答案】D 【解析】【分析】根据题意，转化为()y f x =和y x a =+有两个交点，画出两个函数的图形，结合函数的图象，即可求得实数a 的取值范围.【详解】由函数()21,01ln ,0x x f x x x-⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，因为()()g x f x x a =--，令()0g x =，即()f x x a =+，由函数()g x 有2个零点，即()y f x =和y x a =+有两个交点，在同一坐标系内画出两个函数的图形，如图所示，结合函数的图象，要使得函数()g x 有2个零点，则2a ≥，所以实数a 的取值范围为[2,)+∞.故选：D.二、填空题（每题4分，共计24分）13.cos120︒=__________．【答案】-12【解析】【详解】()1cos120cos 18060cos602=-=-=-oooo .故答案为12-.14.若幂函数()f x 的图象经过点()25,5，则()f x 的解析式为______.【答案】()12f x x =【解析】【分析】由幂函数所过的点求解析式即可.【详解】令幂函数()f x x α=，且过点()25,5，则12552αα=⇒=，所以()12f x x =.故答案为：()12f x x=15.已知102m =，103n =，则10m n -=________．【答案】23【解析】【分析】利用指数及指数幂的运算律求解.【详解】102m= ，103n=，10032110m m n n-∴==故答案为：23.16.已知,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，4cos 5x =，则tan x =________．【答案】34-【解析】【分析】根据同角平方关系，先求出3sin 5x =-，再根据商数关系，求出tan x .【详解】由4cos 5x =，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得3sin 5x ==-，则根据商数关系得sin 3tan cos 4x x x ==-.故答案为：34-.17.函数12(01)1y x x x=+<<-的最小值为________．【答案】3+【解析】【分析】函数变形为12(1)1y x x x x ⎛⎫=++- ⎪-⎝⎭，利用基本不等式“1”求最小值.【详解】01x <<Q ，011x ∴<-<，121212(1)3332111x x y x x x x x x x x -⎛⎫∴=+=++-=++≥++ ⎪---⎝⎭，当且仅当121x xx x-=-，即1x =时，等号成立.所以函数12(01)1y x x x=+<<-的最小值为3+.故答案为：3+【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.18.若f (x )＝(31)4,1,1a x a x ax x -+<⎧⎨-≥⎩是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是________.【答案】1183⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】根据分段函数的单调性可得310(31)140a a a a a -<⎧⎪-⨯+≥-⎨⎪>⎩，解不等式组即可求解.【详解】由题意知，310(31)140a a a a a -<⎧⎪-⨯+≥-⎨⎪>⎩，解得1380a a a ⎧<⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎩，所以11,83a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了由分段函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.三、解答题（共计28分）19.若不等式2520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，（1）求a 的值；（2）求不等式22510ax x a -+->的解集.【答案】（1）2-（2）13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由已知不等式的解集得到2520ax x +-=的两个实数根为12和2，利用韦达定理即可求出a 的值；（2）代入a 的值，由一元二次不等式的求解即可得解．【小问1详解】依题意可得：2520ax x +-=的两个实数根为12和2，由韦达定理得：15221222aa ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⨯=⎪⎩，解得：2a =-；【小问2详解】由（1）不等式22510ax x a -+->，即22530x x +-<，解得：132x -<<，故不等式的解集是1(3,2-．20.已知函数()()22log 43f x x ax =-+（1）当1a =时，求()f x 的定义域和单调递减区间；（2）若函数()f x 在()1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）() f x 的定义域为(,1)(3,)-∞+∞ ；单调递减区间为(,1)-∞（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）先由对数函数的性质求得()f x 的定义域，再利用复合函数的单调性，结合二次函数与对数函数的单调性即可得解；（2）利用复合函数单调性的性质，得到243u x ax =-+的性质，从而得到关于a 的不等式组，解之即可得解.【小问1详解】令243u x ax =-+，2log y u =．当1a =时，243u x x =-+，由0u >得2430x x -+>，解得3x >或1x <．故()f x 的定义域为(,1)(3,)-∞+∞ ．因为函数2log y u =在定义域上单调递增，()224321u x x x =-+=--在(,1)-∞上单调递减，在(3,)+∞单调递增，所以()22()log 43f x x x =-+的单调递减区间为(,1)-∞．【小问2详解】因为()f x 在()1,+∞上单调递增，又2log y u =在定义域上单调递增，所以243u x ax =-+在()1,+∞上单调递增，且0u >恒成立，因为243u x ax =-+开口向上，对称轴为2x a =，所以2211430a a ≤⎧⎨-+≥⎩，解得12a ≤，故实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.21.已知函数()221x x af x +=-，且函数()f x 为奇函数（1）求函数的定义域；（2）求实数a 的值（3）用定义证明函数()f x 在()0,∞+上单调递减【答案】（1）{|0}x x ≠；（2）1a =；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由分式的性质，解指数方程求定义域；（2）由奇函数性质有()()f x f x -=-，得到(1)21x a a -⋅=-恒成立，即可求参数；（3）令120x x >>，应用作差法比较()()12,f x f x 大小即可证结论.【小问1详解】由题设210x -≠，即0x ≠，故函数的定义域为{|0}x x ≠.【小问2详解】由()212()2112x x x x a a f x f x --++⋅-===---，则1221221x x x x a a +⋅+=---，所以122x x a a +⋅=+，即(1)21x a a -⋅=-恒成立，故1a =.【小问3详解】令120x x >>，则()()1212211212122121(21)(21)(21)(21)2121(21)(21)x x x x x x x x x x f x f x +++--+--=-=----21122(22)(21)(21)x x x x -=--，由21220x x -<，1210x ->，2210x ->，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减.。

北京市海淀区2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含解析

北京2023-2024学年第一学期12月练习高一数学2023.12（答案在最后）说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）1.已知命题:0p x ∀>，25410x x -+≥，则命题p 的否定为（）A.0x ∀>，25410x x -+< B.0x ∀<，25410x x -+<C.0x ∃>，25410x x -+< D.0x ∃<，25410x x -+<【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：命题:0p x ∀>，25410x x -+≥的否定为：0x ∃>，25410x x -+<.故选：C2.设集合{}33x A x =>，{}230B x x x =-<，则A B = （）A.()1,3 B.[)1,3C.()0,3 D.[)0,3【答案】A【解析】【分析】先化简集合A ，B ，再根据集合的运算得解.【详解】由33x >，即133x >，因为3x y =是R 上的单调递增函数，所以1x >，{}1A x x ∴=>；又230x x -<，解得03x <<，{}03B x x ∴=<<；()1,3A B ∴⋂=.故选：A.3.以下函数既是偶函数又在(0,)+∞上单调递减的是（）A.4()f x x =B.()f x =C.1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.12()log f x x =【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性的定义和指数函数、对数函数、幂函数的性质，对选项逐一判断即可.【详解】选项A 中，4()f x x =，满足()44()()f x x x f x -=-==，()f x 是偶函数，但由幂函数性质知4()f x x =在(0,)+∞上单调递增，故不符合题意；选项B 中，由幂函数性质知，()f x =在定义域[)0,∞+内单调递增，0x <无意义，故不具有奇偶性，不符合题意；选项C 中，由指数函数性质可知，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，但1()()22x x f x f x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭=≠，故不是偶函数，不符合题意；选项D 中，12()log f x x =定义域()(),00,-∞⋃+∞，满足1122()log log ()f x x x f x -=-==，故()f x 是偶函数，当0x >时，12()log f x x =，由对数函数性质可知，12()log f x x =在(0,)+∞上单调递减，故12()log f x x =符合题意.故选：D.4.已知x y <，则下列不等式一定成立的是（）A.33x y < B.11x y >C.22x y--< D.()()22lg 1lg 1x y +<+【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质，幂函数，指数函数和对数函数的性质判断．【详解】对A ，根据幂函数3y x =在R 上单调递增得x y <时，33x y <，故A 正确；对B ，当0x y <<时，11x y<，B 错；对C ，x y <，则x y ->-，根据指数函数2x y =在R 上单调递增得22x y -->，故C 错误；对D ，x y <时，例如，2,1x y =-=，则2211x y +>+，根据对数函数lg y x =在()0,∞+上单调递增，则()()22lg 1>lg 1x y ++，因此D 错；故选：A ．5.函数()lg 1y x =-的图象是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】将函数lg y x =的图象进行变换可得出函数()lg 1y x =-的图象，由此可得出合适的选项.【详解】将函数lg y x =的图象先向右平移1个单位长度，可得到函数()lg 1y x =-的图象，再将所得函数图象位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折，位于x 轴上方图象不变，可得到函数()lg 1y x =-的图象.故合乎条件的图象为选项C 中的图象.故选：C.【点睛】结论点睛：两种常见的图象翻折变换：()()x x x f x f x −−−−−−−−−−−−→保留轴上方，将轴下方的图象沿轴对称，()()y y y f x f x −−−−−−−−−−−−−→保留轴右方图像，将轴右方图象沿着轴对称.6.已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()f x 单调递增，且()40f =，则满足不等式()10x f x ⋅-<的x 的取值范围是（）A.()3,1-B.()1,5C.()()3,01,5-D.()(),31,5-∞- 【答案】C【解析】【分析】由奇函数的定义和单调性的性质，即可求解不等式．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，0x >时，()f x 单调递增，且()40f =，所以当()(),40,4x ∈-∞-⋃时，()0f x <，当()()4,04,x ∈-⋃+∞时，()0f x >，不等式()10x f x ⋅-<，则当0x <时，有()10f x ->，即410x -<-<或14x ->，解得31x -<<或5x >，又0x <，30x ∴-<<；当0x >时，有()10f x -<，即14x -<-或014x <-<，又0x >，解得15x <<；综上，不等式()10x f x ⋅-<的解集为()()3,01,5- .故选：C.7.已知函数2,1(),1x a x f x x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则“函数()f x 有两个零点”成立的充分不必要条件是a ∈A.(0,2]B.(1,2]C.(1,2)D.(0,1]【答案】C【解析】【分析】根据()f x 单调性，结合已知条件，求得()f x 有两个零点的充要条件，再结合选项进行选择即可.【详解】2,1(),1x a x f x x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩ ()f x ∴在,1∞（-）上单调递增，在1+∞（，）上单调递减．故“函数()f x 有两个零点”(1)20,0,(1)10f a a f a ⇔=-≥-<>-+>，解得12a <≤，“函数()f x 有两个零点”成立的充分不必要条件必须为(1,2]的子集，只有C 符合，故选：C ．【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及由函数零点个数求参数范围问题，属综合基础题.8.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m ，再由乙猜这个小球上的数字，记为n .如果m ，n 满足1m n -≤，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（）A.14 B.38 C.12 D.58【答案】D【解析】【分析】根据古典概型的计算公式，结合绝对值不等式进行求解即可.【详解】根据题意，m ，n 的情况如下：()()()()()()()()6,6,6,7,6,8,6,9,7,6,7,7,7,8,7,9,()()()()()()()()8,6,8,7,8,8,8,9,9,6,9,7,9,8,9,9,共16种情况，其中m ，n 满足1m n -≤的情况如下：()()()()()()()()()()6,6,6,7,7,6,7,7,7,8,8,7,8,8,8,9,9,8,9,9,共10种情况，所以两人“心领神会”的概率是105168=，故选：D9.函数()213log 3y x ax =-+在[1,2]上恒为正数，则实数a 的取值范围是（）A.a <<B.72a <<C.732a <<D.3a <<【答案】D【解析】【分析】根据底数是13，213()log (3)y f x x ax ==-+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <-+<在[1,2]上恒成立，进而解不等式就可以了．【详解】解：由于底数是13，从而213()log (3)y f x x ax ==-+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <-+<在[1,2]上恒成立，即23x a x x x+<<+由于[1,2]x ∈，3x x +≥=当且仅当3x x =即x =由对勾函数的性质可知，函数()2g x x x =+在⎡⎣上单调递减，在2⎤⎦上单调递增，且()()123g g ==所以3a <<故选：D ．【点睛】本题主要考查对数型函数，一元二次函数值域问题，属于中档题．10.形如221n +(n 是非负整数)的数称为费马数，记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那5F 的位数是（）(参考数据:lg 2≈0.3010)A.9B.10C.11D.12【答案】B【解析】【分析】32521F =+,设322m =,两边取常用对数估算m 的位数即可.【详解】32521F =+ ,设322m =，则两边取常用对数得32lg lg 232lg 2320.30109.632m ===´=.9.63291010m =»，故5F 的位数是10，故选：B ．【点睛】解决对数运算问题的常用方法：(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2lg 51+=简化计算.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.函数()2lg 54y x x =-+的定义域为__________.【答案】()()4,,1+∞⋃-∞【解析】【分析】利用对数函数真数大于零，解不等式即可求得结果.【详解】由对数函数定义可得2540x x -+>，解得>4x 或1x <，所以函数定义域为()()4,,1+∞⋃-∞.故答案为：()()4,,1+∞⋃-∞12.某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为__________人.【答案】3600【解析】【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解.【详解】由题意可知：高三年级抽取了3615129--=人，由于高三共有900人，所以抽样比为1100，所以高中学生总数为361003600⨯=，故答案为：360013.令0.76a =，60.7b =，0.7log 6c =，则三个数a ，b ，c 的大小顺序是______.（用“<”连接）【答案】c b a<<【解析】【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值0,1即可确定大小关系.【详解】0.7000.60.70.76610.70.70log 1log 6>==>>=> ，c b a ∴<<.故答案为：c b a <<.14.为了解本书居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为______.（用“<”连接）【答案】231s s s <<【解析】【分析】根据平均数公式及方差公式分别计算21s 、22s 、23s ，即可判断；【详解】由图甲：平均值为()150012500.000617500.000422500.000227500.000232500.0006x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2200=，22221(12502200)(175021200)(22502200)0.30.20.s =-+⨯+⨯⨯--22)0.10.3(27502200)(32502200+-⨯⨯-+672500=，212500.117500.222500.427500.232500.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2250=，22222(12502250)(175024250)(22502250)0.10.20.s =-+⨯+⨯⨯--22)0.20.1(27502250)(32502250+-⨯⨯-+300000=，312500.217500.222500.327500.232500.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2150=，22223(12502150)(175023150)(22502150)0.20.20.s =-+⨯+⨯⨯--22)0.20.1(27502150)(32502150+-⨯⨯-+390000=，则标准差231s s s <<，故答案为：231s s s <<.15.如图，在等边三角形ABC 中，AB =6.动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f (x )，给出下列三个结论：①函数f (x )的最大值为12；②函数f (x )的图象的对称轴方程为x =9；③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根.其中，所有正确结论的序号是____.【答案】①②【解析】【分析】写出P 分别在,,AB BC CA 上运动时的函数解析式2()f x OP =，利用分段函数图象可解.【详解】P 分别在AB 上运动时的函数解析式22()3(3),(06)f x OP x x ==+-≤≤，P 分别在BC 上运动时的函数解析式22()3(9),(612)f x OP x x ==+-≤≤，P 分别在CA 上运动时的函数解析式22()3(15),(1218)f x OP x x ==+-≤≤，22223(3),(06)()||3(9),(612)3(15),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩，由图象可得，方程()3f x kx =+最多有6个实数根故正确的是①②.故答案为：①②【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知集合213A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}221,B x m x m m =-≤≤+∈R .（1）当6m =时，求集合A B ⋃；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{313}A B xx =<≤ ∣（2）(),3-∞-【解析】【分析】（1）直接代入计算，再根据并集含义计算即可；（2）分集合B 是否为空集讨论即可.【小问1详解】由()()222311005303333x x x x x x x ->⇒->⇒->⇒--<----解得{35}A xx =<<∣.当6m =时，{}413B x x =≤≤∣，则{313}A B xx =<≤ ∣【小问2详解】由A B B = ，得B A ⊆.当B =∅时，有221m m ->+，解得3m <-.当B ≠∅时，有323215m m m ≥-⎧⎪->⎨⎪+<⎩，无解.综上，(),3m ∈-∞-.17.已知函数()22f x x =+.（1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）求函数()f x 在区间[](),1t t t +∈R 上的最小值.【答案】17.定义域为R ，值域为[)2,+∞18.答案见解析【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质可得答案；（2）讨论对称轴与区间的关系，结合二次函数性质可得答案.【小问1详解】由题意定义域为R ，因为20x ≥，所以222x ≥+，即值域为[)2,+∞.【小问2详解】()f x 图象的对称轴为0x=，当10t +≤时，即1t ≤-时，()f x 在区间[],1t t +上单调递减，则()f x 在区间[],1t t +上的最小值为()2(1)12f t t +=++；当01t t <<+时，即10t -<<时，()f x 在[),0t 上单调递减，在(]0,1t +上单调递增，则()f x 在区间[],1t t +上的最小值为(0)2f =；当0t ≥时，()f x 在区间[],1t t +上单调递增，()f x 在区间[],1t t +上的最小值为2()2f t t =+；综上可得1t ≤-时，最小值为()212t ++；10t -<<时，最小值为2；0t ≥时，最小值为22t +.18.在新高考背景下，北京高中学生需从思想政治､历史､地理､物理､化学､生物这6个科目中选择3个科目学习并参加相应的等级性考试.为提前了解学生的选科意愿，某校在期中考试之后，组织该校高一学生进行了模拟选科.为了解物理和其他科目组合的人数分布情况，某教师整理了该校高一（1）班和高一（2）班的相关数据，如下表：物理+化学物理+生物物理+思想政治物理+历史物理+地理高一（1）班106217高一（2）班.159316其中高一（1）班共有40名学生，高一（2）班共有38名学生.假设所有学生的选择互不影响.（1）从该校高一（1）班和高一（2）班所有学生中随机选取1人，求此人在模拟选科中选择了“物理+化学”的概率；（2）从表中选择“物理+思想政治”的学生中随机选取2人参加座谈会，求这2人均来自高一（2）班的概率；（3）该校在本学期期末考试之后组织高一学生进行了第二次选科，现从高一（1）班和高一（2）班各随机选取1人进行访谈，发现他们在第二次选科中都选择了“物理+历史”.根据这一结果，能否认为在第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化？说明理由.【答案】（1）2578（2）310（3）答案见解析【解析】【分析】（1）（2）根据古典概型的概率公式即可求解，（3）根据小概率事件即可求解.【小问1详解】依题意得高一（1）班和高一（2）班学生共有403878+=人，即该随机试验的样本空间有78个样本点.设事件A =“此人在模拟选科中选择了“物理+化学”，则事件A 包含101525+=个样本点，所以()2578P A =.【小问2详解】依题意得高一（1）班选择“物理+思想政治”的学生有2人，分别记为12,A A ；高一（2）班选择“物理+思想政治”的学生有3人，分别记为123,,B B B .该随机试验的样本空间可以表示为：Ω={12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B }即()Ω10n =.设事件B =“这2人均来自高一（2）班”，则{}121323,,B B B B B B B =，所以()3n B =，故()()()3Ω10n B P B n ==.【小问3详解】设事件C =“从高一（1）随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，事件D =“从高一（2）班随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，事件E =“这两人在第二次选科中都选择了“物理+历史”.假设第二次选科中选择“物理+历史”的人数没有发生变化，则由模拟选科数据可知，()()11,4038P C P D ==.所以()()()()11140381520P E P CD P C P D ===⨯=.答案示例1：可以认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生变化.理由如下：()P E 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化.答案示例2：无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否发生变化.理由如下：事件E 是随机事件，()P E 虽然比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生，所以无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否有变化.19.已知函数()2log 2ax f x x -=+（0a >且1a ≠）．（1）求()f x 的定义域；（2）若当2a =时，函数()()g x f x b =-在()2,+∞有且只有一个零点，求实数b 的范围；（3）是否存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，若存在，求出实数a 的范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()(),22,∞∞--⋃+（2）(),0∞-（3）存在；3220,2a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由202x x ->+可得()f x 的定义域；（2）注意到()24122x t x x x -==-++在()2,∞+上单调递增，则()f x 在()2,∞+，即b 的范围是就是()f x 在()2,∞+上的值域；（3）由题可得01a <<，则问题转化为22x ax x -=+在()2,∞+上有两个互异实根，即可得答案.【小问1详解】由202x x ->+，得<2x -或2x >．∴()f x 的定义域为()(),22,∞∞--⋃+；【小问2详解】令()24122x t x x x -==-++，因函数42=+y x 在()2,∞+上单调递减，则()t x 在()2,∞+上为增函数，故()t x 的值域为()0,1.又2a =，∴()f x 在()2,∞+上为增函数；函数()()g x f x b =-在()2,∞+有且只有一个零点，即()f x b =在()2,∞+有且只有一个解，∵函数()f x 在()2,∞+的值域为(),0∞-，∴b 的范围是(),0∞-．【小问3详解】假设存在这样的实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，由m n <且1log a n +1log a m <+，可得01a <<．又由（2）()412t x x =-+在()2,∞+上为增函数，log a y x =在()2,∞+上为减函数.则()f x 在()2,∞+上为减函数，得()()()()2log 1log log 22log 1log log 2a a a aa a m f m m am m n f n n an n -⎧==+=⎪⎪+⎨-⎪==+=⎪+⎩.即22x ax x -=+在()2,∞+上有两个互异实根，因()2221202x ax ax a x x -=⇒+-+=+即()()2212g x ax a x =+-+，有两个大于2的相异零点.设()g x 零点为12,x x ，则()()()()212122180Δ02144220221240a a a x x a x x a aa ⎧⎪-->⎧>⎪-⎪⎪+>⇒->⎨⎨⎪⎪-->⎩⎪-++>⎪⎩.解得302a -<<．又∵01a <<，故存在这样的实数30,2a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭符合题意．20.对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，且00x ≠，满足()()00f x f x -=，则称()f x 为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-，则称()f x 为“弱奇函数”.（1）判断函数()31,0,0x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论）（2）已知函数()()21g x x x =-+，试判断()g x 为其定义域上的“弱奇函数”，若是，求出所有满足()()00g x g x -=-的0x 的值，若不是，请说明理由；（3）若()43,4x h x x x ≥=+<⎪⎩为其定义域上的“弱奇函数”.求实数m 取值范围.【答案】（1）弱奇函数（2）()g x 不是其定义域上的“弱奇函数”.（3）15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据所给定义判断即可；（2）对x 分类讨论即可；（3）首先由20x mx -≥在[)4,+∞上恒成立，求出m 的取值范围，依题意存在实数0x 使得()()00h x h x -=-，分04x ≥、044x -<<、04x ≤-三种情况讨论，分别结合方程有解求出m 的取值范围，即可得解.【小问1详解】当0x <时，则0x ->，若31x x=-，无实数解，舍去；若31x x=--，解得=1x -（正舍），当0x >时，则0x -<，若31x x-=，无实数解，舍去；若31x x-=-，解得1x =（负舍），则存在实数01x =±，满足()()00f x f x -=-，则()f x 是“弱奇函数”，【小问2详解】假设()()21g x x x =-+为其定义域上的“弱奇函数”，则()()2121x x x x -+=+-，若1x >，则()()()()2121x x x x -+=+-，则0x =，舍去；若11x -≤≤，则()()()()2121x x x x -+=+-，则x =若1x ≤-，则()()()()2121x x x x -+=+-，则0x =，舍去；从而()()00g x g x -=-无解，所以()g x 不是其定义域上的“弱奇函数”.【小问3详解】由20x mx -≥在[)4,+∞上恒成立，转化为m x ≤在[)4,+∞上恒成立，即4m ≤.因为()43,4x h x x x ≥=+<⎪⎩为其定义域上的“弱奇函数”，所以存在实数0x 使得()()00h x h x -=-，当04x ≥时，则04x -≤-，所以03x -+=，即03x -=，所以()220003x x mx -=-，0069x mx -+=-，即096m x =-在[)4,+∞有解可保证()f x 是“弱奇函数"，所以15,64m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，又因为4m ≤，所以15,44m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当044x -<<时，044x -<-<，此时()00330x x -+--=，不成立；当04x ≤-时，则04x -≥()03x =-+，则22000069x mx x x +=++，即()069m x -=，即096m x =+在(],4-∞-有解可保证()f x 是“弱奇函数”，所以15,64m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，由4m ≤可知15,44m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；综上所述，实数m 的取值范围为15,44m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题属于新定义问题，对于新定义问题，关键是理解所给定义，将问题转化为方程有解，分段函数注意分类讨论.。

高中一年级培优班12月份数学月考试题

2012年蕲春一中高一培优班12月月考试卷数学本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.★祝考试顺利★须知：考生在答题前，请务必将自己的、考号、班级等信息填在答题卡上．一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)2. 已知等差数列{a n}一共有12项，其中奇数项之和为10，偶数项之和为22，则公差为( )A．12 B．5 C．2 D．14.5.6.若实数x，y满足20,,,x yy xy x b-⎧⎪⎨⎪-+⎩≥≥≥且2z x y=+的最小值为4，则实数b的值为A．0 B．2 C．83D．37.已知数列{}n a为等差数列，数列{b n}是各项均为正数的等比数列，且公比q>1，若11a b=，20112011a b=，则1006a与1006b的大小关系是（）A．10061006a b= B．10061006a b< C．10061006a b> D．10061006a b≥第15题图 8.如果函数3cos(2)y x ϕ=+的图象关于点4(,0)3π中心对称，那么ϕ的最小值为（） A.6π B.4π C.3π D.2π9．在△ABC 中，2,2,3π=∠==A BC AB ，如果不等式AC BC t BA ≥-恒成立，则实数t 的取值围是 ( )A ．[)∞+，1B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡121， C ．(][)∞+⋃∞-，，10 D ．[)∞+⋃⎥⎦⎤⎝⎛∞-，，12110.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡中相应的位置) 11.已知3sin ,5αα=为第二象限角，且tan()1,αβ+=则tan β的值为。

12.13.设y x ,是满足42=+y x 的正数，则y x lg lg +的最大值是． 14.15．如下图：有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按以下规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为()f n ；则：（Ⅰ）(3)f =▲(Ⅱ)()f n =▲三、解答题(本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．（12分）ABC△的周长为21+，且sin sin2sinA B C+=．(1)求边AB的长； (2)若ABC△的面积为1sin6C，求角C的度数．18．（此题满分12分）已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x Rπωϕωϕ=+>><∈的图象的一部分如以下图所示．（I）求函数()f x的解析式；（II）求函数()(2)y f x f x=++的最大值与最小值．20. （13分）设函数13)(1-=-xxf，函数axaxxg25)(2-+=.[来源:Z##K](1)求)(xf在[0，1]上的值域；(2)若对于任意∈1x[0，1]，总存在∈2x[0，1]，使得)()(12xfxg=成立，求a的取值围.21. （14分）已知数列{}na满足递推关系，2*123()1n nnna a ma n Na+++=∈+，又11=a(1)当1m=时，求证数列}1+na｛为等比数列；(2)当m在什么围取值时，能使数列{}na满足不等式1n na a+≥恒成立？(3)当31m-≤<时，证明：12111111112nna a a++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥-+++.y112－2－1－1 0 2 3 4 5 6 7 x答案：1—10 BCCDC DCADA 11.__ 7__；12.[]-1,4； 13.lg 2；14.①④；15. 7 ，n 2-1 16.①c=1；②C=3π。

高一数学12月月考试题试题 2

卜人入州八九几市潮王学校齐一中2021级高一上学期12月月考数学试卷第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

1．假设集合{}{}41,022≤≤=<-=x x N x x x M ，那么=⋂N M 〔〕A ．(]2,0B ．()2,1C ．[)2,1D ．()4,12．=︒300tan ()A ．3B ．3-C ．33D ．33-3．扇形的周长为cm 8，圆心角为rad 2，那么该扇形的面积为()A ．24cmB ．26cmC ．28cmD ．216cm4．设6.05.16.05.1,6.0,5.1log ===c b a ，那么c b a ,,的大小关系是〔〕A ．c b a <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<5．在直角梯形OABC 中，假设OC AB //，OC BC ⊥，1=AB ，2==BC OC ，直线l 截此梯形所得位于l 左方的图形面积为S ，那么函数)(x f S =的大致图象为()6．函数53)(3+--=x x x f 的零点所在的大致区间为()A ．)1,2(--B ．)0,1(-C ．)1,0(D ．)2,1(7．⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=+43,4,57cos sin ππx x x ，那么=-x x cos sin ()A ．51±B ．51-C ．57D ．518．函数24)1ln(1)(x x x f -++=的定义域为() A ．[)(]2,00,2⋃-B ．()(]2,00,1⋃-C ．[]2,2-D ．(]2,1-9．为了得到函数)62cos(π-=x y 的图象可以将x y 2sin =的图象() A ．向左平移6πB ．向左平移3πC ．向右平移6πD ．向右平移3π 10．设偶函数)(x f 满足)0(42)(>-=x x f x ，那么{}=>-0)2(x f x ()A ．{}42>-<x x x 或B ．{}40><x x x 或C ．{}60><x x x 或D ．{}22>-<x x x 或11．函数)2,0)(tan()(πϕωϕω<>+=x A x f ，)(x f y = 的局部图像如下列图，那么=)24(πf ()A ．32+B ．3C ．33D ．32- 12．函数)(x f y =的周期为2，当[]1,1-∈x 时，2)(x x f =，那么函数)(x f y =的图象与函数x y lg =的图象的交点一共有()A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个第二卷〔非选择题一共60分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，将答案填在答题卡的横线上。

2022-2023学年河南省信阳高一年级上册学期12月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省信阳高级中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．设集合，集合，则集合等于（）{}2*20,A x x x x N =--<∈{B x y ==A B ⋂A ．1B ．C ．D ．[)1,2{}1{}1x x ≥【答案】C【解析】先求出集合A 与集合B ，再求交集即可。

【详解】由题得，{}{}{}2**20,12,1A x x x x x x x =--<∈=-<<∈=N N，{{}{}{}222log 0log log 11B x y x x x x x x ===≥=≥=≥.{}1A B ∴⋂=故选：C.【点睛】本题考查了集合的基本运算，函数的定义域、解不等式问题，属于基础题.2．设，，，则的大小关系为（）0.73a =0.813b -⎛⎫= ⎪⎝⎭0.7log 3=c ,,a b c A ．B ．C ．D ．a b c <<b a c<<c b a<<c<a<b【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数单调性，借助临界值可确定大小关系.【详解】，.0.80.70.80.70.71log 3log 10333-⎛⎫<=<<= ⎪⎝⎭c a b ∴<<故选：D.3．已知函数，则函数的大致图象是（）()122,1log ,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩()1y f x =-A．B ．C．D．【答案】C 【分析】求得的解析式，从而确定正确答案.()1y f x =-【详解】当时，，此时；11,0x x -≤≥()112x y f x -=-=120x ->当时，，此时.11,0x x -><()()121log 1y f x x =-=-()12log 10x -<所以，()()1122,01log 1,0x x y f x x x -⎧≥⎪=-=⎨-<⎪⎩所以C 选项的图象符合.故选：C4．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，xOy αβOx y 1sin 3α=则（）sin β=A ．B ．C ．D13-13【答案】B【分析】根据终边关于y 轴对称可得关系，再利用诱导公式，即可得答案；π2π,k k αβ+=+∈Z 【详解】在平面直角坐标系xOy 中，角与角均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，αβ∴，π2π,k k αβ+=+∈Z ∵，1sin 3α=∴1sin sin(2)sin ,3k k βππαα=+-==∈Z故选：B.【点睛】本题考查角的概念和诱导公式的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力.5．下列命题中，真命题的个数有（）①，；x ∀∈R 214x x -+≥②，；0x ∃>1ln 2ln x x +≤③“”是“”的充要条件；a b >22ac bc >④是奇函数.()33x xf x -=-A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】配方可判断①；当时可判断②；根据不等式的性质可判断③；根据奇函数的定义ln 0x <可判断④.【详解】对于①，∵，∴，，故①正确；221142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭x ∀∈R 2104x x -+≥对于②，∵，∴当时，，故②正确；ln x ∈R ln 0x <1ln 2ln x x +≤对于③，“”⇒“”，故③错；a b >22ac bc ≥对于④，∵，且定义域为，是奇函数，故④正确.()()33x x f x f x --=-=-R 故选:C.6．若，则下面结论正确的有（）00a b >>，A ．B ．若，则 ()2222()a b a b +≤+142a b +=92a b +≥C ．若，则D ．若，则有最大值22ab b +=4a b +≥1a b +=ab 12【答案】B【分析】对于选项ABD 利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C 取特值即可判断即可.【详解】对于选项A ：若，00a b >>，由基本不等式得，即，222a b ab +≥()()2222a b a b +≥+当且仅当时取等号；所以选项A 不正确；a b =对于选项B ：若，00a b >>，，11412a b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，()11414522b a a b a a a b b b +=+⎛⎫⎛⎫⨯+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19522⎛≥+= ⎝当且仅当且，142a b +=4b aa b =即时取等号，所以选项B 正确；3,32a b ==对于选项C ：由，00a b >>，，()22ab b b a b +=+=即，2a b b +=如时，，所以选项C 不正确；2b =2142a b +==<对于选项D ：，当且仅当时取等2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭12a b ==则有最大值，所以选项D 不正确；ab 14故选：B7．“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：）满足函数关系（a ，b 为常数），若该C ︒ax by e+=果蔬在6的保鲜时间为216小时，在24的保鲜时间为8小时，那么在12时，该果蔬的保C ︒C ︒C ︒鲜时间为（）小时．A ．72B ．36C ．24D ．16【答案】A【分析】根据题意列出时所满足等式，利用指数幂的运算分别可求解出的值，6,24x x ==,a b 6,a be e 然后即可计算出时的值，则对应保鲜时间可求.12x =y 【详解】当时，；当时，，6x =6216a be+=24x =248a b e +=则，整理可得，于是，624216278a b a be e ++==613ae =2163648b e =⨯=当时，．12x =12621()648729a b a b y e e e +==⋅=⨯=故选：A.【点睛】关键点点睛：本题属于指数函数模型的实际应用，解答本题的关键在于通过所给的两组的取值计算得到所满足的等式，然后通过化简指数幂的运算求解出最终结果.,x y ,a b 8．已知定义在上的函数单调递减，且对任意恒有，则函数+R ()f x ()0,x ∈+∞()12log 1f f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的零点为（）()f x A ．B ．C ．2D ．41412【答案】C【分析】设,可得，根据单调性可得，从而可求，令()12log f x x t-=()12log 1f t t t =+=1t =()f x 可求零点.()0f x =【详解】设，则，()12log f x x t-=()12log f x x t =+方程等价为，()1f t =令，则，满足方程，x t =()12log 1f t t t =+=1t =∵函数单调递减，()f x ∴值唯一，∴，t ()12log 1f x x =+由得，解得，()12log 10f x x =+=12log 1x =-2x =故函数的零点为2.()f x 故选:C.二、多选题9．下列函数值中符号为正的是（）A ．B ．C ．D ．()sin 1000-︒πcos 4⎛⎫- ⎪⎝⎭tan 27πsincos π1017πtan9【答案】ABD【分析】将表示为，根据诱导公式可判断A ；利用诱导公式可判断B ；由21000-︒360380-︒⨯+︒为第二象限角可判断C ；由诱导公式可得，从而可判断D.7π3πsincos πsin 101017ππtan tan99=【详解】对于A ，，所以选项A 满足题意；()()sin 1000sin 360380sin 800-︒=-︒⨯+︒=︒>对于B ，，所以选项B 满足题意；ππcos cos 044⎛⎫-=> ⎪⎝⎭对于C ，因为，所以，所以选项C 不满足题意；π2π2<<tan 20<对于D ，，所以选项D 满足题意.7π7π3πsincos πsin sin 101010017πππtan tan tan999-==>-故选:ABD.10．已知正实数，满足，则下列关系一定正确的是（）x y 21211log log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．B ．11x y <33x y <C ．D ．()ln 10y x -+>122x y -<【答案】BC【分析】方法一，构造函数，结合其单调性即可判断.()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭方法二，分类讨论，根据，，讨论即可得到答案.x y >x y =x y <【详解】方法一（构造函数法）由题意，，2211log log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设，显然在区间上单调递增，故由，得，故()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x ()0,∞+()()f x f y <0x y <<，，A 错误，B 正确；11x y >33x y <由，得，故，C 正确；，x y <11y x -+>()ln 1ln10y x -+>=0221x y -<=故D 不一定正确．故选:BC ．方法二（分类讨论法）由题意，．211log 22xyx y ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，即时，，而，∴，故不x y >1xy >2log 0x y >1122x y ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11022x y ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立．当时，，，不成立．故．∴，x y =2log 0x y =11022x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211log 22x yx y ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y <11x y >，故A 错误，B 正确；33x y <，则，，故C 正确；，0y x ->11y x -+>()ln 10y x -+>0221x y -<=故D 不一定正确．故选:BC ．11．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，()f x R ()1f x -()1f x +(]1,1x ∈-，则下列结论正确的是（）()21f x x =-+A ．B ．在上为减函数7839f ⎛⎫=-⎪⎝⎭()f x ()6,8C ．点是函数的一个对称中心D ．方程仅有个实数解()3,0()f x ()lg 0f x x +=6【答案】CD 【分析】根据和的奇偶性可推导得到，，()1f x -()1f x +()()8f x f x +=()()22f x f x +=--由可知A 错误；推导可得，知C 正确；作出图象，结合7133f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()60f x f x ++-=()f x 图象知B 错误；将解的个数转化为与的交点个数，结合图象可知D 正()lg 0f x x +=()f x lg y x =-确.【详解】为奇函数，，即，()1f x - ()()11f x f x ∴--=--()()2f x f x -=--关于点对称；()f x \()1,0-为偶函数，，即，()1f x + ()()11f x f x ∴-+=+()()2f x f x -=+关于对称；()f x \1x =由，得：，()()2f x f x -=--()()2f x f x -=+()()22f x f x +=--，即是周期为的周期函数；()()()84f x f x f x ∴+=-+=()f x 8对于A ，，A 错误；2711182133339f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=--+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于C ，，即，()()()62f x f x f x +=-+=-- ()()60f x f x ++-=关于点成中心对称，C 正确；()f x \()3,0对于BD ，由周期性和对称性可得图象如下图所示，()f x由图象可知：在上单调递增，B 错误；()f x ()6,8方程的解的个数，等价于与的交点个数，()lg 0f x x +=()f x lg y x =-，，()()()12401f f f ==-=- lg12lg101-<-=-结合图象可知：与共有个交点，即有个实数解，D 正确.∴()f x lg y x =-6()lg 0f x x +=6故选：CD.12．已知函数f （x ）＝ln ＋x ）＋x 5＋3，函数g （x ）满足g （－x ）＋g （x ）＝6．则（）A ．f （lg3）＋f （lg ）＝613B ．函数g （x ）的图象关于点（3，0）对称C ．若实数a ，b 满足f （a ）＋f （b ）>6，则a ＋b >0D ．若函数f （x ）与g （x ）图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），则x 1＋x 2＋x 3＋y 1＋y 2＋y 3＝6【答案】AC【分析】令，则为奇函数，且在上单调递增，又函数)5()()3lnh x f x x x =-=++()h x R 满足，则的图象关于点对称，进而利用奇偶性、单调性、对称性即()g x ()()6g x g x -+=()g x (0,3)可求解.【详解】解：令，则为奇函数，且在上单调递增，)5()()3lnh x f x x x =-=+()h x R 对A ：因为，所以，所以选项A 正确；1lg lg 33=-1(lg3)lg 63f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭对B ：因为函数满足，则的图象关于点对称，所以选项B 错误；()g x ()()6g x g x -+=()g x (0,3)对C ：因为，所以，又函数为奇函数且在上单调递增，所以()()6f a f b +>()()0h a h b +>()h x R ，即，所以选项C 正确；()()h a h b >-0a b +>对D ：若函数与图象的交点为，，,()f x ()g x ()11,x y ()22,x y ()33,x y因为为奇函数，所以函数图象关于点对称，所以函数图象关于点对称，又()h x ()h x ()0,0()f x (0,3)的图象关于点对称，所以函数f （x ）与g （x ）图象的交点关于点对称，所以()g x (0,3)(0,3)，所以选项D 错误；12312332392x x x y y y +++++=⨯⨯=故选：AC.三、填空题13．已知集合有且仅有两个子集，则的取值集合为___________.(){}222810A x ax a x =+-+=a 【答案】{}0,2,8【分析】根据题意集合A 有一个元素，考虑和两种情况，计算得到答案即可.0a =0a ≠【详解】由题意，集合有且仅有两个子集，则集合只有一个元素，(){}222810A x ax a x =+-+=A 当时，，解得，符合题意；0a =810x -+=18x =当时，，解得或，0a ≠()2284210a a ∆=--⨯⨯=2a =8a =当时，，符合题意，2a ={}2144102A x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭当时，，符合题意.8a ={}21168104A x x x ⎧⎫=++==-⎨⎬⎩⎭综上所述，的取值集合为.a {}0,2,8故答案为：.{}0,2,814．函数为上的奇函数,在上是增函数,,则的解集是______．()f x R (),0∞-()50f =()0xf x >【答案】()(),55,-∞-+∞ 【解析】利用奇函数的单调性的性质，结合已知，画出图象的大致形状，最后数形结合求解即可.【详解】解析：为上的奇函数,,在上是增函数,()f x R ()00f ∴=()f x (),0∞-()50f =在上是增函数,()f x \()0,∞+()50f -=即函数的图象大致如下图所示：等价于与同号()0xf x > x ()f x 解集是.∴()(),55,-∞-+∞ 故答案为：()(),55,-∞-+∞ 【点睛】本题考查了奇函数的单调性的性质，考查了数形结合思想，考查了求解不等式解集问题.15．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足()223mm y x m N --*=∈y ()0,∞+的的取值范围为________.()()33132m m a a --+<-a 【答案】()23,1,32⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到，代入不等式得到，根据函数的1m =()()1133132a a +<-单调性解得答案.【详解】幂函数在上单调递减，故，解得.()223mm y x m N --*=∈()0,∞+2230mm --<13m -<<，故，，.*m N ∈0m =12当时，不关于轴对称，舍去；0m =3y x -=y 当时，关于轴对称，满足；1m =4y x -=y 当时，不关于轴对称，舍去；2m =3y x -=y 故，，函数在和上单调递减，1m =()()1133132a a --+<-13y x -=(),0∞-()0,∞+故或或，解得或.1320a a +>->0132a a >+>-1032a a +<<-1a <-2332a <<故答案为：()23,1,32⎛⎫-∞-⎪⎝⎭16．已知函数，设a ，b ，c 是三个不相等的实数，且满足2log 1,04()34x x f x x ⎧-<≤⎪=⎨>⎪⎩，则abc 的取值范围为___________.()()()f a f b f c ==【答案】.()16,36【分析】利用函数图像，数形结合进行分析【详解】由题意的图像如图所示：.()fx 当时，由，得，4x >()30f x ==3=9x =若a ，b ，c 互不相等，不妨设，a b c <<因为，()()()f a f b f c ==所以由图像可知，，024a b <<<<49c <<由，得，()()f a f b =221log log 1a b -=-即，22log log 2a b +=即，()2log 2ab =则，4ab =所以，4abc c =因为，49c <<所以，16436c <<即，1636abc <<所以abc 的取值范围是.()16,36故答案为：.()16,36四、解答题17．求下列各式的值：(1)；25log 1629log 5lg 2lg 5lg 20++⨯(2)．230.256108227-⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1)52-(2)176916【分析】（1）根据对数运算法则进行计算；（2）将根式化为分数指数幂，进行计算.【详解】（1）原式=()5log 429log 35lg 2lg5lg21-++⨯+=()14lg2lg5lg2lg52-+⨯++=；75122-+=-（2）原式=263131133442422233⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()9176924271616+⨯+=18．设函数.2(2)3y ax b x =+-+(1)若不等式的解集为，求a ，b 的值；0y >{}13x x -<<(2)若时，，求的最小值；1x =2,0,1y a b =>>-141a b ++(3)若，求不等式的解集.=-b a 1y ≤【答案】(1)，1a =-4b =(2)92(3)详见解析.【分析】（1）根据方程的两个根，代入原方程即可求和；a b （2）利用“”与基本不等式即可求得最小值；1122a b ++=（3）对分类讨论，再根据一元二次不等式的性质求解即可.a 【详解】（1）由题知：的两个根分别是，2(2)30ax b x +-+=121 3x x =-=，代入方程得：，解得：.23093630a b a b +-+=⎧⎨+-+=⎩14a b =-⎧⎨=⎩（2）时，，即，所以有：，1x =2y =12++=a b 1122a b ++=那么=141a b ++141()()122a b a b ++++=，1142222(1)b a a b +++++5922≥+=此时，且，1422(1)b a ab +=+12++=a b 即时，有最小值.2313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩141a b ++92（3）若，则，=-b a 2(2)3y ax a x =-++，即，1y ≤2(2)20ax a x -++≤①当时，即，解得：，0a =220x -+≤1x ≥不等式解集为：{}1,R x x x ≥∈当时，令，解得：，0a ≠2(2)20ax a x -++=1221x x a ==，②当时，若，不等式解集为：；0a >2a ={}1若，不等式解集为：2a >2 1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若，不等式解集为：02a <<21 a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，③当时，不等式解集为：a<0[)2 1 a ⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ，，19．某种股票类理财产品在过去的一个月内（以30天计，包括第30天），第天每份的交易价格x （元）满足，第天的日交易量（万份）的部()P x ()()135.514.5130,N P x x x x +=--≤≤∈x ()Q x 分数据如下表所示：第（天）x 12510（万份）()Q x 20151211(1)给出以下两种函数模型：①，②.请你根据上表中的数据，从中选择你()Q x ax b=+()aQ x b x =+认为最合适的一种函数模型来描述该股票类理财产品日交易量（万份）与时间第天的函数()Q x x 关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式；(2)根据（1）的结论求出该股票类理财产品在过去一个月内第天的日交易额的函数关系式，x ()f x并求其最小值．【答案】(1)选择②，，理由见解析；()()1010,130,N Q x x x x +=+≤≤∈(2)，最小值为元.()12110122,114,N 15010149,1530,Nx x x x f x x x x x ++⎧⎛⎫++≤≤∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-++≤≤∈ ⎪⎪⎝⎭⎩1240【分析】（1）运用待定系数法求出函数解析式再进行选择；（2）根据题意求出分段函数的表达式，然后进行分类讨论出两部分的最小值，比较之后较小()f x 的满足题意.【详解】（1）对于函数，根据题意，把点，代入可求得，()Q x ax b =+(1,20)(2,15)5,25a b =-=此时，点、均不在函数的图象上；()525Q x x =-+(5,12)(10,11)()525Q x x =-+对于函数，根据题意，把点，代入可求得，()aQ x b x =+(1,20)(2,15)10,10a b ==此时，点、均在函数的图象上；10()10Q x x =+(5,12)(10,11)10()10Q x x =+所以，．10()10(130,N )Q x x x x +=+≤≤∈（2）依题意得，121,114,N ()135.514.5150,1530,N x x x p x x x x x +++≤≤∈⎧=--=⎨-+≤≤∈⎩所以，()12110122,114,N 15010149,1530,Nx x x x f x x x x x ++⎧⎛⎫++≤≤∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-++≤≤∈ ⎪⎪⎝⎭⎩当时，，114,N x x +≤≤∈12110(122)122)1440x x ++≥+=当且仅当时等号成立；11x =当时，函数单调递减，1530,x x +≤≤∈N 150()10(149)f x x x =-++此时，150()(30)10(30149)124030f x f ≥=-++=综上所述，当时，该产品在过去一个月内的日交易额最小值为元．30x =124020．已知函数.()()2221x xa a f x x ⋅+-=∈+R (1)若满足，求实数的值；()f x ()()f x f x -=-a(2)在（1）的条件下，判断函数在上是否有零点，并说明理由；()f x []1,1-(3)若函数在上有零点，求的取值范围.()f x R a 【答案】(1)；1a =(2)有，理由见解析；(3).()0,2【分析】（1）由化简可得，从而可求解；()()f x f x -=-()()22210x a -+=（2）可判断在上单调递增，且，从而可求解；()f x []1,1-()00f =（3）分离参数可得方程在上有实数根，根据单调性求出的取值范围，从而可221x a =+R 221x t =+得实数的取值范围.a 【详解】（1）∵，()()2222,2112xx x xa a a a f x --+-⋅⋅+--==++()()2221x x a a f x -⋅+--=+且，()()f x f x -=-∴，解得.()()22210x a -+=1a =（2）∵，∴1a =()21212121x x xf x -==-++∵是上的减函数，∴是上的增函数.221xt =+R ()f x R ∵，，，()1103f -=-<()1103f =>()00f =∴在上有唯一零点.()f x []1,1-0x =（3）,()2222121x x x a a f x a ⋅+-==-++∵函数在上有零点，()f x R ∴方程在上有实数根.221x a =+R ∵上是减函数，,221x t =+211x +>∴,()20,221xt =∈+由此可得，当时，方程在上有实数根.()0,2a ∈221x a =+R 综上所述，若函数在上有零点，的取值范围是.()f x R a ()0,221．已知函数，其中a 是大于0的常数．()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(1)求函数的定义域；()f x (2)当时，求函数在上的最小值；(1,4)a ∈()f x [2,)+∞(3)若对任意恒有，试确定的取值范围．[2,)x ∈+∞()0f x >a 【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2)lg 2a(3)2a >【分析】（1）求函数的定义域，就是求，可以通过对分类讨论解决；()f x 20ax x +->a （2）可以构造函数，根据对勾函数的性质得到在上的单调性，再利用()2ag x x x =+-()g x [2,)+∞复合函数的性质可以求得在上的最小值；()f x [2,)+∞（3）对任意恒有，即对恒成立，转化为是的函数，[2,)x ∈+∞()0f x >21ax x +->[2,)x ∈+∞a x 即可求得的取值范围．a 【详解】（1）解：由得，，等价于，20ax x +->220x x a x -+>()220x x x a -+>因为方程的，220x x a -+=()22444a a∆=--=-当，即时，恒成立，所以解得，Δ0<1a >220x x a -+>0x >当，即时，原不等式即为，解得且；Δ0=1a =()210x x ->0x >1x ≠当，即，又，即时，0∆>1a <0a >01a <<方程的两根220x x a -+=11x =21x =所以解得01x <<1x >综上可得当时，定义域为，1a >(0,)+∞当时，定义域为且，1a ={|0x x >1}x ≠当时，定义域为01a <<{|01x x <<1x >（2）解：设，()2ag x x x =+-因为，由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，0a >()g x ()∞+因为，又，所以在上单调递增，(1,4)a ∈()1,2[2,)x ∈+∞()g x [2,)+∞又在定义域上单调递增lg y x =在上是增函数，∴()lg(2)a f x x x =+-[2,)+∞在上的最小值为；∴()lg(2)af x x x =+-[2,)+∞(2)lg 2a f =（3）解：对任意恒有，[2,)x ∈+∞()0f x >即对恒成立21ax x +->[2,)x ∈+∞，而在上是减函数，23a x x ∴>-2239()3()[2,)24h x x x x x =-=--+∈+∞，[2,)x ∈+∞，()()22max h x h ∴==2a ∴>22．已知定义在上的偶函数和奇函数满足．R ()f x ()g x ()()2xf xg x +=(1)求函数和的解析式；()f x ()g x (2)判断并证明函数在定义域上的单调性；()f x (3)求函数的最小值．()()()()()h x f g x g f x =+【答案】(1)，()222x x f x -+=()222x xg x --=(2)在上单调递减，在上单调递增；证明见解析()f x (),0∞-()0,∞+(3)()min 74h x =【分析】（1）利用奇偶性可得，与已知等式构成方程组求得；()()2xf xg x --=()(),f x g x （2）设，由可得在上的单调性，210x x >>()()()12121211221022x x x x f x f x +⎛⎫-=⋅--< ⎪⎝⎭()f x ()0,∞+根据奇偶性可得对称区间单调性；（3）由奇偶性定义可证得为偶函数；结合函数单调性可求得当时，，()h x 0x ≥()()f g x 都在处取得最小值；根据偶函数性质可确定的最小值即为.()()g f x 0x =74()h x 74【详解】（1）为偶函数，为奇函数，，()f x ()g x ()()()()2x f x g x f x g x -∴-+-=-=又，，.()()2x f x g x +=()222x x f x -+∴=()222x xg x --=（2）在上单调递减，在上单调递增，证明如下：()f x (),0∞-()0,∞+设，210x x >>；()()()112212121222221112222222x x x x x x x x f x f x --⎡⎤++⎛⎫-=-=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()12121122122x x x x+⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭，，即，，1222x x < 1221x x +>12112x x +<()()120f x f x ∴-<在上单调递增，()f x \()0,∞+又为偶函数，图象关于轴对称，在上单调递减.()f x y ()f x \(),0∞-（3）由题意知：的定义域为，()h x R ，为定义()()()()()()()()()()()()()h x f g x g f x f g x g f x f g x g f x -=-+-=-+=+ ()h x =()h x ∴在上的偶函数；R 当时，为增函数，为减函数，为增函数，；0x ≥2xy = 2xy -=()g x ∴()()00g x g \³=令，则，由（2）知：在上单调递增，()t x g =0t ≥()f x [)0,∞+；()()()()01f g x f t f ∴=≥=当时，，0x ≥()()01f x f =≥令，则，，()s f x =1s ≥()()()()314g f x g s g ∴=≥=当时，，都在处取得最小值，则此时；∴0x ≥()()f g x ()()g f x 0x =()min 37144h x =+=为偶函数，当时，.()h x ∴x ∈R ()min 74h x =。

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