2016数学建模A题系泊系统设计

系泊系统的设计

摘要

对于问题一，建立模型一，已知题目给出的锚链长度与其单位长度的质量，得到悬链共210环。对各节锚链，钢桶，四节钢管受力分析得出静力平衡方程，使用分段外推法，可以得到静力平衡下的迭代方程。其中锚对锚链的拉力大小方向为输入变量，迭代的输出变量为浮标的位置和对钢管的拉力，在给定的风速下，输入和输出满足关系2)2(25.1cos 水v h T -=α，αθcos cos 11T T =，通过多层搜索算法得出最符合的输入输出值，即可得到给定风速下浮标的吃水深度，浮标拉力、锚链与海床夹角。利用MATLAB 软件编程求解模型得到：风力12m/s 时，钢桶与竖直方向上的角度1.9863度，从下往上四节钢管与竖直方向夹角为1.9652度、

1.9592度、1.9532度、1.9472度，浮标吃水0.7173m ，以锚为圆心浮标的游动区域16.5125m ，锚链末端切线与海床的夹角3.8268度。风力24m/s 时，锚链形状，钢桶与竖直方向上的夹角3.9835度，从下往上四节钢管与竖直方向夹角为

3.9420度、3.9301度、3.9183度、3.9066度，浮标吃水0.7244m ，以锚为圆心浮标的游动区域18.3175m 。锚链末端切线与海床夹角15.9175度。

对于问题二的第一小问，使用模型一求解，当风速36m/s 时，锚链末端切线与海床夹角26.3339度，浮标吃水0.7482m ，浮标游动区域为以锚为圆心半径为18.9578m 的圆形区域，从下往上四节钢管与竖直方向倾斜角度为8.4463度、

8.4225度、8.3989度、8.3753度，钢桶与竖直方向倾斜角度为8.5294度。为满足问题二的要求，在模型一的基础上把重物球质量作为变量，建立模型二，将钢桶倾斜角小于5度和锚链前端夹角小于16度当做两个约束条件，通过MATLAB 编程求解得到满足约束条件要求的重物球质量取值范围为3700kg 到5320kg 。

对于问题三，首先取不同水深、水速、风速三种情况，建立模型三，即在模型一的基础上增加水流对系统产生的影响。在三种情况下，找到合适的锚链型号、锚链长度，重物球质量，对吃水深度、游动区域、钢桶的倾斜角三个目标进行优化达到最小。通过MATLAB 编程实现该模型三得到结果：选用Ⅲ型锚链，锚链长度为27.24m ，重物球质量为2580kg 。

关键词：平面静力系分析 多层搜索算法 遗传算法 逐步外推法 多目标优化

一、问题重述

近浅海观测网的传输节点由三部分组成：浮标系统、系泊系统和水声通讯系统，如下图所示：浮标系统可简化为一个圆柱体，质量为1000kg 。系泊系统由五部分组成：钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚。锚的质量为600kg ，常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节质量为10kg 。锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过︒16。水声通讯系统安装在圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg 。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链，钢桶的倾斜角度不超过︒5。为控制钢桶的倾斜角度，钢桶与锚链链接处可悬挂重物球。

传输节点示意图

系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。

1.某型传输节点选用锚链型号II ，长度2

2.05m ，选用的重物球的质量为1200kg 。现将该型传输节点布放在水深18m 、海床平坦、海水密度为33m /kg 10025.1⨯的海域。假设海水静止，分别计算海面风速为12m/s 和24m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

2.在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过︒5，锚链在锚点与海床的夹角不超过︒16。

3.由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于20m -16m 之间。布放点的海水速度最大为1.5m/s 、风速最大为36m/s 。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

注：近海风荷载的近似公式为)(v 625.02N S F ⨯=，S 为物体在风向法平面的投影面积)m (2，v 为风速)(m/s 。近海水流力的近似公式为)(v 3742N S F ⨯=，其中S 为物体在水流速度法平面的投影面积)m (2，v 为水流速度)(m/s 。

附表锚链型号和参数表

型号长度(mm) 单位长度的质量(kg/m)

I 78 3.2

II 105 7

III 120 12.5

IV 150 19.5

V 180 28.12

表注：长度是指每节链环的长度。

二、问题分析

对于问题一，所选取锚链的长度和型号是给定的，所以其锚链的节数、每一节的长度、每一节的质量都是已知的，该问中选用II型的锚链，根据题目中的附表求得锚链分为210节，每节重0.735kg。根据题目所给图示可知该系泊系统的构成是：在海底的锚连接锚链的下端，在锚链的上端也就是钢桶的下端节点处挂有重物球，钢桶的上端连接4个钢管，钢管的上端连接浮标。可以假设链环之间、锚链和其他结构的连接处、钢管之间的连接为铰接，且所有结构都是质量分布均匀的，故每个链环和钢桶和钢管可以抽象为体积不同质量不同的铰接圆柱体，在独立分析出每个圆柱体所受浮力来之后，可以再把各圆柱体抽象为有质量的铰接直杆。对与锚连接的第一个链环进行受力分析如图1、图2、图3、图4所示：

图1 图2

图3 图4

对于该链环，假设和锚连接的节点的力与该链环方向一致，需要满足力平衡与力矩平衡。列出所有杆的平衡方程，可以通过方程迭代求解出在不同拉力1T作

用时的对应的浮标的位置，利用浮标位置和风力、拉力的关系式，可以再通过优化算法得到满足关系式的最优解分别求解风速为12m/s和24m/s的情况下的。

对于问题二，可以继续利用在问题一中建立的模型求解出风速在36m/s的情况下各个需要求的量。接着在问题一模型的基础上进行修改，将重物球的质量改为变量当做模型二，把该问题中对钢桶倾斜角小于5度和锚链前端夹角小于16度的要求当做两个约束条件来限制重物球质量的范围，把在充分大范围内按一定精度取值的重物球质量带入模型二中，得到一系列对应的钢桶倾斜角和锚链前端夹角值，取两者都符合约束条件的值对应的一组质量值，该组值的最小值和最大值即为可调节重物球质量的下限和上限。

对于问题三，由于海水的速度可能是由于风力的影响产生的，所以可以认为海水速度和风速是相同方向的。考虑到水里的部分都需要受到水流力的影响所以在受力分析时需要添加水平方向的作用力，如图5、图6所示：

图5 图6

由于锚链的体积忽略，故锚链的部分没有水流力的影响，对于其他部分可写出每个杆的力平衡方程，力矩平衡方程。由于水深、水流速、风速都是在一定范围内的变量，所以要寻找合适的锚链型号和链长度以及合适的重物球质量，来使得吃水深度、钢桶倾斜角、和游动区域尽可能小。该问题属于多目标优化问题，其中优化的目标为吃水深度、钢桶倾斜角、游动区域求最小；变量有水深、水流速、风速、锚链型号、链长度，其中的水深、水流速、锚链要分别取不同的情况，每个优化目标在不同情况下得到值的和最小所对应的设计方案即为最优方案。

三、模型假设

1.假设重物球的体积可以忽略

2.假设浮标系统在水中的倾斜可以忽略

3.假设锚链是不可压缩或伸长的

4.假设锚链在水中的体积可以忽略

5.假设各连接点都是铰连接方式

6.假设忽略波浪力的作用