22.3 实际问题与一元二次方程复习
22.3实际问题与一元二次方程(面积问题)沈贵芬
分析：此题的相等关系是 矩形面积减去道路面积等 于540米2。 解法一、 如图， 设道路的宽为x米， 32x 米2 则横向的路面面积为 纵向的路面面积为 所列的方程是不是 20x 米2 。
(2)
，
32 20 (32 x 20 x ) 540
？
注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2 图中的道路面积不是
b 2 4 ac ( 10 ) 2 4 1 30 20 0
探究3
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中 央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果 要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之 一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设 计四周边衬的宽度?
小结
•列一元二次方程解应用题的步骤与 列一元一次方程解应用题的步骤类似， 即审、设、找、列、解、检、答．
• 这里要特别注意:在列一元二次方 程解应用题时，由于所得的根一 般有两个，所以要检验这两个根 是否符合实际问题的要求．
问题 （1）本题中有哪些等量关系？ （2）如何理解“正中央是一个与整个封面 长宽比例相同的矩形”？ （3）如何利用已知的数量关系选取未知 数并列出方程？
27
探究3
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中 央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果 要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之 一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设 计四周边衬的宽度? 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中 央的矩形两边之比也为9:7 解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm
(1)
(2)
解:(1)如图，设道路的宽为 x米，则
( 32 2 x )( 20 2 x ) 540 化简得，
实际问题与一元二次方程大全
22.3 实际问题与一元二次方程(1)增长率问题问题1.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为12万元,求该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是多少?[命题意图]本题主要考查平均增长率问题.[解析]本例属于平均增长率问题,若设平均增长率为x,则今年的投资额为2(x+1)万元,明年的投资额为2(x+1)2万元,由今明两年的投资总额为12万元可列方程.解:设这两年在实验器材投资上的平均增长率为x,根据题意可列方程:2(1+x)+2(1+x)2=12化简整理得:x2+3x-4=0 解这个方程得:x1=1,x2=-4(负值不合题意,应舍去)答:该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为100%.[思路探究]在本例中,12万元是两年的投资总额,不是最后一年的投资额,不能错误地列出方程2(1+x)2=12;另外在解这个方程时,还可把(1+x)当作一个整体,用换元法解.问题2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？老师点评分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x．•因为一月份是1万台，那么二月份应是（1+x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即（1+x）+（1+x）x=（1+x）2，那么就很容易从第一季度总台数列出等式．解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，则1+（1+x）+（1+x）2•=3.31 去括号：1+1+x+1+2x+x2=3.31整理，得：x2+3x-0.31=0解得：x=10%答：（略）以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．问题3：电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．分析：设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系．解：设平均增长率为x则200+200（1+x）+200（1+x）2=950整理，得：x2+3x-1.75=0解得：x=50%答：所求的增长率为50%．三、巩固练习（1）某林场现有木材a立方米，预计在今后两年年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?（2）某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________．四、应用拓展例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．分析：设这种存款方式的年利率为x ，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x ·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x ·80%，其它依此类推． 解：设这种存款方式的年利率为x则：1000+2000x ·80%+（1000+2000x ·8%）x ·80%=1320整理，得：1280x 2+800x+1600x=320，即8x 2+15x-2=0解得：x 1=-2（不符，舍去），x 2=18=0.125=12.5% 答：所求的年利率是12．5%．例4.(2012,,10分,限时10分钟)某农户1988年承包荒山若干亩,投资7800元改造后种果树2000棵,其成活率为90%,在2001年夏季全部结果时,随意摘下10棵果树的水果,称得重量如下(单位:千克):8,9,12,13,8,9,10,11,12,8(1)根据样本平均数估计该农户2001年水果的总产量是多少?(2)此水果在市场出售每千克售1.3元,在果园每千克售1.1元,该农户用农用车将水果拉到市场出售,平均每天出售1000千克,需8人帮助,每人每天付工资25元,若两种出售方式都在相同的时间售完全部水果,选择哪 种出售方式合理?为什么?(3)该农户加强果园管理,力争到2003年三年合计纯收入达57000元,求2002年,2003年平均每年增长率是多少?[命题意图]本例考查平均数意义及应用,方案的选择,平均增长率等知识.[解析](1)中由样本平均数估计出总体平均数,进而估计出2001年水果的总产量,(2)通过计算,比较哪种销售方式所获收入多,(3)根据2001,2002,2003年纯收入的和为57000元,列方程求解.解(1)10100101)812111098131298(101_=⨯=+++++++++=x (千克) ∴2001年水果总产量为2000×90%×10=18000(千克)(2)在果园出售时收入为1.1×18000=19800元送到市场销售收入为23400元,用人工费为3600元,实际收入19800元,因市场销售还有运输费等费用,故在果园出售合理.(3)设平均每年的增长率为x,根据题意可列方程:(19800-7800)[1+(1+x)+(1+x)2]=57000解得:x 1=-3.5(不合题意,应舍去)x 2=0.5=50%答(1)2001年的水果总产量为18000千克.(2)在果园销售合算.(3)年平均增长率为50%.作业设计一、选择题1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、•三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出的方程是（ ）．A ．100（1+x ）2=250B ．100（1+x ）+100（1+x ）2=250C ．100（1-x ）2=250D ．100（1+x ）22．一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）．A ．（1+25%）（1+70%）a 元B ．70%（1+25%）a 元C ．（1+25%）（1-70%）a 元D ．（1+25%+70%）a 元3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，•售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为（ ）．A ．100p p +B ．pC ．1001000p p -D ．100100p p+ 5.市政府为迎接2008年奥运会,决定改善城市面貌,绿化环境,计划经过两年时间,绿地面积增加44%,则这两年平均每年绿地面积的增长率是A.19%B.20%C.21%D.25%1.某超市一月份的营业额为200万元,一,二,三月份的营业额为1000万元,设平均每月的营业额为增长率为x,则由题意列方程为A.200+200×2x=1000B.200(1+x)2=1000C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000二、填空题1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x ，第一年的产量为6万kg ，•第二年的产量为_______kg ，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．2．某糖厂2002年食糖产量为at ，如果在以后两年平均增长的百分率为x ，•那么预计2004年的产量将是________．3．•我国政府为了解决老百姓看病难的问题，•决定下调药品价格，•某种药品在1999年涨价30%•后，•2001•年降价70%•至a•元，•则这种药品在1999•年涨价前价格是__________．三、综合提高题1．为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000年我省某地退耕还林1600亩，计划到2002年一年退耕还林1936亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2．红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台，•从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比是3：2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，•求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量．3．某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，•以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营．（1）如果第一年的年获利率为p ，那么第一年年终的总资金是多少万元?（•用代数式来表示）（注：年获利率=年利润年初投入资金×100%） （2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．9.某网络公司2000年各项经营收入中,经营电脑配件收入600万元,占全部经营总收入的40%,该公司预计2002年经营总收入达到2160万元,且计划从2000到2002年每年经营总收入的年增长率相同,问2001年的预计经营总收入为多少万元?问题1：某工程队在我市承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250m 2,因为准备工作不足，第一天少拆了20%。
22.3.3实际问题与一元二次方程(3)
22.3.3实际问题与一元二次方程（3）学习目标：1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．2.经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能使用一元二次方程对之实行描述。
3.通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．4.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，了解数学对促动社会进步和发展人类理性精神的作用．重点、难点重点：列一元二次方程解相关匀变速直线运动问题的应用题难点：发现相关匀变速直线运动问题中的等量关系活动一阅读教材P51— 52 , 完成课前预习探究一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，•紧急刹车后汽车又滑行25m 后停车．（1）从刹车到停车用了多少时间?（2）•从刹车到停车平均每秒车速减少多少?（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）?分析：（1）刚刹车时时速还是m/s，以后逐渐减少，停车时时速为m/s．•因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以能够理解是匀速的，所以，其平均速度为2002+=10m /s ，那么根据：t =s v，可求出所求的时间．解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m ；从刹车到停车的平均车速是2002+=10 （m /s ）那么从刹车到停车所用的时间t = =2.5（s ）（2）很明显，刚要刹车时车速为 m /s ，停车车速为 ，车速减少值为 － =20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的 （秒）内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可．解：从刹车到停车，车的速度的减少值是20－0=20，所用时间为：2.5（s ）。
从刹车到停车每秒平均车速减少值是202.5=8（m /s ）（3）设刹车后汽车滑行到15m 的时侯约用时间为x 秒．•因为平均每秒减少车速已从上题求出为8（m /s ），所以便可求出滑行到15米时的车速为 ，从而可求出刹车到滑行到15m 的平均速度为 。
223实际问题与一元二次方程辅导资料(含答案)
22.3 实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步提高分析问题、解决问题的意识和能力。
在利用一元二次方程解决实际问题，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．主要学习下列两个内容：1. 列一元二次方程解决实际问题。
一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答六个步骤，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键. 主要设置了【典例引路】中的例1、例2、例4.【当堂检测】中的第1、2题，【课时作业】中的第1，2，11题.2. 一元二次方程根与系数的关系。
一般地，如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是1x 和2x ，那么ac x x a b x x =•,=+2121-．主要设置了【典例引路】中的例3.【当堂检测】中的第4题，【课时作业】中的第6、7题.点击一： 列方程解决实际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程.概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案.一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：(1)审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系.(2)设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接).(3)列：是指列方程，根据等量关系列出方程.(4)解：就是解所列方程，求出未知量的值.(5)验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去.(6)答：即写出答案，不要忘记单位名称.总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键.针对练习1: 某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2008年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意，所列方程正确的是（ ）A ．300(1＋x )=363B ．300(1＋x )2=363C ．300(1＋2x )=363D ．363(1－x )2=300【解析】B 设平均增长百分率为x ，由题意知基数为300公顷，则到2004年底的绿化面积为：300+300x =300（1+x ）（公顷）；到2008年底的绿化面积为：300（1+x ）+300（1+x ）x =300（1+x ）2公顷，而到2008年底绿化面积为363公顷，所以300(1＋x )2=363． 点击二：一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系。
22.3实际问题与一元二次方程(销售问题)
2
x 30 0 .5
x 1 0 .5 = 2 7 5 0 .5
整理得： 2 x 1 1 x 5 = 0 解得：
x1 = 5 ， x 2 = 0 .5
答：当每间商铺的年租金定为15万元或10.5万元时，该公司的年收益为 275 万元.
解：设每件应涨价 x 元，依题意得
5 500 - 10 x =8000
x 40x 300= 0
x1 = 1 0 ， x2 = 30
当x=10时，进货量为： 5 0 0 -1 0 x = 5 0 0 -1 0 1 0 = 4 0 0（个） 当x=30时，进货量为： 500-10x= 500 -1 0 30 = 20 0（个）
40 - x 20 2 x =1200
整理得： 解得：
x 30x 200= 0
x1 = 1 0 ， x2 = 20
2
为了减少库存，则降价越大，售出越多，库存就越少.故应降价20元.
答：要盈利1200元的利润，每件应降价20元.
练习 2
某公司投资新建了一商场，共有商铺 30 间．据预测，当每间 的年租金定为 10 万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000 元，少租出商铺 1 间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用 1 万元，未租出的商铺每间每年交各种费用 5000 元． (1)当每间商铺的年租金定为 13 万元时，能租出多少间？ (2)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益为 275 万元？ (收益＝租金－各种费用) 解：（1）5000元=0.5万元 少租的间数为：（13-10）÷0.5=6（间） 租出的间数为： 30-6=24（间） （2）设每间的年租金增加 x 万元，依题意得
22.3实际问题与一元二次方程
探究2
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生 产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技 术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是 3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元， 哪种药品成本的年平均下降率较大?
自学教材46页探究2，按要求回答下列问题，自学 后能讲解本问题。（6分钟） 1、药品成本年平均下降额与年平均下降率有什么 区别和联系？ 2、列方程求出乙种药品成本的年平均下降率。 3、思考：经过计算,你能得出什么结论?成本下降 额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗 ?应 怎样全面地比较对象的变化状况? 4、你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关 系是吗？
B.500(1+x)2=720 D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两 年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器 材投资上的平均增长率是x,则可列方程为
*3.美化城市，改善人们的居住环境 已成为城市建设的一项重要内容。某 城市近几年来通过拆迁旧房，植草， 栽树，修公园等措施，使城区绿地面 积不断增加（如图所示）。（1）根 据图中所提供的信息回答下列问题： 2001年底的绿地面积为 60 。 公顷，比2000年底增了 4 。 公顷；在1999年，2000年，2001年这 三年中，绿地面积增加最多的是 ____________年； 2000 （2）为满足城市发展的需要，计划 到2003年底使城区绿地面积达到72.6 公顷，试求2002年,2003年两年绿地 面积的年平均增长率。
则：(1)第一年的本息和为：2000+2000X(1-20%)x 整理为：2000+1600x;
22.3实际问题与一元二次方程(2)
cm，左右边衬的宽均
庆云县学案
人教版初中数学九年级上册
各显神通：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决 上面的问题？ 我来试试：
三、尝试应用 在一幅长 8 分米，宽 6 分米的矩形风景画的四周镶宽度相同的金 色纸边， 制成一幅矩形挂图， 如果要使整个挂图的面积是 80 平方分米， 求金色纸边的宽。 我会做：
一、温故知新 考考你的记性：用一元二次方程解应用题的一般步骤及关键是什 么？组内交流。 二、探索发现 走进生活：如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm， 正中央是一个与封面长宽比例相同的长方形。如果要使四周的彩色边 衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽应 如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位） 教师引领：通过阅读我们了解到本题有上下边衬的宽度和左右边 衬宽度两个未知数，要解决这个问题的关键是找出这两个边衬宽度之 间有什么关系。 （独立思考，组内交流） 我来分析：我们发现在此问题中有以下数学信息：封面的长宽之 比与中央长方形的长宽之比相同是 ，四周的彩色边衬面积 占整个封面面积的 ，即中央图形占封面面积的 我来解答：如果设中央长方形的长是 9acm 则宽为 由此得 上下边衬与左右边衬得宽度之比是： ： = ： 设上下边衬的宽均为 9xcm，则左右边衬的宽均为 ，则中央 长方形的长为 ，宽为 cm。 根据中央图形面积占封面面积的 可得方程： 整理得： 解方程得： 根据实际意义得：上下边衬的宽均为 为 cm。
六、畅谈收获 1、我的收获与你分享； 2、你的困惑帮你解决。
庆云县学案
人教版初中数学九年级上册
庆云县学案 课 单 题 位
人教版初中数学九年级上册 课 型 新授 李树霞
22.3 实际问题与一元二次方程 （2）
22.3 实际问题与一元二次方程——图形面积问题1
四、设计封面问题
例4：如图，要设计一本书的封面，封面 长28cm,宽20cm,正中央是一个矩形图 案, 面积为整个封面面积的四分之三, 又知矩形图案的四周边衬等宽，应如 何设计四周边衬的宽度? （只列出方程)
选做
四、设计封面问题
变式：如图，要设计一本书的封面，封面 长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面 长宽比例相同的矩形,如果要使四周边衬 所占面积是封面面积的四分之一,且上、 下边衬等宽， 左、右边衬等宽， 应如何设计四周边衬的宽度? (结果保留一位小数。）
（2）折成的长方体盒子的 侧面积会不会有最大值？
选做 二度
三、画片镶边问题
例3：在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景 画的四周镶一条金色纸边，制成一幅 矩形挂图，使整个挂图的面积是 5400cm2，求金色纸边的宽度.
三、画片镶边问题
练习：要为一幅长29cm、宽22cm的矩形 照片配一个镜框，要求镜框的四条边 宽度相等，且镜框所占面积为照片面 积的三分之二，镜框边的宽度应为多 少？ （只列出方程)
22.3
实际问题与一元二次方程 ——图形面积问题1
一、田间小路问题
例1：在一块长为50米,宽为30米的矩形 土地,要开出同样宽的两条道路(一条纵 向,一条横向,且互相垂直),余下种草， 使草地面积占整块地面积的75%,问:道 路宽为多少米?
一、田间小路问题
例1：在一块长为50米,宽为30米的矩形 土地,要开出同样宽的两条道路(一条纵 向,一条横向,且互相垂直),余下种草， 使草地面积占整块地面积的75%,问:道 路宽为多少米?
一、田间小路问题
例1：在一块长为50米,宽为30米的矩形 土地,要开出同样宽的两条道路(一条纵 向,一条横向,且互相垂直),余下种草， 问题
(整理)实际问题与一元二次方程.
时间：班级：姓名：内容：-22.3.2实际问题与一元二次方程(2) 主备：审核：一、学习目标掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。
二、学习重、难点重点：如何解决增长率与降低率问题；难点：解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x增长（或降低）率,n 为增长（或降低）的次数,b为增长（或降低）后的量。
三、学习过程（一）复习、感知1．某商品原价289元，降价后售价为256元，求该商品价格的降低率是多少？2．某乡产粮大户，2007年粮食产量为50吨，由于加强了经营和科学种田，2008年粮食产量上升到60.5吨.求粮食产量增长的百分率.（二）探究、发现探究2：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙中药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1 吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？要设计一本书的封面，封面长27cm,宽21cm，正中央是一个与整体封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占的面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？图见课本47页22.3-1（三）互动、归纳：这种增长率（或降低率）的问题在实际生活普遍存在，有一定的模式：若增长(或降低)前的量是a (即起始量或原来的量为a)。
平均增长(或降低)百分率为x,①第一次增长(或降低)后的量是：；②第二次增长(或降低)后的量是：；③第n次增长(或降低)后的量是：（四）课堂训练1．某商品连续两次降价10%后为m 元，则该商品原价为（ ） A ．1.12m 元 B ．1.12m 元 C ．0.81m 元 D ．0.81m 元 2．某钢铁厂去年1月份某种钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月的增长率为x ，根据题意，得（ ）A ．5000（1+x 2）=7200 B ．5000（1+x ）+5000（1+x ）2=7200 C ．5000（1+x ）2=7200 D ．5000+5000（1+x ）+5000（1+x ）2=72003.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，如果二、三月份平均增长的百分率相同，求这个月平均增长率？4. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，•商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193．6万元，求这两个月的平均增长率．（五）布置作业：习题22.3第5、6、7、8、题时间： 班级 ： 姓名： 内容：第二十二章 一元二次方程小结与复习 主备： 审核：第二十二章 一元二次方程小结与复习（分3课时完成）一、知识结构二、知识点归纳1．方程中只含有_______•未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（ ）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．2．解一元二次方程的一般解法有（1）_________；（2）________；（•3）•_________；（•4）•求根公式法，•求根公式是3．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根．4.一元二次方程的根与系数的关系：（根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零）结论1．如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么：acx x a b x x =⋅-=+2121, 结论2．如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q ． 5.一元二次方程应用题．三、典型习题(一)一元二次方程概念1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-5x=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，63．方程x（x-1）=2的两根为（）．A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=24．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则（）．A．1 B．-1 C．0 D．25．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．6．一元二次方程的一般形式是．7．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．8．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．9．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）x-（x+1）是一元二次方程？10．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？11．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．（二）解一元二次方程的方法：1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-32．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-113．方程x2+4x-5=0的解是________．4．代数式2221x xx---的值为0，则x的值为________．5．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数．6．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．7．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．8．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．9．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．10．已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）•=0的根的情况是________．11．如果x 2-4x+y 2，则（xy ）z •=12.某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x++（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． （2）若使方程为一元一次方程m 是否存在？若存在，请求出．13.用直接开平方法解下列方程（1）3x 2+9=0 （2）8x 2-16=0 （3）（x-13）2=892（x-3）2=7214．用配方法解下列方程（1）x 2-8x+1=0 （2）x 2-2x-12=0 （3）9y 2-18y-4=0 （4）x 215.用公式法解下列方程．（1）2x 2-x-1=0 （2）x 2+1.5=-3x (3) x 2x+12=0 （4）4x 2-3x+2=016．用因式分解法解下列方程．（1）3y 2-6y=0 （2）25y 2-16=0 （3）x 2-12x-28=0 （4）x 2-12x+35=017.不解方程，判定方程根的情况（1）16x 2+8x=-3 （2）9x 2+6x+1=0 （3）2x 2-9x+8=0 （4）x 2-7x-18=0 18.不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：013)1(2=--x x 0532)2(2=-+x x 02231)3(=-x x362)4(2=+x x1)5(2=-x12)6(2=+-x x19.已知方程032=+-m x x 的一个根是1，求另一根及m 的值.20.已知方程042=+-c x x 的一个根为32+，求另一根及c 的值.21.已知xx 21,是方程01322=-+x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值.x x 2122)1(+ xx2111)2(+ )3)(321)(3(--x x))(4(212x x - x x x x 212122)5(⋅+⋅ xx xx 2112)6(+22.若关于x 的一元二次方程（a-2）x 2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a 的式子表示）．23. m 为何值时,（1）方程01342=++-m x x有两个不相等的正数根？（2）方程0+mx的两根异号？-x1222=+（三）一元二次方程应用题解决增长率与降低率问题1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，•第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．2．某糖厂2010年食糖产量为a吨，如果在以后两年平均增长的百分率为x，•那么预计2012年的产量将是________．3．•我国政府为了解决老百姓看病难的问题，•决定下调药品价格，•某种药品在1999年涨价30%•后，•2001•年降价70%•至a•元，•则这种药品在1999•年涨价前价格是__________．4.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为5.公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．面积与面积之间的关系1．矩形的周长为，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．2．长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．3. 如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，•修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为500m2，道路的宽为多少？4．在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?如何全面地比较几个对象的变化状况的问题1．一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．2．甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，•最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．3．一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，•第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，设每次倒出液体xL，•则列出的方程是________．4.某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，•那么商场平均每天可多售出34•张．•如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．5新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，•平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，•商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少?6.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，•据市场分析，•若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?7．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?8．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，•现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，•如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?9．某玩具厂有4个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a （a>0）个成品，且每个车间每天都生产b （b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、•周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同．（1）这若干名检验员1天共检验多少个成品?（用含a 、b 的代数式表示） （2）若一名检验员1天能检验45b 个成品，则质量科至少要派出多少名检验员? 一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系应用10、设：3a2－6a －11=0，3b 2－6b －11=0且a ≠b ，求a 4－b 4的值。
22.3实际问题与一元二次方程(1)
解：设2002年,2003年 中考题 两年绿地面积的年平 美化城市，改善人们的居住环境已成 均增长率为x，根据题 为城市建设的一项重要内容。某城市 意，得 近几年来通过拆迁旧房，植草，栽树， (1＋x)2＝72.6 ． 60 修公园等措施，使城区绿地面积不断 (1＋x)2=1.21． 增加（如图所示）。（1）根据图中 所提供的信息回答下列问题：2001年 ∴1＋x=±1.1． ∴ x1 = 0.1=10%, 底的绿地面积为 公顷，比 60 2000年底增加了 公顷；在1999 x2 =－2.1(不合题意,舍 4 年，2000年，2001年这三年中，绿 去) 答： 2002年,2003年 地面积增加最多的是 1998 1999 2000 2001 2000 ____________年； 两年绿地面积的年平 （2）为满足城市发展的需要，计划 均增长率为10%．
答：每轮传染中平均一台电脑会感染8台电脑.
2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长 出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91, 每个支干长出多少小分支?
解:设每个支干长出x个小分支,
则1+x+x x=91 2 x 90 0 即 x
●
小 分 支
小 分 支
…… …… 主 干
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x， 则5000(1-x)2=3000
解得：x1 ≈0.225=22.5%，x2 ≈1.775（舍） 答：甲种药品成本的年平均下降率为22.5%.
小结 类似地 这种增长率的问题在实际生活 普遍存在,解决问题有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前 的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数 量关系可表示为
解：设每个商品涨价x元，则(500-10x)· [(50+x)-40]=8000， ∴ x2 40x 300 0, 解得：x1=10 ，x2=30 当x=10时,50+ x =60，500 —10 x=400；
22.3 实际问题与一元二次方程
22.3 实际问题与一元二次方程223 实际问题与一元二次方程在我们的日常生活和工作中，一元二次方程有着广泛的应用。
它不仅仅是数学课本上的一个知识点，更是解决许多实际问题的有力工具。
比如说，在农业生产中，农民伯伯需要规划田地的种植面积。
假设一块矩形田地，长比宽多 10 米，面积为 500 平方米。
我们就可以设这块田地的宽为 x 米，那么长就是 x ＋ 10 米。
根据矩形面积等于长乘宽，可列出方程 x(x ＋ 10) ＝ 500，通过求解这个一元二次方程，就能算出田地的长和宽，从而更好地进行种植规划。
再比如，在商业领域，一家商店计划销售某种商品。
已知该商品的进价为每件 30 元，售价为每件 50 元时，每天能卖出 200 件。
如果售价每提高 1 元，每天的销量就会减少 10 件。
为了获得每天 2240 元的利润，商品的售价应该定为多少呢？我们可以设售价提高了 x 元，那么单件利润就是 50 ＋ x 30 ＝ 20 ＋ x 元，每天的销量就是 200 10x 件。
根据利润等于单件利润乘以销售量，可得到方程（20 ＋ x)（200 10x)＝ 2240。
解这个方程，就能得出合适的售价，帮助商家制定最优的销售策略。
还有在建筑工程中，要建造一个靠墙的矩形花坛。
如果墙的长度为20 米，花坛的面积需要达到 100 平方米。
设花坛平行于墙的一边长为x 米，那么垂直于墙的一边长就是(100 ／x)米。
因为花坛有一边靠墙，所以花坛的周长为 x ＋ 2(100 ／ x)米。
考虑到材料成本的限制，总周长不能超过 40 米，就可以列出一元二次方程 x ＋ 2(100 ／ x) ＜＝ 40，通过求解这个方程，就能确定花坛边长的合理取值范围，从而在保证美观和实用的前提下，有效地控制成本。
在几何图形问题中，也常常会用到一元二次方程。
例如，一个直角三角形的两条直角边相差 3 厘米，面积为 6 平方厘米。
设较短的直角边为 x 厘米，那么较长的直角边就是 x ＋ 3 厘米。
22.3实际问题与一元二次方程(销售问题)
3.总售价=单价x总销售量
2.某农场去年种植了10亩地的 南瓜，亩产量为2000kg，根据市 场需要，今年该农场扩大了种植面 积，并且全部种植了高产的新品种 南瓜，已知南瓜种植面积的增长率 是亩产量增长率的的2倍，今年南 瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩 产量的增长率。
3.某个体经营户以2元/kg的价格购进一批 西瓜，以3元/kg的价格出售，每天可卖出 200kg，为了促销，该经营户决定降价销 售。经调查发现这种西瓜每降价0.1元 /kg ,每天可多售出40kg（每天房租等费 用共计24元），该经营户要想赢利200元， 应将每千克的西瓜的售价降低多少元？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（销售问题）
列方程解应用题的一般步骤？
第一步：审清题意，找出等量关系。 第二步：设未知数(单位名称); 第三步：根据相等关系列出列出方程； 第四步：解这个方程，求出未知数的值； 第五步：检验求得的值是否符合实际意义； 第六步：写出答案（及单位名称）。
提示：隐含条件的挖掘，从中找等量关系。
1.利润=售价-进价 2.利润率=
2n +3
• 例1 有一个两位数，它的十位数字比个位数 字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的 3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数。 • 例2 已知三个连续奇数，其中最小的数的平 方的3倍减去25和两个较大数的平方和相等， 试求这三个数。
－3，－1，1或15，17，19
• 例3 有一个两位数，个位数字与十位数字的 和为14，交换数字位置后，得到新的两位数， 比这两个数字的积还大38，求这个两位数。
例5.一个三角形的三边长是三个 连续奇数，这三个连续奇数的平 方和为155，这个三角形三条边 长各是多少？
问题 展示：
22.3实际问题与一元二次方程(增长率问题)
a(1 x) b
2
练习:
雪融超市今年的营业额为280万元，计划后 年的营业额为403.2万元，求平均每年增长 的百分率？
练习卷第15题
设平均每年增长的百分率为x，依题意得：
280(1+x)2=403.2
探究:
政府要降低药品价格,某针剂单价由100元经过
两次降价,降至64元,设平均每次下降的百分率
问题:
某校去年对实验器材的投资为2万元, (1)若设该校今年在实验器材投资上的平均增长 率是x,则今年的投资总额是 2+2x 即=2(1+x) ； (2)该校明年在实验器材投资上的平均增长率也 是x,则明年的投资总额是 2(1+x)+2(1+x)x ， =2(1+x)(1+x)=2(1+x)2 即 ； 复习:1、因式分解：
(1)2+2x
(2)2(1+x)+2(1+x)x
2、解方程:
2 （1） 100(1 x) 64
复习:
3、2万元增长10%是 2+2×10%=2+0.2=2.2万元 。
4、列一元二次方程解应用题的步骤？
①审题， ②设未知数，
③找等量关系， ④列方程，
⑤解方程， ⑥检验，⑦写答.
3000(1+x)+ 2 3000(1+x) 3000(1+x)x
解:设这两个月的平均增长率为x,依题意有
3000(1+x)2=3630
归纳:
1、增长率问题：设基数为a，平均增长
率为x，则一次增长后的值为 a(1 x) ，
二次增长后的值为
a(1 x) ．
22.3 实际问题与一元二次方程(3)
22.3 实际问题与一元二次方程（3）：（1）数字问题：有关数字的应用题，大致可以分为三种：即一般数字关系，连续数和数字排列等问题。
涉及和，差，倍，分，奇数，偶数。
（2）几何图形问题：解决此类问题的关键是将不规则图形分割或组成规则图形，找到已知量与未知量的内在联系，根据面积（体积）公式列出方程。
（3）平均增长（降低）率问题，解决此问题通常是利用公式建立方程。
a（1±x）2=b a（1±x）n=b（4）利润问题：解决利润问题常用的关系有：①利润=售价—进价；②利润率=利润／进价×100％=（售价—进价）／进价×100％；③售价=进价（1+利润率）；④总利润=单个利润×销售量=总收入—总支出数字问题：例1.有一个两位数，个位数字和十位数字的和是14，交换数字的位置之后，得到新的两位数，比这两个数字的积还大38，求这个两位数。
1.两个连续的偶说的积是288，则这两个偶数的和等于2.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调之后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积是736，求原来的两位数。
利润问题：例1.某商场人员在销售中发现“宝乐”牌童装每天可销售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取降价措施，扩大销售量，增加利润，减少库存。
市场调查发现，如果童装每降价1元，那么平均每天就可多销售2件，要想平均每天在销售这种童装的上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？1.将进价为40元的商品按照50元出售时，每月能卖500个，已知该商品煤涨价1元，其每月销售量就减少10个，为了每个月获8000元利润，售价应定在多少元？进货量为多少？2.某玩具店采购员第一次用去100元采购了“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时，发现批发价格上涨了0.5元／件，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的均价为2.8元，则第二次采购玩具多少件？工程问题：3.甲。
新人教版九年级数学上22.3实际问题与一元二次方程复习-课件-2
1 根据题意，得 2 D
C
6x 8 0
解这个方程，得
x1 2, x2 4
A P
Q
0 x 6
所以2秒或4秒后⊿ PBQ的 面积等于8cm2
B
解：设AP=x，则PR=x，PB=8-x 根据题意得：x 8-x 16 整理得：x 8 x 16 0
2
例2：等腰直角⊿ ABC中,AB=BC=8cm, 动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点 P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别 交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行 四边形PQCR的面积等于16cm2?
A R P
解这个方程得：x1 x2 4 答：当AP 4cm时，四边形面积为16cm 2
x 80cm x 50cm x
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点 B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC 边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出 发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
解：设x秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2
2
2. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色 纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图 的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足 的方程是【B 】 A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0 C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0
二、列方程解应用题的关键是:
找出相等关系.
一元二次方程及应用题
1、球类比赛问题、互赠礼物问题： 2、细菌传播问题： 3、面积、体积问题：
2 a (1 x ) b 4、增长率、减少率问题
22.3实际问题与一元二次方程(1)【超强实用版】
应用2：某种植物的主干长出若干数目的 支干,每个支干又长出同样数目的小分支, 主干,支干和小分支的总数是91,每个支 干长出多少小分支?
解:设每个支干长出x个小分支。
列方程 得1+x+x =91
2
化为一般形式 2 x 90小 分 支小来自分 支…… …… 主 干
小 分 支
小 分 支
……
……
x
新 细 胞
新 细 胞
…… ……
细胞
新 细 胞
新 细 胞
新细胞
……
……
x x
x
新细胞
4.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两 队之间都赛1场,计划安排15场比赛,应邀请多少个 球队参加比赛?
5.一个QQ群中有若干好友，每个好友都分别给群 里其他好友发送了一条信息，这样共有756条信息， 这个QQ群中共有多少个好友？ 6.参加一次聚会的每两人都握了1次手,所有人共握 手10次,有多少人参加聚会?
谢谢！
有一个人患了流感,经过两轮传染后有121人患了 流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析:设每轮传染中平均一个人传染了x人
第一轮的传染源—— 1人
第一轮新增患病人数 X人
第二轮的传染源（第一轮后患病人数） (X+1)人 第二轮新增患病人数 x(X+1)人 第二轮后患病人数
=121 (X+1) +x(X+1)人
解：设平均一台电脑会感染x台电脑. 列方程 1 x x 1 x 81 2 整理，得 x+1 81 直接开平方，得 x+1 9
所以 x1 8 x2 -10（舍去）
81+81×8=729（人）
九年级数学上册 实际问题与一元二次方程总复习 人教新课标版
22.3实际问题与一元二次方程（总复习）前几节课我们已经接触到了一些实例，我想大家已经学会并掌握了运用一元二次方程解决实际问题的步骤与方法。
今天这节课我们对实际问题与一元二次方程做一个总结式复习。
首先，我们回顾下解题步骤。
我把这个解题过程分成了五个部分：这五个部分是：审、设、列、解、检。
审：就是审题，通过审题找出未知量、已知量、及它们之间的数量关系和相等关系。
设：就是设未知数，并用未知数的字母代数式表示其他相关量。
列：根据题意，用等量关系列出方程。
解：用学过的配方法，公式法或因式分解法解一元二次方程。
检：检验根的准确性和是否符合实际意义。
这里我要强调一下，同学们不要忽视这最后一步，很多同学在平时做作业和考试中，都会因为没有检验白白得丢了分数。
现在我们步入正题。
运用一元二次方程解决实际问题时，一般出题者会从三个大方向来出题：平均增长率的问题、营销及利润问题、几何图形的问题。
无论出题者怎样变换题型，我们都要从基础出发，抓住题干中的信息，通过审、设、列、解、检，来解决问题。
下面我们通过中考题来体会下这三个题型的基本解题思路：1.（2011某某东营，22，10分）(本题满分10分) 随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进入普通家庭，成为居民消费新的增长点。
据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆。
求：2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；【答案】解：设该市汽车拥有量的年平均增长率为x ，根据题意，得21521.6x =（1+) 解得120.220%, 2.2x x ===-（不合题意，舍去）2.（2011某某凉山州，6，4分）某品牌服装原价173元，连续两次降价00x后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（ ）A ．()2001731127x += B ．()0017312127x -=C ．()2001731127x -= D ．()2001271173x +=【答案】C 通过这两个题，我们可以初步总结出：平均增长率公式：a (1＋x ) n ＝b (a 为起始量，b 为终止量，n 为增长的次数，x 为平均增长率)。
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【教学任务分析】
知识 技能 过程 方法 情感 态度 重点 难点
实际问题与一元二次方程复习
兴蒙学校 杜宝春
教 学 目 标
1.通过回顾与思考， 进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型. 2.能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的 合理性. 1.经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，进一步体会利用 一元二次方程解决实际问题的一般规律和方法． 2.增强数学的应用意识，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力和意识. 经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从 而更好地理解方程的意义和作用，激发 ( x 2) 24 200 ，化简得：-50 x 2 +275x-378=0，解 0.1
之得：x1=2.8(舍去), x2=2.7，所以，售价定位 2.7 元/kg 时，每天可盈利 200 元，此时售价降低了 3-2.7=0.3（元/kg）. 1.一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握 手 66 次，这次到会的人数是_______人. 2.某种出租车的收费标准是： 起步价 7 元 （即行驶距离不超过 3km 都需付 7 元车费） ；超过 3km 以后，每增加 1km，加收 2.4 元（不足 1km 按 1km 计） ， 某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费 19 元， 则此人从甲地到乙地 经过的路程（ ） A．正好 8km B．最多 8km C．至少 8km D．正好 7km 3.某电脑公司 2009 年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为 600 万 元，占全年经营总收入的 40℅，该公司预 计 2011 年经营总收入要达到 2160 万元， 且计划从 2009 到 2011 年，每年经营总收 入的增长率相同.问 2010 年经营总收入为 多少万元？ 4.如图所示，某村计划建造如图所示的矩 形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2：1，在温室内，沿前侧内墙保留 3m 宽 的空地，其他三侧内墙各保留 1m 宽的通道，当矩形温室的长与宽为多少 时，蔬菜种植区域的面积为 288m2？ 5. 某海关缉私艇发现在正北方 30 海里的 A 处有一艘可疑船只测得它正以 60 海里/时的速度向正东方向航行，随即调整方向，以 75 海里/时的速度 准备在 B 处迎头拦截，试问经过多少时间能赶上？ 1.列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类 似，即审、设、列、解、检、答． 2.这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有 两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求． 3. 列方程时： （1）注意各类应用题中常用的等量关系．例如面积问题中 有关的面积公式，还要注意挖掘题目中隐含的等量关系； （2）注意单位问题：一是在设元时必须写清单位，用对单位，例如不要 把速度单位写成路程单位． 二是在列方程时， 要注意方程两边的单位必须 一致．
学生结合上 节所做的题目总 结.
教师适当的 总结、点评.
教师出示问 题，学生尝试完 成，然后小组讨 论， 掌握自己完成 的程度. 教师巡视，了 解学生对两题的
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综 合 应 用
【分析】 （1）经过 2 次降价，那么等量关系为： 原价× （1-降低的百分率）2=现在的价格，把相关数值代入即可求解． 2 （2） 设三、 四月份平均每月增长的百分率是 x， 60 （1-10%） （1+x） =91.26 例题 2 西瓜经营户以 2 元/千克的价格购进一批小型西瓜，以 3 元/千克的 价格出售,每天可售出 200 千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查 发现,这种小型西瓜每降价 O.1 元/千克，每天可多售出 40 千克.另外，每 天的房租等固定成本共 24 元.该经营户要想每天盈利 2O0 元， 应将每千克 小型西瓜的售价降低多少元? 【分析】设售价定为 x 元/kg 时，每天可盈利 200 元，则：由题意得：
理解情况， 以便在 讲解中做到有的 放矢 . 个别有困难 的小组或个人， 适 当的点拨或帮助. 充分讨论交 流后， 各小组展示 自己的成果， 教师 认真听取， 并给出 肯定或纠正， 然后 教师根据情况讲 解. 两生板演过 程， 其他学生在练 习本上完成. 学生独立完 成.
矫 正 补 偿
教师巡视，了 解学生完成的情 况， 及时的纠正和 指导.
列一元二次方程解决实际生活中的实际问题 分析并找出问题中相关数量之间的相等关系
【教学环节安排】
环 节 教 学 问 题 设 计 教学活动设计
教师出示问 题.
知 识 回 顾
1．列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1）审:认真审题，分清题意,弄清已知和未知,寻找相等关系; （2）设:就是设未知数,分直接设未知数和间接设未知数,所谓直接设未知 数就是问什么设什么,反之就是间接设未知数,到底选择何种方式设未知 数,要以有利于列出方程为准则. （3）列:就是根据题目中的已知量和未知量之间的关系列出方程. （4）解:就是求出所列方程的解.列一元二次方程解应用题时,一般会产生 两个解,必须检验每个解是否符合题意和生活实际,再正确取舍. （5） 答:就是写出答案． 在答之前应对解得的方程进行检验,舍去不符合实 际意义的解. 2.列一元二次方程解应用题,关键是正确地找到等量关系.如何迅速地探求 出相等关系列出方程呢? (1)要正确熟练地作语言与式子的互化; (2)充分运用题目中所给的条件; (3)要善于发现利用间接的,潜在的等量关系; (4)对一般应用题,可以从以下几个方面着手寻找相等关系; ①利用题目中的关键语句作为相等关系; ②利用公式、定理作为等量关系; ③从生活、生产实际经验中发现等量关系. 例 1（1）政府近几年下大力气降低药品价格，希望使广大人民群众看得 起病吃得起药，某种针剂的单价由 100 元经过两次降价，降至 64 元，设 平均每次下降的百分率为 x，则可列方程______________. （2）某商厦今年一月份销售额为 60 万元，二月份由于种种原因，经营不 善，销售额下降 10%，以后加强改进管理，经减员增效，大大激发了全 体员工的积极性，月销售额大幅度上升，到四月份销售额猛增到 91.26 万 元，设三、四月份的平均增长率为 x，则可列方程__________.
学生举手回答 每道题的答案， 教 师进行点评 . 对于 在巡视中发现的 较多的问题详解.
完 善 整 合
教师总结利用 一元二次方程解 决实际问题的方 法和规律， 学生认 真的听取， 并做好 笔记.
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