中考数学总复习单元自我测试第四章三角形自我测试

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中考数学总复习《三角形的综合题》专项测试卷-附参考答案

中考数学总复习《三角形的综合题》专项测试卷-附参考答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(共12题；共24分)1．如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使⊥CDO＝45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（）A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．保持不变2．如图，△ABC中BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①∠DFB=∠DBF；②△EFC为等腰三角形；③△ADE的周长等于△BFC的周长；④∠BFC= 90∘+12∠A.其中正确的是（）A．①②B．①③C．①②④D．①②③④3．如图，在⊥ABC中，已知⊥1＝⊥2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝（）A．3B．4C．5D．64．如图，在5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）．A．2B．3C．4D．55．有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2√2，AD=4，上面有一个以AD为直径的半圆（如图1），E 为边AB上一点，将纸片沿DE折叠，A点恰好落在BC上，此时半圆还露在外面的部分（如图2，阴影部分）的面积是（）A．π−2B．2−π2C．43π−√3D．23π−16．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A．7，24，25B．12，412，512C．3，4，5D．4，712，8127．给出下列说法：①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；②三角形的三边a、b、c满足a2+c2＝b2则⊥C＝90°；③⊥ABC中，若⊥A：⊥B：⊥C＝1：5：6则⊥ABC是直角三角形；④⊥ABC中，若a：b：c＝1：2：√3则这个三角形是直角三角形.其中，错误的说法的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，已知菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上的动点，且PC=CQ.连接PD、AQ则PD+AQ的最小值为（）A．4√5B．√89C．2√5+5D．7√29．如图，点D是⊥ABC外的一点，BD，CD分别平分外角∠CBE，∠BCF连接AD交BC于点O．下列结论一定成立的是（）A．DB＝DC B．OA＝ODC．⊥BDA＝⊥CDA D．⊥BAD＝⊥CAD10．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点PE⊥BC，PF⊥CD垂足分别为E，F连接AP，EF下列结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD与四边形PEFD的面积相等.其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③11．如图，在矩形ABCD中AB=2，∠AOB=60°则BD的长为（）A．1B．2C．3D．412．如图，点D是⊥ABC内一点AD=CD，∠ADB=∠CDB则以下结论①∠DAC=∠DCA；②AB= AC；③BD平分⊥ABC；④BD与AC的位置关系是互相垂直，其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题(共6题；共7分)13．如图，△ABC是直角三角形∠ACB=90°，分别以AC、CB为边向两侧作正方形.若图中两个正方形的面积和S1+S2=36，则AB=.14．如图，DE是⊥ABC的中位线，AF是BC边上的中线，DE，AF交于点O.现有以下结论：①DE⊥BC；②OD=14BC；③AO=FO；④S⊥AOD=14S⊥ABC，其中正确结论的序号为。

2014届浙江中考数学总复习《图形的认识与三角形》自我测评(ppt版)(13年中考试题为例)

A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
5．(2013· 武汉)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A ＝36° ， BD 是 AC 边上的高，则∠DBC 的度数是( A )
A．18° B．24° C．30° D．36°
6．如图，在直角△ABC 中，∠BAC＝90° ，AB＝ 8，AC＝6，DE 是 AB 边的垂直平分线，垂足为 D，交边 BC 于点 E，连结 AE，则△ACE 的周长为( A )
10． (2013· 西宁)如图，已知 OP 平分∠AOB， ∠AOB ＝60° ，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E.如果点 M 是 OP 的中点，则 DM 的长是( )
A．2
B. 2
C. 3
D．2 3
解析： ∵∠AOB＝60° ， OP 平分∠AOB， CP∥OA， ∴∠AOP ＝ ∠BOP ＝ ∠CPO ＝ 30° .∵CP ＝ 2 ， ∴OC ＝ 2.∵PE⊥OB，∴∠PEC＝90° .又∵∠PCE＝60° ，∴CE OE 1 ＝ CP＝1， ∴OE＝3.在 Rt△POE 中， cos∠POE＝ OP， 2 3 3 即 cos 30° ＝OP， ∴OP＝＝2 3.在 Rt△POD 中， cos 30° 1 ∵M 是 OP 的中点，∴DM＝ OP＝ 3.故选 C. 2 答案：C
9．如图，在四边形 ABCD 中，点 P 是对角线 BD 的中点，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点，AD＝BC， ∠PEF＝30° ，则∠PFE 的度数是( )
A．15° B．20°
C．25°ຫໍສະໝຸດ D．30°解析：∵在四边形 ABCD 中， P 是对角线 BD 的中点，E，F 分别是 AB，CD 的中点，∴ FP，PE 分别 1 是△ CDB 与△ DAB 的中位线，∴ PF＝ BC， PE＝ 2 1 AD. ∵ AD＝ BC，∴ PF＝PE，故△ EPF 是等腰三角 2 形．∵∠ PEF＝ 30° ，∴∠ PFE＝∠PEF＝ 30° .故选 D. 答案： D

山东省济南市中考数学一轮复习第四章几何初步与三角形检测卷-人教版初中九年级全册数学试题

第四章单元检测卷(考试时间：120分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)1．若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是( )A．14 B．10 C．3 D．22．如图，已知直线a∥b，AC⊥AB，AC与直线a，b分别交于A，C两点，若∠1＝60°，则∠2的度数为( )A．30° B．35° C．45° D．50°3．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线．则对应作法错误的是( )A．① B．② C．③ D．④4．如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B＝30°，∠C＝100°，如图2.则下列说法正确的是( )A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远5．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )A ．CB ＝CD B ．∠BAC＝∠DACC ．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°6．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC 按如图方式放置(∠ABC＝30°)，其中A ，B 两点分别落在直线m ，n 上．若∠1＝20°，则∠2的度数为( )A ．20° B．30° C．45° D．50°7．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为( )A ．4B ．6C ．16D ．558．如图，C ，E 是直线l 两侧的点，以C 为圆心，CE 长为半径画弧交l 于A ，B 两点，又分别以AB 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于点D ，连接CA ，CB ，CD ，下列结论不一定正确的是( )A ．CD⊥lB ．点A ，B 关于直线CD 对称C ．点C ，D 关于直线l 对称 D ．CD 平分∠ACB9．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB ＝AC ，点D 为边AC 的中点，DE⊥BC 于点E ，连接BD ，则tan∠DBC 的值为( )A.13B.2－1 C ．2－3D.1410．如图，已知△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且CD ＝CE ，连接DE 并延长至点F ，使EF ＝AE ，连接AF ，CF ，连接BE 并延长交CF 于点G.下列结论： ①△ABE≌△ACF；②BC＝DF ；③S △ABC ＝S △ACF ＋S △DCF ；④若BD ＝2DC ，则GF ＝2EG.其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)11．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：__________________________________________________，该逆命题是______命题(填“真”或“假”)．12．如图，已知在△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，垂足为E ，交AC 于点D.若AB ＝6，AC ＝9，则△ABD 的周长是________．13．在△ABC 中，如果∠A，∠B 满足|tan∠A－1|＋(cos∠B－12)2＝0，那么∠C＝__________．14．如图，长方体的底面边长分别为2 cm 和4 cm ，高为 5 cm.若一只蚂蚁从点P 开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q ，则蚂蚁爬行的最短路径长为________cm.15．如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限．△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是____________；翻滚2 017次后AB的中点M经过的路径长为__________．三、解答题(本大题共5个小题，共55分)16．(本题满分9分)如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于点F.(1)猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；(2)求线段BD的长．17．(本题满分10分)如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE＝AC，连接BE，过A作AH⊥CD于点H，交BE于点F.求证：(1)△ABC ≌△ADE；(2)BF＝EF.18．(本题满分11分)今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”某某行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截住可疑船只，此时D点与B点的距离为75 2 海里．(1)求B点到直线CA的距离；(2)执法船从A到D航行了多少海里？(结果保留根号)19．(本题满分12分)我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点．过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形，若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”．(1)等边三角形“内似线”的条数为________；(2)如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD.求证：BD是△ABC的“内似线”；(3)如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，E，F分别在边AC，BC上，且EF 是△ABC的“内似线”，求EF的长．20．(本题满分13分)如图，在△ABC中，BC＞AC，点E在BC上，CE＝CA，点D在AB上，连接DE，∠ACB＋∠ADE＝180°，作CH⊥AB，垂足为H.(1)如图1，当∠ACB＝90°时，连接CD ，过点C 作CF⊥CD 交BA 的延长线于点F. ①求证：FA ＝DE ；②请猜想三条线段DE ，AD ，CH 之间的数量关系，直接写出结论；(2)如图2，当∠ACB＝120°时，三条线段DE ，AD ，CH 之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论．参考答案11．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等假15．(5，3) (1 34633＋896)π16．解：(1)AC⊥BD.证明如下： ∵△DCE 由△ABC 平移而成， ∴BE＝2BC ＝6，DE ＝AC ＝3， ∠E＝∠DCE＝∠ACB＝60°. ∵BC＝CD ，∴∠CBD＝∠CDB. 又∵∠DCE＝∠CBD＋∠CDB＝60°， ∴∠CBD＝30°，∴∠BDE＝90°，∴BD⊥DE.又∵∠E＝∠ACB＝60°， ∴AC∥DE，∴AC⊥BD. (2)由(1)知，BD⊥DE， ∴△BED 是直角三角形． ∵BE＝6，DE ＝3，∴BD＝BE 2－DE 2＝62－32＝3 3. 17．证明：(1)∵AB⊥AD，AE⊥AC， ∴∠BAD＝90°，∠CAE＝90°， ∴∠BAC＋∠CAD＝∠CAD＋∠DAE， ∴∠BAC＝∠DAE. 在△ABC 和△ADE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAC＝∠DAE，AC ＝AE ， ∴△ABC≌△ADE.(2)由(1)知，△ABC≌△ADE， ∴∠AEC＝∠ACB.在Rt△ACE 中，∠ACE＋∠AEC＝90°， ∴∠BCE＝90°.∵AH⊥C D ，AE ＝AC ，∴CH＝HE. ∵∠AHE＝∠BCE＝90°，∴BC∥FH， ∴BF FE ＝CHHE＝1，∴BF＝EF. 18．解：(1)如图，过点B 作BH⊥CA 交CA 的延长线于点H ，∵∠MBC＝60°，∴∠CBA＝30°， ∵∠NAD＝30°，∴∠BAC＝120°. ∴∠BCA＝180°－∠BAC－∠CBA＝30°. ∴BH＝BC·sin∠BCA＝150×12＝75.答：B 点到直线CA 的距离为75海里． (2)∵BD＝752，BH ＝75， ∴DH＝BD 2－BH 2＝75.∵∠BAH＝180°－∠BAC＝60°，在Rt△ABH 中，tan∠BAH＝BHAH ＝3，∴AH＝253，∴AD＝DH －AH ＝75－25 3.答：执法船从A 到D 航行了(75－253)海里． 19．(1)3(2)证明：∵AB＝AC ，∴∠ABC＝∠ACB. 又∵BD＝BC ＝AD ，∴∠BAD＝∠ABD，∠BDC＝∠C. 设∠A＝x ，则∠ABD＝x ， ∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x ， ∠C＝2x ，∠ABC＝2x.又∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°， ∴x＋2x ＋2x ＝180°，∴x＝36°， ∴∠A＝∠DBC＝36°，∠C＝∠BDC＝72°.∴△ABC∽△BDC.又∵∠DBC＝180°－72°－72°＝36°， ∴BD 平分∠ABC，∴BD 过△ABC 的内心， ∴BD 是△ABC 的“内似线”．(3)解：在Rt△ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝5，作△ABC 内接圆⊙O，∵⊙O 到各边距离相等设为r ，则S △AB C ＝12r·(3＋4＋5)．又∵S △ABC ＝12AC·BC＝12×3×4＝6，∴r＝1.第一种情况，△CEF∽△CAB，如图1，过O 作直线EF∥AB 分别交边AC ，BC 于E ，F ，EF 是△ABC 的“内似线”，过O 作OM⊥AC 于M ，作ON⊥BC 于N ，∴OM＝ON ＝1，且ON∥AC，OM∥BC，易证△EOM∽△ABC∽△OFN.∴OE OM ＝AB BC ，OE ＝53，OF ON ＝AB AC ，∴OF＝54， ∴EF＝53＋54＝3512.第二种情况，△CEF∽△CBA.如图2，同理可得 OE ＝54，OF ＝53，EF ＝3512.综上，EF ＝3512.20．(1)①证明：∵CF⊥CD，∴∠FCD＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠FCA＋∠ACD＝∠ACD＋∠DCE， ∴∠FCA＝∠DCE.∵∠FAC＝90°＋∠B，∠CED＝90°＋∠B， ∴∠FAC＝∠CED.∵AC＝EC ，∴△AFC≌△EDC，∴FA＝DE.word 11 / 11 ②DE＋AD ＝2CH.(2)解：AD ＋DE ＝23CH.理由如下：如图，连接CD ，作∠FCD＝∠ACB，交BA 延长线于点F ，∵∠FCA＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD，∴∠FCA＝∠BCD.∵∠EDA＝60°，∴∠EDB＝120°. ∵∠FAC＝120°＋∠B，∠DEC＝120°＋∠B， ∴∠FAC＝∠DEC.∵AC＝EC ，∴△FAC≌△DEC，∴AF＝DE ，FC ＝DC.∵CH⊥FD，∴FH＝HD ，∠FCH＝∠HCD＝60°.在Rt△CHD 中，tan 60°＝DH CH ， ∴DH＝3CH.∵AD＋DE ＝AD ＋AF ＝2DH ＝23CH ，即AD ＋DE ＝23CH。

【四川版】2020中考数学复习试题：第四单元_图形的初步认识与三角形单元测试卷_含答案

单元测试(四) 图形的初步认识与三角形(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知∠α＝32°，求∠α的补角为( C )A ．58°B ．68°C ．148°D ．168° 2．(2016·黔南)下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是( B )3．(2016·重庆)如图，直线a ，b 被直线c 所截，且a∥b，若∠1＝55°，则∠2等于( C ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．125°4．如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠B ＝40°，则直角边BC 的长是( B )A ．msin40°B ．mcos40°C ．mtan40° D.mtan40°5．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，点D ，E 分别在AC ，AB 上，则∠1＋∠2的大小为( B ) A ．120° B ．240° C ．180° D ．300°6．(2015·黄冈)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，设AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E ，交BC 于点D ，CD ＝3，则BC 的长为( C )A ．6B ．6 3C ．9D ．3 37．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为( C ) A. 3 B．2 C．3 D．2 38．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE 的周长为( C )A．20 B．12 C．14 D．139．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且AE∶ED＝3∶1，CE的延长线与BA的延长线交于点F，则S△AFE∶S 四边形ABCE为( D )A．3∶4 B．4∶3 C．7∶9 D．9∶710．(2016·武汉)平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( A )A．5 B．6 C．7 D．8提示：由点A，B的坐标可得到AB＝22，然后分类讨论：①AC＝AB；②BC＝AB；③CA＝CB，确定C点的个数．二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图，△A BD≌△CBD，若∠A＝80°，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数为130°．12．若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足a2－9＋(b－2)2＝0，则第三边c的取值范围是1<c<5．13．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB214．如图，AC ，BD 相交于O ，AB ∥DC ，AB ＝BC ，∠D ＝40°，∠ACB ＝35°，则∠AOD＝75°．15．(2015·巴中)如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD ，AE 分别为△ABC 的中线和角平分线，过点C 作CH⊥AE 于点H ，并延长交AB 于点F ，连接DH ，则线段DH 的长为1．16．(2016·凉山)如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC＝90°，AB ＝AD ＝32，CD ＝22，点P 是四边形ABCD 四条边上的一个动点，若P 到BD 的距离为52，则满足条件的点P 有2个．三、解答题(共46分)17．(10分)如图，AC ＝AE ，∠1＝∠2，AB ＝AD.求证：BC ＝DE.证明：∵∠1＝∠2， ∴∠CAB ＝∠EAD.在△BAC 和△DAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AE ，∠CAB ＝∠EAD，AB ＝AD ，，∴△BAC ≌△DAE(SAS)． ∴BC ＝DE.18．(10分)某校八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC ＝20 cm ，宽AB ＝16 cm 的矩形纸片ABCD ，②将纸片沿着直线AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 处，…，请你根据①②步骤解答下列问题： (1)找出图中∠FEC 的余角； (2)计算EC 的长．解：(1)∠CFE，∠BAF.(2)设EC ＝x cm ，则EF ＝DE ＝(16－x)cm ，AF ＝AD ＝20 cm. 在Rt △ABF 中， BF ＝AF 2－AB 2＝12 cm ， FC ＝BC －BF ＝20－12＝8(cm)．在Rt △EFC 中，EF 2＝FC 2＋EC 2， ∴(16－x)2＝82＋x 2，解得x ＝6. ∴EC 的长为6 cm.19．(12分)(2015·泸州)如图，海中一小岛上有一个观测点A ，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A 的西南方向上的B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A 的北偏西60°方向上的C 处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B 处开始航行多少小时，离观测点A 的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)解：过点A 作AP ⊥BC，垂足为P.设AP ＝x 海里．在Rt △APC 中，∵∠APC ＝90°，∠PAC ＝30°，∴tan ∠PAC ＝CPAP .∴CP ＝AP·tan ∠PAC ＝33x. 在Rt △APB 中，∵∠APB ＝90°，∠PAB ＝45°， ∴BP ＝AP ＝x.∵PC ＋BP ＝BC ＝30×12，∴33x ＋x ＝15，解得x ＝15（3－3）2. ∴PB ＝x ＝15（3－3）2.∴航行时间为：15（3－3）2÷30＝3－34(小时)．答：该渔船从B 处开始航行3－34小时，离观测点A 的距离最近．20．(14分)(2015·资阳)如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边DC ，CB 上的点，且DE ＝CF ，以AE 为边作正方形AEHG ，HE 与BC 交于点Q ，连接DF. (1)求证：△ADE≌△DCF；(2)若E 是CD 的中点，求证：Q 为CF 的中点；(3)连接AQ ，设S △CEQ ＝S 1，S △AED ＝S 2，S △EAQ ＝S 3，在(2)的条件下，判断S 1＋S 2＝S 3是否成立？并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AD ＝CD ，∠ADE ＝∠DCF＝90°. 又∵DE＝CF ，∴△ADE ≌△DCF. (2)证明：易证△ECQ∽△ADE， ∴CQ DE ＝CE AD . ∵CE AD ＝DE AD ＝12， ∴CQ DE ＝CQ CF ＝12，即点Q 是CF 的中点． (3)S 1＋S 2＝S 3成立．理由：∵△ECQ∽△ADE，∴CQ DE ＝QE AE .∴CQ CE ＝QEAE .又∵∠C＝∠AEQ ＝90°，∴△AEQ ∽△E CQ. ∴△AEQ ∽△ECQ ∽△ADE.∴S 1S 3＝(EQ AQ )2，S 2S 3＝(AE AQ)2. ∴S 1S 3＋S 2S 3＝(EQ AQ )2＋(AE AQ )2＝EQ 2＋AE 2AQ2. ∵EQ 2＋AE 2＝AQ 2，∴S 1S 3＋S 2S 3＝1，即S 1＋S 2＝S 3.。

中考数学总复习《三角形与全等三角形》专项测试卷(带有答案)

中考数学总复习《三角形与全等三角形》专项测试卷(带有答案)时间：45分钟满分：100分学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．(2023·长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )A．1，3，4 B．2，2，7C．4，5，7 D．3，3，62．(2023·凉山州)如图，点E，点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是( )第2题图A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DECC．AB＝DC D．AF＝DE3．(2023·济宁)如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD相交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于( )第3题图A．180°－α B．180°－2αC．90°＋α D．90°＋2α4．(2023·巴中)如图，在Rt△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点D，E分别为AC，BC中点，连接AE，BD，相交于点F，点G在CD上，且DG∶GC＝1∶2，则四边形DFEG的面积为( )第4题图A．2 cm2B．4 cm2C．6 cm2D．8 cm25．(2023·浙江)如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为( )第5题图A．12 B．14 C．18 D．246．一个三角形的两边长分别是3和3，则第三边长可以是．(只填一个即可) 7．(2023·丽水)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB.若AB＝4，则DC的长是．第7题图8．(2022·南京)在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图所示，点A的坐标(－1，0)，点D的坐标是(－2，4)，则点C的坐标是．第8题图9．(2023·遂宁)如图，以△ABC的边AB，AC为腰分别向外作等腰直角△ABE，△ACD，连接ED，BD，EC，过点A的直线l分别交线段DE，BC于点M，N.以下说法：①当AB＝AC＝BC时，∠AED＝30°②EC＝BD ③若AB＝3，AC＝4，BC＝6，则DE＝2 3 ④当直线l⊥BC时，点M为线段DE的中点．正确的有．(填序号)第9题图10．(2023·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A 为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF.第10题图(1)求证：△ADE≌△ADF；(2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．11．(2023·大连)如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于点F，BC＝DE，AC＝AE，∠ACF＋∠AED＝180°.求证：AB＝AD.第11题图12．(2023·聊城)如图，在四边形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C.第12题图(1)求证：∠EAD＝∠EDA；(2)若∠C＝60°，DE＝4，求△AED的面积．参考答案1．(2023·长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是( C)A．1，3，4 B．2，2，7C．4，5，7 D．3，3，62．(2023·凉山州)如图，点E，点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是( D)第2题图A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DECC．AB＝DC D．AF＝DE3．(2023·济宁)如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD相交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于( C)第3题图A．180°－α B．180°－2αC．90°＋α D．90°＋2α4．(2023·巴中)如图，在Rt△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点D，E分别为AC，BC中点，连接AE，BD，相交于点F，点G在CD上，且DG∶GC＝1∶2，则四边形DFEG的面积为( B)第4题图A．2 cm2B．4 cm2C．6 cm2D．8 cm25．(2023·浙江)如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为( C)第5题图A．12 B．14 C．18 D．246．一个三角形的两边长分别是3和3，则第三边长可以是(示例)3．(只填一个即可)7．(2023·丽水)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB.若AB＝4，则DC的长是4．第7题图8．(2022·南京)在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图所示，点A的坐标(－1，0)，点D的坐标是(－2，4)，则点C的坐标是(2，5)．第8题图9．(2023·遂宁)如图，以△ABC的边AB，AC为腰分别向外作等腰直角△ABE，△ACD，连接ED，BD，EC，过点A的直线l分别交线段DE，BC于点M，N.以下说法：①当AB＝AC＝BC时，∠AED＝30°②EC＝BD ③若AB＝3，AC＝4，BC＝6，则DE＝2 3 ④当直线l⊥BC时，点M为线段DE的中点．正确的有①②④．(填序号)第9题图10．(2023·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A 为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF.第10题图(1)求证：△ADE≌△ADF；(2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．解：(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线由作图知，AE ＝AF. 在△ADE 和△ADF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AF ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，∴△ADE ≌△ADF(SAS)；(2)∵∠BAC ＝80°，AD 为△ABC 的角平分线 ∴∠EAD ＝12∠BAC ＝40°由作图知，AE ＝AD. ∴∠AED ＝∠ADE∴∠ADE ＝12×(180°－40°)＝70°∵AB ＝AC ，AD 为△ABC 的角平分线 ∴AD ⊥BC.∴∠BDE ＝90°－∠ADE ＝20°.11．(2023·大连)如图，在△ABC 和△ADE 中，延长BC 交DE 于点F ，BC ＝DE ，AC ＝AE ，∠ACF ＋∠AED＝180°.求证：AB ＝AD.第11题图证明：∵∠ACB ＋∠ACF ＝∠ACF ＋∠AED ＝180°在△ABC 和△ADE 中 ⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DE ，∠ACB ＝∠AED ，AC ＝AE ，∴△ABC ≌△ADE(SAS) ∴AB ＝AD.12．(2023·聊城)如图，在四边形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且BE ＝CD ，∠B ＝∠AED＝∠C.第12题图(1)求证：∠EAD＝∠EDA；(2)若∠C＝60°，DE ＝4，求△AED 的面积．解：(1)证明：∵∠B ＝∠AED ＝∠C ，∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ＝∠AED ＋∠CED ∴∠BAE ＝∠CED 在△ABE 和△ECD 中 ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CED ，∠B ＝∠C ，BE ＝CD ，∴△ABE ≌△ECD(AAS) ∴AE ＝ED ∴∠EAD ＝∠EDA ；(2)∵∠AED ＝∠C ＝60°，AE ＝ED ∴△AED 为等边三角形 ∴AE ＝AD ＝ED ＝4 过A 点作AF ⊥ED 于点F.第12题图∴EF ＝12ED ＝2∴AF ＝AE 2－EF 2＝42－22＝2 3 ∴S △AED ＝12ED ·AF ＝12×4×23＝4 3.。

2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章第四节解直角三角形的实际应用知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章第四节解直角三角形的实际应用知识精练基础题1.(2023天津)sin 45°＋22的值等于()A.1B.2C.3D.22.(2023河北)淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观，如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的()第2题图A.南偏西70°方向B.南偏东20°方向C.北偏西20°方向D.北偏东70°方向3.(2023南充)如图，小兵同学从A 处出发向正东方向走x 米到达B 处，再向正北方向走到C 处，已知∠BAC ＝α，则A ，C 两点相距()A.x sin α米B.x cos α米C.x ·sin α米D.x ·cos α米第3题图4.如图所示的网格是边长为1的正方形网格，则cos ∠CAB 的值为()第4题图A.55B.255C.22D.255.(2023包头)如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cosα的值为()A.34B.43C.35D.45第5题图6.(2023十堰)如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)()第6题图A.1.59米B.2.07米C.3.55米D.3.66米7.(北师九下P20第2题改编)如图是某水库大坝的横截面示意图，已知AD∥BC，且AD，BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度i＝1∶0.6，为提高大坝的防洪能力，需对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度i＝3∶4，则大坝底端增加的长度CF为()第7题图A.7米B.11米C.13米D.20米8.(2023武汉)如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是________cm.(结果精确到0.1cm，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)第8题图9.[新考法—跨学科](2022凉山州)如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β(反射角等于入射角)，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为________．第9题图10.[新考法—数学文化](2023枣庄改编)桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处．如图所示是桔槔汲水的简单示意图，若已知杠杆AB＝6米，AO∶OB＝2∶1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为________米．(结果保留根号)第10题图11.成都第31届世界大学生夏季运动会代表建筑主火炬塔，其构造设计理念为“大运之光”，塔身整体采用钢结构制作，造型呈细腰型，底座为直径约13米的内外同心圆环，内环延伸出4根主管呈螺旋上升型，外环12根副管与主管反向螺旋上升，象征着十二条太阳光芒螺旋升腾聚集于阳燧，寓意“东进兴川之光”．某数学活动小组利用课余时间测量主火炬塔的高度，在点A 处放置高为1米的测角仪AB ，在B 处测得塔顶F 的仰角为30°，沿AC 方向继续向前行38米至点C ，在CD 处测得塔顶F 的仰角为65°(点A ，C ，E 在同一条直线上)，依据上述测量数据，求出主火炬塔EF 的高度．(结果保留整数，参考数据：3≈1.73，sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47)第11题图拔高题12.[新考法—跨学科](2023甘肃省卷)如图①，某人的一器官后面A 处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：课题检测新生物到皮肤的距离工具医疗仪器等示意图第12题图①第12题图②说明如图②，新生物在A 处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B 处照射新生物，检测射线与皮肤MN 的夹角为∠DBN ；再在皮肤上选择距离B 处9cm 的C 处照射新生物，检测射线与皮肤MN 的夹角为∠ECN .测量数据∠DBN ＝35°，∠ECN ＝22°，BC ＝9cm请你根据上表中的测量数据，计算新生物A 处到皮肤的距离．(结果精确到0.1cm ，参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)13.雨量监测站是一款以物联网为基础的现代型雨量站，通过这款设备，人们能远程获得降雨量的数据，并能根据当地环境气象判断出未来雨量情况，从而安排合理的农业作业．如图①是雨量监测站的实物图，如图②是该监测站的简化示意图，其中支杆AB，CD与支架MN 的夹角分别为∠BAM＝45°，∠DCM＝30°，支杆AB与太阳能供电板的夹角∠ABD＝85°，且支杆AB，CD的端点A，C的距离为14cm，支杆CD的端点D到支架MN的水平距离为16cm，求支杆AB，CD的端点B，D之间的距离．(结果精确到0.1cm.参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，3≈1.73)图①图②第13题图参考答案与解析1.B【解析】原式＝22＋22＝2.2.D【解析】∵南北方向是平行的，∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向．3.B 【解析】∵在Rt △ABC 中，cos α＝AB AC ，∴AC ＝AB cos α.∵AB ＝x ，∴AC ＝x cos α.4.B 【解析】如解图，连接BD ，在△ABD 中，AB ＝32＋12＝10，AD ＝22＋22＝22，BD ＝12＋12＝2，∴AD 2＋BD 2＝AB 2，∴△ABD 是直角三角形，∴cos ∠CAB ＝AD AB＝255.第4题解图5.D 【解析】如解图，∵两个正方形的面积分别为1，25，∴两个正方形的边长分别为CD ＝1，AB ＝5，设Rt △ABC 的AC 边为x ，则x 2＋(x ＋1)2＝52，解得x 1＝3，x 2＝－4(舍去)，∴BC ＝4，∴cos α＝BC AB ＝45.第5题解图6.D 【解析】根据题意可知，∠BAD ＝90°，∠BCA ＝45°，AB ＝5，∴AC ＝AB ＝5，在Rt △ABD中，∠D ＝30°，∴tan 30°＝AB AD ，∴AD ＝AB tan 30°＝5tan 30°＝53，∴CD ＝AD －AC ＝53－5≈3.66(米).7.C 【解析】如解图，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，过点E 作EN ⊥BC 于点N .由题意可知DM ＝EN ＝15，∵背水坡CD 的坡度i ＝1∶0.6，∴DM CM ＝53，∴CM ＝9.∵DE ＝MN ＝2，∴CN ＝7.∵背水坡EF 的坡度i ＝3∶4，∴EN NF ＝157＋CF＝34，解得CF ＝13.第7题解图8.2.7【解析】如解图，过点B 作BD ⊥OA 于点D ，过点C 作CE ⊥OA 于点E .在△BOD 中，∠BDO ＝90°，∠DOB ＝45°，∴BD ＝OD ＝2cm ，∴CE ＝BD ＝2cm.在△COE 中，∠CEO ＝90°，∠COE ＝37°，∵tan 37°＝CE OE≈0.75，∴OE ≈2.7cm.∴OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数约为2.7cm.第8题解图9.43【解析】由平面镜反射知识可知α＝∠A ＝β＝∠B ，∴tan α＝tan B ＝OD BD.易知△ACO ∽△BDO ，∴AC BD ＝OC OD ＝36＝12.∵CD ＝12，∴OD ＝8，∴tan α＝tan B ＝43.10.(3＋2)【解析】如解图，过点O 作OC ⊥BT ，垂足为C ，由题意得BC ∥OM ，∴∠AOM ＝∠OBC ＝45°，∵AB ＝6米，AO ∶OB ＝2∶1，∴AO ＝4米，OB ＝2米，在Rt △OBC 中，BC ＝OB ·cos 45°＝2×22＝2(米).∵OM ＝3米，∴此时点B 到水平地面EF 的距离＝BC ＋OM ＝(3＋2)米．第10题解图11.解：如解图，设BD 的延长线与EF 交于点G ，由题意可得∠FDG ＝65°，∠FGD ＝90°，∴∠DFG ＝25°.AB ＝CD ＝EG ＝1米，AC ＝BD ＝38米，设FG ＝x 米，在Rt △BFG 中，∠FBG ＝30°，tan 30°＝FG BG ＝x BG ＝33，解得BG ＝3x ，在Rt △DFG 中，∠DFG ＝25°，tan 25°＝DG FG ＝DG x≈0.47，解得DG ＝0.47x ，∴BD ＝BG －DG ＝3x －0.47x ＝38，解得x ≈30，∴EF ＝FG ＋EG ＝30＋1＝31(米).∴主火炬塔EF 的高度约为31米．第11题解图12.解：如解图，过点A 作AF ⊥MN ，垂足为点F ，设BF ＝x cm ，∵BC ＝9cm ，∴CF ＝BC ＋BF ＝(x ＋9)cm.在Rt △ABF 中，∠ABF ＝∠DBN ＝35°，∴AF ＝BF ·tan 35°≈0.7x cm.在Rt △ACF 中，∠ACF ＝∠ECN ＝22°，∴AF ＝CF ·tan 22°≈0.4(x ＋9)cm ，∴0.7x ＝0.4(x ＋9)，解得x ＝12，∴AF ＝0.7x ＝8.4cm ，∴新生物A 处到皮肤的距离约为8.4cm.第12题解图13.解：如解图，过点B 作BE ⊥MN 于点E ，过点D 分别作DF ⊥MN 于点F ，作DG ⊥BE 于点G ，则易得四边形DGEF 是矩形，DF ＝16cm ，∴EF ＝DG ，DF ＝GE .在Rt △CDF 中，∠CFD ＝90°，tan ∠DCF ＝DF CF ，∴CF ＝DF tan ∠DCF ＝16tan 30°＝1633＝163cm.∵∠BAE＝45°，∴∠ABE＝45°，AE＝BE.∵∠ABD＝85°，∴∠DBG＝∠ABD－∠ABE＝85°－45°＝40°.在Rt△DBG中，∠BGD＝90°，sin∠DBG＝DGBD，cos∠DBG＝BGBD，∴DG＝BD·sin∠DBG＝BD·sin40°≈0.64BD，BG＝BD·cos∠DBG＝BD·cos40°≈0.77BD，∴AE＝BE＝BG＋GE＝(0.77BD＋16)cm.∵AF＝AE＋EF＝AC＋CF，∴0.77BD＋16＋0.64BD＝14＋163，解得BD≈18.2cm.答：支杆AB，CD的端点B，D之间的距离约为18.2cm.第13题解图。

2023年中考数学总复习第四章《三角形》综合测试卷及答案

2023年中考数学总复习第四章《三角形》综合测试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A.85°B.75°C.65°D.60°（第1题图）（第2题图）2.如图，平行线AB，CD 被直线EF 所截，过点B 作BG⊥EF 于点G，已知∠1=50°，则∠B=（）A.20°B.30°C.40°D.50°3.如图，太阳光线与水平线成70°角，窗子高AB=2米，要在窗子外面上方0.2米的点D 处安装水平遮阳板DC，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC 的长度至少是（）A．米B．2sin70°米C．米D． 2.2cos70°米（第3题图）（第5题图）4.在Rt△ABC 中，∠C=90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tanB 的值是（）A．B．3C．D．5.如图，每个小方格的边长为1，A，B 两点都在小方格的顶点上，点C 也是图中小方格的顶点，并且△ABC 是等腰三角形，那么点C 的个数为（）A.1B.2C.3D.46.已知三角形三边长分别为2，x，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为（）A.2B.3C.5D.137.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（）A．2B．3C．4D．（第7题图）（第8题图）8.如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D，DE 是BC 的垂直平分线，点E 是垂足．已知DC=5，AD=2，则图中长为的线段有（）A．4条B．3条C．2条D．1条9.如图，在△ABC 外任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，连接DE，EF，DF，得△DEF，则下列说法错误的是（）A．△ABC 与△DEF 是位似图形B．△ABC 与△DEF 是相似图形C．△ABC 与△DEF 的周长比为1∶2D．△ABC 与△DEF 的面积比为4∶1（第9题图）（第10题图）10.如图，在数轴上有A，B，C，D 四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A，D 两点表示的数分别为-5和6，且AC 的中点为E，BD 的中点为M，BC 之间距点B 的距离为BC 的点为N，则该数轴的原点为（）A．点EB．点FC．点MD.点N 11.如图，将宽为1cm 的纸条沿BC 折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（）（第11题图）（第12题图）12.如图，在△ABC 中，∠ABC=∠C，将△ABC 绕点B。

2023年中考数学专题复习——三角形、全等三角形、等腰三角形自我评估

2023年中考数学专题复习——三角形（一）自我评估（时间：分钟满分：100分）（班级：姓名：得分：）一、选择题（每小题3分，共30分）1. 以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（）A. 6 cm，8 cm，15 cmB. 7 cm，5 cm，12 cmC. 4 cm，6 cm，5 cmD. 8 cm，4 cm，3 cm2. 如图，AB∥DF，AC⊥CE于点C，BC与DF交于点E.若∠A=20°，则∠CEF等于（）A. 110°B. 100°C. 80°D. 70°第2题图第3题图第4题图第5题图3. 将一副三角尺按如图方式重叠，则∠1的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 105°4. 如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A. AB=BCB. EC=BFC. ∠A=∠DD. AB=CD5. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，AE∥BD，交CB的延长线于点E.若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A. 40°B. 45°C. 60°D. 70°6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD，交AB于点E，则下列结论一定成立的是（）A. BC=ECB. BC=BEC. EC=BED. AE=EC第6题图第7题图第8题图第9题图7. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A. 30°B. 36°C. 40°D. 45°8. 如图，在边长为12的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD=12CD，过点D作DE⊥AB于点E，F为边AC上一点，连接EF，DF，M，N分别为EF，DF的中点，连接MN，则MN的长为（）A. 3B. 2C. 23D. 49. 如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上10. 如图，等边三角形A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于点D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3=D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边三角形A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于点D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4=D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边三角形A3C3C4……且点A1，A2，A3，…，A n都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△A n C n C n+1（n≥2，且n为整数）的周长和为（）A.11212nn---B.212nn-C.1212nn--D.1212nn+-第10题图二、填空题（每小题4分，共24分）11. 如图，∠1=∠2，BC=EC，请补充一个条件：能使用“AAS”方法判定△ABC≌△DEC.第11题图第12题图第13题图第14题图12. 如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是.13. 如图所示是由6个边长相等的正方形组合成的图形，∠1+∠2+∠3= °.14. 如图，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE.若∠EDM=84°，则∠A= °.15. 在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下列问题：如图，BD是ABCD的对角线，点E在BD 上，DC=DE=AE，∠1=25°，则∠C的大小是.第15题图第16题图16. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD=AC，E是AD延长线上一点，且AE=AB，过点E作EF ⊥AB于点F，则以下结论：①BD=EC；②∠ACE+∠BED=180°；③EC∥AB，④2AF=AC+AB；⑤△BEC 为等腰三角形.其中正确的有.（填序号）三、解答题（共46分）17.（8分）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E.求证：BC=ED.第17题图18.（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.（1）若∠C=42°，求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证：AE=FE.第18题图19. （12分）图中是一副三角尺，含45°角的三角尺Rt△DEF的直角顶点D恰好在含30°角的三角尺Rt△ABC 斜边AB的中点处，∠A=30°，∠E=45°，∠EDF=∠ACB=90°，DE交AC于点G，GM⊥AB于点M.（1）如图①，当DF经过点C时，作CN⊥AB于点N，求证：AM=DN；（2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于点H，作HN⊥AB于点N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由.①②第19题图20.（14分）（1）已知，△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE，若∠A=60°，如图①所示，求证：EB=AD；（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变，如图②所示，（1）中的结论是否成立，并说明理由.①②第20题图三角形（一）自我评估一、1. C 2. A 3. C 4. D 5. A 6. B 7. B 8. A 9. D 10. C二、11. ∠A=∠D 12. 1 13. 135 14. 21 15. 105°16. ①②④⑤三、17. 证明：因为∠1=∠2，所以∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即∠BAC=∠EAD. 又AB=AE，∠B=∠E，所以△ABC≌△AED.所以BC=ED.18.（1）解：因为AB=AC，所以∠B=∠C=42°.因为AD⊥BC，所以∠ADB=90°.所以∠BAD=90°-∠B=90°-42°=48°.（2）证明：因为AB=AC，AD⊥BC，所以∠BAD=∠CAD.因为EF∥AC，所以∠F=∠CAD.所以∠BAD=∠F.所以AE=FE.19.（1）证明：因为∠ACB=90°，D是AB的中点，所以CD=AD=BD.因为∠B=90°-∠A=60°，所以△BCD是等边三角形.因为CN⊥DB，所以DN=12 DB.因为∠EDF=90°，△BCD是等边三角形，所以∠ADG=30°.因为∠A=30°，所以GA=GD.因为GM⊥AB，所以AM=12AD.所以AM=DN.（2）解：因为DF∥AC，所以∠FDB=∠A=30°，∠AGD=∠GDH=90°.所以∠ADG=60°.因为∠B=60°，AD=DB，所以△ADG≌△DBH.所以AG=DH.因为GM⊥AB，HN⊥AB，所以∠GMA=∠HND=90°.因为∠A=∠FDB，所以△AMG≌△DNH.所以AM=DN.20.（1）证明：如图①，过点D作DF∥BC，交AC于点F.因为△ABC是等腰三角形，∠A=60°，所以△ABC是等边三角形.所以∠ABC=60°.因为DF∥BC，所以∠ADF=∠ABC=60°，∠FDC=∠DCE.所以△ADF是等边三角形.所以AD=DF，∠AFD=60°.所以∠DFC=180°-60°=120°.因为∠EBD=180°-60°=120°，所以∠DFC=∠EBD.因为∠DCE=∠DEC，所以∠FDC=∠DEC，ED=CD.所以△DBE≌△CFD.所以EB=DF.所以EB=AD.①②第20题图（2）解：EB=AD成立.理由如下：如图②，过点D作DF∥BC，交AC的延长线于点F.同（1）可证△A D F是等边三角形.所以AD=DF，∠A FD=60°.因为∠DBE=∠A BC=60°，所以∠DBE=∠A FD.因为∠FD C=∠DCE，∠DCE=∠DEC，所以∠F DC=∠DEC，ED=CD.所以△DBE≌△CFD.所以EB=DF.所以EB=AD.。

2024年中考数学复习(全国版)第四章三角形真题测试(基础卷)(解析版)

第三章三角形章节测试(时间：90分钟满分：120分)一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，直线AB CD ，GE EF 于点E．若60BGE ，则EFD 的度数是（）A．60B．30 C．40 D．70【答案】B 【分析】延长GE ，与DC 交于点M ，根据平行线的性质，求出FME 的度数，再直角三角形的两锐角互余即可求出EFD ．【详解】解：延长GE ，与DC 交于点M ，∵AB CD ，60BGE ，∴60FME BGE ，∵GE EF ，∴906030EFD ，故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解题的关键．2．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB 的卡钳，卡钳交叉点O 为AA 、BB 的中点，只要量出A B 的长度，就可以道该零件内径AB 的长度．依据的数学基本事实是（）A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C．两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例【答案】A【分析】根据题意易证AOBA．1【答案】D∴122AE AC②当点E为AC的四等分点时，如图所示：∴1AE ，综上所述：AE故选D．【点睛】本题主要考查含角形的性质及三角形中位线是解题的关键．A．4B．9C．12D．13.5【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质即可求出．【详解】解：∵ABC EDC ∽，∴::AC EC AB DE ，∵:2:3AC EC ，6AB ，∴2:36:DE ，∴9DE ，故选：B.【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.5．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，AB CD ∥，点E 在线段BC 上（不与点B ，C 重合），连接DE ，若40D ，60BED ，则B （）A．10B．20 C．40 D．60【答案】B 【分析】根据三角形的外角的性质求得20C ，根据平行线的性质即可求解．【详解】解：∵40D ，60BED ，∴20C BED D ，∵AB CD ∥，∴B 20C ，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．6．（2023·云南·统考中考真题）如图，A B 、两点被池塘隔开，、、A B C 三点不共线．设AC BC 、的中点分别为M N 、．若3MN 米，则AB （）A．4米【答案】B【分析】根据三角形中位线定理计算即可．A．2B．2 2【答案】A【分析】先根据等腰三角形的性质可得再判断出点,,,A B E D四点共圆，在以由圆周角定理得：90BDE ，45ADB C CBD ，45ABD DBE EBC ABD EBC ，【点睛】本题考查了圆内接四边形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，正确判断出点,,,A B E D 四点共圆，在以BE 为直径的圆上是解题关键．8．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，则旗杆高度为（）A．6.4mB．8m C．9.6m D．12.5m【答案】B 【分析】根据镜面反射性质，可求出ACB ECD ，再利用垂直求ABC EDC ∽，最后由图可知，AB BD，CD \Ð=Ð=°.ABC CDE90∵根据镜面的反射性质，∴ACF ECF，A．1B．3 2【答案】C【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出DH是AEF△的中位线，易证A．12 且CM DMB．13 且CM DM C．12 且OD DMD．23 且OD DM【答案】A 【分析】由作图过程可得：,OD OC CM DM ，再结合DM DM 可得SSS COM DOM ≌，由全等三角形的性质可得12 即可解答．【详解】解：由作图过程可得：,OD OC CM DM ，∵DM DM ，∴ SSS COM DOM ≌．∴12 ．∴A 选项符合题意；不能确定OC CM ,则13 不一定成立，故B 选项不符合题意；不能确定OD DM ,故C 选项不符合题意，OD CM ∥不一定成立，则23 不一定成立，故D 选项不符合题意．故选A．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11．（2023·江苏连云港·统考中考真题）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是__________．（只填一个即可）【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得5353x ，再解即可．【详解】解：设第三边长为x，由题意得：5353x ，【答案】55【分析】首先根据题意得到AD 1552BAE CAE BAC 【详解】∵由作图可得，AD ∴12BAE CAE BAC 故答案为：55．【点睛】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点．13．（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4dm 的正方形纸板制作了一副七巧板（如图）【答案】2【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得【详解】解：如图所示，依题意，22OD AD ∴图中阴影部分的面积为故答案为：2．11【答案】3,1【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．【详解】解∶设1,A m n ∵ABC 与111A B C △位似，原点O 是位似中心，且【答案】52【分析】四边形ABCD 是平行四边形，则DF CD AB EF AE AE，由23AE EB 进一步即可得到答案．【答案】140【分析】如图，先标注点与角，由对折可得：1420，∴3180220140，∵AB CD∥，∴23140；∵四边形ABCD矩形，∴90A，则∥MN AB，由平行线分线段成比例可得：AN BM ND MD又∵M为对角线BD的中点，∵M 为对角线BD 的中点，90NMD∴MN 为BD 的垂直平分线，∴BN ND ，【答案】3104【分析】如图，过F 作FM BE 45FCM FCN ，可得四边形，∵CF平分DCE∴45，FCM FCNCM FM，∴∴四边形CMFN是正方形，【答案】33【分析】过点A 作AH BC 可得=30BAD DAH ，再根据1tan =tan =3DAH EAC ，利用锐角三角函数求得1==DH DH【点睛】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明DAH EAC 是解题的关键．20．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在ABC 中，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ，B ADB ．若4AB ，则DC 的长是__________．【答案】4【分析】由B ADB 可得4AD AB ，由DE 是AC 的垂直平分线可得AD DC ，从而可得4DC AB ．【详解】解：∵B ADB ，∴4AD AB ，∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AD DC ，∴4DC AB ．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（2023·江西·统考中考真题）如图，AB AD ，AC 平分BAD ．求证：ABC ADC △△≌．【答案】见解析【分析】先由角平分线的定义得到BAC DAC ，再利用SAS 证明ABC ADC △△≌即可．【详解】解∵AC 平分BAD ，∴BAC DAC ，在ABC 和ADC △中，AB AD BAC DAC AC AC，∴ SAS ABC ADC △△≌．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键．22．（2023·四川宜宾·统考中考真题）已知：如图，AB DE ∥，AB DE ，AF DC ．求证：B E ．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得出A D ，然后证明AC DF ，证明 SAS ABC DEF ≌△△，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：∵AB DE ∥，∴A D ，∵AF DC ，∴AF CF DC CF即AC DF在ABC 与DEF 中AC DF A D AB DE，∴ SAS ABC DEF ≌△△，∴B E ．(1)证明：C△；ABD BA∽△(2)若610，，求BDAB BC【答案】(1)见解析(1)求证：AF AB；(2)点G是线段AF上一点，满足的长．【答案】树EG 的高度为9.1m【分析】由题意可知，BAE tan tan EF EAF BAH AF(1)求登山缆车上升的高度DE ；(2)若步行速度为30m/min ，登山缆车的速度为60m/min ，求从山底A 处到达山顶D 处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min ）（参考数据：sin 530.80cos530.60tan 53 1.33 ，，）【答案】(1)登山缆车上升的高度450mDE (2)从山底A 处到达山顶D 处大约需要19.4min在Rt ABC △中，9030ACB A ，，300m AB 【答案】B 处距离灯塔P 大约有(1)如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；(2)如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足直接写出AEF的大小，并证明．【答案】(1)见解析B ACH ，设DM DE m ，CD n ，求出2BF m CH ，证明 SAS ABF ACH ，得到AF AH ，再根据等腰三角形三线合一证明AE FH 即可．【详解】（1）证明：由旋转的性质得：DM DE ，2MDE ，∵C ，∴D DEC M E C ，∴C DEC ，∴DE DC ，∴DM DC ，即D 是MC 的中点；（2）90AEF ；证明：如图2，延长FE 到H 使FE EH ，连接CH ，AH ，∵DF DC ，∴DE 是FCH V 的中位线，∴DE CH ∥，2CH DE ，由旋转的性质得：DM DE ，2MDE ，∴2FCH ，∵B C ，∴ACH ，ABC 是等腰三角形，∴B ACH ，AB AC ，设DM DE m ，CD n ，则2CH m ，CM m n ，∴DF CD n ，∴FM DF DM n m ，∵AM BC ，∴BM CM m n ，∴ 2BF BM FM m n n m m ，∴CH BF ，在ABF △和ACH 中，AB AC B ACH BF CH，∴ SAS ABF ACH ，∴AF AH，∵FE EH，∴AE FH，即90．AEF【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．。

【人教版】2020届中考数学总复习单元测试卷四,五《三角形》(无答案)

三角形相似和全等（考试时间：100分钟；满分：100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36º，BD 平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△EBD 相似的三角形是（）。

A ．△ABCB ．△DABC ．△ADED ．△BDC2.现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（） A ，1 B ，2 C ， 3 D ，4 3．如图2，已知在△ABC ，P 为AB 上一点，连结CP ，以下各条件中不能判定△ACP ∽△ABC 的是（）。

A ．∠ACP ＝∠B B ．∠APC ＝∠ACB C ． AC AP ＝AB AC D ． AC AB ＝CP BC图1 图24.已知ABC ∆中，AC =4，BC =3，AB =5，则sin A =（）A. 35B. 45C. 53D. 344．直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的（）A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．都不对5．如图3，OAB △绕点O 逆时针旋转80到OCD △的位置，已知45AOB ∠=，则AOD ∠等于（）Ａ．55 Ｂ．45 Ｃ．40 Ｄ．356．如图4所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm ，高为55cm 的圆柱形容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°，若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为： A 、10cm B 、20cm C 、30cm D 、35cm7．在Rt ΔABC 中，∠ACB=90，CD ⊥AB 于D ，则AC ∶BC=2∶3，则AD ∶BD=（）。

A ．2∶3 B ．4∶9 C ．2∶3 D ．不能确定8．如图5，梯形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，若S ΔAOD ：S ΔACD =1：4，则S ΔAOD ：S ΔBOC 的值为（）。

2024年中考数学复习单元测试卷及答案解析第四章三角形

2024年中考数学复习单元测试卷及答案解析—第四章：三⾓形（考试时间：100分钟试卷满分：120分）⼀．选择题（共10⼩题，满分30分，每⼩题3分）1．下⾯⼏何体中，是圆锥的为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】观察所给⼏何体，可以直接得出答案．【详解】解：A选项为圆柱，不合题意；B选项为圆锥，符合题意；C选项为三棱锥，不合题意；D选项为球，不合题意；故选B．【点睛】本题考查常见⼏何体的识别，熟练掌握常见⼏何体的特征是解题的关键．圆锥⾯和⼀个截它的平⾯，组成的空间⼏何图形叫圆锥．2．下列图形是正⽅体展开图的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据正⽅体的展开图的特征，11种不同情况进⾏判断即可．【详解】解：根据正⽅体的展开图的特征，只有第2个图不是正⽅体的展开图，故四个图中有3个图是正⽅体的展开图．故选：C．【点睛】考查正⽅体的展开图的特征，“⼀线不过四，⽥凹应弃之”应⽤⽐较⼴泛简洁．3．如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=126°，则∠BOC的⼤⼩为（）A．36°B．44°C．54°D．63°【答案】C【分析】由∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=126°，可求出∠COD的度数，再根据⾓与⾓之间的关系求解．【详解】∵∠AOC=90°，∠AOD=126°，∴∠COD=∠AOD−∠AOC=36°，∵∠BOD=90°，∴∠BOC=∠BOD−∠COD=90°−36°=54°．故选：C．【点睛】本题考查的知识点是⾓的计算，注意此题的解题技巧：两个直⾓相加和∠AOD相⽐，多加了∠BOC．4．如图，在△ABC中，D、E分别在AB边和AC边上，DE//BC，M为BC边上⼀点（不与B、C重合），连结AM 交DE 于点N ，则（）A ．AD AN =AN AEB ．BD MN =MN CEC ．DN BM =NE MCD ．DN MC =NEBM 【答案】C 【分析】根据平⾏线的性质和相似三⾓形的判定可得△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，再根据相似三⾓形的性质即可得到答案.【详解】∵DE //BC ，∴△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，∴DN BM =AN AM ,AN AM =NE MC ⇒DN BM =NEMC ，故选C.【点睛】本题考查平⾏线的性质、相似三⾓形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平⾏线的性质、相似三⾓形的判定和性质.【新考法】数学与实际⽣活——利⽤数学知识解决实际问题5．如图是⼩亮绘制的潜望镜原理⽰意图，两个平⾯镜的镜⾯AB 与CD 平⾏，⼊射光线l 与出射光线m 平⾏．若⼊射光线l 与镜⾯AB 的夹⾓∠1=40°10'，则∠6的度数为（）A ．100°40'B ．99°80'C ．99°40'D ．99°20'【答案】C 【分析】由⼊射光线与镜⾯的夹⾓等于反射光线与镜⾯的夹⾓，可得∠1=∠2，可求出∠5，由l //m 可得∠6=∠5【详解】解：由⼊射光线与镜⾯的夹⾓等于反射光线与镜⾯的夹⾓，可得∠1=∠2，∵∠1=40°10'∴∠2=40°10'∴∠5=180°−∠1−∠2=180°−40°10'−40°10'=99°40'∵l//m∴∠6=∠5=99°40'故选：C【点睛】本题主要考查了平⾏线的性质，熟记两直线平⾏，内错⾓相等是解答本题的关键．【新考法】数学与实际⽣活——利⽤数学知识解决实际问题6．如图是脊柱侧弯的检测⽰意图，在体检时为⽅便测出Cobb⾓∠O的⼤⾯⼩，需将∠O转化为与它相等的⾓，则图中与∠O相等的⾓是（）A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO【答案】B【分析】根据直⾓三⾓形的性质可知：∠O与∠ADO互余，∠DEB与∠ADO互余，根据同⾓的余⾓相等可得结论．【详解】由⽰意图可知：△DOA和△DBE都是直⾓三⾓形，∴∠O+∠ADO=90°，∠DEB+∠ADO=90°，∴∠DEB=∠O，故选：B．【点睛】本题考查直⾓三⾓形的性质的应⽤，掌握直⾓三⾓形的两个锐⾓互余是解题的关键．7．【易错题】若等腰三⾓形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三⾓形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【分析】题⽬给出等腰三⾓形有两条边长为3和5，⽽没有明确腰、底分别是多少，所以要进⾏讨论，还要应⽤三⾓形的三边关系验证能否组成三⾓形．【详解】解：当3是腰时，∵3＋3＞5，∴3，3，5能组成三⾓形，此时等腰三⾓形的周长为3＋3＋5＝11（cm），当5是腰时，∵3＋5＞5，5，5，3能够组成三⾓形，此时等腰三⾓形的周长为5＋5＋3＝13（cm），则三⾓形的周长为11cm或13cm．故选：D【点睛】本题考查等腰三⾓形的性质及三⾓形三边关系；已知没有明确腰和底边的题⽬⼀定要想到两种情况，分类进⾏讨论，还应验证各种情况是否能构成三⾓形进⾏解答，这点⾮常重要，也是解题的关键．【⼏何模型】三⾓形折叠模型8．如图，三⾓形纸⽚ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸⽚折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸⽚，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（）A．136B．56C．76D．65【答案】A【分析】根据题意可得AD = AB = 2，∠B = ∠ADB，CE= DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继⽽设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵沿过点A的直线将纸⽚折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AD = AB = 2，∠B = ∠ADB，∵折叠纸⽚，使点C与点D重合，∴CE= DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC = 90°，∴∠B+ ∠C= 90°，∴∠ADB + ∠CDE = 90°，∴∠ADE = 90°，∴AD2 + DE2 = AE2，设AE=x，则CE=DE=3-x，∴22+(3-x)2 =x2，解得x=136即AE=136故选A【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．【⼏何模型】⼀线三垂直模型9．如图，点A(0,3)、B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°,BC=2AB，则点D的坐标是（）A．(7,2)B．(7,5)C．(5,6)D．(6,5)【答案】D【分析】先过点C做出x轴垂线段CE，根据相似三⾓形找出点C的坐标，再根据平移的性质计算出对应D点的坐标．【详解】如图过点C作x轴垂线，垂⾜为点E，∵∠ABC=90°∴∠ABO+∠CBE=90°∵∠CBE+BCE=90°∴∠ABO=∠BCE在ΔABO和ΔBCE中，{∠ABO=∠BCE∠AOB=∠BEC=90°，∴ΔABO∽ΔBCE，∴AB BC =AOBE=OBEC=12，则BE=2AO=6 ,EC=2OB=2∵点C是由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，∵点A坐标为(0，3)，∴点D坐标为(6，5)，选项D符合题意，故答案选D【点睛】本题考查了图象的平移、相似三⾓形的判定与性质，利⽤相似三⾓形的判定与性质找出图象左右、上下平移的距离是解题的关键．10．如图①，在矩形ABCD中，H为CD边上的⼀点，点M从点A出发沿折线AH−HC−CB运动到点B停⽌，点N从点A出发沿AB运动到点B停⽌，它们的运动速度都是1cm/s，若点M、N同时开始运动，设运动时间为t s，△AMN的⾯积为S cm2，已知S与t之间函数图象如图②所⽰，则下列结论正确的是（）①当0<t≤6时，△AMN是等边三⾓形．②在运动过程中，使得△ADM为等腰三⾓形的点M⼀共有3个．③当0<t≤6时，S2．④当t=9△ADH∽△ABM．⑤当9<t<9+S=−3t+9+A．①③④B．①③⑤C．①②④D．③④⑤【答案】A【分析】由图②可知：当0＜t≤6时，点M、N两点经过6秒时，S最⼤，此时点M在点H处，点N在点B处并停⽌不动；由点M、N两点的运动速度为1cm/s，所以可得AH=AB=6cm，利⽤四边形ABCD是矩形可知CD=AB=6cm；当6≤t≤9时，S=N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9-6）秒，可得HC=3cm，即点H为CD的中点；利⽤以上的信息对每个结论进⾏分析判断后得出结论．【详解】解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最⼤，此时点M在点H处，点N在点B处并停⽌不动，如图，①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s，∴AH=AB=6cm，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=6cm．∵当t=6s时，S=2，×AB×BC=∴12∴BC=∵当6≤t≤9时，S=∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9-6）秒，∴HC=3cm，即点H为CD的中点．∴BH=6．∴AB=AH=BH=6，∴△ABM为等边三⾓形．∴∠HAB=60°．∵点M、N同时开始运动，速度均为1cm/s，∴AM=AN，∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三⾓形．故①正确；②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三⾓形：此时有两个符合条件的点；当AD=AM时，△ADM为等腰三⾓形，如图：当DA=DM时，△ADM为等腰三⾓形，如图：综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三⾓形的点M⼀共有4个．∴②不正确；③过点M作ME⊥AB于点E，如图，由题意：AM =AN =t ，由①知：∠HAB =60°．在Rt △AME 中，∵sin ∠MAE =MEAM ，∴ME =AM ，∴S =12AN ×ME =12×t 2．∴③正确；④当t CM由①知：BC =∴MB =BC -CM =∵AB =6，∴tan ∠MAB =BM AB ∴∠MAB =30°．∵∠HAB =60°，∴∠DAH =90°-60°=30°．∴∠DAH =∠BAM ．∵∠D =∠B =90°，∴△ADH ∽△ABM ．∴④正确；⑤当9＜t ＜9+M 在边BC 上，如图，此时MB =9+t ，∴S =12×AB ×MB =12×6×=27+3t ．∴⑤不正确；综上，结论正确的有：①③④．故选：A ．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，主要涉及函数图象上点的坐标的实际意义，三⾓形的⾯积，等腰三⾓形的判定，等边三⾓形的判定，相似三⾓形的判定，特殊⾓的三⾓函数值．对于动点问题，依据已知条件画出符合题意的图形并求得相应线段的长度是解题的关键．⼆．填空题（共6⼩题，满分18分，每⼩题3分）11．如图，已知△ABC ≌△DEF ，点B ，E ，C ，F 依次在同⼀条直线上．若BC =8，CE =5，则CF 的长为．【答案】3【分析】利⽤全等三⾓形的性质求解即可．【详解】解：由全等三⾓形的性质得：EF=BC=8，∴CF=EF−CE=8−5=3，故答案为：3．【点睛】本题考查全等三⾓形性质，熟练掌握全等三⾓形的性质是解答的关键．12．⼀个三⾓形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是．（只填⼀个即可）【答案】4（答案不唯⼀，⼤于2且⼩于8之间的数均可）【分析】根据三⾓形的三边关系定理：三⾓形两边之和⼤于第三边，三⾓形的两边差⼩于第三边可得5−3<x<5+3，再解即可．【详解】解：设第三边长为x，由题意得：5−3<x<5+3，则2<x<8，故答案可为：4（答案不唯⼀，⼤于2且⼩于8之间的数均可）．【点睛】此题主要考查了三⾓形的三边关系：第三边的范围是：⼤于已知的两边的差，⽽⼩于两边的和．13．【原创题】若直三棱柱的上下底⾯为正三⾓形，侧⾯展开图是边长为6的正⽅形，则该直三棱柱的表⾯积为．【答案】36++36【分析】根据题意得出正三⾓形的边长为2，进⽽根据表⾯积等于两个底⾯积加上侧⾯正⽅形的⾯积即可求解．【详解】解：∵侧⾯展开图是边长为6的正⽅形，∴底⾯周长为6，∵底⾯为正三⾓形，∴正三⾓形的边长为2作CD ⊥AB ，∵△ABC 是等边三⾓形，AB =BC =AC =2，∴AD =1，∴在直⾓ΔADC 中，CD∴S △ABC =12×2∴该直三棱柱的表⾯积为6×6+36+故答案为：36+【点睛】本题考查了三棱柱的侧⾯展开图的⾯积，等边三⾓形的性质，正⽅形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．14．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC <AC ．点D ，E 分别在边AB ，BC 上，连接DE ，将△BDE 沿DE 折叠，点B 的对应点为点B '．若点B '刚好落在边AC 上，∠CB 'E =30°，CE =3，则BC 的长为．【答案】9【分析】根据折叠的性质以及含30度⾓的直⾓三⾓形的性质得出B 'E =BE =2CE =6，即可求解．【详解】解：∵将△BDE 沿DE 折叠，点B 的对应点为点B '．点B '刚好落在边AC 上，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC <AC ，∠CB 'E =30°，CE =3，∴B 'E =BE =2CE =6，∴BC =CE +BE =3+6=9，故答案为：9．【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度⾓的直⾓三⾓形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．【新考法】数学与规律探究——图形类规律15．在平⾯直⾓坐标系中，点A 1、A 2、A 3、A 4⋯在x 轴的正半轴上，点B 1、B 2、B 3⋯在直线y =x ≥0上，若点A 1的坐标为2,0，且△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4⋯均为等边三⾓形．则点B 2023的纵坐标为．【答案】2【分析】过点A 1作A 1M ⊥x 轴，交直线y x ≥0于点M ，过点B 1作B 1C ⊥x 轴于点C ，先求出∠A 1OM =30°，再根据等边三⾓形的性质、等腰三⾓形的判定可得A 1B 1=OA 1=2，然后解直⾓三⾓形可得B 1C 的长，即可得点B 1的纵坐标，同样的⽅法分别求出点B 2,B 3,B 4的纵坐标，最后归纳类推出⼀般规律，由此即可得．【详解】解：如图，过点A 1作A 1M ⊥x 轴，交直线y x ≥0于点M ，过点B 1作B 1C ⊥x 轴于点C ，∵A 12,0，∴OA 1=2，当x =2时，y 1M∴tan ∠A 1OM =A 1M A 1O ∴∠A 1OM =30°，∵△A 1B 1A 2是等边三⾓形，∴∠A 2A 1B 1=60°,A 1A 2=A 1B 1，∴∠OB 1A 1=30°=∠A 1OM ，∴A 1B 1=OA 1=2，∴B 1C =A 1B 1⋅sin60°=2B 1的纵坐标为2同理可得：点B 2的纵坐标为22点B 3的纵坐标为23点B 4的纵坐标为24归纳类推得：点B n 的纵坐标为2n 2n −n 为正整数），则点B 2023的纵坐标为22023−2故答案为：2【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、等边三⾓形的性质、正⽐例函数的应⽤、解直⾓三⾓形等知识点，正确归纳类推出⼀般规律是解题关键．16．【创新题】如图，在△ABC 中，AB =AC,∠A <90°，点D,E,F 分别在边AB ，BC,CA 上，连接DE,EF,FD ，已知点B 和点F 关于直线DE 对称．设BC AB =k ，若AD =DF ，则CFFA = （结果⽤含k 的代数式表⽰）．【答案】k 22−k 2【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明DE ∥AC ，再证△BDE ∽△BAC ，推出EC =12k ⋅AB ，通过证明△ABC ∽△ECF ，推出CF =12k 2⋅AB ，即可求出CF FA的值．【详解】解： ∵点B 和点F 关于直线DE 对称，∴ DB =DF ，∵ AD =DF ，∴ AD =DB ．∵ AD =DF ，∴ ∠A =∠DFA ，∵点B 和点F 关于直线DE 对称，∴ ∠BDE =∠FDE ，⼜∵ ∠BDE +∠FDE =∠BDF =∠A +∠DFA ，∴ ∠FDE =∠DFA ，∴ DE ∥AC ，∴ ∠C =∠DEB ，∠DEF =∠EFC ，∵点B 和点F 关于直线DE 对称，∴ ∠DEB =∠DEF ，∴ ∠C =∠EFC ，∵ AB =AC ，∴ ∠C =∠B ，在△ABC 和△ECF 中，∠B =∠C ∠ACB =∠EFC，∴ △ABC ∽△ECF ．∵在△ABC 中，DE ∥AC ，∴ ∠BDE =∠A ，∠BED =∠C ，∴ △BDE ∽△BAC ，∴ BE BC =BD BA =12，∴ EC =12BC ，∵ BC AB =k ，∴ BC =k ⋅AB ，EC =12k ⋅AB ，∵ △ABC ∽△ECF ．∴ AB EC =BC CF，∴ AB 12k ⋅AB =k⋅AB CF ，解得CF =12k 2⋅AB ，∴CFFA =CFAC−CF=CFAB−CF=12k2⋅ABAB−12k2⋅AB=k22−k2．故答案为：k 22−k2．【点睛】本题考查相似三⾓形的判定与性质，轴对称的性质，平⾏线的判定与性质，等腰三⾓形的性质，三⾓形外⾓的定义和性质等，有⼀定难度，解题的关键是证明△ABC∽△ECF．三．解答题（共9⼩题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，2 17．如图，AB∥CD，直线MN与AB,CD分别交于点E，F，CD上有⼀点G且GE=GF，∠1=122°．求∠2的度数．【答案】64°【分析】根据AB∥CD，可得∠DFE=∠1=122°，从⽽得到∠EFG=58°，再由GE=GF，可得∠FEG=∠EFG=58°，然后根据三⾓形内⾓和定理，即可求解．【详解】解：∵AB∥CD，∠1=122°∴∠DFE=∠1=122°，∴∠EFG=180°−∠DFE=58°，∵GE=GF，∴∠FEG=∠EFG=58°，∴∠2=180°−∠FEG−∠EFG=64°．【点睛】本题主要考查了平⾏线的性质，等腰三⾓形的性质，三⾓形内⾓和定理，熟练掌握平⾏线的性质，等腰三⾓形的性质，三⾓形内⾓和定理是解题的关键．【⼏何模型】射影定理（相似）18．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的⾼．(1)证明：△ABD∽△CBA；(2)若AB=6，BC=10，求BD的长．【答案】(1)见解析(2)BD=185【分析】（1）根据三⾓形⾼的定义得出∠ADB=90°，根据等⾓的余⾓相等，得出∠BAD=∠C，结合公共⾓∠B=∠B，即可得证；（2）根据（1）的结论，利⽤相似三⾓形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°，AD是斜边BC上的⾼．∴∠ADB=90°，∠B+∠C=90°∴∠B+∠BAD=90°，∴∠BAD=∠C⼜∵∠B=∠B∴△ABD∽△CBA，（2）∵△ABD∽△CBA∴AB CB =BD AB，⼜AB=6，BC=10∴BD=AB 2CB =3610=185．【点睛】本题考查了相似三⾓形的性质与判定，熟练掌握相似三⾓形的性质与判定是解题的关键．19．△ABC在边长为l的正⽅形⽹格中如图所⽰．①以点C为位似中⼼，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似⽐为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表⽰出A1的坐标．②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．③在②的条件下求出点B经过的路径长．【答案】①作图见解析，点A1的坐标为（3，﹣3）；②作图见解析；【分析】①延长AC到A1使A1C＝2AC，延长BC到B1使B1C＝2BC，则△A1B1C满⾜条件；②利⽤⽹格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2，从⽽得到△A2B2C．③先计算出OB的长，然后根据弧长公式计算点B经过的路径长．【详解】解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；②如图，△A2B2C为所作；③OB点B经过的路径长．【点睛】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的⼀般步骤为：确定位似中⼼；分别连接并延长位似中⼼和能代表原图的关键点；③根据位似⽐，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放⼤或缩⼩的图形．也考查了旋转变换．20．如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC=∠ADE，AC=AD(1)求证：DE=AF(2)若∠ABC=∠CDE，求证：AF2=BF⋅CE【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）先根据平⾏线的性质可得∠DAE=∠ACF，再根据三⾓形的全等的判定可得△DAE≅△ACF ，然后根据全等的三⾓形的性质即可得证；（2）先根据全等三⾓形的性质可得∠AFC=∠DEA，从⽽可得∠AFB=∠CED，再根据相似三⾓形的判定可得△ABF∼△CDE，然后根据相似三⾓形的性质即可得证．【详解】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠ACF，在△DAE和△ACF中，∠DAE=∠ACFAD=CA∠ADE=∠CAF，∴△DAE≅△ACF ASA，∴DE=AF．（2）证明：∵△DAE≅△ACF，∴∠AFC=∠DEA，∴180°−∠AFC=180°−∠DEA，即∠AFB=∠CED，在△ABF和△CDE中，∠AFB=∠CED ∠ABF=∠CDE，∴△ABF∼△CDE，∴AF CE =BF DE，由（1）已证：DE=AF，∴AF CE =BF AF，∴AF2=BF⋅CE．【点睛】本题考查了三⾓形全等的判定与性质、相似三⾓形的判定与性质，熟练掌握相似三⾓形的判定与性质是解题关键．21．综合与实践主题：制作⽆盖正⽅体形纸盒素材：⼀张正⽅形纸板．步骤1：如图1，将正⽅形纸板的边长三等分，画出九个相同的⼩正⽅形，并剪去四个⾓上的⼩正⽅形；步骤2：如图2，把剪好的纸板折成⽆盖正⽅体形纸盒．猜想与证明：(1)直接写出纸板上∠ABC 与纸盒上∠A 1B 1C 1的⼤⼩关系；(2)证明（1）中你发现的结论．【答案】(1)∠ABC =∠A 1B 1C 1(2)证明见解析.【分析】（1）△ABC 和ΔA 1B 1C 1均是等腰直⾓三⾓形，∠ABC =∠A 1B 1C 1=45°；（2）证明△ABC 是等腰直⾓三⾓形即可.【详解】（1）解：∠ABC =∠A 1B 1C 1（2）证明：连接AC ，设⼩正⽅形边长为1，则AC =BC AB ∵AC 2+BC 2=5+5=AB 2，∴△ABC 为等腰直⾓三⾓形，∵A 1C 1=B 1C 1=1，A 1C 1⊥B 1C 1，∴△A 1B 1C 1为等腰直⾓三⾓形，∴∠ABC =∠A 1B 1C 1=45°，故∠ABC =∠A 1B 1C 1【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应⽤和等腰三⾓形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键．22．如图，⼀次函数y =kx +94（k 为常数，k ≠0）的图象与反⽐例函数y =mx (m 为常数，m ≠0)的图象在第⼀象限交于点A 1,n ，与x 轴交于点B −3,0．(1)求⼀次函数和反⽐例函数的解析式．(2)点P 在x 轴上，△ABP 是以AB 为腰的等腰三⾓形，请直接写出点P 的坐标．【答案】(1)⼀次函数的解析式为y =34x +94，反⽐例函数的解析式为y =3x (2)(−8,0)或(2,0)或(5,0)【分析】（1）根据待定系数法，把已知点代⼊再解⽅程即可得出答案；（2）⾸先利⽤勾股定理求出得AB 的长，再分两种情形讨论即可．【详解】（1）解：把点B −3,0代⼊⼀次函数y =kx +94得，−3k +94=0,解得：k =34，故⼀次函数的解析式为y =34x +94，把点A1,n代⼊y=34x+94，得n=34+94=3，∴A(1,3)，把点A(1,3)代⼊y=mx，得m=3，故反⽐例函数的解析式为y=3x；（2）解：B−3,0，A(1,3)，AB=5，当AB=PB=5时，P(−8,0)或(2,0)，当PA=AB时，点P,B关于直线x=1对称，∴P(5,0)，综上所述：点P的坐标为(−8,0)或(2,0)或(5,0)．【点睛】本题是反⽐例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰三⾓形的性质等知识，运⽤分类思想是解题的关键．23．【原创题】如图，△ABC是边长为4的等边三⾓形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，满⾜AD=BE=CF．(1)求证：△ADF≌△BED；(2)设AD的长为x，△DEF的⾯积为y，求y关于x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述△DEF的⾯积随AD的增⼤如何变化．【答案】(1)见详解(2)y2−+(3)当2<x<4时，△DEF的⾯积随AD的增⼤⽽增⼤，当0<x<2时，△DEF的⾯积随AD的增⼤⽽减⼩【分析】（1）由题意易得AF=BD，∠A=∠B=60°，然后根据“SAS”可进⾏求证；=AF=4−x，（2）分别过点C、F作CH⊥AB，FG⊥AB，垂⾜分别为点H、G，根据题意可得S△ABC然后可得FG1）易得△ADF≌△BED≌△CFE，则有S△ADF=S△BED=S△CFE4−x，进⽽问题可求解；（3）由（2）和⼆次函数的性质可进⾏求解．【详解】（1）证明：∵△ABC是边长为4的等边三⾓形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=4，∵AD=BE=CF，∴AF=BD=CE，在△ADF和△BED中，AF=BD，∠A=∠BAD=BE∴△ADF≌△BED SAS；（2）解：分别过点C、F作CH⊥AB，FG⊥AB，垂⾜分别为点H、G，如图所⽰：在等边△ABC中，∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC=4，∴CH=AC⋅sin60°=∴S △ABC =12AB ⋅CH =设AD 的长为x ，则AD =BE =CF =x ，AF =4−x ，∴FG =AF ⋅sin60°∴S △ADF =12AD ⋅FG 4−x ，同理（1）可知△ADF ≌△BED ≌△CFE ，∴S △ADF =S △BED =S △CFE 4−x ，∵△DEF 的⾯积为y ，∴y =S △ABC −3S △ADF =4−x =2−+（3）解：由（2）可知：y 2−+∴a 0，对称轴为直线x =2，∴当x >2时，y 随x 的增⼤⽽增⼤，当x <2时，y 随x 的增⼤⽽减⼩；即当2<x <4时，△DEF 的⾯积随AD 的增⼤⽽增⼤，当0<x <2时，△DEF 的⾯积随AD 的增⼤⽽减⼩．【点睛】本题主要考查锐⾓三⾓函数、⼆次函数的综合及等边三⾓形的性质，熟练掌握锐⾓三⾓函数、⼆次函数的综合及等边三⾓形的性质是解题的关键．【⼏何模型】⼿拉⼿模型24．如图1，△ABC 是等边三⾓形，点D 在△ABC 的内部，连接AD ，将线段AD 绕点A 按逆时针⽅向旋转60°，得到线段AE ，连接BD ，DE ，CE ．(1)判断线段BD 与CE 的数量关系并给出证明；(2)延长ED交直线BC于点F．①如图2，当点F与点B重合时，直接⽤等式表⽰线段AE，BE和CE的数量关系为_______；②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．【答案】(1)BD=CE，理由见解析(2)①BE=AE+CE；②∠BAD=45°，理由见解析【分析】（1）利⽤等边三⾓形的性质和旋转的性质易得到△ABD≌△ACE SAS，再由全等三⾓形的性质求解；（2）①根据线段AD绕点A按逆时针⽅向旋转60°得到AE得到△ADE是等边三⾓形，由等边三⾓形的性质和（1）的结论来求解；②过点A作AG⊥EF于点G，连接AF，根据等边三⾓形的性质和锐⾓三⾓函数求值得到∠BAF=∠DAG，AGAD =AFAB，进⽽得到△BAD∽△FAG，进⽽求出∠ADB=90°，结合BD=CE，ED＝EC得到BD=AD，再⽤等腰直⾓三⾓形的性质求解．【详解】（1）解：BD=CE．证明：∵△ABC是等边三⾓形，∴AB=AC，∠BAC=60°．∵线段AD绕点A按逆时针⽅向旋转60°得到AE，∴AD=AE，∠DAE=60°，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△ABD≌△ACE SAS，∴BD=CE；（2）解：①BE=AE+CE理由：∵线段AD绕点A按逆时针⽅向旋转60°得到AE，∴△ADE是等边三⾓形，∴AD=DE=AE，由（1）得BD=CE，∴BE=DE+BD=AE+CE；②过点A作AG⊥EF于点G，连接AF，如下图．∵△ADE是等边三⾓形，AG⊥DE，∴∠DAG=12∠DAE=30°，∴AGAD=cos∠DAG∵△ABC是等边三⾓形，点F为线段BC中点，∴BF=CF，AF⊥BC，∠BAF=12∠BAC=30°，∴AFAB=cos∠BAF∴∠BAF=∠DAG，AGAD =AF AB，∴∠BAF+∠DAF=∠DAG+∠DAF，即∠BAD=∠FAG，∴△BAD ∽△FAG ，∴∠ADB =∠AGF =90°．∵BD =CE ，ED ＝EC ，∴BD =AD ，即△ABD 是等腰直⾓三⾓形，∴∠BAD =45°．【点睛】本题主要考查了等边三⾓形的性质，旋转的性质，全等三⾓形的判定和性质，解直⾓三⾓形，相似三⾓形的判定和性质，等腰直⾓三⾓形的判定和性质，理解相关知识是解答关键．25．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A (﹣2，0)、B (6，0)两点，与y 轴交于点C (0，﹣3)．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在直线BC 下⽅的抛物线上，连接AP 交BC 于点M ，当PM AM 最⼤时，求点P 的坐标及PMAM 的最⼤值；（3）在（2）的条件下，过点P 作x 轴的垂线l ，在l 上是否存在点D ，使△BCD 是直⾓三⾓形，若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y =14x 2−x −3；（2）P(3,−154)，916；（3）(3,6)或(3,−9)或(3,−32)或(3−32)【分析】（1）将A(−2,0)、B(6,0)、C(0,−3)代⼊y =ax 2+bx +c 即可求解析式；（2）过点A 作AE ⊥x 轴交直线BC 于点E ，过P 作PF ⊥x 轴交直线BC 于点F ，由PF //AE ，可得MP AM =PF AE ，则求PF AE 的最⼤值即可；（3）分三种情况讨论：当∠CBD =90°时，过点B 作GH ⊥x 轴，过点D 作DG ⊥y 轴，DG 与GH 交于点G ，过点C 作CH ⊥y 轴，CH 与GH 交于点H ，可证明ΔDBG ∽ΔBCH ，求出D(3,6)；当∠BCD =90°时，过点D 作DK ⊥y 轴交于点K ，可证明ΔOBC ∽ΔKCD ，求出D(3,−9)；当∠BDC =90°时，线段BC 的中点T(3,−32)，设D(3,m)，由DT =12BC ，可求D(32)或D(3,−32)．【详解】解：（1）将点A(−2,0)、B(6,0)、C(0,−3)代⼊y =ax 2+bx +c ，得4a −2b +c =036a +6b +c =0c =−3 ，解得a =14b =−1c =−3，∴y =14x 2−x −3；（2）如图1，过点A 作AE ⊥x 轴交直线BC 于点E ，过P 作PF ⊥x 轴交直线BC 于点F ，∴PF //AE ，∴ MP AM =PF AE ，设直线BC 的解析式为y =kx +d ，∴6k +d =0d =−3 ，∴ k =12d =−3 ，∴y =12x −3，设P(t,14t 2−t −3)，则F(t,12t −3)，∴PF =12t −3−14t 2+t +3=−14t 2+32t ，∵A(−2,0)，∴E(−2,−4)，∴AE =4，∴ MP AM =PF AE =−14t 2+32t 4=−116t 2+38t =−116(t −3)2+916，∴当t =3时，MP AM 有最⼤值916，∴P(3,−154)；（3）∵P(3,−154)，D 点在l 上，如图2，当∠CBD =90°时，过点B 作GH ⊥x 轴，过点D 作DG ⊥y 轴，DG 与GH 交于点G ，过点C 作CH ⊥y 轴，CH 与GH 交于点H ，∴∠DBG +∠GDB =90°，∠DBG +∠CBH =90°，∴∠GDB =∠CBH ，∴ΔDBG ∽ΔBCH ，∴ DG BH =BG CH ，即33=BG 6，∴BG =6，∴D(3,6)；如图3，当∠BCD =90°时，过点D 作DK ⊥y 轴交于点K ，∵∠KCD +∠OCB =90°，∠KCD +∠CDK =90°，∴∠CDK =∠OCB ，∴ΔOBC ∽ΔKCD ，∴ OB KC =OC KD ，即6KC =33，∴KC =6，∴D(3,−9)；如图4，当∠BDC =90°时，线段BC 的中点T(3,−32)，BC =设D(3,m)，∵DT =12BC ，∴|m +32|∴m =32或m =−32，∴D(3−32)或D(3,32)；综上所述：ΔBCD 是直⾓三⾓形时，D 点坐标为(3,6)或(3,−9)或(3,32)或(32)．【点睛】本题考查⼆次函数的综合，熟练掌握⼆次函数的图象及性质，通过构造平⾏线将MP AM 的最⼤值问题转化为求PF AE 的最⼤值问题是解题的关键．。

中考数学一轮复习第四章几何初步与三角形第三节全等三角形同步测试题及答案.doc

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】第三节全等三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列说法正确的是( )A．两个等边三角形一定全等B．腰对应相等的两个等腰三角形全等C．形状相同的两个三角形全等D．全等三角形的面积一定相等2．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，那么添加的条件不能为( )A．BE＝DF B．BF＝DEC．AE＝CF D．∠1＝∠23．如图，在方格纸中，以AB为一边作△AB P，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．(2017·四川眉山中考)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F.若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )A．14 B．13 C．12 D．105．如图，已知△ABC≌△ADE，若AB＝7，AC＝3，则BE的值为______．6．如图，在△ABC和△ED B中，∠C＝∠EBD＝90°，点E在AB上．若△ABC≌△EDB，AC＝4，BC＝3，则AE＝______.7．(2019·易错题)如图，在平面直角坐标系中，A，B两点分别在x轴、y轴上，OA＝3，OB＝4，连结AB.点P在平面内，若以点P，A，B为顶点的三角形与△AOB全等(点P与点O不重合)，则点P的坐标为_______________________.8．(2018·广西桂林中考)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．相交于点G，H，若AB＝CD，求证：AG＝DH.10．如图，△ABC≌△ADE且BC，DE交于点O，连结BD，CE，则下列四个结论：①BC＝DE，②∠ABC＝∠ADE，③∠BAD＝∠CAE，④BD＝CE.其中一定成立的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个11．在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A(－4，0)，B(0，3)．若在该坐标平面内有以点P(不与点A，B，O重合)为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为( )A．9 B．7C．5 D．312．如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE 于点F.若BP＝4，则PF的长为( )A．2 B．3C．1 D．813．在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC(或它们的延长线)于点M，N，设∠AEM＝α(0°<α<90°)，给出下列结论：①AM＝CN；②∠AME＝∠BNE；③BN－AM＝2；④S△EMN＝2cos2α.上述结论中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．414．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是________(请写出正确结论的序号).15．(2017·陕西中考)四边形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠BCD＝90°，连结AC.若AC＝6，则四边形ABCD 的面积为________.16．(2017·四川广安中考)如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为点G.求证：AF＝BE.17．(2017·江苏常州中考)如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE.(1)求证：AC＝CD；(2)若AC＝AE，求∠DEC的度数．18．(2017·湖北恩施州中考)如图，△ABC，△CDE均为等边三角形，连结BD，AE交于点O，BC与AE交于点P.求证：∠AOB＝60°.19．(2017·重庆中考)在△ABM中，∠ABM＝45°，A M⊥BM，垂足为M.点C是BM延长线上一点，连结AC.(1)如图1，若AB＝32，BC＝5，求AC的长．(2)如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连结ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.参考答案【基础训练】 1．D 2.C 3.C 4.C5．4 6.1 7.(3，4)或(－2125，2825)或(9625，7225)8．(1)证明：∵AC＝AD ＋DC ，DF ＝DC ＋CF ，且AD ＝CF ， ∴AC＝DF.在△ABC 和△DEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，∴△ABC≌△DEF(SSS)．(2)解：由(1)可知，∠F＝∠ACB， ∵∠A＝55°，∠B＝88°，∴∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(55°＋88°)＝37°， ∴∠F＝∠ACB＝37°. 9．证明：∵AB∥C D ，EC∥BF，∴四边形BFCE 是平行四边形，∠A＝∠D， ∴∠BEC＝∠BFC，BE ＝CF ， ∴∠AEG＝∠DFH. ∵AB＝CD ，∴AE＝DF. 在△AEG 和△DFH 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠D，AE ＝DF ，∠AEG＝∠DFH， ∴△AEG≌△DFH(ASA)， ∴AG＝DH. 【拔高训练】10．C 11.A 12.A 13.C 14．①② 15.18∴AB＝BC ，∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠AFB＋∠ABF ＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BEC＋∠ABF＝90°， ∴∠AFB＝∠BEC(等角的余角相等)．在△AFB 和△BEC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠EBC，∠AFB＝∠BEC，AB ＝BC ， ∴△AFB≌△BEC(AAS)， ∴AF＝BE.17．(1)证明：∵∠BCE＝∠A CD ＝90°， ∴∠BCA＝∠ECD. 在△BCA 和△ECD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BCA＝∠ECD，∠BAC＝∠D，BC ＝EC ， ∴△BCA≌△ECD，∴AC＝CD. (2)解：∵AC＝AE ，∴∠AEC＝∠ACE. 又∵∠ACD＝90°，AC ＝CD ， ∴△ACD 是等腰直角三角形， ∴∠DAC＝45°，∴∠AEC＝12(180°－∠DAC)＝12(180°－45°)＝67.5°，∴∠DEC＝180°－∠AEC＝180°－67.5°＝112.5°. 18．证明：在△ACE 和△BCD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE＝∠BCD，CE ＝CD ， ∴△ACE≌△BCD， ∴∠CAE＝∠CBD，∴∠AOB＝180°－∠BAO－∠ABO ＝180°－∠BAO－∠ABC－∠CBD＝180°－∠ABC－∠BAO－∠CAE＝180°－60°－60°＝60°.【培优训练】19．解：(1)∵AM⊥BM，∴∠AMB＝∠AMC＝90°.∵∠ABM＝45°，∴∠ABM＝∠BAM＝45°，∴AM＝BM.∵AB＝32，∴AM＝BM＝3.∵BC＝5，∴MC＝2，∴AC＝AM2＋CM2＝13.(2)证明：如图，延长EF到点G，使得FG＝EF，连结BG.∵DM＝MC，∠BMD＝∠A MC＝90°，BM＝AM，∴△BMD≌△AMC，故AC＝BD.又CE＝AC，因此BD＝CE.∵点F是线段BC的中点，∴BF＝FC，由BF＝FC，∠BFG＝∠EFC，FG＝FE，∴△BFG≌△CFE，故BG＝CE，∠G＝∠CEF，∴BD＝CE＝BG，∴∠BDG＝∠G，∴∠BDF＝∠CEF.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式的一个数或字母也是代数式。

2024年中考数学复习(全国版)第四章三角形真题测试(提升卷)(解析版)

第三章三角形章节测试(时间：90分钟满分：120分)一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，用直尺和圆规作MAN 的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（）A．AD AEB．AD DF C．DF EF D．AF D E【答案】B 【分析】根据作图可得,AD AE DF EF ，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：根据作图可得,AD AE DF EF ，故A，C 正确；∴,A F 在DE 的垂直平分线上，∴AF D E ，故D 选项正确，而DF EF 不一定成立，故C 选项错误，故选：B．【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．2．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，AB CD ∥，且40A ，24D ，则E 等于（）A．40B．32 C．24 D．16【答案】D 【分析】可求40ACD ，再由ACD D E ，即可求解．【详解】解：AB CD ∥∵，上述结论中，所有正确结论的序号是（A．①②B．①③【答案】D【分析】如图，过D作DF AE，进而可判断①的正误；由DF DE，可得a b cA．1,0 B． 0,0【答案】A 【分析】根据题意确定直线AD 的解析式为：A．32确角度之间的数量关系．6．（2023·山西·统考中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O 的光线相交于点P ，点F 为焦点．若1155,230 ，则3 的度数为（）A．45B．50 C．55 D．60【答案】C 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．【详解】解：∵AB OF ∥，∴1180BFO ，∴18015525BFO ，∵230POF ，∴3302555POF BFO ；故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．7．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图ABC 中，90,4,,ACB AB AC x BAC ，O 为AB 中点，若点D 为直线BC 下方一点，且BCD △与ABC 相似，则下列结论：①若45 ，BC 与OD 相交于E ，则点E 不一定是ABD △的重心；②若60 ，则AD 的最A．①④【答案】A 【分析】①有3种情况，②当60 ，如图4时AD 最大，4AB ，2AC BE ，23BC AE ，36BD BC ，8DE ，21927AD ，③如图5，若60 ，C ABC BD ∽△△，∴60BCD ，90CDB ，4AB ，2AC ，23BC ，3OE ，1CE ，∴3CD ，32GE DF，32CF ，∴52EF DG ，32OG ，∴723OD ，∴③错误；A．23B．35 2【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例得出A．1个B．2【答案】C 【分析】根据正方形ABCD 腰直角三角形，进而可得12HC EF ；由此即可判断①正确；再根据确，进而证明AFK HDE ④正确，由AED 随着DE 【详解】解：∵正方形ABCD ∴AB AD ，ADC ∴90ABF ADC ，又∵AD CD ,HD HD ∴(SSS)AHD CHD ,∴12ADH CDH ∵ADH EAD DHE ∴EAD DHE ，∴FAB DHE EAD 又∵45AFE ADH ∴AFK HDE ，∴AF AK HD HE，又∵22AF AH HEA．10B．【答案】A【分析】由作图可知BP平分于点Q，根据角平分线的性质可知∵矩形ABCD中，3，AB BC3CD AB，225．BD BC CD由作图过程可知，BP平分CBD ∵四边形ABCD是矩形，二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）【答案】105【分析】根据平行线的性质可得【详解】解：∵AB DE ∥，【答案】8【分析】利用三角形中位线定理即可求解．【详解】解：∵点C D ，分别是OA ∴12CD AB ，∴ 28cm AB CD ，（1）ADEV的面积为________；（2）若F为BE的中点，连接AF 【答案】313【分析】（1）过点E作EH AD∵正方形ABCD的边长为3，3，AD∵ 是等腰三角形，EAADE13【答案】1:3【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．【详解】解：12OA AA ∵:::1:3OA OA ，设ABC 周长为1l ，设A B C【答案】2 3【分析】根据作图可得BDE据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：根据作图可得 ∴DE AC∥，【答案】1【分析】根据公式求得【详解】解：∵7,AB ∴21AB AC BD BC 【答案】①③④【分析】由题意易得,AB AC ABC 90DEB AEF BAC ，则可证平行四边形的性质与判定可进行求解．,BAC DEB △△【答案】5【分析】过点D 作DF AB ABB 、DFB △是等腰直角三角形，得=10AD DF ，证明AFD 求得10=4DF ，从而求得AD 【详解】解：过点D 作DF ∵90ACB ，3AC ，BC【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．19．（2023·山东日照·统考中考真题）如图，矩形【答案】②③④【分析】根据等腰三角形的三线合一可知以得出10BD ，152MN，2MPE DAB S ME S BD，判断③；利用将军饮马问题求出最小值判断④．延长ME 交BC 于点P,则ABPM 为矩形，∴2226BD AB AD ∵ME AD ，MN BD ，【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．20．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在Rt △D 为AC 上一点，若BD 是ABC 的角平分线，则AD 【答案】3【分析】首先证明CD DP ，BC 理构建方程即可解决问题．【详解】解：如图，过点D 作AB 在Rt ABC △中，∵8AC BC ，∴222286AB AC BC ∵BD 是ABC 的角平分线，∵90C BPD BD BD ，，∴ AAS BDC BDP ≌，∴6BC BP ，CD PD ，设CD PD x ，在Rt ADP 中，∵4PA AB BP ，8AD x ，∴2224(8)x x ，∴3x ，∴3AD ．故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在ABC 中，,AB AC AD 为ABC 的角平分线．以点A 圆心，AD 长为半径画弧，与,AB AC 分别交于点,E F ，连接,DE DF ．(1)求证：ADE ADF V V ≌；(2)若80BAC ，求BDE 的度数．【答案】(1)见解析(2)20BDE【分析】（1）根据角平分线的定义得出BAD CAD ，由作图可得AE AF ，即可证明ADE ADF V V ≌；（2）根据角平分线的定义得出40EAD ，由作图得出AE AD ，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出70ADE ，AD BC ，进而即可求解．【详解】（1）证明：∵AD 为ABC 的角平分线，由作图可得AE AF ，在ADE V 和ADF △中，AE AF BAD CAD AD AD，∴ADE ADF V V ≌ SAS ；（2）∵80BAC ，AD 为ABC 的角平分线，∴40EAD由作图可得AE AD ，∴70ADE ，∵AB AC ，AD 为ABC 的角平分线，∴AD BC ，∴20BDE【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．22．（2023·云南·统考中考真题）如图，C 是BD 的中点，,AB ED AC EC ．求证：ABC EDC △≌△．【答案】见解析【分析】根据C 是BD 的中点，得到BC CD ，再利用SSS 证明两个三角形全等．【详解】证明：∵C 是BD 的中点，BC CD ，在ABC 和EDC △中，BC CD AB ED AC EC， ABC EDC SSS ≌(1)证明：ABC DEB ∽△△．(2)求线段BD 的长．【答案】(1)见解析(2)3BD(1)求证：AC BD ；(2)若10AB ，16AC 【答案】(1)见详解9(1)求证：DE AF(2)若ABC CDE ，求证：2AF BF CE【答案】见解析【分析】（1）先根据平行线的性质可得DAE【答案】CD 的长度54米【分析】AD 上截取AE ，使得AE EC ，设CD x ，在Rt △则32AD AE ED x ，进而即可求解．【详解】解：如图所示，AD 上截取AE ，使得AE EC ，∴EAC ECA ，∵15CAD∴230CED EAC ，【答案】斜坡AB 的长约为10米【分析】过点D 作DE BC 于点E ，在Rt DEC △中，利用勾股定理即可求解．在Rt DEC △中，2018CD C ，，sin 20sin18200.31 6.2DE CD C ∴ 6.2AF DE ．【答案】图②中2FH FG ，图③中FH FG ，证明见解析【分析】图②：如图②所示，连接BD HG CE ，，，先由三角形中位线定理得到12FG CE FG CE ∥，，12GH BD GH BD ∥，，再证明ABD ACE ≌△△得到CE BD ACE ABD ，∠∠，则FG HG ，进一步证明90FGH ，即可证明HGF △图③证明如下：如图③所示，连接BD HG，∵点F，G分别是DE DC，∴FG是CDE的中位线，180BAC，60∴HGF△是等边三角形，．∴FH FG【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。

浙江省中考数学第四单元三角形测试题浙教版

适用精选文件资料分享浙江省 2019 年中考数学第四单元三角形测试题（浙教版）单元测试 ( 四) [ 范围 : 三角形限时:45分钟满分:100分]一、选择题 ( 每题 5 分, 共 30 分) 1. 以下各组数可能是一个三角形的三边长的是 () A.1,2,4 B.4,5,9 C.4,6,8 D.5,5,11 2. 若△ ABC与△ DEF 相似 , 且相似比为 1∶3, 则△ ABC与△ DEF的面积比为 () A.1 ∶3 B.1∶9 C.3 ∶1 D.1 ∶ 3. 如图 D4-1, 由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169, 小正方形的面积为49, 则 sinα-cosα=()图D4-1 A. B.- C. D.- 4.如图D4-2,在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, ∠A=60°,AC=6, 将△ ABC绕点 C按逆时针方向旋转获得△ A'B'C, 此时点 A' 恰幸好 AB边上 , 则点 B' 与点 B之间的距离为()图D4-2 A.12 B.6 C.6 D.6 5.如图D4-3,在△ ABC中, ∠C=90°, ∠B=30°, 以 A为圆心 , 任意长为半径画弧分别交 AB,AC 于点 M和 N,再分别以 M,N为圆心 , 大于 MN的长为半径画弧 , 两弧交于点 P, 连结 AP并延长交 BC于点 D,有以下说法 : ①AD是∠ BAC的均分线; ②∠ ADC=60°; ③点 D在 AB的垂直均分线上; ④S△DAC∶S△ABC=1∶3. 此中正确说法的个数是 () 图 D4-3 A.1 B.2 C.3 D.4 6. 矩形 ABCD与 CEFG如图 D4-4 搁置 , 点 B,C,E 共线 ,点 C,D,G 共线 , 连结 AF,取 AF的中点 H,连结 GH,若 BC=EF=2,CD=CE=1,则 GH= ()图D4-4 A.1 B. C. D.二、填空题(每题5分,共30分) 7. 我们规定 : 等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特色值” , 记作 k, 若 k= , 则该等腰三角形的顶角为度. 8. 如图 D4-5, ∠A=∠D,AC=DF,则需要增补条件 ( 写出一个即可 ),才能使△ ABC≌△ DEF. 图 D4-5 9. 如图 D4-6, 在五角星中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 . 图 D4-6 10. 如图D4-7, △ABC中,AD 是中线 ,BC=8, ∠B=∠DAC,则线段 AC的长为图 D4-7 11. 如图 D4-8, 四边形 ABCD中,AC 均分∠BAD,∠ACD=∠ABC=90°,E,F 分别为 AC,CD的中点 , ∠D=α, 则∠ BEF 的度数为 .( 用含α的式子表示 ) 图 D4-8 12. 已知等边三角形 ABC的高为4, 在这个三角形所在的平面内有一点P, 若点P到AB所在直线的距离是 1, 点 P 到 AC所在直线的距离是 2, 则点 P 到 BC所在直线的最小距离和最大距离分别是 . 三、解答题 ( 共 40 分)13.(8 分) 如图 D4-9,AB∥CD,AB=CD,CE=BF请.写出 DF与 AE的数目关系, 并证明你的结论 . 图 D4-914.(8 分) 如图 D4-10, 某数学兴趣小组为丈量一棵古树 BH和教课楼CG 的高 , 先在 A处用高 1.5 米的测角仪测得古树顶端 H的仰角∠ HDE为 45°, 此时教课楼顶端 G恰幸好视野 DH上, 再向前走 7 米到达 B处,又测得教课楼顶端 G的仰角∠ GEF为 60°,A,B,C 三点在同一水平线上. (1) 计算古树 BH的高 ; (2) 计算教课楼 CG的高 .( 参照数据 : ≈1.4,≈1.7) 图 D4-1015.(12 分) 随州市新蹶水一桥 ( 如图 D4-11①) 设计灵感本源于市花――兰花 , 采纳蝴蝶兰斜拉桥方案 , 设计长度为 258 米, 宽 32 米, 为双向六车道 ,2018 年 4 月 3 日通车 . 斜拉桥又称斜张桥 , 主要由索塔、主梁、斜拉索构成 . 某座斜拉桥的部分截面图如图 D4-11②所示 , 索塔AB 和斜拉索 ( 图中只画出最短的斜拉索 DE和最长的斜拉索 AC)均在同一水平面内 ,BC 在水平桥面上 . 已知∠ABC=∠DEB=45°, ∠ACB=30°,BE=6 米,AB=5BD. (1) 求最短的斜拉索 DE的长 ; (2) 求最长的斜拉索 AC的长 . 图 D4-1116.(12 分) 如图 D4-12, 四边形 ABCD中,AB=AC=AD,AC均分∠ BAD,点 P 是 AC延长线上一点 , 且 PD⊥AD. (1) 证明 : ∠BDC=∠PDC; (2) 若 AC与BD订交于点 E,AB=1,CE∶CP=2∶3, 求 AE的长 .图D4-12参照答案 1.C 2.B [ 分析 ] 相似三角形的面积比等于相似比的平方 . 3.D [ 分析 ] 依据大正方形面积为 169 获得直角三角形斜边为 13, 小正方形面积为 49 得直角边的差为 7, 想到直角边为 12 和 5, 获得sin α-cos α= - =- ,应选D. 4.D[ 分析 ]连结B'B.∵将△ ABC绕点 C按逆时针方向旋转获得△ A'B'C, ∴CA=CA'. 又∵∠ A=60°, ∴△ AA'C 为等边三角形 ,∴∠ ACA'=60°,即旋转角为60°, ∴∠ BCB'=∠ACA'=60°, ∴△ BB'C 为等边三角形 , ∴BB'=BC.又∵在 Rt△ABC中, ∠ACB=90°, ∠A=60°,AC=6, ∴BB'=BC=6 . 5.D6.C [ 分析 ] 过点 H作 HM垂直于 CG于点 M,设 AF交 CG于点 O. 依据题意可知△ GOF∽△ DOA,∴ = = = , 因此 OF= OA= AF,即 AF=3OF, 因为点 H是 AF的中点 , 因此 OH= AF- AF= AF, 即 AF=6OH,因此 OH= OF.依据已知条件可知△ HOM∽△ FOG,可以推出 HM= ; 同理 , 经过△HOM∽△ AOD,可以推出 DM=DG,即 GM=DG=.在Rt△GHM中,GH= = .应选 C. 7.36 [ 分析 ] 设顶角为α, 则其底角为 (180 °- α), 由 k= , 可得(180 °- α)=2α, 解得α=36°. 8. 答案不独一 , 如∠ BCA=∠EFD 或AB=DE 9.180° 10.4 11.270 ° -3 α [ 分析 ] ∵∠ ACD=90°, ∴∠CAD=90° - ∠D=90°- α, ∵E,F 分别为 AC,CD的中点 ,∴EF∥AD,∴∠ CEF=∠CAD=90° - α. ∵AC均分∠BAD,∴∠ BAC=∠CAD=90° - α, ∵∠ ABC=90°,E 为 AC的中点 , ∴AE=BE,∴∠ EBA=∠BAC=90° - α,∴∠ BEC=180°-2 α, ∴∠ BEF=270° -3 α. 12.1,7 [ 分析 ] 依据题意画出相应的图形 , 直线 DM与直线 NF与 AB的距离都为 1, 直线 NG与直线 ME与 AC的距离都为 2, 当 P 与 N重合时 ,HN 为 P 到 BC的最小距离; 当 P 与 M重合时 , MQ为 P 到 BC的最大距离 . 依据题意得△ NFG与△MDE都为等边三角形 , ∴DB=FB= = ,CE=CG= = , ∴DE=DB+BC+CE= ++= , FG=BC-BF- CG= , ∴NH= FG=1,MQ= DE=7.故点 P 到 BC所在直线的最小距离和最大距离分别是 1,7. 13. 解:DF=AE. 证明 : ∵AB∥CD,∴∠ B=∠C. ∵CE=BF, ∴CE-EF=BF-EF,即 CF=BE. 在△ ABE和△ DCF中, ∴△ ABE≌△ DCF. ∴DF=AE. 14. 解 :(1) 在 Rt△DEH中,∵∠ DEH=90°, ∠HDE=45°,∴HE=DE=7米. ∴BH=HE+BE=7+1.5=8.5(米 ). (2) 设 EF=x米, 在 Rt△GEF中,∵∠ GFE=90°, ∠GEF=60°,∴GF=EF?tan60°= x.在Rt△GDF中, ∵∠ GFD=90°, ∠GDF=45°, ∴DF=GF. ∴7+x= x. 将≈1.7 代入上式 , 解得 x≈10.GF= x ≈17. ∴GC=GF+FC=18.5(米 ). 15.解:(1) ∵∠ ABC=∠DEB=45°, ∴∠ BDE=90°,BD=DE, 在 Rt△BDE中,DE=BE?sin∠ABC=6×sin45 °=3 ( 米 ).即最短斜拉索DE的长为3米. (2) 过点 A作 AM⊥BC于点 M, 由(1) 知,BD=DE=3,AB=5BD=5×3 =15 .在 Rt△ABM中,AM=AB?sin∠ABC=15×sin45 °=15( 米 ).∵∠ ACB=30°, ∠AMC=90°,∴AC=2AM=2×15=30(米).即最长斜拉索 AC的长为 30 米. 16.[ 分析 ] (1) 利用等腰三角形的性质联合互余的定义得出∠ BDC=∠PDC; (2) 过点 C 作 CM⊥PD于点 M,由相似的证明方法 , 得出△ CPM∽△ APD,利用对应边成比率的关系 , 求出 EC的长即可得出答案 . 解:(1) 证明 : ∵AB=AD,AC均分∠ BAD,∴AC⊥BD,∴∠ ACD+∠BDC=90°.∵AC=AD,∴∠ ACD=∠ADC.∵PD⊥AD,∴∠ ADC+∠PDC=90°,∴∠ BDC=∠PDC. (2)如图,过点C作CM⊥PD于点 M, ∵∠ BDC=∠PDC,∴CE=CM.∵∠ CMP=∠ADP=90°, ∠P=∠P, ∴△ CPM∽△ APD, ∴ = . 设CM=CE=x, ∵CE∶CP=2∶3, ∴PC= x. ∵AB=AD=AC=1,∴ = , 解得 x=或 x=0( 舍去), ∴AE=1- = .。

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第四章三角形自我测试
(时间45分钟满分100分)
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．(2017·扬州)若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是( C ) A ．6 B ．7 C ．11 D ．12
2．(2017·鄂州)如图，AB ∥CD ，E 为CD 上一点，射线EF 经过点A ，EC ＝EA.若∠CAE ＝30°，则∠BAF＝( D )
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．60°
第2题图
第3题图
3．如图，在△PAB 中，PA ＝PB ，M ，N ，K 分别是PA ，PB ，AB 上的点，且AM ＝BK ，BN ＝AK ，若∠MKN＝42°，则∠P 的度数为( C )
A ．44°
B ．66°
C ．96°
D ．92°
4．(2016·安顺)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( D )
A ．2
B .
255 C .55 D .1
2
第4题图
第5题图
5．(2016·达州)如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC，AF ⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点E.若AB ＝10，BC ＝16，则线段EF 的长为( B )
(导学号 58824164) A . 2 B . 3 C . 4 D . 5
6．如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，则下列判断错误的是( D ) A ．DE 是△ABC 的中位线 B ．点O 是△ABC 的重心 C ．△DEO ∽△CBO
D.S△DOE
S△ADE
＝
1
2
第6题图
第7题图
7．(2017·包头)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.若AC＝3，AB＝5，则CE的长为( A )
A.3
2
B.
4
3
C.
5
3
D.
8
5
8．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO＋∠DCO＝30°；②△OPC 是等边三角形；③AC＝AO＋AP；④S△ABC＝S四边形AOCP，其中正确的个数是( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题(每小题3分，共18分)
9．(2017·呼和浩特)如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C＝48°，则∠AED 为_114°_.
第9题图
第11题图
10．(2017·安顺)三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于_2.5_.
11．(2017·常州)如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于
点D ，若AB ＝6，AC ＝9，则△ABD 的周长是_15_.
(导学号 58824165)
12．(2017·长沙)如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的1
2，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐
标是(3，0)，则点A′的坐标是_(1，2)_．
第12题图
第13题图
13．(2017·黄石)如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB 的高度，一测量人员在该建筑物附近C 处，测得建筑物顶端A 处的仰角大小为45°，随后沿直线BC 向前走了100米后到达D 处，在D 处测得A 处的仰角大小为30°，则建筑物AB 的高度约为_137_米．
(注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)
14．(2017·深圳)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，在Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝_3_.
三、解答题(本大题5小题，共58分)
15．(11分)(2017·郴州)已知△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB，点D ，E 分别为边AB 、AC 的中点，求证：BE ＝CD.
证明：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB ＝AC ，
∵点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．∴AD＝AE ，在△ABE 与△ACD 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AD ＝AE ∠A＝∠A AC ＝AB
，
∴△ABE ≌△ACD ， ∴BE ＝CD.
16．(11分)(2017·沈阳模拟)如图，点A ，C ，D 在同一条直线上，BC 与AF 交于点E ，AF ＝AC ，AD ＝BC ，AE ＝EC.
(1)求证：FD ＝AB ；
(2)若∠B＝50°，∠F ＝110°，求∠BCD 的度数． (导学号 58824166)
(1)证明：∵EA＝EC ， ∴∠EAC ＝∠ECA，
在△AFD 和△CAB 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AF ＝CA ∠FAD＝∠BCA AD ＝CB
，
∴△AFD ≌△CAB ，
∴FD ＝AB ；
(2)解：∵△AFD≌△CAB，′ ∴∠BAC ＝∠F＝110°，
∴∠BCD ＝∠B＋∠BAC＝50°＋110°＝160°.
17．(11分)(2017·毕节)如图，在▱ABCD 中过点A 作AE⊥DC，垂足为E ，连接BE ，F 为BE 上一点，且∠AFE＝∠D.
(1)求证：△ABF∽△BEC；
(2)若AD ＝5，AB ＝8，sin D ＝4
5，求AF 的长．
(导学号 58824167)
(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AD ＝BC ，
∴∠D ＋∠C＝180°，∠ABF ＝∠BEC， ∵∠AFB ＋∠AFE＝180°，∠AFE ＝∠D， ∴∠C ＝∠AFB， ∴△ABF ∽△BEC ；
(2)解：∵AE⊥DC，AB ∥DC ，∴∠AED ＝∠BAE＝90°，在Rt △ADE 中，AE ＝AD·sin D ＝5×4
5
＝4，
在Rt △ABE 中，根据勾股定理得：BE ＝AE 2
＋AB 2
＝42
＋82
＝45， ∵BC ＝AD ＝5，
由(1)得：△ABF∽△BEC， ∴AF BC ＝AB BE ，即AF 5＝845
，解得：AF ＝2 5.
18．(12分)(2017·凉州区)美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A ，B 两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D 进行了测量．如图，测得∠DAC＝45°，∠DBC ＝65°.若AB ＝132米，求观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14)
解：如解图，过点D 作DE⊥AC，垂足为E ，设BE ＝x ，
在Rt △DEB 中，tan ∠DBE ＝DE
BE
，
∵∠DBC ＝65°，∴DE ＝x tan 65°. 又∵∠DAC＝45°，∴AE ＝DE. ∴132＋x ＝x tan 65°， ∴解得x≈115.8， ∴DE ≈248(米)．
∴观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为248米．
19．(13分)(2017·随州)风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成(如图①)，图②是从图①引出的平面图．假设你站在A 处测得塔杆顶端C 的仰角是55°，沿HA 方向水平前进43米到达山底G 处，在山顶B 处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D(D ，C ，H 在同一直线上)的仰角是45°.已知叶片的长度为35米(塔杆与叶片连接处的长度忽略不计)，山高BG 为10米，BG ⊥HG ，CH ⊥AH ，求塔杆CH 的高．(参考数据：tan 55°≈1.4，tan 35°≈0.7，sin 55°≈0.8，sin 35°≈0.6)
解：如解图，作BE⊥DH 于点E ，
则GH ＝BE ，BG ＝EH ＝10，
设AH ＝x ，则BE ＝GH ＝GA ＋AH ＝43＋x ，
在Rt△ACH中，CH＝AH tan∠CAH＝tan55°·x，
∴CE＝CH－EH＝tan55°·x－10，
∵∠DBE＝45°，∴BE＝DE＝CE＋DC，即43＋x＝tan55°·x－10＋35，解得：x≈45，∴CH＝tan55°·x＝1.4×45＝63，
答：塔杆CH的高为63米．。