解直角三角形3
浙教版数学九年级下册1.3.3解直角三角形 课件(共15张PPT)
那什么是仰角？什么是俯角呢？
导入新知
如图， 在进行测量时，从 下向上看，视线与水平线 的夹角叫做仰角；
仰角 俯角
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 【分析】（1）C观测D的仰角应为CD与水平面的较小的夹 角，即∠DCE；C观测B的俯角应为CB与水平线的较小的夹 角，即为∠BCE，不难得出∠BCD=∠DCE+∠BCE；（2） 易得CE=AB，则由直角三角形的锐角函数值即可分别求得 BE和DE，求和即可.
拓展延伸 1.如图,物华大厦离小伟家60m,小伟 从自家的窗中眺望大厦,并测得大厦顶 部仰角是450,而大厦底部的俯角是370, 求该大厦的的高度 (结果精确到0.1m).
分析:结合仰角与俯角理解图形，先过点A作AE⊥CD于 E，可得四边形ABCE是矩形，可得BC=AE,然后分别解 两个直角三角形，可得大厦的高度.
新知讲解
问题2：如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验 楼的窗口C测得教学楼顶总D的仰角为18°，教学楼底部B的俯 角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m. （结果精确到0.1m.参考数据： tan20°≈0.36,tan18°≈0.32） (2)求教学楼的高BD .
解：（2）由已知得CE=AB=30（m）, 在Rt△CBE中，BE=CE×tan20°≈30×0.36=10.80(m)， 在Rt△CDE中，DE=CE×tan18°≈30×0.32=9.60(m)， ∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4（m）. 答：教学楼的高为20.4m.
1.3 解直角三角形（3）
—— 仰角与俯角
浙教版
九年级下
导入新知
复习回顾： 堤坝横断面的问题实质是解有关梯形的计算问题，利 用坡度可以把有关线段分别与梯形的高建立联系，从 而求解. 某人沿着坡角为45 °的斜坡走了310 2 m，则此人的垂 直高度增加了____________m . 310
28.2解直角三角形(3)学案
28．2解直角三角形（3）学案一．基础训练。
1、锐角三角函数值的变化规律：（1）锐角的正弦值或正切值随角度的增大而 （或减小而 ）（2）锐角的余弦值或余切值随角度的增大而 （或减小而 ）2、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A 的各三角函数值（ ）（A ） 都扩大两倍（B ）都缩小两倍（C ）没有变化（D ）不能确定3、sin30°的值等于（ ）。
A 、21 B 、22 C 、23 D 、 1 4、已知∠A 是锐角，且sinA=32，那么∠A 等于（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°5、Rt △ABC 中，AB ＝8，3sin 4A,∠C ＝90°,则AC ＝_____________。
6、当锐角A<600时,下列结论不正确的是( ) (A)sinA< (B)cosA< (C)tanA< (D)cotA>二．新知探究。
1、坡度与坡角： 坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i 表示。
即ｉ＝ ，常写成i=1：m 的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．结合图形思考，坡度i 与坡角α之间具有什么关系？2、一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；3、某坡面的坡度为1：3，则坡角是_______度．4、如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =30°，∠C =60°， AD =4，AB =33，则下底BC的长为 __________．AD60°30°BC三．应用提高。
1、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34 方向上的Array B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？2、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)3、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．4、庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时李强从南坡山脚B处出发。
解直角三角形(3)
i=1︰2
B
C
Hale Waihona Puke 例3、如图，水库的横截面是梯形，坝高23m， BC=6m，斜坡AB的坡度
i 1: 3 ，斜坡CD的
坡度i'=1:1,求斜坡AB的长及坡角a和坝底宽AD （精确到0.1m）
B C
i 1: 3
A α D
E
F
如图,一段路基的横断面是梯形，高为4.2米， 上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角 分别是32°和28°，求路基下底的宽． （精确到0.1米）
A
F
以A为圆心，250km长为半径画圆交 连结AF，AE， 直线BC于E、F， 400 则DF=DE=200km， ∴ t 16 （小时） 25 答：影响时间为16小时。
600
则∠ADB=90 ，AB=300km，∠ABD=30 ， ∴AD=150km， ∵150<250，∴会受到台风影响
B
l
h
α
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法 分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”， 把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h. 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为 直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想， 它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解 这方面的内容．
概念：
1、坡度与坡角 (1)坡面的铅直高度h 和水平宽度l的比叫做坡度 h i ,一般写成i=1:m,如i=1:5 坡度一般用i来表示，即 l (2)坡面与水平面的夹角α叫坡角
2、坡度与坡角α的关系
h
i
α L
h i tan l
h l水库
基础训练:
第25章 解直角三角形3-5节
第25章解直角三角形§25.3 解直角三角形【学习目标】1.了解解直角三角形的概念.2.掌握解直角三角形的方法.【课前导习】1．在△ABC中，若∠C=90° ,则∠A+∠B=______2.若∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b ,c ,则a,b,c的等量关系是________________3.如图, ∠C=90°,AC=6,则sinA= , cosA= ,tanA= cotA=sinB= , cosB= ,tanB= cotB=4.什么叫解直角三角形?【主动探究】例1.在△ABC中，∠C=90°,a=3b ,c=2,其中a ,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,解此直角三角形.例2.`在△ABC中，∠ACB=90°,斜边上的中线CD=6, ∠A=30°,解此直角三角形.`【当堂训练】1. 在△ABC 中，∠C=90°, ∠B=30°,求∠A=?2. 在△ABC 中，∠C=90°, a, b, c 分别是∠A,∠B, ∠C 的对边,若a=6,c=10,求b=?3. 在△ABC 中，∠C=90°,AB=15,SinA=31,求BC 的值. 4. 在△ABC 中，∠C=90°，a=b , c=2,其中a , b , c 分别是∠A,∠B, ∠C 的对边,解此直角三角形.5. 在△ABC 中，∠ACB=90°,斜边上的中线CD=5, ∠A=60°,解此直角三角形.【回学反馈】1. 在△ABC 中，∠ACB=90°，a ,b ,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边，则下列各式中正确的是（ ）A. b=atanBB. a=bcotAC. c=B b sinD. c=Ba cos 2. 在△ABC 中，∠ACB=90°,BC=8, ∠B=60°,解此直角三角形.3. 在△ABC 中，∠ C=90°,AC=2, AB=2,解此直角三角.4. 如图,某船沿正北方向航行,在点A 处测得灯塔C 在北偏西30°方向上,当船以20海里/小时的速度航行2小时,到达C 的正东方向点D,此时船距灯塔C 有多远?张顺生A第25章解直角三角形§25.4 仰角与俯角【学习目标】3.了解仰角与俯角的概念.4.掌握仰角与俯角的应用.【课前导习】1.什么是仰角?2.什么是俯角?3.地面上的人看空中的飞机,视线与水平线的夹角是仰角还是俯角?4.空中飞机上的飞行员看地面目标,视线与水平线的夹角是仰角还是俯角?5.楼上的人与楼下地面上的人互看,什么时候是仰角,什么时候是俯角?6.仰角,俯角与方位角,坡角有共同之处吗?请看下图,∠A是什么角呢?【主动探究】例1. 小王在教学楼底的水平操场上的C点用测角仪测得教学楼顶A点的仰角为30°,然后向教学楼前进40米到达E处,又测得A点的仰角为60°,已知测角仪的高度为1米,求教学楼AB的高度(结果保留根号).` `B1AC【当堂训练】1.甲同学在5楼阳台看楼底操场上的乙同学，俯角是68°,那么此时乙同学看甲同学的仰角是多少?2.飞机在空中A处测得地面目标B，俯角是β,此时飞机的高度AC=a,则BC的距离是多少?3.如图,水平地面直立的旗杆AB,在水平地面C处测得旗杆顶部A点的仰角为30°,向旗杆前进10米到达D 点,在D处测得A的仰角为45°.求旗杆AB的高度.【回学反馈】1. 甲,乙两人分别站在上下两条平行天桥a与b上,他们试图测出两条平行天桥间的距离,如图,甲从天桥的B点看天桥上的A点，仰角是60°，乙不动，甲前进200米到C点，此时，乙从天桥上的A点看天桥上的C点,俯角是45°，请问，你能根据这些已知数据，求出两条平行天桥之间的距离吗？，如果能，请求出结果，如果不能，请说明理由。
解直角三角形的应用3-坡度课件
02
坡度在生活中的应用
道路修建中的坡度
道路的坡度决定了车辆行驶的 稳定性和安全性。
适当的坡度可以减少车辆的摩 擦阻力，提高道路的通行效率。
在山区或丘陵地带，道路修建 需要合理规划坡度，以确保车 辆能够安全、顺畅地行驶。
桥梁设计中的坡度
桥梁的坡度设计关乎到桥面排水和行车安全。
在河流、峡谷等跨越障碍物的地方，桥梁的坡度设计需要充分考虑地形、水文等因 素。
应用
通过测量斜边和其中一条直角 边的长度，利用三角比计算锐 角的度数，进而求得坡度。
04
坡度计算的实例分析
实例一：道路修建中的坡度计算
确定道路起点和终点的坐标
根据道路规划图，确定道路起点的坐 标（x1, y1）和终点的坐标（x2, y2）。
计算斜边长度
利用勾股定理计算斜边长度c。
计算坡度
根据斜边长度和垂直距离h，利用坡 度公式计算坡度i。
坡度i。
根据计算得到的坡度i，结合屋 面材料和设计规范，确定屋面
的坡度和排水方式。
05
总结与展望
解直角三角形在坡度计算中的应用总结
坡度概念
坡度是描述斜坡倾斜度的一种方式，通常用角度或比例来 表示。在解直角三角形中，坡度可以通过对边和邻边的比 值计算得出。
实际应用
解直角三角形在坡度计算中有广泛的应用，例如在道路建 设、水利工程、土地测量等领域中，需要利用解直角三角 形的方法来计算斜坡的角度和倾斜度。
在几何学中，斜率是直线或曲 线的倾斜度的量度，通常用比 值或比例来表示。
对于直线，斜率等于直线上任 意两点的纵坐标之差与横坐标 之差的比值，即 $text{斜率} = frac{Delta y}{Delta x}$。
28.1 解直角三角形 同步教学课件(3) (新人教版九年级下)
点拨精讲：应先求出点A距BC的最近距离，若大于10则无危险，
若小于或等于10则有危险。
【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。5分钟
解:如图,过点B作BE AD于E 过C作CF AD于F , 在RT ABE和RT CDF中 BE 1 CF 1 , AE 3 FD 2.5 AE 3BE 3 23 69 m FD 2.5CF 2.5 23 57.5 m AD AE DF FD 69 6 57.5 132.5 m 斜坡的坡度i 1 0.3333 3
【预习导学】
一、自学指导
自学：阅读教材P89-91，自学例5、归纳和坡度问题，掌握利用解直角三角形的知识解
决实际问题的方法，弄懂坡度与坡角的实际意义，理解铅垂高度与水平宽度的实际意义，完 成填空。7分钟
总结归纳：①利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： a、将实际问题抽象为数学问题，画出图形，转化为解直角三角形 的问题； b、根据条件的特点，适当地选用 锐角三角函数 去解直角三角形； c、得到数学问题的答案；d、最后得到 实际 问题的答案。 ②拦水大坝的横断面为梯形，其中坡度i是指坡面的铅直高度与坡面的水平宽度 的比，这个值与坡角的 正切 值相等。坡度i一般写成1:m的形式，坡度i的 值越大，表明坡角越 大 ，即坡越陡。
难点：能运用解直角三角形解决航行、斜坡问题。
【学习目标】 1、能运用解直角三角形解决航行问题； 2、能运用解直角三角形解决斜坡问题；
3、理解坡度
i 坡面的铅直高度 tan 坡角 坡面的水平宽度
。
【学习重、难点】 坡面的铅直高度 tan 坡角 。 重点：理解坡度 i
1.3 九下浙教版解直角三角形(3)
400
C
B
O
东
海防哨所0发现,在它的北偏 西 400,距离哨所500m 东 的A处有一艘船向正东方向,经过3分时间后到达哨所北偏
东55°方向的B处.问船从A处到B处的航速是多少km/h(精
确到1km/h)?
北
C
A
C
B
O
东
为知道甲,乙两楼间的距离,测得两楼之 间的距离为32.6m,从甲楼顶点A观测到乙楼顶D 的俯角为35 ° 12 ′,观测到乙楼底C的俯角为
知 如图，在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的 识 小 夹角叫做仰角； 贴 从上往下看，视线与水平线的 士
夹角叫做俯角.
测角仪
例1 如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆
22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆 顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高．（精确到 0.1米）
43 ° 24 ′.求这两楼的高度(精确到0.1m)
练一练
小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m,
两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角
为30°，求南楼的影子在北楼上有多高？
AA
20m
D
30° 30
南
FF
15m
E北 E
15m
B
C
通过实践了解仰角和俯角在解直角三角形中
的作用。
解直角三角形的应用是数学中的应用问题，反
映现实领域特征的问题情景，它包含着一定的数
学概念、方法和结果。
通过对实际问题的抽象提炼，分辨出解直角三
角形的基本模式，用常规的代数方法解决问题。
解：
AB＝BE＋AE
＝ AC×tana＋CD＝ Nhomakorabea.17＋1.20≈10.4（米）
九年级数学鲁教版解直角三角形3导学提纲
“2.4 解直角三角形 （3）”导学提纲学习目标：1.能够应用解直角三角形的知识解决有关的问题；2.经历把非直角三角形问题转化为解直角三角形问题的过程，发展分析和解决问题的能力. 学习过程： 一. 自主探究：1.如图1， Rt △ADC 中，∠ADC =90°，∠A =60°, AC =12,求AD 和CD 的长.①2.如图2， Rt △ADB 中，∠BDC =90°，∠B =45°, CD =36,求BD 的长. ①3.如图3，△ABC 中，∠A =60°，∠B =45°，AC =12,CD ⊥AB 于D ，你能迅速说出AB 的长吗？①4. 如图4，△ABC 中，∠A =60°，∠B =45°，AC =12, 如何求AB 的长？试写出解题步骤.②二. 合作交流，成果展示：1. 交流上面各题，说说是怎样把锐角△ABC 的问题转化为解直角三角形的？图1B 图2B图3B图42. 一中4题，作△ABC 的高AH （如图5），试一试根据原题条件求AB 如何？3.交流:含有特殊角的三角形，怎样添加辅助线把它转化为直角三角形来解决？三.应用规律，巩固新知：1. △ABC 中，∠A =105°，∠B =45°，AC =12,求AB 的长？2.P45 随堂练习 1、2、33. △ABC 中，∠A =120°，∠B =15°，AC =2, 求AB 的长？③四.自我测评，检测反馈：1.本节课你有哪些收获？你还有那些疑惑？2.当堂检测： ①P45 习题2.8 1②如图，△ABC 中，∠ABC =120°，tan C =21，BC =11, 求AB 的长？④B图5CC3.课外自评：P45 习题2.8 联系拓广五.教（学）后反思“4 解直角三角形（3）”导学提纲设计意图与教学建议①承接上一课时，将学生自然引入到本课时内容.②对①的三问题的概括集结，学生在该探究过程中，很自然体会辅助线分割在解决问题过程中的重要性.③引进方程思想，解题中三角函数关系式确定不同线段间的数量关系，布列简单的方程，解方程求得未知数的值，进而解决问题.④通过本题，让学生认识到特殊角的特殊在于其三角函数值是确定的，添加辅助线是为了形成含确定三角函数值的锐角的直角三角形.。
解直角三角形及其应用(3)湘教版
解直角三角形及其应用(3)
——方位角问题
方位角
西北 北 东北 东
西
西南
南
东南
方位角
点A在O的北偏东30°
点B在点O的南偏西45°（西南方向）
点C在点O的正南方
北 A
30°
东
西
O 45°
C
B 南
例2：一艘海轮位于灯塔P的西南方向，距离 灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段 时间，到达位于灯塔P南偏东60°方向上的B 处，求海轮行驶的路程AB（结果保留根号）。
北
西
P
南
东
A
例2：一艘海轮位于灯塔P的西南方向，距离 灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段 时间，到达位于灯塔P南偏东60°方向上的B 处，求海轮行驶的路程AB（结果保留根号）。
北
西
P
南
东
40海里
45°60°
A
？
B
例2：一艘海轮位于灯塔P的西南方向，距离 灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段 时间，到达位于灯塔P南偏东60°方向上的B 处，求海轮行驶的路程AB（结果保留根号）。
B
12
D
F
1、一轮船以30海里/时的速度由南向北航行，在A处 看见灯塔S在船的北偏东30°方向上，半小时后航行到B 处，看见灯塔S在船的东北方向，求灯塔S与B的距离。
西北 西 西南
北 东北 东
南
东南
2、某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进 到B处望见灯塔C在北偏西30°方向，又航行了半小时到达D 处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为20海里/时，求A、B 两点间的距离。（结果保留根号）
西北 北 东北 东
1.3 解直角三角形(3)(课时3)课件(浙教版九年级下册)
补充1. 一艘轮船在Ａ处观测到东北方向有一小 岛Ｃ,已知小岛Ｃ周围４.8海里范围内是水产养殖 场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处, 在B处测得小岛C在北偏东60°方向,这时渔船改 变航线向正东(即BD)方向航行,这艘渔船是否有进 入养殖场的危险?
补充2. （2006辽宁） 如图,某人在山坡坡脚A处测得 电视塔尖点C的仰角为60°,沿山坡向上走到P处再 测得点C的仰角为45°,已知OA=100米,山坡坡比 1 1 为 ，（即tan∠PAB= ），且O、A、B在同一 2 2 条直线上。求电视塔OC的高度以及所在位置点P 的铅直高度.（测倾器的高度忽略不计，结果保留 根号形式） C
山坡
60°
O
45°P
A
E
B
水平地面
AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交 叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北 偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB＝2km， ∠DAC＝15°． （1）求B，D之间的距 60 60 60 60 60 60 45
D
45o
A
A
B
30o
60o
D
C
例2
如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘 货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚方 向，航行24海里到C处，见岛A在北偏西30˚方向， 货轮继续向西航行，有无触礁的危险？ 解 过点A作AD⊥BC于D,设AD=x
B D C B C D
2、注意可解直角三角形与非可解直角三角形 的基本解题思路;
3、
现实对象
数学抽象
数学模型 逻辑推理
有无解？ 实际问题的解
数学问题的解
翻译回去
小提示
1. 应注意锐角三角函数的概念理解及运用。 2. 在解直角三角形时应注意原始数据的使用， 不是直角三角形时，可添辅助线(添加垂线）。 3. 注意数形结合的运用.善于利用方程思想求解 。 4 .使用计算器时,题中没有特别说明，保留4位小 数。
28.2.3解直角三角形(3)
的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善 于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。 2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。
解:
250 2 t 20 (小时） 25
答：受台风影响的时间 为20小时。
2r t= v
r表示台风形成区域圆 的半径 V表示风速
去年“卡努” 台风中心从我市的正东方向 300km处向北偏西60度方向移动，其他数据不变，请 问此时，我市会受到台风影响吗？若受影响，则影响 的时间又多长？
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联
28.2 .3解直角三角形(3)
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； c
Ｂ
； (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º (3)边角之间的关系: a sinA＝ c b cosA＝ c a tanA＝ b
国外船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以 内的区域，如图，设A、B是我们的观察站，A和B 之 间的距离为157.73海里，海岸线是过A、B的一条直 线，一外国船只在P点，在A点测得∠BAP=450，同时 在B点测得∠ABP=600，问此时是否要向外国船只发 出警告，令其退出我国海域.
P
A
B
A
30°
60°
B
12
D
F
28解直角三角形-3
图 19.4.4
仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线 铅 直 线 仰角 水平线 俯角
视线
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例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电 线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测 得电线杆顶端B的仰角a＝22°， 求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
例3. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距 离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海 轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
A C
65° P
34°
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40
C
利用解直角三角形的知识解决实际问题的 一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
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D
E
B
C
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(课本89页)
建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观 察旗杆顶部A的仰角为50°,观察底部B的仰角 为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)
A
B
D
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2、《同步练习》P58-60（五）（六）
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α＝22° 1.20 22.7
朱立霞解直角三角形3
§28.2.1 解直角三角形
河口实验学校 朱立霞
探究一
小亮：你看我的风筝 时比看你的时头要抬 得高些，所以我的风 筝放飞的比你的高!
小丽：我放出的风 筝线长为120米， 而你的只有100米， 所以我的风筝放飞 的比你的高!
（注：小亮的风筝的仰角为37°，而小丽的风筝的仰 角为30°）
解直角三角形有哪些依据和方法呢？
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； A (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º （互余关系） ； (3)边角之间的关系（ : 锐角三角函数）
A 的对边 a sin A 斜边 c A 的邻边 b cos A 斜边 c A 的对边 a tan A A 的邻边 b sin B B 的对边 b 斜边 c B 的邻边 a cos B 斜边 c B 的对边 b tan B B 的邻边 a
b
c
C
a
B
（4）特殊角的边角关系（ 30°，45°，60°）
探究二
A
调研方法
在直角三角形中，至少知道五个元素中的几个， 就可以求其余的元素？
A
已 知 两 边
b
C A
B
a
c a
已 知 一 边 一 角
B
α
a
C A
c B A
α
C
B
A
C
已知两角 B C 结论：如果知道五个元素中的两个 (至少有一 C
B 个是边),那么就能求出其他三个元素 .
B
100米 37°
B′
120米
30°
A
小亮
C
A′
解直角三角形3
(4)面积公式 S ABC
1 1 ab ch 2 2
例 如图，在△ABC中，∠A=45° ， ∠B=30°， BC=8 ，求∠ACB及AC、AB的长. 解：过C作CD⊥AB于D点。 C 在Rt △BCD中，∠B=30°，BC=8 A 45° ∴CD=4.
C
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在直角三角形中，如果给定一些边和角， 就可以借助勾股定理或锐角函数求出其他的边 和角。 解直角三形的定义： 如果把直角三角形中 的每一边或每一个角都叫一个元素的话，解 直角三角形就是由已知元素求出未知元素的 过程。
解直角三角形的依据 在Rt△ABC中，若∠C=90°， ∠A 、 ∠B 、 ∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，AB边上的高为h (1) 三边间的关系:a2+b2=c2(勾股定理) (2) 锐角间的关系:∠A+ ∠B=90° (3) 边角间的关系:
在Rt△BCF中，同理可得
4.2 BF 7.90 (米) tan 28
tan 32
因此
AB＝AE＋EF＋BF ≈6.72＋12.51＋7.90 ≈27.13（米）． 答： 路基下底的宽约为27.13米．
如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面 加宽两米,坡度由原来的1:2改成 1:2.5,已知原背水坡长BD=13.4米, 求: (1)原背水坡的坡角 和加宽后 的背水坡的坡角 ;
(2)加宽后水坝的横截面面积增 加了多少?(精确到0.01)
C
1:2.5
直角三角形三边长公式
直角三角形三边长公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：直角三角形是指其中一个角是90度的三角形。
直角三角形的三边分别为斜边、底边和高。
在直角三角形中，斜边的长度可以用底边和高的长度来计算。
这个计算方法就称为直角三角形的三边长公式。
直角三角形的三边长公式可以表示为：斜边的长度s = sqrt(a^2 + b^2)其中a和b分别为直角三角形的底边和高的长度，sqrt代表开平方。
直角三角形的三边长公式在几何学和实际应用中都有广泛的应用。
下面将从几何学和实际应用两个方面来介绍直角三角形三边长公式。
从几何学的角度来看，直角三角形的三边长公式是基于勾股定理推导出来的。
勾股定理是直角三角形的一个重要定理，它描述了直角三角形的两个直角边长的平方和等于斜边长的平方。
在地理学中，测量地表上两点的直线距离时也可以使用直角三角形的三边长公式。
地图上标注的两点的纬度和经度可以看作直角三角形的两个直角边的长度，通过直角三角形的三边长公式可以计算出它们之间的直线距离。
直角三角形的三边长公式是一个简单而又实用的数学工具，它不仅在几何学领域有着重要的应用，而且在实际生活和工作中也有广泛的用途。
熟练掌握这个公式可以帮助我们更方便地解决实际问题，提高工作效率。
所以，对于学生来说，要认真学习直角三角形的三边长公式，并在实践中灵活运用。
第二篇示例：直角三角形是一种特殊的三角形，其中包含一个角为90度。
直角三角形的三边分别为斜边、底边和垂直于底边的高。
直角三角形的三边长之间存在一个重要的数学关系，即直角三角形三边长公式。
直角三角形三边长公式又被称为毕达哥拉斯定理，这个定理是数学家毕达哥拉斯在古希腊时期发现的。
毕达哥拉斯定理指出，在直角三角形中，斜边的平方等于底边的平方加上高的平方。
换句话说，就是a^2 = b^2 + c^2，其中a为斜边长，b为底边长，c为高长。
这个定理的证明可以通过几何方法、代数方法或三角函数方法来完成。
其中最常见的是几何方法，利用直角三角形的几何特性来推导出毕达哥拉斯定理。
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在
解：
∵
60°
有多少个元素？
三角形有六个元素，分 别是三个边和三个角。
在直角三角形的六个元素中，除直 角外，如果再知道两个元素（其中至 少有一个边），你能求出其它三个元 素吗？
在直角三角形中，由已知元素 求未知元素的过程，就是解直角三 角形。
直角三角形边角有什么样的关系？
还有其它方法 求C吗？
梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45O， ∠C=120O，AB=8，求CD的长
A D
B
C
例题： 如图 19.4.1 所示，一棵大树在一次 强烈的地震中于离地面 10 米处折断倒下，树顶 落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
解
利用勾股定理可以求 出折断倒下部分的长度为:
10 + 24 = 26
26＋10＝36（米）.
2
2
答 : 大树在折断之前高为 36 米.
作业：
；
机房监控 机房环境监控
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来到集市上，我摆上新鲜的蔬菜。 三三两两的人开始光顾我的菜摊儿，渐渐地人越来越多，他们观赏起每一样新鲜的蔬菜来。有的人拿起圆圆的大菜椒看 来看去拿起又嫩又鲜的蒜薹好奇地问：“苏林，这蒜薹是哪儿来的？这样的季节怎么会有这种又鲜又嫩的蔬 菜？” 说起马老爷子，他是我们这一带最早的中学教师，教过一级又一级的山里孩子，我也跟他上过三年高中，深知他的为人。 俗话说秀才不出门全知天下事，马老爷子见多识广，为人正直，大家都很尊敬他。 我看着马大伯，所有人的眼光却投向了我，期待我的回答。 “马大伯，你是中学教师，想必你一定知道冷库的储存与保鲜作用„„” 马老爷子立即打断了我的话，发自肺腑的感叹，“只在书上看过，实物还是第一次见，真没想到冷库的保鲜效果如此得 好，简直就像刚刚从地里打出来似的。” 马老爷子抽出一根蒜薹，用手折断放到嘴里慢慢地嚼了嚼，“好！味道不错，称上二斤!” 在马老爷子的带头下，人们开始各自称起他们需要的菜来，我顿时忙得不亦乐乎。 妻子知道我是个门外汉，掌起称来远远不及她灵活，所以她让我去收钱，自己一个人应付起所有的顾客来。从谈菜价到 称称，无论是对待年轻的还是上了岁数的，她总是面带微笑百问不厌，她的耐心使我感到她很伟大，她的胸怀很宽 广„„ 这时，来了两个中年人，把摩托车停在菜摊儿前，他们急急火火地拿上了青椒、辣椒、芫荽和蒜薹等蔬菜，顺便打了个 欠条递给我，骑上摩托车笑着对我说：“掌柜的，明天进货时要进些新鲜的南方菜我到集上去找你。” 还没等我回过神儿来，他们便驱车而去。 “摊上这样的大客户，你们要发大财了„„”突然有人叫了起来。 我看看妻子，又看了看手中的欠条。 “把欠条收好，这人我认识，他是镇政府食堂的小杨，负责后勤工作„„这钱以后我跟他要„„”妻子跟他很熟，以 前他经常买妻子的蘑菇。