学考传奇(济南专版)中考数学 第5章 四边形 第2节 矩形 菱形 正方形复习课件
2021年中考数学总复习第一部分基础知识复习第5章四边形第2讲矩形菱形课件
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中考数学一轮复习 第五章 四边形 第2节 矩形、菱形、正方形数学课件
温馨提示有关正方形的计算可以转化为等腰直角三角形 进行
12/9/2021
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四边形之间的转化关系
12/9/2021
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重难点突破
一 矩形性质的有关计算 例 1 在矩形ABCD中，BC＝4，BG与对角 线AC垂直，且分别交AC，AD及CD延长线 于点E，F，G，当点F为AD中点时，AB＝ ___2__2___．
四边形
先证平行四边形，再证一个角是直角
先证平行四边形，再证⑤ _______相等对角线
平行四边形
证明一个角是直角 证明对角线相等
面积：S＝⑥ ab
(a、b表示长和宽)
温馨提示 矩形的计算可以通过对角线转化为直角三角 形、等腰（边）三角形进行菱形
12/9/2021
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1.边
菱形的四条边都相等：AB=BC=CD=DA 对边平行：AB∥CD, AD∥BC
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1.边
四条边都相等：AB=BC=CD=AD 对边平行：AB∥CD,AD∥BC
性质
2.角：四个角都是直角：∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°
AC⊥BD
3.对
角线
对角线互相垂直平分且相等
OD=OB,OA=OC AC=BD
对角线平分 ∠DAC=∠BAC=⑭ 45°
___,∠DCA =∠BCA=45°
判定 思路
四边形
先证平行四边形，再证一组邻边相等
先证平行四边形，再证对角线⑫ ___________ 互相垂直
平行四边形
证明一组邻边相等 证明对角线互相垂直
面积：S＝⑬
1mn 2
(m、n分别表示两条对角线的长)
温馨提示 菱形边、角的计算问题可以转化为直角三角 形、等腰三角形进行
学考传奇(济南专版)中考数学第5章四边形第2节矩形菱形正方形复习课件
知识点3 正方形的性质与判定
1.正方形的性质： （1）正方形具有矩形和菱形的所有性质；正方形的四个 角都是___直__角___，四条边都___相__等__；正方形的两条对角 线相等且_垂__直__平__分__，每条对角线平分一组对角. （2）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有_4_ 条对称轴.
【解答】(1)在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC, ∴∠BAD=∠DAC. ∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线, ∴∠MAE=∠CAE，
又∵DAADE⊥BC,DCAEC⊥AN,CAE 1 180 90. 2
∴∠ADC=∠CEA=90°， ∴四边形ADCE为矩形.
(2)例如,当∠BAC=90°时,四边形ADCE是正方形. ∵∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D, ∴∠ACD=∠DAC=45°, ∴DC=AD. 由(1)知四边形ADCE为矩形, ∴矩形ADCE是正方形.
1.(2015·高新一模)如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4， 对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE， 则CE的长是( )
A.2.5
B.2.8
C.3
D.3.5
2.(2015·天桥二模)如图，在矩形ABCD中，AD 2AB，
∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交 CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED； ②OE=OD；③BH=HF；④BC-CF=2HE；⑤AB=HF.其中结论正确 的是_①__②__③__④__(填序号).
（2014·贵州安顺）如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC, 垂足为点D,AN是△ABC的外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足 为点E. (1)求证：四边形ADCE为矩形； (2)当△ABC满足什么条件时, 四边形ADCE是一个正方形？ 并给出证明.
2024年九年级中考数学一轮复习课件 第5章 第2节 矩形、菱形与正方形
(2)解：∵四边形 ADBF 是菱形，∴菱形 ADBF 的面积＝2△ABD 的 面积．∵点 D 是 BC 的中点，∴△ABC 的面积＝2△ABD 的面积，∴菱 形 ADBF 的面积＝△ABC 的面积＝40，∴12AB·AC＝40，∴12×8·AC＝40， ∴AC＝10，∴AC 的长为 10.
考点 与正方形有关的证明与计算 9．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个
矩 正方形的性 形、 质及判定
面积计算公式：S＝边长2＝12×对角线2，
菱 形 与 正
即S＝a2＝12n2（其中a为正方形的边长，
n为正方形的对角线长）
方
形 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系：
当堂练习：
1．如图，将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形，则∠1的度
数是 A．40°
( C)
(D ) A．当t＝4 s时，四边形ABMP为矩形 B．当t＝5 s时，四边形CDPM为平行四边形 C．当CD＝PM时，t＝4 s D．当CD＝PM时，t＝4 s或6 s
4．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P 处，折痕为EF.
(1)求证：△PDE≌△CDF； (2)若CD＝4 cm，EF＝5 cm，求BC的长．
2．在下列条件中，能够判定□ABCD为矩形的是
A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD
(D )
3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC ＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出 发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点 同时停止运动．设点P的运动时间为t(单位：s)，下列结论正确的是
学考传奇(济南专版)中考数学 第5章 四边形 第2节 矩形
第2节矩形菱形正方形1.在正方形、矩形、菱形、平行四边形中，其中中心对称图形的个数是( )A.1B.2C.3D.42.(2015·辽宁沈阳)顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是( )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形3.(2015·临沂)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB.添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )A.AB=BEB.DE⊥DCC.∠ADB=90°D.CE⊥DE4.(2015·安徽)如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4，点E在AB上,点F在CD上,点G，H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是( )5.(2015·四川自贡)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是( )6.(2015·菏泽)二次函数2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在二次函数x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为_______.7.(2014·青海西宁)如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H.若，AG=1，则EB=_________.8.(2015·贵州安顺)如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.(1)证明:AE=DF;(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由.9.（2015·潍坊）如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.（1）求证：DE⊥AG.（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°<α<360°）得到正方形OE′F′G′，如图2.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由.参考答案1.D2.B3.B4.C5.A8.解:(1)∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE=DF.(2)若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴∠EAD=∠ADF.∵∠EAD=∠FAD,∠DAF=∠FDA，∴AF=DF，∴平行四边形AEDF为菱形.9.证明:(1)如图1,延长ED交AG于点H.∵O为正方形ABCD对角线的交点.∴OA=OD,OA⊥OD.∵OG=OE,∴Rt△AOG≌Rt△DOE，∴∠AGO=∠DEO.∵∠AGO+∠GAO=90°,∴∠DEO+∠GAO=90°，∴∠AHE=90°,即DE⊥AG.(2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有以下两种情况:(i)α由0°增大到90°过程中,当∠OAG′为直角时,∵OA=OD=12OG=12OG′,∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O=OAOG=12,∴∠AG′O=30°.∵OA⊥OD,OA⊥AG′,∴OD∥AG′,∴∠DOG′=∠AG′O=30°.即α=30°.(ii)α由90°增大到180°过程中,当∠OAG′为直角时,同理可求∠BOG′=30°, ∴α=180°-30°=150°.综上,当∠OAG′为直角时,α=30°或150°.②AF′长的最大值是2+,此时α=315°.2。
山东省济南市中考数学一轮复习第五章四边形第二节矩形、菱形、正方形练习(new)
(2)∠BEF＝∠BFE。
17．（2016·株洲)已知正方形ABCD中，BC＝3，点E，F分别是CB，CD延长线上的点,DF＝BE，连接AE,AF.
(1）求证：△ADF≌△ABE；
（2)若BE＝1，求tan∠AED的值．
参考答案
【夯基过关】
1．C 2.B 3。C 4.B 5.A 6.B
∴AE＝ ，ED＝ ＝5。
∵S△AED＝ AD·BA＝ ，
∴S△AED＝ DE·AH＝ ，解得AH＝1。8。
在Rt△AHE中，EH＝ ＝2.6，
∴tan∠AED＝ ＝ .
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
A．△AFD≌△DCEB．AF＝ AD
C．AB＝AFD．BE＝AD－DF
7．(2016·茂名）如图，已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO＝1,那么BD＝______．
8．（2016·
龙岩）如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕,点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝__________．
5．(2016·雅安)如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD的周长为( ）
A．52 cmB．40 cmC．39 cmD．26 cm
6．(2016·荆门）如图，在矩形ABCD中（AD＞AB）,点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（ )
山东省济南市中考数学一轮复习随堂演练第五章四边形第二节矩形、菱形、正方形试题(new)
第二节矩形、菱形、正方形随堂演练1．(2017·聊城)如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（ )A．AB＝AC B．AD＝BDC．BE⊥AC D．BE平分∠ABC2．(2017·菏泽）如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（－4，5），D是OB的中点，E是OC 上的一点,当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（）A．(0，错误!）B．(0,错误!）C．（0，2) D．（0,错误!）3．（2017·泰安)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点,ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E。
若AB＝12，BM＝5，则DE的长为（）A．18 B。
错误! C.错误!D。
错误!4．（2017·十堰)如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED＝____________．5．如图,平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O,且OA＝OB，∠OAD＝65°，则∠ODC ＝__________．6．(2017·菏泽)菱形ABCD中,∠A＝60°，其周长为24 cm,则菱形的面积为________cm2. 7．（2017·枣庄)如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F。
若AB＝9，DF＝2FC，则BC＝____ ______（结果保留根号)．8．（2017·潍坊）如图，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD边上,记为B′，折痕为CE，再将CD边斜向下对折，使点D落在B′C边上,记为D′，折痕为CG，B′D′＝2，BE＝错误!BC，则矩形纸片ABCD的面积为________．9．(2017·日照)如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE,垂足为E.（1）求证：△DCA≌△EAC;(2）只需添加一个条件，即______,可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．10．(2017·青岛)如图，在菱形ABCD中，点E,O，F分别为AB，AC,AD的中点,连接CE，CF，OE,OF。
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3.矩形的判定： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线____相__等____的平行四边形是矩形. （3）有___三__个__角___是直角的四边形是矩形.
知识点2 菱形的性质与判定 1.菱形：有一组邻边___相__等____的平行四边形叫作菱形. 2.菱形的性质： （1）菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有 性质. （2）菱形的四条边都__相__等___.
证明：∵四边形ABED是平行四边形， ∴BE∥AD,BE=AD. ∵AB=BC,BD平分∠ABC, ∴AD=CD, ∴四边形BECD是平行四边形. ∵AB=BC， ∴△ABC是等腰三角形.
又∵BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC. 即∠BDC=90°. ∴四边形BECD是矩形.
考点2 菱形的性质与判定
知识点3 正方形的性质与判定
1.正方形的性质： （1）正方形具有矩形和菱形的所有性质；正方形的四个 角都是___直__角___，四条边都___相__等__；正方形的两条对角 线相等且_垂__直__平__分__，每条对角线平分一组对角. （2）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有_4_ 条对称轴.
【名师指点】本考点主要考查菱形的判定及性质的运用.菱 形具有四条边都相等，对角线相互垂直平分，且每条对角 线都平分一组对角的特殊性质，又有一般平行四边形的性 质.在解答有关菱形的问题时，要灵活运用这些性质.
(2015·济南)如图，在菱形ABCD中，AB=6， ∠DAB=60°，AE分别交BC，BD于点E，F，CE=2，连接CF，
（2014·贵州安顺）如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC, 垂足为点D,AN是△ABC的外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足 为点E. (1)求证：四边形ADCE为矩形； (2)当△ABC满足什么条件时, 四边形ADCE是一个正方形？ 并给出证明.
【分析】(1)四边形ADCE中已知有两个直角,要判定其是矩 形,只需再证明有一个角是直角即可,通过观察可知,判断 ∠DAE是直角比较方便. (2)此题是条件结论都开放型问题,答案不唯一.一般地,使 矩形变为正方形可以添加邻边相等或是对角线垂直,可以通 过添加△ABC的条件间接获得证明.
知识点1 矩形的性质与判定
1.矩形：有一个角是直角的__平__行__四___边__形__叫作矩形.
2.矩形的性质： （1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.
（2）矩形的四个内角相等且都是___直__角___. （3）矩形的两条对角线___相__等_____. （4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有__2_条对称轴.
1.(2015·高新一模)如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4， 对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE， 则CE的长是( )
A.2.5
B.2.8
C.3
D.3.5
2.(2015·天桥二模)如图，在矩形ABCD中，AD 2AB，
∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交 CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED； ②OE=OD；③BH=HF；④BC-CF=2HE；⑤AB=HF.其中结论正确 的是_①__②__③__④__(填序号).
2.正方形的判定： （1）有一个角是___直__角___的菱形是正方形. （2）有一组邻边___相__等___的矩形是正方形. （3）有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形 是正方形. （4）对角线相等且相互____垂__直_____的四边形是正方形.
3.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，正方形又 是特殊的菱形，还是特殊的矩形，他们之间的点主要考查矩形的判定及性质的运用. 解答这类问题时，既要注意运用矩形的特殊性质，也要注 意运用矩形作为一般平行四边形所具有的性质.
【分析】由四边形ABCD是矩形，得出AB=CD，∠B=∠C，再 由BF=CE，得出BE=CF,从而证明△ABE≌△DCF，即可证明 AE=DF. 【解答】∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠B=∠C=90°. 又∵BF=CE， ∴BF+FE=CE+EF.即BE=CF. ∴△ABE≌△DCF,∴AE=DF.
3.(2014·济南)如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中 点，求证：EB=EC.
解：在△ABE和△DCE中， AB=DC,AE=DE,∠EAB=∠EDC, ∴△ABE≌△DCE, ∴EB=EC.
4.（2015·聊城）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分 ∠ABC.四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE. 求证：四边形BECD是矩形.
（3）菱形的对角线互相___垂__直__且__平__分_____，每条对角线 平分一组对角. （4）菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有__2__ 条对称轴.
3.菱形的判定： (1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形. (2)四条边都____相__等_____的四边形是菱形. (3)对角线相互_垂__直__且__平__分_的四边形是菱形. 4.菱形面积的计算： (1)可以作为平行四边形来计算面积：S=__底__×__高__. (2)利用菱形的对角线的长度计算：S=两条对角线乘积的 ______一__半_______.
【解答】(1)在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC, ∴∠BAD=∠DAC. ∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线, ∴∠MAE=∠CAE，
又∵DAADE⊥BC,DCAEC⊥AN,CAE 1 180 90. 2
∴∠ADC=∠CEA=90°， ∴四边形ADCE为矩形.
(2)例如,当∠BAC=90°时,四边形ADCE是正方形. ∵∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D, ∴∠ACD=∠DAC=45°, ∴DC=AD. 由(1)知四边形ADCE为矩形, ∴矩形ADCE是正方形.