四川省成都市2019届高三数学第二次诊断性检测试题文(含解析)

四川省成都市2019届高三数学第二次诊断性检测试题文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5个，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合,,则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】进行交集、补集的运算即可．【详解】∁U B＝{x|﹣2＜x＜1}；∴A∩（∁U B）＝{x|﹣1＜x＜1}．故选：A．【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．2.已知双曲线的焦距为4,则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出c＝2，再根据1+b2＝c2＝4，可得b，即可求出双曲线C的渐近线方程.【详解】双曲线C：的焦距为4，则2c＝4，即c＝2，∵1+b2＝c2＝4，∴b，∴双曲线C的渐近线方程为y x，故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题. 3.若，且，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系求出cosα和sinβ的值，然后由两角和与差的正弦函数公式并将相应的值代入即可．【详解】，且，，则cosαsinβ，sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ．故选：B．【点睛】此题考查了同角三角函数的基本关系、两角和与差的余弦函数公式以及特殊角的三角函数值，熟记公式是解题的关键，属于基础题．4.已知向量,,则向量在向量方向上的投影为（）A. B. C. －1 D. 1【答案】A【解析】【分析】本题可根据投影的向量定义式和两个向量的数量积公式来计算．【详解】由投影的定义可知：向量在向量方向上的投影为：，又∵，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查投影的向量定义以及根据两个向量的数量积公式来计算一个向量在另一个向量上的投影，本题属基础题．5.为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。

其中所有正确结论的编号为：（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C【解析】【分析】根据中位数，平均数，方差的概念计算比较可得．【详解】甲的中位数为29，乙的中位数为30，故①不正确；甲的平均数为29，乙的平均数为30，故②正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确．故选：C．【点睛】本题考查了茎叶图，属基础题．平均数即为几个数加到一起除以数据的个数得到的结果.6.已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先通过解分式不等式化简条件乙，再判断甲成立是否推出乙成立；条件乙成立是否推出甲成立，利用充要条件的定义判断出甲是乙成立的什么条件．【详解】条件乙：，即为⇔若条件甲：a＞b＞0成立则条件乙一定成立；反之，当条件乙成立，则也可以，但是此时不满足条件甲：a＞b＞0，所以甲是乙成立的充分非必要条件故选：A．【点睛】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q 的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．7.将函数的图像上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图像，若函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据图象求出A，ω和φ的值，得到g（x）的解析式，然后将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象．【详解】由图象知A＝1，（），即函数的周期T＝π，则π，得ω＝2，即g（x）＝sin（2x+φ），由五点对应法得2φ＝π，得φ，则g（x）＝sin（2x），将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象，即f（x）＝sin[2（x）]＝sin（2x），故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合图象求出A，ω和φ的值以及利用三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．确定y＝A sin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝.8.已知是两条异面直线,直线与都垂直,则下列说法正确的是（）A. 若平面，则B. 若平面，则,C. 存在平面，使得,,D. 存在平面，使得,,【答案】C【解析】【分析】在A中，a与α相交、平行或a⊂α；在B中，a，b与平面α平行或a，b在平面α内；在C中，由线面垂直的性质得：存在平面α，使得c⊥α，a⊂α，b∥α；在D中，a∥b，与已知a，b是两条异面直线矛盾．【详解】由a，b是两条异面直线，直线c与a，b都垂直，知：在A中，若c⊂平面α，则a与α相交、平行或a⊂α，故A错误；在B中，若c⊥平面α，则a，b与平面α平行或a，b在平面α内，故B错误；在C中，由线面垂直的性质得：存在平面α，使得c⊥α，a⊂α，b∥α，故C正确；在D中，若存在平面α，使得c∥α，a⊥α，b⊥α，则a∥b，与已知a，b是两条异面直线矛盾，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断,还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.9.已知且为常数,圆,过圆内一点的直线与圆相交于两点,当弦最短时,直线的方程为,则的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，结合题意，可得过圆心与点（1，2）的直线与直线2x﹣y ＝0垂直，再由斜率的关系列式求解．【详解】圆C：化简为圆心坐标为，半径为．如图，由题意可得，当弦最短时，过圆心与点（1，2）的直线与直线垂直．则，即a＝3．故选：B．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.10.已知定义域的奇函数的图像关于直线对称,且当时,,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据f（x）的图象关于直线x＝1对称，即可得出f（2﹣x）＝f（x），从而得出，再根据f（x）是奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）＝x3，从而得出．【详解】∵f（x）是奇函数，且图象关于x＝1对称；∴f（2﹣x）＝f（x）；又0≤x≤1时，f（x）＝x3；∴．故选：B．【点睛】考查奇函数的定义，函数f（x）的图象关于x＝a对称时，满足f（2a﹣x）＝f（x），以及已知函数求值的方法．11.在平面直角坐标系中，分别是轴正半轴和图像上的两个动点，且，则的最大值是A. B. C. 4 D.【答案】D【解析】【分析】设M（m，0），N（n，n），（m，n＞0）．由|MN|，可得（n﹣m）2+n2＝2，再利用基本不等式的性质、两点之间的距离公式即可得出．【详解】设M（m，0），N（n，n），（m，n＞0）．∵，∴，∴，当且仅当时取等号．可得：则∴的最大值是．故选：D．【点睛】本题考查了基本不等式的性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.已知直线即是曲线的切线，又是曲线的切线,则直线在轴上的截距为A. 2B. 1C.D. . 【答案】B【解析】【分析】设出直线l与两曲线的切点，分别求出两曲线在切点处的切线方程，由斜率与截距相等列式求得切点的横坐标，代入切线方程，则答案可求．【详解】设直线l与曲线C1：y＝e x的切点为（），与曲线C2：y e2x2的切点为（），由y＝e x，得，由y e2x2，得，∴直线l的方程为，或，则，解得x1＝x2＝2．∴直线l的方程为：y﹣e2＝e2（x﹣2），取y＝0，可得x＝1．∴直线l在x轴上的截距为1．故选：B．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题. (1)求切线方程的方法：①求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程;(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.13.已知复数,则_____。

【答案】【解析】【分析】根据复数的计算及模长意义即可求出．【详解】复数z，则|z|，故答案为：．【点睛】本题主要考查复数的计算及模长意义，属于基础题．14.已知三棱锥的侧棱两两垂直，且长度均为1.若该三棱锥的四个顶点都在球的表面上，则球的表面积为_____.【答案】【解析】【分析】利用三线垂直确定三棱锥为正方体的一部分，其外接球直径为正方体的体对角线长，可得半径和表面积．【详解】由三棱锥P﹣ABC的侧棱PA，PB，PC两两垂直可知，该三棱锥为棱长为1的正方体的一角，其外接球的直径为正方体的体对角线长：，故球O的表面积为：3π．故答案为：3π．【点睛】此题考查了几何体外接球问题，难度不大．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.15.在平面直角坐标系中，定义两点，间的折线距离为，已知点,,，则的最小值为___.【答案】【解析】【分析】d（O，C）＝|x|+|y|＝1，利用即可得出．【详解】d（O，C）＝|x|+|y|＝1，首先证明：，两边平方得到变形为，由重要不等式，显然此不等式成立，故根据不等式的性质得到：．故答案为：．【点睛】本题考查了基本不等式的性质、折线距离，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于不同的两点，抛物线在两点处的切线分别是，且相交于点.设，则的值是___（结果用表示）. 【答案】【解析】【分析】设A（x1，y1），B（x1，y2），设AB：y＝kx+1，代入抛物线方程，消去y得，根据韦达定理可得x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，根据|AB|＝y1+y2+2＝m，可得4k2+4＝m，根据导数的几何意义可得切线方程，求出点P的坐标，即可求出|PF|的值．【详解】设A（x1，y1），B（x1，y2），设AB：y＝kx+1，代入抛物线方程，消去y得，x2﹣4kx﹣4＝0，则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，∴y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，∵|AB|＝y1+y2+2＝m，∴4k2+4＝m由抛物线C：x2＝4y可得y x2两边对x求导数，得到y′x，则切线l1的斜率为x1，切线l2的斜率为x2，∴直线l1的方程为y﹣y1x1（x﹣x1），即y x1x x12，①则直线l2的方程为y﹣y2x2（x﹣x2），即y x2x x22，②，由①②解得x2k，y1，∴点P的坐标为（2k，﹣1），根据两点间距离公式得到：|PF|，故答案为：．【点睛】本题考查导数的概念和运用，考查切线方程的求法，考查两直线的位置关系，属于中档题．这也是抛物线中的常见结论，过抛物线外一点P做抛物线的两个切线，切点为A,B,则点P在AB中点的正下方.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解得应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.已知等比数列的前项和为,公比,且为的等差中项,.（1）求数列的通项公式（2）记,求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由a2+1是a1，a3的等差中项，可得=，又，解得，即可得出通项;（2），利用错位相减法即可得出．【详解】（1）由题意，得.又，∴，∴，∵，∴或，∵，∴.∴. （2）由（Ⅰ），知.∴.∴. ∴. ∴. ∴.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.18.为了让税收政策更好的为社会发展服务,国家在修订《中华人民共和国个人所得税法》之后，发布了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》，明确“专项附加扣除”就是子女教育、继续教育大病医疗、住房贷款利息、住房租金赠养老人等费用，并公布了相应的定额扣除标准，决定自2019年1月1日起施行，某机关为了调查内部职员对新个税方案的满意程度与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下2×2列联表：（1）根据列联表,能否有85%的把握认为满意程度与年龄有关?（2）若已经在满意程度为“基本满意”的职员中用分层抽样的方式选取了5名职员,现从这5名职员中随机选取3名进行面谈求面谈的职员中恰有2名年龄在40岁及以下的概率.附：，其中.参考数据：【答案】（1）没有85%的把握（2）【解析】【分析】（1）根据列联表可以求得K2的观测值，结合临界值表可得；（2）由题意，在满意程度为“基本满意“的职员中用分层抽样的方式选取5名职员，应抽取40岁以下和40岁以上分别为3名和2名，记为A，B，C，d，e，然后用列举法列举出随机选3名的基本事件和面谈的职员中恰有2名年龄在40岁及以下的基本事件，然后用古典概型的概率公式可得．【详解】（1）根据列联表可以求得的观测值：.∵.∴没有85%的把握认为满意程度与年龄有关. （2）由题意，在满意程度“基本满意”的职员中用分层抽样的方式选取5名职员，应抽取40岁及以下和40岁以上分别为3名和2名，记为，，，，. 则随机选3名，基本事件为：，，，，，，，，，，共10个.满足题意的基本事件为：，，，，，，共6个. 设从这5名职员中随机选取3名进行面谈，面谈的职员中恰有2名年龄在40岁及以下的概率为.则.【点睛】本题考查了独立性检验，属中档题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.19.如图①，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，，为中点现将四边形沿折起,使平面平面，得到如图②所示的多面体在图②中，（Ⅰ）证明：（Ⅱ）求三棱锥的体积【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由已知可得EF⊥AB，EF⊥CD，折叠后，EF⊥DF，EF⊥CF，利用线面垂直的判定得EF⊥平面DCF，从而得到EF⊥MC；（Ⅱ）由已知可得，AE＝BE＝1，DF＝CF＝2，又DM＝1，得到MF ＝1＝AE，然后证明AM⊥DF，进一步得到BE⊥平面AEFD，再由等积法求三棱锥M﹣ABD的体积．【详解】（Ⅰ）由题意，可知在等腰梯形中，，∵，分别为，的中点，∴，.∴折叠后，，.∵，∴平面.又平面，∴.（Ⅱ）易知，.∵，∴.又，∴四边形为平行四边形.∴，故.∵平面平面，平面平面，且，∴平面.∴.即三棱锥的体积为.【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面间的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.已知椭圆的短轴长为，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程;（Ⅱ）设椭圆的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，，点，，为椭圆上位于轴上方的两点，且，直线的斜率为，记直线，的斜率分别为，，求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）0.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，得2b，，结合隐含条件即可求得a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ），可知A（﹣3，0），B（3，0），F1（﹣1，0），求得F1M的方程为，记直线F1M与椭圆的另一交点为M′，设M（x1，y1）（y1＞0），M′（x2，y2），得N（﹣x2，﹣y2），联立直线方程与椭圆方程，求得M，N的坐标，代入斜率公式求解．【详解】（Ⅰ）由题意，得，.又，∴，，.∴椭圆C的标准方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ），可知，，.据题意，直线的方程为.记直线与椭圆的另一交点为，设，.∵，根据对称性，得.联立，消去，得.∵，∴，.∵，，∴，即的值为0.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.已知函数，.（Ⅰ）若，求实数取值的集合；（Ⅱ）当时，对任意，，令，证明.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（I）f′（x）．（x＞0）．对a分类讨论即可得出单调性极值与最值．进而得出a的取值集合;（II）当a＝0时，f（x）＝lnx，则，由（I）可知：lnx1≥0，（x＞0）．根据0＜x1＜x2，可得1，ln1，即可证明．由（I）可知：lnx＜x﹣1，（x＞1）．同理可证明：．【详解】（Ⅰ）由已知，有.当时，，与条件矛盾；当时，若，则，单调递减；若，则，单调递增.∴在上有最小值.由题意，∴.令.∴.当时，，单调递增；当时，，单调递减.∴在上有最大值.∴.∴.∴，∴，综上，当时，实数取值的集合为. （Ⅱ）当时，，则.由（Ⅰ），可知.∴（当且仅当时取等号）. ①∵，∴.∴，∴由①式可得当时，有.∵，∴.∴.综上所述，有，∴.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数,倾斜角),曲线C的参数方程为(为参数,)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。