高三数学总复习导数的应用(一)PPT课件

解析：f′(x)＝x2＋2x－3， 令 f′(x)＝0 得 x＝1(x＝－3 舍去)， 又 f(0)＝－4，f(1)＝－137，f(2)＝－130， 故 f(x)在[0,2]上的最小值是 f(1)＝－137. 答案：－137
考点一 利用导数研究函数的单调性
[例 1] (2014·杭州模拟)设 f(x) ＝a(x－5)2＋6ln x，其中 a∈R，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6)．
1．如图所示是函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象，则下列判 断中正确的是( )
A．函数 f(x)在区间(－3,0)上是减函数 B．函数 f(x)在区间(－3,2)上是减函数 C．函数 f(x)在区间(0,2)上是减函数 D．函数 f(x)在区间(－3,2)上是单调函数
解析：选 A 当 x∈(－3,0)时，f′(x)<0，则 f(x)在(－3,0) 上是减函数．其他判断均不正确．
值．
3．函数的最值与导数 (1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件： 一般地，如果在区间[a，b]上，函数 y＝f(x)的图象是一条 连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：
①求函数 y＝f(x)在(a，b)内的 极值 ； ②将函数 y＝f(x)的各极值与 端点处 的函数值 f(a)，f(b)
近其他点的函数值 都小 ，且 f′(a)＝0，而且在点 x＝a 附近 的左侧 f′(x)＜0 ，右侧 f′(x)＞0 ，则 a 点叫做函数的极小值
点，f(a)叫做函数的极小值． (2)函数的极大值 若函数 y＝f(x)在点 x＝b 处的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附
近其他点的函数值 都大 ，且 f′(b)＝0，而且在点 x＝b 附近 的左侧 f′(x)＞0 ，右侧 f′(x)＜0 ，则 b 点叫做函数的极大值 点，f(b)叫做函数的极大值， 极大值 和 极小值 统称为极
g0>0， 函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点当且仅当ggl2n>k0<，0，
0<ln k<2， 解得 e<k<e22，
综上所述，函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范 围为e，e22.
[答案] (1)D
函数极值问题的常见类型及解题策略 (1)知图判断函数极值的情况．先找导数为 0 的点，再判断 导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号． (2)已知函数求极值．求 f′(x)―→求方程 f′(x)＝0 的 根―→列表检验 f′(x)在 f′(x)＝0 的根的附近两侧的符号―→ 下结论． (3)已知极值求参数．若函数 f(x)在点(x0，y0)处取得极值， 则 f′(x0)＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反．
所以 f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．
②由①知，k≤0 时，函数 f(x)在(0,2)内单调递减，
故 f(x)在(0,2)内不存在极值点；
当 k>0 时，设函数 g(x)＝ex－kx，x∈[0，＋∞)，
因为 g′(x)＝ex－k＝ex－eln k，
当 0<k≤1 时， 当 x∈(0,2)时，g′(x)＝ex－k>0，y＝g(x)单调递增． 故 f(x)在(0,2)内不存在两个极值点； 当 k>1 时，得 x∈(0，ln k)时，g′(x)<0，函数 y＝g(x)单调递减． x∈(ln k，＋∞)时，g′(x)>0，函数 y＝g(x)单调递增． 所以函数 y＝g(x)的最小值为 g(ln k)＝k(1－ln k)．
已知函数 f(x)＝3ax－2x2＋ln x，其中 a 为常数． (1)若 a＝1，求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求 a 的取值范围．
解：(1)若 a＝1，则 f(x)＝3x－2x2＋ln x 的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1x－4x＋3＝－4x2＋x 3x＋1＝－4x＋x1x－1(x>0)． 当 x∈(0,1)，f′(x)>0 时，函数 f(x)＝3x－2x2＋ln x 单调递增． 当 x∈(1，＋∞)，f′(x)<0 时，函数 f(x)＝3x－2x2＋ln x 单调 递减． 故函数 f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
2．导数值为0的点一定是函数的极值点吗？“导数为0” 是函数在该点取得极值的什么条件？
提示：不一定．可导函数的极值点导数为零，但导数为零 的点未必是极值点；如函数 f(x)＝x3，在 x＝0 处，有 f′(0)＝0， 但 x＝0 不是函数 f(x)＝x3 的极值点；其为函数在该点取得极值 的必要而不充分条件．
导数的应用(一)
1．函数的导数与单调性的关系
函数 y＝f(x)在某个区间内可导，则
(1)若 f′(x)>0，则 f(x)在这个区间内 单调递增 ； (2)若 f′(x)<0，则 f(x)在这个区间内 单调递减 ； (3)若 f′(x)＝0，则 f(x)在这个区间内是 常数函数 ．
2．函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数 y＝f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附
(1)确定 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间．
[自主解答] (1)因为 f(x)＝a(x－5)2＋6ln x， 故 f′(x)＝2a(x－5)＋6x. 令 x＝1，得 f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
所以曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y－16a＝(6－ 8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得 6－16a＝8a－6，故 a＝12.
4．已知 f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则 a 的最 大值是________．
解析：f′(x)＝3x2－a≥0，即 a≤3x2， 又∵x∈[1，＋∞)，∴a≤3，即 a 的最大值是 3. 答案：3
5．函数
f(x)
Байду номын сангаас
＝
x3 3
＋
x2
－
3x
－
4
在 [0,2] 上 的 最 小 值 是
________．
比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)>0 吗？f′(x)>0 是否是 f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？
提示：函数 f(x)在(a，b)内单调递增，则 f′(x)≥0， f′(x)>0 是 f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．
利用导数研究函数的单调性应注意三点 (1)在区间内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在此区间上为增 (减)函数的充分不必要条件． (2)可导函数 f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是： ∀x∈(a，b)，都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且 f′(x)在(a，b)的 任何子区间内都不恒为零． (3)由函数 f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可 转化为 f′(x)≥0(或 f′(x) ≤0 )恒成立问题，要注意“＝”是 否可以取到．
() A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2) (2)设函数 f(x)＝xex2－k 2x＋ln x (k 为常数，
1．函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、 填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题．
2．高考对函数极值的考查主要有以下几个命题角度： (1)知图判断函数极值的情况； (2)已知函数求极值； (3)已知极值求参数．
[例 2] (1)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)，且函 数 y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是
B．x＝12为 f(x)的极小值点
C．x＝2 为 f(x)的极大值点
D．x＝2 为 f(x)的极小值点
解析：选 D f(x)＝2x＋ln x，f′(x)＝－x22＋1x＝x－x22，当 x>2
时，f′(x)>0，此时 f(x)为增函数；当 x<2 时，f′(x)<0，此时
f(x)为减函数，据此知 x＝2 为 f(x)的极小值点．
1．已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k ＝1,2)，则( )
A．当 k＝1 时，f(x)在 x＝1 处取到极小值 B．当 k＝1 时，f(x)在 x＝1 处取到极大值 C．当 k＝2 时，f(x)在 x＝1 处取到极小值 D．当 k＝2 时，f(x)在 x＝1 处取到极大值 解析：选 C 当 k＝1 时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，0,1 是函数 f(x)的零点．当 0<x<1 时，f(x)＝(ex－1)(x－1)<0，当 x>1 时，f(x) ＝(ex－1)(x－1)>0,1 不会是极值点．当 k＝2 时，f(x)＝(ex－1)(x －1)2，零点还是 0,1，但是当 0<x<1，x>1 时，f(x)>0，由极值 的概念，知选 C.
e＝2.718 28…是自然对数的底数)． ①当 k≤0 时，求函数 f(x)的单调区间； ②若函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求 k 的取值范围．
[自主解答] (1)①当 x<－2 时，1－x>0. ∵(1－x)f′(x)>0，∴f′(x)>0，即 f(x)在(－∞，－2)上是增函数． ②当－2<x<1 时，1－x>0. ∵(1－x)f′(x)<0，∴f′(x)<0，即 f(x)在(－2,1)上是减函数． ③当 1<x<2 时，1－x<0. ∵(1－x)f′(x)>0，∴f′(x)<0，即 f(x)在(1,2)上是减函数． ④当 x>2 时，1－x<0. ∵(1－x)f′(x)<0，∴f′(x)>0，即 f(x)在(2，＋∞)上是增函数． 综上：f(－2)为极大值，f(2)为极小值．