江西师大附中、鹰潭一中联考(高三理科数学试卷).docx

高中数学学习材料唐玲出品江西师大附中、鹰潭一中联考（高三理科数学试卷）师大附中 冯有兵 鹰潭一中 艾志辉考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|0},{|ln }1xM x N y y x x -=≥==+，则.M N ⋂=（ ） A ．]2,0( B ．]2,1(- C ．),1(+∞-D ．R2．若复数()21+2aii -（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．1±3．式子)(sin 21cos 2122R ∈-+-θθθ的最小值为（ ）A.43B.23 C. 34D.324．如图，在正方形OABC 内，阴影部分是由两曲线)10(,2≤≤==x x y x y 围成，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ） A ．61 B ．31 C ．21 D ．32 5．已知中心在原点的双曲线C 的离心率等于32,其中一条准线方程43x =-，则双曲线C的方程是（ ）A . 22145x y -= B ．22145x y -= C ．22125x y -=- D ．22125x y -=- 6．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为5, 则输出s 的值为（ ） A ． 9B ．10C ．11D ．127．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足95S S =， 且01>a ，则n S 中最大的是（ ） A ．6SB ．7SC ．8SD ．15S8．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ） A ．24种 B ．18种 C ．48种 D ．36种5109．5)21(-+xx 展开式中常数项为（ ） A ．252 B ．－252 C ．160 D ．－160 10．命题)40(sin 1tan tan 1sin :πθθθθθ<<-=-p 无实数解，命题 x x ex x e q 1ln ln 1:+=+无实数解. 则下列命题错误的是（ ） A ．p 或q B ．（¬p ）或()q ⌝ C ．p 且（¬q ） D ．p 且q 11．如图，网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（ ）A ．61 B ．31 C ．21 D ．34 12．已知)(x f 是定义域，值域都为(0,)+∞的函数， 满足2()()0f x xf x '+>，则下列不等式正确的是（ ）A ．2016(2016)2015(2015)f f >B ．2016(2016)2015(2015)f f <C. 332015(2015)2016(2016)f f < D. 332015(2015)2016(2016)f f >第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知向量13(,),(1,0)22a b =-=r r，则b r 在a r 上的投影等于______________.14．x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的取值范围为____________.15．已知边长为23的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，沿对角线BD 折成二面角为120的四面体，则四面体的外接球的表面积为________. 16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3(),3a cb A C π-=-=，则角B =______________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知函数()21f x x =+，数列{},{}n n a b 分别满足1(),()n n n a f n b f b -==，且11b =. 定义[]()x x x =+，[]x 为实数x 的整数部分，()x 为小数部分，且0()1x ≤<. （1）分别求{},{}n n a b 的通项公式； （2）记n c =()1nn a b +，求数列{}n c 的前项n 和.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． （1）求证：AB ∥EF ；（2）若2PA PD AD ===，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面P AF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．F BD CP EA19．某校课改实行选修走班制，现有甲，乙，丙，丁四位学生准备选修物理，化学，生物三个科目．每位学生只选修一个科目，且选修其中任何一个科目是等可能的． （1）恰有2人选修物理的概率； （2）选修科目个数ξ的分布列及期望．20．已知抛物线C 的标准方程为)0(22>=p px y ，M 为抛物线C 上一动点，)0)(0,(≠a a A 为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N ．当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，△MON 的面积为18． （1）求抛物线C 的标准方程； （2）记ANAM t 11+=，若t 值与M 点位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．21. 已知函数()ln(1)xf x x =+.（1）当0x >时，证明：1()12f x x <+； （2）当1x >-，且0x ≠时，不等式(1)()1kx f x x +>+成立，求实数k 的值.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =, 过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =. （1）求证：CE AD ⊥; （2）求BC 的长.23．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求l 的极坐标方程；（2）过点13(,)44M -任作一直线交曲线C 于,A B 两点，求||AB 的最小值.24．选修4-5：不等式选讲：设函数)0(|||4|)(>++-=a a x ax x f . （I ）证明：4)(≥x f ；（II ）若5)2(<f ，求a 的取值范围.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B BCBBCBAADDD第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合}ln |{},012|{x y y N x xx M ==≥+-=，则=⋂N M （ ） A.]2,0( B. ]2,1(- C. ),1(+∞- D. R解析：R N x x M =≤<-=},21|{. 选B.2. 若复数()21+2aii -（为虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．1±解析：原式i ai a 2212-+-，由题意1-=a .选B3.式子)(sin 21cos 2122R ∈-+-θθθ的最小值为（ ） A.43 B. 23 C. 34 D. 32 解析：法一，利用不等式yx y x +≥+411，34)cos (sin 44sin 21cos 212222=+-≥-+-θθθθ，当且仅当θθ22c o s s i n =，即)(42Z k k ∈+=ππθ时，等号成立. 选C法二，直接通分，θθθθθθθθ22222222cos sin )cos (sin 24)cos (sin 4sin 21cos 21++-+--+-＝342sin 41232≥+=θ，当且仅当θθ22cos sin =，即)(42Z k k ∈+=ππθ时，等号成立.选C4. 如图，在正方形OABC 内，阴影部分是由两曲线)10(,2≤≤==x x y x y 围成，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ） A. 61 B. 31 C. 21 D. 32解析：阴影部分面积dx x x S ⎰-=12)(3101|)3132(323=-=x x ，由几何概型知，选B.5.已知中心在原点的双曲线C 的离心率等于32,其中一条准线方程34-=x ，则双曲线C 的方程是 ( )A . 22145x y -=B ．22145x y -=C ．22125x y -= D ．22125x y -= 解析：依题意3c =,2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ．6.执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为5, 则输出s 的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12解析：第一次循环后:1,2s i ==； 第二次循环后:2,3s i ==； 第三次循环后:4,4s i ==； 第四次循环后:7,5s i ==；第五次 循环后:6,11==i s ，故输出11. 选C.7.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足95S S =， 且01>a ，则n S 中最大的是（ ）A. 6SB. 7SC. 8SD. 15S解析：由95S S =，得09876=+++a a a a ，由01>a 知，0,087<>a a ，所以7S 最大，选B.8.某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽 车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）A ．24种B ．18种C ．48种D ．36种解析：分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车 ，则有12121223=C C C . 孪生姐妹不乘坐甲车，则有12121213=C C C . 共有24种. 选A.9.5)21(-+xx 展开式中常数项为（ ） A. －252 B. 252 C. －160 D. 160解析：105)1()21(x x x x -=-+. 展开式通项公式rr r r rr rr xC xxC T ---+-=-=51021)10(21101)1()1(当且仅当5=r 时，－252 为常数项. 选A.10.命题)40(sin 1tan tan 1sin :πθθθθθ<<-=-p 无实数解，命题 x x ex x e q 1ln ln 1:+=+无实数解. 则下列命题错误的是（ ）A. p 或qB. （¬p ）或()q ⌝C. p 且（¬q ）D. p 且q解析：xx x f 1)(+=在)1,0(单调递减，由1tan sin 0<<<θθ得 )40(t a n 1t a n s i n 1s i n πθθθθθ<<+<+，命题p 为真； 又 11ln ln ln ln ln x xx x x x e e x e x x e e x-+=+⇒-=，当0x >时，易知ln 0x e x ->5∴1ln x x e =-，由同一坐标系中ln y x =，1xy e =-的图像知，存在0(0,1)x ∈，使001ln x x e =-，故11ln ln x x e x x e+=+有实数解，命题q 为假．选D ． 11.如图，网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（ ）A. 61 B. 31 C. 1 D.34解析：由题意，原几何体为三棱锥，如图所示.342222131=⨯⨯⨯⨯=V . 选D.12.已知)(x f 是定义在),0(+∞的函数，且0)(>x f . 满足0)()(2>'+x f x x f ，则下列不等式正确的是（ ）A. )2015(2015)2016(2016f f >B. )2015(2015)2016(2016f f <C. )2016(2016)2015(201533f f >D. )2016(2016)2015(201533f f <解析：构造函数0)()(2)(),()(22>'+='=x f x x xf x g x f x x g ，所以)(x g 在),0(+∞单调递增，所以)2016(2016)2015(201522f f <，结合不等式性质. 选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量13(,),(1,0)22a b =-=r r，则b r 在a r 上的投影等于______________.解析：由定义，21||,cos ||=⋅>=<a ba b a b . 答数21.14.x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的取值范围为____________.解析：如图，约束条件对应的可形域为BCD ∆ 所围成的阴影部分，则目标函数对应的 范围为8022≤+≤y x15.已知边长为32的菱形ABCD 中， 60=∠BAD ，沿对角线BD 折成二面角为120的四面体，则四面体的外接球的表面积为________. 解析：如图1，取BD 的中点E ， 连AE, CE. 由已知条件， 面⊥ACE 面BCD .则外接球球心在面ACE 内，如图2，CE OG ⊥,OE 垂直平分AC ,其中GE CG 2=，120=∠CEA . 分别解E GO OCG ∆∆,得7===OA OC R ,外接球的表面积为π28.16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知3(),3a cb A C π-=-=，则=B _________________. 解析：2sin2cos 2cos 2sin )22sin(sin CA C A C A C A C A C A A -++-+=-++=， 2sin2cos 2cos 2sin )22sin(sin CA C A C A C A C A C A C -+-+=-+=－－， 两式相减得2sin2cos2sin sin CA C A C A -+=-. 由正弦定理得BC A sin )sin (sin 3=-2cos 2sin 22sin 2cos3BB C A C A =-+⇒3232cos π=⇒=⇒B B . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知函数12)(+=x x f ，数列}{},{n n b a 分别满足)(),(1-==n n n b f b n f a ，且11=b . 定义)(][x x x +=，][x 为实数x 的整数部分，)(x 为小数部分，且1)(0<≤x . （1）分别求}{},{n n b a 的通项公式； （2）记=n c )1(+n nb a ，求数列}{nc 的前n 项和. 解析：（1）12,12-=+=n n n b n a ；（2）依题意，11131,2 2a c b ==；22251,44a cb ==；当3n ≥时，可以证明0212n n <+<，即21012nn +<<， 所以2121c ()3)22n n n n n n ++==≥（， 则112S =，2113244S =+=，117921...(3)248162n n n S n +=+++++≥． 令7921...(3)8162n n W n +=+++≥，117921...(3)216322n n W n ++=+++≥， 两式相减得291219253)42242n n n n n W n -++=---≥=（． ∴2533)2n nn S n +=-≥（，检验知，1n =不合，2n =适合， ∴1,12253,22n nn S n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪-≥⎪⎩．18. 某校课改实行选修走班制，现有甲，乙，丙，丁四位学生准备选修物理，化学，生物三个科目. 设每位学生只选修一个科目，且选修其中任何一个科目是等可能的. （1）恰有2人选修物理的概率； （2）选修科目个数ξ的分布列及期望.解：这是等可能性事件的概率计算问题.（I ）解法一：所有可能的选修方式有34种，恰有2人选修物理的方式2242C ⋅种，从而恰有2人选修物理的概率为224428.273C ⋅=解法二：设对每位学生选修为一次试验，这是4次独立重复试验. 记“选修物理”为事件A ，则1().3P A =从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人选修物理的概率为22244128(2)()().3327P C ==（II ）ξ的所有可能值为1，2，3.又421322243244234431(1),273()(22)1414(2)((2))272733P C C C C C C P P ξξξ===+-======或 12123342434444(3)((3)).9933C C C C A P P ξξ======或 综上知，ξ有分布列 ξ 123P127 1427 49从而有114465123.2727927E ξ=⨯+⨯+⨯=如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．F P E（1）求证：//AB EF ；（2）若2PA PD AD ===，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．19. 试题解析：（1）∵底面ABCD 是菱形，∴//AB CD ，又∵AB ⊄面PCD ，CD ⊂面PCD ，∴//AB 面PCD ，又∵A ，B ，E ，F 四点共面，且平面ABEF平面PCD EF =，∴//AB EF ；（2）取AD 中点G ，连接PG ，GB ，∵PA PD =，∴PG AD ⊥，又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD平面ABCD AD =，∴PG ⊥平面ABCD ，∴PG GB ⊥，在菱形ABCD 中，∵AB AD =，60DAB ∠=︒，G 是AD 中点，∴AD GB ⊥，如图，建立空间直角坐标系G xyz -，设2P A P D A D ===，则(0,0,0)G ，)0,0,1(A ，)0,3,0(B )0,3,2(-C ，)0,0,1(-D (2,0,0)D -，)3,0,0(P ，又∵//AB EF ，点E 是棱PC 中点，∴点F 是棱PD 中点，∴)23,23,1(-E ，)23,0,21(-F ，)23,0,23(-=AF ,)0,23,21(-=EF ，设平面AFE 的法向量为(,,)n x y z =，则有00n AF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu u r ，∴333z xy x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，不妨令3x =，则平面AFE 的一个法向量为(3,3,33)n =，∵BG ⊥平面PAD ，∴)0,3,0(=GB 是平面PAF 的一个法向量，zyxG AEP CDBF∵613cos ,133923n GB <n GB >n GB⋅===⋅⋅r uu u rr uu u r r uu u r ，∴平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值为1313． 20. 已知抛物线C 的标准方程为)0(22>=p px y ，M 为抛物线C 上一动点，)0)(0,(≠a a A 为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N ．当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，△MON 的面积为18．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）记ANAM t 11+=，若t 值与M 点位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由． 解析：（Ⅰ）由题意，211||||2182222MONp p S OA MN p =⋅⋅=⋅⋅==△， 6p =∴， 抛物线C 的标准方程为212y x =．（Ⅱ）设1122()()M x y N x y ，，，，设直线MN 的方程为x my a =+，联立212x my ay x =+⎧⎨=⎩得212120y my a --=，2144480m a ∆=+>， 1212y y m +=， 1212y y a =-， 由对称性，不妨设0m >，（ⅰ）0a <时，12120y y a =->∵， 12y y ∴，同号，又22121111||||1||1||t AM AN m y m y =+=+++， 2221222222212()111441111()11441y y m t m y y m a a m +⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭g g ∴， 不论a 取何值，t 均与m 有关， 即0a <时，A 不是“稳定点”；（ⅱ）0a >时，12120y y a =-<∵， 12y y ∴，异号，又22121111||||1||1||t AM AN m y m y =+=+++，22122212()11()y y t m y y -=+g ∴212122212()411()y y y y m y y +-=+2221144481144m a m a +=∙+22111311a a m ⎛⎫- ⎪=+ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴仅当1103a -=，即3a =时，t 与m 无关，21. 已知函数)1ln()(x xx f +=. （3）当0>x 时，证明：22)(+<x x f ；（4）当1->x ，且0≠x 时，不等式x x f kx +>+1)()1(成立，求实数的值.（5）证明：（1）0,ln(1)0x x >+>2ln(1)2x x x +⇔<+2ln(1)2xx x ⇔<++（6）令2()ln(1)2xh x x x =+-+． （7）22()0(1)(2)x h x x x '=>++，则()h x 在(0,)+∞上是增函数． （8）故()(0)0h x h >=，即命题结论成立………………5分 （9）（2）当0x >时，0ln(1)xx >+，10x +>;当01x >>-时，0ln(1)x x >+，10x +> （10）所以10kx +>，原不等式可化为2(1)ln(1)0x x x kx x++--<． （11）令2()(1)ln(1)g x x x x kx =++--．（12）令()()ln(1)2,h x g x x kx '==+-1()21h x k x '=-+ （13）当0x >时，有1011x <<+．（14）令21k ≥，则()0h x '<，故()g x '在上(0,)+∞是减函数，即()(0)0g x g ''<=．（15）因此()g x 在(0,)+∞上是减函数，从而()(0)0g x g <=，（16）所以，当12k ≥时，对于0x >，有2(1)ln(1)0x x x kx x++--< （17）当10x -<<时，有111x>+． （18）令21k ≤，则()0h x '>，故()g x '在(1,0)-上是增函数，即()(0)0g x g ''<=．（19）因此，()g x 在(1,0)-上是减函数，从而，()(0)0g x g >=．（20）所以，当12k ≤时，对于10x -<<有2(1)ln(1)0x x x kx x++--< （21）综上，当12k =时，在1x >-，且0x ≠时，不等式(1)()1kx f x x +>+成立．……………12分请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．选修4—1：几何证明选讲如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =.（3）求证：AD CE ⊥;（4）求BC 的长.【解析】（1）连接C O ,，因C O ,分别为BD AB ,的中点，所以AD OC //, 又CE 为圆O 的切线，OC CE ⊥,所以AD CE ⊥.（2）依题意易知ABC CDE ∆∆,所以AB BC CD DE=,又 BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而23BC =.23．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为2cos 2sin x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求l 的极坐标方程；（2）过点)43,41(-M 任作一直线交曲线C 于B A ,两点，求||AB 的最小值.【解析】（1）sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；曲线C 的普通方程为222x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （2）21||=OM , 7||min =AB . 24．选修4—5：不等式选讲：设函数)0(|||4|)(>++-=a a x ax x f . （I ）证明：4)(≥x f ；（II ）若5)2(<f ，求a 的取值范围. （I ）证：44|4||||4|≥+=-++≥++-aa x a a x a x a x ； （II ）解：（1）当2=a 时，5|2||42|<++-a a 显然满足； （2）当20≤<a 时，54<+⇒aa ， 即410452<<⇒<+-a a a ，，联立求解得21≤<a ; （3）当2>a 时，042<--⇒a a ，⇒21712171+<<-a , 联立求解得21712+<<a 综上，a 的取值范围为21711+<<a .。