五年高考真题(数学理) 10.2二项式定理及其应用
二项式定理高考真题
二项式定理常考点：1、二项式定理：2、几个基本概念（1）二项展开式：右边的多项式叫做的二项展开式（2）项数：二项展开式中共有项（3）二项式系数：叫做二项展开式中第项的二项式系数（4）通项：展开式的第项，即(5)二项式系数的和：(6)各项式系数之和:3.二项式系数的性质:(1）对称性:在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等（2）增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值当是偶数时，中间一项取得最大值当是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值=(3)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和基本题型(一)通项公式的应用的展开式中第三项的二项式系数为________；第三项的系数为_______；常数项为_______；含的项为______。
(二)二项式系数的最值的展开式中二项式系数最大的是第____项；的展开式中二项式系数最大的是第____项（三）展开式中各项系数和问题已知，求一.选择题1.在（x-）的展开公式中，x的系数为( )A.-120B.120C.-15D.152.8x y项的系数是（）x的展开式中62()A．56 B．56-- C．28 D．283.二项式的展开式中系数为有理数的项共有（）A.6项B.7项C.8项D.9项4.已知(x－)8展开式中常数项为1120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是( )A.28B.38C.1或38D.1或285.（+）n展开式中存在常数项,则n的值可以是（）A.8B.9C.10D.126.（2x3－）7的展开式中常数项是（）A.14B.－14C.42D.－427.若的展开式中的系数是( )A. B. C. D.8.在()n的二项展开式中，若常数项为60，则n等于( )A.3B.6C.9D.129.的值为（）A．61 B．62 C．63 D．64 10．若(ax-1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是( )A．-2 B．2 C． D．211.的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为( )A.－540B.－162C.162D.54012.若对于任意的实数x ，有x 3=a 0+a 1（x -2）+a 2（x -2）2+a 3（x -2）3，则a 2的值为( )A.3B.6C.9D.1 13.在的二项展开式中，若只有的系数最大，则( )A.8B. 9C. 10D.11 14.已知(＋)n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( )A.4B.5C.6D.715.设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A.－2B.－1C.1D.2 16.设则中奇数的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 二.填空题17．已知a 为如图所示的程序框图中输出的结果，求二项式6(的展开式中含x 2项的系数18. 72x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是19.展开式中的常数项是20.若（1－2x ）2004=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2004x 2004（x ∈R ），则（a 0+a 1）+（a 0+a 2）+（a 0+a 3）+…+（a 0+a 2004）=21.已知(1+kx 2)6(k 是正整数)的展开式中,x 8的系数小于120,k=____________参考答案CADCC ABBBD ABCCAA17.-19218.8419.21020.200421.1。
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
二项式定理历年高考试题荟萃
二项式定理历年高考试题荟萃圆梦教育中心二项式定理历年高考试题一、填空题 ( 本大题共 24 题, 共计 120 分)1、 (1+2x)5得展开式中x2得系数就是。
(用数字作答)2、得展开式中得第5项为常数项,那么正整数得值就是、3、已知,则( 得值等于。
4、(1+2x2)(1+)8得展开式中常数项为。
(用数字作答)5、展开式中含得整数次幂得项得系数之与为。
(用数字作答)6、(1+2x2)(x-)8得展开式中常数项为。
(用数字作答)7、得二项展开式中常数项就是。
(用数字作答)、8、 (x2+)6得展开式中常数项就是。
(用数字作答)9、若得二项展开式中得系数为,则。
(用数字作答)10、若(2x3+)n得展开式中含有常数项,则最小得正整数n等于。
11、(x+)9展开式中x3得系数就是。
(用数字作答)12、若展开式得各项系数之与为32,则n= 。
其展开式中得常数项为。
(用数字作答)13、得展开式中得系数为。
(用数字作答)14、若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5= 。
15、(1+2x)3(1-x)4展开式中x2得系数为、16、得展开式中常数项为 ; 各项系数之与为、(用数字作答)17、 (x)5得二项展开式中x2得系数就是____________、(用数字作答)18、 (1+x3)(x+)6展开式中得常数项为_____________、19、若x＞0,则(2+)(2-)-4(x-)=______________、20、已知(1+kx2)6(k就是正整数)得展开式中,x8得系数小于120,则k=______________、21、记(2x+)n得展开式中第m项得系数为b m,若b3＝2b4,则n ＝、22、 (x+)5得二项展开式中x3得系数为_____________、(用数字作答)23、已知(1+x+x2)(x+)n得展开式中没有常数项,n∈N*且2≤n≤8,则n=_____________、24、展开式中x得系数为、二项式定理历年高考试题荟萃答案一、填空题 ( 本大题共 24 题, 共计 102 分)1、40解析:T3=C(2x)2,∴系数为22·C=40、2、解:∵得展开式中得第5项为,且常数项,∴ ,得3、-256解析:(1－x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5、令x=1,则有a0+a1+a2+a3+a4+a5=0, 即(a0+a2+a4)+(a1+a3+a5)=0; ①令x=－1,则有a0－a1+a2－a3+a4－a5=25,即(a0+a2+a4)-(a1+a3+a5)=25、②联立①②有∴(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=－28=－256、4、57解析:1×1+2×=57、5、答案:72解析:∵T r+1= (=,∴r=0,4,8时展开式中得项为整数次幂,所求系数与为++=72、6、答案:－42解析:得通项T r+1= =,∴(1+2x2)展开式中常数项为=－42、7、8、15解析:T r+1=x2(6－r)x－r=x12－3r,令12－3r=0,得r=4,∴T4==15、9、答案:2解析:∵=,∴a=2、10、答案:7解析:T r+1=C(2x3)n－r()r=2Cxx=2Cx令3n－r=0,则有6n=7r,由展开式中有常数项,所以n最小值为7、11、84 T r+1=,∴9-2r=3∴r=3、∴84、12、5 10 解析:令x=1可得展开式中各项系数之与为2n=32、∴n=5、而展开式中通项为T r+1=(x2)r()5-r=x5r-15、令5r-15=0,∴r=3、∴常数项为T4=C35=10、13、84 由二项式定理得(1-)7展开式中得第3项为T3=·(-)2=84·,即得系数为84、14、31 解析:由二项式定理中得赋值法,令x=0,则a0=(-2)5=-32、令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1、∴a1+a2+a3+a4+a5=-1-a0=31、15、-6解析:展开式中含x2得项m=·13·(2x)0··12·(-x)2+·12(2x)1··13·(-x)1+11(2x)2·14(-x)0=6x2-24x2+12x2=展开式中x2得系数为-6x2,∴系数为-6、16、10 32 展开式中通项为T r+1=(x2)5-r()r=,其中常数项为T3==10;令x=1,可得各项系数之与为25=32、17、40解析:∵·(x3)·()2=10×1×(-2)2·x2=40x2,∴x2得系数为40、18、答案:35 (x+)6展开式中得项得系数与常数项得系数之与即为所求,由T r+1=·()r=·x6-3r,∴当r=2时,=15、当r=3时,=20、故原展开式中得常数项为15+20=35、19、答案:-23 原式=4-33-4+4=-23、20、答案:1解析:x8得系数为k4=15k4,∵15k4＜120,k4＜8,k∈Z+,∴k=1、21、5 记(2x+)n得展开式中第m项为T m=a n-m+1b m-1=·(2x)n-m+1·()m-1,则b m=·2n-m+1、又∵b3=2b4,∴·2n-2=2×·2n-3=,解得n=5、22、答案:10 ·x4·=5×2=10、23、答案:5解析:(x+)n展开式中不含x0、x-1、x-2项即可,由F r+1=x n-r()r=x n-4r、∵2≤n≤8,可以验证n=5时成立、24、2 展开式中含x得项n=·13·(2x)0··13·(-x)1+·12(2x)1··14(-x)0=-4x+6x=2x,∴展开式中x得系数为2。
专题10-2 二项式定理-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(解析版)
【详解】 x 2 10 的展开式中,通项公式： Tr1 C1r0 x10r 2 r ，
令 10−r=7，解得 r=3.
∴x7 的系数为 C130 2 3 = 8C170 ,
故选：C.
2.．
1 2
x
2
y
5
的展开式中
x2
y3
的系数为_____．
【答案】-20 分析：首先利用二项展开式的通项公式写出该二项展开式的通项，之后令相应的幂指数与题中所给的项的
k
1 项 Tk1
Ckn
x3 nk
x3 k Ckn x3n6k
令 3n 6k 0 则 n 2k （ k Z ）
所以 n 为偶数。故选：A
【题型四】给通项求参数
【典例分析】
已知
ax
b x
6
的展开式中
x
3 2
项的系数为
160，则当
a
0
，
b
0
时，
a
b
的最小值为（
）
A．4
B． 2 2
C．2
D． 2
当 r 3 时， T4 253C53x53 y 3 40x2 y3 ，此时只需乘以第一个因式 x 2 y 中的 x 即可，得到 40x3 y3 ；
当 r 2 时，T3 252 C52 x52 y 2 80x3 y2 ，此时只需乘以第一个因式 x 2 y 中的 2 y 即可，得到 160x3 y3 ；
故选：D．
3. x 2 y 2x y 5 的展开式中的 x3 y3 系数为（
）
A． 200
B． 120
C．120
D．200
【答案】A
【分析】由题意首先确定 (2x y)5 展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定 x3 y3 的系数.
二项式定理高考常见题型及其解法
第二讲 二项式定理高考常见题型及解法二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，虽解法灵活但较易掌握.二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系.二项式定理在每年的高考中基本上都有考查，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现. 本讲将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用. 【知识要点】1、二项式定理：∑=-∈=+nk kkn k nnn b aCb a 0*)()(N2、二项展开式的通项： )0(1n r b a C T r r n r n r ≤≤=-+它是展开式的第r +1项.3、二项式系数：).0(n r C r n ≤≤4、二项式系数的性质： ⑴ ).0(n k C C k n n k n ≤≤=-⑵ ).10(111-≤≤+=---n k C C C k n k n k n ⑶ 若n 是偶数，有n nn nn n nn C CC C C >>><<<-1210，即中间一项的二项式系数2nn C 最大.若n 是奇数，有n nn nn n n n nnC C C C C C >>>=<<<-+-1212110 ，即中项二项的二项式系数212+n n nn C C 和相等且最大.⑷ 各二项式系数和：0122n r nn n n n n C C C C C =++++++⑸在二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和即:021312n n n n n C C C C -++=++=【典型考题】一、求二项展开式：1．“（a +b ）n”型的展开式例1．求4)13(x x +的展开式.解：原式=4)13(xx +=24)13(xx +=])3()3()3()3([14434224314442CCCCC x x x x x ++++=)112548481(12342++++x x x x x=54112848122++++xxx x小结：这类题目直接考查二项式定理掌握，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简再展开”的思想在高考题目中会有体现的. 2． “（a -b ）n ”型的展开式例2．求4)13(xx -的展开式.分析：解决此题，只需要把4)13(x x -改写成4)]1(3[xx -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可.本题主要考察了学生的“问题转化”能力. 3．二项式展开式的“逆用”例3．计算cC C C n nnnn n n 3)1( (279313)21-++-+-；解：原式=nnnn n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3332211-=-=-++-+-+-+小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质. 二、通项公式的应用：1．确定二项式中的有关元素 例4．已知9)2(x xa -的展开式中x 3的系数为49，常数a 的值为解：9239299912)1()2()(----+⋅⋅⋅-=-=r rr rr rr r r x aC x x aC T令3923=-r ，即8=r ，依题意，得492)1(894889=⋅⋅---aC ，解得1-=a2．确定二项展开式的常数项例5．103)1(x x -展开式中的常数项是解：rr rr rr r xCxx C T 65510310101)1()1()(--+⋅-=-= ，令0655=-r ，即6=r .所以常数项是210)1(6106=-C小结：可以讲2011陕西高考题—例1⑴ 3．求单一二项式指定幂的系数 例6．（03全国）92)21(xx -展开式中x 9的系数是 .解：29191()()2rr rr T x xC -+=-=182911()()2rr r r x xC --=18391()2rr x x C --令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9x 的系数为：339121()22C -=-，∴填212-三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．5432)1()1()1()1()1(-+---+---x x x x x 的展开式中，x 2的系数等于 解：2x 的系数是四个二项展开式中4个含2x 的，则有20)()1()1()1()1(35241302335224113002-=+++-=-+---+--C C C C C C C C例8．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，x 3项的系数是 . 解：在展开式中，3x 的来源有：⑴第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C ； ⑵第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008.四、利用二项式定理的性质解题 1、求中间项例9．求101的展开式的中间项；解：,)1()(310101r r r r xx T C -=-+ ∴展开式的中间项为5555610(252x C =-.小结： 当n 为奇数时，nb a )(+的展开式的中间项是212121-+-n n n n baC 和212121+-+n n n n baC ；当n 为偶数时，nb a )(+的展开式的中间项是222nnnnb a C . 2、求有理项 例10．求103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；解：341010310101)1()1()(r rr rrr r xxr T CC--+-=-=∴当9,6,3,0=r 时，所对应的项是有理项.故展开式中有理项有4项.小结：⑴当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；⑵当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式.3、求系数最大或最小项 ⑴ 特殊的系数最大或最小问题例11．（2000上海）在二项式（x -1）11的展开式中，系数最小的项的系数是 . 解：rrr r xT C)1(11111-=-+∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r11为最大，由此得5=r ，从而可知最小项的系数为5511(1)462C-=- ⑵一般的系数最大或最小问题例12．求84)21(xx +展开式中系数最大的项；解：记第r 项系数为r T ，设第k 项系数最大，则有 ⎩⎨⎧≥≥+-11k kk k T T T T 又1182.+--=r r r CT ，那么有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+--+--+--k k k k k k k k C C C C 2.2.2.2.8118228118即8!8!2(1)!.(9)!(2)!.(10)!8!8!2(1)!.(9)!!(8)!k k k k k k k k ⎧≥⨯⎪----⎪⎨⎪⨯≥⎪---⎩1212219k k k k ⎧≥⎪⎪--⇒⎨⎪≥⎪-⎩，解得43≤≤k ，故系数最大的项为第3项2537x T =和第4项2747x T =. ⑶系数绝对值最大的项例13．在（x -y ）7的展开式中，系数绝对值最大项是 .解：求系数绝对最大问题都可以将“n b a )(-”型转化为")("n b a +型来处理， 故此答案为第4项4347y x C ，和第5项5257y x C -.五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和（参考例题2） 例14．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为 . 解： 443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+令1=x ，有432104)32(a a a a a ++++=+， 令1-=x ，有)()()32(314204a a a a a +-++=+-故原式=)]()).[((3142043210a a a a a a a a a a +-++++++=44)32.()32(+-+=1)1(4=-小结：在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：0,1,1-特殊值在解题过程中考虑的比较多.例15．设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a .分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值. 解：rrr r x T C)1()2(661-=-+∴65432106210...a a a a a a a a a a a +-+-+-=++++=)()(5316420a a a a a a a ++-+++=0六、利用二项式定理求近似值例16．求0.9986的近似值，使误差小于0.001；分析：因为6998.0=6)002.01(-，故可以用二项式定理展开计算.解：6998.0=6)002.01(-=621)002.0(...)002.0.(15)002.0.(61-++-+-+001.000006.0)002.0(15)002.0.(22263<=-⨯=-=C T ，且第3项以后的绝对值都小于001.0，∴从第3项起，以后的项都可以忽略不计.∴6998.0=6)002.01(-)002.0(61-⨯+≈=988.0012.01=-小结：由122(1)1...nn n n n n x x x x C C C +=++++，当x 的绝对值与1相比很小且n 很大时，n x x x ,....,32等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：nx x n+≈+1)1(，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：22)1(1)1(x n n nx x n -++≈+.利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力.所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值. 七、利用二项式定理证明整除问题 例17．求证：5151-1能被7整除. 证明：15151- =1)249(51-+=12.2.49.....2.49.2.49.49515151505051249251501515151-+++++C C C C C=49P +1251-（*∈N P ） 又 1)2(1217351-=-=（7+1）171-=01216171716151717171717.7.7.7.....71C C C C C +++++- =7Q （Q *∈N ）)(77715151Q P Q P +=+=-∴15151-∴能被7整除.小结：在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑 出相关的因数. 八、知识交汇型在知识点的交汇处命题，已成为新高考命题的一个趋势．二项式定理可以与组合、数列极限、杨辉三角等知识进行综合，而设计出新题． 例18 如图，在由二项式系数所构成的杨 辉三角形中，第_____行中从左至右第14 与第15个数的比为2:3．分析：本题是杨辉三角与二项式定理的交汇题，而本题的解题关键在于将表格语言转化为组合数语言． 解：设所求的行数为n ，将条件转换为组合数语言，得 131423n nC C =，即142133n =-，解得n ＝34．第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……二项式定理中的五大热点二项式定理有关知识是每年高考必考内容之一，本文总结出了近年高考中的五大热点题型，供参考. 一、通项运用型凡涉及到展开式的项及其系数(如常数项，x 3项的系数等)及有理项，无理项，或逆向问题，常是先写出其通项公式1r T +＝r n r r n C a b -，然后再据题意进行求解，有时需建立方程才能得以解决. 例1 9)12(xx -的展开式中，常数项为 ．(用数字作答)．解：由99921991(2)(1)2rrr r rr r r r T C x C x ----+⎛⎫=-=-∙∙∙ ⎝． 令9－r －2r ＝0，得r ＝6．故常数项为63679(1)2672T C =-∙∙=．故填672．练习：1．10112x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中x 3的系数为_______．[15]2．(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4－(x －1)5的展开式中，x 2的系数是_______．[－20]3．9a x ⎛-⎝展开式中x 3的系数为94，常数a ＝______．[4] 二、系数配对型是指求两个二项式的积或可化两个二项式的积的展开式中某项的系数问题，通常转化为乘法分配律问题来解决.例2 (x 2＋1)(x －2)7的展开式中x 3项的系数是______.解： 由x 3项的系数分别来自两个二项式的展开式中两项乘积的系数，应为如下表搭配：因此，x 3项的系数是()4472C -＋()6672C -＝1008．练习：(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为____________（用数字作答）．[179]三、系数和差型是指求二项展开式系数的和或差等问题，常可用赋值法加以解决. 例3 若2004220040122004...(12)x a a x a x a x -=++++(x ∈R )，则=++++++++)(...)()()(20040302010a a a a a a a a (用数字作答)．解：取x ＝0，得a 0＝1；取x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2004＝(1－2)2004＝1．故010********...()()()()a a a a a a a a ++++++++ ＝2003a 0＋(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2004)＝2003＋1＝2004．评注：若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n．则有①a 0＝f (0)，②a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝f (1)；③a 0－a 1＋a 2－…＝f (－1)；④a 0＋a 2＋a 4＋…＝(1)(1)2f f +-；a 1＋a 3＋a 5＋…＝(1)(1)2f f --．练习：若(),32443322104x a x a x a x a a x ++++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为_________．[1]四、综合应用型应用意识是数学的归宿，二项式定理主要应用于近似计算、证明整除、证明不等式、证明组合数恒等式、求组合数及求余数等问题.例4 9192除以100的余数是_______． 解：9192＝(90＋1) 92＝0929290C ＋1919290C ＋…＋9029290C ＋919290C ＋9292C＝M ×102＋92×90＋1(M 为整数) ＝100M ＋82×100＋81． ∴ 9192除以100的余数是81．练习：⑴求0.9986近似值(精确到0.001)．[0.998]⑵设*∈N n ,则=++++-12321666n n n n n n C C C C _________．[1(71)6n-]五、知识交汇型在知识点的交汇处命题，已成为新高考命题的一个趋势．二项式定理可以与组合、数列极限、杨辉三角等知识进行综合，而设计出新题．例5 如图，在由二项式系数所构成的杨 辉三角形中，第_____行中从左至右第14 与第15个数的比为2:3．分析：本题是杨辉三角与二项式定理的交汇题，而本题的解题关键在于将表格语言转化为组合数语言． 解：设所求的行数为n ，将条件转换为组合数语言，得第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……131423n nC C =，即142133n =-，解得n ＝34．练习：若(1－2x )9展开式的第3项为288，则2111lim ()nx xxx→∞+++的值是_________．[2]。
二项式定理高考试题及其答案总
二项式定理复习一、学习目标：1、能用计数原理证明。
2、会用二项式定理解决系数和、常数项、最大值等与二项展开式有关的简单问题。
二、命题规律与命题趋势：高考对二项式定理的考查，主要涉及利用通项公式求展开式的特定项，利用二项展开式性质求系数或与系数有关的问题，利用二项式定理进行近似计算。
题型以选择、填空为主，少有综合性的大题。
高考重点考查通项公式和项的系数的概念，同时考查了运算能力。
三、常考点：1、二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n2、几个基本概念（1）二项展开式：右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式（2）项数：二项展开式中共有1+n 项（3）二项式系数：),,2,1,0(n r C r n =叫做二项展开式中第1+r 项的二项式系数（4）通项：展开式的第1+r 项，即),,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+3、展开式的特点（1）系数 都是组合数,依次为C 1n ,C 2n ,C n n ,…,C nn (2)指数的特点①a 的指数 由n 0( 降幂)。
②b 的指数由0 n （升幂）。
③a 和b 的指数和为n 。
(3)展开式是一个恒等式，a ，b 可取任意的复数，n 为任意的自然数。
4、二项式系数的性质：（1）对称性:在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.即 （2）增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n n C当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值21-n n C =21+n n C（3）二项式系数的和： 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即 基本题型(一)通项公式的应用 1、6)12(xx +的展开式中第三项的二项式系数为________；第三项的系数为_______； 常数项为_______；含4x 的项为______。
2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全(计数原理、二项式定理)
解法 2：共有 7 个，它们是由四个定点组成的四面体的三对异面直线间的公垂线的三个中垂面；
四面体的四条高的四个中垂面，选(D)
【解后反思】分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段,也是基础方法,
在高中数学中,只有这两个原理,尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处,当遇到比较复杂的
5
放入④两种放法。综上所述:共有 A44 2 48 种放法.故选 B.
P
1
4
A 5
23 8
D 7
B6 C
9．(2005 江西文)将 9 个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数
为
（）
A．70
B．140
C．280
D．840
【思路点拨】本题涉及组合的平均分组问题.
【正确解答】要使甲、乙分在同一组，即将剩下的 7 人分成三组，其中两组有三个人，一组只有一
B．96
C．72
D．144
解：本题主要关键是抓连续编号的 2 张电影票的情况,可分四种情况：
情况一：连续的编号的电影票为 1,2;3,4;5,6,这时分法种数为 C42P32P22
情况二：连续的编号的电影票为 1,2；4,5,这时分法种数为 C42P22P22
情况三：连续的编号的电影票为 2,3;4,5;这时分法种数为 C42P22P22
D．1 项
【思路点拨】本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识.
【正确解答】 (
x 3 x )12 的展开式为 C1t2 (
x )t ( 3
x )12t
Байду номын сангаас
C1t2
x
t 2
12t 3
C1t2
2020高考数学10.2 二项式定理
2.二项展开式形式上的特点
(1)项数为n+1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到0,字母b按升 幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式系数为 C0n , C1n ,…, Cnn1 , Cnn .
解析 设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,(*)
则各项系数的和为a0+a1+…+a10,
奇数项系数的和为a0+a2+…+a10,
偶数项系数的和为a1+a3+a5+…+a9.
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数的和.
(1)二项式系数的和为 C100 + C110 +…+ C1100 =210. (2)令x=y=1,各项系数的和为(2-3)10=(-1)10=1.
二 二项式系数的性质及应用
例2
(2018河北邯郸二模,9)在
x
3 x
n
的展开式中,各项系数和与二项
式系数和之比为64,则x3的系数为 ( )
A.15 B.45 C.135 D.405
高三数学二项式定理与性质试题答案及解析
高三数学二项式定理与性质试题答案及解析1.若二项展开式中的第5项是常数项，则中间项的系数为．【答案】【解析】二项展开式中的第5项是常数项，，令，则，∴该展开式中共有7项．中间项是：第四项：．中间项的系数为：-160．故答案为：-160．【考点】二项式系数的性质.2.在的展开式中，含项的系数为（）A．28B．56C．70D．8【答案】A【解析】的展开式的通项公式为：，所以含项的系数为.【考点】二项式定理.3.的展开式中，常数项为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知，，令，得，由知，故选.【考点】二项式定理.4.若二项式(x3＋)n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为()A．3B．5C．7D．10【答案】B【解析】展开式的通项公式是T＋1＝x3n－3r x－2r＝x3n－5r，若二项式(x3＋)n的展开式中含r有非零常数项，则3n－5r＝0，即n＝ (r＝0,1,2，…，n)，故当r＝3时，此时n的最小值为5.选B.5. (2x＋)n的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x2的系数为________．【答案】160【解析】依题意得3n＝729，n＝6，二项式(2x＋)6的展开式的通项是T＋1＝×(2x)6－rr·()r＝×26－r·.令6－＝2，得r＝3.因此，在该二项式的展开式中x2的系数是×26－3＝160.6.已知(a2＋1)n展开式中各项系数之和等于(x2＋)5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的二项式系数最大的项等于54，求a的值．【答案】a＝±【解析】(x2＋)5展开式的通项为T＋1＝ (x2)5－r()r＝()5－r··，令T r＋1为r常数项，则20－5r＝0，∴r＝4，∴常数项T＝×＝16.又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等5于2n，由题意得2n＝16，∴n＝4.由二项式系数的性质知，(a2＋1)n展开式中二项式系数最大的项，∴a4＝54，∴a＝±.是中间项T37.用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，面“”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意所有的篮球都取出或都不取出.所以要有或不含的式子.所以符合.故选A.【考点】1.新定义.2.二项式展开式.8.在的展开式中，记项的系数为，则（）A．45B．60C．120D．210【答案】C【解析】由题意可得，故选C【考点】二项式系数.9.在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（）A．－56B．－35C．35D．56【答案】A【解析】在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，即只有第5项的二项式系数最大即.所以二项式的展开式的通项为．.所以项的系数是.故选A【考点】1.二项式定理.2.归纳推理的数学思想.3.组合数的计算.10.设，若，则（）A．-1B．0C．l D．256【答案】B【解析】，令，则有，又令得，，故．【考点】定积分，二项展开式的系数．11.已知的展开式中的系数是10，则实数的值是【答案】1【解析】由二项式的通项，，得，即，解得，【考点】二项式定理．12.二项式的展开式中，含的项的系数是________.【答案】.【解析】由二项式定理的展开式可得.所以求的项的系数即需即.所以的项的系数为.【考点】1.二项式定理的展开式公式.2.项的系数的计算.13.的展开式中项的系数为___．（用数字表示）【答案】【解析】由得：项的系数为．【考点】二项展开式定理求特定项14.设函数则当x>0时,表达式的展开式中常数项为( )A．－20B．20C．－15D．15【答案】A【解析】当x>0时，f，所以，其展开式的通项为,所以由题意知，,即,所以展开式中常数项为．15.设，则___ ____．【答案】【解析】由已知得，，展开式的通项公式为，令，故【考点】二项式定理.16.若的展开式中的系数为，则=____________．【答案】2【解析】由二项式定理知的系数是，，所以.【考点】二项式定理，裂项相消求和，数列极限.17.已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，那么a1＋a2＋…＋a7＝________．【答案】－2【解析】设f(x)＝(1－2x)7，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(1－2)7＝－1，令x＝0，得a＝1，a 1＋a2＋…＋a7＝－1－a＝－2.18.已知(ax＋1)7(a≠0)的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，求a；【答案】a＝1±【解析】a2＋a4＝2a3，21a2＋35a4＝70a3，a≠0，得5a2－10a＋3＝0解得a＝1±. 19. (2x-1)5的展开式x3项的系数是__________.(用数字作答)【答案】80【解析】根据二项式定理可得(2x-1)5的第项展开式为,则n=3时，得到展开式x3项为,所以系数为80，故填80【考点】二项式定理20.设，则二项式的展开式中含有的项是 .【答案】【解析】因为，，所以的展开式的通项，令得，所以二项式的展开式中含有的项是，故答案为．【考点】定积分计算，二项式展开式的通项公式.21.已知，则的展开式中的常数项是__________．【答案】160【解析】由题意，，∴，求的展开式中的常数项，即求的展开式中的常数项，而的展开式的通项为，令，则，∴的展开式中的常数项故答案为：．【考点】定积分，二项式定理．22. (2-)8展开式中不含x4项的系数的和为()A．-1B．0C．1D．2【答案】B【解析】∵(2-)8展开式中各项的系数的和为(2-)8=1,展开式的通项为28-r(-)r,∴x4项为20(-)8,即x4项的系数为1.∴不含x4项的系数的和为1-1=0.23.设(x-)6的展开式中x3的系数为A,二项式系数为B,则A∶B=()A．4B．-4C．26D．-26【答案】A=x6-k(-)k=(-2)k,【解析】Tk+1令6-=3,即k=2,=x3(-2)2=60x3,所以T3所以x3的系数为A=60,二项式系数为B==15,所以A∶B=60∶15=4.24.的展开式中项的系数是15，则展开式的所有项系数的和是_______.【答案】【解析】的展开式的通项，令可得，此时，令可得，此时，∴展开式中项的系数为：解得令，得展开式的所有项系数的和．故答案为．【考点】二项式定理25.在 5的二项展开式中，x的系数为()．A．10B．－10C．40D．－40【答案】D＝(2x2)5－r r＝25－r(－1)r x10－3r，【解析】因为Tr＋1令10－3r＝1，所以r＝3，所以x的系数为 25－3(－1)3＝－40.26.已知展开式中常数项为5670，其中是常数，则展开式中各项系数的和是() A．28B．48C．28或48D．1或28【答案】C【解析】，因为展开式中常数项为，令，，，解得，当时，令得展开式中各项系数的和为，当时，令得展开式中各项系数的和为．【考点】二项式定理．27.若（其中、为有理数），则 .【答案】169【解析】应用二项式定理把展开化简即可得，．【考点】二项式定理．28. (a＋x)(1＋)5的展开式中x2项的系数是15，则展开式的所有项系数的和是________．【答案】64【解析】(a＋x)(1＋)5的展开式中含x2项为a· ()4＋x·()2＝(5a＋10)x2.依题意5a＋10＝15，∴a＝1.在(a＋x)(1＋)5中令x＝1，得2·(1＋1)5＝64.∴展开式中的所有项系数的和为64.29.二项式的展开式中，含的项的系数是___________.【答案】-126【解析】利用二项展开式通项公式可得，，令，可得，代入可得所求系数为．【考点】二项展开式通项公式．30.在的展开式中，项的系数为 .【答案】45【解析】∵，∴，∴，∴项的系数为.【考点】二项式定理.31.若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】只有第六项的二项式系数最大，说明是偶数，且，于是其展开式通项为，常数项为，即，所以常数项为．选A．【考点】二项展开式中二项式系数与通项公式．32.的展开式的常数项是．【答案】-12．【解析】的通项为，由为常数项时，，上式为；由为常数项时，，上式为，所以原式的展开式的常数项为．【考点】二项式定理.33.在的展开式中，若第项的系数为，则 .【答案】【解析】由可得.【考点】二项式定理展开式34.设的展开式中的系数为,二项式系数为,则 .【答案】4【解析】的展开式的通项公式为.由得.又.注意B只是的二项式系数.【考点】二项式定理.35.设常数，若的二项展开式中项的系数为，则 .【答案】-2【解析】的二项展开式中第项为，若含的这一项，则，所以，为，所以项的系数为，即.【考点】二项式定理36.在的展开式中，的系数等于_________________.【答案】【解析】的通项公式为，则展开式中项为，所以的系数为.【考点】二项式定理.37.在的展开式中，常数项为_________. (用数字作答)【答案】【解析】设的展开式的第项为常数项，令得所以所求的常数项为．【考点】考查二项式定理．38.已知（1+x）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则=A．-4B．-3C．-2D．-1【答案】D【解析】由题意知：，解得，故选D.【考点】本小题主要考查二项展开式,二项式定理在高考中主要以小题的形式考查,属容易题,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.39.使得( )A．B．C．D．【答案】B【解析】二项式展开式的通项公式为，若展开式中有常数项，则，解得，当r取2时，n的最小值为5，故选B【考点】本题考查二项式定理的应用。
2025年高考数学总复习课件80第十章第二节二项式定理
考向1 求二项展开式中的特定项
【例1】(1)(2024·烟台模拟7的展开式中x13的系数是84，则实数a＝
()
A．2
√B．5 4
C．1
D．
2 4
B
解析：二项式
x+
a
x
7展开式的通项为Tk＋1＝C7kx7－k
a
x
k＝C7kakx7-2k.又展开式中
x13的系数是84，令7－2k＝－3，得k＝5，所以C75a5＝84，解得a＝5 4.故选B．
2 x
13 的 展 开 式 的 通 项 为 Tk ＋ 1 ＝ C1k3
－2
13－3k kx 2 ，令
13－2 3k＝2，得k＝3，所以－8C133·x2＝－2 288x2，即含x2的项的系数是－2 288.
3．已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.
2 5
第二节 二项式定理
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
自查自测 知识点二 二项式系数的性质
1．在
1 x
－
x
10的展开式中，二项式系数最大的项是(
)
A．第5项
√B．第6项
C．第7项
D．第5或第7项
B
解析：在
1 x
－
x
10的二项展开式中，第6项的二项式系数最大．故选B．
第二节 二项式定理
第二节 二项式定理
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
考向3 形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式
【例3】(2024·烟台模拟)在(x2－2x＋y)6的展开式中，含x5y2项的系数为( )
二项式定理公式、各种例题讲解及练习
二项式定理例题讲解分类计数原理分步计数原理做一件事，完成它有n 类不同的办法。
第一类办法中有m1种方法，第二类办法中有m2种方法……，第n 类办法中有mn 种方法，则完成这件事共有：N=m1+m2+…+mn 种方法。
做一件事，完成它需要分成n 个步骤。
第一步中有m1种方法，第二步中有m2种方法……，第n 步中有mn 种方法，则完成这件事共有：N=m1 m2 … mn … mn 种方法。
注意：处理实际问题时，要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是“分类”还是“分步骤”。
排列组合从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n 个不同的元素中取m个元素的排列。
从n 个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同的元素中取m 个元素的组合。
排列数组合数从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记为Pnm 从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，记为Cnm 选排列数全排列数二项式定理二项展开式的性质(1)项数：n+1项(2)指数：各项中的a 的指数由n 起依次减少1，直至0为止；b 的指出从0起依次增加1，直至n 为止。
而每项中a 与b 的指数之和均等于n 。
(3)二项式系数：各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和例1．试求：试求：（1）(x 3－22x)5的展开式中x 5的系数；的系数；（2）(2x 2－x1)6的展开式中的常数项；的展开式中的常数项；（3）(x －1)9的展开式中系数最大的项；的展开式中系数最大的项；（4）在1003)23(+x 的展开式中，系数为有理数的项的个数．的展开式中，系数为有理数的项的个数． 解：（1）T r ＋1＝rr rr rrxC xx C 51552535)2()2()(---=-依题意15－5r ＝5，解得r ＝2 故(－2)2r C 5＝40为所求x 5的系数的系数（2）T r ＋1＝r C 6(2x 2)6－ rrx)1(-＝(－1)r·26－ r·rrxC 3126-依题意12－3r ＝0，解得r ＝4 故4)1(-·2226C ＝60为所求的常数项．为所求的常数项．（3）T r ＋1＝r )1(-rrxC -99∵1265949==C C ，而(－1)4＝1，(－1)5＝-1 ∴ T 5＝126x 5是所求系数最大的项是所求系数最大的项 （4）T r ＋1＝rr r rrr rxCx C ---××=1003250100310010023)2()3(, 要使x 的系数为有理数，指数50－2r 与3r 都必须是整数，都必须是整数，因此r 应是6的倍数，即r ＝6k （k ∈Z ）， 又0≤6k ≤100，解得0≤k ≤1632（k ∈Z ） ∴x 的系数为有理数的项共有17项．项．评述评述 求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值范围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．例2．试求：试求：（1）(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数；的系数；（2）(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中x 2的系数；的系数；（3）321÷÷øöççèæ-+xx 的展开式中的常数项. 解：（1）∵）∵ (x ＋2)10＝x 10＋20x 9＋180x 8＋…＋…∴ (x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数是－1＋180＝179 （2）∵）∵ (x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5＝x x x x x x 65)1()1()]1([1})]1([1){1(-+-=------- ∴所求展开式中x 2的系数就是(x －1)6的展开式中x 3的系数36C -＝-20 （3）∵）∵ 321÷÷øöççèæ-+x x =61÷÷øöççèæ-x x ∴ 所求展开式中的常数项是-36C＝－20 评述评述 这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．例3．（1）已知(1＋x )n 的展开式中，x 3的系数是x 的系数的7倍，求n 的值；的值；（2）已知(ax ＋1)7（a ≠0）的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，求a 的值；的值； (3)已知(2x ＋gx x1)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x 的值．的值．解：（1）依题意137nnC C =，即6)2)(1(--n n n ＝7n由于n ∈N ，整理得n 2－3n －40＝0，解得n ＝8 (2) 依题意3474372572a C a C a C =+由于a ≠0，整理得5a 2－10a ＋3＝0，解得a ＝1±510（3）依题意T 5＝4lg 448)()2(xx x C ＝1120，整理得x4(1＋lg x )＝1，两边取对数，得，两边取对数，得lg 2x ＋lg x ＝0，解得lg x ＝0或lg x ＝－1 ∴x ＝1或x ＝101评述评述 (a ＋b)n的展开式及其通项公式是a ，b ，n ，r ，T r ＋1五个量的统一体，已知与未知相对的，运用函数与方程的思想方法，应会求其中居于不同位置，具有不同意义的未知数．例4．（1）若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值等于的值等于 ；（2）1＋210101021011024C C C +¼++＝ ． 解（1）令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(32+)4，令x ＝-1，得a 0-a 1＋a 2-a 3＋a 4＝4)23(-，由此可得(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)( a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4) ＝[)23)(23(-+]4＝1 （2）在(1＋x )10＝rrr x C 1010å=中，中，令x ＝2，得1＋25904932410101010210110==+¼++C C C评述评述 这是一组求二项式系数组成的式子的值的问题，其理论依据是(a ＋b)n＝rrn rnnr b aC -=å10为恒等式．二项式定理练习题1．在()103x -的展开式中，6x 的系数为的系数为（ ）A ．610C 27-B ．410C 27C ．610C 9-D ．410C 92． 已知a 4b ,0b a =>+， ()nb a +的展开式按a 的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n等于等于（ ）A ．4 B ．9 C ．10 D ．11 3．已知（naa )132+的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n 是 （ ）A ．10 B ．11 C ．12 D ．134．5310被8除的余数是除的余数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．7 5． (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是的近似值是（ ）A ．1.23 B ．1.24 C ．1.33 D ．1.34 6．二项式n4x 1x 2÷øöçèæ+(n ÎN)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．设(3x 31+x 21)n展开式的各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若t+h=272，则展开式的x 2项的系数是项的系数是（ ）A ．21B ．1 C ．2 D ．38．在62)1(x x -+的展开式中5x 的系数为（ ）A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 9．n x x)(5131+展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是（ ）A ．330 B ．462 C ．680 D ．790 10．54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为的系数为（ ）A ．－40 B ．10 C ．40 D ．45 11．二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为25，则x 在[0，2π]内的值为值为（ ）A ．6p 或3p B ．6p 或65pC ．3p 或32pD ．3p 或65p12．在(1+x )5+(1+x )6+(1+x )7的展开式中,含x 4项的系数是等差数列项的系数是等差数列a n =3n －5的 （ ）A ．第2项B ．第11项C ．第20项D ．第24项二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果. 13．92)21(x x -展开式中9x 的系数是的系数是. 14．若()44104x a x a a 3x 2+×××++=+，则()()2312420a a a a a +-++的值为__________. 15．若．若 32()nx x -+的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是 . 16．对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题：，有下列四个命题：①展开式中T 1000= －C 19991000x999；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；项； ④当x=2000时，(1-x)1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上）（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题满分74分. 17．（12分）若n xx )1(66+展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（１）（１） 求n 的值；的值；（２）此展开式中是否有常数项，为什么？（２）此展开式中是否有常数项，为什么？18．（12分）已知(124x +)n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数．数．19．（12分）是否存在等差数列{}n a ，使nnn 1n 2n 31n 20n 12n C a C a C a C a ×=+×××++++对任意*N n Î都成立？若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．的通项公式；若不存在，请说明理由．20．（12分）某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。
通用版五年高考2024_2025高考数学真题专题归纳专题13二项式含解析理
专题13 二项式定理【2024年】1.（2024·新课标Ⅰ）25()()x x y xy ++的绽开式中x 3y 3的系数为（ ）A. 5B. 10C. 15D. 20【答案】C【解析】5()x y +绽开式的通项公式为515r r rr T C x y -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +绽开式的乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==或22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615rrr r xT C xy -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x x y y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x xy =，该项中33x y 的系数为5所以33x y 的系数为10515+=2.（2024·北京卷）在52)的绽开式中，2x 的系数为（ ）． A. -5 B. 5C. -10D. 10【答案】C【解析】)52绽开式的通项公式为：()()55215522r rrrrr r T CC x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-. 3.（2024·天津卷）在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的绽开式中，2x 的系数是_________． 【答案】10【解析】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的绽开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr rr r rr T C xC x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =． 所以2x 的系数为15210C ⨯=．4.（2024·新课标Ⅲ）262()x x+的绽开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 其二项式绽开通项：()62612rrrr C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的绽开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=. 【2024年】1．【2024年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 )(1+x ）4的绽开式中x 3的系数为（ ） A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．2．【2024年高考浙江卷理数】在二项式9)x 的绽开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．【答案】 5【解析】由题意，9)x 的通项为919C (0,1,29)rr r r T x r -+==，当0r =时，可得常数项为0919C T ==；若绽开式的系数为有理数，则1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项．3．【2024年高考江苏卷理数】设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++≥∈N ．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值． 【答案】（1）5n =；（2）32-．【解析】（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a -=-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-． 【2024年】1. （2024年全国Ⅲ卷理数）的绽开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80 【答案】C 【解析】由题可得 令,则，所以，故选C.2. （2024年浙江卷）二项式的绽开式的常数项是___________．【答案】7 【解析】二项式的绽开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为3. （2024年天津卷）在的绽开式中，的系数为____________.【答案】【解析】结合二项式定理的通项公式有：，令可得：，则的系数为：.【2024年】1.【2024课标1，理6】621(1)(1)x x++绽开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【解析】因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x ++=⋅++⋅+，则6(1)x +绽开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x ⋅+绽开式中含2x 的项为44262115C x x x⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C.2.【2024课标II ，理6】支配3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的支配方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列33A 即可，由乘法原理，不同的支配方式共有234336C A ⨯=种方法。
(五年高考真题)2016届高考数学复习 第十章 第二节 二项式定理及其应用 理
第二节 二项式定理及其应用考点一 二项展开式中项的系数1．(2015·新课标全国Ⅰ，10)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10B ．20C ．30D ．60解析 T k ＋1＝C k5(x 2＋x )5－k y k，∴k ＝2.∴C 25(x 2＋x )3y 2的第r ＋1项为C 25C r 3x 2(3－r )x r y 2，∴2(3－r )＋r ＝5，解得r ＝1，∴x 5y 2的系数为C 25C 13＝30. 答案 C2．(2014·四川，2)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30B ．20C ．15D ．10解析 只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15，故选C. 答案 C3．(2014·湖南，4)⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( )A ．－20B ．－5C ．5D ．20解析 展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(12x )5－k ·(－2y )k ＝(－1)k ·22k －5C k 5x 5－k ·y k，令5－k ＝2，得k ＝3.则展开式中x 2y 3的系数为(－1)3·22×3－5C 35＝－20，故选A.答案 A4．(2013·新课标全国Ⅱ，5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1解析 已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为C 25＋a ·C 15＝5，解得a ＝－1，故选D. 答案 D5．(2012·湖北，5)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12解析 由于51＝52－1，(52－1)2 012＝C 02 012522 012－C 12 012522 011＋…－C 2 0112 012521＋1，所以只需1＋a 能被13整除，0≤a <13，所以a ＝12，选D. 答案 D6．(2015·北京，9)在(2＋x )5的展开式中，x 3的系数为________(用数字作答)．解析 展开式通项为：T r ＋1＝C r 525－r x r，∴当r ＝3时，系数为C 35·25－3＝40. 答案 407．(2015·天津，12)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________．解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－14rx 6－2r ； 当6－2r ＝2时，r ＝2，所以x 2的系数为C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝1516. 答案15168．(2014·新课标全国Ⅰ，13)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________(用数字填写答案)．解析 由二项展开式公式可知，含x 2y 7的项可表示为x ·C 78xy 7－y ·C 68x 2y 6，故(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为C 78－C 68＝C 18－C 28＝8－28＝－20.答案 －209．(2014·新课标全国Ⅱ，13)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________(用数字作答)． 解析 T r ＋1＝C r 10x 10－r a r，令10－r ＝7，得r ＝3，∴C 310a 3＝15，即10×9×83×2×1a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12. 答案 1210．(2013·四川，11)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________(用数字作答)．解析 设二项式(x ＋y )5的展开式的通项公式为T r ＋1，则T r ＋1＝C r 5x5－r·y r，令r ＝3，则含x 2y 3的项的系数是C 35＝10.答案 1011．(2012·浙江，14)若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________. 解析 由等式两边对应项系数相等，即⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝1，C 45a 5＋a 4＝0，C 35a 5＋C 34a 4＋a 3＝0⇒a 3＝10.答案 10考点二 二项展开式中的常数项1．(2015·湖南，6)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( )A. 3B ．－ 3C ．6D ．－6解析 ⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式通项T r ＋1＝C r 5x 5－r 2(－1)r a r ·x －r 2＝(－1)r a r C r 5x 52－r ，令52－r ＝32，则r ＝1， ∴T 2＝－a C 15x 32，∴－a C 15＝30，∴a ＝－6，故选D.答案 D2．(2013·辽宁，7)使得⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n(n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析 展开式的通项公式为T k ＋1＝C kn(3x )n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x k ＝C k n 3n －kxn －5k 2.由n －5k 2＝0得n ＝5k 2，所以当k ＝2时，n 有最小值5，选B. 答案 B3．(2013·陕西，8)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0.则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( ) A ．－20B ．20C ．－15D ．15解析 当x >0时，f [f (x )]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 6的展开式中，常数项为C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(－x )3＝－20.所以选A.答案 A4．(2012·重庆，4)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为( )A.3516B.358C.354D ．105解析 二项展开式的通项为T k ＋1＝C k8(x )8－k⎝ ⎛⎭⎪⎫12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12k C k 8x 4－k，令4－k ＝0，解得k ＝4，所以T 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 48＝358，故选B.答案 B5．(2013·浙江，11)设二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. 解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·x 5－r 2·(－1)r ·x －r 3＝(－1)r·C r5·x 15－5r6.令15－5r 6＝0，解得r ＝3，故展开式的常数项为－C 35＝－10，故A 为－10. 答案 －10考点三 二项式定理的综合应用1．(2015·陕西，4)二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( ) A ．4B ．5C ．6D ．7解析 由题意易得：C n －2n ＝15，C n －2n ＝C 2n ＝15，即n （n －1）2＝15，解得n ＝6.答案 C2．(2014·湖北，2)若二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( ) A ．2 B.54C ．1 D.24解析 T r ＋1＝C r7·(2x )7－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r＝27－r C r 7a r ·1x 2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a ＝1，故选C.答案 C3．(2014·浙江，5)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n项的系数f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( ) A ．45B ．60C ．120D ．210解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n4，故f (m ，n )＝C m 6·C n4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 34＝4，故选C. 答案 C4．(2014·安徽，13)设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n.若点A i (i ，a i )(i ＝0，1，2)的位置如图所示，则a ＝________．解析 根据题意知a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4， 结合二项式定理得⎩⎪⎨⎪⎧C 1n·1a ＝3，C 2n ·1a 2＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧n －1＝83a ，n ＝3a ，解得a ＝3. 答案 35．(2014·山东，14)若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．解析 T r ＋1＝C r6(ax 2)6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r＝C r 6a 6－r b r x 12－3r，令12－3r ＝3，则r ＝3.∴C 36a 3b 3＝20，即ab ＝1. ∴a 2＋b 2≥2ab ＝2， 即a 2＋b 2的最小值为2. 答案 26．(2014·大纲全国，13)⎝ ⎛⎭⎪⎫ x y －y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________(用数字作答)．解析 T r ＋1＝C r8·⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 8－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－y x r＝(－1)r ·C r8·x16－3r 2·y 3r －82，令⎩⎪⎨⎪⎧16－3r 2＝2，3r －82＝2，得r ＝4.所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4·C 48＝70. 答案 70。
(新课标)高考数学5年真题备考题库 第九章 第3节 二项式定理 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
第9章 计数原理与概率、随机变量及其分布第3节 二项式定理1．（2014某某，5分）在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210解析: 由题意知f (3,0)＝C 36C 04，f (2,1)＝C 26C 14，f (1，2)＝C 16C 24，f (0,3)＝C 06C 34，因此f (3,0)＋f (2,1)＋f (1，2)＋f (0,3)＝120，选C.答案：C2．（2014某某，5分）⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( )A ．－20B ．－5C ．5D ．20解析：选A 由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2(－2y )3＝－20x 2y 3，故x 2y3的系数为－20，选A.答案：A3．（2014某某，5分）在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15D ．10解析： 只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15，故选C.答案：C4．（2014某某，5分）若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2 B.54 C ．1 D.24解析： T k ＋1＝C k7(2x )7－k⎝ ⎛⎭⎪⎫a x k ＝C k 727－k a k x 7－2k ，令7－2k ＝－3，得k ＝5，即T 5＋1＝C 5722a 5x －3＝84x －3，解得a ＝1.选C.答案：C5．（2014新课标全国Ⅰ，5分）(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)解析：(x ＋y )8中，T r ＋1＝C r 8x 8－r y r，令r ＝7，再令r ＝6，得x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.答案：－206．（2014新课标全国Ⅱ，5分）(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案)解析：二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r10x 10－r a r，当10－r ＝7时，r ＝3，T 4＝C 310a 3x 7，则C 310a 3＝15，故a ＝12.答案：127．（2014某某，5分）若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．解析：T r ＋1＝C r6(ax 2)6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r ＝C r 6a 6－r b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，故C 36a 3b 3＝20，所以ab ＝1，a 2＋b 2≥2ab＝2，当且仅当a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1时，等号成立．答案：28．（2014某某，5分）设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝⎛⎭⎪⎫1＋x an的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x2＋…＋a n x n.若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.解析：由题图可知a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧C 1n ·1a＝a 1＝3，C 2n ·1a 2＝a 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧n a ＝3，n n －1a2＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝9，a ＝3.答案：39．（2013新课标全国Ⅰ，5分）设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6 C.7D.8解析：本题考查二项式系数的性质，意在考查考生对二项式系数的性质的运用和计算能力．根据二项式系数的性质知：(x ＋y )2m的二项式系数最大有一项，C m 2m ＝a ，(x ＋y )2m ＋1的二项式系数最大有两项，C m2m ＋1＝C m ＋12m ＋1＝b .又13a ＝7b ，所以13C m2m ＝7C m2m ＋1，将各选项中m 的取值逐个代入验证，知m ＝6满足等式，所以选择B.答案：B10．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知(1＋ɑx )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ＝( )A ．－4 B.－3 C ．－2D ．－1解析：本题涉及二项式定理、计数原理的知识，意在考查考生的分析能力与基本运算能力．展开式中含x 2的系数为C 25＋a C 15＝5，解得a ＝－1，故选D.答案：D11．（2013某某，5分）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f (f (x ))表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15解析：本题考查分段函数和二项式定理的应用，解题关键是对复合函数的复合过程的理解．依据分段函数的解析式，得f (f (x ))＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 6，∴T r ＋1＝C r 6(－1)r x r －3，则常数项为C 33(－1)3＝－20.答案：A12．（2013某某，5分）.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40解析：本题考查二项式定理，意在考查考生的运算能力．T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3r＝C r5·(－2)r·x10－5r，令10－5r ＝0，得r ＝2，故常数项为C 25×(－2)2＝40.答案：C13．（2013某某，5分）若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________. 解析：本题考查二项展开式的通项．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x 8展开式的通项为T r ＋1＝C r8a r x 8－43r ，令8－43r ＝4，可得r ＝3，故C 38a 3＝7，易得a ＝12.答案：1214．（2013某某，5分）设二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. 解析：本题考查二项式定理及相关概念，考查利用二项式定理解决相关问题的能力以及考生的运算求解能力．T r ＋1＝(－1)r C r 5x15－5r 6，令15－5r ＝0，得r ＝3，故常数项A ＝(－1)3C 35＝－10.答案：－1015. （2013某某，5分）⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．解析：本题考查二项式定理的应用，意在考查考生的运算求解能力．二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x6－r(－1x)r ＝C r 6(－1)rx 6－32r ，当6－32r ＝0，即r ＝4时是常数项，所以常数项是C 46(－1)4＝15.答案：1516．（2013某某，5分）二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．(用数字作答)解析：本题考查二项式的通项，意在考查考生的运算能力．因为C 35＝10，故含x 2的项的系数是10.答案：1017．（2012某某，5分）(x 2＋2)(1x2－1)5的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3解析：(1x 2－1)5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(1x2)5－r ·(－1)r ，r ＝0,1,2,3,4,5.当因式(x2＋2)中提供x 2时，则取r ＝4；当因式(x 2＋2)中提供2时，则取r ＝5，所以(x 2＋2)(1x2－1)5的展开式的常数项是5－2＝3.答案：D18．（2012某某，5分）在(2x 2－1x)5的二项展开式中，x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．40D ．－40解析：二项式(2x 2－1x )5展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r (－1x)r ＝C r 5·25－r ×(－1)r x10－3r，当r ＝3时，含有x ，其系数为C 35·22×(－1)3＝－40. 答案：D19．（2012某某，5分）设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12 解析：512 012＋a ＝(13×4－1)2 012＋a ，被13整除余1＋a ，结合选项可得a ＝12时，512 012＋a 能被13整除．答案：D20．（2010某某，5分）(x ＋a x)5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12C ．1D ．2解析：利用(x ＋ax)5的通项公式构建方程有 C r 5x5－r a r x －r＝C r 5x5－2r a r＝10x 3⇒r ＝1，a ＝2. 答案：D21．（2012某某，5分）(x 2＋1x)6的展开式中x 3的系数为________．(用数字作答)解析：由(x 2＋1x )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r (1x)r ＝C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以展开式中x 3的系数为C 36＝6×5×41×2×3＝20.答案：2022．（2010某某，5分）(1＋x ＋x 2)(x －1x)6的展开式中的常数项为________．解析：(x －1x)6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6x6－r (－1x)r ＝(－1)r C r 6x 6－2r. 令6－2r ＝0，得r ＝3，令6－2r ＝－1，得r ＝72(舍去)，令6－2r ＝－2，得r ＝4.所以所求的常数项为：(－1)3C 36＋(－1)4C 46＝－20＋15＝－5. 答案：－5。
课标专用5年高考3年模拟A版2021高考数学专题十计数原理2二项式定理试题理
二项式定理探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点二项式定理(1)能用计数原理证明二项式定理.(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题2019课标Ⅲ,4,5分2018课标Ⅲ,5,5分2017课标Ⅰ,6,5分2017课标Ⅲ,4,5分2016课标Ⅰ,14,5分2015课标Ⅰ,10,5分求二项展开式中特定项的系数组合与组合数★★★2015课标Ⅱ,15,5分已知某些项的系数和求参数分析解读本节是高考命题的热点,主要考查二项展开式的通项、二项式系数、特定项的系数、系数和问题、最值问题、参数问题等,一般以选择题和填空题的形式出现,分值为5分.主要考查学生的数学运算能力和转化与化归思想的应用.破考点练考向【考点集训】考点二项式定理1.(2020届陕西百校联盟9月联考,6)(2x23)7的展开式中x4的系数为( )A.-280B.280C.-560D.560答案 C2.(2019广东湛江一模,7)(2x-3y)n(n∈N*)的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数,则(3x-2y)n 的展开式的二项式系数之和等于( )A.16B.32C.64D.128答案 A3.(2020届重庆巴蜀中学高考适应月考一,13)二项式(2x+1)6的展开式中,第5项的系数为.答案604.(2018福建福州八校一模,13)(1+√x)6的展开式中有理项系数之和为.答案32炼技法提能力【方法集训】方法1 求二项展开式中的特定项或特定项的系数1.(2020届河南百校联盟9月联合检测,6)(1x2-2)(1+x)5的展开式中x2的系数为( ) A.-15 B.-5 C.10 D.15答案 A2.(2018山东枣庄二模,8)若(x2-a)(x+1x)10的展开式中x6的系数为30,则a等于( )A.13B.12C.1D.2答案 D方法2 二项式系数的和与各项的系数和1.(2020届吉林通化梅河口五中等校联考,8)若(2-3x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则a1+a2+a3+…+a6等于( )A.-4B.4C.-64D.-63答案 D2.(2019广东广州一模,6)(2-x3)(x+a)5的展开式的各项系数和为32,则该展开式中x4的系数是( )A.5B.10C.15D.20答案 A【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点二项式定理1.(2019课标Ⅲ,4,5分)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为( )A.12B.16C.20D.24答案 A2.(2018课标Ⅲ,5,5分)(x2+2x)5的展开式中x4的系数为( )A.10B.20C.40D.80答案 C3.(2017课标Ⅲ,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为( )A.-80B.-40C.40D.80答案 C4.(2015课标Ⅰ,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )A.10B.20C.30D.60答案 C5.(2015课标Ⅱ,15,5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= .答案 3B组自主命题·省(区、市)卷题组考点二项式定理)8的展开式中的常数项为.1.(2019天津,10,5分)(2x-18x3答案282.(2019浙江,13,6分)在二项式(√2+x)9的展开式中,常数项是,系数为有理数的项的个数是.答案16√2;5)5的展开式中,x2的系数为.3.(2018天津,10,5分)在(x2x答案524.(2017浙江,13,6分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4= ,a5= . 答案16;4C组教师专用题组考点二项式定理)5的展开式中含x32的项的系数为30,则a=( )1.(2015湖南,6,5分)已知(√x-√xA.√3B.-√3C.6D.-6答案 D2.(2015陕西,4,5分)二项式(x+1)n (n∈N +)的展开式中x 2的系数为15,则n=( ) A.4B.5C.6D.7答案 C3.(2018浙江,14,4分)二项式(√x 3+12x )8的展开式的常数项是 . 答案 74.(2017山东,11,5分)已知(1+3x)n的展开式中含有x 2项的系数是54,则n= . 答案 45.(2016课标Ⅰ,14,5分)(2x+√x )5的展开式中,x 3的系数是 .(用数字填写答案) 答案 106.(2016天津,10,5分)(x 2-1x)8的展开式中x 7的系数为 .(用数字作答)答案 -567.(2016北京,10,5分)在(1-2x)6的展开式中,x 2的系数为 .(用数字作答) 答案 608.(2016山东,12,5分)若(xx 2√x)5的展开式中x 5的系数是-80,则实数a= . 答案 -29.(2015北京,9,5分)在(2+x)5的展开式中,x 3的系数为 .(用数字作答) 答案 4010.(2015安徽,11,5分)(x 3+1x)7的展开式中x 5的系数是 .(用数字填写答案)答案 3511.(2015广东,9,5分)在(√x -1)4的展开式中,x 的系数为 . 答案 612.(2015天津,12,5分)在(x -14x )6的展开式中,x 2的系数为 . 答案 151613.(2014课标Ⅱ,13,5分)(x+a)10的展开式中,x 7的系数为15,则a= .(用数字填写答案) 答案 1214.(2015四川,11,5分)在(2x-1)5的展开式中,含x 2的项的系数是 (用数字填写答案). 答案 -4015.(2019江苏,22,10分)设(1+x)n=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n,n≥4,n∈N *,已知x 32=2a 2a 4.(1)求n 的值;(2)设(1+√3)n=a+b √3,其中a,b∈N *,求a 2-3b 2的值.解析 本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力.(1)因为(1+x)n=C x 0+C x 1x+C x 2x 2+…+C x x x n,n≥4,所以a 2=C x 2=x (x -1)2,a 3=C x 3=x (x -1)(x -2)6,a 4=C x 4=x (x -1)(x -2)(x -3)24.因为x 32=2a 2a 4, 所以[x (x -1)(x -2)6]2=2×x (x -1)2×x (x -1)(x -2)(x -3)24.解得n=5. (2)由(1)知,n=5.(1+√3)n=(1+√3)5=C 50+C 51√3+C 52(√3)2+C 53(√3)3+C 54(√3)4+C 55(√3)5=a+b √3.解法一:因为a,b∈N *,所以a=C 50+3C 52+9C 54=76,b=C 51+3C 53+9C 55=44,从而a 2-3b 2=762-3×442=-32.解法二:(1-√3)5=C 50+C 51(-√3)+C 52(-√3)2+C 53(-√3)3+C 54·(-√3)4+C 55(-√3)5=C 50-C 51√3+C 52(√3)2-C 53(√3)3+C 54(√3)4-C 55(√3)5.因为a,b∈N *,所以(1-√3)5=a-b √3.因此a 2-3b 2=(a+b √3)(a-b √3)=(1+√3)5×(1-√3)5=(-2)5=-32.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共45分)1.(2020届山东夏季高考模拟,4)(1x -x )10的展开式中x 4的系数是( ) A.-210 B.-120 C.120 D.210答案 B2.(2020届山西大同开学学情调研,6)若(√x -2x 2)x的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是( ) A.210 B.180C.160D.175答案 B3.(2020届辽宁沈阳东北育才学校10月月考,5)设n=∫π205sin x +cosx)dx,则(x -1x)x的展开式中的常数项为( ) A.20 B.-20C.120D.-120答案 B4.(2020届四川五校联考,6)(3x 3+x 4)(2-1x )8的展开式中x 2的系数为( )A.-1280B.4864C.-4864D.1280答案 A5.(2019安徽蚌埠二模,6)设a∈R,若(x 2+2x )9与(x +x x2)9的二项展开式中的常数项相等,则a=( )A.4B.-4C.2D.-2答案 A6.(2019湖北宜昌模拟,8)若(x-2)5-3x 4=a 0+a 1(x-3)+a 2(x-3)2+a 3(x-3)3+a 4(x-3)4+a 5(x-3)5,则a 3=( ) A.-70 B.28 C.-26 D.40 答案 C7.(2018湖南湘潭三模,9)若(1+x)(1-2x)8=a 0+a 1x+…+a 9x 9,x∈R,则a 1·2+a 2·22+…+a 9·29的值为( ) A.29B.29-1C.39D.39-1答案 D8.(2019广东佛山二模,8)已知(1+x)(x +1x 2)x(n∈N *,n<10)的展开式中没有常数项,则n 的最大值是( ) A.6B.7C.8D.9答案 B9.(2018安徽马鞍山二模,10)二项式(√3x √x 3)x的展开式中只有第11项的二项式系数最大,则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( ) A.3B.5C.6D.7答案 D二、填空题(每小题5分,共10分)10.(2020届广东广州增城9月月考,14)在二项式(√3+x)7的展开式中,常数项是,系数为有理数的项的个数是.答案27√3;411.(2020届安徽江淮十校第一次联考,14)已知(x+1)(2x+a)5的展开式中各项系数和为2,则其展开式中含x2项的系数是.答案-30。
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第二节 二项式定理及其应用考点一 二项展开式中项的系数1．(2015·新课标全国Ⅰ，10)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10B ．20C ．30D ．60解析 T k ＋1＝C k 5(x 2＋x )5－k y k ，∴k ＝2. ∴C 25(x 2＋x )3y 2的第r ＋1项为C 25C r 3x 2(3－r )x r y 2，∴2(3－r )＋r ＝5，解得r ＝1，∴x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.答案 C2．(2014·四川，2)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30B ．20C ．15D ．10解析 只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15，故选C. 答案 C3．(2014·湖南，4)⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( )A ．－20B ．－5C ．5D ．20解析 展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(12x )5－k ·(－2y )k ＝(－1)k ·22k －5C k 5x 5－k ·y k，令5－k ＝2，得k ＝3.则展开式中x 2y 3的系数为(－1)3·22×3－5C 35＝－20，故选A. 答案 A4．(2013·新课标全国Ⅱ，5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1解析 已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为C 25＋a ·C 15＝5，解得a ＝－1，故选D. 答案 D5．(2012·湖北，5)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0B ．1C ．11D ．12解析 由于51＝52－1，(52－1)2 012＝C 02 012522 012－C 12 012522 011＋…－C 2 0112 012521＋1，所以只需1＋a 能被13整除，0≤a <13，所以a ＝12，选D. 答案 D6．(2015·北京，9)在(2＋x )5的展开式中，x 3的系数为________(用数字作答)．解析 展开式通项为：T r ＋1＝C r 525－r x r ，∴当r ＝3时，系数为C 35·25－3＝40. 答案 407．(2015·天津，12)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________．解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－14r x 6－2r ； 当6－2r ＝2时，r ＝2，所以x 2的系数为 C 26⎝⎛⎭⎪⎫－142＝1516.答案 15168．(2014·新课标全国Ⅰ，13)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________(用数字填写答案)．解析 由二项展开式公式可知，含x 2y 7的项可表示为x ·C 78xy 7－y ·C 68x 2y 6，故(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为C 78－C 68＝C 18－C 28＝8－28＝－20.答案 －209．(2014·新课标全国Ⅱ，13)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________(用数字作答)．解析 T r ＋1＝C r 10x 10－r a r ，令10－r ＝7，得r ＝3，∴C 310a 3＝15，即10×9×83×2×1a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12. 答案 1210．(2013·四川，11)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________(用数字作答)．解析 设二项式(x ＋y )5的展开式的通项公式为T r ＋1，则T r ＋1＝C r 5x5－r·y r ，令r ＝3，则含x 2y 3的项的系数是C 35＝10.答案 1011．(2012·浙江，14)若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________. 解析 由等式两边对应项系数相等，即⎩⎨⎧a 5＝1，C 45a 5＋a 4＝0，C 35a 5＋C 34a 4＋a 3＝0⇒a 3＝10.答案 10考点二 二项展开式中的常数项1．(2015·湖南，6)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( )A. 3B ．－ 3C ．6D ．－6解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式通项T r ＋1＝C r 5x 5－r 2(－1)r a r ·x －r 2＝(－1)r a r C r 5x 52－r ，令52－r ＝32，则r ＝1，∴T 2＝－a C 15x 32，∴－a C 15＝30，∴a ＝－6，故选D. 答案 D2．(2013·辽宁，7)使得⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7解析 展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n (3x )n －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x k ＝C k n3n －kxn －5k 2.由n －5k 2＝0得n ＝5k2，所以当k ＝2时，n 有最小值5，选B. 答案 B3．(2013·陕西，8)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0.则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( ) A ．－20B ．20C ．－15D ．15解析 当x >0时，f [f (x )]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 6的展开式中，常数项为C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(－x )3＝－20.所以选A. 答案 A4．(2012·重庆，4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为( ) A.3516B.358C.354 D ．105解析 二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 8(x )8－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12k C k 8x 4－k，令4－k ＝0，解得k ＝4，所以T 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 48＝358，故选B.答案 B5．(2013·浙江，11)设二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________.解析 二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·x 5－r 2·(－1)r·x －r 3＝(－1)r ·C r 5·x 15－5r 6.令15－5r6＝0，解得r ＝3，故展开式的常数项为－C 35＝－10，故A 为－10. 答案 －10考点三 二项式定理的综合应用1．(2015·陕西，4)二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( ) A ．4B ．5C ．6D ．7解析由题意易得：C n －2n ＝15，C n －2n ＝C 2n ＝15，即n （n －1）2＝15，解得n ＝6.答案 C2．(2014·湖北，2)若二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( ) A ．2 B.54C ．1D.24解析T r ＋1＝C r 7·(2x )7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r＝27－r C r 7a r ·1x2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a ＝1，故选C. 答案 C3．(2014·浙江，5)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( ) A ．45B ．60C ．120D ．210解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 34＝4，故选C. 答案 C4．(2014·安徽，13)设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0，1，2)的位置如图所示，则a ＝________． 解析 根据题意知a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4，结合二项式定理得⎩⎪⎨⎪⎧C 1n ·1a ＝3，C 2n ·1a 2＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧n －1＝83a ，n ＝3a ，解得a ＝3. 答案 35．(2014·山东，14)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________． 解析T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r＝C r 6a6－r b r x 12－3r，令12－3r ＝3，则r ＝3. ∴C 36a 3b 3＝20，即ab ＝1.∴a 2＋b 2≥2ab ＝2， 即a 2＋b 2的最小值为2. 答案 26．(2014·大纲全国，13)⎝ ⎛⎭⎪⎫ x y －y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________(用数字作答)． 解析T r ＋1＝C r 8·⎝⎛⎭⎪⎫x y 8－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－y x r＝(－1)r ·C r 8·x16－3r 2·y 3r －82，令⎩⎪⎨⎪⎧16－3r 2＝2，3r －82＝2，得r ＝4.所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4·C 48＝70. 答案 70。