三角函数考点定位

【考点定位】2014考纲解读和近几年考点分布2013考纲解读考纲原文:三角函数（1）任意角的概念、弧度制①了解任意角的概念.②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.（2）三角函数①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.②能利用单位圆中的三角函数线推导出，π±的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出的图像，了解三角函数的周期性.③理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴交点等）.理解正切函数在区间（）内的单调性.④理解同角三角函数的基本关系式：⑤了解函数的物理意义；能画出的图像，了解参数对函数图像变化的影响.⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.三角恒等变换（1）和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.（2）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.解三角形（1）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（2）应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1.任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r>0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝______，cosα＝______，tanα＝______，它们都是以角为__________，以比值为__________的函数.三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦2.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：__________________________.(2)商数关系：__________________________.3.六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦余弦正切口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限4.“五点法”作图原理在确定正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是________、__________、__________、__________、__________.余弦函数呢？用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点.如下表所示.xωx＋φsinxA sin(ωx＋φ)0A0－A05.三角函数的图象和性质函数性质y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x定义域图象值域R 对称性对称轴：______________；对称中心：__________对称轴：____________；对称中心：________________对称中心：__________________________周期单调性单调增区间____________；单调减区间______________________单调增区间_____________________；单调减区间______________单调增区间___________奇偶性6.一般地对于函数f (x )，如果存在一个非零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期).函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0且为常数)的周期T ＝2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期T ＝πω.7.函数y ＝sin x 的图象到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象8.当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做________，T ＝2πω叫做________，f ＝1T叫做________，ωx ＋φ叫做________，φ叫做________.9.三角函数公式1.cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C α－β)cos(α＋β)＝(C α＋β)sin(α－β)＝(S α－β)sin(α＋β)＝(S α＋β)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T α－β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T α＋β)前面4个公式对任意的α，β都成立，而后面两个公式成立的条件是α≠k π＋π2，β≠k π＋π2，k ∈Z ，且α＋β≠k π＋π2(T α＋β需满足)，α－β≠k π＋π2(T α－β需满足)k ∈Z 时成立，否则是不成立的.当tanα、tan β或tan(α±β)的值不存在时，不能使用公式T α±β处理有关问题，应改用诱导公式或其它方法来解.2.二倍角公式sin 2α＝______________；cos 2α＝________________＝____________＝______________；tan 2α＝______________.3.在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等.如T α±β可变形为：tan α±tan β＝______________________，tan αtan β＝________________＝________________.4.函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝______________或f (α)＝________________，其中φ可由a ，b 的值唯一确定.1.正弦定理：________＝________＝________＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝______________；(2)a ＝__________，b ＝____________，c ＝__________；(3)sin A ＝__________，sin B ＝________，sin C ＝________等形式，以解决不同的三角形问题.2.余弦定理：a 2＝________________，b 2＝________________，c 2＝____________________.余弦定理可以变形为：cos A ＝________________，cos B ＝__________________，cos C ＝________________.3.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题.解三角形时，三角形解的个数的判断在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解3.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等；(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②).(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.【考点pk 】名师考点透析考点一三角函数的定义和公式的简单应用例1：若)2sin()tan()2cos()sin(απαπαπαπ+---=33-，且()πα,0∈.求（1）ααααsin cos sin cos +-；（2）ααα2cos cos sin 1+-的值．例2：已知tan 2α=2，则6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值为．考点二有关三角函数的性质问题例3：已知函数2()23sin cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（Ⅱ）若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值。

例4：设函数()sin cos f x m x x =+()x R ∈的图象经过点π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，1．（Ⅰ）求()y f x =的解析式，并求函数的最小正周期和单调递增区间（Ⅱ）若()2sin 12f A π=，其中A 是面积为332的锐角ABC ∆的内角，且2AB =，求AC 和BC 的长．例5：已知函数()sin()sin()cos (,)66f x x x x a a R a ππ=++-++∈为常数.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；(Ⅱ)若函数()f x 在[-2π，2π]上的最大值与最小值之和为3，求实数a 的值.考点三三角函数的图象变换例6：为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（）（A ）向左平移4π个长度单位（B）向右平移4π个长度单位（C）向左平移2π个长度单位（D）向右平移2π个长度单位例7：已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如下图所示：（1）求函数)(x f 的解析式并写出其所有对称中心；（2）若)(x g 的图象与)(x f 的图象关于点P （4，0）对称，求)(x g 的单调递增区间．考点四三角恒等变换例8：cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（）A．12B．33C．22D．32例9：23sin 702cos 10-=-（）A．12B．22C．2D．32例10：求值：0000cos 40sin 50(13tan10)sin 701cos 40++︒+例11：已知(0,)2πα∈,(,)2πβπ∈,7cos 29β=-,7sin()9αβ+=(Ⅰ)求cos β的值；(Ⅱ)求sin α的值.考点五解三角形及实际应用例12：在成且已知的对边分别为角中c b a B c b a C B A ABC ,,,135sin ,,,,,,=∆等比数列。