创新大课堂高三人教版数学理科一轮复习课件选修4-1相似三角形的判定及有关性质
2015高考数学一轮课件：选修4-1-1相似三角形的判定及有关性质
1.从近几年考查本部分的省市试题可以发现，截平行线成比 例一直是高考的热点．
2．命题切入点：平行截割成比例是实践和证明的基础．
第四页，编辑于星期五：十三点 五十五分。
由于该部分内容为选考部分，而且各省市考试方案不尽相 同，因此命题形式既有选择题又有填空题，还有解答题，并且可 以依据考生的意愿选择其一作答，试题难度较小．
第十八页，编辑于星期五：十三点 五十五分。
[方法·规律] (1)一般有平行的条件可考虑用平行线分线段 成比例定理或推论，也可以考虑用线段替换等方法．
(2)在此题中，DDEF是AACB与EFGH的公共比，公共比的形式大多数 是两个或两个以上的比例式都具有的一个共同的比，这种方法在 证明题中经常用到．
[正解] B
第三十五页，编辑于星期五：十三点 五十五分。
分类不当、考虑不全致误 【例 2】 已知 AD 是△ABC 的 BC 边上的高，若 AD2＝ BD·CD，则△ABC 的形状是________． [剖析] 我们知道：在直角三角形中，斜边上的高是两直角 边在斜边上的射影的比例中项．反之，因三角形的一边上的高可 能在三角形外，因此，原定理的逆命题是不成立的，即题中△ABC 不一定是直角三角形．
第二十三页，编辑于星期五：十三点 五十五分。
[方法·规律] 判定三角形相似时，首先找出两个三角形中已 经具备了哪些已知条件，再通过推理推出隐含的条件，最后选择 相似三角形的判定方法作出判定即可．
第二十四页，编辑于星期五：十三点 五十五分。
[变式 2] 已知如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， CD⊥AB，E 为 AC 的中点，ED、CB 延长线交于一点 F.
即
x2x－12＋12x22＝12，
∴x2x－2 1＋x44＝1.
选修4-1第一讲相似三角形的判断及有关性质 公开课一等奖课件
E
E
D
A
B
C
C
B
判定定理1 对于任意两个三角形,如果一个三
角形的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等,那么这两个三角形相似.
简述:两角对应相等,两三角形相似
,如图,在△ABC和△A B C 中,∠A =∠A , ∠B =∠B , 求证:△ABC∽△A B C
A
A
D B
E
B
C
C
证明:在△ABC的边AB(或AB的延长线)上,截
选修4 -1 几何证明选讲
三 相似三角形的判定和有关性质
选修4 -1 几何证明选讲
三 相似三角形的判定和有关性质
复习
如果一组平行线在一条直线上截 得的线段相等 ,那么在其他直线上截 得的线段也相等. 推论1 经过三角形一边的中点与另一 边平行的直线 ,必平分第三边 . 推论2 经过梯形一腰的中点 ,且与底 边平行的直线平分另一腰 .
BD =144,AB =169,AC =65,BC =156
2.(2007广州一模)如以下图 ,圆O上
一点C在直径AB上的射影为D ,CD =4 ,BD =8 ,那么圆O的半径等于
B
__5___．
C OD A
例2 △ABC中 ,顶点C在AB边上的射影为D ,且
CD²=AD·DB 求证： △ABC是直角三角形 .
- - -近几年全国（高|考）状元荟萃
前言
（高|考）状元是一个特殊的群体 ,在 许多人的眼中 ,他们就如浩瀚宇宙里璀璨 夺目的星星那样遥不可及 .但实际上他们 和我们每一个同学都一样平凡而普通 ,但 他们有是不平凡不普通的 ,他们的不平凡 之处就是在学习方面有一些独到的个性 , 又有着一些共性 ,而这些对在校的同学尤 其是将参加（高|考）的同学都有一定的 借鉴意义 .
《相似三角形的判定》课件3(人教A版选修4-1)
相似.
与△DCE是否相似?说明理由.
A F
E
D
B
C
4、已知：如图，BD、CE是△ABC的高，
试说明 △ADE∽△ABC。
A E
D
B
C
相似三角形的判定方法
平行于三角形一边的直线与其他两边
(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角 形相似;
三边对应成比例,两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形
A
B`
C`
∵A`B`:AB=A`C`:AC ∴ AD:AB=AE:AC ∴DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴△A`B`C`∽△ABC
B
D
E
C
相似三角形的识别
如果一个三角形的两条边与另一个三角形 的两条边对应成比例，并且夹角相等，那 么这两个三角形相似 。
A
B
C
A′
AB AC A = A' A' B ' A'C '
B D A
E
A = A
如果一个三角形的两条 边与另一个三角形的两 条边对应成比例，并且 夹角相等，那么这两个 三角形一定相似吗？
• 已知:如图△ABC和△A`B`C`中,∠A＝∠A` , •
∠A` ,A`B`:AB=A`C`:AC. 求证:△ABC∽△A`B`C`
A`
证明:在△ABC的边AB、AC(或它们的延长线) 上分别截取AD=A`B`,AE=A`C`,连结DE. ∠A=∠A`, 这样,△ADE≌△A`B`C`.
相 似 三 角 形 的 判 定
判断两个三角形相似,你有哪些方法 方法1：通过定义（不常用）
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：通过平行线。 方法3：三边对应成比例。
高考数学一轮总复习 第1节 相似三角形的判定及有关性质课件(选修4-1)
[答案] 24
【考向互动探究】 考向一 平行线截割定理及应用
[例 1] 如图△ABC 中，D 为 BC 的中 点，E 在 CA 上且 AE＝2CE，AD，BE 交于 F，则FADF＝________，BEFF＝________.
思路点拨 观察图形结构特征，可取 BE 的中点构造中位 线，从而得到成比例线段，求得结论．
选修4-1 几何证明(选讲)
第1节 相似三角形的判定及有关 性质
1．了解平行线截割定理． 2．会证明并应用直角三角形射影定理．
【考点自主回扣】
[要点梳理] 1．平行线截割定理及应用 (1)平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段__相__等___，那么在其 他直线上截得的线段_也__相__等__． (2)平行线等分线段定理的推论 ①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平__分__第__三__边__． ②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线必平__分__另__一__腰__．
[答案]
4
3 2
拓展提高 (1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证 明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线 段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．
(2)平行线分线段成比例定理及推论是证明两条线段相等的 重要依据，特别是在应用推论时，一定要明确哪一条线段平行 于三角形的一边，是否过一边的中点．
3．直角三角形相似的判定定理与射影定理 (1)直角三角形相似的判定定理
定理
内容
判定定理1
如果两个直角三角形__有__一__个___锐__角___对应相 等，那么它们相似
判定定理2
如果两个直角三角形的_两___条__直___角__边___对应成 比例，那么它们相似
高考数学一轮复习 1相似三角形的判定及有关性质课件 文 湘教版选修4-1
a
20
如图，已知在△ABC 中，点 D 是 BC 边上的中 点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE 与 AB 相交于点 E，EC 与 AD 相交于点 F.
(1)求证：△ABC∽△FCD；
【解析】 (2)若 S△FCD＝5，BC＝10，求 DE 的长．． (1)证明：∵DE⊥BC，D 是 BC 边上的中点， ∴EB＝EC，∴∠B＝∠ECD， 又 AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∴△ABC∽△ FCD.
【解析】∵M、N 分别是 AB、BC 中点，
故 MN= 1 AC， 2
∴△MON∽△COA，∴ SMON S MON
MN 2 AC 2
1. 2
【答案】1∶4
a
13
5.如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥CD，若 BC＝3，DE＝2，DF＝1，则 AB 的长为
.
【解析】 由 DE∥BC，
EF∥CD， BC＝3，DE＝2.
FD AD 1
FE 4
又因为 BG=GE，
所以 BF BG GF EF 2GF 6GF 3 .
FE 4GF
4GF 4GF 2
a
17
【变式训练】1.如图，△ABC 中，D 是 BC 的 中点，M 是 AD 上一点，BM、CM 的延长线分 别交 AC、AB 于 F、E. 求证：EF∥BC.
A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】因为 CD 和 BE 是高，可得∠DCA＝∠EBA，所 以△BOD 与△COE，△CAD，△BAE 相似．故选 C. 【答案】C
a
11
3.（2014·广州模拟）如图，已知在 ABCD 中，O1 ，O2 ，O3 为对角线 BD 上三点， 且 BO1 ＝O1 O2 ＝O2 O3 ＝O3 D，连接 AO1 并延长交 BC 于点 E，连接 EO3 并延长交
湖北高三数学理科一轮总复习课件选修4-1相似三角形的判定及其有关性质
所以△ABC∽△CBD.故∠ACB=∠CDB=90° .
基础梳理 自我检测
11
考点基础
自我检测
1
2
3
3.如图,AB 与 CD 相交于点 E,过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线交于点 P,已知∠A=∠C,PD=2DA=2,则 PE= 答案: 6 解析:∵ PE∥BC,∴ ∠C=∠PED. 又∠C=∠A,故∠A=∠PED. 又∠P=∠P,故△PED∽△PAE, 则
考点基础
基础梳理
1
2
3
1.平行线分线段成比例定理 (1)定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. (2)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得 的对应线段成比例.
基础梳理
自我检测
考点基础
基础梳理
1
2
3
2.相似三角形的判定及性质 (1)相似三角形的判定 ①定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似 三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数). ②预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线) 相交,所构成的三角形与原三角形相似. ③判定定理 1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一 个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等, 两三角形相似. ④判定定理 2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个 三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为: 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
=
因为 KF∥HB, 同理可得
KO 故 KE
题型一
KF KO
=
HB . HA
2
=
KF ,即 KO
高考数学一轮复习 几何证明选讲 第1课时 相似三角形的判定及有关性质课件 理(选修41)
另一腰．
平分
• 2．平行线分线段成比例定理 • 三条平行线截两条直线，所得的___对__应线段成比例． • 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长
线)所得的对应线段成_______． • 3．相似三角形的判定 比例 • 判定定理1：两角对应_____，两三角形相似． • 判定定理2：两边对应___相__等___且夹角______，两三角形相 • 似判．定定理3：三边对应___成__比__例_，两三角形相相等似．
【解析】 (1)证明：∵OE∥BC， ∴AAEB＝AAOC.又∠BAC＝∠CAB，∴△EAO∽△BAC. ∴OBCE＝AAEB，同理OBCF＝DDCF. ∵AD∥EF∥BC，∴AABE＝DDCF，∴OBCE＝OBCF. ∴OE＝OF.
(2)∵OE∥AD，∴BBOD＝BBEA，∴△EBO∽△ABD. ∴OADE＝BBOD，同理OBCE＝AAOC. 又 AD∥BC，∴BBOD＝CAOC，∴OADE＋OBCE＝CAOC＋AAOC＝1. • 【答案】 (1)略 (2)1
• 答案 6
解析 由直角三角形射影定理，得 AC2＝AD·AB. ∴AB＝AACD2＝422＝8，∴BD＝AB－AD＝8－2＝6.
授人以渔
题型一 平行线分线成比例
例1 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，EF 经过梯形对角线 的交点 O，且 EF∥AD. (1)求证：OE＝OF； (2)求OADE＋OBCE的值．
即6－3x＝3
x
，所以 3
x2－6x＋9＝0，解得
x＝3.
(2)若△ADP∽△BCP，则ABDC＝BAPP，
即 3
33＝6－x x，解得 x＝23.
一轮复习配套讲义：选修4-1 第1讲 相似三角形的判定及有关性质
第1讲相似三角形的判定及有关性质[最新考纲]了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．知识梳理1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似．②两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似．③三边对应成比例的两个三角形相似．(2)相似三角形的性质定理①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，则有CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.诊断自测1. 如图，已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝32，则B′C′＝________.解析由平行线等分线段定理可直接得到答案．答案3 22.如图，△ABC∽△AFE，EF＝8，且△ABC与△AFE的相似比是3∶2，则BC 等于________．解析∵△ABC∽△AFE，∴BC EF ＝3 2.又EF＝8，∴BC＝12.答案123. (2014·揭阳模拟)如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则EC ＝________.解析在Rt△ADB中，DB＝AB2－AD2＝7，依题意得，△ADB∽△ACE，∴DB EC ＝AD AC ，可得EC ＝DB ·ACAD ＝27. 答案 274.如图，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 是AB 中点，DE ⊥AB 于E ，则△ADE 与△ABC 的相似比是________．解析 ∵E 为AB 中点，∴AE AB ＝12，即AE ＝12AB ，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝32AB ，又∵Rt △AED ∽Rt △ACB ，∴相似比为AE AC ＝13.故△ADE 与△ABC 的相似比为1∶ 3.答案 1∶ 35. (2014·湛江模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交于BC 于F ，则BFFC ＝________.解析 如图，过点D 作DG ∥AF ，交BC 于点G ，易得FG ＝GC ，又在△BDG 中，BE ＝DE ，即EF 为△BDG 的中位线，故BF ＝FG ，因此BF FC ＝12.答案12考点一平行截割定理的应用【例1】如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧DE∥BC，EF∥CD，BC＝3，DE＝2⇒AEAC＝AFAD＝DEBC＝23，又DF＝1，故可解得AF＝2，∴AD＝3，又ADAB＝23，∴AB＝92.答案92规律方法利用平行截割定理解决问题，特别注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果．【训练1】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2.E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．解析如图，延长AD，BC交于一点O，作OH⊥AB于点H.∴xx＋h1＝23，得x＝2h1，x＋h1x＋h1＋h2＝34，得h1＝h2.∴S 梯形ABFE ＝12×(3＋4)×h 2＝72h 2， S 梯形EFCD ＝12×(2＋3)×h 1＝52h 1， ∴S 梯形ABFE ∶S 梯形EFCD ＝7∶5. 答案 7∶5考点二 相似三角形的判定及性质【例2】 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，E 为AC 的中点， ED 、CB 延长线交于一点F . 求证：FD 2＝FB ·FC .证明 ∵E 是Rt △ACD 斜边中点， ∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠1， ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A ，∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ，∴∠FBD ＝∠FDC ，∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ， ∴FB FD ＝FDFC ，∴FD 2＝FB ·FC .规律方法 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等． 【训练2】 (2013·陕西卷)如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.解析 ∵PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ，又∠C ＝∠A ，则有∠A ＝∠PED ，又∠为公共角，所以△PDE∽△PEA，PD PE＝PEP A，即PE2＝PD·P A＝2×3＝6，故PE＝ 6.答案 6考点三直角三角形射影定理及其应用【例3】如图所示，AD、BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD 交BE于点G，交AC的延长线于H，求证：DF2＝GF·HF.证明∵∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝90°，∴∠H＝∠GBF.∵∠AFH＝∠GFB＝90°，∴△AFH∽△GFB.∴HFBF＝AFGF，∴AF·BF＝GF·HF.因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，∴DF2＝AF·BF，所以DF2＝GF·HF.规律方法(1)在使用直角三角形射影定理时，要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．(2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用的方法．【训练3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝4，sin∠ACD＝45，则CD＝______，BC＝______.解析在Rt△ADC中，AD＝4，sin∠ACD＝ADAC＝45，得AC＝5，CD＝AC2－AD2＝3，又由射影定理AC 2＝AD ·AB ，得AB ＝AC 2AD ＝254.∴BD ＝AB －AD ＝254－4＝94，由射影定理BC 2＝BD ·AB ＝94×254，∴BC ＝154.答案 3 154三角形相似与圆的交汇问题【典例】 如图所示，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E ，证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .[审题视点] (1)根据待证等式可将各边回归到△ACB ，△DAB 中，再证两三角形相似；(2)本问可先证明△EAD ∽△ABD ，再结合第(1)问结论得证． 证明 (1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB . 从而AC AD ＝AB BD ， 即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD .又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD . 从而AE AB ＝ADBD ，即AE ·BD ＝AD ·AB . 综合(1)的结论知，AC ＝AE .[反思感悟] 1.易失分点：(1)证明本题第(2)问时，想不到证明△EAD ∽△ABD ，从而无法解答．(2)证明本题第(2)问时，没有应用第(1)问的结论从而无法证明结论成立． 2．防范措施：(1)证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．(2)在有多个结论的题目中，如果结论带有普遍性，已经证明的结论，可作为证明下一个结论成立的条件使用． 【自主体验】(2013·江苏卷)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .求证：AC ＝2AD证明 连接OD ，因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ， 所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ， 所以Rt △ADO ∽Rt △ACB . 所以AD AC ＝OD BC . 又BC ＝2OC ＝2OD ， 故AC ＝2AD .一、填空题1．如图，BD ，CE 是△ABC 的高，BD ，CE 交于F ，写出图中所有与△ACE 相似的三角形为________．解析 由Rt △ACE 与Rt △FCD 和Rt △ABD 各共一个锐角，因而它们均相似，又易知∠BFE ＝∠A ，故Rt △ACE ∽Rt △FBE . 答案 △FCD 、△FBE 、△ABD 2.(2014·西安模拟)如图，在△ABC 中，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，AN ，CM 交于点O ，那么△MON 与△AOC 面积的比是________． 解析 ∵M ，N 分别是AB 、BC 中点，故MN 綉12AC ， ∴△MON ∽△COA ，∴S △MON S △AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫MN AC 2＝14.答案 1∶4 3.(2014·渭南模拟)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________.解析 由于∠ACD ＝∠AEB ＝90°，∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝AE AC . 又AC ＝4，AD ＝12，AB ＝6，∴AE ＝AB ·AC AD ＝6×412＝2.答案 24.(2014·佛山质检)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝a2，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.解析连接DE和BD，依题知，EB∥DC，EB＝DC＝a2，CB⊥AB，∴EBCD为矩形，∴DE⊥AB，又E是AB的中点，所以△ABD为等腰三角形．故AD＝DB＝a，∵E，F分别是AD，AB的中点，∴EF＝12DB＝1 2a.答案a 25．已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD＞BD)，若CD＝6，则AD＝________.解析如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.设AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD＞BD，∴AD＝9.答案96．(2013·广东卷)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED ＝________.解析 在Rt △ABC 中，BC ＝3，AB ＝3，所以∠BAC ＝60°.因为BE ⊥AC ，AB ＝3，所以AE ＝32，在△EAD 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3，由余弦定理知，ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD ·cos ∠EAD ＝34＋9－2×32×3×32＝214，故ED ＝212.答案2127.(2014·茂名模拟)如图，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB ＝4，CD ＝12，则EF ＝________. 解析 ∵AB ∥CD ∥EF ，∴AB EF ＝BC CF ，BC BF ＝CD EF ，∴4EF ＝BC BC －BF，BC BF ＝12EF ， ∴4(BC －BF )＝12BF ，∴BC ＝4BF ，∴BC BF ＝4＝12EF ，∴EF ＝3.答案 38.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于O ，过O 的直线分别交AB 、CD 于E 、F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，则EF ＝________.解析∵EF∥AD∥BC，∴△OAD∽△OCB，OA∶OC＝AD∶BC＝12∶20，△OAE∽△CAB，OE∶BC＝OA∶CA＝12∶32，∴EF＝2×1232×20＝15.答案159．(2012·广东卷)如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC ＝30°，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则P A＝________.解析连接AO，AC，因为∠ABC＝30°，所以∠CAP＝30°，∠AOC＝60°，△AOC 为等边三角形，则∠ACP＝120°，∴∠APC＝30°，∴△ACP为等腰三角形，且AC＝CP＝1，∴P A＝2×1×sin 60°＝ 3.答案 3二、解答题10.如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.证明(1)因为AC＝BD，所以∠ABC＝∠BCD.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BCBE＝CDBC，即BC2＝BE·CD.11．(2013·辽宁卷)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.证明(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝π2；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π2.从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.同理可证Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.12.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E，求证：(1)△ABC≌△DCB；(2)DE·DC＝AE·BD.证明(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD.∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB.(2)∵△ABC≌△DCB.∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB.∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC. ∴∠DAC＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB.∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC.∴∠EDA＝∠DBC，∴△ADE∽△CBD.∴DE∶BD＝AE∶CD.∴DE·DC＝AE·BD.。
人教版高中数学选修4-1第1讲 相似三角形的判定及有关性质 第1节ppt课件
∴DE∥CA．
∵D是BC的中点，∴E是AB的中点， ∴AB＝2CE.
课堂学案
平行线等分线段定理的应用
• 求作任一线段AB的五等分点(尺寸自定)． • [思路点拨] 根据平行线等分线段定理，需要构造定
理的基本图形，进行作图，这里要注意平行线组要
第一 讲
相似三角形的判定 及有关性
•第一节 平行线等分线段定理
目标定位
• 1．由观察或测量得到关于平行线等分线段定理的猜 想，进而进行证明．
• 2．灵活掌握并运用平行线等分线段定理及其推论．
[特别关注]
• 1．对平行线等分线段定理及其推论的考查(重点)．
• 2．本课考查题目形式多样，侧重于有关计算与证明 (难点)
∴AF＝13AC．
平行线等分线段定理推论2的运用
• 如图所示，梯形ABCD中， AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°， BC＝AB，E为AB的中点．
• 求证：△ECD为等边三角形．
[思路点拨] 证明AD∥EF∥BC ―推―论→2 F是DC中点 中―定垂 ―理→线
ED＝EC ―→ △ABC为等边三角形 ―→ △ECD为等边三角形
• [规律方法] 此类问题往往涉及平行线等分线段定理 的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或 平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达 到求解的结果．
2.如图，已知 AD 是三角形 ABC 的中线，E 为 AD 的中点， BE 的延长线交 AC 于 F.
求证：AF＝13AC．
证明： 过 D 作 DH∥BF 交 AC 于 H， ∵BD＝CD，DH∥BF，∴FH＝CH. 同理：AF＝FH. ∴AF＝FH＝CH，
高考一轮数学复习理科课件(人教版)选修4-1 几何证明选讲 第1课时 相似三角形的判定及有关性质
高考调研
高三数学（新课标版·理）
探究 1 本题主要考查平行线分线段成比例定理的 应用．解题关键是通过作辅助线，发现其中的平行关系进 行推理求解．另外，本题还可以过 D 点作 BE 的平行线进 行推理求解．
选考部分 选修系列4
高考调研
高三数学（新课标版·理）
思考题 1 如图，已知 M、N 分别是▱ABCD 的边 AB、 边 CD 的中点，CM 交 BD 于点 E，AN 交 BD 于点 F.请你 探讨 BE、EF、FD 三条线段之间的关系，并给出证明．
(2)(2012·苏北四市调研)如图，在△ABC 中，D 是 AC 中点，E 是 BD 三等分点，AE 的延长线交 BC 于 F，求
S△BEF 的值． S四边形DEFC
选考部分 选修系列4
高考调研 【解析】
高三数学（新课标版·理）
过 D 点作 DM∥AF 交 BC 于点 M，则BBMF ＝BBDE＝13.
选考部分 选修系列4
高考调研
高三数学（新课标版·理）
探究 3 (1)应用射影定理有两个条件：一是直角三角 形；二是斜边上的高；
(2)应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有 关量；
(3)利用直角三角形的射影定理可证明有关命题．
选考部分 选修系列4
高考调研 思考题 3
高三数学（新课标版·理）
如图 AC 为⊙O 的直径，BD⊥AC 于 P，PC＝2，PA ＝8，则 CD 的长为________，cos∠ACB＝________.
选考部分 选修系列4
高考调研
高三数学（新课标版·理）
3．相似三角形的判定 判定定理 1：两对应角__相_等 ___，两三角形相似． 判定定理 2：两边对应_成__比__例____且夹角_相__等___，两 三角形相似． 判定定理 3：三边对应 成比例 ，两三角形相似．
人教版高中数学选修4-1--几何证明选讲-第一讲--相似三角形的判定及有关性质ppt课件
[证明] 四边形ABCD是平行四边形, AD BC, AB DC, AD BC. AD BC, DG AD DF BC AD .又 AB DC, , EG EC DE EC EC DG DF , 即DG DE DF EG. EG DE
[反思感悟] 在有关比例问题的证明中,要结合平行线分线段成比例定理,构造平行 线解决.平行线分线段成比例定理是几何选讲的基础内容,要熟练掌握.
2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比 例. 3.相似三角形的性质定理:相似三角形对应高的比､对应中线的比､对应角平分线的 比都等于相似比; 相似三角形周长的比､外接圆的直径比､外接圆的周长比都等于相似比;
DM DE EDM∽ FBM, . 2 BM BF F是BC的中点, DE 2BF. DM 2BM , 1 BM DB 3. 3
[反思感悟] 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理,若题目 条件涉及平行线可选择判定定理1或判定定理2.
类型三
射影定理及应用
[分析] 本题中有多处垂直关系,要注意直角三角形射影定理的合理应用.
[分析] 1 可由已知条件证DE DM DE , 又因为 2 由1 可得 BM BF 1 DE：BF 2, 故BM DB. 3
CB;
[解] 1)证明:∵E是AB的中点, ∴AB=2EB. ∵AB=2CD,∴CD=EB 又AB∥CD, ∴四边形CBED是平行四边形. ∴CB∥DE,∴△EDM∽△FBM.
解题准备:直角三角形的射影定理是相似三角形性质在直角三角形中的应用,在直 角三角形中,灵活利用射影定理,可简化某些命题的证明和线段的计算. 特别提醒:应用射影定理有两个前提条件:①是直角三角形;②是斜边上的高线.
人教版高中数学选修4-1课件 《第一讲-相似三角形的判定及有关性质》小结
1
第一讲：小结
2
知识结构
3
基础知识归纳 1.平行线等分线段定理 (1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那 么在其他直线(与这组平行线相交)上截得的线段也相等． 推论1：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线必平分 第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一 腰．
12
5．直角三角形的射影定理 (1)射影的概念 从一点向一条直线作垂线，垂足称作这点在这条直线上的正 射影，简称射影． 一条线段在一条直线上的射影就是线段的两个端点在这条直 线上的射影间的线段．
13
(2)直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中 项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.
8
(3)相似三角形的判定定理 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角 与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似．即：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和 另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三 角形相似．即：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
24
【证明】 延长CK，BA相交于H. ∵KO∥HB，∴KHOB＝DDHK. ∴HKEA＝DDHK，∴KHOB＝HKEA. 即KKOE＝HHBA. ∵KF∥HB，KHOA＝CCHK，HKFB＝CCHK， ∴KHOA＝HKFB，即KKOF＝HHBA.
25
∴KKOE＝KKOF. 即KO2＝KE·KF.
AM AB
＝x，S△MBN＝y.求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值
范围．
16
【解】 因为MN∥BC，所以△AMN∽△ABC， 所以SS△△AAMBCN＝AAMB 2，即S△5AMN＝x2，S△AMN＝5x2， 因为SS△△MAMBNN＝ABMM＝ABA－MAM＝AAMB －1＝1x－1， 所以S△MBN＝1x－1S△AMN＝1x－15x2＝－5x2＋5x. 所以y＝－5x2＋5x(0<x<1)．
2015高三人教版数学一轮复习课件：选修4-1 第1节 相似三角形的判定及有关性质
如图，由射影定理得 CD2＝AD·BD＝8. 则 CD＝2 2.
第三十七页，编辑于星期五：十二点 五分。
选修4-1 几何证明选讲
在 Rt△OCD 中，
DE＝ODO·CCD＝1×32
2＝2
3
2 .
则 CE＝ DC2－DE2＝
8－98＝83，
EO＝OC－CE＝3－83＝13.
8 因此ECOE＝31＝8.
第三十五页，编辑于星期五：十二点 五分。
选修4-1 几何证明选讲 (2)(2013·湖北高考)如图，圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D， 点 D 在半径 OC 上的射影为 E.若 AB＝3AD，则ECOE的值为________．
第三十六页，编辑于星期五：十二点 五分。
选修4-1 几何证明选讲 解析 设 AD＝2，则 AB＝6，于是 BD＝4，OD＝1.
选修4-1 几何证明选讲
二、平行线分线段成比例定理
定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段
．
推论成：比平例行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长
线)所得的对应线段
．
成比例
第四页，编辑于星期五：十二点 五分。
选修4-1 几何证明选讲
三、相似三角形的判定及性质 1．判定定理
内容 判定定理1 两角 对应相等，两三角形相似 判定定理2 三边 对应成比例，两个三角形相似
推论
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似 比，外接圆的面积比等于 相似比的平方
第六页，编辑于星期五：十二点 五分。
选修4-1 几何证明选讲
四、直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 比例中项 ；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 比例中项 ．
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相似三角形的判定及 • 有关性质
• [主干知识梳理] • 一、平行线等分线段定理 • 如 果一组平行线在一条直线上截得的线 段相等，那么在其他直线上截得的线段也 相等．
• 二、平行线分线段成比例定理 • 定 理：三条平行线截两条直线，所得的 对应线段 ． 成比例 • 推论：平行于三角形一边的直线截其他 两边(或两边的延 长线)所得的对应线 成比例 段 ．
• 3如图，在△ABC中，M、N 分别是AB、BC的中点，AN、 CM交于点O，那么△MON与 △AOC面积的比是 ________．
答案 1∶4
4.已知 a∥b∥c，直线 m、n 分别与直线 a、b、 c 交于点 A、B、C 和点 A′、B′、C′，如 3 果 AB＝BC＝1，A′B′＝ ，则 A′C′＝ 2 ________. 解析 ∵AB＝BC， 3 ∴由平行线等分线段定理，知 B′C′＝A′B′＝ ， 2 3 3 ∴A′C′＝A′B′＋B′C′＝ ＋ ＝3. 2 2 答案 3
[互动探究] DE 3 本例条件“EF＝3”若变为“ ＝ ”试求 EF 的长． EA 4 解析
如图，延长 AD、BC 交于点 P， ∵CD∥AB， PD CD 1 ∴ ＝ ＝ ， PA AB 2
DE 3 DE 3 又∵ ＝ ，∴ ＝ . EA 4 AD 7 PD 7 PD CD ∴ ＝ .又∵ ＝ ， PE 10 PE EF 10 20 ∴EF＝ ×CD＝ . 7 7
[典题导入]
平行线分线段成比例定理的应用
如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD， AB＝4， CD＝2， E， F 分别为 AD， BC 上的点， 且 EF＝3， EF∥AB， 则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为________．
1 [听课记录] 由 CD＝2，AB＝4，EF＝3，得 EF＝ (CD＋AB)，则 2 EF 是梯形 ABCD 的中位线， 则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 有相同的 1 1 高，设为 h，于是两梯形的面积比为 (3＋4)h∶ (2＋3)h＝7∶5. 2 2 答案 7∶5
• •
即BD＝mcos2α，CD＝msin2α. 又∵AD2＝BD·DC＝m2cos2αsin2α，
∴AD＝mcos αsin α. 答案 mcos αsin α
• • • • •
• [关键要点点拨] 1．使用平行线截割定理时要注意对应线段、 对应边对应成比例，对应顺序不能乱． 2．相似三角形判定定理的作用： (1)可以判定两个三角形相似． (2)间接证明角相等、线段长成比例． (3)为计算线段的长度及角的大小创造条 件．
又 PD＝2DA＝2，∴PA＝PD＋DA＝3， ∴PE2＝3×2＝6，∴PE＝ 6. 答案 6
相似三角形的判定及性质
• [典题导入] • (2013· 新课标全国 Ⅱ 高考 ) 如图， CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交 直线 CD 于点 D ， E ， F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F， C四点共圆．
• 5 ． 在 Rt△ABC 中 ， ∠ BAC ＝ 90° ， AD⊥BC，垂足为 D.若BC ＝m，∠B＝α， 则AD长为________． • 解析 由射影定理，得 • AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC， • 即 m2cos2α ＝ BD·m ， m2sin2α ＝ CD·m ，
• •
• [规律方法] • 比例线段常由平行线产生，利用平行线转 移比例是常用的证题技巧，当题中没有平 行线条件而又必须转移比例时，常通过添 加辅助平行线达到转移比例的目的．
• [跟踪训练] • 1 ． (1)(2014· 泉州模拟 ) 如图，要测量的 A 、 C 两点被池塘隔开，李师傅在 AC 外任选一 点 B ，连接 BA 和 BC ，分别取 BA 和 BC 的中 点E、F，量得E、F两点间的距离等于23米， 则A、C两点间的距离为________米．
解析 ∵E，F 分别是 BA 和 BC 的中点， 1 ∴EF∥AC 且 EF＝ AC， 2 ∴AC＝46. 答案 46
(2)(2013· 陕西高考)如图，AB 与 CD 相交 于点 E，过 E 作 BC 的平行2，则 PE＝________. 解析 ∵PE∥BC，∴∠C＝∠PED. 又∠C＝∠A，故∠A＝∠PED. 又∠P＝∠P，故△PED∽△PAE， PE PD 则 ＝ ，∴PE2＝PA· PD. PA PE
• 三、相似三角形的判定及性质 • 1．判定定理
内容
两角
判定定 理1
三边
对应相等，两三角
夹角
形相似 两边
判定定
理2 判定定
对应成比例，两个三
角形相似 对应成比例且
• 2.性质定理 内容 性质 性质 定理2 性质 定理3 相似三角形对应高的比、对应中线 相似比 定理1 的比和对应角平分线的比都等于 相似三角形周长的比等于相似比
解析
AB∥EM∥DC ⇒E 为 AD 中点， AE＝ED
M 为 BC 的中点． 又 EF∥BC⇒EF＝MC＝12 cm， ∴BC＝2MC＝24 cm. 答案 24 cm
• 2．(教材习题改编)如图所示，BD、CE • 是△ ABC 的高， BD 、 CE 交于 F. 写出图 中 • 所 有 与 △ ACE 相 似 的 三 角 形 ____________ • ____． • 解析 由Rt△ACE与Rt△FCD和Rt△ • ABD 各 有 一 个 公 共 锐 角 ， 因 而 它 们 相 似． • 又 易 知 ∠ BFE ＝ ∠ A ， 故
相似比的平方
相似三角形的面积比等于
相似比的平方
相似三角形外接圆的直径比、周长
• 四、直角三角形的射影定理 • 直 角三角形斜边上的高是两直角边在斜 比例中项 边上射影的 • 比例中项 ；两直角边分别是它们在斜 边上射影与斜边的 ．
• [基础自测自评] • 1.( 教材习题改编 ) 如图， AB∥EM∥DC ， AE ＝ ED ， EF∥BC ， EF＝ 12 cm. 则 BC 的 长为________．