遵义专版2019秋九年级数学上册第24章圆24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径习题课件 新
九年级数学上册 第24章 圆 24.1 圆的有关性质(第2课时)垂直于弦的直径
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• 学习重点： 垂径定理及其推论．
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【知识链接，复习(fùxí)准备】
1.在下图中，弦有__________________；
直径(zhíjìng)是_______,半径是__________； 其中，弦AB所对的弧是_____________； 在图中作出
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拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
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【典例精析，经典(jīngdiǎn)同行】
C
A
D
B
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O
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【反思(fǎn sī)总结 ，归纳方法】
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两
_________
变式2：已知⊙O的半径为5cm，圆心 O到AB的距离为3cm，则弦AB的长为
______cm.
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【利用(lìyòng)新知，解决问题】
学案(xuéàn)题组一第4题
4．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直(chuízhí)且相等的
两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边 形 ADOE是正方形．
学案(xuéàn)题组一第5 题
5.如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆(dàyuán)弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
A C DB O
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第24章24.1.2 垂直于弦的直径
24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标【知识与技能】1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度与价值观】1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.【教学难点】垂径定理及其推论.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程（一）导入新课你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（出示课件2）（二）探索新知探究一圆的轴对称性教师问：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（出示课件4）学生通过自己动手操作，归纳出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．出示课件5：教师问：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？学生答：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.思考：如何来证明圆是轴对称图形呢？出示课件6:已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．教师问：此图是轴对称图形吗？学生答：是轴对称图形．教师问：满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？师生共同解答如下：（出示课件7）证明：连结OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.师生进一步认知：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.探究二垂径定理及其推论出示课件8：如图，AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?学生独立思考后口答：线段:AE=BE弧:AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒学生简述理由：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A 与点B重合，AE与BE重合，重合．教师总结归纳：（出示课件9）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE, AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师强调：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（出示课件10）学生独立思考后口答：1图是；2图不是，因为没有垂直；3图是；4图不是，因为CD没有过圆心.教师强调：垂径定理的几个基本图形：（出示课件11）出示课件12：如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？学生思考后教师总结：深化认知：（出示课件13）如图，①CD是直径；②CD⊥AB，垂足为E；③AE=BE；④AC⌒=BC⌒;⑤AD⌒=BD⌒.举例证明其中一种组合方法.学生思考后独立解决，并加以交流，教师加以指导，并举例.（出示课件14）如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？⑵AC⌒与BC⌒相等吗？AD⌒与BD⌒相等吗？为什么？证明：⑴连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，OE=OE∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂径定理可得AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师归纳总结：（出示课件15）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如不能，请举出反例.教师强调：圆的两条直径是互相平分的.出示课件16：例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.学生思考后师生共同解答：连接OA，∵OE⊥AB，巩固练习：（出示课件17）如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.学生自主思考后，独立解答如下：解：连接OA，∵CE⊥AB于D，，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，∴22221068AE OA OE=-=-=cm.1184(cm)22AD AB==⨯=解得x=5，即半径OC的长为5cm.出示课件18：例2 已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：学生思考后师生共同解答.证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）教师强调：平行弦夹的弧相等.师生共同归纳总结：（出示课件19）解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.巩固练习：（出示课件20）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证: 四边形ADOE是正方形．学生独立解答，一生板演.证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四边形ADOE为矩形，AE=12AC,AD=12AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.出示课件21：例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C 是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.∴AD=12OA2=AD2+OD2，R2=18.52+(R-7.23)2，解得R≈27.3.即主桥拱半径约为27.3m.巩固练习:（出示课件23）如图a、b,一弓形弦长为，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______.学生独立思考后解答：如图，分两种情况，弓形的高为5cm或12cm.教师归纳：1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法（出示课件24）在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.2.弓形中重要数量关系弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：⑴d+h=r；⑵2 222ar d⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（三）课堂练习（出示课件25-29）1.2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.3.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .4.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.参考答案：1.C2.5cm3.4.14cm或2cm5.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.6.解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,OE CD ⊥11600300(m)22CF CD ∴==⨯=，根据勾股定理，得222,OC CF OF =+ ()22230090.R R =+- 解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？（五）课前预习预习下节课（24.1.3）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究素质.2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.。
2019年秋九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.3弧、弦、圆心角课件(新版)新人教版
【点悟】 解决圆中有关角相等的问题时，一要注意运用圆的半径都相等这个 隐含条件，二要注意利用同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系进行角与角之 间的转化．
类型之二 弧、弦、圆心角之间的关系的运用 如图 24-1-24，点 A，B，C，D，E，F 是⊙O 的六等分点，连接 AB，
AD，AF.求证：AB＋AF＝AD.
∵ ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°. 又∵OB＝OC，OE⊥BC， ∴∠BOE＝∠COE＝60°，BE＝EC＝12BC＝12AB＝12a，
第 6 题答图
∴∠OBE＝90°－∠BOE＝30°，∴OE＝12OB. 由勾股定理，得 BE2＋OE2＝OB2， ∴12a2＋12OB2＝OB2， 解得 OB＝ 33a(负值已舍)， 即⊙O 的半径为 33a.
图 24-1-30
4．如图 24-1-31，点 A，B，C，D 在⊙O 上，AB＝CD.求证：∠AOC＝∠BOD. 证明：∵AB＝CD，
∴∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB－∠BOC＝ ∠COD－∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD.
图 24-1-31
5．本市新建一座圆形人工湖，为了测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取 A，B，C 三根木柱，使 A，B 之间的距离与 A，C 之间的距离相等，并测得 BC 长 为 120 m，A 到 BC 的距离为 4 m，如图 24-1-32.请你帮他们求出该湖的半径．
4．如图 24-1-28，AB 是⊙O 的直径，如果∠COA＝∠DOB＝60°，那么与线 段 OA 相等的线段有 OC，OD，OB，AC，CD，；D与B 相等的弧有
.
图 24-1-28
分层作业
1．如图 24-1-29，在⊙O 中，点 C 是弧 AB 的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝( A )
2019年秋九年级数学上册 第24章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.1 圆(预习)课件 新
图24－1－2
h
5
此说出圆的形成过程吗？
图24－1－1
通过动画演示，发现在一个平面内一条___线__段___绕它的一个
___端__点___旋转一周，另一个端点形成的图形就是___圆_____．
h
4
24.1.1 圆
2.圆的有关概念 自学课本，讨论圆中相关元素的定义．如图24－1－2，你能
说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？什么是优弧和劣弧？第 Nhomakorabea十四章 圆
24.1 圆的有关性质
h
1
第二十四章 圆
24.1.1 圆
h
2
24.1.1 圆
探究新知
活动1 知识准备
1．圆的半径长为2 cm，则它的直径长为____4____ cm. 2．圆的半径长为3 cm，则它的面积为___2_._9_π__ cm2.
h
3
24.1.1 圆
活动2 教材导学
1.圆的定义 如图24－1－1，观察下列画圆的过程，动手画一个圆，你能由
九年级数学上册 24 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径
( C)
A．10°
B．20°
C．40°
D．80°
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1．(红桥区模拟(mónǐ))如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若OE
＝3，则AB的长是(
A．4
B．6
)C C．8
D．10
2．(牡丹江)如图，在半径为5的⊙O中，AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为(
)
A．3
B．2.5
C
C．4
D．3.5
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3．如图，圆弧形石拱桥的桥顶到水面(shuǐ miàn)的距离CD为6 m，桥拱的半径OC为4 m， 则水面宽AB为( C )
*4.如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是(
)
A．3≤OM≤5 A
平分弦垂直Fra bibliotek条弧．弦所对的两．条弧 ，②__________(不是直径)的
圆心
(yuánxīn) 平分
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知识点一：垂径定理(dìnglǐ)
D
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OC2－OP2＝ 62－42＝2 5
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(淄博)已知⊙O的半径(bànjìng)为10 cm，弦AB∥CD，AB＝12 cm，CD＝16 cm，则AB
8mm ．
9．(普陀区)如图，已知AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE＝BC＝16，求
⊙O的直径．
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第九页，共十四页。
10．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径(zhíjìng)为1 m，其中水面的 宽AB为0.8 m，则排水管内水的深度为多少米？
九年级数学上册 第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角(2)
图（1）
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图（2）
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小结:
1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边(liǎngbiān)都和 圆相交的角叫圆周角.
2.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等,都 等于(děngyú)该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对 的弧相等。
3.半圆(bànyuán)或直径所对的圆周角是直角;90°的圆 周角所对的弦是圆的直径
∴AD=BD.
∴ AD=BD
在Rt△ABD中，设 AD BD x,则
x2x2102 解得x： 5 2
AD BD 52
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1、如图、四边形ABCD内接与圆O，E为CD 延长向上一点(yī diǎn)。∠B=100度，求∠ADE的度数。
A
B
.O
E
D
C
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第四页，共十二页。
二、圆内接多边形：
一个(yī ɡè)多边形各顶点都在同一个(yī ɡè)圆上，那么，
这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这
个多边形的外接圆。
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思考：如图是一个圆内接四边形，圆内接
四边形的对角之间有什么(shén me)关系呢？
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2.练习(liànxí):如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上 的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
D
A
O 40° B
C
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二、能力(nénglì)提升
3、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A的度数(dùshu)。