2020高二数学学业水平考试复习学案(1318)立体几何

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2020高考数学复习专题立体几何教案

第1讲空间几何体空间几何体与三视图1．三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．由三视图还原几何体的步骤一般先由俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体．[典例分析](1)下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线(2)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为( )【解析】(1)A.如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误；B.如图(2)(3)所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故B错误；C.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由过中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；D.根据圆锥母线的定义知，故D正确．故选D.(2)因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，几何体的直观图如图，是以正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为A.【答案】(1)D (2)A(1)判断与几何体结构特征有关问题的技巧把握几何体的结构特征，熟悉空间几何体性质，能够根据条件构建几何模型，从而判断命题的真假，有时也可通过反例对结构特征进行辨析．(2)已知几何体识别三视图的技巧已知几何体画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面的实虚．[针对练习]1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．5解析：选C.由三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥PABCD，易知四棱锥PABCD的四个侧面都是直角三角形，即此几何体各面中直角三角形的个数是4.2．图①是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1截去三棱锥A1AB1D1后得到的几何体，将其绕着棱DD1所在的直线逆时针旋转45°，得到如图②所示的几何体，该几何体的正视图为( )解析：选B.由题意可知，该几何体的正视图是长方形，底面对角线DB 在正视图中的长为2，棱CC 1在正视图中为虚线，D 1A ，B 1A 在正视图中为实线，故该几何体的正视图为B.空间几何体的表面积与体积1．柱体、锥体、台体的侧面积公式(1)S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)；(2)S 锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)； (3)S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)． 2．柱体、锥体、台体的体积公式(1)V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)；(2)V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)； (3)V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S ，S ′分别为上下底面面积，h 为高)(不要求记忆)． [典例分析](1)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm 3)是( )A ．158B ．162C ．182D ．324(2)如图(1)，把棱长为1的正方体沿平面AB 1D 1和平面A 1BC 1截去部分后，得到如图(2)所示几何体，则该几何体的体积为( )A.34B.1724C.23D.12(3)如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为________cm 3，表面积为________cm 2.【解析】 (1)由三视图可知，该几何体是一个直五棱柱，所以其体积V ＝12×(4×3＋2×3＋6×6)×6＝162.故选B .(2)把棱长为1的正方体沿平面AB 1D 1和平面A 1BC 1截去部分后，得到几何体的体积：V ＝VABCD A 1B 1C 1D 1－VA A 1B 1D 1－VB A 1B 1C 1＋VN A 1B 1M＝1×1×1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22×22×12＝1724.(3)由已知三视图得到几何体是一个底面直角边分别为3，4的直角三角形，高为5的三棱柱，割去一个底面与三棱柱底面相同，高为3的三棱锥，所以该几何体的体积为：12×3×4×5－13×12×3×4×3＝24 cm 3；表面积为：12×(2＋5)×4＋12×(2＋5)×3＋12×3×4＋5×5＋34×52＝1112＋2543 cm 2. 【答案】 (1)B (2)B (3)241112＋2534(1)求解几何体的表面积及体积的技巧①求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．②求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．(2)根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤第一步：根据给出的三视图判断该几何体的形状．第二步：由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量．第三步：套用相应的面积公式与体积公式计算求解．[针对练习]1．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1D.3π2＋3 解析：选A.由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积V ＝13×12π×3＋13×12×2×1×3＝π2＋1，故选A. 2．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3 cm 3，则正视图中的x 的值是________cm ，该几何体的表面积是________cm 2.解析：由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，其直观图如图所示，由棱锥的体积公式得，13×12×(1＋2)×3x ＝3⇒x ＝2，侧面ADS ，CDS ，ABS 为直角三角形，侧面BCS 是以BC 为底的等腰三角形，所以该几何体的表面积为S ＝12[(1＋2)×3＋2×2＋3×2＋1×7＋2×7]＝53＋37＋42. 答案：2 53＋37＋42多面体与球的切接问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．[典例分析](1)已知一个棱长为4的正方体，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线，则该直线被正方体的外接球球面截在球内的线段长是( )A ．211B ．210C ．6D ．4 2(2)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．【解析】 (1)如图所示，球的半径为23，球心(2，2，2)，M (4，0，2)，N (0，2，4)，MN 的中点(2，1，3)，球心到MN 的距离为2，所以该直线被正方体的外接球球面截在球内的线段长是212－2＝210，故选B.(2)设球O 的半径为R ，因为SC 为球O 的直径，所以点O 为SC 的中点，连接AO ，OB ，因为SA ＝AC ，SB ＝BC ，所以AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，因为平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB＝SC ，所以AO ⊥平面SCB ，所以V S ABC ＝V A SBC ＝13×S △SBC ×AO ＝13×(12×SC ×OB )×AO ，即9＝13×(12×2R ×R )×R ，解得R ＝3，所以球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π. 【答案】 (1)B (2)36π多面体与球接、切问题的求解策略(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内接、外切的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．[针对练习]1．如图，这是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为( )A.20π3 B ．8πC ．9πD.19π3 解析：选D.如图，该几何体为三棱锥A BCD ，设三棱锥外接球的球心为O ，O 1，O 2分别为△BCD ，△ABD 的外心，依题意得，OO 1＝36AB ＝33，O 1D ＝12CD ＝52，所以球的半径R ＝OO 21＋O 1D 2＝ 1912，所以该几何体外接球的表面积S ＝4πR 2＝19π3.2．在正三棱锥S ABC 中，M 是SC 的中点，且AM ⊥SB ，底面边长AB ＝22，则正三棱锥S ABC 的体积为________，其外接球的表面积为________．解析：取AC 中点D ，则SD ⊥AC ，DB ⊥AC ，又因为SD ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面SDB ，因为SB ⊂平面SBD ，所以AC ⊥SB ，又因为AM ⊥SB ，AM ∩AC ＝A ，所以SB ⊥平面SAC ，所以SA ⊥SB ，SC ⊥SB ，根据对称性可知SA ⊥SC ，从而可知SA ，SB ，SC 两两垂直，将其补为立方体，其棱长为2，所以V S ABC ＝S C ASB ＝13×12×2×2×2＝43，其外接球即为立方体的外接球，半径r ＝32×2＝3，表面积S ＝4π×3＝12π. 答案：4312π 专题强化训练1.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设AA 1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA 1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：选D.如图，以AA 1为底面矩形一边的四边形有AA 1C 1C 、AA 1B 1B 、AA 1D 1D 、AA 1E 1E 这4个，每一个面都有4个顶点，所以阳马的个数为16个．故选D.2．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点(如图)，用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为( )解析：选C.过点A ，E ，C 1的平面与棱DD 1相交于点F ，且F 是棱DD 1的中点，截去正方体的上半部分，剩余几何体的直观图如图所示，则其正视图应为选项C.3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3C ．323 cm 3D ．403 cm 3 解析：选C.由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm 的正方体，体积V 1＝2×2×2＝8(cm 3)；上面是底面边长为2 cm ，高为2 cm的正四棱锥，体积V 2＝13×2×2×2＝83(cm 3)，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323(cm 3)． 4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱长等于( )A ．34B ．41C ．5 2D ．215解析：选C.由正视图、侧视图、俯视图的形状，可判断该几何体为三棱锥，形状如图，其中SC ⊥平面ABC ，AC ⊥AB ，所以最长的棱长为SB ＝5 2.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．15π2B ．8π C.17π2D ．9π 解析：选B.依题意，题中的几何体是由两个完全相同的圆柱各自用一个不平行于其轴的平面去截后所得的部分拼接而成的组合体(各自截后所得的部分也完全相同)，其中一个截后所得的部分的底面半径为1，最短母线长为3、最长母线长为5，将这两个截后所得的部分拼接恰好形成一个底面半径为1，母线长为5＋3＝8的圆柱，因此题中的几何体的体积为π×12×8＝8π，选B.6.如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．如果三棱柱的体积为123，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为( )A ．12πB ．14πC ．16πD ．18π解析：选C.设圆柱的底面半径为R ，则三棱柱的底面边长为3R ，由34(3R )2·2R ＝123，得R ＝2，S 圆柱侧＝2πR ·2R ＝16π.故选C.7．某几何体的三视图如图所示(网格线中每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．54C ．64D ．60解析：选D.根据三视图还原直观图，如图所示，则该几何体的表面积S ＝6×3＋12×6×4＋2×12×3×5＋12×6×5＝60，故选D.8．在封闭的直三棱柱ABC A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A.4πB.9π2C.6πD.32π3解析：选B.由题意可得若V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R ＝32，该球的体积最大，V max ＝43πR 3＝4π3×278＝9π2.9．某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为( )A.12B.24C.22 D.32解析：选C.依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a ，则斜边长为2a ，圆锥的底面半径为22a 、母线长为a ，因此其俯视图中椭圆的长轴长为2a 、短轴长为a ，其离心率e ＝1－（a2a）2＝22，选C. 10.已知圆柱OO 1的底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面．动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．现将轴截面ABCD 绕着轴OO 1逆时针旋转θ(0＜θ≤π)后，边B 1C 1与曲线Γ相交于点P ，设BP 的长度为f (θ)，则y ＝f (θ)的图象大致为( )解析：选A.将圆柱的侧面沿轴截面ABCD 展平，则曲线Γ是展开图形(即矩形)的对角线，根据题意，将轴截面ABCD 绕着轴OO 1逆时针旋转θ(0＜θ≤π)后，边B 1C 1与曲线Γ相交于点P ，设BP 的长度为f (θ)，则f (θ)应当是一次函数的一段，故选A.11．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________；表面积是________．解析：根据三视图可得，该几何体是长方体中的四棱锥C BB 1D 1D ，由三视图可得：AB ＝2，BC ＝2，BB 1＝4，VC BB 1D 1D ＝23×12×2×2×4＝163，SC BB 1D 1D ＝12×2×2＋22×4＋12×2×4＋12×2×4＋12×22×18＝16＋8 2.答案：16316＋8 212.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为________ cm 3，表面积为________cm 2.解析：由三视图可知：该几何体是由一个半球去掉14后得到的几何体．所以该几何体的体积＝34×12×43×π×13＝π2cm 3.表面积＝34×12×4π×12＋12×π×12＋34×π×12＝11π4cm2.答案：π211π413．已知球O的表面积为25π，长方体的八个顶点都在球O的球面上，则这个长方体的表面积的最大值等于________．解析：设球的半径为R，则4πR2＝25π，所以R＝52，所以球的直径为2R＝5，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则长方体的表面积S＝2ab＋2ac＋2bc≤a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2＝2(a2＋b2＋c2)＝50.答案：5014．某几何体的三视图如图所示，当xy取得最大值时，该几何体的体积是____________．解析：分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥PABCD，CD＝y2，AB＝y，AC＝5，CP＝7，BP＝x，所以BP2＝BC2＋CP2，即x2＝25－y2＋7，x2＋y2＝32≥2xy，则xy≤16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立．此时该几何体的体积V＝13×2＋42×3×7＝37.答案：3715．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，则异面直线BE与B1D1所成角的余弦值等于________，若正方体棱长为1，则四面体BEB1D1的体积为________．解析：取CC1中点F，连接D1F，B1F，则BE綊D1F，所以∠B1D1F为异面直线BE与B1D1所成的角．设正方体棱长为1，则B1D1＝2，B1F＝D1F＝1＋14＝52.所以cos∠B1D1F＝12B1D1D1F＝2252＝105.VBEB1D1＝VD1BB1E＝13S△BB1E·A1D1＝13×12×1×1×1＝16.答案：105 1616．已知棱长均为a 的正三棱柱ABC A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为216的球面上，则a 的值为________．解析：设O 是球心，D 是等边三角形A 1B 1C 1的中心，则OA 1＝216，因为正三棱柱ABC A 1B 1C 1的所有棱长均为a ，所以A 1D ＝32a ×23＝33a ，OD ＝a 2，故A 1D 2＋OD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2162，得712a 2＝2136，即a 2＝1，得a ＝1.答案：117．已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，则此三棱柱的体积的最大值为________．解析：如图，设球心为O ，三棱柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，底面正三角形的边长为a ，则AO 1＝23×32a ＝33a .由已知得O 1O 2⊥底面，在Rt △OAO 1中，由勾股定理得OO 1＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝3·3－a 23，所以V 三棱柱＝34a 2×2×3·3－a 23＝3a 4－a62，令f (a )＝3a 4－a 6(0＜a ＜2)，则f ′(a )＝12a 3－6a 5＝－6a 3(a 2－2)，令f ′(a )＝0，解得a ＝ 2.因为当a ∈(0，2)时，f ′(a )＞0；当a ∈(2，2)时，f ′(a )＜0，所以函数f (a )在(0，2)上单调递增，在(2，2)上单调递减．所以f (a )在a ＝ 2 处取得极大值．因为函数f (a )在区间(0，2)上有唯一的极值点，所以a ＝ 2 也是最大值点．所以(V 三棱柱)max＝3×4－82＝1. 答案：118.如图，四棱锥P ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD , ∠BAD ＝∠ABC ＝90°.(1)证明：直线BC ∥平面PAD ；(2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ABCD 的体积．解：(1)证明：在平面ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD .又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，故BC ∥平面PAD .(2)取AD 的中点M ，连接PM ，CM .由AB ＝BC ＝12AD 及BC ∥AD ，∠ABC ＝90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD .因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD .因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM ⊥CM .设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x . 取CD 的中点N ，连接PN ，则PN ⊥CD ，所以PN ＝142x . 因为△PCD 的面积为27，所以12×2x ×142x ＝27，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝2 3. 所以四棱锥P ABCD 的体积V ＝13×2×（2＋4）2×23＝4 3.19.如图，在△ABC 中，∠B ＝π2，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D .现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD .(1)当棱锥A ′PBCD 的体积最大时，求PA 的长；(2)若P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点，求证：A ′B ⊥DE . 解：(1)设PA ＝x ，则PA ′＝x ，所以V A ′PBCD ＝13PA ′·S 底面PBCD ＝13x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 22.令f (x )＝13x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 22＝2x 3－x36(0<x <2)，则f ′(x )＝23－x22.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎪⎫0，233233 ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，2 f ′(x )f (x ) 单调递增极大值单调递减由上表易知，当PA ＝x ＝233时，V A ′PBCD 取最大值．(2)证明：取A ′B 的中点F ，连接EF ，FP . 由已知，得EF 綊12BC 綊PD .所以四边形EFPD 是平行四边形，所以ED ∥FP .因为△A ′PB 为等腰直角三角形，所以A ′B ⊥PF .所以A ′B ⊥DE .第2讲空间点、线、面的位置关系空间线面位置关系的判断空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．[典例分析](1)已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD，BC”是“l垂直于两底AB，CD”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)【解析】(1)四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD，BC”，又AD与BC相交，所以l⊥平面ABCD⇒l垂直于两底AB，CD，反之不一定成立．所以“l垂直于两腰AD，BC”是“l垂直于两底AB，CD”的充分不必要条件．故选A.(2)对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立．命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n，由m⊥α知m⊥l，从而m⊥n，结论正确．由平面与平面平行的定义知命题③正确．由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．【答案】(1)A (2)②③④判断与空间位置关系有关的命题真假的方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．(2)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．(3)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．[针对练习]1．已知直线m、n与平面α，β，下列命题正确的是( )A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥nB．m⊥α，n∥β且α⊥β，则m⊥nC．α∩β＝m，m⊥n且α⊥β，则n⊥αD．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n解析：选D.选项A中，直线m与n还有互为异面的可能；选项B中，直线m与n还有相互平行的可能；选项C中，还有n⊂α的可能；选项D正确，故选D.2．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A、D分别是BF、CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如图1)．将四边形ADEF沿AD折起，连接AC、CF、BE、BF、CE(如图2)，在折起的过程中，下列说法错误的是( )A．AC∥平面BEFB．B、C、E、F四点不可能共面C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCDD．平面BCE与平面BEF可能垂直解析：选D.法一：A选项，连接BD，交AC于点O，取BE的中点M，连接OM，FM，易证四边形AOMF是平行四边形，所以AO∥FM，因为FM⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，所以AC∥平面BEF；B选项，若B、C、E、F四点共面，因为BC ∥AD ，所以BC ∥平面ADEF ，可推出BC ∥EF ，又BC ∥AD ，所以AD ∥EF ，矛盾；C 选项，连接FD ，在平面ADEF 内，易得EF ⊥FD ，又EF ⊥CF ，FD ∩CF ＝F ，所以EF ⊥平面CDF ，所以EF ⊥CD ，又CD ⊥AD ，EF 与AD 相交，所以CD ⊥平面ADEF ，所以平面ADEF ⊥平面ABCD ；D 选项，延长AF 至G ，使AF ＝FG ，连接BG 、EG ，易得平面BCE ⊥平面ABF ，过F 作FN ⊥BG 于N ，则FN ⊥平面BCE ，若平面BCE ⊥平面BEF ，则过F 作直线与平面BCE 垂直，其垂足在BE 上，矛盾．综上，选D.法二：构造正方体如图，结合正方体的性质知平面BCE 与平面BEF 不可能垂直．空间平行、垂直关系的证明及求空间角1．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α. (2)线面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b . (3)面面平行的判定定理：a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b . 2．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m ⊂α，n ⊂α，m ∩n ＝P ，l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b . (3)面面垂直的判定定理：a ⊂β，a ⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒ a ⊥β. 3．空间角(1)异面直线所成的角，范围α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.(2)直线与平面所成的角：如图l ∩α＝A ，P ∈l ，过点P 作PO ⊥α交α于O ，连接AO ，则∠PAO 为直线l 与平面α所成的角，范围θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (3)二面角如图，过二面角αl β的棱l 上一点O 在两个半平面内分别作BO ⊥l ，AO ⊥l ，则∠AOB 就叫做二面角αl β的平面角，范围θ∈[0，π]．当θ＝π2时，二面角叫做直二面角．[典例分析](1)设三棱锥VABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角PACB 的平面角为γ，则( )A．β<γ，α<γB．β<α，β<γC．β<α，γ<αD．α<β，γ<β(2)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．①证明：EF⊥BC；②求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．【解】(1)选B.由题意，不妨设该三棱锥的侧棱长与底面边长相等，因为点P是棱VA 上的点(不含端点)，所以直线PB与平面ABC所成的角β小于直线VB与平面ABC所成的角，而直线VB与平面ABC所成的角小于二面角PACB的平面角γ，所以β<γ；因为AC⊂平面ABC，所以直线PB与直线AC所成的角α大于直线PB与平面ABC所成的角β，即α>β.故选B.(2)法一：①证明：如图，连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB，∠ABC＝90°，故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.②取BC的中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．连接A1G交EF于O，由①得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角)．不妨设AC＝4，则在Rt△A1EG中，A1E＝23，EG＝ 3.由于O 为A 1G 的中点，故EO ＝OG ＝A 1G2＝152，所以cos ∠EOG ＝EO 2＋OG 2－EG 22EO ·OG ＝35.因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35.法二：①连接A 1E ，因为A 1A ＝A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ，所以A 1E ⊥平面ABC .如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E xyz .不妨设AC ＝4，则A 1(0，0，23)，B (3，1，0)， B 1(3，3，23)，F (32，32，23)， C (0，2，0)．因此，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，23，BC →＝(－3，1，0)．由EF →·BC →＝0得EF ⊥BC .②设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ.由①可得BC →＝(－3，1，0)，A 1C →＝(0，2，－23)．设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧BC →·n ＝0，A 1C →·n ＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，y －3z ＝0.取n ＝(1，3，1)，故sin θ＝|cos 〈EF →，n 〉|＝|EF →·n ||EF →|·|n |＝45.因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值为35.(1)平行关系及垂直关系的转化空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．(2)求空间角的三个步骤①一作：根据定义作平行线或垂线，用作图法作出要求的角． ②二证：证明所作的角就是要求的角．③三求：把空间角问题转化为(三角形)平面问题，解三角形，求出该角，注意角的范围，判断所求角是此角还是它的补角．[针对练习]1.如图，AB ＝BE ＝BC ＝2AD ＝2，且AB ⊥BE ，∠DAB ＝60°，AD ∥BC ，BE ⊥AD ，(1)求证：平面ADE ⊥平面BDE ；(2)求直线AD 与平面DCE 所成角的正弦值．解：(1)证明：因为AB ＝2AD ，∠DAB ＝60°，所以AD ⊥DB ，又BE ⊥AD ，且BD ∩BE ＝B ，所以AD ⊥平面BDE ，又AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BDE .(2)因为BE ⊥AD ，AB ⊥BE ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以点E 到平面ABCD 的距离就是线段BE 的长为2，设AD 与平面DCE 所成角为θ，点A 到平面DCE 的距离为d ，由V A DCE ＝V E ADC 得：13×d ×S △CDE ＝13×|BE |×S △ACD ，可解得d ＝3010，而AD ＝1，则sin θ＝dAD ＝3010，故直线AD 与平面DCE 所成角的正弦值为3010. 2．如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB ＝2，AD ＝23，∠BAD ＝90°.(1)求证：AD⊥BC；(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值．解：(1)证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，AD⊂平面ABD，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC.(2)如图，取棱AC的中点N，连接MN，ND.又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM＝1，故DM＝AD2＋AM2＝13.因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC.在Rt △DAN中，AN＝1，故DN＝AD2＋AN2＝13.在等腰三角形DMN中，MN＝1，可得cos∠DMN＝12MNDM＝1326.所以异面直线BC与MD所成角的余弦值为1326.空间几何中的“ 翻折”问题[核心提炼]由平面图形“翻折”为空间图形，要求解(证明)该空间图形中的某些元素所对应的量或对应的位置关系，首先看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程理清翻折前后位置关系中没有变化的量是哪些，发生变化的量是哪些，这些不变的量和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征，求解问题时要综合考虑翻折前后的图形．[典例分析](1)如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝5，∠ADC＝90°.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是__________．(2)如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，E为BC的中点，F为线段AD上的一点，且AF＝32.现将四边形ABEF沿直线EF翻折，使翻折后的二面角A′EFC的余弦值为23.①求证：A′C⊥EF；②求直线A′D与平面ECDF所成角的大小．【解】(1)作BE∥AC，BE＝AC，连接D′E，则∠D′BE为所求的角或其补角，作D′N⊥AC 于点N，设M为AC的中点，连接BM，则BM⊥AC，作NF∥BM交BE于F，连接D′F，设∠D′NF ＝θ，因为D′N＝56＝306，BM＝FN＝152＝302，所以D′F2＝253－5cos θ，因为AC⊥D′N，AC⊥FN，所以D′F⊥AC，所以D′F⊥BE，又BF＝MN＝63，所以在Rt△D′FB 中，D′B2＝9－5cos θ，所以cos ∠D′BE＝BFD′B＝639－5cos θ≤66，当且仅当θ＝0°时取“＝”．故填66.(2)①证明：连接AC交EF于M点，由平面几何知识可得AC＝5，EF＝52，以及AMMC＝FMME＝32，则有AM＝355，MC＝255，MF＝3510，故有AM2＋MF2＝AF2，则AC⊥EF，于是，A′M⊥EF，CM⊥EF，而A′M∩CM＝M，故EF⊥平面A′MC，而A′C⊂平面A′MC，故A′C⊥EF.②由①知，二面角A′EFC的平面角就是∠A′MC，即cos ∠A ′MC ＝23，根据余弦定理，可求得A ′C ＝1，因为A ′C 2＋MC 2＝A ′M 2，所以A ′C ⊥MC ，而A ′C ⊥EF ，可知A ′C ⊥平面ECDF ，因此，∠A ′DC 就是直线A ′D 与平面ECDF 所成的角．由于A ′C ＝CD ＝1，故直线A ′D 与平面ECDF 所成的角为π4.解决与翻折有关的问题的两个关键(1)要明确翻折前后的变化量和不变量．一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化．(2)在解决问题时，要比较翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形．[针对练习]1.如图，四边形ABCD 是矩形，沿直线BD 将△ABD 翻折成△A ′BD ，异面直线CD 与A ′B 所成的角为α，则( )A ．α<∠A ′CAB ．α>∠A ′CAC ．α<∠A ′CDD ．α>∠A ′CD解析：选B.因为AB ∥CD ，所以∠A ′BA 为异面直线CD 与A ′B 所成的角．假设AB ＝BC ＝1，平面A ′BD ⊥平面ABCD . 连接AC 交BD 于点O ，连接A ′A ，A ′C ，A ′O ，则A ′O ⊥平面ABCD ，A ′O ＝AO ＝BO ＝CO ＝DO ＝12AC ＝22，所以A ′A ＝A ′C ＝A ′B ＝A ′D ＝1，所以△A ′BA ，△A ′CD 是等边三角形， △A ′CA 是等腰直角三角形，。

2020届高考数学二轮复习第三部分回顾立体几何学案Word版含解析

V ＝ πR 3⎪a ⊥α⎫⎪ α∩β＝b ⎪⎭ ⎭ α∥β⎫β∩γ＝b ⎭ a ∥b ⎫⎪⎭ a ∥b ⎫a ⊄α ⎭ α⊥β⎫α∥β⎫⎪⎭⎪a ⊥α⎫⎪回顾 5 立体几何[必记知识]空间几何体的表面积和体积几何体圆柱圆锥侧面积S 侧＝2πrlS 侧＝πrl表面积S 表＝2πr(r ＋l)S 表＝πr(r ＋l)体积V ＝S 底 h ＝πr 2h 1 1 V ＝3S 底 h ＝3πr 2h圆台S 侧＝π(r ＋r ′)lS表＝π(r 2＋r ′2＋rl ＋r ′l)1 V ＝3(S 上＋S 下＋1 S 上S 下)h ＝3π(r 2＋r ′2＋rr ′)h直棱柱正棱锥正棱台S 侧＝Ch(C 为底面周长) 1S 侧＝2Ch ′(C 为底面周长，h ′为斜高)1S 侧＝2(C ＋C ′)h ′(C ，C ′分别为上、下底面周长，S 表＝S 侧＋S 上＋S 下 (棱锥的 S 上＝0)V ＝S 底 h1V ＝3S 底 h1V ＝3(S 上＋S 下＋h ′为斜高)球S ＝4πR 2空间线面位置关系的证明方法S 上S 下)h4 3(1)线线平行：a ∥α⎫ a ⊂β ⎬⇒a ∥b ， ⎬⇒a ∥b ，b ⊥α⎪⎪α∩γ＝a ⎬⇒a ∥b ， ⎪⎬⇒c ∥b . a ∥c ⎪⎪(2)线面平行： b ⊂α ⎬⇒a ∥α， ⎪⎪ ⎬⇒a ∥α， a ⊥β⎬⇒a ∥α. a ⊂β ⎪ ⎪ a ⊄α ⎭(3)面面平行：a ⊂α，b ⊂α ⎫ a ∩b ＝O ⎬⇒α∥β， ⎬⇒α∥β，a ∥β，b ∥β⎭⎪a⊥β⎪⎭1α∥β⎫⎪⎪⎪α∥β⎫⎪ a ∥b ⎫⎪⎪ ⎪a ⊥α⎪ a ⊥α⎪ ⎭⎬⎭a ∩b ＝O ⎬a ⊂β ⎫⎪a ∥β⎫⎪ ⎭l l l l | .⎬⇒α∥γ.γ∥β ⎪(4)线线垂直：a ⊥α⎫⎪⇒a ⊥b .b ⊂α ⎪a ⊂α，b ⊂α⎫α⊥β⎫(5)线面垂直： ⎬⇒l ⊥α，α∩β＝l ⎬⇒a ⊥β， ⇒a ⊥β， ⎬⇒b l ⊥a ，l ⊥b ⎭a ⊂α，a ⊥l ⎭⊥α.(6)面面垂直： ⎬⇒α⊥β， a ⊥α⎭⎪ ⎬⇒α⊥β.a ⊥α⎪[提醒]) 要注意空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理中的条件 .如由 α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，易误得出 m ⊥β 的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中 m ⊂α 的限制条件.用空间向量证明平行垂直设直线 l 的方向向量为 a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面 α、β 的法向量分别为 μ＝(a 2，b 2，c 2)，υ＝(a 3，b 3，c 3)．则有：(1)线面平行l ∥α⇔a ⊥ μ⇔aμ ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. (2)线面垂直l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. (3)面面平行α∥β⇔μ∥υ⇔μ＝λυ⇔a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3. (4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥υ⇔μυ ＝0⇔a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝0.用向量求空间角(1)直线 l 1， 2 的夹角 θ 有 cos θ＝|cos 〈l 1， 2〉|(其中 l 1， 2 分别是直线 l 1， 2 的方向向量)． (2)直线 l 与平面 α 的夹角 θ 有 sin θ＝|cos 〈l ，n 〉|(其中 l 是直线 l 的方向向量，n 是平面 α 的法向量)．(3)平面 α，β 的夹角 θ 有 cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉，则 α-l-β 二面角的平面角为 θ 或 π－θ(其中 n 1，n 2 分别是平面 α，β 的法向量)．[提醒]) 在处理实际问题时，要注意异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围，要根据具体图形确定二面角的平面角是锐角还是钝角[必会结论]三视图的排列规则2a(正四面体高 a的 )，外接球的半径为 a(正四面体高 a 的 )．俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图一样，宽度与俯视图一样．平行、垂直关系的转化示意图球的组合体(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．(3)球与正四面体的组合体：棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 6 612 31 6 6 3 4 4 3 4[必练习题]1．设 m ，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，有下列四个命题：①若 m ⊂β，α⊥β，则 m ⊥α；②若 α∥β，m ⊂α，则 m ∥β；③若 n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则 m ⊥β； ④若 m ∥α，m ∥β，则 α∥β.其中正确命题的序号是()A ．①③B ．①②C ．③④D ．②③解析：选 D.对于①，注意到直线 m 可能与平面 α，β 的交线平行，此时结论不成立，因此①不正确；对于②，直线 m 与平面 β 必没有公共点，因此 m ∥β，②正确；对于③，由 m⊥α，n ⊥α，得 m ∥n ，又 n ⊥β，因此 m ⊥β，③正确；对于④，平面 α，β 可能是相交平面，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是②③，选 D.2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是()3四棱锥，如图所示，则V＝1×1×(1＋2)×2×3＝3，故选A.2r，易知轴截面三角形边A B上的高为22，因此＝r，解得r＝2，所以圆锥内切球的表面积为4π×⎛2⎫＝2π，故选C.解析：选B.该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为，高为x的圆柱，右边是A.3C．3B．2D．4解析：选A.由几何体的三视图知，几何体是底面为直角梯形，高为3的323．已知一个圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为()A．πC．2π3πB.D．3π解析：选C.依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图所示，设球的半径为22－r3122⎝2⎭4．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一个标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x为()A．1.2C．1.8B．1.6D．2.4124一个长、宽、高分别为5.4－x，3，1的长方体，所以组合体的体积V＝V圆柱＋V长方体＝π·⎫A.222C.3⊥平面DD C C，则∠A CM就是直线A C与面DD C C所成的角．由所有棱长均为2及1A1C4⎛1⎝2⎭2×x＋(5.4－x)×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x＝1.6.故选B.5．已知S，A，B、C是球O表面上的不同点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，BC ＝2，若球O的表面积为4π，则SA＝()2B．1C.23D.解析：选B.根据已知把S-ABC补成如图所示的长方体．因为球O的表面积为4π，所以球O的半径R＝1，2R＝SA2＋1＋2＝2，解得SA＝1，故选B.6．棱长都为2的直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD＝60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为()1A.4B.D.2238解析：选C.过点A1作直线A1M⊥D1C1，交C1D1的延长线于点M，连接CM，可得A1M 111111∠A1D1C1＝120°，得A1M＝A1D1sin60°＝3，又A1C＝A1C21＋CC2＝（23）2＋22＝4，所以sin∠A CM＝A1M＝3，故选C.17．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝△2，将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，()A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直解析：选B.若存在某个位置，使得AC⊥BD，作AE⊥BD于E，则BD⊥平面AEC，所5P ABC＝V×△S ABC PD ＝ △S P AB h ，所以 × a 2×a ＝ × ×( 2a)2×h ，解得 h ＝ a ，所以点 C 到平面 P AB 的距离为 3a.答案： 3a9．正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，若动点 P 在线段 BD 1 上运动，则DC ·AP 的取则 D(0，0，0)，C(0，1，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D (0，0，1)．所以DC＝(0，1，0)，BD ＝(－1，－1，1)．所以设BP ＝λBD ＝(－λ，－λ，λ)，且 0≤λ≤1.以 BD ⊥EC △，在 ABD 中，AB 2＝BE · B D ，BE ＝ 1 ，而在△BCD 中，BC 2＝BE · B D ，BE ＝ 2，3 3两者矛盾．故 A 错误．若存在某个位置，使得 AB ⊥CD ，又因为 AB ⊥AD ，则 AB ⊥平面 ACD ，所以 AB ⊥AC ，故 AC ＝1，故 B 正确，D 错误．若存在某个位置．使得 AD ⊥BC ，又因为 AD ⊥AB ，则 AD ⊥平面 ABC ，所以 AD ⊥AC ，而斜边 CD 小于直角边 AD ，矛盾，故 C 错误．8.如图，在四棱锥 P-ACBD 中，底面 ACBD 为正方形，PD ⊥平面 ACBD ，BC ＝AC ＝a ，P A ＝PB ＝ 2a ，PC ＝ 3a ，则点 C 到平面 P AB 的距离为________．解析：根据条件可以将四棱锥置于一个正方体中进行研究，如图所示，易知 AB ＝ 2a ，设点 C 到平面 P AB 的距离为 h ，因为 VC P AB ，即131 1 1 1 3 3 3 3234 333→ →值范围是________．解析：以 DA 所在的直线为 x 轴，DC 所在的直线为 y 轴，DD 1 所在的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 D-xyz.1→ → 1因为点 P 在线段 BD 上运动，1→ →16所以AP ＝AB ＋BP ＝DC ＋BP ＝(－λ，1－λ，λ)，所以DC AP ＝1－λ∈[0，1]．（ 3）2＋⎛ 3⎫ －⎛ 7⎫ ⎛ 3⎫2＝ 7，故 cos ∠PGK ＝ 12＋⎝ 2 ⎭2× 3× 的角的余弦值是2.3→ → → → →→ →答案：[0，1]10.如图，在正三角形 ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H分别为 DE ，AF 的中点，将△ABC 沿 DE ，EF ，DF 折成四面体 P-DEF ，则四面体中异面直线 PG 与 DH 所成的角的余弦值为________．解析：折成的四面体是正四面体，如图连接 HE ，取 HE 的中点 K ，连接 GK ，PK ，则 GK ∥DH.故∠PGK 即为所求的异面直线所成的角．设这个正四面体的棱长为 2，在 △PGK 中， P G ＝ 3，GK ＝ 3，PK ＝22答案：2 332 2 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭2 ＝2，即异面直线 PG 与 DH 所成37。

学业水平复习题(立体几何部分)

高二数学学业水平考试系列——立体几何部分一、选择题1．用符号表示“点A 在直线l 上，l 在平面α外”，正确的是( )A ．A ∈l ，l ∉αB ．A ∈l ，l ⊄αC ．A ⊂l ，l ⊂αD ．A ⊂l ，l ∈α2．图1是由图2中的哪个平面图旋转而得到的（）3．已知a ，b 是两条相交直线，a ∥α，则b 与α的位置关系是( )A ．b ∥αB ．b 与α相交C ．b ⊂αD ．b ∥α或b 与α相交4、三凌锥P-ABC 的侧棱长相等，则点P 在底面的射影O 是△ABC 的（） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心5、下列三视图(依次为正视图、侧视图、俯视图)表示的几何体是（）A ．六棱柱B ．六棱锥C ．六棱台D ．六边形6、下列命题中错误的是：（） A ．如果βα⊥，那么α内一定存在直线平行于平面β B ．如果βα⊥，那么α内所有直线都垂直于平面βC ．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果l =⋂⊥⊥βαγβγα,,，那么γ⊥l7、一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形'''A B O ，若''1O B =，那么原∆ABO 的面积是（）A ．12B ．22C 2D ． 228、若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（） A ．1:2:3 B ．2：3：4 C ．3:2:4 D ．3:1:29．高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )A 'B ' y 'x 'O '10、点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 中AB ，BC ，CD ，AD 的中点，若AC=BD ，且AC 与BD 成900角，则四边形EFGH 是（） A ．菱形 B ．梯形 C ．正方形 D ．空间四边形11、下列四个命题:①过三点确定一个平面 ②矩形是平面图形 ③四边相等的四边形是平面图形④三条直线两两相交则确定一个平面， ⑤三角形的平行投影只能得到三角形，其中正确命题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12. 一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm)，则此几何体的表面积是 ()A ．(80＋162)cm 2B ．84 cm 2C ．(96＋162)cm 2D ．96 cm 213．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60º角； ④EM 与BN 垂直. 以上四个命题中，正确命题的序号是（） A.①②③ B.②④ C. ②③④ D.③④14、已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，下列四个命题中正确的是（）（1）m l ⊥⇒βα// （2）m l //⇒⊥βα （3）βα⊥⇒m l // （4）βα//⇒⊥m l A ．（1）与（2） B ．（3）与（4） C ．（2）与（4） D ．（1）与（3）15．如图，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是（）二、填空题：16. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是 . 17．已知,,a b c 为三条不重合的直线，,,αβγ为三个不重合的平面：①a ∥c ,b ∥c ⇒a ∥b ； ②a ∥γ,b ∥γ⇒a ∥b ；③a ∥c ,c ∥α⇒a ∥α；EA FB CMN DFCB④a ∥γ,a ∥αα⇒∥γ；⑤a α⊄,b α⊂,a ∥b ⇒a ∥α.其中正确的命题是18．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是____和_______．18题图 20题图19、正方体1AC 中，F E 、分别是DC BC 、的中点，则异面直线EF AD 与1所成角的大小为 20、如图所示,E 、F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D 、、DD 2的中点,沿SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使D 1,D,D 2重合,记作D 。

学业水平复习立体几何

2012——2013 学年高二数学导学案
2013 年
月
日
课题学习重点一、
学业水平复习之四：立体几何
课型
反馈课
能识别三视图所表示的立体模型，了解球、棱柱、棱锥的表面积和体积公式。理解线面平行和线面垂直的判断内容和性质内容。
知识回顾
１、说出球、正方体、棱柱、棱锥的表面积和体积公式表面积。 2 、说出三视图三个面如何投影成图的？ 3、线面平行和线面垂直的判断内容和性质内容判定定理（画出图形）直线与平面平行性质定理（画出图形）
月
日
示,则此多面体的体积是（） A.
2cm3
3
B.
4cm3
C.
6cm3
3
2 2 2 侧视图
D. 12cm
正视图
2
俯视图 (第 6 题) 9、一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面积为，则球的表面积为（） A. 8 2 B. 8 C. 4 2 D. 4
10、如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于 A， B 的任意一点，求证：平面 PAC⊥平面 PBC。
6、如图，网格纸的小正方形的边长是 1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 .
7、如图(1)放置的一个机器零件，若其主视图如图(2)，则其俯视图是（）
8、若某多面体的三视图(单位：cm)如图所
编辑：赵春波
2012——2013 学年高二在三棱锥 S－ABC 中，BC⊥ 平面 SAC，AD⊥ SC．（I）求证：AD⊥ 平面 SBC；（II）试在 SB 上找一点 E，使得 BC//平面 ADE，并证明
S
你的结论．

高二普通班立体几何复习新学案3

如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，称这条直线和这个平面垂直，记作：_______________ 其中，直线叫做这个平面的垂线，平面叫做这条直线的垂面，交点叫垂足注：①直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况 ②定义中“任何”表示所有，不能理解为“无数”。

若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线不一定垂直于平面； ③l ⊥α等价于对任意的直线m ⊂α，都有l ⊥m 。

符号表示：定理说明：证明线面垂直的关键在于证明两个线线垂直，简述为：注：（1）定理中“两条相交直线”二字不可忽视，否则线面垂直的结论不成立（2）证明线面垂直归结为证明线线垂直，证明无数多线线垂直减弱为只需证明两个线线垂直即可（1）过直线外一点可作_____条直线与该直线平行，可作______条直线与该直线垂直；（2）过平面外一点可作_____条直线与该平面平行，可作______条直线与该平面垂直。

2．一条直线与一个平面垂直的条件是 ( )A. 垂直于平面内的一条直线B. 垂直于平面内的两条直线C. 垂直于平面内的无数条直线D. 垂直于平面内的两条相交直线3．如果平面α外的一条直线a 与α内两条直线垂直，那么 ( )A. a ⊥αB. a ∥αC. a 与α斜交D. 以上三种均有可能4．判断题：（对的打“√”，错的打“×”）(1) 过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 ( )(2) 过已知平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平行 ( )(3) 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ( )(4) 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 ( )(5) 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 ( )(6) 过已知直线外一点，有且只有一个平面与已知直线平行。

( )l ⊥平面α⇒l ⊥平面α内任一条直线符号表示：1．已知PA ⊥平面ABC ， BC ⊥AC. 求证：BC ⊥平面PAC 。

因PA ⊥平面ABC ，⇒PA ⊥平面ABC 内部任意一条直线⇒ BC ⊥__________.又 BC ⊥AC.,而A C ∩PA=___________.⇒ BC ⊥平面__________.2.如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，求证：CD ⊥平面PAD3..三棱锥P-ABC ，PB=PC ，AB=AC ，D 为BC 中点，证明：BC ⊥平面PAD4.如图，四棱锥P-ABCD 中PA ⊥平面ABCD ，底面PABCD 为直角梯形，且BA ⊥AD ，AB//CD ，AC=BC=1,AB=2．求证：BC ⊥平面PAC5如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD是直角梯形， BC ⊥DC ，AB//CD ，又，PC=BC=1,PB，，AB PC ⊥．求证：PC ⊥平面ABCD ；一条直线PA 和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，交点叫做斜足过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO ，过垂足O 和斜足A ，直线AO 叫做斜线在这个平面上的射影平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角ABCPlB'O'A'BO Aβα平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

高二数学学业水平考试复习学案——立体几何

俯视图侧视图正视图高二学考必修二学案第1课空间几何体的结构、三视图和直观图一、要点知识：1、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的结构特征：（1）___________________________________,_______________________________________, _______________________________________,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

（2）___________________________________,____________________________由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

（3）______________________________________________________这样的多面体叫做棱台。

（4）______________________________________________________叫做圆柱，旋转轴叫做_______，垂直与轴的边旋转而成的圆面叫做_______，平行与轴的边旋转而成的曲面叫做______，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做___________(5) _____________________________________________________所围成的旋转体叫做圆锥。

(6) _____________________________________________________叫做圆台。

(7) _____________________________________________________叫做球体，简称球。

2、中心投影、平行投影及空间几何体的三视图、直观图（1）光由一点向外散射形成的投影，叫做______________（2）在一束平行光线照射下形成的投影，叫做__________，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫斜投影。

2020版新高考复习理科数学教学案：立体几何含答案 (2)

解析：将正视图中的直角三角形记为△ABC.如图.∠ACB＝90°.AB＝25.过点C作CD⊥AB.垂足为D.则BD＝16.AD＝25－16＝9.则AC2∶BC2＝(AD·AB)∶(BD·AB)＝AD∶BD＝9∶16.∴AC∶BC＝3∶4.又AC2＋BC2＝AB2.∴AC＝15.BC＝20.∴该“堑堵”的表面积为2× ×15×20＋25×(15＋20＋25)＝1 800.
答案：D
6．[20xx·广东六校联考]某几何体的三视图如图所示.计量单位为cm.它的体积是( )
A. cm3
B. cm3
C. cm3
D. cm3
解析：由三视图可知.该几何体为如图所示的四棱锥S－ABCD.则其体积V＝ × ×(2＋4)×3×3× ＝ (cm3).故选C.
答案：C
7．[20xx·全国卷Ⅲ]学生到工厂劳动实践.利用打印技术制作模型．如图.该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心.E.F.G.H分别为所在棱的中点.AB＝BC＝6 cm.AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗.制作该模型所需原料的质量为________ g.
∴∠PQA是直线PQ与平面ABC所成的角.当AQ⊥BC时.∠PQA最大．
∵AP＝3.直线PQ与平面ABC所成角的最大值为 .
∴AQ＝ .又AB＝2 .∴∠ABC＝ .
图1
又∠BAC＝ .
∴∠ACB＝ .∴AC＝2 .BC＝6.△ABC的外接圆半径为2 .如图2是三棱锥P－ABC的外接球.O为球心.O1为△ABC的外接圆圆心.连接OP.OA.OO1.O1A.设球的半径为R.∵OP＝OA＝R.PA＝3.∴OO1＝ .又AO1＝2 .∴R2＝OA2＝O1A2＋OO ＝ .∴三棱锥P－ABC的外接球的表面积为57π.故选B.

2020届高三数学专题复习《立体几何》学案含答案

专题复习：平行问题一、考题再现：如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，1SA AB BC CD ====，2AD =. （1）在棱SD 上是否存在一点P ，使得//CP 平面SAB ？请证明你的结论；（2）求平面SAB 和平面SCD 所成锐二面角的余弦值.二、错因分析：三、判定定理与性质定理：语言表述图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线于另一个平面。

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的平行例1、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点，求证：(1)直线EG ∥平面BDD 1B 1；(2)平面EFG ∥平面BDD 1B 1.练习：如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点.(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面P AD .练习2、（佛山一模）如图，三棱锥P ﹣ABC 中，平面P AB ⊥平面ABC ，P A ＝PB ，∠APB ＝∠ACB ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，PB 的中点，点G 是△BCE 的重心．（1）证明：GF ∥平面P AC ；（2）若GF 与平面ABC 所成的角为60°，求二面角B ﹣AP ﹣C 的余弦值．例2、巩固练习：在如图所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形. (1)若AC ⊥BC ，证明：直线BC ⊥平面ACC 1A 1；(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论.微专题垂直问题考题再现：如图1,在边长为2的等边中，分别为边的中点,将∆AED 沿折起，使得, ，得到如图2的四棱锥A-BCDE,连结,,且与交于点.（1）求证：平面; （2）求二面角的余弦值.方法与小结：线面垂直的关键是证明两组线线垂直；则线线垂直方法有：1、通过证明相交线线垂直；2、通过证明相交线线垂直；3、通过证明相交线线垂直；4、通过证明相交线线垂直；5、通过证明异面线线垂直；1.如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD -∠=∠==中，，PAB PAD ∆∆与都是等边三角形.（1）证明：;PB CD ⊥（2）求二面角A PD C --的余弦值.PFDC BA2. 如图，五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，AB=6，AD=4．顶部线段EF ∥平面ABCD ，棱EA=ED=FB=FC=62，EF=2，二面角F ﹣BC ﹣A 的余弦值为17．（Ⅰ）在线段BC 上是否存在一点N ，使BC ⊥平面EFN ；（Ⅱ）求平面EFB 和平面CFB 所成锐二面角的余弦值．3.如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,2,4BC CD AC ===,60ACB ACD ︒∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥. （Ⅰ）求PA 的长;（Ⅱ）求二面角B AF D --的正弦值.4．如图1，在Rt C ∆AB 中，C 90∠AB =，C 60∠BA =，2AB =，D 、E 分别为C A 、D B 的中点，连接AE 并延长交C B 于F ，将D ∆AB 沿D B 折起，使平面D AB ⊥平面CD B ，如图2所示． (Ⅰ)求证：AE ⊥平面CD B ；（Ⅱ）求平面F AE 与平面DC A 所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段F A 上是否存在点M 使得//EM 平面DC A ？若存在，请指出点M 的位置；若不存在，说明理由．5．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，11,2,AB BC AA D ===为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点1,O BC AB ⊥．（Ⅰ）证明：1CD AB ⊥；（Ⅱ）若33OC =，求二面角1A BC B --的余弦值．6．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AC=2，BD=2，E 是PB 上任意一点．（Ⅰ）求证：AC ⊥DE ；（Ⅱ）已知二面角A ﹣PB ﹣D 的正切值为36，若E 为PB 的中点，求EC 与平面PAB 所成角的正弦值．7．如图，四边形PCBM 是直角梯形，090,//,1,2,PCB PM BC PM BC ∠===又1,120,AC ACB AB PC =∠=︒⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒．（Ⅰ）求证：PC AC ⊥；（Ⅱ）求二面角M AC B --的余弦值；（Ⅲ）求点B 到平面MAC 的距离．8．已知矩形11ABB A ，且12AB AA = ，C C ,1分别是11B A 、B A 的中点，D 为C C 1中点，将矩形11ABB A 沿着直线C C 1折成一个60o 的二面角，如图所示．（Ⅰ）求证： 1AB ⊥1A D ；（Ⅱ）求1AB 与平面11A B D 所成角的正弦值．11A9.如图，三棱锥P-ABC 中，E ，D分别是棱BC ，AC 的中点，PB=PC=AB=4，AC=8，BC=PA= （1）求证：BC ⊥平面PED ；（2）求平面PED 与平面PAB 所成的锐二面角的余弦值．10.如图，四边形ABCD 中，//AB CD ，30ABD ∠=，22AB CD AD ===DE ⊥面ABCD ，C 1CB 1BA 1ADECBPA//EF BD，且23 EF BD=.（1）求证：//FB面ACE；（2）若二面角C BF D--的大小为60，求CF与面ABCD所成角的正弦值.14.等边△ABC的边长为3，点D，E分别是AB，AC上的点，且满足12AD CEDB EA== (如图①)，将△ADE沿DE折起到△1A DE的位置，使二面角A1－DE－B成直二面角，连接A1B，A1C(如图②).(1)求证：A1D⊥平面BCED；(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，说明理由.15．如图，在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝60°，CD＝2，AB＝4，点E为AB的中点，现将该梯形中的三角形BEC沿线段EC折起，形成四棱锥B－AECD.CA DBPHMN (1)在四棱锥B －AECD 中，求证：AD ⊥BD ；(2)若二面角B －CE －D 的平面角为120°，求直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值.16.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且//BD 平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，3PA PC ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求二面角P AM N --的余弦值．。

(浙江专用)最新2020高考数学二轮复习专题二立体几何第1讲空间几何体学案

第1讲空间几何体[考情考向分析] 1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题．热点一三视图与直观图1．一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．由三视图还原几何体的步骤一般先依据俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体．例1 (1)(2018·全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )答案 A解析由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．答案2＋2 2解析如图，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则在Rt△ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22. 而四边形AECD 为矩形，AD ＝1， ∴EC ＝AD ＝1，∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1. 由此可还原原图形如图所示．在原图形中，A ′D ′＝1，A ′B ′＝2，B ′C ′＝22＋1，且A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′⊥B ′C ′，∴这块菜地的面积为S ＝12(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22. 思维升华空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．跟踪演练1 (1)(2018·浙江省台州中学模拟)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )答案 D解析由正视图和俯视图得该几何体可以为一个底面为等腰三角形的三棱锥和一个与三棱锥等高，且底面直径等于三棱锥的底面等腰三角形的底的半圆锥的组合体，则其侧视图可以为D 选项中的图形，故选D.(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CD，CC1，A1B1的中点，用过点E，F，G的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为( )答案 C解析取AA1的中点H，连接GH，则GH为过点E，F，G的平面与正方体的面A1B1BA的交线．延长GH，交BA的延长线与点P，连接EP，交AD于点N，则NE为过点E，F，G的平面与正方体的面ABCD的交线．同理，延长EF，交D1C1的延长线于点Q，连接GQ，交B1C1于点M，则FM为过点E，F，G的平面与正方体的面BCC1B1的交线．所以过点E，F，G的平面截正方体所得的截面为图中的六边形EFMGHN.故可得位于截面以下部分的几何体的侧视图为选项C所示．热点二几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧．例2 (1)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．8＋42＋8 5B ．24＋4 2C ．8＋20 2D ．28答案 A解析由三视图可知，该几何体的下底面是长为4，宽为2的矩形，左右两个侧面是底边为2，高为22的三角形，前后两个侧面是底边为4，高为5的平行四边形，所以该几何体的表面积为S ＝4×2＋2×12×2×22＋2×4×5＝8＋42＋8 5.(2)(2018·杭州质检)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．答案143π 6＋(6＋13)π 解析由三视图知，该几何体是由四分之一球与半个圆锥组合而成，则该组合体的体积为V ＝14×43π×23＋12×13π×22×3＝143π，表面积为S ＝14×4π×22＋12×π×22＋12×4×3＋12×12×2π×2×32＋22＝6＋()6＋13π.思维升华 (1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和． (2)求简单几何体的体积时，若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时，若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，常用转换法、分割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．跟踪演练2 (1)(2018·宁波期末)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 B解析由三视图得该几何体为一个半球和一个半圆柱的组合体，且半圆柱的底面和半球体的一半底面重合，则其表面积为12×4πr 2＋πr 2＋2r ×2r ＋12×2πr ×2r ＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2，故选B.(2)(2018·绍兴质检)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 A解析将俯视图的对角线的交点向上拉起，结合正视图与侧视图知，此空间几何体是底面为正方形(边长2)，高为3的正四棱锥，则其体积V ＝13Sh ＝13×(2)2×3＝2，故选A.热点三多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图．例3 (1)已知正三棱锥S －ABC 的顶点均在球O 的球面上，过侧棱SA 及球心O 的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为23，则球O 的表面积为( )A ．16πB ．18πC ．24πD ．32π答案 A解析设正三棱锥的底面边长为a ，外接球的半径为R ，因为正三棱锥的底面为正三角形，边长为a ，则AD ＝32a ，则AO ＝23AD ＝33a ，所以33a ＝R ，即a ＝3R ，又因为三棱锥的体积为23，所以13×34a 2R ＝13×34×()3R 2×R ＝23，解得R ＝2，所以球的表面积为S ＝4πR 2＝16π.(2)如图是某三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为( )A.25π4 B.25π16 C.1 125π4 D.1 125π16答案 D解析把此三棱锥嵌入长、宽、高分别为20,24,16的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，三棱锥B －KLJ 即为所求的三棱锥，其中KC 1＝9，C 1L ＝LB 1＝12，B 1B ＝16，∴KC 1C 1L ＝LB 1B 1B，则△KC 1L ∽△LB 1B ，∠KLB ＝90°，故可求得三棱锥各面面积分别为S △BKL ＝150，S △JKL ＝150，S △JKB ＝250，S △JLB ＝250，故表面积为S 表＝800.三棱锥体积V ＝13S △BKL ·JK ＝1 000，设内切球半径为r ，则r ＝3V S 表＝154，故三棱锥内切球体积V 球＝43πr 3＝1 125π16.思维升华三棱锥P －ABC 可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形 (1)点P 可作为长方体上底面的一个顶点，点A ，B ，C 可作为下底面的三个顶点． (2)P －ABC 为正四面体，则正四面体的每条棱都可作为正方体的一条面对角线．跟踪演练3 (1)在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，若AB ＝2，BC ＝3，PA ＝4，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A ．13π B．20π C．25π D．29π 答案 D解析把三棱锥P －ABC 放到长方体中，如图所示，所以长方体的体对角线长为22＋32＋42＝29，所以三棱锥外接球的半径为292，所以外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎫2922＝29π. (2)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1S 2等于( )A ．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶8 答案 C 解析如图，由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r ，l 为底面圆周长，R 为母线长，则12lR ＝2πr 2，即12·2π·r ·R ＝2πr 2，解得R ＝2r ，故∠ADC ＝30°，则△DEF 为等边三角形，设B 为△DEF 的重心，过B 作BC ⊥DF ，则DB 为圆锥的外接球半径，BC 为圆锥的内切球半径，则BC BD ＝12，∴r 内r 外＝12，故S 1S 2＝14.真题体验1．(2018·全国Ⅰ改编)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在侧视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为________．答案 2 5解析先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点M ，N 的位置如图①所示．圆柱的侧面展开图及M ，N 的位置(N 为OP 的四等分点)如图②所示，连接MN ，则图中MN 即为M 到N 的最短路径．ON ＝14×16＝4，OM ＝2，∴MN ＝OM 2＋ON 2＝22＋42＝2 5.2．(2017·北京改编)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________．答案 2 3解析在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD 为该四棱锥的最长棱．由三视图可知，正方体的棱长为2，故SD ＝22＋22＋22＝2 3.3．(2017·天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．答案 92π解析设正方体的棱长为a ，则6a 2＝18，∴a ＝ 3. 设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3， ∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π.4．(2017·全国Ⅰ)已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S—ABC的体积为9，则球O的表面积为________．答案36π解析如图，连接OA，OB.由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径知，OA⊥SC，OB⊥SC.由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊂平面SCA，∴OA⊥平面SCB.设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，∴三棱锥S－ABC的体积V＝13×12×SC×OB×OA＝r33，即r33＝9，∴r＝3，∴球O的表面积S＝4πr2＝36π.押题预测1．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为( )A．16 B．82＋8C．22＋26＋8 D．42＋46＋8押题依据求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热点．此类题常以三视图为载体，给出几何体的结构特征，求几何体的表面积或体积．答案 D解析由三视图知，该几何体是底面边长为22＋22＝22的正方形，高PD＝2的四棱锥P－ABCD，因为PD⊥平面ABCD，且四边形ABCD是正方形，易得BC ⊥PC ，BA ⊥PA ，又PC ＝PD 2＋CD 2＝22＋(22)2＝23，所以S △PCD ＝S △PAD ＝12×2×22＝22，S △PAB ＝S △PBC ＝12×22×23＝2 6.所以几何体的表面积为46＋42＋8.2．在正三棱锥S －ABC 中，点M 是SC 的中点，且AM ⊥SB ，底面边长AB ＝22，则正三棱锥S －ABC 的外接球的表面积为( ) A ．6π B．12π C．32π D．36π押题依据灵活运用正三棱锥中线与线之间的位置关系来解决外接球的相关问题，是高考的热点．答案 B解析因为三棱锥S －ABC 为正三棱锥，所以SB ⊥AC ，又AM ⊥SB ，AC ∩AM ＝A ，AC ，AM ⊂平面SAC ，所以SB ⊥平面SAC ，所以SB ⊥SA ，SB ⊥SC ，同理SA ⊥SC ，即SA ，SB ，SC 三线两两垂直，且AB ＝22，所以SA ＝SB ＝SC ＝2，所以(2R )2＝3×22＝12，所以球的表面积S ＝4πR 2＝12π，故选B.3．已知半径为1的球O 中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为________．押题依据求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积．本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，命题角度新颖，值得关注．答案423解析如图所示，设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的侧面积为S ＝2πr ×21－r 2＝4πr 1－r 2≤4π×r 2＋(1－r 2)2＝2π⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当r 2＝1－r2，即r ＝22时取等号.所以当r ＝22时，V 球V 圆柱＝4π3×13π⎝ ⎛⎭⎪⎫222×2＝423.A 组专题通关1.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的正投影可能是( )A ．①② B．①④ C．②③ D．②④ 答案 B解析 P 点在上下底面投影落在AC 或A 1C 1上，所以△PAC 在上底面或下底面的投影为①，在前、后面以及左、右面的投影为④.2. (2018·浙江省金丽衢十二校联考)某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则此四面体的最大面的面积是( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4 答案 C解析由三视图得该几何体如图中的三棱锥A －BCD 所示，则S △ABD ＝12×(22)2×32＝23，S △BCD＝12×2×2＝2，S △ABC ＝S △ADC ＝12×22×2＝22，所以最大面的面积为23，故选C.3．(2018·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 C解析由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的上、下底边长分别为2,1，高为2， ∴该几何体的体积为V ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×(2＋1)×2＝6.故选C.4．某几何体的正视图和侧视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是△A ′B ′C ′，如图(2)所示，其中O ′A ′＝O ′B ′＝2，O ′C ′＝3，则该几何体的表面积为( )A ．36＋12 3B ．24＋8 3C ．24＋12 3D ．36＋8 3答案 C解析由题图(2)可知，该几何体的俯视图是一个底面边长为4，高为23的等腰三角形，即该三角形为等边三角形，在如图所示的长方体中，长、宽、高分别为4,23，6，三视图还原为几何体是图中的三棱锥P －ABC ，且S △PAB ＝S △PBC ＝12×4×6＝12，S △ABC ＝12×4×23＝43，△PAC是腰长为52，底边长为4的等腰三角形，S △PAC ＝8 3.综上可知，该几何体的表面积为2×12＋43＋83＝24＋12 3.故选C.5.已知如图所示的三棱锥D －ABC 的四个顶点均在球O 的球面上，△ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直，AB ＝3，AC ＝3，BC ＝CD ＝BD ＝23，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．36π答案 C解析如图所示，∵AB 2＋AC 2＝BC 2，∴∠CAB 为直角，即△ABC 外接圆的圆心为BC 的中点O ′.△ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直，则球心在过△DBC 的圆面上，即△DBC 的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合，易得球半径R ＝2，球的表面积为S ＝4πR 2＝16π，故选C.6．已知正四棱锥P －ABCD 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为2，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为( ) A.124π3 B.625π81 C.500π81 D.256π9答案 C解析如图所示，设底面正方形ABCD 的中心为O ′，正四棱锥P －ABCD 的外接球的球心为O ，∵底面正方形的边长为2， ∴O ′D ＝1，∵正四棱锥的体积为2， ∴V P －ABCD ＝13×(2)2×PO ′＝2，解得PO ′＝3，∴OO ′＝|PO ′－PO |＝|3－R |，在Rt△OO ′D 中，由勾股定理可得OO ′2＋O ′D 2＝OD 2，即(3－R )2＋12＝R 2，解得R ＝53，∴V 球＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫533＝500π81. 7．在三棱锥S －ABC 中，侧棱SA ⊥底面ABC ，AB ＝5，BC ＝8，∠ABC ＝60°，SA ＝25，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.643π B.2563πC.4363π D.2 048327π答案 B解析由题意知，AB ＝5，BC ＝8，∠ABC ＝60°，则在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2×AB ×BC ×cos∠ABC ，解得AC ＝7，设△ABC 的外接圆半径为r ，则 △ABC 的外接圆直径2r ＝ACsin∠ABC＝732，∴r ＝73，又∵侧棱SA ⊥底面ABC ，∴三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离d ＝12SA ＝5，则外接球的半径R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋()52＝643，则该三棱锥的外接球的表面积为S ＝4πR 2＝2563π. 8．某几何体的正视图和俯视图如图所示，在下列图形中，可能是该几何体侧视图的图形是________．(写出所有可能的序号)答案 ①②③解析如图a 三棱锥C －ABD ，正视图与俯视图符合题意，侧视图为①；如图b 四棱锥P －ABCD ，正视图与俯视图符合题意，侧视图为②；如图c 三棱锥P －BCD ，正视图与俯视图符合题意，侧视图为③.9．如图1所示是一种生活中常见的容器，其结构如图2，其中ABCD 是矩形，ABFE 和CDEF 都是等腰梯形，且AD ⊥平面CDEF ，现测得AB ＝20 cm ，AD ＝15 cm ，EF ＝30 cm ，AB 与EF 间的距离为25 cm ，则几何体EF －ABCD 的体积为________cm 3.答案 3 500解析在EF 上，取两点M ，N (图略)，分别满足EM ＝NF ＝5，连接DM ，AM ，BN ，CN ，则该几何体就被分割成两个棱锥和一个棱柱，根据柱、锥体的体积公式以及题中所给的相关量，可以求得V ＝12×20×15×20＋2×13×12×20×15×5＝3 500.10. (2018·浙江省杭州二中等五校联考)一个三棱锥的三视图如图所示，则其表面积为________，其外接球的体积为________．答案 26＋23412523π 解析由三视图得该几何体是一个底面为直角边分别为3,4的直角三角形，高为5的三棱锥，且三棱锥的顶点在底面的投影为底面直角三角形中边长为4的直角边所对的顶点，则其表面积为12×3×4＋12×3×5＋12×5×5＋12×34×4＝26＋234，其外接球的半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋4222＝522，则外接球的体积为43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫5223＝12523π. 11．(2018·全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．答案 402π解析如图，∵SA 与底面所成角为45°，∴△SAO 为等腰直角三角形．设OA ＝r ，则SO ＝r ，SA ＝SB ＝2r . 在△SAB 中，cos∠ASB ＝78，∴sin∠ASB ＝158， ∴S △SAB ＝12SA ·SB ·sin∠ASB＝12(2r )2·158＝515，解得r ＝210，∴SA ＝2r ＝45，即母线长l ＝45， ∴S 圆锥侧＝πr ·l ＝π×210×45＝402π.12．已知二面角α－l －β的大小为π3，点P ∈α，点P 在β 内的正投影为点A ，过点A 作AB ⊥l ，垂足为点B ，点C ∈l ，BC ＝22，PA ＝23，点D ∈β，且四边形ABCD 满足∠BCD ＋∠DAB＝π.若四面体PACD 的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．答案 86π解析 ∵∠BCD ＋∠DAB ＝π， ∴A ，B ，C ，D 四点共圆，直径为AC . ∵PA ⊥平面β，AB ⊥l ，∴易得PB ⊥l ，即∠PBA 为二面角α－l －β的平面角，即∠PBA ＝π3，∵PA ＝23，∴BA ＝2， ∵BC ＝22，∴AC ＝2 3. 设球的半径为R ，则23－R 2－()32＝R 2－()32，∴R＝6，V ＝4π3(6)3＝86π.B 组能力提高13．若四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为( )A.81π5 B.81π20 C.101π5 D.101π20答案 C解析根据三视图还原几何体为一个四棱锥P －ABCD ，如图所示，平面PAD ⊥平面ABCD ，由于△PAD 为等腰三角形，PA ＝PD ＝3，AD ＝4，四边形ABCD 为矩形，CD ＝2，过△PAD 的外心F 作平面PAD 的垂线，过矩形ABCD 的中心H 作平面ABCD 的垂线，两条垂线交于一点O ，则O 为四棱锥外接球的球心，在△PAD 中，cos∠APD ＝32＋32－422×3×3＝19，则sin∠APD ＝459，2PF ＝ADsin∠APD ＝4459＝955，PF ＝9510，PE ＝9－4＝5，OH ＝EF ＝5－9510＝510， BH ＝1216＋4＝5， OB ＝OH 2＋BH 2＝5100＋5＝50510，所以S ＝4π×505100＝101π5.14.如图所示，正方形ABCD 的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥侧面积的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(0,2]D ．(0,2)答案 D解析设四棱锥一个侧面为△APQ ，∠APQ ＝x ，过点A 作AH ⊥PQ ，则AH ＝12PQ ×tan x ＝AC －PQ 2＝22－PQ2＝2－12PQ ，∴PQ ＝221＋tan x ，AH ＝2tan x1＋tan x ，∴S ＝4×12×PQ ×AH ＝2×PQ ×AH＝2×221＋tan x ×2tan x1＋tan x＝8tan x (1＋tan x )2，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2，∴tan x >0， ∴S ＝8tan x (1＋tan x )2＝8tan x1＋tan 2x ＋2tan x ＝81tan x＋tan x ＋2≤82＋2＝2， ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当tan x ＝1，即x ＝π4时取等号，而tan x >0，故S >0，∵S ＝2时，△APQ 是等腰直角三角形，顶角∠PAQ ＝90°，阴影部分不存在，折叠后A 与O 重合，构不成棱锥，∴S 的取值范围为(0,2)，故选D.15．(2018·宁波模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为________，该三棱锥的外接球的体积为________．答案 4＋3＋15 2053π 解析由三视图得几何体的直观图如图所示，∴S 表＝2×12×2×2＋12×23×5＋12×23×1 ＝4＋15＋ 3.作DE ⊥BD 交BC 于点E ，以D 为原点，DB 所在直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，DA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则D (0,0,0)，A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (－1，3，0)，设球心坐标为(x ，y ，z )，∵(x －2)2＋y 2＋z 2＝x 2＋y 2＋z 2，① x 2＋y 2＋(z －2)2＝x 2＋y 2＋z 2，②(x ＋1)2＋(y －3)2＋z 2＝x 2＋y 2＋z 2，③∴x ＝1，y ＝3，z ＝1，∴球心坐标是(1，3，1)，∴球的半径是12＋()32＋12＝ 5. ∴球的体积是43π×()53＝2053π. 16．(2018·浙江省杭州二中等五校联考)棱长为36的正四面体A －BCD 的内切球上有一动点M ，则MB ＋13MC 的最小值为__________．答案 433 解析由MB ＋13MC 结构看，需要把13MC 转化为M 点到某定点的距离．设内切球球心为O ，△ABD 的中心为Q ，由正四面体性质易求OQ ＝36，OC ＝96，BQ ＝123，且内切球的半径为36，现在只需要在直线OC 上找一个定点P ，使MP ＝13MC ，即在平面OAC 内找MP ＝13MC .当M 分别在H ，Q 位置时，由MP ＝13MC ，得满足条件的只有一点P ，P 在OC 之间且OP ＝6，即MP ＝13MC ，且可证对内切球面上任意一点M ，上式均成立．所以MB ＋13MC ＝MB ＋MP ≥PB ＝PQ 2＋QB 2＝(46)2＋(123)2＝433，当M 为线段BP 与球面的交点时，取得最小值．。

高中数学会考复习教案：立体几何3

立体几何会考复习3
知识提要
复习见导引
注：
典例解读
1、下列命题中正确的是
A、若与共线，与共线,则与共线。

B、向量, ，共面，即它们所在直线共面。

C、零向量没有确定的方向。

D、若// ,则存在唯一的实数，使=
2、空间四边形ABCD每边及对角线长都是，E、F、G是AB,AD，DC中点，则
3、三棱锥O-ABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC= ，则
cos< >为
4、若平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD交点，若, ，,则下列向量中与相等的向量是
5、如图,AB=AC=BD=1,AB ，AC⊥,BD⊥AB，BD与成30°角，则C、D间的距离为
6、已知向量=（1，1,0), =（-1，0，2）,且K + 与2 —互相垂直,则k等于
7、设=(1，—2，2)，=（-3, ,4)，已知在上的射影是1，则=
8、已知两点A(1，—2,3）,B（2，1，—1）,AB连线与XOZ平面的交点是
9、如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F、G分别为DD1、BD、BB1的中点，
(1）求证EF⊥CF
（2）求与所成角的余弦
(3)求CE的长
10、一条长为2的线段夹在互相垂直的两个平面，之间，AB与成45°，与成30°,过A、B两点分别作两平面交线的垂线AC，BD，求平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小。

2020学年新教材高中数学第八章立体几何初步章末复习提升课学案新人教A版必修第二册(最新整理)

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章末复习提升课空间几何体的表面积与体积如图所示,梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°,在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积。

【解】由题易知以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体如图所示，即圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥.在梯形ABCD中,∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a,BC＝2a,∠DCB＝60°,所以CD＝BC－ADcos 60°＝2a，AB＝CD sin 60°＝错误!a，所以DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a,所以DO＝12DD′＝a.由上述计算知，圆柱的母线长为错误!a，底面半径为 2a；圆锥的母线长为 2a，底面半径为a.所以圆柱的侧面积S1＝2π·2a·错误!a＝4错误!πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，圆柱的底面积S3＝π(2a）2＝4πa2,圆锥的底面积S4＝πa2，所以组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2，故旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝（4错误!＋9）πa2。

2020高考数学二轮总复习立体几何1学案(特长班)

高三特长班数学总复习——立体几何（1）一、知识梳理： 1、直线与平面平行（1）判定定理：的一条直线和的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

（2）性质定理：一条直线与平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的与该直线。

2、平面与平面平行（1）判定定理：一个平面内的两条都与另一个平面平行，则这两个平面平行。

（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线。

3、直线与平面垂直（1）定义：如果一条直线与平面内的直线都垂直，就说该直线与该平面垂直。

（2）性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的直线垂直。

（3）判定定理：如果一条直线与平面内的垂直，则这条直线与这个平面垂直。

（4）性质定理：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

4、平面与平面垂直：（1）判定定理：一个平面过另一个平面的，则这两个平面互相垂直。

（2）性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内的直线垂直于另一个平面。

二、山东高考体验：并说明理由。

平面的位置，使上一点，试确定是）设（；求证：中，已知年）在直四棱柱（,//2)1(.//,,2207111111111BD A E D E DC E AC C D DC AB DC AD AB AD DD DC D C B A ABCD ⊥⊥===-（08年）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC == （Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积．ABCMPD（09年）如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点,设F 是棱AB 的中点,证明：直线EE 1//平面FCC 1；（1）证明:平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C.（10年）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.（I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；（II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比.EA BCFE 1A 1B 1C 1D 1 D⊥”是(2020山东)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件“mβC.充要条件D.既不充分也不必要条件三、高考链接：1、如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED,FB=a5,证明：EB⊥FD2、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.3、如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900。

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（2）___________________________________,____________________________由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

（3）______________________________________________________这样的多面体叫做棱台。

(6) _____________________________________________________叫做圆台。

(7) _____________________________________________________叫做球体，简称球。

3、正视图：光线从物体的_______投影所得的投影图，它能反映物体的_______和长度。

侧视图：光线从物体的________投影所得的投影图，它能反映物体的高度和宽度。

俯视图：光线从物体的________投影所得的投影图，它能反映物体的长度和宽度。

学业水平考试怎么考1. 下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（）. A .圆柱 B.圆锥 C.球 D.三菱柱 2、如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（） A 、球 B 、圆柱 C 、圆台 D 、圆锥 3．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A.球B.圆锥C.圆柱D.圆台二、课前小练：1、有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A 、棱台 B 、棱锥 C 、棱柱 D 、都不对2、下列结论中（1）．有两个面互相平行，其余各面都是平面四边形的几何体叫棱柱；（2）．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；（3）．用一个平面去截棱锥，棱锥的底面和截面之间的部分叫棱台；（4）．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

其中正确的结论是（） A.3 B.2 C.1 D.0 3、将图1所示的三角形绕直线l 旋转一周，可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角形（）4、下面多面体是五面体的是（）C ′A ′ Y ′ D ′A 三棱锥B 三棱柱C 四棱柱D 五棱锥5、如图，水平放置的三角形的直观图，D ′是A ′B ′边上的一点，且''31''B A A D =,'//''Y B A 轴，'//'X CD 轴，那么''A C 、''B C 、''D C 三条线段对应原图形中的线段CA 、CB 、CD 中（）A. 最长的是CA ，最短的是CBB.最长的是CB ，最短的是CAC.最长的是CB,最短的是CDD.最长的是CA ，最短的是CD三、典例分析：例1、如图所示的空间几何体中，是柱体或由柱体组合而成的是（）A.（1）（2）（3）（4）B. （2）（4）（5）C. （1）（2）D.（1）（2）（5）例2、用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面半径之比是1:4,截得的小圆锥母线长是3cm,求圆台的母线长。

例3、若一个正三棱柱的三视图如下，则这个三棱柱的高和底面的边长分别为( )A. 32,2B. 2,22C. 4,2D.2,4四、巩固练习：1．棱柱的侧面都是（）（A ）正方形（B ）平行四边形（C ）五边形（D ）菱形 2．下面几何体的截面图不可能是圆的是（）（A ）圆柱（B ）圆锥（C ）球（D ）棱柱 3、一个直立在水平面上的圆柱正视图、侧视图、俯视图分别是（） A. 矩形、矩形、圆 B. 矩形、圆、矩形 C. 圆、矩形、矩形 D.矩形、矩形、矩形第2课空间几何体的表面积与体积一、要点知识：下表中，'c ,c 分别表示上、下底面的周长，h 表示高，h ′表示斜高，l 表示侧棱长，r 表示圆柱、圆锥的底面半径，21,r r 分别表示圆台上、下底面半径，R 表示球半径。

学业水平考试怎么考（1）（2）（3）（4）（5）正视图侧视图俯视图1.如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为_________.2．两个球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积之比为（） A ．2:3B ．4:9C ．2:3D ．22:33二、课前小练：1、已知四棱椎P —ABCD 的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA=8，则该四棱椎的体积是。

2、一个圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则该圆柱的表面积是（） A. π2 B. π3 C. π4 D. π63、若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为__________-4、棱长都是1的正三棱柱的体积是_____________5、已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2 则这个长方体的对角线是_______，它的体积为___________三、典例分析：例1.一几何体按比例绘制的三视图如图所示，(单位：m) ○1)试画出它的直观图；○2求它的体积。

例2、如下图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，A 1B 1=2，AA 1=4，求该几何体的表面积和体积例3、如图，在四边形ABCD 中，，，，，AD=2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.四、巩固练习：1、已知三棱锥P —ABC 的顶点为P,PA 、PB 、PC 为两两垂直的侧棱，又三条侧棱长分别为3、3、4，则三棱锥的体积为_________2、圆锥的侧面展开图是一个半圆，则圆锥轴截面的顶角的大小为（） A.ο30 B. ο45 C. ο60 D. ο903、如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为_________4、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为5、用一个平面去截体积为43π的球，所得截面的面积为π，为则球心到截面的距离是________．第3课空间平面、直线与直线的位置关系1111A 1B 1C C 1正视图侧视图俯视图2 2 2 33一、要点知识：1、平面：公理1：① 公理2：② 公理3：③ 推论1：④ ，可确定一个平面推论2：⑤ ，可确定一个平面推论3：⑥ ，可确定一个平面 2、（1）空间中两条直线的位置关系有三种位置关系：⑦ ⑧ ⑨ （2 和统称为共面直线。

（3）异面直线：不同在一个平面的两条直线叫做异面直线 3、直线与平面的位置关系：（1）直线与平面相交：有且只有个交点；（2）直线在平面内：有个交点（3）直线与平面平行：有个交点4、空间中两平面的位置关系：、5、空间中的平行关系的转化与联系：。

学业水平考试怎么考1、如图, ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体.若BC=CC 1，求直线BC 1与平面ABCD 所成角的大小.1、在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AB.求异面直线BC 与PD 所成的角.3、如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，⊥D D 1底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且AB=1，21=D D 。

求直线B D 1与平面所成角的大小。

二、课前小练：1、若直线上有两个点在平面外，则（） A ．直线上至少有一个点在平面内 B ．直线上有无穷多个点在平面内C ．直线上所有点都在平面外D ．直线上至多有一个点在平面内 2、两条异面直线是指（）A ．不同在任何一个平面内的两条直线 B.空间中不相交的两条直线C.分别位于不同平面内的两条直线D.某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 3、一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条直线的位置关系是（） A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．相交或异面 4、如图:棱长均为a 的四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，a EF 22=，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°三、典例分析：BAFE CS CFEA例1、下列结论中：（1）公理1可以用符号语言表述为：若αα∈∈∈∈B A l B l A ,,,，则必有α⊂l ；（2）平面的形状是平行四边形；（3）三点确定一个平面;(4)任何一个平面图形都是一个平面；（5）若任意四点不共面，则其中任意三点不共面。

其中正确的有例2、已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别为AB 、AD 的中点，F 、G 分别为BC 、CD 的中点。

（1）求证：四边形EFGH 为平行四边形；（2）若平行四边形EFGH 为菱形，判断线段AC 与线段BD 的大小关系。

例3、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，（1）求AC 与A 1D 所成角的大小；（2）求A 1C 与BB 1所成角的的正切值。

四、巩固练习：1、两个平面重合的条件是它们的公共部分中有（）A.三个点B.一个点和一条直线C.无数个点D.两条相交直线 2、在空间中，下列命题正确的是 A ．对边相等的四边形一定是平面图形 B ．四边相等的四边形一定是平面图形 C ．有一组对边平行且相等的四边形是平面图形 D ．有一组对角相等的四边形是平面图形 3、若三条直线交于一点，则可确定的平面数是（）A.1个B. 2个C.3个D.1个或3个4、空间四边形ABCD 中，AC 与BD 成60角，若AC=BD=8，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则线段MN 的长分别为 A.4 B.2 C.8 D.4或34第4课直线、平面平行的判定与性质1、直线与平面平行的判定定理：一条直线与此平面内的一条直线，则该直线与此平面平行。