宿松2017届高三数学一轮复习第6讲基本初等函数教案
2017高考理科数学一轮复习课件：第2章 基本初等函数、导数的应用 第6讲
第二章 基本初等函数、导数的应用
11
11
a－3·b2·a－2·b3
111 115
[解] (1)原式＝
15
＝a－3－2－6·b2＋3－6＝a－1.
a6·b6
(2)
原式＝
29512＋
1 0.12
＋
2
6247－3－
3＋
37 48
＝
53＋
100＋196－3＋3478
＝100.
栏目 导引
第十八页，编辑于星期六：二十二点 二分。
栏目 导引
第三十页，编辑于星期六：二十二点 二分。
第二章 基本初等函数、导数的应用
(2)当 t∈[1，2]时，2t22t－212t＋m2t－21t≥0， 即 m(22t－1)≥－(24t－1)， 因为 22t－1>0，所以 m≥－(22t＋1)， 因为 t∈[1，2]，所以－(22t＋1)∈[－17，－5]， 故 m 的取值范围是[－5，＋∞)．
栏目 导引
第二十三页，编辑于星期六：二十二点 二分。
第二章 基本初等函数、导数的应用
(3)令 t＝|x|－a，则 f(t)＝23t，不论 a 取何值，t 在(－∞，0] 上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又 y＝23t是单调递减 的，因此 f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是 [0，＋∞)．所以 f(x)max＝f(0)＝23－a＝94＝23－2，即－a＝－2， a＝2.
＝130－49＋53－1＝－45.
13
42·42 3
33
3
(2)原式＝ 100 ·a2·a－2·b2·b－2
＝245a0·b0＝245.
栏目 导引
第二十一页，编辑于星期六：二十二点 二分。
2017版高考数学一轮总复习课件：第2章 函数的概念与基本初等函数 第六节
第二十二页，编辑于星期六：十九点 五十二分。
【例 3】 对实数 a 和 b，定义运算“⊗”：a⊗b＝ab， ，aa－ －bb≤>11，，设 函数 f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)，x∈R.若函数 y＝f(x)－c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是( ) A.(－1，1]∪(2，＋∞) B.(－2，－1]∪(1，2] C.(－∞，－2)∪(1，2] D.[－2，－1]
0. (6)若f(a－x)＋f(a＋x)＝2b或f(2a－x)＋f(x)＝2b，则f(x)关于(a，b)成 中心对称.
第二十八页，编辑于星期六：十九点 五十二分。
[点评] 一般确定函数图象的过程为：
(1)确定函数的定义域；
(2)化简函数的解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性、特殊点等
).
第二十一页，编辑于星期六：十九点 五十二分。
突破函数图象的应用解题方略 利用函数的图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方
第十五页，编辑于星期六：十九点 五十二分。
[点评] (1)要明确函数图象的位置和形状：可通过研究函数的性质 如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等等； (2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用 的方法技巧，来帮助我们简化作图过程.
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[解题指导]
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解析 答案 B
第二十四页，编辑于星期六：十九点 五十二分。
高中数学必修一函数概念与基本初等函数精品教学案(教师版全套)
函数概念与基本初等函数1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。
3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。
4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。
5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值. 6．会运用函数图像理解和研究函数的性质.（二）指数函数1．了解指数函数模型的实际背景。
2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。
4．知道指数函数是一类重要的函数模型。
（三）对数函数1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。
2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.3．知道对数函数是一类重要的函数模型.4．了解指数函数与对数函数互为反函数（）。
（四）幂函数1．了解幂函数的概念。
2．结合函数的图像，了解它们的变化情况。
（五）函数与方程1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。
2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。
能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.（六）函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。
知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。
3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。
第1课时 函数及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的 叫做象， 叫做原象。
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2016—2017学年第一学期高三年级数学学科集体备课教案2．函数y＝(2k＋1)x＋b在（－∞,＋∞)上是减函数,则( ）A．k〉错误!B．k〈错误!C．k>－错误!D．k〈－错误!解析：选D 函数y＝(2k＋1)x＋b是减函数，则2k＋1〈0，即k〈－错误!.3．（教材习题改编)函数f（x）＝11－x1－x的最大值是（）A。
错误!B。
错误!C。
错误! D.错误!解析：选D ∵1－x（1－x）＝x2－x＋1＝错误!2＋错误!≥错误!，∴0〈错误!≤错误!.4．（教材习题改编)f(x)＝x2－2x(x∈）的单调增区间为________；f(x)max＝________。
解析：函数f(x）的对称轴x＝1，单调增区间为，f(x)max ＝f(－2）＝f（4)＝8.答案：85．已知函数f（x）为R上的减函数，若m<n，则次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数,应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性,再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．函数单调性的判断典题导入（理)判断函数f（x）＝x＋错误!(a>0）在(0,＋∞)上的单调性．设x1〉x2〉0，则f（x1）－f(x2)＝错误!－错误!＝（x1－x2)＋错误!＝(x1－x2)＋错误!＝（x1－x2)错误!。
顾，巩固用定义证明单调性的步骤。
故f(x)在(－∞,0）上是增函数．由题悟法对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法:(1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；(2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．以题试法1．判断函数g（x）＝错误!在(1，＋∞）上的单调性．解:任取x1，x2∈（1，＋∞），且x1〈x2，则g(x1)－g(x2）＝－2x1x1－1－错误!＝2x1－x2x1－1x2－1，由于1<x1〈x2，所以x1－x2〈0，(x1－1)(x2－1)〉0，因此g(x1)－g（x2）<0，即g(x1）〈g（x2)．故g（x）在（1,＋∞）上是增函数．求函数的单调区间典题导入（2012·长沙模拟）设函数y＝f(x)在(－∞,＋∞)内有定义．对于给定的正数k，定义函数f k(x)＝错误!取函数f（x)＝2－｜x｜。
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（4）生活中的优化问题举例
例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
（3）一般地，在区间上连续的函数f 在上必有最大值与最小值。①求函数ƒ 在(a，b)内的极值；②求函数ƒ 在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数ƒ 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
二．典例分析
考点一：导数的概念
例1．已知s= ，（1）计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001秒….各段内平均速度；（2）求t=3秒是瞬时速度。
解析：（1） 指时间改变量；
指时间改变量。
。
其余各段时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。
（2）从（1）可见某段时间内的平均速度 随 变化而变化， 越小， 越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是 时， 的极限，
3．常见函数的导出公式．
（１） （C为常数） （２）
（３） （４）
4．两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即：(
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：
若C为常数,则 .即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ‘= （v 0）。
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∵△AFE∽△ACB，∴ ＝ ，
即 ＝ .
∴y＝40－ x.剩下的残料面积为
S＝ ×60×40－x·y＝ x2－40x＋1 200
＝ (x－30)2＋600.
∵0<x<60，
∴当x＝30时，S取得最小值为600，这时y＝20.
∴在边长60 cm的直角边CB上截CD＝30 cm，在边长为40 cm的直角边AC上截CF＝20 cm时，能使所剩残料最少．
(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？
(1)当0<x≤500时，f(x)＝0.05x－ x2－ ＝－ ＋ x－ ，
当x>500时，f(x)＝0.05×500－ ×5002－ ＝12－ x，
故f(x)＝
(2)当0<x≤500时，f(x)＝－ ＋ x－ ＝－ (x－475)2＋ ，
故当x＝475时，f(x)max＝ .
由题悟法
1．在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，对一次函数模型，主要是利用一次函数的图象与单调性求解．
2．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．对二次函数模型，一般是利用配方法并结合二次函数图象与单调性解决．
考点二：分段函数模型
典题导入
(2012·孝感统考)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为 万元．
(1)该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x)，求f(x)；
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2016-2017学年第一学期高三年级数学学科集体备课教案x|x|为奇函数，图象关于原点对称．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与g(x且a≠1，再对a分类讨论．为了得到函数y＝2x－3的图象，只需把函数y＝2其中图象变换法，对于左、右平移变换，可熟记口诀：左加右减．但要注意加、减指的是自变量，否由题悟法以题试法1．作出下列函数的图象： (1)y ＝|x －x 2|； (2)y ＝x ＋2x －1. 解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2，0≤x ≤1，－x －x 2，x >1或x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，0≤x ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，x >1或x <0，其图象如图1所示(实线部分)．(2)y ＝x －＋3x －1＝1＋3x －1，先作出y ＝3x的图象，再将其向右平移1个单位，并向上平移1个单位即可得到y ＝x ＋2x －1的图象，如图2.识图与辨图典题导入(2012·湖北高考)已知定义在区间上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ，x所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，2－x x，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x －x为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎭⎪f的值等于________． ＝1，∴f ＝1.∴f⎝ ⎭⎪f＝f(1)＝2.|lg 10|＝1；0<x<10时，|lg x|<1；若本例中f(x)变为f(x)＝|x|，其他条件不变，试确定交点个数．2．利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )图象与x 轴的交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象的交点的横坐标．以题试法3． (2012·天津河西模拟)设方程3x＝|lg(－x )|的两个根为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<1解析：选D函数y ＝3x与函数y ＝|lg(－x )|的图象如图所示， 由图示可设x 1<－1<x 2<0，则0<3x 1<3x 2<1，⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＝－x 1，3x 2＝－－x 2，可得3x 1－3x 2＝lg(－x 1)＋lg(－x 2)＝lg x 1x 2， ∵3x 1－3x 2<0，∴0<x 1x 2<1.。
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(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与集合B只能是非
空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射．
(2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数
集，则这个映射便不是函数．
2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数
如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相
注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：
①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
7．分段函数
若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；
8．复合函数
若y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u(m,n)，那么y=f称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示。
5．映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A B”。
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。
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2016-2017学年第一学期高三年级数学学科集体备课教案答案：②④充分必要条件的判定典题导入(1)(2012·福州质检)“x<2”是“x2－2x<0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2012·北京高考)设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(1)取x＝0，则x2－2x＝0，故由x<2不能推出x2－2x<0；由x2－2x<0得0<x<2，故由x2－2x<0可以推出x<2.所以“x<2”是“x2－2x<0”的必要而不充分条件．(2)当a＝0，且b＝0时，a＋b i不是纯虚数；若a＋b i是纯虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的必要而不充分条件．(1)B (2)B由题悟法充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A 是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．以题试法2．下列各题中，p是q的什么条件？(1)在△ABC中，p：A＝B，q：sin A＝sin B；(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.解：(1)若A＝B，则sin A＝sin B，即p⇒q.又若sin A＝sin B，则2R sin A＝2R sin B，即a ＝b.故A＝B，即q⇒p.所以p是q的充要条件．(2)p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0，或x≤－1}＝B，∵A B，∴p是q的充分不必要条件．充分必要条件的应用典题导入方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( )若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为。
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2016-2017学年第一学期高三年级数学学科集体备课教案2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ,记作Nln ；②基本性质：1）真数N 为正数(负数和零无对数）;2）01log =a；3）1log=a a；4）对数恒等式：N aNa =log .③运算性质:如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1)N M MN a aalog log)(log +=；2）NM N M a a a log log log -=；3）∈=n M n M a n a(log logR ）。
④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a a N N m m a 1）1log log=⋅a b b a ；2）b mnb a na m log log =。
2．指数函数与对数函数（1)指数函数: ①定义:函数)1,0(≠>=a a ay x且称指数函数，1）函数的定义域为R ；2）函数的值域为),0(+∞； 3)当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数。
②函数图像:1）指数函数的图象都经过点(0，1),且图象都在第一、二象限；2)指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴）；3)对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数xxa y a y -==与的图象关于y 轴对称。
③函数值的变化特征：（2)对数函数： ①定义:函数)1,0(log≠>=a a x y a且称对数函数，1）函数的定义域为),0(+∞；2)函数的值域为R ； 3)当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数； 4）对数函数x y alog =与指数函数)1,0(≠>=a a ay x且互为反函数。
安徽省宿松中学2017届高三上学期数学一轮复习教案：第1讲集合
2016-2017学年第一学期高三年级数学学科集体备课教案问题确定采用哪种表示法，要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法.（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集),记作N;正整数集,记作N*或N+;整数集,记作Z;有理数集，记作Q；实数集，记作R.2．集合的包含关系：（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A)，记作A⊆B（或BA⊂);集合相等：构成两个集合的元素完全一样.若A⊆B 且B⊇A，则称A等于B，记作A=B;若A⊆B且A≠B,则称A是B的真子集，记作A B；（2)简单性质：1）A⊆A；2）Φ⊆A；3)若A⊆B,B⊆C，则A⊆C;4）若集合A是n个元素的集合，则集合A 有2n个子集（其中2n－1个真子集）；3．全集与补集:（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；（2）若S是一个集合，A⊆S，则，S C=}x∈且x∉x|{AS称S中子集A的补集；（3）简单性质：1）C（S C）=A;2）S C S=Φ，ΦS C=S。
S4。
(2012·盐城模拟）如图，已知U＝{1，2，3，4,5，6，7，8,9，10},集合A＝{2,3，4，5,6,8}，B＝｛1，3,4，5,7},C＝｛2,4，5,7,8，9｝，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．解析：阴影部分表示的集合为A∩C∩(∁U B)＝{2,8｝．答案:{2，8｝5．(教材习题改编）已知全集U＝｛－2，－1，0，1，2},集合A＝错误!，则∁U A＝________。
解析：因为A＝错误!，当n＝0时，x＝－2；n＝1时不合题意；n＝2时，x＝2；n＝3时，x＝1；n≥4时，x∉Z；n＝－1时，x＝－1;n≤－2时，x∉Z。
故A＝{－2,2，1，－1｝，又U ＝｛－2,－1，0,1,2｝，所以∁U A＝｛0}．答案：｛0｝1.正确理解集合的概念研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x｜y＝f(x)}、｛y｜y＝f(x）｝、{（x，y）｜y＝f（x)｝三者的不同．2．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时,若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．元素与集合典题导入（1）(2012·新课标全国卷)已知集合A＝{1,2，3，4,5｝，B＝｛（x，y）｜x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( ）对检验，学生缺乏意识.A．3 B．6C．8 D．10（2)已知集合M＝｛1，m}，N＝{n,log2n｝,若M ＝N,则（m－n）2013＝________。
安徽省宿松中学2017届高三上学期数学一轮复习教案：第2讲常用逻辑知识
2016-2017 学年第一学期高三年级数学学科集体备课教案修改与课常用逻辑知识（共4课）创新题1．命题及其关系① 认识命题的抗命题、否命题与逆否命题；课② 理解必需条件、充足条件与充要条件的意义，会剖析四种命题的互相关系；标 2．简单的逻辑联络词要经过数学实例，认识" 或 " 、 " 且 " 、 " 非 " 逻辑联络词的含义。
求 3．全称量词与存在量词①经过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义；② 能正确地对含有一个量词的命题进行否认。
命本部分内容主假如常用的逻辑用语，包含命题与量词，基本逻辑联络词以及充足条件、必题要条件与命题的四种形式。
走展望 2017 年高考对本部分内容的观察形式以下：观察的形式以选择、填空题为主，观察的向重点是条件和复合命题真值的判断。
教学多媒体准备重点精讲 :1．命题命题：能够判断真假的语句叫命题；逻辑联络词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联络词；简单命题：不含逻辑联络词的命题。
复合命题：由简单命题与逻辑联络词组成的命题。
常用小写的拉丁字母p，q，r ，s，表示命题，故复合命题有三种形式：p 或 q；p 且 q；非 p。
2．复合命题的真值“非 p”形式复合命题的真假能够用下表表示：p非 p真假假真教“p且 q”形式复合命题的真假能够用下表表示：学p q p 且 q过真真真程真假假假真假假假假“p且 q”形式复合命题的真假能够用下表表示：p q P 或 q真真真真假真假真真假假假注： 1°像上边表示命题真假的表叫真值表； 2°由真值表得：“非 p”形式复合命题的真假与 p 的真假相反；“p且 q”形式复合命题当 p 与 q 同为真时为真，其余状况为假；“p或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假，其余状况为真； 3°真值表是依据简单命题的真假，判断由这些简单命题组成的复合命题的真假，而不波及简单命题的详细内容。
2017版高考数学人教A版(全国)一轮复习 课件 第二章 函数概念与基本初等函数 第6讲
第十九页，编辑于星期六：二十点 九分。
考点三 对数函数的性质及应用
[微题型1] 比较大小
【例3－1】 若a＝log3π，b＝log76，c＝log20.8，则( )
A.a＞b＞c
B.b＞a＞c
C.c＞a＞b
D.b＞c＞a
解析 因为log3π＞log33＝1，0＝log71＜log76＜log77 ＝1，logA.
的关系是( )
A.0＜a－1＜b＜1
B.0＜b＜a－1＜1
C.0＜b－1＜a＜1
D.0＜a－1＜b－1＜1
(2)设 a，b，c 均为正数，且 2a＝log12a，12b＝log12b，
12c＝log2c，则(
)
A.a＜b＜c
B.c＜b＜a C.c＜a＜b D.b＜a＜c
第十八页，编辑于星期六：二十点 九分。
B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－1，0)∪(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(0，1)
第二十二页，编辑于星期六：二十点 九分。
解析 (1)由 2－log2x≥0，得 log2x≤2＝log222， 解得 0＜x≤4.
(2)
由
题
意
可
得
a＞0， log2a＞－log2a
或
a＜0， log12（－a）＞log2（－a），
值之和为 a，则 a 的值为________.
第二十七页，编辑于星期六：二十点 九分。
解析 (1)∵ 3＜2＜3，1＜2＜ 5，3＞2，∴log3 3＜log32＜ log33，log51＜log5 2＜log5 5，log23＞log22， ∴12＜a＜1，0＜b＜12，c＞1，∴c＞a＞b. (2)y＝ax 与 y＝loga(x＋1)的单调性相同. ①当 a＞1 时，f(x)的最大值为 f(1)，最小值为 f(0). ②当 0＜a＜1 时，f(x)的最大值为 f(0)，最小值为 f(1). ∴不论 a＞1 还是 0＜a＜1 都有 f(0)＋f(1)＝a， 即 a0＋loga1＋a＋loga2＝a，解得 a＝12. 答案 (1)A (2)12
安徽省宿松中学2017届高三上学期数学一轮复习教案：第13讲正、余弦定理及应用
2016—2017学年第一学期高三年级数学学科集体备课教案（1）角的变换因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin （A+B)=sinC;cos （A+B)=－cosC;tan （A+B ）=－tanC.2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理,余弦定理。
r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半。
(3）在△ABC 中，熟记并会证明:∠A,∠B，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A,∠B，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列.二．典例分析(2012·浙江高考）在△ABC 中,内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ,c ，且b sinA ＝3a cosB 。
(1)求角B 的大小;（2）若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值． (1)由b sin A ＝错误!a cos B 及正弦定理 asin A＝错误!，得sin B ＝错误!cos B ，所以tan B ＝错误!，所以B ＝错误!。
(2)由sin C ＝2sin A 及错误!＝错误!,得c ＝2a . 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B , 得9＝a 2＋c 2－ac 。
所以a ＝3，c ＝23。
在本例（2）的条件下，试求角A 的大小． 解:∵a sin A ＝bsin B，∴sin A ＝错误!＝错误!＝错误!。
∴A ＝错误!。
由题悟法1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．以题试法1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A ＝错误!a.（1）求错误!；（2)若c2＝b2＋错误!a2，求B。
安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第7讲函数与方程教案
函数与方程典例解析:考点一：确定函数零点所在的区间典题导入(2012·唐山统考)设f (x )＝e x＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)∵f (x )＝e x＋x －4，∴f ′(x )＝e x＋1>0.∴函数f (x )在R 上单调递增．f (－1)＝e －1＋(－1)－4＝－5＋e －1<0，f (0)＝－3<0，f (1)＝e ＋1－4＝e －3<0，f (2)＝e 2＋2－4＝e 2－2>0，f (1)f (2)<0，故零点x 0∈(1,2)．C由题悟法利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y ＝f (x )在区间上的图象是否连续不断，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．以题试法1．(2013·衡水模拟)设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B 设函数f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，f (1)·f (2)<0，且f (x )为单调函数，则x 0∈(1,2)．考点二：判断函数零点个数典题导入(1)(2012·北京高考)函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)(2012·北京东城区模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1(1)在同一平面直角坐标系内作出y 1＝x 12与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点，因此函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x只有1个零点．(2)由f (f (x ))＋1＝0可得f (f (x ))＝－1，又由f (－2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1. 可得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝2，综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1有4个零点． (1)B (2)A由题悟法判断函数零点个数的常用方法(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．以题试法2．(2012·湖北高考)函数f (x )＝x cos x 2在区间上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选C 令x cos x 2＝0，则x ＝0，或x 2＝k π＋π2，又x ∈，因此x k ＝ k π＋π2(k ＝0,1,2,3,4)，共有6个零点．考点三：函数零点的应用典题导入把两个函数图像交点转化为一个函数的零点，再由根的存在性定理判断，由于转了几个弯子，学生难以开启思路。
安徽省宿松中学2017届高三上学期数学一轮复习教案：第18讲等比数列
2016-2017学年第一学期高三年级数学学科集体备课教案它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力.教学准备多媒体课件教学过程1．等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零）,那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示，定义的表达式为错误!＝q（q≠0,n∈N＊)．（2)等比中项如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔G2＝ab．“a,G,b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．2．等比数列的有关公式(1）通项公式：a n＝a1q n－1．(2）前n项和公式：S n＝错误!3．等比数列的性质已知数列｛a n}是等比数列,S n是其前n项和．(m，n，p，q,r，k∈N*）（1)若m＋n＝p＋q＝2r，则a m·a n＝a p·a q＝a错误!；（2）数列a m，a m＋k，a m＋2k,a m＋3k，…仍是等比数列；（3）数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时｛a n}的公比q≠－1）．1．辨明三个易误点（1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0，但q可为正数，也可为负数．(2）由a n＋1＝qa n，q≠0，并不能立即断言｛a n｝为等比数列,还要验证a1≠0.(3)在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q ＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．2．等比数列的三种判定方法（1）定义：错误!＝q（q是不为零的常数，n∈N＊）⇔{a n}是等比数列．（2)通项公式：a n＝cq n－1(c、q均是不为零的常数，n ∈N*)⇔｛a n｝是等比数列．(3）等比中项法:a错误!＝a n·a n＋2(a n·a n＋1·a n＋2≠0,n∈N*)⇔{a n}是等比数列．3．求解等比数列的基本量常用的思想方法(1）方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量:a1,q，n,a n，S n,已知其中三个量，可以通过解方程(组）求出另外两个量；其中基本量是a1与q,在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组,是解题的关键．(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当q＝1时，S n＝na1；当q≠1时,S n＝错误!；在判断等比数列单调性时，也必须对a1与q分类讨论．1．（2014·高考重庆卷)对任意等比数列{a n}，下列说C．63 D．64解析：选C.由等比数列的性质，得（S4－S2）2＝S2·（S6－S4),即122＝3×（S6－15），解得S6＝63。
宿松县2017届高三数学一轮复习第3讲函数概念与表示教案
函数概念与表示应．4．已知f错误!＝x2＋5x，则f(x)＝____________。
解析：令t＝错误!,则x＝错误!。
所以f（t）＝错误!＋错误!.故f(x)＝错误!（x≠0）．答案:错误!（x≠0)5．(教材习题改编）若f(x）＝x2＋bx＋c，且f（1)＝0，f(3）＝0，则f(－1）＝________.解析:由已知得错误!得错误!即f(x）＝x2－4x＋3。
所以f(－1)＝(－1)2－4×（－1）＋3＝8.答案：81.函数与映射的区别与联系（1)函数是特殊的映射,其特殊性在于集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射．(2）映射不一定是函数,从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．2．定义域与值域相同的函数,不一定是相同函数如函数y＝x与y＝x＋1,其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数y＝sin x与y＝cos x，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．3．求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f（x0）时,一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．函数的基本概念典题导入有以下判断：(1）f（x)＝错误!与g（x)＝错误!表示同一函数;(2)函数y＝f（x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个;（3）f（x)＝x2－2x＋1与g（t)＝t2－2t＋1是同一函数；(4）若f（x）＝|x－1|－｜x|,则f错误!＝0.其中正确判断的序号是________．对于（1），由于函数f(x)＝错误!的定义域为{x｜x∈R，且x≠0｝，而函数g（x)＝错误!的定义域是R,所以二者不是同一函数；对于（2），若x＝1不是y＝f(x）定义域的值,则直线x ＝1与y＝f（x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f（x)定义域内的值,由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x）的图象只有一个交点，即y＝f（x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于（3），f（x)与g（t)的定义域、值域和对应关系均相同,所以f(x）和g(t)表示同一函数;对于（4），由于f错误!＝错误!－错误!＝0,所以f错误!＝f（0）＝1.综上可知，正确的判断是(2)（3)．(2)（3)由题悟法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f（x)＝2x－1，g(t）＝2t－1，h(m）＝2m－1均表示同一函数．以题试法1．已知f:x→－sin x是集合A(A⊆)到集合B＝错误!的一个映射，则集合A中的元素个数最多有（)A．4个B．5个C．6个D．7个解析：选B 当－sin x＝0时sin x＝0，x可取0，π,2π;当－sin x＝错误!时，sin x＝－错误!，x可取错误!,错误!，故集合A中的元素最多有5个．求函数的解析式典题导入（1）已知f错误!＝x2＋错误!，求f（x)的解析式；(2）已知f错误!＝lg x，求f(x）的解析式；(3)已知f(x)是二次函数，且f（0）＝0,f（x＋1)＝f（x)＋x＋1，求f（x）．（1）由于f错误!＝x2＋错误!＝错误!2－2，所以f(x)＝x2－2,x≥2或x≤－2,故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2（x≥2或x≤－2)．(2)令错误!＋1＝t得x＝错误!,代入得f(t）＝lg错误!,又x>0，所以t>1，故f（x)的解析式是f（x)＝lg错误!（x>1）．（3)设f（x）＝ax2＋bx＋c(a≠0）,由f（0)＝0，知c＝0，f（x）＝ax2＋bx,又由f(x＋1)＝f（x）＋x＋1，得a（x＋1)2＋b（x＋1）＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋（2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋（b＋1）x＋1，所以错误!解得a＝b＝错误!。
2017届高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应用 理 北师大版
第1课时函数及其表示1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单的应用．1．函数的概念及表示2.如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．3．映射的定义(1)两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A 到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y.(2)一一映射一一映射是一种特殊的映射，它满足：①A 中每一个元素在B 中都有唯一的像与之对应；②A 中的不同元素的像也不同；③B 中的每一个元素都有原像． [基础自测]1．(教材改编题)下列各组函数是同一函数的是( ) A ．y ＝|x |x与y ＝1B ．y ＝|x －1|与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >11－x ，x <1C ．y ＝|x |＋|x －1|与y ＝2x －1D ．y ＝x 3＋xx 2＋1与y ＝x解析：A 中定义域不同，B 中定义域不同，C 中两个函数对应关系不同，D 中定义域均为R ，对应关系均为y ＝x ，故选D. 答案：D2．设f ，g 都是从A 到A 的映射(其中A ＝{1,2,3})，其对应关系如下表：则f (g (3))等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．不存在解析：∵g (3)＝1，∴f (g (3))＝f (1)＝3，故选C. 答案：C3．(教材改编题)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1解析：∵f (－1)＝－－＝1，f (a )＋f (－1)＝2，∴f (a )＝1，∴当a >0时，a ＝1解得a ＝1.当a <0时，－a ＝1解得a ＝－1.∴a ＝±1. 答案：D4．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为________．解析：当x 取0,1,2,3时，对应的函数y 的值依次为0，－1，0,3，所以其值域为{－1,0,3}． 答案：{－1,0,3}5．设集合A ＝{x |y ＝x －2}，集合B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则A ∩B ＝________. 解析：已知A ＝{x |x －2≥0}＝{x |x ≥2}，B ＝{y |y ≥0}，∴A ∩B ＝{x |x ≥2}．答案：{x |x ≥2}考点一 函数、映射的概念与求函数值大一轮复习 BSD 数学(理)第二章 基本初等函数、导数及其应用[例1] (1)(2014·高考江西卷)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞) (2)有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x －1 x表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图像与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________．审题视点 (1)将求函数的定义域问题转化为解不等式问题．(2)从函数的定义、定义域、值域等方面对所给结论进行逐一分析判断． 解析 (1)要使f (x )＝ln(x 2－x )有意义，只需x 2－x >0， 解得x >1或x <0.∴函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．(2)对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x －1，x 的定义域是R ，所以二者不是同一函数，对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )与g (t )表示同一函数，对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图像没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数的定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图像只有一个交点，即y ＝f (x )的图像与直线x ＝1最多有一个交点，对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1.综上可知，正确的判断是②，③. 答案 (1)C (2)②③函数的三要素是：定义域、值域、对应关系．这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应关系唯一确定；因此当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．特别值得说明的是，对应关系是对效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)不是指形式上的．即对应关系是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断．1．(2015·高考重庆卷)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( )A ．[－3,1] B. (－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：要使函数有意义，只需x 2＋2x －3>0，即(x ＋3)(x －1)>0，解得x <－3或x >1.故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞) 答案：D2．(2016·安徽宣城一模)函数f (x )＝|x －2|－1x －的定义域是( )A ．[3，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，3 D ．(－∞，－3)解析：要使函数有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|－1≥0，x －1>0，x －1≠1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥1或x －2≤－1，x >1，x ≠2.所以x ≥3，即定义域为[3，＋∞)． 答案：A考点二 分段函数及其应用[例2] (2014·高考福建卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)审题视点 根据所给分段函数解析式，画出函数图像解答．解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ，x ≤0的图像如图所示，由图像知只有D 正确．答案 D对于分段函数应当注意的是分段函数是一个函数，而不是几个函数，其特征在于“分段”，即对应关系在不同的定义区间内各不相同，在解决有关分段函数问题时既要紧扣“分段”这个特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化．分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数的几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．1．(2015·高考课标卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋log 2－x ，2x －1，x <1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：∵－2＜1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212＞1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C. 答案：C2．(2016·陕西榆林一模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1， x ≤0，－x －2， x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x －2≥－1.解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故x 的取值范围为[－4,2]． 答案：[－4,2]考点三 函数的表示法[例3] (1)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x(2)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a <12)、4 m ，不考虑树的粗细．现在想用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD .设此矩形花圃的面积为S m 2，S 的最大值为f (a )，若将这棵树围在花圃内，则函数u ＝f (a )的图像大致是( )审题视点 (1)将f (2x )表示出来，与2f (x )作比较． (2)将f (a )用函数表示出来，用函数观点来研究最值． 解析 (1)对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )； 对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )；对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C. (2)设AD ＝x ，DC ＝y ，则x ＋y ＝16，S ＝xy ＝x (16－x )＝－(x －8)2＋64(x ≥a )． 当0<a ≤8时，x ＝8使S 取得最大值，且f (a )＝64；当8<a <12时，x ＝a 使S 取得最大值，且f (a )＝－(a －8)2＋64是一个在区间(8,12)上单调递减的函数，但始终有f (a )>0.故只有C 图像符合，故选C.答案 (1)C (2)C求函数解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)解函数方程等．1．(2016·浙江慈溪、余姚联考)若函数f (x )满足：2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，则f (x )＝________.解析：用1x替换2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x 中的x ，得到2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x，两个方程联立消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，得f (x )＝2x －1x.答案：2x －1x2．(2016·河北唐山统考)f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x <0时，f (x )＝( ) A ．－x 3－ln(1－x ) B ．x 3＋ln(1－x ) C ．x 3－ln(1－x ) D ．－x 3＋ln(1－x )解析：当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )．∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]， ∴f (x )＝x 3－ln(1－x )． 答案：C与函数有关的新定义问题[典例] 设f (x )，g (x )，h (x )是R 上的任意实值函数，如下定义两个函数(f ∘g )(x ) 和(f ·g )(x )；对任意x ∈R ，(f ∘g )(x )＝f (g (x ))；(f ·g )(x )＝f (x )g (x )．则下列等式恒成立的是( )A ．((f ∘g )·h )(x )＝((f ·h )∘(g ·h ))(x )B ．((f ·g )∘h )(x )＝((f ∘h )·(g ∘h ))(x )C ．((f ∘g )∘h )(x )＝((f ∘h )∘(g ∘h ))(x )D ．((f ·g )·h )(x )＝((f ·h )·(g ·h ))(x )解题指南 根据新的定义逐个选项验证其真伪，从而作出判断． 解析 根据新函数的定义分析如下，A 项((f ∘g )·h )(x )＝(f ∘g )(x )h (x )＝f (g (x ))h (x )； ((f ·h )∘(g ·h ))(x )＝(f ·h )((g ·h )(x ))＝(f ·h )(g (x )h (x ))＝f (g (x )h (x ))h (g (x )h (x ))；等式不恒成立．B 项((f ·g )∘h )(x )＝(f ·g )(h (x ))＝f (h (x ))g (h (x ))；((f ∘h )·(g ∘h ))(x )＝(f ∘h )(x )(g ∘h )(x )＝f (h (x ))g (h (x ))；等式恒成立． C 项((f ∘g )∘h )(x )＝(f ∘g )(h (x ))＝f (g (h (x )))；((f ∘h )∘(g ∘h ))(x )＝(f ∘h )((g ∘h )(x ))＝(f ∘h )(g (h (x )))＝f (h (g (h (x ))))；等式不恒成立． D 项((f ·g )·h )(x )＝(f ·g )(x )h (x )＝f (x )g (x )h (x )；((f ·h )·(g ·h ))(x )＝(f ·h )(x )(g ·h )(x )＝f (x )h (x )g (x )h (x )．等式不恒成立． 答案 B阅卷点评 本题突破以往给出具体函数解析式的模式，努力让学生打破常规思维，对学生的思维能力提出了更高的要求． 创新点评 (1)本题为新定义问题，命题背景、题目设置新颖．(2)考查内容创新：本题是将新定义的两个函数用于辨别与之有关的等式是否恒成立问题，主要考查对新定义抽象函数的理解，需要考生有较强的理解能力、推理论证能力和抽象概括能力．备考建议 (1)熟练掌握函数有关概念、运算．(2)在新问题面前，要冷静思考，新问题的解决还是要靠“老知识”“老方法”，应该有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们熟知的问题．◆一个关系——函数与映射的关系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射． (2)映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数． ◆两点提醒(1)定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数．如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．课时规范训练 [A 级 基础演练]1．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1]D ．[0,1]解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥01－x ＞0，解得0≤x ＜1，故选B.答案：B2．(2015·高考陕西卷)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x， x ＜0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12D.32解析：因为－2<0，所以f (－2)＝2－2＝14>0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－ 14＝1－12＝12，故f (f (－2))＝12. 答案：C3．(2016·浙江台州调研)若点A (a ，－1)在函数f (x )＝⎩⎨⎧lg x ，0<x <1x ，x ≥1，的图像上，则a ＝( )A ．1B ．10 C.10D.110解析：当x ≥1时，y ＝x ≥1，因此点A (a ，－1)在函数y ＝lg x (0<x <1)的图像上，故－1＝lg a ，a ＝110.答案：D4．(2016·青岛一模)函数y ＝f (x )的定义域为[－1,5]，在同一坐标系下，y ＝f (x )与直线x ＝1的交点个数是__________． 解析：由函数定义的唯一性及x ∈[－1,5]，知函数f (x )与x ＝1只有唯一一个交点． 答案：15．(2016·西宁模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x ，πx ＝，x ，则f (f (0))＝________.解析：∵f (0)＝π，f (π)＝3π2－4， ∴f (f (0))＝f (π)＝3π2－4. 答案：3π2－46．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. 解析：∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，又∵3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17， ∴a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.答案：2x ＋77．已知函数y ＝f (x )的图像由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．解：根据图像，设左侧的射线对应的解析式为y ＝kx ＋b (x ≤1)． ∵点(1,1)，(0,2)在射线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝1，b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2.∴左侧射线对应函数的解析式为y ＝－x ＋2(x ≤1)； 同理，x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x ≥3)．再设抛物线对应的二次函数解析式为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a <0)， ∵点(1,1)在抛物线上， ∴a ＋2＝1，a ＝－1，∴1≤x ≤3时，函数的解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)，综上，函数的解析式为y ＝⎩⎨⎧－x ＋2，x <1－x 2＋4x －2，1≤x ≤3x －2，x >3.8．(2016·深圳模拟)已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >02－x ，x <0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式． 解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2. (2)当x >0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3；∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0，当x >1或x <－1时，f (x )>0，故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1<x <1时，f (x )<0， 故g (f (x ))＝2－f (x )＝3－x 2，∴g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1.[B 级 能力突破]1．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2， x ≤1，－log 2x ＋， x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：由于f (a )＝－3， ①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x＞0，所以2a －1＝－1无解；②若a ＞1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.故选A.答案：A2．(2016·衡水模拟)函数f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数．设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＝12f (x )；③f (1－x )＝1－f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18等于( ) A.34 B.12 C ．1D.23解析：∵f (0)＝0，f (1－x )＝1－f (x )，∴f (1)＝1，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12f (1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12， 又∵f (1－x )＋f (x )＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝14， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14. ∴14≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18≤14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝14. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝12＋14＝34. 答案：A3．(2015·高考湖北卷)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >00，x ＝0－1，x <0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析：当x <0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ， |x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D. 答案：D4．(2015·高考浙江卷)存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|解析：取特殊值法．取x ＝0，π2，可得f (0)＝0,1，这与函数的定义矛盾，所以选项A 错误；取x ＝0，π，可得f (0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B 错误； 取x ＝1，－1，可得f (2)＝2,0，这与函数的定义矛盾，所以选项C 错误；取f (x )＝x ＋1，则对任意x ∈R 都有f (x 2＋2x )＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|，故选项D 正确． 综上可知，本题选D. 答案：D5．(2016·福州一模)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－8ax ＋3，x <1，log a x ， x ≥1在x ∈R 内单调递减，则a 的范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，58D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，1 解析：要求此函数的两段均为减函数，并且x ＝1时第一段的函数值在第二段的上方或者相等，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥1，0<a <1，2－8a ＋3≥log a 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12，0<a <1，a ≤58，故12≤a ≤58. 答案：C6．(2015·高考浙江卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1x 2＋，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．解析：由内到外依次代入计算可得f (f (－3))，在分段函数的两段内分别计算最小值，取二者中较小的为f (x )的最小值． ∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝1＋2－3＝0. 当x ≥1时，x ＋2x－3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝22－3<0； 当x <1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0. 所以f (x )的最小值为22－3. 答案：0 22－37．某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药的时间为7∶00，问之后的10小时中应怎样安排服药时间？解：(1)由题意知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12t ⎝⎛⎭⎪⎫0≤t ≤12，－45t ＋325 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<t ≤8.(2)设第二次服药是在第一次服药后t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12<t 1<8小时， 则－45t 1＋325＝4，解得t 1＝3(小时)．因而第二次服药应在10：00.设第三次服药在第一次服药后t 2(3<t 2<8)小时，则此时血液中含药量应为两次服药后的含药量的和．－45t 2＋325－45(t 2－3)＋325＝4， 解得t 2＝7(小时)，即第三次服药应在14：00. 设第四次服药应在第一次服药后t 3小时(t 3>8)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和． －45(t 3－3)＋325＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－45t 3－＋325＝4， 解得t 3＝10.5(小时)>10小时故舍去．第2课时 函数的定义域和值域1．了解定义域、值域是构成函数的要素． 2．会求一些简单函数的定义域和值域．1．函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围． 确定函数定义域的原则：(1)当函数y ＝f (x )用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x 的集合；(2)当函数y ＝f (x )用图像给出时，函数的定义域是指图像在x 轴上投影所覆盖的实数的集合； (3)当函数y ＝f (x )用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合； (4)当函数y ＝f (x )由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定；(5)当函数y ＝f (x )是由几部分数学式子构成时，函数的定义域就是使各部分式子都有意义的实数的集合． 2．函数的值域(1)函数的值域的定义：在函数y ＝f (x )中与自变量x 的值对应的y 的值叫作函数值，所有函数值的集合，叫作函数的值域．(2)确定函数值域的原则：a.当函数y ＝f (x )用表格给出时，函数的值域是指表格中所有y 值组成的集合．b.当函数y ＝f (x )用图像给出时，函数的值域是指图像上每一个点的纵坐标组成的集合．c.当函数y ＝f (x )用解析式给出时，函数的值域由定义域和解析式确定．(3)求函数值域的方法有：直接法、换元法、配方法、判别式法、几何法、不等式法、单调性法等．[基础自测] 1．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N ＝( ) A ．{x |x >－1} B ．{x |x <1} C ．{x |－1<x <1}D ．∅解析：由题意知M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}，故M ∩N ＝{x |－1<x <1}． 答案：C 2．函数y ＝1x 2＋2的值域为( ) A ．RB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≤12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪0<y ≤12 解析：∵x 2＋2≥2，∴0<1x 2＋2≤12. 答案：D 3．函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞) C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：要使函数有意义，须⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠01＋x >0解得x >－1且x ≠1.答案：C4．(教材改编题)函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为________． 解析：∵3x＋1>1且f (x )＝log 2x 为增函数． ∴log 2(3x＋1)>log 21＝0，∴值域为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞)5．(教材改编题)若x 有意义，则函数y ＝x 2＋3x －5的值域是________． 解析：由x 有意义知x ≥0，又∵y ＝x 2＋3x －5在[0，＋∞)上为增函数， ∴函数y ＝x 2＋3x －5的值域为[－5，＋∞)．答案：[－5，＋∞)考点一 求函数的定义域[例1] (1)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________． (2)已知函数f (2x)的定义域是[－1,1]，求f (x )的定义域． 审题视点 (1)使根式和对数式有意义，求x 的范围． (2)明确2x与f (x )中x 的含义，从而构造不等式求解．解析 (1)由条件得⎩⎪⎨⎪⎧1－2log 6x ≥0x ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧log 6x ≤12＝log 66x ＞0，所以函数的定义域为(0，6]．答案 (0，6](2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]，即－1≤x ≤1， ∴12≤2x≤2，故f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.简单函数定义域的类型及求法①已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．②对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．③对抽象函数：(ⅰ)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．(ⅱ)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．1．(2016·德州模拟)求函数f (x )＝12－|x |＋x 2－1＋(x －4)0的定义域为________．解析：要使f (x )有意义，则只需 ⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |≠0，x 2－1≥0，x －4≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠±2x ≥1或x ≤－1x ≠4，∴x ≥1且x ≠2且x ≠4或x ≤－1且x ≠－2.故函数的定义域为{x |x <－2或－2<x ≤－1或1≤x <2或2<x <4或x >4}．答案：{x |x <－2或－2<x ≤－1或1≤x <2或2<x <4或x >4} 2．(2016·莱芜模拟)已知函数f (x )的定义域为[3,6]，则函数y ＝fxlog12－x的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2 解析：要使函数y ＝fxlog 12－x有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，log 12－x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0<2－x <1.⇒32≤x <2.故选B. 答案：B考点二 求函数的值域[例2] 求下列函数的值域： (1)f (x )＝x －3x ＋1； (2)f (x )＝12＋x －x 2；(3)f (x )＝x －1－2x .审题视点 根据各个函数解析式的特点，分别选用不同的方法求解，(1)用分离常数法；(2)用配方法；(3)用换元法或单调性法． 解 (1)(分离常数法)f (x )＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1. 因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1， 即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．(2)(配方法)由于2＋x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94≤94，此时有三种情况，若－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94<0，则y ＜0；若－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94＝0，则y 无意义；若0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94≤94，则y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94≥49.∴函数的值域为(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫49，＋∞. (3)法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≤12. 法二：(单调性法)容易判断f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≤12.(1)在求函数值域时，若函数解析式中是分式的形式，且分子、分母都是一次的，可考虑用分离常数法；若函数与二次函数有关，可用配方法；若解析式中含有根式，应考虑用换元法或单调性法；若解析式结构与均值不等式有关，可用均值不等式法求解．(2)对于含有根式的函数y ＝ax ＋b ＋dx ＋e (a ，b ，d ，e 均为常数且ad ≠0)，若a 与d 同号，用单调性法求值域较为简单；当a 与d 异号时，一般要用换元法求值域．1．(2016·北京海淀一模)函数y ＝－x 2＋1，－1≤x <2的值域是( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．[0,1]D ．[1,5)解析：∵y ＝－x 2＋1在(－1,0)上递增，在(0,2)上递减，且x ＝－1时，y ＝0，x ＝0时，y ＝1，x ＝2时，y ＝－3，∴y ∈(－3,1]，故选B. 答案：B2．求下列函数的值域，并指出函数有无最值． (1)y ＝3xx 2＋4； (2)y ＝x ＋1x＋1(x ≠0)．解：(1)法一：(判别式法) ∵x ∈R ，y ＝3x x 2＋4，整理得yx 2－3x ＋4y ＝0.当y ＝0时，x ＝0；当y ≠0时，由Δ≥0⇒－34≤y ≤34，且y ≠0，综上，函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，34. ∴函数有最小值－34，最大值34.法二：(基本不等式法) ∵x ＝0时，y ＝0，∴当x ≠0时，|y |＝3|x ||x |2＋4＝3|x |＋4|x |≤34，当且仅当|x |＝4|x |，即x ＝±2时，等号成立．∴－34≤y ≤34.∴函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，34. ∴函数有最小值－34，最大值34.(2)(基本不等式法)由y ＝x ＋1x ＋1(x ≠0)，得y －1＝x ＋1x.∵|x ＋1x |＝|x |＋|1x|≥2|x |·|1x|＝2，∴|y －1|≥2，即y ≤－1或y ≥3. ∴函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． ∴函数既无最大值，又无最小值． 法二：(判别式法)由y ＝x ＋1x＋1，得x 2＋(1－y )x ＋1＝0.∵方程有实根，∴Δ＝(1－y )2－4≥0，即(y －1)2≥4. ∴y －1≤－2或y －1≥2.解得y ≤－1或y ≥3. ∴函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． ∴函数既无最大值又无最小值．考点三 与函数定义域、值域有关的参数问题[例3] 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，若至少存在一个正实数b ，使得函数f (x )的定义域与值域相同，求实数a 的值． 审题视点 函数f (x )的定义域因a 的取值不同而不同，因此应对a 进行讨论．解 ①若a ＝0，则对于每个正数b ，f (x )＝bx 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故a ＝0满足条件；②若a >0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域为D ＝{x |ax 2＋bx ≥0}＝⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b a∪[0，＋∞)，但f (x )的值域A ⊆[0，＋∞)，故D ≠A ，即a >0不符合条件；③若a <0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域D＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－b a ， 由于此时f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝b 2－a，故f (x )的值域为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 2－a ， 则－b a ＝b2－a ⇒⎩⎨⎧a <0，2－a ＝－a⇒a ＝－4.综上所述：a 的值为0或－4.已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围．1．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( ) A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3]D ．(1,3)解析：f (x )的值域为(－1，＋∞)，由－b 2＋4b －3>－1，解得2－2<b <2＋ 2. 答案：B2．若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：∵y ＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，∴对一切x ∈R 都有2x 2＋2ax －a ≥1恒成立，即x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ≤0，即4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0.答案：[－1,0]忽视定义域优先考虑原则致误[典例] 已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，试求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域．解题指南 y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域与f (x )的定义域不同，应先求其定义域，再求值域． 【规范解答】 ∵f (x )＝2＋log 3x 的定义域为[1,9]，要使[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必有1≤x ≤9且1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，3分 ∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为[1,3].4分 又y ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝(log 3x ＋3)2－3.6分 ∵x ∈[1,3]，∴log 3x ∈[0,1]，8分∴y max ＝(1＋3)2－3＝13，y min ＝(0＋3)2－3＝6.10分 ∴函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域为[6,13].12分 错误解答 ∵x ∈[1,9]，∴0≤log 3x ≤2， ∴y 最小值＝6，y 最大值＝22. ∴函数f (x )的值域是[6,22]．错误原因 忽略了对定义域的研究，致使函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的讨论范围扩大．备考建议 (1)解答有关函数问题要规范，研究函数问题，首先研究其定义域，这是解答的规范，也是思维的规范． (2)对于定义域、值域的应用问题，首先要用“定义域优先”的原则，同时结合不等式的性质．◆一个优先函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识． ◆两个防范(1)如果f (g (x ))的定义域为A ，则函数f (x )的定义域是函数g (x )的值域．(2)函数一定有值域，但不一定有最值，当函数有最值时，求出了函数的值域也就有了函数的最值，但只有函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域．课时规范训练 [A 级 基础演练]1．(2016·济南质检)函数y ＝x x －＋x 的定义域为( )A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1}∪{0}D ．{x |0≤x ≤1}解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x x －x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，x ≥0.所以{x |x ≥1}∪{0}． 答案：C2．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)解析：由已知有⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2x －1≠0，得0≤x ＜1，∴定义域为[0,1)． 答案：B3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝2； 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4. 答案：C 4．函数y ＝1－x 2－3x ＋4＋ln(x ＋1)的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，得－1<x <1.答案：(－1,1)5．函数y ＝x －x (x ≥0)的值域为________． 解析：y ＝x －x ＝－(x )2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，∴y max ＝14.故值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，146．函数y ＝f (x )的图像如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．解析：由图像知，函数y ＝f (x )的图像包括两部分，一部分是以点(－3,2)和(0,4)为两个端点的一条曲线段，一部分是以(2,1)为起点，到(3,5)结束的曲线段，故其定义域是[－3,0]∪[2,3]，值域为[1,5]，只与x 的一个值对应的y 值的取值范围是[1,2)∪(4,5]．答案：[－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 7．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝1－x －x ； (2)y ＝log 2(x 2－2x ＋1)； (3)解：(1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0.∴0≤x ≤1，函数的定义域为[0,1]． ∵函数y ＝1－x －x 为减函数， 由1≥ x ≥0，得－1≤－ x ≤0， 又0≤ 1－x ≤1，所以－1≤y ≤1. ∴函数的值域为[－1,1]． (2)要使函数有意义， 则x 2－2x ＋1>0，∴x ≠1， 函数的定义域为{x |x ≠1，x ∈R }， ∵x 2－2x ＋1∈(0，＋∞)， ∴函数的值域为R .(3)函数的定义域为{0,1,2,3,4,5}， 函数的值域为{2,3,4,5,6,7}．8．某公司招聘员工，连续招聘三天，应聘人数和录用人数符合函数关系y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x ≤102x ＋10，10<x ≤100，1.5x ，x >100其中，x 是录用人数，y 是应聘人数．若第一天录用9人，第二天的应聘人数为60，第三天未被录用的人数为120.求这三天参加应聘的总人数和录用的总人数．解：由1<9<10，得第一天应聘人数为4×9＝36. 由4x ＝60，得x ＝15∉[1,10]； 由2x ＋10＝60，得x ＝25∈(10,100]； 由1.5x ＝60，得x ＝40<100. 所以第二天录用人数为25.设第三天录用x 人，则第三天的应聘人数为120＋x . 由4x ＝120＋x ，得x ＝40∉[1,10]； 由2x ＋10＝120＋x ，得x ＝110∉(10,100]； 由1.5x ＝120＋x ，得x ＝240>100. 所以第三天录用240人，应聘人数为360.综上，这三天参加应聘的总人数为36＋60＋360＝456， 录用的总人数为9＋25＋240＝274.[B 级 能力突破]1．函数y ＝16－4x的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4)D ．(0,4)解析：∵16－4x≥0且4x>0，∴0≤16－4x<16， ∴0≤16－4x<4，故选C. 答案：C2．(2014·高考上海卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]解析：∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D.答案：D3．(2016·龙岩质检)已知函数f (x )＝log 12(4x －2x ＋1＋1)的值域是[0，＋∞)，则它的定义域可以是( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0]解析：依题意得0<4x－2x ＋1＋1≤1，即0<(2x－1)2≤1，∴－1<2x －1≤1且2x －1≠0，即0<2x ≤2且2x≠1，∴x ≤1且x ≠0，可排除C 、D ；对于B ，当x ∈(0,1)时，f (x )∈(0，＋∞)，故选A.答案：A4．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b 为整数)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个． 解析：由0≤4|x |＋2－1≤1，得0≤|x |≤2.满足条件的整数数对有(－2,0)、(－2,1)、(－2,2)、(0,2)、(－1,2)，共5个．答案：55．(2016·北京东城测试)已知定义域为D 的函数y ＝f (x )，若对于任意x ∈D ，存在正数K ，都有|f (x )|≤K |x |成立，那么称函数y ＝f (x )是D 上的“倍约束函数”．已知下列函数：①f (x )＝2x ；②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4；③f (x )＝x 3－2x 2＋x ；④f (x )＝x 2x 2＋x ＋1(x >0)．其中是“倍约束函数”的是________．(将你认为正确的函数序号都填上)解析：对于①，f (x )＝2x ，|2x |≤K |x |⇒K ≥2，故存在正数K ，对任意x ∈R ，都有|f (x )|≤K |x |成立，故①满足；对于②，如图，由函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4和y ＝K |x |的图像可知，无论K 取何正值，总存在x ∈(0，x 0)不满足不等式成立，故②不满足；对于③，若|f x |x |＝|x 2－2x ＋1|≤K 恒成立，需K ≥|x 2－2x ＋1|max ，但|x 2－2x ＋1|无最大值，故K 不存在，③不满足；对于④，|fx |x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2x 2＋x ＋1|x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x 2＋x ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＋1x ＋1≤13，只需K ≥13即可，故④满足．综上，满足题意的为①④.答案：①④6．设g (x )是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f (x )＝x ＋g (x )在[0,1]上的值域为[－2,5]，则f (x )在[0,3]上的值域为________． 解析：设x 1∈[0,1]，f (x 1)＝x 1＋g (x 1)∈[－2,5]．∵函数g (x )是以1为周期的函数， ∴当x 2∈[1,2]时，f (x 2)＝f (x 1＋1)＝x 1＋1＋g (x 1)∈[－1,6]， 当x 3∈[2,3]时，f (x 3)＝f (x 1＋2)＝x 1＋2＋g (x 1)∈[0,7]． 综上可知，当x ∈[0,3]时，f (x )∈[－2,7]． 答案：[－2,7]7．(创新题)已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6(a ∈R )． (1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数的值域为非负数，求函数g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0， ∴2a 2－a －3＝0，∴a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝8(2a 2－a －3)≤0. ∴－1≤a ≤32.∴a ＋3>0，∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174⎝ ⎛⎭⎪⎫a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. ∵二次函数g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4.∴g (a )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4.第3课时 函数的单调性及最值1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2．会用函数图像理解和研究函数的性质．1．函数的单调性 (1)增加的、减少的函数①如果y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么称A 为单调区间．②如果函数y ＝f (x )在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y ＝f (x )在这个子集上具有单调性． (3)单调函数如果函数y ＝f (x )在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数． 2．函数的最值 (1)函数的最大值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M . 那么称M 是函数y ＝f (x )的最大值． (2)函数的最小值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M . 那么称M 是函数y ＝f (x )的最小值． [基础自测]1．函数f (x )＝|x |和g (x )＝x (2－x )的增区间依次为( ) A ．(－∞，0)，(－∞，1] B ．(－∞，0)，[1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)解析：由图像可知y ＝|x |与y ＝x (2－x )的增区间分别为[0，＋∞)，(－∞，1]，故选C.答案：C2．(教材改编题)函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]的最大值和最小值分别是( ) A.43，1 B ．1,0 C.43，23 D ．1，23 解析：∵f (x )＝2x x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上为增函数， ∴f (x )的最大值为f (2)＝43，最小值为f (1)＝1.答案：A3．若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减D ．先减后增解析：∵y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上均为减函数， ∴a <0，b <0.∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程x ＝－b2a <0.∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数，故选B.答案：B4．f (x )＝x 2－2x (x ∈[3,4])的单调增区间为________，f (x )max ＝________.解析：f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1的图像是对称轴为x ＝1，开口向上的抛物线，所以[3,4]为其单调递增区间，f (x )max ＝f (4)＝8. 答案：[3,4] 85．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f (|x |)>f (2)的实数x 的取值范围是________． 解析：由题意得|x |<2解得－2<x <2. 答案：(－2,2)考点一 判断(或证明)函数的单调性[例1] (1)(2014·高考北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)(2)(2016·宜昌模拟)设函数f (x )＝x ＋a x 的图像过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52. ①求实数a 的值；②证明：函数f (x )在(0,1)上是减函数．审题视点 (1)利用函数的单调性或函数的图像逐项验证． (2)利用单调性定义证明．解 (1)A 项，函数y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；B 项，函数y ＝(x －1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C 项，函数y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，故错误；D 项，函数y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误．(2)①因为函数f (x )＝x ＋a x的图像过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52，所以52＝2＋a 2.∴a ＝1.②证明：设x 1，x 2是(0,1)内的任意两个实数， 且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝x 1－x 2＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－1x 1x 2由x 1，x 2∈(0,1)， 得0<x 1x 2<1，x 1x 2－1<0. 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0， 于是f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(0,1)上是减函数． 答案 (1)A判断函数的单调性，常用的方法有图像法、定义法、导数法或利用已知函数的单调性判断．特别要掌握利用定义判断函数单调性这一最基本的方法，必须按“取值—作差—变形—定号—判断”的基本步骤进行，而变形过程常通过因式分解、配方、有理化等手段，直到便于判断差的符号为止．1．(2015·高考湖南卷)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0，得－1<x <1，则函数的定义域为(－1,1)．又∵f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．f ′(x )＝11＋x ＋11－x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,1)上为增函数．故选A.答案：A2．判断函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a >b >0)的单调性． 解：定义域为(－∞ ，－b )∪(－b ，＋∞)． 在定义域内任取x 1<x 2， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1＋b －x 2＋ax 2＋b＝x 1＋ax 2＋b －x 1＋b x 2＋ax1＋b x 2＋b。
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基本初等函数
⑶幂函数y x =≠αα()0都是无界函数；在第一象限中，当α<0时为减函数，当α>0时
为增函数； ⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点（1，1），至多有三个公共点。
典例解析:
1．(教材习题改编)化简12－(－1)0
的结果为( )
A ．－9
B ．7
C ．－10
D ．9
解析：选B 原式＝(26)1
2
－1＝7.
2．(教材习题改编)函数f (x )＝1－2x
的定义域是( ) A ．(－∞，0]
B ． 化简下列各式(其中各字母均为正数)．
(1)
a 23
·b －1－12
·a －12·b
136
a ·
b 5
；
(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23
－3π0
＋3748.
(1)原式＝
a －13
b 12·a －12b
1
3
a 16
b 56
＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a
.
(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋10.12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427－2
3
－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.
由题悟法
指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．
以题试法
1．计算：
(1)(0.027)－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27912
－(2－1)0
；
(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12
·4ab
－13
0.1
－2
a 3
b －3
12
. 解：(1)原式＝⎝
⎛⎭⎪⎫271 000－13－(－1)－2⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫25912－1
＝103－49＋5
3
－1＝－45. (2)原式＝412·4
3
2100·a 32·a －32·b 32·b －3
2
＝425a 0·b 0＝4
25.
指数函数的图象及应用
典题导入
(2012·四川高考)函数y ＝a x
－1
a
(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )
法一：当0<a <1时，函数y ＝a x －1a
是减函数，且其图象可视为是由函数y ＝a x
的图象向
下平移1
a
个单位长度得到的，结合各选项知选D.
法二：因为函数y ＝a x
－1a
(a >0，且a ≠1)的图象必过点(－1,0)，所以选D.
D
由题悟法
1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
，且a ＋b
＝(1)2lg 49－3
lg 8＋lg 245
＝2×(5lg 2－－3×2lg 2＋2(lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2lg(2×5)＝2. ∴a ＋b ＝∵a ＋b
＝＝10((1)2 (2)10
(1)lg ＋－lg 2
3－lg 9＋1；⎝ ⎛⎭
⎪⎫lg 3＋lg 5lg 7×703－lg 2
3－2lg 3＋1
＝lg 10－
－
2
(2)原式＝
⎛⎪⎫lg 4－
＋lg 13－210×2－11
(2)(2012·新课标全国卷)当0<x ≤12时，4x
<log a x ，则a 的取值范围是 ⎛⎪⎫
2C ，D ；取a ＝12 ，x
若本例(2)变为：若不等式(x －1)2
<log x 在x ∈(1,2)
当0<a <1时，显然不成立； 当a >1时，如图，
要使x ∈(1,2)时f 1(x )＝(x －1)2
的图象在f 2(x )＝log a x 的图象下方，
只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2
≤log a 2，
又即log a 2≥1.
所以1<a ≤2，即实数a 的取值范围是(1,2]． 答案：(1,2]
由题悟法
1．对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解．
2．一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．
以题试法
2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x
，x ≤1，log 1
3
x ，x >1，则y ＝f (1－x )的大致图象是( )
解析：选C 由题意可得f (1－x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
31－x
，x ≥0，log 1
3
－x ，x <0，因此当x ≥0时，y ＝f (1－
x )为减函数，且y >0；当x <0时，y ＝f (1－x )为增函数，且y <0.
对数函数的性质及应用
典题导入
已知函数f (x )＝log 4(ax 2
＋2x ＋3)． (1)若f (x )定义域为R ，求a 的取值范围； (2)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；
(3)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． (1)因为f (x )的定义域为R ，
1 2，④y＝x－1
，③y＝x
且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝－14.
二次函数的图象与性质
⎪⎧x2＋2x＋3，x∈，6]，
且f(x)＝
解析：f (x )＝－(x －a )2＋a 2
－a ＋1， 当a >1时，y max ＝a ；
当0≤a ≤1时，y max ＝a 2
－a ＋1； 当a ＜0时，y max ＝1－a .
根据已知条件⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＞1，
a ＝2或⎩
⎪⎨⎪⎧
0≤a ≤1，
a 2
－a ＋1＝2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＜0，
1－a ＝2，
解得a ＝2或a ＝－1. 答案：2或－1
二次函数的综合问题
典题导入
(2012·衡水月考)已知函数f (x )＝x 2
，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；
(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2
，且|F (x )|在上单调递增，求实数m 的取值范围． (1)∃x ∈R ，f (x )<bg (x )⇒∃x ∈R ，
x 2－bx ＋b <0⇒(－b )2－4b >0⇒b <0或b >4.
故b 的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)． (2)F (x )＝x 2
－mx ＋1－m 2
， Δ＝m 2
－4(1－m 2
)＝5m 2
－4.
①当Δ≤0，即－255≤m ≤25
5
时，
则必需⎩⎪⎨
⎪⎧
m
2≤0，
－255≤m ≤255
⇒－25
5
≤m ≤0.
②当Δ>0，即m <－255或m >25
5时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)．
若m
2
≥1，则x 1≤0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
m 2
≥1，F
＝1－m 2≤0⇒m ≥2；
若m
2
≤0，则x 2≤0，
⎩⎪⎨⎪⎧
2
≤0，F
＝1－m 2≥0。