非寿险费率厘定中的损失函数研究
非寿险费率厘定中的损失函数研究
非寿险费率厘定中的损失函数研究作者：张俊岭来源：《金融教学与研究》2012年第01期摘要：在全球保险费率市场化大背景下，随着保险费率监管的不断放松，各国实力雄厚的大保险公司迫于市场竞争的压力，纷纷开始制定适合本公司特点的费率系统。
保险公司理想的费率厘定模型是在不同类别保单持有人之间能够公平地分配保险风险损失，实现对投保人收取与之风险状况相一致的风险保费的最终目标。
由于不同的损失函数能够对保费厘定系统中的奖惩机制进行不同的调节，从而可以较好地实现投保人之间保费的公平分担问题。
因此，在费率厘定系统的构建过程中，损失函数的选择处于至关重要的一环。
关键词：保险；费率厘定；损失函数；最优解中图分类号：F840.4 文献标识码：Ａ文章编号：１００６－３５４４（２０12）０1－００79－04一般来说，二次损失函数在保费厘定过程中是作为标准的损失函数，但是这种损失函数由于自身的对称性，在保费奖惩机制中具有较大的弊端，表现为：对于风险状况良好的投保人给予较大的折扣力度，而对于风险状况较差的投保人却给予了很大的惩罚力度，这样可能会造成风险状况差的投保人所缴纳的保费用于补贴风险状况好的投保人，这是与保险公司向投保人收取与之风险相适应的基本保费原则相违背的。
而指数损失函数却能很好地解决这一奖惩不公平问题，主要表现为：能够降低给予风险状况良好的投保人的折扣力度，同时减少对于风险状况不佳的投保人的惩罚力度。
从而，较好地实现了投保人之间保费的公平分担问题。
下面来分别介绍二次损失函数与指数损失函数。
一、费率厘定中的损失函数（一）符号定义及假设1．随机变量序列X={X1，X2，…，Xn}，且假定Xi仅仅依赖于?专i，Xi存在有限的二阶矩；Xi|?专i是相互独立的。
二、不同损失函数假设下的最优解（一）二次损失函数假设下的后验保费最优解在二次损失函数下，假定结构参数?撰i服从两参数分布Gamma（?琢，?子），索赔次数模型的最优解为：精算解释为：在投保人的索赔历史记录既定时，指数损失函数的后验校正的力度弱于二次损失函数。
基于分层广义线性模型的非寿险费率厘定精算模型研究
第32卷第6期 Vol. 32 No. 6统计与信息论坛Statistics &Information Forum2017年6月Jun. , 2017【统计应用研究】基于分层广义线性模型的非寿险费率厘定精算模型研究孙维伟S张连增2，胡祥3(1.天津理工大学管理学院，天津300384; 2.南开大学金融学院，天津300350;3.中南财经政法大学金融学院，湖北武汉430073)摘要：非寿险业务中的损失数据结构日益复杂，呈现异质性与相关性并存的异象。
分层广义线性模型能够突破传统费率厘定精算方法仅分析风险个体同一保单年损失数据的局限，可以提高复杂结构损失数据预测的准确性。
基于分层广义线性模型等方法，研究具有多年损失数据的非寿险费率厘定问题，并以车险和工伤补偿保险的两组损失数据为例进行实证分析。
研究结果表明，相对于G L M而言，考虑随机效应后GLMM的拟合优度大幅改善，G L M M与H G L M可以更有效地反映不同风险个体的差异，并有利于揭示风险个体在多个保险期内损失的异质性与相关性。
关键词：分层广义线性模型；费率厘定；非寿险；随机效应中图分类号：F840. 65 文献标志码：A文章编号= 1007 — 3116(2017)06 — 0048 — 07一、引言在当今竞争日益激烈的保险市场中，相对于寿 险产品而言，非寿险产品创新严重滞后于市场需求，在费率厘定方面亟需从遵循大数定律向以复杂数据 为支撑的模式转变。
传统的精算方法在厘定基础费 率时通常视同一风险个体具有风险分布均匀的特 点，进而以一个保单年的损失数据为基础厘定费率。
然而，这种方法导致的问题是风险个体在连续投保 期间自身行为间的差异被忽视，即只考虑不同风险 个体间的异质性而未考虑个体自身行为的相关性或 不确定性，进而大大降低了精算定价的精准性；而过 高的保费将导致财险公司丢失一定的市场份额，过 低的保费会使财险公司亏损乃至破产。
上述问题如 果得不到有效解决，难以化解非寿险产品定价过高 或过低的诟病，这势必会严重影响非寿险产品的创 新进程，并阻碍非寿险行业的可持续发展。
非寿险费率厘定中的分类费率因子研究
非寿险费率厘定中的分类费率因子研究作者：张俊岭张俊峰来源：《金融教学与研究》2008年第01期摘要：在非寿险保险业务中，风险特征完全相同的个体风险是几乎不存在的，即使存在，保险公司也不可能或很难将它们区分开来。
因此，保险公司只是将风险近似相同的保险标的划分在同一个类别里，用于划分风险的变量就是“分类费率因子”。
在保险实务中，分类变量的选择必须考虑到各方面的具体要求，同时分类变量过多，会使每个类别的保单数量相对减少，这将影响到大数法则的应用。
在风险划分的过程中，必须综合考虑风险基础、经验费率系统、市场运作等各个方面的情况，为保险公司厘定一个合理、公平、有效的保险产品价格。
关键词：非寿险费率；厘定；分类费率因子中图分类号：Ｆ840.6文献标识码：Ａ文章编号：１００６－３５４４（２００8）０1－００77－05一、保险分类费率因子概述保险是一种将少数人的损失由大多数人以相对较小的“公平份额”合理负担的机制。
它的一个基本运行原则是，这种“公平份额”应以被保险人的潜在损失为基础，支付了相同保费的被保险人应该具有相同的潜在损失。
因此，保险公司厘定保险费率时，首先应该将被保险人根据其风险大小进行分类，将风险相同的被保险人划入一个类别，并收取相同的保险费。
为了防范投保人的逆选择问题，在费率厘定过程中考虑风险的异质性也是十分必要的。
换句话说，保险费率应该合理反映投保人真实的风险水平。
在非寿险保险业务中，风险特征完全相同的个体风险是几乎不存在的，即使存在，保险公司也不可能或很难将它们区分开来。
因此，保险公司只是将风险近似相同的保险标的划分在同一个类别里，并对它们收取相同的保险费。
保险公司一般是根据保险标的自身的一些特征来划分风险类别的。
譬如在人寿保险中，保险公司根据被保险人的性别、年龄收取保险费；在汽车第三者责任保险中，根据驾驶员的年龄、汽车的车辆类型、使用性质等收取保险费。
保险公司用于厘定保险费率的这些变量就是分类变量，也被称作“分类费率因子”。
非寿险
保险精算原理与实务
郑州大学
第五节 累积损失模型
累积损失的分布模型有两种不同的表现形式：
个体风险模型：
集体风险模型：
S X1 X 2 X n
S X1 X 2 X N
保险精算原理与实务
郑州大学
M X1 X n (t ) M X1 (t ) M X n (t )
保险精算原理与实务
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概率母函数和矩母函数之间存在下述关系：
M X (t ) PX (et ) PX ( z ) M X (ln z )
保险精算原理与实务
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四、条件期望和条件方差
对于二维随机变量（X，Y），当Y给定时计算X的数学 期望即得X的条件期望 E ( X | Y ) 。 当Y给定时计算X的方差即得X的条件方差为 Var( X | Y ) E( X 2 | Y ) [ E( X | Y )]2 如果允许Y可以随机取值而不是给定取值，则E (X|Y)和 Var（X|Y）都是随机变量。 （1）E (X ) = E[E (X |Y )] （2）Var(X) = E[Var(X|Y )]+Var[E(X|Y )]
第十章 损失模型
1
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第一节 风险与保险
保险公司在其经营过程中，必须认识到风险与保险的下 述基本关系： （1）保险是将风险从被保险人向保险人的转移； （2）保险人也需要对其所承保的超额风险寻求保险保障； （3）风险集合包含的个体风险越多，其相对风险越小； （4）不同的被保险人具有不同的风险水平； （5）在很多情况下，少数巨灾风险所造成的损失将占到总 损失的很大比重。
非寿险产品费率厘定精算准则
非寿险产品费率厘定精算准则目录第一章总则 (1)第二章原则与方法 (1)第三章风险因素 (4)第四章监控及报告 (7)第一章总则第一条为加强对保险公司非寿险产品费率厘定的监督管理，确保保险公司稳健经营和偿付能力充足，保护被保险人利益，根据《中华人民共和国保险法》和《保险公司管理规定》制定本指导原则。
第二条本指导原则所称保险公司，是指在中华人民共和国境内依法设立的经营财产保险业务的中资保险公司、中外合资保险公司、外资独资保险公司以及外国保险公司分支公司。
第三条凡是经营非寿险产品业务的保险公司，应当按照保险监督管理机构的规定，遵循非寿险精算的原理、方法和谨慎性原则，合理厘定非寿险产品费率。
第四条当本指导原则与任何法律法规或保险监督管理机构对于费率厘定的要求有所冲突时，应遵守法律法规或保险监督管理机构的规定。
因遵守法律或监管部门的规定而无法遵守本指导原则的规定，不属于违反本指导原则。
第二章原则与方法第五条经营非寿险产品业务，应该建立费率的管理制度，费率厘定的流程及配备相关的精算专业人员和必要地软硬件设备。
第六条费率厘定时应满足以下原则(一)费率是对未来风险转移成本的估计值。
(二)费率应反映所有风险转移的成本。
(三)费率应反映个体风险转移的成本。
(四)费率应当是合理的、适当的、充分的，并且是公平的。
第七条费率厘定过程中，除了考虑纯风险损失外，还需要考虑包括信用风险、操作风险等在内的各类风险。
除精算外，也应该听取承保、理赔、销售、法律、财务等领域专业人员的意见和建议。
第八条费率厘定应考虑其变化趋势：必须考虑过去的和未来的索赔成本、索赔频率、风险暴露、费用和保费的变化。
推荐使用动态财务分析，即在各变量互相关联的前提下，考虑未来的行为与环境的变化，进行预测分析。
第九条费率厘定时，需要考虑投保人、被保险人或相关人员的心理承受能力及经济支付能力。
第十条应当考虑到法律环境、经济环境和政府监管行为的变化对未来风险的影响。
非寿险损失分布建模的一般性方法二
非寿险损失分布建模的一般性方法（二）赵智红李兴绪2012-9-27 11:04:31 来源：《统计与决策》(武汉)2009年3期第4～7页三、实证分析现有医疗保险中的损失数据9200个，本文利用这组数据建立数据文件，并利用这组数据在MATLAB中进行损失数据分布拟和。
（一）初步分析在把数据导入到MATALAB中后，首先给出数据基本统计信息如下：Min 118Max 331359Mean 9701.4Median 6969Kur 162Skewness 8.89从上面的统计结果可以看出：损失数据的最小值为118，最大值为331359。
显然，所有的损失数据都是正值，而且最大值和最小值相差很大，最大值是最小值的2808倍，平均值为9701，中位数为6969，由于中位数不易被极端值影响，所以，中位数比均值稳健。
可以看出均值大于中位数，显然，均值收到了右端的一些较大值的影响。
峰度为162，偏度为8.89，峰度用于度量样本数据偏离某分布的情况，正态分布的峰度为3，当样本数据的曲线峰值比正态分布高时，峰度大于3；反之，比正态分布低时，峰度小于3。
偏度用于衡量样本均值的对称性，若偏度为负，则数据均值左侧的离散性比右侧的强；若偏度为正，则数据均值右侧的离散性比左侧的强。
正态分布的偏度是零。
从上面的统计描述结果可以看出，损失数据是一个高峰、拖尾的在正半轴的分布，具有典型的非寿险损失分布的特点。
下面，利用公式(4)在MATLAB中编程，计算经验平均超出函数，在这里需要注意的一点是在对损失数据进行排序后会发现一些数据值重复的情况，对于这些数据在本文中采用了只保留一个数据的做法，这会造成一定的信息损失，但是，由于多数重复损失数据在分布在数据值很小的部分，利用平均超出函数主要关注的是损失数据的“尾部”特性，此外，这样作也可以减少编程的复杂性，因此，在这里采用这种作法是可行的。
在计算得到经验平均超出函数之后，作出相应的散点图如图1。
非寿险损失分布建模的一般性方法一
非寿险损失分布建模的一般性方法（一）赵智红李兴绪2012-9-27 10:55:52 来源：《统计与决策》(武汉)2009年3期第4～7页内容提要：在非寿险精算中，损失分布的建模是保费厘定等其它一系列工作的基础。
文章利用平均超出函数、极大似然估计等方法系统地分析了损失分布的模型识别、参数估计和模型拟和检验的技术方法，并给出了一个实例。
这对于在有大量损失数据情况下，利用计算机技术解决非寿险损失分布模型拟和问题是在非常有益的。
关键词：经验分布函数平均超出函数极大似然估计法卡方检验作者简介：赵智红，李兴绪，云南财经大学数学与统计学院（昆明650224）在非寿险业务中，对损失数据所服从的分布的精确估计是一个十分重要的问题。
由于非寿险损失的复杂性，必须根据近期损失数据，研究不断发展变化的损失分布，进而达到研究保费计价的问题。
近年来，由于非寿险在社会经济中的作用越来越重要，有关的非寿险模型的教科书也很多，但是，在教科书中所列举的例子一般都是设计出来的特殊情况，并且数据量很小，并不涉及利用计算机系统进行计算的问题，所以很难看到有结合实际损失数据系统分析研究并加以解决的可行性完整方法过程。
为弥补方法的系统性和可行性不足，本文拟通过实例系统的介绍有大量数据下的损失分布建模问题。
一、工具函数设X是所考虑的损失分布的随机变量，密度函数为f(x)，分布函数为F(x)。
定义1如果有来自某总体的数据：。
n充分地大，则该总体的分布函数F(x)可以由下面的函数近似。
在一定条件下，还可以给出这种收敛的收敛速度。
这种经验分布的优点就是简单，易于理解。
但也有明显的缺点：第一，它所给出的分布函数缺乏光滑性；第二，若有截断或者删失造成数据不完全，这种方法只能给出某种条件分布函数，而不是原来要寻找的分布函数。
定义2对于任意的实地损失额X，可以定义它的平均超出函数(mean excess loss)如下：e(x)=E(X-d|X＞d)它表示免赔额d所导致的平均超出赔付额。
[经济学]非寿险第二章
![[经济学]非寿险第二章](https://img.taocdn.com/s3/m/575672b26529647d27285290.png)
例2.1.1 （二点分布）设同类保单在保险期限内
只有索赔和不索赔两种情况，根据以往经验，索
赔的概率为p，那么，任意一份保单在保险期限 内的索赔次数X就是取值为0、1的离散型随机变 量，其分布列为：
其分布函数为： 0
F(x) 1 p
x0 0 x1
1
x 1
这种分布我们称为两点分布，或0—1分布。
定义 设（X，Y）是二维连续型随机变量，f (x, y)
, (x, y)
x R ,
R,2为它们的联合密度函数，则称 f
为Y = y时X的条件分布密度函数。
(
x
y)
f (x, y) fY (y)
,
类似地期望的计算公式：
离散型：E(X Y yj ) xi pi j i1
随机变量X分布的偏度系数 3 2 3 2
可以度量分布的对称性，当分布对称时，偏度 等于0。所以在偏度不等于0时，分布是不对称的。 当概率密度函数在右边有长的“尾巴”时，其偏 度大于0时，这时称分布是正偏斜的；当概率密度 函数在左边有长的“尾巴”时，其偏度小于0时， 这时称分布是负偏斜的。对一般非寿险业务的大 多数险种来说，因为有大额赔款的发生，所以赔 款额的分布常有明显的正偏斜。
z
FXY (z)
dz
fX (x) fY (z x)dx
EX E E(X Y) VarX Var E(X Y) E Var(X Y)
这两个性质是非寿险精算和风险理论中常用的。
2.1.6 相互独立随机变量和的分布与卷积
如果X、Y是相互独立的两个连续型随机变量，它们的概
率密度函数分别为fX (x) 、fY ( y) 那么，X+Y的分布函数为：
非寿险精算理论与实验
一、索赔次数的拟合与检验表一给出了某非寿险公司100000份机动车损失频率和累计频率，它包括n=100000辆机动车，每辆汽车签订一份保单，每辆汽车的保险责任都是一整年，既没有中途退保的汽车，也没有未及时续保的汽车。
1.泊松分布拟合与检验1.1建立零假设和备选假设H0：总体服从泊松概率分布H1：总体不服从泊松概率分布1.2对于泊松分布，参数λ的据估计和极大似然估计值均为样本均值，即λ=0.12318。
1.3运用卡方拟合优度检验。
注意到“4”、“5”类的期望频率小于5，不满足卡方检验的要求。
因此我们把“4”、“5”两类合并为一类。
带入数值，得到卡方检验统计量的值71.881395>CHIINV(0.05,4-1-1)= 5.9914645，从而拒绝原假设H0。
2.负二项分布拟合与检验2.1建立零假设和备选假设H0：总体服从负二项概率分布H1：总体不服从负二项概率分布2.2运用矩方法，参数r=3.506912,p=0.9660672.3运用极大似然估计, 参数r=3.59840748233245,p=0.966901092646243每个理赔次数类别下的期望频数=样本容量*理论频率，由此我们可以计算出负二项分布拟合的期望理赔频数，结果如表二所示。
与前相同，我们把“4”、“5”两类合并为一类。
带入数值，得到卡方检验统计量的值1.1365479<CHIINV(0.05,4-2-1)= 3.8414591，从而接受原假设H0。
显然，负二项分布是一个更优的结果。
Excel计算结果如下所示:二、损失分布的拟合与检验如下表所示, 给出了某非寿险公司近几年来的损失分布记录:3030 3120 9960 690 15660 6060 60605160 8160 2310 2970 1110 11460 15602310 9100 14910 360 435 3360 33606045 11760 6960 7860 660 1725 756012060 510 3960 3660 3210 8760 119552 3000 6000 8 0.228571 7.62E-053 6000 9000 8 0.228571 7.62E-054 9000 120005 0.142857 4.76E-055 12000 16000 3 0.085714 2.14E-05合计35画出频率分布直方图:1.对数正态分布拟合1.1对数正态分布拟合(矩估计法)建立零假设和备选假设H0：总体服从对数正态分布H1：总体不服从对数正态分布用K—S0.152400666，查表的显著性水平0.05下的临界值为0.22425，从而我们不能拒绝原假设H0，用对数正态分布拟合是合理的。
非寿险第三章3.3
k 1
如果模式是平稳的，则 ENi j1 ENij 都仅和事故年年龄j有 关，而和赔案发生在哪一年没有关系，即与事故年i没有 关系。令d j1 j为相邻事故年龄（j — （j+1））进展因子。
d j 1/ j
E ( Ni , j 1 ) E ( Ni , j )
2,416 2,552
最终索 赔 预测值
2,416 2,552
1997 1998
1999
2000 2001 2002
4
3 2 1
1.0000
1.0413 1.0544 1.1875
1.0000
1.0413 1.0979 1.3038
2,646
2,722 2,783 2,337
2,646
2,834 3,055 3,047
§3.3 最终损失的预测及其趋势分析
纯保费法和损失率法都需要用到最终损失L， 但对于大多数险种来说，每个事故年的赔 付支出都存在延迟，即需要经过数年或者 十数年以后才能得到最终赔款的观察值。 因此，在厘定费率时，就需要根据已付赔 款数据对最终赔款进行预测。
未决赔款是指在保险有效期内，损失已经 发生，但由于时间上来不及处理或是由于 对赔款的处理方法及给付数额等存在争议， 未能结案，从而造成尚未支付的赔款。
根据极大似然估计可得
N1, j 1 ... N k j , j 1 ˆ d j 1/ j N1, j ... N k j , j
ˆ 在求得了所有的进展因子d j1 j的估计d j1 （j＝1，…， j ˆ ˆ ˆ ˆ k－1) 后根据 N ij N i k i1 d k i2 k i1d k i3 k i2 d j j1 可以求得
非寿险第1章 费率厘定的基本概念讲解
常用风险单位统计量
承保风险单位(written exposures)，指所签的 保单在某个时期内所有的风险单位数量； 到期风险单位(earned exposures) ，指一定时 期内已经承担责任的风险单位数量； 有效风险单位(in-force exposures) ，指在一 个给定的时刻存在的有效风险单位数量。 未到期风险单位(unearned exposures), 指在 承保的风险单位数中，截止某个时点，保险公 司尚未提供保险保障的风险单位数。
第一篇 费率厘定
1
本编内容
基本概念 数据汇总与调整 总平均费率厘定 分类风险费率厘定 个体风险的费率厘定 特定保单条款下的费率厘定 资本份额模型
2
第一章 费率厘定的基本概念
3
内容
风险基础和风险单位 赔款和费用 保费及其构成 赔付率和其他比率 精算费率和市场价格 费率手册
4
1、风险基础
度量潜在损失大小的一个基本工具就是 风险基础（exposure base）。风险基础 也就是保费基础（premium base），它 的大小决定着保费的高低。 譬如在汽车第三者责任保险中，保险人 通常使用的风险基础是车年数，即根据 车年数的大小收取保险费）。
赔付率
理赔费用 已赚保费
承保费用 承保保费
29
续保率（retation ratio）是指现有被保险人 在保单到期时续保的比率，其计算公式为：
续保率
实际的续保保单数 潜在的可续保保单数
签约率（close ratio，conversion rate）是 指在收到保险公司报价的潜在投保人中实际上 与公司签订保险合同的比率，其计算公式如下：
19
更具体地讲，保险公司收取的保费应该足以 补偿下述的各项成本和费用：
《非寿险精算》试题及答案
《非寿险精算》试题及答案（解答仅供参考）第一套一、名词解释1. 非寿险精算：非寿险精算是研究非寿险业务中风险评估、保费定价、准备金评估、损失分布分析等领域的数学和统计方法。
2. 损失概率：损失概率是指在一定时间内，某一特定风险事件发生的可能性。
3. 纯保费：纯保费是指保险公司为了覆盖预期的损失成本而收取的保费。
4. 保险准备金：保险准备金是保险公司为应对未来可能发生的索赔而储备的资金。
5. 责任年限法：责任年限法是一种计算未决赔款准备金的方法，基于假设所有未决赔款将在一定年限内结案。
二、填空题1. 非寿险精算的主要内容包括风险评估、______、准备金评估和损失分布分析。
答案：保费定价2. 在非寿险业务中，______是决定保费水平的重要因素。
答案：损失概率和损失程度3. 如果实际赔付金额超过已收取的保费和投资收益之和，就需要动用______来支付。
答案：保险准备金4. 在非寿险精算中，______是一种常用的损失分布模型。
答案：泊松分布或帕累托分布5. 在责任年限法中，如果假设所有未决赔款将在一年内结案，那么这就是______责任年限法。
答案：一年三、单项选择题1. 非寿险精算主要应用于哪种类型的保险业务？A. 寿险B. 健康险C. 财产险D. 意外险答案：C. 财产险2. 下列哪一项不属于非寿险精算的内容？A. 风险评估B. 保费定价C. 投资管理D. 准备金评估答案：C. 投资管理3. 在非寿险精算中，用来衡量风险大小的指标是？A. 损失概率B. 损失程度C. 风险暴露D. 风险溢价答案：A. 损失概率4. 下列哪种方法可以用来计算非寿险业务的未决赔款准备金？A. 综合比例法B. 平均估算法C. 责任年限法D. 追溯法答案：C. 责任年限法5. 在非寿险精算中，如果某风险事件的发生概率为0.1，且每次发生时的平均损失为1000元，则该风险的期望损失为？A. 10元B. 100元C. 1000元D. 10000元答案：B. 100元四、多项选择题1. 非寿险精算的主要内容包括：A. 风险评估B. 保费定价C. 准备金评估D. 损失分布分析E. 投资管理答案：ABCD2. 下列哪些因素会影响非寿险业务的保费定价？A. 损失概率B. 损失程度C. 营运费用D. 目标利润E. 法律法规答案：ABCD3. 下列哪些方法可以用来计算非寿险业务的未决赔款准备金？A. 综合比例法B. 平均估算法C. 责任年限法D. 追溯法E. 预测法答案：ABCD4. 在非寿险精算中，以下哪些是常用的损失分布模型？A. 正态分布B. 泊松分布C. 帕累托分布D. 对数正态分布E. 卡方分布答案：BC5. 下列关于非寿险精算的陈述中，哪些是正确的？A. 非寿险精算是研究非寿险业务中的风险评估和管理的学科。
非寿险精算答案整理
一：假设某保单的损失服从指数分布，概率密度函数为)0();(>=-x e x f x λλ其中，λ为未知参数，如果该保单过去各年的损失观测值为),(21n x x x ，求参数λ的极大似然估解：利用极大似然估计的方法，可以得到xxnni i1ˆ1==∑=λ二：假设某保险业务的累积损失S 服从复合泊松分布，泊松参数为20，而每次损失的金额服从均值为100的指数分布，用正态近似求累积损失的99%的分位数。
解：[]400000)100100(20)()()()()(200010020)()(222=+=+==⨯==X E N VAR N E X VAR S VAR X E S E λ分位数=3471)(326.2)(=⨯+S VAR S E加二、某保单规定的免赔额为20，该保单的损失服从参数为0.2的指数分布，求该保险人对该保险保单的期望赔款。
解： 令⎩⎨⎧≥-≤=2020200X X X Y ，，为保险人的赔款随机变量4202.052.0)20()2020()(-∞-=-=>-=⎰e dx e x X X E Y E x三、假设某公司承保的所有汽车每年发生交通事故的次数都服从泊松分布，而不同汽车的泊松分布参数不同，假设只取两个值（1或2），进一步假设λ的先验分布为4.0)2(,6.0)1(====λλp p ，如果汽车一年内发生4次事故，求该汽车索赔频率λ的后验分布。
解：λλλ-==e x P !4)4(41241)14(-===e x P λ 22416)24(-===e x P λ 2031.04.024166.0246.024)41(211=⨯+⨯⨯===---e e e x P λ7969.04.024166.0246.02416)42(212=⨯+⨯⨯===---e e e x P λ=)(λE 1)41(⨯==x P λ+2)42(⨯==x P λ=1.7969四：假设某险种的损失次数服从参数为0.2的泊松分布，对于一次保险事故，损失为5000元的概率是80%，损失为10000元的概率是20%，请计算保险公司的累积损失的分布 解：为简化计算，假设一个货币单位为5000元，解：818731.0)0(2.0===--e e f s λ ，130997.08.02.0)0()1()1(2.0=⨯⨯==-e f f f S X s λ043229.0))0()2(2)1()1((2)2(=+=S X S X s f f f f f λ五：假设某保险人签发了两份保单六：假设保险业务在一年内是均匀分布，保险期限为1年，各日历年的已赚保费如下，2000解：如果把1998年生效的相对费率看做是1，则1999年生效的相对费率为1.08,2001年生效的相对费率为1772.19.01*8.01=，2000年的相对费率为7.01.5%87*8.01.5%12*1=+，2001年的相对费率为1.08*12.5%+1.1772*12.5%=1.09215,2002年的相对费率为1.08*12.5%+1.1772*87.5%=1.16505，将所有年费的已赚保费调整到2002年的水平，可得等水平已赚保费为3100*1.1772/1.07+3200*1.1772/1.09215+3500*1.1772/1.16505=10396.28 八：某险种当年的相对费率和保费收入、过去三年的等水平已赚保费和经验损失数据如下表所示，假设A 为基础类别，经验数据的可信度为40%，如果整体保费需要上调15%，请计算调整后的相对费率。
非寿险分类费率模型及其参数估计
正态的 ,如索赔频率可能更加接近于泊松分布 ,而索赔强度可能更加接近丁伽玛分布等 。在广
义线性模型中 ,可以允许因变量服从一种更为广泛的分布族 ———线性指数分布族 。该分布族
包含了我们所熟悉的许多分布 ,如指数分布 、泊松分布 、二项分布 、正态分布利伽玛分布等 。因
此 ,与普通的线性同归模型 (即用最小二乘法估计的加法模型 )相比 , 广义线性模刑具有更大
孟生旺
(中国人民大学应用统计科学研究中心 ,北京 , 100872)
摘要 :在非寿险分类费率厘定中 ,存在各种模型可供选择 ,如加法模型 、乘法模型 、混合模型和广义
线性模型等 ,而在这些模型的参数估计中 ,还存在各种可供选择的估计方法 ,如最小二乘法 、极大
似然法 、最小 x2 法 、直接法和边际总和法等 。这些模型和参数估计方法散见于各种精算学文献中 ,
可以证明 ,根据最小 χ2 法计算的纯保费 , 其保费总额不会小于赔款总额 。这对保险人而
言是一个不错的性质 ,因为可以保证不会因为保费不足而遭受损失 。
2. 4 直接法
直接法从乘法模型本身出发 ,确定相对费率的迭代公式 。譬如 , 如果已知 βj, 则由乘法模
型
μ ij
= E [ Xij ]
=αiβj 可知 ,αi
e- n iμj ij
( nij yij ) !
取对ij yij , μ nij ij ) ] = nij yij ( lnnij +αi +βj ) - nij eαi +βj - ln ( nij yij ! )
故对数似然函数为 L = ∑lij i, j
∑nijw ij (αiβj - yij ) = 0 j
在上述加权边际总和法中 ,当 w ij =αiβj 时 , 即得最小二乘法 :当 w ij = 1 / (αiβj ) , 即得直接 法 ;当 w ij = 1 + yij / (αiβj )时 ,即得最小 χ2 法 ;当 w ij = 1时 ,即得边际总法 。
非寿险第四章.1
有限扰动信度理论(limited fluctuation credibility theory)假设这些误差都纯粹是由 随机性引起的。 这也就是假设 x 1 , , x n 是来自于总体X的， 独立同分布的样本。
1、完全可信性
完全可信性 完全可信性条件
2 、部 分可信性
4.1 .1 完全可信性
设风险X的方差为Var [ X ] 2 。
P
n x
n 1
解得
n 0
2
0
Var [ X ]
E [ X ] 2
其中Βιβλιοθήκη 0 U 1 2
2。
4.1 .2 部 分可信性
当样本容量n不足够大，为解决这一问题，人 们提出了部分可信性理论，认为可以将下一期保 费P定价 x 为与M的加权平均 P 1 z M z x 。
z min , 1 min n0 n , 1 min 0 n E[X ] Var [ X ] ,1 0 n
(4-4)
在推出一个新的险种或者没有历 史经验数据的时候，人们只得参考其 他相类似的险种或其他地区的经验， 通过合理的推测和判断给出定价。这 时取信度因子z = 0，保费P = M。
§4.1 有限扰动信度理论
X —— 某险种的实际损失 X可以代表该险种的索赔次数，索赔频率或赔款 额。 X是个随机变量。 关于这一险种的实际损失X，我们有前期历史 经验数据 x 1 , , x n 。 它们可以是其他保险人同类损失数据，也可以 是某个保险人过去的损失数据。
这些数据不可能全都相等，它们之间有扰动， 存在着误差。
课程介绍之保险经营：非寿险费率的厘订步骤
四、⾮寿险费率的厘订步骤⾮寿险费率的厘订是以损失概率为依据的，通过计算保额损失率加均⽅差计算纯费率；纯费率与附加保费率之和即为⽑费率。
⾮寿险费率的厘订步骤通常为：（⼀）确定纯费率 纯费率是纯保费占保险⾦额的⽐率。
它是⽤于补偿被保险⼈因保险事故造成保险标的损失的⾦额。
其计算公式为：纯费率＝保额损失率＋（－）均⽅差 （1）计算保额损失率 保额损失率是赔偿⾦额占保险⾦额的⽐率。
其计算公式为： 保额损失率＝赔偿⾦额/保险⾦额×1000‰（2）计算均⽅差（s） 均⽅差是各保额损失率与平均损失率离差平⽅和平均数的平⽅根。
它反映各保额损失率与平均保额损失率相差的程度。
它说明平均保额损失率的代表性，均⽅差愈⼩，则其代表性愈强；反之，则代表性差。
若以s表⽰均⽅差，则其计算公式为：S（x-x）2s＝────①n 对于平均保额损失率附加均⽅差的多少，取决于损失率的稳定程度。
对于损失率较稳定的，则其概率[P(A)]不要求太⾼，相应地概率度（t）为1即可；反之，则要求概率较⾼，以便对⾼风险的险种有较⼤的把握，从⽽稳定经营，相应的概率度为2或3。
（3）计算稳定系数sVs＝───X 稳定系数是均⽅差与平均保额损失率之⽐，它衡量期望值与实际结果的密切程度，即平均保额损失率对各实际保额损失率(随机变量各观察值)的代表程度。
稳定系数愈低，则保险经营稳定性愈⾼；反之，稳定系数愈⾼，则保险经营稳定性愈低。
⼀般为10％－20％较为合适。
（4）确定纯费率 财产保险的纯费率是财产保险的纯保费占保险⾦额的⽐率，是作为保险⾦⽤于补偿被保险⼈因保险事故造成保险标的的损失⾦额。
其计算公式为： 纯费率＝保额损失率＋(－)均⽅差 或，＝保额损失率×［1＋(－)稳定系数］ 所以，若以68.27%的概率估计，t=1，则纯费率为：(x-σ； x+σ) 若以95.45%的概率估计，t=2，则纯费率为：(x-2σ； x+2σ) 若以99.73%的概率估计，t=3，则纯费率为：(x-3σ； x+3σ)⽽对稳定系数低的，则稳定性⾼，附加的均⽅差就可⼩些；反之，对⾼风险的险种，其保额损失率所附加的均⽅差就应该⼤⼀些。
保险精算费率厘定的基本原理
线性模型：y=a t +b 指数模型：y=beat 指数模型还可以表示为：㏑(y)=a t+㏑(b) 若令Y =㏑(y) ，B =㏑(b)，则有Y=a t+B
16
当免赔额为d 时，保险公司的期望赔款将为
E W
E
XEX 1 FX d
d
如果在应用免赔额之前的期望索赔频率为n，则当免赔额
为d时，期望索赔频率将变为 n 1 FX d
从而纯保费成为
n E X E X d
5
如果进一步假设通货膨胀率为r，免赔额 d 保持不变，则 纯保费为
n (1
第11章 费率厘定的基本原理
1
第一节 引言
非寿险产品的费率由三个部分构成： 纯保费：用于补偿保险公司在未来的期望赔款成本； 费用附加：用于补偿保险公司经营相关保险业务的各 种必要的费用支出； 利润附加：保险公司经营保险业务所得到的收益，可 以看作是经营过程中保险所使用的资本金的成本。
2
风险单位：对风险进行度量的基本单位，也是费率厘定的 基本单位。
r
纯保费为
n
1
r
E
X
u 1
r
8
四、免赔额与赔偿限额对纯保费的综合影响
如果保单规定的免赔额为d，且对每一次保险事故，保险 公司的最高赔款支出为u－d，则对每一次损失X，保险公 司的实际赔款支出为：
u d ,
R
X
d,
0,
X u d X u X d
9
因此包括零赔款(即在免赔额以下的损失)在内பைடு நூலகம்期望赔款 为
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２ １ 年第 １ 总第 １１ ０２ 期（ ４ 期）
非寿险费率厘定中的损失函数研 究
张俊 岭
（ 中国人 民财产保险股份 有限公 司总公 司， 北京 １０ ２ ） ０ ０ ２
摘
要： 在全球保险费率市场化 大背景下 ， 随着保险 费率监 管的不断放松 ， 国实力雄厚 的大保 险公 司迫于 市场竞争 各
收稿 日期：０ １ １— ０ ２ １－ ２ ３
÷‘｛Ｅｅ （ ／－ ） ｚ ）＿ Ｉ ［ｐ ｃ Ｅｎ ［ｐ－Ａ （ Ｉ，， ｌ ｘ ｃ ＋０ Ｘ …， ］ ÷・ｇｅ （ ｌ ｎ ｘ一
Ｍ （ Ｉｌｘ ， ， ）。 ＠） ， ２… ］ Ｘ
①损失函数￡ 为非负的凸 函数。 （）
７ ９
一
般来说 ， 二次损失 函数在保费厘定过程 中是作为标 准
（ ） 二 二次损失 函数 二次损失函数表示为 ：． ＝ 并且有￡ ０ ＝ ； Ｊ ） ， ［ （ （ ）０ 在二次损
的损失 函数 ， 是这种损失 函数 由于 自身 的对称性 ， 但 在保 费
奖惩机制 中具有较大 的弊端 ， 表现为 ： 对于风 险状况 良好 的 投保人给予较大的折扣力度 ， 而对于风险状况较差 的投保人
…
容易 看 出 ， 只有 当 （ ， ， ， ＝ ｍ＋ ＠） ， ， 。 … Ｘ ） ＥＩ 。 Ｉ ２ ： （ Ｘ１
…
，
以 ］才能使得ｍ ｎ ｛ ， 一 ｘ。 …， ） ， ｉ Ｅ ［ （ ｏ（ ， ， 疋 ］ 成立。 ＠） Ｘ ｝
（ ） 三 指数损失 函数 指数损失 函数表示 为 ）ｅｐ 一 ， （ ＝ ｘ （ ｃ ）并且有Ｌ ０ ＝ ； （ ） １ 在
（ ， ， ）｝Ｏ ｘ， … ］ ＝
１随机变量序Ｎｘ ｌ， ， ， ｏ 且假定 叔 仅依赖 于 ． ＝ｘ ， … ｘ ， Ｘ： ０ 存 在有限的二阶矩 ； ０ 相互 独立 的。 Ｊ尾 ２随机 变量序Ｎ ｏ＝ｏ。 ， ， ， ． （ ， … ０ ｌ表示 风险参 数随机 ０： 变量 ； ＠） ［ ＠ ］ｉ１２ ３ … ）表示置的条件均值 ； （ ＝ Ｉ （ ，， ， ， ＝ 并且 条件均值 的期望值等于地， 即为 胁（ ］ 。 ［ ＠）＝ ３在某种损失 函龇 （ ① ， ｎ ［ （ 一 ｘ ， ： ． ） 下 ｍｉＥ ０）ｏ（ Ｘ ，
一
Ｅ ［ 。０） （ ， ２… ， ） ｝Ｅ ［ （ ， ， Ｘ ） ｛ （ 一 ， ， ］＋ ｆ …， 一 Ｘ
、
费率厘定 中的损失 函数
ｏ（ Ｘ ， ， ） 。 ｘ ， ：… ］ ｝
其中 ，
（ ） 一 符号定义及假设
Ｅ｛ｋ 。０）中 （ ， … ， ）｝ ｉ ， ， ， 一 ［ ＋ 一 ． ， ］ ｏ （ … Ｘ ） （ Ｘ Ｃｌ 。
费率厘定 系统的构建过程 中， 失函数 的选择处于至关重要的一环。 损
关
键
词： 险； 保 费率厘 定 ； 失函数 ； 损 最优 解
文献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ６ ３４ （０ ２ Ｏ — ０ ９ ０ １０ — ５４ ２ １ ）１０ ７ — ４
中 图分 类 号 ：８ ０ Ｆ４ ． ４
却给予了很大的惩 罚力度 ， 这样可能会造成风险状况差 的投
失 函数下 ， ｎ ｛ 。 一 ｘ ， ：… ， ） 的限制条件下 ， ｍｉＥ ［ （ ｏ（ Ｘ ， ］ ０） ｝
最优解表示为 ’ ， ， Ｘ ）Ｅ （ ｌ Ｘ ， ， ］ （ ：…， ＝ ［ Ｏ） ， ２… 。 。 Ｘ
的压 力， 纷纷开始制定适合本公司特点的费率 系统。 保险公 司理想的 费率厘定模型是在不 同类别保单持有人之 间能
够公平地分 配保险风险损 失， 实现对投 保人 收取 与之 风险状况相一 致的风险保费的最终 目标。 由于不 同的损失 函数
能够对保 费厘定 系统 中的奖惩机制进 行不同的调节 ， 而可以较好地 实现投保人之 间保 费的公平分担 问题 。 从 因此 ， 在
指数损失函数下， ｉ ｛ｘ － ・ ｌ（ 一 （ ， ，…， ａ ｒｎＥ ｅｐ［ ｃ （ ＠） １ ： ） ］的限制条 件下 ， ）｝ 最优解 表示 为 （ ， ， Ｘ ） ＋ ， …， Ｘ： 。 ＋
，
Ｘ ）｝ ］的限制条件 下 ， 最优解定义为 （ ， ， ， ） ：… 。
作者简 介： 张俊岭 （９０ ）男 ， １８一 ， 河北邯郸人 ， 士 ， 职于 中国人 民财 博 供 产保险股份有 限公 司总公 司， 研究方 向为保险精算 、 险 风
证明 ：
保人所缴纳的保费用于补贴 风险状况好 的投保 人 ， 这是与保 险公 司向投保人收取 与之风险相适应 的基本保 费原则相 违 背 的。 而指数损失 函数却 能很好 地解决 这一 奖惩不 公平 问
题， 主要表现 为 ： 能够 降低给予风 险状况 良好 的投保人 的折 扣力度 ， 同时减少对于风 险状 况不佳 的投保 人 的惩罚力 度 。
＝
［ 。＠）Ｏ（ ， ：…， ） ｝ （ 一 Ｘ。 ， ］ Ｘ
［ ｌＯ） 中 （ ，２…， ）中 （ ， ２… ， 一 ｘｌ （ 一 Ｘ ， ＋ Ｘ ， Ｘ ）Ｏ（ ， 。 ｌ
பைடு நூலகம்Ｘ ， ， ） ：… ］ ｌ ＝ ｌ （ 一 （ ， ：… ， ］＋ 中 （ ， ：… ， ） Ｅ ［ Ｏ） 。 ， Ｘ ） ［ Ｘ ， 一 ｍ Ｘ ｝
中（ Ｘ ， Ｘ ） Ｊ２ ｛ 。 一 。 ：…， ］ （ ， …， ］＋Ｅ ［ （ 中 （ ， ， Ｘ）｝ ［ ＋ ０） Ｘ Ｅ
（ ， ， ， ）Ｏ（ ， ２… ， ）ｌ － … 一 ｘｔ ， ］ ｚ Ｘ
＝
从而 ， 较好地实现 了投保人之 间保 费的公平分担问题 。 面 下 来分别介 绍二次损失函数与指数损失 函数 。