1986年全国高中数学联赛试题及答案详解
高中数学联赛真题分类排列组合(原卷版)
现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个
项
目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为
(用数字
作答).
9.【2008 高中数学联赛（第 01 试）
】
将 24 个志愿者名额分配给 3 个学校，则每校至少有 1 个名额且各校名额 互
不相同的分配方法共有
】
三边均为整数，且最大边长为 11 的三角形，共有
个.
优质模拟题强化训练
1．乒乓球集训队有 10 名队员，每两人组成一对练球，其不同的组对方式共有（
A．972
B．945
C．864
）种．
D．891
2．已知�= 1,2, ⋅⋅⋅ , 216 , � ⊆ �.若集合�中任两个元素的和都不能被 6 整除，则集合�中元素的个数最多为
种.
10.【2007 高中数学联赛（第 01 试）
】
将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内，每个小方 格
内至多填 1 个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有
种(用数字作答)
11．【2001 高中数学联赛（第 01 试）
】
在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图)，要求同一场块中种同一
盒子中.一种放法称为"好的",如果 1 号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数.则"好的"放法共有
种.
5. 【2019 高中数学联赛 A 卷（第 01 试）
】
将 6 个数 2、0、1、9、20、19 按任意次序排成一行，拼成一个 8 位
数
(首位不为 0)，则产生的不同的 8 位数的个数为
1986年上海市高中数学竞赛初赛试题和解答
,
则 这 圆 锥 顶 点 至 圆柱 卜底 而 的
。
脚 离 等 J 圆 锥 母 线 长的
(少 ) 士
4
`
圆 锥 曲线
叫 丫: 的 点 点 到 其相 应 准 线 的 距 离 李;
,
一
;
( B )专
,
,
(C ) 母
;
(D) 告
戈 +
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1
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10
.
( B ) 若;
1
一
(C ) 1
,
(D )
1
2
,
。
.
若 在前 n 项
则抽 去 的 项
;
。
已知 方程 a x
’
一
4x g
,
+
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_
_
:
_.
,
、
/
丁
_
*
中抽去 一 项 后 的 几 何 平 均 数为
(A ) 第 8 项
;
;
Z
2
3y
二
O 表 示 两 条直 线
则 实数
=
_ _
__
_
。
6
.
空 间四 边 形 的两 组 对 边 的 平 方 和 相
_ _
_
( B)
(D)
,
) 对 任 意 实数
) 0
,
和 勺丫 线 则
.
丫 二
1,
二
l
方=
十
l
分叨
都有 瓜 义
,
、
又直线
夕二
,
a (
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飞g m
一九八六年全国高中数学联合竞赛试题解答
得
’.
。
)
+
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3
a
忿
一
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乞
+
27二 0
一
则
9)
`
与
t
的 大小 刀 关 系 是
s s
。
一 c
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忿
二 一
3 (a
a 一
十 1 0a
一
(A ) (C )
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t ;
( B )
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事 了
。
…
a ` +
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一
9
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1 ) (。
9 )攫 0
。
t;
( D ) 不 确定
1《
应 成o 9
答 (C)
a
由题 设三 角形而 积
二
+
1
,
各剪 成
7
戈
,
7
片后
,
6
x
3
1 3
+
1 能 表 示 成 6 左十 1 的 形 式 ,
。
得 出的 纸 片 数 为
7
+
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:
故 剪 若 干 次后 纸 片数 会 是 1 9 8 7
6戈
,
7+
,
=
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:
+
1) +
1
( 还 有湖 南 邵 阳 市 教师 进 修 学 院 周 , 玉
、
第 三次 取 出x 片 的 纸片 数 为
解 取 出, 片
一 x
, :
。
6 (% 7戈
。 一
:
1986年全国高中数学联赛试题及详细解析
第一试1．选择题(本题满分42分，每小题7分，每小题答对得7分，答错得0分不答得1分)⑴设－1<a<0，θ=arcsin a，那么不等式sin x<a的解集为( )A．{x|2nπ+θ<x<(2n+1)π－θ，n∈Z} B．{x|2nπ－θ<x<(2n+1)π+θ，n∈Z}C．{x|(2n－1)π+θ<x<2nπ－θ，n∈Z} D．{x|2nπ+θ<x<(2n+1)π－θ，n∈Z}⑵设x为复数，M={z|(z－1)2=|z－1|2}，那么( )A．M={纯虚数} B．M={实数} C．{实数}⊂≠M ⊂≠{复数} D．M={复数}2．填空题(本题满分28分，每小题7分)：本题共有4个小题，每小题的答案都是000到999的某一个整数，请把你认为正确的答案填在上．⑴在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，其球心距为13，若作一平面与这二球面相切，且与圆柱面交成一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是．⑵已知f(x)=|1－2x|，x∈[0，1]，那么方程f(f(f(x)))=1 2 x的解的个数是．⑶设f(x)=4x4x+2，那么和式f(11001)+f(21001)+f(31001)+…+f(10001001)的值等于；⑷设x、y、z为非负实数，且满足方程45x+9y+4z－68⨯25x+9y+4z+256=0，那么x+y+z的最大值与最小值的乘积等于．第二试1．(本题满分17分)已知实数列a0，a1，a2，…，满足a i－1+a i+1=2a i，(i=1，2，3，…)求证：对于任何自然数n，P(x)=a0C0n(1-x)n+a1C1n x(1-x)n-1+a2C2n x2(1-x)n-2+…+a n-1C n－1n x n-1(1-x)+a n C n n x n 是一次多项式．(本题应增加条件：a0≠a1)3．平面直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为整点，请设计一种染色方法将所有的整点都染色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得⑴每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上；⑵对任意白色A、红点B和黑点C，总可以找到一个红点D，使得ABCD为一平行四边形．证明你设计的方法符合上述要求．1986年全国高中数学联赛解答第一试1．选择题(本题满分42分，每小题7分，每小题答对得7分，答错得0分不答得1分) ⑴ 设－1<a <0，θ=arcsin a ，那么不等式sin x <a 的解集为( ) A ．{x |2nπ+θ<x <(2n +1)π－θ，n ∈Z} B ．{x |2nπ－θ<x <(2n +1)π+θ，n ∈Z}C ．{x |(2n －1)π+θ<x <2nπ－θ，n ∈Z}D ．{x |(2n －1)π－θ<x <2nπ+θ，n ∈Z}【答案】D 【解析】－π2<θ<0，在(－π，0)内满足sin x <a 的角为－π－θ<x <θ，由单位圆易得解为D ．⑶ 设实数a 、b 、c 满足⎩⎨⎧a 2－bc －8a +7=0，b 2+c 2+bc －6a +6=0．那么，a 的取值范围是( )A ．(－∞，+∞)B ．(－∞，1]∪[9，+∞)C ．(0，7)D ．[1，9] 【答案】D【解析】①×3+②：b 2+c 2－2b c +3a 2－30a +27=0，⇒(b －c )2+3(a －1)(a －9)=0，⇒1≤a ≤9．选D ．b 2+c 2+2bc －a 2+2a －1=0，(b +c )2=(a －1)2，⇒b +c=a －1，或b +c=－a +1．⑸ 平面上有一个点集和七个不同的圆C 1，C 2，…，C 7，其中圆C 7恰好经过M 中的7个点，圆C 6恰好经过M 中的6个点，…，圆C 1恰好经过M 中的1个点，那么M 中的点数最少为( ) A ．11 B ．12 C ．21 D ．28 【答案】B【解析】首先，C 7经过M 中7个点，C 6与C 7至多2个公共点，故C 6中至少另有4个M 中的点，C 5至少经过M 中另外1个点，共有至少7+4+1=12个点．⑹ 边长为a 、b 、c 的三角形，其面积等于14，而外接圆半径为1，若s=a +b +c ，t=1a +1b +1c，则s 与t 的大小关系是A ．s >tB ．s=tC ．s <tD ．不确定 【答案】C【解析】△=12ab sin C=abc 4R ，由R=1，△=14，知abc=1．且三角形不是等边三角形．∴ 1a +1b +1c≥1ab +1bc +1ca =a +b +cabc=a +b +c ．(等号不成立)．选C ．⑶ 设f (x )=4x4x +2，那么和式f (11001)+f (21001)+f (31001)+…+f (10001001)的值等于 ；【答案】500【解析】 f (x )+f (1－x )= 4x4x +2+41－x41－x +2=4x4x +2+44+2 4x =1． ⑴以x=11001，21001，31001，…，5001001代入⑴式，即得所求和=500．⑷设x、y、z为非负实数，且满足方程45x+9y+4z－68 25x+9y+4z+256=0，那么x+y+z的最大值与最小值的乘积等于；第二试1．(本题满分17分)已知实数列a0，a1，a2，…，满足a i－1+a i+1=2a i，(i=1，2，3，…)求证：对于任何自然数n，P(x)=a0C0n(1-x)n+a1C1n x(1-x)n-1+a2C2n x2(1-x)n-2+…+a n-1C n－1n x n-1(1-x)+a n C n n x n是一次多项式．(本题应增加条件：a0≠a1)2．(本题满分17分)已知锐角三角形ABC的外接圆半径为R，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，求证：AD，BE，CF是⊿ABC的三条高的充要条件是S=R2(EF+FD+DE)．3．(本题16分)平面直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为整点，请设计一种染色方法将所有的整点都染色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得⑴每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上；⑵对任意白色A、红点B和黑点C，总可以找到一个红点D，使得ABCD为一平行四边形．证明你设计的方法符合上述要求．。
1986年第1届中国数学奥林匹克试题及解答
1986年第1届天津 南开大学第一天1986年1月22日上午8:00-12:30一、a 1，a 2，…，a n 为实数，如果它们中任意两数之和非负，那么对于满足x 1+x 2+…+x n =1的任意非负实数x 1，x 2，…，x n ，有不等式a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n ≥a 1x 12+a 2x 22+…+a n x n 2成立．请证明上述命题及其逆命题． 证：先证原命题．因为11ni i x ==∑，所以()()2222111111,11,1n n n n n nn nni i i i i i j i i i i i j i j i i ij i j i i i j i i i j i i j i ji ja x a x a x x a x a x a a x x a x aa x x =========≠≠-=-=++-=+∑∑∑∑∑∑∑∑∑．因为()0,0,0,1,2,,,i j i j a a x x i j n i j +=≠≥≥≥且，所以(),10nij i j i j i jaa x x =≠+∑≥．即211nni i i i i i a x a x ==∑∑≥．再证逆命题：如果对于满足11n i i x ==∑的任意非负实数12,,,n x x x ，有不等式211n ni i i i i i a x a x ==∑∑≥成立，那么实数12,,,n a a a 中任意两数之和非负．令1,,k x x 中12i j x x ==，其余为0．因为211nnk k k k k k a x a x ==∑∑≥，所以11112244i j i j a a a a ++≥．从而0i j a a +≥．二、在△ABC 中，BC 边上的高AD =12，∠A 的平分线AE =13，设BC 边上的中线AF =m ，问m 在什么范围内取值时，∠A分别为锐角，直角、钝角．解：如图1，设1,2BAC DAE αβ∠=∠=，则12cos 13β=．显然E 在D 、F 之间．AB D E F C图1因为()()()()sin 2111tan tan 222cos2cos2AD DF BF BD BD DC BD DC BD AD βαβαβαβ=-=+-=-=⎡+--⎤=⎣⎦+，所以m =α的增加而严格增加．当A ∠为直角时，2028119m =，当0α→时，13m →；当2arcsin 13a 1→时，m →+∞．故当202813119m <<时，A ∠为锐角；当2028119m =时，A ∠为直角；当2028119m >时，A ∠为钝角．三、设z 1，z 2，…，z n 为复数，满足|z 1|+|z 2|+…+|z n |=1．求证：上述n 个复数中，必存在若干个复数，它们的和的模不小于16．证：设()1,2,,k k k z x iy k n =+=．因为()k k k k k x y z x y +≥≥或，所以1111k k k k nnnk k k k k k k k k k x x y y z x y x x y y ===<<=+=+++∑∑∑∑∑∑∑≥≥≤．故上式中右边四个和式中至少有一个不小于14．不妨设014k k x x ∑≥≥，则1146k k k kkk x x x zxx =∑∑∑≥≥≥≥≥≥．注：14还可加强为1π．第二天1986年1月23日上午8:00-12:30四、已知四边形P 1P 2P 3P 4的四个顶点位于△ABC 的边上．求证：四个三角形△P 1P 2P 3、△P 1P 2P 4、△P 1P 3P 4、△P 2P 3P 4中，至少有一个的面积不大于△ABC 面积的四分之一．证：1P 、2P 、3P 、4P 中必有两点在△ABC 的同一条边上，不妨设2P 、3P 在BC 上，1P 、4P的位置可分为两种情况． ⑴1P 在AB 上，4P 在AC 上（图2）．不妨设4P 到BC 的距离≥1P 到BC 的距离．过1P 作1//PQ BC ，交BC 于Q ，则Q 在线段4PC 上．23图2若直线21P P 与CA 的延长线相交或平行，则4P 到12PP 的距离≤Q 到12PP 的距离，所以124121P P P P P Q P BQ S S S ∆∆∆=≤． 设1PQAQ AC BC λ==，则11PB AB λ=-．所以()()11114P BQ ABQ ABC ABC S S S S λλλ∆∆∆∆=-=-≤． 若直线21P P 与AC 的延长线相交，则1P 到AC 的距离大于2P 到AC 的距离．过P 作AC 的平行线交BC 于R ，则R 在线段2BP 上（图3）．于是123121P P P P P C P RC S S S ∆∆∆≤≤．与前面的论证相同，114P RC ABC S S ∆∆≤．23图3⑵1P 、4P均在AB 上（图3）．用△34BP P 代替△ABC ，化为情况⑴．23图4于是命题恒成立．五、能否把1，1，2，2，3，3，…，1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个1986之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论． 解：不能．理由如下：同一个偶数占据一个奇数位和一个偶数位．同一个奇数要么都占据奇数位，要么都占据偶数位．21986⨯个位置中有1986个奇数位，1986个偶数位；二者个数相同． 993个偶数，占据奇数位1993A =个，偶数位1993B =个；993个奇数，占据奇数位22A a =个，偶数位22B b =个，其中993a b +=． 因此，共占据奇数位129932A A A a =+=+个，偶数位129932B B B b =+=+个． 由于993a b +=，所以a b ≠，从而A B ≠．矛盾！ 故此种排法不可能．六、用任意的方式，给平面上的每一个点染上黑色或白色．求证：一定存在一个边长为1的正三角形，它的三个顶点是同色的．证：⑴设A 、B 两点，使2AB =，且A 、B 异色．取AB 的中点O ，它与A 或B 同色，不妨设A 、O 同色，以AO 为边作两个正三角形，其它两顶点分别以C 、D 记之．①若C 、D 中有一个与A 、O 同色，则在△OAC 、△OAD 中有一个是边长为1且三顶点同色的正三角形；②若C 、D 都与A 、O 不同色，则△BCD⑵若任何距离为2的两点都染上了同色．任取平面内的两点A 、B ，在直线AB 上用步长为2从A 出发，朝B 前进，依次得到点123,,,A A A ，它们与A 同色．显然总可找到一点k A ，使2k AB ≤．此时，以k A B 为底边作一腰长为2的等腰△k A CB ，这时C 与k A 同色，B 与C 同色，则B 与A 同色．即全平面每一点都染着相同的颜色．这时任何边长为1的正三角形的三顶点都是同色的．。
1986年全国统一高考数学试卷(文科)
1986年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（5分）函数y=5x +1的反函数是（ ）A ． y =log 5（x+1）B ． y =log x 5+1C ． y =log 5（x ﹣1）D ． y =log （x ﹣1）53．（5分）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，那么集合{2，7，8}是（ ）4．（5分）函数是（ ）A ． 周期为的奇函数B ．周期为的偶函数 C ． 周期为的奇函数D ．周期为的偶函数5．（5分）已知c ＜0，则下列不等式中成立的一个是（ ）A ． c ＞2cB ．C ．D ．6．（5分）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（ ）A ． 1789B ． 1799C ． 1879D ． 18997．（5分）已知某正方体对角线长为a ，那么，这个正方体的全面积是（ ）A ．B ． 2a 2C ．D ．8．（5分）如果方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0（D 2+E 2﹣4F ＞0）所表示的曲线关于直线y=x 对称，那么必有（ ）A ． D =EB ． D =FC ． E =FD ． D =E=F9．（5分）（2004•重庆）已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ． 充要条件 D 既不充分也不必要条件A ． A ∪B B ． A ∩BC ． （∁I A ）∪（∁I B ）D ．（∁I A ）∩（∁I B ）．10．（5分）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象只可能是（）A．B．C．D．二、解答题（共12小题，满分0分）11．（5分）求方程的解．12．（5分）已知的值．13．（5分）在xoy平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积．14．（5分）求15．（5分）求展开式中的常数项．16．（5分）求椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程．17．（10分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC．18．（12分）求满足方程的辐角主值最小的复数Z．19．（12分）已知抛物线y2=x+1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP：PA=1：2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线．20．（12分）甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两个公司各承包2项，问共有多少种承包方式．21．（12分）已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b．求证：（1）当b≠时，tg3A=．（2）（1+2cos2A）2=a2+b2．22．（12分）已知数列{a n}，其中，且当n≥3时，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求．1986年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（）A．B．C．D．考点：复数的基本概念．分析：复数的三角形式是r（cosθ+isinθ），观察所给的四种形式，只有一种形式符合要求，注意式子中各个位置的符号，可得结果．解答：解：∵Z=r（cosθ+isinθ），∴Z=2（cos+isin），故选B点评：复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式，注意两种形式的标准形式，不要在简单问题上犯错误．2．（5分）函数y=5x+1的反函数是（）A．y=log5（x+1）B．y=log x5+1 C．y=log5（x﹣1）D．y=log（x﹣1）5考点：反函数．分析：本题考查指数式和对数式的互化、反函数的求法、函数值域的求法等相关知识；根据已知，利用反函数的定义结合指对互化即可得到x，再由原函数确定值域即可．解答：解：由y=5x+1及指数式与对数式的互化得x=log5（y﹣1）又函数y=5x+1的值域为y＞1∴函数y=5x+1的反函数是y=log5（x﹣1）（x＞1）故选C点评：本题小巧，所用知识单一，较为容易，尽管题目简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．注意反函数结果是否把定义域写入的问题，本题选项没有注明定义域，这是因为反函数解析式确定的x的范围和原函数的值域相同，所以省略，我们在求反函数时，一般是给出定义域的．3．（5分）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，那么集合{2，7，8}是（）A．A∪B B．A∩B C．（∁I A）∪（∁I B）D．（∁I A）∩（∁I B）考点：交集及其运算．分析：可以看出2，7，8既不在A中，也不再B中，故需求补集．解答：解：∁I A={1，2，6，7，8}∁I B={2，4，5，7，8}（∁I A）∩（∁I B）={2，7，8}故选D．点评：本题考查集合的交集和补集运算，较简单．4．（5分）函数是（）A．周期为的B．周期为的偶函数奇函数D．周期为的偶函数C．周期为的奇函数考点：二倍角的正弦．分析：逆用二倍角的正弦公式，整理三角函数式，应用周期的公式求出周期，再判断奇偶性，这是性质应用中的简单问题．解答：解：∵y=sin2xcos2x=sin4x∴T=2π÷4=，∵原函数为奇函数，故选A点评：利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式．化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出；第四，尽量使分母不含三角函数．把函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式再解决三角函数性质有关问题．5．（5分）已知c＜0，则下列不等式中成立的一个是（）A．c＞2c B．C．D．考点：有理数指数幂的化简求值．分析：注意指数函数的单调性跟底的范围有关．解答：解：故点评：本题是对指数函数性质的考查，属简单题．6．（5分）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（）A．1789 B．1799 C．1879 D．1899考点：收集数据的方法．专题：计算题．分析：本题要求求20个数字的和，数字个数较多，解题时要细心，不要漏掉数字或重复使用数字．解答：解：由题意知本题是一个求和问题，87+91+94+88+93+91+89+87+92+86+90+92+88+90+91+86+89+92+95+88=1799，故选B．点评：本题是一个最基本的问题，考查的是数字的加法运算，这样的题目若出上，则是一个送分的题目．7．（5分）已知某正方体对角线长为a，那么，这个正方体的全面积是（）A．B．2a2C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题． 分析：先求正方体的棱长，然后求全面积． 解答：解：设正方体的棱长为x ，则有：a 2=3x 2，所以正方体的表面积是6x 2=2a 2． 故选B ． 点评：本题考查正方体的对角线和边长的关系，是基础题，学生必须会做题目．8．（5分）如果方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0（D 2+E 2﹣4F ＞0）所表示的曲线关于直线y=x 对称，那么必有（ ）A ． D =EB ． D =FC ． E =FD ． D =E=F考点： 圆的一般方程．分析： 圆关于直线y=x 对称，只需圆心坐标满足方程y=x 即可．解答： 解：曲线关于直线y=x 对称，就是圆心坐标在直线y=x 上，圆的方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0（D 2+E 2﹣4F ＞0）中，D=E ．故选A ．点评： 本题考查圆的一般方程，对称问题，是基础题．9．（5分）（2004•重庆）已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题： 压轴题．分析： 由题设条件知p ⇒r ⇒s ⇒q ．但由于r 推不出p ，所以q 推不出p ．解答： 解：依题意有p ⇒r ，r ⇒s ，s ⇒q ，∴p ⇒r ⇒s ⇒q ．但由于r 推不出p ，∴q 推不出p ．故选A ．点评： 本题考查充分条件，必要条件，充要条件的判断，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．10．（5分）在下列各图中，y=ax 2+bx 与y=ax+b （ab≠0）的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：函数的图象与图象变化． 专题：压轴题；数形结合． 分析： 要分析满足条件的y=ax 2+bx 与y=ax+b （ab≠0）的图象情况，我们可以使用排除法，由二次项系数a 与二次函数图象开口方向及一次函数单调性的关系，可排除A ，C ；由二次函数常数项c 为0，函数图象过原点，可排除B ． 解答：解：在A 中，由二次函数开口向上，故a ＞0故此时一次函数应为单调递增，故A不正确；在B中，由y=ax2+bx，则二次函数图象必过原点故B也不正确；在C中，由二次函数开口向下，故a＜0故此时一次函数应为单调递减，故C不正确；故选D．点评：根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧，希望大家熟练掌握．二、解答题（共12小题，满分0分）11．（5分）求方程的解．考点：指数函数综合题．分析：将方程两侧化成以5为底数的指数式，由同底数的指数式相等必有指数相等即可解．解答：解：∵===∴∴点评：本题主要考查解指数方程的问题．注意方程两侧可都化成同底数后再求解．12．（5分）已知的值．考点：复数代数形式的混合运算．分析：ω的值是1的一个立方虚根，ω2+ω+1=0是它的性质．解答：解：由==0点评：本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．13．（5分）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：画出图形，旋转后的几何体是一个圆台，去掉一个倒放的圆锥，求出圆台的体积，减去圆锥的体积即可．解答：解：在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3），这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体是：底面半径为3，高为2，上底面半径为1的圆台，去掉一个底面半径为1，高为1的圆锥，所以几何体的体积是：=．故答案为：点评：本题是基础题，考查旋转体的体积，旋转体的图形特征，棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，是常考题型．14．（5分）求考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：分子分母同时除以n2，把转化为，由此可得的值．解答：答：==．点评：本题考查型函数的极限问题，解题时要注意公式的正确选取．15．（5分）求展开式中的常数项．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项，令x的指数为0求出常数项．解答：解：展开式的通项T r+1=（﹣1）r25﹣r C5r x15﹣5r令15﹣5r=0得r=3所以展开式的常数项为﹣22C53=﹣40点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．16．（5分）求椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程．考点：双曲线的标准方程．专题：计算题．分析：根据椭圆方程求得焦点坐标，进而得到双曲线的焦点，设双曲线方程，根据离心率和焦点求得a和b，方程可得．解答：解：椭圆的焦点为（±，0）设双曲线方程为=1则a2+b2=5=，联立解得a=2，b=1故双曲线方程为点评：本题主要考查了求双曲线标准方程的问题．常用待定系数法，设出双曲线的标准方程，根据题设条件求出a和b．17．（10分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC．考点：平面与平面垂直的判定．专题：证明题；综合题．分析：要证明平面PAC垂直于平面PBC，直线证明平面PBC内的直线BC，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可．解答：证明：连接AC∵AB是圆O的直径∴∠ACB=90°即BC⊥AC又∵PA⊥圆O所在平面，且BC在这个平面内∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线∴BC⊥平面PAC∴△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直．点评：本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．18．（12分）求满足方程的辐角主值最小的复数Z．考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：首先明确z对应点的轨迹，再进一步求解．解答：解：满足方程的复数在复平面上所对应的点的全体组成了如图所示的一个圆，其圆心A对应的复数为，半径为，因而圆与x轴相切于点Q，点Q对应的复数是﹣3从点O作圆的另一条切线OP，P为切点，则点P所对应的复数为所求的复数∵，设点B对应的复数为1，∴∠BOA=150°，|OA|=，∠QOA=180°﹣∠BOA=30°∵OP、OQ是同一点引出的圆的两条切线，A是圆心，∴∠AOP=∠QOA=30°，∠QOP=2∠QOA=60°，∠BOP=180°﹣∠QOP=120°，|OP|=|OA|cos∠AOP=．∴所求的复数Z=．点评：本题是复数的几何意义和简单解析结合的综合的考查．19．（12分）已知抛物线y2=x+1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP：PA=1：2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题．分析：设出点P（x，y）和点B（X，Y），由定比分点公式得到这两个坐标的关系．即用x，y来表示X，Y．再根据B点在抛物线上，满足抛物线方程，即可得x，y的关系，亦即轨迹方程，进而进一步判断曲线类型．解答：解：设点B的坐标（X，Y），点P的坐标为（x，y），则∴∵点B在抛物线上，∴Y2=X+1，将（1），（2）代入此方程，得化简得3y2﹣2y﹣2x+1=0，，因此轨迹为抛物线点评：在求解轨迹方程的问题时，一般都是“求什么设什么”的方法，再利用题中的条件列出等式即可得到轨迹方程，这也是高考中学生不易把握的一个知识点．20．（12分）甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两个公司各承包2项，问共有多少种承包方式．考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题．分析：根据题意，依次分析甲、乙、丙、丁的选法种数，甲公司承包8项工程中的3项有C83种，乙公司承包甲剩下的5项中的1项有C51种，丙公司承包剩余4项中的2项有C42种，丁公司承包剩余的2项有C22种，由乘法原理，计算可得答案．解答：解：甲公司承包8项工程中的3项有C83种，乙公司承包甲剩下的5项中的1项有C51种，丙公司承包剩余4项中的2项有C42种，丁公司承包剩余的2项有C22种，由乘法原理，可得共C83•C51•C42•C22=1680（种）答：共有1680种承包方式．点评：本题考查组合的应用，难度不大，解题时须注意元素数目的变化．21．（12分）已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b．求证：（1）当b≠时，tg3A=．（2）（1+2cos2A）2=a2+b2．考点：三角函数恒等式的证明．专题：证明题；压轴题．分析：（1）通过和差化积公式分别对sinA+sin3A+sin5A和cosA+cos3A+cos5A进行化简，最后两式相除即可证明．（2）通过和差化积公式分别对sinA+sin3A+sin5A和cosA+cos3A+cos5A进行化简，两式分别平方后相加化简后即可证明结论．解答：证明：（1）sinA+sin3A+sin5A=sinA+sin5A+sin3A=2sin cos+sin3A=2sin3A•cos2A+sin3A=sin3A（1+2cos2A），∴sin3A（1+2cos2A）=a ①同理有cos3A（1+2cos2A）=b ②两式相除，即得tan3A=（2）∵根据（1）sin3A（1+2cos2A）=a，①cos3A（1+2cos2A）=b，②∴①2+②2sin23A（1+2cos2A）2+cos23A（1+2cos2A）2=a2+b2，∴（1+2cos2A）2（sin23A+cos23A）=a2+b2，∴（1+2cos2A）2=a2+b2．点评：本题主要考查了三角函数恒等式的证明．证明此类题常涉及两角和公式、倍角公式、同角三角函数的关系等．公式多、难度大故应在这方面多下功夫．22．（12分）已知数列{a n}，其中，且当n≥3时，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求．考点：数列的应用；极限及其运算．专题：计算题；压轴题．分析：（1）设an ﹣a n﹣1=x n﹣1，则由已知条件得，由此及彼入手能够推导出．．解答：解：（1）设an ﹣a n﹣1=x n﹣1，则由已知条件得，所以数列{a n}组成了一个公比为的等比数列，其首项，．∴a n﹣a1=（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=，∴．．点评：本题考查数列的性质和应用及极限知识，解题时要认真审题，合理选取公式．。
1986年全国高中数学联合竞赛试题及解答
1986年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题(本题满分42分，每小题7分，每小题答对得7分，答错得0分不答得1分)1986*1、设01<<-a ，a arcsin =θ，那么不等式a x <sin 的解集为()A．{}Z n n x n x ∈-+<<+,)12(2θπθπB．{}Zn n x n x ∈++<<-,)12(2θπθπC．{}Zn n x n x ∈-<<+-,2)12(θπθπD．{}Zn n x n x ∈+<<--,2)12(θπθπ◆答案：D★解析：02<<-θπ，在()0,π-内满足a x <sin 的角为θθπ<<--x ，由单位圆易得解为D ．1986*2、设x 为复数，{}221)1(-=-z z z ，那么()A．{}纯虚数=M B．{}实数=M C．{}实数⊂≠M ⊂≠{}复数D．{}复数=M ◆答案：B★解析：即()()011)1(2=----z z z ，即()0)1(=--z z z ，所以1=z 或z z =，总之，z 为实数．选B 1986*3、设实数c b a ,,满足⎩⎨⎧=+-++=+--066078222a bc c b a bc a ，那么，a 的取值范围是（）A.()+∞∞-, B.()+∞∞-,9[]1, C.()7,0 D.[]9,1◆答案：D ★解析：第一式×3+第二式：027*******=+-+-+a a bc c b ，得()0)9)(1(32=--+-a a c b ，进而0)9)(1(≤--a a ，所以91≤≤a ．选D ．1986*4、如果四面体的每一个免都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为（）A.3B.4C.5D.6◆答案：A★解析：不妨取等腰四面体，其棱长至多2种长度．棱长少于3时，必出现等腰三角形．选A ．1986*5、平面上有一个点集M 和七个不同的圆721,,,C C C ，其中圆7C 恰好经过M 中的7个点圆6C 恰好经过M 中的6个点，…圆1C 恰好经过M 中的1个点，那么M 中的点数最少为（）A.11B.12C.21D.28◆答案：B★解析：首先，7C 经过M 中7个点，6C 与7C 至多2个公共点，故6C 中至少另有4个M 中的点，5C 至少经过M 中另外1个点，共有至少7+4+1=12个点．1986*6、边长为c b a ,,的三角形，其面积等于41，而外接圆半径为1，若c b a s ++=，cb a t 111++=，则s 与t 的大小关系是（）A.t s > B.t s = C.t s < D.不确定◆答案：C ★解析：R abc C ab S 4sin 21==∆，由1=R ，41=∆S ，知1=abc ．且三角形不是等边三角形．∴s c b a abc c b a accb ab c b a t =++=++=++≥++=111111．(且等号不成立)．选C ．二、填空题(本题满分28分，每小题7分)：本题共有4个小题，每小题的答案都是000到999的某一个整数，请把你认为正确的答案填在上．1986*7、在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，其球心距为13，若作一平面与这二球面相切，且与圆柱面交成一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是．◆答案：25★解析：易得13125.66cos ==α，于是椭圆长轴为13，短轴为12．所求和为25．1986*8、已知x x f 21)(-=，[]1,0∈x ，那么方程x x f f f 21)))(((=的解的个数是．◆答案：8★解析：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<-≤<-≤≤-=--=143,344321,432141,14410,412121))((x x x x x x x x x x f f ，同样)))(((x f f f 的图象为8条线段，其斜率分别为8±，夹在0=y 与1=y ，0=x ，1=x 之内．它们各与线段x y 21=(10≤≤x )有1个交点．故本题共计8解．1986*9、设4)(+=x x x f ，那么和式10011000()10013()10012()10011(f f f f ++++ 的值等于；◆答案：500★解析：代入可求得1)1()(=-+x f x f ．将所求的式子首尾配对（共500对），得所求和为5001500=⨯．1986*10、设z y x ,,为非负实数，且满足方程02562684495495=+-⨯-++++z y x z y x ，那么z y x ++的最大值与最小值的乘积等于．◆答案：4★解析：令t z y x =++4952，则得0256682=+-t t ，解得4=t 或64=t ．当4=t 时，即2495=++z y x ，即4495=++z y x ，故4544)(9≥++=++z x z y x ，所以94≥++z y x ；又454)(4≤--=++y x z y x ，得1≤++z y x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈++1,94z y x ；当64=t 时，6495=++z y x ，得36495=++z y x ，故365436)(9≥++=++z x z y x ，所以4≥++z y x ；又36536)(4≤--=++y x z y x ，得9≤++z y x ．故，所求最大值与最小值的乘积为4994=⨯．1986年全国高中数学联合竞赛二试1986*一、(本题满分17分)已知实数列 ,,,210a a a ，满足i i i a a a 211=++-，( ,3,2,1=i )求证：对于任何自然数n ，n n n n n n n n n n n n n n x C a x x C a x x C a x x C a x C a x P +-++-+-+-=-----)1()1()1()1()(1112222111100 是一次多项式．(本题应增加条件：10a a ≠)★证明：由已知，得11-+-=-i i i i a a a a ，⇒故{}i a 是等差数列．设01≠=--d a a i i ．则kd a a k +=0．于是n n n n n n n n n n n n n n xC a x x C a x x C a x x C a x C a x P +-++-+-+-=-----)1()1()1()1()(1112222111100 ()()++-++-++-=-- 2220111000)1(2)1()1(n n n n n n x x C d a x x C d a x C a ()()()nn n n n n x C nd a x x C d n a ++--+--0110)1(1[]++-++-+-+-=----n n n n n n n n n n n n x C x x C x x C x x C x C a )1()1()1()1(1122211100 ()[]n n n n n n n n n n x nC x x C n x x C x x C d +--++-+-----)1(1)1(2)1(11222111 (由11--=k n k n nC kC 继续化简)[]1112221111010)1()1()1()1(---------+-++-+-++-=n n n n n n n n n n n x C x x C x x C x C ndx x x a ()x a a a x x ndx a n n 0010)1(-+=+-+=-，此为一次多项式．证毕．1986*二、本题满分17分)已知锐角三角形ABC 的外接圆半径为R ，点F E D ,,分别在边AB CA BC ,,上，求证：CF BE AD ,,是ABC ∆的三条高的充要条件是()DE FD EF R S ++=（其中S 是ABC ∆的面积）★证明：连OA ，则由B F E C ,,,四点共圆，得C AFE ∠=∠，又在OAB ∆中，()C C OAF ∠-=∠-=∠009022180，∴EF OA ⊥．∴EF R OA EF S OEAF ⋅=⋅=22，同理，DF R S OFBD ⋅=，DE R S ODCE ⋅=，故得()DE DF EF R S ++⋅=．反之，由()DE DF EF R S ++⋅=2．得EF OA ⊥，DF OB ⊥，ED OC ⊥，否则()DE DF EF R S ++⋅<2．过A 作⊙O 的切线AT ，则ACB TAF AFE ∠=∠=∠，所以D E F B ,,,四点共圆，同理，C D F A ,,,共圆，B D E A ,,,共圆．ADC AFC ∠=∠，ADB AEB ∠=∠．∴0180=∠+∠=∠+∠ADB ADC AEB AFC ．但BEC BFC ∠=∠，即090=∠=∠AEB AFC ，于是E F ,为垂足，同理D 为垂足，所以CF BE AD ,,是ABC ∆的三条高。
全国高中数学竞赛试题及答案
全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。
2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。
3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。
试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。
2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。
3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。
试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。
2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。
3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。
试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。
2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。
3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。
试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。
2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
1986年全国高考数学试题及答案解析
解:设点A的坐标为(0,a)、点B的坐标为(0,b),0<b<a,又设所求点C的坐标为(x,0),x>0.
记∠BCA=α,∠OCB=β,则∠OCA=α+β.
六、已知集合A和集合B各含有12个元素,A∩B含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:
[Key]七、本题考查直线、抛物线和函数的基本知识及综合推导能力.
解:由已知条件可知,直线l1的方程是
y=k(x+1),①
把①代入抛物线方程y2=4x,整理后得到
k2x2+(2k2-4)x+k2=0,②
因此,直线l1与该抛物线有两个交点的充要条件是:
(2k2-4)2-4k2·k2>0,③
及k≠0.④
二、只要求直接写出结果.
(3)在xoy平面上,四边形ABCD的四个顶点坐标依次为(0,0)、(1,0)、(2,1)及(0,3),求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积.
[Key]二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.
三、如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A、B的任意一点.
(A)SG⊥△EFG所在平面(B)SD⊥△EFG所在平面
(C)GF⊥△SEF所在平面(D)GD⊥△SEF所在平面
【】
[Key] (8)A;
(9)在下列各图中,y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)的图象只可能是
【】
[Key] (9)D;
(10)当x∈[-1,0]时,在下面关系式中正确的是
【】
[Key](10)C.
1986年全国高考数学试题及答案解析
1986高考数学全国卷及答案理
1986年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一．（本题满分30分）（1）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 （ B ）（A ）)4sin 4(cos2π-πi （B ）)4sin 4(cos 2π+πi （C ）)4cos 4(sin 2π-πi （D ）)4cos 4(sin 2π-π-i（2）函数1)2.0(+=-x y 的反函数是 （ C ） （A ）1log 5+=x y （B ）15log +=x y （C ）)1(log 5-=x y （D ）1log 5-=x y（3）极坐标方程34cos =θρ表示 （ B ） （A ）一条平行于x 轴的直线 （B ）一条垂直于x 轴的直线 （C ）一个圆 （D ）一条抛物线（4）函数x x y 2cos 2sin 2=是 （ A ）（A ）周期为2π的奇函数 （B ）周期为2π的偶函数（C ）周期为4π的奇函数 （D ）周期为4π的偶函数（5）给出20个数： （ B ） 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（A ）1789 （B ）1799 （C ）1879 （D ）1899 （6）设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 （ D ） （A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要的条件（7）如果方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F ＞0)所表示的曲线关于直线y=x 对称，那么必有 （ A ） （A ）D=E （B ）D=F （C ）E=F （D ）D=E=F（8）在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1 、G 2 、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S-EFG 中必有 （ A ）（A ）SG ⊥△EFG 所在平面 （B ）SD ⊥△EFG 所在平面 （C ）GF ⊥△SEF 所在平面 （D ）GD ⊥△SEF 所在平面（9）在下列各图中，y=ax 2+bx 与y=ax+b(ab ≠0）的图象只可能是 （ D ）]0,1[-∈x C ） （A ）21arcsin )arccos(x x -=--π （B ）21arccos )arcsin(x x -=--π （C ）21arcsin arccos x x -=-π （D ）21arccos arcsin x x -=-π 二．（本题满分24分） （1）求方程4)5.0(5252=-+x x 的解S 3FG 1 G 2 E（A ） （B ） （C ） （D ） X X答：.23,2121-==x x （注：仅写出其中一个解的，给2分）（2）已知1,2312+ω+ω--=ω求i的值 答：0 .（3）在xoy 平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）x 轴旋转一周所得到的几何体的体积答：π325（4）求11)2(3)2(3lim ++∞→-+-+n n nn n 答：31（5）求52312(x x -展开式中的常数项答：-40（6）已知θ-θ=θ-θ33cos sin ,21cos sin 求的值答：.611 三．（本题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的任一点，求证：平面PAC 垂直于平面PBC证：设圆O 所在平面为α，由已知条件，PA ⊥平面α，又BC 在平面α内， 因此PA ⊥BC因为∠BCA 是直角，因此BC ⊥ACP而PA 与AC 是△PAC 所在平面内的相交直线，因此BC ⊥△PAC 所在平面，从而证得，△PBC 所在平面与△PAC 所在平面垂直四．（本题满分12分）当sin2x ＞0,求不等式)13(log )152(log 5.025.0+>--x x x 的解集解：满足sin2x ＞0的x 取值范围是,,2Z k k x k ∈π+π<<π （1） 而由)13(log )152(log 5.025.0+>--x x x 得⎪⎩⎪⎨⎧>+>--+<--)4(013)3(0152)2(1315222x x x x x x 解得：-4＜x ＜-3,5＜x ＜7 (5)由（1）、（5）可知所求解集为).7,2()3,(π⋃-π- 五．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A 、B 试在x 轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C ，使∠ACB 取得最大值解：设点A 的坐标为（0，a )、点B 的坐标为（0，b ），0＜b ＜a ，又设所求点C 的坐标为（x,0)记β+α=∠β=∠α=∠OCA OCB BCA 则,, 显然，.20π<α<现在有Y A.1)(1)(])[(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+-=ββ+α+β-β+α=β-β+α=αx abab x ab ba x ab x ba xab x b x a tg tg tg tg tg tg 记xababx y +=，那么，当ab x =时，y 取得最小值2 因此，当ab x =时，αtg 取得最大值.2abb a -因为在)2,0(π内αtg 是增函数，所以当ab x =时，∠ACB 取最大值.2abb a arctg-故所求点C 的坐标为（,ab 0）六．（本题满分10分）已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A ∩B 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数：（1）B A C ⋃⊂且C 中含有3个元素，（2）φ≠⋂A C （φ表示空集）解：因为A 、B 各含12个元素，A ∩B 含有4个元素，因此A ∪B 元素的个数是12+12-4=20故满足题目条件（1）的集合的个数是320C ，在上面集合中，还满足A ∩C=φ的集合C 的个数是38C因此，所求集合C 的个数是320C -38C =1084（解二略）七．（本题满分12分）过点M （-1，0）的直线L 1与抛物线y 2=4x 交于P 1、P 2两点记：线段P 1P 2的中点为P;过点P 和这个抛物线的焦点F 的直线为L 2;L 1的斜率为k 试把直线L 2的斜率与直线L 1的斜率之比表示为k 的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数解：由已知条件可知，直线L 1的方程是 y=k(x+1) ① 把①代入抛物线方程y 2=4x ， 整理后得到0)42(2222=+-+k x k x k ②因此，直线L 1与该抛物线有两个交的充要条件是：04)42(2222>⋅--k k k ③及.0≠k ④ 解出③与④得到)1,0()0,1(⋃-∈k 现设点P 的坐标为(y x ， 则直线L 1的斜率,1+=x y k 而直线L 2的斜率,12-=x y k 记,)(2kk k f =则11)(-+=x x k f 今记L 1与抛物线的两个交点P 1与P 2的横坐标分别为x 1和x 2，由韦达定理及②得))1,0()0,1((,242221⋃-∈-=+k kk x x )1,0()0,1(,11)(,2222221⋃--=-=+=定义域是由此得到因此k k f k k x x xL 2显然，1-k 2在（-1，0）内递增，在（0，1）内递减所以，211)(kk f -=在（0，1）内为增函数，在（-1，0）内为减函数 八．（本题满分12分）已知x 1＞0,x 1≠1，且).,2,1(,13)3(221=++=+n x x x x n n n n 试证：数列{x n }或者对任意自然数n 都满足x n ＜x n+1,或者对任意自然数n 都满足x n ＞x n+1.证：首先，,13)1(213)3(22221+-=-++=-+n n n n n n n n n x x x x x x x x x 由于x 1＞0，由数列{x n }的定义可知 x n ＞0，（n=1,2,…） 所以，x n+1-x n 与1-x n 2的符号相同（1）假定x 1<1,我们用数学归纳法证明1-x n 2＞0（N n ∈) 显然，n=1时，1-x 12＞0设n=k 时1-x k 2＞0,那么当n=k+1时,0)13()1(13)3(11223222221>+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-+k k k k k k x x x x x x 因此，对一切自然数n 都有1-x n 2＞0， 从而对一切自然数n 都有x n ＜x n+1（2）若x 1＞1,用理可证，一切自然数n 都有x n ＞x n+1. 九．（附加题，本题满分10分） （1）求2xarctgx y =的导数（2）求过点（-1，0）并与曲线21++=x x y 相切的直线方程解：（1）.12422x x arctgx y ++='（2）,)2(12+='x y 而点（-1，0）在曲线21++=x x y 上，,1|1='-=x y 所以所求的切线方程为y=x+1。
1986年全国统一高考数学试卷(文科)
1986年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（5分）函数y=5x +1的反函数是（ ）A ． y =log 5（x+1）B ． y =log x 5+1C ． y =log 5（x ﹣1）D ． y =log （x ﹣1）53．（5分）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，那么集合{2，7，8}是（ ）4．（5分）函数是（ ） A ． 周期为的奇函数 B ．周期为的偶函数 C ． 周期为的奇函数D ． 周期为的偶函数5．（5分）已知c ＜0，则下列不等式中成立的一个是（ ）A ． c ＞2cB ．C ．D ．6．（5分）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（ ）A ． 1789B ． 1799C ． 1879D ． 18997．（5分）已知某正方体对角线长为a ，那么，这个正方体的全面积是（ ）A ．B ． 2a 2C ．D ．8．（5分）如果方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0（D 2+E 2﹣4F ＞0）所表示的曲线关于直线y=x 对称，那么必有（ ）A ． D =EB ． D =FC ． E =FD ． D =E=F9．（5分）（2004•重庆）已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的（ ）A ． 充分不必要条件B ．必要不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（5分）在下列各图中，y=ax 2+bx 与y=ax+b （ab≠0）的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、解答题（共12小题，满分0分）11．（5分）求方程的解． 12．（5分）已知的值．13．（5分）在xoy 平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积．14．（5分）求 A ． A ∪B B ． A ∩B C ．（∁I A ）∪（∁I B ） D ．（∁I A ）∩（∁I B ）15．（5分）求展开式中的常数项．16．（5分）求椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程．17．（10分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC．18．（12分）求满足方程的辐角主值最小的复数Z．19．（12分）已知抛物线y2=x+1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP：PA=1：2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线．20．（12分）甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两个公司各承包2项，问共有多少种承包方式．21．（12分）已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b．求证：（1）当b≠时，tg3A=．（2）（1+2cos2A）2=a2+b2．22．（12分）已知数列{a n}，其中，且当n≥3时，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求．1986年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（）A．B．C．D．考点：复数的基本概念．分析：复数的三角形式是r（cosθ+isinθ），观察所给的四种形式，只有一种形式符合要求，注意式子中各个位置的符号，可得结果．解答：解：∵Z=r（cosθ+isinθ），∴Z=2（cos+isin），故选B点评：复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式，注意两种形式的标准形式，不要在简单问题上犯错误．2．（5分）函数y=5x+1的反函数是（）A．y=log5（x+1）B．y=log x5+1 C．y=log5（x﹣1）D．y=log（x﹣1）5考点：反函数．分析：本题考查指数式和对数式的互化、反函数的求法、函数值域的求法等相关知识；根据已知，利用反函数的定义结合指对互化即可得到x，再由原函数确定值域即可．解答：解：由y=5x+1及指数式与对数式的互化得x=log5（y﹣1）又函数y=5x+1的值域为y＞1∴函数y=5x+1的反函数是y=log5（x﹣1）（x＞1）故选C点评：本题小巧，所用知识单一，较为容易，尽管题目简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．注意反函数结果是否把定义域写入的问题，本题选项没有注明定义域，这是因为反函数解析式确定的x的范围和原函数的值域相同，所以省略，我们在求反函数时，一般是给出定义域的．3．（5分）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，那么集合{2，7，8}是（）A．A∪B B．A∩B C．（∁I A）∪（∁I B）D．（∁I A）∩（∁I B）考点：交集及其运算．分析：可以看出2，7，8既不在A中，也不再B中，故需求补集．解答：解：∁I A={1，2，6，7，8}∁I B={2，4，5，7，8}（∁I A）∩（∁I B）={2，7，8}故选D．点评：本题考查集合的交集和补集运算，较简单．4．（5分）函数是（）A．周期为的B．周期为的偶函数奇函数D．周期为的偶函数C．周期为的奇函数考点：二倍角的正弦．分析：逆用二倍角的正弦公式，整理三角函数式，应用周期的公式求出周期，再判断奇偶性，这是性质应用中的简单问题．解答：解：∵y=sin2xcos2x=sin4x∴T=2π÷4=，∵原函数为奇函数，故选A点评：利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式．化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出；第四，尽量使分母不含三角函数．把函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式再解决三角函数性质有关问题．5．（5分）已知c＜0，则下列不等式中成立的一个是（）A．c＞2c B．C．D．考点：有理数指数幂的化简求值．分析：注意指数函数的单调性跟底的范围有关．解答：解：故点评：本题是对指数函数性质的考查，属简单题．6．（5分）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（）A．1789 B．1799 C．1879 D．1899考点：收集数据的方法．专题：计算题．分析：本题要求求20个数字的和，数字个数较多，解题时要细心，不要漏掉数字或重复使用数字．解答：解：由题意知本题是一个求和问题，87+91+94+88+93+91+89+87+92+86+90+92+88+90+91+86+89+92+95+88=1799，故选B．点评：本题是一个最基本的问题，考查的是数字的加法运算，这样的题目若出上，则是一个送分的题目．7．（5分）已知某正方体对角线长为a，那么，这个正方体的全面积是（）A．B．2a2C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题．分析：先求正方体的棱长，然后求全面积．解答：解：设正方体的棱长为x，则有：a2=3x2，所以正方体的表面积是6x2=2a2．故选B．点评：本题考查正方体的对角线和边长的关系，是基础题，学生必须会做题目．8．（5分）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（）A．D=E B．D=F C．E=F D．D=E=F考点：圆的一般方程．分析：圆关于直线y=x对称，只需圆心坐标满足方程y=x即可．解答：解：曲线关于直线y=x对称，就是圆心坐标在直线y=x上，圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）中，D=E．故选A．点评：本题考查圆的一般方程，对称问题，是基础题．9．（5分）（2004•重庆）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：压轴题．分析：由题设条件知p⇒r⇒s⇒q．但由于r推不出p，所以q推不出p．解答：解：依题意有p⇒r，r⇒s，s⇒q，∴p⇒r⇒s⇒q．但由于r推不出p，∴q推不出p．故选A．点评：本题考查充分条件，必要条件，充要条件的判断，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．10．（5分）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象只可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：压轴题；数形结合．分析：要分析满足条件的y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象情况，我们可以使用排除法，由二次项系数a与二次函数图象开口方向及一次函数单调性的关系，可排除A，C；由二次函数常数项c为0，函数图象过原点，可排除B．解答：解：在A中，由二次函数开口向上，故a＞0故此时一次函数应为单调递增，故A不正确；在B中，由y=ax2+bx，则二次函数图象必过原点故B也不正确；在C中，由二次函数开口向下，故a＜0故此时一次函数应为单调递减，故C不正确；故选D．点评：根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧，希望大家熟练掌握．二、解答题（共12小题，满分0分）11．（5分）求方程的解．考点：指数函数综合题．分析：将方程两侧化成以5为底数的指数式，由同底数的指数式相等必有指数相等即可解．解答：解：∵===∴∴点评：本题主要考查解指数方程的问题．注意方程两侧可都化成同底数后再求解．12．（5分）已知的值．考点：复数代数形式的混合运算．分析：ω的值是1的一个立方虚根，ω2+ω+1=0是它的性质．解答：解：由==0点评：本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．13．（5分）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：画出图形，旋转后的几何体是一个圆台，去掉一个倒放的圆锥，求出圆台的体积，减去圆锥的体积即可．解答：解：在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3），这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体是：底面半径为3，高为2，上底面半径为1的圆台，去掉一个底面半径为1，高为1的圆锥，所以几何体的体积是：=．故答案为：点评：本题是基础题，考查旋转体的体积，旋转体的图形特征，棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，是常考题型．14．（5分）求考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：分子分母同时除以n2，把转化为，由此可得的值．解答：答：==．点评：本题考查型函数的极限问题，解题时要注意公式的正确选取．15．（5分）求展开式中的常数项．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项，令x的指数为0求出常数项．解答：解：展开式的通项T r+1=（﹣1）r25﹣r C5r x15﹣5r令15﹣5r=0得r=3所以展开式的常数项为﹣22C53=﹣40点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．16．（5分）求椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程．考点：双曲线的标准方程．专题：计算题．分析：根据椭圆方程求得焦点坐标，进而得到双曲线的焦点，设双曲线方程，根据离心率和焦点求得a和b，方程可得．解答：解：椭圆的焦点为（±，0）设双曲线方程为=1则a2+b2=5=，联立解得a=2，b=1故双曲线方程为点评：本题主要考查了求双曲线标准方程的问题．常用待定系数法，设出双曲线的标准方程，根据题设条件求出a和b．17．（10分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC．考点：平面与平面垂直的判定．专题：证明题；综合题．分析：要证明平面PAC垂直于平面PBC，直线证明平面PBC内的直线BC，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可．解答：证明：连接AC∵AB是圆O的直径∴∠ACB=90°即BC⊥AC又∵PA⊥圆O所在平面，且BC在这个平面内∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线∴BC⊥平面PAC∴△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直．点评：本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．18．（12分）求满足方程的辐角主值最小的复数Z．考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：首先明确z对应点的轨迹，再进一步求解．解答：解：满足方程的复数在复平面上所对应的点的全体组成了如图所示的一个圆，其圆心A对应的复数为，半径为，因而圆与x轴相切于点Q，点Q对应的复数是﹣3从点O作圆的另一条切线OP，P为切点，则点P所对应的复数为所求的复数∵，设点B对应的复数为1，∴∠BOA=150°，|OA|=，∠QOA=180°﹣∠BOA=30°∵OP、OQ是同一点引出的圆的两条切线，A是圆心，∴∠AOP=∠QOA=30°，∠QOP=2∠QOA=60°，∠BOP=180°﹣∠QOP=120°，|OP|=|OA|cos∠AOP=．∴所求的复数Z=．点评：本题是复数的几何意义和简单解析结合的综合的考查．19．（12分）已知抛物线y2=x+1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP：PA=1：2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题．分析：设出点P（x，y）和点B（X，Y），由定比分点公式得到这两个坐标的关系．即用x，y来表示X，Y．再根据B点在抛物线上，满足抛物线方程，即可得x，y的关系，亦即轨迹方程，进而进一步判断曲线类型．解答：解：设点B的坐标（X，Y），点P的坐标为（x，y），则∴∵点B在抛物线上，∴Y2=X+1，将（1），（2）代入此方程，得化简得3y2﹣2y﹣2x+1=0，，因此轨迹为抛物线点评：在求解轨迹方程的问题时，一般都是“求什么设什么”的方法，再利用题中的条件列出等式即可得到轨迹方程，这也是高考中学生不易把握的一个知识点．20．（12分）甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两个公司各承包2项，问共有多少种承包方式．考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题．分析：根据题意，依次分析甲、乙、丙、丁的选法种数，甲公司承包8项工程中的3项有C83种，乙公司承包甲剩下的5项中的1项有C51种，丙公司承包剩余4项中的2项有C42种，丁公司承包剩余的2项有C22种，由乘法原理，计算可得答案．解答：解：甲公司承包8项工程中的3项有C83种，乙公司承包甲剩下的5项中的1项有C51种，丙公司承包剩余4项中的2项有C42种，丁公司承包剩余的2项有C22种，由乘法原理，可得共C83•C51•C42•C22=1680（种）答：共有1680种承包方式．点评：本题考查组合的应用，难度不大，解题时须注意元素数目的变化．21．（12分）已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b．求证：（1）当b≠时，tg3A=．（2）（1+2cos2A）2=a2+b2．考点：三角函数恒等式的证明．专题：证明题；压轴题．分析：（1）通过和差化积公式分别对sinA+sin3A+sin5A和cosA+cos3A+cos5A进行化简，最后两式相除即可证明．（2）通过和差化积公式分别对sinA+sin3A+sin5A和cosA+cos3A+cos5A进行化简，两式分别平方后相加化简后即可证明结论．解答：证明：（1）sinA+sin3A+sin5A=sinA+sin5A+sin3A=2sin cos+sin3A=2sin3A•cos2A+sin3A=sin3A（1+2cos2A），∴sin3A（1+2cos2A）=a ①同理有cos3A（1+2cos2A）=b ②两式相除，即得tan3A=（2）∵根据（1）sin3A（1+2cos2A）=a，①cos3A（1+2cos2A）=b，②∴①2+②2sin23A（1+2cos2A）2+cos23A（1+2cos2A）2=a2+b2，∴（1+2cos2A）2（sin23A+cos23A）=a2+b2，∴（1+2cos2A）2=a2+b2．点评：本题主要考查了三角函数恒等式的证明．证明此类题常涉及两角和公式、倍角公式、同角三角函数的关系等．公式多、难度大故应在这方面多下功夫．22．（12分）已知数列{a n}，其中，且当n≥3时，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求．考点：数列的应用；极限及其运算．专题：计算题；压轴题．分析：（1）设an ﹣a n﹣1=x n﹣1，则由已知条件得，由此及彼入手能够推导出．．解答：解：（1）设an ﹣a n﹣1=x n﹣1，则由已知条件得，所以数列{a n}组成了一个公比为的等比数列，其首项，．∴a n﹣a1=（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=，∴．．点评：本题考查数列的性质和应用及极限知识，解题时要认真审题，合理选取公式．。
1986年全国高中数学联合竞赛试题
绝密★启用前1986年全国高中数学联合竞赛试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设 ＜ ＜ ， ，那么不等式 ＜ 的解集为 A ． ＜ ＜ . B ． ＜ ＜ . C ． ＜ ＜ . D ． ＜ ＜ . 2．设 为复数， ，那么 A ． 纯虚数 . B ． 实数 .C ． 实数 复数 .D ． 复数 .3．设实数 ， ， 满足那么 的取值范围是A ．B ．C ．D ．4．如果四面体的每一个面都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为 A ． 3. B ． 4. C ． 5. D ． 6.5．平面上有一个点集 和七个不同的圆 ， ，…， ，其中圆 恰好经过 中的7个点，圆 恰好经过 中的6个点，…，圆 恰好经过 中的1个点，那么 中的点数最少为A ． 11.B ． 12.C ． 21.D ． 28.，则 与 的大小关系是A ． ＞ .B ． .C ． ＜ .D ． 不确定第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题7．在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13，若作一个平面与两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为 ． 8．已知 ，那么方程的解的个数是_________.9．若()4121000=,++......+42100110011001x x f x f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭则 _______ 10．设 ， ， 为非负实数，且满足方程 ，那么 的最大值与最小值的乘积等于_______________ 三、解答题11．已知锐角三角形 的外接圆半径是 ，点 ， ， 分别在边 ， ， 上。
求证： ， ， 是 的三条高的充要条件是，式中 是 的面积。
12．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点称为整点。
1986年全国统一高考数学试卷(理科)
1986年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（1986•全国）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（）A．B．C．D．2．（3分）（1986•全国）函数y=（0.2）﹣x+1的反函数是（）A．y=log5x+1 B．y=log x5+1 C．y=log5（x﹣1）D．y=log5x﹣13．（3分）（1986•全国）极坐标方程表示（）A．一条平行于x轴的直线B．一条垂直于x轴的直线C．一个圆D．一条抛物线4．（3分）（1986•全国）函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数5．（3分）（1986•全国）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（）A．1789 B．1799 C．1879 D．18996．（3分）（2004•重庆）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（3分）（1986•全国）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（）A．D=E B．D=F C．E=F D．D=E=F8．（3分）（1986•全国）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S﹣EFG中必有（）A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面9．（3分）（1986•全国）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象只可能是（）A．B．C．D．10．（3分）（1986•全国）当x∈[﹣1，0]时，在下面关系式中正确的是（）A．B．C．D．二、解答题（共13小题，满分90分）11．（4分）（1986•全国）求方程的解．12．（4分）（1986•全国）已知的值．13．（4分）（1986•全国）在xOy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积．14．（4分）（1986•全国）求．15．（4分）（1986•全国）求展开式中的常数项．16．（4分）（1986•全国）已知的值．17．（10分）（1986•全国）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC．18．（12分）（1986•全国）当sin2x＞0，求不等式log0.5（x2﹣2x﹣15）＞log0.5（x+13）的解集．19．（10分）（1986•全国）如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值．20．（10分）（1986•全国）已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：（1）C⊂A∪B且C中含有3个元素，（2）C∩A≠∅（∅表示空集）．21．（12分）（1986•全国）过点M（﹣1，0）的直线L1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点记：线段P1P2的中点为P；过点P和这个抛物线的焦点F的直线为L2；L1的斜率为k试把直线L2的斜率与直线L1的斜率之比表示为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数．22．（12分）（1986•全国）已知x1＞0，x1≠1，且，（n=1，2，…）．试证：数列{x n}或者对任意自然数n都满足x n＜x n+1，或者对任意自然数n都满足x n＞x n+1．23．（1986•全国）附加题：（1）求y=xarctgx2的导数；（2）求过点（﹣1，0）并与曲线相切的直线方程．1986年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（1986•全国）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（）A．B．C．D．【考点】A1：虚数单位i、复数．【分析】复数的三角形式是r（cosθ+isinθ），观察所给的四种形式，只有一种形式符合要求，注意式子中各个位置的符号，可得结果．【解答】解：∵Z=r（cosθ+i sinθ），∴Z=2（cos+isin），故选：B．【点评】复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式，注意两种形式的标准形式，不要在简单问题上犯错误．2．（3分）（1986•全国）函数y=（0.2）﹣x+1的反函数是（）A．y=log5x+1 B．y=log x5+1 C．y=log5（x﹣1）D．y=log5x﹣1【考点】4R：反函数．【专题】11 ：计算题．【分析】本题考查的是指数式与对数式的互化及反函数的求法，利用指对互化得到反函数的解析式y=log5（x﹣1）即可选择答案．【解答】解：根据指数式与对数式的互化，由y=（0.2）﹣x+1解得x=log5（y﹣1）x，y互换得：y=log5（x﹣1）故选：C．【点评】本题小巧灵活，很好的体现了指数是与对数式的互化，抓住选项特点，求出反函数的解析式就可以判断出正确答案，不必求出反函数的定义域等．3．（3分）（1986•全国）极坐标方程表示（）A．一条平行于x轴的直线B．一条垂直于x轴的直线C．一个圆D．一条抛物线【考点】Q8：点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】17 ：选作题；35 ：转化思想．【分析】首先由极坐标与直角坐标系的转换公式，把极坐标转化为直角坐标系下的方程，然后再判断曲线所表示的图形．【解答】解：由极坐标与直角坐标系的转换公式，可得到X=即是一条垂直于x轴的直线．故选：B．【点评】此题主要考查极坐标系与直角坐标系的转化，以及公式的应用．计算量小题目较容易．4．（3分）（1986•全国）函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数【考点】GS：二倍角的三角函数．【分析】逆用二倍角的正弦公式，整理三角函数式，应用周期的公式求出周期，再判断奇偶性，这是性质应用中的简单问题．【解答】解：∵y=sin2xcos2x=sin4x∴T=2π÷4=，∵原函数为奇函数，故选：A．【点评】利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式．化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出；第四，尽量使分母不含三角函数．把函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式再解决三角函数性质有关问题．5．（3分）（1986•全国）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（）A．1789 B．1799 C．1879 D．1899【考点】B5：收集数据的方法．【专题】11 ：计算题．【分析】本题要求求20个数字的和，数字个数较多，解题时要细心，不要漏掉数字或重复使用数字．【解答】解：由题意知本题是一个求和问题，87+91+94+88+93+91+89+87+92+86+90+92+88+90+91+86+89+92+95+88=1799，故选：B．【点评】本题是一个最基本的问题，考查的是数字的加法运算，这样的题目若出上，则是一个送分的题目．6．（3分）（2004•重庆）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】16 ：压轴题．【分析】由题设条件知p⇒r⇒s⇒q．但由于r推不出p，所以q推不出p．【解答】解：依题意有p⇒r，r⇒s，s⇒q，∴p⇒r⇒s⇒q．但由于r推不出p，∴q推不出p．故选：A．【点评】本题考查充分条件，必要条件，充要条件的判断，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．7．（3分）（1986•全国）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（）A．D=E B．D=F C．E=F D．D=E=F【考点】J2：圆的一般方程．【分析】圆关于直线y=x对称，只需圆心坐标满足方程y=x即可．【解答】解：曲线关于直线y=x对称，就是圆心坐标在直线y=x上，圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）中，D=E．故选：A．【点评】本题考查圆的一般方程，对称问题，是基础题．8．（3分）（1986•全国）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S﹣EFG中必有（）A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据题意，在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，由线面垂直的判定定理，易得SG⊥平面EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择．【解答】解：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFG．故选：A．【点评】线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．9．（3分）（1986•全国）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象只可能是（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】16 ：压轴题；31 ：数形结合．【分析】要分析满足条件的y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象情况，我们可以使用排除法，由二次项系数a与二次函数图象开口方向及一次函数单调性的关系，可排除A，C；由二次函数常数项c为0，函数图象过原点，可排除B．【解答】解：在A中，由二次函数开口向上，故a＞0故此时一次函数应为单调递增，故A不正确；在B中，由y=ax2+bx，则二次函数图象必过原点故B也不正确；在C中，由二次函数开口向下，故a＜0故此时一次函数应为单调递减，故C不正确；故选：D．【点评】根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧，希望大家熟练掌握．10．（3分）（1986•全国）当x∈[﹣1，0]时，在下面关系式中正确的是（）A．B．C．D．【考点】HV：反三角函数．【专题】16 ：压轴题；21 ：阅读型．【分析】利用三角函数的运算法则，以及几何意义对选项一一验证，可求正确选项．【解答】解：当x在（﹣1，0）x∈[﹣1，0]内变化时：由于0＜1﹣x2＜1，每一个关系式的右端均为锐角．每一个关系式的左端均为两项，第一项均为π；考查第二项，由于arccos（﹣x）和arcsin（﹣x）均为锐角，所以π﹣arccos（﹣x）=钝角，（A）不正确．π﹣arcsin（﹣x）=钝角，（B）不正确．由于arcsinx为负锐角，所以π﹣arcsinx＞π，（D）不正确．故选：C．【点评】本题考查反函数的运算，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．二、解答题（共13小题，满分90分）11．（4分）（1986•全国）求方程的解．【考点】4E：指数函数综合题．【分析】将方程两侧化成以5为底数的指数式，由同底数的指数式相等必有指数相等即可解．【解答】解：∵===∴∴【点评】本题主要考查解指数方程的问题．注意方程两侧可都化成同底数后再求解．12．（4分）（1986•全国）已知的值．【考点】A5：复数的运算．【分析】ω的值是1的一个立方虚根，ω2+ω+1=0是它的性质．【解答】解：由==0【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．13．（4分）（1986•全国）在xOy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11 ：计算题．【分析】画出图形，旋转后的几何体是一个圆台，去掉一个倒放的圆锥，求出圆台的体积，减去圆锥的体积即可．【解答】解：在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3），这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体是：底面半径为3，高为2，上底面半径为1的圆台，去掉一个底面半径为1，高为1的圆锥，所以几何体的体积是：=．故答案为：【点评】本题是基础题，考查旋转体的体积，旋转体的图形特征，棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，是常考题型．14．（4分）（1986•全国）求．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11 ：计算题．【分析】当x→∞时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则．本题中，可将分子、分母都除以3n，再利用商的极限运算法则进行计算．【解答】解：原式=，又．则原式=．故答案是．【点评】在求此类分式极限式时，注意到常用的技巧，分子分母同时除以3n．即可完成极限计算．15．（4分）（1986•全国）求展开式中的常数项．【考点】DA：二项式定理．【专题】11 ：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项，令x的指数为0求出常数项．【解答】解：展开式的通项T r=（﹣1）r25﹣r C5r x15﹣5r+1令15﹣5r=0得r=3所以展开式的常数项为﹣22C53=﹣40【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．16．（4分）（1986•全国）已知的值．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【分析】先对si nθ﹣cosθ=两边平方得到sinθcosθ=，再由sin3θ﹣cos3θ=（sinθ﹣cosθ）（sin2+sinθcosθ+cos2θ）可得答案．【解答】解：∵sinθ﹣cosθ=，∴∴sinθcosθ=sin3θ﹣cos3θ=（sinθ﹣cosθ）（sin2+sinθcosθ+cos2θ）=×（1+）=【点评】本题主要考查已知关于三角函数的等式求3次三角函数值的问题．这里要注意三角函数的变形应用．17．（10分）（1986•全国）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC．【考点】LY：平面与平面垂直．【专题】14 ：证明题；15 ：综合题．【分析】要证明平面PAC垂直于平面PBC，直线证明平面PBC内的直线BC，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可．【解答】证明：连接AC∵AB是圆O的直径∴∠ACB=90°即BC⊥AC又∵PA⊥圆O所在平面，且BC在这个平面内∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线∴BC⊥平面PAC∴△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直．【点评】本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．18．（12分）（1986•全国）当sin2x＞0，求不等式log0.5（x2﹣2x﹣15）＞log0.5（x+13）的解集．【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点；4K：对数函数的定义域；73：一元二次不等式及其应用．【专题】11 ：计算题．【分析】由sin2x＞0得到x取值范围；再接对数不等式，又得到x取值范围，最后将得到的这2个范围取交集即得原不等式的解集．【解答】解：满足sin2x＞0 的x取值范围是，（1）而由log0.5（x2﹣2x﹣15）＞log0.5（x+13），得解得：﹣4＜x＜﹣3，5＜x＜7，（5）由（1）、（5）可知所求解集为（﹣π，﹣3）∪（2π，7）．【点评】本题考查对数函数的定义域，对数函数的单调性与特殊点，及一元二次不等式的解法．19．（10分）（1986•全国）如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值．【考点】7F：基本不等式及其应用；GP：两角和与差的三角函数．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想．【分析】首先题目给定y轴的正半轴上的两点A、B，求x轴的正半轴上点C，使∠ACB取得最大值．故可以设A的坐标为（0，a）、点B的坐标为（0，b），C的坐标为（x，0）记∠BCA=α，∠OCB=β，．然后根据三角形角的关系，求出tanα的值再根据基本不等式求出其最大值，因为在内tanα是增函数，即所得的角为最大角．【解答】解：设点A的坐标为（0，a）、点B的坐标为（0，b），0＜b＜a，又设所求点C的坐标为（x，0）．记∠BCA=α，∠OCB=β，则∠OCA=α+β．显然，．现在有tanα=tg[（α+β）﹣β]==．记，那么，当时，y取得最小值2因此，当时，tanα取得最大值．因为在内tanα是增函数，所以当时，∠ACB取最大值．故所求点C的坐标为（，0）．故答案为（，0）．【点评】此题主要考查基本不等式在求最值问题中的应用，题中涉及到两角和与差的正切函数，有一定的技巧性，属于中档题目．20．（10分）（1986•全国）已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：（1）C⊂A∪B且C中含有3个元素，（2）C∩A≠∅（∅表示空集）．【考点】1I：子集与交集、并集运算的转换．【分析】集合韦恩图求出A∪B中元素的个数，再利用排列组合知识求解即可．【解答】解：因为A、B各含12个元素，A∩B含有4个元素，因此A∪B元素的个数是12+12﹣4=20故满足题目条件（1）的集合的个数是C203，在上面集合中，还满足A∩C=∅的集合C的个数是C83因此，所求集合C的个数是C203﹣C83=1084【点评】本题考查集合中元素的个数、子集个数以及排列组合知识，难度不大．21．（12分）（1986•全国）过点M（﹣1，0）的直线L1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点记：线段P1P2的中点为P；过点P和这个抛物线的焦点F的直线为L2；L1的斜率为k试把直线L2的斜率与直线L1的斜率之比表示为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】15 ：综合题．【分析】先设直线L1的方程是y=k（x+1），然后与抛物线方程联立消去y，得到两根之和、两根之积，将直线L1与该抛物线有两个交点转化为△=（2k2﹣4）2﹣4k2•k2＞0且k≠0，进而可得到k的范围，设点P的坐标为，可以得到直线L1、直线L2的斜率，记，则可以得到，再由，可以得到，再分析单调性即可．【解答】解：由已知条件可知，直线L1的方程是y=k（x+1）①把①代入抛物线方程y2=4x，整理后得到k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0②因此，直线L1与该抛物线有两个交点的充要条件是：（2k2﹣4）2﹣4k2•k2＞0③及k≠0．④解出③与④得到k∈（﹣1，0）∪（0，1）现设点P的坐标为，则直线L1的斜率，而直线L2的斜率，记，则今记L1与抛物线的两个交点P1与P2的横坐标分别为x1和x2，由韦达定理及②得，由此得到，定义域是（﹣1，0）∪（0，1）显然，1﹣k2在（﹣1，0）内递增，在（0，1）内递减所以，在（0，1）内为增函数，在（﹣1，0）内为减函数【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的一个重要考点，要着重复习．22．（12分）（1986•全国）已知x1＞0，x1≠1，且，（n=1，2，…）．试证：数列{x n}或者对任意自然数n都满足x n＜x n+1，或者对任意自然数n都满足x n＞x n+1．【考点】RM：用数学归纳法证明不等式；8H：数列递推式．【专题】14 ：证明题；16 ：压轴题；4F ：归纳法．【分析】首先，，故x n与x n+1，的大小关系取决于x n与1的大小，猜想分两类：x1＜1和x1＞1，最后利用数学归纳法进行证明即可．【解答】证：首先，，由于x1＞0，由数列{x n}的定义可知x n＞0，（n=1，2，…）﹣x n与1﹣x n2的符号相同．所以，x n+1①假定x1＜1，我们用数学归纳法证明1﹣x n2＞0（n∈N）显然，n=1时，1﹣x12＞0设n=k时1﹣x k2＞0，那么当n=k+1时，因此，对一切自然数n都有1﹣x n2＞0，从而对一切自然数n都有x n＜x n+1②若x1＞1，当n=1时，1﹣x12＜0；设n=k时1﹣x k2＜0，那么当n=k+1时=，因此，对一切自然数n都有1﹣x n2＜0，从而对一切自然数n都有x n＞x n+1【点评】本题主要考查了用数学归纳法证明不等式、不等式的证明，属于中档题．23．（1986•全国）附加题：（1）求y=xarctgx2的导数；（2）求过点（﹣1，0）并与曲线相切的直线方程．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；63：导数的运算．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】（1）根据（uv）′=u′v+uv′，（arctgx）′=，根据复合函数求导数的法则求出即可；（2）根据（）′=求出y′，把x等于﹣1代入y′的值即为切线的斜率，利用切点的斜率写出切线方程即可．【解答】解：（1）y′=（xarctgx2）′=x′arctgx2+x•（arctgx2）′=arctgx2+x•2x•=arctgx2+；（2），=1，而点（﹣1，0）在曲线上，y'|x=﹣1所以所求的切线方程为y=x+1【点评】此题考查学生利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，灵活运用求导法则求函数的导数，是一道中档题．考点卡片1．子集与交集、并集运算的转换【知识点的认识】观察两个集合之间的关系如图子集与交集、并集运算的转换的基本运算的一些结论：A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩AA A∪B，B A∪B，A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A （CUA）∪A=U，（CUA）∩A=∅若A∩B=A，则A⊆B，反之也成立．若A∪B=B，则A⊆B，反之也成立．若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B．【解题方法点拨】求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．考纲要求：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．明确子集与集合的并、交、补是集合间的基本运算．2．充分条件、必要条件、充要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q 是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．3．函数的图象与图象的变换【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．【图象的变换】1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象（1）平移变换：y=f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y=f（x﹣a）；y=f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y=f（x）+b．（2）伸缩变换：y=f（x）y=f（ωx）；y=f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y=Af（x）．（3）对称变换：y=f（x）关于x轴对称⇒y=﹣f（x）；y=f（x）关于y轴对称⇒y=f（﹣x）；y=f（x）关于原点对称⇒y=﹣f（﹣x）．（4）翻折变换：y=f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y=f （|x|）；y=f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y=|f（x）|．解题方法点拨1、画函数图象的一般方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法（1）知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．（2）知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．3、（1）利有函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．（2）利用函数的图象研究方程根的个数有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．4、方法归纳：（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：①正确求出函数的定义域；②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y=x+的函数；③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．（3）3种方法﹣﹣识图的方法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．。
⑨竞赛中的复数问题
Y.P .M 数学竞赛讲座 1竞赛中的复数问题复数不仅具有自身知识体系的丰富性,而且还与代数、三角、几何之间存在内在的紧密联系.复数的演绎独具特色,饶于技巧,复数是竞赛数学的内容之一.一、知识结构1.概念与运算:⑴表达形式:①代数式:z=a+bi(a,b ∈R);②三角式:z=r(cos θ+isin θ)(r ≥0,θ∈R);③指数式:z=re i θ(r ≥0,θ∈R);④欧拉公式:e i θ=cos θ+isin θ,θ∈R.⑵共轭与模:①21z z ±=21z z ±;21z z ⋅=21z z ⋅;)(21z z =21z z;②||z 1|-|z 2||≤|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|;|z 1z 2|=|z 1||z 2|;|21z z |= ||||21z z ;③z z =|z|2=|z |2;④z=z ⇔z ∈R;|z|=|Re(z)|⇔z ∈R. ⑶运算法则:①乘法:r 1(cos θ1+isin θ2)r 2(cos θ2+isin θ2)=r 1r 2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2));②除法:)sin (cos )sin (cos 222121θθθθi r i r ++=21r r (cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2));③乘方:[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ);④开方:z n =r(cos θ+isin θ)⇔z =n r (cosnk πθ2++isinnk πθ2+)(k=0,1,2…,n-1).2.辐角与三角:⑴辐角性质:①定义:若z=r(cos θ+isin θ)(r ≥0,θ∈R),则θ称为复数z 的辐角,记为Argz;特别地,当θ∈[0,2π)时,则θ称为复数z 的辐角主值,记为argz;②运算:Argz 1+Argz 2=Arg(z 1z 2);Argz 1-Argz 2=Arg(21z z )=Arg(z 12z );nArgz= Argz n ;③性质:若z=cos θ+isin θ,则1+z=2cos2θ(cos 2θ+isin 2θ);1-z=-2sin 2θ(cos 2θ+isin 2θ). ⑵单位根:①定义:方程x n =1的n 个根叫做n 次单位根,分别记为ωk (k=0,1,2,…,n-1);ωk =(cosn k π2+isin nk π2)(k=0, 1,2…,n-1);②性质:ω0=1;ωk =ω1k ;ωk ωj =ωk+j ;单位根的积仍是单位根;n 次单位根的全部为:1,ω1,ω12,…,ω1n-1;③1+ω1+ω12+…+ω1n-1=0,(x-1)(x-ω1)(x-ω12)…(x-ω1n-1)=x n -1.⑶基本结论:①实系数n 次方程的虚根α与其共轭复数α成对出现;②若|z 1|=|z 2|=…=|z n |,且z 1+z 2+…+z n =0,则z 1,z 2, …,z n 对应的点是正n 边形的顶点,且正n 边形的中心在坐标原点;③若复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,且z 1=z 0z 2,则∠Z 1OZ 2=argz 0,或argz 0-π.3.复数与几何:⑴基本原理:①点的对应:复数z=x+yi 与点Z(x,y)成一一对应;②向量对应:复数z=x+yi 与向量OZ =(x,y)成一一对应;③距离公式:复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,则|Z 1Z 2|=|z 1-z 2|;④旋转公式:复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,向量21z z 绕点Z 1逆时针旋转θ角,再伸长r(r>0)倍,则所得向量z z 1中的Z 对应的复数z=z 1+r(z 2-z 1)(cos θ+isin θ).⑵线性结论:①定比分点:若复数z,z 1,z 2对应的点分别为Z,Z 1,Z 2,点Z 分有向线段21z z 的比为λ(λ≠-1),则z=λλ++121z z ;②三点共线:若复数z,z 1,z 2对应的点分别为Z,Z 1,Z 2,则三点Z,Z 1,Z 2共线的充要条件是:Z=λZ 1+(1-λ)Z 2;③平行条件:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则Z 1Z 2∥Z 3Z 4的充要条件是:z 1-z 2=λ(z 3-z 4);④垂直条件:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则Z 1Z 2⊥Z 3Z 4的充要条件是:z 1-z 2=λ(z 3-z 4)i.2 Y.P .M 数学竞赛讲座⑶几何结论:①三角形面积:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,则△Z 1Z 2Z 3的面积=21×复数(z 13z +z 21z +z 32z )的虚部;②三角形形状:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,则△Z 1Z 2Z 3为正三角形的充要条件是:z 12+z 22+z 32=z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1;或z 1+ωz 2+ω2z 3=0;③三角形相似:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,复数w 1,w 2,w 3对应的点分别为W 1,W 2,W 3,则△Z 1Z 2Z 3∽△W 1W 2W 3的充要条件是:1312z z z z --=1312w w ww --;④四点共圆:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则四点Z 1, Z 2,Z 3,Z 4共圆的充要条件是:1413z z z z --:2423z z z z --∈R. 二、典型问题1.复数概念[例1]:(2006年全国高中数学联赛试题)若对一切θ∈R,复数z=(a+cos θ)+(2a-sin θ)i 的模不超过2,则实数a 的取值范围为 .[解析]:[类题]:1.①(2010全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知复数z 1=m+2i,z 2=3-4i,若21z z 为实数,则实数m 的值为 . ②(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i,复数z 2的虚部为2,则z 1z 2为实数的条件是z 2= .2.(1999年全国高中数学联赛河南初赛试题)若3131-+z z 为纯虚数,则|z|= . 3.(2011年全国高中数学联赛浙江初赛试题)如果复数(a+2i)(1+i)的模为4,则实数a 的值为 .4.(1994年全国高中数学联赛试题)给出下列两个命题:①设a,b,c 都是复数,如果a 2+b 2>c 2,则a 2+b 2-c 2>0;②设a,b,c 都是复数,如果a 2+b 2-c 2>0,则a 2+b 2>c 2.那么下述说法正确的是( )(A)命题①正确,命题②也正确 (B)命题①正确,命题②错误 (C)命题①错误,命题②也错误 (D)命题①错误,命题②正确 5.(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设z 是虚数,w=z+z1,且-1<w<2,则z 的实部取值范围为 . 2.代数形式[例2]:(1995年全国高中数学联赛试题)设α,β为一对共轭复数,若|α-β|=23,且2βα为实数,则|α|= . [解析]: [类题]:1.①(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)复数(1+i)4+(1-i)4= .②(2005年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:！！！！i i i i 100210+⋅⋅⋅+++= .2.(1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知i 2=-1,在集合{s|s=1+i+i 2+i 3+…+i n,n ∈N}中包含的元素是 .3.(2007年全国高中数学联赛上海初赛试题)复数数列{a n }满足a 1=0,a n =a n-12+i(n ≥2,i 为虚数单位,则它的前2007项的和= .4.(2000年湖南高中数学夏令营试题)设复数数列{z n }满足z 1=i,z n+1=-z n 2-i,则|z 2000|=5.(1991年全国高中数学联赛上海初赛试题)使复数z=ix x x x i x x --++cos )tan sin cos 2(2sin sin 2成为实数的所有x 构成的集合是 .Y.P .M 数学竞赛讲座 3 3.三角形式[例3]:(1999年全国高中数学联赛试题)给定实数a,b,c,已知复数z 1,z 2,z 3满足:⎪⎩⎪⎨⎧=++===11||||||133221321z z z z z z z z z ,求|az 1+bz 2+cz 3|的值.[解析]: [类题]:1.(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)设A 、B 、C 为△ABC 的三内角,则复数Ai A C i C B i B 2sin 2cos 1)2sin 2cos 1)(2sin 2cos 1(-+++++的虚部是 .2.(1992年湖南高中数学夏令营试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=1,z 1-z 2=cos150+isin150,则21z z = . 3.(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)设|z 1|=|z 2|=a(a ≠0),且z 1+z 2=m+mi,其中m 为非零实数.则z 13z 23的值是 . 4.(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)设|z|=1,则|z 2-z+2|的最小值为 .5.(2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)已知复数集合D,复数z ∈D 当且仅当存在模为1的复数z 1,使得|z-2005-2006i| =|z 14+1-2z 12|.则D 中实部和虚部都为整数的复数的个数是 .4.共轭运算[例4]:(2001年全国高中数学联赛试题)若复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,3z 1-2z 2=23-i,则z 1z 2= .[解析]: [类题]:1.(1986年全国高中数学联赛试题)为z 为复数,M={z|(z-1)2=|z-1|2},那么( )(A)M={纯虚数} (B)M={实数} (C){实数}⊂M ⊂{复数} (D)M={复数} 2.(1985年全国高中数学联赛试题)设z,w,λ为复数,|λ|≠1关于z 的方程z -λz=w 下面有四个结论:①z=2||1λλ-+ww 是这个方程的解;②这个方程只有一个解;③这个方程有两个解;④这个方程有无穷多解.则( )(A)只有①和②是正确的 (B)只有①和③是正确的 (C)只有①和④是正确的 (D)以上(A)、(B)、(C)都不正确 3.(2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)如果复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|,且z 1-z 2=2-i,则||2121z z z z 的值为 . 4.(1996年湖南高中数学夏令营试题)z 1,z 2是已知的两个任复数,复数z 满足z ≠0,z+z 2≠0,z z 1+z 2z +z 12z =0,则 arg21z z z z ++= . 5.(1991年全国高中数学联赛试题)设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 1+z 2|=3,|z 1-z 2|=33,则log 3|(z 12z )2000+(1z z 2)2000|= .5.模的运算[例5]:(2011年全国高中数学联赛新疆初赛试题)复数z 1和z 2满足:|z 2|=4,4z 12-2z 1z 2+z 22=0,则|(z 1+1)2(z 1-2)|的最大值为 .[解析]: [类题]:1.(1983年全国高中数学联赛上海初赛试题)|)52)(32()35)(25)(23(2i i i i i --+++|= .2.(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)复数z 满足|z|(3z+2i)=2(iz −6),则|z|等于 .3.(2004年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设{z n }是一个复数数列,定义z n =(1+i)(1+2i ) (1)ni ),则∑=+-nn n n z z 11||= .4.(2002年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z 满足z z -z-z =3,且arg(z-1)=3π,则z= .4 Y.P .M 数学竞赛讲座5.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设z 是复数,且|z|=1,则u=|z 2-z+1|的最大值与最小值是 .6.乘方运算[例6]:(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n ≥2007,且n 为使得a n =(22-+i 22+)n取实数值的最小正整数,则对应此n 的a n = .[解析]: [类题]:1.(1989年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:(21i -)1989= .2.①(2011年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知z=(3-3i)n,若z 为实数,则最小的正整数n 的值为 . ②(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)设n 为使a n =(213++213-i)n取实数的最小自然数,则对应此n 的a n = .3.①(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n 为不超过2003的正整数.如果有一个角θ使得(sin θ+icos θ)n=sinn θ+icosn θ成立,则这种n 的总个数为 .②(1988年全国高中数学联赛上海初赛试题)设m 、n 是自然数,且使(3+i)m=(1+i)n成立(其中i 是虚数单位),则乘积mn 的最小值是 .4.(2010年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知z 为复数.若|z|=1,|z +i|=1,则当(z+i)n(n 为正整数)为实数时,|z+i|n的最小值为 .5.(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)[(23i +)8+1]n当n 取1,2,…,100时,可得 个不同的数值. 7.单位复数[例7]:(1991年全国高中数学联赛试题)设a,b,c 均为非零复数,且ba =cb =ac ,则cb ac b a +--+的值为 .[解析]: [类题]:1.①(1980年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x 1,x 2是方程x 2-x+1=0的两个根,则x 11980+198021x = .②(2009年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知复数m 满足m+m 1=1,则m 2008+20091m= . 2.①(1990年全国高中数学联赛试题)设非零数复数x,y 满足x 2+xy+y 2=0,则代数式(y x x +)1990+(yx y +)1990的值是 . ②(2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设非零数相异复数x,y 满足x 2+xy+y 2=0,则代数式[2))((y x y x xy -+]2006(x2006+y2006)的值是 .3.(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)若z ∈C,且x 10=1,则1+x+x 2+x 3+…+x 2009+x 2010= .4.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z 满足:z 3=27,则z 5+3z 4+2242= . 5.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设(23+2x i)2008=f(x)+ig(x)(f(x),g(x)均为实系数多项式),则f(x)的系数之和是 .8.复数方程[例8]:(1994年全国高中数学联赛试题)x 的二次方程x 2+z 1x+z 2+m=0中,z 1,z 2,m 均是复数,且z 12-4z 2=16+20i,设这个方程的两个根α,β满足|α-β|=27,求|m|的最大值和最小值.[解析]:Y.P .M 数学竞赛讲座 5 [类题]:1.(1995年全国高中数学联赛上海初赛试题)若虚数z 使2z+z 1为实数,则2z+z1的取值范围是_____. 2.(1993年全国高中数学联赛试题)二次方程(1-i)x 2+(λ+i)x+(1+i λ)=0(i 为虚数单位,λ∈R)有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为________.3.(1984年全国高中数学联赛上海初赛试题)方程z 4=z (z 为z 的共轭复数)的根为 .4.(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)复数z 满足等式z+z |z|3=0,则z= .5.(2000年全国高中数学联赛试题)设ω=cos5π+isin5π,则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是( )(A)x 4+x 3+x 2+x+1=0 (B)x 4-x 3+x 2-x+1=0 (C)x 4-x 3-x 2+x+1=0 (D)x 4+x 3+x 2-x -1=09.复数与点[例9]:(1998年全国高中数学联赛试题)设复数z=cos θ+isin θ(00≤θ≤1800),复数z,(1+i)z,2z 在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R,当P,Q,R 不共线时,以线段PQ,PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S,则点S 到原点距离的最大值是 _.[解析]:[类题]:1.(1989年全国高中数学联赛试题)若A,B 是锐角△ABC 的两个内角,则复数z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在复平面内所对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限2.(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若点A,B 分别对应复数z,z -1,z ∉R,则直线AB 与x 轴的交点对应的复数为(用z 和z 表示).3.(2002年湖南高中数学夏令营试题)已知z 为复数,arg(z+3)=1350,则|3||6|1i z z -++取最大值时,z= .4.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在复平面内由i1,1-i ,(i-1)3对应的点构成的三角形的最大内角等于 .5.(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)如果复数z 满足|z|=1,A(-1,0),B(0,-1)是复平面上两点,那么函数f(z)= |(z+1)(z -i)|取最大值时,△ABZ 的形状是 .10.模的意义[例10]:(2002年全国高中数学联赛试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,若它们所对应向量的夹角为600,则|2121z z z z -+|= . [解析]: [类题]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设复数z 1=(2-a)+(1-b)i,z 2=(3+2a)+(2+3b)i,z 3=(3-a)+(3-2b)i,其中a,b ∈R,当|z 1|+|z 2|+|z 3|取得最小值时,3a+4b= .②(1993年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|≥1,|z 2|≥23,则复数i 1993z 1+i 1995z 2+2z 1z 2的模长的最小值是 .2.(2010年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设z 是复数,则|z-1|+|z-i|+|z+1|的最小值等于__________.3.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设z 是模为2的复数,则|z-z1|的最大值与最小值的和为 . 4.(1999年全国高中数学联赛河北初赛试题)若复数z 满足|z+1+i|+|z-1-i|=22,记|z+i|的最大值和最小值分别为6 Y.P .M 数学竞赛讲座M,m,则mM= . 5.(1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z 的模为1,则函数|z 2+iz 2+1|的值域是 .11.幅角主值[例11]:(1998年全国高中数学联赛试题)已知复数z=1-sin θ+icos θ(2π<θ<π).求z 的共轭复数z 的辐角主值.[解析]: [类题]:1.(1984年全国高中数学联赛试题)集合S={z 2|argz=a,a ∈R}在复平面的图形是( )(A)射线argz=2a (B)射线argz=-2a (C)射线argz=-a (D)上述答案都不对 2.(1998年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设z 是复数,z+2的幅角为3π,z-2的幅角为65π,则z= . 3.(1993年全国高中数学联赛试题)若z ∈C,arg(z 2-4)=65π,arg(z 2+4)=3π,则z 的值是________. 4.(1992年全国高中数学联赛试题)设z 1,z 2都是复数,且|z 1|=3,|z 2|=5|z 1+z 2|=7,则arg(12z z )3的值是______. 5.(1999年全国高中数学联赛试题)已知θ=arctan125,那么,复数z=i i ++2392sin 2cos θθ的辐角主值是_________.12.几何形状[例12]:(1995年全国高中数学联赛试题)设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为z 1,z 2,…,z 20,则复数Z 11995,z 21995,…,z 201995所对应的不同的点的个数是 .[解析]: [类题]:1.(2007年全国高中数学联赛浙江初赛试题)若在复平面上三个点A(0),B(z 0-z),C(z 0+z)构成以A 为直角顶点的等腰直 角三角形,其中z 0=-31+32i,则△ABC 的面积为 . 2.①(1992年全国高中数学联赛试题)设复数z 1,z 2在复平面上对应的点分别为A,B,且|z 1|=4,4z 12-2z 1z 2+z 22=0,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为 .②(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)设复数z 1、z 2满足z 1z 2=1,z 13+z 23=0,且z 1+z 2≠0.z 1、z 2在复平面内的对应点为Z 1、Z 2,O 为原点,则△Z 1OZ 2的面积是_____.3.(1996年全国高中数学联赛试题)复平面上,非零复数z 1,z 2在以i 为圆心,1为半径的圆上,1z z 2的实部为零,z 1的辐角主值为6π,则z 2=_______.4.(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)已知关于x 的实系数方程x 2-2x+2=0和x 2+2mx+1=0的四个不同的根在复平面上对应的点共圆,则m 的取值范围是 .5.(1997年全国高中数学联赛试题)设非零复数a 1,a 2,a 3,a 4,a 5满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++==++++===Sa a a a a a a a a a a a a a a a a a )11111(4543215432145342312,其中S 为实数,且|S|≤2.求证:复数a 1,a 2,a 3,a 4,a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上.Y.P .M 数学竞赛讲座 7 13.解折综合[例13]:(2003年全国高中数学联赛试题)设A,B,C 分别是复数Z 0=ai,Z 1=21+bi,Z 2=1+ci(其中a,b,c 都是实数)对应的不共线的三点,证明:曲线Z ＝Z 0cos 4t+2Z 1cos 2tsin 2t+Z 2sin 4t(t ∈R )与∆ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点,并求出此点.[解析]:[类题]:1.(1993年全国高中数学联赛试题)设m,n 为非零复数,i 为虚数单位,z ∈C,则方程|z+ni|+|z -mi|=n 与|z+ni|-|z -mi| -m 在同一复平面内的图形(F 1,F 2为焦点)是( )xx(B) (C) (D) 2.(1989年全国高中数学联赛试题)若M={z|z=t t +1+i tt+1,t ∈R,t ≠-1,t ≠0},N={z|z=2[cos(arcsint)+icos(arccost)],t ∈R,|t|≤1},则M ∩N 中元素的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)43.(1988年全国高中数学联赛试题)复平面上动点z 1的轨迹方程为|z 1-z 0|=|z 1|,z 0为定点,z 0≠0,另一个动点z 满足z 1z=-1,求点z 的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置.4.①(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z,w 满足:|z-1-i|-|z|=2,|w+3i|=1,则|z –w|的最小值= .②(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)x 、y 是实数.z 1=x+11+yi,z 2=x-11+yi(i 为虚数单位),|z 1|+|z 2|=12,令u=|5x −6y −30|,则u 的最大值是_____,u 的最小值是_____.5.(1996年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知满足条件|z 2|+|z 2−1|=7的复数z 在复平面内的所对应的点的集合是一条二次曲线,则该二次曲线的离心率e=_____.14.复数应用[例14]:(2001年全国高中数学联赛试题)若(1+x+x 2)1000的展开式为a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2000x 2000,则a 0+a 3+a 6+a 9+…+a 1998的值为 .[解析]: [类题]:1.(2010年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)已知sin α+sin β=51,cos α+cos β=31,则)(2sin )(2cos 1)(2sin )cos(21βαβαβαβα+++++++-= .2.(2007年湖北数学奥林匹克夏令营试题)求值:tan700-010cos 1= .3.(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)化简arccot2+arctan 31= . 4.(2012年复旦自主招生试题)arctan 31+arctan 51+arctan 71+arctan 81= .Y.P .M 数学竞赛讲座 1竞赛中的复数问题复数不仅具有自身知识体系的丰富性,而且还与代数、三角、几何之间存在内在的紧密联系.复数的演绎独具特色,饶于技巧,复数是竞赛数学的内容之一.一、知识结构1.概念与运算:⑴表达形式:①代数式:z=a+bi(a,b ∈R);②三角式:z=r(cos θ+isin θ)(r ≥0,θ∈R);③指数式:z=re i θ(r ≥0,θ∈R);④欧拉公式:e i θ=cos θ+isin θ,θ∈R.⑵共轭与模:①21z z ±=21z z ±;21z z ⋅=21z z ⋅;)(21z z =21z z;②||z 1|-|z 2||≤|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|;|z 1z 2|=|z 1||z 2|;|21z z |= ||||21z z ;③z z =|z|2=|z |2;④z=z ⇔z ∈R;|z|=|Re(z)|⇔z ∈R. ⑶运算法则:①乘法:r 1(cos θ1+isin θ2)r 2(cos θ2+isin θ2)=r 1r 2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2));②除法:)sin (cos )sin (cos 222121θθθθi r i r ++=21r r (cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2));③乘方:[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ);④开方:z n =r(cos θ+isin θ)⇔z =n r (cosnk πθ2++isinnk πθ2+)(k=0,1,2…,n-1).2.辐角与三角:⑴辐角性质:①定义:若z=r(cos θ+isin θ)(r ≥0,θ∈R),则θ称为复数z 的辐角,记为Argz;特别地,当θ∈[0,2π)时,则θ称为复数z 的辐角主值,记为argz;②运算:Argz 1+Argz 2=Arg(z 1z 2);Argz 1-Argz 2=Arg(21z z )=Arg(z 12z );nArgz= Argz n ;③性质:若z=cos θ+isin θ,则1+z=2cos2θ(cos 2θ+isin 2θ);1-z=-2sin 2θ(cos 2θ+isin 2θ). ⑵单位根:①定义:方程x n =1的n 个根叫做n 次单位根,分别记为ωk (k=0,1,2,…,n-1);ωk =(cosn k π2+isin nk π2)(k=0, 1,2…,n-1);②性质:ω0=1;ωk =ω1k ;ωk ωj =ωk+j ;单位根的积仍是单位根;n 次单位根的全部为:1,ω1,ω12,…,ω1n-1;③1+ω1+ω12+…+ω1n-1=0,(x-1)(x-ω1)(x-ω12)…(x-ω1n-1)=x n -1.⑶基本结论:①实系数n 次方程的虚根α与其共轭复数α成对出现;②若|z 1|=|z 2|=…=|z n |,且z 1+z 2+…+z n =0,则z 1,z 2, …,z n 对应的点是正n 边形的顶点,且正n 边形的中心在坐标原点;③若复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,且z 1=z 0z 2,则∠Z 1OZ 2=argz 0,或argz 0-π.3.复数与几何:⑴基本原理:①点的对应:复数z=x+yi 与点Z(x,y)成一一对应;②向量对应:复数z=x+yi 与向量OZ =(x,y)成一一对应;③距离公式:复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,则|Z 1Z 2|=|z 1-z 2|;④旋转公式:复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,向量21z z 绕点Z 1逆时针旋转θ角,再伸长r(r>0)倍,则所得向量z z 1中的Z 对应的复数z=z 1+r(z 2-z 1)(cos θ+isin θ).⑵线性结论:①定比分点:若复数z,z 1,z 2对应的点分别为Z,Z 1,Z 2,点Z 分有向线段21z z 的比为λ(λ≠-1),则z=λλ++121z z ;②三点共线:若复数z,z 1,z 2对应的点分别为Z,Z 1,Z 2,则三点Z,Z 1,Z 2共线的充要条件是:Z=λZ 1+(1-λ)Z 2;③平行条件:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则Z 1Z 2∥Z 3Z 4的充要条件是:z 1-z 2=λ(z 3-z 4);④垂直条件:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则Z 1Z 2⊥Z 3Z 4的充要条件是:z 1-z 2=λ(z 3-z 4)i.2 Y.P .M 数学竞赛讲座⑶几何结论:①三角形面积:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,则△Z 1Z 2Z 3的面积=21×复数(z 13z +z 21z +z 32z )的虚部;②三角形形状:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,则△Z 1Z 2Z 3为正三角形的充要条件是:z 12+z 22+z 32=z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1;或z 1+ωz 2+ω2z 3=0;③三角形相似:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,复数w 1,w 2,w 3对应的点分别为W 1,W 2,W 3,则△Z 1Z 2Z 3∽△W 1W 2W 3的充要条件是:1312z z z z --=1312w w ww --;④四点共圆:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则四点Z 1, Z 2,Z 3,Z 4共圆的充要条件是:1413z z z z --:2423z z z z --∈R. 二、典型问题1.复数概念[例1]:(2006年全国高中数学联赛试题)若对一切θ∈R,复数z=(a+cos θ)+(2a-sin θ)i 的模不超过2,则实数a 的取值范围为 .[解析]:|z|≤2⇔(a+cos θ)2+(2a-sin θ)2≤4⇔2acos θ-4asin θ≤3-5a 2⇔-25asin(θ+φ)≤3-5a 2⇔25|a|≤3-5a 2⇔(5|a|-1)(5|a|+3)≤0⇔a ∈[-55,55]. [类题]:1.①(2010全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知复数z 1=m+2i,z 2=3-4i,若21z z 为实数,则实数m 的值为 . ②(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i,复数z 2的虚部为2,则z 1z 2为实数的条件是z 2= .2.(1999年全国高中数学联赛河南初赛试题)若3131-+z z 为纯虚数,则|z|= . 3.(2011年全国高中数学联赛浙江初赛试题)如果复数(a+2i)(1+i)的模为4,则实数a 的值为 .4.(1994年全国高中数学联赛试题)给出下列两个命题:①设a,b,c 都是复数,如果a 2+b 2>c 2,则a 2+b 2-c 2>0;②设a,b,c 都是复数,如果a 2+b 2-c 2>0,则a 2+b 2>c 2.那么下述说法正确的是( )(A)命题①正确,命题②也正确 (B)命题①正确,命题②错误 (C)命题①错误,命题②也错误 (D)命题①错误,命题②正确 5.(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设z 是虚数,w=z+z1,且-1<w<2,则z 的实部取值范围为 . 解:设z=a+bi ⇒w=a+bi+22ba bi a +-=a+22ba a ++(b-22ba b +)i.由-1<w<2⇒w 为实数⇒b-22ba b +=0⇒b=0,或a 2+b 2=1.当b=0时,a ≠0,w=a+a 1⇒|w|≥2,不符合-1<w<2;当a 2+b 2=1时,w=2a,由-1<w<2⇒-21<a<1. 2.代数形式[例2]:(1995年全国高中数学联赛试题)设α,β为一对共轭复数,若|α-β|=23,且2βα为实数,则|α|= . [解析]:设α=a+bi(a,b ∈R)⇒β=a-bi ⇒αβ=a 2+b 2∈R,α-β=2bi,|α-β|=23⇒|b|=3,2βα=23)(αβα为实数⇒α3=(a+bi)3=(a 3-3ab 2)+(3a 2b-b 3)i 为实数⇒3a 2b-b 3=0⇒|a|=1⇒|α|=2.[类题]:1.①(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)复数(1+i)4+(1-i)4= .②(2005年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:！！！！i i i i 100210+⋅⋅⋅+++= . Y.P .M 数学竞赛讲座 32.(1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知i 2=-1,在集合{s|s=1+i+i 2+i 3+…+i n,n ∈N}中包含的元素是 .3.(2007年全国高中数学联赛上海初赛试题)复数数列{a n }满足a 1=0,a n =a n-12+i(n ≥2,i 为虚数单位,则它的前2007项的和= .4.(2000年湖南高中数学夏令营试题)设复数数列{z n }满足z 1=i,z n+1=-z n 2-i,则|z 2000|=5.(1991年全国高中数学联赛上海初赛试题)使复数z=ix x x x i x x --++cos )tan sin cos 2(2sin sin 2成为实数的所有x 构成的集合是 .解:复数z=ix x x x i x x --++cos )tan sin cos 2(2sin sin 2为实数⇔[sinx+sin2x+i(2cos 2xsinx-tanx)](cosx+i)为实数⇔sinx+sin2x+(2cos 2xsinx-tanx)cosx=0⇔sin2x+cos 2xsin2x=0⇔sin2x=0⇔sinx=0(cosx ≠0)⇔x=k π.3.三角形式[例3]:(1999年全国高中数学联赛试题)给定实数a,b,c,已知复数z 1,z 2,z 3满足:⎪⎩⎪⎨⎧=++===11||||||133221321z z z z z z z z z ,求|az 1+bz 2+cz 3|的值.[解析]:由|z 1|=|z 2|=|z 3|=1,可设z 1=cos α+isin α,z 2=cos β+isin β,z 3=cos γ+isin γ⇒21z z +32z z+13z z =cos(α-β)+ isin(α-β)+cos(β-γ)+isin(β-γ)+cos(γ-α)+isin(γ-α)=1⇒sin(α-β)+sin(β-γ)+sin(γ-α)=0⇒ 2sin2γα-cos22βγα-+-2sin2γα-cos2γα-=0⇒sin2γα-sin2αβ-sin2βγ-=0.当sin2αβ-=0时,β=2k π+α⇒z 1=z 2,由21z z +32z z +13z z =1⇒31z z+13z z =0⇒(13z z )2+1=0⇒13z z =±i ⇒|az 1+bz 2+cz 3|=|(a+b ±ic)z 1|=22)(c b a ++;同理可得:当sin2βγ-=0时,|az 1+bz 2+cz 3|=22)(a c b ++;当sin2γα-=0时,|az 1+bz 2+cz 3|=22)(b c a ++.[类题]:1.(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)设A 、B 、C 为△ABC 的三内角,则复数Ai A C i C B i B 2sin 2cos 1)2sin 2cos 1)(2sin 2cos 1(-+++++的虚部是 . 解:A i A C i CB i B 2sin 2cos 1)2sin 2cos 1)(2sin 2cos 1(-+++++=)sin (cos cos 2)sin (cos cos 2)sin (cos cos 2A i A AC i C C B i B B ++⋅+=2A C B cos cos cos Ai A C B i C B sin cos )sin()cos(-+++=2A CB cos cos cos [(cos(A+B+C)+isin(A+B+C))=-2ACB cos cos cos ,虚部是0.2.(1992年湖南高中数学夏令营试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=1,z 1-z 2=cos150+isin150,则21z z = . 解:设z 1=cos α+isin α,z 2=cos β+isin β⇒z 1-z 2=(cos α-cos β)+(sin α-sin β)i=cos150+isin150⇒cos α-cos β=cos150,sin α-sin β=sin150⇒(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2=1⇒cos(α-β)=21,sin α-sin β=±23⇒21z z=cos(α-β)+isin(α-β)=21±23i. 3.(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)设|z 1|=|z 2|=a(a ≠0),且z 1+z 2=m+mi,其中m 为非零实数.则z 13z 23的值是 . 解:设z 1=acos α+aisin α,z 2=acos β+aisin β,由z 1+z 2=m+mi ⇒a(cos α+cos β)=m,a(sin α+sin β)=m ⇒cos α+cos β=4 Y.P .M 数学竞赛讲座sin α+sin β⇒2cos2βα+cos2βα-=2sin2βα+cos2βα-⇒cos2βα+=sin2βα+⇒tan2βα+=1⇒α+β=2π⇒z 1z 2=a 2[cos(α+β)+isin(α+β)]=a 2i ⇒z 13z 23=(z 1z 2)3=-a 6i.4.(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)设|z|=1,则|z 2-z+2|的最小值为 .解:设z=cos θ+isin θ⇒|z 2-z+2|=|cos2θ+isin2θ-cos θ-isin θ+2|=|cos2θ-cos θ+2+(sin2θ-sin θ)i|=θθ2cos 4cos 66+-=87)83(cos 82+-θ≥414. 5.(2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)已知复数集合D,复数z ∈D 当且仅当存在模为1的复数z 1,使得|z-2005-2006i| =|z 14+1-2z 12|.则D 中实部和虚部都为整数的复数的个数是 .解:设z 1=cos θ+isin θ⇒|z 14+1-2z 12|=|(z 12-1)2|=|z 12-1|2=|cos2θ-1+isin2θ|2=(cos2θ-1)2+sin 22θ=2-2cos2θ≤4⇒|z-2005-2006i|≤4,设z=x+yi ⇒(x-2005)2+(y-2006)2≤16⇔x 2+y 2≤16共有49个解.4.共轭运算[例4]:(2001年全国高中数学联赛试题)若复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,3z 1-2z 2=23-i,则z 1z 2= .[解析]:|z 1|=2,|z 2|=3⇒z 11z =4,z 22z =9⇒23-i=3z 1-2z 2=31z 1z 22z -21z 2z 11z =61z 1z 2(22z -31z )=-61z 1z 2(31z -22z )= -61z 1z 2(23+i)⇒z 1z 2=-1330+1372i.[类题]:1.(1986年全国高中数学联赛试题)为z 为复数,M={z|(z-1)2=|z-1|2},那么( )(A)M={纯虚数} (B)M={实数} (C){实数}⊂M ⊂{复数} (D)M={复数}解:(z-1)2=|z-1|2⇔(z-1)2=(z-1)(z -1)⇔z=1,或z=z ⇔M={实数}.2.(1985年全国高中数学联赛试题)设z,w,λ为复数,|λ|≠1关于z 的方程z -λz=w 下面有四个结论:①z=2||1λλ-+ww 是这个方程的解;②这个方程只有一个解;③这个方程有两个解;④这个方程有无穷多解.则( )(A)只有①和②是正确的 (B)只有①和③是正确的 (C)只有①和④是正确的 (D)以上(A)、(B)、(C)都不正确 解:z -λz=w ⇒z-λz =w ⇒z-λ(λz+w)=w ⇒(1-λλ)z=λw+w ⇒z=2||1λλ-+ww .故选(A). 3.(2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)如果复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|,且z 1-z 2=2-i,则||2121z z z z 的值为 . 解:设|z 1|=|z 2|=a ⇒z 11z =z 22z =a 2⇒a 2(2-i)=z 1z 22z -z 2z 11z =-z 1z 2(1z -2z )=-z 1z 2(2+i)⇒||2121z z z z =221az z =i i ++-22=543i +-. 4.(1996年湖南高中数学夏令营试题)z 1,z 2是已知的两个任复数,复数z 满足z ≠0,z+z 2≠0,z z 1+z 2z +z 12z =0,则 arg21z z z z ++= . 解:z z 1+z 2z +z 12z =0⇒z z 1+(z+z 1)2z =0⇒z z 1z 2+(z+z 1)2z z 2=0;z z 1+z 2z +z 12z =0⇒z 1z +z z 2+1z z 2=0⇒z z 2+(z+z 2)1z =0⇒z z 1z 2+(z+z 2)1z z 1=0⇒(z+z 1)2z z 2=(z+z 2)1z z 1⇒21z z z z ++=2211z z zz =正实数⇒arg 21z z z z ++=0. 5.(1991年全国高中数学联赛试题)设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 1+z 2|=3,|z 1-z 2|=33,则log 3|(z 12z )2000+(1z z 2)2000|= . 解:9=|z 1|2=z 11z ,9=|z 1+z 2|2=(z 1+z 2)(1z +2z )=z 11z +z 22z +z 21z +z 12z ;27=|z 1-z 2|2=(z 1-z 2)(1z -2z )=z 11z +z 22z -(z 21z +z 12z )⇒z 11z +z 22z =18⇒z 22z =9⇒|z 2|=3⇒|z 21z |=|z 12z |=9,z 21z +z 12z =-9,设z 12z =9(cos θ+isin θ)⇒z 21z =9(cos θ-isin θ)⇒cos θ=-21⇒sin θ=±23⇒z 12z =9ω,或ω2⇒log 3|(z 12z )2000+(1z z 2)2000|=log 3|(9ω)2000+(9ω2)2000|= Y.P .M 数学竞赛讲座 5log 3|92000(ω+ω2)|=4000.5.模的运算[例5]:(2011年全国高中数学联赛新疆初赛试题)复数z 1和z 2满足:|z 2|=4,4z 12-2z 1z 2+z 22=0,则|(z 1+1)2(z 1-2)|的最大值为 .[解析]: 由4z 12-2z 1z 2+z 22=0⇒3z 12+(z 1-z 2)2=0⇒(z 1-z 2)2=-3z 12⇒z 1-z 2=±3z 1i ⇒z 2=(1±3i)z 1⇒|z 2|=2|z 1|⇒|z 1|=2,设z 1=2(cos α+isin α)⇒|(z 1+1)2(z 1-2)|=|(z 1+1)2||(z 1-2)|=[(2cos α+1)2+(2sin α)2]22)sin 2()2cos 2(αα+-=)cos 88()cos 45(2αα-+≤36(cos α=41). [类题]:1.(1983年全国高中数学联赛上海初赛试题)|)52)(32()35)(25)(23(2i i i i i --+++|= .2.(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)复数z 满足|z|(3z+2i)=2(iz −6),则|z|等于 .解:设|z|=r(r>0)⇒z=i r ri 23212+-+⇒r 2=|z|2=|i r ri 23212+-+|2=22|23||212|i r ri +-+=49414422++r r ⇒r 4=16⇒r=2. 3.(2004年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设{z n }是一个复数数列,定义z n =(1+i)(1+2i ) (1)ni ),则∑=+-nn n n z z 11||= .解:|z n -z n+1|=1.4.(2002年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z 满足z z -z-z =3,且arg(z-1)=3π,则z= .解:z z -z-z =3⇒(z-1)(z -1)=4⇒|z-1|=2⇒z-1=2(cos3π+isin3π).5.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设z 是复数,且|z|=1,则u=|z 2-z+1|的最大值与最小值是 . 解:u=|z 2-z+1|=|z 2-z+z z |=|z(z+z -1)|=|z+z -1|.设z=x+yi,则|x|≤1⇒u=|z+z -1|=|2x-1|∈[0,3].6.乘方运算[例6]:(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n ≥2007,且n 为使得a n =(22-+i 22+)n取实数值的最小正整数,则对应此n 的a n = .[解析]:令tan θ=2222-+(0<θ<2π)⇒tan 2θ=2222-+=3+22⇒tan θ=2+1⇒tan2θ=-1⇒2θ=43π⇒θ=83π⇒ a n =[r(cos83π+isin 83π)]n =r n(cosn 83π+isinn 83π)取实数值,其中r=2⇒sinn 83π=0⇒n 83π=k π⇒3n=8k ⇒n=8m,满足此条件且n ≥2007的最小正整数n 为2008,此时a n =a 2008=22008cos753π=-22008.[类题]:1.(1989年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:(21i -)1989= .2.①(2011年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知z=(3-3i)n,若z 为实数,则最小的正整数n 的值为 . 解:令tan θ=-33=-3⇒θ=35π⇒3-3i=23(cos35π+isin 35π)⇒z=(3-3i)n =[23(cos 35π+isin 35π)]n= (23)n[cos(35πn)+isin(35πn)]为实数⇔sin(35πn)=0⇔35πn=k π⇔k=35n⇒最小的正整数n 的值为3. ②(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)设n 为使a n =(213++213-i)n取实数的最小自然数,则对应此n 的 6 Y.P .M 数学竞赛讲座a n = .3.①(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n 为不超过2003的正整数.如果有一个角θ使得(sin θ+icos θ)n=sinn θ+icosn θ成立,则这种n 的总个数为 .解:(sin θ+icos θ)n=[i(cos θ-isin θ)]n=i n[cos(-θ)+isin(-θ)]n=i n[cos(-n θ)+isin(-n θ)]=i n[cos(n θ)-isin(nθ)]=i n-1(sinn θ+icosn θ)⇒i n-1=1⇒n-1=4k ⇒n=4k+1(n ≤2003)⇒k ≤500⇒(k=0)这种n 的总个数为501.②(1988年全国高中数学联赛上海初赛试题)设m 、n 是自然数,且使(3+i)m=(1+i)n成立(其中i 是虚数单位),则乘积mn 的最小值是 .4.(2010年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知z 为复数.若|z|=1,|z +i|=1,则当(z+i)n(n 为正整数)为实数时,|z+i|n的最小值为 .解:由|z|=1⇒z z =1,|z +i|=1⇒(z +i)(z-i)=1⇒(z -z)i=1⇒z-z =i ⇒z=±23+21i ⇒z+i=±23+23i=±3(21± 23i)⇒(z+i)n=(±3)n(21±23i)n,其中w=21±23i 是方程w 2-w+1=0的根⇒w 3=-1⇒n=3时,|z+i|n的最小值为33.5.(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)[(23i +)8+1]n当n 取1,2,…,100时,可得 个不同的数值. 解:[(23i +)8+1]n =[(-i)8(231i +-)8+1]n =[(-i ω)8+1]n =(ω2+1)n =(-ω)n,可得6个不同的数值. 7.单位复数[例7]:(1991年全国高中数学联赛试题)设a,b,c 均为非零复数,且ba =cb =ac ,则cb ac b a +--+的值为 .[解析]:设ba =cb =ac =x ⇒a=xb,b=xc,c=xa ⇒abc=x 3abc ⇒x 3=1⇒x=1,x=ω,x=ω2(三次方程有三个根)=0⇒cb a cb a +--+= 1122+--+x x x x =1,或ω,或ω2.[类题]:1.①(1980年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x 1,x 2是方程x 2-x+1=0的两个根,则x 11980+198021x = .解:x i 6=1⇒x 11980=1,198021x =1⇒x 11980+198021x =2;②(2009年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知复数m 满足m+m 1=1,则m 2008+20091m= . 解:m+m 1=1⇒m 2-m+1=0⇒(m+1)(m 2-m+1)=0⇒m 3=-1⇒m 6=1⇒m 2008=m 4=-m,m 2009=m 5=m 1⇒m 2008+20091m=-m+m=0. 2.①(1990年全国高中数学联赛试题)设非零数复数x,y 满足x 2+xy+y 2=0,则代数式(y x x +)1990+(yx y +)1990的值是 . 解:x 2+xy+y 2=0⇒(y x )2+y x +1=0.令y x =ω⇒ω2+ω+1=0⇒ω3=1⇒(y x x +)1990+(y x y +)1990=19901990)1(ωω++1990)1(1ω+= 19902)(ωω-+19902)(1ω-=21ωω+=-1. ②(2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设非零数相异复数x,y 满足x 2+xy+y 2=0,则代数式[2))((y x y x xy -+]2006(x2006+y2006)的值是 .Y.P .M 数学竞赛讲座 73.(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)若z ∈C,且x 10=1,则1+x+x 2+x 3+…+x 2009+x 2010= .解:若z ∈R,由x 10=1⇒x=±1.当x=1时,1+x+x 2+x 3+…+x2009+x2010=2011;当x=-1时,1+x+x 2+x 3+…+x 2009+x2010=1;若z ≠±1,由x 10=1⇒(x 2-1)(x 8+x 6+x 4+x 2+1)=0⇒x 8+x 6+x 4+x 2+1=0⇒x 9+x 7+x 5+x 3+x=0⇒1+x+x 2+x 3+…+x 10=0⇒1+x+x 2+x 3+…+x2009+x 2010=1.4.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z 满足:z 3=27,则z 5+3z 4+2242= . 5.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设(23+2x i)2008=f(x)+ig(x)(f(x),g(x)均为实系数多项式),则f(x)的系数之和是 . 解:(23+2x i)2008=f(x)+ig(x)⇒f(1)+ig(1)=(23+21i)2008=(-i)2008(-21+23i)2008=ω2008=ω=-21+23i ⇒f(1)=-21. 8.复数方程[例8]:(1994年全国高中数学联赛试题)x 的二次方程x 2+z 1x+z 2+m=0中,z 1,z 2,m 均是复数,且z 12-4z 2=16+20i,设这个方程的两个根α,β满足|α-β|=27,求|m|的最大值和最小值.[解析]:由韦达定理知α+β=-z 1,αβ=z 2+m ⇒28=|α-β|2=|(α-β)2|=|(α+β)2-4αβ|=|z 12-4z 2-4m|=|16+20i-4m|⇒|m-(4+5i)|=7⇒m 在以A(4,5)为圆心,7为半圆的圆上⇒|m|≥7-|OA|=7-41;|m|≤7+|OA|=7+41.[类题]:1.(1995年全国高中数学联赛上海初赛试题)若虚数z 使2z+z 1为实数,则2z+z1的取值范围是_____. 2.(1993年全国高中数学联赛试题)二次方程(1-i)x 2+(λ+i)x+(1+i λ)=0(i 为虚数单位,λ∈R)有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为________.解:设方程有实根x 0,则(x 02+λx 0+1)+(-x 02+x 0+λ)i=0⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++001020020λλx x x x ⇒(x 0+1)(λ+1)=0⇒x 0=-1⇒λ=2;λ=-1⇒x 02-x 0+1=0无实根,综上,λ=2;所以,有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为λ≠2.3.(1984年全国高中数学联赛上海初赛试题)方程z 4=z (z 为z 的共轭复数)的根为 .解:z 4=z ⇒|z|4=|z |⇒|z|=0,1⇒z=0,z 5=z z ⇒z 5=1⇒z=cos52πk +isin 52πk (k=0,1,2,3,4) 4.(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)复数z 满足等式z+z |z|3=0,则z= .解:由z+z |z|3=0⇒z=-z |z|3⇒|z|=|-z |z|3|⇒|z|=|z |||z|3⇒|z|=|z|4⇒|z|=0,1;当|z|=0时,由z+z |z|3=0⇒z=0;当|z|=1时,由z+z |z|3=0⇒z+z =0⇒z 是纯虚数⇒z=±i. 5.(2000年全国高中数学联赛试题)设ω=cos5π+isin5π,则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是( )(A)x 4+x 3+x 2+x+1=0 (B)x 4-x 3+x 2-x+1=0 (C)x 4-x 3-x 2+x+1=0 (D)x 4+x 3+x 2-x -1=0 解:ω=cos5π+isin5π=cos102π+isin102π⇒ω,ω2,…,ω10是1的10个10次方根⇒(x-ω)(x-ω2)…(x-ω10)=x 10-1;又因ω2,ω4,ω6,ω8,ω10是1的5个5次方根⇒(x-ω2)(x-ω4)…(x-ω10)=x 5-1;两式相除得:(x-ω)(x-ω3)…(x-ω9)=x 5+1,其中ω5=cos π+isin π=-1⇒x-ω5=x+1⇒(x-ω)(x-ω3)(x-ω7)(x-ω9)=115++x x =x 4-x 3+x 2-x+1.选(B). 9.复数与点[例9]:(1998年全国高中数学联赛试题)设复数z=cos θ+isin θ(00≤θ≤1800),复数z,(1+i)z,2z 在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R,当P,Q,R 不共线时,以线段PQ,PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S,则点S 到原点距离的最大值是 _.[解析]:设点S 对应的复数为ω,由PQSR 为平行四边形⇒ω+z=(1+i)z+2z⇒ω=zi+2z ⇒|ω|2=(zi+2z )(-z i+2z)=5z z +2i(z 2-z 2)=5-4sin2θ≤9,当θ=43π时,等号成立⇒点S 到原点距离的最大值是3. 8 Y.P .M 数学竞赛讲座 [类题]:1.(1989年全国高中数学联赛试题)若A,B 是锐角△ABC 的两个内角,则复数z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在复平面内所对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限2.(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若点A,B 分别对应复数z,z -1,z ∉R,则直线AB 与x 轴的交点对应的复数为(用z 和z 表示). 解:设A(a,b)⇒B(22b a a +,-22b a b +)⇒直线AB:y-b=)1()1(2222-+++b a a b a b (x-a),令y=0⇒x=1222++b a a =1++z z z z .3.(2002年湖南高中数学夏令营试题)已知z 为复数,arg(z+3)=1350,则|3||6|1i z z -++取最大值时,z= .解:|3||6|1i z z -++取最大值⇒|z+6|+|x-3i|取最小值⇒z 在线段x-2y+6=0(-6≤x ≤0)上;arg(z+3)=1350⇒z+3在射线y=-x(x ≤0)上⇒z 在射线y=-x-3(x ≤-3)上⇒z=-4+i.4.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在复平面内由i1,1-i ,(i-1)3对应的点构成的三角形的最大内角等于 .5.(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)如果复数z 满足|z|=1,A(-1,0),B(0,-1)是复平面上两点,那么函数f(z)= |(z+1)(z -i)|取最大值时,△ABZ 的形状是 .解:设z=cos θ+isin θ⇒f(z)=|(z+1)(z -i)|=|[(1+cos θ)+isin θ][cos θ-(1+sin θ)i]|=|(1+cos θ)+isin θ||cos θ -(1+sin θ)i|=θcos 22+θsin 22+=2)sin 1)(cos 1(θθ++,为等腰三角形.10.模的意义[例10]:(2002年全国高中数学联赛试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,若它们所对应向量的夹角为600,则|2121z z z z -+|= . [解析]:设z 1,z 2,z 1+z 2对应的点分别为A,B,C,则四边形OACB 是平行四边形,且∠AOB=600⇒|z 1-z 2|=|AB|=7;|z 1+z 2|=|OC|=19⇒|2121z z z z -+|=7133.[类题]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设复数z 1=(2-a)+(1-b)i,z 2=(3+2a)+(2+3b)i,z 3=(3-a)+(3-2b)i,其中a,b ∈R,当|z 1|+|z 2|+|z 3|取得最小值时,3a+4b= .解:易求得z 1+z 2+z 3=8+6i,于是|z 1|+|z 2|+|z 3|≥|z 1+z 2+z 3|=|8+6i|=10,|z 1|+|z 2|+|z 3|取得最小值,当且仅当(2-a):(1-b)= (3+2a):(2+3b)=(3-a):(3-2b)=8:6(四向量同向),解得a=37,b=45,所以3a+4b=12. ②(1993年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|≥1,|z 2|≥23,则复数i 1993z 1+i 1995z 2+2z 1z 2的模长的最小值是 . 解:i1993=i,i 1995=-i,|i 1993z 1+i1995z 2+2z 1z 2|=|i(z 1-z 2)+2z 1z 2|≥2|z 1z 2|-|z 1-z 2|≥3-(1+23)=21.。
1986年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案
1986年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一．（本题满分30分）（1）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 （ B ） （A ）)4sin 4(cos 2π-πi （B ）)4sin 4(cos 2π+πi（C ）)4cos4(sin2π-πi （D ）)4cos4(sin2π-π-i（2）函数1)2.0(+=-x y 的反函数是 （ C ）（A ）1log 5+=x y （B ）15log +=x y （C ）)1(log 5-=x y （D ）1log 5-=x y （3）极坐标方程34cos =θρ表示 （ B ）（A ）一条平行于x 轴的直线 （B ）一条垂直于x 轴的直线 （C ）一个圆 （D ）一条抛物线 （4）函数x x y2cos 2sin 2=是 （ A ）（A ）周期为2π的奇函数 （B ）周期为2π的偶函数 （C ）周期为4π的奇函数 （D ）周期为4π的偶函数（5）给出20个数： （ B ） 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（A ）1789 （B ）1799 （C ）1879 （D ）1899 （6）设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 （ D ） （A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要的条件（7）如果方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F ＞0)所表示的曲线关于直线y=x 对称，那么必有 （ A ） （A ）D=E （B ）D=F （C ）E=F （D ）D=E=F（8）在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1 、G 2 、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S-EFG 中必有 （ A ）（A ）SG ⊥△EFG 所在平面 （B ）SD ⊥△EFG 所在平面 （C ）GF ⊥△SEF 所在平面 （D ）GD ⊥△SEF 所在平面（9）在下列各图中，y=ax 2+bx 与y=ax+b(ab ≠0）的图象只可能是 （ D ）]0,1[-∈x C ） （A ）21arcsin)arccos(xx -=--π （B ）21arccos )arcsin(xx -=--π（C ）21arcsin arccosxx -=-π （D ）21arccos arcsinxx -=-π二．（本题满分24分）S 3FG 1 G 2 E（A ） （B ） （C ） （D ） X X（1）求方程4)5.0(5252=-+x x 的解答：.23,2121-==x x （注：仅写出其中一个解的，给2分）（2）已知1,2312+ω+ω--=ω求i的值答：0 .（3）在xoy 平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）x 轴旋转一周所得到的几何体的体积答：π325（4）求11)2(3)2(3lim ++∞→-+-+n n n nn答：31（5）求52312(xx -展开式中的常数项答：-40（6）已知θ-θ=θ-θ33cos sin ,21cos sin 求的值答：.611三．（本题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的任一点，求证：平面PAC 垂直于平面PBC证：设圆O 所在平面为α，由已知条件，PA ⊥平面α，又BC 在平面α内， 因此PA ⊥BCP因为∠BCA 是直角，因此BC ⊥AC而PA 与AC 是△PAC 所在平面内的相交直线，因此BC ⊥△PAC 所在平面，从而证得，△PBC 所在平面与△PAC 所在平面垂直四．（本题满分12分） 当sin2x ＞0,求不等式)13(log )152(log5.025.0+>--x x x 的解集解：满足sin2x ＞0的x 取值范围是,,2Z k k x k ∈π+π<<π （1）而由)13(log)152(log5.025.0+>--x x x 得⎪⎩⎪⎨⎧>+>--+<--)4(013)3(0152)2(1315222x x x x x x解得：-4＜x ＜-3,5＜x ＜7 (5)由（1）、（5）可知所求解集为).7,2()3,(π⋃-π- 五．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A 、B 试在x 轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C ，使∠ACB 取得最大值解：设点A 的坐标为（0，a )、点B 的坐标为（0，b ），0＜b ＜a ，又设所求点C 的坐标为（x,0) 记β+α=∠β=∠α=∠OCA OCB BCA则,,显然，.20π<α<现在有Y A.1)(1)(])[(2⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-=+-=ββ+α+β-β+α=β-β+α=αx ab abx ab b a x ab x b a x ab xbxatg tg tg tg tg tg记xab abx y+=，那么，当abx =时，y 取得最小值2因此，当abx =时，αtg 取得最大值.2abb a -因为在)2,0(π内αtg 是增函数，所以当abx =时，∠ACB 取最大值.2abb a arctg-故所求点C 的坐标为（,ab 0）六．（本题满分10分）已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A ∩B 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数：（1）B A C ⋃⊂且C 中含有3个元素，（2）φ≠⋂A C （φ表示空集）解：因为A 、B 各含12个元素，A ∩B 含有4个元素，因此A ∪B 元素的个数是12+12-4=20故满足题目条件（1）的集合的个数是320C ，在上面集合中，还满足A ∩C=φ的集合C 的个数是38C因此，所求集合C 的个数是320C -38C =1084（解二略）七．（本题满分12分）过点M （-1，0）的直线L 1与抛物线y 2=4x 交于P 1、P 2两点记：线段P 1P 2的中点为P;过点P 和这个抛物线的焦点F 的直线为L 2;L 1的斜率为k 试把直线L 2的斜率与直线L 1的斜率之比表示为k 的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数解：由已知条件可知，直线L 1的方程是 y=k(x+1) ① 把①代入抛物线方程y 2=4x ， 整理后得到0)42(2222=+-+kx k x k ②因此，直线L 1与该抛物线有两个交的充要条件是：04)42(2222>⋅--kk k ③及.0≠k ④解出③与④得到)1,0()0,1(⋃-∈k 现设点P 的坐标为),(y x ， 则直线L 1的斜率,1+=x y k 而直线L 2的斜率,12-=x y k记,)(2kk k f =则11)(-+=x x k f 今记L 1与抛物线的两个交点P 1与P 2的横坐标分别为x 1和x 2，由韦达定理及②得))1,0()0,1((,242221⋃-∈-=+k kk x x)1,0()0,1(,11)(,2222221⋃--=-=+=定义域是由此得到因此kk f kk x x xL 2显然，1-k 2在（-1，0）内递增，在（0，1）内递减所以，211)(kk f -=在（0，1）内为增函数，在（-1，0）内为减函数八．（本题满分12分）已知x 1＞0,x 1≠1，且).,2,1(,13)3(221=++=+n x x x x n n n n 试证：数列{x n }或者对任意自然数n 都满足x n ＜x n+1,或者对任意自然数n 都满足x n ＞x n+1.证：首先，,13)1(213)3(22221+-=-++=-+n n n n n n n nn x x x x x x x x x由于x 1＞0，由数列{x n }的定义可知 x n ＞0，（n=1,2,…） 所以，x n+1-x n 与1-x n 2的符号相同（1）假定x 1<1,我们用数学归纳法证明1-x n 2＞0（N n ∈) 显然，n=1时，1-x 12＞0设n=k 时1-x k 2＞0,那么当n=k+1时,0)13()1(13)3(11223222221>+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-+kk k k k k x x x x x x因此，对一切自然数n 都有1-x n 2＞0， 从而对一切自然数n 都有x n ＜x n+1（2）若x 1＞1,用理可证，一切自然数n 都有x n ＞x n+1. 九．（附加题，本题满分10分） （1）求2xarctgxy =的导数（2）求过点（-1，0）并与曲线21++=x x y 相切的直线方程解：（1）.12422xxarctgxy ++='（2）,)2(12+='x y而点（-1，0）在曲线21++=x x y 上，,1|1='-=x y 所以所求的切线方程为y=x+1。
1986年全国高考数学文科
1986年全国高考数学（文科 ）试题及其解析一、（本题满分30分）本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D 的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.（1）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 （ ）（A ）)4sin 4(cos2π-πi （B ）)4sin 4(cos 2π+πi （C ）)4cos 4(sin 2π-πi （D ）)4cos 4(sin 2π-π-i （2）函数15+=x y 的反函数是 （ ）（A ）)1(log 5+=x y （B ）15log +=x y（C ）)1(log 5-=x y （D ）5log )1(-=x y（3）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，那么集合 {2，7，8}是 （ ）（A ）A ∪B （B ）A ∩B （C ）A ∪B （D ）A ∩B（4）函数x x y 2cos 2sin 2=是 （ ） （A ）周期为2π的奇函数 （B ）周期为2π的偶函数 （C ）周期为4π的奇函数 （D ）周期为4π的偶函数 （5）已知c<0，在下列不等式中成立的一个是 （ ）（A)c c 2> (B)c c )21(> (C)c c )21(2< (D)c c )21(2>（6）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是 （ ）（A ）1789 （B ）1799 （C ）1879 （D ）1899（7）已知某正方体对角线长为a ，那么，这个正方体的全面积是( B )（A ）222a （B ）22a （C ）232a （D ）223a （8）如果方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F ＞0)所表示的曲线关于直线y=x 对称，那么必有（ ）（A ）D=E （B ）D=F （C ）E=F （D ）D=E=F（9）设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的（ ）（A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要的条件（10）在下列各图中，y=ax 2+bx 与y=ax+b(ab ≠0）的图象只可能是 （ ）二．（本题满分24分）只要求直接写出结果.（1）求方程4)5.0(5252=-+x x 的解（2）已知1,2312+ω+ω--=ω求i 的值 （3）在xoy 平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及 （0，3）x 轴旋转一周所得到的几何体的体积（4）求.4572lim 22+++∞→n n n n （5）求523)12(x x -展开式中的常数项 （6）求椭圆14922=+y x 有公共焦点，且离心率为25的双曲线方程三．（本题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的任一点，求证：平面PAC 垂直于平面PBC四．（本题满分10分）求满足方程3|33|=-+i Z 的辐角主值最小的复数Z .五．（本题满分12分）已知抛物线y 2=x+1，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP:PA=1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线六．（本题满分10分）甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两个公司各承包2项，问共有多少种承包方式七．（本题满分12分）已知sinA+sin3A+sin5A=a ,cosA+cos3A+cos5A=b.求证：（1）当b ≠时，tg3A=b a . (2).)2cos 21(222b a A +=+八．（本题满分12分）已知数列{a n },其中,913,3421==a a 且当n ≥3时， ).(31211----=-n n n n a a a a （1）求数列{a n }的通项公式（2）求.lim n n a ∞→参考答案及其解析一、本题考查基本概念和基本运算.(1)B;(2)C; (3)D; (4)A; (5)C; (6)B; (7)B; (8)A; (9)D; (10)D.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.(4)52 (5)40- (6).1422=-y x 三、本题考查空间直线和平面的位置关系及推证能力.证：设圆O 所在平面为α，由已知条件，PA ⊥平面α，又BC 在平面α内，因此PA ⊥BC 因为∠BCA 是直角，因此BC ⊥AC 而PA 与AC 是△PAC 所在平面内的相交直线，因此BC ⊥△PAC 所在平面，从而证得，△PBC 所在平面与△PAC 所在平面垂直四、解：满足方程3|33|=-+i Z 的复数在复平面上所对应的点的全体组成了如图所示的一个圆，其圆心A 对应的复数为i 33+-，半径为3，因而圆与x 轴相切于点Q ，点Q 对应的复数是-3从点O 作圆的另一条切线OP ，P 为切点，则点P 所对应的复数为所求的复数 ∵),150sin 150(cos 3233︒+︒=+-i i设点B 对应的复数为1，∴∠BOA=1500，|OA|=32，∠QOA=1800-∠BOA=300∵OP 、OQ 是同一点引出的圆的两条切线，A 是圆心，∴∠AOP=∠QOA=300，∠QOP=2∠QOA=600，∠BOP=1800-∠QOP=1200，|OP|=|OA|cos ∠AOP=.32332=⋅ ∴所求的复数Z=.32323)2321(3)120sin 120(cos 3i i i +-=+-=︒+︒五、解：设点B 的坐标（X,Y)，点P 的坐标为（x,y)，则,2123,012231)1(23)13(21,)2(),1(,1,)2(),13(21)1(),1(23312211121,3322113212222+-==+--+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∴-=-=∴+=+⨯+=+=+⨯+=y y x x y y x y X Y P y Y x X Y Y y X X x 即化简得得代入此方程将在抛物线上点 因此轨迹为抛物线六、本题考查排列组合等知识与分析问题的能力. 略解：共有：168022241538=⋅⋅⋅C C C C （种）（注：原解答要求分步说明，直接给出上式只给8分）七、证：由已知sinA+sin3A+sin5A=a ,利用和差化积公式得2sin3Acos2A+sin3A=a ,∴sin3A(1+2cos2A)=a ,① 又由已知cosA+cos3A+cos5A=b ，利用和差化积公式得 2cos3Acos2A+cos3A=b, ∴cos3A(1+2cos2A)=b,② 当b ≠时，①÷②得,3cos 3sin b a A A =从而证得tg3A=b a . 又①2+②2得sin 23A(1+2cos2A)2+cos 23A(1+2cos2A)2=a 2+b 2,∴(1+2cos2A)2(sin 23A+ cos 23A)=a 2+b 2,∴.)2cos 21(222b a A +=+八、解：（1）设,11--=-n n n x a a 则由已知条件得,3121--=n n x x 所以数列{a n }组成了一个公比为31的等比数列，其首项,91121=-=a a x ,)31(161311)31(1)31()31()31()31()()()(.)31()4,3,2(,)31()31(112321*********⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=++=-++-+-=-∴=-===------n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n x x 即.23023)31(21lim 23)31(2123lim lim )2(.)31(2123)31(16111=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∴∞→∞→∞→-n n n n n n n n n a a a。
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f(f(f(x)))= x
的解的个数是
x
1 2
．
x
[来源:]
⑶ 设 f( x)= 于 ；
4 1 2 3 1000 ， 那 么 和 式 f( )+f( )+f( )+ … +f( )的值等 4 +2 1001 1001 1001 1001
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y O
1
x
π
2
<θ<0，在(－π，0)内满足 sinx<a 的角为－π－θ<x<θ，由单位圆
⑶ 设实数 a、b、c 满足
a －bc－8a+7=0， 2 2 那么，a 的取值范围是( b +c +bc－6a+6=0．
2
)
A．(－∞，+∞)
B．(－∞，1]∪[9，+∞)
C．(0，7)
D．[1，9]
2
3．(本题 16 分)平面直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为整点，请设计一种染 色方法将所有的整点都染色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得 ⑴ 每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上； ⑵ 对任意白色 A、红点 B 和黑点 C，总可以找到一个红点 D，使得 ABCD 为一平行四边 形． 证明你设计的方法符合上述要求．
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]
第二试 1．(本题满分 17 分)已知实数列 a0，a1，a2，…，满足 ai－1+ai+1=2ai，(i=1，2，3，…) 求证：对于任何自然数 n，
－682
+256=0，那
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【答案】D 2 2 2 2 【解析】①×3+②：b +c －2b c+3a －30a+27=0，(b－c) +3(a－1)(a－9)=0，1 ≤a≤9．选 D． b2+c2+2bc－a2+2a－1=0，(b+c)2=(a－ 1)2，b+c=a－1，或 b+c=－a+1．
⑸ 平面上有一个点集和七个不同的圆 C1，C2，…，C7，其中圆 C7 恰好经过 M 中的 7 个点， 圆 C6 恰好经过 M 中的 6 个点， …， 圆 C1 恰好经过 M 中的 1 个点， 那么 M 中的点数最少为( ) A．11 B．12 C．21 D．28 【答案】B 【解析】首先，C7 经过 M 中 7 个点，C6 与 C7 至多 2 个公共点，故 C6 中至少另有 4 个 M 中的点，C5 至少经过 M 中另外 1 个点，共 有至少 7+4+1=12 个点．
[来源:学科网 ZXXK]
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第一试 1．选择题(本题满分 42 分，每小题 7 分，每小题答对得 7 分，答错得 0 分不答得 1 分) ⑴ 设－1<a<0，θ=arcsina，那么不等式 sinx<a 的解集为( ) A．{x|2nπ+θ<x<(2n+1 )π－θ，n∈Z} B．{x|2nπ－θ<x<(2n+1)π+θ， n∈Z} C． {x|(2 n－1)π+θ<x<2nπ－θ， n∈Z} D． {x|2nπ+θ<x< (2n+1)π－θ， n∈Z} 2 2 ⑵ 设 x 为复数，M={z|(z－1) =|z－1| }，那么( )
是一次多项式． (本题应增加条件：a0≠a1)
0
1
2
n－1
n
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1 ⑹ 边长为 a、b、c 的三角形，其面积等于 ，而外接圆半径为 1，若 4
s= a+ b+ c，t= + + ， a b c
则 s 与 t 的大小关系是 A．s>t B ．s=t 【答案】C
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5x+9y+4z
+256=0，那么
x+y+z 的最大值与最小值的乘积等于
第二试 1．(本题满分 17 分)已知实数列 a0，a1，a2，…，满足 ai－1+ai+1=2ai，(i=1，2，3，…) 求证：对于任何自然数 n，
P(x)=a0Cn(1-x)n+a1Cnx(1-x)n-1+a2Cnx2(1-x)n-2+…+an-1C n xn-1(1-x)+anCnxn
P(x)=a0Cn(1-x)n+a1Cnx(1-x)n-1+a2Cnx2(1-x)n-2+…+an-1C n xn-1(1-x)+anCnxn
是一次多项式．(本题应增加条件：a0≠a1)
0
1
2
n－1
n
[来源:学科网]
3．平面直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为整点，请设计一种染色方法将所有 的整点都染色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得 ⑴ 每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上； ⑵ 对任意白色 A、红点 B 和黑点 C，总可以找到一个红点 D，使得 ABCD 为一平行四边 形． 证明你设计的方法符合上述要求．
x
1－x
x
；
x
⑴
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1 2 3 500 以 x= ， ， ，…， 代入⑴式，即得所求和=500． 1001 1001 1001 1001
⑷ 设 x、y、z 为非负实数，且满足方程 4
5x+9y+4z ；
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5x+9y+4z ． 5x+9y+4z
⑷设 x、y、z 为非负实数，且满足方程 4 么 x+y+z 的最大值与最小值的乘积等于
A．M={纯虚数}
B．M={实数}
C．{实数} M {复数}
D．M={复数}
2．填空题(本题满分 28 分，每小题 7 分)： 本题共有 4 个小题，每小题的答案都是 000 到 999 的某一个整数，请把你认为正确的答 案填在 上． ⑴ 在底面半径为 6 的圆柱内，有两个半径也为 6 的球面，其球心距为 13，若作一平面 与这二球面相切，且与圆柱面交成一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和 是 ． ⑵ 已知 f(x)=|1－2x|，x∈[0，1]，那么方程
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2．(本题满分 17 分)已知锐角三角形 ABC 的外接圆半径为 R，点 D、E、F 分别在边 BC、 CA、AB 上，求证：AD，BE，CF 是⊿ABC 的三条高的充要条件是
R S= (EF+FD+DE)．
1 1 1
C． s<t
D．不确定
1 abc 1 【解析】△= absinC= ，由 R=1，△= ，知 abc=1．且三角形不是等边三角形． 4R 2 4 ∴ 1 1 1 a+ b+ c 1 1 1 + + ≥ + + = = a+ b+ c．(等号不成立)．选 C．
a b c
ab
bc
ca
abc
1 2 3 1000 4 ⑶ 设 f(x)= x ，那么和式 f( )+f( )+f( )+…+f( )的值等于 4 +2 1001 1001 1001 1001 【答案】500 【解析】 f(x)+f(1－x)= 4 4 4 4 + 1－x = x + x x=1． 4 +2 4 +2 4 +2 4+24
1986 年全国高中数学联赛解答
第一试 1．选择题(本题满分 42 分，每小题 7 分，每小题答对得 7 分，答错得 0 分不答得 1 分) ⑴ 设－1<a<0，θ=arcsina，那么不等式 sinx<a 的解集为( ) A． {x|2nπ+θ<x<(2n+1) π－θ， n∈Z} B． {x|2nπ－θ<x<(2n+1)π+θ， n∈Z} C． {x|(2n－1)π+θ<x<2nπ－θ， n∈Z} D． {x|(2n－1)π－θ<x<2nπ+θ， n∈Z} 【答案】D 【解析】－ 易得解为 D．