陕西省西安市田家炳中学高二数学 4.3微积分的简单应用导学案
陕西省西安市田家炳中学高二数学选修12 数学证明导学案
【学习目标】1.体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法。
2.能运用演绎推理进行一些简单的推理。
3.了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
【重点、难点】重点：演绎推理难点：利用“三段论”进行简单的推理【学法指导】1.根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2.用红笔勾出疑难点，提交小组讨论. 【自主探究】观察下列数的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第100项是 .1．三段论三段论是最常见的一种演绎推理形式，它包含三个命题：①大前提→提供了一个↓②小前提→研究对象的特殊情况↓③结论→由大前提、小前提作出的判断推理方式意义主要形式结论的真假合情推理认识世界、发现问题的基础演绎推理证明命题、建立理论体系的基础演绎推理的结论一定正确吗？提示：不一定．演绎推理的结论不能超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只有在前提和推理形式都正确时，其结论才正确．【合作探究】1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A．两条直线平行，同时和第三条直线相交，同旁内角互补，如果∠A和∠B是同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．某校高三共有10个班，其中一班51人，二班53人，三班52人，由此推测各班都超过50人D．瑞雪兆丰年2．“指数函数y＝αx(α＞1)是增函数，y＝xα(α＞1)是指数函数，所以y＝xα(α＞1)是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的是( )A．推理完全正确B．大前提不正确C．小前提不正确 D．推理形式不正确3．“公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为关于n的没有常数项的二次函数，{b n}的前n 项和为S n＝n2＋3n.所以{b n}为等差数列”．上述推理中( )A．大前提错误 B．小前提错误C．结论错误 D．正确4．下面说法正确的有________．①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
陕西省西安市田家炳中学高二数学 3.2《分析法》导学案(北师大选修2-2)
3.2 分析法【学习目标】1. 结合已学过的实例，了解直接证明的方法——分析法，了解分析法的思考过程与特点。
2.通过综合法和分析法的学习，体会两种方法的相辅相成、辩证统一的关系。
3.体验自主探究、合作式学习的快乐、收获成功的快乐。
【重点、难点】重点：分析法。
难点：分析法的应用。
【学法指导】1.根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2.用红笔勾出疑难点，提交小组讨论。
【自主探究】1．综合法是一种 的证明方法． 2．综合法的证明步骤用符号表示为：P 0( )⇒P 1⇒P 2⇒…⇒P n ( )．1．分析法的定义从 出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的 ，直到归结为这个命题的 ，或者归结为 、 、 等，把这样的思维方法称为分析法．2．分析法的框图表示1．分析法有何特点？提示：(1)分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找它的充分条件．(2)若命题表示为“若A 则D ”则用分析法的思考顺序可表示为：要证D 成立，只需证明C 成立；要证C 成立，只需证明B 成立；……，最后得到一个明显成立的条件A 或定理、公理等．2．综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件，是由因索果；而分析法是从待求证的结论出发，逐步靠拢已知．每步寻找的是充分条件，是执果索因．【合作探究】 1．分析法是( )A ．执果索因的逆推法B ．执因导果的顺推法C ．因果分别互推的两头凑法D ．逆命题的证明方法2．已知a >b >0，证明a －b <a －b 可选择的方法，以下最合理的是( ) A ．综合法 B ．分析法 C ．类比法 D ．归纳法 3．已知|x |＜1，|y |＜1，下列各式成立的是( ) A ．|x ＋y |＋|x －y |≥2 B ．x ＝y C ．xy ＋1＞x ＋y D ．|x |＝|y |4．下列两数的大小关系是：3＋22________2＋7.5 .补足下面用分析法证明基本不等式ab ≤a ＋b2的步骤：要证明ab ≤a ＋b2，只需证2ab≤a＋b，只需证_______只需证_______ ，由于_______ 显然成立，因此原不等式成立．【巩固提高】1.△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其角A、B、C的对边分别为a、b、c，求证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.2.课本63页练习题【方法小结】1．用分析法证明不等式(1)当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更行之有效．另外对于恒等式的证明也同样可以运用．(2)用分析法书写证明过程时，格式要规范，一般为“欲证…，只需证…，只需证…，由于…显然成立(已知，已证…)，所以原结论成立．”其中的关联词语不能省略2．较为复杂问题的证明，如果单纯利用分析法和综合法证明比较困难，这时可考虑分析法和综合法轮流使用以达到证题目的．综合法和分析法的综合应用过程即可先用分析法再用综合法，也可先用综合法再用分析法，一般无具体要求，只要达到证题的目的即可．§3.1综合法【学习目标】1.理解综合法的意义，掌握综合法的思维特点。
高中数学《微积分》公开课优秀教学设计
高中数学《微积分》公开课优秀教学设计
这门课程通过多样化和创新的教学方法，将微积分概念和基本原理的研究带给了学生。
以下是我认为是优秀的教学设计：
1.引入学生
老师可以运用互动的方式，让学生把微积分中已经学过的知识点列出来，并简述其作用。
通过这种方式，可以激发学生对知识点的记忆，并为研究新的概念铺垫。
2.提供实际问题
老师可以给学生提供一个实际的问题，例如汽车在前进过程中的速度变化，让学生求出汽车在某时刻的速度。
这样的问题将把微积分知识点与现实生活联系起来，并提高学生对微积分的兴趣。
3.示范问题解决
老师可以在黑板上或电子板书上详细演示问题的解决过程。
例如，通过对汽车运动过程图像的慢动作分析，解释其速度是如何变化的。
这将有助于学生更好地理解微积分的概念。
4.引导学生练
老师可以在课堂上提供大量的练，并指导学生如何解决这些问题。
通过反复练，学生将逐渐掌握微积分的基本概念和解题技巧。
5.结合模拟测试
老师可以安排一次模拟测试，评估学生对微积分的掌握程度。
这将有助于了解学生的优势和不足，并及时引导学生进行下一步的研究。
通过以上的教学设计，学生将更容易地理解微积分的概念和解题方法，提高学习效率，也同时提高学生对微积分学习的兴趣。
高中数学微积分优秀教案
高中数学微积分优秀教案课题：定积分的概念与性质目标：学生通过本节课的学习，能够掌握定积分的定义、计算方法及性质，并能够灵活运用定积分解决实际问题。
教学重点：定积分的定义、计算方法及性质。
教学难点：定积分的计算方法及性质的应用。
教学准备：教学课件、黑板、彩色粉笔、教学实例。
教学过程：一、引入（5分钟）老师向学生提问：“你们知道什么是定积分吗？定积分有什么性质？”引导学生思考，激发他们的学习兴趣。
二、定积分的概念（15分钟）1. 定积分的定义：介绍定积分的定义，即对一个函数在闭区间[a, b]上的积分值，记作∫{a,b} f(x)dx。
2. 定积分的计算方法：讲解定积分的计算方法，包括定积分的几何意义、区间分割、黎曼和等。
三、定积分的性质（15分钟）1. 定积分的性质：介绍定积分的性质，包括线性性、区间可加性、保号性等。
2. 示例分析：通过实例分析定积分的性质，帮助学生理解和掌握。
四、定积分的应用（15分钟）1. 计算问题：指导学生如何灵活运用定积分解决实际问题，如面积计算、曲线长度计算等。
2. 练习题目：让学生进行练习题目，巩固所学知识。
五、总结与小结（5分钟）老师对本节课内容进行总结和小结，强调定积分的重要性和应用，并提醒学生继续努力学习。
六、作业布置（5分钟）布置相关作业，巩固学生对定积分的掌握程度，以便下节课检查。
教学反思：本节课重点突出，难点突破，通过引入、概念讲解、性质介绍、应用举例等环节，使学生对定积分有了较为全面的了解和掌握。
为了进一步提高教学效果，建议课后多与学生互动交流，激发他们的学习兴趣和积极性。
陕西省西安市田家炳中学高二数学 导学案 文 精品
数学1-1 第一章 §1 命 题【学习目标】1、对于一个简单命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能判断它们的真假，知道它们之间的真假关系；2、通过对四种命题之间关系的分析，提高学生的逻辑思维能力和数学表达能力；3、体验自主探究、合作式学习的快乐！收获成功的喜悦！ 【重点、难点】重点：会分析四种命题之间的关系.难点：对一些代数命题真假的判定. 【学法指导】1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2、用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论；3、带※ 为选做题;4、在小组长带领下齐读以上内容. 【自主探究】探究任务1：四种命题的概念探究任务2：四种命题之间的关系（1）若()f x 是正弦函数，则()f x 是周期函数； （2）若()f x 是周期函数，则()f x 是正弦函数； （3）若()f x 不是正弦函数，则()f x 不是周期数； （4）若()f x 不是周期函数，则()f x 不是正弦函数.（1）（2）互为 （1）（3）互为 （1）（4）互为 （2）（3）互为通过上例分析得出四种命题之间有如下关系：命题 表述形式 原命题 若p ,则q逆命题 否命题 逆否命题原命题 逆否命题 逆命题否命题探究任务3： 四种命题的真假性以“若12=x ，则1=x ”为原命题，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假，并总结其规律性.通过上例真假性可总结如下：原命题 逆命题 否命题 逆否命题真 真 假 假上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：（1） .(2)【合作探究】 探究1：下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题? （1）空集是任何集合的子集； （2）若整数a 是素数，则a 是奇数； （3）指数函数是增函数吗？（4）若空间有两条直线不相交，则这两条直线平行； （5）2(2)2-=；（6）15x >.命题有 ，真命题有 , 假命题有 .探究2：把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断它们的真假： (1) 偶函数的图象关于y 轴对称；(2) 垂直于同一个平面的两个平面平行.探究3：写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假. ※ （1）若,a b 都是偶数，则a b +是偶数； 4、若0m >，则方程20x x m +-=有实数根.【巩固提高】（限时：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列语名中不是命题的是（ ）.A.02≥x B.正切函数是周期函数 C.{1,2,3,4,5}x ∈ D.125> 2.将“等腰三角形两腰的中线相等”写成“若p ，则q ”的形式:___________________________ 3. 以“若2320x x -+=，则2x =”为原命题，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假.4.有下列四个命题：①、命题“若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题； ③、命题“若1m ≤，则022=+-m x x 有实根” 的逆否命题； ④、命题“若AB B =，则A B ⊆”的逆否命题其中是真命题的是 （填上你认为 正确的命题的序号）※ 5 命题：“若220(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是（ ）A ． 若0(,)a b a b R ≠≠∈，则220a b +≠ B ． 若0(,)a b a b R =≠∈，则220a b +≠ C ． 若0,0(,)a b a b R ≠≠∈且，则220a b +≠ D.若0,0(,)a b a b R ≠≠∈或，则220a b +≠ 【课堂小结】___________________________________________ 【课后作业】 P5 1、2题主备人：张思林 审核：王君茹： 包科领导：高学超 年级组长： 使用时间：§2.1 §2.2 充分条件与必要条件【学习目标】1、 能在具体实例中判断充分条件和必要条件；2、通过学习充分条件和必要条件，提高学生的逻辑思维能力和分析能力；3、体验自主探究、合作式学习的快乐！收获成功的喜悦！ 【重点、难点】重点：充分条件和必要条件的理解. 难点：充分条件和必要条件的判定. 【学法指导】1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2、用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论；3、带※ 为选做题;4、在小组长带领下齐读以上内容. 【自主探究】探究任务1：充分条件和必要条件的概念对“p : 0a =, q :0ab =”来说，有p 推出q ，即p 成立q 就成立，所以p 对q 来说是足够的、充分的，我们称p 是q 的_______条件；另一方面，“p 成立q 就成立”与它的逆否命题“q 不成立p 也就不成立”等价，所以q 对p 来说是必要的，我们称q 是p 的_________条件.一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .我们就说, 由p 推出q ,记作p q ⇒,并且说p 是q 的_______条件，同时称q 是p 的______条件.探究任务2 ：充分不必要条件和必要不充分条件的概念对“4:,2:2==a q a p ” 来说，显然有q p ⇒，说明p 是q 的______条件，q 是p 的______条件；而 ，说明q 不是p 的______条件，p 不是q 的______条件.由此可得，p 是q 的_____________条件;q 是p 的______条件.一般地,如果p q ⇒且 ，那么称p 是q 的_____________条件；q 是p 的______条件【合作探究】 探究1：下列各题中，p 是否是q 的充分条件？ 1、p ：x ＝1， q ：x 2－ 4x ＋ 3 ＝ 0；2、p ：一个四边形是矩形 q ：四边形的对角线相等pq ⇒3、 p ：x 为无理数， q ：x 2为无理数. 探究2：下列各题中，p 是否是q 的必要条件？ (1) p ：a b >， q ：22a b >； (2) p :sin sin αβ=， q ：αβ=. （1）p ：00==b a或, q ：0=⋅b a※ 探究3：设命题0)1()12(:2≤+⋅++-a a x a x p ：命题:q ,121≤≤x ，命题p 是命题q 的必要不充分条件，求a 的取值范围.【巩固提高】（限时：5分钟 满分：10分）计分：1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（ ）. A.平行四边形对角线相等 B.四边形两组对边相等 C.四边形的对角线互相平分 D.四边形的对角线垂直2.,x y R ∈，下列各式中哪个是“0xy ≠”的必要条件？（ ）. A.0x y += B.220x y +> C.0x y -= D.330x y +≠3.平面//α平面β的一个充分条件是（ ）. A.存在一条直线,//,//a a a αβ B.存在一条直线,,//a a a αβ⊂C.存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂D.存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂4.p :20x -=,q ：(2)(3)0x x --=，p 是q 的 条件.※5.设,A B 为两个集合,集合A B ⊆，那么x A ∈是x B ∈的 条件，x B ∈是x A ∈的 条件.【课堂小结】________________________________________________________________________________________________________________________________________ 【课后作业】Ｐ11 习题1—2 第3、6题主备人：张思林 审核：王君茹： 包科领导：高学超 年级组长： 使用时间：§2.3 充要条件【学习目标】1、 能在具体实例中理解、判断充要条件；2、 通过学习充要条件，提高学生的逻辑思维能力和分析能力；3、 体验自主探究、合作式学习的快乐！收获成功的喜悦！ 【重点、难点】重点：充要条件的理解. 难点：充要条件的判定. 【学法指导】1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2、用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论；3、带※ 为选做题;4、在小组长带领下齐读以上内容. 【自主探究】探究任务1：充要条件的概念对“p ：三角形的三边相等，q ：三角形三个角相等”来说，显然有p q ⇒，说明p 是q 的______条件；同时，又有 p q ⇒ ，说明p 是q 的______条件.由此可得，p 是q 的_____________条件;.记作_________.一般地,如果p q ⇒且p q ⇒ ，那么称p 是q 的_____________条件.记作______ .【合作探究】 探究1：条件甲：“1a >”是条件乙：“a a >”的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件探究2：“sinA=12”是“A=30º”的 （ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 探究3： “21=m ”是“直线03)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线相互垂直”的 （ ）A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【巩固提高】（限时：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列命题为真命题的是（ ）.A.a b >是22a b >的充分条件B.||||a b >是22a b >的充要条件C.21x =是1x =的充分条件D.αβ=是tan tan αβ= 的充要条件 2.“x MN ∈”是“x MN ∈”的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设p ：240(0)b ac a ->≠，q ：关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠有实根，则p 是q 的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ）.A.132x -<<B.102x -<<C.132x -<< D.16x -<<5. 用充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件填空. (1).3x >是5x >的(2).3x =是2230x x --=的( 3).两个三角形全等是两个三角形相似的【课堂小结】________________________________________________________________________________________________________________________________________【课后作业】Ｐ11 习题1—2 第10、11题主备人：张思林 审核：王君茹： 包科领导：高学超 年级组长： 使用时间：§3 全称量词与存在量词【学习目标】1、理解全称量词与存在量词的含义2、会判断全称命题，特称命题的真假3、能正确的对含有一个量词的命题进行否定 【重点、难点】重点：全称命题 ；特称命题及对其否定 难点：全称命题；特称命题及对其否定 【学法指导】1、.阅读理解，自学课本P12；2、用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论；3、带※ 为选做题;【自主探究】 1、“所有”、“每一个”、“任何”、“任意一个”、“一切”都是在指定范围内表示_____________ 的含义，这样的词叫作_____________ ，含有_____________ 的命题，叫作全称命题. 2、“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在都有表示”都有表示______________的含义，这样的词叫作_____________ ，含有_____________ 的命题，叫作_______________. 3、全称命题.的否定是_________________；特称命题.的否定是_________________ 4、常见关键词及其否定形式：5.同一全称命题或特称命题的不同表述方法： 命题 全称命题 特称命题①所有的A x ∈使)(x P 成立 ②对一切A x ∈使)(x P 成立 ③对每一个A x ∈使)(x P 成立 ④任意一个A x ∈使)(x P 成立 ⑤若A x ∈，则)(x P 成立 ①存在A x ∈使)(x P 成立 ②至少有一个A x ∈使)(x P 成立 ③对有一些A x ∈使)(x P 成立 ④对某个A x ∈使)(x P 成立 ⑤有一个A x ∈，使)(x P 成立【合作探究】1、 判断下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断真假 （1）对任意实数x ，都有 032>+x ； （2）每一个指数函数都是增函数； （3）至少有一个自然数小于1（4）存在一个实数x ，使得0222=++x x 2、写出下列命题的否定形式（1）存在实数x ，使得0222=++x x ； （2）有些三角形是等边三角形； （3）每一个四边形的四个顶点共圆关键词 否定词 关键词 否定词 等于 大于 能 小于 至少有一个 至多有一个都是 是没有 属于表述方法3、写出下列命题的否定形式,并判断真假（1）2是有理数； （2）3不是15的约数；（3）空集是任何集合的子集；（4） 对任意的R b a ∈,，方程0=+b ax 恰有一解； ※（5）所有末尾数字是0或5的整数都能被5整除； ※（6）每一个非负数的平方都是正数； ※（7）有些四边形没有外接圆； ※（8）某些梯形的对角线互相平分4.对任意实数x ，不等式)1(22+>x m x 恒成立，求实数m 的取值范围.【巩固提高】1. 下列命题中真命题的个数是（ ）.（1）任意24,x x R x >∈ （2）若p 且q 是假命题，则p 、q 都是假命题 （3）对“任意R x ∈，0123≤+-x x ”的否定“存在R x ∈，0123>+-x x ” A.0 B.1 C.2 D.3（1）将"2"22xy y x ≥+改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）A.对任意R y x ∈,，都有xy y x 222≥+B.存在R y x ∈,，都有xy y x 222≥+C.对任意0,0>>y x ，都有xy y x 222≥+D.存在0,0<<y x ，都有xy y x 222≥+（2）在下列特称命题中假命题的个数是（ ）（1）有的实数是无限不循环小数；(2)有些三角形不是等腰三角形；(3)有的菱形是正方形. A.0 B.1 C.2 D.3 4、设函数)(x f 的定义域为R ，有以下三个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意R x ∈，有M x f ≤)(，则M 是函数)(x f 的最大值； （2）若存在R x ∈ ，使得对任意R x ∈， x x ≠且，有)()( x f x f <，则)( x f 是函数)(x f 的最大值；（3）若存在R x ∈ ，使得对任意R x ∈，有)()( x f x f ≤，则)( x f 是函数)(x f 的最大值； 这些命题中，真命题的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 2、 写出下列命题的否定（1） 存在一个三角形是直角三角形；(2)至少有一个锐角α，使0sin =α； (3)在实数范围内，有一些一元二次方程无解；(4)不是每一个人都会开车.【课堂小结】____________________________________________________________________主备人：张思林 审核：王君茹： 包科领导：高学超 年级组长： 使用时间：§4 逻辑联结词“且”“或”“非”【学习目标】1、理解逻辑联结词“且”“或”“非的含义2、会判断含有逻辑联结词的命题的真假3、会用这些逻辑联结词准确的表达相关数学内容4、体验自主探究、合作式学习的快乐！收获成功的喜悦！【重点、难点】重点：1..对逻辑联结词“且”“或”“非的理解 2.判断复合命题的真假难点：1、对或命题真假判断的理解 2、否命题与非命题的区别 【学法指导】1、阅读理解，自学课本P16；2、通过具体实例来理解概念【自主探究】1、 命题中的_________________ 叫做逻辑联结词2、 不含________________ 的命题叫________________ ；由_________________ 和___________________ 构成的命题叫 __________________3、 p 且q 就是用逻辑联结词________________________ 把命题p 和q 联结起来的新命题，记作 __________P 或q 就是用逻辑联结词________________________ 把命题p 和q 联结起来的新命题，记作 __________对一个命题p______________ ,得到一个新命题，记作非p 或___________________ 4、 复合命题的真假 p q P 且q P 或q 非p 真 真 真 假 假 真 假 假【合作探究】1、 将下列命题写成“q p ∧”“q p ∨”“p ⌝”的形式：（1） p:6是自然数； q:6是偶数 （2）p:}0{⊆φ q:}0{=φ （3）p:甲是运动员； q:甲是教练员 2、判断下列命题的真假（1）不等式02≤+x 没有实数解； （2）-1是偶数或奇数；（3）2属于集合Q ，也属于集合R ； （4）B A A ⋃⊄3、写出下列命题的否定形式（1） p:对任意的01,23≤+-∈x x R x ； （2）q:1和2的平方是正数（3）r:有些自然数的平方是正数；【巩固提高】1、若集合},50|{Q },2,3,4,51{P R x x x x ∈≥≤==，或，则P 是Q ⌝的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2、已知条件p:1≤x ； q:11<x，则的是q p ⌝（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3、 如果命题“q p ∨”与命题“p ⌝”都是真命题，那么（ ） A.命题p 不一定是假命题 B.命题q 一定是真命题 C.命题q 不一定是假命题 D.命题p 与命题q 的真假相同※4、已知012:2=++mx x p 方程有两个不等的负根；01)2(44:2=+-+x m x q 方程无实根.若“q p ∨”为真，q p ∧为假，求m 的取值范围.※5、已知}|{1:2a x x p <∈,}|{2:2a x x q <∈ (1)当a 为何值时，q p ∨为真命题 (2)当a 为何值时，q p ∧为真命题【课堂小结】_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________主备人：杨淑宁 审核：王君茹 包科领导：高学超 年级组长： 使用时间：第二章§1.1.椭圆的标准方程[教学目标]1.使学生掌握求椭圆的标准方程的几种方法，2.通过对求椭圆的标准方程的几种方法，培养学生分析探索能力，增强学生的计算能力。
高二数学 导数的应用(一)学案
高二数学导数的应用（一）学案（一）学习目标：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间、②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值、重点难点：了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间和函数的极大值、极小值。
基础梳理：1、函数的单调性与导数在区间内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果，那么函数为该区间上的增函数、如果，那么函数为该区间上的减函数、用导数研究函数的单调性其一般步骤为：（1）确定函数y=f（x）的定义域；（2) 求导数；(3)在函数f（x）的定义域内解不等式>0和<0；(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间、2、函数的极值（1）定义：如果在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得在x0附近的所有点x，都有____，则称函数f（x）在点x=x0处取得极大值，记作____，如果在x0附近都有____，则称函数f（x）在点x=x0处取得极小值，记作__ __，和统称为极值、（2）求函数极值的方法解方程,当时，① 如果在附近左侧，右侧，那么是极大值、② 如果在附近左侧，右侧，那么是极小值、求函数极值的步骤：(1)求导数、(2)求方程=0的所有实数根、(3)观察在每个根x0附近，从左到右，如果的符号由正变负，则f（x0）是极大值；如果由负变正，则f（x0）是极小值；如果的符号在x0的两侧附近相同，则函数f（x）在点x=x0处不存在极值、3、设函数在某个区间内有导数，用填空：（1）在上递增(递减)(2)在上递增(递减)（3）都不恒等于0 在上递增(递减)热身练习1、（xx江苏卷）函数的单调减区间为、2、函数的极小值是。
3、函数，已知在时取到极值，则、4、函数的单调递减区间是。
（选修1-1习题2(2)改编）5、已知有极大值和极小值，则的取值范围为。
6、已知可导函数的导函数的图象如右图所示，给出下列四个结论：①是的极小值点；②在上单调递减；③在上单调递增；④在上单调递减，其中正确的结论是、（写出所有正确结论的编号）典例导航例1设函数，已知是奇函数。
陕西省西安市田家炳中学高二数学选修22 导数的四则运算法则导学案
【学习目标】1．了解两个函数的和差的求导公式的推导过程。
2．会运用上述公式求含有和、差运算的函数的导数。
3．能运用导数的几何意义求过曲线上一点的切线。
【重点、难点】 重点：了解两个函数的和、差的求导公式的推导过程。
难点：会运用上述公式求含有和、差运算的函数的导数。
【使用说明与学法指导】1、 根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2、 用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论；【自主探究】导数的加减法运算法则：1．[]='±)()(x g x f2．[]='+c x f )(3、导数的加法与减法法则1．导数的加法与减法法则的推导令)()()(x v x u x f y ±==，[][])()()()(x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆[][])()()()(x v x x v x u x x u -∆+±-∆+=v u ∆+∆=xv x u x y ∆∆±∆∆=∆∆∴， 所以x yx ∆∆→∆0lim 0lim →∆=x （xv x u ∆∆±∆∆） 0lim →∆=x xv x u x ∆∆±∆∆→∆0lim )()(x v x u '±'=即v u v u y '±'='±=')(说明：对推导方法有兴趣的同学来说，了解足够了，不要求掌握。
2．导数的加法与减法法则两个函数的和（差）的导数，等于这两个函数的导数的和（差），即v u v u '±'='±)(，和（差）函数求导法则由两个可以推广到n 个。
【合作探究】例1求下列函数的导数（1）52++=x x y ；（2）x x y cos sin +=例2求曲线x x y -=1上一点P )47,4(-处的切线方程。
2-2-4.3微积分的简单应导学案用
主备人： 审核： 包科领导： 年级组长： 使用时间：4.3微积分的简单应用【学习目标】1.用定积分求平面图形的面积2. 用定积分求旋转体的体积【学习重点】定积分应用【学习难点】把实际问题抽象成定积分问题 【使用说明与学法指导】1.通过阅读教材，自主学习，思考，交流，讨论和概括，完成本节课的学习目标。
2.用红笔勾勒出疑点，合作学习后寻求解决方案。
【自主探究】（1）用定积分求平面图形的面积的方法和步骤:（2）用定积分求旋转体的体积的方法和步骤: 【合作探究】 1. 由曲线x x x xy 以及直线直线321===轴所围成的平面图形面积表达式为（ ）A.⎰32xdx B.dx xy ⎰=32)1( C.dx x⎰321 D.x12.由2x y =与x y 2=所围成的平面图形面积表达式为（ ） A.dx x x ⎰-12)2( B.dx x x ⎰-22)2( C.dx x x )2(22-⎰D.⎰+12)2(dx x x3.将由曲线x x y 与22-=轴围成的区域绕x 轴旋转一周得到一个球体，则其体积为（ ）A.π38 B. π316 C.π332 D. π3【巩固提高】1. 求下列曲线所围成的图形的面积：（1）2e y = , e x =, 0=x ;(2) x y cos =, 2π=x , π23=x , 0=y ;2.计算x y =2，2x y = 所围成的图形的面积3.求由曲线xy 2=，直线1=x 和2=x 以及x 轴所围成的区域，绕x 轴旋转一周而形成的几何体的体积？【课堂小结】__________________________________________________________________________________________________________________________。
高中数学 4.3微积分导学案 北师大版选修31
微积分牛顿Isaac Newton(1642—1727)，英国物理学家，数学家，天文学家，经典物理学理论体系的建立者．生平1642年生于英格兰林肯郡的乌尔索普镇的一个农民家庭，1727年卒于伦敦．中学时爱读书，对自然现象有强烈的好奇心，但学习成绩并不出众.1661年以减费生的身份进入剑桥大学三一学院．在名师I.巴罗的教导下，牛顿学习了算术、三角、欧几里得的《几何原本》，读了J.开普勒的《光学》、笛卡儿的《几何学》和《哲学原理》、伽利略的《两大世界体系对话》、R.胡克的《显微图集》及早期的《哲学学报》等.1665年伦敦大疫，学校停课，牛顿返回故乡．在家乡居住的两年中，牛顿创立了级数近似法以及一般的二项式展开定理，创立了微分(正流数)法，研究了颜色理论和积分(反流数)法，因此他成为微积分发明人之一．牛顿还开始研究重力问题，并把重力理论推广到月球的运行轨道上去．这两年是牛顿一生的重大科学思想孕育、萌发和形成的时期.1667年，牛顿重返剑桥上学.1668年3月1日选为三一学院的正院侣.1669年3月16日接替巴罗教授，任卢卡斯讲座教授．写下了光学讲稿、算术和代数讲稿、《自然哲学的数学原理》(简称《原理》)的一部分及《宇宙体系》等手稿.1672年选为皇家学会会员，1703年为该学会主席.1699年任造币厂厂长，对英国造币及改革币制有功.1705年封为爵士.1715年，牛顿已经73岁的高龄，在和莱布尼茨为微积分发明权争论的时候，他接受对方解一道数学难题的挑战．经过造币厂工作一天的劳累，牛顿在睡觉以前解出了这道难题，找到了寻求与已知曲线族正交的曲线族的一般方法．晚年研究宗教．牛顿逝世后，以国葬礼葬于伦敦威斯敏斯特教堂．1．微积分学是微分学和积分学的总称．它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分．十七世纪后半叶，在许多数学家工作的基础上，________和________分别独立地创立了微积分学．2．从牛顿的读书笔记可以看出，就数学思想的形成而言，笛卡儿的________和沃利斯的________对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上创立微积分的道路．3．1664年秋，牛顿开始研究微积分.1665年11月发明________(微分法)，次年5月又建立了________(积分法).1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，现在称为________．这是历史上第一篇系统的微积分文献．4．牛顿在他的微积分文献《流数简论》中以速度形式引进了________(微商)的概念，提出了微积分的基本问题，建立了“微积分基本定理”．微积分基本定理揭示了“________和________之间的内在联系”．5．1687年，牛顿出版了他的力学名著________，在这本书中最早表述了牛顿创立的微积分学，使得该书成为数学史上的划时代著作．答案：1．牛顿莱布尼茨 2.《几何学》《无穷算数》3．正流数术反流数术《流数简论》4．“流数”导数积分5．《自然哲学的数学原理》一、微积分创立的历史背景【例1】结合史料，谈谈微积分创立的时代背景和历史意义．答：微积分作为变量数学的开端，诞生于17世纪下半叶，绝不是偶然的，确有其历史的必然性．经历了文艺复兴运动的欧洲，社会生产力得到空前的解放和提高．大量的实际问题推动着力学、天文学的发展．例如，航海事业需要确定船只在大海中的位置，就要求精确地测定地球的经纬度和制造准确的时钟，于是促进了对天体运动的深入研究；船舶的改进，必须探讨流体以及物体在流体中的运动规律；而在战争中，要求炮弹打得准确，则导致弹道学或抛物体运动的研究．人们从大量这类课题的研究中，总结出力学的一些基本规律，诸如：开普勒关于行星运动的定律；伽利略提出落体定律和惯性定律；牛顿总结出力学运动三大定律等．在各种各样力学运动的研究中，最基本的核心问题有两个：一是已知路程求速度；一是已知速度求路程．在等速运动的情况下，只用初等数学就可以解决这两个问题：速度＝路程÷时间；路程＝速度×时间．但是，十七世纪人们面对着种种变速运动，初等数学就无能为力了．速度成为变量，初等数学或常量数学无法描述变速运动中时间、位置和速度之间的复杂关系，这一矛盾要求数学研究突破常量的传统范围，寻求能够描述和研究变速运动的新工具——变量数学．微积分就是变量数学的基础内容．微积分创立的历史意义：①提供了定量处理与运动、变化等有关的多种现实问题的强有力方法；②解析几何与微积分的建立，标志着数学由初等数学(常量数学)时期向变量数学时期的重要转变；③以极限方法为主要特征的微积分方法蕴涵着基本却又十分重要的数学思想；④微积分的建立，开辟了全新的、广阔的数学领域，其后数学分析大厦逐步建立；⑤微积分的建立，使得数学的基本格局发生了变化，在这之前，数学主要有代数(包括算术)与几何两大领域，而微积分的建立，形成了代数、几何与分析三足鼎立的局面．牛顿与莱布尼茨是怎样发明微积分的，是灵感在一夜之间的闪现还是前人长期努力的结晶？结合史料加以说明．二、微积分基本定理及其应用【例2】牛顿在《流数简论》中提出了微积分的基本问题，并在此基础上建立了微积分基本定理．几乎与此同时，德国数学家莱布尼茨在其《数学笔记》中，创立了积分符号∫和微分符号d y，d x，并明确指出了积分和微分是互逆过程．因而，后人把微积分基本定理也称作“牛顿—莱布尼茨定理”．微积分基本定理揭示了导数和积分之间的内在联系，同时它也提供了计算积分的一种有效方法．根据你对微积分理论的理解，解决下面的问题：一物体做变速直线运动，其速度函数图像如图所示，求该物体在～6 s间的运动路程．解：根据定积分的意义可知，若已知做变速直线运动物体的v t函数，则物体在时间区间[t1，t2]内的路程s＝t2v(t)d t，其中v(t)≥0.⎠⎛t1由题图可知v (t )＝2,[0,1],2,[1,3],11,[3,6].3t t t t t ⎧⎪∈⎪∈⎨⎪⎪+∈⎩由变速直线运动的路程公式，可得s ＝612⎰v (t )d t ＝112⎰2t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝ ⎛⎭⎪⎫13t ＋1d t ＝1212t ＋2t 31＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16t 2＋t |63＝12.25(m)， 即物体在12～6 s 间的运动路程为12.25 m.自地面垂直向上发射火箭，已知火箭的质量为m.求：(1)当火箭距离地面的高度为h 时，火箭克服重力所做的功；(2)当火箭距离地面的高度h→＋∞时，求火箭克服重力做功的极限．要做到这点，火箭的初速度应为多少？三、微积分在实际问题中的应用微积分的发展与应用几乎影响了现代生活的所有领域．它与大部分科学分支，特别是物理学，关系密切，而经济学亦经常会用到微积分．几乎所有现代技术，如建筑、航空等都以微积分作为基本数学工具．下面就举例说明微积分在实际问题中的应用．【例3】 (1)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为：y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0＜x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，①当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？②当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：①当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5小时， 要耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(升)， 即当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．②当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h(x )升， 依题意得h(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x ＝11 280x 2＋800x －154(0＜x ≤120)． h ′(x )＝x640－800x 2＝x 3－803640x2(0＜x ≤120)． 令h ′(x )＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，h′(x )＜0，h(x )是减函数；当x ∈(80,120)时，h′(x )＞0，h(x )是增函数．所以当x ＝80时，h(x )取到极小值h(80)＝11.25.因为h(x )在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值，即当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．(2)如图，一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数h ，宽为常数b .求证：抛物线拱的面积S ＝23b h. 证明：如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方程为y ＝－ax 2(a ＞0)，将抛物线上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，－h 代入方程，则有－h ＝－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得a ＝4h b 2， 所以抛物线方程为y ＝－4h b2x 2.设抛物线拱一半的面积为s ，则有2220422d 2b b h S s h x x b ⎡⎤⎛⎫==+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰ 3220422.233b b h h x bh b ⎡⎤⎛⎫=+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x (元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)微积分是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用．微积分是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分．十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过的准备工作，分别独立地建立了微积分学．微分学主要研究的是在函数自变量变化时如何确定函数值的瞬时变化率(或微分)．换言之，计算导数的方法就叫微分学．微分学的另一个计算方法是牛顿法，该算法又叫应用几何法，主要通过函数曲线的切线来寻找点斜率．积分学是微分学的逆运算，即从导数推算出原函数，它为定义和计算面积、体积等提供了一套通用的方法．答案：1．答：从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪．但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了．公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想．作为微分学基础的极限理论来说，早在古代已有比较清楚的论述．比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．刘徽在他的“割圆术”中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”这些都是朴素的、也是很典型的极限的思想．到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的要素．归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题．第二类问题是求曲线切线的问题．第三类问题是求函数的最大值和最小值问题．第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力等求积问题．十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题做了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡儿、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论．为微积分的创立作出了贡献．十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作．他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题(微分学的中心问题)，一个是求积问题(积分学的中心问题)．牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源．牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的．牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合．他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数．牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度(微分法)；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)．1684年，莱布尼茨发表了世界上最早公开发表微积分的文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字——《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》．就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义，它已含有现代的微分符号和基本微分法则.1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献．莱布尼茨是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响．现在我们使用的微积分通用符号就是莱布尼茨当时精心选用的．微积分的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分往往迎刃而解，显示出微积分的非凡威力．由此可见，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的，微积分也是这样．2．解：(1)根据万有引力定律，当火箭距离地面的高度为x 时，引力f (x )＝G ·Mm(R ＋x )2，其中M ，R 分别为地球的质量和半径，G 为万有引力常数．于是火箭所做的功为 W ＝⎠⎛0h f (x )d x ＝⎠⎛0h G ·Mm (R ＋x )2d x ＝GMm ⎠⎛0h (R ＋x )－2d x ＝－GMm (R ＋x )－1|h 0＝GMm ⎝ ⎛⎭⎪⎫1R －1R ＋h ， 当x ＝0时，f (x )＝mg ，∴G ·Mm R 2＝mg ，即GM ＝R 2g .故W ＝mgR 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1R －1R ＋h . (2)lim h →∞W ＝lim h →∞mgR 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1R －1R ＋h ＝mgR . 由于所做的功是由最初火箭的动能转化而来，故mgR ＝12mv 20，从而有v 0＝2Rg . 将g ＝9.8(m/s 2)，R ＝6.37×106(m)代入，得v 0＝1.12×104(m/s)，这就是第二宇宙速度．3．解：每月生产x 吨时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x ) ＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)， 由f ′(x )＝－35x 2＋24 000＝0， 解得x ＝200或x ＝－200(舍去)．因f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，故它就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)， 即每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．。
高中数学教案：高等数学中的微分和积分应用
高中数学教案：高等数学中的微分和积分应用一、引言高等数学中的微分和积分是数学中非常重要的概念和工具，广泛应用于物理、工程、经济和其他学科中。
微分和积分的应用可以帮助我们理解和解决各种实际问题，从而提高我们的数学能力和问题解决能力。
本文将介绍高等数学中微分和积分的应用，并提供相关教案。
二、微分的应用1. 极值问题极值问题是微分的一个重要应用领域。
以函数的最大值和最小值为例，我们可以使用微分找到函数的驻点（即导数为零的点）并通过二阶导数判断这些点是否是极值点：若二阶导数为正，则是极小值点；若二阶导数为负，则是极大值点。
以一道典型的极值问题为例：某物体自由落体运动的位移函数为s(t)=-4.9t^2+25t，在0≤t≤5的时间范围内，求物体的最大高度。
解答过程如下：首先，我们求位移函数的导数s'(t)=-9.8t+25，然后令其等于零，得到t=2.56。
接着，我们求二阶导数s''(t)=-9.8，确认t=2.56是一个极大值点。
最后，代入t=2.56，求得物体的最大高度s(2.56)=26.24米。
2. 曲线的切线和法线微分还可以用来求解曲线的切线和法线。
切线是曲线上某一点处的斜率，而斜率可以通过求导得到。
法线则是垂直于切线的直线，其斜率为切线的负倒数。
以求曲线y=x^2上点(2,4)处的切线和法线为例，解答过程如下：首先，我们求曲线方程的导数y'=2x，然后将x=2代入，得到切线的斜率为4。
接着，我们求切线的方程为y-4=4(x-2)，化简后得到切线方程y=4x-4。
最后，我们求切线的垂直斜率，即法线的斜率为-1/4。
故法线的方程为y-4=(-1/4)(x-2)，化简后得到法线方程y=-x/4+5/2。
三、积分的应用1. 定积分求曲线下的面积定积分是积分的一种应用，可以用来求解曲线与x轴之间的面积。
以求曲线y=x^2在[-1,1]区间上的面积为例，解答过程如下：首先，我们可以将曲线方程图像化，发现该曲线关于x轴对称，且曲线下的面积与曲线上的面积相等。
高中数学教案导数与微积分的引入
高中数学教案导数与微积分的引入一、教学目标：1.理解导数在数学中的作用和意义；2.掌握导数的定义和基本性质；3.掌握用极限的方法计算导数的基本方法；4.能够应用导数解决实际问题。
二、教学内容：1.导数的引入：微积分的产生背景和意义；2.导数的定义：函数在其中一点处的变化率；3.导数的几何意义：切线斜率；4.导数的基本性质：和法则、差法则、积法则、商法则；5.导数的计算方法：用极限的定义计算导数；6.实际问题的导数应用。
三、教学过程：1.导入（5分钟）：通过提问引出微积分的背景和应用，让学生了解微积分在现代科学和工程中的作用。
2.探究（20分钟）：让学生通过思考，观察函数的图象和直观感受，引出导数的定义和几何意义，并分析导数与函数增减性的关系。
3.归纳（10分钟）：梳理探究过程中的学习结果，引导学生总结导数的定义和基本性质，以及计算导数的方法。
4.练习（15分钟）：通过举例让学生进行计算导数的练习，巩固基本的计算技巧。
5.拓展（15分钟）：通过应用题，让学生将导数应用到实际问题中，提高他们的应用能力。
6.作业布置（5分钟）：布置相关练习题，鼓励学生在课外进行巩固练习。
四、教学手段：1.演示法：通过展示函数的图象，引导学生理解导数的几何意义。
2.对话交流法：通过提问、讨论和学生的互动，激发学生的思考和能动性。
3.练习演示法：通过例题和练习题的演示，指导学生如何计算导数。
4.归纳整理法：帮助学生总结导数的定义和基本性质。
五、教学评价：1.课堂表现评价：观察学生的积极参与度、提问和回答问题的能力。
2.学习成果评价：通过课堂练习和作业，检验学生对导数的理解和应用能力。
六、教学反思：。
数学微积分公开课教案高中
数学微积分公开课教案高中【教学目标】1. 了解微积分的基本概念和发展历程；2. 掌握微积分的基本运算法则；3. 理解微积分在实际问题中的应用。
【教学内容】一、微积分的基本概念1. 了解微积分的定义和作用；2. 掌握导数的定义和基本性质；3. 理解函数的极限和连续性。
二、微积分的基本运算法则1. 学习使用导数计算函数的变化率；2. 掌握函数求导的基本法则；3. 熟悉常见函数的导数计算方法。
三、微积分在实际问题中的应用1. 学习如何利用微积分解决实际问题；2. 掌握求函数极值的方法；3. 理解定积分的概念和意义。
【教学过程】一、引入1.通过举例引出微积分的作用及其在实际问题中的应用。
二、微积分的基本概念1. 介绍微积分的定义和历史背景；2. 讲解导数的定义和几何意义；3. 解释函数的极限和连续性的概念及特性。
三、微积分的基本运算法则1. 讲解导数的运算法则，包括常数法则、幂法则、和差法则等；2. 介绍常见函数的导数计算方法，如多项式函数、指数函数、对数函数等。
四、微积分在实际问题中的应用1. 通过例子引导学生理解如何应用微积分解决实际问题；2. 讲解如何求函数的极值和拐点；3. 介绍定积分的概念和计算方法，以及它在几何和物理问题中的应用。
【教学方法】本课程采用讲授和示范相结合的方式进行教学。
1. 讲授：通过讲解微积分的基本概念和运算法则，帮助学生理解微积分的原理和应用；2. 示例：通过实际问题的演示和解答，帮助学生掌握微积分在实际问题中的应用方法。
【课堂互动】1. 提问环节：老师可以针对学生的理解程度进行提问，并鼓励学生积极参与；2. 小组讨论：鼓励学生分小组自主解答问题和讨论，提高学生的思维能力和合作能力。
【教学辅助】1. 教材：使用高中数学微积分课本进行教学；2. 多媒体设备：使用投影仪、电脑等设备进行图像和视频的展示；3. 教具：准备白板、彩色笔、尺子等教学辅助工具。
【课堂作业】1. 完成课堂练习题，巩固所学知识；2. 提供一道实际问题，要求学生应用微积分进行求解。
高中数学教案：导数与微积分的引入
高中数学教案：导数与微积分的引入导数与微积分的引入一、引言在高中数学课程中，导数与微积分是重要的内容之一。
它们不仅是进一步学习数学的基础，更是应用领域中解决问题的关键。
本教案旨在通过引入导数与微积分的概念和运算方法，帮助学生理解其背后的原理和意义。
二、导数的引入1. 导数的定义为了引入导数的概念，我们可以从平均速度和瞬时速度开始讲解。
考虑一个物体在某段时间内移动了若干距离，我们可以计算出平均速度。
然而，在特定时刻物体移动的速度可能会有所变化，这就需要引入瞬时速度的概念。
进一步地，如果我们将时间间隔缩小到无穷小，那么就得到了物体在某一时刻瞬时速度的定义。
这个过程可以表示为：\[v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}\]其中，\(v\)代表瞬时速度，\(\Delta s\)代表位移变化量，\(\Delta t\)代表时间变化量。
2. 导函数接下来我们介绍导函数（或称斜率函数）的概念。
考虑一个函数\(y=f(x)\)，其中\(x\)是自变量，\(y\)是因变量。
在这个函数上取两点\((x_1, f(x_1))\)和\((x_2,f(x_2))\)，可以计算出直线的斜率：\[k=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\]当我们将这两点逐渐靠近时，可以发现斜率会越来越接近某个固定的值，这个值就是函数在该处的导数。
换句话说，导函数是函数曲线上每一点处切线的斜率。
三、微积分的引入1. 积分的定义积分的引入可以从面积问题开始。
考虑一个曲线下方与\(x\)轴之间形成的面积，我们想要求解这个面积。
为了实现目标，我们将整个区域分割成无限多个狭窄的矩形条，并计算每条矩形条代表的面积之和。
当矩形条宽度无限接近于零时（即微小），得到了曲线下方区域的精确面积。
2. 定积分与不定积分通过对面积问题的类似思路，我们可以定义定积分和不定积分。
- 定积分：给定一个函数\(y=f(x)\)，我们可以求解从\(a\)到\(b\)的定积分，表示为：\[\int_{a}^{b} f(x)dx\]它代表了函数曲线与\(x\)轴之间从\(a\)到\(b\)区域的面积。
高中数学微积分性质教案
高中数学微积分性质教案
教学目标：
1. 掌握微积分中常见函数的性质；
2. 理解微积分中函数与导数的关系；
3. 能够运用微积分性质解决实际问题。
教学内容：
1. 常见函数的导数性质；
2. 函数的导数与函数的关系；
3. 微分与微积分的关系。
教学重点：
1. 掌握函数的导数性质；
2. 熟练运用微积分性质解决实际问题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师通过简单的例子引入微积分性质的概念，让学生了解微积分在解决实际问题中的重要性。
二、讲解（15分钟）
1. 解释常见函数的导数性质，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等；
2. 讲解函数的导数与函数的关系，引导学生理解导数在函数图像上的意义；
3. 探讨微分与微积分的关系，让学生了解微分与微积分之间的联系和区别。
三、练习（20分钟）
教师布置相关练习题，让学生独立完成，并讲解部分解题思路。
学生在这个环节可以加强对微积分性质的理解和应用能力。
四、总结（5分钟）
教师对本节课的内容进行总结，并强调微积分在解决实际问题中的重要性和应用价值。
五、作业布置（5分钟）
教师布置相关作业题，要求学生巩固课堂所学知识，并提醒学生及时复习。
教学反思：
通过这堂课的教学，学生对微积分中的性质和应用有了更深入的理解，能够更灵活地应用微积分解决实际问题。
同时，本课也帮助学生提高了自学和解决问题的能力。
高中数学教案：高等数学中的微分和积分应用
高中数学教案：高等数学中的微分和积分应用一、引言微分和积分是高等数学中非常重要的概念与工具，在实际应用中具有广泛的意义和价值。
本文将围绕高中数学教案的核心内容，从微分和积分在几何、物理以及经济学中的应用角度出发，探讨这两个概念在实际问题求解过程中的具体运用。
二、微分与几何1.曲线斜率的求解微分能够描述函数在某一点处瞬时变化率，而斜率则是几何上对应曲线在某一点处切线的倾斜程度。
通过微分求解可以得到曲线通过一个点的切线直接形式方程，并进而计算该切线在任意一点处的斜率。
举例来说，当我们研究抛物线y=x²时，可以使用微分方法求得该函数在任意点x=a处的切线方程为y=2ax-a²。
这样，我们可以直接根据a值计算出该切线在不同点处的斜率，并进而描绘出整个抛物线的切线走向。
2.极小极大值问题的解决微分还能帮助我们求解函数存在最大值或最小值问题。
对于一个连续可导函数f(x)，其在闭区间[a,b]上的最大极值或最小极值点，必须位于开区间(a,b)内。
通过求解f'(x)=0的根或端点处的函数值，我们可以得到潜在的极大或极小值点。
接着，通过第一二阶导数的符号变化来判断这些驻点是局部最大还是最小，并进一步推断出函数在整个区间[a,b]上是否存在全局最大或最小。
三、积分与物理1.速度、位移和加速度之间的关系微分和积分密切相关，并经常作为一个整体运用于物理学中。
例如，在描述质点运动过程时，我们通常关注自变量t（时间）与因变量x（位移）之间的关系。
为了获得质点位置随时间的变化趋势，我们需要对速度进行积分。
具体而言，给定质点速度v(t)，我们可以通过对其进行积分得到该质点在任意时刻t下的位移函数x(t)。
反过来，如果我们已知质点位移函数x(t)，则可以通过对其进行微分获得该时刻质点的瞬时速度v(t)。
2.力学问题中的面积与体积求解积分在力学问题中也有广泛应用。
例如，在计算物体质量分布的体积、密度或质心位置时，我们可以通过柱坐标、球坐标等特定几何形式进行导出并使用积分来求解。
微分与导数的应用高中四年级数学教案
微分与导数的应用高中四年级数学教案教案目标：1. 理解微分与导数的概念及其应用；2. 掌握微分与导数的计算方法；3. 能够应用微分与导数解决实际问题。
教案内容：一、导入（5分钟）1. 引入微分与导数的概念：微分与导数是数学中重要的概念，它们可以帮助我们研究函数的变化规律，并应用于实际问题的解决。
2. 提问激发学生思考：你们还记得微分与导数的定义是什么吗？二、微分与导数的定义（15分钟）1. 引导学生回顾导数的定义：导数是函数在某一点上的变化率，即函数曲线在该点的切线斜率。
2. 解释微分的含义：微分是函数在某一点附近的局部线性近似。
3. 通过实例演示如何计算导数。
三、导数的计算法则（20分钟）1. 讲解导数的基本运算法则：常数导数、幂函数导数、和差函数导数、乘积函数导数、商函数导数等。
2. 给学生练习计算导数的例题，确保学生掌握导数的计算方法。
四、微分与导数的应用（30分钟）1. 引导学生理解微分的应用：微分可以用来求函数的极值、函数的单调性以及函数的近似计算等方面。
2. 给学生演示如何利用导数求函数的极值和单调性。
3. 引导学生通过实际问题，应用微分与导数解决问题。
五、综合练习（20分钟）1. 给学生分发练习题，要求学生独立完成。
2. 收集学生的答案，并进行批改讲解。
六、课堂总结（5分钟）1. 总结微分与导数的概念和应用方法。
2. 强调学生在平时学习和实际生活中要灵活应用微分与导数。
教案扩展：1. 老师可组织学生进行实际观测实验，通过数据收集和分析，引导学生应用微分与导数的概念解决实际问题。
2. 老师可引导学生自主学习更多微分与导数的应用领域，如经济学、物理学等，激发学生对数学的兴趣。
教学反思：本节课通过引导学生回顾微分与导数的定义，讲解导数的计算法则以及应用微分与导数解决实际问题，培养了学生的数学思维和问题解决能力。
建议进一步丰富教学内容，加强实践应用环节，提高学生的学习兴趣和能力。
陕西省西安市田家炳中学高二数学 3.2.2最大值、最小值问题导学案
陕西省西安市田家炳中学高二数学 3.2.2最大值、最小值问题导学案【学习目标】1. 借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念.2. 弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件.3.掌握求在闭区间],[b a 上的连续函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤.【学习重点】正确理解函数的极值与最值概念，弄清它们的区别与联系.【学习难点】求函数的最值.【使用说明与学法指导】1.通过阅读教材，自主学习，思考，交流，讨论和概括，完成本节课的学习目标。
2.用红笔勾勒出疑点，合作学习后寻求解决方案。
3.带*号的为选做题。
【自主探究】1.如果函数)(x f 在给定区间上是一条连续不断的曲线，就称函数)(x f 在这个区间上是_____________.2.如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上是连续函数，那么函数)(x f 在],[b a 上必有_____________和_____________，但在开区间),(b a 上的连续函数_____________有最大值和最小值.3.闭区间上连续函数的最大值对应于其图像上的_____________最小值对应于其图像上的_____________.4.闭区间上函数的最大值和最小值必是这个区间内的_____________、_____________和区间端点_____________中的一个.5.求)(x f 在],[b a 上的最大值与最小值的步骤是：（1）____________________________. （2）____________________________.【合作探究】1.下列说法正确的是 ( ))(A 函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值极小值便是最小值。
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陕西省西安市田家炳中学高二数学 4.3微积分的简单应用导学案
【学习目标】1.用定积分求平面图形的面积
2. 用定积分求旋转体的体积
【学习重点】定积分应用
【学习难点】把实际问题抽象成定积分问题
【使用说明与学法指导】
1.通过阅读教材，自主学习，思考，交流，讨论和概括，完成本节课的学习目标。
2.用红笔勾勒出疑点，合作学习后寻求解决方案。
【自主探究】
（1）用定积分求平面图形的面积的方法和步骤: （2）用定积分求旋转体的体积的方法和步骤:
【合作探究】
1. 由曲线x x x x
y 以及直线直线321===轴所围成的平面图形面积表达式为（ ） A. ⎰3
2xdx B. dx x y ⎰=32)1( C. dx x ⎰321 D. x
1 2.由2x y =与x y 2=所围成的平面图形面积表达式为（ ）
A. dx x x ⎰-1
02)2( B. dx x x ⎰-202)2( C. dx x x )2(202-⎰ D. ⎰+10
2)2(dx x x 3.将由曲线x x y 与22-=轴围成的区域绕x 轴旋转一周得到一个球体，则其体积为（ ）
A. π38
B. π316
C. π3
32 D. π3 【巩固提高】
1. 求下列曲线所围成的图形的面积：
（1）2
e y = , e x =, 0=x ;
(2) x y cos =, 2π=x , π23=x , 0=y ;
2.计算x y =2，2x y = 所围成的图形的面积
3.求由曲线x y 2=
，直线1=x 和2=x 以及x 轴所围成的区域，绕x 轴旋转一周而形成的几何体的体积？。