第四章 动量
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第4章 动量和角动量
τ
0
N
f
Mg
u
θ mg y x
∫ (Mg + mg + N + f )dt = Mv + m(v +u) −0 τ (1) x方向： ∫ fdt = −Mv + m(−v + u cosθ )— 方向： 方向 τ y方向： 方向： 方向 ∫ (N − Mg − mg)dt = musinθ —(2)
mv = ( M + m)u
m
m M
细绳张力始终垂直于其位移方向，不作功； 细绳张力始终垂直于其位移方向，不作功； 只有重力作功 机械能守恒！ 机械能守恒！ 1 ( m + M ) u 2 = ( m + M ) g l (1 − c o s α ) 2 入射物体的速度： 入射物体的速度：
N
dP F= dt
∑ F + ∑∑
i =1 i i =1 j ≠ i
N
N
dpi d N f ij = ∑ = ∑ pi dt i =1 iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=1 dt
N
质点系的动量定理： 质点系的动量定理：
∫ (∑ F )dt = ∑ p − ∑ p
tf ti i f i i i
i
或： I = ∑ I i = P f − P i
P = ∑ pi = 常矢量
i= i =1
N
注意
——质点系动量守恒定律 质点系动量守恒定律
1. 合外力沿某一方向为零；可得到该方向上的动量守恒。 合外力沿某一方向为零；可得到该方向上的动量守恒。 尽管总动量不守恒） （尽管总动量不守恒）
∑ p α = const.
i i
2. 在某些情况下，如碰撞、打击、爆炸等过程，外力 在某些情况下，如碰撞、打击、爆炸等过程， 与内力相比小很多。 与内力相比小很多。 在极短的时间内，外力的时间积累（冲量） 在极短的时间内，外力的时间积累（冲量）相比之 下可以忽略不计。 下可以忽略不计。 我们可以有近似的动量守恒。 我们可以有近似的动量守恒。 3. 动量定理只适用于惯性系 4. 在牛顿力学的理论体系中，动量守恒定律是牛顿定 在牛顿力学的理论体系中， 律的推论。 律的推论。 但动量守恒定律是更普遍、更基本的定律， 但动量守恒定律是更普遍、更基本的定律，它在宏观 和微观领域、低速和高速范围均适用。 和微观领域、低速和高速范围均适用。
0
N
f
Mg
u
θ mg y x
∫ (Mg + mg + N + f )dt = Mv + m(v +u) −0 τ (1) x方向： ∫ fdt = −Mv + m(−v + u cosθ )— 方向： 方向 τ y方向： 方向： 方向 ∫ (N − Mg − mg)dt = musinθ —(2)
mv = ( M + m)u
m
m M
细绳张力始终垂直于其位移方向，不作功； 细绳张力始终垂直于其位移方向，不作功； 只有重力作功 机械能守恒！ 机械能守恒！ 1 ( m + M ) u 2 = ( m + M ) g l (1 − c o s α ) 2 入射物体的速度： 入射物体的速度：
N
dP F= dt
∑ F + ∑∑
i =1 i i =1 j ≠ i
N
N
dpi d N f ij = ∑ = ∑ pi dt i =1 iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=1 dt
N
质点系的动量定理： 质点系的动量定理：
∫ (∑ F )dt = ∑ p − ∑ p
tf ti i f i i i
i
或： I = ∑ I i = P f − P i
P = ∑ pi = 常矢量
i= i =1
N
注意
——质点系动量守恒定律 质点系动量守恒定律
1. 合外力沿某一方向为零；可得到该方向上的动量守恒。 合外力沿某一方向为零；可得到该方向上的动量守恒。 尽管总动量不守恒） （尽管总动量不守恒）
∑ p α = const.
i i
2. 在某些情况下，如碰撞、打击、爆炸等过程，外力 在某些情况下，如碰撞、打击、爆炸等过程， 与内力相比小很多。 与内力相比小很多。 在极短的时间内，外力的时间积累（冲量） 在极短的时间内，外力的时间积累（冲量）相比之 下可以忽略不计。 下可以忽略不计。 我们可以有近似的动量守恒。 我们可以有近似的动量守恒。 3. 动量定理只适用于惯性系 4. 在牛顿力学的理论体系中，动量守恒定律是牛顿定 在牛顿力学的理论体系中， 律的推论。 律的推论。 但动量守恒定律是更普遍、更基本的定律， 但动量守恒定律是更普遍、更基本的定律，它在宏观 和微观领域、低速和高速范围均适用。 和微观领域、低速和高速范围均适用。
第四章动量和冲量
v1
x
O
uur v2
y
建立如图的坐标轴，钢板对小球的作用力
ur r r F Fx i Fy j
v1x v cos , v1y v sin
v2x v cos , v2 y v sin
由动量定理，t 时间 Fx
Fxt mv2x mv1x 2v cos
s l S 3m
综上所述，船相对于湖岸移动的距离为1m, 人相对于湖岸移动的距离为3m
例4（辅导册，30页，选择题4）
已知：
mB
1 2
mA
,放在光滑的水平面上，先
用外力将两木块缓慢压近，使弹簧压缩一
段距离后在撤去外力。
求：则以后两木块的运动的动能之比
mA
mB
x
解：选A、B和弹簧为系统
0
2）各物体的动量必须相对于同一惯性系。
3）碰撞过程中，可认为参与碰撞的物体 系统的总动量保持不变。
4）动量定律守恒定律是物理学最普遍、最 基本的定律之一。
5）动量定理和动量守恒定律只有在惯性系 中才成立，因此应选定一惯性系为参考系。
二、运用动量守恒定律解题 步骤：1）选取研究对象 2）分析受力 3）确定过程 4）列方程求解
Fyt mv2 y mv1y 0
ur F Fx 14.1N
和Fy 的冲量分别为 2v cos
Fx t 14.1N
Fy 0
有牛顿第三定律可知，小球队钢板的作用力
大小 F ' 14.1N
方向 与 x轴反向
二、质点系动量定理
uur
对于质点1和2， 由动量定理可得：
uur F1
F2
uur uuur
x
O
uur v2
y
建立如图的坐标轴，钢板对小球的作用力
ur r r F Fx i Fy j
v1x v cos , v1y v sin
v2x v cos , v2 y v sin
由动量定理，t 时间 Fx
Fxt mv2x mv1x 2v cos
s l S 3m
综上所述，船相对于湖岸移动的距离为1m, 人相对于湖岸移动的距离为3m
例4（辅导册，30页，选择题4）
已知：
mB
1 2
mA
,放在光滑的水平面上，先
用外力将两木块缓慢压近，使弹簧压缩一
段距离后在撤去外力。
求：则以后两木块的运动的动能之比
mA
mB
x
解：选A、B和弹簧为系统
0
2）各物体的动量必须相对于同一惯性系。
3）碰撞过程中，可认为参与碰撞的物体 系统的总动量保持不变。
4）动量定律守恒定律是物理学最普遍、最 基本的定律之一。
5）动量定理和动量守恒定律只有在惯性系 中才成立，因此应选定一惯性系为参考系。
二、运用动量守恒定律解题 步骤：1）选取研究对象 2）分析受力 3）确定过程 4）列方程求解
Fyt mv2 y mv1y 0
ur F Fx 14.1N
和Fy 的冲量分别为 2v cos
Fx t 14.1N
Fy 0
有牛顿第三定律可知，小球队钢板的作用力
大小 F ' 14.1N
方向 与 x轴反向
二、质点系动量定理
uur
对于质点1和2， 由动量定理可得：
uur F1
F2
uur uuur
第四章动量和角动量
第四章 动量和角动量３２ 第四章 动量和角动量§4.1 动量守恒定律一、冲量和动量1.冲量定义：力的时间积累。
dt F I d =或⎰=21t t dt F I2.动量定义：vm P = 单位：kg.m/s 千克.米/秒二、动量定律1.质点动量定理内容：质点所受的合外力的冲量等于质点动量的改变量。
1212v m v m P P I -=-= 冲量的方向与动量改变量的方向相同。
在直角坐标系下的表示zz t t z z yy t t y y xx t t x x P P dt F I P P dt F I P P dt F I 121212212121-==-==-==⎰⎰⎰平均冲力：1221t t dtF F t t -=⎰1212t t P P --= 2.质点系动量定理第四章 动量和角动量 ３３系统所受合外力的冲量等于系统总动量的改变量。
P dt F t t ∆=⎰21合三、动量守恒定律条件：若系统所受的合外力0=合F，则：结论：=∑ii i v m 恒量 四、碰撞1、恢复系数 102012v v v v e --=2、碰撞的分类完全弹性碰撞 0=e 机械能不损失 完全非弹性碰撞 1=e 机械能损失 完全弹性碰撞 10<<e 机械能损失第四章 动量和角动量３４ 煤粉与传送带A 相互作用的Δt 时间内，落至传送带A 上的煤粉质量为：t q m m ∆=∆。
设煤粉所受传送带的平均冲力为f，建立如图例3-4图解所示的坐标系，由质点系动量定理得：00mv t f mv t f y x ∆-=∆-∆=∆)(149,220N fff v q f v q f yxm y m x =+=⇒==与水平方向的夹角为04.57==xyf f arctg α【讨论】 由于煤粉连续落在传送带上，考察t ∆时间内有m ∆（视为质点）的动量改变，按动量定理可求出平均冲力。
另外，求冲力时，应忽略煤粉给传送带正压力。
第四章 动量和冲量
讨论
1. 能量守恒定律可以适用于任何变化过程
2. 功是能量交换或转换的一种度量 3. 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围 内的体现
第4章 冲量和动量
4.1 质点动量定理
4.2 质点系动量定理
4.3 质点系动量守恒定律 4.4 质心 质心运动定理
空气动力学家、火箭专家钱学森
4.1 质点动量定理
dm m L dl
m
L
dl
l N
dl 在落地时的速度 v 2 g(l h)
根据动量定理
N vdm dt v m dl L dt
Ndt 0 vdm
v
2
h
l
m L
2m(l h) g L m L
dl
G
地面受力 F N '(l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m L
N′
(3l 2h) g
)g
t2 t1
动量定理的投影形式
mv 2 x mv1x mv 2 y mv1 y mv 2 z mv1z
t2 t1 t2 t1 t2 t1
Fx dt Fy dt Fz dt
冲量的任何分量等 于在它自己方向上 的动量分量的增量
在力的整个作用时间内，平均 力的冲量等于变力的冲量
求 子弹穿过后， 两木块各以多大速度运动 ？ 解 子弹穿过第一木块时，两木块速 度相同，均为v1
Ft1 m1 m2 v1 0
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
Ft2 m2v 2 m2v1
解得
v1
Ft1 m1 m2
v2
Ft1 m1 m2
第四章 动量定理与动量守恒定律
v dpi v v (e) v (i) = Fi = Fi + Fi dt
m1
v ex Fi
v in m i m2 Fi
求和, 求和 有
合外力 合内力
v v (e) v (i) dpi d v ∑ dt = dt ∑ pi = ∑Fi + ∑Fi
因为内力成对出现, 上式可写为: 因为内力成对出现 上式可写为
I x = ∫ Fxdt = mvx mvx0
t0 t
t
I y = ∫ Fydt = mvy mvy0
t0 t
I z = ∫ Fzdt = mvz mvz0
t0
May 31, 2010 Page #
ANHUI UNIVERSITY
大学物理学
第四章 第四章动量定理与动量守恒定律
(3) 在碰撞或冲击问题中 牛顿定律无法直接应用 而动 在碰撞或冲击问题中, 牛顿定律无法直接应用, 量定理的优点在于避开了细节而只讨论过程的总体效果. 量定理的优点在于避开了细节而只讨论过程的总体效果 (4) 动量定理仅适用于惯性系 且与惯性系的选择无关 动量定理仅适用于惯性系, 且与惯性系的选择无关. 如图, 锤从高度为h 例 如图 一重锤从高度为 =1.5m的地方由 的地方由 静止下落, 静止下落,锤与被加工的工件的碰撞后的 末速度为零. 若打击时间分别为10 末速度为零 若打击时间分别为 -1s, 10-2s, 10-3s, 10-4s,试计算这几种情形下平均冲力 , 与重力的比值. 与重力的比值 如图坐标系, 设重锤质量为m 解: 取如图坐标系 设重锤质量为 . 重锤初速度
10-1s 6.5 10-2s 56
Page #
由此解得
计算结果如下
t
第4章动量和角动量
用多大的牵引力拉车厢？ （摩擦忽略不计)
解 选取车厢和车厢里的煤 m 和即将 落入车厢的煤 d m 为研究的系统。取水平
v
dm
向右为正。
m
F
t 时刻系统的水平总动量：
m v dm 0mv
t + dt 时刻系统的水平总动量: m d v m (v m d m )v
dt 时间内水平总动量的增量： d p (m d m )v m v d v m
④ 动量和力是矢量，可沿坐标轴分解，当沿某坐标方向所受合 外力为零时，总动量沿该方向的分量守恒。
N
当Fx 0时，
mivix px 常量
i＝1
当Fy 0时，
N
miviy py 常 量
i＝1
当Fz 0时，
N
miviz pz 常 量
i＝1
⑤ 动量守恒定律只适用于惯性系。
例题4-3 质量为M，仰角为α的炮车发射了一枚质量为m的炮
dt
F dtdp — 动量定理的微分式
2）积分形式： 对上式积分，
t2
v Fdt
t1
pv2 pv1
dpv
即：
t2
v Fdt
pv
— 动量定理的积分式
t1
在一个过程中，质点所受合力的冲量等于质点动量的增量。
说明
1、反映了过程量与状态量的关系。 2、I 与p 同向3、。 只适用于惯性系。
从动量定理可以知道,在相等的冲量作用下,不同质量的物体, 其速度变化是不相同的,但它们的动量的变化却是一样的,所以从 过程角度来看,动量比速度能更能恰当地反映了物体的运动状态。 因此,一般描述物体作机械运动时的状态参量,用动量比用速度更 确切些。动量是描述物体机械状态的状态参量。
大学物理第四章
解：利用功能原理：
A=DE
q
kF
m
Fl0tgq
=
1 2
k (l0 setq
- l0 )2
1 2
mv2
F
m
解得：
v=
2 m
Fl0tgq
-
1 m
k (l0 setq
-
l0
)2
[例13] 作业、p-55 功和能 自-20
一质量为m的球，从质量为M的圆弧
形槽中由A位置静止滑下，设圆弧形槽的半
径为R，(如图)。所有摩擦都略，试求：
+12 MV2
l
L
解得：
vr=
2(m +M) gR M
V= m
2gR M(m +M)
(2)小球到最低点B处时，槽滑行的距离。
∵ SFx = 0 ∴ DPx = 0
mvx = MVx
Am
m vxdt = M Vxdt
R
ml=ML
MB
l+L=R
L
=
mR m+M
lL
(3)小球在最低点B处时，槽对球的作用力；
1、动量： P
P = mv 2、第二定律：
F
=
dP dt
= ma
3、冲量： I
I
=
F t 2
t1
dt
4、动量原理
I = DP
5、力矩 M M = r × F
6、动量矩 L
L = r × P = r × mv
7、角动量原理:
t 2 t1
M dt
=
ω ω
2 1
J
dω
= Jω 2
大学物理 第四章 冲量和动量
pt 2 I pt 0 I (20i 4 j 8k )N s
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【例3】一质量为m的质点作匀速圆周运动，速率为v， 求：质点走过1/4圆弧的过程中，（1）合力对质点的冲 量大小；（2）合力对质点作功。 解：（1） （ 2）
2mv
0
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先考虑守恒。 ※动量守恒（合外力0）、 ※机械能守恒（非保守力不作功） 若不满足守恒条件，可选： ※牛顿第二定律 ※动能定理 ※动量定理 动能定理不显含时间，动量定理不显含位移
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F 10ti 2(2 t )j 3t k ，质点从静止开始运动，
2
求：（1）2s内受合力的冲量；（2）2s末的动量。
解：（1） I
2 0
[10ti 2(2 t )j 3t k ]dt
2
Fdt
t1
t2
(20i 4 j 8k )N s （2） I pt 2 pt 0
t1
t2
t1 t2
t1
m (F2 f 2 )dt m2v 22 m2v21 1
t2 t1
(F1 f1 )dt m1v12 m1v11
f1
F1
f2
m
2
F2
t2
(F1 F2 )dt (f1 f 2 )dt
(m1v12 m2v 22 ) (m1v11 m1v 21 )
【例4】一力F作用在质量为3kg的质点上，使之沿x轴
运动，运动方程
x 3t 4t t ，求：0---4s内
2 3
（1）力F的冲量大小；（2）力F对质点做功。
解： v 3 8t 3t 2
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【例3】一质量为m的质点作匀速圆周运动，速率为v， 求：质点走过1/4圆弧的过程中，（1）合力对质点的冲 量大小；（2）合力对质点作功。 解：（1） （ 2）
2mv
0
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先考虑守恒。 ※动量守恒（合外力0）、 ※机械能守恒（非保守力不作功） 若不满足守恒条件，可选： ※牛顿第二定律 ※动能定理 ※动量定理 动能定理不显含时间，动量定理不显含位移
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F 10ti 2(2 t )j 3t k ，质点从静止开始运动，
2
求：（1）2s内受合力的冲量；（2）2s末的动量。
解：（1） I
2 0
[10ti 2(2 t )j 3t k ]dt
2
Fdt
t1
t2
(20i 4 j 8k )N s （2） I pt 2 pt 0
t1
t2
t1 t2
t1
m (F2 f 2 )dt m2v 22 m2v21 1
t2 t1
(F1 f1 )dt m1v12 m1v11
f1
F1
f2
m
2
F2
t2
(F1 F2 )dt (f1 f 2 )dt
(m1v12 m2v 22 ) (m1v11 m1v 21 )
【例4】一力F作用在质量为3kg的质点上，使之沿x轴
运动，运动方程
x 3t 4t t ，求：0---4s内
2 3
（1）力F的冲量大小；（2）力F对质点做功。
解： v 3 8t 3t 2
第四章动量和冲量
说明
沿某一方向 的动量守恒
(1) 动量守恒定律适用于惯性系
(2)在某些领域，牛顿定律不成立，但是动量守恒定律仍 然成立。动量守恒定律不仅适用于宏观低速的机械运动 ，也适用于微观粒子的高速运动。书P154，β衰变
注意这里的求和符号均为矢量求和。 应当注意区分动量是矢量，动能是标量；动量为零，动 能不一定为零。例如绕中心轴旋转的匀质飞轮。
§4.3 质点系动量守恒定律
动量守恒的分量表述
(∑ ) Fx = 0 ⇒ mivix = Px = 常量 (∑ ) Fy = 0 ⇒ miviy = Py = 常量 (∑ ) Fz = 0 ⇒ miviz = Pz = 常量
所受链条的作用力？
解设
ml
=
λl
=
ml L
落在地面上的长度 为l的链条质量
链条在此时的速度
v = 2g(l + h)
h
dm
根据动量定理
− fdt = 0 − (λvdt)v
对即将接触地面的长度为 vdt的质量元应用动量定理
地面受力
f = λvdtv = λv 2 = 2m(l + h)g = f '
例题：P150 例4.5 利用气体动理论分析气体压力
§4.3 质点系动量守恒定律
∑ ∑ 由质点系动量定理： d( mivi ) = Fidt Fi是外力
i
i
得到： ∑ Fi = 0
i
d (∑ mivi ) = 0 (∑ mivi ) = 常矢量
如果系统不受外力或所受合外力为零，或者在所考虑的时间内, 所受外力与系统的内力相比甚小而可忽略不计时,系统的总动量 守恒。这个结论称为质点系动量守恒定律。
由于物体所受的冲量不仅与力有关，而且还与力的作用时间 有关，所以冲量是过程量。
沿某一方向 的动量守恒
(1) 动量守恒定律适用于惯性系
(2)在某些领域，牛顿定律不成立，但是动量守恒定律仍 然成立。动量守恒定律不仅适用于宏观低速的机械运动 ，也适用于微观粒子的高速运动。书P154，β衰变
注意这里的求和符号均为矢量求和。 应当注意区分动量是矢量，动能是标量；动量为零，动 能不一定为零。例如绕中心轴旋转的匀质飞轮。
§4.3 质点系动量守恒定律
动量守恒的分量表述
(∑ ) Fx = 0 ⇒ mivix = Px = 常量 (∑ ) Fy = 0 ⇒ miviy = Py = 常量 (∑ ) Fz = 0 ⇒ miviz = Pz = 常量
所受链条的作用力？
解设
ml
=
λl
=
ml L
落在地面上的长度 为l的链条质量
链条在此时的速度
v = 2g(l + h)
h
dm
根据动量定理
− fdt = 0 − (λvdt)v
对即将接触地面的长度为 vdt的质量元应用动量定理
地面受力
f = λvdtv = λv 2 = 2m(l + h)g = f '
例题：P150 例4.5 利用气体动理论分析气体压力
§4.3 质点系动量守恒定律
∑ ∑ 由质点系动量定理： d( mivi ) = Fidt Fi是外力
i
i
得到： ∑ Fi = 0
i
d (∑ mivi ) = 0 (∑ mivi ) = 常矢量
如果系统不受外力或所受合外力为零，或者在所考虑的时间内, 所受外力与系统的内力相比甚小而可忽略不计时,系统的总动量 守恒。这个结论称为质点系动量守恒定律。
由于物体所受的冲量不仅与力有关，而且还与力的作用时间 有关，所以冲量是过程量。
第四章冲量和动量
例、质量为2.5g的乒乓球以 质量为 的乒乓球以 10 m/s 的速率飞来，被板推 的速率飞来， 挡后， 挡后，又以 20 m/s 的速率飞 出。设两速度在垂直于板面 的同一平面内， 的同一平面内，且它们与板 面法线的夹角分别为 45o 和
v1 v2 30o 45o n
：（ ） 30o，求：（1）乒乓球得到 的冲量；（ ） 的冲量；（2）若撞击时间 ；（ 为0.01s，求板施于球的平均 ， 冲力的大小和方向。 冲力的大小和方向。
r(t)
积分
v(t)
积分
a(t)
力的累积效应
F(t)对 t积累 →I , ∆p F 对 r积累 →W, ∆E
动量、冲量 、动量定理、动量守恒 动量定理、 动量、 动能、 动能、功、动能定理、机械能守恒 动能定理、
4.5
角动量 角动量守恒定律
1. 质点的角动量 质点的角
角动量（动量矩） 一、 角动量（动量矩）
O
y
v2 30o 45o x
α
n
v1
一篮球质量0.58 kg，从2.0 m高度下落 到达地面后 以同样 高度下落,到达地面后 例 一篮球质量 ， 高度下落 到达地面后,以同样 速率反弹，接触时间仅 速率反弹，接触时间仅0.019 s。 。 对地平均冲力 平均冲力? 求 对地平均冲力 解 篮球到达地面的速率 F F(max)
如图所示， 例题 如图所示，固定的光滑斜面与水平面的 夹角α 轻弹簧上端固定。 夹角α=30°,轻弹簧上端固定。今在弹簧的另一端 ° 轻弹簧上端固定 轻轻地挂上质量为M=1.0kg的木块，则木块将沿斜 的木块， 轻轻地挂上质量为 的木块 面向下滑动。当木块向下滑x=30厘米时，恰好有 面向下滑动。当木块向下滑 厘米时， 厘米时 一质量m=0.01kg的子弹，沿水平方向以速度 的子弹， 一质量 的子弹 υ=200m/s射中木块并陷在其中。设弹簧的倔强系 射中木块并陷在其中。 射中木块并陷在其中 k=25N/m。 数k=25N/m。求子弹打入木块后它们刚一起运动时 的速度。 的速度。
第四章动量
2
第四章 动 量
二、质点动量定理 r r dp 由 F = dt t2 r ∫ F ( t )d t =
t1
r r F dt = dp
动量定理 微分形式
∫
r p2 r p1
r r v d p = p 2 − p1
定义 dI=Fdt 为力的元冲量，则冲量 I 为力对时间的积分 为力的元冲量，
r I =
∫
t t0
r r r r r F dt = P − P0 = M v c − M v c 0
上述结论亦称为质心运动定理，其微分形式 上述结论亦称为质心运动定理，
.. r d r d r. r F = P = ( M rc ) = M rc dt dt
16
第四章 动 量
上式表明: 上式表明: (1)质心运动定理实际上是矢量方程， (1)质心运动定理实际上是矢量方程，可以写成三个分 质心运动定理实际上是矢量方程 量方程，运动的独立性同样成立； 量方程，运动的独立性同样成立； (2)质心运动定理表明牛顿定律具有一种独特的性质， (2)质心运动定理表明牛顿定律具有一种独特的性质，即 质心运动定理表明牛顿定律具有一种独特的性质 如果它在某一小尺度范围内是正确的， 如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内 也将是正确的； 也将是正确的； (3)不论体系如何复杂，体系质心的行为与一个质点相同。 (3)不论体系如何复杂，体系质心的行为与一个质点相同。 不论体系如何复杂 从这个意义上说， 从这个意义上说，牛顿定律所描绘的不是体系中任一质点的 运动，而是质心的运动。而质心的存在， 运动，而是质心的运动。而质心的存在，正是任意物体在一 定条件下可以看成质点的物理基础； 定条件下可以看成质点的物理基础； (4)质心运动定理和牛顿三定律的适用范围相同。 (4)质心运动定理和牛顿三定律的适用范围相同。 质心运动定理和牛顿三定律的适用范围相同
第四章 动 量
二、质点动量定理 r r dp 由 F = dt t2 r ∫ F ( t )d t =
t1
r r F dt = dp
动量定理 微分形式
∫
r p2 r p1
r r v d p = p 2 − p1
定义 dI=Fdt 为力的元冲量，则冲量 I 为力对时间的积分 为力的元冲量，
r I =
∫
t t0
r r r r r F dt = P − P0 = M v c − M v c 0
上述结论亦称为质心运动定理，其微分形式 上述结论亦称为质心运动定理，
.. r d r d r. r F = P = ( M rc ) = M rc dt dt
16
第四章 动 量
上式表明: 上式表明: (1)质心运动定理实际上是矢量方程， (1)质心运动定理实际上是矢量方程，可以写成三个分 质心运动定理实际上是矢量方程 量方程，运动的独立性同样成立； 量方程，运动的独立性同样成立； (2)质心运动定理表明牛顿定律具有一种独特的性质， (2)质心运动定理表明牛顿定律具有一种独特的性质，即 质心运动定理表明牛顿定律具有一种独特的性质 如果它在某一小尺度范围内是正确的， 如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内 也将是正确的； 也将是正确的； (3)不论体系如何复杂，体系质心的行为与一个质点相同。 (3)不论体系如何复杂，体系质心的行为与一个质点相同。 不论体系如何复杂 从这个意义上说， 从这个意义上说，牛顿定律所描绘的不是体系中任一质点的 运动，而是质心的运动。而质心的存在， 运动，而是质心的运动。而质心的存在，正是任意物体在一 定条件下可以看成质点的物理基础； 定条件下可以看成质点的物理基础； (4)质心运动定理和牛顿三定律的适用范围相同。 (4)质心运动定理和牛顿三定律的适用范围相同。 质心运动定理和牛顿三定律的适用范围相同
第四章 动量
i i
④动量守恒定律
当 F合外力 0 时, p 恒矢量
§4-3 碰撞 一.碰撞
t (S)
0.1
10
-2
10
-3
10
-4
FN mg 6.5 56 5.5 102 5.5 103 两个或几个物体相遇，在较短时间内发生 较强的相互作用，称为″碰撞″。
二.碰撞的共同规律 碰撞系统大都满足外力远小于内力，即F外 F内， 故碰撞物体组成的系统动量守恒。 三.分类 1.弹性碰撞： 机械能守恒的碰撞称为弹性碰撞，又称 完全弹性碰撞。 2.非弹性碰撞：机械能不守恒的碰撞称为非弹性碰撞。 如果两物体碰撞后合二为一，以共同的 速度运动，则称为完全非弹性碰撞。
( M m )v0 cos MV m(V 例5.一运动员质量为M，手中拿着质量为m的篮球自地面 u) V球地 V球人 V人地 以仰角 、初速度 v 斜向前跳起，跳至最高点时，以相
对于人的速率u将球水平向后抛出，问运动员向前的距离 与不抛球时相比，增加多少？ (书P106 4 - 14) 解：①系统： m+M
1 I 5 40 (10 5) 20 20 2 200(N s)
I p mv 0
v 40 m s
O
5
10
t(s)
1 WF mv 2 0 4000J 2
t2 I Fdt
t1
§4-2 dt t f12dt t ( f 21 f12 )dt 0 t f 21动量守恒定律
②条件分析：抛球前后
0
F水平 0
p水平 恒量
③状态分析： 抛球前
抛球后
v0
④动量守恒定律
当 F合外力 0 时, p 恒矢量
§4-3 碰撞 一.碰撞
t (S)
0.1
10
-2
10
-3
10
-4
FN mg 6.5 56 5.5 102 5.5 103 两个或几个物体相遇，在较短时间内发生 较强的相互作用，称为″碰撞″。
二.碰撞的共同规律 碰撞系统大都满足外力远小于内力，即F外 F内， 故碰撞物体组成的系统动量守恒。 三.分类 1.弹性碰撞： 机械能守恒的碰撞称为弹性碰撞，又称 完全弹性碰撞。 2.非弹性碰撞：机械能不守恒的碰撞称为非弹性碰撞。 如果两物体碰撞后合二为一，以共同的 速度运动，则称为完全非弹性碰撞。
( M m )v0 cos MV m(V 例5.一运动员质量为M，手中拿着质量为m的篮球自地面 u) V球地 V球人 V人地 以仰角 、初速度 v 斜向前跳起，跳至最高点时，以相
对于人的速率u将球水平向后抛出，问运动员向前的距离 与不抛球时相比，增加多少？ (书P106 4 - 14) 解：①系统： m+M
1 I 5 40 (10 5) 20 20 2 200(N s)
I p mv 0
v 40 m s
O
5
10
t(s)
1 WF mv 2 0 4000J 2
t2 I Fdt
t1
§4-2 dt t f12dt t ( f 21 f12 )dt 0 t f 21动量守恒定律
②条件分析：抛球前后
0
F水平 0
p水平 恒量
③状态分析： 抛球前
抛球后
v0
第四章 动量和角动量
p mv
从力的瞬间作用定律——牛顿第二定律出发，根据牛顿
自己提出的形式，第二定律为： d (m v ) dp F dt dt ——合外力等于质点的动量对时间的变化率。
当 v << c（真空中光速）时m 可视为常量：
当m不为常量时，牛顿第二定律应写为
注意： （1）动量是描写运动状态的量 ，是状态的单值函数。
（或内力在该方向上的分量）小得多而可忽略时，系统的
总动量（或动量在该方向的分量）仍可认为是守恒的， （4-11） 或（4-12）式仍然适用。 所以动量守恒的条件可写为 ： F外 0 或 F 外 f内 （某方向上）
对动量守恒定律应注意： （1）动量守恒定律是用于物体系的。
（2）所有的物体的速度都要对同一惯性系而言。
P
P2
2. 平均力
在物体碰撞过程中，相互作用时间很短，而相互作用
力很大，这种力称为冲力。 冲力随时间变化的关系 F ( t ) 实际上是难确定的，但 可以引入平均力来近似地描述它们：
F
1 t 2 t1
t2
F dt
F( t )
t1
F o t1 t2 t
标量式为
显然，引起相同的动量改变，相互作用时间愈短，平 均力愈大。
在运动中保持不变，内力的作用仅仅改变总动量在
各物体之间的分配。动量守恒定律是物理学中又一 条重要而又具有普遍性的定律。 动量守恒定律的分量式为： 时，有 当 当 时，有
即使系统所受合外力不为零，但如果合外力在某一方 向上的分量为零，则系统在该方向的分量也是守恒的。
注意：
有时合外力或它在某方向上的分量并不为零，但合外 力（或它在某方向上的分量）比系统内物体的相互作用力
第4章 冲量和动量
第四章 冲量和动量 9
设炮车放在光滑地面上，炮车M，炮弹m，起始时静止。 例 设炮车放在光滑地面上，炮车 ，炮弹 ，起始时静止。 v 相对于炮车射出，求炮车在x方向的反冲速度 方向的反冲速度u 当炮弹以 v' 相对于炮车射出，求炮车在 方向的反冲速度 研究对象：炮车＋ 解 研究对象：炮车＋炮弹 系统仅在x方向上满足动量守恒 系统仅在 方向上满足动量守恒 设炮弹对地速度
υ
ω
an = υ
圆周运动： 圆周运动： θ
aτ
2
F τ
ρ
Fn
aτ = rβ
v v v F = F + Fn τ
F τ
β
an = rω2
根据已知条件选取积分变量， 根据已知条件选取积分变量，确定上下限
第四章 冲量和动量
Fn
18
2、求力的瞬时作用规律 、 求力的持续作用规律
b
v v F = ma
v v 1 2 1 2 ∫a F dr = 2 mυ2 2 mυ1 = Ek
说明 1） ）
v rc与坐标选取有关，但对物体系的相对位置不变 与坐标选取有关，
2）质量均匀分布的物体，质心在几何中心 ）质量均匀分布的物体， 均匀分布的物体 质量中心不一定有质量 中心不一定有质量） （质量中心不一定有质量） 3）质心与重心不是同一概念 ） 重心——地球对物体系各部分引力的合力的作用点 重心 地球对物体系各部分引力的合力的作用点 质心——由质量分布确定的一个点，与作用在物 由质量分布确定的一个点， 质心 由质量分布确定的一个点 体上的外力无关 通常情况下 质心与重心重合
m 1
r v1
r v2
m2
mv1 mv2 = 0
1 1 mm 2 2 mv1 + m2v2 G 1 2 = 0 1 2 2 r
设炮车放在光滑地面上，炮车M，炮弹m，起始时静止。 例 设炮车放在光滑地面上，炮车 ，炮弹 ，起始时静止。 v 相对于炮车射出，求炮车在x方向的反冲速度 方向的反冲速度u 当炮弹以 v' 相对于炮车射出，求炮车在 方向的反冲速度 研究对象：炮车＋ 解 研究对象：炮车＋炮弹 系统仅在x方向上满足动量守恒 系统仅在 方向上满足动量守恒 设炮弹对地速度
υ
ω
an = υ
圆周运动： 圆周运动： θ
aτ
2
F τ
ρ
Fn
aτ = rβ
v v v F = F + Fn τ
F τ
β
an = rω2
根据已知条件选取积分变量， 根据已知条件选取积分变量，确定上下限
第四章 冲量和动量
Fn
18
2、求力的瞬时作用规律 、 求力的持续作用规律
b
v v F = ma
v v 1 2 1 2 ∫a F dr = 2 mυ2 2 mυ1 = Ek
说明 1） ）
v rc与坐标选取有关，但对物体系的相对位置不变 与坐标选取有关，
2）质量均匀分布的物体，质心在几何中心 ）质量均匀分布的物体， 均匀分布的物体 质量中心不一定有质量 中心不一定有质量） （质量中心不一定有质量） 3）质心与重心不是同一概念 ） 重心——地球对物体系各部分引力的合力的作用点 重心 地球对物体系各部分引力的合力的作用点 质心——由质量分布确定的一个点，与作用在物 由质量分布确定的一个点， 质心 由质量分布确定的一个点 体上的外力无关 通常情况下 质心与重心重合
m 1
r v1
r v2
m2
mv1 mv2 = 0
1 1 mm 2 2 mv1 + m2v2 G 1 2 = 0 1 2 2 r
第四章 动量和角动量
2. 完全非弹性碰撞 碰撞后两球粘合在一起速度为 v 由动量守恒定律得 ( m1 m2 )v m1v10 m2v20 m1v10 m2v20 v 碰撞后速度为 m1 m2 碰撞后与碰前动能比为
1 2 ( m m ) v 2 1 2 ( m v m v ) Ek 1 10 2 20 2 2 2 1 Ek0 1 ( m m )( m v m v ) 2 2 1 2 1 10 2 20 m1v10 m 2v20 2 2 当球m2 原来静止，即 v20 0
v20
碰撞后速度 碰撞瞬间
v1
v2
m1
m2
m1 m 2
m1
m2
x
由动量守恒定律得 m1v1 m2v2 m1v10 m2v20 在 x 方向的分量式为 m1v1 m2v2 m1v10 m2v20
（ 1）
1. 完全弹性碰撞
碰撞过程中机械能守恒，动能
不变，得 1 1 1 1 2 2 2 2 m1v1 m2v2 m1v10 m2v20 （ 2） 2 2 2 2 由（1）式和（2）式解得 ( m2 m1 )v20 2m1v10 ( m1 m2 )v10 2m2v20 v2 v1 m1 m2 m1 m2
当 m1 = m2，v1 v20 ，v2 v10 两球交换速度 当m2 >> m1，且 v20 0 ，则 v1 v10 , v2 0
小质量的球接近原速率反弹，大质量球几乎不动
当m2 << m1，且 v20 0 ，则 v1 v10 , v2 2v10
F F(t) F O t1 t2 t
大学物理第四章冲量动量
dmg
在dt时间内,dm的速度减小到零。在dt时间内动量增量为： dp 0 dmv M dx 2gx
L 由动量定理 (dmg T )dt M dx 2gx
L
由于dmg远小于 T 将dmg略去不计，得
T M dx 2gx M v 2gx M 2gx
L dt
L
L
T 为T的反作用力，所以二者大小相等：
解：(1)以落在桌面上的那部分绳为对象，其长度为x
x
质量为 m M x
L
受力情况： 由平衡条件：
N
Mt xg T N 0 L
N Mt xg T (1) T为上段绳的作用力
m
m
L
T
(2)设在dt内绳下落dx。以dx为对象
mg 质量为 dm M dx
T
L
设dm接触地面时初速度为v v 2gx
当 m自由下落 h 距离，绳被
m
拉紧的瞬间，m和 M获得相同
M
h
的运动速率 v ，此后m 向下
减速运动，M 向上减速运动。
绳拉紧时冲力很大，轮轴反作用力
不能忽略 ，m M 系统动量不守恒 ，+
应分别对它们用动量定理；
N
设平均冲力大小为 F ，取向上为正
F
F+
M
Ny
Nx m
h
Mg
mg
I1 F mg t mv ( m 2gh )
地球构成系统：
只有重力作功 M
机械能守恒
+
m
h
M
H
m
h H
1. 拉紧瞬间
2.上升和下降同样的距离H
1 Mv 2 1 mv 2 mgh mg( h H ) MgH
第四章_动量_动量守恒定律
0 L 2
(
)
第三节 动量定理
例1(P85 4.7): 已知: 已知 m = 1kg v0 = 0 F = 1.12t θ = 37
µ 解：受力图和坐标系如下： 受力图和坐标系如下： Fy = N − mg + Fsin37 = 0 y N = 10 − 0 . 672 t (1) N F f = µ N = 2 − 0.1344t ( ) m f o θ x F = Fcos37− f = 1.03t − 2 ( ) x 3 mg ∫ F x d t = ∆ ( mv x ) = mv 3 (4)
3 1.94
= mv 3 ？ 对!
( m ⋅ s -1 ) ( m ⋅ s -1 )
∫
Fx dt = 0 + ∫
(1 .03t − 2 )d t = mv 3
v 3 = 0 .58 v 3 = 0 .58 i
注意: 注意: 1.通过本题体会存在变力 通过本题体会存在变力( 变化 变化) 1.通过本题体会存在变力(随t变化)作用时动量 定理的应用。 定理的应用。 2.若 在不同时间段变化规律不同 应分段积分。 在不同时间段变化规律不同， 2.若F在不同时间段变化规律不同，应分段积分。
a ′ = gsinθ
a′
x
m
mg
不对! 不对! 原因: 相对地面作非匀速运动 相对地面作非匀速运动, 原因:M相对地面作非匀速运动,因此不是惯 性系,不能在M系中用牛顿定律列方程 系中用牛顿定律列方程。 性系,不能在 系中用牛顿定律列方程。
θ
正确的解法: 地面为参考系, 的运动方程 方程： 正确的解法: 以地面为参考系, 列 M 的运动方程：
µ = 0.2 g ≈ 10 m ⋅ s-2 求: t = 3s时 v = ?
(
)
第三节 动量定理
例1(P85 4.7): 已知: 已知 m = 1kg v0 = 0 F = 1.12t θ = 37
µ 解：受力图和坐标系如下： 受力图和坐标系如下： Fy = N − mg + Fsin37 = 0 y N = 10 − 0 . 672 t (1) N F f = µ N = 2 − 0.1344t ( ) m f o θ x F = Fcos37− f = 1.03t − 2 ( ) x 3 mg ∫ F x d t = ∆ ( mv x ) = mv 3 (4)
3 1.94
= mv 3 ？ 对!
( m ⋅ s -1 ) ( m ⋅ s -1 )
∫
Fx dt = 0 + ∫
(1 .03t − 2 )d t = mv 3
v 3 = 0 .58 v 3 = 0 .58 i
注意: 注意: 1.通过本题体会存在变力 通过本题体会存在变力( 变化 变化) 1.通过本题体会存在变力(随t变化)作用时动量 定理的应用。 定理的应用。 2.若 在不同时间段变化规律不同 应分段积分。 在不同时间段变化规律不同， 2.若F在不同时间段变化规律不同，应分段积分。
a ′ = gsinθ
a′
x
m
mg
不对! 不对! 原因: 相对地面作非匀速运动 相对地面作非匀速运动, 原因:M相对地面作非匀速运动,因此不是惯 性系,不能在M系中用牛顿定律列方程 系中用牛顿定律列方程。 性系,不能在 系中用牛顿定律列方程。
θ
正确的解法: 地面为参考系, 的运动方程 方程： 正确的解法: 以地面为参考系, 列 M 的运动方程：
µ = 0.2 g ≈ 10 m ⋅ s-2 求: t = 3s时 v = ?
【大学物理】第四章 动量 动量守恒定律
15
o f
dv mg F k Av m dt v t mdv mg F k Av dt 0 0
m mg-F-k Av ln t kA mg F mg F k Av e mg F
kA t m
v
vm
t
kA t mg F m 1 e v kA
质心的运动 ~ 质点 质量 M 受力 F外
位于 rc
其运动与系统 内质点相互作 用无关
11
小结
质点
质点系
p mv dp F dt p pi Mvc dp F外 dt
i
v c F ma F外 Mac
基本方法：用质心作为物体（质点系）的代表， 描述质点系整体的平动。
f kmv
求： 轨道方程
解： 先建立 x，y 方向的运动微分方程， 受力情况如图：
y
dv x k mvx m dt k mvy mg m dv y dt
v0 f m
o
mg
17
x
dv x k mvx m dt k mvy mg m
用积分法求解
19
以地面为参考系, 列 M 的运动方程：
受力情况如图：
M
y Q
aM
x
Mg
N N
Fx N sin MaM Fy Q Mg N cos 0
(1) (2)
aM 0 , M不是惯性系。
20
以地面为参考系, 列 m 的运动方程： 由相对运动加速度关系， y
r2
rc
C
质心位矢是各质点 位矢的加权平均
o f
dv mg F k Av m dt v t mdv mg F k Av dt 0 0
m mg-F-k Av ln t kA mg F mg F k Av e mg F
kA t m
v
vm
t
kA t mg F m 1 e v kA
质心的运动 ~ 质点 质量 M 受力 F外
位于 rc
其运动与系统 内质点相互作 用无关
11
小结
质点
质点系
p mv dp F dt p pi Mvc dp F外 dt
i
v c F ma F外 Mac
基本方法：用质心作为物体（质点系）的代表， 描述质点系整体的平动。
f kmv
求： 轨道方程
解： 先建立 x，y 方向的运动微分方程， 受力情况如图：
y
dv x k mvx m dt k mvy mg m dv y dt
v0 f m
o
mg
17
x
dv x k mvx m dt k mvy mg m
用积分法求解
19
以地面为参考系, 列 M 的运动方程：
受力情况如图：
M
y Q
aM
x
Mg
N N
Fx N sin MaM Fy Q Mg N cos 0
(1) (2)
aM 0 , M不是惯性系。
20
以地面为参考系, 列 m 的运动方程： 由相对运动加速度关系， y
r2
rc
C
质心位矢是各质点 位矢的加权平均
4第四章 动量
第四章 动量一.动量和冲量1.动量按定义，物体的质量和速度的乘积叫做动量：p =mv⑴动量是描述物体运动状态的一个状态量，它与时刻相对应。
⑵动量是矢量，它的方向和速度的方向相同。
2.冲量按定义，力和力的作用时间的乘积叫做冲量：I =Ft⑴冲量是描述力的时间积累效应的物理量，是过程量，它与时间相对应。
⑵冲量是矢量，它的方向由力的方向决定（不能说和力的方向相同）。
如果力的方向在作用时间内保持不变，那么冲量的方向就和力的方向相同。
⑶高中阶段只要求会用I=Ft 计算恒力的冲量。
对于变力的冲量，高中阶段只能利用动量定理通过物体的动量变化来求。
⑷要注意的是：冲量和功不同。
恒力在一段时间内可能不作功，但一定有冲量。
例1. 质量为m 的小球由高为H 的光滑斜面顶端无初速滑到底端过程中，重力、弹力、合力的冲量各是多大？ 解：力的作用时间都是gH g H t 2sin 1sin 22αα==，力的大小依次是mg 、 mg cos α和mg sin α，所以它们的冲量依次是： gH m I gH m I gH m I N G 2,tan 2,sin 2===合αα 特别要注意，该过程中弹力虽然不做功，但对物体有冲量。
二、动量定理1.动量定理物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化。
既I =Δp⑴动量定理表明冲量是使物体动量发生变化的原因，冲量是物体动量变化的量度。
这里所说的冲量必须是物体所受的合外力的冲量（或者说是物体所受各外力冲量的矢量和）。
⑵动量定理给出了冲量（过程量）和动量变化（状态量）间的互求关系。
⑶现代物理学把力定义为物体动量的变化率：tP F ∆∆=（牛顿第二定律的动量形式）。
⑷动量定理的表达式是矢量式。
在一维的情况下，各个矢量必须以同一个规定的方向为正。
例2. 以初速度v 0平抛出一个质量为m 的物体，抛出后t 秒内物体的动量变化是多少？ 解：因为合外力就是重力，所以Δp =F t =m g t有了动量定理，不论是求合力的冲量还是求物体动量的变化，都有了两种可供选择的等价的方法。
第四章动量
第四章 大学物理辅导 动量～21～ 第四章 动量一、教材系统的安排与教学目的 1、教材系统的安排：在牛顿运动定律及功与能的基础之上，进一步讲授力对时间累积作用的规律，即讲授动量、冲量、动量定理、动量守恒定律及其应用。
2、教学目的：使学生理解冲量、动量、弹性碰撞与非弹性碰撞等概念，较牢固地掌握力对时间累积作用的规律。
二、教学要求 1、理解动量与冲量的概念。
动量是描述物体（质点）运动量大小的一个物理量，是一个矢量。
在研究碰撞和反碰撞问题时，应用动量的概念是很方便的。
冲量描述了力对时间的累积作用，它也是一个矢量，其方向为力的方向。
2、牢固的掌握质点的动量原理，并能较熟练地应用。
3、掌握研究对象（质点或质点组）动量守恒条件，能熟练地判断，并能运用动量守恒定律解决有关问题。
三、内容提要 1、冲量 定义：I F t =⋅⇒∆恒力的冲量，方向与力相同I f d t t =⋅⇒⎰0变力的冲量意义：为力的时间累积，是物体动量发生变化的原因，为过程量。
2、动量定义：P mv =⇒对质点而言，其方向与速度方向相同意义：为机械运动的一种量度，是状态量。
3、冲力：作用时间极短而数值变化又很大 4、动量原理表述：合外力的冲量等于物体动量的增量公式I f dt mv mv t =⋅=-⇒⎰00 矢量式, f ：为变力I F t mv mv =⋅==⇒∆0恒力的冲量此时，在相同时间内，变力的冲量已被恒力F 的冲量所取代，在应用时将矢量式写成直角坐标轴上的分量式：F t mv mv x x x ⋅=-∆0,F t mv mv y y y ⋅=-∆0,F F x y ,为平均冲力分量。
5、动量守恒定律公式 m v m v nC m v C i i i ni ix i i iy i n ===∑∑=∑==⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⇒⇒11112恒矢量 分量式应用条件：系统内各物体所受外力矢量和为零。
第四章 大学物理辅导 动量～22～ 即F F i i =∑0,为外力或F F ix i n iy i n==∑∑==1100,6、完全弹性碰撞性质动量守恒动能守恒：：m v m v m v m v m v m v m v m v 11022011221102220211222212121212+=++=+⎡⎣⎢⎢⎢7、牛顿第二定律的动量表达式：F dP dt d dtmv ==() 四、解题步骤 1、明确物理过程，根据问题需要和计算方便，确定研究对象（质点或系统） 2、进行受力分析； 3、描写受力作用前后的运动状态。
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v′ v′
b
B
∵
∴
∑F ∑p
水平
=0
= 恒量
FN
C M D
a
v′
V
水平
A α = 60
o ③状态分析: 取坐标ox 状态分析: (M + m1 + m2 + m3 )g 如图所示, 如图所示,设a,b,c对 , , 对 M的速率为 v′,V为M对地的速度. 对地的速度. 的速率为 对地的速度
x
m1 ′ v
B C 0, a下降 a下降前 下降前 下降1m后 , 下降 后 FN m3 M a v′ x′ O′ A α = 60
m1 m2 m3 M
v′
bm2
x V ′ = 1m v′ +V v′ cosα +V
I合外力 = p
dp 若F合外力 = ∑Fi = 0, 则 = 0 dt i
dp F= dt
∴
p为恒矢
动量守恒定律: 动量守恒定律:如果系统不受外力作用或所 受外力的矢量和为零, 受外力的矢量和为零,则其 总动量保持不变. 总动量保持不变. 问:小球作匀速率圆周运动.在运动一周过 小球作匀速率圆周运动. 程中,小球的动量守恒? 程中,小球的动量守恒?
1 I = × 5 × 40 + (10 5) × 20 2 = 200( N s )
20 O 5 10 t(s)
I = p = m v 0
v = 40 m s
1 2 ∴ W F = m v 0 = 4000J 2
§4-2 dt + ∫t f12dt = ∫t ( f21 + f12)dt = 0 ∫t f21动量守恒定律
第四章 动量和角动量
§4-1 冲量 动量 动量定理 一.冲量 冲量 1.定义 定义
I = ∫ Fdt
t1
t2
冲量是矢量,大小取决于力及其作用的时间. 2.说明 ①冲量是矢量,大小取决于力及其作用的时间. 说明 ②仅在恒力情况下, I = F ( t 2 t1 ) 仅在恒力情况下, . 二.动量 动量 1.定义 定义 2.说明 说明
∑ p xi = 恒量 ∑ p yi = 恒量
只要某一个方向上满足守恒条件, 只要某一个方向上满足守恒条件,则在该方向上 的分动量守恒,即可在该方向上应用动量守恒定律. 的分动量守恒,即可在该方向上应用动量守恒定律. ③应用动量守恒定律时,注意守恒式中各速度均应对同 应用动量守恒定律时, 一惯性系而言. 一惯性系而言.
用动量守恒定律求解问题的步骤: 用动量守恒定律求解问题的步骤: ①确定系统; 确定系统; 进行受力分析和守恒条件分析; ②进行受力分析和守恒条件分析; 选取坐标系,确定相互作用前, ③选取坐标系,确定相互作用前,后两时刻各物体 的动量; 的动量; 列方程求解(有时还要联系与系统能量相关的方程 有时还要联系与系统能量相关的方程). ④列方程求解 有时还要联系与系统能量相关的方程
2.动量守恒定律的使用说明 动量守恒定律的使用说明 动量守恒定律的使用 ①进行条件分析
∵
∑ Fi = 0
∴
∑ pi = 恒矢
②动量守恒定律的形式为一矢式,使用中应取坐标, 动量守恒定律的形式为一矢式,使用中应取坐标, 利用分量式求解. 利用分量式求解. 在平面问题中: x : 在平面问题中:
∑ Fxi = 0 y : ∑ F yi = 0
I 外 = ∑ m i vi 2 ∑ m i v i 1 (质点组 质点组) 质点组
i i
④动量守恒定律
当 F合外力 = 0 时, p = 恒矢量
的仰角发射一颗炮弹,已知炮车重5000kg , 例6.炮车以 30 的仰角发射一颗炮弹,已知炮车重 炮车以 炮弹重100kg , 炮弹对炮车的出口速度为 300m/s.⑴求炮 炮弹重 . 车的反冲速度V , 忽略炮车与缓冲垫间的摩擦.⑵设炮车 忽略炮车与缓冲垫间的摩擦. 求垫子受的平均冲力. 倒退时与垫子的相互作用时间为 2s, 求垫子受的平均冲力 ( P105 4-10) ) 系统: 解: ⑴系统:质量为 M 的炮车+质量为 m的炮弹 的炮弹 ∵ 水平方向不受外力作用 ∴ 总动量的水平分量守恒 状态分析: 状态分析: 发射炮弹前
p = mv
是矢量, 一致. ① p是矢量,方向与 v一致. 具有瞬时性与相对性. ② p具有瞬时性与相对性.
三.动量定理 动量定理 1.牛顿第二定律的动量形式 牛顿第二定律的动量形式
dv d( m v ) dp = = F = ma = m dt dt dt
2.动量定理 动量定 动量
dp F= dt
一运动员质量为M,手中拿着质量为m的篮球自地面 例5.一运动员质量为 ,手中拿着质量为 的篮球自地面 一运动员质量为 斜向前跳起,跳至最高点时, 以仰角 θ ,初速度 v0斜向前跳起,跳至最高点时,以相 对于人的速率u将球水平向后抛出,问运动员向前的距离 将球水平向后抛出, 与不抛球时相比,增加多少? 与不抛球时相比,增加多少? ( P106 4 - 14) 系统: 解:①系统: m+M ②条件分析:抛球前后 条件分析:
1 1 1
t2
t2
t2
一.质点系的动量定理 质点系的动量定理 单质点的动量定理: 单质点的动量定理: 质点系: 质点系: m1 + m2
I = p = p2 p1
m1 :
F 1
m1
t2
1
m2 F2
∫t F dt + ∫t
1
1
t2
t2
1
f 21dt = p1
f12dt = p2Fra bibliotekf12
m2 :
∫t F2dt + ∫t
I = ∫ F dt =
t1
t2
∫
t2 t1
p2 dp dt = ∫ dp = p2 p1 p1 dt
I = p = mv2 mv1
动量定理: 动量定理: 物体所受的合外力的冲量等于其动量的增量
3.说明 说明 ① I = p2 p1为矢式,使用中常伴以矢图,再用解 为矢式,使用中常伴以矢图, 析式计算. 析式计算. 的方向. ② I 的方向是 p2 p1,即 p的方向. ③平均力 F :
u
V
∑ F水平 = 0 ∴ ∑ p水平 = 恒量
③状态分析: 抛球前 状态分析: 抛球后
v0
θ
s
M+m M m
(M + m)v0 cosθ
M 人地= M V V
mV球地 = m(V-u)
④动量守恒式: ( M + m )v0 cos θ = MV + m (V u) 动量守恒式:
mu V = v0 cos θ + M +m
1
t2
t2
1
f21
t2
1
m1 + m 2 :
t2
1
∫t F dt + ∫t F2dt + ∫t
1
f 21dt + ∫ f12dt = p1 + p2 = p t
1
t2
合外力的冲量
由于 f12 = f21, 和为零
质点系的动量定理: 质点系的动量定理: 二.动量守恒定律 动量守恒定律 1.动量守恒定律 动量守恒定律
I x = p x = m v Bx m v Ax
= m v B m v A cos 45
vB
O
B
vA
A x
= 0.683kg m s
1
I y = p y = mv By mv Ay = mv A sin 45 = 0.283kg m s 1
总冲量: 总冲量: 大小 I =
2 I x + I 2 = 0.739N s y
1 2 m v 2 = mgh 2
v 2 = 2 gh
②据动量定理作矢图: 据动量定理作矢图
p2
p = I
α
③解析: 解析: 大小: I = 大小:
p1
p1 + p2
2 2
= ( m v1 )2 + ( m v2 ) 2 = 7.3N S
p2 方向: 方向: α = arctan = 34.99 p1
FN mg
56
5.5×102
5.5×103
结论: 在许多打击或碰撞问题中,只要持续时间足够短, 结论: 在许多打击或碰撞问题中,只要持续时间足够短, 略去诸如重力这类有限大小的力是合理的. 略去诸如重力这类有限大小的力是合理的.
一质点的运动轨迹如图所示. 例3.一质点的运动轨迹如图所示.已知质点的质量为 一质点的运动轨迹如图所示 已知质点的质量为20g , p 二位置处的速率为 轴成45° 在A,B二位置处的速率为 , 二位置处的速率为20m/s,v A与 x 轴成 °角, B , v pA 求质点由A点到 点这段时间内, 点到B点这段时间内 垂直于 y 轴,求质点由 点到 点这段时间内,作用在质 pB 点上外力的总冲量. 点上外力的总冲量.( P24 2) y 解:由动量定理有
v0 = 2 gh
由动量定理: 由动量定理:
FN
h
mg
t
∫0
( FN mg )dt = m v m v0= m 2 gh
′ FN
FN t mg t = m 2 gh
FN 1 = 1+ mg t
计算结果: 计算结果:
0.55 2h = 1+ t g
t(S)
0.1
6.5
10
-2
10
-3
10
-4
炮车的反冲速度大小为 5.09 m/s,方向与炮弹发射 , 的水平方向相反. 的水平方向相反. 由动量定理知, ⑵ 由动量定理知,垫子给炮车的平均冲力为