ch6点的合成运动

1）速度分析如图
vr ve v0 2 v0 o sin sin60 3
2）加速度分析如图

ae ao
a r ?
2 4 v 2 ar n vr 2 / R ( v0 )2 / R 0 3R 3
aa ae ar ae arn a r
将上式投影到法线上，得
r 2 r2 l2
ve 1 O1 A2 l 1
r 2
（
）
例： 圆盘凸轮机构。已知：OC＝e , R 3e, ＝常量，图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。 求：从动杆AB的速度。 解：动点：AB杆 上A点， 动系：偏心轮C， 静系：大地 速度分析如图。
2 2 2
方向指向圆心Ｏ点
va 2 ( R vr ) aa R R 2 v R 2 r 2 vr R ae ar 2 vr ae ar aC
2
可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不只等
于牵连加速度和相对加速度的矢量和，而是多出了一项 aC＝ 2 vr 。 aC称为科氏加速度，是由于牵连运动和相对运动相互 影响而产生的。
（平动、转动或其它运动）
aa 相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度vr 与相对加速度 ar 牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度 v e 与牵连加速度ae
绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度va 与绝对加速度
牵连点：在任意瞬时，动系上与 动点相重合的点。 注意：牵连点是动系上不动的点， 但它随动系一起运动；不同瞬时牵 连点不同。
i ', j ', k ' 为动系坐标 轴方向的单位矢量，因动 系为平动，故它们的方向 不变，是常矢量，
aa ae ar
—牵连运动为平动时点的加速度合成定理
当牵连运动为平动时，动点 的绝对加速度等于牵连加速度与 相对加速度的矢量和。
例：已知：凸轮半径 R, vo , ao 求： =60o时, 顶杆AB的加速度。 解：动点：杆上的A点， 动系：凸轮（平动） 静系：大地
[注] 要指明动点应在哪个 物体上， 但不能选在 动系上。
§6-２点的速度合成定理
速度合成定理将建立动点的绝对速度，相对速度和牵连 速度之间的关系。 当t t+△t AB A'B' M M' 也可看成M M１ M´
' MM MM ' M' M 1 M 1M '
v ve 0.4
m/s
例: 曲柄摆杆机构。已知：OA= r , , OO1=l，图示瞬时OAOO1，求：摆杆O1B 角速度1 解：动点：OA杆上A点， 动系：摆杆01B， 静系：大地
速度分析如图
sin
r
2 2
r l 又 ve O1 A 1 ,
, ve va sin
公式推导分析 设有一动点M沿空间曲线运动，动系O’x’y’z’ 绕静系Oxyz 的z轴转动，角速度、角加速度分别为 e ,e 。
dx dy vr = i′+ j′ dt dt 2 2 d x d y ar = i′+ j ′ 2 2 dt dt
dz k′ dt
d 2 z k′ 2 dt
动点、动系选择的原则： 动点不能选在动系上，动点对动系有相对运动，且 相对运动的轨迹要明确。 举例说明以上各概念： 动点：AB杆上A点 动系：固结于凸轮Ｏ'上 静系：固结在地面上
绝对运动： 直线
相对运动： 曲线（圆弧）
牵连运动： 直线平动
绝对速度 ： va
相对速度 ： vr
牵连速度 ： ve
绝对加速度：aa 相对加速度：ar 牵连加速度：ae
dk ωe×rA －ωe× rO＇ dt =ω ×(r －r )
=
e
e
A
O＇
×k＇
di ωe×i′ dt dj ωe×j′ dt dk ωe×k′ dt

dy dvr d dx dz i′+ j′ k ' dt dt dt dt dt 2 2 2 dx di dy dj dz dk d x d z d y j′ k′2 2 i′+ 2 dt dt dt dt dt dt dt dt dt
其中：
dv a aa dt
dv e ae dt
r x'i y' j z 'k
' ' ' '
动系作平动，其上各点的速度、 加速度都相同
ve vO ' , ae aO '
vr dx ' ' dy ' ' dz ' ' i j k dt dt dt
dv r d dx ' ' d y ' ' d z ' ' ( i j k) dt dt dt dt dt d2 x ' ' d2 y ' ' d2 z ' ' i j 2 k = ar 2 2 dt dt dt
例：曲柄滑杆机构，曲柄OA=0.1m，ω=4t (rad/s) ，滑杆上有 圆心在套杆BC上、半径R=0.1m的圆弧形滑道。当t=1s时，曲 柄与水平线夹角 =30º 。求此时滑杆BC的速度v。
解：动点：滑块A， 动系：滑杆BC， 静系：大地 速度分析如图。
va OA 0.1 4 0.4 m/s
n

aa sin ae cos ar n
整理得 aAB
3 8 v0 2 aa (a0 ) 3 3 R
二、牵连运动为转动时
设一圆盘以匀角速度 绕定轴Ｏ顺
时针转动，盘上圆槽内有一点M以大 小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，那 么M点相对于静系的绝对加速度应是 多少呢？ 选点M为动点，动系固结与圆盘上，
dx dy =ar （ωe×i′） （ωe × j′） dt dt dx dy dz =ar ωe ( i′ j′ k ′ ） dt dt dt
dz ωe×k′） （ dt
= ar + ωe ×vr
aa = ae + ar +2ωe×vr
ac = 2ωe ×vr
动点：A1（在O'A1 摆杆上) 动系：圆盘 静系：机架 绝对运动：曲线（圆弧） 相对运动：曲线 牵连运动：定轴转动 （不合适）
动点：A（在圆盘上) 动系：O'A摆杆 静系：机架 绝对运动：曲线（圆周） 相对运动：直线 牵连运动：定轴转动
若动点A在偏心轮上时 动点：A(在AB杆上) A（在偏心轮上） 动系：偏心轮 AB杆 静系：地面 地面 绝对运动：直线 圆周（红色虚线） 相对运动：圆周（曲线） 曲线（未知） 牵连运动：定轴转动 平动 （不合适）
ac称为科氏加速度，它等于动系角速度矢与动点相对 速度矢的矢积的两倍，是由于牵连运动与相对运动相互影 响而产生的。
aa = ae + ar + ac
当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加 速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。
关于科氏加速度
a c = 2 ω e ×vr
大小 : aC 2evr sin( , vr )
绝对轨迹
绝对位移
相对轨迹 相对位移
MM 1 MM 1
牵连轨迹 牵连位移
MM ' ＝ MM 1 ＋ M1M '
将上式两边同除以 t 后， t 0 时的极限，得
MM 1 M1 M MM lim lim t t 0 t t 0 t t 0 lim
va ve vr
2 2 vr va vb 2v a ve cos 45
402 56.6 2 2 40 56.6 0.707
40（km/h）
sin ve 56.6 sin 45 sin 45 1 vr 40
90
例：已知: 凸轮半径r , v, 30; 杆OA靠在凸轮上。
下面先来分析动系坐标轴方向单位矢量对时间的一阶导数。 动系以角速度矢ωe绕定轴转动,定轴为定系的z轴，定点O到动 系原点及单位矢量k’的矢端A的矢径分别为rO’和rA 。
k＇= rA – rO＇
dk drA drO vA – vO＇ dt dt dt
vA =ωe×rA，vO＇ =ωe×rO＇
va ve vr
速度合成定理：任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与 相对速度的矢量和。 va—动点的绝对速度； vr—动点的相对速度； ve—动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度 动系作平动时，动系上各点速度都相等。
动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与
动点相重合点的速度。 速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小、方向六个元素， 已知任意四个元素，就能求出其他两个。
§6-1
点的合成运动的概念
一．坐标系 1.静(坐标)系：把固结于地面上的坐标系。 2.动(坐标)系：把固结于相对 于地面运动物体上的坐标系。
二．动点 所研究的点（运动 着的点）。
三．三种运动、三种速度、三种加速度 １．绝对运动：动点相对于静系的运动。 点的运动 ２．相对运动：动点相对于动系的运动。 （直线或曲线运动） ３．牵连运动：动系相对于静系的运动 刚体的运动
相对导数
ve = ωe × r
ae αe r ωe ve
根据点的速度合成定理：va = ve + vr
dva dve dvr 两边同对时间求导，得： aa dt dt dt
dv e d d e dr ( e r ) = r + e dt dt dt dt e r + e va e r + e (v e + v r ) e r + e ve + e v r ae + e v r