二元 关系

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1.4.4.关系性质的判定
1.自反性的判定方法 定理1.9 设R是A上的二元关系,则R在A上是自反的当且仅当IA R。 证明 先证必要性。 任取<x,y>,由于R在A上是自反的,则有 <x,y>∈IAx,yA∧x=y<x,y>∈R 从而证明了IA R。 再证充分性。任取xA,有 x∈A <x,x>∈IA<x,x>∈R 因此,R在A上是自反的。
第 1章
二元关系
本章学习目标: 这一章主要学习集合内元素间的关系,这就是“关系”。 关系是一个很重要的数学基本概念,它在计算机科学中的许多 方面如数据结构、数据库、情报检索、算法分析等都有很多应 用。本章主要讨论二元关系理论。通过本章学习,同学们应掌 握以下内容: (1)关系的表示 (2)关系的性质和运算
2
定义1.5
设R是二元关系,由<x,y>R的所有x组成的集合称
为R的定义域,记作D(R),即D(R)={x‫׀‬y(yB∧<x, y>R)}。由<x,y>R的所有y组成的集合称为R的值域,记作
R(R),即R(R)={y‫׀‬x(x∈A∧<x,y>∈R)}。
定义1.6.空关系,恒等关系和全关系.
(2)设R,S都是A上的关系,A={1,2,3,4}。
R={<1,2>,<1,3>,<3,4>},
S={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}, 即S为A上的恒等关系,则R◦S=S◦R=R。 如图所示:
1
。 。
。 4 。 3
2
(3)设R是A上的关系,S为A上的空关系,即S=,则 R◦S=S◦R=。
2.关系图表示法:有限集的二元关系可以用有向图来表 示,设集合A={a1,a2,…,an},集合B={b1,b2,…, bm},R为从A到B的一个二元关系,首先在平面上作出 n 个结点分别记作 a1 , a2 , … , an ,然后另外作出 m 个结 点分别记作 b1 , b2 , … , bm ,如果a∈A、b∈B且 <a , b>R,则自结点 a到结点 b作出一条有向弧,其箭头指 向b。如果<a,b>R,则结点a和结点b之间没有线段联 结。用这种方法得到的图称为R的关系图。
上面两种定义都是合理的,正如在交通规则中有的国家规定右行,有 的国家规定左行一样,本书采用右复合的定义,请同学们注意两者的 区别. 思考一下:设R为A上的关系,则R ◦IA,IA ◦R及R之间有何关系?
例1.10 (1)A={1,2,3,4},B={3,5,7},C={1,2,3}, R={<2,7>,<3,5>,<4,3>},S={<3,3>,<7,2>}, R◦S={<2,2>,<4,3>}。 如图所示:
定理1.5
设R是从集合A到集合B上的二元关系,S是从集合B到
集合C上的二元关系,T是从集合C到集合D上的二元关系,则有:
(1)R◦(S∪T)=R◦S∪R◦T (2)R◦(S∩T)R◦S∩R◦T (3)(R∪S)◦T= R◦T∪S◦T (4)(R∩S)◦TR◦T∩S◦T
定理1.6 设R是从A到B的关系,S是从B到C的关系,T是从C 到D 的关系,则有R◦(S◦T)=(R◦S)◦T。
定义1.8 设R是从A上的关系,n为整数,关系R的n次幂定义如 下:(1)R0={<x,x>︱x∈A}=IA; (2)Rn+1=Rn◦R。 从关系R的n次幂定义,可得出下面的结论: (1)Rn+m=Rn◦Rm; (2)(Rn)m=Rnm。
定理1.7 设R是从A到B的二元关系,S是从B到C的二元关系,则
(2)R’R; ( 3 )对于A 上任何包含 R 的自反的(对称的、传递的)关系R’’ , 有R’’R. 则称关系为R的自反(对称、传递)闭包。
例1.9 A={1,2,3,4},B={5,6,7},
R={<1,7>,<2,5>,<3,6>,<4,7>},
写出R的关系矩阵和作出R的关系图。

R的关系图,如图所示:
例 1.9 设 A={1 , 2 , 3 , 4} , R={<1 , 2> , <2 , 2> , <3 , 3> , <4,1>}。写出R在A上的关系矩阵和画出R在A上的关系图。
下面的式子成立:(R◦S)─1=S─1◦R─1
证明 <z,x>∈(R◦S)─1<x,z>∈R◦S y(y∈B∧<x,y>∈R∧<y,z>∈S) y(y∈B∧<z,y>∈S─1∧<y,x>∈R─1) <z,x>∈S─1◦R─1。
所以,(R◦S)─1=S─1◦R─1。
定义1.9.设R为二元关系,A是集合 (1)R在A上的限制记为RA,其中RA={<x,y>∣xRyxA} (2)A在R下的像记作R[A],其中R[A]=ran(RA). 显然有: RAR, R[A]ranR. 例1.11.设R={<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,2>},则 R{1}= R= R{2,3}= R[{1}]= R[]= R[{3}]=
1.4.1 关系的自反性和反自反性
定义1.10 设R是集合A上的二元关系,如果对于每个xA,都 有<x,x>R,则称二元关系R是自反的。 R在A上是自反的 x(x∈A<x,x>∈R)
定义1.11 设R是集合A上的二元关系,如果对于每个xA,都有 < x,x > R,则称二元关系R是反自反的。
解 A上的关系图如下图所示。
1
。 。
。 3 。 4
2
1.3.关系的运算
关系的基本运算有七种,分别定义如下:
定义1.7.设R为二元关系
(1)R中所有的有序对的第一元素构成的集合成为 R的定义 域,记作domR,形式化为dom(R)={x∣y(<x,y>R)} (2)R中所有的有序对的第二元素构成的集合成为R的值域, 记作ranR,形式化为ran(R)={y∣x(<x,y>R)} (3)R的定义域和值域的并集称为R的域,记作fldR,形式化 表示为:fldR=domRranR 例1.10.设R={<1,2>,<1,3>,<2,4>},求domR,ranR,fldR. 定义1.8.设R为二元关系,R的逆关系,简称R的逆,记作 R-1,R-1={<x,y>∣<y,x> R}.
1.2
笛卡儿积的概念
定义1.3 给定两个集合A和B,如果序偶的第一个分量
是A中的一个元素,第二个分量是B中的一个元素,则
所有这种序偶的集合称为集合A和B的笛卡儿积,简称
为卡氏积,记为A×B,即A×B={<x,y>x∈A∧y∈B}。
1.3笛卡儿积的性质 1.对任意集合A有:A=,A=; 2.笛卡儿积运算一般不满足交换律:AB≠BA; 3.一般也不满足交换律:(AB)C ≠A(B C). 4.笛卡儿积运算对并和交满足分配律,即设A,B,C为任意3个 集合,则有 (1)A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) (2)A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) (3)(A∪B)×C=(A×C)∪(B×C) (4)(A∩B)×C=(A×C)∩(B×C)
定义1.13 设R是集合A上的二元关系,如果对于每个x,y∈A, 当<x,y>∈R和<y,x>∈R时,必有x=y,则称二元关系R是反对
称的。
1.4.3.传递性
定义1.14 设R是集合A上的二元关系,如果对于任意x,y,
z∈A,当<x,y>∈R,<y,z>∈R,就有<x,z>∈R,则称二元 关系R在A上是传递的。 R在A上是传递的x y z(x∈A∧y∈A∧z∈A∧<x, y>∈R∧<y,z>∈R<x,z>∈R)
1.4.4.关系性质的判定
1.自反性的判定方法
R的关系矩阵为:
MR
1 0 1 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
1.自反性的判定方法
R的关系图为:
a
。 。
。 d 。 c
b
3.对称性的判定方法 R的关系图为:
1.5 关系的闭包
定义1.15 设R是集合A上的二元关系,如果有另一个关系R’满足: (1)R’是自反的(对称的、传递的);
1.4.3.传递性
例1.13 设A={a,b,c},R,S,T是A上的二元关系,其中 R={<a,a>,<b,b>,<a,c>}, S={<a,b>,<b,c>,<c,c>},T={<a,b>} 说明R,S,T是否为A上的传递关系。 解 根据传递性的定义知,R和T是A上的传递关系,S不是A上 的传递关系,因为<a,b>∈R,<b,c>∈R,但<a,c>R。
关系的右复合运算
定义1.9. 设R是从集合A到集合B上的二元关系,S是从集合B到 集合C上的二元关系,则R◦S称为R和S的复合关系,表示为 R◦S={<x,z>x∈A∧z∈C∧y(y∈B∧<x,y>∈R∧<y,z>∈S} 说明:上面这种定义方式称为右复合,类似可定义左复合: R◦S={<x,z>x∈Z∧z∈A∧y(y∈B∧<x,y>∈S∧<y,z>∈R}
(3)等价关系和集合的划分 (4)偏序关系
复习集合中的几个定义
• 幂集、集合的(对称)差、广义交与并 等。
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
序偶与笛卡儿积 二元关系及其表示 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与集合的划分
1.1.有序对与笛卡儿积
定义1.1 由两个固定次序的个体x,y组成的二元组称为一个有 序对或序偶,记为<x,y>,其中x,y分别称为序偶的第一、二 分量(或称第一、二元素)。 定义1.2 两序偶<a,b>和<c,d>是相等的,当且仅当a=c, b=d;记作<a,b>=<c,d>。 因此有序对<x,y>具有以下性质: 1.当x≠y时,<x,y>≠<y,x>;2.<x,y>=<u,v>x=uy=v. 例7.1.已知<x+2,4>=<5,2x+y>,求x和y.
1.空关系:对于任何集合A,空集是AA的子集,叫做A上的空关系.
2.恒等关系:设IA为集合A上的二元关系,且满足IA={<x,x>xA} ,则称IA为集合A上的恒等关系。 3.全关系EA定义为 EA={<x,y>∣xAyA}=AA . 例1.7.若A={1,2},求IA,EA.
其他一些常见关系:
LA={<x,y>∣x,y Ax≤y},此处AR. DB={<x,y>∣x,y Ax整除y},此处BZ*.
R= {<x,y>∣x,y Fxy},此处F是集合簇.
例1.8.设A={1,2,3,4},下面定义的R都是A上的关系,试用列举法 表示R.(1)R={<x,y>∣x是y的倍数};(2)R={<x,y>∣(x-y)2A}; 1.3.二元关系的表示方法:给出一个关系的方法有三种:集合表达 式,关系矩阵和关系图.例1.5就是用集合表达式. 1. 关 系 矩 阵 表 示 法 : 设给定集合 A={a1 , a2 , … , an} ,集合 B={b1 , b2 , … , bm} , R 为从 A 到 B 的一个二元关系,构造一个 n×m矩阵。用集合A的元素标注矩阵的行,用集合B的元素标注 矩阵的列,对于a∈A和b∈B,若 <a ,b>∈R,则在行 a 和列 b 交 叉处标1,否则标0。这样得到的矩阵称为R的关系矩阵。
R在A上是反自反的 x(x∈A < x,x > R)
1.4.2
对称性和反对称性
定义1.12 设R是集合A上的二元关系,如果对于每个x,y∈A, 当<x,y>∈R,就有<y,x>∈R,则称二元关系R是对称的。 R在A上是对称的 x y(x∈A∧y∈A∧<x,y>∈R<y,x>∈R)
定义1.4.设A,B是两个集合,R是笛卡儿积A×B的任一子集,则 称R为从A到B的一个二元关系,简称关系。特别当A=B时,则称 R 为A上的二元关系(或A上的关系)。 说明:集合A上的二元关系的数目依赖于A中的元素数.若∣A∣=n, 则∣AA∣=n2, AA的子集就有 2n 个.每一个子集代表一个A上 2 n 的二元关系,所以A上有 2 个不同的二元关系.
5.ACBDwk.baidu.com×B C×D.
例1.3.设A={1,2},求P(A)A. 例1.4.设A,B,C,D为任意集合,判断以下命题是否为真,并说明理 由. (1)AB=ACB=C; (2)A-(BC)=(A-B)(A-C);
(3)A=BC=D AC=BD.
(4)存在集合A,使得A AA.
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