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2020届天津市一模数学试题(解析版)

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2020年天津市红桥区高考数学一模试卷 (含答案解析)

2020年天津市红桥区高考数学一模试卷 (含答案解析)

2020年天津市红桥区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1. 设集合U ={1,2，3，4，5}，M ={1,2，3}，N ={2,5}，则M ∩(∁U N)等于( )A. {2}B. {2,3}C. {3}D. {1,3}2. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是( )A. y =1xB. y =x 2C. y =2|x|D. y =cosx 3. 函数f(x)=log 2x −1x 的零点所在区间( )A. (1,2)B. (2,3)C. (0,12)D. (12,1) 4. 已知圆锥的底面半径为2，高为4.一个圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆周在圆锥的侧面上，当圆柱侧面积为4π时该圆柱的体积为( )A. πB. 2πC. 3πD. 4π 5. 将函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值可能等于( )A. 5B. 6C. 7D. 8 6. “x >π6”是“sinx >12”的( )A. 充分不必要条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不允分也不必要条件7. 已知某口袋中有3个白球和n 个黑球，现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球)，记换好球后袋中白球的个数是ξ，若E(ξ)=3，则D(ξ)= ( )A. 1B. 12C. 32D. 2 8. 已知双曲线x 2a 2−y 23=1，(a >0)的一个焦点与抛物线y 2=8x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线是( ) A. y =±12x B. y =±√3x C. y =±√33x D. y =±√32x 9. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAC =60°，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2 B. 4−2√3 C. −2 D. 4+2√3二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 设i 为虚数单位，则复数2i 1−i 的虚部为______．11. 函数f(x)=xe x−2−2的单调减区间为__________．12. 设倾斜角为60°的直线l 过点(1,0)且与圆C ：x 2+y 2−4x =0相交，则圆C 的半径为______；圆心到直线l 的距离是______；直线l 被圆截得的弦长为______．13. (√x −2√x 3)5的展开式中的常数项是______(用数字作答)． 14. 已知函数f (x )=sinxcosx ，则f (−1)+f (1)=________．15. 函数f(x)=3x −16在[2,5]上有________个零点．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在△ABC 中，已知AB =2，AC =3，A =60°．(1)求BC 的长；(2)求sin2C 的值．17. 如图，四棱锥A −BCDE 中，AE ⊥底面BCDE ，底面BCDE 是直角梯形，BE//CD ，∠BED =90°，AD =CD =2BE =2．(1)若F 为AD 的中点，证明：EF//平面ABC ；(2)若直线AB与底面BCDE所成角为45°，求二面角B−AC−D的正弦值．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过P(0,√32b)且斜率为k的直线l与椭圆C相交于点M，N.当k=0时，四边形MNF1F2恰在以MF1为直径，面积为2516π的圆上．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若|PM|⋅|PN|=37|MN|，求直线l的方程．19.已知数列{a n}为等差数列，且32，3，a4，a10成等比数列．(Ⅰ)求a n；(Ⅱ)求数列{2a n(a n+n)}的前n项和S n．20.已知函数f(x)=ln(x+a)−x，a∈R．(1)当a=−1时，求f(x)的单调区间；x2>1恒成立，求实数a的取值范围．(2)若x≥1时，不等式e f(x)+a2-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∁U N={1,3，4}，则M∩(∁U N)={1,3}，故选：D．根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：D解析：解：A．y=1x是奇函数，∴该选项错误；B.y=x2在(0,1)上单调递增，∴该选项错误；C.y=2|x|在(0,1)上单调递增，∴该选项错误；D.y=cosx为偶函数，在(0,1)上单调递减，∴该选项正确．故选：D．可判断y=1x为奇函数，从而得出A错误，y=x2和y=2|x|在(0,1)上都单调递增，从而得出B，C都错误，从而选D．考查奇函数、偶函数的定义及判断方法，二次函数、指数函数以及余弦函数的单调性．3.答案：A解析：本题主要考查函数零点存在区间的判断，根据函数的单调性以及函数零点的判断条件是解决本题的关键．根据函数零点的判定定理即可得到结论．解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且函数f(x)单调递增，∵f(1)=log21−1=−1<0，f(2)=log22−12=1−12=12>0，∴在(1,2)内函数f(x)存在零点，故选：A4.答案：B解析：本题考查了圆柱的的侧面积与体积，属于中档题，根据相似可得AO1=2r，再由圆柱侧面积为4π可得r和h，即可得出圆柱的体积．解：圆锥的轴截面如图所示，设圆柱底面半径为r，0<r<2.由题意可知△AO1D∽△AO2C，则有AO1O1D=AO2O2C=2，所以AO1=2r，则圆柱的高ℎ=4−2r，其侧面积S=2πr(4−2r)=4π(−r2+2r)=4π，解得r=1.当r=1时，ℎ= 2，所以该圆柱的体积V=πr2ℎ=2π．故选B．5.答案：D解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得ω的可能取值．解：由题意可知：函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象向左平移π2个单位，可得：f(x+π2)=sin[ω(x+π2)+φ]=sin(ωx+π2ω+φ)，与原图象重合，即φ=π2ω+φ+2kπ，k∈Z，解得：ω=−4k ，k ∈Z ，当k =−2时，ω=8，故选：D ．6.答案：D解析：本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．解：sinx >12，解得π6+2kπ<x <5π6+2kπ,k ∈Z ，x >π6时，sinx ∈[−1,1]∴“x >π6”是“sinx >12”的既不充分也不必要条件．故选D ． 7.答案：A解析：本题考查了离散型随机变量的分布列，数学期望与方差计算，属于中档题．求出ξ的分布列，代入数学期望公式计算n ，再代入方差公式计算方差．解：ξ的可能取值为2，4，且P(ξ=2)=33+n ，P(ξ=4)=n 3+n ，∴Eξ=2×33+n+4×n 3+n =3，解得n =3． ∴P(ξ=2)=12，P(ξ=4)=12， ∴Dξ=(2−3)2×12+(4−3)2×12=1．故选A ． 8.答案：B解析：本题考查双曲线的几何性质以及双曲线、抛物线的标准方程，注意求出抛物线的焦点坐标．根据题意，求出抛物线的焦点坐标，则可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得a 的值，即可得双曲线的标准方程，由双曲线渐近线方程计算可得答案．解：根据题意，抛物线的方程为：y 2=8x ，其焦点坐标为(2,0)，若双曲线x 2a 2−y 23=1的一焦点与抛物线y 2=8x 的焦点重合，则双曲线的焦点坐标为(±2,0)，则有3+a 2=4，解可得a =1，故其渐近线方程为：y =±√3x ；故选B ．9.答案：A解析：解：∵在菱形ABCD 中，边长为2，∠BAC =60°，∴AC =BC =2，∠ACB =60°，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos60°=2×2×12=2， 故选：A ．根据菱形的性质和向量的数量积公式计算即可本题考查了菱形的性质和向量的数量积公式，属于基础题10.答案：1解析：解：∵2i 1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i ，∴此复数的虚部是1；故答案为：1．对所给的复数分子、分母同乘以1+i ，利用i 2=−1进行化简，整理出实部和虚部．本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除时，一般需要分子和分母同时除以分母的共轭复数，再进行化简求值． 11.答案：(−∞,−1)解析：本题考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．解：由题意可得f′(x)=e x−2+xe x−2=e x−2(1+x)，当x ∈(−∞,−1)时，f′(x)<0，故f(x)在(−∞,−1)上单调递减．故答案为(−∞,−1)．12.答案：2 √32√13解析：解：整理圆的方程为(x −2)2+y 2=4，圆心为(2,0)，半径r =2，倾斜角为60°的直线l 过点(1,0)，方程为y =√3(x −1)，即√3x −y −√3=0，圆心到直线l 的距离是d =√33+1=√32， ∴直线l 被圆截得的弦长为2√4−34=√13， 故答案为：2，√32，√13． 先整理圆的方程求得圆心坐标和半径，再根据题意求得直线的方程，利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用勾股定理求得弦长．本题主要考查了直线与圆相交的性质．考查了基本的计算的能力和数形结合的思想的应用． 13.答案：−80解析：解：(√x √x 3)5的二项展开式的通项公式为T r+1=C 5r ⋅(√x)5−r ⋅(−1)r ⋅(√x 3)r =(−2)r ⋅C 5r ⋅x 15−5r6，令15−5r =0，解得r =3，故展开式中的常数项为−80．故答案为：−80．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 14.答案：0解析：本题考查了函数的概念及函数的定义域与值域，三角函数二倍角公式，属于基础题．解：∵f(x)=sin (x )cos (x )=12sin (2x )，∴f(−1)+f(1)=12sin (−2)+12sin (2)=0，故答案为0．15.答案：0解析：本题考查函数零点与方程根的关系，由已知求出3x−16=0的解即可求解．解：因为3x−16=0的解x=163>5，所以函数f(x)=3x−16在[2,5]上有0个零点．故答案为0．16.答案：解：(1)由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcosA=4+9−2×2×3×12=7，因为BC>0，所以BC=√7．(2)由余弦定理可得：，则．因此sin2C=2sinCcosC=2×√217×2√77=4√37．解析：本题考查余弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．(1)直接利用余弦定理求解即可．(2)利用余弦定理求出C的余弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．17.答案：解：(1)取AC中点G，连接BG，FG，则FG=//12CD．∵BE=//12CD，∴BE=//FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF//BG，∵EF⊄平面ABC，BG⊂平面ABC，∴EF//平面ABC．(2)已知AE ⊥底面BCDE ，且BE ，DE ⊂底面BCDE ，所以AE ⊥BE ，AE ⊥DE ，又∠BED =90°，由已知可得∠ABE 即为直线AB 与底面BCDE 所成角，∴∠ABE =45°，AE =1，DE =√3， 建立如图所示空间直角坐标系E −xyz ，则A(1,0，0)，D(0,√3,0)，B(0,0，1)，C(0,√3,2)，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,2)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)， 设平面ABC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +z =0−x +√3y +2z =0, 取m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,√3)，同理平面ADC 的法向量为n ⃗ =(√3,1,0)，，∴二面角B −AC −D 的正弦值为√427．解析：本题考查线面平行的判定，利用空间向量求二面角．(1)取AC 中点G ，连接BG ，FG ，证明四边形BEFG 为平行四边形，则EF//BG ，利用线面平行的判定定理即可证明；(2)由已知可得∠ABE 即为直线AB 与底面BCDE 所成角，建立空间直角坐标系E −xyz ，写出相关点的坐标，得到相关的向量，求出平面ABC 的法向量m⃗⃗⃗ ，平面ADC 的法向量n ⃗ ，则，即可得到二面角B −AC −D 的正弦值．18.答案：解：(Ⅰ)当k =0时，直线l//x 轴，又四边形MNF1F2恰在以MF1为直径，面积为2516π的圆上，∴四边形MNF1F2为矩形，且|MF1|=52．∴点M的坐标为(c,b2a)．又b2a =√32b，∴ba =√32．设a=2k,b=√3k，则c=k．在Rt△MF1F2中，|MF2|=32k，|F1F2|=2k，∴|MF1|=52k=52，∴k=1．∴a=2,b=√3，∴椭圆C的方程为x24+y23=1．(Ⅱ)将l：y=kx+32与椭圆方程联立得(3+4k2)x2+12kx−3=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，得x1+x2=−12k3+4k2，x1x2=−33+4k2．故|PM|⋅|PN|=√1+k2⋅|x1−0|⋅√1+k2⋅|x2−0|=(1+k2)|x1x2|=3+3k23+4k2．又|MN|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2⋅√192k2+363+4k2，∴3+3k23+4k2=37⋅√1+k2⋅√192k2+363+4k2，即7√1+k2=√192k2+36，解得k=±√1111，∴直线l 的方程为y =±√1111x +32．解析：(Ⅰ)当k =0时，直线l//x 轴，推出点M 的坐标为(c,b 2a)，设a =2k,b =√3k ，则c =k ．|MF 1|=52k =52，求出a ，b 然后求解椭圆C 的方程． (Ⅱ)将l ：y =kx +32与椭圆方程联立得(3+4k 2)x 2+12kx −3=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，利用韦达定理以及弦长公式，通过|PM|⋅|PN|=37|MN|，求出k ，即可求解直线l 的方程．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力． 19.答案：解：(Ⅰ)∵32，3，a 4，a 10成等比数列．∴公比为332=2．∴a 4=32×22=6，a 10=32×23=12． 设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 1+3d =6a 1+9d =12，解得{a 1=3d =1， 于是a n =3+(n −1)=n +2；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：2an (a n +n)=2(n+2)(2n+2)=1n+1−1n+2， 于是S n =(12−13)+(13−14)+⋯+(1n+1−1n+2)=12−1n+2，=n 2n+4．解析：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)由32，3，a 4，a 10成等比数列．可得公比为2.再利用等比数列与等差数列的通项公式即可得出； (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：2a n (a n +n)=2(n+2)(2n+2)=1n+1−1n+2，利用“裂项求和”即可得出． 20.答案：解：(1)当a =−1时，f(x)=ln(x −1)−x ，x >1，f′(x)=1x−1−1=2−xx−1，当1<x<2时，f′(x)>0，f(x)递增，当x>2时，f′(x)<0，f(x)递减，故f(x)在(1,2)递增，在(2,+∞)递减；(2)由题意得：x≥1时，x+a>0恒成立，故a>−1，①，不等式e f(x)+a2x2>1恒成立，即a2x2+x+ae x−1>0对任意的x≥1恒成立，设g(x)=a2x2+x+ae−1，x≥1，g′(x)=ae x x−x+1−ae x，a≤0时，g(2)=a(2+1e2)−1+2e2<0，不合题意，a>0时，要使x≥1时，不等式e f(x)+a2x2>1恒成立，只需g(1)=a(12+1e)−1+1e>0，即a>2(e−1)e+2，a>2(e−1)e+2时，ae x x−x+1−a=a(e x x−1)+1−x>2(e−1)e+2(e x x−1)+1−x，设ℎ(x)=2(e−1)e+2(e x x−1)+1−x，x≥1，ℎ′(x)=2(e−1)e+2e x x+2(e−1)e+2e x−1，x≥1，显然ℎ′(x)在(1,+∞)递增，∴ℎ′(x)>ℎ′(1)=4e2−5e−2e+2>0，∴ℎ(x)在(1,+∞)递增，ℎ(x)>ℎ(1)=2(e−1)2e+2>0，即ae x x−x+1−a>0，②，由①②得：a>2(e−1)e+2时，满足题意．解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为a2x2+x+ae−1>0对任意的x≥1恒成立，设g(x)=a2x2+x+ae−1，x≥1，通过求导得到g(x)的单调性，从而求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．。

2020年天津市河北区高考数学一模试卷 (解析版)

2020年天津市河北区高考数学一模试卷 (解析版)

2020年天津市河北区高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，4，6}，则集合∁U （A ∪B ）＝（ ） A ．{5}B ．{1，5}C ．{2，4}D ．{1，2，3，4，6}2．已知a ∈R ，则“a ＞2”是“a 2＞4”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线1：ax +√3y ＝2与圆C ：x 2+y 2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |＝2√3，则直线的斜率为（ ） A ．√33B ．±√33C ．√3D ．−√34．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为4，点（2，3）为双曲线上一点，则双曲线的渐进线方程为（ ）A ．y =±12x B ．y ＝±xC ．y =±√33xD ．y =±√3x5．已知函数f （x ）的图象如图所示，则该曲线所对应的函数可能是（ ）A ．f （x ）=x 2|x| B ．f （x ）＝2|x |﹣2 C ．f （x ）＝2|x |﹣x 2 D ．f （x ）＝e |x |﹣|x |6．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）单调递增，设a ＝f （32），b ＝f （log 37），c ＝f （﹣0.83），则a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b7．在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2DC ＝2AD ＝2，∠DAB ＝60°，E 为AB 中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED ，EC 向上折起，使A ，B 重合点为F ，则三棱锥F ﹣DCE 的外接球体积为（ ） A ．23πB ．√64πC ．32πD ．√68π8．将函数f （x ）＝cos ωx 2（2sinωx 2−2√3cos ωx 2）+√3，（ω＞0）的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，若y ＝g （x ）在[0，π4]上为增函数，则ω的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数f （x ）={x 2−3x +2，x ≤1lnx ，x ＞1，g （x ）＝f （x ）﹣ax +a ，若g （x ）恰有1个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，0]∪[1，+∞） B ．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]C ．[﹣1，1]D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）二.填空题10．已知复数z =1−i1+i（i 为虚数单位），则|z |＝ ． 11．在（2x √x）5的展开式中，x 2的系数为 ． 12．从某班的4名男生，2名女生中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选3人中女生人数为X ，则P （X ＝2）＝ ．数学期望E （X ）＝ ．13．已知a ，b 为正实数，且a +b ＝2，则a 2+2a+b 2b+1的最小值为 ．14．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，BD →=DC →，AE →=12EC →，且AD 与BE 相交于点O，则OA→•OB→=．15．某同学在研究函数f（x）=x1+|x|（x∈R）时，分别给出下面几个结论：①f（﹣x）+f（x）＝0在x∈R时恒成立；②函数f（x）的值域为（﹣1，1）；③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；④函数g（x）＝f（x）﹣x在R上有三个零点．其中正确结论的序号有．三.解答题16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2c=√3a+2b cos A．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若cos A=14，求sin（2A+B）的值；（Ⅲ）若c＝7，b sin A=√3，求b的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，且PA＝AB＝3，AC＝2，E是棱PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面AEC；（Ⅱ）求直线PC与平面AEC所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段PB上（不含端点）是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为√1010？若存在，确定M的位置；若不存在，说明理由．18．已知等比数列{a n }的前n 项和为S ，公比q ＞1，且a 2+1为a 1，a 3的等差中项，S 3＝14． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式（Ⅱ）记b n ＝a n •log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 19．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率e =12，直线x +y −√6=0与圆x 2+y 2＝b2相切．（1）求椭圆的方程；（2）过点N （4，0）的直线l 与椭圆交于不同两点A 、B ，线段AB 的中垂线为l ′，若l ′在y 轴上的截距为413，求直线l 的方程．20．已知函数f （x ）＝lnx +ax 2+（a +2）x +1（a ∈R ）． （Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）设a ∈Z ，若对任意的x ＞0，f （x ）≤0恒成立，求整数a 的最大值； （Ⅲ）求证：当x ＞0时，e x ﹣xlnx +2x 3﹣x 2+x ﹣1＞0．参考答案一、选择题1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．{5}B．{1，5}C．{2，4}D．{1，2，3，4，6}【分析】根据并集与补集的定义，计算即可．解：集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，所以A∪B＝{1，2，3，4，6}；又集合U＝{1，2，3，4，5，6}，所以集合∁U（A∪B）＝{5}．故选：A．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求解a2＞4，得出a＞2或a＜﹣2，根据充分必要的定义判断即可得出答案．解：∵a2＞4，∴a＞2或a＜﹣2，根据充分必要的定义判断：“a＞2”是“a2＞4”的充分不必要条件故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件的定义，属于容易题，难度不大，紧扣定义即可． 3．已知直线1：ax +√3y ＝2与圆C ：x 2+y 2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |＝2√3，则直线的斜率为（ ） A ．√33B ．±√33C ．√3D ．−√3【分析】利用弦长公式表示出|MN |，求出a 的值即可． 解：易得直线斜率存在且不为0， 则圆心到直线l 的距离d =√a +3，则弦长|MN |＝2√r 2−d 2=2√4−4a 2+3=2√3，解得a ＝±1，则斜率k ＝±√3=±√33， 故选：B ．【点评】本题考查直线斜率的求法，考查弦长公式，属于中档题．4．已知双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的焦距为4，点（2，3）为双曲线上一点，则双曲线的渐进线方程为（ ）A ．y =±12x B ．y ＝±xC ．y =±√33xD ．y =±√3x【分析】求出双曲线的焦点，根据定义求出a ，然后求出b ．可得双曲线C 的方程与渐近线方程．解：由题意可知：双曲线的焦点为（﹣2，0）和（2，0） 根据定义有2a ＝|√(2−2)2+(3−0)2−√(2+2)2+(3−0)2|． ∴a ＝1由以上可知：a 2＝1，c 2＝4，b 2＝3． ∴所求双曲线C 的渐近线方程为：y ＝±√3x ．故选：D ．【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线的定义的应用，考查计算能力． 5．已知函数f （x ）的图象如图所示，则该曲线所对应的函数可能是（ ）A ．f （x ）=x 2|x| B ．f （x ）＝2|x |﹣2 C ．f （x ）＝2|x |﹣x 2 D ．f （x ）＝e |x |﹣|x |【分析】观察函数图象，由函数为偶函数，f （0）＞0，函数有两个正零点，分别可排除选项A ，B ，D ，由此得出正确选项C ．解：由函数图象可知，f （x ）为偶函数，故可排除选项A ； f （0）＞0，故可排除选项B ；又当x ＞0时，函数图象与x 轴有两个交点，而方程e x ＝x 无解，故可排除D ． 故选：C ．【点评】本题考查由函数图象确定符合的函数解析式，考查读图识图能力，属于基础题．6．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）单调递增，设a ＝f （32），b ＝f （log 37），c ＝f （﹣0.83），则a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b【分析】根据题意，由偶函数的性质可得c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83），又由指数、对数的性质可得0.83＜1＜32=log 3√27＜log 37，结合函数的单调性分析可得答案．解：根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，则c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83），又由f （x ）在[0，+∞）单调递增，且0.83＜1＜32=log 3√27＜log 37，则有c ＜a ＜b ， 故选：C ．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数值的大小比较，属于基础题．7．在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2DC ＝2AD ＝2，∠DAB ＝60°，E 为AB 中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED ，EC 向上折起，使A ，B 重合点为F ，则三棱锥F ﹣DCE 的外接球体积为（ ）A ．23πB ．√64πC ．32πD ．√68π【分析】由题意可得三棱锥F ﹣DCE 是正四面体，且每条边长为1，把正四面体放入正方体中，利用正方体的外接球即可求出三棱锥F ﹣DCE 的外接球半径，从而得到三棱锥F ﹣DCE 的外接球体积．解：由题意可得三棱锥F ﹣DCE 是正四面体，且每条边长为1，则正四面体所在的正方体的棱长为√22， 所以外接球的半径为12×√3×√22=√64，所以外接球体积为：43×π×(√64)3=√6π8，故选：D ．【点评】本题主要考查了正四面体的外接球，是中档题．8．将函数f （x ）＝cos ωx 2（2sinωx 2−2√3cosωx 2）+√3，（ω＞0）的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，若y ＝g （x ）在[0，π4]上为增函数，则ω的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律得到g （x ）的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．解：将函数f （x ）＝cos ωx 2（2sin ωx 2−2√3cosωx 2）+√3=sin ωx −√3cos ωx ＝2sin（ωx −π3），（ω＞0）的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y ＝g （x ）＝2sin ωx 的图象，若y ＝g （x ）在[0，π4]上为增函数，则ω•π4≤π2，∴ω≤2，∴ω的最大值为2， 故选：B ．【点评】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．9．已知函数f （x ）={x 2−3x +2，x ≤1lnx ，x ＞1，g （x ）＝f （x ）﹣ax +a ，若g （x ）恰有1个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，0]∪[1，+∞） B ．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]C ．[﹣1，1]D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】根据条件先判断x ＝1是函数g （x ）的一个零点，等价于当x ≠1时，函数f （x ）＝a （x ﹣1），没有其他根，利用参数分离法，利用数形结合进行求解即可． 解：由g （x ）＝f （x ）﹣ax +a ＝0得f （x ）＝a （x ﹣1）， ∵f （1）＝1﹣3+2＝0，∴g （1）＝f （1）﹣a +a ＝0，即x ＝1是g （x ）的一个零点， 若g （x ）恰有1个零点，则当x ≠1时，函数f （x ）＝a （x ﹣1），没有其他根，即a =f(x)x−1，没有根，当x＜1时，设h（x）=f(x)x−1=x2−3x+2x−1=(x−1)(x−2)x−1=x﹣2，此时函数h（x）为增函数，则h（1）→﹣1，即此时h（x）＜﹣1，当x＞1时，h（x）=f(x)x−1=lnxx−1，h′（x）=1x⋅(x−1)−lnx(x−1)2＜0，此时h（x）为减函数，此时h（x）＞0，且h（1）→1，即0＜h（x）＜1，作出函数h（x）的图象如图：则要使a=f(x)x−1，没有根，则a≥1或﹣1≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣1，0]∪[1，+∞），故选：A．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二.填空题10．已知复数z=1−i1+i（i为虚数单位），则|z|＝1．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：∵z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i，∴|z|＝1．故答案为：1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．11．在（2x 1√x）5的展开式中，x2的系数为80．【分析】利用通项公式即可得出．解：（2x 1√x）5的展开式中，通项公式T r+1=∁5r（2x）5﹣r1√x)r=（﹣1）r25﹣r∁5r x5−32r，令5−32r＝2，解得r＝2．∴x2的系数＝23∁52=80．故答案为：80．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．从某班的4名男生，2名女生中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选3人中女生人数为X，则P（X＝2）＝15．数学期望E（X）＝1．【分析】随机变量随机X的所有可能的取值为0，1，2．分别求出其对应的概率，列出分布列，求期望即可．解：所选3人中女生人数为X，X＝2，就是所选3人中女生人数为2，则P（X＝2）=C41C22C63=15；随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，P（X＝0）=C43C20C63=15，P（X＝1）=C42C21C63=35；P（X＝2）=C41C22C63=15；所有随机变量ξ的分布列为：X 012P15 3515所以ξ的期望E （X ）＝0×15+1×35+2×15=1． 故答案为：15；1．【点评】本题考查了离散型随机变量的期望，属于基础题．13．已知a ，b 为正实数，且a +b ＝2，则a 2+2a+b 2b+1的最小值为√23 ． 【分析】由a ，b 为正实数，且a +b ＝2，变形可得a 2+2a+b 2b+1=2a+a +b ﹣1+1b+1=2a +13−a+1＝f （a ），0＜a ＜2．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出． 解：∵a ，b 为正实数，且a +b ＝2，∴a 2+2a+b 2b+1=a +2a +b 2−1+1b+1=2a +a +b ﹣1+1b+1=2a +13−a +1＝f （a ），0＜a ＜2． f ′（a ）=−2a 2+1(a−3)2=−(a−6−3√2)(a−6+3√2)(a 2−3a)2， 令f ′（a ）＞0，解得6−3√2＜a ＜2，此时函数f （a ）单调递增；令f ′（a ）＜0，解得0＜a ＜6−3√2，此时函数f （a ）单调递减．∴当且仅当a ＝6﹣3√2时函数f （a ）取得极小值即最小值， f(6−3√2)=6+2√23． 故答案为：6+2√23． 【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，BD →=DC →，AE →=12EC →，且AD 与BE 相交于点O ，则OA →•OB →=34．【分析】作DF ∥BE 交AC 于F ； 作GE ∥DC 交AD 于G ；根据已知条件得到OB →=−34BE →以及OA →=−12AD →；再代入数量积即可求解结论．解：△ABC 是边长为2的等边三角形，BD →=DC →，AE →=12EC →，且AD 与BE 相交于点O ， 作DF ∥BE 交AC 于F ； 作GE ∥DC 交AD 于G ；∵GE DC=AE AC =13=OE OB；∴OB →=−34BE →；∵DF ∥BE ，D 为中点，故DC BD=EF FC=1；又因为AE →=12EC →，∴AO OD=AE EF =1；∴OA →=−12AD →；∴OA →•OB →=−12AD →•（−34BE →）=38AD →•BE →=38×12（AB →+AC →）•（BA →+AE →） =316（AB →+AC →）•（−AB →+13AC →）=316（−AB →2−23AB →•AC →+13AC →2）=316（﹣22−23×2×2×12+13×22）=34． 故答案为：34．【点评】本题考查向量的数量积的应用以及向量的三角形法则，考查向量的表示以及计算，考查计算能力，属于中档题．15．某同学在研究函数f （x ）=x1+|x|（x ∈R ）时，分别给出下面几个结论： ①f （﹣x ）+f （x ）＝0在x ∈R 时恒成立； ②函数f （x ）的值域为（﹣1，1）； ③若x 1≠x 2，则一定有f （x 1）≠f （x 2）； ④函数g （x ）＝f （x ）﹣x 在R 上有三个零点． 其中正确结论的序号有 ①②③ ．【分析】由奇偶性的定义来判断①，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②；由②结合①对称区间上的单调性相同说明③正确；由数形结合来说明④不正确． 解：①f(−x)=−x1+|x|=−f(x)∴正确 ②当x ＞0时，f （x ）=11+1x∈（0，1） 由①知当x ＜0时，f （x ）∈（﹣1，0） x ＝0时，f （x ）＝0∴f（x）∈（﹣1，1）正确；③则当x＞0时，f（x）=11+1x反比例函数的单调性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函数再由①知f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，正确④由③知f（x）的图象与y＝x只有（0，0）这一个交点．不正确．故答案为：①②③【点评】本题考查函数的定义域，单调性，奇偶性，值域，考查全面，方法灵活，这四个问题在研究时往往是同时考虑的．三.解答题16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2c=√3a+2b cos A．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若cos A=14，求sin（2A+B）的值；（Ⅲ）若c＝7，b sin A=√3，求b的值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理与三角形内角和定理，即可求得cos B与B的值；（Ⅱ）根据三角恒等变换求值即可；（Ⅲ）利用正弦定理和余弦定理，即可求得b的值．解：（Ⅰ）△ABC中，2c=√3a+2b cos A，由正弦定理得2sin C=√3sin A+2sin B cos A；又C＝π﹣（A+B），所以2（sin A cos B+cos A sin B）=√3sin A+2sin B cos A，所以2sin A cos B=√3sin A；又A∈（0，π），所以sin A≠0，所以cos B=√32；又B∈（0，π），所以B=π6；（Ⅱ）若cos A=14，A∈（0，π），所以sin A=√1−cos2A=√154，所以sin2A＝2sin A cos A＝2×√154×14=√158，cos2A＝2cos2A﹣1＝2×116−1=−78，所以sin（2A+B）＝sin2A cos B+cos2A sin B =√158×√32−78×12=3√5−716；（Ⅲ）若c＝7，b sin A=√3，由bsinB =asinA，得a sin B＝b sin A=√3，所以a=√3sinB=√312=2√3；所以b2＝c2+a2﹣2ca cos B＝49+12﹣2×7×2√3×√32=19，解得b=√19．【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，且PA＝AB＝3，AC＝2，E是棱PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面AEC；（Ⅱ）求直线PC与平面AEC所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段PB上（不含端点）是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为√10？若存在，确定M的位置；若不存在，说明理由．10【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于点O，并连接EO，推导出EO∥PB，由此能证明PB ∥面AEC．（Ⅱ）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设平面AEC的法向量m→=（x，y，z），由向量垂直的数量积的坐标表示可得法向量，再由向量的夹角公式可得所求值；（Ⅲ）假设在线段PB上（不含端点）存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为√10，利用向量法能求出在线段PB上（不含端点）存在一点M，设平面ACM的法向量10n→=（p，q，t），由向量数量积的夹角公式计算即可判断存在性．解：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于点O，并连接EO，∵四边形ABCD为平行四边形，∴O为BD的中点，又∵E为PD的中点，∴在△PDB中EO为中位线，EO∥PB∵PB⊄面AEC，EO⊂面AEC，∴PB∥面AEC．（Ⅱ）证明：∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，AB ⊥AC ，且PA ＝AB ＝3，AC ＝2，E 是棱PD 的中点． ∴以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，P （0，0，3），C （2，0，0），A （0，0，0），D （2，﹣3，0），E （1，−32，32），AE →=（1，−32，32），AC →=（2，0，0），PC →=（2，0，﹣3）， 设平面AEC 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{AE →⋅m →=x −32y +32z =0AC →⋅m →=2x =0，取y ＝1，得m →=（0，1，1），设直线PC 与平面AEC 所成角为θ， 则直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值为：sin θ=|PC →⋅m →||PC →|⋅|m →|=13⋅2=3√2626．（Ⅲ）假设在线段PB 上（不含端点）存在一点M ，使得二面角M ﹣AC ﹣E 的余弦值为√1010， 设M （a ，b ，c ），PM →=λPB →，B （0，3，0），则（a ，b ，c ﹣3）＝λ（0，3，﹣3）， 解得a ＝0，b ＝3λ，c ＝3﹣3λ，M （0，3λ，3﹣3λ），AC →=（2，0，0），AM →=（0，3λ，3﹣3λ）， 设平面ACM 的法向量n →=（p ，q ，t ），则{n →⋅AC →=2p =0n →⋅AM →=3λq +(3−3λ)t =0，取q ＝1，得n →=（0，1，λλ−1），∵二面角M ﹣AC ﹣E 的余弦值为√1010．∴|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√1010，解得λ=13或λ=23．∴在线段PB 上（不含端点）存在一点M ，使得二面角M ﹣AC ﹣E 的余弦值为√1010，且PM →=13PB →或PM →=23PB →．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值、满足二面角的余弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．18．已知等比数列{a n }的前n 项和为S ，公比q ＞1，且a 2+1为a 1，a 3的等差中项，S 3＝14． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式（Ⅱ）记b n ＝a n •log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【分析】（I ）由a 2+1是a 1，a 3的等差中项，可得2（a 2+1）＝a 1+a 3，又a 1（q 2+1）＝2a 1q +2，a 1(1+q +q 2)=14，联立解得，即可得出． （II ）b n ＝a n •log 2a n ＝n •2n ．利用错位相减法即可得出． 解：（I ）∵a 2+1是a 1，a 3的等差中项，∴2（a 2+1）＝a 1+a 3，∴a 1（q 2+1）＝2a 1q +2，a 1(1+q +q 2)=14， 化为2q 2﹣5q +2＝0，q ＞1，解得q ＝2，∴a 1＝2． ∴a n ＝2n ．（II ）b n ＝a n •log 2a n ＝n •2n ．∴数列{b n }的前n 项和T n ＝2+2•22+3•23+……+n •2n ． 2T n ＝2×2+2•23+……+（n ﹣1）•2n +n •2n +1． ∴﹣T n ＝2+22+23+ (2)﹣n •2n +1=2(2n−1)2−1−n •2n +1． 解得：T n ＝（n ﹣1）•2n +1+2．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率e =12，直线x +y −√6=0与圆x 2+y 2＝b2相切．（1）求椭圆的方程；（2）过点N （4，0）的直线l 与椭圆交于不同两点A 、B ，线段AB 的中垂线为l ′，若l ′在y 轴上的截距为413，求直线l 的方程．【分析】（1）先由直线与圆相切，得出b 的值，再结合离心率，求出a 的值，从而可得出椭圆的方程；（2）设直线l 的斜率为k ，设点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，计算△＞0，列出韦达定理，可求出线段AB 的中点Q 的坐标，并写出线段AB 中垂线l ′的方程，然后求出直线l '与y 轴的交点坐标，列关于k 的方程，求出k 的值，即可得出直线l 的方程．解：（1）由题意得e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2=14，即a 2=43b 2，由x +y −√6=0与圆x 2+y 2＝b 2相切得b =√6√2=√3，∴a ＝2．因此，椭圆的方程为x 24+y 23=1；（2）由题意知，直线l 的斜率k 存在且不为零，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣4），k ≠0，设点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），设线段AB 的中点为Q （x 0，y 0），联立{y =k(x −4)x 24+y 23=1，消去y 并整理得（4k 2+3）x 2﹣32k 2x +64k 2﹣12＝0．由韦达定理得x 1+x 2=32k24k 2+3，又△＝（﹣32k 2）2﹣4（4k 2+3）（64k 2﹣12）＞0，解得−12＜k ＜12，且k ≠0．x 0=x 1+x 22=16k 24k 2+3，y 0=k(x 0−4)=−12k 4k 2+3，得Q(16k 24k 2+3，−12k 4k 2+3)． 由直线l ′的方程y −y 0=−1k (x −x 0)，即y +12k 4k 2+3=−1k (x −16k24k 2+3)，化简得y =−1kx +4k 4k 2+3．令x ＝0得4k4k +3=413，解得k =14或k ＝3．由于−12＜k ＜12，且k ≠0，所以，k =14．因此，直线l 的方程为y =14(x −4)，即x ﹣4y ﹣4＝0．【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆方程的求解，以及韦达定理设而不求法在椭圆综合中的应用，考查计算能力，属于中等题． 20．已知函数f （x ）＝lnx +ax 2+（a +2）x +1（a ∈一、选择题）． （Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）设a ∈Z ，若对任意的x ＞0，f （x ）≤0恒成立，求整数a 的最大值；（Ⅲ）求证：当x＞0时，e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数f′（x）=(2x+1)(ax+1)x（x＞0），得若a≥0，则f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；若a＜0，求出导函数的零点，对函数定义域分段，由导函数的符号可得原函数的单调性；（Ⅱ）若a≥0，则f（1）＝2a+3＞0，不满足f（x）≤0恒成立．若a＜0，由（Ⅰ）求得函数的最大值，又f（x）≤0恒成立，可得ln（−1a）−1a≤0，设g（x）＝lnx+x，则g（−1a）≤0．由函数零点判定定理可得存在唯一的x0∈（12，1），使得g（x0）＝0．得到a≤−1x0∈（﹣2，﹣1），结合a∈Z，可知a的最大值为﹣2；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a＝﹣2时，f（x）＝lnx﹣2x2+1＜0，则﹣xlnx＞﹣2x3+x，得到e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞e x﹣2x3+x+2x3﹣x2+x﹣1＝e x﹣x2+2x﹣1．记u（x）＝e x﹣x2+2x﹣1（x＞0），利用两次求导证明e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．【解答】（Ⅰ）解：f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+1，f′（x）=1x+2ax+a+2=(2x+1)(ax+1)x（x＞0），①若a≥0，则f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②若a＜0，由f′（x）＞0，得0＜x＜−1a；由f′（x）＜0，得x＞−1a．∴函数f（x）在（0，−1a）上单调递增，在（−1a，+∞）上单调递减；（Ⅱ）解：若a≥0，则f（1）＝2a+3＞0，∴不满足f（x）≤0恒成立．若a＜0，由（Ⅰ）可知，函数f（x）在（0，−1a）上单调递增，在（−1a，+∞）上单调递减．∴f(x)max=f(−1a)=ln(−1a)−1a，又f（x）≤0恒成立，∴f(x)max=f(−1a)=ln(−1a)−1a≤0，设g（x）＝lnx+x，则g（−1a）≤0．∵函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，且g（1）＝1＞0，g（12）=ln12+12＜0，∴存在唯一的x0∈（12，1），使得g（x0）＝0．当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0．∴0＜−1a≤x0，解得a≤−1x0∈（﹣2，﹣1），又a∈Z，∴a≤﹣2．则综上a的最大值为﹣2；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a＝﹣2时，f（x）＝lnx﹣2x2+1＜0，∴lnx＜2x2﹣1，则﹣xlnx＞﹣2x3+x，∴e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞e x﹣2x3+x+2x3﹣x2+x﹣1＝e x﹣x2+2x﹣1．记u（x）＝e x﹣x2+2x﹣1（x＞0），则u′（x）＝e x﹣2x+2．记h（x）＝e x﹣2x+2，则h′（x）＝e x﹣2，由h′（x）＝0，得x＝ln2．当x∈（0，ln2）时，h′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，∴函数h（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，∴h(x)min=h(ln2)=e ln2−2ln2+2=4﹣2ln2＞0．∴h（x）＞0，即u′（x）＞0，故函数u（x）在（0，+∞）上单调递增．∴u（x）＞u（0）＝e0﹣1＝0，即e x﹣x2+2x﹣1＞0．∴e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，属难题．。

2020年天津市和平区高考数学一模试卷(含答案解析)

2020年天津市和平区高考数学一模试卷(含答案解析)

2020年天津市和平区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设全集，，0，，则A. B. 1， C. D. 1，2.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知表示不超过实数x的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则A. 4B. 5C. 2D. 34.已知双曲线的两条渐近线与抛物线：的准线分别交于A，B两点．若双曲线C的离心率为2，的面积为，O为坐标原点，则抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.5.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，，从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上含90分的人数为，则的数学期望为A. B. C. D.6.已知函数，给出下列四个结论，其中正确的结论是A. 函数的最小正周期是B. 函数在区间上是减函数C. 函数的图象关于对称D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到7.函数是定义在R上的奇函数，对任意两个正数，都有，记，则a，b，c之间的大小关系为A. B. C. D.8.国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为A. 378B. 306C. 268D. 1989.已知圆O的半径为2，P，Q是圆O上任意两点，且，AB是圆O的一条直径，若点C满足，则的最小值为A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.已知a为实数，i为虚数单位，若复数为纯虚数，则______．11.若的展开式中的系数为，则实数______．12.已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体的体积为______．13.函数的图象在处的切线被圆C：截得弦长为2，则实数a的值为______．14.若，，且，则此时______，的最小值为______．15.已知函数，则______；若方程在区间有三个不等实根，则实数的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.在中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，．Ⅰ求角C的大小；Ⅱ若，求：边长c；的值．17.如图所示，平面平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，，，，．Ⅰ求证：平面CDE；Ⅱ求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小；Ⅲ求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．18.已知椭圆C：的离心率，左、右焦点分别是、，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线l：相切．求椭圆C的标准方程；设P为椭圆C上不在x轴上的一个动点，过点作OP的平行线交椭圆与M、N两个不同的点，记，，令，求S的最大值．19.数列是等比数列，公比大于0，前n项和，是等差数列，已知，，，．Ⅰ求数列，的通项公式，；Ⅱ设的前n项和为：求；若，记，求的取值范围．20.已知函数，a，，且若函数在处取得极值，试求函数的解析式及单调区间；设，为的导函数，若存在，使成立，求的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：0，1，，，0，，，1，．故选：B．可以求出集合I，然后进行补集、并集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，补集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：“”，即，“”是“”的充要条件．故选：C．，化简即可判断出结论．本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：函数是在时，函数是连续的增函数，，，函数的零点所在的区间为，．故选：C．由函数的解析式可得，，再根据函数的零点的判定定理求得函数的零点所在的区间．即可求得则本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．4.答案：B解析：解：双曲线的两条渐近线方程是，又抛物线的准线方程是，故A，B两点的纵坐标分别是，又由双曲线的离心率为2，所以，即，则，A，B两点的纵坐标分别是，又的面积为，可得，得，抛物线的焦点坐标为，故选：B．求出双曲线的渐近线方程与抛物线的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，的面积为，列出方程，由此方程求出p的值，可得所求焦点坐标．本题解题的关键是求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，解出A，B两点的坐标，考查离心率公式和三角形的面积公式，有一定的运算量，属于中档题．5.答案：B解析：解：由题意得：，解得，由题意得内的人数为人，内的人数为人，从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上含90分的人数为，则的可能取值为0，1，2，，，，则的数学期望．故选：B．由频率分布直方图求出，内的人数为9人，内的人数为3人，从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上含90分的人数为，则的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的数学期望．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、排列组、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.答案：B解析：解：函数，函数的周期为：，所以A不正确；，解得：，所以函数在区间上是减函数，所以B正确．时，可得：，所以C不正确；由函数的图象向左平移个单位得到函数，所以D不正确；故选：B．利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的周期，单调减区间，对称轴以及函数图象的变换，判断选项的正误即可．本题考查两角和与差的三角函数，函数的图象的对称性，单调性，三角函数的特征的变换，是基本知识的考查．7.答案：A解析：解：构造函数，则函数单调递减，，，，故选：A．构造函数，则函数单调递减，比较变量的大小，即可得出结论．本题考查函数的单调性，考查构造方法的运用，正确构造函数是关键．8.答案：D解析：解：由题可知选出的3个媒体团的构成有如下两类：选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有种不同的提问方式；选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，有种不同的提问方式；综上，共有种不同的提问方式．故选：D．先对选出的3个媒体团的构成情况进行分类，再考虑提问顺序，借助于两大原理解决问题．本题主要考查排列、组合的综合应用，属于基础题．9.答案：C解析：【分析】运用向量的三角形法则和数量积的定义，化简要求的最小值问题就是求的最小值，由于点C满足，两边平方转化为二次函数的最值问题，即可得到所求最小值．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题．【解答】解：由题意可得，是圆O的任意一条直径，，，．要求的最小值问题就是求的最小值，由于点C满足，两边平方可得，当时，，取得最小值1，故的最小值为，故选C．10.答案：解析：解：复数为纯虚数，，，解得．又．则．故答案为：．复数为纯虚数，可得，，解得又利用复数模的运算性质即可得出．本题考查了复数的周期性、纯虚数的定义、复数模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：解析：解：的展开式的通项公式为，令，可得，故展开式中的系数为，则实数，故答案为：．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于4，求得r的值，即可求得展开式中的系数，再根据的系数为，求出a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．12.答案：解析：解：由正方体的体积为8，可知正方体的棱长为2，作其截面图如图，可得半球体的半径，则其体积故答案为：．由题意画出截面图，结合正方体的体积求出外接球的半径，再由球的体积公式求解．本题考查多面体外接球体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．13.答案：或2解析：解：由题意得，所以，．所以切线为：，即．圆C：的圆心为，半径，又因为弦长．所以圆心到直线的距离为．所以到切线的距离为：，解得或2．故答案为：或2．先利用导数表示出函数在处的切线方程，然后利用点到直线的距离公式列方程求出a的值．本题考查导数的几何意义和直线与圆的位置关系．涉及直线与圆相交的弦长问题，注意利用垂径定理列方程求解．属于中档题．14.答案：2解析：解：因为，所以，，且x，．．故答案为：2，．先根据已知的等式，找到x，y之间的关系式，然后结合基本不等式的使用条件求出结论的最值．本题考查利用基本不等式求最值的问题，关键是适用条件要把握准，取等号的条件成立．属于中档题．15.答案：81解析：解：函数，；；；若，则，，．若，则，，．，，．设和，则方程在区间内有3个不等实根，、等价为函数和在区间内有3个不同的零点．作出函数和的图象，如图：当直线经过点时，两个图象有2个交点，此时直线为，当直线经过点时，两个图象有4个交点，此时直线为，当直线经过点和时，两个图象有3个交点，此时直线为，要使方程在区间内有3个不等实根，则或．故实数的取值范围为：故答案为：81，根据分段函数的解析式得到；即可求出第一问；作出函数和的图象．利用两个图象的交点个数问题确定a的取值范围．本题主要考查方程根的个数的应用，将方程转化为函数，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．注意第二问是问a的倒数的取值范围．16.答案：解：Ⅰ由已知及正弦定理得分，，，分分Ⅱ因为，，由余弦定理得，分由，分因为B为锐角，所以分，分分解析：利用正弦定理、和差公式化简即可得出．因为，，利用余弦定理即可得出．由，可得cos B再利用倍角公式、和差公式即可得出．本题考查了正弦定理、余弦定理、倍角公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：Ⅰ证明：四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形，，，又平面平面BCEF，且平面平面，平面BCEF．以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：0，，0，，0，，0，，4，，2，，则，0，．，，为平面CDE的一个法向量．又平面CDE．平面CDE．Ⅱ设平面ADE的一个法向量为，则0，，4，，得1，平面BCEF，平面BCEF一个法向量为，设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为，则因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为．Ⅲ根据Ⅱ知平面ADE一个法向量为得1，，，设直线EF与平面ADE所成角为，则因此，直线EF与平面ADE所成角的余弦值为．解析：以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立空间直角坐标系．Ⅰ为平面CDE的一个法向量，证明平面CDE，只需证明；Ⅱ求出平面ADE的一个法向量、平面BCEF一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADE 与平面BCEF所成锐二面角的余弦值；Ⅲ求出平面ADE一个法向量为1，，，利用向量的夹角公式，即可求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．18.答案：解：由题意可知：椭圆C：焦点在x轴上，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线l：相切，即，又椭圆的离心率，解得：，椭圆C的方程为：；由可知：椭圆的右焦点，设，，，丨丨丨丨，设直线MN：，，整理得：，，，，，由，，当且仅当时，即时，取等号，S的最大值．解析：椭圆C：焦点在x轴上，，又椭圆的离心率，解得：，即可求得椭圆C的方程为；由，，丨丨丨丨，设直线MN：，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式可知：，由基本不等式的性质，即可求得S的最大值．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积公式，韦达定理，弦长公式及基本不等式的应用，考查椭圆与不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ设数列的公比为，，因为，，可得，整理得，解得舍或，所以数列通项公式为．设数列的公差为d，因为，，即解得，，所以数列的通项公式为；Ⅱ由等比数列的前n项和公式可得，所以；由可得，所以的前n项和．又在上是递增的，．所以的取值范围为解析：Ⅰ先设出等比数列与等差数列的公比与公差，然后利用题设条件列出公差与首项及公比与首项的方程，求出结果代入通项公式即可解决问题；Ⅱ先由Ⅰ中得到的结果求出，再利用分组求和的办法算出；先由前面的结果求出，再利用裂项相消法求出，最后利用数列的单调性求出其取值范围．本题主要考查等差、等比数列通项公式的求法及数列的前n项和的求法，还有利用数列的单调性求取值范围，属于有一定难度的题．20.答案：解；由题意，，由函数在处取得极值，得，即，解得，则函数的解析式为，定义域为，，又对恒成立，令则有，解得，且，即或；同理令可解得或；综上，函数的单调增区间为和，单调减区间为和由题意，则，，由条件存在，使成立得，对成立，又对成立，化简得，令，则问题转化为求在区间上的值域，求导得，令，为二次函数，图象开口向上，，则，又，则，在区间上单调递增，值域为，所以的取值范围是．解析：先求导函数，再由函数在处取得极值，得，代入求解参数a，b，然后利用令和求解函数的单调区间；将代入化简，再求，然后得，令其为0，得，令，则问题转化为求在区间上的值域，利用导数求解．本题考查了导数在函数的单调性和最值求解中的综合应用，属于比较复杂的问题，注意利用转化的思想求解问题．。

2020年天津市和平区中考数学一模试卷(含答案解析)

2020年天津市和平区中考数学一模试卷(含答案解析)

2020年天津市和平区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.tan45°的值等于()A. √33B. √22C. √32D. 12.已知反比例函数y=kx (k≠0)，当x=12时，y=−2，则k的值为()A. −1B. −4C. −14D. 13.小明和小李投掷一枚质地均匀的骰子各一次，则小明和小李掷到点数和为6的概率是()。

A. 536B. 16C. 736D. 194.如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上(不与点A、C重合)，DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是()A. △BFEB. △BDCC. △BDAD. △AFD5.如图，在△ABC中，AB=BC，∠C=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转后得到△ADE，若∠CAD=90°，则△ABC旋转的度数为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6. 1.下列四个几何体中，主视图是三角形的是()A. B. C. D.7.下列立体图形①长方体②圆锥③圆柱④球中，左视图可能是长方形的有()A. ①B. ①②C. ①③D. ①④8.如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm(已标注在图中)，则可以列出关于x的方程是()A. x(26−2x)=80B. x(24−2x)=80C. (x−1)(26−2x)=80D. x(25−2x)=809.10.矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点M、N分别从顶点A、B同时出发，且分别沿着AD、BA运动，点N的速度是点M的2倍，点N到达顶点A时，则两点同时停止运动，连接BM、CN交于点P，过点P分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，则线段EF的最小值为()A. 12B. √2−1 C. √5−12D. √2+1210.如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为(0,6)，BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为()A. 3B. 4−√3C. 4D. 6−2√311.如图，已知A、B、C在⊙O上，∠COA=100°，则∠CBA=()A. 40∘B. 50∘C. 80∘D. 200∘12.已知抛物线y=x2+mx+n与x轴只有一个公共点，且过点A(a,b)，B(a−4,b)，则b的值为()A. 4B. 2C. 6D. 9二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.一次函数y=−x−1的图像经过点P(m,m−1)，则m=___________．14.如图，甲、乙两个转盘分别被平均分成4份和3份，每个转盘分别标有不同的数字．转动两个转盘，当转盘停止后，甲转盘指针指向的数字作为m，乙转盘指针指向的数字作为n，则mn为非负整数的概率为_________．15.已知反比例函数y=6，当−1<x<3时，y的取值范围是________．x16.如图，PC是⊙O的直径，PA切⊙O于点P，AO交⊙O于点B，连接BC，若∠C=32°，则∠A=______°.17.已知在四边形ABCD中，AD//BC(BC>AD)，∠D=90°，BC=CD=6，点E在线段DC上，且∠ABE=45°，若AE=5，则CE的长为____．18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=6，在AC上取一点D，使AD=4，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，点D的对应点是点P，连接BP，取BP的中点F，连接CF，当点P旋转至CA的延长线上时，CF的长是______，在旋转过程中，CF的最大长度是______三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）19.解方程．(1)(x−4)2=9；(2)x2+2x−3=0．20.已知，平面直角坐标系中，关于x的二次函数y=x2−2mx+m2−2(1)若此二次函数的图象过点A(−1,−2)，求函数的表达式；(2)若(x1,y1)，(x2,y2)为此二次函数图象上两个不同点，且x1+x2=4时y1=y2，试求m的值；(3)点P(−2,y3)在抛物线上，求y3的最小值．21.如图，AB为⊙O的直径，E是⊙O外一点，过点E作⊙O的两条切线ED，EB，切点分别为点D，B.连接AD并延长交BE延长线于点C，连接OE．(1)试判断OE与AC的关系，并说明理由．(2)填空：①当∠BAC=________时，四边形ODEB是正方形；②当∠BAC=30°时，AD的值为____________．DE22.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．(1)求斜坡CD的高度DE．(2)求大楼AB的高度．(结果保留根号)23.如图所示，购买一种苹果，所付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省________元．24.如图所示，∠DBC=90°，∠C=45°，AC=2，△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，连接AE．(1)求证：△ABC≌△ABE；(2)连接AD，求AD的长．x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．25.如图，抛物线y=−12(1)求抛物线的解析式．(2)点D(2,2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由(3)连接AD并延长，过抛物线上一点Q(Q不与A重合)作QN⊥X轴，垂足为N，与射线AD交于点M，使得Q M=3MN，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

2020年天津市十二区县高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2020年天津市十二区县高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2020年天津市十二区县重点高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．已知全集U={0，1，2，3，4，5}集合A={1，2，3，5}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{0，2，4}B．{2，3，5}C．{1，2，4}D．{0，2，3，5}2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．0B．3C．6D．123．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（）A．y=x+1的图象上B．y=2x的图象上C．y=2x的图象上D．y=2x﹣1的图象上4．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C．命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＞0”D．若“p且q”为假，则p，q全是假命题5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率，点P是抛物线y2=4x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，x）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣x2=1C．y2﹣=1D．﹣=16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且6S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（）A．B．C．D．7．如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A，B两点，且与直径CT交于点D，CD=3，AD=4，BD=6，则PB=（）A．6B．8C．10D．148．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|），（m＞0），若函数y=f[f（x）]﹣4m恰有4个零点，则实数m的取值范围（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9．i是虚数单位，复数=．10．在的二项展开式中，x2的系数为．11．已知曲线y=x﹣1与直线x=1，x=3，x轴围成的封闭区域为A，直线x=1，x=3，y=0，y=1围成的封闭区域为B，在区域B内任取一点P，该点P落在区域A的概率为．12．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为3的正方形，则该机器零件的体积为．13．直线l：（t为参数），圆C：ρ=2cos（θ+）（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为，则实数a的取值范围为．14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，，若集合M=，N=．则M∩N=．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数，x∈R（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A类题有4个不同的小题，B类题有6个不同的小题，某考生从中任抽取四道题解答．（Ⅰ）求该考生至少抽取到2道B类题的概率；（Ⅱ）设所抽取的四道题中B类题的个数为X，求随机变量X的分布列与期望．17．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为，求实数a的值．18．设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（Ⅰ）求椭圆E的离心率e；（Ⅱ）PQ是圆C：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．19．己知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1=﹣，a2=16a4，记b n=．（I）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数n，|m﹣1|≥3b n都成立，求实数m的取值范围；}的前n项和分别为S n，T n．证明：对任意的正整数n，都有2S n （Ⅲ）设数列{b2n}，{b2n﹣1＜2T n+3．20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）2020年天津市十二区县重点高中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．已知全集U={0，1，2，3，4，5}集合A={1，2，3，5}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{0，2，4}B．{2，3，5}C．{1，2，4}D．{0，2，3，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．【解答】解：∵全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3，5}，∴∁U A={0，4}，∵B={2，4}，∴（∁U A）∪B={0，2，4}．故选A2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．0B．3C．6D．12【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化目标函数z=x+2y为y=﹣x+z，从而求得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，化目标函数z=x+2y为y=﹣x+z，结合图象可得，过点A（0，3）时有最大值为z=0+6=6，故选：C．3．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（）A．y=x+1的图象上B．y=2x的图象上C．y=2x的图象上D．y=2x﹣1的图象上【考点】程序框图．【分析】根据程序框图中的运算规律确定出所求函数解析式即可．【解答】解：根据题意得：程序框图输出的所有点都在函数y=2x﹣1的图象上，故选：D．4．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C．命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＞0”D．若“p且q”为假，则p，q全是假命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．否命题是即否定条件又否定结论；B．根据充分条件和必要条件的概念判定即可；C．存在命题的否定：把存在改为任意，再否定结论；D．且命题的概念判断即可．【解答】A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故错误；B．若a，b∈R，则“ab≠0”可推出a≠0且b≠0，但由a≠0推不出ab≠0，故是充分不必要条件，故正确；C．命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≥0”，故错误；D．若“p且q”为假，则p，q不全是真命题，故错误．故选B．5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率，点P是抛物线y2=4x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，x）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣x2=1C．y2﹣=1D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定抛物线的焦点坐标和准线方程，双曲线的离心率，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，可得FF1=，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线的方程为x=﹣1，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的e==，由P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣1的距离之和的最小值为，由抛物线的定义可得P到准线的距离即为P到焦点的距离为|PF|，可得|PF|+|PF1|的最小值为，当P，F，F1三点共线，可得最小值|FF1|==，即有c=，由c2=a2+b2，解得a=2，b=1，即有双曲线的方程为﹣x2=1．故选：B．6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且6S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】首先由三角形面积公式得到S△ABC=ab•sinC，再由余弦定理，结合6S=（a+b）2﹣c2，得出3sinC﹣2cosC=2，然后通过（3sinC﹣2cosC）2=4，求出结果即可．【解答】解：△ABC中，∵S△ABC=ab•sinC，由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，且6S=（a+b）2﹣c2，∴3absinC=（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC），整理得3sinC﹣2cosC=2，∴（3sinC﹣2cosC）2=4．∴=4，化简可得5tan2C﹣12tanC=0．∵C∈（0，180°），∴tanC=，故选：C．7．如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A，B两点，且与直径CT交于点D，CD=3，AD=4，BD=6，则PB=（）A．6B．8C．10D．14【考点】与圆有关的比例线段．【分析】圆中的性质相交弦定理、切割线定理应用．【解答】解：由相交弦定理得：AD•BD=CD•DT，即4×6=3×DT，解得DT=8设PB=x，PT=y因为PT为切线，所以DT⊥PT，在Rt△PDT中，PT2+DT2=PD2，即y2+64=（6+x）2①由切割线定理知，PT2=PB×PA，即y2=x×（x+10）②联立①②得，x=14故选：D8．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|），（m＞0），若函数y=f[f（x）]﹣4m恰有4个零点，则实数m的取值范围（）A．B．C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．【分析】利用换元法将函数进行转化，利用数形结合以及分类讨论进行求解即可．【解答】解：设f（x）=t，（t＞0）则由y=f[f（x）]﹣4m=0得f[f（x）]=4m，即f（t）=4m，则m（|t﹣2|+|t﹣4|）=4m，则|t﹣2|+|t﹣4|=4，得t=5，或t=1，若t=1，则f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|）=1，即|x﹣2|+|x﹣4|=，若t=5，则f（x）=m（|x﹣2|+|x﹣4|）=5，即|x﹣2|+|x﹣4|=，设g（x）=|x﹣2|+|x﹣4|，（x≥0），∵函数f（x）是偶函数，∴要使函数y=f[f（x）]﹣4m恰有4个零点，则等价为当x≥0时，函数y=f[f（x）]﹣4m恰有2个零点，作出g（x）在[0，+∞）上的图象如图：①，即，即＜m＜，②，即，即0＜m＜，综上实数m的取值范围是，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．i是虚数单位，复数=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】将复数分母实数化，分子、分母同乘以（1+i），化简即可．【解答】解：===；故答案为：．10．在的二项展开式中，x2的系数为90．【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项展开式的通项，再由x的指数等于2求得r，则答案可求．【解答】解：由，得=，由，得r=2．∴x2的系数为．故答案为：90．11．已知曲线y=x﹣1与直线x=1，x=3，x轴围成的封闭区域为A，直线x=1，x=3，y=0，y=1围成的封闭区域为B，在区域B内任取一点P，该点P落在区域A的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据积分的应用，求出区域的面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：作出曲线对应的平面区域，则区域B是边长分别为1，2的矩形，则面积S B=2，区域A的面积S A=dx=lnx=ln3﹣ln1=ln3，则对应的概率P==，故答案为：12．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为3的正方形，则该机器零件的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是半球的一半、下面是正方体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、球体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是半球的一半、下面是正方体，且球的半径是，正方体的棱长是3，∴几何体的体积V==故答案为：．13．直线l：（t为参数），圆C：ρ=2cos（θ+）（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为，则实数a的取值范围为[，2]．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】求出直线l与圆C的普通方程得出圆C的半径，利用点到直线的距离公式列出不等式解出a的范围．【解答】解：直线l的普通方程为2x+ay﹣a=0．∵ρ=2cos（θ+），∴ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为：x2+y2=2x﹣2y，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆C的圆心为C（1，﹣1），圆C的半径r=．∵圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为，∴圆心C到直线l的距离0≤d≤．即0≤≤．解得．故答案为：[，2]．14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，，若集合M=，N=．则M∩N=[，2]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示，根据λ的范围求出的范围，即M的范围，根据基本不等式求出N的范围，得出M∩N．【解答】解：∵，∴0≤λ≤1．=．==（）=．==．∴=（）•（）=+=2λ．∴M==[0，2]．∵a＞b，ab=1，∴a﹣b＞0，==≥2=．∴N={x|x=，a＞b，ab=1}=[，+∞）．∴M∩N=[，2]．故答案为：．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数，x∈R（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=（1）由周期公式可得；（2）由x的范围和三角函数的最值可得．【解答】解：由三角函数公式化简可得f（x）=cos2x+cos2（x﹣）===（1）函数f（x）的最小正周期；（2）∵函数f（x）在单调递增，在单调递减，∵，∴．16．某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A类题有4个不同的小题，B类题有6个不同的小题，某考生从中任抽取四道题解答．（Ⅰ）求该考生至少抽取到2道B类题的概率；（Ⅱ）设所抽取的四道题中B类题的个数为X，求随机变量X的分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A：”该考生至少取到2道B类题”，利用对立事件概率计算公式能求出该考生至少抽取到2道B类题的概率．（2）随机变量X的取值分别为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列与期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A：”该考生至少取到2道B类题”，P（A）=．…（2）随机变量X的取值分别为0，1，2，3，4，…，，，，，…∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3 4P…∴随机变量X的期望为：．…17．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为，求实数a的值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．【分析】（I）由等边三角形性质得出AO⊥EF，利用面面垂直的性质得出AO⊥平面EFCB，故AO⊥BE；（II）以O为原点建立空间直角坐标系，则=（0，0，1）为平面AEF的一个法向量，求出平面ABE的法向量，则cos＜＞与二面角的余弦值相等或相反．（III）令|cos＜＞|=，列方程解出a．【解答】证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，∴AO⊥EF，又∵平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF∩平面EFCB=EF，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB，又BE⊂平面EFCB，∴AO⊥BE．（Ⅱ）取CB的中点D，连接OD，则OD⊥EF，以O为原点，分别以OE、OA、OD为坐标轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），E（a，0，0），F（﹣a，0，0），，，，∴，=（a，﹣a，0），设平面AEB的一个法向量，则，∴，令y=1，得=（，1，﹣1）．平面AEF的一个法向量为，∴=﹣1，||=，||=1，∴，由二面角F﹣AE﹣B为钝二面角，∴二面角F﹣AE﹣B的余弦值为﹣．（Ⅲ），∴=4，||=，||=，∴cos＜，＞=，∴6a2﹣12a+16=10，解得a=1．18．设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（Ⅰ）求椭圆E的离心率e；（Ⅱ）PQ是圆C：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）运用分点坐标公式可得M的坐标，再由直线的斜率公式和离心率公式，计算即可得到；（II）解法一、设出PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径，计算即可得到所求方程；解法二、设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆方程，作差，结合直线的斜率公式，可得PQ的斜率，求得PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式计算即可得到所求椭圆方程．【解答】解：（I）∵A（a，0）B（0，b）点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|∴M，，∴，∴∴椭圆E的离心率e为；（II）解法一：由（I）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2．（1），依题意，圆心C（﹣2，1）是线段PQ的中点，且．易知，PQ不与x轴垂直，设其直线方程为y=k（x+2）+1，代入（1）得（1+4k2）x2+8k（2k+1）x+4（2k+1）2﹣4b2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，由x1+x2=﹣4，得，解得．从而．于是，由，得，2b2﹣4=6，解得b2=5．故椭圆E的方程为．解法二：由（I）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2．（1），依题意点P、Q关于圆C（﹣2，1）对称且，设P（x1，y1），Q（x2，y2）则，两式相减得﹣4（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，易知PQ不与x轴垂直，则x1≠x2，，∴PQ的斜率为，设其直线方程为，代入（1）得x2+4x+8﹣2b2=0∴x1+x2=﹣4．于是，由，得，2b2﹣4=6解得b2=5．故椭圆E的方程为．19．己知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1=﹣，a2=16a4，记b n=．（I）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数n，|m﹣1|≥3b n都成立，求实数m的取值范围；}的前n项和分别为S n，T n．证明：对任意的正整数n，都有2S n （Ⅲ）设数列{b2n}，{b2n﹣1＜2T n+3．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由a2=16a4，结合数列是非单调数列求出等比数列的公比，可得等比数列的通项公式；（Ⅱ）由b n=，得，分n为奇偶数求出{b n}的最大值，代入|m﹣1|≥3b n，解得m≥2或m≤0；（Ⅲ）放缩得到，代入S n﹣T n=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2n﹣b2n）可得2S n﹣2T n＜3，即2S n＜2T n+3．﹣1【解答】（Ⅰ）解：∵数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1=﹣，a2=16a4，∴，解得q=，∵数列是非单调数列，∴q=﹣，则；（Ⅱ）解：由b n=，得，当n为奇数时，；当n为偶数时，，且{b n}为减函数，∴，则|m﹣1|≥3b n=1，解得m≥2或m≤0；（Ⅲ）证明：∵===，∴S n﹣T n=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2n﹣b2n）﹣1=．∴2S n﹣2T n＜3，即2S n＜2T n+3．20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x2＞2e2．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）把f（x）和g（x）代入h（x）=f（x）﹣g（x），求其导函数，结合h（x）在（0，+∞）上单调递增，可得对∀x＞0，都有h′（x）≥0，得到，由得到a的取值范围；（2）设切点，写出切线方程，整理得到，令换元，可得a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，利用导数求其最小值；（3）由题意知，，把a用含有x1，x2的代数式表示，得到，不妨令0＜x1＜x2，记，构造函数，由导数确定其单调性，从而得到，即，然后利用基本不等式放缩得到，令，再由导数确定G（x）在（0，+∞）上单调递增，然后结合又得到，即．【解答】（1）解：h（x）=f（x）﹣g（x）=，则，∵h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴对∀x＞0，都有，即对∀x＞0，都有，∵，∴a≤0，故实数a的取值范围是（﹣∞，0]；（2）解：设切点，则切线方程为，即，亦即，令，由题意得，令a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，则，当t∈（0，1）时，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；当t∈（1，+∞）时，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增，∴a+b=φ（t）≥φ（1）=﹣1，故a+b的最小值为﹣1；（3）证明：由题意知，，两式相加得，两式相减得，即，∴，即，不妨令0＜x1＜x2，记，令，则，∴在（1，+∞）上单调递增，则，∴，则，∴，又，∴，即，令，则x＞0时，，∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，又，∴，则，即．2020年7月21日。

2020年天津市河西区中考数学一模试卷 (解析版)

2020年天津市河西区中考数学一模试卷 (解析版)

2020年中考数学一模试卷一、选择题1．计算9×（﹣5）的结果等于（）A．45B．﹣45C．4D．﹣142．cos45°的值等于（）A．B．C．D．3．下列图形中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．据北京市通信管理局披露，截至3月30日，北京市已建设了5G基站数量超过17000个．将17000用科学记数法表示为（）A．1.7×104B．1.7×105C．1.7×106 D．0.17×1065．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．6．估计在（）A．2～3之间B．3～4之间C．4～5之间D．5～6之间7．计算﹣1的结果为（）A．B．x C．1D．8．直线y＝2x与直线y＝﹣3x+15的交点为（）A．（3，6）B．（4，3）C．（4，8）D．（2，3）9．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y1＜y2＜y3 10．如图，平行四边形ABCO中的顶点O，A，C的坐标分别为（0，0），（2，3），（m，0），则顶点B的坐标为（）A．（3，2+m）B．（3+m，2）C．（2，3+m）D．（2+m，3）11．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝22.5°，将△ABC沿直线BC折叠，得到点A的对称点A'，连接BA'，过点A作AH⊥BA'于H，AH与BC交于点E．下列结论一定正确的是（）A．A'C＝A'H B．2AC＝EB C．AE＝EH D．AE＝A'H12．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数，a≠0，且b＝a+3，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：①﹣3＜a＜0；②方程ax2+bx+3＝2有两个不相等的实数根；③该抛物线经过定点（﹣1，0）和（0，3）．其中，正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）得分13．计算：a5÷a3＝．14．计算（+1）（﹣1）的结果等于．15．九年一班共35名同学，其中女生有17人，现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率为．16．若一次函数y＝kx+b（b为常数）的图象过点（3，4），且与y＝x的图象平行，这个一次函数的解析式为．17．如图，已知正方形ABCD，O为对角线AC与BD的交点，过点O的直线EF与直线GH分别交AD，BC，AB，CD于点E，F，G，H．若EF⊥GH，OC与FH相交于点M，当CF＝4，AG＝2时，则OM的长为．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积为；（Ⅱ）若有一个边长为6的正方形，且满足点A为该正方形的一个顶点，且点B，点C 分别在该正方形的两条边上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这个正方形，并简要说明其它顶点的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m）．绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）图①中a的值为；（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定10人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m 的运动员能否进入复赛．21．已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∠ABC＝52°，BC交⊙O于点D，E是AB上一点，延长DE交⊙O于点F．（Ⅰ）如图①，连接BF，求∠C和∠DFB的大小；（Ⅱ）如图②，当DB＝DE时，求∠OFD的大小．22．小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．23．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（，0），点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形；（Ⅲ）连接OC，在旋转的过程中，求△OEC面积的最大值（直接写出结果即可）．25．已知抛物线C：y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（Ⅰ）求抛物线C的解析式和顶点坐标；（Ⅱ）将抛物线C绕点O顺时针旋转180°得抛物线C′，且有点P（m，t）既在抛物线C上，也在抛物线C′上，求m的值；（Ⅲ）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算9×（﹣5）的结果等于（）A．45B．﹣45C．4D．﹣14【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．解：原式＝﹣9×5＝﹣45，故选：B．2．cos45°的值等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．解：cos45°＝．故选：D．3．下列图形中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：A、不是轴对称图形，本选项不合题意；B、不是轴对称图形，本选项不合题意；C、是轴对称图形，本选项符合题意；D、不是轴对称图形，本选项不合题意；故选：C．4．据北京市通信管理局披露，截至3月30日，北京市已建设了5G基站数量超过17000个．将17000用科学记数法表示为（）A．1.7×104B．1.7×105C．1.7×106 D．0.17×106【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．解：将17000用科学记数法可表示为1.7×104．故选：A．5．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．解：从正面看，共有3列，每列的小正方形的个数从左到右依次为1、1、2．故选：B．6．估计在（）A．2～3之间B．3～4之间C．4～5之间D．5～6之间【分析】确定出被开方数23的范围，即可估算出原数的范围．解：∵16＜23＜25，∴4＜＜5，故选：C．7．计算﹣1的结果为（）A．B．x C．1D．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．解：原式＝＝，故选：A．8．直线y＝2x与直线y＝﹣3x+15的交点为（）A．（3，6）B．（4，3）C．（4，8）D．（2，3）【分析】联立两函数解析式解关于x、y的二元一次方程组即可得解．解：解析式联立，解得，所以，交点坐标为（3，6）．故选：A．9．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y1＜y2＜y3【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝＝﹣6，y2＝＝3，y3＝＝2，又∵﹣6＜2＜3，∴y1＜y3＜y2．故选：C．10．如图，平行四边形ABCO中的顶点O，A，C的坐标分别为（0，0），（2，3），（m，0），则顶点B的坐标为（）A．（3，2+m）B．（3+m，2）C．（2，3+m）D．（2+m，3）【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，且BA＝OC即可得到结论．解：如图，在▱OABC中，O（0，0），C（m，0），∴OC＝BA＝m，又∵BA∥CO，∴点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，∴B（2+m，3），故选：D．11．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，∠ABC＝22.5°，将△ABC沿直线BC折叠，得到点A的对称点A'，连接BA'，过点A作AH⊥BA'于H，AH与BC交于点E．下列结论一定正确的是（）A．A'C＝A'H B．2AC＝EB C．AE＝EH D．AE＝A'H【分析】由折叠的性质可得AC＝A'C，∠ABC＝∠A'BC＝22.5°，∠ACB＝∠BCA'＝90°，由“AAS”可证△BHE≌△AHA'，可得BE＝AA'＝2AC．解：∵将△ABC沿直线BC折叠，∴AC＝A'C，∠ABC＝∠A'BC＝22.5°，∠ACB＝∠BCA'＝90°，∴∠ABA'＝45°，AA'＝2AC，∵AH⊥A'B，∴∠ABH＝∠BAH＝45°，∴AH＝BH，∵∠A'+∠HAA'＝90°，∠A'+∠A'BC＝90°，∴∠A'BC＝∠HAA'，又∵AH＝BH，∠BHE＝∠AHA'＝90°，∴△BHE≌△AHA'（AAS），∴BE＝AA'，∴BE＝2AC，故选：B．12．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数，a≠0，且b＝a+3，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：①﹣3＜a＜0；②方程ax2+bx+3＝2有两个不相等的实数根；③该抛物线经过定点（﹣1，0）和（0，3）．其中，正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】①y＝ax2+bx+3，函数的对称轴为x＝﹣＝﹣，分a＞0、a＜0分别求解即可；②△＝b2﹣4a＝（a+3）2﹣4a＝a2+2a+9＝（a+1）2+8＞0，即可求解；③当x＝﹣1时，y＝ax2+bx+3＝ax2+（a+3）x+3＝0，故抛物线过定点（﹣1，0），当x＝0时，y＝3，即可求解．解：①y＝ax2+bx+3，函数的对称轴为x＝﹣＝﹣，当a＞0时，x＝﹣＞0，解得：a＜﹣3，无解；当a＜0时，x＝﹣＞0，解得：a＞﹣3，故﹣3＜a＜0；故①正确，符合题意；②ax2+bx+3＝2，即ax2+bx+1＝0，△＝b2﹣4a＝（a+3）2﹣4a＝a2+2a+9＝（a+1）2+8＞0，故方程ax2+bx+3＝2有两个不相等的实数根，正确，符合题意；③抛物线y＝ax2+bx+3＝ax2+（a+3）x+3，当x＝﹣1时，y＝ax2+bx+3＝ax2+（a+3）x+3＝0，故抛物线过定点（﹣1，0），当x＝0时，y＝3，故③正确，符合题意；故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）得分13．计算：a5÷a3＝a2．【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可．解：a5÷a3＝a5﹣3＝a2．故填a2．14．计算（+1）（﹣1）的结果等于2．【分析】利用平方差公式计算．解：原式＝3﹣1＝2．故答案为2．15．九年一班共35名同学，其中女生有17人，现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率为．【分析】根据概率的求法，求出女生的人数与总人数的比值就是其发生的概率．解：∵九年一班共35名同学，其中女生有17人，∴现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率＝，故答案为：．16．若一次函数y＝kx+b（b为常数）的图象过点（3，4），且与y＝x的图象平行，这个一次函数的解析式为y＝x+1．【分析】根据两平行直线的解析式的k值相等求出k，然后把经过的点的坐标代入解析式计算求出b值，即可得解．解：∵一次函数y＝kx+b的图象平行于y＝x，∴k＝1，∴这个一次函数的解析式为y＝x+b．把点（3，4）代入得，4＝3+b，解得b＝1，所以这个一次函数的解析式为y＝x+1，故答案为y＝x+1．17．如图，已知正方形ABCD，O为对角线AC与BD的交点，过点O的直线EF与直线GH分别交AD，BC，AB，CD于点E，F，G，H．若EF⊥GH，OC与FH相交于点M，当CF＝4，AG＝2时，则OM的长为．【分析】先证明△AOG≌△BOF（ASA）、△BOF≌△COH≌DOE≌△AOG，进而证明四边形EGFH为正方形，求出两个正方形的边长，由勾股定理求得AC、GF的长，从而得出OC、OH的长度，由有两个角相等的三角形相似判定△OHM∽△OCH，由相似三角形的性质得出比例式，计算即可求得OM的长．解：∵四边形ABCD是正方形，AC，BD为对角线，∴OA＝OB，∠OAG＝∠OBF＝45°，∴AC⊥BD，又∵EF⊥GH，∴∠AOG+∠BOG＝90°，∠BOF+∠BOG＝90°，∴∠AOG＝∠BOF，在△AOG和△BOF中，，∴△AOG≌△BOF（ASA）．∴BF＝AG＝2，OG＝OF，同理可证：△BOF≌△COH，DOE≌△AOG．∴OF＝OH＝OE＝OG，又∵EF⊥GH，四边形EGFH为正方形，∵BF＝AG＝2，FC＝4，∴BC＝6，即正方形ABCD的边长为6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝6，∴OC＝3，∵AG＝2，∴BG＝6﹣2＝4，在Rt△BFG中，由勾股定理得：GF＝＝2，∴小正方形的边长为2．∵GH为小正方形的对角线，∴GH＝×2＝2，∴OH＝，在△OHM和△OCH中，∵∠OHM＝∠COH，∠OHM＝∠OCH＝45°，∴△OHM∽△OCH，∴＝，∴＝，∴OM＝．故答案为：．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积为15；（Ⅱ）若有一个边长为6的正方形，且满足点A为该正方形的一个顶点，且点B，点C 分别在该正方形的两条边上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这个正方形，并简要说明其它顶点的位置是如何找到的（不要求证明）取格点O，L，连接OB 交于直线AL于D，同样地，取格点M，T，连接CM，AT，交于点F；作射线DB和FC，交于点E，则四边形ADEF即为所求．【分析】（Ⅰ）利用三角形的面积公式计算即可．（Ⅱ）取格点O，L，连接OB交于直线AL于D，同样地，取格点M，T，连接CM，AT，交于点F；作射线DB和FC，交于点E，则四边形ADEF即为所求．解：（Ⅰ）S△ABC＝×5×6＝15，故答案为15．（Ⅱ）如图，正方形ADEF即为所求．故答案为：取格点O，L，连接OB交于直线AL于D，同样地，取格点M，T，连接CM，AT，交于点F；作射线DB和FC，交于点E，则四边形ADEF即为所求．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得x≤﹣3；（Ⅱ）解不等式②，得x＜1；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为x≤﹣3．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤﹣3；（Ⅱ）解不等式②，得x＜1；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：，（Ⅳ）原不等式组的解集为x≤﹣3．20．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m）．绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）图①中a的值为25；（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定10人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m 的运动员能否进入复赛．【分析】（Ⅰ）用整体1减去其它所占的百分比，即可求出a的值；（Ⅱ）根据平均数、众数和中位数的定义分别进行解答即可；（Ⅲ）根据中位数的意义可直接判断出能否进入复赛．解：（1）根据题意得：1﹣20%﹣10%﹣15%﹣30%＝25%；则a的值是25；故答案为：25；（Ⅱ）观察条形统计图，∵＝1.61，∴这组数据的平均数是1.61．∵在这组数据中，1.65出现了6次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为1.65，∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1.60，有∴这组数据的中位数为1.60，（Ⅲ）能．∵共有20个人，中位数是第10、11个数的平均数，∴根据中位数可以判断出能否进入前10名；∵1.65m＞1.60m，∴能进入复赛．21．已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∠ABC＝52°，BC交⊙O于点D，E是AB上一点，延长DE交⊙O于点F．（Ⅰ）如图①，连接BF，求∠C和∠DFB的大小；（Ⅱ）如图②，当DB＝DE时，求∠OFD的大小．【分析】（Ⅰ）如图①，连接AD．由切线的性质求出∠BAC＝90°，则可求出∠C的度数，求出∠DAB＝90°﹣∠ABC＝38°，则可求出∠DFB的度数；（Ⅱ）如图②，连接OD．求出∠BDE＝180°﹣∠BED﹣∠B＝76°．得出∠BDO＝∠B＝52°，则∠ODF＝76°﹣52°＝24°，则可求出答案．解：（Ⅰ）如图①，连接AD．∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴AB⊥AC，即∠BAC＝90°．∵∠ABC＝52°，∴∠C＝90°﹣∠ABC＝90°﹣52°＝38°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴∠DAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣52°＝38°．∵＝，∴∠DFB＝∠DAB＝38°．（Ⅱ）如图②，连接OD．在△BDE中，DB＝DE，∠B＝52°，∴∠BED＝∠B＝52°，∴∠BDE＝180°﹣∠BED﹣∠B＝76°．又在△BOD中，OB＝OD，∴∠BDO＝∠B＝52°，∴∠ODF＝76°﹣52°＝24°．∵OD＝OF，∴∠F＝∠ODF＝24°．22．小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．【分析】根据锐角三角函数，可用CD表示AD，BD，AC，BC，根据线段的和差，可得关于CD的方程，根据解方程，可得CD的长，根据AC＝CD，CB＝，可得答案．解：过点C作CD⊥AB垂足为D，在Rt△ACD中，tan A＝tan45°＝＝1，CD＝AD，sin A＝sin45°＝＝，AC＝CD．在Rt△BCD中，tan B＝tan37°＝≈0.75，BD＝；sin B＝sin37°＝≈0.60，CB＝．∵AD+BD＝AB＝63，∴CD+＝63，解得CD≈27，AC＝CD≈1.414×27＝38.178≈38.2，CB＝≈＝45.0，答：AC的长约为38.2m，CB的长约等于45.0m．23．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润＝一辆汽车的利润×销售数量列式计算；（2）设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数＝90万元，列方程求出x 的值，进而得到每辆汽车的售价．解：（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：×1+8＝14，则此时，平均每周的销售利润是：（22﹣15）×14＝98（万元）；（2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得：（25﹣x﹣15）（8+2x）＝90，解得x1＝1，x2＝5，当x＝1时，销售数量为8+2×1＝10（辆）；当x＝5时，销售数量为8+2×5＝18（辆），为了尽快减少库存，则x＝5，此时每辆汽车的售价为25﹣5＝20（万元），答：每辆汽车的售价为20万元．24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（，0），点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形；（Ⅲ）连接OC，在旋转的过程中，求△OEC面积的最大值（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）由题意得OA＝，OB＝1，求出∠BAO＝30°．得出AB＝2OB＝2，由旋转性质得，DA＝OA＝，过D作DM⊥OA于M，求出DM＝，AM＝DM ＝，进而得出答案；（Ⅱ）延长OE交AC于F，证△BOE是等边三角形，得出OE＝OB，由旋转性质得DC ＝OB，得出OE＝DC．证出OE∥DC．即可得出结论；（III）由旋转的性质得：在旋转的过程中，点C在以点A为圆心，以AB为半径的圆上，过点A作AG⊥OE交OE的延长线于G，当G、A、C三点共线时，△OEC面积最大，证△OBE是等边三角形，得出∠OEB＝60°，求出AG＝，得出CG＝+2，进而得出答案．解：（Ⅰ）∵A（，0），点B（0，1），∴OA＝，OB＝1，在△AOB中，∠AOB＝90°，tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝30°．∴AB＝2OB＝2，由旋转性质得，DA＝OA＝，过D作DM⊥OA于M，如图①所示：则在Rt△DAM中，DM＝AD＝，AM＝DM＝，∴OM＝AO﹣OM＝﹣，∴D（﹣，）．（Ⅱ）延长OE交AC于F，如图②所示：在Rt△AOB中，点E为AB的中点，∠BAO＝30°，∴OE＝BE＝AE．又∠ABO＝60°，∴△BOE是等边三角形，∴OE＝OB，∴∠BOE＝60°，∴∠EOA＝30°，由旋转性质，DC＝OB，∴OE＝DC．∵α＝60°，∴∠OAD＝60°，由旋转性质知，∠DAC＝∠OAB＝30°，∠DCA＝∠OBA＝60°，∴∠OAC＝∠OAD+∠DAC＝90°，∴∠OFA＝90°﹣∠EOA＝90°﹣30°＝60°，∴∠DCA＝∠OFA，∴OE∥DC．∴四边形OECD是平行四边形．（III）由旋转的性质得：在旋转的过程中，点C在以点A为圆心，以AB为半径的圆上，如图③所示：过点A作AG⊥OE交OE的延长线于G，当G、A、C三点共线时，△OEC面积最大，∵点E是边AB中点，∠AOB＝90°，AB＝2，∴OE＝BE＝AE＝AB＝1＝OB，∴△OBE是等边三角形，∴∠OEB＝60°，∴∠AEG＝∠OEB＝60°，在Rt△AEG中，∠AGE＝90°，AE＝1，sin∠AEG＝，∴AG＝AE×sin∠AEG＝1×＝，∴CG＝AG+AC＝AG+AB＝+2，∴△OEC面积的最大值＝OE×CG＝×1×（+2）＝+1．25．已知抛物线C：y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（Ⅰ）求抛物线C的解析式和顶点坐标；（Ⅱ）将抛物线C绕点O顺时针旋转180°得抛物线C′，且有点P（m，t）既在抛物线C上，也在抛物线C′上，求m的值；（Ⅲ）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．【分析】（Ⅰ）点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，则点B的坐标为（3，0），则y＝（x+1）（x﹣3），即可求解；（Ⅱ）点P（m，t）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，有t＝m2﹣2m﹣3，由点P也在抛物线C′上，有t＝﹣m2﹣2m+3，则m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，即可求解；（III）分a+1＜1、a＜1≤a+1、a≥1三种情况，分别求解即可．解：（Ⅰ）∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，∴点B的坐标为（3，0），则y＝（x+1）（x﹣3），即抛物线C的表达式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4；∴顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅱ）由抛物线C解析式知B（3，0），点A的坐标为（﹣1，0），所以点A点B关于原点的对称点为（1，0）和（﹣3，0），都在抛物线C′上，且抛物线C′开口向下，形状与由抛物线C相同，于是可得抛物线C′的解析式为y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3；由点P（m，t）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，有t＝m2﹣2m﹣3，由点P也在抛物线C′上，有t＝﹣m2﹣2m+3，∴m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，解得：m＝；（III）①当a+1＜1时，即a＜0，则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，解得a＝1﹣（正值舍去）；②当a＜1≤a+1时，即0≤a＜1，则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，解得：a＝﹣2（舍去）；③当a≥1时，则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2+（负值舍去）；综上，a的值为1﹣或2+．。

天津市河西区2020届高三高考一模数学试题(含答案解析)

天津市河西区2020届高三高考一模数学试题(含答案解析)

天津市河西区2020届高三高考一模数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习天津市河西区2020届高三高考一模数学试题（含答案解析）1 已知集合，，则A∩B=（）A. (－2,1)B. (－1,3)C. {－1,0}D.{0,1,2}【答案解析】 D【分析】根据题意可知，解不等式，得，即，再与集合取交集，即可.【详解】又故选：D2 命题：“，则”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案解析】 C【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到结论．【详解】解：已知：“，则”，则命题的否定是：，，故选：C．3 共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照，，……分成5组，根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示），计算，，，的值分别为（）组别分组频数频率第1组80.16第2组■第3组200.40第4组■008第5组2合计■■A. 16，0.04，0.032，0.004B. 16，0.4，0.032，0.004C. 16，0.04，0.32，0.004D. 12，0.04，0.032，0.04【答案解析】 A【分析】根据频率和平时关系，可求出的频率，由所有组频率之和为1得出的频率，从而算出，最后根据频率和组距的关系，求出和.【详解】解：由频率分布直方图和频数分布表得：的频率为：，的频率为：，，，，即，，，的值分别为16，0.04，0.032，0.004.故选：A．4 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，且，则（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案解析】 C由余弦定理得，又由正弦定理可得，即，则，又，解得，故选C.5 已知，，则（）A. B.C. D.【答案解析】 A【分析】根据题意，将两边平方化简得：，由得出，，结合同角三角函数的平方关系得出和，最后再运用二倍角的余弦公式，即可求出.【详解】解：，，两边平方后得：，即，，，，，则.故选：A．6 设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为A. B. C. 2 D. 3【答案解析】 B【详解】通径|AB|=得，选B7 已知定义域为R的函数在上单调递减，函数是偶函数，若，，，为自然对数的底数，则a、b、c的大小关系是（）A. B.C. D.【答案解析】 B【分析】由题可知，函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称，，根据对数的运算和函数对称性得出，由指数函数单调性得出，由对数函数单调性得出，综合得出，再根据函数在上单调递减，即可得出答案.【详解】解：根据题意，函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称，则，又由，，即，则，所以，且函数在上单调递减，所以，即：.故选：B．8 已知函数的最小正周期为，的图象关于轴对称，且在区间上单调递增，则函数在区间上的值域为（）A. B.C. D.【答案解析】 A【分析】根据题意，利用辅助角公式化简得，根据最小正周期求出，由函数的对称性和单调性，得出和，从而得出，最后利用整体法求出的值域.【详解】解：由题可知，函数，则，由于的最小正周期为，，，又已知的图象关于轴对称，，，则，在区间上单调递增，可以令，此时，则函数，所以在区间上，则，，得，，所以，，即的值域为，.故选：A．9 已知函数（为常数，为自然对数的底数）的图象在点处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是（）A. B. 或C. D. 或【答案解析】 D【分析】利用导数的额几何意义求出切线方程，根据分段函数图象与切线恰好有三个公共点，得到当时，切线与有两个不同的交点，利用二次函数根的分布建立不等式关系，即可求出实数的取值范围.【详解】解：由，，得，则（e），在点处的切线方程为：，①由于函数，②由①②联立方程组可得：，化简得：，③要使得函数在点处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，切线与，，在点有一个交点，只需要满足③式在内有两个不相同的实数根即可，则只需和抛物线对称轴小于1，且当时，才能保证在内有两个不相同的实数根，则，即，解得：，的范围：或.故选：D．10 设复数（i是虚数单位），则z的共轭复数______.【答案解析】【分析】根据复数的代数式除法运算，即可化简出，再根据共轭复数的定义，即可得出结果. 【详解】解：复数，的共轭复数，故答案为：．11 已知的展开式中第6项的系数为－189，则展开式中各项的系数和为______.【答案解析】 128【分析】根据二项展开式的通项公式得出，从而得出第六项系数，求出，最后利用赋值法求展开式中各项的系数和.【详解】解：由题意，通项为：，由于的展开式中第6项的系数为-189，则第六项系数为：，解得：，故该二项式为，令得展开式各项系数的和为：．故答案为：128．12 已知圆锥的高为1，体积为，则以该圆锥的母线为半径的球的体积为______.【答案解析】【分析】由圆锥的高为1，体积为，根据圆锥的体积公式求出底面的半径，然后由母线，高，底面半径之间的关系求出母线的值，进而求出该圆锥的母线为半径的球的体积．【详解】解：由题可知，圆锥的高为1，体积为，设圆锥的底面圆的半径为，由题意可得，所以，所以圆锥的母线，所以圆锥的母线为半径的球的体积.故答案为：．13 已知圆C的圆心在第一象限，且在直线上，圆C与抛物线的准线和轴都相切，则圆C的方程为______.【答案解析】【分析】根据题意，可设圆心为，，由于圆与抛物线的准线和轴都相切，由直线与圆相切的性质，得出圆的半径，求出圆心和半径，可得圆的标准方程．【详解】解：圆的圆心在第一象限，且在直线上，故可设圆心为，，圆与抛物线的准线和轴都相切，故圆的半径，解得：，或（舍去），故圆的圆心为，半径为2，则圆的方程为：.故答案为：．14 若实数，满足，且，则的最小值为______；的最大值为______.【答案解析】；【分析】根据题意，，且，由对数的运算得出，利用基本不等式的性质直接求解可得的最小值，通过转化，再运用基本不等式即可求得答案．【详解】解：，，实数、满足，（当且仅当，时等式成立），，当且仅当，时等式成立．故答案为：，．15 在△ABC中，，，，，则______；设，且，则的值为______.【答案解析】 3 ；【分析】由可得，然后两边平方处理，结合平面向量的数量积运算，解方程即可；把和代入，化简整理后，代入已知数据，解关于的方程即可得解．【详解】解：，、、三点共线，，两边平方得：，，解得：（舍去）．，，化简整理，得，，解得．故答案为：3，．16 近年来，随着全球石油资源紧张、大气污染日益严重和电池技术的提高，电动汽车已被世界公认为21世纪汽车工业改造和发展的主要方向.为了降低对大气的污染和能源的消耗，某品牌汽车制造商研发了两款电动汽车车型A和车型B，并在黄金周期间同时投放市场.为了了解这两款车型在黄金周的销售情况，制造商随机调查了5家汽车4S店的销量（单位：台），得到下表：4S店甲乙丙丁戊车型A6613811车型B1291364（1）若从甲、乙两家4S店销售出的电动汽车中分别各自随机抽取1台电动汽车作满意度调查，求抽取的2台电动汽车中至少有1台是车型A的概率；（2）现从这5家汽车4S店中任选3家举行促销活动，用X表示其中车型A销量超过车型B 销量的4S店的个数，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案解析】（1）；（2）分布列见解析，【分析】（1）先根据古典概型依次求出从甲、乙店分别随机抽取的1台电动汽车是车型的概率，然后依据独立事件的概率和从对立事件的角度出发求解问题即可；（2）由表可知，车型销量超过车型销量的店有2家，故的可能取值为0，1，2，然后根据超几何分布求概率的方法逐一求出每个的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．【详解】（1）解：设“从甲店随机抽取的1台电动汽车是车型”为事件，“从乙店，随机抽取的1台电动汽车是车型”为事件，依题意，，，且事件、相互独立，设“抽取的2台电动汽车中至少有1台是车型”为事件，则.（2）解：由表可知，车型销量超过车型销量的店有2家，故的所有可能取值为：0，1，2，且，，，所以随机变量的分布列为：12所以.17 如图所示的几何体P﹣ABCDE中，和均为以A为直角顶点的等腰直角三角形，，，，，M为的中点.（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）设N为线段上的动点，使得平面平面，求线段的长.【答案解析】（1）证明见解析；（2）45°；（3）【分析】（1）根据题意，得出，，根据线面垂直的判定定理得出平面，则，建立以为原点，，，为，，轴的空间直角坐标系，利用向量法能证明；（2）求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量法能求出二面角的大小；（3）设，，，求出，，，令，则，解得为的中点，利用向量法能求出线段的长．【详解】解：依题意得，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，则，，所以面，又，可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，，，，，，，（1）证明：由题意，，，因为，所以.（2）解：，，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得，平面的一个法向量，因此有，由图可得二面角为锐二面角，所以二面角的大小为.（3）解：（方法一）设，，所以，因此，令，即，解得，即为的中点，因为平面，平面，，所以当为的中点时，平面平面，此时即，，所以线段的长为.（方法二）设，，所以，因此，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得，因为平面平面，所以，解得：，此时即，，所以线段的长为.18 设{an}是各项均为正数的等差数列，，是和的等比中项，{bn}的前n项和为，.（1）求{an}和{bn}的通项公式;（2）设数列{cn}的通项公式.（i）求数列{cn}的前项和；（ii）求.【答案解析】（1），；（2）（i）；（ii）【分析】（1）因为，是和的等比中项，根据等比中项可求得，再根据等差数列的通项公式求出，利用与的关系，证出是以2为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项公式；（2）根据（1）中和的通项公式，列出数列的通项公式，利用分组求和法，分成奇数组和偶数组，即可求出数列的前项和；将分为奇数和偶数两种情况，当为奇数时，设，运用裂项相消法化简求出结果；当为偶数时，设，运用错位相减法求出结果；分别求解出后，相加求得的值即可．【详解】（1）解：设等差数列的公差为，因为，是和的等比中项，所以，即，解得，因为是各项均为正数的等差数列，所以，故，因为，所以，两式相减得：，当时，，，是以2为首项，2为公比的等比数列，.（2）（i）解：，所以.（ii）解：当为奇数时，设，当为偶数时，设，，所以，故，所以.19 设椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线交椭圆C于点、（不与左右顶点重合），连结、，已知周长为8.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线的斜率为1，求的面积；（3）设，且，求直线的方程.【答案解析】（1）；（2）；（3）或【分析】（1）由椭圆的离心率公式和椭圆的定义，可得，，再由，，的关系可得，进而得到所求椭圆方程；（2）求得直线的方程，联立椭圆方程，消去，运用韦达定理，结合的面积为，计算可得所求值；（3）设直线的方程为，，，联立椭圆方程，运用韦达定理，由，得出，结合，设，所以，，运用韦达定理可求出，进而得到所求直线方程．【详解】（1）解：由题可知，周长为8，由椭圆的定义，可知的周长等于，则，所以，又，所以，，因此椭圆的方程为.（2）解：依题意，直线的方程为，与椭圆方程联立，整理得：，由韦达定理：，，. （3）解：设直线的方程为，，，直线与椭圆方程联立，整理得：，由韦达定理：①，②，因为，所以，即，由，，得：，所以，又，不妨设，所以，，代入，所以，所以，整理得，代入①②，计算得，所以直线的方程为或.20 已知函数（，为自然对数的底数）.（1）若函数f(x)在点处的切线的斜率为，求实数a的值；（2）当时，讨论函数f(x)的单调性；（3）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案解析】（1）2；（2）当时，单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，单调递减区间为，，单调递增区间为；（3）【分析】（1）由，得出，利用，解得；（2），，令，解得：或0，对分类讨论，利用导数研究出函数的单调性；（3）由于在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立，即当时，，设，则，构造函数，通过对分类讨论，利用导数研究函数的单调性，即可求出实数的取值范围.【详解】（1）解：由于，，，因为函数在点处的切线的斜率为，所以，解得：.（2）解：依题意知，，令，解得：或0，当时，令，得或，所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，当时，令，得，所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为. （3）解：由于在区间上恒成立，即在区间上恒成立，依题意，当时，，即当时，，设，则，设，则，①当时，当时，，从而，所以在区间为上单调递增，又∵，当时，，从而时，，所以在区间为上单调递减，又∵，从而当时，，即，于是当时，；②当时，令，得，∴，当时，，∴在区间上单调递减，又∵，当时，，从而当时，，∴在区间上单调递增，又∵，从而当时，，即，不合题意，综上所述，实数的取值范围为.。

2020年天津市红桥区高考数学一模试卷(附答案详解)

2020年天津市红桥区高考数学一模试卷(附答案详解)

2020年天津市红桥区高考数学一模试卷一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1. 已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合M ={3,4,5}，N ={1,2,5}，则集合{1,2}可以表示为( )A. M ∩NB. (∁U M)∩NC. M ∩(∁U N)D. (∁U M)∩(∁U N)2. 下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )A. y =−x 2+1B. y =1xC. y =2−xD. y =lnx 3. 方程log 2x +x =2的解所在的区间为( )A. (0.5,1)B. (1,1.5)C. (1.5,2)D. (2,2.5)4. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A. πB. 3π4C. π2D. π4 5. 已知函数y =sin(ωx +φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将y =sin(ωx +φ)的图象向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则φ的一个可能取值为( ) A. 3π4 B. π4C. 0D. −π4 6. 在△ABC 中，“A >π3”是“cosA <12”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中(每次摸球后放回)中奖的次数为ξ，则ξ的期望为( )A. 95B. 185C. 65D. 245 8. 已知双曲线x 2−y 2m =1与抛物线y 2=8x 的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为( )A. x ±2y =0B. 2x ±y =0C. √3x ±y =0D. x ±√3y =09. 如图所示，在菱形ABCD 中，AB =1，∠DAB =60°，E 为CD 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是( )A. 1B. −1C. 2D. −2二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）10.i是虚数单位，则21+i=______．11.函数f(x)=x2e x的单调减区间是______．12.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2−4y=0所截得的弦长为______ ．13.(2√x−1√x)6的二项展开式中的常数项为______ (用数字作答)．14.若4x+4y=1，则x+y的取值范围是______．15.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数，若函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在[a,b]上有两个不同的零点，则称f(x)与g(x)在[a,b]上是“关联函数”.若f(x)=1 3x3+m与g(x)=12x2+2x在[0,3]上是“关联函数”，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=4，C=2B．(Ⅰ)求cosB的值；(Ⅱ)求sin(2B−π4)的值．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD=2AD，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD为正方形，M，N分别为AD，PD的中点．(Ⅰ)证明：PA//平面MNC；(Ⅱ)求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；(Ⅲ)求二面角M−NC−D的余弦值．18.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√22，且右焦点到直线x−y+2=0的距离为2√2．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若k AC⋅k BD=−b2a2，证明：四边形ABCD的面积为定值．19.已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，数列{b n}是公比大于0的等比数列，且b1=−2a1=2，a3+b2=−1，S3+2b3=7．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)令c n={2,n为奇数−2a nb n,n为偶数，求数列{c n}的前n项和T n．20.已知函数f(x)=x2+2x+alnx．(1)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调函数，求实数a的取值范围；(2)当t≥1时，不等式f(2t−1)≥2f(t)−3恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵M={3,4,5}，N={1,2,5}，∴M∩N={5}，(∁U M)∩N={1,2}，M∩(∁U N)={3,4}，(∁U M)∩(∁U N)=⌀，故选：B根据元素之间的关系进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=−x2+1，为二次函数，不是奇函数，不符合题意；，为反比函数，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递减，符合题意；对于B，y=1x)x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，y=2−x=(12对于D，y=lnx，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；故选：B．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：设f(x)=log2x+x−2，在(0,+∞)上单调递增．∵f(1)=0+1−2=−1<0，f(1.5)=log21.5−0.5=log21.5−log2√2>0∴根据函数的零点存在性定理得出：f(x)的零点在(1,1.5)区间内∴方程log2x+x=2的解所在的区间为(1,1.5)判断f(x)=log 2x +x −2，在(0,+∞)上单调递增．根据函数的零点存在性定理得出：f(1)⋅f(1.5)<0，可得出f(x)的零点在(1,1.5)区间内，即可得出答案．本题考查了函数的单调性，函数零点的判断，方程解所在的区间，属于中档题，但是难度不大，常规题目．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，属于基础题．根据题意，可得该圆柱底面圆周半径r =√12−(12)2=√32，由此能求出该圆柱的体积． 【解答】解：如图所示：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，∴该圆柱底面圆周半径r =√12−(12)2=√32， ∴该圆柱的体积：V =π×(√32)2×1=3π4．故选B ．5.【答案】B【解析】解：函数y =sin(ωx +φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2，所以π2=πω，解得ω=2， 现将y =sin(2x +φ)的图象向左平移π8个单位后得到一个g(x)=sin(2x +π4+φ)为偶函数，则φ+π4=kπ+π2(k ∈Z)，整理得φ=kπ+π4(k ∈Z)，当k =0时，φ=π4．直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的奇偶性的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】C【解析】解：在三角形内0<A <π，由cosA <12，则π3<A <π，则“A >π3”是“cosA <12”的充要条件，故选：C根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的取值范围进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数的定义是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．一次摸奖中奖的情况是摸到的两个球恰好一红一白，由此能求出一次摸奖中奖的概率p.ξ的所有可能取值为0、1、2、3，分别求出P(ξ=0)，P(ξ=1)，P(ξ=2)，P(ξ=3).由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：一次摸球中奖的情况是摸到的两个球恰好一红一白，∴p =C 31C 21C 52=35． ξ的所有可能取值为0、1、2、3，则P(ξ=0)=(25)3=8125，P(ξ=1)=C 31⋅(25)2⋅(35)1=36125，P(ξ=2)=C 32⋅(25)1⋅(35)2=54125，P(ξ=3)=(35)3=27125．∴ξ的分布列为：∴Eξ=0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=95． 故选：A ．8.【答案】C【解析】解：∵点P 在抛物线y 2=8x 上，|PF|=5，∴P(x 0,y 0)满足x 0+p 2=5，得x 0=5−p 2=5−2=3因此y 02=8x 0=24，得y 0=±2√6 ∴点P(3,±2√6)在双曲线x 2−y 2m=1上 可得9−24m =1，解之得m =3∴双曲线标准方程为x 2−y 23=1，得a =1，b =√3，渐近线方程为y =±bxa ，即y =±√3x故选：C 根据抛物线y 2=8x 上的点P 满足|PF|=5，可得P(3,±2√6)，代入双曲线方程算出m 的值，即可得到双曲线的a 、b 之值，从而得到该双曲线的渐近线方程．本题给出双曲线与抛物线交于点P ，在已知抛物线的焦半径PF 长的情况下，求双曲线的渐近线，考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：∵菱形ABCD ，∴AD =AB =1，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=1×1×cos60°+12×1=1． 故选：A ．利用平面向量的加法运算可知，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，并结合数量积的运算即可得解．本题考查平面向量的加法和数量积运算，考查学生的运算能力，属于基础题．10.【答案】1−i【解析】解：∵21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1−i ，∴21+i =1−i ，故答案为：1−i先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母再进行复数的除法运算，整理成最简形式．本题考查复数的除法运算，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要一定要得分的题目．11.【答案】(−2,0)【解析】解：函数f(x)=x 2e x 的导数为y′=2xe x +x 2e x =xe x (x +2)，令y′<0，解得−2<x <0，故函数的单调减区间是(−2,0)，故答案为(−2,0)．先求出函数的导数，令导数小于零，解得x 的范围，就可得到函数的单调减区间． 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．12.【答案】2√3【解析】解：设弦长为l ；过原点且倾斜角为60°的直线为y =√3x整理圆的方程为x 2+(y −2)2=4，圆心为(0,2)，半径r =2圆心到直线的距离为|2+0|2=1， 则l 2=√4−1=√3；∴弦长l =2√3故答案为：2√3先根据题意求得直线的方程，进而整理圆的方程求得圆心坐标和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用勾股定理求得弦长．本题主要考查了直线与圆相交的性质．考查了基本的计算的能力和数形结合的思想的应用．13.【答案】−160【解析】【分析】根据题意，利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，将r 的值代入通项求出展开式的常数项．本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是熟练掌握二项式定理，正确写出其通项，属于基础试题．【解答】解：(2√x√x )6展开式的通项为T r+1=C6r⋅(2√x)6−r⋅√x)r=(−1)r⋅C6r⋅26−r⋅x3−r，令3−r=0，可得r=3，其常数项为T4=(−1)r⋅C6r⋅26−r=−160；故答案为−160．14.【答案】(−∞,−1]【解析】解：∵4x+4y=1，∴(2x)2+(2y)2=1，设2x=sinα，2y=cosα，∴2x⋅2y=2x+y=sinα⋅cosα=12sin2α≤12，∴0<2x+y≤12，∴x+y≤−1，∴x+y的取值范围是：(−∞,−1]，故答案为：(−∞,−1]．由4x+4y=1，得(2x)2+(2y)2=1，利用三角代换设2x=sinα，2y=cosα，所以2x+y=12sin2α，再利用三角函数的范围，即可求出x+y的范围．本题主要考查了三角代换求范围，是中档题．15.【答案】[32,103) 【解析】解：∵f(x)=13x 3+m 与g(x)=12x 2+2x 在[0,3]上是“关联函数”，由定义可得，可把问题转化为m =−13x 3+12x 2+2有两个零点；即y =m 与k(x)=−13x 3+12x 2+2在[0,3]上有两个交点；∵k′(x)=−x 2+x +2=−(x +1)(x −2)；∴k(x)在[0,2]上递增，在[2,3]上递减；且k(0)=0，k(2)=103，k(3)=32； 故实数m 的取值范围是：[32,103).故答案为：[32,103).由定义可得，可把问题转化为m =−13x 3+12x 2+2有两个零点；即y =m 与k(x)=−13x 3+12x 2+2在[0,3]上有两个交点；作函数的图象求解．本题考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)因为C =2B ，所以sinC =sin2B ，可得sinC =2sinBcosB ，可得c =2bcosB ，因为b =3，c =4，所以cosB =23．(Ⅱ)由cosB =23，可得sinB =√53， 因为sin2B =2sinBcosB =4√59， cos2B =cos 2B −sin 2B =−19，故sin(2B −π4)=sin2Bcos π4−cos2Bsin π4=4√10+√218．【解析】(Ⅰ)由已知利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理可得c =2bcosB ，结合已知可求cosB 的值．(Ⅱ)利用同角三角函数基本关系式可求sinB =√53，利用二倍角公式可求sin2B ，cos2B 的值，进而根据两角差的正弦函数公式即可计算求解sin(2B −π4)的值．本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.【答案】(Ⅰ)证明：因为M ，N 分别为AD ，PD 的中点，所以MN//PA ，又PA ⊄平面MNC ，MN ⊂平面MNC ，则PA//平面MNC ．(Ⅱ)解：因为PD ⊥CD ，PD ⊥AD ，且AD ∩CD =D ，所以PD ⊥平面ABCD ，又底面ABCD 为正方形，则以点D 为原点建立空间直角坐标系D −xyz(如图)，设AD =2，可得A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，N(0,0,2)，M(1,0,0)，P(0,0,4)．向量PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−4)，NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)． 设n⃗ =(x,y,z)为平面MNC 的法向量， 则{NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0即{2y −2z =0−x +2z =0， 不妨令y =1，可得n⃗ =(2,1,1)为MNC 平面的一个法向量， 设直线PB 与平面MNC 所成角为α，于是有sinα=|cos⟨n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩|=|n ⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=16． (Ⅲ)解：因为m ⃗⃗⃗ =(1,0,0)为平面NCD 的法向量，所以cos⟨m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ⟩=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√63． 由图观察可知二面角M −NC −D 的平面角为锐角，则二面角M−NC−D的余弦值为√63．【解析】【试题解析】本题考查直线与平面所成角、二面角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．(Ⅰ)证明MN//PA，然后证明PA//平面MNC．(Ⅱ)以点D为原点建立空间直角坐标系，求出平面MNC的法向量，设直线PB与平面MNC 所成角为α，利用空间向量的数量积求解即可．(Ⅲ)求出平面NCD的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．18.【答案】解：(Ⅰ)因为右焦点(c,0)c>0，到直线x−y+2=0的距离为d=√2=2√2，解得c=2，e=√22=ca，a2=b2+c2，a=2√2,b=2，所以x28+y24=1．(Ⅱ)证明：设l AB：y=kx+m，代入x28+y24=1，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−8=0，则x1+x2=−4km1+2k2，x1⋅x2=2m2−81+2k2，因为k AC⋅k BD=−b2a2，得x1⋅x2=−2y1⋅y2，即x1⋅x2=−2(kx1+m)(kx2+m)，解得m2=4k2+2，因为S ABCD=4S△AOB，且S△AOB=12|AB|d，又|AB|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2，d=√1+k2，整理得S△AOB=12|m|√16k2m2(1+2k2)2−8(m2−4)1+2k2=2√2，所以S ABCD=4⋅2√2=8√2为定值．【解析】(Ⅰ)求出右焦点(c,0)c>0，到直线x−y+2=0的距离解得c=2，利用离心率，求出a，然后求解b，即可得到椭圆方程．(Ⅱ)设l AB ：y =kx +m 代入x 28+y 24=1，利用韦达定理，通过k AC ⋅k BD =−b 2a 2，结合S ABCD =4S △AOB ，转化求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q >0， 且b 1=−2a 1=2，a 3+b 2=−1，S 3+2b 3=7．∴a 1=−1，b 1=2，−1+2d +2q =−1，3×(−1)+3d +2×2×q 2=7， 解得d =−2，q =2．∴a n =−1−2(n −1)=1−2n ，b n =2n ．(2)c n ={2,n 为奇数2n−12n−1,n 为偶数． ①n =2k(k ∈N ∗)时，数列{c n }的前n 项和T n =T 2k =(c 1+c 3+⋯+c 2k−1)+(c 2+c 4+⋯+c 2k )=2k +(32+723+⋯+4k−122k−1)， 令A k =32+723+⋯+4k−122k−1，∴14A k =323+725+⋯+4k−522k−1+4k−122k+1， ∴34A k =32+4(123+125+⋯+122k−1)−4k−122k+1=32+4×18(1−14k−1)1−14−4k−122k+1，可得A k =269−12k+139×22k−1．∴T n =T 2k =2k +269−12k+139×22k−1．②n =2k −1(k ∈N ∗)时，数列{c n }的前n 项和T n =T 2k−2+a 2k−1=2(k −1)+269−12(k−1)+139×22(k−1)−1+2=2k +269−12k+19×22k−3． ∴T n ={2k +269−12k+139×22k−1,n =2k 2k +269−12k+19×22k−3,n =2k −1，k ∈N ∗．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q >0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．(2)c n ={2,n 为奇数2n−12n−1,n 为偶数.对n 分类讨论，分组求和，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“错位相减法”，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．20.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域是(0,+∞)∵f(x)=x 2+2x +alnx∴f′(x)=2x 2+2x+a x (x >0)，设g(x)=2x 2+2x +a ，则g(x)=(x +12)2−12+a ，∵函数f(x)在区间(0,1)上为单调函数，∴g(0)≥0，或g(1)≤0，∴a ≥0，或2+2+a ≤0，∴实数a 的取值范围是{a|a ≥0，或a ≤−4}．(2)不等式f(2t −1)≥2f(t)−3可化为2t 2−4t +2≥alnt 2−aln(2t −1)∴2t 2−alnt 2≥2(2t −1)−aln(2t −1)令ℎ(x)=2x −alnx(x ≥1)，则问题可化为ℎ(t 2)≥ℎ(2t −1)∵t ≥1，∴t 2≥2t −1要使上式成立，只需要ℎ(x)=2x −alnx(x ≥1)是增函数即可即ℎ′(x)=2−a x ≥在[1,+∞)上恒成立，即a ≤2x 在[1,+∞)上恒成立，故a ≤2 ∴实数a 的取值范围是(−∞,2]．【解析】(1)由f(x)=x 2+2x +alnx(a ∈R)，知f′(x)=2x 2+2x+a x ，设g(x)=2x 2+2x +a ，由函数f(x)在区间(0,1)上为单调函数，建立不等式，即可求出实数a 的取值范围．(2)不等式f(2t −1)≥2f(t)−3可化为2t 2−4t +2≥alnt 2−aln(2t −1)，即2t 2−alnt 2≥2(2t −1)−aln(2t −1)，令ℎ(x)=2x −alnx(x ≥1)，要使上式成立，只需要ℎ(x)=2x −alnx(x ≥1)是增函数即可，从而可求实数a 的取值范围．本题重点考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，同时考查学生分析解决问题的能力，有综合性．。

2020年天津市和平区高考数学一模试卷(含答案解析)

2020年天津市和平区高考数学一模试卷(含答案解析)

2020年天津市和平区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设全集，，0，，则A. B. 1， C. D. 1，2.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知表示不超过实数x的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则A. 4B. 5C. 2D. 34.已知双曲线的两条渐近线与抛物线：的准线分别交于A，B两点．若双曲线C的离心率为2，的面积为，O为坐标原点，则抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.5.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，，从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上含90分的人数为，则的数学期望为A. B. C. D.6.已知函数，给出下列四个结论，其中正确的结论是A. 函数的最小正周期是B. 函数在区间上是减函数C. 函数的图象关于对称D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到7.函数是定义在R上的奇函数，对任意两个正数，都有，记，则a，b，c之间的大小关系为A. B. C. D.8.国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为A. 378B. 306C. 268D. 1989.已知圆O的半径为2，P，Q是圆O上任意两点，且，AB是圆O的一条直径，若点C满足，则的最小值为A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.已知a为实数，i为虚数单位，若复数为纯虚数，则______．11.若的展开式中的系数为，则实数______．12.已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体的体积为______．13.函数的图象在处的切线被圆C：截得弦长为2，则实数a的值为______．14.若，，且，则此时______，的最小值为______．15.已知函数，则______；若方程在区间有三个不等实根，则实数的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.在中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，．Ⅰ求角C的大小；Ⅱ若，求：边长c；的值．17.如图所示，平面平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，，，，．Ⅰ求证：平面CDE；Ⅱ求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小；Ⅲ求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．18.已知椭圆C：的离心率，左、右焦点分别是、，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线l：相切．求椭圆C的标准方程；设P为椭圆C上不在x轴上的一个动点，过点作OP的平行线交椭圆与M、N两个不同的点，记，，令，求S的最大值．19.数列是等比数列，公比大于0，前n项和，是等差数列，已知，，，．Ⅰ求数列，的通项公式，；Ⅱ设的前n项和为：求；若，记，求的取值范围．20.已知函数，a，，且若函数在处取得极值，试求函数的解析式及单调区间；设，为的导函数，若存在，使成立，求的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：0，1，，，0，，，1，．故选：B．可以求出集合I，然后进行补集、并集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，补集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：“”，即，“”是“”的充要条件．故选：C．，化简即可判断出结论．本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：函数是在时，函数是连续的增函数，，，函数的零点所在的区间为，．故选：C．由函数的解析式可得，，再根据函数的零点的判定定理求得函数的零点所在的区间．即可求得则本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．4.答案：B解析：解：双曲线的两条渐近线方程是，又抛物线的准线方程是，故A，B两点的纵坐标分别是，又由双曲线的离心率为2，所以，即，则，A，B两点的纵坐标分别是，又的面积为，可得，得，抛物线的焦点坐标为，故选：B．求出双曲线的渐近线方程与抛物线的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，的面积为，列出方程，由此方程求出p的值，可得所求焦点坐标．本题解题的关键是求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，解出A，B两点的坐标，考查离心率公式和三角形的面积公式，有一定的运算量，属于中档题．5.答案：B解析：解：由题意得：，解得，由题意得内的人数为人，内的人数为人，从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上含90分的人数为，则的可能取值为0，1，2，，，，则的数学期望．故选：B．由频率分布直方图求出，内的人数为9人，内的人数为3人，从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上含90分的人数为，则的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的数学期望．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、排列组、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.答案：B解析：解：函数，函数的周期为：，所以A不正确；，解得：，所以函数在区间上是减函数，所以B正确．时，可得：，所以C不正确；由函数的图象向左平移个单位得到函数，所以D不正确；故选：B．利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的周期，单调减区间，对称轴以及函数图象的变换，判断选项的正误即可．本题考查两角和与差的三角函数，函数的图象的对称性，单调性，三角函数的特征的变换，是基本知识的考查．7.答案：A解析：解：构造函数，则函数单调递减，，，，故选：A．构造函数，则函数单调递减，比较变量的大小，即可得出结论．本题考查函数的单调性，考查构造方法的运用，正确构造函数是关键．8.答案：D解析：解：由题可知选出的3个媒体团的构成有如下两类：选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有种不同的提问方式；选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，有种不同的提问方式；综上，共有种不同的提问方式．故选：D．先对选出的3个媒体团的构成情况进行分类，再考虑提问顺序，借助于两大原理解决问题．本题主要考查排列、组合的综合应用，属于基础题．9.答案：C解析：【分析】运用向量的三角形法则和数量积的定义，化简要求的最小值问题就是求的最小值，由于点C满足，两边平方转化为二次函数的最值问题，即可得到所求最小值．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题．【解答】解：由题意可得，是圆O的任意一条直径，，，．要求的最小值问题就是求的最小值，由于点C满足，两边平方可得，当时，，取得最小值1，故的最小值为，故选C．10.答案：解析：解：复数为纯虚数，，，解得．又．则．故答案为：．复数为纯虚数，可得，，解得又利用复数模的运算性质即可得出．本题考查了复数的周期性、纯虚数的定义、复数模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：解析：解：的展开式的通项公式为，令，可得，故展开式中的系数为，则实数，故答案为：．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于4，求得r的值，即可求得展开式中的系数，再根据的系数为，求出a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．12.答案：解析：解：由正方体的体积为8，可知正方体的棱长为2，作其截面图如图，可得半球体的半径，则其体积故答案为：．由题意画出截面图，结合正方体的体积求出外接球的半径，再由球的体积公式求解．本题考查多面体外接球体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．13.答案：或2解析：解：由题意得，所以，．所以切线为：，即．圆C：的圆心为，半径，又因为弦长．所以圆心到直线的距离为．所以到切线的距离为：，解得或2．故答案为：或2．先利用导数表示出函数在处的切线方程，然后利用点到直线的距离公式列方程求出a的值．本题考查导数的几何意义和直线与圆的位置关系．涉及直线与圆相交的弦长问题，注意利用垂径定理列方程求解．属于中档题．14.答案：2解析：解：因为，所以，，且x，．．故答案为：2，．先根据已知的等式，找到x，y之间的关系式，然后结合基本不等式的使用条件求出结论的最值．本题考查利用基本不等式求最值的问题，关键是适用条件要把握准，取等号的条件成立．属于中档题．15.答案：81解析：解：函数，；；；若，则，，．若，则，，．，，．设和，则方程在区间内有3个不等实根，、等价为函数和在区间内有3个不同的零点．作出函数和的图象，如图：当直线经过点时，两个图象有2个交点，此时直线为，当直线经过点时，两个图象有4个交点，此时直线为，当直线经过点和时，两个图象有3个交点，此时直线为，要使方程在区间内有3个不等实根，则或．故实数的取值范围为：故答案为：81，根据分段函数的解析式得到；即可求出第一问；作出函数和的图象．利用两个图象的交点个数问题确定a的取值范围．本题主要考查方程根的个数的应用，将方程转化为函数，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．注意第二问是问a的倒数的取值范围．16.答案：解：Ⅰ由已知及正弦定理得分，，，分分Ⅱ因为，，由余弦定理得，分由，分因为B为锐角，所以分，分分解析：利用正弦定理、和差公式化简即可得出．因为，，利用余弦定理即可得出．由，可得cos B再利用倍角公式、和差公式即可得出．本题考查了正弦定理、余弦定理、倍角公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：Ⅰ证明：四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形，，，又平面平面BCEF，且平面平面，平面BCEF．以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：0，，0，，0，，0，，4，，2，，则，0，．，，为平面CDE的一个法向量．又平面CDE．平面CDE．Ⅱ设平面ADE的一个法向量为，则0，，4，，得1，平面BCEF，平面BCEF一个法向量为，设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为，则因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为．Ⅲ根据Ⅱ知平面ADE一个法向量为得1，，，设直线EF与平面ADE所成角为，则因此，直线EF与平面ADE所成角的余弦值为．解析：以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立空间直角坐标系．Ⅰ为平面CDE的一个法向量，证明平面CDE，只需证明；Ⅱ求出平面ADE的一个法向量、平面BCEF一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADE 与平面BCEF所成锐二面角的余弦值；Ⅲ求出平面ADE一个法向量为1，，，利用向量的夹角公式，即可求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．18.答案：解：由题意可知：椭圆C：焦点在x轴上，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线l：相切，即，又椭圆的离心率，解得：，椭圆C的方程为：；由可知：椭圆的右焦点，设，，，丨丨丨丨，设直线MN：，，整理得：，，，，，由，，当且仅当时，即时，取等号，S的最大值．解析：椭圆C：焦点在x轴上，，又椭圆的离心率，解得：，即可求得椭圆C的方程为；由，，丨丨丨丨，设直线MN：，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式可知：，由基本不等式的性质，即可求得S的最大值．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积公式，韦达定理，弦长公式及基本不等式的应用，考查椭圆与不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ设数列的公比为，，因为，，可得，整理得，解得舍或，所以数列通项公式为．设数列的公差为d，因为，，即解得，，所以数列的通项公式为；Ⅱ由等比数列的前n项和公式可得，所以；由可得，所以的前n项和．又在上是递增的，．所以的取值范围为解析：Ⅰ先设出等比数列与等差数列的公比与公差，然后利用题设条件列出公差与首项及公比与首项的方程，求出结果代入通项公式即可解决问题；Ⅱ先由Ⅰ中得到的结果求出，再利用分组求和的办法算出；先由前面的结果求出，再利用裂项相消法求出，最后利用数列的单调性求出其取值范围．本题主要考查等差、等比数列通项公式的求法及数列的前n项和的求法，还有利用数列的单调性求取值范围，属于有一定难度的题．20.答案：解；由题意，，由函数在处取得极值，得，即，解得，则函数的解析式为，定义域为，，又对恒成立，令则有，解得，且，即或；同理令可解得或；综上，函数的单调增区间为和，单调减区间为和由题意，则，，由条件存在，使成立得，对成立，又对成立，化简得，令，则问题转化为求在区间上的值域，求导得，令，为二次函数，图象开口向上，，则，又，则，在区间上单调递增，值域为，所以的取值范围是．解析：先求导函数，再由函数在处取得极值，得，代入求解参数a，b，然后利用令和求解函数的单调区间；将代入化简，再求，然后得，令其为0，得，令，则问题转化为求在区间上的值域，利用导数求解．本题考查了导数在函数的单调性和最值求解中的综合应用，属于比较复杂的问题，注意利用转化的思想求解问题．。

2020年天津市部分区中考数学一模试卷(解析版)

2020年天津市部分区中考数学一模试卷(解析版)

2020年天津市部分区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）计算﹣2﹣7的结果等于（）A．5B．﹣5C．﹣9D．92．（3分）计算tan60°的值等于（）A．B．C．1D．3．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）一双没有洗过的手，带有各种细菌约75000万个，75000万用科学记数法表示为（）A．7.5×104B．7.5×105C．7.5×108D．7.5×1095．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．6．（3分）估计的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间7．（3分）计算﹣的结果为（）A．1B．x C．D．8．（3分）方程组的解是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠BAC＝40°，则∠E的度数是（）A．65o B．60o C．50o D．40°10．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1 11．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P 是AD上的一个动点，则PE+PC的最小值为（）A．1B．2C．D．12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，c），其中2≤c≤3，对称轴为x ＝l，现有如下结论：①2a+b＝0；②当x＞3时，y＞0；③﹣1≤a≤．其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）计算：x5•x3的结果等于．14．（3分）计算（+2）2的结果等于．15．（3分）不透明袋子中装有7个球，其中有4个红球．3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是．16．（3分）已知一次函数y＝mx+3的图象经过第一、二、四象限，则m的值可以是．（写出一个即可）17．（3分）如图所示，平行四边形内有两个全等的正六边形，若阴影部分的面积记为S1，平行四边形的面积记为S2，则的值为．18．（3分）如图，在每个小正力形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，D为小正方形边中点．（Ⅰ）AD的长等于；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个点P，使其满足S△P AD＝S四边，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．形ABCD三、解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．（8分）某校初级中学数学兴趣小组为了解本校学生年龄情况，随机调查了本校部分学生的年龄，根据所调查的学生的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为，图①中m的值为；（Ⅱ）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．21．（10分）已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，（Ⅰ）如图①，连接AC，AD，若∠ADC＝55°，求∠CAB的大小；（Ⅱ）如图②，C是半圆弧AB的中点，AD的延长线与过点B的切线相交于点P，若CD＝，求∠APB的大小．22．（10分）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路AC的长（结果保留整数）．参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.732．23．（10分）某儿童游乐园推出两种门票收费方式：方式一：购买会员卡，每张会员卡费用是200元，凭会员卡可免费进园5次，免费次数用完以后，每次进园凭会员卡只需10元；方式二：不购买会员卡，每次进园是20元（两种方式每次进园均指单人）设进园次数为x（x为非负整数）（Ⅰ）根据题意，填写下表：进园次数（次）51020……方式一收费（元）200350……方式二收费（元）200……（Ⅱ）设方式一收费y1元，方式二收费为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；（Ⅲ）当x＞30时，哪种进园方式花费少？请说明理由．24．（10分）在直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），C是AB中点，连接OC，将△AOC绕点A顺时针旋转，得到△AMN，记旋转角为α，点O，C的对应点分别是M，N．连接BM，P是BM中点，连接OP，PN．（Ⅰ）如图①．当α＝45°时，求点M的坐标；（Ⅱ）如图②，当α＝180°时，求证：OP＝PN且OP⊥PN；（Ⅲ）当△AOC旋转至点B，M，N共线时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．25．（10分）已知抛物线C的解析式为y＝x2+2x﹣3，C与x轴交于点A，B（点A在点B 左侧），与y轴交于点D，顶点为P．（Ⅰ）求点A，B，D，P的坐标；（Ⅱ）若将抛物线C沿着直线PD的方向平移得到抛物线C′；①当抛物线C′与直线y＝2x﹣5只有一个公共点时，求抛物线C′的解析式；②点M（x m，y m）是①中抛物线C′上一点，若﹣6≤x m≤2且y m为整数，求满足条件的点M的个数．2020年天津市部分区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）计算﹣2﹣7的结果等于（）A．5B．﹣5C．﹣9D．9【分析】根据有理数的减法法则计算即可．【解答】解：﹣2﹣7＝﹣2+（﹣7）＝﹣9．故选：C．2．（3分）计算tan60°的值等于（）A．B．C．1D．【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可．【解答】解：原式＝，故选：D．3．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D．4．（3分）一双没有洗过的手，带有各种细菌约75000万个，75000万用科学记数法表示为（）A．7.5×104B．7.5×105C．7.5×108D．7.5×109【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：75000万＝750000000＝7.5×108吨．故选：C．5．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层左边一个小正方形．故选：A．6．（3分）估计的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【分析】根据二次根式的性质确定2的范围，即可得出答案．【解答】解：∵2＝，＜＜，∴估计的值在3和4之间，故选：B．7．（3分）计算﹣的结果为（）A．1B．x C．D．【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减计算即可得解．【解答】解：﹣＝＝1．故选：A．8．（3分）方程组的解是（）A．B．C．D．【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．【解答】解：，把①代入②得：3x+2（2x﹣3）＝8，整理得：7x＝14，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝1，则方程组的解为．故选：C．9．（3分）如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠BAC＝40°，则∠E的度数是（）A．65o B．60o C．50o D．40°【分析】连接BD，依据矩形的性质，即可得到∠ABD＝40°，∠DBE＝50°，再根据AC＝BD，AC＝BE，即可得出BD＝BE，进而得到∠E的度数．【解答】解：如图，连接BD，∵矩形ABCD中，∠BAC＝40°，OA＝OB，∴∠ABD＝40°，∠DBE＝90°﹣40°＝50°，∵AC＝BD，AC＝BE，∴BD＝BE，∴△BDE中，∠E＝（180°﹣∠DBE）＝（180°﹣50°）＝65°，故选：A．10．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1【分析】根据反比例函数的性质和反比例函数增减性，结合函数的纵坐标，即可得到答案．【解答】解：∵反比例函数y＝的k＝﹣1＜0，∴x＞0时，y＜0，y随着x的增大而增大，x＜0时，y＞0，y随着x的增大而增大，∵﹣3＜﹣2＜0，∴0＜y1＜y2，∵3＞0，∴y3＜0，∴y3＜0＜y1＜y2，故选：B．11．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P 是AD上的一个动点，则PE+PC的最小值为（）A．1B．2C．D．【分析】根据等边三角形的三线合一的性质，连接BE交AD于点P，此时PB＝PC，即可得到PE+PC的最小值即为BE的长．【解答】解：如图，连接BE交AD于点P′，∵，△ABC是等边三角形，AB＝2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，∴AD、BE分别是等边三角形ABC边BC、AC的垂直平分线，∴P′B＝P′C，P′E+P′C＝P′E+P′B＝BE，根据两点之间线段最短，点P在点P′时，PE+PC有最小值，最小值即为BE的长．BE＝＝，所以P′E+P′C的最小值为．故选：C．12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，c），其中2≤c≤3，对称轴为x ＝l，现有如下结论：①2a+b＝0；②当x＞3时，y＞0；③﹣1≤a≤．其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据二次函数的图象与性质逐项分析即可求出答案．【解答】解：∵（﹣1，0）关于直线的x＝1的对称点是（3，0），由于与y轴的交点C在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），∴抛物线的开口向下，∴x＞3时，y＜0，故②错误；∵抛物线经过A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝﹣3a，∵2≤c≤3，∴2≤﹣3a≤3，∴﹣1≤a≤﹣，故③正确；③由对称轴可知：﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故①正确；故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）计算：x5•x3的结果等于x8．【分析】同底数幂乘法运算的法则是：底数不变，指数相加，据此可解．【解答】解：x5•x3＝x5+3＝x8故答案为：x8．14．（3分）计算（+2）2的结果等于7+4．【分析】根据完全平方公式可以解答本题．【解答】解：（+2）2＝3+4+4＝7+4，故答案为：7+4．15．（3分）不透明袋子中装有7个球，其中有4个红球．3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是．【分析】用绿球的个数除以球的总个数即可得．【解答】解：从袋子中随机取出1个球有7种等可能结果，其中它是绿球的有3种可能，∴它是绿球的概率为，故答案为：．16．（3分）已知一次函数y＝mx+3的图象经过第一、二、四象限，则m的值可以是﹣2（答案不唯一）．（写出一个即可）【分析】根据一次函数y＝mx+3的图象经过第一、二、四象限判断出m的取值范围，从中任意找一个m的值即可．【解答】解：∵一次函数y＝mx+3的图象经过第一、二、四象限，∴m＜0，∴m＝﹣2．故答案为：﹣2（答案不唯一）．17．（3分）如图所示，平行四边形内有两个全等的正六边形，若阴影部分的面积记为S1，平行四边形的面积记为S2，则的值为．【分析】由题中条件可得平行四边形中两边的阴影面积相等，则求解一个阴影的面积及平行四边形的面积即可得出两者之间的关系．【解答】解：如图，则S阴影＝2（S△BEF+S四边形FGMN），设正六边形的边长为a，由于正六边形的存在，所以∠BEF＝60°，则可得BE＝EF＝2a，BC＝4a，AB＝3a，则在Rt△BEF中可得其高EP＝a，同理可得FQ＝a，∴S1＝2（S△BEF+S FGMN）＝2（•BF•EP+FG•FQ）＝2（•2a•a+a•a）＝3a2，而S2＝BC•h＝4a•a＝6a2，∴＝，故答案为：．18．（3分）如图，在每个小正力形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，D为小正方形边中点．（Ⅰ）AD的长等于；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个点P，使其满足S△P AD＝S四边，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）取格点E，连接BE，延形ABCD长DC，与BE交于点P，点P即为所求．【分析】（Ⅰ）利用网格根据勾股定理即可求出AD的长；（Ⅱ）在如图所示的网格中，取格点E，连接BE，延长DC，与BE交于点P，使其满足S△P AD＝S四边形ABCD即可．【解答】解：（Ⅰ）AD的长等于＝；故答案为：；（Ⅱ）如图，取格点E，连接BE，延长DC，与BE交于点P，点P即为所求．故答案为：取格点E，连接BE，延长DC，与BE交于点P，点P即为所求．三、解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得x≥0；（Ⅱ）解不等式②，得x≤4；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为0≤x≤4．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥0；（Ⅱ）解不等式②，得x≤4；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为0≤x≤4．故答案为：x≥0，x≤4，0≤x≤4．20．（8分）某校初级中学数学兴趣小组为了解本校学生年龄情况，随机调查了本校部分学生的年龄，根据所调查的学生的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为50，图①中m的值为12；（Ⅱ）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．【分析】（Ⅰ）根据14岁的人数和所占的百分比求出总人数，用12岁的人数除以总人数即可求出m；（Ⅱ）根据平均数、众数和中位数的定义分别进行解答即可．【解答】解：（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为：14÷28%＝50（人），m%＝×100%＝12%，则m＝12；故答案为：50，12；（Ⅱ）这组学生年龄数据的平均数是：＝14（岁），∵15岁出现的次数最多，出现了18次，∴众数是15岁；将这组数据按从小到大排列，处于中间的两个数都是14，则这组数据的中位数是＝14岁．21．（10分）已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，（Ⅰ）如图①，连接AC，AD，若∠ADC＝55°，求∠CAB的大小；（Ⅱ）如图②，C是半圆弧AB的中点，AD的延长线与过点B的切线相交于点P，若CD＝，求∠APB的大小．【分析】（I）连接CB，由圆周角定理和已知数据即可求出∠CAB的大小；（II）连接AC，OC，DO，易证△COD为等边三角形，再由切线的性质即可求出∠APB 的大小【解答】解：（I）连接CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠AB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∵∠ADC＝55°，∴∠ABC＝∠ADC＝55°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝35°；（II）连接AC，OC，DO，∵CD＝AB＝OC＝OD，∴△COD为等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠CAD＝∠COD＝30°，∵C是半圆弧AB的中点，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∵AO＝CO，∴∠CAO＝∠ACO＝45°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝15°，∵AD的延长线与过点B的切线相交于点P，∴BP⊥AB，∴∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°﹣∠BAP＝75°．22．（10分）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路AC的长（结果保留整数）．参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.732．【分析】过点B作BD⊥AC于点D，根据题意，得∠ABD＝67°，AB＝520，∠CBD＝30°，再根据锐角三角函数即可求出A地到C地之间高铁线路AC的长．【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，根据题意，得∠ABD＝67°，AB＝520，∠CBD＝30°，在Rt△ABD中，AD＝AB•sin67°，BD＝AB•cos67°，在Rt△CBD中，CD＝BD•tan30°，∴AC＝AD+CD＝AB•sin67°+AB•cos67°•tan30°≈520×0.92+520×0.38×≈592（km）．答：A地到C地之间高铁线路AC的长592km．23．（10分）某儿童游乐园推出两种门票收费方式：方式一：购买会员卡，每张会员卡费用是200元，凭会员卡可免费进园5次，免费次数用完以后，每次进园凭会员卡只需10元；方式二：不购买会员卡，每次进园是20元（两种方式每次进园均指单人）设进园次数为x（x为非负整数）（Ⅰ）根据题意，填写下表：进园次数（次）51020……方式一收费（元）200250350……方式二收费（元）100200400……（Ⅱ）设方式一收费y1元，方式二收费为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；（Ⅲ）当x＞30时，哪种进园方式花费少？请说明理由．【分析】（I）根据两种门票收费方式填空即可；（II）根据题意可以写出y1，y2与x之间的函数表达式；（Ⅲ）先写出选择哪种进园方式，然后根据题意，求出两种方式下，x为多少时，收费一样，然后即可得到当x＞30时，哪种进园方式花费少．【解答】解：（Ⅰ）进园次数为5时，方式二收费为5×20＝100（元），进园次数10时，方式一收费为200+10×（10﹣5）＝250（元），进园次数为20时，方式二收费为20×20＝400（元），故答案为：250；100；400．（Ⅱ）由题意可得，当0＜x≤5时，y1＝200，当x＞5时，y1＝200+10（x﹣5）＝10x+150，由上可得，y1＝，y2＝20x；（Ⅲ）当x＞30时，方式一进园方式花费少，理由：令10x+150＝20x，解得，x＝15，∵x＞30，∴方式一进园方式花费少，即当x＞30时，方式一进园方式花费少．24．（10分）在直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），C是AB中点，连接OC，将△AOC绕点A顺时针旋转，得到△AMN，记旋转角为α，点O，C的对应点分别是M，N．连接BM，P是BM中点，连接OP，PN．（Ⅰ）如图①．当α＝45°时，求点M的坐标；（Ⅱ）如图②，当α＝180°时，求证：OP＝PN且OP⊥PN；（Ⅲ）当△AOC旋转至点B，M，N共线时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）如图①中，过点M作MD⊥OA于D．解直角三角形求出OD，OM即可解决问题．（Ⅱ）如图②，当α＝180°时，点B，A，N共线，O，A，M共线，利用直角三角形斜边中线定理即可解决问题．（Ⅲ）分两种情形：①如图③﹣1中，当点M在线段BN上时，②如图③﹣2中，当点N在线段BM上时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（Ⅰ）如图①中，过点M作MD⊥OA于D．∵A（4，0），B（0，4），∴OA＝OB＝4，∵C是AB的中点，∴OC＝CB＝CA＝AB，且OC⊥AB，∴△AOC是等腰直角三角形，∴当α＝45°时，点M在AB上，由旋转可知：△AOC≌△AMN，∴AM＝OA＝4．MD＝AD＝AM＝2，∴OD＝OA＝AD＝4﹣2，∴M（4﹣2，2）．（Ⅱ）如图②，当α＝180°时，点B，A，N共线，O，A，M共线，∵∠BNM＝∠BOM＝90°，P是BM的中点，∴OP＝PN＝PB＝PM，∴∠PMN＝∠PNM，∠POB＝∠PBO，∵∠NPM＝180°﹣2∠PMN，∠BPO＝180°﹣2∠PBO，∴∠MPN+∠BPO＝360°﹣2（∠PMN+∠PBO）∴∠MPN+∠BPO＝360°﹣2（45°+∠PMO+∠PBO），∵∠PMO+∠PBO＝90°，∴∠MPN+∠BPO＝90°，∴∠OPN＝180°﹣（∠MPN+∠BPO）＝90°，∴OP⊥PN．（Ⅲ）①如图③﹣1中，当点M在线段BN上时，在Rt△ABN中，∵AB＝4，AN＝2，∴AB＝2AN，∴∠ABN＝30°，∴BN＝AN＝2，BM＝BN＝MN＝2﹣2，过点M作MK⊥OB于K，在MK上截取一点J，使得BJ＝MJ，设BK＝a，∵∠ABO＝45°，∴∠MBK＝75°，∠KMB＝15°，∵JB＝JM，∴∠JBM＝∠JMB＝15°，∴∠BJK＝∠JBM+∠JMB＝30°，∴BJ＝JM＝2a，KJ＝a，∵BM2＝BK2+KM2，∴（2﹣2）2＝a2+（2a+a）2，解得a＝4﹣2（负根已经舍弃），∴KM＝2a+a＝2，OK＝2，∴M（2，2），②如图③﹣2中，当点N在线段BM上时，同法可得M（2，﹣2），综上所述，满足条件的点M的坐标为（2，2）或（2，﹣2）．25．（10分）已知抛物线C的解析式为y＝x2+2x﹣3，C与x轴交于点A，B（点A在点B 左侧），与y轴交于点D，顶点为P．（Ⅰ）求点A，B，D，P的坐标；（Ⅱ）若将抛物线C沿着直线PD的方向平移得到抛物线C′；①当抛物线C′与直线y＝2x﹣5只有一个公共点时，求抛物线C′的解析式；②点M（x m，y m）是①中抛物线C′上一点，若﹣6≤x m≤2且y m为整数，求满足条件的点M的个数．【分析】（I）对于y＝x2+2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，令y＝0，则x＝﹣3或1，即可求解；（II）①求得直线PD的表达式为：y＝x﹣3，则平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣m）2+m﹣3，由△＝0，即可求解；②当﹣6≤x m≤1时，﹣2≤y m≤47，此时y m有50个整数；当1＜x m≤2时，此时y m有1个整数，即可求解．【解答】解：（I）对于y＝x2+2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，令y＝0，则x＝﹣3或1，故点A、B、D的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3），函数的对称轴为x＝﹣1，故点P（﹣1，﹣4）；（II）①设直线PD的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线PD的表达式为：y＝x﹣3，则设平移后抛物线的顶点坐标为：（m，m﹣3），故平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣m）2+m﹣3，又抛物线C′与直线y＝2x﹣5只有一个公共点，则y＝（x﹣m）2+m﹣3＝2x﹣5，△＝0，解得：m＝1，∴平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2﹣2＝x2﹣2x﹣1；②由①知平移后抛物线的顶点为（1，﹣2），当x＝﹣6时，y＝x2﹣2x﹣1＝47，当x＝2时，y＝﹣1，故当﹣6≤x m≤1时，﹣2≤y m≤47，此时y m有50个整数；当1＜x m≤2时，此时y m有1个整数；∵抛物线是连续的，故满足条件的点M的个数为51个．。

2020年天津市和平区中考数学一模试卷-解析版

2020年天津市和平区中考数学一模试卷-解析版

2020年天津市和平区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.tan30°的值等于()A. 1B. √3C. √32D. √332.已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6，则y关于x的函数解析式为()A. y=112x B. y=3xC. y=3xD. y=12x3.一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为()A. 16B. 13C. 12D. 234.下列命题中，是真命题的为()A. 锐角三角形都相似B. 直角三角形都相似C. 等腰三角形都相似D. 等边三角形都相似5.如图，将△AOB绕点O逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=10°，则∠AOB′的度数是()A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°6.如图几何体的主视图是()A. B. C. D.7.如图，圆柱的左视图是()A. B. C. D.8.某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为()A. x(x−10)=200B. 2x+2(x−10)=200C. 2x+2(x+10)=200D. x(x+10)=2009.如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有()A. 4对B. 3对C. 2对D. 1对10.如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为()A. (2,2√3)B. (−2,2)C. (−2,2√3)D. (−1,√3)11.如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠COD=84°，CA平分∠OCD，则∠ABD+∠CAD=()A. 68°B. 66°C. 60°D. 52°12.若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A(m,n)，B(m+6,n)，则n的值为()A. 9B. 6C. 3D. 0二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.已知直线y=2x−b经过点(1,−1)，则b的值为______．14.在一个口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机地摸取一个小球然后放回，再随机地摸取一个小球，则两次摸取的小球标号的和等于5的概率是______．15.如果A(a1,b1)，B(a2,b2)两点在反比例函数y=−2图象的同一支上，且a1<a2，那x么b1______b2．16.如图，⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，则∠AMB的大小为______度．17.如图，正方形ABCD的边长为3，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.若AE=1，则FM的长为______18.在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得线段MA′．(Ⅰ)如图①，线段MA′的长=______；(Ⅱ)如图②，连接A′C，则A′C长度的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）19.解下列方程：(Ⅰ)3x2+2x−1=0；(Ⅱ)8000(1+x)2=9680．20.已知二次函数y=x2+bx−3(b是常数)的图象经过点A(−1,0)，求这个二次函数的解析式和这个二次函数的最小值．21.已知，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，过点D的直线EF与⊙O相切，分别交BA，BC的延长线于点E，F，BF⊥EF(1)如图①，若∠ABC=50°，求∠DBC的大小；(2)如图②，若BC=2，AB=4，求DE的长．22.建筑物BC上有一标志物AB，由距BC40m的D处观察标志物顶部A的仰角为60°，观察底部B的仰角为45°，求标志物AB的高度(结果精确到0.1m，参考数据：√3≈1.73)．23.某水果批发市场规定，批发苹果不少于100kg时，批发价为5元/kg，小王携带现金4000元到这市场采购苹果，并以批发价买进．购买数量/kg100200300…花费/元______ 1000______ …剩余现金/元______ 3000______ …y元．求y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围；(Ⅲ)根据题意填空：若小王剩余现金700元，则他购买______kg的苹果．24.已知正方形OABC在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，等腰直角三角形OEF的直角顶点O在原点，E，F分别在OA，OC上，且OA=4，OE=2.将△OEF绕点O逆时针旋转，得△OE1F1，点E，F旋转后的对应点为E1，F1．(Ⅰ)①如图①，求E1F1的长；②如图②，连接CF1，AE1，求证△OAE1≌△OCF1；(Ⅱ)将△OEF绕点O逆时针旋转一周，当OE1//CF1时，求点E1的坐标(直接写出结果即可)．25.已知点A(−4,8)和点B(2,n)在抛物线y=ax2上．(Ⅰ)求该抛物线的解析式和顶点坐标，并求出n的值；(Ⅱ)求点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求此时点Q的坐标；(Ⅲ)平移抛物线y=ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(−2,0)是x轴上的定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的解析式；②D(−4,0)是x轴上的定点，当抛物线向左平移到某个位置时，四边形A′B′CD的周长最短，求此时抛物线的解析式(直接写出结果即可)．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值解答．【解答】解：tan30°=√33．故选D．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．利用反比例函数的定义，设y=kx(k≠0)，然后把已知对应值代入求出k即可．【解答】解：设y=kx(k≠0)，∵x=2，y=6，∴6=k2，解得k=12，∴y关于x的函数解析式为y=12x．故选：D．3.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．直接得出偶数的个数，再利用概率公式求出答案．【解答】解：∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，偶数的有2，4，6，共3种情况，∴朝上一面的数字是偶数的概率为：36=12．故选：C．4.【答案】D【解析】【分析】此题考查的是相似三角形的判定方法．需注意的是绝对相似的三角形大致有三种：①全等三角形；②等腰直角三角形；③等边三角形．可根据相似三角形的判定方法进行解答．【解答】解：A、锐角三角形的三个内角都小于90°，但不一定都对应相等，故A选项错误；B、直角三角形的直角对应相等，但两组锐角不一定对应相等，故B选项错误；C、等腰三角形的顶角和底角不一定对应相等，故C选项错误；D、所有的等边三角形三个内角都对应相等(都是60°)，所以它们都相似，故D选项正确；故选：D．5.【答案】C【解析】【分析】此题考查旋转的性质，根据旋转的性质得出∠B′OB=45°，∠AOB′=∠B′OB−∠AOB是解题关键．根据旋转的性质：旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠B′OB=45°，又∠AOB=10°，∴∠AOB′=∠B′OB−∠AOB=45°−10°=35°，故选C．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了三视图，属于基础题．依据从该几何体的正面看到的图形，即可得到主视图．【解答】解：由图可得，几何体的主视图是：故选：B．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．根据左视图是从物体的左面看得到的视图可得答案．【解答】解：从左边看时，圆柱是一个圆，故选C．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查由实际问题列一元二次方程；根据长方形的面积公式得到方程是解决本题的基本思路．根据花圃的面积为200列出方程即可．【解答】解：∵花圃的长比宽多10米，花圃的宽为x米，∴长为(x+10)米，∵花圃的面积为200，∴可列方程为x(x+10)=200．故选：D．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定定理，两个角相等的两个三角形互为相似三角形．根据相似三角形的判定方法即可解决问题．【解答】解：(1)∵∠CFE=∠AFD，∠FCE=∠D，∴△CEF∽△DAF；(2)∵∠E是公共角，∠B=∠FCE，∴△ABE∽△FCE；(3)∴△ABE∽△FDA．故有3对．故选B．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了正多边形和圆，坐标与图形性质，解直角三角形，难度适中．得出OF=4，∠GOF=30°是解题的关键．连接OF，由于正六边形的中心角是60°，则△AOF是等边三角形，OF=4，设EF交y 轴于G，那么∠GOF=30°，然后解Rt△GOF，求出GF与OG的值，进而得到点F的坐标．【解答】解：连接OF．=60°，OA=OF，∵∠AOF=360°6∴△AOF是等边三角形，∴OA=OF=4．设EF交y轴于G，则∠GOF=30°．在Rt△GOF中，∵∠GOF=30°，OF=4，∴GF=2，OG=2√3．∴F(−2,2√3).故选：C．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系．解答此题的关键点是利用“同弧所对的圆周角相等”得出∠ABD=∠ACD，注意角平分线性质的运用．先根据三角形的内角和定理求得∠OCD的度数，然后根据角平分线的性质得出∠ACO=∠ACD，同弧所对的圆周角相等得出∠ABD=∠ACD，于是得到结论．【解答】解：在△COD中，∵OC=OD(⊙O的半径)，∴∠OCD=∠ODC，又∵∠COD+∠OCD+∠ODC=180°，∠COD=84°，∴∠OCD=48°，∠COD=42°，∠CAD=12∵CA平分∠OCD，∴∠ACO=∠ACD=24°，∵∠ABD=∠ACD=24°，∴∠ABD+∠CAD=66°．故选：B．12.【答案】A【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系，难度适中．由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=−b2时，y=0.且b2−4c=0，即b2=4c，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，则A(−b2−3,n)，B(−b2+3,n)；由二次函数图象上点的坐标特征知n=−14b2+c+9，把b2=4c代入即可求得n的值．【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴当x=−b2时，y=0，且b2−4c=0，即b2=4c．∵点A(m,n)，B(m+6,n)，∴点A、B关于直线x=−b2对称，∴A(−b2−3,n)，B(−b2+3,n)，将A点坐标代入抛物线解析式，得：n=(−b2−3)2+b(−b2−3)+c=−14b2+c+9∵b2=4c，∴n=−14×4c+c+9=9，故选：A．13.【答案】3【解析】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．把已知点坐标代入一次函数的解析式便可求得b．【解答】解：把(1,−1)代入直线y=2x−b中，得−1=2−b，解得b=3，故答案为3．14.【答案】29【解析】【分析】本题考查的是树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据题意列出树状图得出所有等情况数和两次摸取的小球标号的和等于5的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意画图如下：共有9种等可能情况，其中两次摸取的小球标号的和等于5的有2种情况；；则两次摸取的小球标号的和等于5的概率是29故答案为：2．915.【答案】<【解析】【分析】(k≠0,k为常数)，当k>0本题考查反比例函数的性质的应用，注意：反比例函数y=kx时，在每个象限内，y随x的增大而减小，当k<0时，在每个象限内，y随x的增大而增大．根据k=−2<0，在每个象限内，y随x的增大而增大，即可得出答案．【解答】解：∵k=−2<0，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，∵A(a1,b1)，B(a2,b2)两点在该反比例函数图象的同一支上，a1<a2，∴b1<b2，故答案为：<．16.【答案】60【解析】【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、菱形的判定定理和性质定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接AD、OB，根据切线的性质定理得到OB⊥MB，OA⊥MA，根据菱形的性质得到∠AMB=∠D，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠D，计算即可．【解答】解：连接AD、OB，∵MA，MB分别切⊙O于点A，B，∴OB⊥MB，OA⊥MA，MA=MB，∵OA⊥MA，BD⊥AC，∴BD//MA ，又BD =MA ，∴四边形BMAD 为平行四边形，∵MA =MB ，∴四边形BMAD 为菱形，∴∠AMB =∠D ，由圆周角定理得，∠AOB =2∠D ，∵OB ⊥MB ，OA ⊥MA ，∴∠AMB +∠AOB =180°，∴∠AMB +2∠D =180°，∴∠AMB =60°，故答案为：60．17.【答案】52【解析】【分析】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理．注意掌握旋转前后图形的对应关系．由旋转可得DE =DM ，∠EDM 为直角，可得出∠EDF +∠MDF =90°，由∠EDF =45°，得到∠MDF 为45°，可得出∠EDF =∠MDF ，再由DF =DF ，利用SAS 可得出三角形DEF 与三角形MDF 全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF =MF ；则可得到AE =CM =1，正方形的边长为3，用AB −AE 求出EB 的长，再由BC +CM 求出BM 的长，设EF =MF =x ，可得出BF =BM −FM =BM −EF =4−x ，在直角三角形BEF 中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即为FM 的长．【解答】解：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM ，∴∠FCM =∠FCD +∠DCM =180°，∴F 、C 、M 三点共线，∴DE =DM ，∠EDM =90°，∴∠EDF +∠FDM =90°，∵∠EDF =45°，∴∠FDM =∠EDF =45°，在△DEF 和△DMF 中，{DE =DM∠EDF =∠FDM DF =DF，∴△DEF≌△DMF(SAS)，∴EF =MF ，设EF =MF =x ，∵AE =CM =1，且BC =3，∴BM =BC +CM =3+1=4，∴BF =BM −MF =BM −EF =4−x ，∵EB =AB −AE =3−1=2，在Rt △EBF 中，由勾股定理得EB 2+BF 2=EF 2，即22+(4−x)2=x 2，解得：x =52，即FM =52．故答案为：52．18.【答案】1；√7−1【解析】【分析】本题考查旋转的性质，三角函数和勾股定理，理解A′C最短的条件是关键．(Ⅰ)由中点的定义和旋转的性质可求解；(Ⅱ)当A′在MC上时，线段A′C长度最小，作ME⊥CD于点E，首先在直角△DME中利用三角函数求得ED和EM的长，然后在直角△MEC中利用勾股定理求得MC的长，然后减去MA的长即可求解．【解答】解：(Ⅰ)∵M是AD边的中点，∴MA=1，∵线段MA绕点M旋转得线段MA′．∴MA′=MA=1，故答案为：1；(Ⅱ)如图②，作ME⊥CD于点E．∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴∠EDM=60°，在直角△MDE中，DE=MD⋅cos∠EDM=12×1=12，ME=MD⋅sin∠EDM=√32，则EC=CD+ED=2+12=52，在直角△CEM中，MC=√CE2+ME2=√254+34=√7，当A′在MC上时A′C最小，则A′C长度的最小值是：√7−1，故答案为√7−1．19.【答案】解：(Ⅰ)∵3x2+2x−1=0，∴(x+1)(3x−1)=0，∴x=−1或x=13；(Ⅱ)∵8000(1+x)2=9680，即(1+x)2=1.21，∴x+1=±1.1，∴x+1=1.1或x+1=−1.1∴x=0.1或x=−2.1．【解析】本题考查解一元二次方程，关键是熟练掌握一元二次方程的解法，属于基础题．(I)根据因式分解法即可求出答案；(II)根据直接开方法即可求出答案．20.【答案】解：∵二次函数y=x2+bx−3的图象经过点A(−1,0)，∴0=1−b−3，解得b=−2，∴二次函数的解析式为：y=x2−2x−3，∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴二次函数的最小值为−4．答：这个二次函数的解析式为y=x2−2x−3，其最小值为−4．【解析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式及利用二次函数的性质求其最值，属于基础题．将点A(−1,0)代入y=x2+bx−3，解得b值，再代入所给的二次函数表达式即可得其解析式；将二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质即可得出其最小值．21.【答案】解(1)如图1，连接OD，BD，∵EF与⊙O相切，∴OD⊥EF，∵BF⊥EF，∴OD//BF，∴∠AOD=∠ABC=50°，∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB=1∠AOD=25°，2∴∠DBC=∠ABC−∠OBD=50°−25°=25°；(2)如图2，连接AC，OD，设AC、OD交于H，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵BC=2，AB=4，∴∠CAB=30°，=2√3，∴AC=AB⋅cos30°=4×√32∵EF为圆O切线，BF⊥EF，∴∠ODF=∠F=∠HCF=90°，∴∠DHC=90°，∴AH=AO⋅cos30°=2×√32=√3，∵∠HAO=30°，∴OH=12OA=12OD，∵∠F=∠ACB=90°，∴AC//EF，∴AHED =OHOD，∴DE=2AH=2√3．【解析】本题考查了圆切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，平行线的性质和判定，外角的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质等．(1)如图1，连接OD，BD，由EF与⊙O相切，得到OD⊥EF，由于BF⊥EF，得到OD//BF，得到∠AOD=∠B=50°，由外角的性质即等腰三角形性质得到结果；(2)如图2，连接AC，OD，交于点H，根据AB为⊙O的直径，得出∠ACB=90°，由已知结合直角三角形的性质得到∠CAB=30°，于是AC=AB⋅cos30°=4×√32=2√3，AH=AO⋅cos30°=2×√32=√3，根据三角形的中位线的性质解得结果．22.【答案】解：∵∠ACD=90°，∠ADC=60°，∴∠A=30°，∴AD=2CD．∵CD=40m，∴AD=80m，在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC=40√3．∵∠BDC=45°，∴∠DBC=45°，∴∠DBC=∠BDC，∴BC=CD=40m，∴AB=40√3−40≈29.2m．∴标志物AB的高度约为29.2m．【解析】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，勾股定理，近似数的运用，解答时根据勾股定理求解是关键．由∠ADC=60°可以求出∠A=30°，有AD=2CD=80m，由勾股定理求出AC的值，在△BDC中由∠BDC=45°就可以求出BC的值，从而求出结论．23.【答案】解：(Ⅰ)500；1500；3500；2500；(Ⅱ)根据题意，得y=4000−5x，由4000−5x≥0得，x≤800．又x≥100，∴自变量x的取值范围是100≤x≤800；(Ⅲ)660．【解析】【分析】本题考查一次函数的应用；得到剩余钱数的等量关系是解决本题的关键；得到自变量的取值范围是解决本题的易错点．(Ⅰ)根据题意计算即可；(Ⅱ)剩余现金=总现金数−购买苹果费用，根据购买千克数应不少于100以及剩余现金为非负数可得自变量的取值范围；(Ⅲ)把y =700代入函数解析式即可得到结论．【解答】解：(Ⅰ)购买数量为100kg 时，花费500元，剩余现金3500元；购买数量为300kg 时，花费1500元，剩余现金2500元．故答案为：500；1500；3500；2500；(Ⅱ)见答案；(Ⅲ)当y =700时，700=4000−5x ，解得x =660．即小王付款后还剩余现金700元，则小王购买了苹果660kg ．故答案为：660．24.【答案】(Ⅰ)①解：∵等腰直角三角形OEF 的直角顶点O 在原点，OE =2， ∴∠EOF =90°，OF =OE =2，∴EF =√OE 2+OF 2=√22+22=2√2，∵将△OEF 绕点O 逆时针旋转，得△OE 1F 1，∴E 1F 1=EF =2√2；②证明：∵四边形OABC 为正方形，∴OC =OA ．∵将△OEF 绕点O 逆时针旋转，得△OE 1F 1，∴∠AOE 1=∠COF 1，∵△OEF 是等腰直角三角形，∴△OE 1F 1是等腰直角三角形，∴OE 1=OF 1．在△OAE 1和△OCF 1中，{OA =OC∠AOE 1=∠COF 1OE 1=OF 1∴△OAE 1≌△OCF 1(SAS)；(Ⅱ)解：∵OE ⊥OF ，∴过点F 与OE 平行的直线有且只有一条，并与OF 垂直，当三角形OEF 绕O 点逆时针旋转一周时，则点F 在以O 为圆心，以OF 为半径的圆上．∴过点F 与OF 垂直的直线必是圆O 的切线，又点C 是圆O 外一点，过点C 与圆O 相切的直线有且只有2条，不妨设为CF 1和CF 2， 此时，E 点分别在E 1点和E 2点，满足CF 1//OE 1，CF 2//OE 2．当切点F 1在第二象限时，点E 1在第一象限．在直角三角形CF1O中，OC=4，OF1=2，cos∠COF1=OF1OC =24=12，∴∠COF1=60°，∴由(Ⅰ)知∠AOE1=∠COF1=60°．∴点E1的横坐标=2cos60°=1，点E1的纵坐标=2sin60°=√3，∴点E1的坐标为(1,√3)；当切点F2在第一象限时，点E2在第四象限．同理可求：点E2的坐标为(1,−√3).综上所述，当OE1//CF1时，点E1的坐标为(1,√3)或(1,−√3).【解析】本题是四边形综合题目，考查了图形的旋转变化、全等三角形的判定和性质、切线的判定、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等重要知识．能够联系圆的相关知识来解答(Ⅱ)是此题的一个难点．(Ⅰ)①由等腰直角三角形的性质和勾股定理求出EF，再由旋转的性质即可得出答案；②根据旋转的性质找到相等的线段，根据SAS定理证明；(Ⅱ)由于△OEF是等腰Rt△，若OE1//CF1，那么CF1必与OF1垂直；在旋转过程中，E1、F1的轨迹是以O为圆心，OE1(或OF1)长为半径的圆，若CF1⊥OF1，那么CF1必为⊙O的切线，且切点为F1；可过C作⊙O的切线，那么这两个切点都符合F1点的要求，因此对应的E1点也有两个；在Rt△OF1C中，OF1=2，OC=OA=4，可证得∠COF1=60°，即∠AOE1=60°，已知了OE1的长，通过解直角三角形，得到E1点的坐标，由此得解．25.【答案】解：(Ⅰ)将点A(−4,8)的坐标代入y=ax2，解得a=12，∴抛物线的解析式是y=12x2，顶点坐标是(0,0)，将点B(2,n)的坐标代入y=12x2，得n =12×4=2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知：点B 的坐标为(2,2)，则点B 关于x 轴对称点P 的坐标为(2,−2)，如图1，连接AP 与x 轴的交点为Q ，此时AQ +BQ 最小，设直线AP 的解析式为y =kx +b ，{−4k +b =82k +b =−2， 解得：{k =−53b =43， ∴直线AP 的解析式是y =−53x +43，令y =0，得x =45，即所求点Q 的坐标是(45,0)；(Ⅲ)①∵点C(−2,0)，点Q 的坐标是(45,0)∴CQ =45−(−2)=145， 故将抛物线y =12x 2向左平移145个单位时，A′C +CB′最短，此时抛物线的函数解析式为y =12(x +145)2； ②左右平移抛物线y =12x 2，∵线段A′B′和CD 的长是定值，∴要使四边形A′B′CD 的周长最短，只要使A′D +CB′最短；设抛物线向左平移了b个单位，如图2，则点A′和点B′的坐标分别为A′(−4−b,8)和B′(2−b,2)．∵CD=2，∴将点B′向左平移2个单位得B′′(−b,2)，要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短，∵点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(−4−b,−8)，由A′′和B′′两点的坐标，得直线A′′B′′的解析式为y=52x+52b+2．要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D(−4,0)代入直线A′′B′′的解析式，解得b=165．∴将抛物线向左平移165个单位时，四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为y=12(x+165)2．【解析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，直线与二次函数的交点问题以及轴对称的最短路径问题等知识．此题综合性很强，难度较大．解题的关键是注意数形结合思想的应用．(Ⅰ)把(−4,8)代入y=ax2可求得a的值，可得抛物线的解析式，这条抛物线的顶点是原点，把x=2代入所求得的抛物线解析式，可得n的值；(Ⅱ)求得直线AP与x轴的交点即为Q的坐标；(Ⅲ)①先计算CQ的长，可知平移的距离和方向，根据图象平移解析式左加右减的变换规律即可求抛物线解析式；②左右平移时，使A′D+DB′′最短即可，那么作出点A′关于x轴对称点的坐标为A′′，得到直线A′′B′′的解析式，将点D的坐标代入，可得b的值，同理根据图象平移解析式左加右减的规律即可求得抛物线解析式．。

2020年天津市部分区中考数学一模试卷 (含答案解析)

2020年天津市部分区中考数学一模试卷 (含答案解析)

2020年天津市部分区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.计算2−3的结果为()A. −1B. −2C. 1D. 22.计算tan30°的值等于()A. √3B. 3√3C. √33D. √323.在下列四个交通标志图中，是轴对称图形的是()A. B. C. D.4.1250000科学记数法表示为()A. 125×104B. 1.25×106C. 12.5×105D. 1.25×1055.如图是由3个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是()A.B.C.D.6.估计√3−2的值应该在()A. −1～0之间B. 0～1之间C. 1～2之间D. 2～3之间7.计算aa+1+1a+1的结果为()A. 1B. aC. a+1D. 1a+18.解方程组{x=3y−2,①2y−5x=10②时，把①代入②，得()A. 2(3y−2)−5x=10B. 2y−(3y−2)=10C. (3y−2)−5x=10D. 2y−5(3y−2)=109.如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为()A. 5B. 10C. 12D. 1310.若点A(1,y1)和点B(2,y2)是反比例函数y=−2图象上的两点，则y1和y2的大小关系是()xA. y1<y2B. y1=y2C. y1>y2D. 无法确定11.如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为()A. 15°B. 22.5°C. 30°D. 45°12.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，与y轴相交于点(0,−6)，则关于x的方程ax2+bx+c+6=0的解为()A. x1=x2=0B. x1=0，x2=−2C. x1=0，x2=−1D. x1=−2，x2=1二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.计算：x2⋅x5的结果等于______．14.计算(√5−√3)2的结果等于________．15.在一个不透明的口袋中，装有除颜色不同，其它完全相同的18个球，若从袋中摸出绿球的概率，则袋中装有绿球的个数为______．为1316.一次函数y=kx−1(k≠0)的图象经过第二、三、四象限，则k的值可以是______(写出一个即可)．17.如图，平行四边形ABCD中，P为边AD的中点，连接PC，若△APC、△PDC、△BAC的面积分别为S、S1、S2，当S=12时，S1+S2=______ ．18.如图，在每个小正方形边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，D为AC边上的一点．(1)线段AC的值为______；(2)在如图所示的网格中，AM是△ABC的角平分线，在AM上求一点P，使CP+DP的值最小，请用无刻度的直尺，画出AM和点P，并简要说明AM和点P的位置是如何找到的(不要求证明)．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C.一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD=45°、∠C=37°.求轮船航行的距离AD.(参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75.)四、解答题（本大题共6小题，共56.0分）20. 解不等式组{x +11≥2x +3①x+72−1>2x −(3x −2)②并把解集在数轴上表示出来．21. 某学校为了了解本校1200名学生的课外阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调整，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：(Ⅰ)本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图①中m 的值为______．(Ⅱ)求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数．(Ⅲ)根据样本数据，估计该校一周的课外阅读时间大于6h 的学生人数．22.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．(1)求证：∠C=∠AGD；(2)已知BC=6.CD=4，且CE=2AE，求EF的长．23.珠海长隆海洋王国暑假期间推出了两套优惠方案：①购买成人票两张以上(包括两张)，则儿童票按6折出售；②成人票和儿童票一律按8.5折出售，已知成人票是350元/张，儿童票是240元/张，张华准备暑假期间带家人到长隆海洋王国游玩，准备购买8张成人票和若干张儿童票．(1)请分别写出两种优惠方案中，购买的总费用y(元)与儿童人数x(人)之间的函数关系式；(2)对x的取值情况进行分析，说明选择哪种方案购票更省钱．24.如图，△ABC中，AC=BC=4，点D、E分别是AC、BC边上中点，将△DEC绕点C旋转角度α(0°<α<360°)得到△D′E′C，连接AD，BE．(1)如图一，若∠C=60°，在旋转过程中，求证：AD′=BE′；(2)如图二，在(1)的旋转过程中，边D′E′的中点为P，连接AP，求AP最大值．(3)如图三，若∠C=90°，△CDE绕点C顺时针旋转，得到△CD′E′，设旋转角为α(0<α≤180°)，直线AD′与BE′的交点为P，连接PC，直接写出△PBC面积的最大值为______．25.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点D坐标为(2,−1)，且过点B(3,0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)连结OD、CD、CB，CD交x轴于点E，求S△CEB：S△ODE．【答案与解析】1.答案：A解析：解：2−3=2+(−3)=−1，故选：A．根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可．本题主要考查了有理数的减法计算，减去一个数等于加上这个数的相反数．2.答案：C解析：解：tan30°=√3，3故选：C．根据特殊角三角函数值，可得答案．本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．3.答案：B解析：本题主要考查了轴对称图形的定义．根据轴对称图形的定义进行解答即可．解：A.不是轴对称图形，故A错误；B.是轴对称图形，故B正确；C.不是轴对称图形，故C错误；D.不是轴对称图形，故D错误；故选B．4.答案：B解析：解：1250000科学记数法表示为1.25×106．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5.答案：B解析：解：从正面看，上面一层最左边有1个正方形，下边一层有2个正方形．故选：B．根据三视图的定义求解．本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．6.答案：A解析：本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出√3的范围．先估算√3的范围，再估算√3−2的范围．解：∵1<√3<2，∴1−2<√3−2<2−2，∴−1<√3−2<0故选A．7.答案：A解析：本题考查分式的加减，掌握运算法则是解题关键.同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减，再化简即可．解：aa+1+1a+1=a+1a+1=1．故选A．8.答案：D解析：本题主要考查二元一次方程组的解法.根据把①代入②，得到的结果即可．解：解方程组{x=3y−2,①2y−5x=10②时，把①代入②，得2y−5(3y−2)=10．故选D．9.答案：B解析：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD．∴OA=OB．∵∠BOC=120°，∴∠AOB=60°．∴△AOB是等边三角形．∴OB=AB=5．∴BD=2BO=10．故选：B．根据矩形性质求出BD=2BO，OA=OB，求出∠AOB=60°，得出等边三角形AOB，求出BO=AB，即可求出答案．本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形性质的应用，证得△AOB是等边三角形是解题的关键．10.答案：A解析：解：∵点A(1,y1)和点B(2,y2)是反比例函数y=−2x图象上的两点又∵反比例函数y=−2x在x>0时，y随着x的增大而增大，且1<2，∴y1<y2，故选：A．图象上的点，在x>0时的增减性，结合横坐标的大小关系，即可得到答案．根据反比例函数y=−2x本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．11.答案：C解析：解：如图：过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，连接CF，∵△ABC是等边三角形，∴AE=EC，AF=FC，∴∠FAC=∠FCA，∵AD是等边△ABC的BC边上的中线，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠ECF=30°．故选：C．根据对称性和等边三角形的性质，作BE⊥AC于点E，交AD于点F，此时BF=CF，EF+CF最小，进而求解．本题考查了最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点E和F的位置．12.答案：B解析：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，及二次函数图象的对称性，理解二次函数的性质是解答此题的关键．解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，与y相交于(0,−6)，∴x=0时，y=−6，即ax2+bx+c=−6，∴方程ax2+bx+c+6=0的一个解为x=0，则另一个解为−1×2−0=−2，故选B．13.答案：x7解析：本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加．根据同底数幂的乘法，可得答案．解：x2⋅x5=x2+5=x7，故答案为：x7．14.答案：8−2√15解析：解：原式=5−2√15+3=8−2√15．故答案为8−2√15．利用完全平方公式计算．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．15.答案：6解析：解：设绿球有x个，根据题意得：x18=13，解得：x=6，即绿球的个数为6，故答案为：6．等量关系为：绿球数：总球数=13，把相关数值代入即可求解．此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．16.答案：−1(答案不唯一)解析：解：因为一次函数y=kx−1(k是常数，k≠0)的图象经过第二、三、四象限，所以k<0，−1<0，所以k可以取−1，故答案为：−1(答案不唯一)．由一次函数图象经过第二、三、四象限，可知k<0，−1<0，在范围内确定k的值即可．考查了一次函数的性质．根据一次函数图象所经过的象限，可确定一次项系数，常数项的值的符号，从而确定字母k的取值范围．17.答案：36解析：解：∵P为边AD的中点，S△ADC=12，∴S△APC=S△CDP=12∵平行四边形ABCD中，AC是对角线，∴S△ABC=S△ADC=24，∴S1=12，S2=24，∴S1+S2=36．故答案为：36．利用中线的性质得出S△APC=S△CDP，进而得出S1=12，S2=24，即可得出答案．此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中线的性质，得出S△APC=S△CDP是解题关键．18.答案：(1)5；(2)如图，取格点E，连接AE交BC于M，取格点F，连接DF交AM于点P，点P即为所求．解析：解：(1)AC=√32+42=5，故答案为5．(2)见答案．(1)利用勾股定理即可解决问题．(2)如图，取格点E，连接AE交BC于M，取格点F，连接DF交AM于点P，点P即为所求．本题考查作图−复杂作图，轴对称−最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19.答案：解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，在Rt△DCH中，∠C=37°，∴CH=DHtan37∘，在Rt△DBH中，∠DBH=45°，∴BH=DHtan45∘，∵BC=CH−BH，∴DHtan37∘−DHtan45∘=6，解得DH≈18，在Rt△DAH中，∠ADH=26°，∴AD=DHcos26∘≈20．答：轮船航行的距离AD约为20km．解析：过点D作DH⊥AC于点H，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离AD．本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．20.答案：解：由①得，x≤8，由②得，x>−13，故此不等式组的解集为：−13<x ≤8．在数轴上表示为：解析：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．21.答案：解：(1)40，25 ；(2)∵这组样本数据中，5出现了12次，出现次数最多，∴这组数据的众数为5；∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为6，有6+62=6， ∴这组数据的中位数是6；由条形统计图可得x −=4×6+5×12+6×10+7×8+8×440=5.8，∴这组数据的平均数是5.8．(3)8+440×1200=360(人)．答：估计该校一周的课外阅读时间大于6h 的学生人数约为360人．解析：本题考查的是扇形统计图与条形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．(1)根据阅读时间为4h 的人数及所占百分比可得，将时间为6小时人数除以总人数可得；(2)根据众数、中位数、加权平均数的定义计算可得；(3)将样本中课外阅读时间大于6h 的学生人数所占比例乘以总人数1200可得．解：(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为：60.15=40(人)，图①中m 的值为1040×100=25； 故答案为：40，25．(2)见答案；(3)见答案．22.答案：(1)证明：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∴∠C+∠CAB=90°，∴∠C=∠ABD，∵∠AGD=∠ABD，∴∠AGD=∠C；(2)解：∵∠BDC=∠ABC=90°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BCAC =CDBC，∴6AC =46，∴AC=9，∴AB=√AC2−BC2=3√5，∵CE=2AE，∴AE=3，CE=6，∵FH⊥AB，∴FH//BC，∴△AHE∽△ABC，∴AHAB =EHBC=AEAC，∴3√5=EH6=39，∴AH=√5，EH=2，连接AF，BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠AEH+∠BFH=∠AFH+∠FAH=90°，∴∠FAH=∠BFH，∴△AFH∽△FBH，∴FHAH =BHFH，∴5=2√5FH，∴FH=√10，∴EF=√10−2．解析：(1)连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据切线的性质得到∠ABC=90°，得到∠C=∠ABD，根据圆周角定理即可得到结论；(2)根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．23.答案：解：(1)当选择方案①时，y=350×8+0.6×240x=144x+2800，当选择方案②时，y=(350×8+240x)×0.85=204x+2380；(2)当方案①费用高于方案②时，144x+2800>204x+2380，解得x<7，当方案①费用等于方案②时，144x+2800=204x+2380，解得x=7，当方案①费用低于方案②时，144x+2800<204x+2380，解得x>7，故当0<x<7时，选择方案②，当x=7时，两种方案费用一样．当x>7时，选择方案①．解析：(1)根据题意分别列出两种方案的收费方案的函数关系式；(2)由(1)得到的函数关系式分类讨论即可．本题是一次函数实际应用问题，考查一次函数性质以及一元一次方程、不等式．解答关键是分类讨论．24.答案：(1)如图一中，∵CA=CB，∠ACB=60°，∴△ACB是等边三角形，∵点D、E分别是AC、BC边上中点，∴CE=CE′=CD=CD′，∵∠ACB=∠D′CE′=60°，∴∠BCE′=∠ACD′，∴△BCE′≌△ACD′(SAS)，∴AD′=BE′．(2)如图二中，连接PC．∵CE′=CD′，∠E′CD′=60°，∴△E′CD′是等边三角形，∵PD′=PE′，∴PC⊥D′E′，∵CD′=2，PE′=1，∴PC=√22−12=√3，∵AC=4，∴4−√3≤PA≤4+√3，∴PA的最大值为4+√3．(3)4√2解析：解：(1)见答案．(2)见答案．(3)如图三中，设AC交BP于K．∵CB=CA，CE′=CD′，∠BCA=∠E′CD′=90°，∴∠BCE′=∠ACD′，∴△BCE′≌△ACD′，∴∠CBE′=∠CAD′，∵∠CBK+∠CKB=90°，∠CKB=∠AKP，∴∠AKP+∠PAK=90°，∴∠APK=90°∴∠E′CD′+∠E′PD′=180°，∴P，E′，C，D′四点共圆，直径是D′E′=2√2，∴当四边形PE′CD′是正方形时，PC的值最大，PC=D′E′=2√2，此时PC⊥BC，×4×2√2=4√2．∴△PBC的面积的最大值为12故答案为4√2．(1)欲证明AD′=BE′，只要证明△BCE′≌△ACD′(SAS)即可；(2)如图二中，连接PC.求出PC的值，利用三角形的三边关系即可解决问题；(3)如图三中，设AC交BP于K.首先证明∠APK=90°由∠E′CD′+∠E′PD′=180°，推出P，E′，C，D′四点共圆，直径是D′E′=2√2，推出当四边形PE′CD′是正方形时，PC的值最大，PC=D′E′=2√2，此时PC⊥BC，由此即可解决问题；本题考查几何变换综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．25.答案：解：(1)抛物线的表达式为：y=a(x−2)2−1，将点B的坐标代入上式并解得：a=1，故抛物线的表达式为：y=x2−4x+3，则点C(0,3)；(2)将点C、D的坐标代入一次函数表达式：y=mx+n并解得：直线CD的表达式为：y=−2x+3，则点E(32,0)，S△CEB=12×EB×OC=12×32×3=94，S△ODE=12×OE×|y D|=12×32×1=34，故S△CEB：S△ODE=3：1．解析：(1)抛物线的表达式为：y=a(x−2)2−1，将点B的坐标代入上式并解得：a=1，即可求解；(2)直线CD的表达式为：y=−2x+3，则点E(32,0)，S△CEB=12×EB×OC=12×32×3=94，S△ODE=1 2×OE×|y D|=12×32×1=34，即可求解．本题考查的是抛物线与x轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．。

2020届天津市南开区高考一模数学试题(解析版)

2020届天津市南开区高考一模数学试题(解析版)
17．在三棱柱 中， ⊥底面 ， ， ， 为线段 上一点．
（Ⅰ）若 ，求 与 所成角的余弦值；
（Ⅱ）若 ，求 与平面 所成角的大小；
（Ⅲ）若二面角 的大小为 ，求 的值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）30°；（Ⅲ）1．
【解析】（Ⅰ）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 与 所成角的余弦值；
（Ⅱ）求 ．
【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ） ．
【解析】（Ⅰ）直接根据前n项和与通项的关系求出数列 的通项公式，再根据递推关系式求出数列 的通项公式；
（Ⅱ）先根据 ，然后利用错位相减求和，整理即可求得出结果．
【详解】
解：（Ⅰ）当 时， ，
当 时， ，适合上式，
所以： ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴数列 的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列，
则 ，为增函数，
∴ 在R上为减函数，
， ，
∵ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】
本题考查指对数比较大小，利用函数的单调性和奇偶性，涉及了指数函数和对数函数的性质和图象．
7．已知函数 .的部分图象如图所示，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先据图象的最高点与最低点求出 ，然后根据零点间的横向距离是四分之一周期的倍数求出 ，进而求出 的值，最后利用对应的观点结合范围求出 的值．
解得： ；
②当 时，只需 有两个正根即可，
方程可化为 ，故两根为： 或 ，
由题意只需 且 ，
综合①②可知，当 时，方程 有4个不同的实数根．
所以实数 的取值范围是（0，1）.
故选：B．
【点睛】
本题考查已知函数零点个数求参数取值范围，涉及一元二次方程的性质的应用，注意方程与不等式的相互应用，同时考查学生运用转化与化归思想、函数与方程思想以及解题的能力．

2020年天津市部分区中考数学一模测试试卷 (解析版)

2020年天津市部分区中考数学一模测试试卷 (解析版)

2020年天津市部分区中考数学一模试卷一、选择题（共12小题）.1．计算﹣2﹣7的结果等于（）A．5B．﹣5C．﹣9D．92．计算tan60°的值等于（）A．B．C．1D．3．下列图形中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．一双没有洗过的手，带有各种细菌约75000万个，75000万用科学记数法表示为（）A．7.5×104B．7.5×105C．7.5×108D．7.5×1095．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．6．估计的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间7．计算﹣的结果为（）A．1B．x C．D．8．方程组的解是（）A．B．C．D．9．如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠BAC＝40°，则∠E的度数是（）A．65o B．60o C．50o D．40°10．若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1 11．如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD 上的一个动点，则PE+PC的最小值为（）A．1B．2C．D．12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，c），其中2≤c≤3，对称轴为x＝l，现有如下结论：①2a+b＝0；②当x＞3时，y＞0；③﹣1≤a≤．其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．计算：x5•x3的结果等于．14．计算（+2）2的结果等于．15．不透明袋子中装有7个球，其中有4个红球．3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是．16．已知一次函数y＝mx+3的图象经过第一、二、四象限，则m的值可以是．（写出一个即可）17．如图所示，平行四边形内有两个全等的正六边形，若阴影部分的面积记为S1，平行四边形的面积记为S2，则的值为．18．如图，在每个小正力形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，D为小正方形边中点．（Ⅰ）AD的长等于；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个点P，使其满足S△PAD＝S四，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．边形ABCD三、解答题（共7小题，满分66分）19．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．某校初级中学数学兴趣小组为了解本校学生年龄情况，随机调查了本校部分学生的年龄，根据所调查的学生的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为，图①中m的值为；（Ⅱ）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．21．已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，（Ⅰ）如图①，连接AC，AD，若∠ADC＝55°，求∠CAB的大小；（Ⅱ）如图②，C是半圆弧AB的中点，AD的延长线与过点B的切线相交于点P，若CD＝，求∠APB的大小．22．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B 地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路AC的长（结果保留整数）．参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.732．23．某儿童游乐园推出两种门票收费方式：方式一：购买会员卡，每张会员卡费用是200元，凭会员卡可免费进园5次，免费次数用完以后，每次进园凭会员卡只需10元；方式二：不购买会员卡，每次进园是20元（两种方式每次进园均指单人）设进园次数为x（x为非负整数）（Ⅰ）根据题意，填写下表：进园次数（次）51020……方式一收费（元）200350……方式二收费（元）200……（Ⅱ）设方式一收费y1元，方式二收费为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；（Ⅲ）当x＞30时，哪种进园方式花费少？请说明理由．24．在直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），C是AB中点，连接OC，将△AOC绕点A顺时针旋转，得到△AMN，记旋转角为α，点O，C的对应点分别是M，N．连接BM，P是BM中点，连接OP，PN．（Ⅰ）如图①．当α＝45°时，求点M的坐标；（Ⅱ）如图②，当α＝180°时，求证：OP＝PN且OP⊥PN；（Ⅲ）当△AOC旋转至点B，M，N共线时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．25．已知抛物线C的解析式为y＝x2+2x﹣3，C与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点D，顶点为P．（Ⅰ）求点A，B，D，P的坐标；（Ⅱ）若将抛物线C沿着直线PD的方向平移得到抛物线C′；①当抛物线C′与直线y＝2x﹣5只有一个公共点时，求抛物线C′的解析式；②点M（x m，y m）是①中抛物线C′上一点，若﹣6≤x m≤2且y m为整数，求满足条件的点M的个数．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算﹣2﹣7的结果等于（）A．5B．﹣5C．﹣9D．9【分析】根据有理数的减法法则计算即可．解：﹣2﹣7＝﹣2+（﹣7）＝﹣9．故选：C．2．计算tan60°的值等于（）A．B．C．1D．【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可．解：原式＝，故选：D．3．下列图形中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D．4．一双没有洗过的手，带有各种细菌约75000万个，75000万用科学记数法表示为（）A．7.5×104B．7.5×105C．7.5×108D．7.5×109【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：75000万＝750000000＝7.5×108吨．故选：C．5．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层左边一个小正方形．故选：A．6．估计的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【分析】根据二次根式的性质确定2的范围，即可得出答案．解：∵2＝，＜＜，∴估计的值在3和4之间，故选：B．7．计算﹣的结果为（）A．1B．x C．D．【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减计算即可得解．解：﹣＝＝1．故选：A．8．方程组的解是（）A．B．C．D．【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．解：，把①代入②得：3x+2（2x﹣3）＝8，整理得：7x＝14，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝1，则方程组的解为．故选：C．9．如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠BAC＝40°，则∠E的度数是（）A．65o B．60o C．50o D．40°【分析】连接BD，依据矩形的性质，即可得到∠ABD＝40°，∠DBE＝50°，再根据AC＝BD，AC＝BE，即可得出BD＝BE，进而得到∠E的度数．解：如图，连接BD，∵矩形ABCD中，∠BAC＝40°，OA＝OB，∴∠ABD＝40°，∠DBE＝90°﹣40°＝50°，∵AC＝BD，AC＝BE，∴BD＝BE，∴△BDE中，∠E＝（180°﹣∠DBE）＝（180°﹣50°）＝65°，故选：A．10．若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1【分析】根据反比例函数的性质和反比例函数增减性，结合函数的纵坐标，即可得到答案．解：∵反比例函数y＝的k＝﹣1＜0，∴x＞0时，y＜0，y随着x的增大而增大，x＜0时，y＞0，y随着x的增大而增大，∵﹣3＜﹣2＜0，∴0＜y1＜y2，∵3＞0，∴y3＜0，∴y3＜0＜y1＜y2，故选：B．11．如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD 上的一个动点，则PE+PC的最小值为（）A．1B．2C．D．【分析】根据等边三角形的三线合一的性质，连接BE交AD于点P，此时PB＝PC，即可得到PE+PC的最小值即为BE的长．解：如图，连接BE交AD于点P′，∵，△ABC是等边三角形，AB＝2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，∴AD、BE分别是等边三角形ABC边BC、AC的垂直平分线，∴P′B＝P′C，P′E+P′C＝P′E+P′B＝BE，根据两点之间线段最短，点P在点P′时，PE+PC有最小值，最小值即为BE的长．BE＝＝，所以P′E+P′C的最小值为．故选：C．12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，c），其中2≤c≤3，对称轴为x＝l，现有如下结论：①2a+b＝0；②当x＞3时，y＞0；③﹣1≤a≤．其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据二次函数的图象与性质逐项分析即可求出答案．解：∵（﹣1，0）关于直线的x＝1的对称点是（3，0），由于与y轴的交点C在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），∴抛物线的开口向下，∴x＞3时，y＜0，故②错误；∵抛物线经过A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝﹣3a，∵2≤c≤3，∴2≤﹣3a≤3，∴﹣1≤a≤﹣，故③正确；③由对称轴可知：﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故①正确；故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．计算：x5•x3的结果等于x8．【分析】同底数幂乘法运算的法则是：底数不变，指数相加，据此可解．解：x5•x3＝x5+3＝x8故答案为：x8．14．计算（+2）2的结果等于7+4．【分析】根据完全平方公式可以解答本题．解：（+2）2＝3+4+4＝7+4，故答案为：7+4．15．不透明袋子中装有7个球，其中有4个红球．3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是．【分析】用绿球的个数除以球的总个数即可得．解：从袋子中随机取出1个球有7种等可能结果，其中它是绿球的有3种可能，∴它是绿球的概率为，故答案为：．16．已知一次函数y＝mx+3的图象经过第一、二、四象限，则m的值可以是﹣2（答案不唯一）．（写出一个即可）【分析】根据一次函数y＝mx+3的图象经过第一、二、四象限判断出m的取值范围，从中任意找一个m的值即可．解：∵一次函数y＝mx+3的图象经过第一、二、四象限，∴m＝﹣2．故答案为：﹣2（答案不唯一）．17．如图所示，平行四边形内有两个全等的正六边形，若阴影部分的面积记为S1，平行四边形的面积记为S2，则的值为．【分析】由题中条件可得平行四边形中两边的阴影面积相等，则求解一个阴影的面积及平行四边形的面积即可得出两者之间的关系．解：如图，则S阴影＝2（S△BEF+S四边形FGMN），设正六边形的边长为a，由于正六边形的存在，所以∠BEF＝60°，则可得BE＝EF＝2a，BC＝4a，AB＝3a，则在Rt△BEF中可得其高EP＝a，同理可得FQ＝a，∴S1＝2（S△BEF+S FGMN）＝2（•BF•EP+FG•FQ）＝2（•2a•a+a•a）＝3a2，而S2＝BC•h＝4a•a＝6a2，∴＝，故答案为：．18．如图，在每个小正力形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，D为小正方形（Ⅰ）AD的长等于；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个点P，使其满足S△PAD＝S四，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）取格点E，连接BE，延边形ABCD长DC，与BE交于点P，点P即为所求．【分析】（Ⅰ）利用网格根据勾股定理即可求出AD的长；（Ⅱ）在如图所示的网格中，取格点E，连接BE，延长DC，与BE交于点P，使其满足S△PAD＝S四边形ABCD即可．解：（Ⅰ）AD的长等于＝；故答案为：；（Ⅱ）如图，取格点E，连接BE，延长DC，与BE交于点P，点P即为所求．故答案为：取格点E，连接BE，延长DC，与BE交于点P，点P即为所求．三、解答题（共7小题，满分66分）19．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得x≥0；（Ⅱ）解不等式②，得x≤4；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为0≤x≤4．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥0；（Ⅱ）解不等式②，得x≤4；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为0≤x≤4．故答案为：x≥0，x≤4，0≤x≤4．20．某校初级中学数学兴趣小组为了解本校学生年龄情况，随机调查了本校部分学生的年龄，根据所调查的学生的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为50，图①中m的值为12；（Ⅱ）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．【分析】（Ⅰ）根据14岁的人数和所占的百分比求出总人数，用12岁的人数除以总人数即可求出m；（Ⅱ）根据平均数、众数和中位数的定义分别进行解答即可．解：（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为：14÷28%＝50（人），m%＝×100%＝12%，则m＝12；故答案为：50，12；（Ⅱ）这组学生年龄数据的平均数是：＝14（岁），∵15岁出现的次数最多，出现了18次，∴众数是15岁；将这组数据按从小到大排列，处于中间的两个数都是14，则这组数据的中位数是＝14岁．21．已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，（Ⅰ）如图①，连接AC，AD，若∠ADC＝55°，求∠CAB的大小；（Ⅱ）如图②，C是半圆弧AB的中点，AD的延长线与过点B的切线相交于点P，若CD＝，求∠APB的大小．【分析】（I）连接CB，由圆周角定理和已知数据即可求出∠CAB的大小；（II）连接AC，OC，DO，易证△COD为等边三角形，再由切线的性质即可求出∠APB 的大小解：（I）连接CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠AB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∵∠ADC＝55°，∴∠ABC＝∠ADC＝55°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝35°；（II）连接AC，OC，DO，∵CD＝AB＝OC＝OD，∴△COD为等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠CAD＝∠COD＝30°，∵C是半圆弧AB的中点，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∵AO＝CO，∴∠CAO＝∠ACO＝45°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝15°，∵AD的延长线与过点B的切线相交于点P，∴BP⊥AB，∴∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°﹣∠BAP＝75°．22．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B 地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路AC的长（结果保留整数）．参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.732．【分析】过点B作BD⊥AC于点D，根据题意，得∠ABD＝67°，AB＝520，∠CBD＝30°，再根据锐角三角函数即可求出A地到C地之间高铁线路AC的长．解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，根据题意，得∠ABD＝67°，AB＝520，∠CBD＝30°，在Rt△ABD中，AD＝AB•sin67°，BD＝AB•cos67°，在Rt△CBD中，CD＝BD•tan30°，∴AC＝AD+CD＝AB•sin67°+AB•cos67°•tan30°≈520×0.92+520×0.38×≈592（km）．答：A地到C地之间高铁线路AC的长592km．23．某儿童游乐园推出两种门票收费方式：方式一：购买会员卡，每张会员卡费用是200元，凭会员卡可免费进园5次，免费次数用完以后，每次进园凭会员卡只需10元；方式二：不购买会员卡，每次进园是20元（两种方式每次进园均指单人）设进园次数为x（x为非负整数）（Ⅰ）根据题意，填写下表：进园次数（次）51020……方式一收费（元）200250350……方式二收费（元）100200400……（Ⅱ）设方式一收费y1元，方式二收费为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；（Ⅲ）当x＞30时，哪种进园方式花费少？请说明理由．【分析】（I）根据两种门票收费方式填空即可；（II）根据题意可以写出y1，y2与x之间的函数表达式；（Ⅲ）先写出选择哪种进园方式，然后根据题意，求出两种方式下，x为多少时，收费一样，然后即可得到当x＞30时，哪种进园方式花费少．解：（Ⅰ）进园次数为5时，方式二收费为5×20＝100（元），进园次数10时，方式一收费为200+10×（10﹣5）＝250（元），进园次数为20时，方式二收费为20×20＝400（元），故答案为：250；100；400．（Ⅱ）由题意可得，当0＜x≤5时，y1＝200，当x＞5时，y1＝200+10（x﹣5）＝10x+150，由上可得，y1＝，y2＝20x；（Ⅲ）当x＞30时，方式一进园方式花费少，理由：令10x+150＝20x，解得，x＝15，∵x＞30，∴方式一进园方式花费少，即当x＞30时，方式一进园方式花费少．24．在直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），C是AB中点，连接OC，将△AOC绕点A顺时针旋转，得到△AMN，记旋转角为α，点O，C的对应点分别是M，N．连接BM，P是BM中点，连接OP，PN．（Ⅰ）如图①．当α＝45°时，求点M的坐标；（Ⅱ）如图②，当α＝180°时，求证：OP＝PN且OP⊥PN；（Ⅲ）当△AOC旋转至点B，M，N共线时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．【分析】（Ⅰ）如图①中，过点M作MD⊥OA于D．解直角三角形求出OD，OM即可解决问题．（Ⅱ）如图②，当α＝180°时，点B，A，N共线，O，A，M共线，利用直角三角形斜边中线定理即可解决问题．（Ⅲ）分两种情形：①如图③﹣1中，当点M在线段BN上时，②如图③﹣2中，当点N在线段BM上时，分别求解即可解决问题．解：（Ⅰ）如图①中，过点M作MD⊥OA于D．∵A（4，0），B（0，4），∴OA＝OB＝4，∵C是AB的中点，∴OC＝CB＝CA＝AB，且OC⊥AB，∴△AOC是等腰直角三角形，∴当α＝45°时，点M在AB上，由旋转可知：△AOC≌△AMN，∴AM＝OA＝4．MD＝AD＝AM＝2，∴OD＝OA＝AD＝4﹣2，∴M（4﹣2，2）．（Ⅱ）如图②，当α＝180°时，点B，A，N共线，O，A，M共线，∵∠BNM＝∠BOM＝90°，P是BM的中点，∴OP＝PN＝PB＝PM，∴∠PMN＝∠PNM，∠POB＝∠PBO，∵∠NPM＝180°﹣2∠PMN，∠BPO＝180°﹣2∠PBO，∴∠MPN+∠BPO＝360°﹣2（∠PMN+∠PBO）∴∠MPN+∠BPO＝360°﹣2（45°+∠PMO+∠PBO），∵∠PMO+∠PBO＝90°，∴∠MPN+∠BPO＝90°，∴∠OPN＝180°﹣（∠MPN+∠BPO）＝90°，∴OP⊥PN．（Ⅲ）①如图③﹣1中，当点M在线段BN上时，在Rt△ABN中，∵AB＝4，AN＝2，∴AB＝2AN，∴∠ABN＝30°，∴BN＝AN＝2，BM＝BN＝MN＝2﹣2，过点M作MK⊥OB于K，在MK上截取一点J，使得BJ＝MJ，设BK＝a，∵∠ABO＝45°，∴∠MBK＝75°，∠KMB＝15°，∵JB＝JM，∴∠JBM＝∠JMB＝15°，∴∠BJK＝∠JBM+∠JMB＝30°，∴BJ＝JM＝2a，KJ＝a，∵BM2＝BK2+KM2，∴（2﹣2）2＝a2+（2a+a）2，解得a＝4﹣2（负根已经舍弃），∴KM＝2a+a＝2，OK＝2，∴M（2，2），②如图③﹣2中，当点N在线段BM上时，同法可得M（2，﹣2），综上所述，满足条件的点M的坐标为（2，2）或（2，﹣2）．25．已知抛物线C的解析式为y＝x2+2x﹣3，C与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点D，顶点为P．（Ⅰ）求点A，B，D，P的坐标；（Ⅱ）若将抛物线C沿着直线PD的方向平移得到抛物线C′；①当抛物线C′与直线y＝2x﹣5只有一个公共点时，求抛物线C′的解析式；②点M（x m，y m）是①中抛物线C′上一点，若﹣6≤x m≤2且y m为整数，求满足条件的点M的个数．【分析】（I）对于y＝x2+2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，令y＝0，则x＝﹣3或1，即可求解；（II）①求得直线PD的表达式为：y＝x﹣3，则平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣m）2+m﹣3，由△＝0，即可求解；②当﹣6≤x m≤1时，﹣2≤y m≤47，此时y m有50个整数；当1＜x m≤2时，此时y m有1个整数，即可求解．解：（I）对于y＝x2+2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，令y＝0，则x＝﹣3或1，故点A、B、D的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3），函数的对称轴为x＝﹣1，故点P（﹣1，﹣4）；（II）①设直线PD的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线PD的表达式为：y＝x﹣3，则设平移后抛物线的顶点坐标为：（m，m﹣3），故平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣m）2+m﹣3，又抛物线C′与直线y＝2x﹣5只有一个公共点，则y＝（x﹣m）2+m﹣3＝2x﹣5，△＝0，解得：m＝1，∴平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2﹣2＝x2﹣2x﹣1；②由①知平移后抛物线的顶点为（1，﹣2），当x＝﹣6时，y＝x2﹣2x﹣1＝47，当x＝2时，y＝﹣1，故当﹣6≤x m≤1时，﹣2≤y m≤47，此时y m有50个整数；当1＜x m≤2时，此时y m有1个整数；∵抛物线是连续的，故满足条件的点M的个数为51个．。

2020年天津市河东区高考数学一模试卷(附答案详解)

2020年天津市河东区高考数学一模试卷(附答案详解)

2020年天津市河东区高考数学一模试卷1. 已知集合A ={−2,−3,−4,4,5}，B ={x||x −1|<π}，则A ∩B =( )A. {−2,−3,4}B. {−2,4,5}C. {−1,−2,−3,−4,0,1,2,3,4,5}D. {−2,4}2. i 是虚数单位，复数Z 满足条件2Z +|Z|=2i ，则复数Z 在复平面的坐标为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 双曲线x 2a 2−y 25=1(a >0)的一条渐进线与直线y =√5x 垂直，则a 的值为( )A. 5B. 25C. √5D. 14. 已知平面α、β，直线l ⊂α，直线m 不在平面α上，下列说法正确的是( )A. 若α//β，m//β，则l//mB. 若α//β，m ⊥β，则l ⊥mC. 若1//m ，α//β，则m//βD. 若l ⊥m ，m//β，则α⊥β5. 对于非零向量a ⃗ 、b ⃗ ，“2a ⃗ =b ⃗ ”是“a ⃗ ，b ⃗ 共线”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知函数f(x)为定义在[−3,3]的奇函数，且f(2)>f(1)>f(3)>0，则下列各式一定正确的是( )A. f(1)−f(log 218)>f(0)−f(log 139)B. f(log 139)+f(−1)=f(log 218)+f(0)C. −f(log 139)+f(−1)>f(1)−f(log 28)D. f(log 139)+f(−1)<f(log 218)+f(0) 7. 三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 对应的边分别为a ，b ，c ，∠A =2π3，b =3，三角形ABC的面积为15√34，则边a 的值为( ) A. √19B. √912C. 7D. 498. 已知实数a 、b ，ab >0，则aba 2+b 2+a 2b 2+4的最大值为( )A. 16B. 14C. 17D. 69. 已知函数f(x)=sin(4x +π3)(x ∈[0,13π24])，函数g(x)=f(x)+a 有三个零点x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围是( )A. [10π3,7π2] B. [7π12,5π8]C. [0,5π8)D. [7π12,5π8)10. (√x −y2)5的展开式xy 3的系数为______．11. 已知抛物线的焦点为F(0,−12)，点P(1,t)在抛物线上，则点P 到F 的距离______． 12. 已知圆O 过点A(0,0)、B(0,4)、C(1,1)，点D(3,4)到圆O 上的点最小距离为______． 13. 正四棱锥的高与底面边长相等且体积为83，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱中点的球的表面积为______．14. 已知圆O 内接正三角形ABC 边长为2，圆心为O ，则OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ = (1) ，若线段BC 上一点D ，BD =12DC ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2) ．15. 函数f(x)=x ，g(x)=x 2−x +3，若存在x 1,x 2,…,x n ∈[0,92]使得f(x 1)+f(x 2)+⋯f(x n−1)+g(x n )=g(x 1)+g(x 2)+⋯+g(x n−1)+f(x n )，则n 的最大值为______．16. 已知递增等差数列{a n }，等比数列{b n }，数列{c n }，a 1=c 1=1，c 4=9，a 1、a 2、a 5成等比数列，b n =a n +c n ，n ∈N ∗． (1)求数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和S n ．17. “海河英才”行动计划政策实施1年半以来，截止2019年11月30日，累计引进各类人才落户23.5万人．具体比例如图，新引进两院院士，长江学者，杰出青年，科学基金获得者等顶尖领军人才112人，记者李军计划从人才库中随机抽取一部分进行调查．(1)李军抽取了8人其中学历型人才4人，技能型人才3人，资格型人才1人，周二和周五随即进行采访，每天4人(4人任意顺序)，周五采访学历型人才不超过2人的概率：(2)李军抽取不同类型的人才有不同的采访补助，学历型人才500元/人，技能型人才400元/人，资格型人才600元/人，则创业急需型人才最少需要多少元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人？18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD边长为2，E是PA的中点．(1)求证：PC//平面BDE；(2)求证：直线BE与平面PCD所成角的正弦值为√10，求PA10的长度；(3)若PA=2，线段PC上是否存在一点F，使AF⊥平面BDE，若存在，求PF的长度，若不存在，请说明理由．19.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)，左右顶点分别为A，B，上顶点为C，∠BFC=120°．(1)求椭圆离心率；(2)点F到直线BC的距离为√217，求椭圆方程；(3)在(2)的条件下，点P在椭圆上且异于A，B两点，直线AP与直线x=2交于点D，说明P运动时以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并证明．20.已知函数f(x)=x2−x+klnx，k>0．(1)函数f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为2，求k的值；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)若函数f(x)有两个不同极值点为x1、x2，证明|f(x1)−f(x2)|<14−2k．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={−2,−3,−4,4,5}，B={x||x−1|<π}=(−π+1,π+1)∴A∩B={−2,4}，故选：D．求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：设Z=x+yi，(x,y∈R)．∵2Z+|Z|=2i，∴2(x+yi)+√x2+y2=2i，可得：2x+√x2+y2=0，2y=2，解得y=1，x=−√33．∴复数Z在复平面的坐标为(−√33,1)在第二象限．故选：B．设Z=x+yi，(x,y∈R).由2Z+|Z|=2i，可得2(x+yi)+√x2+y2=2i，可得：2x+√x2+y2=0，2y=2，解出即可得出．本题考查了复数运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：根据题意，双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一条渐进线为y=±√5ax；直线y=√5x的斜率为√5，双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一条渐进线与直线y=√5x垂直，必有双曲线的一条渐近线的斜率为−√55；即a=5，故选：A．首先根据题意，由双曲线的方程判断出a>0，进而可得其渐近线的方程；再求得直线y=√5x的斜率，根据直线垂直关系列出方程，求解即可．本题考查双曲线的性质，要求学生掌握由双曲线的方程求其渐近线方程的基本方法，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：对于A，若α//β，m//β，则l//m或l与m异面，故A错误；对于B，若α//β，m⊥β，则m⊥α，又l⊂α，则l⊥m，故B正确；对于C，若1//m，α//β，则m//β或m⊂β，故C错误；对于D，若l⊥m，m//β，则α//β或α与β相交，故D错误．故选：B．由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．5.【答案】B【解析】解：对于非零向量a⃗、b⃗ ，“2a⃗=b⃗ ”⇒“a⃗，b⃗ 共线”，反之不一定成立，可能：a⃗=2b⃗ 等．∴“2a⃗=b⃗ ”是“a⃗，b⃗ 共线”的充分不必要条件．故选：B．对于非零向量a⃗、b⃗ ，“2a⃗=b⃗ ”⇒“a⃗，b⃗ 共线”，反之不一定成立，可举例说明．本题考查了向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)为定义在[−3,3]的奇函数，则有f(0)=0，据此分析选项：9)，即f(1)−f(−3)>f(0)−f(−2)，变形可对于A，f(1)−f(log218)>f(0)−f(log13得f(1)+f(3)>f(2)，不一定正确；对于B，f(log139)+f(−1)=f(log218)+f(0)，即f(−2)+f(−1)=f(−3)+f(0)，变形可得f(2)+f(1)=f(3)，不正确；对于C，−f(log139)+f(−1)>f(1)−f(log28)，即−f(−2)+f(−1)>f(1)−f(3)，变形可得f(2)−2f(1)+f(3)>0，不一定正确；对于D，f(log139)+f(−1)<f(log218)+f(0)，即f(−2)+f(−1)<f(−3)，变形可得f(2)+f(1)>f(3)，又由f(2)>f(1)>f(3)>0，则必有f(2)+f(1)>f(3)，故D一定正确；故选：D．根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=0，据此结合不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及对数的运算性质和不等式的性质，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵∠A=2π3，b=3，三角形ABC的面积为15√34=12bcsinA=12×3×c×√32，∴解得：c=5，∴由余弦定理可得：a=√b2+c2−2bccosA=√9+25−2×3×5×(−12)=7．故选：C．由已知利用三角形的面积公式可求c的值，进而根据余弦定理可求a的值．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由于a2+b2≥2ab>0，所以aba2+b2+a2b2+4≤ab2ab+a2b2+4，故：ab2ab+a2b2+4=12+ab+4ab≤2+2√ab⋅4ab=16，(当且仅当a=b时，等号成立)．故选：A．直接利用关系式的恒等变换的应用和基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：基本不等式的应用，关系式的恒等变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及三角函数的图象和性质，是中档题．根据题意画出函数f(x)的图象，函数g(x)=f(x)+a有三个零点，等价于函数y=f(x)与函数y=−a有三个交点，利用数形结合法即可求出x1+x2+x3的取值范围．【解答】解：根据题意画出函数f(x)的图象，如图所示：函数g(x)=f(x)+a有三个零点，等价于函数y=f(x)与函数y=−a有三个交点，当直线l位于直线l1与直线l2之间时，符合题意，由图象可知：x1+x2=2×π24=π12，12π24≤x3<13π24，所以7π12≤x1+x2+x3<5π8，故选：D．10.【答案】−54【解析】解：(√x−y2)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(√x)5−r(−y2)r=(−12)r C5r x5−r2y r．取r=3，可得(√x−y2)5的展开式xy3的系数为(−12)3C53=−54．故答案为：−54．写出二项展开式的通项，得到r值，则答案可求．本题考查二项式定理的应用，是基础的计算题．11.【答案】1【解析】解：设抛物线的方程为x2=−2py(p>0)，∵抛物线的焦点为F(0,−12)，∴p=1，抛物线的方程为x2=−2y，把点P(1,t)代入x2=−2y，得1=−2t，∴t=−12，由抛物线的定义可知，点P到F的距离为|t|+p2=12+12=1．故答案为：1．先通过焦点坐标，求出p和抛物线的方程，再把点P的坐标代入，可求得t，然后利用抛物线的定义即可得解．本题考查抛物线的定义、标准方程和焦点等，熟练运用抛物线的定义是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．12.【答案】√5【解析】解：设圆O的方程为x2+y2+dx+ey+f=0，∵圆O过点A(0,0)、B(0,4)、C(1,1)，∴{f=00+16+0+4e+f=01+1+d+e+f=0，求得{d=2e=−4f=0，故圆的方程为x2+y2+2x−4y=0，即(x+1)2+(y−2)2=5，表示圆心为(−1,2)、半径为√5的圆．∵|DO|=√(3+1)2+(4−2)2=2√5，故点D(3,4)到圆O上的点最小距离为2√5−√5=√5，故答案为：√5．由题意利用用待定系数法求出圆的方程，再根据点和圆的位置关系，得出结论．本题主要考查用待定系数法求圆的方程，点和圆的位置关系应用，属于中档题．13.【答案】6π【解析】解：设正四棱锥的底面边长为a，则高也是a，所以正四棱锥的体积为：13×a2×a=83，解得：a =2，设底面中心为点O ，则O 为球心，易知四棱锥四条侧棱中点围成一个边长为1的正方形EFGH ，如图所示：，因为球O 经过四棱锥四条侧棱中点，所以球O 是以正方形EFGH 为底面，点O 为中心的长方体的外接球， 显然长方体的高为2，所以球O 的半径R =12√12+12+22=√62，所以球O 的表面积为：4πR 2=4π×64=6π， 故答案为：6π．先利用正四棱锥的体积求出底面边长，根据题意，四棱锥四条侧棱中点围成一个边长为1的正方形EFGH ，而球O 是以正方形EFGH 为底面，点O 为中心的长方体的外接球，从而利用长方体的外接球即可求出球O 的半径，进而求出球O 的表面积． 本题主要考查了正四棱锥的体积公式，以及长方体外接球的问题，是中档题．14.【答案】−2323【解析】解：因为△ABC 是半径为R 的⊙O 的内接正三角形． 所以asinA =2R ，解得R =2√33． 显然△OBC 是等腰三角形，且OB =OC =R ，∠BOC =120°． ∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =R 2⋅cos120°=−23， ∵线段BC 上一点D ，BD =12DC ，∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13(−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=−13(−22−13×2×2×cos60°+23×22)=23； 故答案为：−23，23．先根据正弦定理求得半径R ，进而求得第一个空，再结合向量的三角形法则求得第二个空．本题考查平面向量的数量积及正弦定理的性质，准确理解正弦定理比值的含义是本题的关键．属于中档题．15.【答案】8【解析】解：因为f(x 1)+f(x 2)+⋯f(x n−1)+g(x n )=g(x 1)+g(x 2)+⋯+g(x n−1)+f(x n )等价于(x 1−1)2+2+(x 2−1)2+2+⋯+(x n−1−1)2+2=(x n −1)2+2有解， ∵x 1,x 2,…,x n ∈[0,92]，∴(x 1−1)2+2+(x 2−1)2+2+⋯+(x n−1−1)2+2≥2(n −1)，(x n −1)2+2≤574，根据题意得2(n −1)≤574且n 为正整数，∴n ≤658，∴n 的最大值为8，故答案为：8．因为f(x 1)+f(x 2)+⋯f(x n−1)+g(x n )=g(x 1)+g(x 2)+⋯+g(x n−1)+f(x n )等价于(x 1−1)2+2+(x 2−1)2+2+⋯+(x n−1−1)2+2=(x n −1)2+2有解，又左边的最小值为2(n −1)，右边的最大值为574，所以2(n −1)≤574且n 为正整数，从而可得n 的最大值为8．本题考查了函数解析式的求解及常用方法，属中档题．16.【答案】解：(1)递增等差数列{a n }的公差设为d ，d >0，a 1、a 2、a 5成等比数列，可得a 22=a 1a 5，即(a 1+d)2=a 1(a 1+4d)，即为(1+d)2=1+4d ，解得d =2(0舍去)， 则a n =2n −1，n ∈N ∗； 等比数列{b n }的公比设为q ， b 1=a 1+c 1=2，b n =2q n−1， b 4=a 4+c 4=16，即有q 3=162=8，解得q =2，则b n=2n，n∈N∗；(2)c n=b n−a n=2n−(2n−1)，前n项和S n=c1+c2+⋯+c n=(2+22+⋯+2n)−[1+3+⋯+(2n−1)]=2(1−2n)1−2−12(1+2n−1)n=2n+1−2−n2．【解析】(1)设等差数列的公差为d，d>0，由等比数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到a n；再由b1=a1+c1，可得{b n}的首项，结合等比数列的通项公式求得公比，进而得到b n；(2)求得c n=b n−a n=2n−(2n−1)，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，同时考查化简运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)设事件A表示“周五采访学历型人才不超过2人”，则周五采访学历型人才不超过2人的概率为：P(A)=C44+C41C42+C42C42C84=5370．(2)设创业急需型人才最少需要x元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人，各类人才的补贴数额为随机变量ξ，取值分别为400，500，600，x，P(ξ=400)=25.5%=0.255，P(ξ=500)=53.6%=0.536，P(ξ=600)=19.1%=0.191，P(ξ=x)=1.8%=0.018，E(ξ)=400×0.255+500×0.536+600×0.191+0.018x=484.6+0.018x，484.6+0.018x≥500，解得x≥77009≈855.56，∴创业急需型人才最少需要855.56元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人．【解析】(1)设事件A表示“周五采访学历型人才不超过2人”，利用古典概型概率计算公式能求出周五采访学历型人才不超过2人的概率．(2)设创业急需型人才最少需要x元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人，各类人才的补贴数额为随机变量ξ，取值分别为400，500，600，x ，分别求出相应的概率，进而求出E(ξ)=484.6+0.018x ，由484.6+0.018x ≥500，能求出结果． 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查扇形统计图、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∴以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D −xyz ． 设PA =a(a >0)则A(0,2,0)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，D(0,0,0)， P(a,2,0)，E(a2,2,0). PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,−2,2)， 设平面BDE 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)． DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a 2,2,0)， 由{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y 1+2z 1=0n ⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2x 1+2y 1=0，取y 1=1，得n 1⃗⃗⃗⃗ =(−4a ,1,−1)．PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =4−2−2=0，又PC ⊄平面BDE ，∴PC//平面BDE ；(2)证明：设平面PCD 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)， DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,2,0)，由{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅DC⃗⃗⃗⃗⃗ =2z 2=0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =ax 2+2y 2=0，令x 2=2，得n 2⃗⃗⃗⃗ =(2,−a,0)． BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(a 2,0,−2)， 由题意，|cos <BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >|=|BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||=a√4+a 24⋅√4+a 2=√1010，解得a =2或4， ∴PA 的长度是2或4；(3)解：∵PA =2，∴P(2,2,0)，设线段PC 上存在一点F ，使AF ⊥平面BDE ，且PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得F(2−2λ,2−2λ,2λ)， 又n 1⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,−1)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2λ,−2λ,2λ)， ∴由2−2λ−2=−2λ1，解得λ=13．∴|PF|=|PF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−23)2+(−23)2+(23)2=2√33．【解析】(1)由题意，以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D −xyz.设PA =a(a >0)，求出平面BDE 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)与PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =0，结合PC ⊄平面BDE ，可得PC//平面BDE ；(2)设平面PCD 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)，求出n 2⃗⃗⃗⃗ =(2,−a,0)及BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a2,0,−2)，由已知线面角的正弦值结合两向量所成角的余弦值列式求得a 值，可得PA 的长度是2或4； (3)由PA =2，得P(2,2,0)，设线段PC 上存在一点F ，使AF ⊥平面BDE ，且PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到F(2−2λ,2−2λ,2λ)，再由n 1⃗⃗⃗⃗ 与AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线求得λ，得到PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，则|PF|可求． 本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量证明直线平行与垂直，考查空间角的求法，是中档题．19.【答案】解：(1)∵∠BFC =120°，∴∠OFC =60°，即ca =cos60°=12． 故椭圆的离心率为12．(2)由(1)可知，a =2c ，∴b =√3c ，∵B(a,0)，C(0,b)，∴直线BC 的方程为y =−ba (x −a)=−√32(x −a)，点F 到直线BC 的距离d =|√32(a−c)|√1+(−√32)2=√3(a−c)√7=√217，即a−c =1，∴a =2，c =1，b =√3， 故椭圆的方程为x 24+y 23=1．(3)以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：直线AP 的斜率一定存在，设其方程为y =k(x +2)(k ≠0)，点P 的坐标为(x P ,y P )， 联立{y =k(x +2)x 24+y 23=12得，(4k 2+3)x 2+16k 2x +16k 2−12=0，∴−2×x P =16k 2−124k 2+3即x P =6−8k 24k 2+3，y P =k(x P +2)=12k4k 2+3，把x =2代入y =k(x +2)得，y =4k ，∴点D(2,4k)，∴以BD 为直径的圆的圆心E 的坐标为(2,2k)，当PF ⊥x 轴，即k =±12时，点P(1,±32)，直线PF 方程为x =1，圆心E(2,±1)，半径为1，∴圆E 与直线PF 相切；当PF 不垂直x 轴，即k ≠±12时，k PF =y Px P −1=4k 1−4k 2，直线PF 方程为y =4k1−4k 2(x −1)，点E 到直线PF 的距离d =|4k1−4k 2−2k|√1+(4k1−4k 2)2=|2k|，为圆E 的半径，∴圆E 与直线PF 相切．综上所述，当点P 运动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．【解析】(1)根据∠BFC =120°可知，∠OFC =60°，再结合锐角三角函数即可求得离心率；(2)由(1)的结论，先导出b 与c 的关系，确定B 和C 的坐标后，写出直线BC 的方程，利用点到直线的距离公式可建立a 与c 的等量关系，再结合a =2c ，即可求得a 、b 、c 的值，于是得解；(3)直线AP 的斜率一定存在，设其方程为y =k(x +2)(k ≠0)，点P 的坐标为(x P ,y P )，将其与椭圆的方程联立，利用两根之积可表示出点P 的坐标；把x =2代入直线AP 方程可求出点D 的坐标，从而得到以BD 为直径的圆的圆心E 的坐标；然后分PF ⊥x 轴和PF 不垂直x 轴两个类别讨论圆E 与直线PF 的位置关系即可．本题考查椭圆的几何性质、求椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，还涉及点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等，有一定的综合性和计算量，考查学生转化与化归的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)f′(x)=2x −1+kx (x >0)，f′(1)=1+k =2，∴k =1．(2)令f′(x)=0得：2x 2−x +k =0，△=1−8k ． ①当k ≥18时，△≤0，f′(x)≥0，f(x)在(0,+∞)上递增；②当0<k <18时，△>0，x 1x 2=k2>0，x 1+x 2=12>0，故x 1，x 2>0． x 1=1+√1−8k4，x 2=1−√1−8k4,x 1>x 2，可知：f(x)在(0,1−√1−8k 4),(1+√1−8k 4,+∞)上递增；在(1−√1−8k 4,1+√1−8k4)上递减．(3)证明：由(2)知，0<k <18，f(x 2)>f(x 1).所以f(x 1)−f(x 2)=x 12−x 22−(x 1−x 2)+kln x 1x 2=(x 1−x 2)(x 1+x 2−1)+kln x1x 2=−√△4+√△1−√△=−√△4+k[ln(1+√△)−ln(1−√△)]，令t =√△∈(0,1)．则14−2k=14△=14t2，只需证明t4+k[ln(1−t)−ln(1+t)]<t24．即证：g(t)=t24−t4−k[ln(1−t)−ln(1+t)]>0．又g′(t)=t2−14−k(−11−t−11+t)=t2−14+2k1−t2，且1−t2=1−(1−8k)=8k，∴g′(t)=t2>0，g(t)在(0,1)上递增，所以g(t)>g(0)=0，得证．【解析】(1)直接令x=1处的导数值为2即可；(2)讨论导数的零点存在情况及大小情况，确定导数的在每个区间上的符号，从而确定原函数的单调性；(3)利用极值点满足的韦达定理，将f(x1)−f(x2)转化为关于√△的函数，然后再结合要解决的问题，最终化归为一个不等式恒成立，求函数的最值的问题．本题考查导数的综合运用，主要涉及到求切线、研究函数在指定区间上的单调性，最值以及不等式恒成立问题的基本路子．同时考查学生运用转化与化归思想，分类讨论与函数与方程思想求解问题的能力，属于较难的题目．。

2020年天津市耀华中学高考数学一模试卷 (解析版)

2020年天津市耀华中学高考数学一模试卷 (解析版)

2020年天津市耀华中学高考数学一模试卷一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）1.设全集U=R，集合A={x|x2−3x≥0}，B={x∈N|x≤3}，则(∁U A)∩B等于()A. ⌀B. {0,1}C. {1,2}D. {1,2，3}2.设等比数列{a n}中，每项均是正数，且a5a6=81，则log13a1+log13a2+log13a3+⋯+log13a10=( )A. 20B. −20C. −4D. −53.已知α,β∈R，则“存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ”是“sinα=sinβ”的()．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为3，外接球表面积为16π，则正三棱柱ABC−A1B1C1的体积为()A. 3√34B. 3√32C. 9√34D. 9√325.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是()A. 31.6岁B. 32.6岁C. 33.6岁D. 36.6岁6.已知a=log52，b=log72，c=0．5a−2，则a，b，c的大小关系为()A. b<a<cB. a<b<cC. c<b<aD. c<a<b7.将函数y=cos2x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到函数g(x)的图象，再将函数g(x)的图象向右平移π8个单位，得到函数f(x)的图象，则f(x)=()A. cos(x−π8) B. sin(x−π8) C. sin2x D. sin4x8. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点F 与抛物线y 2=8x 的焦点重合，过F 作与一条渐近线平行的直线l ，交另一条渐近线于点A ，交抛物线y 2=8x 的准线于点B ，若三角形AOB(O 为原点)的面积3√3，则双曲线的方程为( )A. x 212−y 24=1B.x 24−y 212=1C.x 23−y 2=1D. x 2−y 23=19. 若函数f(x)=|4x −x 2|+a 有4个零点，则实数a 的取值范围是( )A. [−4,0]B. (−4,0)C. [0,4]D. (0,4)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）10. 设z =1−i(i 为虚数单位)，则2z +z 2= ______ ． 11. 在(x √x )4的展开式中，x 的系数为______.(用数字作答)12. (1)在口袋中有不同编号的5个白球和4个黑球，如果不放回地依次取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取得白球的概率是______．(2)设随机变量X ̃B (2,p )，随机变量Y ̃B (3,p )，若P (X ≥1)=59，则D (3Y +1)=_________．(3)如果η∼B (100,12)，当P (η=k )取最大值时，k =_____________．(4)现有A 、B 两队参加关于“十九大”知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢一分，答错得0分。

天津市河北区2020年高考一模 数学试卷 (解析版)

天津市河北区2020年高考一模 数学试卷 (解析版)

2020年天津市河北区高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．{5}B．{1，5}C．{2，4}D．{1，2，3，4，6} 2．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知直线1：ax y＝2与圆C：x2+y2＝4相交于M，N两点，若|MN|＝2，则直线的斜率为（）A．B．±C．D．4．已知双曲线1（a＞0，b＞0）的焦距为4，点（2，3）为双曲线上一点，则双曲线的渐进线方程为（）A．y x B．y＝±x C．y x D．y x5．已知函数f（x）的图象如图所示，则该曲线所对应的函数可能是（）A．f（x）B．f（x）＝2|x|﹣2C．f（x）＝2|x|﹣x2D．f（x）＝e|x|﹣|x|6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）单调递增，设a＝f（），b＝f（log37），c＝f（﹣0.83），则a，b，c大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b7．在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2AD＝2，∠DAB＝60°，E为AB中点，将△ADE 与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合点为F，则三棱锥F﹣DCE的外接球体积为（）A．B．πC．D．π8．将函数f（x）＝cos（2sin2cos），（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）在[0，]上为增函数，则ω的最大值为（）A．1B．2C．3D．49．已知函数f（x），g（x）＝f（x）﹣ax+a，若g（x）恰有1个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]∪[1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）二.填空题10．已知复数z（i为虚数单位），则|z|＝．11．在（2x）5的展开式中，x2的系数为．12．从某班的4名男生，2名女生中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选3人中女生人数为X，则P（X＝2）＝．数学期望E（X）＝．13．已知a，b为正实数，且a+b＝2，则的最小值为．14．已知△ABC是边长为2的等边三角形，，，且AD与BE相交于点O，则•．15．某同学在研究函数f（x）（x∈R）时，分别给出下面几个结论：①f（﹣x）+f（x）＝0在x∈R时恒成立；②函数f（x）的值域为（﹣1，1）；③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；④函数g（x）＝f（x）﹣x在R上有三个零点．其中正确结论的序号有．三.解答题16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2c a+2b cos A．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若cos A，求sin（2A+B）的值；（Ⅲ）若c＝7，b sin A，求b的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，且PA＝AB＝3，AC＝2，E是棱PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面AEC；（Ⅱ）求直线PC与平面AEC所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段PB上（不含端点）是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为？若存在，确定M的位置；若不存在，说明理由．18．已知等比数列{a n}的前n项和为S，公比q＞1，且a2+1为a1，a3的等差中项，S3＝14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）记b n＝a n•log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率e，直线x+y0与圆x2+y2＝b2相切．（1）求椭圆的方程；（2）过点N（4，0）的直线l与椭圆交于不同两点A、B，线段AB的中垂线为l′，若l′在y轴上的截距为，求直线l的方程．20．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+1（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a∈Z，若对任意的x＞0，f（x）≤0恒成立，求整数a的最大值；（Ⅲ）求证：当x＞0时，e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．参考答案一、选择题1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，则集合∁U（A∪B）＝（）A．{5}B．{1，5}C．{2，4}D．{1，2，3，4，6}【分析】根据并集与补集的定义，计算即可．解：集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，所以A∪B＝{1，2，3，4，6}；又集合U＝{1，2，3，4，5，6}，所以集合∁U（A∪B）＝{5}．故选：A．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求解a2＞4，得出a＞2或a＜﹣2，根据充分必要的定义判断即可得出答案．解：∵a2＞4，∴a＞2或a＜﹣2，根据充分必要的定义判断：“a＞2”是“a2＞4”的充分不必要条件故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件的定义，属于容易题，难度不大，紧扣定义即可．3．已知直线1：ax y＝2与圆C：x2+y2＝4相交于M，N两点，若|MN|＝2，则直线的斜率为（）A．B．±C．D．【分析】利用弦长公式表示出|MN|，求出a的值即可．解：易得直线斜率存在且不为0，则圆心到直线l的距离d，则弦长|MN|＝222，解得a＝±1，则斜率k＝±±，故选：B．【点评】本题考查直线斜率的求法，考查弦长公式，属于中档题．4．已知双曲线1（a＞0，b＞0）的焦距为4，点（2，3）为双曲线上一点，则双曲线的渐进线方程为（）A．y x B．y＝±x C．y x D．y x【分析】求出双曲线的焦点，根据定义求出a，然后求出b．可得双曲线C的方程与渐近线方程．解：由题意可知：双曲线的焦点为（﹣2，0）和（2，0）根据定义有2a＝||．∴a＝1由以上可知：a2＝1，c2＝4，b2＝3．∴所求双曲线C的渐近线方程为：y＝±．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线的定义的应用，考查计算能力．5．已知函数f（x）的图象如图所示，则该曲线所对应的函数可能是（）A．f（x）B．f（x）＝2|x|﹣2C．f（x）＝2|x|﹣x2D．f（x）＝e|x|﹣|x|【分析】观察函数图象，由函数为偶函数，f（0）＞0，函数有两个正零点，分别可排除选项A，B，D，由此得出正确选项C．解：由函数图象可知，f（x）为偶函数，故可排除选项A；f（0）＞0，故可排除选项B；又当x＞0时，函数图象与x轴有两个交点，而方程e x＝x无解，故可排除D．故选：C．【点评】本题考查由函数图象确定符合的函数解析式，考查读图识图能力，属于基础题．6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）单调递增，设a＝f（），b＝f（log37），c＝f（﹣0.83），则a，b，c大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】根据题意，由偶函数的性质可得c＝f（﹣0.83）＝f（0.83），又由指数、对数的性质可得0.83＜1log3log37，结合函数的单调性分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，则c＝f（﹣0.83）＝f（0.83），又由f（x）在[0，+∞）单调递增，且0.83＜1log3log37，则有c＜a＜b，故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数值的大小比较，属于基础题．7．在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2AD＝2，∠DAB＝60°，E为AB中点，将△ADE 与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合点为F，则三棱锥F﹣DCE的外接球体积为（）A．B．πC．D．π【分析】由题意可得三棱锥F﹣DCE是正四面体，且每条边长为1，把正四面体放入正方体中，利用正方体的外接球即可求出三棱锥F﹣DCE的外接球半径，从而得到三棱锥F﹣DCE的外接球体积．解：由题意可得三棱锥F﹣DCE是正四面体，且每条边长为1，则正四面体所在的正方体的棱长为，所以外接球的半径为，所以外接球体积为：，故选：D．【点评】本题主要考查了正四面体的外接球，是中档题．8．将函数f（x）＝cos（2sin2cos），（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）在[0，]上为增函数，则ω的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．解：将函数f（x）＝cos（2sin2cos）sinωx cosωx＝2sin（ωx），（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）＝2sinωx的图象，若y＝g（x）在[0，]上为增函数，则ω•，∴ω≤2，∴ω的最大值为2，故选：B．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．9．已知函数f（x），g（x）＝f（x）﹣ax+a，若g（x）恰有1个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]∪[1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】根据条件先判断x＝1是函数g（x）的一个零点，等价于当x≠1时，函数f（x）＝a（x﹣1），没有其他根，利用参数分离法，利用数形结合进行求解即可．解：由g（x）＝f（x）﹣ax+a＝0得f（x）＝a（x﹣1），∵f（1）＝1﹣3+2＝0，∴g（1）＝f（1）﹣a+a＝0，即x＝1是g（x）的一个零点，若g（x）恰有1个零点，则当x≠1时，函数f（x）＝a（x﹣1），没有其他根，即a，没有根，当x＜1时，设h（x）x﹣2，此时函数h（x）为增函数，则h（1）→﹣1，即此时h（x）＜﹣1，当x＞1时，h（x），h′（x）0，此时h（x）为减函数，此时h（x）＞0，且h（1）→1，即0＜h（x）＜1，作出函数h（x）的图象如图：则要使a，没有根，则a≥1或﹣1≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣1，0]∪[1，+∞），故选：A．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二.填空题10．已知复数z（i为虚数单位），则|z|＝1．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：∵z，∴|z|＝1．故答案为：1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．11．在（2x）5的展开式中，x2的系数为80．【分析】利用通项公式即可得出．解：（2x）5的展开式中，通项公式T r+1（2x）5﹣r（﹣1）r25﹣r，令5r＝2，解得r＝2．∴x2的系数＝2380．故答案为：80．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．从某班的4名男生，2名女生中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选3人中女生人数为X，则P（X＝2）＝．数学期望E（X）＝1．【分析】随机变量随机X的所有可能的取值为0，1，2．分别求出其对应的概率，列出分布列，求期望即可．解：所选3人中女生人数为X，X＝2，就是所选3人中女生人数为2，则P（X＝2）；随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，P（X＝0），P（X＝1）；P（X＝2）；所有随机变量ξ的分布列为：X012P所以ξ的期望E（X）＝0121．故答案为：；1．【点评】本题考查了离散型随机变量的期望，属于基础题．13．已知a，b为正实数，且a+b＝2，则的最小值为．【分析】由a，b为正实数，且a+b＝2，变形可得a+b﹣11＝f（a），0＜a＜2．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．解：∵a，b为正实数，且a+b＝2，∴a a+b﹣11＝f（a），0＜a ＜2．f′（a），令f′（a）＞0，解得，此时函数f（a）单调递增；令f′（a）＜0，解得，此时函数f（a）单调递减．∴当且仅当a＝6﹣3时函数f（a）取得极小值即最小值，．故答案为：．【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知△ABC是边长为2的等边三角形，，，且AD与BE相交于点O，则•．【分析】作DF∥BE交AC于F；作GE∥DC交AD于G；根据已知条件得到以及；再代入数量积即可求解结论．解：△ABC是边长为2的等边三角形，，，且AD与BE相交于点O，作DF∥BE交AC于F；作GE∥DC交AD于G；∵；∴；∵DF∥BE，D为中点，故1；又因为，∴1；∴；∴••（）•（）•（）（）•（）（•）（﹣222×222）．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用以及向量的三角形法则，考查向量的表示以及计算，考查计算能力，属于中档题．15．某同学在研究函数f（x）（x∈R）时，分别给出下面几个结论：①f（﹣x）+f（x）＝0在x∈R时恒成立；②函数f（x）的值域为（﹣1，1）；③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；④函数g（x）＝f（x）﹣x在R上有三个零点．其中正确结论的序号有①②③．【分析】由奇偶性的定义来判断①，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②；由②结合①对称区间上的单调性相同说明③正确；由数形结合来说明④不正确．解：①∴正确②当x＞0时，f（x）∈（0，1）由①知当x＜0时，f（x）∈（﹣1，0）x＝0时，f（x）＝0∴f（x）∈（﹣1，1）正确；③则当x＞0时，f（x）反比例函数的单调性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函数再由①知f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，正确④由③知f（x）的图象与y＝x只有（0，0）这一个交点．不正确．故答案为：①②③【点评】本题考查函数的定义域，单调性，奇偶性，值域，考查全面，方法灵活，这四个问题在研究时往往是同时考虑的．三.解答题16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2c a+2b cos A．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若cos A，求sin（2A+B）的值；（Ⅲ）若c＝7，b sin A，求b的值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理与三角形内角和定理，即可求得cos B与B的值；（Ⅱ）根据三角恒等变换求值即可；（Ⅲ）利用正弦定理和余弦定理，即可求得b的值．解：（Ⅰ）△ABC中，2c a+2b cos A，由正弦定理得2sin C sin A+2sin B cos A；又C＝π﹣（A+B），所以2（sin A cos B+cos A sin B）sin A+2sin B cos A，所以2sin A cos B sin A；又A∈（0，π），所以sin A≠0，所以cos B；又B∈（0，π），所以B；（Ⅱ）若cos A，A∈（0，π），所以sin A，所以sin2A＝2sin A cos A＝2，cos2A＝2cos2A﹣1＝21，所以sin（2A+B）＝sin2A cos B+cos2A sin B；（Ⅲ）若c＝7，b sin A，由，得a sin B＝b sin A，所以a2；所以b2＝c2+a2﹣2ca cos B＝49+12﹣2×7×219，解得b．【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，且PA＝AB＝3，AC＝2，E是棱PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面AEC；（Ⅱ）求直线PC与平面AEC所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段PB上（不含端点）是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为？若存在，确定M的位置；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于点O，并连接EO，推导出EO∥PB，由此能证明PB ∥面AEC．（Ⅱ）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设平面AEC的法向量（x，y，z），由向量垂直的数量积的坐标表示可得法向量，再由向量的夹角公式可得所求值；（Ⅲ）假设在线段PB上（不含端点）存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为，利用向量法能求出在线段PB上（不含端点）存在一点M，设平面ACM的法向量（p，q，t），由向量数量积的夹角公式计算即可判断存在性．解：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于点O，并连接EO，∵四边形ABCD为平行四边形，∴O为BD的中点，又∵E为PD的中点，∴在△PDB中EO为中位线，EO∥PB∵PB⊄面AEC，EO⊂面AEC，∴PB∥面AEC．（Ⅱ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，且PA＝AB＝3，AC＝2，E是棱PD的中点．∴以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，3），C（2，0，0），A（0，0，0），D（2，﹣3，0），E（1，，），（1，），（2，0，0），（2，0，﹣3），设平面AEC的法向量（x，y，z），则，取y＝1，得（0，1，1），设直线PC与平面AEC所成角为θ，则直线PC与平面AEC所成角的正弦值为：sinθ．（Ⅲ）假设在线段PB上（不含端点）存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为，设M（a，b，c），，B（0，3，0），则（a，b，c﹣3）＝λ（0，3，﹣3），解得a＝0，b＝3λ，c＝3﹣3λ，M（0，3λ，3﹣3λ），（2，0，0），（0，3λ，3﹣3λ），设平面ACM的法向量（p，q，t），则，取q＝1，得（0，1，），∵二面角M﹣AC﹣E的余弦值为．∴|cos|，解得或．∴在线段PB上（不含端点）存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣E的余弦值为，且或．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值、满足二面角的余弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．18．已知等比数列{a n}的前n项和为S，公比q＞1，且a2+1为a1，a3的等差中项，S3＝14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）记b n＝a n•log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（I）由a2+1是a1，a3的等差中项，可得2（a2+1）＝a1+a3，又a1（q2+1）＝2a1q+2，14，联立解得，即可得出．（II）b n＝a n•log2a n＝n•2n．利用错位相减法即可得出．解：（I）∵a2+1是a1，a3的等差中项，∴2（a2+1）＝a1+a3，∴a1（q2+1）＝2a1q+2，14，化为2q2﹣5q+2＝0，q＞1，解得q＝2，∴a1＝2．∴a n＝2n．（II）b n＝a n•log2a n＝n•2n．∴数列{b n}的前n项和T n＝2+2•22+3•23+……+n•2n．2T n＝2×2+2•23+……+（n﹣1）•2n+n•2n+1．∴﹣T n＝2+22+23+……+2n﹣n•2n+1n•2n+1．解得：T n＝（n﹣1）•2n+1+2．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率e，直线x+y0与圆x2+y2＝b2相切．（1）求椭圆的方程；（2）过点N（4，0）的直线l与椭圆交于不同两点A、B，线段AB的中垂线为l′，若l′在y轴上的截距为，求直线l的方程．【分析】（1）先由直线与圆相切，得出b的值，再结合离心率，求出a的值，从而可得出椭圆的方程；（2）设直线l的斜率为k，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程与椭圆C 的方程联立，计算△＞0，列出韦达定理，可求出线段AB的中点Q的坐标，并写出线段AB中垂线l′的方程，然后求出直线l'与y轴的交点坐标，列关于k的方程，求出k的值，即可得出直线l的方程．解：（1）由题意得，即，由与圆x2+y2＝b2相切得，∴a＝2．因此，椭圆的方程为；（2）由题意知，直线l的斜率k存在且不为零，设直线l的方程为y＝k（x﹣4），k≠0，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），设线段AB 的中点为Q（x0，y0），联立，消去y并整理得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0．由韦达定理得，又△＝（﹣32k2）2﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）＞0，解得，且k≠0．，，得．由直线l′的方程，即，化简得．令x＝0得，解得或k＝3．由于，且k≠0，所以，．因此，直线l的方程为，即x﹣4y﹣4＝0．【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆方程的求解，以及韦达定理设而不求法在椭圆综合中的应用，考查计算能力，属于中等题．20．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+1（a∈一、选择题）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a∈Z，若对任意的x＞0，f（x）≤0恒成立，求整数a的最大值；（Ⅲ）求证：当x＞0时，e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数f′（x）（x＞0），得若a≥0，则f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；若a＜0，求出导函数的零点，对函数定义域分段，由导函数的符号可得原函数的单调性；（Ⅱ）若a≥0，则f（1）＝2a+3＞0，不满足f（x）≤0恒成立．若a＜0，由（Ⅰ）求得函数的最大值，又f（x）≤0恒成立，可得ln（）0，设g（x）＝lnx+x，则g（）≤0．由函数零点判定定理可得存在唯一的x0∈（），使得g（x0）＝0．得到a∈（﹣2，﹣1），结合a∈Z，可知a的最大值为﹣2；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a＝﹣2时，f（x）＝lnx﹣2x2+1＜0，则﹣xlnx＞﹣2x3+x，得到e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞e x﹣2x3+x+2x3﹣x2+x﹣1＝e x﹣x2+2x﹣1．记u（x）＝e x﹣x2+2x﹣1（x＞0），利用两次求导证明e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．【解答】（Ⅰ）解：f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+1，f′（x）2ax+a+2（x＞0），①若a≥0，则f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②若a＜0，由f′（x）＞0，得0＜x；由f′（x）＜0，得x．∴函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；（Ⅱ）解：若a≥0，则f（1）＝2a+3＞0，∴不满足f（x）≤0恒成立．若a＜0，由（Ⅰ）可知，函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．∴，又f（x）≤0恒成立，∴0，设g（x）＝lnx+x，则g（）≤0．∵函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，且g（1）＝1＞0，g（）0，∴存在唯一的x0∈（），使得g（x0）＝0．当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0．∴0x0，解得a∈（﹣2，﹣1），又a∈Z，∴a≤﹣2．则综上a的最大值为﹣2；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a＝﹣2时，f（x）＝lnx﹣2x2+1＜0，∴lnx＜2x2﹣1，则﹣xlnx＞﹣2x3+x，∴e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞e x﹣2x3+x+2x3﹣x2+x﹣1＝e x﹣x2+2x﹣1．记u（x）＝e x﹣x2+2x﹣1（x＞0），则u′（x）＝e x﹣2x+2．记h（x）＝e x﹣2x+2，则h′（x）＝e x﹣2，由h′（x）＝0，得x＝ln2．当x∈（0，ln2）时，h′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，∴函数h（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，∴4﹣2ln2＞0．∴h（x）＞0，即u′（x）＞0，故函数u（x）在（0，+∞）上单调递增．∴u（x）＞u（0）＝e0﹣1＝0，即e x﹣x2+2x﹣1＞0．∴e x﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，属难题．。

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2020届天津市一模数学试题一、单选题1．设集合{}11A x x =-<<，{}2,B y y x x A ==∈，则R A C B =I （ ）A ．{}01x x ≤<B ．{}10x x -<< C ．{}01x x << D ．{}11x x -<<【答案】B【解析】求解出集合B ，根据补集定义求得R C B ，利用交集定义求得结果. 【详解】当()1,1x ∈-时，[)20,1x ∈，即[)0,1B =()[),01,R C B ∴=-∞+∞U{}10R A C B x x ∴⋂=-<<本题正确选项：B 【点睛】本题考查集合运算中的补集、交集运算的问题，属于基础题.2．若点(),3m 在函数()()121log 1f x x =--的图象上，则πtan 6m =（ ）A B C ．D ．3-【答案】D【解析】将点(),3m 代入函数解析式可求得m ，根据特殊角三角函数值可求得结果. 【详解】由题意知：()121log 13m --=，解得：5m =5tantan 663m ππ∴==-本题正确选项：D 【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，关键是能够利用点在函数上求得参数的取值，属于基础题.3．若ABC V 的三个内角A ，B ，C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则ABC V 是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】C【解析】根据正弦定理可得三边关系，利用余弦定理可求得cos 0C <，从而得到三角形为钝角三角形. 【详解】由正弦定理可得：643a b c ==，则34b c =，12a c =由余弦定理可知：222222191416cos 01324224c c c a b c C ab c c +-+-===-<⨯⨯ 又()0,C π∈ ,2C ππ⎛⎫∴∈⎪⎝⎭ABC ∆∴为钝角三角形本题正确选项：C 【点睛】本题考查三角形形状的判断，关键是能够灵活运用正余弦定理，通过最大角的余弦值的符号确定三角形形状.4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为( ) A ．22230x y x +--= B ．2240x y x ++= C ．22230x y x ++-= D ．2240x y x +-=【答案】D【解析】设圆心坐标为(,0)(0)C a a >，根据圆与直线3440x y ++=相切可求出2a =，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程．【详解】由题意设圆心坐标为(,0)(0)C a a >， ∵圆C 与直线3440x y ++=相切，2=，解得a =2．∴圆心为(2,0)C ，半径为2r ==，∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，即2240x y x +-=． 故选D ． 【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度．5．在等比数列{}n a 中，公比为q ，则“1q >”是“等比数列{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当1q >时，当10a <时，可知等比数列不是递增数列，得不充分条件；当等比数列{}n a 为递增数列时，当10a <时，01q <<，得不必要条件；综上可得结果. 【详解】当1q >时，若2q =，12a =-，则24a =-，则21a a <，此时等比数列{}n a 不是递增数列∴“1q >”是“等比数列{}n a 为递增数列”的不充分条件；当等比数列{}n a 为递增数列时，此时1n n a a +>，即111n n a q a q ->若10a <，则1n n q q -<，此时01q <<∴“等比数列{}n a 为递增数列”是“1q >”的不必要条件；综上所述：“1q >”是“等比数列{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件 本题正确选项：D 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是通过等比数列的通项公式的形式判断出数列为递增数列和公比之间的关系.6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递减，若21log 5a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.52c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】D【解析】根据奇偶性可判断出()f x 在()0,∞+上单调递增，并能将a 变为()2log 5f ；根据自变量的大小关系，结合函数单调性可得结果. 【详解】Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递减()f x ∴在()0,∞+上单调递增则：()()2221log log 5log 55a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭0.522log 5log 4.1220>>>>Q ()()()0.522log 5log 4.12f f f ∴>>即：a b c >> 本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用函数的性质比较大小的问题，关键是能够根据奇偶性得到函数的单调性，进而将问题转变为自变量的大小的比较. 7．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，若()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()f x 取最大值时x 的值为（ ） A ．()3k k Z ππ+∈ B ．()4k k Z ππ+∈ C ．()6k k Z ππ+∈D ．()6k k Z ππ-∈【答案】C【解析】根据()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭可求得ϕ的范围；利用()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可知()f x 关于6x π=对称，从而可得ϕ的取值；二者结合求得ϕ，代入函数解析式，令()222x k k Z πϕπ+=+∈解出x 即为结果.【详解】由()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭得：()()sin 2sin πϕπϕ+>+，即：sin sin ϕϕ>-sin 0ϕ∴> ()22k k k Z πϕππ∴<<+∈由()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭得：()f x 关于6x π=对称 ()262k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈()6k k Z πϕπ∴=+∈，又()22k k k Z πϕππ<<+∈()26k k Z πϕπ∴=+∈ ()sin 22sin 266f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫∴=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当()2262x k k Z πππ+=+∈，即()6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取最大值本题正确选项：C 【点睛】本题考查根据三角函数的性质求解函数解析式、根据函数的最值求解自变量取值的问题，关键是能够判断出函数的对称轴，并能够根据函数值的大小关系得到ϕ的范围.8．在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，设矩形所在平面内一点P 满足1CP =u u u r，记1I AB AP =⋅u u u v u u u v ，2I AC AP =⋅u u u v u u u v ，3I AD AP =⋅u u u v u u u v，则（ ）A ．存在点P ，使得12I I =B ．存在点P ，使得13I I =C ．对任意点P ，都有12I I <D ．对任意点P ，都有13I I <【答案】C【解析】以C 为原点建立平面直角坐标系，可知P 点轨迹方程为221x y +=；利用坐标表示出12I I -和13I I -，利用y 的取值范围和三角函数的知识可求得结论. 【详解】以C 为原点，可建立如下图所示的平面直角坐标系：则P 点轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆；()0,2B ，()3,0D ，()3,2A设(),P x y ，则221x y +=()12I I AB AP AC AP AB AC AP CB AP -=⋅-⋅=-⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r又()0,2CB =u u u v，()3,2AP x y =--u u u r1224I I CB AP y ∴-=⋅=-u u u r u u u r[]1,1y ∈-Q []246,2y ∴-∈-- 120I I ∴-<，即12I I < ()13I I AB AP AD AP AB AD AP DB AP -=⋅-⋅=-⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r又()3,2DB =-u u u r ，()3,2AP x y =--u u u r133924325I I DB AP x y x y ∴-=⋅=-++-=-++u u u r u u u r设()cos ,sin P θθ则()133cos 2sin 55I I θθθϕ-=-++-+，其中2tan 3ϕ=-()[]sin 1,1θϕ-∈-Q ()55θϕ⎡-+∈+⎣即130I I ->，即13I I >综上所述，对于任意点P ，都有12I I <，13I I > 本题正确选项：C 【点睛】本题考查平面向量的应用问题，关键是能够通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为坐标运算的问题；通过作差法比较大小，利用求解函数值域的方式来确定大小关系.二、填空题9．设复数z 满足()1i 3i z +=-，则z =______．【解析】求解出复数z ，根据模长的定义可求得结果. 【详解】 由题意得：()()3132412122i i i iz i i ----====-+z ∴==【点睛】本题考查复数的模长的求解问题，属于基础题.10．已知三棱锥P ABC -的侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且长度均为1，若该三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为______． 【答案】3π【解析】利用三线垂直确定三棱锥为正方体的一部分，其外接球直径为正方体的体对角线长，可得半径和表面积． 【详解】由三棱锥P ﹣ABC 的侧棱P A ，PB ，PC 两两垂直可知， 该三棱锥为棱长为1的正方体的一角，故球O 的表面积为：3π． 故答案为3π． 【点睛】此题考查了几何体外接球问题，难度不大．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.11．若不等式2322x x x ax +-≤-在()0,4内有解，则实数a 的取值范围是______．【答案】)+∞.【解析】将问题转换为()232f x x x x =+-与2y ax =-在()0,4内有交点；分类讨论去掉原不等式中的绝对值符号，利用导数求解出()f x 在不同区间内的单调性，从而可得()f x 的图象；由于直线2y ax =-恒过点()0,-2，通过图象可知当直线2y ax =-过)A时为临界状态，求出临界状态时a 的取值，从而得到取值范围.【详解】当(x ∈时，320x x -<，此时不等式为：3222x x x ax -++≤-当)2,4x ⎡∈⎣时，320x x -≥，此时不等式为：3222x x x ax +-≤- 令()322g x x x x =-++，()0,2x ∈，则()2322g x x x '=-++，()0,2x ∈当170,3x ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x ¢>；17,23x ⎛⎫+∈⎪ ⎪⎝时，()0g x ¢< 即()g x 在170,3⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在17,23⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝上单调递减 令()322h x x x x =+-，)2,4x ⎡∈⎣，则()2322h x x x '=+-，)2,4x ⎡∈⎣当)2,4x ⎡∈⎣时，()()24220h x h''≥=+>()h x ∴在)2,4⎡⎣上单调递增由此可得：()()232,0,4f x x x x x =+-∈的图象如下图所示：可知：)2,2A则不等式2322x x x ax +-≤-在()0,4内有解等价于()232f x x x x =+-与2y ax =-在()0,4内有交点 Q 直线2y ax =-恒过点()0,-2∴当直线2y ax =-过点A 时为临界状态，此时22a =∴当22a ≥时，不等式2322x x x ax +-≤-在()0,4内有解本题正确结果：)22,⎡+∞⎣ 【点睛】本题考查根据不等式在某一区间解的个数的情况求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为曲线和直线的交点问题，通过数形结合的方式来进行求解；其中涉及到利用导数来判断函数的单调性，从而得到函数的大致图象.12．如图，已知2AC =，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点（不含端点A ，B ，C ），且BM BN ⊥，则AM CN⋅u u u u r u u u r的最大值为______．【答案】14【解析】分析：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，求得AB C ，，的坐标，可得以AB 为直径的半圆方程，以AC 为直径的半圆方程，设出M N ，的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得2αβ=，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．详解：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，可得001020A B C （，），（，），（，），以AB 为直径的半圆方程为2211,0024x y x y -+=（）（＞，＞）， 以AC 为直径的半圆方程为（2211,00x y x y -+=）（＞，＞） ， 设11110222Mcos sin N cos sin BM BN （，），（，），＜，＜，，ααββαβπ++⊥ 可得1110222BM BN cos sin cos sin ααββ⋅=-+⋅=u u u u v u u u v （，）（，）， 即有11022cos cos cos sin sin βαβαβ-++=（）， 即为cos cos cos sin sin ，βαβαβ=+ 即有0cos cosβαβαβπ=-（），＜，＜， 可得αββ-= ，即2αβ= ， 则111 1222AM CN cos sin cos sin ααββ⋅=+⋅-+u u u u v u u u v （，）（，）11112222cos cos cos cos sin sin αβαβαβ=--+++（）2211114222cos cos cos cos cos αββββ=--+=-=--+（），可得102cos ，β-= 即β233ππα==，时， AM CN ⋅u u u u v u u u v 的最大值为14，故答案为14．点睛：本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的坐标表示以及圆的参数方程的运用，三角函数的恒等变换，考查余弦函数的性质，考查运算能力，属于中档题． 13．已知正实数x ，y 满足141223x y x y+=++，则x y +的最小值为______． 【答案】94【解析】构造与已知条件有关的等式关系．x+y=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦，利用基本不等式的性质即可解决． 【详解】∵x ＞0，y ＞0，∴2x+y ＞0，2x+3y ＞0，x+y ＞0，12x y ++423x y +=1，x+y=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦， 那么：x+y=（x+y ）×1=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦×（12x y ++423x y +） =14（1+()42234232x y x y x y x y ++++++）=()522342342x y x y x y x y ++++++∵()2232342x y x y x y x y +++≥++=1，当且仅当2x=y=32时取等号．所以：x+y≥59144+=． 故x+y 的最小值为94．故答案为94【点睛】本题考查了整体思想的构造和转化．构造出与已知条件的形式．利用基本不等式的性质求解．属于中档题．14．某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有______种． 【答案】474.【解析】采用间接法，首先求解出任意安排3节课的排法种数；分别求出前5节课连排3节和后4节课连排3节的排法种数；作差即可得到结果.【详解】从9节课中任意安排3节共有：39504A =种其中前5节课连排3节共有：33318A =种；后4节课连排3节共有：33212A =种∴老师一天课表的所有排法共有：5041812474--=种本题正确结果：474 【点睛】本题考查有限制条件的排列问题的求解，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.三、解答题15．已知向量,14x m ⎫=⎪⎭r，2cos ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()f x m n =⋅r r ． （Ⅰ）求函数()f x 的单增区间； （Ⅱ）若()1f x =，求πcos 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （Ⅲ）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求函数()y f A =的范围．【答案】（1）4π2π4π,4π()33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ;（2）12;（3）31,2⎛⎫⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（1）利用平面向量的数量积得到f （x ）的解析式，求解单调区间即可；（2）由（1）的解析式，利用f （x ）=1，结合倍角公式求πcos 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值即可； （3）结合正弦定理结合内角和公式，得到fA ．的解析式，结合三角函数的有界性求值域即可．试题解析：（1）21cosπ12cos sin 44222262xx x xx m n v v+⎛⎫⋅=+=+=++ ⎪⎝⎭，∴()π1262x f x sin ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 由πππ2π2π2262x k k -≤+≤+，k Z ∈得：4π2π4π4π33k x k -≤≤+，k Z ∈． ()f x 的递增区间是()4π2π4π4π33k k k Z ，⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． （2）()2cos cos 444x x x f x m n v v =⋅=+．11π1cos sin 22222262x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭． ∵()1f x =，∴π1sin 262x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴2ππ1cos 12sin 3262x x ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）∵()2cos a c cosB b C -=．由正弦定理得()2sin sin cos sinA C cosB B C -=． ∴2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=．∴()2sin cos sin A B B C =+． ∵πA B C ++=．∴()sin sin 0B C A +=≠．∴1cos 2B =． ∵0πB <<．∴π3B =．∴2π03A <<．∴πππ6262A <+<，π1sin 1262A ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，． 又∵()π1262x f x sin ⎛⎫=++⎪⎝⎭．∴()π1262A f A sin ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．故函数()f A 的取值范围是312⎛⎫⎪⎝⎭，．【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如()sin y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可．16．某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计所示．参加人数51520（Ⅰ）从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有两名同学参加活动次数恰好相等的概率；（Ⅱ）从“青志队”中任选两名学生，用X表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX．【答案】（1）（2）略【解析】(Ⅰ)这名同学中至少有名同学参加活动次数恰好相等的概率为…………………………………………4分…………………………………………5分(Ⅱ)由题意知……………………………………6分……………………………………7分……………………………………8分的分布列：0 1 2…………………………………………10分的数学期望:…………12分17．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD．E 为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）13.【解析】试题分析：本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA⋂AD=A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE ⊥平面PAH.过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE. 所以∠APH 是PA 与平面PCE 所成的角. 在Rt △AEH 中，∠AEH=45°，AE=1， 所以AH=22. 在Rt △PAH 中，PH=22PA AH +=32， 所以sin ∠APH=AH PH =13.方法二：由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA ⋂AD=A ， 所以CD ⊥平面PAD. 于是CD ⊥PD.从而∠PDA 是二面角P-CD-A 的平面角. 所以∠PDA=45°. 由PA ⊥AB ，可得PA ⊥平面ABCD. 设BC=1，则在Rt △PAD 中，PA=AD=2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD u u u r ,AP u u u r的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，则A （0,0,0），P （0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)， 所以PE u u u r =（1,0,-2），EC uuu r =（1,1,0），AP u u u r=（0,0,2） 设平面PCE 的法向量为n=(x,y,z)，由0,{0,n PEn EC⋅=⋅=u u u u u u u u ru u u r得20,{0,x zx y-=+=设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα=||n APnAP⋅⋅u u u u ru u u r=22221322(2)1=⨯+-+.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为13.【考点】线线平行、线面平行、向量法.18．已知椭圆C：2222x ya b＋＝1(a>b>0)，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G：x2＋y2＝24c(c是椭圆的半焦距)相离，P是直线AB上一动点，过点P 作圆G的两切线，切点分别为M、N.(1)若椭圆C经过两点421,3⎛⎝⎭、33⎫⎪⎪⎝⎭，求椭圆C的方程；(2)当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求OPuuu r·OEuuu r的值(O是坐标原点)；(3)若存在点P使得△PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．.【答案】（1）2294x y＋＝1.（2）见解析（3）5110222e≤－－【解析】(1)解：令椭圆mx2＋ny2＝1，其中m＝21a，n＝21b，得3219271.4m nm n⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝，＋＝所以m＝19，n＝14，即椭圆方程为2294x y＋＝1.(2)证明：直线AB：x ya b＋-＝1，设点P(x0，y0)，则OP的中点为00,22x y⎛⎫⎪⎝⎭，所以点O、M、P、N所在的圆的方程为220022x yx⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋y-＝22004x y+，化简为x2－x0x＋y2－y0y＝0，与圆x2＋y2＝24c作差，即直线MN：x0x＋y0y＝24c.因为点P(x0，y0)在直线AB上，得00x ya b＋-＝1，所以x0bx ya⎛⎫⎪⎝⎭＋＋24cby⎛⎫⎪⎝⎭－＝0，即24bx yacby⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝，－＝，得x＝－24ca，y＝24cb，故定点E2244c ca b⎛⎫⎪⎝⎭-，，OPuuu r·OEuuu r＝220044b c cx x ba a b⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，＋-，＝24c.(3)解：由直线AB与圆G：x2＋y2＝24c(c是椭圆的焦半距)22a b+＞2c，即4a2b2＞c2(a2＋b2)，4a2(a2－c2)＞c2(2a2－c2)，得e4－6e2＋4＞0.因为0＜e＜1，所以0＜e2＜35①.连结ON、OM、OP，若存在点P使△PMN为正三角形，则在Rt△OPN中，OP＝2ON＝2r＝c22a b+≤c，a2b2≤c2(a2＋b2)，a2(a2－c2)≤c2(2a2－c2)，得e4－3e2＋1≤0.因为0＜e＜135-≤e2＜1，②.35-≤e2＜3551102e≤－－19．已知数列{}n a中，02a=，13a=，26a=，且对3n≥时，有()()1234448n n n na n a na n a---=+-+-．（Ⅰ）设数列{}n b满足1n n nb a na-=-，n*∈N，证明数列{}12n nb b+-为等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记()121!n n n ⨯-⨯⨯⨯=L ，求数列{}n na 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）证明见解析；122n n n b n -=-⋅；（Ⅱ）()()1121!1n n S n n +=-+++【解析】（Ⅰ）利用已知等式表示出12n n b b +-和12n n b b --，整理可知11222n nn n b b b b +--=-，从而可证得数列{}12n n b b +-为等比数列，根据等比数列通项公式求得122n n n b b +=-；利用配凑的方式可证得数列12n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，利用等差数列通项公式，整理可得n b ；（Ⅱ）将n b 代入1n n n b a na -=-，整理可得：1122nn n n a n a ---=-，利用累乘的方式可求得n a ，进而可得()21!!nn na n n n =⋅++-；采用分组求和的方式，分别对2n n ⋅用错位相减的方法求和，对()1!!n n +-采用裂项相消的方法求和，分别求和后加和即可得到结果. 【详解】（Ⅰ）由题意知：()()()11254144n n n n a n a n a n a +--=+-++-()()11111212232n n n n n n n n n b b a n a a na a n a na ++-+-∴-=-+-+=-++ ()()()1112122221221n n n n n n n n n b b a na a n a a n a n a -------=--+-=-++- ()()()()12111222241222221n n n n n n n n n n a n a n a b b b b a n a n a --+----++--∴==--++-又212110222261242b b a a a a -=--+=-+=-∴数列{}12n n b b +-是以2-为首项，2为公比的等比数列11222n n n b b -+∴-=-⋅ 122n n n b b +∴=-，即11122n nn n b b +-=- ∴数列12n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1012b =为首项，1-为公差的等差数列 ()()111122n n b n n -∴=+-⨯-=- ()112222n n n n b n n --∴=-⋅=-⋅ （Ⅱ）由（Ⅰ）知：1122nn n n n a na ---⋅=-，即：1122nn n n a n a ---=- 则：1122212n n n n a n a -----=--，2233222n n n n a n a -----=--，……，2211222a a -=-左右两侧分别相乘可得：()()1212121!2nn a n n n n n a -=⨯-⨯⋅⋅⋅⨯=⨯-⨯⋅⋅⋅⨯⨯=- ()12!2!n n a n a n ∴-=-= 2!n n a n ∴=+ ()2!21!!n n n na n n n n n n ∴=⋅+⋅=⋅++-令()()()()()2!1!3!2!4!3!1!!1!1n A n n n =-+-+-+⋅⋅⋅++-=+-⎡⎤⎣⎦()1231122232122n n n B n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯则()23412122232122nn n B n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯()()()1231121222222212212n n n n n n B n n n +++⨯-∴-=-⋅+++⋅⋅⋅+=-⋅=---则()1122n n B n +=-+()()1121!1n n n n S A B n n +∴=+=-+++【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式的形式、数列求和方法中的分组求和法、错位相减法和裂项相消法.本题的难点是能够对递推关系式进行转化，配凑出等差或等比数列的形式，进而利用等差、等比数列的通项公式来进行求解. 20．已知函数()2112xf x e x kx =---，k ∈R ． （Ⅰ）若()f x 在R 上是增函数，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）讨论函数()f x 的极值，并说明理由；（Ⅲ）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，求证：函数()f x 有三个零点．【答案】（Ⅰ）(],1-∞；（Ⅱ）当(],1k ∈-∞时，()f x 无极值；当()1,k ∈+∞时，()f x 存在一个极大值和一个极小值；（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）利用()0f x '≥得x k e x ≤-；利用导数求得()xg x e x =-的最小值，则()min k g x ≤；（Ⅱ）由（Ⅰ）知(],1k ∈-∞，函数单调递增，无极值；当()1,k ∈+∞，可证得()g x k =有两根，即()0f x '=有两根，从而可得函数的单调性，进而确定有一个极大值和一个极小值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知()1,k ∈+∞且120x x <<；利用1x 和2x 表示k ，代入函数()f x 中，可表示出()1f x 和()2f x ；根据()1f x 和()2f x 设()()21112x h x x e x =-+-，通过导数可验证出()h x 单调递减，进而求得()10f x >，()20f x <，结合()f x 图象可证得结论.【详解】（Ⅰ）由()2112xf x e x kx =---得：()x f x e x k '=-- ()f x Q 在R 上是增函数 ()0f x '∴≥在R 上恒成立即：x k e x ≤-在R 上恒成立 设()xg x e x =-，则()1xg x e '=-当(),0x ∈-∞时，()0g x '<；当()0,x ∈+∞时，()0g x '> 即()g x 在(),0-∞上单调递减；在()0,∞+上单调递增()()min 01g x g ∴== 1k ∴≤即k 的取值范围为：(],1-∞（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当(],1k ∈-∞时，()f x 在R 上是增函数，此时()f x 无极值； 当()1,k ∈+∞时，令()0f x '=，即()g x k =x →-∞Q 时，()g x →+∞；()01g =；x →+∞时，()g x →+∞()g x k ∴=有两个根，设两根为1x ，2x 且120x x <<可知：()1,x x ∈-∞和()2,x +∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '< 即()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减()f x ∴在1x x =处取得极大值()1f x ；在2x x =处取得极小值()2f x综上所述：当(],1k ∈-∞时，()f x 无极值；当()1,k ∈+∞时，()f x 存在一个极大值和一个极小值（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 有两个极值点1x ，2x ，则()1,k ∈+∞，且120x x <<()1110x f x e x k '∴=--=；()2220x f x e x k '=--=又()()()111122************1111222xx x x f x e x kx e x e x x x e x =---=----=-+- ()()222221112x f x x e x =-+-第 21 页 共 21 页 令()()21112x h x x e x =-+-，则()()1x h x x e '=- 则()0h x '≤在R 上恒成立，即()h x 在R 上单调递减又()00h = (),0x ∴∈-∞时，()0h x >；()0,x ∈+∞时，()0h x <120x x <<Q ()()110f x h x ∴=>，()()220f x h x =<当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞可得()f x 大致图象如下：()f x ∴有三个零点【点睛】本题考查导数在函数中的综合应用问题，主要考查了根据函数单调性求解参数范围、讨论函数的极值个数、判断函数的零点个数问题，涉及到构造函数的方式、恒成立的处理方法、数形结合的方式等，对学生的综合运用能力要求较高.。

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