古坳初中九年级数学二次函数复习提纲
九年级下册数学《二次函数》复习提纲
九年级下册数学《二次函数》复习提纲九年级下册数学《二次函数》复习提纲261 二次函数及其图像二次函数(quadrati funtin)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f(x)=ax +bx+(a不为0)。
其图像是一条主轴平行于轴的抛物线。
一般的，自变量x和因变量之间存在如下关系：一般式=ax∧2;+bx+(a≠0,a、b、为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4a-b∧2)/4a) ;顶点式=a(x+)∧2+(a≠0,a、、为常数)或=a(x-h)∧2+(a≠0,a、h、为常数)，顶点坐标为(-，)对称轴为x=-，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线] ;重要概念：a，b，为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)=(3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。
由此可引导出交点式的系数a=1/(x1*x2) (1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
求根公式x是自变量，是x的二次函数x1,x2=[-b±(√(b -4a))]/2a(即一元二次方程求根公式)(如右图)求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
初三数学二次函数知识点总结归纳
初三数学二次函数知识点总结归纳初三数学二次函数知识点总结1二次函数的定义一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数.如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2+x-1等都是二次函数.注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式;(2)二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数;(3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数;(4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x，故它不是二次函数.2二次函数解析式的几种形式(1)一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).(3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点 3二次函数y=ax2+c的图象与性质(1)抛物线y=ax2+c的形状由a决定，位置由c决定.(2)二次函数y=ax2+c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y 轴.当a 0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y最小值=c.在y轴左侧，y随x的增大而减小;在y轴右侧，y随x增大而增大.当a 0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y最大值=c.在y轴左侧，y随x的增大而增大;在y轴右侧，y随x增大而减小.(3)抛物线y=ax2+c与y=ax2的关系.抛物线y=ax2+c与y=ax2形状相同，只有位置不同.抛物线y=ax2+c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到.当c 0时，向上平行移动，当c 0时，向下平行移动.初三二次函数知识点总结1二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
初三数学二次函数知识点总结
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地,形如2y ax bx c =++a b c ，，是常数,0a ≠的函数,叫做二次函数; 这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大,抛物线的开口越小;2. 2y ax c =+的性质： 上加下减;3. ()2y a x h =-的性质：左加右减;4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ，处,具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”． 概括成八个字“左加右减,上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上下平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2或m c bx ax y -++=2⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左右平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2或c m x b m x a y +-+-=)()(2四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，,()20x ，若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点.画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时,y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++a ,b ,c 为常数,0a ≠；2. 顶点式：2()y a x h k =-+a ,h ,k 为常数,0a ≠；3. 两根式：12()()y a x x x x =--0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠．⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大； ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大．总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下,当0b >时,02ba-<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时,02ba->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即当0b >时,02ba->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之,只要a b c ，，都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便．一般来说,有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大小值,一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称即：抛物线绕顶点旋转180°2y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线或表达式已知的抛物线的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与x 轴交点情况：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠,其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >； 2'当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如：2-32y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点, 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如： 如图,如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内,那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如： 已知一条抛物线经过0,3,4,6两点,对称轴为35=x ,求这条抛物线的解析式; 4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如： 已知抛物线2y ax bx c =++a ≠0与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3,与y 轴交点的纵坐标是－错误! 1确定抛物线的解析式；2用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题; 例题经典由抛物线的位置确定系数的符号例1 1二次函数2y ax bx c =++的图像如图1,则点),(ac b M 在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2已知二次函数y=ax 2+bx+ca ≠0的图象如图2所示,•则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时,函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时,x 的值只能取0.其中正确的个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个1 2点评弄清抛物线的位置与系数a,b,c 之间的关系,是解决问题的关键．例2.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点-2,O 、x 1,0,且1<x 1<2,与y 轴的正半轴的交点在点O,2的下方．下列结论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a -b+1>O,其中正确结论的个数为 A 1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个 答案：D会用待定系数法求二次函数解析式例3.已知：关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为A2,-3 B.2,1 C2,3 D ．3,2 答案：C例4、如图单位：m,等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动,直到AB 与CD 重合．设x秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2． 1写出y 与x 的关系式；2当x=2,3.5时,y 分别是多少3当重叠部分的面积是正方形面积的一半时, 三角形移动了多长时间 求抛物线顶点坐标、 对称轴.例5、已知抛物线y=12x 2+x-52． 1用配方法求它的顶点坐标和对称轴．2若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B,求线段AB 的长．点评本题1是对二次函数的“基本方法”的考查,第2问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．例6、 “已知函数c bx x y ++=221的图象经过点Ac,－2, 求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3;”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字;1根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式 若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象；若不能,请说明理由;2请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整;点评： 对于第1小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用,再结合条件“图象经过点Ac,－2”,就可以列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式;对于第2小题,只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第1小题中的解析式就可以了;而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等; 解答 1根据c bx x y ++=221的图象经过点Ac,－2,图象的对称轴是x=3,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=++,3212,2212bc bc c 解得⎩⎨⎧=-=.2,3c b所以所求二次函数解析式为.23212+-=x x y 图象如图所示; 2在解析式中令y=0,得023212=+-x x ,解得.53,5321-=+=x x 所以可以填“抛物线与x 轴的一个交点的坐标是3+)0,5”或“抛物线与x 轴的一个交点的坐标是).0,53(-令x=3代入解析式,得,25-=y 所以抛物线23212+-=x x y 的顶点坐标为),25,3(-所以也可以填抛物线的顶点坐标为)25,3(-等等;函数主要关注：通过不同的途径图象、解析式等了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系;用二次函数解决最值问题例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE 如图,其中AF=2,BF=1．试在AB 上求一点P,使矩形PNDM 有最大面积．评析本题是一道代数几何综合题,把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起,能很好考查学生的综合应用能力．同时,也给学生探索解题思路留下了思维空间．例2 某产品每件成本10元,y 件之间的关系如下表：若日销售量y 是销售价x 1求出日销售量y 件与销售价x 元的函数关系式；2要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元 •此时每日销售利润是多少元 解析1设此一次函数表达式为y=kx+b ．则1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得k=-1,b=40,•即一次函数表达式为y=-x+40．2设每件产品的销售价应定为x 元,所获销售利润为w 元w=x-1040-x=-x 2+50x-400=-x-252+225．产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为225元．点评解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点：1设未知数在“当某某为何值时,什么最大或最小、最省”的设问中,•“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数；2•问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程．二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是A.2,－11B.－2,7C.2,11D. 2,－3 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位,得到的抛物线是A. 22(1)y x =-+B. 22(1)y x =--C. 221y x =-+D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标-1,-3.2及部分图象如图,由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则点(,)ac bc 在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为 A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A2,0,B-1,0,与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =,则b =_______;10．已知抛物线y=-2x+3²+5,如果y 随x 的增大而减小,那么x 的取值范围是_______.11．一个函数具有下列性质：①图象过点－1,2,②当x ＜0时,函数值y 随自变量x 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 只写一个即可;12．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C,已知直线3y kx =-+过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 ;13. 二次函数2241y x x =--的图象是由22y x bx c =++的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= ; 14．如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段AB 上离中心M 处5米的地方,桥的高度是 π取3.14.三、解答题：15.已知二次函数图象的对称轴是30x +=,图象经过1,-6,且与y 轴的交点为0,52-. 1求这个二次函数的解析式;2当x 为何值时,这个函数的函数值为03当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大16.某种爆竹点燃后,其上升高度h 米和时间t 秒符合关系式2012h v t gt =-0<t≤2,其中重力加速度g 以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v 0=20米/秒的初速度上升,1这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15米2在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由.17.如图,抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B,此抛物线与x 轴的另一个交点为C,抛物线顶点为D.1求此抛物线的解析式；2点P 为抛物线上的一个动点,求使APC S ∆：ACD S ∆=5 ：4的点P 的坐标;第15题图18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理．当每吨售价为260元时,月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x 元,该经销店的月利润为y 元．1当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量；2求出y 与x 的函数关系式不要求写出x 的取值范围；3该建材店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元4小静说：“当月利润最大时,月销售额也最大．”你认为对吗 请说明理由．练习试题答案一,选择题、1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C二、填空题、9．4b =- 10．x ＜-3 11．如224,24y x y x =-+=+等答案不唯一 12．113．-8 7 14．15三、解答题15．1设抛物线的解析式为2bx c y ax ++=,由题意可得解得15,3,22a b c =-=-=- 所以215322y x x =---21x =-或-5 23x <-16．1由已知得,211520102t t =-⨯⨯,解得123,1t t ==当3t =时不合题意,舍去;所以当爆竹点燃后1秒离地15米．2由题意得,2520h t t =-+＝25(2)20t --+,可知顶点的横坐标2t =,又抛物线开口向下,所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内,爆竹在上升．17．1直线3y x =-与坐标轴的交点A3,0,B0,－3．则9303b c c +-=⎧⎨-=-⎩解得23b c =-⎧⎨=⎩ 所以此抛物线解析式为223y x x =--．2抛物线的顶点D1,－4,与x 轴的另一个交点C －1,0.设P 2(,23)a a a --,则211(423):(44)5:422a a ⨯⨯--⨯⨯=.化简得2235a a --= 当223a a --＞0时,2235a a --=得4,2a a ==- ∴P4,5或P －2,5当223a a --＜0时,2235a a -++=即2220a a ++=,此方程无解．综上所述,满足条件的点的坐标为4,5或－2,5．18．15.71024026045⨯-+=60吨．2260(100)(457.5)10x y x -=-+⨯,化简得： 23315240004y x x =-+-．324000315432-+-=x x y 23(210)90754x =--+． 红星经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨210元．4我认为,小静说的不对． 理由：方法一：当月利润最大时,x 为210元,而对于月销售额)5.71026045(⨯-+=x x W 23(160)192004x =--+来说, 当x 为160元时,月销售额W 最大．∴当x 为210元时,月销售额W 不是最大．∴小静说的不对． 方法二：当月利润最大时,x 为210元,此时,月销售额为17325元； 而当x 为200元时,月销售额为18000元．∵17325＜18000, ∴当月利润最大时,月销售额W 不是最大．∴小静说的不对．32652b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=-⎨⎪⎪=-⎩。
初三数学二次函数知识点归纳
初三数学二次函数知识点归纳在初中数学的学习中，二次函数是一个重要的内容，也是进一步深入学习代数的基础。
学好二次函数的性质和运用对于学生的数学能力的提升至关重要。
下面将对初三数学中二次函数的知识进行归纳总结。
一、二次函数及其图象的性质1. 二次函数的定义二次函数是一个以x的二次幂作为最高次幂的多项式函数，一般的二次函数表达式为： y = ax^2 + bx + c （其中 a, b, c 为常数且 a ≠ 0）。
2. 二次函数图象的平移二次函数图象的平移可以通过改变 a, b 和 c 的值来实现。
当将 a 的值变为 a'，则图象的开口方向和大小会有相应的改变；当将 b 的值变为 b'，则图象在 x 轴方向上平移；当将 c 的值变为 c'，则图象在y 轴方向上平移。
3. 二次函数图象的对称轴二次函数图象的对称轴是一个线段，记作 x = -b/2a，对称轴将图象分为两个对称的部分。
4. 二次函数的顶点二次函数的顶点就是图象的最高点或最低点，所有的二次函数图象都有一个顶点。
5. 二次函数图象的开口方向二次函数图象的开口方向由二次项的系数 a 的正负决定。
当 a > 0 时，图象开口向上；当 a < 0 时，图象开口向下；当 a = 0 时，不再是二次函数。
二、二次函数的求解1. 二次函数的零点二次函数的零点是指函数曲线与 x 轴相交的点，也就是函数的根。
求解二次函数的零点可以通过以下步骤进行：首先，将函数表达式设置为 y = 0；然后，应用求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) 计算 x 的值。
2. 二次函数的最值二次函数的最值通过求解顶点来确定。
当a > 0 时，函数有最小值，且最小值为顶点的纵坐标；当 a < 0 时，函数有最大值，且最大值为顶点的纵坐标。
三、二次函数的应用1. 抛物线二次函数的图象通常被称为抛物线。
二次函数复习提纲
二次函数复习提纲一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx axy +++=2（或m c bx axy -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c=++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a<-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k=-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k=-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．。
九年级二次函数知识点梳理
九年级二次函数知识点梳理二次函数是高中数学中一个重要的概念，它是一种形如$y=ax^2+bx+c$的函数，其中$a$，$b$，$c$是实数且$a\neq0$。
本文将对九年级关于二次函数的知识点进行梳理和总结。
一、二次函数的图像特点1. 开口方向：二次函数的开口方向由系数$a$的正负决定。
当$a>0$时，图像开口向上；当$a<0$时，图像开口向下。
2. 对称轴：二次函数的对称轴是垂直于$x$轴的一条直线，经过图像的顶点。
对称轴的方程为$x=-\frac{b}{2a}$。
3. 顶点：二次函数的顶点是图像的最高点（当$a>0$时）或最低点（当$a<0$时）。
顶点的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，纵坐标为$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$。
4. 判别式：二次函数的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，它可以用来判断二次函数的图像与$x$轴的关系：当$\Delta>0$时，图像与$x$轴有两个交点；当$\Delta=0$时，图像与$x$轴有一个交点（图像与$x$轴相切）；当$\Delta<0$时，图像与$x$轴没有交点。
二、二次函数与一次函数的关系1. 平移：二次函数$y=ax^2+bx+c$与一次函数$y=kx+d$的图像可以进行平移。
当平移的向量为$(h,k)$时，二次函数的函数式变为$y=a(x-h)^2+b(x-h)+c$。
其中$(h,k)$为平移的向量。
2. 缩放：二次函数的图像可以进行缩放。
若将函数的自变量和因变量同时缩放$k$倍，则二次函数的函数式变为$y=a(kx)^2+b(kx)+c$。
其中$k$为缩放的倍数。
三、二次函数的性质1. 零点：二次函数零点是函数图像与$x$轴的交点。
计算零点可以通过求解二次方程$ax^2+bx+c=0$来实现。
当判别式$\Delta>0$时，二次方程有两个不相等的实根；当$\Delta=0$时，二次方程有两个相等的实根；当$\Delta<0$时，二次方程没有实根。
二次函数知识点总结九年级
二次函数知识点总结九年级二次函数知识点总结二次函数是数学中非常重要的一个概念，它在几何、物理等领域都有广泛的应用。
在九年级数学学习中，我们学习了许多与二次函数相关的知识点，本文将对这些知识进行总结。
一、二次函数的定义与性质二次函数是指一元二次方程所对应的函数。
一元二次方程的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
其主要性质包括：1. 抛物线的开口方向由二次系数a的正负决定：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)为该点的纵坐标。
3. 抛物线与x轴交点数目由判别式Δ=b^2-4ac的正负决定。
若Δ>0，则抛物线与x轴有两个交点；若Δ=0，则抛物线与x轴有一个交点，此时抛物线是切线；若Δ<0，则抛物线与x轴没有交点。
二、二次函数的图像和性质1. 抛物线的对称轴与顶点坐标有关。
对称轴的方程为x=-b/2a。
2. 抛物线的平移：对于一般形式y=a(x-h)^2+k，抛物线的顶点坐标为(h, k)，表示抛物线向左平移h个单位，向上或向下平移k个单位。
3. 抛物线的特殊情况：当b=0时，抛物线的对称轴与y轴重合，此时抛物线为关于y轴对称的。
当c=0时，抛物线过原点。
三、二次函数的函数值与因式分解1. 函数值：给定一元二次方程y=ax^2+bx+c，我们可以通过将x的值代入方程，计算出对应的函数值y。
这些值构成了二次函数的图像。
2. 因式分解：对于一元二次方程y=ax^2+bx+c，可以使用因式分解的方法将其写成两个一次因子的乘积形式。
这种形式可以更方便地求解方程的根。
四、解二次方程与判别式1. 解二次方程：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以使用求根公式来计算出方程的根。
求根公式为x=(-b±√Δ)/2a，其中Δ=b^2-4ac称为判别式。
九年级数学上册 二次函数知识点汇总
二次函数的复习资料知识点1.二次函数的定义1、一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的 次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据． 2、当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数． 练习（1）下列函数中，二次函数的是（ ）A ．y=ax 2+bx+c B 。
2)1()2)(2(---+=x x x y C 。
xx y 12+= D 。
y=x(x —1)练习（2）如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m是二次函数，那么m 的值为知识点2.二次函数的图像及性质1、已知一个二次函数，确定它的图象名称、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、极值。
已知条件中含二次函数开口方向或对称轴、顶点坐标、增减范围、极值，求解析中待定系数的取值。
（1）、二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线. （2）、二次函数 c bx ax y ++=2，当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点（3）、对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（ ，）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（ ， ）。
二次函数c bx ax y ++=2用配方法或公式法（求h 时可用代入法）可化成：k h x a y +-=2)(的形式，其中h= ,k=练习（３）抛物线1822-+-=x x y 的图象的开口方向是_____, 顶点坐标是_ ___. 练习（４）若抛物线232)1(2-++-=m mx x m y 的最低点在x 轴上，则m 的值为 （4）、二次函数 c bx ax y ++=2的对称轴为直线x=－2ba运用抛物线的对称性求对称轴，由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线段的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.若抛物线上有两点A （m,n ）、B(p,n)的纵坐标相等,则它的对称轴为直线x=－2pm + 练习（５）已知A 、B 是抛物线243y x x =-+上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A 、B 的坐标可能是_____________．（写出一对即可）（5）增减性：二次函数 c bx ax y ++=2的增减性分对称轴左右两侧描述（数形结合理解它的增减性）若0>a ，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而增大，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而减小，若0<a ，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而增大，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而减小， 练习（６）已知抛物线2y ax bx c =++（a ＞0）的对称轴为直线1x =，且经过点()()212y y -1，，，，试比较1y 和2y 的大小：1y _2y （填“>”，“<”或“=”）练习（７）二次函数542+-=mx x y ，当2-<x 时，y 随x 的增大而减小；当2->x 时，y 随x 的增大而增大。
初三数学二次函数知识点总结
初三数学二次函数知识点总结一、二次函数的定义一般地，如果形如 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a、b、c 是常数，a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。
其中，x 是自变量，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。
需要注意的是，二次函数的二次项系数 a 不能为 0，如果 a ＝ 0，那么就不是二次函数了。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴是直线 x ＝ b ／ 2a 。
抛物线的顶点坐标为（b ／ 2a ，（4ac b²) ／ 4a）。
例如，对于二次函数 y ＝ 2x² 4x ＋ 1，其中 a ＝ 2 ＞ 0，抛物线开口向上，对称轴为 x ＝（－4) ／（2×2) ＝ 1，顶点坐标为（1，－1）。
三、二次函数的平移二次函数的平移遵循“上加下减，左加右减”的原则。
“上加下减”指的是在函数表达式后面直接加上或减去一个常数，影响抛物线的上下移动。
比如，将 y ＝ x²向上平移 2 个单位，得到 y ＝ x²＋ 2；向下平移 3 个单位，得到 y ＝ x² 3 。
“左加右减”指的是在自变量 x 上加上或减去一个常数，影响抛物线的左右移动。
例如，将 y ＝（x 1)²向左平移 2 个单位，得到 y ＝（x 1 ＋ 2)²＝（x ＋ 1)²；向右平移 3 个单位，得到 y ＝（x 1 3)²＝（x 4)²。
四、二次函数的最值当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，函数有最小值，在顶点处取得，即y 最小值＝（4ac b²) ／ 4a 。
当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数有最大值，同样在顶点处取得，即 y 最大值＝（4ac b²) ／ 4a 。
例如，对于二次函数 y ＝ x²＋ 2x 3，因为 a ＝－1 ＜ 0，所以函数有最大值。
初三数学二次函数知识点总结
初三数学二次函数知识点总结初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
需要强调的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式为y=a(x-h)²+k，其中a、h、k为常数。
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号决定了抛物线的开口方向，顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h。
当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
三、二次函数图象的平移平移二次函数的步骤为：确定顶点坐标，保持抛物线形状不变，将顶点平移。
具体平移方法为：向右（左）平移h个单位，向上（下）平移k个单位。
平移规律可以概括为“左加右减，上加下减”。
四、二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²+bx+c的比较二次函数y=a(x-h)²+k和y=ax²+bx+c的区别在于表示方式不同，但它们的图象形状相同。
y=a(x-h)²+k更便于确定顶点坐标和对称轴，y=ax²+bx+c更便于确定一次项系数和常数项。
二次函数的特点和与其他函数的关系，如：设函数f(x)为一次函数，g(x)为二次函数，且在同一坐标系内，若f(x)和g(x)的图像均经过点(1,3)，则下列说法正确的是（）A．f(x)和g(x)的图像均经过点(2,6)B．f(x)和g(x)的图像均经过点(3,9)C．f(x)的图像经过点(2,6)，g(x)的图像经过点(2,5)D．f(x)的图像经过点(3,9)，g(x)的图像经过点(2,5)3．考查利用二次函数解决实际问题的能力，题的特点是给出具体的问题场景，需要学生根据题意列出方程并解答，如：一家餐馆销售汉堡，售价为每个3元，每天售出x个汉堡，该餐馆的总收入为y元．若这家餐馆每天的固定成本为32元，每售出一个汉堡的变动成本为1元，求这家餐馆每天售出多少个汉堡时，能收益最大？二次函数的解析式：二次函数的解析式由系数a、b、c决定，其中a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线在y轴的位置，c决定了抛物线与y轴的交点位置。
初三数学二次函数复习纲要及习题
初三数学二次函数复习纲要及习题二次函数的几个基本名词：抛物线的顶点、对称轴和开口方向 大纲要求：1．理解二次函数的概念；2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3．会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4．会用待定系数法求二次函数的解析式； 5．利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之閴的联系〒内容（9）亄次函数及其图蹡 如果y=ax 2+bxc(a,b,c 是常数，a ≠09,那么，y 叫做x 的二次函数。
二次函数的图象是抛物线，可用懏点法画出二次凝数的嚾象。
（2）抛物线的顦点、对称轴和开口旹向（2）抛物线的顦点、对称轴和开口旹向抛癩线y=ax 2+bx 耫c(a ≠0)的顶点是)44,2(2ab ac a b --，姹称轴是a b x 2-=䀕，当a>0时，抛物线开䏣向上，当a>0时，抛物线开口向下。
抛物线y=a （x+h ）2Ыj(a ≠0)的顶点是（,h ，k ），对緰轴是x=-h.考查重点与常见题型：考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2－m －2额图像经过原点， 则m 的值是1．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y ＝kx ＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y ＝kx 2＋bx －1的图像大致是（ ）2．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x ＝53，求这条抛物线的解析式。
初三数学总复习提纲——二次函数①
初三数学总复习提纲——二次函数①班级 姓名 号数 一、二次函数的概念及其关系式： 1、二次函数的概念：形如：2(,,0)y ax bx c a b c a =++≠是常数，的函数。
2、三种表达式：一般式：2(0)y ax bx c a =++≠顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠，其顶点坐标是交点式：12()()(0)y a x x x x a =--≠，12(,0)(,0x x 、）是抛物线与x 轴的交点。
例1、若21(1)3my m x mx +=-++是二次函数，则m 的值是（ ）A 、1B 、1-C 、1±D 、2 练习：抛物线22(2)4y m x x m =--+-的图象过原点，则m= 二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质1、图象是一条2、对称轴：2bx a=-， 顶点坐标是 24(,)24b ac b a a --3、二次函数顶点式2()(0)y a x h k a =-+≠的性质：轴对称图形例2、二次函数231y x =-+的图象开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 。
练习2、抛物线223y x x =--的顶点坐标是（ ， ）；（1）当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小； 当x= 时，y 有最 值为 ； （2）若自变量x 的取值范围为24x ≤≤时，函数是否存在最值？为多少？练习3、把二次函数21232y x x =-+用配方法化成2()y a x h k =-+的形式，并说出它的开口方向、对称轴、顶点坐标。
例3、如图（1）抛物线的对称轴为 如图（2）抛物线与x 轴的另一个交点坐标为 例4、对于抛物线21(1)32y x =-++，下列结论：①抛物线开口向下；②对称轴为直线1x =；③顶点坐标为(1,3)-；④1x >时，y 随x 的增大而减小，其中正确的结论的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4练习：心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：20.1 2.643(030)y x x x =-++<<。
二次函数复习提纲
二次函数复习提纲二次函数复习提纲（2012.11.15）一、知识网络23二、二次函数的概念：1、形如)0(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，、、的函数，叫做二次函数。
其中____是自变量，_____，_____，______，分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
2、二次函数须同时满足两个条件：①自变量最高次数为2；②二次项系数不为0。
例题1、当m 为何值时，12)4(422-+-=--x x m y m m是关于x 的二次函数？例题2、下列各式中，y 是x 的二次函数的个数为（ ）①5222++=x x y ；②285x x y -+-=；③212)34)(23(x x x y --+=；④c bx ax y ++=2；⑤x mx y +=2；⑥)0(12≠+=b b bx y 为常数，。
A 、3 B 、4 C 、5 D 、6三、抛物线k h x a y +-=2)(与2ax y =的关系（图像的平移）1、二者的形状（开口大小）______，位置_______，k h x a y +-=2)(是由2ax y =通过平移得来的，平移后的顶点坐标为________。
2、抛物线)0(2≠=a ax y 个单位平移时向当个单位平移时向当h h h h ____0____0<>2)(h x a y -=的图像个单位平移时向当个单位平移时向当k k k k ____0____0<>k h x a y +-=2)(的图像。
例题1、抛物线3)2(5.02-+=x y 可以由抛物线______________先向_____平移2个单位，再向下平移______个单位得到。
例题2、抛物线2x y -=向左平移1个单位，然后再向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为_________________。
例题3、将二次函数22312+-=x x y 化为k h x a y +-=2)(的形式，并指出其开口方向、对称轴与顶点坐标。
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二次函数复习提纲
知识要点梳理
知识点一：二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 知识点二：二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④，
其中；⑤.
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式开口方向对称轴顶点坐标
当时开口向上当时开口向下(轴) (0，0) (轴) (0，)
(，0)
(，)
()
2.抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；
相等，抛物线的开口大小、形状相同.
(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
3.抛物线中，的作用
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③
(即、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.
4.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式：.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
.(由此得根与系数的关系！)
5。
二次函数图象的平移规律
任意抛物线y a x h k =-+()2
可以由抛物线y ax =2
经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
知识点三：二次函数与一元二次方程的关系
1. 函数
，当
时，得到一元二次方程
，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐
标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时
，则方程有两个不相
等实根； (2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时
，
则方程有两个相等实根； (3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时
，则方程没有实根.
2. 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
的图象
的解
方程有两个不等实数解
方程有两个相等实数解
方程没有实数解
知识点四：利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
方法指导:
1.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法：，∴顶点是
，对称轴是直线.
(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(，)，对称轴是直线.
(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相同两点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
2.直线与抛物线的交点
(1)轴与抛物线得交点为(0，).
(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(，
).
(3)抛物线与轴的交点
二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程
的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式
判定：①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.。