高中数学备课精选《简单线性规划》课件新人教B版必修
数学人教B版必修5课件：3.5.2 简单线性规划2
，U＝2x－3y 取值的符号判断如下：
由 y＝23x－U3 .当 U＝0 时，过点 A(3,2)，往下平移．经过可行域 内的点－U3 ＜0，∴U＞0，即 2x＞3y.往上平移不经过可行域内 的点．故选 A.
【答案】A
变式训练 1：某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知 1 个 单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C；1 个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需 要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物，42 个单位的蛋白质 和 54 个单位的维生素 C.如果 1 个单位的午餐、晚餐的费用分别 是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少， 应当为该儿童分别预订多个单位的午餐和晚餐？
A．－7
B．－4
C．1
D．2
【解析】本题考查线性规划与最优解．
由 x、y 满足的约束条件3x－x＋y－y－26≤≥00 y－3≤0
，画出可行域如图，
容易求出 A(2,0)、B(5,3)、C(1,3)， 可知 z＝y－2x 过点 B(5,3)时， z 最小值为 3－2×5＝－7.
【答案】A
例 1：4 个茶杯和 5 包茶叶的价格之和小于 22 元，而 6 个茶
杯与 3 包茶叶的价格之和大于 24 元，则 2 个茶杯和 3 包茶叶
的价格比较( )
A．2 个茶杯贵
B．3 包设茶杯每个 x 元，茶叶每包 y 元，
则46xx＋＋53yy＜＞2224 x，y∈N
0≤x≤2 变式训练 2：在条件0≤y≤2
x－y≥1
下，z＝(x－1)2＋(y－1)2 的取值
范围是________．
高中数学 3.5.2 简单线性规划课件 新人教B版必修5
求z＝4x－
[思路探索] 属于求线性目标函数的最值．
课堂讲练互动
解
7x－5y－23≤0 不等式组x＋7y－11≤0
4x＋y＋10≥0
所表示的可行域如图所示：
其中A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)，作一族与4x－3y＝0平
行的直线l：4x－3y－z＝0，
当l过点C时，z值最小；当l过B点时，z值最大，
函数，求出目标函数的最值．
课堂讲练互动
注意：(1)最优解有时唯一，有时不唯一，甚至是无穷多个，还 有可能不存在．
(2)在可行域中，如果存在使ax＋by达到最大值或最小值的点， 那么该点一般在该区域的顶点或边界上．
(3)解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽 可能精确，图上操作尽可能规范．但考虑到作图必然会有误 差，假如图上的最优解并不明显易辨时，不妨将几个有可能 是最优解的点的坐标都求出来，然后逐一检验，以确定最优 解．
课堂讲练互动
最优解
可行解 可行域
使目标函数达到 最大值或最小值的点的 坐标 ， 称为问题的最优解 满足线性约束条件的 解 ，叫做可行解
由所有 可行解 组成的集合叫做可行域
试一试：线性目标函数的最值与y的系数有何关系？
提示 一般地，对目标函数z＝ax＋by，若b>0，则纵截距与z 同号，因此，纵截距最大时，z也最大；若b<0，则纵截距与z 异号，因此，纵截距最大时，z反而最小．
课堂讲练互动
(2)由23xx＋ －yy－ －23＝ ＝00， ， 得yx＝＝01.， 即A点坐标为(1,0)．同理，
距，当直线截距最大时，z的值最大．当然直线要与可行域相
交，即在满足约束条件时目标函数z＝2x＋y取得最大值；当直线
人教B版高中数学必修五课件3.5.2简单线性规划
由53xx＋ ＋25yy＝ ＝210500， ， 解得xy＝＝7111059900，
.
设点 A 的坐标为2700，970，点 B 的坐标为71090，11590， 则不等式组(※)所表示的平面区域是四边形的边界及其内部 (如图中阴影部分)．
令 z＝0，得 7x＋10y＝0，即 y＝－170x.
解决简单线性规划的方法为图解法，就是用一组平行直线 与某平面区域相交，研究直线在y轴上截距的最大值或最小值， 从而求某些函数的最值．
2x＋y≤40 1.若变量 x，y 满足xx＋≥20y≤50
y≥0
，则 z＝3x＋2y 的最大
值是( ) A．90 C．70
B．80 D．40
【解析】 由题意，满足二元一次不等式组的解的可行域 如图所示．
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
3.5.2 简单线性规划
1．在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋y－1＝0分成 三类：即点在直线上，点在直线的区域，上点方在直线的区域．
2下．方二元一次不等式组表示的平面区域是其中的每个二元一
次不等式表示的平面区域的． 公共部分
线性规划中的基本概念
名称
目标函 数
由 z＝3x＋2y，得 y＝－32x＋2z.要求 z 的最大值，可求2z的 最大值，即求斜率为－32的直线在可行域内在 y 轴上截距的 最大值．
如上图，显然直线过 A 点时，在 y 轴上截距最大． 联立2x＋x＋2yy＝＝4500 ，得xy＝ ＝1200 ， ∴A(10,20)，∴z＝3x＋2y 的最大值为 z＝3×10＋2×20 ＝70. 【答案】 C
x≥1
，所表示的平面区
域如图所示(阴影部分)
当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截距最大，即 z 最大， 解方程组x3－x＋4y5＝y＝－235 ，得 A 的坐标为(5,2)． 所以 zmax＝2×5＋2＝12. 当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 B 时，截距最小，即 z 最小． 解方程组xx－ ＝41y＝－3 ，得 B 的坐标为(1,1)． 所以 zmin＝2x＋y＝2×1＋1＝3.
简单的线性规划(必修5)人教B版
解析： 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z＝ 3x－4y经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值．易 求A(3,5)，B(5,3)．∴z最大＝3×5－4×3＝3，z最小＝3×3 －4×5＝－11.
合作探究一：
x -4y≤ - 3 画出不等式组 3x+5y≤ 25 表示的平面区域。 x≥1
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件
求ｚ的最大值和最小值。
x-4y≤-3 3x+5y≤25， x≥1
y x=1
C x-4y=-3
Ａ
B
3x+5y=25
o
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 求ｚ的最大值和最小值。
时,求z的最大值和最小值. 线性规 划问题
所有的
任何一个满足 不等式组的 （x,y）
可行解
可行域
跟踪训练：设z=x-2y，式中变量满足
下列条件：
x 4 y 3 3 x 5 y 25 x 1 值？
分析：目标函数变形为
x-4y≤-3 3x+5y≤25 ， x≥1
ｙ＝-2ｘ+ z 问题 1: 将z＝2ｘ+ｙ变形? 斜率为-2的直线在y轴上的截距 问题 2: z几何意义是_____________________________。
y
C
分析: 作直线l0 ：2ｘ+ｙ=0 , 当直线往右上方平移时z 逐渐增大：
x-4y=-3
总结规律
解决线性规划问题的一般步骤是：
设所求的未知数 建立目标函数
人教新课标版数学高二B必修5课件 3.5.2 简单线性规划(一)
每袋体积(单 每袋质量(单位： 每袋利润(单位：
货物
位：m3)
百千克)
百元)
甲
5
1
20
乙
4
2.5
10
问：在一个大集装箱内，这两种货物各装多少袋(不一定都 是整袋)时，可获得最大利润？
解 设托运甲种货物x袋，乙种货物y袋，获得利润z百元， 则z＝20x＋10y.
5x＋4y≤24 依题意，可得关于 x，y 的约束条件2x＋5y≥13
小结 (1)在上述问题中，我们把要求最大值或最小值的函 数f＝30x＋40y叫做目标函数，目标函数中的变量所要满足 的不等式组称为约束条件. (2)如果目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标 函数，如果约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)， 则称为线性约束条件.
(3)在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问 题，称为线性规划问题.使目标函数达到最大值或最小值的 点的坐标，称为问题的最优解. (4)一般地，满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由 所有可行解组成的集合叫做可行域.
1234
x＋y≥3， 2.设变量 x，y 满足约束条件x－y≥－1，
2x－y≤3，
则目标函数 z
＝2x＋3y 的最小值为( )
A.6
B.7
C.8
D.23
解析 作出可行域如图所示.
1234
由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z有最小值，z的最 小值为7. 答案 B
1234
3.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴
呈重点、现规律
1.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： (1)寻找线性约束条件，线性目标函数； (2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和 目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l； (3)平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点 的位置；
高中数学备课精选 3.5.2《简单线性规划》教案 新人教B版必修5
高中数学备课精选 3.5.2《简单线性规划》教案 新人教B 版必修5教学目标（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义； （2）掌握简单的二元线性规划问题的解法．（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法； （4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题． （5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力． 教学重点、难点二元线性规划问题的解法的掌握． 教学过程一．问题情境1．问题：在约束条件410432000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，如何求目标函数2P x y =+的最大值？二．建构数学首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域，如图（1）所示．其次，将目标函数2P x y =+变形为2y x P =-+的形式，它表示一条直线，斜率为，且在y 轴上的截距为P ．平移直线2y x P =-+，当它经过两直线410x y +=与4320x y +=的交点5(,5)4A 时，直线在y 轴上的截距最大，如图（2）所示．因此，当5,54x y ==时，目标函数取得最大值5257.54⨯+=，即当甲、乙两种产品分别生产54t 和5t 时，可获得最大利润7.5万元． 这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．其中5(,5)4使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的最优解．对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．说明：平移直线2y x P =-+时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）．三．数学运用例1．设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值．解：由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上，作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈， 可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大． 由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大， 当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小， 所以，max 25212z =⨯+=，min 2113z =⨯+=．例2．设610z x y =+，式中,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值．解：由引例可知：直线0l 与AC 所在直线平行，则由引例的解题过程知，当l 与AC 所在直线35250x y +-=重合时z 最大，此时满足条件的最优解有无数多个， 当l 经过点(1,1)B 时，对应z 最小，∴max 61050z x y =+=，min 6110116z =⨯+⨯=．例3．已知,x y 满足不等式组230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩，求使x y +取最大值的整数,x y ．解：不等式组的解集为三直线1l ：230x y --=，2l ：2360x y +-=，3l ：35150x y --=所围成的三角形内部（不含边界），设1l 与2l ，1l 与3l ，2l 与3l 交点分别为,,A B C ，则,,A B C坐标分别为153(,)84A ，(0,3)B -，7512(,)1919C -， 作一组平行线l ：x y t +=平行于0l ：0x y +=， 当l 往0l 右上方移动时，t 随之增大，∴当l 过C 点时x y +最大为6319，但不是整数解，又由75019x <<知x 可取1,2,3，OyxA CB430x y -+=1x =35250x y +-=ACxyO1l3l2l当1x =时，代入原不等式组得2y =-， ∴1x y +=-； 当2x =时，得0y =或1-， ∴2x y +=或1； 当3x =时，1y =-， ∴2x y +=，故x y +的最大整数解为20x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=-⎩．例4．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？分析：这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据整理成下表，以方便理解题意：资 金 （百万元） 场 地 （平方米） 利 润（百万元）A 产品 2 2 3B 产品 3 1 2 限 制 14 9然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数，最后用图解法求解解：设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 米，利润为S 百万元，则约束条件为23142900x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数为32S x y =+．作出可行域（如图），将目标函数变形为322S y x =-+，它表示斜率为32-，在y 轴上截距为2S的直线，平移直线322S y x =-+，当它经过直线与29x y +=和2314x y +=的交点135(,)42时，2S最大，也即S 最大．此时，1353214.7542S =⨯+⨯=．因此，生产A 产品3.25百吨，生产B 产品2.5米，利润最大为1475万元．说明：（1）解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件（要注意考虑数据、变量、不等式的实际含义及计量单位的统一）；③建立目标函数；④求最优解． （2）对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．四．回顾小结：1．简单的二元线性规划问题的解法．2．巩固图解法求线性目标函数的最大值、最小值的方法； 3．用画网格的方法求解整数线性规划问题。
人教B版高中数学必修五《3.5.2 简单线性规划》_10
板书设计
3．3．2简单的线性规划问题
一、基本概念：
线性约束条件、线性目标函数、线性规划1)画可行域(2)移平行直线
(3)求最优解(4)作出答案
及时进行教学阶段小结，
同时提出思考、引入后续探究活动
类比题型、开放型问题创设一个探究、讨论的课堂氛围，激发学生的学习情趣，增强师生、生生之间的互动，体现新课程中让学生“做主学”的理念
探究练习，增强互动，开阔视野
通过小结再次强调并巩固本节知识点重点
“家电生产方案的确定”与“电视台连续剧的收拾率”两个
实例均是具有时代气息的线性规划应用题，通过作业再
例1：
求z=3x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件
思考：
目标函数：Z=2x+3y
4、巩固练习
如图所示，△ABC的三顶点 ，点P（x，y）在△ABC内部及其边界运动。
请你探究并讨论以下问题(并分析：是否对于所有的z=ax+by的目标函数都是在平行线组在y轴上的截距最大时z最大，在y轴上的截距最小时z最小):
结合以上探究给出基本概念：
线性约束条件：关于 、 的一次不等式，有时也用一次方程表示。如（1）
线性目标函数：要求最大值的函数，如：
线性规划：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题。
可行解：满足线性约束条件的解（ 、 ）
可行域：所有可行解组成的集合
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解。如A（5，2）,B(1,1)
课题
3．5．2简单的线性规划问题
课型
新课
第一课时
教学目标
知识目标：了解基本概念，掌握图解法基本步骤，让学生在实际情境中感受数学思想的同时获得数学方法。
高考数学总复习 简单的线性规划问题课件 新人教B版.ppt
3．解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所 以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范．求最优解时， 若没有特殊要求，一般为边界交点．若实际问题要求的最 优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解， 应作适当调整．其方法应以与线性目标函数直线的距离为 依据，在直线附近寻求与直线距离最近的整点，但必须是 在可行域内寻找. 但考虑到作图毕竟还是会有误差，假若 图上的最优点不是明显易辨时，应将最优解附近的整点都 找出来，然后逐一检查，以“验明正身”．
解析：作出不等式组表示的平面区域 D 如图，直线 x－2y－2＝0 和直线 2x＋y＋1＝0 的斜率依次为 k1＝12， k2＝－2，∵k1k2＝－1，∴两直线互相垂直，故所求面积 为 S＝14×π×22＝π.
答案：π
点评：若两直线不垂直，可先写出两直线的方向向 量，利用向量求得两直线夹角，再求面积．
轴上的截距最大(小)时，z 取最小(大)值 .
[例 3]
x＋y≥2 已知实数 x、y 满足x－y≤2
0≤y≤3
，则 z＝2x
－y 的取值范围是________． 分析：z＝2x－y 即 y＝2x－z，当直线 y＝2x－z 在 y
轴上的截距最大(小)时，z 取最小(大)值 .
解析：先画出可行域如图，显然 z＝2x－y 在点(－1,3) 处达到最小值－5，在(5,3)处达到最大值 7.∴z∈[－5,7]．
二元一次不等式(组)表示的平面区域
2x－y＋1≥0 [例 1] (2011·济南模拟)不等式组x－2y－1≤0 表
x＋y≤1
示的平面区域为( ) A．四边形及其内部 B．三角形及其内部 C．在第一象限内的一个无界区域 D．不含第一象限内的点的一个有界区域
解析：画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分， 故选 B.
人教课标版(B版)高中数学必修5参考课件1-简单线性规划
名称
定义
目标函数 求 最大值或最小值 的函数，叫做目标函数
约束条件 目标函数中的变量所要满足的 不等式组 .
线性目标函数
如果目标函数是 关于变量的一次函数 目标函数
，则称为线性
线性约束条件
如果约束条件是 关于变量的一次不等式(或等式) ，则 称为线性约束条件
最优解
使目标函数达到 最大值或最小值 的点的 坐标 ，称 为问题的最优解
【解】 设 A，B 两种金属板各取 x 张，y 张，用料面积为 z，则约束条件为
3x＋6y≥45， 5x＋6y≥55， x≥0， y≥0，
目标函数 z＝2x＋3y. 作出可行域，如图所示的阴影部分．
目标函数 z＝2x＋3y 即直线 y＝－23x＋3z，其斜率为－23，在 y 轴上的截距为3z，且是随 z 变化的一簇平行线．
表示的平面区域如图所示．
1．在平面区域中，A，B，C 的坐标分别是什么？ 【提示】 由xx＋－yy＋＋15＝＝00，， 得 B(－3,2)；由xx＝－3y＋，5＝0， 得 A(3,8)； 由xx＋＝y3＋，1＝0， 得 C(3，－4)．
2．对于函数 z＝2x－y，当直线 2x－y－z＝0 经过 A、B、C 三点时，z 的值分别是多少？
x－4y＋3≤0， 【自主解答】 由约束条件3x＋5y－25≤0，
x≥1，
作出(x，y)的可行域如图所示．
由3x＝x＋15，y－25＝0，
解得 A1，252.
由xx－＝41y，＋3＝0， 解得 C(1,1)， 由3x－x＋45y＋y－32＝5＝0，0， 解得 B(5,2)． (1)∵z＝yx＝yx－ －00， ∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率． 观察图形可知 zmin＝kOB＝25.