2019人教A版高中数学必修一练习：习题课4指数函数(2)
高中数学人教A版(2019)必修第一册第四章4.2《指数函数 》教 案
《指数函数及其性质》教材分析本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想（指数幂运算律的推广）、类比的思想、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂）、数形结合的思想（用指数函数的图像研究指数函数的性质）等，同时，编写时充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情景，为学生的数学探究与数学思维提供支持．教学目标1．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，掌握指数函数的性质．2．采用具体到一般、数形结合的思想方法，体会研究具体函数的性质．3．使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实其他学科的联系；感受探究未知世界的乐趣，从而培养学生对数学的热爱情感．教学重难点【教学重点】掌握指数函数的概念和性质．【教学难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．课前准备引导学生通过实际问题了解指数函数的实际背景，通过本节课导学案的使用和预习，初步理解指数函数的概念和意义，根据图像理解指数函数的性质，带着问题学习．教学过程（一）创设情景，揭示课题1．对任意实数x，3x的值存在吗？（-3）x的值存在吗？1x的值存在吗？2．y=3x是函数吗？若是，这是什么类型的函数？3．（备选引例）（1）思考1：用清水漂洗含1个质量单位污垢的衣服，若每次能洗去残留污垢的，则漂洗x次后，衣服上的残留污垢y与x的函数关系是什么？（2）（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1．3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．○1按照上述材料中的1．3%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？○2到2050年我国的人口将达到多少？○3你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？（3）上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1．073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？（4）一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？提出问题：上面的几个函数有什么共同特征？（二）研探新知1．指数函数的概念一般地，函数(0,1)xy a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析； ○2 注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1． 巩固练习：利用指数函数的定义解决．（教材P 68例2．3）2．指数函数的图像和性质问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图像，结合图像研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究：思考1：在同一坐标系中画出下列函数的图像： （1）1()3x y =（2）1()2x y =（3）2xy =（4）3xy =（5）5xy =思考2：从画出的图像中你能发现函数2xy =的图像和函数1()2x y =的图像有什么关系？可否利用2xy =的图像画出1()2x y =的图像？思考3：从画出的图像（2x y =、3x y =和5xy =）中，你能发现函数的图像与其底数之间有什么样的规律？思考4：你能根据指数函数的图像的特征归纳出指数函数的性质吗？思考5：利用函数的单调性，结合图像还可以看出：（1）在[a ，b ]上，()(01)xf x a a a =>≠且值域是[(),()]f a f b 或[(),()]f b f a ；（2）若0x ≠，则()1f x ≠；()f x 取遍所有正数当且仅当x R ∈；（3）对于指数函数()(01)xf x a a a =>≠且，总有(1)f a =； （三）例题讲解例1．判断下列函数是否为指数函数？321(1)(2)(1)(3)2x x y x y a y +==+=2(4)5(5)3(6)41x xx y y y -===+问题：你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗？ 例2．已知函数f （x ）＝a x （a ＞0，a ≠1）的图像过点（3， π），求f （0）， f （1）， f（-3）的值．问题：你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？ 说明：规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式． （四）课堂练习教材对应习题． （五）课堂小结本节主要学习了指数函数的图像，及利用图像研究函数性质的方法． （六） 布置作业 教材对应习题． 教学反思略．。
人教A版(2019)高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数单元测试卷
《第四章 指数函数与对数函数》测试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f （x ）=log 2 (x 2-3x -4)的单调递减区间为（ ） A ．（-∞，-1）B ．（-∞，-1.5）C ．（1.5，+∞）D ．（4，+∞）2．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（ ） A ．且 B ．且 C ．且 D ． 3．函数为增函数的区间是（ ） A ．B ．C ．D ．4．已知函数y =log a (3-ax )在[0，1]上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（1，3） C ．（0，3）D ．[3，+∞]5．若实数满足，则（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知定义域为R 的偶函数f (x )在（-∞，0]上单调递减，且f ( ) = 2，则不等式f (log 4x )>2的解集为（ ）A ．（0， ）∪（2，+∞）B .（2，+∞）C ．（0， ）∪（ ， + ∞ ）D ．（0， ）7．三个数，，之间的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．()21xy a =-x a 0a >1a ≠0a ≥1a ≠12a >1a ≠12a ≥2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭[)1,-+∞(],1-∞-[)1,+∞(],1-∞,a b 3412a b ==11a b+=121516120.3a =0.32b =2log 0.3c =a c b <<c a b <<c b a <<b c a <<2121222228．已知函数，给出下述论述，其中正确的是（ ）A ．当时，的定义域为B ．一定有最小值C ．当时，的值域为D ．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列运算结果中，一定正确的是（ ） A ． B ．CD10．已知函数，下面说法正确的有（ ）A ．的图像关于原点对称B ．的图像关于轴对称C ．的值域为D ．对于任意的，且，恒成立11．若，，则（ ） A ． B ． C ．D ．12．已知函数f (x )=x 2-2x+a 有两个零点x 1，x 2，以下结论正确的是（ ） A ．a ＜1 B ．若x 1≠x 2，则= C ．f （-1）=f （3） D ．函数y=f （∣x ∣）有四个零点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．()()2lg 1f x x ax a =+--0a =()f x R ()f x 0a =()f x R ()f x [)2,+∞a {}4|a a ≥-347a a a ⋅=()326a a -=a =π=-()2121x x f x -=+()f x ()f x y ()f x ()1,1-12,x x ∈R 12x x ≠()()12120f x f x x x -<-104a =1025b =2a b +=1b a -=281g 2ab >lg 6b a ->2x 11x 1+a213．当_________． 14．函数的值域是________．15．若，则________．16．函数的定义域为______，最小值为______．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）解下列方程．（1）； （2（3）．18．（12分）求下列函数的定义域、值域．（1）； （2）．19．（12分）（1）求函数的单调区间；（2）求函数的单调区间．2x <3=23x y -=1232494log 7log 9log log a ⋅⋅=a =()()212log 23f x x x =--+32381x -=256550x x -⨯+=313x xy =+421x xy =-+261712x x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭21181722xxy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20． 已知函数.（1）当时，求函数的零点；（2）若有零点，求的取值范围。
高一数学必修第一册2019(A版)_4.3.2_对数的运算_练习(解析版)
第四章 指数函数与对数函数 4.3.2 对数的运算一、选择题1．（2019全国高一课时）若a ＞0，a≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子中正确的个数是( ) ①log a x·log a y ＝log a (x ＋y)；②log a x －log a y ＝log a (x －y)； ③log axy＝log a x÷log a y; ④log a (xy)＝log a x·log a y. A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A【解析】由对数的运算性质，得到logax•logay≠loga （x+y ）；log log log xx y y a a a-= ；log a （xy ）=log a x+log a y ． 故选A2．（2019全国高一课时练）lg8＋3lg5的值为( ) A.－3 B.－1C.1D.3【答案】D 【解析】383585212510003lg lg lg lg lg lg lg ==+==＋＋，故选D 。
3．（2019甘肃武威十八中高一课时练）已知lg2=0.301，lg3=0.477 ,则lg12= ( ) A.0.778 B.1.079C.0.301D.0.477【答案】B【解析】因为lg12lg3lg 4lg32lg 20.47720.301 1.079.=+=+=+⨯=所以选B. 4．（2019全国高一课时） 若log 34·log 8m ＝log 416，则m 等于( ) A.3 B.9 C.18 D.27 【答案】D【解析】原式可化为log 8m ＝432log ，lg 2lg 43lg 2lg 3m = ，即lg m ＝6lg 2lg 32lg 2⋅， lg m ＝lg 27，m ＝27.故选D. 5．（2017·全国高一课时练习）设，则f[f(2)]的值为A.0B.1C.2D.3 【答案】C【解析】f(2)=log 3(22−1)=log 33=1，则f[f(2)]=2. 6.（2017·全国高一课时练习）已知，，，，则下列等式一定成立的是A. B. C.D.【答案】B 【解析】因为，，所以，.又，所以，则.二、填空题7．（2019·全国高一课时练）地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4).2011年3月11日，日本东海岸发生了9.级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的__________倍． 【答案】【解析】设震级9.0级、8.0级地震释放的能量分别为21E E 、，则212983lgE lgE （）-=-，即3222113102E E lg E E ，=∴== ． 那么2011年地震的能量是2008年地震能量的8．（2019全国高一课时练）方程lg x ＋lg (x －1)＝1－lg 5的根是________． 【答案】2【解析】方程变形为lg [x (x －1)]＝lg 2，所以x (x －1)＝2，解得x ＝2或x ＝－1.经检验x ＝－1不合题意，舍去，所以原方程的根为x ＝2. 9．（2017·全国高一课时练习）若，则【答案】【解析】，从而，故选D ．10．（2017·北京市第二中学分校高一课时练习）设函数()(0a f x log x a >＝且1)a ≠，若()122?0128f x x x ⋯＝，则222122012()()()f x f x f x +++的值等于________．【答案】16【解析】由()1220128f x x x ⋯＝，得()1220128a log x x x ⋯=. 因为()()()222222122012122012a a a f x f x f x log x log x log x +++=+++12201222?2a a a log x log x log x =+++()1220122?a a a log x log x log x =+++()1220122?2816a log x x x =⋯=⨯=故答案为16.三、解答题11．（2019·全国高一课时练习）化简：(1)23lg 3lg 955lg81lg 27++-； (2)(lg5)2＋lg2lg50＋2211+log 52. 【答案】（1）115（2）1+ 【解析】 (1)原式＝＝＝.(2)原式＝(lg5)2＋lg2(lg5＋1)＋21·2log 52＝lg5·(lg5＋lg2)＋lg2＋2＝1＋2.12．（2019·全国高一课时练习）若a 、b 是方程2lg 2 x －lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·lg lg lg lg b a a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 【答案】12【解析】原方程可化为2lg 2x －4lg x ＋1＝0，设t ＝lg x ，则原方程化为2t 2－4t ＋1＝0，∴t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝. 由已知a ，b 是原方程的两个根，则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝，lg(ab )·lg lg lg lg b a a b ⎛⎫+⎪⎝⎭＝＝(lg a ＋lgb )·()2lg lg 2lg lg lg lg a b a ba b+-＝2×＝12.故lg(ab )·lg lg lg lg b a a b ⎛⎫+⎪⎝⎭＝12.。
4.2 指数函数(共2课时课件)(人教A版2019高一数学必修第一册)
第四章 指数函数与对数函数
4.2.2 指数函数的图象与性质
高中数学/人教A版/必修一
……
4.2.2 指数函数的图象与性质
思维篇
素养篇
知识篇
让我们回顾一下前面研究幂函数性质的过程和
方法：
定义域？
值
图象
域？
单调性？
奇偶性？
过定点？
1 指数函数的图象
首先画出指数函数的图象，然后借助图象研究指数函
令x=0.5n, 则n=2x
所以f(x)=3×4x
方法总结：连续两项数值之比为常数，可通过连乘得
到指数增长（衰减）模型.
课堂小结
一、本节课学习的新知识
指数函数的概念
指数增长（衰减）模型
课堂小结
二、本节课提升的核心素养
数学抽象
数学建模
数据分析
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
转化与化归
方程思想
观察表格中的数据
比较两地景区游客人次每
年的变化情况
发现了怎样的变化规律？
时间/
A地景区
年份 人次/
B地景区
2001
2002
万次
600
609
人次/
万次
278
309
2003
620
344
2004
631
383
2005
641
427
2006
650
475
2007
2008
661
671
528
588
2009
681
655
范围是
答案：(1)4
.
(2)(3,4)∪(4,+∞)
高一数学(必修一)《第四章-指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第四章 指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．某超市宣传在“双十一”期间对顾客购物实行一定的优惠，超市规定：①如一次性购物不超过200元不予以折扣；②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠.某人两次去该超市购物分别付款176元和441元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（ ）A ．608元B ．591.1元C ．582.6元D ．456.8元2．德国天文学家，数学家开普勒（J. Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（ ）A ．4329dB ．30323dC ．60150dD ．90670d3．函数()f x = ）A ．()1,0-B ．(),1-∞-和()0,1C ．()0,1D ．(),1-∞-和()0,∞+4．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ）A ．90100a <<B ．90110a <<C ．100110a <<D ．80100a <<5．某市工业生产总值2018年和2019年连续两年持续增加，其中2018年的年增长率为p ，2019年的年增长率为q ，则该市这两年工业生产总值的年平均增长率为（ ）A ．2p q +；B ．()()1112p q ++-；C ；D 1．6．某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入该药剂后，药剂的浓度C （单位：3mg/m ）随时间t （单位：h ）的变化关系可近似的用函数()()()210010419t C t t t t +=>++刻画．由此可以判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（ ）A ．3hB ．4hC ．5hD ．6h7．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：以下函数中最符合变量y 与x 的对应关系的是（ ）A ．129y x =+B ．245y x x =-+C ．112410x y =⨯- D ．3log 1y x =+ 8．某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快，经研究，该一定量的植物在一定环境中经过1个月，其覆盖面积为6平方米，经过3个月，其覆盖面积为13.5平方米，该植物覆盖面积y (单位：平方米)与经过时间x (x ∈N )(单位：月)的关系有三种函数模型x y pa =(0p >，1a >)､log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)可供选择，则下列说法正确的是（ ）A ．应选x y pa =(0p >，1a >)B ．应选log a y m x =(0m >，1a >)C ．应选y nx α=(0n >，01α<<)D ．三种函数模型都可以9．已知函数()21,1,8, 1.x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩若()8f x =，则x =（ ） A ．3-或1 B ．3- C ．1 D ．310．函数e 1()sin 2e 1x x f x x +=⋅-的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题11．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于5G 的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫作信噪比．若不改变信道带宽W ，而将信噪比S N从11提升至499，则最大信息传递速率C 大约会提升到原来的______倍（结果保留1位小数）．（参考数据：2log 3 1.58≈和2log 5 2.32≈）12．已测得(,)x y 的两组值为(1,2)和(2,5)，现有两个拟合模型，甲21y x =+，乙31y x =-.若又测得(,)x y 的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．13．半径为1的半圆中，作如图所示的等腰梯形ABCD ，设梯形的上底2BC x =，则梯形ABCD 的最长周长为_________．三、解答题14．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD ，已知院墙MN 长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB 的长为x 米．(1)当AB 的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形ABCD 的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？15．以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (百元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为212800200y x x =-+． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（提示：平均处理成本为y x） (2)该单位每月处理成本y 的最小值和最大值分别是多少百元？ 16．如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O xyz -，点P 在线段AB 上，点Q 在线段DC 上．(1)当2PB AP =，且点P 关于y 轴的对称点为M 时，求PM ；(2)当点P 是面对角线AB 的中点，点Q 在面对角线DC 上运动时，探究PQ 的最小值．17．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X （单位： t ，100150)X ）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量[100X ∈，110），则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[100，110)的频率），求T 的分布列．18．为发展空间互联网，抢占6G 技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入()0a a >万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x 名（*x ∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入调整为275x a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元. (1)要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？(2)是否存在实数m 同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.19．某公司今年年初用81万元收购了一个项目，若该公司从第1年到第x （N x +∈且1x >）年花在该项目的其他费用（不包括收购费用）为()20x x +万元，该项目每年运行的总收入为50万元．(1)试问该项目运行到第几年开始盈利？(2)该项目运行若干年后，公司提出了两种方案：①当盈利总额最大时，以56万元的价格卖出；②当年平均盈利最大时，以92万元的价格卖出．假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由．20．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5％．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ekt P P -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80％，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，求正整数n 的最小值．21．某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为x （0200x <，N x ∈）台，若年产量不足70台，则每台设备的额外成本为11402y x =+万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备的额外成本为2264002080101y x x =+-万元.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.(1)写出年利润W （万元）关于年产量x （台）的关系式；(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？22．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①(0)y ax b a =+≠，②()20y ax bx c a =++≠，③()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠，④(0)a y b a x=+≠； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；(3)利用你选取的函数，若存在()10,x ∈+∞，使得不等式()010f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．四、多选题23．函数()()22x x af x a R =+∈的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．五、双空题24．某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=e kt (其中k 为常数;t 表示时间,单位:小时;y 表示病毒个数),则k=____,经过5小时,1个病毒能繁殖为____个.25．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x ，宽减少2x ，则面积最大，此时x ＝__________，面积S ＝__________.参考答案与解析1．【答案】B【分析】根据题意求出付款441元时的实际标价，再求出一次性购买实际标价金额商品应付款即可.【详解】由题意得购物付款441元，实际标价为10441=4909元 如果一次购买标价176+490=666元的商品应付款5000.9+1660.85=591.1元.故选：B.2．【答案】B【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为T 和T '，距离太阳的平均距离为r 和r '，根据2323T r T r =''2r r '= 结合已知条件即可求解.【详解】设天王星的公转时间为T ，距离太阳的平均距离为r土星的公转时间为T '，距离太阳的平均距离为r '由题意知2r r '= 10753T d '= 所以323238T r r T r r ⎛⎫=== ⎪'''⎝⎭所以1075310753 2.82830409.484T d '==≈⨯=故选：B.3．【答案】B【分析】分别讨论0x ≥和0x <，利用二次函数的性质即可求单调递减区间.【详解】当0x ≥时()f x 210x -+≥解得11x -≤≤，又21y x =-+为开口向下的抛物线，对称轴为0x =，此时在区间()0,1单调递减当0x <时()f x == ()21y x =+为开口向上的抛物线，对称轴为1x =-，此时在(),1-∞-单调递减综上所述：函数()f x =(),1-∞-和()0,1.故选：B.4．【答案】A【分析】首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据0y >，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.【详解】设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元则290,(10)(40020)1040020200a x y x x x x =+=+⋅--⨯=-+.要使商家利润有所增加，则必须使0y >，即2100x x -<，得010,9090100x x <<∴<+<，所以a 的取值为90100a <<.故选：A5．【答案】D【分析】设出平均增长率，并根据题意列出方程，进行求解【详解】设该市2018、2019这两年工业生产总值的年平均增长率为x ，则由题意得：()()()2111x p q +=++解得11x =，21x =因为20x <不合题意，舍去 故选D ．6．【答案】A【分析】利用基本不等式求最值可得．【详解】依题意，0t >，所以11t +>所以()()()()()()221001100110010010164191012116121t t C t t t t t t t ++===≤==++++++++++ 当且仅当1611t t +=+，即t ＝3时等号成立，故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h ．故选：A ．7．【答案】D 【分析】结合表格所给数据以及函数的增长快慢确定正确选项.【详解】根据表格所给数据可知，函数的增长速度越来越慢A 选项，函数129y x =+增长速度不变，不符合题意. BC 选项，当3x ≥时，函数245y x x =-+、112410x y =⨯-增长越来越快，不符合题意. D 选项，当3x ≥时，函数3log 1y x =+的增长速度越来越慢，符合题意.故选：D8．【答案】A【解析】根据指数函数和幂函数的增长速度结合题意即可得结果.【详解】该植物生长蔓延的速度越来越快，而x y pa =(0p >，1a >)的增长速度越来越快 log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)的增长速度越来越慢故应选择x y pa =(0p >，1a >).故选：A.9．【答案】B【分析】根据分段函数的解析式，分段求解即可.【详解】根据题意得x ≤1x2−1=8或188x x >⎧⎨=⎩ 解得3,x =-故选：B10．【答案】B【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据x 趋近0时判断排除得选项.【详解】解：()e 1sin 2e 1x x f x x +=⋅-的定义域为()(),00,∞-+∞()()()e 1e 1sin 2sin 2e 1e 1x x x xf x x x f x --++-=⋅-=⋅=⎡⎤⎣⎦-- ()f x ∴是偶函数，排除A ，C . 又0x >且无限接近0时，101x x e e +>-且sin 20x >，∴此时()0f x >，排除D故选：B .11．【答案】2.5【分析】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，根据题意求出21C C ，再利用指数、对数的运算性质化简计算即可【详解】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，则由题意可知()122log 111log 12C W W =+= ()222log 1499log 500C W W =+= 所以()()232322222222122222log 25log 500log 2log 523log 523 2.328.96 2.5log 12log 2log 32log 32 1.58 3.58log 23C W C W ⨯+++⨯====≈=≈+++⨯所以最大信息传递速率C 会提升到原来的2.5倍．故答案为：2.512．【答案】甲【分析】将3x =分别代入甲乙两个拟合模型计算，即可判断.【详解】对于甲：3x =时23110y =+=，对于乙：3x =时8y =因此用甲作为拟合模型较好．故答案为：甲13．【答案】5【分析】计算得出AB CD ==ABCD 的周长为y，可得出22y x =++()0,1t，可得出224y t =-++，利用二次函数的相关知识可求得y 的最大值.【详解】过点B 、C 分别作BE AD ⊥、CF AD ⊥垂足分别为E 、F则//BE CF ，//BC EF 且90BEF ∠=，所以，四边形BCFE 为矩形所以2EF BC x ==AB CD =，BAE CDF ∠=∠和90AEB DFC ∠=∠= 所以，Rt ABE Rt DCF ≅所以12AD EF AE DF x -===-，则OF OD DF x =-= CF =AB CD ∴===设梯形ABCD 的周长为y ，则2222y x x =++=++其中01x <<令()0,1t =，则21x t =-所以()2222212425y t t t ⎛=+-+=-++=-+ ⎝⎭所以，当t =y 取最大值，即max 5y =. 故答案为：5.【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．14．【答案】(1)15米；(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.【分析】（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；（2）根据题意，可得(502)S x x =-，根据二次函数最值的求法求解即可．（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-由题意得(502)300x x -=解得1215,10x x ==50225x -≤12.5x ∴≥15x ∴=所以，AB 的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）由题意得()()22502250212.5312.5,12.525S x x x x x x =-=-+=--+≤<12.5x ∴=时， S 取得最大值，此时312.5S =所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．15．【答案】(1)400吨 (2)最小值800百元，最大值1400百元【分析】（1）求出平均处理成本的函数解析式，利用基本不等式求出最值；（2）利用二次函数单调性求解最值.（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为18002200y x x x =+-，显然[]400,600x ∈由基本不等式得：1800222200y x x x =+-≥= 当且仅当1800200x x =，即400x =时，等号成立 故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）212800200y x x =-+ 对称轴220012200x -=-=⨯ 函数212800200y x x =-+在[400，600]单调递增 当400x =时，则2min 14002400800800200y =⨯-⨯+= 当600x =时，则2max 160026008001400200y =⨯-⨯+= 答：该单位每月处理成本y 的最小值800百元，最大值1400百元.16．【答案】【分析】（1）根据空间直角坐标系写出各顶点的坐标，再由2PB AP =求得121,,33OP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到P 与M 的坐标，再利用两点距离公式求解即可；（2）由中点坐标公式求得111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据题意设点(,1,)Q a a ，最后利用两点间的距离公式与一元二次函数配方法求PQ 的最小值.（1）所以()22211222131133333PM ⎛⎫⎛⎫=++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）因为点P 是面对角线AB 的中点，所以111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而点Q 在面对角线DC 上运动，故设点(,1,)Q a a[0,1]a ∈则(PQ a ===[0,1]a ∈所以当34a =时，PQ 取得最小值33,1,44Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 17．【答案】(1)80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧=⎨∈⎩(2)0.7(3)59400 【分析】（1）由题意先分段写出，当[100x ∈，130)和[130x ∈，150)时的利润值，利用分段函数写出即可；（2）由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150x ，再由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7，由此估计得出结论；（3）先求出利润与X 的关系，再利用直方图中的频率计算利润分布列，最后利用公式求其数学期望．（1）解：由题意得，当[100X ∈，130)时500300(130)80039000T X X X =--=-当[130X ∈，150]时50013065000T =⨯=80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧∴=⎨∈⎩（2）解：由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150X ．由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7所以下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7；（3）解：由题意及（1）可得：所以T 的分布列为：18．【答案】(1)最多有75人 (2)存在 7m =【分析】（1）根据题目要求列出方程求解即可得到结果（2）根据题目要求①先求解出m 关于x 的取值范围，再根据x 的取值范围求得m 的取值范围，之后根据题目要求②列出不等式利用基本不等式求解出m 的取值范围，综上取交集即可 （1）依题意可得调整后研发人员有()100x -人，年人均投入为()14%x a +万元则()()10014%100x x a a -+≥，解得075x ≤≤.又4575x ≤≤，*x ∈N 所以调整后的奇数人员最多有75人.（2）假设存在实数m 满足条件.由条件①，得225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得2125x m ≥+. 又4575x ≤≤，*x ∈N 所以当75x =时，2125x +取得最大值7，所以7m ≥. 由条件②，得()()210014%25x x x a a m x ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，不等式两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325x m x ≤++因为10033725x x ++≥=，当且仅当10025x x =，即50x =时等号成立，所以7m ≤. 综上，得7m =.故存在实数m 为7满足条件.19．【答案】(1)第4年 (2)选择方案②，理由见解析【分析】（1）设项目运行到第x 年的盈利为y 万元，可求得y 关于x 的函数关系式，解不等式0y >可得x 的取值范围，即可得出结论；（2）计算出两种方案获利，结合两种方案的用时可得出结论.（1）解：设项目运行到第x 年的盈利为y 万元则()25020813081=-+-=-+-y x x x x x由0y >，得230810x x -+<，解得327x <<所以该项目运行到第4年开始盈利．（2）解：方案①()22308115144=-+-=--+y x x x当15x =时，y 有最大值144．即项目运行到第15年，盈利最大，且此时公司的总盈利为14456200+=万元方案②818130303012y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当81x x=，即9x =时，等号成立． 即项目运行到第9年，年平均盈利最大，且此时公司的总盈利为12992200⨯+=万元.综上，两种方案获利相等，但方案②时间更短，所以选择方案②．20．【答案】10【分析】由题可得()400180%e k P P --=，求得ln 54k =，再由000.5%e kt P P -≥可求解. 【详解】由题意，前4个小时消除了80％的污染物因为0e kt P P -=⋅，所以()400180%ek P P --= 所以40.2e k -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =则由000.5%e kt P P -≥，得ln 5ln 0.0054t ≥- 所以4ln 20013.2ln 5t ≥≈ 故正整数n 的最小值为14410-=．21．【答案】(1)2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩；(2)当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.【分析】（1）根据题意，分段表示出函数模型，即可求解；（2）根据题意，结合一元二次函数以及均值不等式，即可求解.（1）当070x <<，*N x ∈时 211100406006060022W x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭； 当70200x ≤≤，*N x ∈时26400208064001001016001480W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴.2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）①当070x <<，*N x ∈时 221160600(60)120022W x x x =-+-=--+ ∴当60x =时，y 取得最大值，最大值为1200万元.②当70200x ≤≤，*N x ∈时6400148014801320W x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当6400x x =，即80x =时，y 取得最大值1320∵13201200>∴当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.22．【答案】(1)选择()20y ax bx c a =++≠，理由见解析(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元(3)k ≥【分析】(1)由表格数据分析变量x 与变量y 的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为()17010210x k x -+≤-，由条件可得()min 17010210x k x ⎡⎤-+≤⎢⎥-⎣⎦，利用函数的单调性求()17010210y x x =-+-的最小值，由此可得k 的取值范围． （1）由题表知，随着时间x 的增大，y 的值随x 的增大，先减小后增大，而所给的函数(0)y ax b a =+≠ ()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠和(0)a y b a x =+≠在(0,)+∞上显然都是单调函数，不满足题意，故选择()20y ax bx c a =++≠．（2）得42102,36678,40020120,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩∴当10x =时，y 有最小值，且min 70y =．故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元．（3）令()()()1701010210f x g x x x x ==-+--(10,)x ∞∈+因为存在()10,x ∈+∞，使得不等式()0g x k -≤成立则()min k g x ≥．又()()17010210g x x x =-+-在(10,10+上单调递减，在()10++∞上单调递增 ∴当10x =+()g x取得最小值，且最小值为(10g +=∴k ≥23．【答案】ABD【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给a 赋值，判断选项.【详解】当0a =时()2x f x =，图象A 满足； 满足；图象C 过点()0,1，此时0a =，故C 不成立.故选：ABD【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.24．【答案】2ln2 1024【详解】当t=0.5时,y=2,∴2=12e k ,∴k=2ln 2,∴y=e 2t ln 2 当t=5时,y=e 10ln 2=210=1 024.25．【答案】1 1212【详解】S ＝(4＋x) 32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－22x ＋x ＋12＝－12 (x 2－2x)＋12＝－12 (x －1)2＋252. 当x ＝1时，S max ＝252,故填1和252.。
人教A版(2019)高中数学必修第一册4.2.1指数函数的概念课件
指数函数的概念
一般地，函数yy＝＝aaxx(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中xx 是自变量，函数的定
义域是_R__. 思考：指数函数定义中为什么规定 a 大于 0 且不等于 1?
1)若a 1, y ax恒为1，对于函数来说没有研究意义 2)若a 0,当x为偶数时，y 0；当x为奇数，y 0; 而当x 1 , y ax没有意义
f (3) 1 1
例２（1）在问题１中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来 1000元门票之外的收入，Ａ地景区的门票价格为150元，比较这15 年间Ａ，Ｂ两地旅游收入变化情况．
解：（1）设经过x年，游客给A, B两地带来的收入为f (x), g(x)
f (x) (10x 600)1150; g(x) 1000 2781.11x
都难以看出变化规律．
我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过 对Ｂ地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？
增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量． 求年增加量用减法，求年增长率，可以用除法
结果表明，Ｂ地景区的游客人次的年 增长率都约为0.11是一个常数．
这时游客给Ａ地带来的收入和Ｂ地差不多；此后，f（x）＜g（x）， 游客给Ｂ地带来的收入超过了Ａ地；由于g（x）增长得越来越快，在 2015年，Ｂ地的收入已经比Ａ地多347303万元了．
例2、（2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体碳14内 含量衰减为原来的百分之几
解：（2）设生物死亡x年后，它体内碳14含量为h(x),如果把生物体内碳14
2
3)若a 0, x 0时，y ax恒为0；当x 0，y ax没有意义
概念辨析
是幂函数
1．思考辨析
高一数学必修第一册2019(A版)_4.2.1_指数函数的概念__练习(解析版)
第四章 指数函数与对数函数4. 2.1 指数函数的概念一、选择题1．（2019·全国高一课时练习）下列函数中指数函数的个数是（ ）．①23x y =⋅ ② 13x y += ③ 3x y = ④ 3y x = A. 0B.1C.2D.3 【答案】B【解析】形如()01x y a a a =>≠且 的函数称为指数函数.2．（2019·全国高一课时练）若()3412x --有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x R ∈ B ．12x ≠C ．12x ≤D ．12x < 【答案】D【解析】因为()3412x --=，所以120x ->即12x <，故应选D. 3．（2019·全国高一课时练）一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m 倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( )A ．B ．C ．－1D ．－1【答案】D【解析】设平均增长率为x,则由题意得(1+x )11=m ,解之得x =√m 11−1 故选D4.（2019·全国高一课时练）函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有（ ）A ．a ＝1或a ＝2B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a>0且a≠1 【答案】C【解析】函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数,根据指数函数的定义得到a 2－3a ＋3=1，且a>0,解得a=1或2，因为指数函数的底数不能为1，故结果为2.故答案为：C. 5．（2019·四川高考模拟）已知函数()21,33,3xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，则()()2f f -的值为（ ）A ．81B ．27C ．9D ．19【解析】()21293f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，∴()()()229981f f f -===.故选A. 6．（2019·北京高考模拟）放射性物质的半衰期T 定义为每经过时间T ，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质A ，B ，开始记录时容器中物质A 的质量是物质B 的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，已知物质A 的半衰期为7.5小时，则物质B 的半衰期为（ ） A ．10 小时B ．8 小时C ．12 小时D ．15 小时 【答案】B 【解析】由题意得1207.5=16．又不妨设m B ＝1．则m A ＝2． 设物质B 的半衰期为t ．由题意可得：21201611()()22t ⨯=，解得t ＝8．故选：B ． 二、填空题7．（2019·全国高一课时练）已知函数f (x )＝()2,3{1,3x x f x x ≥+< 则f (2)＝________. 【答案】8【解析】f (2)＝f (3)＝23＝8.故答案为88．（2019·全国高一课时练）已知321,a b +=a b=__________.3222223333,3a a b a b a b a b a+-+⋅===因为321,a b +=所以3122a b +=，a b=9．（2019·陕西高考模拟（理））已知函数x y e =的值域为集合A ，集合{|23}B x x =-<<，则AB = 【答案】{|2}x x >-【解析】由题得A=(0,+∞)，所以{}2A B x x ⋃=-.故选：C 10.（2019·全国高一课时练）一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/ml,在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为保障交通安全,法律规定,驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.08mg/ml ．那么此人至少过 小时才能开车(精确到1小时)．【解析】设x 小时后，血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL ，则有0.3×(34)x ≤0.08，即(34)x ≤830,一一取x=1，2，3，…进行估算或取对数计算得5小时后，可以开车三、解答题12．已知指数函数y =g(x)满足g(3)=8，定义域为R 的函数f(x)=g(x)−g(−x)．(1)求y =g(x)y =f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)的奇偶性；【答案】（1）f(x)=2x −2−x ；（2）见解析；【解析】【详解】解：(1)根据题意，函数y =g(x)为指数函数，设g(x)=a x ，若g(3)=8，则a 3=8，解可得a =2，则g(x)=2x ，f(x)=g(x)−g(−x)=2x −2−x ，(2)由(1)的结论，f(x)=2x −2−x ，则f(−x)=2−x −2x =−(2x −2−x )=−f(x)，函数f(x)为奇函数；12．（2019·广东高一期末）已知函数f （x ）=a x （a ＞0且a≠1）的图象过的（-2，16）． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）若f （2m+5）＜f （3m+3），求m 的取值范围．【答案】（1）f （x ）=x14； （2）m ＜2. 【解析】（1）∵函数f （x ）=a x （a ＞0且a≠1）的图象过点（-2，16），∴a -2=16∴a=14，即f （x ）=x 14， （2）∵f （x ）=x 14为减函数，f （2m+5）＜f （3m+3）， ∴2m+5＞3m+3，解得m ＜2．。
人教版A版(2019)高中数学必修第一册： 第四章 指数函数与对数函数 综合测试(附答案与解析)
第四章综合测试
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的）
1.已知集合 M = x | x ＜3 ， N = x | log3 x＜1 ，则 M N 等于（ ）
A.
B.x | 0＜x＜3
在
R
上有最大值，则
a
的
取值范围为（ ）
A.
−
2 2
,
−
1 2
B.
−1,
−
1 2
C.
−
2 2
,
−
1 2
D.
−
2 2
,
0
0,
1 2
11.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基 础上，每年投入的研发资金比上一年增加 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 （参考数据： lg1.12 0.05,lg1.3 0.11,lg 2 0.30 ）（ ）
【解析】 Q f (x) = log2 (ax −1) 在 (−3, −2) 上为减函数，
a＜0 且 ax −1＞0 在 (−3, −2) 上恒成立，−2a −1≥0 ，
a≤ − 1 . 2
又
g(
x)
在
R
上有最大值，且
g
(x)
在
−,
1 2
上单调递增，
g
(
x)
在
1 2
,
+
上单调递减，且
log
，当
log z
x
=
2020-2021学年高一数学同步专练(人教A版2019必修1)-专题4.2 指数函数
所以b＜0.故选：D.
4．（2020·陆良县联办高级中学高一开学考试）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】要是函数有意义须满足 ，即 ，解得 ，
因此，函数 的定义域为 .故选：C.
5．（2020·内蒙古集宁一中高二月考（文））若a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是()
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·全国高一课时练习）若函数 （ 是自变量）是指数函数，则 的取值范围是（）
此时 ，即点P的坐标为(－1，5).故选：A.
3．（2020·全国高一课时练习）函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（）
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
【答案】D
【解析】由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，
当x<0时，y>1；
当x>0时，0<y<1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
2.常用结论
（1）画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)， .
（2）在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.
2019-2020学年人教A版高中数学必修一教学课件：习题课4指数函数 .ppt
()
A．(0,1)
B．(2,1)
C．(－2,0)
D．(－2,1)
解析：∵函数y＝ax的图象过定点(0,1)，∴y＝ax＋2的图象
过定点(－2,1)．
答案：D
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3．已知1πa＞1πb，则 a，b 的大小关系是(
)
2
x－3
1 ＋(－1)＋3
1
·y2
1 ＋2
1 －6
＝2254x－34
5
y6
.
(2)原式＝94－12 －3× 21－1＋1＝32－1－3( 2＋1)＋1＝32－
3 2－2＝－34－3 2.
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指数函数图象的变换
画出函数y＝2|x－1|的图象，并根据图象写出这个函 数的对称轴、单调区间和值域．
2
(1)(5x－3
1
y2
)·－14x－1y12
·－65x13
1
y－6
；
(2)241－21 －3( 2－1)－1＋π0.
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解：(1)原式＝5×－14×－56·
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解决指数函数性质的综合问题应关注两点 (1)指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单 调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的 函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数 单调性的定义． (2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函 数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义 和性质．
2019高中数学 习题课4 指数函数练习 新人教A版必修1
习题课(四) 指数函数(时间：45分钟 满分：75分)一、选择题(每小题5分，共30分) 1．下列各式中成立的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n 7＝m 7n 17 B ．12－4＝ 3－3C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34 D ．39＝33解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫m n 7＝m 7n7＝m 7n －7≠m 7n 17 ； 12－4＝1234＝33≠ 3－3；4x 3＋y 3＝(x 3＋y 3)14 ≠(x ＋y )34 ； 39＝(32)13 ×12 ＝313 ＝33.故选D.答案：D2．已知f (x )＝a －x(a ＞0且a ≠1)，且f (－2)＞ f (－3)，则a 的取值范围是( ) A ．0＜a ＜1 B ．a ＞1 C.12＜a ＜1 D ．a ＞0解析：∵f (－2)＝a 2，f (－3)＝a 3，f (－2)＞ f (－3)， 即a 2＞a 3， 故0＜a ＜1.故选A. 答案：A3．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)的图象的大致形状是( )解析：当x ＞0时，y ＝a x(0＜a ＜1)，由此可以画出函数在y 轴右侧的图象．当x ＜0时，y ＝－a x (0＜a ＜1)．另外，函数y ＝－a x 与y ＝a x 的图象关于x 轴对称．由此可以画出函数在y 轴左侧的图象，故选D.答案：D4．已知1＞n ＞m ＞0，则指数函数①y ＝m x ；②y ＝n x的图象是( )解析：由1＞n ＞m ＞0可知两曲线应为递减的曲线，故排除A ，B ，再由n ＞m 可知应选C.答案：C5．函数f (x )＝a x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax (a ＞0且a ≠1)是( )A ．奇函数也是偶函数B ．偶函数C ．既非奇函数也非偶函数D ．奇函数解析：∵函数f (x )定义域(－∞，＋∞)关于原点对称，且f (－x )＝a －x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x ＝a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x＝f (x )(a ＞0，且a ≠1)，∴f (x )为偶函数，故选B.答案：B6．已知f (x )的定义域是[1,5]，则函数y ＝f x －2x－4的定义域是( )A ．[1,3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3C ．[2,3)D ．(2,3]解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x －1≤5，2x－4＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤3，x ＞2，∴2＜x ≤3，故选D. 答案：D二、填空题(每小题5分，共20分)7．指数函数f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)的图象经过(2,4)点，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (4)＝______.解析：∵4＝a 2，∴a ＝2，∴f (x )＝2x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (4)＝212 ×24＝16 2.答案：16 28．计算：0.25×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－4－4÷20－⎝ ⎛⎭⎪⎫116－12 ＝________.解析：原式＝14×16－4÷1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝4－4－4＝－4.答案：－49．三个数⎝ ⎛⎭⎪⎫3737 、⎝ ⎛⎭⎪⎫3747 、⎝ ⎛⎭⎪⎫4737 中，最大的是______，最小的是______． 解析：∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫37x在R 上是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3737 ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫3747 ， 又函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫37x 的图象在y 轴右侧始终在函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫47x的图象的下方，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4737 ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫3737答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫4737 ⎝ ⎛⎭⎪⎫374710．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，通过平移变换和翻折变换可得如图(1)所示的图象，则由图可知1＜2a ＜2，即12＜a ＜1，与a ＞1矛盾．当0＜a ＜1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图(2)所示的图象，则由图可知1＜2a ＜2，即12＜a ＜1，即所求．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 三、解答题11．(本小题满分12分)化简求值：(1)(7＋43)12 －2716 ＋1634 －2×(8－23 )－1＋52×(4－25 )－1. (2)23a ÷46a ·b ×3b 3.解：(1)原式＝[(2＋312 )2]12 －(33)16 ＋(24)34 －2×[(23)－23 ]－1＋215 ×(22)25 ＝2＋312 －312 ＋23－2×22＋215 ×245 ＝4.(2)原式＝2a 13 ÷(4a 16 b 16 )×(3b 32 ) ＝12a 13 －16 b －16 ·3b 32 ＝32a 16b 43 . 12．(本小题满分13分)已知定义在实数集R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求函数f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)判断f (x )在(0,1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f (x )＝λ在(－1,1)上有实数解？ 解：(1)∵f (x )是x ∈R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1) f (－x )＝2－x4＋1＝2x4＋1＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 4x＋1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x4x ＋1，x ∈－1，，0，x ＝0，2x 4x＋1，x ∈，(2)设0＜x 1＜x 2＜1.f (x 1)－f (x 2)＝x 1－2x 2＋x 1＋2x 2－2x 2＋2x 1x 1＋x 2＋＝x 1－2x 2－2x 1＋x 2x 1＋x 2＋，∵0＜x 1＜x 2＜1，∴2x 1＜2x 2，2x 1＋x 2＞20＝1，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x )在(0,1)上为减函数． (3)∵f (x )在(0,1)上为减函数，∴2141＋1＜f (x )＜2040＋1，即f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12. 同理，f (x )在(－1,0)上时，f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25.又f (0)＝0，当λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25∪⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12.或λ＝0时，方程f (x )＝λ在x ∈(－1,1)上有实数解．。
高中数学人教A版(2019)必修第一册 4.2 指数函数 课时2题组训练 习题
课时2 指数函数及其性质的应用题组一 基本应用1.(8分)要得到函数y=23-x 的图象，只需将函数y=(12)x的图象( )A.向右平移3个单位B.向左平移3个单位C.向右平移8个单位D.向左平移8个单位2.(8分)若定义运算a ☉b={a ，a <b ，b ，a ≥b ，则函数f (x )=3x ☉3-x 的值域是( )A.(0，+∞)B.[1，+∞)C.(0，1]D.(-∞，0)∪[1，+∞)3.(8分)设a=40.9，b=80.48，c=(12)-1.5，则( )A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b 4.(8分)设函数f (x )=a -|x|(a>0，且a ≠1)，若f (2)=4，则( )A.f (-2)>f (-1)B.f (-1)>f (-2)C.f (1)>f (2)D.f (-2)>f (2)5.(8分)若函数f (x )=a -12x +1为奇函数，则实数a=( )A.0B.1C.12D.14 6.(8分)设函数f (x )={x +1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )+f (x -12)>1的x 的取值范围是( )A.(-14，1)B.(-14，+∞)C.(-12，14)D.(-12，1) 题组二 综合应用7.(8分) 已知函数f (x )=(12)|x -1|，则函数f (x )的单调递增区间是( )A.[1，+∞)B.(-∞，1]C.(-∞，-1]D.[-1，+∞)8.(8分)已知f (x )=3x -b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则函数f (x )的值域是( )A.[9，81]B.[3，9]C.[1，9]D.[1，+∞) 9.(8分)不等式2x >(12)x -x 2的解集为( )A.(-∞，0)∪(2，+∞)B.(-∞，0)∪(0，+∞)C.[0，2]D.(0，2)10.(8分)若不等式2-x +a+1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.[-1，+∞)B.(-∞，-1]C.(-1，+∞)D.(-∞，-1)11.(8分)若函数f(x)={a x，x>1，(4-a2)x+2，x≤1是R上的增函数，则实数a的取值范围为()A.(1，+∞)B.(1，8)C.(4，8)D.[4，8)12.(12分)已知函数f(x)=(13)ax2-4x+3.(1)若a=-1，求函数f(x)的单调递增区间；(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值.参考答案1.A 解析：本题考查指数函数图象的平移.因为y=23-x =(12)x -3，所以y=(12)x 的图象向右平移3个单位得到y=23-x 的图象.2.C 解析：本题考查分段函数的值域.当x>0时，3x >3-x ，f (x )=3-x ，f (x )∈(0，1)；当x=0时，f (x )=3x =3-x =1；当x<0时，3x <3-x ，f (x )=3x ，f (x )∈(0，1). 综上可知，函数f (x )的值域是(0，1].3.D 解析：本题考查指数幂比大小.a=40.9=21.8，b=80.48=21.44，c=(12)-1.5=21.5，因为y=2x 在R 上是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，即a>c>b .4.A 解析：本题考查指数函数单调性.由题意可得f (2)=a -2=4，a=12，f (x )=(12)-|x|=2|x|，则f (-2)>f (-1).5.C 解析：本题考查函数的奇偶性.因为f (x )是奇函数，所以f (0)=0，即a -120+1=0，解得a=12，经检验符合题意.6.B 解析：本题考查指数函数性质的应用.当x ≤0时，原不等式为x+1+x+12>1，解得x>-14，所以-14<x ≤0；当0<x ≤12时，原不等式为2x +x+12>1，显然成立.当x>12时，原不等式为2x +2x -12>1，显然成立.综上可知，x>-14.7.B 解析：本题考查分段函数的单调区间.f (x )=(12)|x -1|={(12)x -1，x ≥1，(12)1-x ，x <1，画出函数f (x )的图象，如图所示，即函数f (x )的单调递增区间为(-∞，1].8.C 解析：本题考查复合函数的值域.由题意可知f (2)=1，即32-b =1，解得b=2，即f (x )=3x -2，又因为2≤x ≤4，故0≤x -2≤2，所以f (x )∈[1，9]，故函数f (x )的值域为[1，9].9.D 解析：本题考查利用指数函数的单调性解不等式.∵(12)x -x 2=2x2-x 且函数y=2x 在R 上单调递增， ∴原不等式可转化为x>x 2-x ，即x 2-2x<0，∴解集为(0，2).10.A 解析：本题考查指数函数性质的应用.原不等式可化为(12)x >-a -1，由于(12)x >0，所以要使原不等式对x ∈R 恒成立，只需-a -1≤0，即a ≥-1.11.D 解析：本题考查利用指数函数性质求参数的范围.因为f (x )在R 上是增函数，故结合图象(图略)知{ a >1，4-a 2>0，4-a 2+2≤a ，解得4≤a<8. 12.解析：本题考查符合函数的单调性和最大值.(1)当a=-1时，f (x )=(13)-x2-4x+3，令函数g (x )=-x 2-4x+3=-(x+2)2+7，∵函数g (x )在(-2，+∞)上单调递减，y=(13)x 在R 上是减函数，∴f (x )在(-2，+∞)上是增函数，∴函数f (x )的单调递增区间是(-2，+∞).(2)令函数h (x )=ax 2-4x+3，f (x )=(13)h (x )， ∵函数f (x )有最大值3，∴函数h (x )应有最小值-1，∴必有{a >0，12a -164a=-1，解得a=1， 即当函数f (x )有最大值3时，实数a 的值为1.。
4.2指数函数(一)—基础练习-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册同步练习
2) 若空气中一氧化碳浓度不高于 0.5 ppm 为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能 达到正常状态？
19．已知函数 f (x) bax (a ， b 为常数且 a 0 ， a 1) 的图象经过点 A(1,8) ， B(3,32) （1）试求 a ， b 的值；
4.2 指数函数（一）
一、单选题
1．若函数 f (x) (1 a 3)ax 是指数函数，则 f (1) 的值为 (
)
2
2
A．2
B． 2 2
C． 2 2
D． 2
2．函数 f (x) 1 2x 1 的定义域为 (
)
x3
A． (3 ， 0]
B． (3 ，1]
C． ( ， 3) (3 ， 0]
D． ( ， 3) (3 ，1]
14．函数 f (x) 3x 5 的值域是 ．
15．已知
y
f (x) 是定义在 R
上的奇函数，且当 x 0 时，
f (x)
1 4x
1 2x
，则当 x 0 时，
f
(x)
f (x) 的值域为 ．
；函数
16．已知函数
f
x
a x ，x 1
2 3a x 1,x
1
（1）若函数 f (x) 在 ( ，1] 上为减函数，则实数 a 的取值范围是 ；
A．10 天
B．15 天
C．19 天
6．已知
a
1.50.2
，
b
1.30.01
，
c
(
2
1
)3
，则
(
)
3
A． b c a
B． a b c
4.2指数函数-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课时练习
25. 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝2x＋2x＋b(b 为常数)，则 f(－1)＝________.
26. 函数
A.
h
t
在区间 h 上是单调减函数，则实数 的取值范围是（
）
B.
C.
D.
27. 若对任意
h ，都有
h < h 成立，则 的取值范围是（ ）
A.
h
B. h
4.2 指数函数
一．指数函数的概念
1. 下列函数中，指数函数的个数是________． ①y＝2· ；②y＝ th；③y＝ ；④y＝ .
2. （多选）若指数函数 = h
（
且 h）是指数函数，则下列说法正确的
是（ ）
A.
B.
−
C.
h=
D.
3. 若指数函数 的图象经过点（2，9），则 − h =________．
14. 已知函数
的定义域为 R，则实数 的取值范围是________．
15. 函数 y＝ 16－4x的值域是________．
16. 已知函数
t，则函数
h
的值域为________．
17. 设 h，函数
t h 在区间 h 上的最大值与最小值之差为 2，则 的值为________．
第2页
五．指数型复合函数的性质及其应用
对称
第1页
8. 如图是指数函数 ①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx 的图象，则 a、b、c、d 与 1 的大小关系是________．
三．指数型函数的单调性及其应用
9.
已知
a＝
3 5
1 3
，b＝
3 5
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习题课(四) 指数函数
(时间：45分钟 满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共30分) 1．下列各式中成立的是( ) A.⎝⎛⎭⎫m n 7＝m 7n 1
7 B ．
12
(－3)4＝ 3
－3
C.4
x 3
＋y 3
＝(x ＋y )3
4
D ．
39＝3
3
解析：⎝⎛⎭⎫m n 7＝m 7
n
7＝m 7n －7≠m 7n 1
7 ； 12(－3)4＝
12
34＝3
3≠ 3－3；
4
x 3
＋y 3
＝(x 3
＋y 3)1
4
≠(x ＋y )3
4 ；
3
9＝(32)1
3
×
12 ＝313
＝3
3.故选D.
答案：D
2．已知f (x )＝a －
x (a ＞0且a ≠1)，且f (－2)＞ f (－3)，则a 的取值范围是( )
A ．0＜a ＜1
B ．a ＞1 C.1
2
＜a ＜1 D ．a ＞0
解析：∵f (－2)＝a 2，f (－3)＝a 3，f (－2)＞ f (－3)， 即a 2＞a 3， 故0＜a ＜1.故选A. 答案：A
3．函数y ＝xa x
|x |
(0＜a ＜1)的图象的大致形状是( )
解析：当x ＞0时，y ＝a x (0＜a ＜1)，由此可以画出函数在y 轴右侧的图象．当x ＜0时，y ＝－a x (0＜a ＜1)．另外，函数y ＝－a x 与y ＝a x 的图象关于x 轴对称．由此可以画出函数在y 轴左侧的图象，故选D.
答案：D
4．已知1＞n ＞m ＞0，则指数函数①y ＝m x ；②y ＝n x 的图象是( )
解析：由1＞n ＞m ＞0可知两曲线应为递减的曲线，故排除A ，B ，再由n ＞m 可知应
选C.
答案：C
5．函数f (x )＝a x ＋⎝⎛⎭⎫1a x
(a ＞0且a ≠1)是( ) A ．奇函数也是偶函数 B ．偶函数 C ．既非奇函数也非偶函数
D ．奇函数
解析：∵函数f (x )定义域(－∞，＋∞)关于原点对称，且f (－x )＝a －x ＋⎝⎛⎭⎫1a －x ＝a x ＋⎝⎛⎭⎫1a x ＝f (x )(a ＞0，且a ≠1)，∴f (x )为偶函数，故选B.
答案：B
6．已知f (x )的定义域是[1,5]，则函数y ＝f (2x －1)2x －4的定义域是( )
A ．[1,3] B.⎣⎡⎦⎤
32，3 C ．[2,3)
D ．(2,3]
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤2x －1≤5，2x －4＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧
1≤x ≤3，x ＞2，
∴2＜x ≤3，故选D. 答案：D
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．指数函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象经过(2,4)点，那么f ⎝⎛⎭⎫
12·f (4)＝______. 解析：∵4＝a 2，∴a ＝2，
∴f (x )＝2x
，f ⎝⎛⎭
⎫12·f (4)＝21
2 ×24＝16 2. 答案：16 2
8．计算：0.25×⎝⎛⎭⎫－12－4－4÷20－⎝⎛⎭⎫116－1
2 ＝________. 解析：原式＝1
4×16－4÷1－⎝⎛⎭⎫14－1＝4－4－4＝－4. 答案：－4
9．三个数⎝⎛⎭⎫373
7 、⎝⎛⎭⎫374
7 、⎝⎛⎭⎫473
7 中，最大的是______，最小的是______． 解析：∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫37x
在R 上是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫373
7 ＞⎝⎛⎭
⎫374
7 ， 又函数y ＝⎝⎛⎭⎫37x
的图象在y 轴右侧始终在函数y ＝⎝⎛⎭⎫47x 的图象的下方， ∴⎝⎛⎭⎫473
7 ＞⎝⎛⎭⎫373
7 答案：⎝⎛⎫473
7 ⎝⎛⎭
⎫374
7 10．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．
解析：当a ＞1时，通过平移变换和翻折变换可得如图(1)所示的图象，则由图可知1＜2a ＜2，即1
2＜a ＜1，与a ＞1矛盾．当0＜a ＜1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图
(2)所示的图象，则由图可知1＜2a ＜2，即1
2
＜a ＜1，即所求．
答案：⎝⎛⎭⎫
12，1 三、解答题
11．(本小题满分12分)化简求值： (1)(7＋4
3)1
2
－271
6
＋1634 －2×(8－2
3
)－1
＋5
2×(4
－
2
5
)－
1.
(2)23a ÷46a ·b ×3b 3.
解：(1)原式＝[(2＋312 )2]1
2
－(33)1
6
＋(24)34 －2×[(23)－
2
3
]－1
＋215
×(22)2
5
＝2＋312 －312
＋23－2×22
＋215
×245
＝4.
(2)原式＝2a 1
3
÷(4a 16
b 16
)×(3b 3
2 )
＝12a 13 －16 b －1
6 ·3b 3
2 ＝32
a 1
6 b 43 .
12．(本小题满分13分)已知定义在实数集R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x
4x ＋1
.
(1)求函数f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)判断f (x )在(0,1)上的单调性；
(3)当λ取何值时，方程f (x )＝λ在(－1,1)上有实数解？ 解：(1)∵f (x )是x ∈R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1) f (－x )＝2
－x
4－x ＋1＝2x
4x ＋1
＝－f (x )，
∴f (x )＝－2
x 4x
＋1
，∴f (x )＝⎩⎨⎧
－2x
4x ＋1
，x ∈(－1，0)，0，x ＝0，
2
x 4x
＋1，x ∈(0，1).
(2)设0＜x 1＜x 2＜1.
f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－2x 2)＋(2x 1＋2x 2－2x 2＋2x 1)
(4x 1＋1)(4x 2＋1)
＝(2x 1－2x 2)(1－2x 1＋
x 2)(4x 1＋1)(4x 2＋1)
，
∵0＜x 1＜x 2＜1，∴2x 1＜2x 2，2x 1
＋x 2
＞20＝1，
∴f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x )在(0,1)上为减函数． (3)∵f (x )在(0,1)上为减函数，
∴2141＋1＜f (x )＜20
40＋1，即f (x )∈⎝⎛⎭⎫25，12. 同理，f (x )在(－1,0)上时，f (x )∈⎝⎛⎭⎫－12，－2
5. 又f (0)＝0，当λ∈⎝⎛⎭⎫－12
，－25∪⎝⎛⎭⎫25，1
2. 或λ＝0时，方程f (x )＝λ在x ∈(－1,1)上有实数解．
END。