题型技法点拨-快得分系列之(一)三法定乾坤-谈充要条件的判定
判断充分、必要条件的常用方法
判断充分、必要条件问题是每年高考中的必考问题.此类问题常与函数、不等式、圆锥曲线等知识相结合，通常难度不大.解答此类问题，同学们需熟练掌握常用逻辑用语以及判断充分、必要条件的方法.下面主要谈一谈判断充分、必要条件的三种常用方法.一、定义法定义法是判断充分、必要条件的基本方法.对于命题“若p ，则q ”，如果p ⇒q ，那么p 就是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.对于一些比较简单的问题，可直接运用定义法，根据充分、必要条件的定义来进行判断.例1.已知p ：-2<m <0,0<n <1，q ：关于x 的方程x 2+mx +n =0有两个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.解：设x 1，x 2是方程x 2+mx +n =0的两个小于1的正根，即0<x 1<1，0<x 2<1，则0<x 1+x 2<2，0<x 1∙x 2<1，由韦达定理可得-2<m <0，0<n <1，从而可得q ⇒p .而当m =-1，n =12时，方程x 2-x +12=0无实根，所以p q .综上可知p 是q 的必要不充分条件.要解答本题，我们需根据条件q 中给出的信息，利用韦达定理求得m ，n 的取值范围，然后讨论条件p 、q 之间的关系，再采用定义法，根据充分、必要条件的定义来进行判断.二、集合法若使p 成立的对象构成的集合为A ，使q 成立的对象构成的集合为B ，则集合A 、B 与充分、必要条件的关系为：（1）若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；（2）若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；（3）若A =B ，则p 是q 的充要条件.运用集合法，可以将有关充分、必要条件的问题转化为集合间的关系问题，通过判断集合之间的包含、真包含、相等关系来判断命题的充要性、必要性.例2.已知p :||||||1-x -13≤2，q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0)，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.解：由||||||1-x -13≤2得-2≤x ≤10，所以¬p 对应的集合为{}x |x >10或x <-2，设A ={}x |x >10或x <-2.由x 2-2x +1-m 2≤0(m >0)，可得1-m ≤x ≤1+m (m >0)，所以¬q 对应的集合为{}x |x >m +1或x <1-m ,m >0，设B ={}x |x >m +1或x <1-m ，m >0.因为¬p 是¬q 的必要不充分条件，所以B ⊆A ，所以ìíîm >0，1-m ≤-2，1+m ≥10，解得m ≥9，所以实数m 的取值范围为[9,+∞）.当命题中的条件与结论都能够用集合来表示的时候，我们就可以运用集合法来判断充分、必要条件.集合法多适用于解答命题中涉及解集的包含或者相等问题.三、等价转化法等价转化法是指运用一个命题与其逆否命题的等价性，把原命题转化为逆否命题，然后再进行判断.当难以按判断原命题的真假时，就可以采用等价转化法，转化思路，判断其逆否命题的真假.例3.设p ：||||x -1-2<1，q ：x -2x 2+x -2>0，试证明¬p 是¬q 的必要不充分条件.证明：设命题p ，q 对应的集合分别为P ，Q ，则P ={}x |-2<x <0,或2<x <4，Q ={}x |-2<x <1,或x >2，因为P ⊄Q ，所以q 是p 的必要不充分条件，所以¬p 是¬q 的必要不充分条件.由于原命题与其逆否命题等价，逆命题与其否命题等价，因此对于一些否定性的命题，可先将其转化为等价命题，再进行判断.该方法体现了等价转化的思想，运用该方法解题，有利于培养思维的灵活性.相比较而言，定义法较为简单，定义法和集合法比较常用，而等价转化法较为复杂，对同学们的逻辑思维能力的要求较高.因此在，判断充分、必要条件时，可先尝试运用定义法、集合法，若解题受阻，再考虑运用等价转化法.（作者单位：江苏省大丰高级中学）考点透视36。
高考数学复习点拨 解析充要条件的三种常用判断方式
1 / 1解析充要条件的三种常用判断方式1.利用集合间的相互关系进行判断．若一个命题的条件和结论所描述的对象形成一个集合，则可用集合间的相互关系来判定充分条件，必要条件．设P ，Q 分别为命题p,q 所描述的对象形成的集合． (1).若q p Q P 是则称,⊆的充分条件． (2).若P Q ⊆，则称p 是q 的必要条件． (3).若P Q ⊂，则称p 是q 的必要非充分条件． (4) .若Q P ⊂,则称p 是q 的充分非必要条件． (5).若Q P =，则称p 是q 的充要条件．(6).若φ=⋂Q P ，则称p 是q 成立的既不充分也不必要条件． (7).若A B ,⊆⊆且B A ，则称p 是q 成立的既不充分也不必要条件． 例１． 条件A ：()()014B ,041≥-+≥+-x x x x ：结论，则判断条件是结论的什么条件． 解：由于A 的解集是：M ＝(][)+∞⋃-∞-,14,，而B 的解集是：N=(]()+∞⋃-∞-,14,，显然N ⊂M ，于是A 是B 的必要非充分条件．2.利用互为逆否命题的等价性进行判断．由于互为逆否命题是相互等价的，当我们正面对命题进行判断较为困难时，可将其转化为逆否命题来判断．例3．,:,:B A x q B x A x p ⋂∉∉∉或的是说明q p 什么条件．解：原命题等价于判断B x A x p B A x q ∈∈⌝⋂∈⌝且是::的什么条件． 易见：B A x B x A x B x A x B A x ⋂∈⇒∈∈∈∈⇒⋂∈且及 且,，故p q p q ⌝⌝⌝⇔⌝是即的充要条件．所以p 是q 的充要条件． 例4．,5:,23:≠+≠≠y x q y x p 且的是说明q p 什么条件． 解：原命题等价于判断23:5:==⌝=+⌝y x p y x q 或是的什么条件． 显然.,q p p q ⌝⇒⌝⌝⇒⌝所以p 是q 的既不充分也不必要条件． ３．利用真值表进行判断．我们首先给出关于命题p 和q 的真值表．pqq p 或q p 且p ⌝真 假 真 假 假 假 真 真 假 真 假 假 假 假 真 真真真真真由于复合命题是由简单命题与逻辑联结词“或” ，“且”，“非”等构成的，因此利用真值表进行判断充要条件时，关键是能够将一个复合命题写成用逻辑联结词“或” ，“且”，“非”连接的与之等价的复合命题的形式．例5．判断命题0>x 是0≥x 的什么条件．解： ,000=>≥x x x 或即由真值表知：p 真q p 或⇒真，但q p 或真p ⇒真． 0>x 0≥⇒x ，但00>⇒≥x x ．故0>x 是0≥x 的充分不必要条件． 例6．判断命题22b a ≠是b a b a -≠≠或的什么条件．解：.22b a b a b a -≠≠≠且即由真值表知：真或真，但或真真且q p q p p q p ⇒⇒b a b a b a q p -≠≠≠∴⇒或是真． 且22的充分不必要条件．以上二例紧扣真值表，在判断时要能够剖析命题中所蕴含的逻辑联结词，进而将复合命题分解．。
充分条件、必要条件判断的三种方法
充分条件、必要条件判断的三种方法聂海峰对于充要条件的判断，许多同学感觉困难，下面结合典型例题说明充要条件判断的三种常用方法，供大家参考。
1。
利用定义判断如果已知p q ⇒，则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件。
根据定义可进行判断。
例1. 已知p 、q 都是r 的必要条件,s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么s 是q 的_________条件;r 是q 的_______________条件；p 是q 的____________条件. 解:根据题意可表示为：r p r q s r q s ⇒⇒⇒⇒，，，由传递性可得图1图1所以s 是q 的充要条件；r 是q 的充要条件；p 是q 的必要条件。
2. 利用等价命题判断原命题与其逆否命题是“同真同假"的等价命题,当我们直接判断原命题的真假有困难时，可以转化为判断其逆否命题的真假。
这一点在充要条件的判断时经常用到.由p q ⇒，容易理解p 是q 的充分条件，而q 是p 的必要条件却有点抽象。
p q ⇒与⌝⇒⌝q p 是等价的，可以解释为若q 不成立,则p 不成立，条件q 是必要的。
例2。
已知真命题“若a b ≥则c d ≤"和“若a b <则e f ≤",则“c d ≤”是“e f ≤”的____________条件。
解：“若a b ≥则c d >"的逆否命题为“若c d ≤则a b <"。
又“若a b e f <≤则”所以“若c d e f ≤≤则"为真命题。
故“c d ≤"是“e f ≤”的充分条件。
3. 把充要条件“直观化”如果p q ⇒，我们可以形象地认为p 是q 的“子集”；如果q p ⇒，我们认为p 不是q 的“子集”,根据集合的包含关系，可借助韦恩图说明,现归纳如下。
图2反映了p 是q 的充分不必要条件时的情形。
图3反映了p 是q 的必要不充分条件时的情形。
充分条件与必要条件的四种判定方法
充分条件与必要条件的四种判定方法充分条件与必要条件是逻辑学中的重要概念，用于描述一个命题的条件关系。
充分条件指的是一个条件成立可以推导出另一个条件成立，而必要条件则是一个条件成立可以推导出另一个条件成立。
关于充分条件与必要条件的判定有四种方法，分别是充分性原则、必要性原则、充要条件等价原则和等价条件原则。
首先是充分性原则，充分性原则指的是如果一个命题P蕴含另一个命题Q，也就是P成立可以推导出Q成立，那么就说P是Q的充分条件，或者说Q是P的必要条件。
在判定中，我们可以根据已知的P成立推导出Q成立，以此证明P是Q的充分条件。
其次是必要性原则，必要性原则指的是如果一个命题P成立可以推导出另一个命题Q成立，那么就说P是Q的必要条件，或者说Q是P的充分条件。
在判定中，我们可以根据已知的P成立推导出Q成立，以此证明P是Q的必要条件。
接下来是充要条件等价原则，充要条件等价原则指的是如果两个命题P和Q相互蕴含，也就是P成立可以推导出Q成立且Q成立可以推导出P成立，那么就说P是Q的充要条件。
在判定中，我们可以根据已知的P成立推导出Q成立，并且根据已知的Q成立推导出P成立，以此证明P是Q的充要条件。
最后是等价条件原则，等价条件原则是充分性原则和必要性原则的结合，通过充分性和必要性的双向推导来判定条件关系。
在判定中，我们既要根据已知的P成立推导出Q成立，又要根据已知的Q成立推导出P成立，以此证明P是Q的等价条件。
综上所述，充分条件与必要条件的判定有四种方法，包括充分性原则、必要性原则、充要条件等价原则和等价条件原则。
在使用这些方法进行判定时，需要根据已知的条件进行推导和证明，以确定条件之间的关系。
这些方法在数学推导、逻辑推理以及证明论中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和分析命题之间的条件关系。
判断充要条件的常见思路与方法
｛ ｆ ＋ ＞ ｌ ４ ＇ 是｛ ｆ ＞ ２ ， 一 ， 的 必要 一不 一充 一分 ， 、 条件 ，
。
是 Ｄ 的充 分 条 件 ， 利 用 这 一 结 论 可 根 据 几 个
～ ～ … 一 … … … … … … ’
ｌ ＞４
ｌ Ｙ ＞２
条 件 的关 系 ， 经过 若 干次 的传 递 ， 判 断 两 个 条 件 之 间的依存 关 系 。 已 知 Ｐ 是 Ｒ 的 充 分 不 必 要 条 件
ｓ是 Ｒ 的必要 条 件 ， Ｑ 是 ｓ 的必 要 条 件 。 那 么 Ｐ 足 Ｑ 成 立 的 （ ）
，
。
点评 ： 利 用 定 义 去 判 断 时 要 分 清 条 件 和 结论 ， 如 果 弄反 ， 结 果 也 就 错 了 。 同 学 们 在 这 点上 经常犯 错误 ， 应 该特 别注 意 。
。 。
的 秦 条 件 的 常 见 思 路 进 行 分 时 ， 可 以 转 化 为 判 断 其 逆 否 命 题 的 真 假 。 这 常 学 析 习 ， 希 有 望 所 能 帮 对 助 同 学 们 的 一 点 在 充 要 条 件 的 判 断 时 常 用 到 ， 即 “ Ｐ ｑ ” 与 “一 ｑ — Ｐ” 是 等 价 的 。可 以解 释 为 ： 若 ｑ 见 学 一 、 直 接 利 用 定 义 不 成 立 ， 则 Ｐ 不 成 立 。
判 断
● －
倒 ２ Ｐ： ∈ 壬 Ａ或 ｚ Ｂ， ｑ ： 睡Ａ ｎ
Ｂ
， ，
路 霎 条 件 的 定 义 判 断其 思
与 方 法
陶
直 接 利 用 充 分 必 要
判 断 Ｐ 是 ｑ 的 条 件 。 解 析 ： 原 命 题什 等么 价 于 判 断 一 ｑ： ｚ ∈ Ａ ｎ
充要条件的判断方法
充分条件、必要条件与集合的关系
题 指出下列各题中，p是q的什么条件？ 设集合 A＝{x|x 满足条件 p}，集合 B＝{x|x 满足
（1）p:ax2+ax+1>0的解集是R；q:0<a<4. }， A⊆B， p 是 q 的什么条件？q 是 p 的什么条 若 则 （2）p : x 2 1;q : 6 1. x 5
Байду номын сангаас
变式：设p:A={x|2x2-3x+1≤0}，
q:B={x|x2-（2a+1）x+a（a+1）≤0}，
若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数a的 取值范围.
【规范解答】解2x2-3x+1≤0得 1 x 1.
1 p : A {x | x 1} 2 2
解x2-（2a+1）x+a(a+1)≤0得a≤x≤a+1.
6.充分必要条件的判断
2011陕西
a -b是 a b 的
A
A充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2010山东,设{an}是首项大于零的等比数列， C 则“ a1<a2 ”是“数列{an}是递增数列” 的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件
【解析】（1）由
a 2 4a 0， a 0，
得0<a<4，
此时不等式ax2+ax+1>0的解集为R，可见qp；
当a=0时，易见p成立，可见pq，
所以p是q的必要不充分条件.
（2）p：A={x|1<x<3}，q：B={x|-1<x<5}，AB，
“充要条件”的判断方法
“充要条件”的判断方法“充要条件”是高中数学课程中的重要内容，主要讨论命题的条件与结论之间的逻辑关系. 它不仅是解决数学问题时进行等价转换的逻辑基础，还是后面学习数学推理、数学证明等内容的基础，同时也是高考命题中实现知识交融交汇的重要载体. 因而，掌握“充要条件”的概念以及判断方法显得尤为重要. 本文对判断“充要条件”的几种常用方法加以盘点，仅供参考.定义判断法例1 设[an]是首项为正数的等比数列，公比为[q]，则“[q0]，[q2n-2>0]，∴[a1q2n-2>0].但当[q0]和[a2x2+b2x+c2>0]的解集分别为集合[M]和[N]，试判断“[a1a2=b1b2=c1c2]”是“[M=N]”的什么条件，并说明理由.分析判断一个较抽象、繁难的命题，往往可以尝试反例法（也称特殊值法），即列举一个（或多个）符合命题条件但又与该命题结论相矛盾的例子，从而说明该命题不成立.解由[x2-3x+2>0]与[-x2+3x-2>0]得，[M=（1，2）]，[N=（-∞，1）?（2，+∞）].显然，[a1a2=b1b2=c1c2=-1]，但[M≠N]，故命题的条件不是充分条件.由[x2+2x+2>0]和[x2+2x+3>0]得，[M=N=R]，但[11=22≠23]，不满足[a1a2=b1b2=c1c2]，故命题的条件不是必要条件.综上可知，“[a1a2=b1b2=c1c2]”是“[M=N]”的既不不充分又不必要条件.点拨“以例外证明规律”是一个简便而又实用的方法，通常一个例外足以反驳任何自封为规律或普遍性的命题.判断一个命题为真命题，必须严格证明，但要判断一个命题为假命题，只需举一个反例就行. 换言之，要说明[p]不是[q]的充分条件，只要找到[x0∈xp]，但[x0?xq]即可. 特别的，对于[p]是[q]的不充分或不必要条件类的问题，列举反例是准确、快捷的方法.等价转换法例5 若命题[p：x≠3，或y≠4]，命题[q：x+y≠7]，则[p]是[q]的_______条件.分析题设与结论均为否定形式，加之有逻辑联结词“或”的出现，直接求解往往困难或容易出错，若利用“否定之否定是肯定”这个结论，则问题迎刃而解.解考虑逆否命题：[?q：x+y=7]，[?p：x=3，且y=4].显然，[x+y=7]不能推出[x=3，且y=4]，但[x=3]，且[y=4]可以推出[x+y=7]，即[?q]不能推出[?p]，但[?p]可以推出[?q].所以[p]不能推出[q]，但[q?p].即[p]是[q]的必要不充分条件.点拨当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系（特别是对于否定形式或“[≠]”形式的命题）时，可利用等价转换法来解决. 等价转换法是利用互为逆否的两个命题同真同假的特性，将已知命题转化为等价命题求解，即要判断[p]是[q]的什么条件，只需判断[?q]是[?p]的什么条件即可.充要条件是数学中的一个重要概念，也是高考考查的一个重点内容. 在学习过程中，准确理解定义是基础，正确判断充要关系是重点，熟练应用充要关系解决相关问题是关键. 深刻理解充要条件的意义，掌握充要条件的常用判别方法，不但能有效地进行充要关系的判断与证明，更有助于提升数学逻辑思维能力、推理及论证能力.。
充要条件与反证法(整理好的很详细)
充要条件与反证法●知识梳理1.充分条件：如果p ⇒q ，则p 叫q 的充分条件，原命题（或逆否命题）成立，命题中的条件是充分的，也可称q 是p 的必要条件.2.必要条件：如果q ⇒p ，则p 叫q 的必要条件，逆命题（或否命题）成立，命题中的条件为必要的，也可称q 是p 的充分条件.3.充要条件：如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 叫做q 的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题（或逆否命题和否命题）都成立，命题中的条件是充要的.4.反证法：当直接证明有困难时，常用反证法. ●点击双基＞bc 2是a ＞b 成立的A.充分而不必要条件B.充要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：a ＞b ac 2＞bc 2，如c =0. 答案：A2.（2004年湖北，理4）已知a 、b 、c 为非零的平面向量.甲：a ·b =a ·c ，乙：b =c ，则 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：命题甲:a ·b =a ·c ⇒a ·（b －c ）=0⇒a =0或b =c . 命题乙:b =c ，因而乙⇒甲，但甲乙. 故甲是乙的必要条件但不是充分条件. 答案：B3.（2004年浙江，8）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1sin A ＞21，sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°.∴“A ＞30°”是“sin A ＞21”的必要不充分条件. 答案：B4.若条件p :a ＞4，q :5＜a ＜6，则p 是q 的______________.解析：a ＞45＜a ＜6，如a =7虽然满足a ＞4，但显然a 不满足5＜a ＜6. 答案：必要不充分条件5.（2005年春季上海，16）若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若a ＞0且b 2－4ac ＜0，则对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0，反之，则不一定成立.如a =0，b =0且c ＞0时，也有对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0.因此应选A.答案：A●典例剖析【例1】 使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分而不必要条件是 ＜0 ≥0∈{－1，3，5}≤－21或x ≥3 剖析：∵2x 2－5x －3≥0成立的充要条件是x ≤－21或x ≥3，∴对于A 当x =－31时2x 2－5x －3≥0.同理其他也可用特殊值验证.答案：C【例2】 求证：关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一根为1的充分必要条件是a +b +c =0.证明：（1）必要性，即“若x =1是方程ax 2+bx +c =0的根，则a +b +c =0”.∵x =1是方程的根，将x =1代入方程，得a ·12+b ·1+c =0，即a +b +c =0.（2）充分性，即“若a +b +c =0，则x =1是方程ax 2+bx +c =0的根”.把x =1代入方程的左边，得a ·12+b ·1+c =a +b +c .∵a +b +c =0，∴x =1是方程的根. 综合（1）（2）知命题成立. 深化拓展求ax 2+2x +1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件. 证明：必要性：（1）方程有一正根和一负根，等价于⇒⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=0104421a x x a Δa ＜0. （2）方程有两负根，等价于⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-≥-=0102044aa a Δ0＜a ≤1.综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a ＜0或0＜a ≤1.充分性：由以上推理的可逆性，知当a ＜0时方程有异号两根；当0＜a ≤1时，方程有两负根.故a ＜0或0＜a ≤1是方程ax 2+2x +1=0至少有一负根的充分条件.答案：a ＜0或0＜a ≤1.【例3】 下列说法对不对如果不对，分析错误的原因. （1）x 2＝x ＋2是x 2+x =x 2的充分条件； （2）x 2＝x ＋2是x 2+x =x 2的必要条件.解：（1）x 2=x +2是x 2+x =x 2的充分条件是指x 2=x +2⇒x 2+x =x 2.但这里“⇒”不成立，因为x =－1时，“⇒”左边为真，但右边为假.得出错误结论的原因可能是应用了错误的推理：x 2=x +2⇒x =2+x ⇒x 2=x 2+x .这里推理的第一步是错误的（请同学补充说明具体错在哪里）.（2）x 2=x +2是x 2+x =x 2的必要条件是指x 2+x =x 2⇒x 2=x +2.但这里“⇒”不成立，因为x =0时，“⇒”左边为真，但右边为假.得出错误结论的原因可能是用了错误的推理:x 2+x =x 2⇒2+x =x ⇒x +2=x 2.这里推理的第一步是错误的（请同学补充说明具体错在哪里）.评述：此题的解答比较注重逻辑推理.事实上，也可以从真值集合方面来分析：x 2=x +2的真值集合是{－1，2}，x 2+x =x 2的真值集合是{0，2}，{－1，2}{0，2}，而{0，2} {－1，2}，所以（1）（2）两个结论都不对.●闯关训练 夯实基础1.（2004年重庆，7）已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：依题意有p ⇒r ，r ⇒s ，s ⇒q ，∴p ⇒r ⇒s ⇒q .但由于r p ，∴q p . 答案：A2.（2003年北京高考题）“cos2α=－23”是“α=k π+12π5，k ∈Z ”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：cos2α=－23⇔2α=2k π±6π5⇔α=k π±12π5. 答案：A3.（2005年海淀区第一学期期末练习）在△ABC 中，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：在△ABC 中，A ＞B ⇔cos A ＜cos B （余弦函数单调性）. 答案：C4.命题A ：两曲线F （x ，y ）＝0和G （x ，y ）=0相交于点P （x 0，y 0），命题B ：曲线F （x ，y ）+λG （x ，y ）＝0（λ为常数）过点P （x 0，y 0），则A 是B 的__________条件.答案：充分不必要5.（2004年北京，5）函数f （x ）=x 2－2ax －3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是 ∈（－∞，1］ ∈［2，+∞）C.α∈［1，2］ ∈（－∞，1］∪［2，+∞）解析：∵f （x ）=x 2－2ax －3的对称轴为x =a ，∴y =f （x ）在［1，2］上存在反函数的充要条件为［1，2］⊆（－∞，a ］或［1，2］⊆［a ，+∞），即a ≥2或a ≤1.答案：D6.已知数列{a n }的前n 项和S n =p n+q （p ≠0且p ≠1），求数列{a n }成等比数列的充要条件. 分析：先根据前n 项和公式，导出使{a n }为等比数列的必要条件，再证明其充分条件. 解：当n =1时，a 1=S 1=p +q ；当n ≥2时，a n =S n －S n －1=（p －1）·p n －1. 由于p ≠0，p ≠1，∴当n ≥2时，{a n }是等比数列.要使{a n }（n ∈N *）是等比数列，则12a a =p ，即（p －1）·p =p（p +q ），∴q =－1，即{a n }是等比数列的必要条件是p ≠0且p ≠1且q =－1.再证充分性：当p ≠0且p ≠1且q =－1时，S n =p n－1，a n =（p －1）·p n －1，1n na a =p （n ≥2）， ∴{a n }是等比数列. 培养能力7.（2004年湖南，9）设集合U =｛（x ，y ）｜x ∈R ，y ∈R ｝，A =｛（x ，y ）|2x －y +m ＞0｝，B =｛（x ，y ）|x +y －n ≤0｝，那么点P （2，3）∈A ∩（UB ）的充要条件是＞－1，n ＜5 ＜－1，n ＜5 ＞－1，n ＞5＜－1，n ＞5解析：∵UB =｛（x ，y ）｜n ＜x +y ｝，将P （2，3）分别代入集合A 、B 取交集即可.∴选A.答案：A8.已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x +4=0，① x 2－4mx +4m 2－4m －5=0.②求使方程①②都有实根的充要条件.解：方程①有实数根的充要条件是Δ1=（－4）2－16m ≥0，即m ≤1；方程②有实数根的充要条件是Δ2=（4m ）2－4（4m 2－4m －5）≥0，即m ≥－45. ∴方程①②都有实数根的充要条件是－45≤m ≤1. 9.已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数.求证：三个方程ax 2+2bx +c =0，bx 2+2cx +a =0，cx 2+2ax +b =0至少有一个方程有两个相异实根. 证明：反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1=4b 2－4ac ≤0，Δ2=4c 2－4ab ≤0，Δ3=4a 2－4bc ≤0.相加有a 2－2ab +b 2+b 2－2bc +c 2+c 2－2ac +a 2≤0，（a －b ）2+（b －c ）2+（c －a ）2≤0. ① 由题意a 、b 、c 互不相等，∴①式不能成立.∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根. 探究创新10.若x 、y 、z 均为实数，且a =x 2－2y +2π，b =y 2－2z +3π，c =z 2－2x +6π，则a 、b 、c 中是否至少有一个大于零请说明理由.解：假设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a +b +c ≤0.而a +b +c =x 2－2y +2π+y 2－2z +3π+z 2－2x +6π=（x －1）2+（y －1）2+（z －1）2+π－3，∵π－3＞0，且无论x 、y 、z 为何实数，（x －1）2+（y －1）2+（z －1）2≥0，∴a +b +c ＞0.这与a +b +c ≤0矛盾.因此，a 、b 、c 中至少有一个大于0. ●思悟小结1.要注意一些常用的“结论否定形式”，如“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式是“一个也没有”“至少有两个”“不都是”.2.证明充要性要从充分性、必要性两个方面来证明.●教师下载中心教学点睛1.掌握常用反证法证题的题型，如含有“至少有一个”“至多有一个”等字眼多用反证法.2.强调反证法的第一步，要与否命题分清.3.要证明充要性应从充分性、必要性两个方面来证.拓展题例【例题】指出下列命题中，p是q的什么条件.（1）p:0＜x＜3，q:|x－1|＜2；（2）p:（x－2）（x－3）=0，q:x=2；（3）p:c=0，q:抛物线y=ax2+bx+c过原点.解：（1）p:0＜x＜3，q:－1＜x＜3.p是q的充分但不必要条件.（2）p q，⇒是q的必要但不充分条件.（3）p是q的充要条件.评述：依集合的观点看，若A⊆B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件.。
高中数学充要条件知识点总结
稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊高中数学里的充要条件，这可是个挺重要的知识点哟！啥是充要条件呢？简单说就是如果能从 A 推出 B，又能从 B 推出 A，那 A 和 B 之间的关系就是充要条件啦。
比如说，一个三角形是等边三角形，那它的三个角一定都相等；反过来，如果一个三角形的三个角都相等，那它肯定是等边三角形。
这里边等边三角形和三个角相等就是充要条件。
充要条件在解题的时候可有用啦！有时候题目会让咱们判断两个条件之间是不是充要的，这就得仔细分析啦。
像判断函数的奇偶性，就会用到充要条件的知识。
如果一个函数满足 f(x) = f(x) ，那它就是偶函数；反过来，如果一个函数是偶函数，那一定满足 f(x) = f(x) ，这就是充要条件哟。
还有不等式的证明里，也常常会出现充要条件的影子。
总之呀，充要条件这个知识点虽然有点绕，但只要咱们多做几道题，多琢磨琢磨，就一定能掌握好哒！加油哦小伙伴们！稿子二嗨喽，同学们！今天咱们一起唠唠高中数学的充要条件哈。
充要条件呢，就像是一对好兄弟，谁也离不开谁。
比如说，直线垂直于平面的充要条件是直线垂直于平面内的两条相交直线。
再举个例子，两个三角形全等的充要条件是它们的三条边和三个角都对应相等。
是不是还挺好理解的？在做题的时候，一定要分清楚啥是充分条件，啥是必要条件，啥又是充要条件。
可别弄混了哟！有的题目会故意设陷阱，就看咱们能不能识破啦。
比如说，给咱们一个条件，让咱们判断是不是能推出另一个条件，这时候就得小心谨慎。
还有哦，充要条件在方程、几何这些地方都经常出现。
像判断两个圆的位置关系，也会用到相关的充要条件呢。
充分条件和必要条件的记忆口诀
充分条件和必要条件的记忆口诀充要条件和必要条件是数学中比较容易混淆的知识点，为帮助大家更好的区分二者，整理了记忆口诀及相关内容如下，供大家参考。
充分条件和必要条件的口诀如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。
如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件。
充分条件：如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。
其中A为B的子集，即属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A，具体的说若存在元素属于B的不属于A，则A为B 的真子集；若属于B的也属于A，则A与B相等。
必要条件：必要条件是数学中的一种关系形式。
如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件，记作B→A，读作“B含于A”。
数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，我们就说A是B 的必要条件。
充要条件和必要条件的解题方法1.充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件。
注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”。
2．从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”。
3.在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系。
要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可。
对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手。
4.充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件，有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分。
【高中数学考点精讲】考点02 充分条件与必要条件的判断
考点02 常用逻辑用语1．充要条件的四种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题第一：化简条件和结论第二：根据条件与结论范围的大小进行判断第三：充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：①若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；②是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；③是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；④是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．(3)传递法：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．(4)等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假2．判断充要条件需注意的三点(1)要分清条件与结论分别是什么；(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断；(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．3.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面①准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；②注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；③灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．（对于充分、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据“小充分、大必要”判断求解其充分、必要条件.注意理解:“充分性”即“有它就行”;“必要性”即“没它不行”.）4.根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；②要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．5．全称量词命题真假的判断方法（1）要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；（2）要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．6．存在量词命题真假的判断方法要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题．7.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法汇总命题名称真假判断方法一判断方法二真所有对象使命题真否定为假全称量词命题假存在一个对象使命题假否定为真真存在一个对象使命题真否定为假存在量词命题假所有对象使命题假否定为真（1）含有一个量词的命题的否定命题命题的否定（2）全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；②否定结论：对原命题的结论进行否定．（3）命题的否定与否命题的区别“否命题”是对原命题“若，则”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非”，只是否定命题的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．考点一充分条件与必要条件的判断1．（2022·全国·高一课时练习）已知四边形ABCD的两条对角线分别为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】若四边形ABCD为菱形，则；反之，若，则四边形ABCD不一定是菱形．故为充分不必要条件.故选：A．2．【多选】（2022·全国·高一课时练习）设计如图所示的四个电路图，：“开关闭合”，：“灯泡亮”，则是的充要条件的电路图是（）A． B．C． D．【解析】由题知，A中电路图，开关闭合，灯泡亮，而灯泡亮，开关不一定闭合，故A中是的充分而不必要条件；B中电路图，开关闭合，灯泡亮，且灯泡亮，则开关闭合，故B中是的充要条件；C中电路图，开关闭合，灯泡不一定亮，灯泡亮，则开关一定闭合，故C中是的必要而不充分条件；D中电路图，开关闭合，则灯泡亮，灯泡亮，则开关闭合，故D中是的充要条件．故选：BD.3．（2022·全国·高一课时练习）2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，故选：C．4．（2022·江西·丰城九中高一期末）已知集合，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】由题意得，所以 .所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B5．（2022·山东潍坊·高一期末）设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】等价于，解得：；等价于，解得：，可以推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，所以“”是“”的必要不充分条件故选：B6．（2022·河南开封·高一期末）设，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】充分性：取，满足“”，但是“”不成立，即充分性不满足；必要性：取，满足“”，但是“”不成立，即必要性不满足；所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D7．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）设p：x > y，q：，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不必要也不充分条件【解析】先验证，若，显然满足，但不满足，所以不成立；再验证，若，显然满足，但不满足，所以不成立.故选：D.8．（2022·宁夏银川·高一期末）已知，，则“使得”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】若使得，则有成立；若，则有使得成立.则“使得”是“”的充要条件故选：C。
高中数学充分必要条件的判断技巧
高中数学充分必要条件的判断技巧
充分条件和必要条件：当命题“若a则b”为真时，a称为b的充分条件，b称为a的必要条件。
充分条件、必要条件的常用判断法1、定义法：判断b是a的条件，实际上就
是判断b=\uea或者a=\ueb是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可2、转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，
可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。
3、集合法在命题的条件和
结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为a、b，则：若a? b，则p是q的充分条件。
若a?b，则p是q的必要条件。
若a=b，则p是q的
充要条件。
若a ?b，且b?a，则p是q的既不充分也不必要条件。
知识扩展一、四种命题
反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的
产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：1、交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题;2、同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是
原来的否命题;3、交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆
否命题。
二、由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，他们之间存在这密
切的联系，在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断。
高考数学复习点拨判定充要条件的四法
判定充要条件的四法充要条件是数学中的一个重要概念，是正确进行逻辑理必不可少的基础知识.高考对充要条件的考查主要以其他知识为载体进行两类问题的考查：一类是充要条件的判别；一类是有关充要性命题的证明，尤以考查充要条件的判别为主.要正确判断“充分且不必要条件”、“必要且不充分条件”、“充要条件”、“非充分非不必要条件”应该明确：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推导结论，从结论推导条件；③确定条件是结论的什么条件.下面就介绍几种充要条件的判定方法.方法一、定义法能够保证一个事件一定发生的条件，叫做这个事件发生的充分条件；一个事件要发生必须具备的条件叫做这个事件发生的必要条件；一个条件既能保证某个事件发生，同时又是这个事件发生必须具备的条件，就叫做这个事件发生的充要条件.在实际应用中，体现充要条件的文字还有“当且仅当”、“有且仅有”、“必需且只需”等语句.用逻辑符号表示为：(1)若P Q，且Q/P，则P是Q的充分且不必要条件，Q是P的必要且不充分条件；(2)若Q P，且P/Q，则P是Q的必要且不充分条件，Q是P的充分且不必要条件；(3)若P Q，且Q P(或P Q)，则P是Q的充要条件(此时Q也是P的充要条件)；(4)若P/Q，且Q/P，则P是Q的非充分非不必要条件.例1一元二次方程Ax2+2x+1=0(A≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A.A＜0B.A＞0C.A＜﹣1D.A＞1解析：如果一元二次方程Ax2+2x+1=0(A≠0)有一个正根和一个负根，则两个根的积为负数，即﹣1a＜0，所以A＜0，由此可知“一元二次方程Ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根”/“A＜﹣1”，但“A＜﹣1”一元二次方程Ax2+2x+1=0(A≠0)有一个正根和一个负根”.故选C.二、命题法(1)如果原命题成立，逆命题不成立，则原命题的条件是充分非必要的；(2)如果原命题不成立，逆命题成立，则原命题的条件是必要非充分的；(3)如果原命题和它的逆命题都成立，则原命题的条件充要的；(4)如果原命题和它的逆命题都不成立，则原命题的条件是非充分非必要的.例2若非空集合M≠N，则“A∈M或A∈N”是“A∈M∩N”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件解析：因为命题“若A∈M或A∈N，则A∈M∩N”为假，它的逆命题：“若A∈M∩N，则A∈M或A∈N”为真，故“A∈M或A∈N”是“A∈M∩N”的必要非充分条件，故选B.三、双箭头表示法由于逻辑联结符号“”、“”、“”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系.例3已知P是R的充分不必要条件，S是R的必要条件，Q是S的必要条件．那么P是Q成立的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件解析：画出用双箭头符号表示表示P、Q、R、S的关系：P R，S R，Q S，即P R，S R，Q S，∴P R S Q，即P Q，又R/P，则Q/P，故P是Q的充分非必要条件.故选A.四、集合法(1)若A__B，就是x∈A则x∈B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；(2)若A≠B，就是x∈A则x∈B，且A中至少有一个元素不在B中，则A是B的充分非必要条件，B是A的必要非充分条件.(3)若A=B，就是A__B且A__B，则A是B的充分条件，同时A是B的必要条件，即A是B的充要条件.(4)若A B，A/B，则A是B的既不充分也不必要条件.例2也可这样解：由于M≠N，所以M∪N=N，M∩N=M，又由并集的定义知：A∈M或A∈N A∈M∪N A∈N，A∈M∩N=N A∈M，而M≠N，所以“A∈M或A∈N”“A∈M∩N”，所以“A∈M或A∈N”是“A∈M∩N”的必要非充分条件，故选B.例3也可这样解：设条件P、Q、R、S相对应的集合为A、B、C、D，则根据题设条件知：A≠C，C D，D B，又由子集的传递性知A≠B，所以P是Q成立充分不必要条件，故选A.。
判断充要条件的方法
判断充要条件的方法宝子们，今天咱们来唠唠判断充要条件这个事儿呀。
那啥是充要条件呢？简单来说呢，如果有条件A和结论B。
要是A能推出B，同时B也能推出A，那A就是B的充要条件啦。
就像两个人互相能依靠，少了谁都不行呢。
咱先说说怎么判断充分条件哈。
充分条件就是只要这个条件成立，结论就一定成立。
比如说“天下雨”（这就是条件啦），那“地面湿”（这是结论），天下雨的时候，地面通常就会湿，这时候“天下雨”就是“地面湿”的充分条件。
但是宝子们要注意哦，地面湿可不一定就是天下雨了，也许是有人泼水了呢。
所以充分条件是一种单向的推出关系。
再说说必要条件呢。
必要条件就是如果结论要成立，这个条件就必须得有。
还拿地面湿举例子，如果地面是干的，那肯定就没有天下雨，所以“地面湿”是“天下雨”的必要条件哦。
必要条件就像是一个基础，没有它，结论就站不住脚啦。
那怎么判断充要条件呢？就是看这个条件和结论能不能双向奔赴。
就像你和你的好朋友，你去找他，他也来找你。
如果从条件到结论能推导，从结论到条件也能推导，那就是充要条件啦。
比如说“一个三角形是等边三角形”和“这个三角形的三个内角都相等”，等边三角形肯定三个内角相等，三个内角相等的三角形也肯定是等边三角形，这就是充要条件啦。
还有一种简单的判断方法呢，就是看逻辑关系的完整性。
如果把条件和结论看成两个集合，充要条件就是这两个集合完全重合。
充分条件就是条件这个集合包含在结论集合里，必要条件就是结论集合包含在条件集合里。
宝子们，判断充要条件其实没那么难啦，只要把这些关系搞清楚，多做几道题练练手，很快就能掌握这个小技能啦。
加油哦，宝子们！。
数学 高考必会题型篇 第四讲 三法定乾坤——突破充分必要条件综合性问题
1
m, m
0 ，
若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值
范围
破解秘籍：以不等式为载体+充分必 要条件判定求参问题，集合法
已知
p
:
x
x x
20 10 0
，q
:x
m
x
1
m,
m
0 ，
若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值
范围
பைடு நூலகம்
破解秘籍：以不等式为载体+充分必 要条件判定求参问题，等价转换法+ 集合法
备考指津
高考中充分必要条件在部分省份必考题目.
谢谢您的观看！
三法定乾坤---突破充要条件综合型问题
真题展示
题型透析
命题规律
1.外部交汇：在各省份的高考试卷中，与集合、函数、方程、不等式、 立体几何等知识相交汇，从而间接考察充要条件的判定，难度一般中 低档 2.内部交汇：常和含有逻辑联结词“非”进行结合命题
答题瓶颈
考生答题瓶颈
破题技巧
通性通法 充分条件、必要条件的判断方法
（2013 年浙江卷）已知函数 f ( x) Acos(x ) ( A 0, 0, R) ，
则“ f ( x) 是奇函数”是“ ”的（ ）
2
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
破解秘籍：以三角函数为载体判定充 分必要条件，集合法.
题型二
【集合法】若 p 对应集合 M，q 对应集合 N，则有：
集合法就是利用满足两个条件的参数取值集合之间的关系来判 断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断 的问题．其解决的一般步骤是：
数学(文)三法破解集合运算和充要条件判断的问题
三法破解集合运算和充要条件判断的问题一、三法定乾坤——谈集合运算问题的三种方法集合的基本运算主要包括交集、并集、补集，集合是历年高考的必考内容，解决集合的基本运算问题，首先要明确集合中元素的性质，通过解不等式求出每个集合，然后弄清几个集合之间的关系，最后利用列举法、借助数轴或Venn 图等根据交集、并集、补集的定义进行基本运算，从而得出结果．1．列举法列举法就是通过枚举集合中所有的元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法．此类方法适用于数集的有关运算以及集合的新定义运算问题．其基本的解题步骤是：[例1] 设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P *Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0； 当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝12.故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－12，12，该集合中共有3个元素．[答案] B[点评] 求解两个集合之间的运算应该注意三个问题：一是集合中元素的形式，元素是数还是有序数对，是函数的定义域还是函数的值域等；二是注意集合中对应不等式端点值的处理，尤其是求解集合补集的运算，一定要搞清端点值的取舍；三是求解集合的补集运算时，一定要先求出原来的集合，然后求其补集，不要直接转化条件而导致漏解出错，如集合A＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |log 12x ≥12的补集不是B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |log 12x <12，而是B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |log 12x <12，或x ≤0. 2．数形结合法数形结合法就是利用数轴或Venn 图表示出相关集合，然后根据图形求解集合的补集或者进行相关集合的交集、并集的基本运算．其求解的基本步骤是：[例2] (2013·嘉兴模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 12(x －1)>0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2x －3x <0，则B ∩(∁U A )＝( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1)D ．(0,1][解析] 由log 12(x －1)>0，得0<x －1<1，即1<x <2，∴A ＝(1,2)． 由2x －3x <0，得x (2x －3)<0，即0<x <32， ∴B ＝⎝⎛⎭⎫0，32. 如图所示，在数轴上表示出集合A ，B . 则∁U A ＝(－∞，1]∪[2，＋∞)， ∴B ∩(∁U A )＝(0,1]．[答案] D[点评] 数形结合法主要是利用图形的直观性来进行集合的基本运算，应注意利用数轴表示集合时，要根据端点值的取舍情况正确选用实心点或空心点标注对应集合，避免因区间端点值的取舍不当造成增解或漏解．3．属性分析法属性分析法就是根据元素与集合之间的确定关系来进行集合基本运算的方法，主要是解决点集问题中某个集合与已知集合之间的关系问题．解决此类问题的基本步骤是：[例3] 已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{3,4,5}，N ＝{1,3,6}，则集合{2,7}＝( ) A ．M ∩N B ．(∁U M )∩(∁U N ) C ．(∁U M )∪(∁U N )D ．M ∪N[解析] 显然2∈U,2∉M,2∉N ，所以2∈∁U M,2∈∁U N ，所以2∈(∁U M )∩(∁U N )； 而7∈U,7∉M,7∉N ，所以7∈∁U M,7∈∁U N ，所以7∈(∁U M )∩(∁U N )． 综上，易知{2,7}＝(∁U M )∩(∁U N )． [答案] B[点评] 属性分析法的实质是利用集合中元素的确定性，即元素与集合之间的关系：属于与不属于．在推理过程中还要注意已知集合之间的关系，如a ∈U ，a ∉A 且A ⊆U ，则必有a ∈∁U A .二、三法破解充要条件的判断问题充要条件是历年高考的必考内容，主要包括两个方面：一是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断；二是根据充要条件求解参数的取值范围，这两类问题常以填空题的形式进行考查，试题难度不大．充要条件的判断问题要注意“p 是q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是q ”这两种叙述方式的差异，先将问题转化为第一种基本的叙述方式，然后再判断．利用充要条件之间的关系求解参数的取值范围可将其转化为两个集合之间的关系，然后构造相应的不等式进行处理．1．定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p ，则q ”与“若q ，则p ”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p 与q 之间的充要关系．其基本步骤是：[例1] 设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的________条件．[解析] 因为0<x <π2，所以0<sin x <1，不等式x sin x <1两边同乘sin x ，可得x sin 2x <sin x ，所以有x sin 2x <sin x <1.即x sin x <1⇒x sin 2x <1；不等式x sin 2x <1两边同除以sin x ，可得x sin x <1sin x ，而由0<sin x <1，知1sin x >1，故x sinx <1不一定成立，即x sin 2x <1⇒/ x sin x <1.综上，可知“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的必要不充分条件． [答案] 必要不充分[点评] 判断p 、q 之间的关系，只需判断两个命题A ：“若p ，则q ”和B ：“若q ，则p ”的真假．两命题的真假与p 、q 之间的关系如下表所示：命题A 命题B p 、q 之间的关系 真 真 p 为q 的充分必要条件 真 假 p 为q 的充分不必要条件 假 真 p 为q 的必要不充分条件 假假p 为q 的既不充分又不必要条件2.等价转化法等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．其基本步骤为：[例2] 已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2－x <a 2－a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________．[解析] 解4x －1≤－1，得－3≤x <1.由x 2－x <a 2－a ，即(x －a )[x ＋(a －1)]<0， 当a >1－a ，即a >12时，不等式的解为1－a <x <a ；当a ＝1－a ，即a ＝12时，不等式的解为∅；当a <1－a ，即a <12时，不等式的解为a <x <1－a .由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，即p 为q 的一个必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．当a >12时，由{x |1－a <x <a }{x |－3≤x <1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤1－a ，1≥a ，解得12<a ≤1；当a ＝12时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；当a <12时，由{x |a <x <1－a }{x |－3≤x <1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ，1≥1－a ，解得0≤a <12.综上，a 的取值范围是[0,1]． [答案] [0,1][点评] 判断两个命题綈p 和綈q 之间的关系，一般是直接利用定义法，寻找两者之间的关系，或利用集合的方法寻找与之对应的两个集合之间的关系，当两种方法都较难判断时，可转化为p 、q 之间的关系，再利用互为逆否命题的等价性进行判断．它们之间的对应关系如下表所示：p 、q 之间的关系 綈p 和綈q 之间的关系 p 是q 的充分不必要条件 綈p 是綈q 的必要不充分条件 p 是q 的必要不充分条件 綈p 是綈q 的充分不必要条件 p 是q 的充要条件綈p 是綈q 的充要条件p 是q 的既不充分也不必要条件 綈p 是綈q 的既不充分也不必要条件 3.集合法集合法就是利用满足两个条件的参数取值集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．其解决的一般步骤是：[例3] 若A ：log 2a <1，B ：x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则A 是B 的________条件．[解析] 由log 2a <1，解得0<a <2，所以满足条件A 的参数a 的取值集合为M ＝{a |0<a <2}；而方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一根大于零，另一根小于零的充要条件是f (0)<0，即a －2<0，解得a <2，即满足条件B 的参数a 的取值集合为N ＝{a |a <2}，显然M N ，所以A 是B 的充分不必要条件．[答案] 充分不必要[点评]设p、q对应的集合分别记为A、B.则p、q之间的关系可转化为与之相应的两个集合之间的关系．它们之间的关系如下表所示：A、B之间的关系p、q之间的关系A＝B p为q的充分必要条件A B p为q的充分不必要条件A B p为q的必要不充分条件A⃘B且B⃘A p为q的既不充分又不必要条件。
充要条件的判断策略
充要条件的判断策略充要条件的判断策略充要条件是⾼中数学“常⽤逻辑⽤语”中的重要概念，它的应⽤贯穿于数学的各个分⽀，在其他学科以及⽣产实践中都有着⼴泛的应⽤。
同时，充要条件也是⾼中数学中的⼀个难点，亦是⾼考中常考不衰的热点题型。
为此，本⽂针对充要条件的判断，分类解析，并归纳出相应的解题思路，以供参考。
1、利⽤定义判断（1）若q p ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；（2）若q p ?且q /?p ，则p 是q 的充分⽽不必要条件；（3）若p /?q 且q ?p ，则p 是q 的必要⽽不充分条件；（4）若q p ?且?q p ，则p 是q 的充要条件；（5）若p /?q 且q /?p ，则p 是q 的即不充分也不必要条件。
例1判断下列各题中，p 是q 的什么条件。
（1）0)3)(2(:;02:=--=-x x q x p 。
（2）p ：四边形的四边相等；q ：四边形是正⽅形。
解：（1）0)3)(2(0)2(=--?=-x x x ；0)3)(2(=--x x /?0)2(=-x （当3=x 时，“?”不成⽴）。
∴p 是q 的充分⽽不必要条件。
（2）四边形是正⽅形?四边形的四边相等；四边形的四边相等四边形是正⽅形（当四边形是内⾓不为直⾓的菱形时，“?”不成⽴）。
∴p 是q 的必要⽽不充分条件。
2、利⽤真值表判断“或”、“且”、“⾮”是三个最基本的逻辑联结词。
“或”的含义是：⼀真必真，都假才假；“且” 的含义是：⼀假必假，都真才真。
由于复合命题是由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“⾮”等构成的，因此利⽤真值表判断充要条件时，关键是能够将⼀个复合命题写成逻辑联结词“或”、“且”、“⾮”连接的与之等价的复合命题的形式。
例2判断命题22b a ≠是b a ≠或b a -≠的什么条件。
解：22b a ≠即b a ≠且b a -≠。
由真值表知：q p ∧真p ?真q p ∨?真，但q p ∨真/?q p ∧真。
高考数学复习充要条件知识点解析
2021年高考数学复习充要条件知识点解析假如对有些概念不清楚，可能会导致很多解题错误，充要条件是数学中极其重要的一个概念。
下文是充要条件知识点解析，希望可以帮助同学们搞清楚充要条件的概念，防止不必要的错误，从而进步数学解题的命中率。
(1)先看充分条件和必要条件当命题假设p那么q为真时，可表示为p=q，那么我们称p 为q的充分条件，q是p的必要条件。
这里由p=q，得出p 为q的充分条件是容易理解的。
但为什么说q是p的必要条件呢?事实上，与p=等价的逆否命题是非q=非p。
它的意思是：假设q不成立，那么p一定不成立。
这就是说，q对于p是必不可少的，因此是必要的。
(2)再看充要条件假设有p=q，同时q=p,那么p既是q的充分条件，又是必要条件。
简称为p是q的充要条件。
记作pq回忆一下初中学过的等价于这一概念;假如从命题A成立可以推出命题B成立，反过来，从命题B成立也可以推出命题A成立，那么称A等价于B，记作AB。
充要条件的含义，实际上与等价于的含义完全一样。
也就是说，假如命题A等价于命题B，那么我们说命题A成立的充要条件是命题B成立;同时有命题B成立的充要条件是命题A成立。
(3)定义与充要条件数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包含一个充要条件。
如两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形这一定义就是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。
显然，一个定理假如有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一个含有充要条件的语句来表示。
充要条件有时还可以改用当且仅当来表示，其中当表示充分。
仅当表示必要。
(4)一般地，定义中的条件都是充要条件，断定定理中的条件都是充分条件，性质定理中的结论都可作为必要条件。
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判断充要条件的四种常用方法
判断充要条件的四种常用方法一、定义法定义法即借助“⇒”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着是充分，即：1. 若p ⇒q 但q p ⇒/，则p 是q 的充分但不必要条件；2. 若q p p q ⇒⇒但/，则p 是q 的必要但不充分条件； 3. p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的既充分又必要条件，即充要条件；4. p q q p ⇒⇒//且，则p 是q 的既不充分又不必要条件。
特别要注意，若p ⇒q ，则有以下说法是等价：①p 是q 的充分条件；②q 是p 的必要条件；③p 的一个必要条件是q ；④q 的一个充分条件是p 。
例1. αβαβαβ+>>⎧⎨⎩>>⎧⎨⎩4422是的什么条件？并说明理由。
解：由αβαβαβ>>⎧⎨⎩⇒+>>⎧⎨⎩2244，但反之不成立。
不妨取αβαβαβ==+>>⎧⎨⎩1544，，显然满足，但不满足αβαβαβ>>⎧⎨⎩+>>⎧⎨⎩2244，即 ⇒>>⎧⎨⎩/αβ22。
由定义（即箭头方向）可知，αβαβαβ+>>⎧⎨⎩>>⎧⎨⎩4422是的必要但不充分条件。
二、传递性法根据充要关系的传递性来判断的方法叫传递法。
充分条件具有传递性，若A A A A A n n 1231⇒⇒⇒⇒⇒-…，则A A n 1⇒，即A A n 1是的充分条件。
必要条件也有传递性，若A A A A A n n 1231⇐⇐⇐⇐⇐-…，则A A n ⇒1，即A A n 1是的必要条件。
当然充要条件也有传递性。
因此，对于较复杂的（连锁式）充要关系的判断可用连锁式的传递图示法来解答最为适宜。
例2. 若A 、B 都是C 的充要条件，D 是A 的必要条件，B 是D 的必要条件，则D 是C 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件分析：宜采用传递性法来解。
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[典例](2012·山东高考)设a>0且a≠1，则
“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝
(2－a)x3在R上是增函数”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[常规解法]“函数f(x)＝a x在R上是减函数”的充要条件是p：0<a<1.
因为g′(x)＝3(2－a)x2，而x2≥0，所以“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充要条件是2－a>0，即a<2.
又因为a>0且a≠1，所以“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充要条件是q：0<a<2且a≠1.
显然p⇒q，但q⇒/ p，所以p是q的充分不必要条件，即“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件．
[答案] A
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1．充分、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法．
2．三种不同的方法各适用于不同的类型，定义法适用于定义、定理判断性问题，而集合法多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断．
[巧思妙解]p：“函数f(x)＝a x在R上是减函数”等价于0<a<1.q：“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”等价于2－a>0，即a<2.而{a|0<a<1}是{a|a<2}的真子集，故答案为A.
针对训练
命题p：|x＋2|>2；命题q：
1
3－x
>1，则綈q是綈p的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选B解|x＋2|>2，即x＋2<－2或x＋2>2，得x<－4或x>0，所以p：x<－4或
x>0，故綈p：－4≤x≤0；解1
3－x
>1，得2<x<3，所以q：2<x<3，綈q：x≤2或x≥3.显然{x|－4≤x≤0} {x|x≤2，或x≥3}，所以綈q是綈p的必要不充分条件．
文章来源：福州五佳教育网(中小学直线提分，就上福州五佳教育)。