【原创精品资料】11.2《复数的运算》错误解题分析
高中必修1-5错解分析--第11-13章修改稿
第十一章 数系的扩充与复数§11.1 数系的扩充与复数的概念一、知识导学1. 复数：形如bi a +的数（b a ,R ∈），复数通常有小写字母z 表示，即bi a z +=,其中a 叫做复数的实部、b 叫做复数的虚部，i 称做虚数单位.2. 分类：复数bi a +(b a ,R ∈)中，当0=b 时，就是实数；除了实数以外的数，即当b 0≠时，bi a +叫做虚数；当0=a ,b 0≠时，叫做纯虚数.3. 复数集：全体复数所构成的集合.4. 复数相等：如果两个复数bi a +与di c +的实部与虚部分别相等，记作：bi a +=di c +.5. 复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.6. 复数的模：设oz =bi a +,则向量oz 的长度叫做复数bi a +的模（或绝对值），记作bi a +. (1)22b a bi a z +=+=； (2)21z z +=12z z +； (3)2121z z z z =； 7．共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数.二、疑难知识导析1．两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小2．,R z ∈则02≥z ，而C z ∈，则02≥z 不一定成立，如i z =时012<-=i ；3．22,z z R z =∈，而C z ∈则22z z =不一定成立； 4．若,,,321C z z z ∈0)()(232221=-+-z z z z 不一定能推出321z z z ==；5．若R z z ∈21,，则21z z -=212214)(z z z z -+，但若,,21C z z ∈则上式不一定成立.三、经典例题导讲[例1]两个共扼复数的差是（ ）A .实数B .纯虚数C .零D .零或纯虚数错解:当得到bi z z 2=-时就错误的选B ，忽略了b 可以为零的条件.正解：设互为共扼的两复数分别为bi a z +=及),(R b a bi a z ∈-=则bi z z 2=- 或bi z z 2=-当0≠b 时，z z -，z z -为纯虚数当0=b 时，0=-z z ，0=-z z ，因此应选D.注：要认真审题，看清题设条件，结论. 学会全面辩证的思考问题，准确记 忆有关概念性质.[例2]判断下列命题是否正确(1)若C z ∈, 则02≥z(2)若,,21C z z ∈且021>-z z ，则21z z >(3)若b a >，则i b i a +>+错解：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正确的(2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的.(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件.正解：(1)错，反例设i z =则0122<-==i z(2)错，反例设i z +=21，i z +=12，满足0121>=-z z ，但1z 2z不能比较大小.(3)错，b a > ，R b a ∈∴,，故i a +，i b +都是虚数，不能比较大小. [例3]实数a 分别取什么值时，复数i a a a a a z )152(3622--++--=是(1)实数； (2)虚数;(3)纯虚数.解：实部3)3)(2(362+-+=+--a a a a a a ，虚部)5)(3(1522-+=--a a a a . （1）当时，z 是实数； （2）当 ，且 时，z 是虚数；（3） 当 或时是纯虚数． [例4] 设i z R m i m m m m z 35),()34()32(2221+=∈+-+--=，当m 取何值时，(1) 21z z =; (2)01≠z .分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程，求出 的值．解：(1)由可得：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--33453222m m m m 解之得4=m ， 即：当时(2)当 可得：或 ，即 时01≠z .[例5]21,z z 是两个不为零的复数，它们在复平面上分别对应点P 和Q ，且024222121=+-z z z z ，证明△OPQ 为直角三角形（O 是坐标原点），并求两锐角的度数．分析 本题起步的关键在于对条件024222121=+-z z z z 的处理．等式左边是关于21,z z 的二次齐次式，可以看作二次方程求解，也可配方．解：由024222121=+-z z z z （，不为零），得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛±+⎪⎭⎫ ⎝⎛±=±=±=3s i n 3c o s 21431832221221ππi z z z i z i z 即向量与向量的夹角为3π， 在图中，3π=∠POQ ，又||21||21z z =，设r z r z 2||,||21==， 在△OPQ 中，由余弦定理△OPQ 为直角三角形，．四、典型习题导练1. 设复数z 满足关系i z z +=+2||，那么z 等于（ ）．A ．B ．C ．D ． 2.复数系方程062)1()1(2=----+i x i x i 有实数根，则这个实数是_________.3. 实数m 取何值时，复数是(1)纯虚数；(2)在复平面上的对应点位于第二象限．4.已知z z z f -+=1)(且,310)(i z f +=-求复数z5.设复数z 满足5=z 且z i )43(+在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上，),(252R m m z ∈=-求m z 和的值§11.2 复数的运算一、知识导学1.复数加、减法的几何意义(1)加法的几何意义复数21z z + 是以→1oz 、→2oz 为两邻边的平行四边形对角线→oz 所对应的复数.(2)复数减法的几何意义复数21z z -是连接向量1OZ 、2OZ 的终点，并指向被减数的向量21z z 所对应的复数.2. 重要结论（1） 对复数z 、1z 、2z 和自然数m 、n ，有 n m n m z z z +=∙，mn n m z z =)(，n n n z z z z 2121)(∙=∙(2) i i =1，12-=i ，i i -=3，14=i ；114=+n i ，124-=+n i ，i i n -=+34，14=n i .(3) i i 2)1(2±=±，i i i -=+-11，i ii =-+11. (4)设231i +-=ω，ϖω=2，ωω=2，012=++ωω，n n 33ωω=，021=++++n n n ωωω二、疑难知识导析1.对于22z z z z ==⋅，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会.2.在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论.当C z ∈时，不总是成立的.(1)),()(为分数时不成立n m zz mn n m =； (2))1(时不成立==⇒=z n m z z n m ；(3)),(0021212221是虚数时不成立z z z z z z ==⇔=+； (4))(22为虚数时不成立z z z =； (5))(为虚数时不成立z a z a a z <<-⇔<三、经典例题导讲[例1] 满足条件512=++-z i z 的点的轨迹是（ ）A.椭圆B.直线C.线段D.圆错解：选A 或B.错因：如果把i z 2-看作动点Z 到定点（0，2）的距离，由上式表示到两个定点（0，2）与（-1，0）的距离之和为常数5∴动点的轨迹符合椭圆的定义，但是，有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数. 正解： 点（0，2）与（-1，0）间的距离为5，∴动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选C评注：加强对概念的理解加深，认真审题.[例2] 求值：.)1()1(6n n i i --⋅+ 错解：原式=1368)2()11()1(+=⋅-=-+-n n n i i i ii i 82-==时，原式当n83==时，原式当n错因：上面的解答错在没有真正理解Z n ∈的含义，只是用了三个特殊整数代替了所有整数，犯了用特殊代替一般的错误.另外还可以看出对虚数单位i 的整数幂的运算不熟悉，没有掌握虚数单位i 整数幂的运算结果的周期性.正解：原式=n i i i )11()1(6-+- =138)2(+=⋅-n n i i i=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-+=-).4(8,348)(),24(8),14(8k n ik n k k n i k n ）（为非负整数 评注：虚数单位i 整数幂的值具有以4为周期的特点，根据时，求n i n 必须按被4整除余数为0、1、2、3四种情况进行分类讨论.[例3]已知i z 312+-=，求200021z z z +++ 的值.分析：结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式qq a S n n --=1)1(1，若直接将条件代入求和公式，则显得较为麻烦，不妨先将条件化简. ω=+-=--=+-=i i i z 23214)31(2312原式=01111111667*32001=--=--=--ωωωz z 评注：由于数列中的数可以是复数，所以数列的诸性质在复数集中仍成立.[例4] （06年上海春卷）已知复数w 满足i (i )23(4w w -=-为虚数单位），|2|5-+=w wz ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程. 解法一： i 2i21i 34,i 34)i 21(-=++=∴+=+w w ， i 3|i |i25+=-+-=∴z . 若实系数一元二次方程有虚根i 3+=z ，则必有共轭虚根i 3-=z .10,6=⋅=+z z z z ， ∴ 所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x .解法二：设i b a w +=R)(∈b a 、b a b a 2i 2i 34i +-=-+，得 ⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴ ⎩⎨⎧-==,1,2b a i 2-=∴w ， 以下解法同解法一.[例5].211<<-+=ωω是实数，且是虚数，设zz z .的实部的取值范围的值及求z z解析 是虚数z yix yi x z z +++=+=∴1)(1ω可设 i yx y y y x x x y x yi x yi x )()(222222+-+++=+-++= ,0≠y 是实数，且ω 1,0112222=+=+-∴y x y x 即 ,1=∴z x 2=ω此时22121<<-<<-x 得由ω)1,21(,121-<<-∴的实部的范围是即z x 四、典型习题导练1．（06年四川卷）非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意,a b G ∈，都有a b G ⊕∈；（2）存在e G ∈，使得对一切a G ∈，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”；现给出下列集合和运算：①{},G =⊕非负整数为整数的加法②{},G =⊕偶数为整数的乘法③{},G =⊕平面向量为平面向量的加法④{},G =⊕二次三项式为多项式的加法⑤{},G =⊕虚数为复数的乘法其中G 关于运算⊕为“融洽集”__________;（写出所有“融洽集”的序号） 2.______)11(1993=-+ii 3．计算4.计算5．解下列方程：(1)； (2).第十二章 统计12．1抽样方法一、 知识导学1．抽签法：（1）将总体中的所有个体编号（号码可以从1到N ）；（2）将1到N 这N 个号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条等制作）；（3）将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；（4）从箱中每次抽出1个号签，并记录其编号，连续抽取k 次；（5）从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体取出.2．随机数表法：（1）对总体中的个体进行编号（每个号码位数一致）；（2）在随机数表中任选一个数作为开始；（3）从选定的数开始按一定的方向读下去，得到的数码若不在编号中，则跳过；若在编号中，则取出；如果得到的号码前面已经取出，也跳过；如此继续下去，直到取满为止；（4） 根据选定的号码抽取样本.3．系统抽样（等距抽样）：（1）采用随机的方式将总体中的个体编号；（2）将整个的编号按一定的间隔（设为k ）分段，当n N （N 为总体中的个体数，n 为样本容量）是整数时，n N k =；当n N 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N /能被n 整除，这时nN k /=，并将剩下的总体重新编号； （3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l ；（4）将编号为k n l k l k l l )1(.,,.........2,,-+++的个体抽出. 4．分层抽样：（1）将总体按一定标准分层；（2）计算各层的个体数与总体的个数的比；（3）按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；（4）在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）.二．疑难知识导析1．简单随机抽样是从总体中逐个不放回地抽取.2．简单随机抽样和系统抽样都是一种等概率抽样，即每个个体被抽到的可能性都是相同的.3．简单随机抽样适用于总体中个体较少的情况；系统抽样适用于总体中个体数较多的情形；分层抽样用于总体由几个差异明显的部分组成的情况.4． 分层抽样时，在每一层内进行抽样时可根据具体情况，采用简单随机抽样或系统抽样.5． 在使用分层抽样时，在每一层内抽样的比例相同.三．经典例题导讲[例1]某工厂生产A,B,C,D 四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5：1，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号有16件，那么此样本容量n 是多少？ 错解：样本容量1615322+++⨯=2（件） 错因：混淆了A 型号产品与样本容量的比例关系.正解：在分层抽样中，每一层所抽的个体数的比例与总体中各层个体数的比例是一致的，所以，样本容量为881621532=⨯+++=n 答：此样本容量为88件.[例2]从1002名学生中选取100名进行抽样检查.请用系统抽样法设计一种方案，叙述其步骤.解：（1）将1002名学生进行编号，号码分别为1，2， (1002)（2）用随机数表法剔除2个个体，并将剩下的学生重新编号，号码分别为1，2，……1000；（3）将1000个号码平均分成100组，并在第一组1，2，……，10中用简单随机抽样法确定一个号码（如l ）；（2） 将号码为l l l l +++990,......20,10,的个体抽出.[例3]某学校有2005名学生，从中选取20人参加学生代表大会，采用简单随机抽样方法进行抽样，是用抽签法还是随机数表法？如何具体实施？分析：由于学生人数较大，制作号签比较麻烦，所以决定用随机数表法解：采用随机数表法实施步骤：（1） 对2005名同学进行编号，0000-2004（2） 在随机数表中随机地确定一个数作为开始，如21行45列的数字9开始的4位：9706；依次向下读数，5595，4904,………，如到最后一行，转向左边的四位数字号码，并向上读，凡不在0000-2004范围内的，则跳过，遇到已读过的数也跳过，最后得到号码为：0011，0570，1449，1072，1338，0076，1281，1866，1349，0864，0842，0161，1839，0895，1326，1454，0911，1642，0598，1855的学生组成容量为20的样本.[例4]某工厂有3条生产同一产品的流水线，每天生产的产品件数分别是3000件，4000件，8000件.若要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为150件产品的样本，应该如何抽样？ 解：总体中的个体数N=3000+4000+8000=15000样本容量n=150 抽样比例为100115000150==N n 所以应该在第一条流水线生产的产品中随机抽取30001001⨯=30件产品 在第二条流水线生产的产品中随机抽取：40001001⨯=40件产品在第三条流水线生产的产品中随机抽取：50001001⨯=50件产品 这里因为每条流水线所生产的产品数都较多，所以，在每条流水线的产品中抽取样品时，宜采用系统抽样方法四．典型习题导练1．为了解某班50名同学的会考及格率，从中抽取10名进行考查分析，则在这次考查中，考查的总体内个体总数为 样本容量为 .2．采用系统抽样从含有2000个个体的总体（编号为0000，0001，……，1999）中抽取一个容量为100的样本，则第一段的编号为 若在第一段中用简单随机抽样得到起始个体编号为0013，则前6个入样编号为 .3．某市为了了解职工的家庭生活状况，先将职工所在的国民经济行业分成13类，然后每个行业抽1001的职工家庭进行调查，这种抽样方法是 . 4．用分层抽样的方法在一个企业中抽取一个样本容量为50的样本，其中在管理营销部门抽了15人，技术部门10人，其余在生产工人中抽取，已知该企业有生产工人375人，那么这个企业共有多少职工？5．采用简单随机抽样从含有5个人的身高的总体{}173,171,161,167,162中抽取一个容量为2的样本，写出全部样本，并计算各个样本的平均值，各样本平均值的平均值.12.2频率分布直方图、折线图与茎叶图一、知识导学1．频率分布表：反映总体频率分布的表格.2．一般地，编制频率分布表的步骤如下：（1）求全距，决定组数和组距，组距=组数全距；（2）分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；（3）登记频数，计算频率，列出频率分布表.3． 频率（分布）直方图：利用直方图反映样本的频率分布规律.4． 一般地，作频率分布直方图的方法为：（1）把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；（2）以此线段为底作矩形，它的高等于该组的组距频率，这样得出一系列的矩形；（3）每个矩形的面积恰好是该组上的频率.5． 频率折线图：如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起，就得到一条折线，称这条折线为本组数据的频率折线图.6． 制作茎叶图的方法是：将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出.二、疑难知识导析1． 在编制频率分布表时，要选择适当的组距和起始点才可以使频率分布表更好地反映数据的分布情况.2． 在编制频率分布表时，如果取全距时不利于分组（如不能被组数整除），可适当增大全距，如在左右两端各增加适当范围（尽量使两端增加的量相同）.3． 频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，则这条折线将趋于一条曲线，我们称这一曲线为总体分布的密度曲线. 4． 茎叶图对于分布在0~99的容量较小的数据比较合适，此时，茎叶图比直方图更详尽地表示原始数据的信息.5． 在茎叶图中，茎也可以放两位，后面位数多可以四舍五入后再制图. 三、典型例题导讲[例1]（06全国卷）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人用再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[)3000,2500（元）月收入段应抽出 人.解析:由直方图可得[2500,3000)（元）月收入段共有100000.00055002500⨯⨯=人， 按分层抽样应抽出10025002510000⨯=人.故答案 25点评：频率分布直方图中，关健要理解图中数据的意义，特别是图中每个小矩形的面积才是这一组距内个体的频率.[例2]从有甲乙两台机器生产的零件中各随机抽取15个进行检验，相关指标的检验结果为： 甲：534，517，528，522，513，516，527，526，520，508，533，524，518，522，512 乙：512，520，523，516，530，510，518，521，528，532，507，516，524，526，514 画出上述数据的茎叶图 错解：甲 乙 8 0 787632 1 024668 8764220 2 013468 43 3 02 4错因：对于两位数是将两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出，对于三位数字，应该把前两位数字作为茎，最后一位数字作为叶，然后从图中观察数据的分布情况，而不是仍考虑两位数，尽管此题的效果一样.正解：用前两位数作为茎，茎叶图为甲 乙 8 50 787632 51 024668 8764220 52 013468 43 53 02 54从图中可以看出，甲机床生产的零件的指标分布大致对称，平均分在520左右，中位数和众数都是522，乙机床生产的零件的指标分布也大致对称，平均分也在520左右，中位数和众数分别是520和516，总的看，甲的指标略大一些. [例3]在绘制频率分布直方图的第三个矩形时，矩形高度① 与这个矩形的宽度（组距）有关； ② 与样本容量n 无关； ③ 与第三个分组的频数有关； ④ 与直方图的起始点无关. 以上结论中正确的共有（）A ．0个 B.1个 C. 2个 D.3个错解：D.错因：起始点与组距均影响第三组的频数，所以矩形高度与以上各因素均有关，①③正确，正解：C.[例4]根据中国银行的外汇牌价，2005年第一季度的60个工作日中，欧元的现汇买入价（100欧元的外汇可兑换的人民币）的分组与各组频数如下：〔1050，1060〕：1，〔1060，1070〕：7，〔1070，1080〕：20，〔1080，1090〕：11，〔1090，1100〕：13，〔1100，1110〕：6，〔1110，1120〕：2.（1）列出欧元的现汇买入价的频率分布表；（2）估计欧元的现汇买入价在区间1065~1105内的频率；（3）如果欧元的现汇买入价不超过x 的频率的估计值为0.95，求此x 解：（1）欧元的现汇买入价的频率分布表为：（2）欧元现汇买入价在区间1065~1105内的频率的估计值为84.01100111011001105100.0217.0183.0333.01060107010651070117.0=--⨯++++--⨯（3）因为0.017+0.117+0.333+0.183+0.217=0.867〈0.95，0.017+……+0.217+0.100=0.967〉0.95，所以x 在［1100，1110］内，且满足0.867+0.1003.1108,95.0110011101100≈∴=--⨯x x 即欧元现汇买入价不超过1108.3的频率的估计为0.95 [例如果80分以上（包括80分）定为成绩优秀，60分以上（包括60分）定为成绩及格.那么，在这个班级的这次成绩统计中，成绩不及格的频率是多少？成绩及格的频率是多少？成绩优秀的频率是多少？解：被统计的对象（参加这次考试的本班学生）共有2+6+12+21+7+2=50个.60分以上的有48个，80分以上的有20个，所以成绩不及格的频率是04.0502=，成绩及格的频率是96.05048=，成绩优秀的频率是4.05020=. 说明 要计算一组数据中某个对象的频率，要先计算数据的总的个数，再计算符合这个对象要求的数据的个数.某个对象可以是一个确定的数据，也可以是在某一范围内数据的总数.[例6]在英语单词frequency 和英语词组relative frequency 中，频数最大的各是哪个字母？它们的频数和频率各是多少？解：在frequency 和英语词组relative frequency 中，频数最大的字母都是e ，在单词frequency 中，e 的频数是2，频率是92；在词组relative frequency 中，e 的频数是4，频率是174.点评：在两组数据中，同一个对象的频数相等，但频率不一定相等，频数大，不一定频率大.在同一组数据中，某两个对象的频数相等，频率也相等；频数大，频率也大. 二、典型习题导练1．（06年重庆卷）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为185.17-岁的男生体重kg ，得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在]5.64,5.56[的学生人数是（ ）. A ． 20 B.30 C.40 D. 502． 一个容量为800的样本，某组的频率为6.25%，则这一组的频数是 3． 某校随机抽取了20名学生，测量得到的视力数据如下：4.7，4.2，5.0，4.1，4.0，4.9，5.1，4.5，4.8，5.2，5.0，4.0，4.5，4.8，4.7，4.8，4.6，4.9，5.3，4.0（1） 列出频率分布表（共分5组）（2） 估计该校学生的近视率（视力低于4.9） 4． 用一个容量为200的样本制作频率分布直方图时，共分13组，组距为6，起始点为10，第4组的频数为25，则直方图中第4个小矩形的宽和高分别是多少？ 5． 200名学生某次考试的成绩的分组及各组频率如下表：则及格率，优秀率（）的估计分别是6．某地随机检查了140名成年男性红细胞（/1012L ），数据的分组及频率如下表：（1）完成上面的频率分布表（2）根据上面的图表，估计成年男性红细胞数在正常值（4.0~5.5）内的百分比7．名著《简爱》的中英文版本中，第一节部分内容每句句子所含单词（字）数如下：英文句子所含单词数10，52，56，40，79，9，23，11，10，21，30，31；中文句子所含字数11，79，7，20，63，33，45，36，87，9，11，37，17，18，71，75，51. （1）作出这些数据的茎叶图；（2）比较茎叶图，你能得到什么结论？12．3平均数、方差与标准差一、知识导学1．n 个数据1a ，2a ，…….n a 的平均数或平均值一般记为-a =na a a n+++........21.2．一般地，若取值n x x x ,......,,21的频率分别为n p p p ,......,,21，则其平均数为n n p x p x p x +++......2211.3．把一组数据的最大值与最小值的差称为极差.4． 一般地，设一组样本数据n x x x ,......,,21，其平均数为-x ，则称212)(1∑=--=n i i x x n s 为这个样本的方差，算术平方根21)(1∑=--=ni i x x n s 为样本的标准差，分别简称样本方差，样本标准差. 二、疑难知识导析1.平均数，中位数和众数都是总体的数字特征，从不同角度反映了分布的集中趋势，平均数是最常用的指标，也是数据点的“重心”位置，它易受极端值（特别大或特别小的值）的影响，中位数位于数据序列的中间位置，不受极端值的影响，在一组数据中，可能没有众数，也可能有多个众数.2.方差和标准差是总体的数字特征，反映了分布的分散程序（波动大小），标准差也会受极端值（特别大或特别小的值）的影响.3.分布的分散程序还可以用极差来描述，但较粗略.4.样本方差也可以用公式21221x x n s n i i -=∑=计算.三、经典例题导讲[例1]（06年江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为.9,11,10,,y x 已知这组数据的平均数为10，方差为2，则y x -的值为（ ） A ．1 B.2 C.3 D.4 解：由平均数公式为10，得1051)91110(=⨯++++y x ，则20=+y x ，又由于方差为2，则()()()()()[]25110910111010101022222=⨯-+-+-+-+-y x 得 20822=+y x 1922=xy所以有()42222=-+=-=-xy y x y x y x ，故选D.[例2]数据n x x ,,1 是一名运动员的n 次射击的命中环数，则他的平均命中环数的估计是（ ）.A ．样本平均数均值∑==ni i x n x 11 B ．样本极差),,m in(),,m ax (11n n x x x x R -=C ．样本方差212)(1x x n s n i i -=∑= D ．样本平均差AD=∑=-n i i x x n 11错解：C.错因：后三个选项都表示了样本的波动程度，不能用于总体平均值的估计. 正解：A.[例3]某房间中10个人的平均身高为1.74米，身高为1.85米的第11个人，进入房间后，这11个人的平均身高是多少？解：原来的10个人的身高之和为17.4米，所以，这11个人的平均身高为1185.11074.1+⨯=1.75.即这11个人的平均身高为1075米[例4]若有一个企业，70%的人年收入1万，25%的人年收入3万，5%的人年收入11万，求这个企业的年平均收入及年收入的中位数和众数解：年平均收入为12%511%253%70=⨯+⨯+⨯（万）；中位数和众数均为1万（1）计算所有人员的月平均收入；（2）这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗？为什么？（3）去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的月收入的水平吗？ （4）根据以上计算，以统计的观点对（3）的结果作出分析 解：（1）平均收入711=-x （3000+450+350+400+320+320+410）=750元 （2）这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员（3）去掉老板后的月平均收入612=-x （450+350+400+320+320+410）=375元.这能代表打工人员的月收入水平（4）由上可见，个别特殊数据可能对平均值产生大的影响，因此在进行统计分析时，对异常值要进行专门讨论，有时应剔除之 四、典型习题导练1． 在一次知识竞赛中，抽取20名选手，成绩分布如下：则选手的平均成绩是 （ ） A ．4 B.4.4 C.8 D.8.82．8名新生儿的身长（cm ）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为 ，约有一半的新生儿身长大于等于 ，新生儿身长的最可能值是 .用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值-x = ，病人等待时间的标准差的估计值s =4．样本1021,......,,x x x 的平均数为5，方差为7，则3()()()13,......,13,11021---x x x 的平均数、方差，标准差分别为5．下面是一个班级在一次测验时的成绩（已按从小到大的次序排列），分别计算男生和女生的成绩和平均值，中位数以及众数，试问中位数的含义是什么？对比两个平均值和中位数，你分析一下这个班级的学习情况男生：55，55，61，65，68，71，72，73，74，75，78，80，81，82，87，94女生：53，66，70，71，73，73，75，80，80，82，82，83，84，85，87，88，90，93，94，976．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min 抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110. （1）这样的抽样是何种抽样方法？（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定.12.4线性回归方程一、知识导学1． 变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达 2． 能用直线方程a bx y +=^近似表示的相关关系叫做线性相关关系当a,b 使2222211)(......)()(a bx y a bx y a bx y Q n n --++--+--=取得最小值时，就称a bx y +=∧为拟合这n 对数据的线性回归方程，将该方程所表示的直线称为回归直线.4．线性回归方程a bx y +=∧中的系数b a ,满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑∑∑∑=====ni i ni i ni ii n i i n i i y na b x y x a x b x 111112 由此二元一次方程组便可依次求出a b ,的值：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--=====∑∑∑∑∑x b y a x x n y x y x n b ni i n i i n i i n i i n i i i 2112111（*） 5．一般地，用回归直线进行拟合的一般步骤为： （1）作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；（2）如果散点在一条直线附近，用公式（*）求出b a ,，并写出线性回归方程.二、疑难知识导析1．现实世界中两个变量的关系中更多的是相关关系而不是确定性关系，许多物理学中公式看起来是确定性关系，实际上由于公式的使用范围，测量误差等的影响，试验得到的数据之间是相关关系.2．用最小二乘估计方法计算得到的b a ,使函数()b a Q ,达到最小3．还有其他寻找较好的回归直线的原则（如使y 方向的偏差和最小，使各点到回归直线的距离之和最小等）4． 比较相关关系绝对值的大小可以比较一组变量之间哪两个变量有更强的（线性）相关关系.5． “最好的”直线方程中“最好”可以有多种解释，也就有不同的求解方法，现在广泛采用的最小二乘法所用的思想是找到使散点到直线a bx y +==在垂直方向上的距离的平方和最小的直线a bx y +=，用这个方法，b a ,的求解最简单 三、经典例题导讲问y 与x 的(样本)相关系数r 是多少?这是否说明y 与x 没有关系? 错解：040707))((7171=⨯⨯-=-=--∑∑==xy y x y y x xi i i i i i。
复数运算常见错误
复数运算常见错误在数学的学习中，复数运算对于许多同学来说是一个具有一定难度的知识点，稍不注意就容易出现错误。
下面我们就来详细探讨一下复数运算中常见的一些错误。
一、概念理解不清1、对复数的定义模糊有些同学对复数的定义没有清晰的认识，不知道复数是由实部和虚部组成，形如 a ＋ bi（其中 a，b 均为实数，i 为虚数单位，满足 i²＝－1）。
在运算时，就会出现混淆实部和虚部的情况。
2、虚数单位 i 的性质掌握不牢虚数单位 i 的平方等于－1，即 i²＝－1 。
但不少同学在运算中容易忘记这一性质，导致计算错误。
例如，在计算（2i)²时，错误地得出 4 而不是－4 。
二、四则运算规则错误1、加法和减法运算出错在进行复数的加法和减法运算时，应该分别将实部与实部、虚部与虚部相加或相减。
然而，有些同学会将实部和虚部胡乱相加，例如计算（3 ＋ 2i) ＋（1 4i) 时，得出 4 2i 而不是 4 2i 。
2、乘法运算失误复数的乘法运算规则与多项式乘法类似，但要注意 i²＝－1 。
常见的错误是在展开式子后，忘记替换 i²。
比如计算（1 ＋ i)（1 i) ，应该是 1 i²＝ 2 ，但有的同学会得出 0 。
3、除法运算中的问题复数的除法运算通常需要将分母实数化。
在这个过程中，有些同学没有正确地乘以分母的共轭复数，或者在计算过程中出现粗心大意的错误。
例如，计算（2 ＋ 3i) ／（1 ＋ i) 时，没有将分子分母同时乘以1 i ，或者在乘的过程中计算错误。
三、忽视复数的几何意义复数不仅可以用代数形式表示，还可以用几何形式表示。
在解决一些与复数几何意义相关的问题时，很多同学容易忽略这一点，导致解题思路受阻或者得出错误的答案。
例如，已知复数 z 对应的点在复平面内位于第二象限，求复数 z ＝a ＋ bi 中 a，b 的取值范围。
有些同学没有理解第二象限的坐标特点（负横坐标，正纵坐标），从而得出错误的 a，b 取值范围。
数学期末易错题剖析
数学期末易错题剖析数学期末考试是每个学生都会面对的重要考试之一。
在这个考试中，有一些题目容易让学生陷入迷惑，导致错失分数。
本文将分析一些数学期末考试中常见且易错的题目，并给出解析和解决方法，帮助同学们更好地备考。
1. 复数的运算问题复数运算是数学中的一个重要概念，也是数学期末考试中的一个难点。
在复数的运算过程中，学生容易出错。
常见的错误包括：不正确地计算实部和虚部、未正确使用复数的性质和运算法则等。
解析与解决方法：正确计算复数的实部和虚部十分重要，可以借助复数的代数形式进行计算。
此外，熟练掌握复数的性质和运算法则也是解决这类题目的关键。
多进行相关的练习和归纳总结，掌握复数的运算规律和技巧。
示例题目：已知复数z=2-3i，求复数z的共轭复数。
解答：复数的共轭复数定义为实部不变，虚部取相反数的复数。
所以，z的共轭复数为z*=2+3i。
2. 三角函数的运算问题三角函数是数学中重要的概念之一，涉及到角度和比值的计算。
在三角函数的运算中，学生容易犯错。
常见的错误包括角度的转化错误、函数值的计算错误等。
解析与解决方法：在解决三角函数的运算问题时，遵循正确的角度转化方法是解决问题的基础。
熟练掌握常见角度的相关数值，掌握角度和弧度的转换关系。
此外，正确理解三角函数的定义和性质，灵活运用三角函数的运算法则也是解决这类题目的关键。
示例题目：已知tan α = 1/2，求sin α和cos α的值。
解答：根据三角函数的定义和性质，我们可以得到sin α = 1/√5，cos α =2/√5。
3. 概率统计问题概率统计是数学中的一个重要分支，也是数学期末考试中的一个难点。
在概率统计的计算过程中，学生容易出错。
常见的错误包括：计算概率时未正确考虑样本空间、未正确使用概率运算法则等。
解析与解决方法：在解决概率统计问题时，要正确确定样本空间并制定合适的计数方法。
熟练掌握概率的基本概念和运算法则，能够正确地利用加法原理、乘法原理以及全概率公式和贝叶斯公式等进行计算。
2.复数计算中常见的错误
编号学士学位论文复数计算中常见的错误学生姓名：亚森·努尔学号：20051003043系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2006－3班指导教师：阿布拉·热孜克完成日期：2011年4月30日中文摘要全面掌握有关复数的知识后，实数集依然不够完善，由于数域的扩大，读者受思维定势的影响，对问题的思考还局限于实数范围；又由于复数的各种表达形式决定了复数的多面性，复数在高中数学教材中涉及面广，知识跨度大，并且是很重要的内容，可以说是数学的一个精髓内容，复数和代数，几何，三角等有着很密切的联系，使三者在复数中得到牵制，解决问题时要考虑到复数的概念及其性质，复数问题的技巧性和灵活性较强，加之涉及面较广，因此, 解决问题时稍有疏忽就会出现错误，本文将结合实例，指出值得注意的地方.关键词：概念；复数；常见错误；分析；正确解法2目 录中文摘要 ...................................................................................... 1 引言 .............................................................................................. 1 1.基本概念 . (1)1.1 复数的概念 .................................................. 1 1.2 复数的运算及其性质 (3)1.2.1 复数运算 (3)1.3 复数的形式 (5)2.例题及分析 (6)2.1 复数概念失误 ................................................ 6 2.2复数平移失误 ................................................. 8 2.3 复数模与辐角失误 . (10)2.3.1 求辐角主值时出现错误 .............................................. 10 2.3.2 模的失误 ......................................................... 10 2.3.3 复数的模的性质应用错误 .. (12)2.4 判解失误 ................................................... 13 2.5表达式失误 .. (14)2.5.1 代数式失误........................................................ 14 2.5.2 三角式失误........................................................ 15 2.5.3复数幂运算失误 . (16)总结 ............................................................................................ 18 参考文献 .................................................................................... 19 致谢 (20)1引言在复数的学习中，由于数域的扩大，读者受思维定势的影响，对问题的思考还局限于实数范围；又由于复数的多种表达形式决定了复数的多面性，很多学生和读者对复数的定义、性质、解题方法理解不够深刻，而复数问题的灵活性和技巧性较强.数集由实数集扩充到复数集后，实数的许多性质依然不够完善，但也有一些性质，对于复数而言却不再成立，并且不少复数题涉及面广.因此，读者在学完实数，再进入复数学习时，稍有疏忽，就会导致错误.下面举例分析复数在计算中值得注意的几类常见错误：复数概念错误、复数平移错误、特殊情况错误、复数模和辐角主值错误、公式成立的条件错误等.1.基本概念1.1 复数的概念形如(,)z a bi a b R =+ 的数叫做复数.其中a 和b 是任意实数，实数a 是复数的实部，实数b 是复数的虚部的系数.复数z 的实部和虚部.常记为Re ,a z =Im b z =.全体复数组成的集合叫做复数集.用字母C 来表示.形式中实数单位为1，i 满足21i -=称为复数单位.虚部不为零的复数称为虚数,实部为零的且虚部不为零的复数称为纯虚数. 若两个复数12(,),(,)z a bi a b R z di c d R c =+?+ 相等，则实部与实部相等,虚部与虚部相等,即(,,,)a c a bi c di abcd R b d =+=+污=ìïïíïïî.2复数的辐角:实轴正向量到非零复数(,)z a bi a b R =+ 所对应向量oz之间的角q 合于tan b aq =称为复数z 的辐角，记为Argz q =通常把满0p q p-＃的辐角值0q 称为Argz 的主值，记为arg z ，于是arg 2(0,1,2,..)Argz z k k q p ==+=北复数的模：向量oz的模r 叫做复数(,)z a bi a b R =+ 的模（或绝对值），记作z，有定义可知(0,)z a bi r rR 显然=+=澄共轭复数: 当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫共轭复数，虚部不等于零的两个共轭复数叫做共轭虚数.复数z 的共轭复数记作z ，即a bi a bi +=- (,)ab R Î复平面: 任何一个复数(,)z a bi a b R =+ 都 可用直角坐标平面内的顶点(,)z a b 表示.如图所示，用以表示复数的直角坐标平面叫做复平面.在复平面直角坐标系中把x轴叫做实轴，其上的点表示实数；把y 轴叫做虚轴，其上的点表示纯虚数.复数集C 和复平面内所有点的集合构成一一对应.31.2 复数的运算及其性质1.2.1 复数运算设: 12(,),(,)z a bi a b R z di c d R c =+?+ 即复数加（减）法：12()()()()z z a bi cdi i ac bd =+?=+北 (,,,)a b c d R Î复数乘法：212()()()()z z a bi c di ac bci adi bd i ac bd bc ad i ?++=+++=-++复数除法:21222()()()()z a bi a bi c di ac cbi adi bdi z c dic di c di cd ++-+--===++-+()22220ac bd bc bd ic di cd c d +-=++ ++复平面上两点间的距离： 12d z z =-复数的加法，乘法满足交换律，结合律以及乘法对加减的分配律，即加法交换律 1221z z z z +=+结合律 ()()123123z z z z z z ++=++ 乘法交换律 1221z z z z ?结合律 ()()123123z z z z z z =乘法对加法的分配律 ()1212z z z zz zz +=+关于共轭还有 1212z z z z +=+ 1212z z z z ?41122z z z z 骣÷ç÷=ç÷ç÷桫实数的正整数幂运算也能推广到复数集中，即*1212,(),()(,)m nm n m n mn n n nz z z z z z z z z m n N +?=?孜i 的乘方性质：4142434*,1,,1()n n n n i i i i i i n N +++==-=-= 共轭复数的性质:(1)2Re()z z z += (2)2Im()z z i z -= 22(3)z z z z ?=1212(4)z z z z ?+ 1212(5)z z z z = 11222(6)(0)z z z z z 骣÷ç÷= ç÷÷ç桫()(7)z z = (8)z z z 为实数= 2(9)z zz =()(10)nn z z = ()*n N Î (11) 两个等价条件： ①0.z R z z 污-=② z 为纯虚数0(0)z z z ?=复数模的性质:(1)0n z ³ (2)z z = *()(3)nnz zn N =1212(4)z zz z = (5)z =1122(6)z z z z = 2(0)z ¹ (7)(,)a bi a b R +=1212(8)nn z z z z z z 鬃?鬃(9)222212121222z z z z z z ++-=+ 1212(10)z z z z +=+51.3 复数的形式复数代数形式：复数表示(,)z a bi a b R =+ 叫做复数(,)a b 的代数形式，i 叫做虚部单位．它满足2(0,1)(0,1)(1,0)1i i i=?=-=-复数的三角形式：复数(,)z a bi a b R =+ 化为三角形()cos sin z r i q q =+,这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算设复数12,z z 的三角形式分别为()111cos sin r i q q +和()222cos sin r i q q +, 则()()12121212cos sin z z r r i q q q q 轾??+-臌若复数z 的三角形式为()cos sin z r i q q =+，那么()cos sin nnz r ni n q q =+，()21,2,3k ink q p +=必须记住 z 的n 次方根是n 个数．复数的指数形式：设cos sin i e i q q q =+，其e 为自然对数的底数.那么()cos sin z r i q q =+=i re q ．这种表达式叫做复数的指数形式.①1212()i i i ee e q q q q +? ②()ni i n e e q q = ③()1122i i i e e eq q qq -=复数的几何形式：复数(,)z a bi a b R =+ 用直角坐标平面上点(),z a b 表示．这种形式使复数的问题可以借助图形来研究，也可以反过来用复数的理论解决一些几何问题．复数的向量形式：设复平面的点z 来表示.复数(,)z a bi a b R =+ 则向量OZ 由点z 惟一确定. 向量OZ就是复数(,)z a bi a b R =+ 的向量表示，这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释．62.例题及分析2.1 复数概念失误例1 已知 12cos y y b +=，求1m m y y+的值()m N Î． 错解 112y y y y +=+ ① 又 12cos 2y y b += ② 12y y\+= 由不等式取“=”的条件，知：1y y=，即 1y = ． 2, y 1;12, y 1 ;2, y 1 .m m y m y m ì=ïïïï\+==-íïïï-=-ïî且为偶数且为奇数错误分析: 此解法错在式①，因为11y y y y+=+成立的条件是：若y R Î或y 为虚数，则y ，1y同向．已知条件中并未指明y 的范围，因此，我们必须在复数范围内考虑，事实上，当cos 1a b 贡时，等式成立的两条件都不满足，因而出现错误.正确解法1: 依题意y ，cos b ，1y成等差数列，所以可设7()()cos 31cos 4y n n yb b ì=-ïïïïíï=+ïïïî ()()34´ 得sin n i b =弊， 12cos m m y yb \+=． 正确解法2: 由m 为偶数， 即2m =时 222111()2m m y y y y y y +=+=+- 1(2cos )y yb += 22(2cos )24cos 2b b =-=- 22(2cos 1)2cos2b b =-=12cos m m y m yb \+=. 例2 已知复数1234,z i z t i =+=+且是实数，则实数 t 的值（ ）3.4A4.3B 4.3C - 3.4D -错解 1212120,z z R z z z z 孜?= 即(34)()(34)()0i t i i t i +-+-+= 解得 43t =- \故答案 选C . 错误分析: ,z R z z 污= z 为纯虚数0(0)z z z ?= 因此，上面解答应用的是z 为纯虚数的充根条件，因而求出的t 是12z z 为纯虚数的结果，显然是错误的.正确解法1: 12(34)()(34)()z z i t i i t i =+-=-+ 12z z 为实数，3430,4t t \-==\故答案 选A .8正确解法2: 12,z z R 1212z z z z \= (34)()(34)()i t i i t i \+-=-+ (34)(43)(34)(34)t t i t t i ++-=++-4334t t -=-34t = \故答案 选A .例3 两个共轭复数的差是（ ）A .实数B .纯虚数C .零D .零或纯虚数错解 设z a bi =+,则z a bi =- (,)a b R Î则 2z z bi -= 或2z z bi -=- . \故答案 选 B .剖析 2z z bi -=是就误选B ，忽略了b 可以为零的情况，造成错解的原因是：（1）认真审题不够，混淆了共轭虚数的区别.（2）思维方法错误，缺乏辩证观点，形式地记住了纯虚数bi ，而忽略了,a b 的取值范围.正确解法: 设z a bi =+ z a b i =-(,)a b R Î 则 2z z bi -= 或 2z z bi -=-，当0b ¹时，为纯虚数；当0b =时，为零. \故答案 选 D .2.2复数平移失误我们知道复平面内相同的向量表示相同的复数，因此,当复数对应的向量平移后它所对应的复数不变．但是在平时的学习中学生对此未给予足够的重视而常常犯一些错误，其主要原因是没有弄清楚复数的对应点的平移与复数对应向量的平移之间的区别，下面以题为例．9例4 设向量（O 是坐标原点）对应的复数为z ，将按顺时针方向旋转6π,再沿实轴正方向平移3个单位,向下平移一个单位,若所得的向量对应的i ，求复数z ．错解 因为将按顺时针方向旋转6π得复数1cos sin 6622z i z iz p p 轾骣骣鼢珑犏-+-=-鼢珑鼢珑犏桫桫臌， 再沿实轴正方向平移三个单位，向下平移一个单位，得复数132z iz i ÷÷+--÷÷桫， 再由题意得132z iz i i ÷÷+--=÷÷桫解得1322z i =+. 错误分析: 由于这个例子与别的例子不同,这是向量平移，无论向量平移到什么地方，它所表示的复数都是相同的．正确解法: 因为将按顺时针方向旋转6π的复数 1cos sin 662z i z iz p p 轾骣骣鼢珑犏-+-=-鼢珑鼢珑犏桫桫臌，此复数对应的向量再沿实轴正方向平移3个单位，向下平移1个单位，所得的复数仍然是12z iz -，再由题意得122z iz i -=，解得 2z =．102.3 复数模与辐角失误2.3.1 求辐角主值时出现错误 例5 已知arg z b =．求2arg z ． 错解 arg z b =，()2arg arg 2z z z b \=?．错误分析: 辐角主值取值范围为[)0,2p ．正确解法: 由arg z b =，设()()cos sin 0z r i r b b =+>， 则()22cos2sin 2z r i b b =+，当[)0,b p Î时，[)20,2b p Î2arg 2z b \=．当[),2b p p Î时，[)22,4b p p Î．2arg 22z b p =-．[)2arg 2 0,z b b p \= [)2arg 22,2z b p b p p =-2.3.2 模的失误例6 求复数()1cos sin 02z i b b b p =++＃的模.错解 21cos sin 2cos 2sin cos 222z i b b b b b =++=+ 2cos cos sin 222i b b b 骣÷ç=+÷ç÷ç桫 2cos2z b\=. 错误分析: 由于不正确理解r z =，所以没对cos2进行讨论．11正确解法: 由2cos cos sin 222z i b b b 骣÷ç=+÷ç÷ç桫讨论得： (1)当0,bp ＃即022bp ＃时，cos 0 2cos 22z b b砛=. (2)当2p b p <<，即22pb p <<，cos 0 2b<，故 2cos cos sin 2cos cos sin 222222z i i b b b b b b p p 轾骣骣骣鼢 珑 犏=--=-+++鼢 珑 鼢 珑 犏桫桫桫臌2c o s2z b\=-． 例7 已知29z z i =+，求复数z .错解 将29z z i =+平方得 2243681z z iz =+- 故 9z i =-或3i - .简析: 在实数中有22z z =成立，于是就认为在复数中一般的有22z z ¹，如：211i =- ，而 21i =这实际上是数集扩展到复数集时，将一些运算法则类比来而造成的错误.正确解法: 设z a bi =+(,)a b R Î,2()9a bi i++， 可得92a b==- 故 92z i = .122.3.3 复数的模的性质应用错误例8 关于y 的方程240y y m ++=的两根为1y 和2y ．若122y y -=，求 实数.m错解 由韦达定理得 12124y y y y m ì+=-ïïíï?ïî ()2124y y \-= ()2121244y y y y \+-?错误分析: 当y R Î时，有22y y =成立；而y C Î时，22y y ¹．正确解法: 由韦达定理得 12124y y y y mì+=-ïïíï?ïî 122y y -= \212()4y y -=()2121244y y y y \+-鬃= 1644m \-=\3m =或5m =.例9 若复数Z 满足111z i z -++-=，求1z i ++的最大值. 错解 由111z i z -++-=，知Z 对应的轨迹为一条线段，且1z＃11z i z i z ++?+=+ max 1z i \++=错误分析: 这用模的不等式时，忽视了等号成立的条件，实际上，公式1212z z z z +?，当且仅当12,z z 对应的向量中至少有一个向量或这两个向量方向一致时取等号.正确解法: 由111z i z -++-=表示一条线段，则1z i ++的最大值就是复数1i --与对应点的距离，故 max 1z i ++=132.4 判解失误例10 若方程2(62)960y i y i ++++= 求它的解.错解 整理原方程得269(26)0y y y i ++++=.由复数相等的条件得2690260y y y ++=+=ìïïíïïî 解得 3y =-剖析 当,a b 是实数时才能 由0a bi += 得0,0a b ==. 正确解法: 2(62)4(96)4,i i D =+-+=-(62)22i iy -+ =，即得 13y =- ，232y i =--.例11 若二次方程2(2)20x n i x ni ++++=有实根，求实数n 的值.错解 因为二次方程有实根，则22(2)4(2)120n i ni n D =+-+=- 即2120n -n \?或 n ³剖析 由于此二次方程的系数中含有虚数 ，所以不能用判别式判断有无实根.正确解法: 设二次方程的实根为a ，则有 2(2)20n i ni a a ++++=由复数相等的条件得 22020n n a a a ìï++=ïíï+=ïîn \=14例12 若23i -是方程2690x xi -+=的一个根，求p 的值.错解 由于23i -是方程2690x xi -+=的一个根，那么另一个根(23)i --，由韦达定理得(23)(23)13p i i =---=错误分析: 对于一元二次方程，只有当系数都是实数时，纯根才会成对出现，本题的系数显然不全是实数，因此，虚根不是成对出现的.正确解法: 设一根为1.x 由韦达定理得1123634(23)9176i x i x i i x p i ìì-+==+ïï镲Þ眄镲-==--ï镱î176p i \=--2.5表达式失误2.5.1 代数式失误例13 在复数集中解方程4242070y y y +-+=. 错解 原方程变形为 222(4)(2)0y y -++=, 2242)0,(0y y =\-+= 解得 1.22y = .剖析 产生错误的原因是：在实数集中，220a b +=Û 0a b ==；但在复数集中，此结论不成立.正确解法: 原方程变形为()22(2)210y y 轾+-+=犏臌，152(2)0y \+=或2(2)10y -+=解得 1,22,y =- 3422,y i y i =+=-.例14 关于x 的方程2(2)10x a i x ai +--+=有实根，求实数的取值范围. 错解 因为方程有实根 2(2)4(1)450a i ai a \D =---=- 解得2a ³或2a ? 错误分析:判别式只能用来判定实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++= 根的情况而该方程中2a i -与1ai -并非实数.正确解法: 设0x 是其实根，代入原方程变形200021()0x ax a x i ++-+=由复数相等的定义，得20002100x ax x a ìï++=ïíï+=ïî解得 1a =2.5.2 三角式失误在教材中，复数的三角形式定义为：形如()cos sin z r i q q =+的形式叫做复数的三角形式．其中r 为模，θ是复数的辐角．学生在学习的时候，错误地认为只要有三角函数的出现就是三角形式．因此，我们必须强调：0r ³，复数的实部为θcos r ，虚部为θsin r ，且θ一般用主值表示，并且要认清楚复数在复平面内的位置，只有这要才不致出现错误.16例15 把 1cos sin i a a ++ 化成三角形式，(),2a p p Î． 错解 1cos sin i a a ++22cos sin cos 222i a a a =+2cos cos sin 222i a a a 骣÷ç=+÷ç÷ç桫 1cos sin i a a \++的三角形式为 2coscos sin .222i a a a 骣÷ç+÷ç÷ç桫 错误分析: 复数三角形式有三个要求是 1)模大于零; 2)括号内的实部和虚部是同一个辐角值α的余弦与正弦; 3) cos α与sin i α之间用加号连结．正确解法: ()0,2a p Î ，\,22p p p 骣÷çÎ÷ç÷ç桫，cos 02a <， 1cos sin i a a \++22cos sin cos 222i a a a=+ 2cos cos sin 222i a a a 骣÷ç=+÷ç÷ç桫2cos cos sin 222i a a a p p 轾骣骣鼢珑犏=-+++鼢珑鼢珑犏桫桫臌1cos sin i a a \++的三角形式为2coscos sin 222i a a a p p 轾骣骣鼢珑犏-+++鼢珑鼢珑犏桫桫臌．2.5.3复数幂运算失误 例16 计算()141232i -+错解 ()141232i -+ 1433122×骣÷ç÷=-+ç÷ç÷ç桫1431==．错误分析: 若,,z C m n Î不全是整数时，()nm mnz z ¹．正确解法:14122i 骣÷ç÷-+ç÷ç÷ç桫342112222i ´骣骣鼢珑鼢=-+?+珑鼢珑鼢珑桫桫 4112骣÷ç÷=?-ç÷ç÷ç桫12=--.17例17 化简511i i骣-÷ç÷ç÷ç桫+ 错解1 555252222211(1)111(1)i i i i i i 轾轾骣骣---犏鼢珑犏===-鼢珑犏鼢珑犏桫桫+++犏臌臌（） 无意义.错解2 5555454244444211(1)(2)1111(1)(2)i i i i i i i i 轾轾轾骣骣----犏鼢珑犏犏=====鼢珑犏鼢珑犏犏桫桫+++犏臌臌臌.错误分析: 上述两种错解根源相同，就是将实数中的指数运算法则推广到了复数之中.正确解法: 5444111(1)(1)(1)111(1)(1)(1)i i i i i i i i i i i i 骣骣骣------鼢珑 =? 鼢 珑 鼢珑 桫桫桫+++++- 22(2)2(2)2i ii --= i =-.18总结复数是在高中教学课程里面是最重要的内容之一，在数域里面也是很重要的概念，复数问题涉及面广、综合性强、知识跨度大、解法灵活多样，解题时很容易出错．所以要深刻理解复数的定义及其性质，综合应用方程、函数等基础知识．由于实数集是复数的真子集，所以复数具有的性质实数都有，而实数的性质与其遵循的运算律，法则，复数却不一定具有，这就会造成实数的性质运算律和法则按部就班地运用到复数域上出现错误，读者长期在实数集上解决问题受定势思维的影响，往往不自觉地将实数集中不能推广到复数的性质、运算律、法则也运用到复数域中，然而造成了解题上的错误，本文主要讨论了复数计算中常见的错误，复数的模和辐角错误，共轭复数的运算性质，从而通过复数问题和它的重要性质解决复数计算中常见错误．本文列出几类常见错误， 仅供参考.19参考文献[1] 杜志建.高考复习讲义[M].新疆青少年出版社，2009．2 (258－260页).[2] 钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，1979(1－37页).[3] 刘根喜.复数问题错解举隅[J].高中数学教与学, 2000．5(53－55页).[4] 任志鸿.高考总复习导学大课堂[M].华文出版社, 2007．10(84－87页).[5] 刘增利.高中数学教材知识资料包[M]. 北京教育出版社,2004．6 (456－468页).[6] 李长明，周焕山.初等数学研究[M]. 北京：高等教育出版社,2008．12 (52－60页).[7] 阿布拉 阿布杜瓦克 . 初等代数[M].喀什师院出版社,2008(85－100页)．[8] 高中数学(选修Ⅱ)[M].人民教育出版社. 2003．12(162－175页).[9] 王卫华，刘玉芳.剖析复数运算的常见错误[J]. 数学通讯，2007年第1期(14页)．[10] 贾俊森，威兴存.复数问题中的几类典型错误剖析[J].中学数学月刊，2001年第4期(38页)．[11] 王芹．复数运算中常见错解例析[J].语数外学习；高考数学，2007年第期(16页).20致谢在喀什师范学院五年的学习过程中，使我在研究数学逻辑思维能力等方面得到了很大的提高.在阿布拉·热孜克老师细心的指导下我所写的以“复数计算中常见的错误” 为题目的毕业论文顺利地通过，老师帮我批改了很多次，并且提供了各方面的资料和很多宝贵意见，在此对阿布拉·热孜克老师的帮助表示衷心的感谢，在他耐心的指导下，我学会了写论文的三步骤：怎么样开头，怎样继续，怎样结束.非常感谢阿布拉·热孜克老师，也非常感谢数学系的各位老师，在他们的精心教育下，使我在各方面得到了很大的提高，为以后工作和学习打下了良好的基础.此致敬 礼亚森·努尔2011年4月 30日。
复数运算中常见的错解剖析
解题篇易错题归类剖析高二数学2021年4月复数运算中常见的错解剖析■重庆市育才中学校高2023级13班何欣祎(指导老师：祖浚修)由于同学们以前都是在实数集内考虑问题，所以在学了复数后往往会不自觉地把实数有关的性质、公式、法则不加分析地用到复数上，这就使得解答复数题时常常出现各种错误。
下面分别列举同学们常犯的错误并剖析原因。
一、忽视复数相等的条件15>l f已知工是实数，)是纯虚数，且满足(2工一1)+(3—a)i=y—i,求的值。
错解：由复数相等的定义得：(5(2jc—l=y,\^=~29(3—»=—1I3=4。
剖析za~\~b\.=c=c且b=d,成立的前提条件是a9b9c9den o但本题夕为纯虚数，并非实数，而左式中的3—y并非是(2rr—1)+(3—》)i的虚部，同样，在右边的夕一i也并非是实部。
正解：因为>是纯虚数，所以可设y=(2鼻一l)+3i+b=bi—i,整理得(2rc—l+b)+3i=Q—l)i。
由复数相等的充要条件可得s—1+b=0,[i=4,\b-l=3^=——o故鼻=—号-,y=4i。
1W2解关于工的方程2—5工+6+ (鼻一2)i=0。
错解：由复数相等的定义得(jc2—5rr+6=0>(rc=2或;r=3,\=^-\=2°lx—2=0lx=2剖析:a~hbi=c-\-di<F^a=c且b=d成立的前提条件是a,b,c,dWR,但本题并未告诉鼻是否为实数。
正解：原方程变形为/一(5 —0工+6—2i=O,^=(5—i)2—4(6—2i)=—2i=(l—i)2o由一元二次方程求根公式得帀= (5-i)+(l-i)o.(5-i)-(l-i) -----------Q-----------=3_1,乞2=-----------Q-----------=2o原方程的解为^C1=3—i,rc2=2o二.忽视使用判别式的条件伸!孑关于鼻的方程X2 +(,2a—i)re—小+1=0有实根，求实数a的取值范围。
理解复数的性质解决复数题
理解复数的性质解决复数题复数在数学中是一个很重要的概念，它广泛应用于各个领域，如代数、物理等。
理解复数的性质可以帮助我们更好地解决复数题。
本文将从复数的定义、性质以及解决复数题的方法等方面进行探讨。
【引言】复数是数学中一个重要的概念，它由实部和虚部组成。
理解复数的性质对解决复数题具有重要意义。
【复数的定义】复数可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
这个定义使得复数可以同时包含实数和虚数部分，扩展了数的范围。
【复数的性质】1. 加法性质：复数的实部和虚部可以分别相加，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
2. 减法性质：复数的实部和虚部可以分别相减，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
3. 乘法性质：复数的乘法满足分配律，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
4. 系数相等性质：两个复数相等，必须它们的实部和虚部分别相等，即a+bi=c+di相当于a=c且b=d。
5. 共轭性质：一个复数的共轭复数的虚部与原复数的虚部符号相反，即(a+bi)的共轭复数为(a-bi)。
6. 幂运算性质：复数的幂运算符合幂运算的基本规律，如(a+bi)^n=a^n+(nC1)a^(n-1)bi+...+(nCn-1)a(bi)^(n-1)+bi^n。
【解决复数题的方法】1. 记住复数的定义和性质，熟练掌握复数的加减乘除运算规则，可以通过化简和运算转换等方法解决复数题。
2. 对于复数的幂运算，可以利用幂运算性质和二项式定理来简化计算过程。
3. 在解决实际问题时，可以将问题转化为复数形式，并利用复数的性质进行分析和求解。
【实例分析】假设有一个复数问题：已知复数z=(1+2i)^3，请计算z的值。
解题思路：1. 根据幂运算性质，展开复数z的表达式：z=(1+2i)^3=1^3+3*1^2*(2i)+3*1*(2i)^2+(2i)^3。
复数解题中常见错误浅析
复数解题中常见错误浅析
复数解题是学生们在学习数学时必须面对的考题，在做复数解题时，学生们容易出现一些
相同的错误，比如在理解问题时，使用不正确的方法来解决复数，或者在断定复数的解时，没有考虑所有不同的可能性。
此外，学生们在处理复数所求的概念时，也会出现一些常见
的错误，比如在求解复数的极限时，学生们常会忽略计算结果的可能变化，从而得出错误
的答案；在形成复数解出复数的方程时，另一个常见的错误就是在形成方程时，把直角三
角形的边长写成弧度而不是在括号中表示，或者在形成复数解出复数方程时，把答案和函
数合并为一个表达式，容易造成计算误差。
总之，做复数解题时，学生们最容易出现的一些常见错误就是：在求解复数的极限时，忽
略计算结果的可能变化；在形成复数解出复数方程时，把边长写成弧度，而不是括号表示；在形成复数解出复数方程时，把答案和函数合并为一个表达式。
因此，学生们做复数解题时，一定要认真思考，用适当的方法来解决复数，避免错误。
高中数学复数的运算与问题分析解答技巧
高中数学复数的运算与问题分析解答技巧复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数部分组成。
在高中数学中，我们经常会遇到涉及复数的运算和问题分析，因此熟练掌握复数的运算与问题解答技巧对于高中学生来说是非常重要的。
一、复数的基本概念和运算复数是由实数和虚数部分构成的，通常用a+bi的形式表示，其中a为实部，b 为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
复数的加法、减法和乘法运算都遵循相应的规则，可以通过对实部和虚部的运算来实现。
例如，对于复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的加法运算可以表示为：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i同样地，复数的减法运算可以表示为：z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i复数的乘法运算可以表示为：z1*z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i二、复数的问题分析解答技巧1. 求复数的模和辐角复数的模表示复数到原点的距离，可以用勾股定理求得。
复数的辐角表示复数与实轴的夹角，可以用反三角函数求得。
在解答问题时，我们常常需要求复数的模和辐角。
例如，对于复数z=a+bi，它的模可以表示为：|z|=√(a^2+b^2)复数的辐角可以表示为：arg(z)=arctan(b/a)2. 复数的共轭和倒数复数的共轭表示将复数的虚部取负，实部保持不变。
复数的倒数表示将复数取倒数，然后对实部和虚部分别取负。
在解答问题时，我们常常需要求复数的共轭和倒数。
例如，对于复数z=a+bi，它的共轭可以表示为：z^*=a-bi复数的倒数可以表示为：z^(-1)=1/(a+bi)3. 复数的幂次和根复数的幂次表示将复数连乘若干次，复数的根表示将复数开若干次方。
在解答问题时，我们常常需要求复数的幂次和根。
例如，对于复数z=a+bi，它的幂次可以表示为：z^n=(a+bi)^n复数的根可以表示为：√z=±√(a+bi)三、举一反三掌握了复数的运算和问题解答技巧，我们可以通过具体题目来加深理解，并举一反三。
复数的解题策略2022年高考数学之破解高考命题陷阱 Word版含解析
一、学习目标【学习目标】1．理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用．2．了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算．3．了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用．二．知识点与方法总结1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a=0，则a ＋b i 为纯虚数，i 为虚数单位．(2)复数相等：复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a =c ,b =d (a ，b ，c ，d ∈R)．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a =c ,b =-d (a ，b ，c ，d ∈R)．(4)复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|．2．复数的四则运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；(3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i )·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；(4)除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ） ＝（ac ＋bd ）＋（bc －ad ）i c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． 3．两条性质(1)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(其中n ∈N *)； (2)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i＝－i. 4.方法规律总结（1）.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法.（2）.实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数.（3）.复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义，转化条件和结论，有效利用数和形的结合，取得事半功倍的效果.三．命题类型及陷阱措施1.复数模的几何意义2.复数的代数运算3.共轭复数4.复数幂的运算5.复数与向量的综合四．命题陷阱讲解及练习1.复数模的几何意义例1. 1．已知12,z z C ∈， 1222z z +=， 13z =， 22z =，则12z z -=（ ） A. 1 B.12 C. 2 D. 2 【答案】D 2．已知z C ∈， 21z -=，则25z i ++的最大值和最小值分别是（ ）411411 B. 3和1 C. 523439 3【答案】A【解析】,21z C z ∈-=，设i z x y =+，则()2221x y -+= ,表示z 在以()2,0为圆心1为半径的圆上，则25i z ++表示z 到()2,5--的距离，根据圆的几何性质可知，圆()2221x y -+=上的动点到点()2,5--的最大值为()()222251411++-+=+，最小值为()()222251411++--=-，故选A.3．()()321i i +-+表示（ ）A. 点()3,2与点()1,1之间的距离B. 点()3,2与点()1,1--之间的距离C. 点()3,2与原点的距离D. 点()3,1与点()2,1之间的距离【答案】A4．复数)20183z i i i =+ (i 为虚数单位），则z =（ ） 32【答案】C 【解析】20162313i i 2i 211z +=++=+=-=5．在复平面内，复数cos3sin3z i =+（i 为虚数单位），则z 为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】22331z cos sin =+= 故选D2.复数的代数运算例2已知复数z 满足()2i 4,i z +=是虚数单位,则复数z 的虚部是A. 45B. 45-C. 4i 5D. 4i 5- 【答案】B【解析】()424842555i z i i -===-+，所以虚部是45-，故选B 。
复数与复数运算详细解析与归纳
复数与复数运算详细解析与归纳复数是数学中一种重要的概念，它包含了实数范围之外的数。
在本文中，我们将详细解析复数的定义、运算规则以及复数的归纳方法，旨在帮助读者更好地理解和应用复数。
一、复数的定义复数是由实数和虚数单位构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。
复数由实部和虚部两部分组成，实部是实数部分，虚部是虚数部分。
二、复数的四则运算1. 加法：对应位置的实部和虚部分别相加。
2. 减法：对应位置的实部和虚部分别相减。
3. 乘法：按照分配律展开并合并同类项，同时注意i²的取值。
4. 除法：将除数乘以共轭复数的分子和分母，然后进行简化。
三、复数的性质与归纳1. 共轭复数：将复数的虚部取负数得到的数为共轭复数，记作z'。
共轭复数具有以下性质：a. 共轭复数的实部相等，虚部的符号相反。
b. 复数与它的共轭复数的乘积等于它的模的平方。
c. 对于实数，它的共轭复数等于它本身。
2. 复数的模和辐角：复数的模是复数到原点的距离，通常用|r|表示；辐角是复数与实轴正半轴之间的夹角，通常用θ表示。
复数的性质与归纳如下：a. 复数的模等于它与共轭复数的乘积的平方根。
b. 复数的辐角等于它在坐标平面上与实轴正半轴的夹角。
c. 两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等。
3. 欧拉公式：欧拉公式将复数的辐角表示为指数形式，可以用于简化复数的运算。
欧拉公式的表达式为e^(iθ) = cosθ + isinθ，其中e为自然对数的底数。
利用欧拉公式可以更方便地进行复数的乘方运算和三角函数的运算。
四、应用举例复数在物理学、工程学以及信号处理等领域有广泛的应用。
下面是一些常见的应用举例：1. 交流电路中的复数阻抗：复数可以用来表示交流电路中的电阻、电感和电容，进而分析电路中的电流和电压。
2. 复数频域分析：利用复数的欧拉公式，可以将信号在频域上进行分析和处理，例如傅里叶变换。
复数运算应用题
复数运算应用题在解决复数运算应用题时，我们需要掌握一些基本的概念和技巧。
本文将介绍如何应用复数进行运算，并通过一些实际例题来帮助读者更好地理解和掌握这一技巧。
首先，我们需要了解复数的定义。
复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
在复平面上，实部在横轴上，虚部在纵轴上。
在进行复数的加减乘除运算时，实部和虚部分别相加减。
例如，(3+2i)+(1+4i)=(3+1)+(2+4)i=4+6i。
乘法运算时，要利用分配律和i^2=-1的性质，例如，(3+2i)*(1+4i)=3*1+3*4i+2i*1+2i*4i=3+12i+2i-8= -5+14i。
复数的除法也可以通过有理化分母的方法来进行。
下面，我们来看几个应用题。
1. 已知复数z1=2+3i，z2=1-2i，求z1+z2和z1*z2的结果。
解：z1+z2=(2+3i)+(1-2i)=3+iz1*z2=(2+3i)*(1-2i)=2-4i+3i-6i^2=2-4i+3i+6=8-i2. 一个复数的实部是3，虚部是7，求这个复数。
解：设该复数为z=3+7i3. 已知复数z满足z^2=1+2i，求z的值。
解：设z=a+bi，根据公式展开可得：(a+bi)^2=1+2ia^2+2abi-b^2=1+2i由实部和虚部分别相等可得：a^2-b^2=12ab=2解得a=1，b=1，即z=1+i通过以上例题的分析，我们可以看到，掌握了复数的基本概念和运算规则，并结合实际应用题进行练习，可以更好地应用复数进行运算。
希望读者通过学习和练习，能够熟练掌握复数运算的技巧，提高数学解题能力。
复数解题中错误简析
△ = [ 一 2(
,
. ’
2 , 一 ` )〕 一 4
·
2
·
(一 阴: ) )
幼
。 一 r 》 o
.
。
)
1
或。 《
一 1
.
:
。
分析
:
.
△ 》 ’0 是 实 系 数 一 元二 次方程 有 实 根 的
。
.
充 要 条件
解
, `一 。
:
、
对 复系 数 二 次 方 程 则未 必成立
a
.
盆
+
劣
,
+
“ ,
“ 0
:
o
+ b:
之
,
, 则 !2 1 =
a ,
+ b,
,
而
.
z ,
=
a l一
b . + Z o b`
,
b 斗。
即 是虚数 时 一定 有 ! 引 斗 护
. = 1
’
= l
x
略解
~ 一一
。 .
:
实 数中 的 指数运 算 法 则 ( ’ ) ” 不能 。 , 求 展 照搬 到 复 数 集 当 为复 数 时 要 N 而x =
’.
一 C二 十必一 二 C竺 (
) , 十 (C 盆 一 C尝 +
巴一一)
,
二 2.
。
学习
“
复数
,
”
中易 犯 的错 误
周 廷生
,
复 数 解题 中错 误 简析
( 安 徽 坪 碑 职 工 教 育局 )
,
( 江 西 戈 阳 一 中)
高中必修1-5错误解题分析系列-《11.2 复数的运算》
§11.2 复数的运算一、知识导学1.复数加、减法的几何意义(1)加法的几何意义复数21z z + 是以→1oz 、→2oz 为两邻边的平行四边形对角线→oz 所对应的复数.(2)复数减法的几何意义复数21z z -是连接向量1OZ 、2OZ 的终点，并指向被减数的向量21z z 所对应的复数.2. 重要结论（1） 对复数z 、1z 、2z 和自然数m 、n ，有 n m n m z z z +=•，mn n m z z =)(，n n n z z z z 2121)(•=•(2) i i =1，12-=i ，i i -=3，14=i ；114=+n i ，124-=+n i ，i i n -=+34，14=n i .(3) i i 2)1(2±=±，i i i -=+-11，i ii =-+11. (4)设231i +-=ω，ϖω=2，ωω=2，012=++ωω，n n 33ωω=，021=++++n n n ωωω二、疑难知识导析1.对于22z z z z ==⋅，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会.2.在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论.当C z ∈时，不总是成立的.(1)),()(为分数时不成立n m zz mn n m =； (2))1(时不成立==⇒=z n m z z n m ；(3)),(0021212221是虚数时不成立z z z z z z ==⇔=+； (4))(22为虚数时不成立z z z =； (5))(为虚数时不成立z a z a a z <<-⇔<三、经典例题导讲[例1] 满足条件512=++-z i z 的点的轨迹是（ ）A.椭圆B.直线C.线段D.圆错解：选A 或B.错因：如果把i z 2-看作动点Z 到定点（0，2）的距离，由上式表示到两个定点（0，2）与（-1，0）的距离之和为常数5∴动点的轨迹符合椭圆的定义，但是，有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数. 正解： 点（0，2）与（-1，0）间的距离为5，∴动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选C评注：加强对概念的理解加深，认真审题.[例2] 求值：.)1()1(6n n i i --⋅+ 错解：原式=1368)2()11()1(+=⋅-=-+-n n n i i i ii i 82-==时，原式当n83==时，原式当n错因：上面的解答错在没有真正理解Z n ∈的含义，只是用了三个特殊整数代替了所有整数，犯了用特殊代替一般的错误.另外还可以看出对虚数单位i 的整数幂的运算不熟悉，没有掌握虚数单位i 整数幂的运算结果的周期性.正解：原式=n i i i )11()1(6-+- =138)2(+=⋅-n n i i i=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-+=-).4(8,348)(),24(8),14(8k n ik n k k n i k n ）（为非负整数 评注：虚数单位i 整数幂的值具有以4为周期的特点，根据时，求n i n 必须按被4整除余数为0、1、2、3四种情况进行分类讨论.[例3]已知i z 312+-=，求200021z z z +++ 的值.分析：结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式qq a S n n --=1)1(1，若直接将条件代入求和公式，则显得较为麻烦，不妨先将条件化简. ω=+-=--=+-=i i i z 23214)31(2312原式=01111111667*32001=--=--=--ωωωz z 评注：由于数列中的数可以是复数，所以数列的诸性质在复数集中仍成立.[例4] （06年上海春卷）已知复数w 满足i (i )23(4w w -=-为虚数单位），|2|5-+=w wz ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程. 解法一： i 2i21i 34,i 34)i 21(-=++=∴+=+w w ， i 3|i |i25+=-+-=∴z . 若实系数一元二次方程有虚根i 3+=z ，则必有共轭虚根i 3-=z .10,6=⋅=+z z z z ， ∴ 所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x .解法二：设i b a w +=R)(∈b a 、b a b a 2i 2i 34i +-=-+，得 ⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴ ⎩⎨⎧-==,1,2b a i 2-=∴w ，以下解法同解法一.[例5].211<<-+=ωω是实数，且是虚数，设zz z .的实部的取值范围的值及求z z解析 是虚数z yix yi x z z +++=+=∴1)(1ω可设 i yx y y y x x x y x yi x yi x )()(222222+-+++=+-++= ,0≠y 是实数，且ω 1,0112222=+=+-∴y x y x 即,1=∴z x 2=ω此时22121<<-<<-x 得由ω)1,21(,121-<<-∴的实部的范围是即z x 四、典型习题导练1．（06年四川卷）非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意,a b G ∈，都有a b G ⊕∈；（2）存在e G ∈，使得对一切a G ∈，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”；现给出下列集合和运算：①{},G =⊕非负整数为整数的加法②{},G =⊕偶数为整数的乘法③{},G =⊕平面向量为平面向量的加法④{},G =⊕二次三项式为多项式的加法⑤{},G =⊕虚数为复数的乘法其中G 关于运算⊕为“融洽集”__________;（写出所有“融洽集”的序号）2.______)11(1993=-+ii 3．计算4.计算5．解下列方程：(1)； (2).。
剖析复数运算的常见错误
剖析复数运算的常见错误
王卫华;刘玉芳
【期刊名称】《河北理科教学研究》
【年(卷),期】2007(000)001
【摘要】复数是数的概念的一次扩展，伴随着复数的引入，产生了一些新的概念和运算法则，但是由于中学主要是在实数范围内学习数学，对实数的有关法则比较熟悉，从而在解有关复数方程时，往往与在实数集中解方程的有关方法相混淆而导致一些错误解法，现举例如下。
【总页数】2页(P14-15)
【作者】王卫华;刘玉芳
【作者单位】湖北省黄梅县第一中学,435500;湖北省黄梅县第一中学,435500【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.英语论文写作常见错误剖析 [J], 王晓
2.英语论文写作常见错误剖析 [J], 王晓
3.复数运算中常见的错解剖析 [J], 何欣祎;祖浚修(指导)
4.复数运算中常见的错解剖析 [J], 何欣祎
5.初中化学实验操作常见错误剖析 [J], 钟素琴
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
高中必修15错解分析第1113章修改稿
第十一章 数系的扩充与复数§11.1 数系的扩充与复数的概念一、知识导学1. 复数：形如bi a +的数（b a ,R ∈），复数通常有小写字母z 表示，即bi a z +=,其中a 叫做复数的实部、b 叫做复数的虚部，i 称做虚数单位.2. 分类：复数bi a +(b a ,R ∈)中，当0=b 时，就是实数；除了实数以外的数，即当b 0≠时，bi a +叫做虚数；当0=a ,b 0≠时，叫做纯虚数.3. 复数集：全体复数所构成的集合.4. 复数相等：如果两个复数bi a +与di c +的实部与虚部分别相等，记作：bi a +=di c +.5. 复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴. 6. 复数的模：设oz =bi a +,则向量oz 的长度叫做复数bi a +的模（或绝对值），记作bi a +.(1)22b a bi a z +=+=；(2)21z z +=12z z +； (3)2121z z z z =； 7．共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数.二、疑难知识导析1．两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小2．,R z ∈则02≥z ，而C z ∈，则02≥z 不一定成立，如i z =时012<-=i ； 3．22,z zR z =∈，而C z ∈则22z z =不一定成立；4．若,,,321C z z z ∈0)()(232221=-+-z z z z 不一定能推出321z z z ==；5．若R z z ∈21,，则21z z -=212214)(z z z z -+，但若,,21C z z ∈则上式不一定成立.三、经典例题导讲[例1]两个共扼复数的差是（ ）A .实数B .纯虚数C .零D .零或纯虚数错解:当得到bi z z 2=-时就错误的选B ，忽略了b 可以为零的条件.正解：设互为共扼的两复数分别为bi a z +=及),(R b a bi a z ∈-=则bi z z 2=- 或bi z z 2=-当0≠b 时，z z -，z z -为纯虚数当0=b 时，0=-z z ，0=-z z ，因此应选D.注：要认真审题，看清题设条件，结论. 学会全面辩证的思考问题，准确记 忆有关概念性质. [例2]判断下列命题是否正确 (1)若C z ∈, 则02≥z(2)若,,21C z z ∈且021>-z z ，则21z z >(3)若b a >，则i b i a +>+错解：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正确的(2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的.(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件. 正解：(1)错，反例设i z =则0122<-==i z(2)错，反例设i z +=21，i z +=12，满足0121>=-z z ，但1z 2z不能比较大小.(3)错，b a > ，R b a ∈∴,，故i a +，i b +都是虚数，不能比较大小.[例3]实数a 分别取什么值时，复数i a a a a a z )152(3622--++--=是(1)实数； (2)虚数;(3)纯虚数.解：实部3)3)(2(362+-+=+--a a a a a a ，虚部)5)(3(1522-+=--a a a a .（1）当 时，z 是实数； （2）当，且时，z 是虚数；（3） 当 或时是纯虚数．[例4] 设i z R m i m m m m z 35),()34()32(2221+=∈+-+--=，当m 取何值时， (1) 21z z =; (2)01≠z .分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程，求出 的值．解：(1)由可得：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--33453222m m m m 解之得4=m ，即：当 时(2)当可得：或 ，即时01≠z .[例5]21,z z 是两个不为零的复数，它们在复平面上分别对应点P 和Q ，且024222121=+-z z z z ，证明△OPQ 为直角三角形（O 是坐标原点），并求两锐角的度数．分析 本题起步的关键在于对条件024222121=+-z z z z 的处理．等式左边是关于21,z z 的二次齐次式，可以看作二次方程求解，也可配方．解：由024222121=+-z z z z （，不为零），得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛±+⎪⎭⎫ ⎝⎛±=±=±=3s i n 3c o s 21431832221221ππi z z z iz i z 即向量OP 与向量的夹角为3π， 在图中，3π=∠POQ ，又||21||21z z =，设r z r z 2||,||21==， 在△OPQ 中，由余弦定理△OPQ 为直角三角形，．四、典型习题导练1. 设复数z 满足关系i z z +=+2||，那么z 等于（ ）． A ．B ．C ．D ．2.复数系方程062)1()1(2=----+i x i x i 有实数根，则这个实数是_________. 3. 实数m 取何值时，复数是(1)纯虚数；(2)在复平面上的对应点位于第二象限．4.已知z z z f -+=1)(且,310)(i z f +=-求复数z5.设复数z 满足5=z 且z i )43(+在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上，),(252R m m z ∈=-求m z 和的值§11.2 复数的运算一、知识导学1.复数加、减法的几何意义 (1)加法的几何意义复数21z z + 是以→1oz 、→2oz 为两邻边的平行四边形对角线→oz 所对应的复数. (2)复数减法的几何意义复数21z z -是连接向量1OZ 、2OZ 的终点，并指向被减数的向量21z z 所对应的复数. 2. 重要结论（1） 对复数z 、1z 、2z 和自然数m 、n ，有n m n m z z z +=∙，mn n m z z =)(，nn n z z z z 2121)(∙=∙(2) i i =1，12-=i ，i i -=3，14=i ； 114=+n i，124-=+n i ，i i n -=+34，14=n i .(3) i i 2)1(2±=±，i i i -=+-11，i ii=-+11. (4)设231i +-=ω，ϖω=2，ωω=2，012=++ωω，n n 33ωω=，021=++++n n n ωωω二、疑难知识导析 1.对于22z zz z ==⋅，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会.2.在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论.当C z ∈时，不总是成立的. (1)),()(为分数时不成立n m z z mnnm =；(2))1(时不成立==⇒=z n m z zn m ；(3)),(0021212221是虚数时不成立z z z z z z ==⇔=+； (4))(22为虚数时不成立z z z=；(5))(为虚数时不成立z a z a a z <<-⇔< 三、经典例题导讲[例1] 满足条件512=++-z i z 的点的轨迹是（ ）A.椭圆B.直线C.线段D.圆错解：选A 或B.错因：如果把i z 2-看作动点Z 到定点（0，2）的距离，由上式表示到两个定点（0，2）与（-1，0）的距离之和为常数5∴动点的轨迹符合椭圆的定义，但是，有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数. 正解： 点（0，2）与（-1，0）间的距离为5， ∴动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选C 评注：加强对概念的理解加深，认真审题. [例2] 求值：.)1()1(6nni i --⋅+错解：原式=1368)2()11()1(+=⋅-=-+-n n ni i i ii i 82-==时，原式当n 83==时，原式当n错因：上面的解答错在没有真正理解Z n ∈的含义，只是用了三个特殊整数代替了所有整数，犯了用特殊代替一般的错误.另外还可以看出对虚数单位i 的整数幂的运算不熟悉，没有掌握虚数单位i 整数幂的运算结果的周期性. 正解：原式=nii i )11()1(6-+- =138)2(+=⋅-n nii i=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-+=-).4(8,348)(),24(8),14(8k n ik n k k n ik n ）（为非负整数 评注：虚数单位i 整数幂的值具有以4为周期的特点，根据时，求n i n 必须按被4整除余数为0、1、2、3四种情况进行分类讨论. [例3]已知iz 312+-=，求200021z z z +++ 的值.分析：结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式qq a S n n --=1)1(1，若直接将条件代入求和公式，则显得较为麻烦，不妨先将条件化简. ω=+-=--=+-=i i iz 23214)31(2312 原式=01111111667*32001=--=--=--ωωωz z 评注：由于数列中的数可以是复数，所以数列的诸性质在复数集中仍成立.[例4] （06年上海春卷）已知复数w 满足i (i )23(4w w -=-为虚数单位），|2|5-+=w wz ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程. 解法一： i 2i 21i34,i 34)i 21(-=++=∴+=+w w ，i 3|i |i25+=-+-=∴z . 若实系数一元二次方程有虚根i 3+=z ，则必有共轭虚根i 3-=z . 10,6=⋅=+z z z z ，∴ 所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x . 解法二：设i b a w +=R)(∈b a 、 b a b a 2i 2i 34i +-=-+，得 ⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴ ⎩⎨⎧-==,1,2b ai 2-=∴w ，以下解法同解法一. [例5].211<<-+=ωω是实数，且是虚数，设zz z .的实部的取值范围的值及求z z解析 是虚数z yix yi x z z +++=+=∴1)(1ω可设 i yx yy y x x x y x yi x yi x )()(222222+-+++=+-++= ,0≠y 是实数，且ω 1,0112222=+=+-∴y x yx 即 ,1=∴zx 2=ω此时22121<<-<<-x 得由ω)1,21(,121-<<-∴的实部的范围是即z x四、典型习题导练1．（06年四川卷）非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意,a b G ∈，都有a b G ⊕∈； （2）存在e G ∈，使得对一切a G ∈，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”；现给出下列集合和运算：①{},G =⊕非负整数为整数的加法 ②{},G =⊕偶数为整数的乘法③{},G =⊕平面向量为平面向量的加法 ④{},G =⊕二次三项式为多项式的加法 ⑤{},G =⊕虚数为复数的乘法其中G 关于运算⊕为“融洽集”__________;（写出所有“融洽集”的序号） 2.______)11(1993=-+ii 3．计算4.计算5．解下列方程： (1)； (2).第十二章 统计12．1抽样方法一、 知识导学 1．抽签法：（1）将总体中的所有个体编号（号码可以从1到N ）；（2）将1到N 这N 个号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条等制作）；（3）将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；（4）从箱中每次抽出1个号签，并记录其编号，连续抽取k 次； （5）从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体取出. 2．随机数表法：（1）对总体中的个体进行编号（每个号码位数一致）； （2）在随机数表中任选一个数作为开始；（3）从选定的数开始按一定的方向读下去，得到的数码若不在编号中，则跳过；若在编号中，则取出；如果得到的号码前面已经取出，也跳过；如此继续下去，直到取满为止； （4） 根据选定的号码抽取样本. 3．系统抽样（等距抽样）：（1）采用随机的方式将总体中的个体编号； （2）将整个的编号按一定的间隔（设为k ）分段，当nN（N 为总体中的个体数，n 为样本容量）是整数时，n N k =；当nN 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N /能被n 整除，这时nN k /=，并将剩下的总体重新编号；（3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l ；（4）将编号为k n l k l k l l )1(.,,.........2,,-+++的个体抽出. 4．分层抽样：（1）将总体按一定标准分层；（2）计算各层的个体数与总体的个数的比；（3）按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量； （4）在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）. 二．疑难知识导析1．简单随机抽样是从总体中逐个不放回地抽取.2．简单随机抽样和系统抽样都是一种等概率抽样，即每个个体被抽到的可能性都是相同的.3．简单随机抽样适用于总体中个体较少的情况；系统抽样适用于总体中个体数较多的情形；分层抽样用于总体由几个差异明显的部分组成的情况.4． 分层抽样时，在每一层内进行抽样时可根据具体情况，采用简单随机抽样或系统抽样. 5． 在使用分层抽样时，在每一层内抽样的比例相同. 三．经典例题导讲[例1]某工厂生产A,B,C,D 四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5：1，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号有16件，那么此样本容量n 是多少？ 错解：样本容量1615322+++⨯=2（件）错因：混淆了A 型号产品与样本容量的比例关系.正解：在分层抽样中，每一层所抽的个体数的比例与总体中各层个体数的比例是一致的，所以，样本容量为881621532=⨯+++=n答：此样本容量为88件.[例2]从1002名学生中选取100名进行抽样检查.请用系统抽样法设计一种方案，叙述其步骤. 解：（1）将1002名学生进行编号，号码分别为1，2，……，1002； （2）用随机数表法剔除2个个体，并将剩下的学生重新编号，号码分别为1，2，……1000；（3）将1000个号码平均分成100组，并在第一组1，2，……，10中用简单随机抽样法确定一个号码（如l ）； （2） 将号码为l l l l +++990,......20,10,的个体抽出.[例3]某学校有2005名学生，从中选取20人参加学生代表大会，采用简单随机抽样方法进行抽样，是用抽签法还是随机数表法？如何具体实施？分析：由于学生人数较大，制作号签比较麻烦，所以决定用随机数表法 解：采用随机数表法 实施步骤：（1） 对2005名同学进行编号，0000-2004（2） 在随机数表中随机地确定一个数作为开始，如21行45列的数字9开始的4位：9706；依次向下读数，5595，4904,………，如到最后一行，转向左边的四位数字号码，并向上读，凡不在0000-2004范围内的，则跳过，遇到已读过的数也跳过，最后得到号码为：0011，0570，1449，1072，1338，0076，1281，1866，1349，0864，0842，0161，1839，0895，1326，1454，0911，1642，0598，1855的学生组成容量为20的样本.[例4]某工厂有3条生产同一产品的流水线，每天生产的产品件数分别是3000件，4000件，8000件.若要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为150件产品的样本，应该如何抽样？ 解：总体中的个体数N=3000+4000+8000=15000样本容量n=150抽样比例为100115000150==N n 所以应该在第一条流水线生产的产品中随机抽取30001001⨯=30件产品 在第二条流水线生产的产品中随机抽取：40001001⨯=40件产品在第三条流水线生产的产品中随机抽取：50001001⨯=50件产品 这里因为每条流水线所生产的产品数都较多，所以，在每条流水线的产品中抽取样品时，宜采用系统抽样方法 四．典型习题导练1．为了解某班50名同学的会考及格率，从中抽取10名进行考查分析，则在这次考查中，考查的总体内个体总数为 样本容量为 .2．采用系统抽样从含有2000个个体的总体（编号为0000，0001，……，1999）中抽取一个容量为100的样本，则第一段的编号为 若在第一段中用简单随机抽样得到起始个体编号为0013，则前6个入样编号为 .3．某市为了了解职工的家庭生活状况，先将职工所在的国民经济行业分成13类，然后每个行业抽1001的职工家庭进行调查，这种抽样方法是 . 4．用分层抽样的方法在一个企业中抽取一个样本容量为50的样本，其中在管理营销部门抽了15人，技术部门10人，其余在生产工人中抽取，已知该企业有生产工人375人，那么这个企业共有多少职工？5．采用简单随机抽样从含有5个人的身高的总体{}173,171,161,167,162中抽取一个容量为2的样本，写出全部样本，并计算各个样本的平均值，各样本平均值的平均值.12.2频率分布直方图、折线图与茎叶图一、知识导学1．频率分布表：反映总体频率分布的表格.2．一般地，编制频率分布表的步骤如下：（1）求全距，决定组数和组距，组距=组数全距；（2）分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；（3）登记频数，计算频率，列出频率分布表.3． 频率（分布）直方图：利用直方图反映样本的频率分布规律. 4． 一般地，作频率分布直方图的方法为：（1）把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；（2）以此线段为底作矩形，它的高等于该组的组距频率，这样得出一系列的矩形；（3）每个矩形的面积恰好是该组上的频率.5． 频率折线图：如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起，就得到一条折线，称这条折线为本组数据的频率折线图.6． 制作茎叶图的方法是：将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出. 二、疑难知识导析1． 在编制频率分布表时，要选择适当的组距和起始点才可以使频率分布表更好地反映数据的分布情况.2． 在编制频率分布表时，如果取全距时不利于分组（如不能被组数整除），可适当增大全距，如在左右两端各增加适当范围（尽量使两端增加的量相同）.3． 频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，则这条折线将趋于一条曲线，我们称这一曲线为总体分布的密度曲线. 4． 茎叶图对于分布在0~99的容量较小的数据比较合适，此时，茎叶图比直方图更详尽地表示原始数据的信息.5． 在茎叶图中，茎也可以放两位，后面位数多可以四舍五入后再制图. 三、典型例题导讲[例1]（06全国卷）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人用再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[)3000,2500（元）月收入段应抽出 人.解析:由直方图可得[2500,3000)（元）月收入段共有100000.00055002500⨯⨯=人， 按分层抽样应抽出10025002510000⨯=人.故答案 25点评：频率分布直方图中，关健要理解图中数据的意义，特别是图中每个小矩形的面积才是这一组距内个体的频率.[例2]从有甲乙两台机器生产的零件中各随机抽取15个进行检验，相关指标的检验结果为： 甲：534，517，528，522，513，516，527，526，520，508，533，524，518，522，512 乙：512，520，523，516，530，510，518，521，528，532，507，516，524，526，514 画出上述数据的茎叶图 错解：甲 乙 8 0 787632 1 024668 8764220 2 013468 43 3 02 4错因：对于两位数是将两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出，对于三位数字，应该把前两位数字作为茎，最后一位数字作为叶，然后从图中观察数据的分布情况，而不是仍考虑两位数，尽管此题的效果一样.正解：用前两位数作为茎，茎叶图为甲 乙 8 50 787632 51 024668 8764220 52 013468 43 53 02 54从图中可以看出，甲机床生产的零件的指标分布大致对称，平均分在520左右，中位数和众数都是522，乙机床生产的零件的指标分布也大致对称，平均分也在520左右，中位数和众数分别是520和516，总的看，甲的指标略大一些. [例3]在绘制频率分布直方图的第三个矩形时，矩形高度① 与这个矩形的宽度（组距）有关； ② 与样本容量n 无关； ③ 与第三个分组的频数有关； ④ 与直方图的起始点无关. 以上结论中正确的共有（）A ．0个 B.1个 C. 2个 D.3个错解：D.错因：起始点与组距均影响第三组的频数，所以矩形高度与以上各因素均有关，①③正确，正解：C.[例4]根据中国银行的外汇牌价，2005年第一季度的60个工作日中，欧元的现汇买入价（100欧元的外汇可兑换的人民币）的分组与各组频数如下：〔1050，1060〕：1，〔1060，1070〕：7，〔1070，1080〕：20，〔1080，1090〕：11，〔1090，1100〕：13，〔1100，1110〕：6，〔1110，1120〕：2.（1）列出欧元的现汇买入价的频率分布表；（2）估计欧元的现汇买入价在区间1065~1105内的频率；（3）如果欧元的现汇买入价不超过x 的频率的估计值为0.95，求此x 解：（1）欧元的现汇买入价的频率分布表为：（2）欧元现汇买入价在区间1065~1105内的频率的估计值为84.01100111011001105100.0217.0183.0333.01060107010651070117.0=--⨯++++--⨯（3）因为0.017+0.117+0.333+0.183+0.217=0.867〈0.95，0.017+……+0.217+0.100=0.967〉0.95，所以x 在［1100，1110］内，且满足0.867+0.1003.1108,95.0110011101100≈∴=--⨯x x 即欧元现汇买入价不超过1108.3的频率的估计为0.95 [例如果80分以上（包括80分）定为成绩优秀，60分以上（包括60分）定为成绩及格.那么，在这个班级的这次成绩统计中，成绩不及格的频率是多少？成绩及格的频率是多少？成绩优秀的频率是多少？解：被统计的对象（参加这次考试的本班学生）共有2+6+12+21+7+2=50个.60分以上的有48个，80分以上的有20个，所以成绩不及格的频率是04.0502=，成绩及格的频率是96.05048=，成绩优秀的频率是4.05020=. 说明 要计算一组数据中某个对象的频率，要先计算数据的总的个数，再计算符合这个对象要求的数据的个数.某个对象可以是一个确定的数据，也可以是在某一范围内数据的总数.[例6]在英语单词frequency 和英语词组relative frequency 中，频数最大的各是哪个字母？它们的频数和频率各是多少？解：在frequency 和英语词组relative frequency 中，频数最大的字母都是e ，在单词frequency 中，e 的频数是2，频率是92；在词组relative frequency 中，e 的频数是4，频率是174.点评：在两组数据中，同一个对象的频数相等，但频率不一定相等，频数大，不一定频率大.在同一组数据中，某两个对象的频数相等，频率也相等；频数大，频率也大. 二、典型习题导练1．（06年重庆卷）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为185.17-岁的男生体重kg ，得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在]5.64,5.56[的学生人数是（ ）. A ． 20 B.30 C.40 D. 502． 一个容量为800的样本，某组的频率为6.25%，则这一组的频数是 3． 某校随机抽取了20名学生，测量得到的视力数据如下：4.7，4.2，5.0，4.1，4.0，4.9，5.1，4.5，4.8，5.2，5.0，4.0，4.5，4.8，4.7，4.8，4.6，4.9，5.3，4.0（1） 列出频率分布表（共分5组）（2） 估计该校学生的近视率（视力低于4.9） 4． 用一个容量为200的样本制作频率分布直方图时，共分13组，组距为6，起始点为10，第4组的频数为25，则直方图中第4个小矩形的宽和高分别是多少？ 5． 200名学生某次考试的成绩的分组及各组频率如下表：则及格率，优秀率（）的估计分别是6．某地随机检查了140名成年男性红细胞（/1012L ），数据的分组及频率如下表：（1）完成上面的频率分布表（2）根据上面的图表，估计成年男性红细胞数在正常值（4.0~5.5）内的百分比7．名著《简爱》的中英文版本中，第一节部分内容每句句子所含单词（字）数如下：英文句子所含单词数10，52，56，40，79，9，23，11，10，21，30，31；中文句子所含字数11，79，7，20，63，33，45，36，87，9，11，37，17，18，71，75，51. （1）作出这些数据的茎叶图；（2）比较茎叶图，你能得到什么结论？12．3平均数、方差与标准差一、知识导学1．n 个数据1a ，2a ，…….n a 的平均数或平均值一般记为-a =na a a n+++........21.2．一般地，若取值n x x x ,......,,21的频率分别为n p p p ,......,,21，则其平均数为n n p x p x p x +++......2211.3．把一组数据的最大值与最小值的差称为极差.4． 一般地，设一组样本数据n x x x ,......,,21，其平均数为-x ，则称212)(1∑=--=n i i x x n s 为这个样本的方差，算术平方根21)(1∑=--=ni i x x n s 为样本的标准差，分别简称样本方差，样本标准差. 二、疑难知识导析1.平均数，中位数和众数都是总体的数字特征，从不同角度反映了分布的集中趋势，平均数是最常用的指标，也是数据点的“重心”位置，它易受极端值（特别大或特别小的值）的影响，中位数位于数据序列的中间位置，不受极端值的影响，在一组数据中，可能没有众数，也可能有多个众数.2.方差和标准差是总体的数字特征，反映了分布的分散程序（波动大小），标准差也会受极端值（特别大或特别小的值）的影响.3.分布的分散程序还可以用极差来描述，但较粗略.4.样本方差也可以用公式21221x x n s n i i -=∑=计算.三、经典例题导讲[例1]（06年江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为.9,11,10,,y x 已知这组数据的平均数为10，方差为2，则y x -的值为（ ） A ．1 B.2 C.3 D.4 解：由平均数公式为10，得1051)91110(=⨯++++y x ，则20=+y x ，又由于方差为2，则()()()()()[]25110910111010101022222=⨯-+-+-+-+-y x 得 20822=+y x 1922=xy所以有()42222=-+=-=-xy y x y x y x ，故选D.[例2]数据n x x ,,1 是一名运动员的n 次射击的命中环数，则他的平均命中环数的估计是（ ）.A ．样本平均数均值∑==ni i x n x 11 B ．样本极差),,m in(),,m ax (11n n x x x x R -=C ．样本方差212)(1x x n s n i i -=∑= D ．样本平均差AD=∑=-n i i x x n 11错解：C.错因：后三个选项都表示了样本的波动程度，不能用于总体平均值的估计. 正解：A.[例3]某房间中10个人的平均身高为1.74米，身高为1.85米的第11个人，进入房间后，这11个人的平均身高是多少？解：原来的10个人的身高之和为17.4米，所以，这11个人的平均身高为1185.11074.1+⨯=1.75.即这11个人的平均身高为1075米[例4]若有一个企业，70%的人年收入1万，25%的人年收入3万，5%的人年收入11万，求这个企业的年平均收入及年收入的中位数和众数解：年平均收入为12%511%253%70=⨯+⨯+⨯（万）；中位数和众数均为1万（1）计算所有人员的月平均收入；（2）这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗？为什么？（3）去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的月收入的水平吗？ （4）根据以上计算，以统计的观点对（3）的结果作出分析 解：（1）平均收入711=-x （3000+450+350+400+320+320+410）=750元 （2）这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员（3）去掉老板后的月平均收入612=-x （450+350+400+320+320+410）=375元.这能代表打工人员的月收入水平（4）由上可见，个别特殊数据可能对平均值产生大的影响，因此在进行统计分析时，对异常值要进行专门讨论，有时应剔除之 四、典型习题导练1． 在一次知识竞赛中，抽取20名选手，成绩分布如下：则选手的平均成绩是 （ ） A ．4 B.4.4 C.8 D.8.82．8名新生儿的身长（cm ）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为 ，约有一半的新生儿身长大于等于 ，新生儿身长的最可能值是 .用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值-x = ，病人等待时间的标准差的估计值s =4．样本1021,......,,x x x 的平均数为5，方差为7，则3()()()13,......,13,11021---x x x 的平均数、方差，标准差分别为5．下面是一个班级在一次测验时的成绩（已按从小到大的次序排列），分别计算男生和女生的成绩和平均值，中位数以及众数，试问中位数的含义是什么？对比两个平均值和中位数，你分析一下这个班级的学习情况男生：55，55，61，65，68，71，72，73，74，75，78，80，81，82，87，94女生：53，66，70，71，73，73，75，80，80，82，82，83，84，85，87，88，90，93，94，976．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min 抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110. （1）这样的抽样是何种抽样方法？（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定.12.4线性回归方程一、知识导学1． 变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达 2． 能用直线方程a bx y +=^近似表示的相关关系叫做线性相关关系当a,b 使2222211)(......)()(a bx y a bx y a bx y Q n n --++--+--=取得最小值时，就称a bx y +=∧为拟合这n 对数据的线性回归方程，将该方程所表示的直线称为回归直线.4．线性回归方程a bx y +=∧中的系数b a ,满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑∑∑∑=====ni i ni i ni ii n i i n i i y na b x y x a x b x 111112 由此二元一次方程组便可依次求出a b ,的值：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--=====∑∑∑∑∑x b y a x x n y x y x n b ni i n i i n i i n i i n i i i 2112111（*） 5．一般地，用回归直线进行拟合的一般步骤为： （1）作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；（2）如果散点在一条直线附近，用公式（*）求出b a ,，并写出线性回归方程.二、疑难知识导析1．现实世界中两个变量的关系中更多的是相关关系而不是确定性关系，许多物理学中公式看起来是确定性关系，实际上由于公式的使用范围，测量误差等的影响，试验得到的数据之间是相关关系.2．用最小二乘估计方法计算得到的b a ,使函数()b a Q ,达到最小3．还有其他寻找较好的回归直线的原则（如使y 方向的偏差和最小，使各点到回归直线的距离之和最小等）4． 比较相关关系绝对值的大小可以比较一组变量之间哪两个变量有更强的（线性）相关关系.5． “最好的”直线方程中“最好”可以有多种解释，也就有不同的求解方法，现在广泛采用的最小二乘法所用的思想是找到使散点到直线a bx y +==在垂直方向上的距离的平方和最小的直线a bx y +=，用这个方法，b a ,的求解最简单 三、经典例题导讲问y 与x 的(样本)相关系数r 是多少?这是否说明y 与x 没有关系? 错解：040707))((7171=⨯⨯-=-=--∑∑==xy y x y y x xi i i i i i。
复数解题常见错误探讨
复数解题常见错误探讨
周彩凤
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2015(000)006
【摘要】复数是可以写成a＋bi形式的数,其中a、b是实数,i是虚数单位.复数的概念是由意大利著名学者在16世纪末期提出,是解析数论和流体力学、复数函数论和相对论等基础学科的研究对象和使用工具.因此,学生在学习复数时,要注意在各种题型中出现的复数类型.本文针对复数教学中学生常见的错误进行剖析和阐述。
【总页数】1页(P10-10)
【作者】周彩凤
【作者单位】河北省石家庄市第二十七中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.探讨初中化学解题中的常见错误及应对策略
2.复数解题常见错误分析
3.探讨高中数学解题中常见错误及措施
4.探讨高中数学解题中常见错误及措施
5.探讨高中数学解题中常见错误与措施
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
解复数题中的常见错误例析
解复数题中的常见错误例析
冉福现
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2002(000)005
【摘要】@@ 本文例举学生在解复数题中出现的几种常见错误,并作剖析,然后给出正确解答.
【总页数】2页(P41-42)
【作者】冉福现
【作者单位】贵州省道真中学,563500
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.在解复数题中如何培养学生的求简意识 [J], 宋林锋
2.解题中常见错误例析 [J], 徐厚臻;苏桂成
3.《一次函数》解题中的常见错误例析 [J], 董迎新
4.导数解题中的常见错误例析 [J], 周国球
5.复数在解非复数问题中的应用综述 [J], 左加林
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
高中数学题型求解方法之复数运算
高中数学题型求解方法之复数运算数学的学习是需要再基础的知识上有更高的概括总结，数学是抽象的，具有较强的逻辑能力，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
高考试题强调能力的考察，能力考查往往是对数学思想方法的理解和运用相结合，它寄寓于数学思想方法之中。
对数学思想方法，首先要领悟到蕴含在数学概念、定义、定理、公式、法则中的数学思想方法，从而应用到变化多样的数学题目中。
近年来，复数运算是高中数学中的热点题型，出现的形式多是选择题和填空题。
在解题时，复数不仅可以用代数和三角函数的方式表示，还可以用向量方式来表示，所以学生在面对具体题目的时候，要着重注意解题的灵活性。
接下来，我将这些题型进行总结归纳，为学生学习提供参考。
一、代数方法当题目的信息难以用几何的方法来解决的时候，可以考虑直接用代数方法求解问题，即设复数为z=a+bi，并将其直接代入式子中，通过普通的四则运算，直接得到答案。
例如，若复数满足|z+2i|·|z-2i|=3，求|z|的值。
解：设z=a+bi，|z+2i|·|z-2i|=3，|z+2i|·|z-2i|=·==3令|z|=t.(t>0)则t=,所以3=，由于t>0，所以t=1。
该题目直接根据题目所给的已知条件，运用了代数方法来求解复数的模。
一般此类题目还可能是要求考生求解复数模长的最值，同时求解出来的不等式都是具有某些特点的，需要考生应用函数相关知识求解最值。
二、几何方法与数形结合在复数的发展史上，挪威的测量学家韦塞尔首次提出用几何方法表示复数的观点，并到后来，得到了高斯的大力推广。
几何方法是求解复数问题的一个不可或缺的方法，将几何和代数结合起来，再通过数形结合，可以轻松得到答案。
例如，若复数z1=3+2i，z2=cosα+isinα (α∈R)，其中i为虚数，求|z1-z2|的最大值。
解：因为z1=3+2i，z2=cosα+isinα，z2对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，z1对应的点为（3，2）如图：则最大值为14。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
11.2《复数的运算》错误解题分析
一、知识导学
1、复数加、减法的几何意义
(1)加法的几何意义
复数21z z + 是以→1oz 、→2oz 为两邻边的平行四边形对角线→
oz 所对应的复数。
(2)复数减法的几何意义
复数21z z -是连接向量1OZ 、2OZ 的终点，并指向被减数的向量21z z 所对应的复数。
2、 重要结论
（1） 对复数z 、1z 、2z 和自然数m 、n ，有 n m n m z z z +=∙，mn n m z z =)(，n n n z z z z 2121)(∙=∙
(2) i i =1，12-=i ，i i -=3，14=i ；
114=+n i ，124-=+n i ，i i n -=+34，14=n i 。
(3) i i 2)1(2±=±，
i i i -=+-11，i i i =-+11。
(4)设2
31i +-=ω，ϖω=2，ωω=2，012=++ωω，n n 33ωω=，021=++++n n n ωωω
二、疑难知识导析
1、对于2
2z z z z ==⋅，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会。
2、在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论。
当C z ∈时，不总是成立的。
(1)),()(为分数时不成立n m z
z m n n m =； (2))1(时不成立==⇒=z n m z z n m ；
(3)),(002121222
1是虚数时不成立z z z z z z ==⇔=+；
(4))(22为虚数时不成立z z z =； (5))(为虚数时不成立z a z a a z <<-⇔<
三、经典例题导讲
[例1] 满足条件512=++-z i z 的点的轨迹是（ ）
A 、椭圆
B 、直线
C 、线段
D 、圆
【错解】选A 或B 。
【错因】如果把i z 2-看作动点Z 到定点（0，2）的距离，由上式表示到两个定点（0，2）与（-1，0）的距离之和为常数5
∴动点的轨迹符合椭圆的定义，但是，有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数。
【正解】 点（0，2）与（-1，0）间的距离为5，
∴动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选C
【评注】加强对概念的理解加深，认真审题。
[例2] 求值：.)
1()1(6n n i i --⋅+ 【错解】原式=1368)2()11()1(+=⋅-=-+-n n n i i i i
i i 82-==时，原式当n
83==时，原式当n
【错因】上面的解答错在没有真正理解Z n ∈的含义，只是用了三个特殊整数代替了所有整数，犯了用特殊代替一般的错误。
另外还可以看出对虚数单位i 的整数幂的运算不熟悉，没有掌握虚数单位i 整数幂的运算结果的周期性。
【正解】原式=n i i i )11(
)1(6-+- =138)2(+=⋅-n n i i i
=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-+=-).4(8,348)(),24(8),14(8k n i
k n k k n i k n ）（为非负整数
【评注】虚数单位i 整数幂的值具有以4为周期的特点，根据时，求n i n 必须按被4整除余数为0、1、2、3四种情况进行分类讨论。
[例3]已知i z 312
+-=，求200021z z z +++ 的值。
【分析】结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式q
q a S n n --=1)1(1，若直接将条件代入求和公式，则显得较为麻烦，不妨先将条件化简。
ω=+-=--=+-=i i i z 2
3214)31(2312
原式=01111111667*32001=--=--=--ω
ωωz z 【评注】由于数列中的数可以是复数，所以数列的诸性质在复数集中仍成立。
[例4] （上海春卷）已知复数w 满足i (i )23(4w w -=-为虚数单位），|2|5-+=w w z ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程。
解法一： i 2i
21i 34,i 34)i 21(-=++=∴+=+w w ， i 3|i |i
25+=-+-=∴z 。
若实系数一元二次方程有虚根i 3+=z ，则必有共轭虚根i 3-=z 。
10,6=⋅=+z z z z ，
∴ 所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x 。
解法二：设i b a w +=R)(∈b a 、
b a b a 2i 2i 34i +-=-+，
得 ⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴ ⎩
⎨⎧-==,1,2b a i 2-=∴w ， 以下解法同解法一。
[例5].211<<-+=ωω是实数，且是虚数，设z
z z .的实部的取值范围的值及求z z
解析 是虚数z yi
x yi x z z +++=+=∴1)(1ω可设 i y
x y y y x x x y x yi x yi x )()(222222+-+++=+-++= ,0≠y 是实数，且ω 1,0112222=+=+-
∴y x y x 即 ,1=∴z x 2=ω此时
22121<<-<<-x 得由ω
)1,2
1(,121-<<-
∴的实部的范围是即z x。