活用极限思想巧解数学题
求极限的12种方法总结及例题
求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
活用极限思想 巧解数学题
（ ２ Ａ） ａ
（ 丢 Ｂ ）
（ ）４ Ｃ ａ
０
采用极 限法 ，则 解法将是 简捷 、易行 的 ，其 计算量得到极大 的
简化．
本 例 中底 面正 ｎ边 形 固 定 ，而 棱 锥 的 高 不定 ，故 可 将 顶 点 Ｓ 看 作 是 运 动 变 化 的 ，设 相 邻 两 侧 面 所 成 的 二 面 角 的 平 面 角 为
（ ＞ ） 求证：在 轴正 Ｐ ＝ Ｏ．
① ≥＋ ②１ ＋ ＋ ＋ ≤ ． ％ ｎ２ － … ； ｌ ＿ 争
解析 ：本题 是数 列与不等式的综合题 ，是考查猜想 、归纳 、 迭 代 、放缩 推理及 分析 问题 和解决 问题 能 力 的一道 优 秀试题 ．
方 向上 必存 在 一 点 Ｍ ，使 得 对 于 抛 物 线 上 任 意一 条过 Ｍ 的弦 Ｐ Ｑ
厶 ４ Ａ ．当 点 Ｓ向 下 运 动 无 限 趋 近 底 面 正 ｎ边 形 的 中心 这 个 极
（）４ Ｄ
ｎ
图 １
解析 ：本题是有关不变性的问题 ，常规解法是探求 Ｐ、ｑ 、ａ 的关系 ，过程繁琐 ，且计算较复杂． 若能充分认识 到变 与不变 的 辩证关系 ，利用运动 和变化的观点 ，借 助于极 限思想 即取 即 的
均 Ｉ为 值 有【 ＿ 定 ・ ＿
（ ） （ ） 入 口宽 ，也 易解决．但是 （ ） 的放缩难度 较大 ，拉 １及 ２① ２② （） ２ ②有明确的启示．因为由 ≥ ｋ ＋２可 以推导出 吼＋ ≥ ２， 。 ｏ＋１
分 析 ：假 设 点 Ｍ 确 实 较好 的区分度． 实上 ，（ ） Ｑ 事 ２ ①的结论给解答
曩
方法与 内容的整合 ．
一
余树 林
袁新 宝 （ 湖北省 鄂 州市沼 山 中学）
极限思想在高中数学解题中的应用
极限思想在高中数学解题中的应用极限思想在高中数学解题中的应用极限思想作为一个重要的数学概念在高中数学教学中得到了培训，影响着后来数学解题的过程，也对提升高中数学解题水平比较有意义。
因此，如何应用极限思想在高中数学解题中显得尤为重要。
首先，要认识到极限中的关系。
极限的基本概念是“当x的值逐渐接近某个特定的值，y的值也会逐渐靠近某个特定的值”，换句话说，所谓的“靠近”，就是指每次减小x的值时，y的值也会靠近某个极限值。
根据极限的定义，某一极限存在时，x的关系可以抽象成一个方程，即极限=f（x）。
其次，要学会把握极限的推导过程，比如一些分式除以越来越小的常数，我们往往会把这样的分式将其多次连乘，并且把和分母相特殊的项放到分母里，最终将这样的分式简化成一个极限式。
再次，要学会利用极限的思想来解决实际问题，比如高中生求解一元二次方程，可以先进行联立方程求值，再使用极限的思想，当a，b极限的值为1的时候，极限的解为2a+db。
这样就可以轻松求出一元二次方程的解。
比如，当方程为：ax2+bx+c=0时，极限值为2a+db，从而得到方程的解。
最后，要保持极限思想的正确认识和理解，比如说，在一般条件下，极限的值及其对应的x的值是有限的，而不是无穷的，那么也就意味着，在一定的条件范围下，有些函数的极限就是有限的，所以，当c取不同值时，极限也就有所变化，从而达到解决数学问题的目的。
极限思想作为一个数学思想，最重要的还是要正确理解和运用。
极限思想是对极端情况的分析，也可以帮助我们在解决数学问题中节省不少时间和精力。
因此，广大高中生要加强极限思想的学习，用正确的思想来解决高中数学中的各种问题，从而提高数学解题的水平。
本科高数高等数学极限的巧妙解题30例析
高数极限巧解例析求解函数的极限，历来是高数考试的必考内容，这其中，00型与∞∞型的未定式求极限，更是考察测试的重点方向。
在此例析一些解题诀窍，与众网友共同探讨交流。
一、巧用等价无穷小替换求极限1. 1lim(arcsin arctan )x x x→∞⋅ 解：本题求极限，如果用好等价无穷小替换，将会非常轻松，易如反掌。
解法如下：11arctan~()x x x→∞ ∴原式＝arcsin lim0x xx→∞=（arcsin 22x ππ≤≤注意：-，有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。
） 2.2cot (tan sin )lim x x x x x →- 解：本题属于0型未定式，可能很多人第一个想到的就是用洛必达法则，这道题如若用该法则求导，计算量将会非常大，算式也会变得十分复杂，极易出错。
有兴趣的同学不妨试一试，看看求导后的函数表达式会是怎样的。
对于本题，如果采用等价无穷小替换求极限，将会容易得多，具体解题过程如下： 由于cos cot sin x x x =，1tan sin sin (1)cos x x x x-=-所以可得原式＝2cos 1sin (1)sin cos lim x x x x x x →⋅- ＝21cos lim x xx →- [注：21cos ~(0)2x x x -→] ＝222limx x x → ＝123. 3332lim ln()1n n n n →∞+- 解：本题求极限，首先用倒代换将函数变形，然后再运用等价无穷小替换。
详细步骤如下： 令31n t= ，则原式＝33321lim ln()11n n n n→∞+-＝0112lim ln()1t t t t→+- ＝0113lim ln()1t t t t t→-+- ＝013lim ln(1)1t t t t →+- [注：33ln(1)~(0)11t t t t t+→--] ＝013lim[()()]1t t t t→- ＝3（注意：本题不可用洛必达法则求极限，因为n 属于离散变量，不能求导。
用极限思想妙解立体几何题
用极限思想妙解立体几何题以《用极限思想妙解立体几何题》为标题，写一篇3000字的中文文章立体几何作为数学的一个重要分支，可以将世界覆盖，并对解决实际问题有很大帮助。
它在数学中扮演着重要的角色，它涉及几何图形，如空间方向，角度，面积和容积等，从而使数学与物理，化学等学科紧密结合，并为实际应用领域提供了基础。
立体几何在计算思想中，极限思想发挥着重要作用。
此思想即是对不同的现象的认识，当其中一些因素不断变化时，另一些因素也会出现变化，而这种变化是不断改变的，如果继续延伸，就可以达到一个极限。
换句话说，在极限的情况下，系统的性质将不断改变，最终可以达到一种稳定状态。
用极限思想来解决立体几何题目，可以说是一种很好的解决方案。
首先，我们要了解这一领域的基础，明确目标和原则，掌握所需的技能，充分理解立体几何的概念，如空间方向，角度，物体面积和容积等。
其次，在解决实际问题时，我们要考虑各种变量，对它们进行分析，找出其中的可能性，如：在立体几何的领域，给定两个未知的坐标参数x, y，我们可以求出两个坐标点之间的距离。
经过变量的深入分析，可以使用极限思想来解决实际问题。
在一些复杂的几何题目中，用极限思想来解决问题也是一种好方法。
例如，给定两个向量，求夹角的大小。
我们可以先将两个向量的点积除以它们的模的乘积，得到一个公式，然后用极限思想来求得夹角的大小。
用极限思想，可以将繁琐的问题变得更简单，更清晰。
立体几何的一些题目往往难以解决，但是用极限思想解决变得相对容易。
用极限思想解决问题可以有效减少运算量，提高答案的准确性，也为实际应用提供了理论依据。
总之，极限思想是理解立体几何中有用的一种思维方式。
它可以帮助我们更好地理解数学问题，提高我们解决实际问题的能力，帮助我们更好地应用数学知识，更好地发挥它的作用。
加深对极限思想的理解，是一些立体几何题目的有效解决方案，也是解决一些复杂的问题的重要手段。
极限专题（八）：极限计算三十种思路总结与专题练习
极限专题（八）：极限计算三十种思路总结与专题练习通过专题总结，我们已经知道极限的多种计算方法，包括级数收敛的必要条件、比值极限与根值极限的关系、等价无穷小与等价无穷大替换、洛必达法则、施笃兹定理、单调有界准则、夹逼准则、积分中值定理、微分中值定理、定积分与重积分的精确定义、积分的变限与加边问题、华里士公式、斯特林公式等. 大家可以回读以前的各专题来温习这些方法.只有这些零碎的方法是不够的，我们需要系统地对重要的内容进行总结归纳并加以综合实战. 本专题首先全面归纳极限的相关计算技巧、方法，总结一下拿到一道计算题后应该有的思路，然后提供一份极限计算的综合练习题，并附以参考答案.第一部分思路总结我们首先全面归纳极限的相关计算技巧、方法.一、利用定义证明当一个极限形式较为简单，且结果已知时，可以用极限的定义加以证明.二、函数极限的直接代入法当一个函数在趋向点处连续时，可以将趋向点直接代入函数解析式中，得出极限结果.三、通过计算单侧极限求极限若左右极限的情况差别较大，尤其是当无穷大处的指数函数或反正（余）切函数、整点处的取整函数、分段点处的分段函数等情形出现时，则一般需要分别考虑左右极限.四、借助简单的概念判断来确定极限如“有界量”乘以“无穷小量”趋近于0，“有界量”除以“无穷大量”趋近于无穷大，“趋于非零常数的量”乘以“无穷大量”趋近于无穷大，“绝对值小于1的常数”的无穷大次幂趋于0，正的常数开无穷大次方趋近于1等等. 此外，在计算某些∞/∞极限时，还可以比较函数或数列值趋于无穷的速度，如指数函数比幂函数趋于无穷的速度快，故当x→+∞时，x100/2x的极限等于0五、根据子列极限情况推导原数列极限情况若能在数列中取出两不同子列，使得这两个子列的极限不相等，则可以断定原极限不存在；若能在数列中取出一个发散的子列，也能说明原极限不存在. 若所有奇数项以及偶数项组成的两子列极限均存在且相等，则可以说明原数列极限也存在且等于这个值，即数列的奇数项构成的数列与偶数项构成的数列的极限存在并且相等时，则原数列的极限存在并且等于相同的极限值.六、海涅定理利用海涅定理证明函数极限不存在，或进行从函数极限到数列极限的转化.海涅定理的内容：函数f(x)在x→x0时极限等于A的充要条件是，对于任何满足以下三个条件的数列{x n}，都有n→+∞时f(x n)的极限等于A成立：（1）对任何正整数n，都有x n≠x0；（2）对任何正整数n，f(x n)都要有定义；（3）n→+∞时x n→x0.要证明一个函数极限不存在有两种思路：一是找到一个满足定理中三个条件的数列{x n}使得n→+∞时f(x n)的极限不存在；二是找到两个满足定理中三个条件的数列{x n}和{x'n}使得n→+∞时f(x n)和f(x'n)不相等.此外，若某个函数极限的值已经确定，则对应的数列极限也为此值，这里的理论依据也是海涅定理. 通过这个道理，我们可以将某些数列极限转化为函数极限进行计算（这样方便求导、使用洛必达法则等），然后转化回数列极限.七、因式分解某一些多项式是可以因式分解从而约去致零因子的，进一步可以定出未定式的极限值.八、化无穷大为无穷小我们可以在一个分式的极限中，给分子和分母同时除以式中出现的最高阶的无穷大，从而使得其他的无穷大量都变成无穷小，易于算出极限.九、有理化若式中出现了无理式，可以使用有理化的方法进行恒等变形. 若分子中出现了无理式，可对分子进行有理化；若分母中出现了无理式，可对分母进行有理化；若均出现，可以分子分母同时有理化. 有理化的具体方法就是，对分子和分母同时乘以无理式的“共轭根式”. 如果两个根式的乘积不含根号，就称这两种形式互为共轭根式，比如：十、求和求积恒等变限求极限先求和或求积再求极限，或对式子进行其他简单的恒等变形，再求极限. 如果某个式子易于直接求和，或易于直接求积，或能通过简单的变形求出极限，不妨就先变形，以便于迅速求得极限.十一、利用对数恒等式N=e lnN. 在计算幂指函数的极限时，经常需要我们通过这个恒等式化简，让幂指函数消失，极限就易于求出了.十二、利用三角恒等变换公式三角恒等变换公式在一些关于三角函数的题目中可以起到至关重要的化简作用. 这一点在不定积分的计算中体现得更加淋漓尽致.十三、利用重要极限有许多关于三角函数或1∞的题目都可以分别向着这两个极限的框架靠拢，根据这两条结论计算极限值.十四、变量替换法若式中多次出现某一复杂部分，可以令这个复杂的部分为一个新元，分析出这个新元的趋向，从而化简极限.十五、等价无穷小量代换与等价无穷大量代换我们必须记住常见的等价无穷小与等价无穷大的结论，如果在题目中见到了这些形式，一定要及时地运用结论进行等价无穷小或等价无穷大的代换. 具体可参照以往的专题（二）.十六、洛必达法则与施笃兹定理对于0/0型和∞/∞型的函数极限，我们可以使用洛必达法则，即分子分母分别求导，但一定要注意法则的使用条件. 对于其余类型的未定式，也可以转化为0/0型和∞/∞型的极限. 对于数列极限，由于其不能求导，所以必须先求对应的函数极限，再通过海涅定理转化成数列极限. 此外，对于0/0型和∞/∞型的数列极限，也可使用施笃兹定理解决，依然必须留意定理的使用条件. 具体可参考以往的专题（三）.十七、利用夹逼准则无论是具体型还是抽象型的极限，夹逼准则都是一个重要的思想，对数列或函数进行适当的放缩，合理地定出其上下界，进而确定极限值. 此外，压缩映射的思想也是十分重要的. 关于这部分内容，学友们可以阅读以往的专题（四）.十八、单调有界准则我们可以通过证明数列或函数的单调性和有界性，确定极限的存在性，再通过解方程等方法定出具体的极限值. 具体也可参照专题（四）.十九、利用中值定理中值定理可以分为微分中值定理和积分中值定理. 若极限中出现了函数值的增量，则可以考虑拉格朗日中值定理或柯西中值定理，若出现了定积分，则可以考虑积分中值定理（出现定积分的极限有时还可以直接计算积分或使用夹逼准则等方法，若是积分上限函数的分式形式，还可以使用洛必达法则，具体可回读以往的专题（四）和专题（五））.二十、泰勒（麦克劳林）公式展开法若函数较为复杂，但易于展开成泰勒级数，则可以使用这种方法求出极限. 本文附有相关例题进行练习和讲解，如16题与21题.二十一、利用导数定义导数本身就是通过极限来定义的，如果一个极限形式便于化成导数定义的形式，则可以转化成导数.二十二、利用定积分或重积分定义若一个极限便于凑成积分和的形式，则可以转化成积分的计算. 这部分内容可以参看以往的专题（五）和专题（六）.二十三、利用级数收敛的必要条件若一个级数收敛，则通项数列将收敛于0. 具体可参照以往的专题（一）.二十四、利用级数求和的方法若一个极限可以转化成某个级数的和，如幂级数或傅里叶级数，则可以用相关的级数求和方法进行计算.二十五、利用柯西收敛准则数列{x n}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当m>N，n>N时，有| x n -x m|<ε. 利用这个准则，仅能判定数列收敛还是发散，既没有用到也不能求出具体的极限值. 想要求出极限值，必须还得辅以别的方法——甚至有的极限结果无法解析地表示出来.二十六、利用“比值极限”与“根值极限”的关系根值型极限是可以转化成比值型极限的，具体可参考以往的专题（一）.二十七、利用华里士（沃利斯，Wallis）公式若式中出现了双阶乘的比值，可能会用到华里士（沃利斯，Wallis）公式.二十八、利用斯特林公式若式中出现了阶乘，可以通过斯特林公式将阶乘化掉. Wallis公式与斯特林公式可参考以往的专题（七）.二十九、利用其他学科的方法有时，微积分可以和其他学科如线性代数、概率论与数理统计、复变函数论等学科紧密结合，希望大家可以灵活变通.三十、熟能生巧这才是计算极限的终极奥义，只有通过大量的练习，才会对各种题目都可以轻松解决，手到擒来.至此，极限计算专题已经结束，希望大家在阅读了这套极限计算专题之后可以通过大量的实践来反复练习，直至完全掌握. 极限是微积分或数学分析中极为重要的概念，希望学友们对其加以重视.第二部分综合练习下面将提供30道综合练习题，除了能练习一些求极限的基本能力，以及在之前的专题中学到的方法之外，还能体会到许多其它的新思想，希望大家能好好利用这份习题，提升能力.参考解答参见后续推文！感谢学友Veecen的热心整理分享，欢迎更多学友分享好的学习资源、学习经验和大学生活经历，分享热线：微信、QQ、邮箱都为QQ 号码：492411912.•极限专题（七）利用华里士公式与斯特林公式求极限•极限专题（六）：积分定义中的变限与加边问题•极限专题（五）：利用微分中值定理与积分定义求极限•极限专题（四）：利用单调有界准则与夹逼准则求极限•极限专题（三）：利用洛必达法则与施笃兹定理求极限•极限专题（二）：利用等价无穷小与等价无穷大替换求极限•极限专题（一）：利用级数相关判别法和性质求极限•中值定理证明与辅助函数构造思路与方法（一）•中值定理证明与辅助函数构造思路与方法（二）相关推荐有关极限计算几大最基本，也是最重要方法的详细分析、探索，应用方法的问题类型，以及应用各方法应该注意事项的讨论可以参见《公共基础课》在线课堂历届竞赛真题和专题解析教学视频. 每届视频针对不同的极限问题类型和不同的求极限方法，以经典实例方式给出了一般的求极限思路与步骤，并对解题思路、思想、方法以及相关内容进行了归纳总结与延伸拓展，其中第三届、第六届、第九届、第十届真题解析视频相对包含问题类型最多，方法也最多.。
巧借极限思想灵活解题
Ｍ
＂值・
证明 当 Ｐ 上３轴时 ， Ｍ（０ｏ ， （ ｏ ） Ｑ ３ 设 ｘ ，） Ｐ ｘ ， ， Ｑ（。 一－Ｉ， 图 １得 ， ｙ）如 （ ，
Ｌ 一—Ｌ 一 一 一呈 一上 ． ＿ ＿ ＭＰ Ｍ 。 。 ５ ｐｏ ｘ’
—
数 ” 总有 ｎ 一 ，
￣
…
题便迎刃而解． 一＋。时， ｚ 一＋。 ， 当ｚ 。 厂（ ） 。所以， 当
ｚ ＋。 时 图象 是 上升 的 ， 除④ ， 令 ｎ 一ｆ ， 一 。 排 再 一６ 一０ ｆ（） ｚ ＞Ｏ不是 恒成 立 的 ， 除② ， ① ③． 排 选 ５ 借 助极 限思 想巧解 探 索题 例 ５ 已知数 列 中 ， １且 对 于 任 意正 整 ｛ ｝ ｎ一 ， ｎ
限思想 在解题 中的应 用．
１ 借 助极 限思想 巧 求范 围
Ａ ２ ａ；
Ｂ
；
厶“
Ｃ ４ ａ；
Ｄ
“
解 将直线 Ｐ Ｑ绕点 Ｆ顺时针方 向旋转到与 轴重合， 此时 Ｑ与 Ｏ 重合 ， Ｐ运动到无穷远处 ， 点 虽 然它不能再是抛物线的弦了， 但它是弦的一种极限情
１
当底面的高一Ｏ 相邻两侧面所成的二面 时，
一
角一丌 当底面的高一 ＋Ｃ 时 ， ； Ｘ 相邻两侧面所成的二 Ｄ
。
面角一正 ” 边形的内角
２ 借 助极 限思想 巧证 明
丌 故选 Ａ ． ．
分率很低 ， 许多同学做题时感 到无从下手 ， 通过交谈 了解到 ， 大部分同学都是猜想结果 ， 虽然有些 同学想
别 Ｐｑ 言于 ） 为 与， ＋ 等 ・ 则
１ Ａ
限的对立统一关系， 所以借助极限法， 人们可以 从有
解题技巧如何运用极限的概念解决高中数学题目
解题技巧如何运用极限的概念解决高中数学题目数学是一门需要大量思考和解决问题的学科，在高中学习过程中，数学解题成为学生们的主要任务。
然而，很多高中生都会遇到难以解决的问题，尤其是与极限相关的问题。
在这篇文章中，我们将探讨如何运用极限的概念解决高中数学题目。
一、什么是极限在开始讨论如何使用极限解决高中数学问题之前，我们需要先了解算术极限的定义。
算术极限是指当函数接近一个特定值时，该函数的值趋向于一致的过程。
这个特定的值被称为极限。
对于一个函数f(x)，当x趋近于a时，f(x)的极限是L，表示为：lim(f(x)) = L。
x->a二、如何使用极限解决高中数学题目1.求导数求导数的过程是使用极限概念的典型例子。
在数学中，导数是指函数在某一点的瞬时变化率，也就是斜率。
导数可以用极限表示，即当x 趋近于a时，函数的导数为：f'(a) = lim(f(x)-f(a))/(x-a)x->a2.计算面积和体积计算面积和体积也可以使用极限概念。
例如，假设我们要计算一个曲线围成的面积，可以将曲线分成许多小块，在每个小块上估计面积，然后将这些小块的面积相加。
当我们想要更精确定义曲线围成的面积时，我们将小块数量增加到无穷大，该曲线围成的面积就等于曲线对应的函数在给定区间上积分的极限。
同样，当我们计算一个曲面围成体积时，可以使用极限概念。
例如，我们可以将体积分成许多小块，在每个小块上估计体积，然后将这些小块的体积相加。
当我们想要更精确定义该曲面围成的体积时，我们将小块的数量增加到无穷大，该曲面围成的体积就等于曲面对应的函数在给定区间上旋转产生的固体的体积的极限。
3.求解极限在处理高中数学问题时，还可以使用极限解决条件问题。
例如，如果需要计算函数在某个特定的点上的值，我们可以使用极限计算该函数在该点的极限。
在另一个例子中，如果要计算无穷大的极限，例如：lim x^4 - 5x^3 + 2x^2 + 4x->∞我们可以使用极限的概念计算该极限。
用极限思想妙解立体几何题
用极限思想妙解立体几何题正如其名，立体几何（Solid Geometry）是一门研究物体的三维形状及其空间关系的学科，它是一门实际性很强的学科，反映了宇宙结构及物质组成结构的整体景象。
立体几何可以有效地用来解决实际问题，是实用性颇高的学科。
在立体几何中，尤其重要的一点是学习如何用极限思妙解各种三维几何题。
极限思想的基本概念是：极限是一种特殊的数量，是描述一些抽象概念的一种技术，可以用来描述不同的几何对象之间的变化关系。
极限思想的主要目的是研究函数在某一值点的极限。
因此，利用极限思想来妙解三维几何问题实际上是以函数的极限为基础，从而研究特定无限量物体的空间性质。
用极限思想妙解立体几何题，首先需要建立物体和它所处的空间关系，这便是立体几何学中最基本的内容之一。
应首先定义好空间坐标，然后求出各种物体的位置，并进行投影、旋转、压缩、放大等变换，从而形成新的物体。
由此可知，如何正确地建立物体和它所处的空间关系，是用极限思想妙解立体几何题的第一步。
其次，就是要学习极限思想的理论，它主要包括对函数的研究、对常系数的定义和理解、对函数的极限的概念、及模型的建立等。
学习极限思想，要理解空间几何题中的数量关系，具体地说，即要理解函数、常数、极限、及其在空间几何题中的应用，以及极限的求解方法。
然后，就是要做实验，不断研究、训练对函数、常数及极限的掌握，并熟悉各种空间几何题的求解方法。
另外，要学习空间几何图形的技巧，学会灵活地运用极限思想和空间几何图形，以便识别几何问题，按照正确的步骤，分解函数，从而达到妙解问题的目的。
最后，就是要多积累实际经验。
因为空间几何是一种实用性很强的学科，多积累实际经验非常有必要。
可以模拟不同的实际问题，结合极限思想，继而用实际的方法求解各种立体几何问题，以进一步增强对极限思想的理解。
用极限思想妙解立体几何题，是一项具有挑战性的工作，要想达到良好的效果，需要靠对极限思想理论的掌握，以及多积累实际经验。
例析极限思想 解决实际问题
例析极限思想解决实际问题极限思想是数学中的重要概念，它在解决实际问题中起着重要的作用。
极限思想的核心思想是通过逼近的方式，找到一个数列或函数在某一点的极限值。
通过极限思想，我们可以更好地理解和解决实际问题。
首先，极限思想可以帮助我们解决一些物理问题。
例如，当我们研究一个物体在某一时刻的速度时，可以通过极限思想来求解。
假设物体在t时刻的速度为v(t)，我们可以通过求解v(t)的导数来得到物体在t时刻的速度。
然而，如果我们想要得到物体在某一时刻的瞬时速度，我们就需要使用极限思想。
我们可以通过求解v(t)的极限值，即求解lim(t->0) v(t)，来得到物体在某一时刻的瞬时速度。
这样，我们就能更准确地描述物体在不同时刻的速度变化。
其次，极限思想在经济学中也有广泛的应用。
例如，在经济学中，我们经常需要研究一个变量随着时间的变化趋势。
通过极限思想，我们可以更好地理解这种变化趋势。
假设我们研究一个国家的经济增长率，我们可以将经济增长率表示为一个函数G(t)。
通过求解G(t)的导数，我们可以得到经济增长率的变化速度。
然而，如果我们想要得到经济增长率在某一时刻的瞬时变化速度，我们就需要使用极限思想。
我们可以通过求解G(t)的极限值，即求解lim(t->0) G(t)，来得到经济增长率在某一时刻的瞬时变化速度。
这样，我们就能更准确地描述经济增长率的变化趋势。
此外，极限思想在工程学中也有重要的应用。
例如，在工程设计中，我们经常需要研究一个系统的稳定性。
通过极限思想，我们可以更好地理解系统的稳定性。
假设我们研究一个系统的稳定性，我们可以将系统的稳定性表示为一个函数S(t)。
通过求解S(t)的导数，我们可以得到系统稳定性的变化速度。
然而，如果我们想要得到系统稳定性在某一时刻的瞬时变化速度，我们就需要使用极限思想。
我们可以通过求解S(t)的极限值，即求解lim(t->0) S(t)，来得到系统稳定性在某一时刻的瞬时变化速度。
巧借极限思想灵活解题
在， 给出证明； 若不存在， 说明理由$ 分析! 若存在这样的 !、 #， 则由 % " # $ ） 得 ’() ! " # !$ !" # ! $ （ "& * & !" ! 对 !" + , # 两边取极限， 有!# ， 解得! # !" $ % ! $% 应该是以 , 为首项， - 或 ! # &$ 若 ! # -， 则数列｛! " ｝ % % 显然 $ 为公比的等比数列$ 可知 !, # , ，!% # $ ， & & !, !% ( ， 不合题意舍去； 若 ! # &， 将 !, # , 代入 ! " !, $ % % " #! $（ # $ ） ， 可求得 # # $ & ， 此时 & % " （$ ） $ !" # & + & . & !% 亦可得出矛盾$ 因此， 满足题意 同样验证 !, 、 # 不存在$ 的实数 !、 !" 借助极限思想简化计算 例 ! ! 设实数 % 满足 / % / 0 , ， 数列｛! " ｝ 满足 !, # ! " ! " + , # $ % " $（ , ） %， !% (- ， 求数列｛! " ｝ 的通项表达 求 % 的取值范围$ 若 ’() &%" 0 & ， 式； （%）
学科防疫站!
当点 ( 与 ) 重合， ’& ’, （ 假想的无穷远点） 时， 则 / &’ / & + , ， ’ ’ ’ + & %， %) &’% &(% 它应 该 也 是 定 值， 且 ’ ’ - ， 由此可得： %) $%) %% ) 可" （ 证明留给读者完成） $" 借助极限思想巧求值 ! ! 极限概念是由于某些实际问题的精确解答而产 生出来的， 我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形 来求圆面积的方法 （ 即割圆术） ， 就是极限思想在几何 上的运用" 由于极限法揭示了变量与常量、 无限与有 限的对立统一关系， 所以借助极限法， 人们可以从有 限认识无限， 从不变认识变， 从直线形认识曲线形， 从 量变认识质变， 从近似认识准确， 故极限法有着广泛 的应用" 运用极限法的一般步骤可概括为： 对于被考 察的未知量， 先设法构思一个与它有关的变量， 确认 这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量， 最后 用极限计算得到这结果" 很多问题用常量数学的方法 无法解决， 却可用极限法来解决， 例如求曲线的切线 的斜率、 自由落体小球的瞬时速度等" 下面就谈谈极 限思想在解题中的应用" !" 借助极限思想巧求范围 例 !" 在正 ! 棱锥中， 相邻两侧面所成的二面角 的取值范围是 （! ! ） " ! $’ ! $% ； ! ! &! （ ； #! （ !， !） !， !） ! ! ! $% ! $’ ! ； ! ! *! （ (! （ ) ， ） !， !） % ! ! 解! 当底面的高 &) 时， 相邻两侧面所成的二面 角&! ； 当底面的高& + , 时， 相邻两侧面所成的二面 ! $% 角&正 ! 边形的内角 !" 故选 #" ! #" 借助极限思想巧证明 例 #" 已知抛物线方程为 #% - % $% （ $ . )） ， 求证： 在 % 轴正方向上必存在一点 &， 使得对于抛物线上任 ’ ’ 为定值" 意一条过 & 的弦 ’( 均有 % + &’ &(% 证明! 当 ’( - % 轴时， 设& （ %) ， )） ，’ （ %) ， #) ） ， $ #) ） ， 如图 ’ ， 得 ( （ %) ， ’ ’ ’ ’ % ’ + - + % - % ； $% &’% &(% #% # # ) ) ) )
灵活运用极限思想，提升解答动点问题的效率
探索探索与与研研究究例1.若C={}()x,y|y2=x3+ax+b,4a3+27b2≠0，P∈C，P关于x轴的对称点记为P.在点P()x,y()y≠0处的切线是指曲线y=±x3+ax+b在点P处的切线.定义“⊕”运算满足:①若P∈C,Q∈C，且直线PQ与曲线y2=x3+ax+b有第三个交点R，则P⊕Q=R；②若P∈C,Q∈C，且PQ为曲线y2=x3+ax+b的切线，切点为P，则P⊕Q=P；③若P∈C，规定P⊕P=0*，且P⊕0*=0*⊕P=P.已知P()x1,y1∈C，Q()x2,y2∈C，且直线PQ与曲线y2=x3+ax+b有第三个交点，求P⊕Q的坐标.解法1.设R()x3,y3，根据题意可得P⊕Q=R()x3,-y3，由直线的斜率公式可得直线PR的斜率k=y1-y3x1-x3，得y1=k()x1-x3+y3，因为P∈C，所以将P()x1,y1代入曲线的方程y2=x3+ax+b中，可得x23+x1x3+x21+a-k2()x1-x3-2ky3=0，同理，设出直线QR的方程，可得x23+x2x3+x22+a-k2()x2-x3-2ky3=0，将上述两式相减，可得()x1-x2x3+()x1-x2()x1+x2+()x1-x2k2=0，即x1+x2+x3=k2，所以x3=k2-x1-x2，y3=y1-k()x1-x3=y1-k(2x1+)x2-k2，则P⊕Q=R=()x3,-y3=æèççöø÷÷æèçöø÷y1-y2x1-x22-x1-x2,y1-y2x1-x2éëêêùûúú2x1+x2-æèçöø÷y1-y2x1-x22-y1.解答本题，需读懂题意，明确新定义“⊕”运算，明确P、Q的位置关系，利用同构法构造方程，从而求得问题的答案.要求P⊕Q的坐标，需用P()x1,y1以及Q()x2,y2的坐标表示()x3,y3，而P、Q的位置相同：均是曲线上的切点，PR和QR是两条不同的直线，但是其位置相同，方程的形式相似，于是将未知数x1替换为x2，构造出同构式，再将两式相减，消去参数k，即可求得P⊕Q的坐标.解法2.将P()x1,y1，R()x3,y3点的坐标代入曲线的方程y2=x3+ax+b中，得ìíîy21=x31+ax1+b，y23=x33+ax3+b，将两式作差可得()y1+y3()y1-y3=()x1-x3(x21+x1x3+)x23+a()x1-x3，而y1-y3x1-x3=k，所以()y1+y3k=x21+x1x3+x23+a，将其代入y1=k()x1-x3+y3中，可得k2()x1-x3+2ky3=x21+x1x3+x23+a，同理，将Q()x2,y2，R()x3,y3点的坐标代入曲线的方程y2=x3+ax+b中，可得k2()x2-x3+2ky3=x22+x2x3+x23+a，将上述两式相减，得k2()x1-x2=()x1+x2()x1-x2+()x1-x2x3，可得x1+x2+x3=k2，所以x3=k2-x1-x2，y3=y1-k()x1-x3=y1-k(2x1+x2-)k2，则P⊕Q=R=()x3,-y3=æèççæèçöø÷y1-y2x1-x22-x1-x2,y1-y2x1-x2⋅öø÷÷æèççöø÷÷2x1+x2-æèçöø÷y1-y2x1-x22-y1.将曲线上的P、R两点的坐标代入曲线C的方程中，得到关于x1、x3的方程，而P、Q的位置相同：均是曲线上的切点，PR和QR的位置相同，方程的形式相似，于是将未知数x1替换为x2，构造出同构式.再将两式对齐作差得到方程，利用点差法得到P⊕Q的坐标.同构式是指结构一致，形式相似的式子.这类式子中除了未知数不同，其余的都相同.根据这类式子的这种特殊性，我们可以将同构式作差、作商，得到形式、结构相似的式子，以简化运算，或构造出与之相应的方程、函数、不等式，利用不等式、方程、函数的性质来解题.运用同构法解答这类圆锥曲线问题的思路：①寻找位置相同的直线、曲线、点；②建立含有未知数的关系式，根据代数式的相同结构进行换元，得到同构式；③根据同构式的结构特征进行运算、构造，得到新结论.例2.如图，已知抛物线的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x=1交抛物线于P,Q两点，且OP⊥OQ.已知点M()2,0，且圆M与直线l相切.（1）求抛物线与圆M的方程；（2）设A1,A2,A3是抛物线上的三点，直线A1A2,A1A3均与圆M相切.试判断直线A2A3与圆M的位置关系，并说明理由.金毅52探索探索与与研研究究解：（1）抛物线的方程为:y 2=x ，圆M 的方程为()x -22+y 2=1；（过程略）（2）设A 1()x 1,y 1,A 2()x 2,y 2,A 3()x 3,y 3，因点A 1,A 2,A 3都在抛物线上，所以ìíîy 21=x 1，y 22=x 2，将两式作差，可得()y 1+y 2()y 1-y 2=x 1-x 2，当x 1≠x 2时，y 1-y 2x 1-x 2=1y 1+y 2，则直线A 1A 2的方程为y -y 1=1y 1+y 2()x -x 1，整理可得x -()y 1+y 2y +y 1y 2=0.当x 1=x 2时，y 1+y 2=0，直线A 1A 2的方程为x =y 21，所以直线A 1A 2的方程为x -()y 1+y 2y +y 1y 2=0.由A 1A 2与圆M 相切，可得2+y y =1，化简得()x 1-1x 2-x 1+2y 1y 2同理，可根据A 1A 3与圆M 相切，得()x 1-1x 3-x 1+2y 1y 3+3=0.由上述两式可得直线A 2A 3的方程：()x 1-1x +2y 1y +3-x 1=0，则圆心M ()2,0到直线的距离为||2x 1-2+3-x 1()x 1-12+4y 21=||x 1+1()x 1+12=1，所以直线A 2A 3和圆M 相切.解答本题，要根据直线A 1A 2、A 1A 3、A 2A 3与圆M 的位置关系相同，构造同构式，由直线A 1A 2、A 1A 3的方程求出直线A 2A 3的方程.这样可以有效地减少计算量，简便而且高效地获得问题的答案.运用同构法解答解析几何问题，能有效地减少计算量，快速得出等价的关系式，使复杂的几何问题变得更加简明、直观.在运用同构法解答解析几何问题时，需要重点关注：①寻找位置相同的直线、曲线、点；②在得到结构相似或一致的式子后，要“找相同，比不同”,合理进行换元，得到新结论.（作者单位：内蒙古呼和浩特市第二中学）动点问题比较常见，通常要求根据题意确定动点的位置、求动点的轨迹方程、求与动点有关的参变量的取值范围.由于动点在变化，我们很难确定其位置.事实上，我们可以运用极限思想来解题，将动点放置在一个极限位置，如端点处、无限远处、原点处或某特殊位置，结合这些特殊情形来求得问题的答案，这样便能化繁为简、化难为易．一、平面几何中的动点问题对于平面几何中的动点问题，通常要先根据题意建立与动点有关的几何关系，以确定动点的运动轨迹；然后画出相应的图形，找出满足题意的动点的位置，尤其要关注一些极限位置，如端点处、无限远处、原点处或某些特殊位置；再将动点放置在其中一个位置上，即可快速根据已知条件求出问题的答案.例1.已知点O 、H 分别为△ABC 的外心和垂心，AB =5，AC =3，则 OH ∙BC =_______．解：假设AB ⊥AC ，则△ABC 为直角三角形，则△ABC 的外心O 是BC 的中点，△ABC 的垂心H 与点A 重合，如图1所示，因为AB =5，AC =3，所以 OH ∙ BC = OA ∙ BC = AO ∙ CB=12（ AB + AC ）∙（ AC -AB ）=12（ AC 2- AB 2）=12（32-52）=-8.该三角形的形状是无法确定的，所以我们很难确定O 、H 的位置，于是运用极限思想，假设AB ⊥AC ，视△ABC 为直角三角形，使△ABC 的垂心H 与点C 重合，那么△ABC 的外心O 是BC 的中点，这样便能化动为静，通过解直角三角形，求得OH ∙ BC 的值.图1图2陈亚琴53。
高考数学中如何利用极限理论解决数列问题
高考数学中如何利用极限理论解决数列问题在高考数学中，数列问题一直是重点和难点，而极限理论作为高等数学的重要组成部分，为解决数列问题提供了有力的工具。
理解并掌握如何运用极限理论来处理数列问题，对于提高我们在高考中的解题能力具有重要意义。
首先，我们需要明确什么是数列的极限。
简单来说，如果当项数 n 无限增大时，数列的通项 an 无限趋近于一个确定的常数 A，那么我们就说 A 是数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A。
那么，极限理论在解决数列问题中有哪些具体的应用呢？其一，判断数列的收敛性。
对于一个数列，如果它存在极限，我们就说这个数列是收敛的；如果不存在极限，那么就是发散的。
例如，数列｛1 ／ n} ，当 n 趋向于无穷大时，1 ／ n 趋向于 0 ，所以这个数列是收敛的，其极限为 0 。
通过判断数列的收敛性，我们可以对数列的性质有更深入的理解。
其二，求数列的极限值。
这是高考中常见的题型。
比如，求数列（n ＋ 1) ／（2n 1) 的极限。
我们可以将其分子分母同时除以 n ，得到（1 ＋ 1 ／ n) ／（2 1 ／ n) 。
当 n 趋向于无穷大时，1 ／ n 趋向于0 ，所以该数列的极限为 1 ／ 2 。
其三，利用极限来研究数列的单调性。
对于一个数列，如果从某一项开始，其后的项总是大于（或小于）前面的项，那么我们就说这个数列是单调递增（或递减）的。
通过分析数列通项的变化趋势，结合极限的思想，可以判断数列的单调性。
接下来，我们通过一些具体的例子来看看如何运用这些方法。
例 1：已知数列｛an} 的通项公式为 an ＝（2n 1) ／（3n ＋ 1) ，判断数列｛an} 的收敛性，并求其极限。
我们将通项公式变形为 an ＝（2 1 ／ n) ／（3 ＋ 1 ／ n) ，当 n 趋向于无穷大时，1 ／ n 趋向于 0 ，所以lim(n→∞） an ＝ 2 ／ 3 ，数列｛an} 收敛，极限为 2 ／ 3 。
利用极限运算法解决生活中的例子
利用极限运算法解决生活中的例子引例两人坐在方桌旁，相继轮流往桌面上平放一枚同样大小的硬币。
当最后桌面上只剩下一个位置时，谁放下最后一枚，谁就算胜了。
设两人都是高手，是先放者胜还是后放者胜？（G·波利亚称“由来已久的难题”）G·波利亚的精巧解法是“一猜二证”：猜想（把问题极端化）如果桌面小到只能放下一枚硬币，那么先放者必胜。
证明（利用对称性）由于方桌有对称中心，先放者可将第一枚硬币占据桌面中心，以后每次都将硬币放在对方所放硬币关于桌面中心对称的位置，先放者必胜。
从波利亚的精巧解法中，我们可以看到，他是利用极限的思想考察问题的极端状态，探索出解题方向或转化途径。
极限思想是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想，可以避免复杂运算，探索解题新思路。
极限思想的完善与微积分的严格化密切联系.在很长一段时间里，许多人尝试解决微积分理论基础的问题，但都未能如愿.这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量.而人们对变量数学特有的规律还不-|·分清楚.对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解.对有限和无限的对立统一关系还不明确.人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用I 口的概念说明不了这种“零"与“非零”相互转化的辩证关系。
灵活应用极限知识轻松解决中考难题
灵活应用极限知识轻松解决中考难题中考对于很多同学来说，就像是一场艰难的战役，而数学中的极限知识，就像是一把神奇的武器，可以帮助我们在这场战役中轻松取胜。
我记得有一次，我在给学生们讲极限知识的时候，有个同学一脸困惑地问我：“老师，这极限知识到底有啥用啊？感觉好抽象，跟中考能有啥关系？”当时我没有直接回答他，而是笑了笑说：“别着急，等会儿你就知道啦。
”咱们先来看看中考数学里那些让人头疼的难题。
比如说，有这么一道题：已知函数 f(x) ＝（x²＋ ax ＋ 1) ／（x ＋ 1)，当 x 趋近于无穷大时，f(x) 的极限值为 1，求 a 的值。
这道题乍一看，是不是有点让人摸不着头脑？其实啊，咱们用极限知识来解决它就会变得特别简单。
当 x 趋近于无穷大时，分子分母中最高次项的系数之比就是这个函数的极限值。
在这个式子中，分子的最高次项是 x²，分母的最高次项是 x，所以极限值就是 1，那么分子中 x²的系数 1 和分母中 x 的系数 1 之比就是 1，而题目中说极限值为 1，所以 a 的值就是 0 啦。
再比如说，有这样一道几何题：一个圆的内接正多边形，边数无限增多时，这个正多边形的周长无限趋近于圆的周长。
这道题其实就是在考察极限的思想。
我们想想，当正多边形的边数越来越多，每一条边就会越来越短，整个多边形就会越来越接近圆的形状，它的周长也就越来越接近圆的周长。
这就像我们在操场上跑步，一开始我们跑得歪歪扭扭的，但是随着我们不断调整，跑的路线就会越来越接近一个标准的圆形。
还有一道物理题也用到了极限知识。
比如说，一个小球从高处自由下落，求它在某一时刻的瞬时速度。
这时候，我们就可以利用极限的思想，把时间间隔取得非常非常小，小到趋近于零，这样就可以求出瞬时速度啦。
就像我们在生活中，有时候想要达到一个目标，可能一开始感觉很遥远，但是只要我们一步一步地靠近，每次都比上一次更接近目标，最终就能实现它。
数学复习题巧解函数极限题
数学复习题巧解函数极限题函数极限是高中数学中一项重要的概念，也是解题的关键。
掌握函数极限的巧解方法，不仅可以提升解题效率，还能够培养数学思维和逻辑推理能力。
本文将分享一些数学复习题中常见的函数极限问题，并提供巧解方法。
1. 问题描述：计算函数$f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}$在$x=2$处的极限。
解析：直接代入$x=2$，会出现分母为0的情况，无法得到准确的结果。
为了解决这个问题，我们可以进行化简：$f(x)=\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}=x^2+2x+4$所以，函数$f(x)$在$x=2$处的极限等于$2^2+2\times2+4=12$。
2. 问题描述：计算函数$g(x)=\sqrt{x^2+x}-x$当$x$趋于无穷大时的极限。
解析：当$x$趋于无穷大时，函数$g(x)$存在无穷大减无穷大的情况，无法直接进行计算。
为了解决这个问题，我们可以进行有理化：$g(x)=\frac{\sqrt{x^2+x}-x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x^2+x}}}{\frac{1}{\sqrt{x^2+x} }+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{x^2+x}}}$当$x$趋于无穷大时，$\frac{1}{\sqrt{x^2+x}}$趋于0，所以函数$g(x)$的极限为$\frac{1}{1+0}=1$。
3. 问题描述：计算函数$h(x)=\frac{2x^2+x-3}{3x^2-4x+1}$的极限。
解析：直接代入$x=1$，会出现分母为0的情况，无法得到准确的结果。
为了解决这个问题，我们可以进行因式分解：$h(x)=\frac{(2x-1)(x+3)}{(3x-1)(x-1)}$当$x$趋于1时，函数$h(x)$存在$\frac{0}{0}$的情况，可以利用洛必达法则进行计算：$h(x)=\frac{(2x-1)(x+3)}{(3x-1)(x-1)}=\frac{2x+5}{3x-1}$洛必达法则告诉我们，当函数的分子和分母在某一点的极限存在时，可以分别对分子和分母求导再求极限。
极限思想方法
七、趋势判断趋势判断法，包括极限判断法，连同估值法，大致可以归于直觉判断法一类。
具体来讲，顾名思义，趋势判断法的要义是根据变化趋势来发现结果，要求化静为动，在运动中寻找规律，因此是一种较高层次的思维方法。
【例题】、（06年全国卷Ⅰ，11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棍围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为多少？A 、85 cm 2B 、610 cm 2C 、355 cm 2D 、20 cm 2【解析】、此三角形的周长是定值20，当其高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线，其面积趋向于零，可知，只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时也就是形状接近于正三角形时面积最大，故三边长应该为7、7、6，因此易知最大面积为610cm 2，选B 。
）【练习1】、在正n 棱锥中，相邻两侧面所成二面角的平面角的取值范围是（ ）A 、2(,)n n ππ-B 、1(,)n n ππ-C 、(0,)2πD 、21(,)n n n nππ-- （提示：进行极限分析，当顶点无限趋近于底面正多边形的中心时，相邻两侧面所成二面角απ→，且απ；当锥体h →+∞且底面正多边形相对固定不变时，正n 棱锥形状趋近于正n 棱柱，2,n n απ-→且2,n n απ-选A ）【练习2】、设四面体四个面的面积分别为它们的最大值为S ，记41ii S S λ==∑，则λ一定满足（ ）A 、24λ≤B 、34λC 、2.5 4.5λD 、3.5 5.5λ（提示：进行极限分析，当某一顶点A 无限趋近于对面时，S=S 对面，不妨设S=S 1，则S 2+S 3+S 41S →那么2λ=，选项中只有A 符合，选A 。
当然，我们也可以进行特殊化处理：当四面体四个面的面积相等时，4λ=，凭直觉知道选A ）【练习3】、正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的平面角为α，侧面与底面 所成角为β，则2cos cos 2αβ+的值是（ ）A 、1B 、12C 、0D 、-1（提示：进行极限分析，当四棱锥的高无限增大时，90,90,αβ→→那么2cos cos22cos90cos1801αβ+→+=-，选D ）【练习4】、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，若c-a 等于AC 边上的高，那么sincos 22C A C A -++的值是（ ） A 、1 B 、12 C 、13 D 、-1(提示：进行极限分析，0A →时，点C →A ，此时高0,h c a →→，那么180,0C A →→，所以sincos 22C A C A -++sin 90cos01→+=，选A 。
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活用极限思想巧解数学题
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 余树林， 袁新宝 湖北省鄂州市沼山中学 中国数学教育（高中版） ZHONGGUO SHUXUE JIAOYU 2010(1)
本文链接：/Periodical_zgsxjy-gz201001028.aspx
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