【郑州高二上期期末】郑州市2019-2020学年高二年级上期期末考试 数学(理)(高清含答案)
河南省郑州市2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题文
河南省郑州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 文 注意事项：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
考试时间120分钟，满分150分。
考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。
交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题；本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.不等式x 2－4x －5>0的解集为A.{x|x ≥5或x ≤－1}B.{x|x>5或x<－1}C.{x|－1≤x ≤5}D.{x|－1<x<5}2.命题“∀x ∈(－2，0)，x 2＋2x<0”的否定是A.∃x 0∉(－2，0)，x 02＋2x 0≥0B.∀x 0∈(－2，0)，x 02＋2x 0≥0C.∀x 0∉(－2，0)，x 02＋2x 0<0D.∃x 0∈(－2，0)，x 02＋2x 0≥0 3.在△ABC 中，a ＝6，b ＝10，sinA ＝13，则sinB ＝ A.15 B.594.焦点为F 1(0，－2)，F 2(0，2)长轴长为10的椭圆的标准方程为 A.22110096x y += B.2212521x y += C.22196100x y += D.2212125x y += 5.已知抛物线y 2＝4x 上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到y 轴的距离为 A.12B.1C.2D.4 6.已知函数f(x)＝xlnx ＋x 2－1，则f'(1)为A.0B.1C.2D.37.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜。
据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”。
在某种玩法中，用a n 表示解下n(n ≤9，n ∈N *)个圆环所需的最少移动次数，{a n }满足a 1＝1，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数，则解下4个环所需的最少移动次数为 A.7 B.8 C.9 D.108.已知实数x ，y 满足60220y x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≥⎩，则z ＝2x ＋y 的最小值为 A.6 B.7 C.8 D.829.“方程22171x y m m +=--表示的曲线为椭圆”是“1<m<7”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.若函数f(x)的导函数f'(x)的图象如右图所示，则函数y ＝xf'(x)的图象可能是11.等差数列{a n }满足a 1>0，a 2018＋a 2019>0，a 2018·a 2019<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是A.2018B.2019C.4036D.403712.设函数f(x)＝x 3－3x 2＋2x ，若x 1，x 2(x 1<x 2)是函数g(x)＝f(x)＋12λx 的两个极值点，现给出如下结论：①若0<λ<2，则f(x 1)<f(x 2)；②若－4<λ<0，则f(x 1)<f(x 2)；③若λ<－4，则f(x 1)<f(x 2)。
2019-2020学年河南省郑州市高二下学期期末数学试卷(理科) (解析版)
2019-2020学年河南省郑州市高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设复数z＝2+ai，若z＝，则实数a＝（）A．0B．2C．﹣1D．﹣22．若a，b，c均为正实数，则三个数（）A．都不大于2B．都不小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于23．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），则下列说法中不正确的是（）A．由样本数据得到的回归方程＝x+必过样本中心（，）B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D．若变量y和x之间的相关系数为r＝﹣0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系4．函数f（x）＝x2﹣2lnx的单调减区间是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣1，1）5．某小区有1000户，各户每月的周电量近似服从正态分布N（300，l02），则用电量在320度以上的户数约为（）（参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝95.44%，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝99.74%．）A．17B．23C．34D．466．的值为（）A．2B．2e C．2e﹣2D．2e+27．把一枚质地均匀的硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“二次出现正面”为事件B，则P（B|A）等于（）A．B．C．D．8．随机变量X的分布列如下：X﹣101P a b c其中a，b，c成等差数列，则P（|X|＝1）＝（）A．B．C．D．9．函数y＝的图象大致是（）A．B．C．D．10．已知一组数据确定的回归直线方程为且，通过残差分析，发现两个数据（﹣1.7，2.9），（﹣2.3，5.1）误差较大，去除这两个数据后，重新求得回归直线的斜率为﹣1.5，则当x＝﹣4时，＝（）A．6B．7C．8D．1311．两名同学分4本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得4本书的概率为（）A．B．C．D．12．关于x的方程（x2﹣2x）2e2x﹣（t+1）（x2﹣2x）e x﹣4＝0（t∈R）的不等实根的个数为（）A．1B．3C．5D．1或5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式的展开式中常数项的值为．14．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为．15．观察下面的三角形数组，可以推测：该数组第10行的和为16．已知函数f（x）＝ae x（a＞0）与g（x）＝2x2﹣m（m＞0）的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m变化时，实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）17．已知复数z满足（1+2i）z＝4+3i（i是虚数单位）．求：（Ⅰ）z；（Ⅱ）．18．在二项式的展开式中，（1）若所有二项式系数之和为64，求展开式中二项式系数最大的项．（2）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和．19．已知函数f（x）＝x﹣alnx（a∈R）．（1）当a＝2时，求y＝f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论y＝f（x）的单调性．20．已知数列{x n}满足x1＝0，x n+1＝﹣x n2+x n+c（n∈N*），0＜c≤，求证：数列{x n}是递增数列．21．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如表表格：潜伏期（单位：天）[0，2]（2，4]（4，6]（6，8]（8，10]（10，12]（12，14]人数85205310250130155（I）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（Ⅱ）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，设潜伏期超过6天的人数为X，则X的期望是多少？附：P（K2≥k0）0.050.0250.010k0 3.841 5.024 6.635，其中n＝a+b+c+d．22．已知函数的极大值为，其中k为常数，e＝2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若函数，对任意实数x∈（0，+∞），不等式g（x）≥af（x）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z＝2+ai，若z＝，则实数a＝（）A．0B．2C．﹣1D．﹣2【分析】由z＝2+ai得＝2﹣ai，再由复数相等的条件列式求得a值．解：∵z＝2+ai，∴，若z＝，∴2+ai＝2﹣ai，即a＝﹣a，得a＝0．故选：A．2．若a，b，c均为正实数，则三个数（）A．都不大于2B．都不小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，可以确定至少有一个不小于2，从而可以得结论．解：由题意，∵a，b均为正实数，∴当且仅当a＝b时，取“＝”号若，则结论不成立，∴，至少有一个不小于2∴至少有一个不小于2故选：D．3．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），则下列说法中不正确的是（）A．由样本数据得到的回归方程＝x+必过样本中心（，）B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D．若变量y和x之间的相关系数为r＝﹣0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系【分析】线性回归方程一定过样本中心点，在一组模型中残差平方和越小，拟合效果越好，相关系数r满足|r|越接近于1，线性相关程度越强．解：样本中心点在直线上，故A正确，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故B正确，R2越大拟合效果越好，故C不正确，当r的值大于0.75时，表示两个变量具有线性相关关系，故选：C．4．函数f（x）＝x2﹣2lnx的单调减区间是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣1，1）【分析】求出函数的导数，令导数小于0，注意函数的定义域，解不等式即可得到单调减区间．解：函数f（x）＝x2﹣2lnx（x＞0）的导数为f′（x）＝2x﹣，令f′（x）＜0，解得0＜x＜1．即有单调减区间为（0，1）．故选：A．5．某小区有1000户，各户每月的周电量近似服从正态分布N（300，l02），则用电量在320度以上的户数约为（）（参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝95.44%，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝99.74%．）A．17B．23C．34D．46【分析】根据正态分布，求出μ＝300，σ＝10，在区间（280，320）的概率为0.954，由此可求用电量在320度以上的户数．解：由题意，μ＝300，σ＝10，在区间（280，320）的概率为0.954，∴用电量在320度以上的概率为＝0.023，∴用电量在320度以上的户数估计约为1000×0.023＝23，故选：B．6．的值为（）A．2B．2e C．2e﹣2D．2e+2【分析】首先求出被积函数的原函数，进一步利用定积分知识的应用求出结果．解：＝＝．故选：C．7．把一枚质地均匀的硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“二次出现正面”为事件B，则P（B|A）等于（）A．B．C．D．【分析】本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率，代入条件概率的概率公式得到结果．解：由题意知本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是P（A）＝，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是P（AB）＝＝，∴P（B|A）＝＝，故选：A．8．随机变量X的分布列如下：X﹣101P a b c其中a，b，c成等差数列，则P（|X|＝1）＝（）A．B．C．D．【分析】由随机变量X的分布列的性质得a+b+c＝1，且a，b，c∈[0，1]．由a，b，c成等差数列，得2b＝a+c，从而能求出P（|x|＝1）＝P（X＝﹣1）+P（X＝1）的值．解：∵随机变量X的分布列如下：X﹣101P a b c∴a+b+c＝1，且a，b，c∈[0，1]．①∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a+c，②联立①②，得b＝，a+c＝，∴P（|x|＝1）＝P（X＝﹣1）+P（X＝1）＝a+c＝．故选：D．9．函数y＝的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．解：当x＞0时，y＝xlnx，y′＝1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D．10．已知一组数据确定的回归直线方程为且，通过残差分析，发现两个数据（﹣1.7，2.9），（﹣2.3，5.1）误差较大，去除这两个数据后，重新求得回归直线的斜率为﹣1.5，则当x＝﹣4时，＝（）A．6B．7C．8D．13【分析】由题意求出样本中心点，然后求解新的样本中心，利用回归直线l的斜率估计值为﹣1.5，求解即可．解：由样本数据点集{（x i，y i）|i＝1，2，…，n}求得的回归直线方程为，且，∴，故数据的样本中心点为（﹣2，4），去掉（﹣1.7，2.9），（﹣2.3，5.1），重新求得的回归直线L的斜率估计值为﹣1.5，回归直线方程设为：y＝﹣1.5x+a，代入（﹣2，4），求得a＝1，∴回归直线l的方程为：y＝﹣1.5x+1，将x＝﹣4代入回归直线方程求得y的估计值﹣1.5×（﹣4）+1＝7，故选：B．11．两名同学分4本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得4本书的概率为（）A．B．C．D．【分析】两名同学分4本不同的书，先利用排列组合求出基本事件总数，再求出其中一人没有分到书，另一人分得4本书包含的基本事件个数，由此能求出其中一人没有分到书，另一人分得4本书的概率．解：两名同学分4本不同的书，基本事件总数n＝（）A＝16，其中一人没有分到书，另一人分得4本书包含的基本事件个数m＝＝2，∴其中一人没有分到书，另一人分得4本书的概率p＝．故选：D．12．关于x的方程（x2﹣2x）2e2x﹣（t+1）（x2﹣2x）e x﹣4＝0（t∈R）的不等实根的个数为（）A．1B．3C．5D．1或5【分析】设f（x）＝（x2﹣2x）e x，利用导数得到函数f（x）的单调性和极值，画出函数f（x）的大致图象，关于x的方程（x2﹣2x）2e2x﹣（t+1）（x2﹣2x）e x﹣4＝0，令u ＝f（x）得：u2﹣（t+1）u﹣4＝0，由△＞0得方程有两个不等实根u1，u2，且u1u2＝﹣4，又f（﹣）•f（）＝•＝﹣4，所以无论如何与函数的图象都有3个交点．解：设f（x）＝（x2﹣2x）e x，则f'（x）＝（2x﹣2）e x+（x2﹣2x）e x＝，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣）和（，+∞）上单调递增，在（﹣，）上单调递减，且f（﹣）＝，f（）＝，f（0）＝0，又∵当x→﹣∞时，f（x）→0；当x→+∞时，f（x）→+∞，故画出函数f（x）的大致图象，如图所示：关于x的方程（x2﹣2x）2e2x﹣（t+1）（x2﹣2x）e x﹣4＝0，令u＝f（x）得：u2﹣（t+1）u﹣4＝0，∵△＝（t+1）2+16＞0，∴方程有两个不等实根u1，u2，且u1u2＝﹣4，又∵f（﹣）•f（）＝•＝﹣4，①当，时，函数y＝u与函数y＝f（x）有三个交点，所以关于x的方程（x2﹣2x）2e2x﹣（t+1）（x2﹣2x）e x﹣4＝0（t∈R）有3个不等实根；②当时，则，此时函数y＝u与函数y＝f（x）任有三个交点，所以关于x的方程（x2﹣2x）2e2x﹣（t+1）（x2﹣2x）e x﹣4＝0（t∈R）仍然有3个不等实根；③当时，则，此时函数y＝u与函数y＝f（x）任有三个交点，所以关于x的方程（x2﹣2x）2e2x﹣（t+1）（x2﹣2x）e x﹣4＝0（t∈R）仍然有3个不等实根；所以无论如何关于x的方程（x2﹣2x）2e2x﹣（t+1）（x2﹣2x）e x﹣4＝0（t∈R）有3个不等实根，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式的展开式中常数项的值为20．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项．解：展开式的通项为T r+1＝C6r x6﹣2r令6﹣2r＝0得r＝3故展开式的常数项为T4＝C63＝20故答案为2014．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为24．【分析】利用“插空法“，先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学即可得到答案．解：先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有A43＝24种故答案为：24．15．观察下面的三角形数组，可以推测：该数组第10行的和为3025【分析】根据题意分别列举出每一行的和，并找到规律，归纳总结即可．解：第一行的和为13＝1；第二行的和为13+23＝（1+2）2；第三行的和为13+23+33＝（1+2+3）2；第四行的和为13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；…第十行的和为13+23+33+…+103＝（1+2+3+…+10）2＝552＝3025；故答案为：3025．16．已知函数f（x）＝ae x（a＞0）与g（x）＝2x2﹣m（m＞0）的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m变化时，实数a的取值范围为．【分析】先设出切点的横坐标s（s＞0），根据切点是公共点且切点处导数值相等构造方程，由此将m用切点的横坐标s表示出来，根据m的范围求出s的范围，再将a表示成s的函数，利用导数求其值域，即可得到所求范围．解：设切点的横坐标为s（s＞0），f（x）＝ae x的导数为f′（x）＝ae x，g（x）＝2x2﹣m的导数为g′（x）＝4x，可得ae s＝4s，ae s＝2s2﹣m，由m＝2s2﹣4s＞0，解得s＞2，由上可知a＝，可令h（x）＝，则h′（x）＝，因为x＞2，所以h′（x）＜0，h（x）在（2，+∞）上单调递减，所以0＜h（x）＜，即a的范围是（0，）．故答案为：（0，）．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）17．已知复数z满足（1+2i）z＝4+3i（i是虚数单位）．求：（Ⅰ）z；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的z，得到，再由复数模的计算公式求解．解：（Ⅰ）由（1+2i）z＝4+3i，得．即z＝2﹣i；（Ⅱ）由（Ⅰ）知z＝2﹣i，故，故．即．18．在二项式的展开式中，（1）若所有二项式系数之和为64，求展开式中二项式系数最大的项．（2）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和．【分析】（1）根据二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得展开式中二项式系数最大的项．（2）前三项系数的绝对值成等差数列，求得n＝8，再令x＝1，可得展开式中各项的系数和．解：（1）由已知得，2n＝64，∴n＝6，展开式中二项式系数最大的项是．（2）展开式的通项为，（r＝0，1，…，n）由已知：成等差数列，，∴n＝8，在的展开式中，令x＝1，得各项系数和为．19．已知函数f（x）＝x﹣alnx（a∈R）．（1）当a＝2时，求y＝f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论y＝f（x）的单调性．【分析】（1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x＝1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（2）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，因为在函数式中含字母系数a，要对a分类讨论．解：f′（x）＝1﹣＝（x＞0）（1）当a＝2时，y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率是k＝﹣1，而f（1）＝1曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣1＝﹣1（x﹣1），即x+y﹣2＝0；（2）令f′（x）＝0，解得x＝a①当a≤0时，f′（x）＝＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．②当a＞0时，令f′（x）＝＞0，则x＞a，故在区间（a，+∞）内f′（x）＞0，在区间（0，a）内f′（x）＜0．∴当a＞0时，f（x）在（a，+∞）上为增函数，在（0，a）上为减函数；当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数．20．已知数列{x n}满足x1＝0，x n+1＝﹣x n2+x n+c（n∈N*），0＜c≤，求证：数列{x n}是递增数列．【分析】若0＜c≤，要证{x n}是递增数列．即证x n＜对任意n≥1成立，然后利用数学归纳法的证明步骤证明即可．【解答】证明：若0＜c≤，要证{x n}是递增数列．即x n+1﹣x n＝﹣x n2+c＞0，即证x n＜对任意n≥1成立，下面用数学归纳法证明：当0＜c≤时，x n＜对任意n≥1成立．①当n＝1时，x1＝0＜≤，结论成立，②假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时结论成立，即x k＜，因为函数f（x）＝﹣x2+x+c在区间内单调递增，所以x k+1＝f（x k）＜f（）＝，∴当n＝k+1时，x k+1＜成立．由①，②知，0＜x n＜对任意n≥1，n∈N*成立．因此，x n+1＝x n﹣x n2+c＞x n，即{x n}是递增数列．21．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如表表格：潜伏期（单位：天）[0，2]（2，4]（4，6]（6，8]（8，10]（10，12]（12，14]人数85205310250130155（I）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（Ⅱ）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，设潜伏期超过6天的人数为X，则X的期望是多少？附：P（K2≥k0）0.050.0250.010k0 3.841 5.024 6.635，其中n＝a+b+c+d．【分析】（Ⅰ）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论；（Ⅱ）由题意可知X服从二项分布：X～B（20，），则．解：（Ⅰ）根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期＜6天潜伏期≥6天总计50岁以上（含50岁）6535100 50岁以下5545100总计12080200则，经查表，得K2≈2.083＜3.841，所以，没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关；（Ⅱ）由题可知，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为，设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X，则X服从二项分布：X～B（20，），P（X＝k）＝，k＝0，1，2， (20)则，所以，X的期望为E（X）＝8．22．已知函数的极大值为，其中k为常数，e＝2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若函数，对任意实数x∈（0，+∞），不等式g（x）≥af（x）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（I）先对函数求导，然后结合导数与极值的关系即可求解；（II）由已知不等式恒成立，进行合理变形后构造函数，然后对新函数求导，结合导数及函数的性质可求．解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，令f'（x）＞0，解得：0＜x＜e，令f'（x）＜0，解得：x＞e，当x∈（0，e），f（x）为增函数，当x∈（e，+∞），f（x）为减函数，所以x＝e时，f（x）有极大值，所以k＝1，（Ⅱ）由（1）知，，则g（x）≥af（x），即对∀x∈（0，+∞）恒成立，所以xe x﹣a≥alnx+ax对∀x∈（0，+∞）恒成立，即xe x﹣alnx﹣ax﹣a≥0对∀x∈（0，+∞）恒成立设h（x）＝xe x﹣alnx﹣ax﹣a，则h（x）≥0对∀x∈（0，+∞）恒成立，则h（x）＝e lnx e x﹣alnx﹣ax﹣a＝e lnx+x﹣a（lnx+x）﹣a，设lnx+x＝t，t∈R，原问题转化为：φ（t）＝e t﹣at﹣a≥0对∀t∈R恒成立，①若a＜0，当t∈（﹣∞，0）时，φ（t）＝e t﹣at﹣a＜1﹣at﹣a，则，不合题意；②若a＝0，则φ（t）＝e t≥0对∀t∈一、选择题恒成立，符合题意，③若a＞0，则φ'（t）＝e t﹣a，令φ'（t）＞0，t＞lna，令φ'（t）＜0，t＜lna，所以当t∈（﹣∞，lna）时，φ（t）为减函数，当t∈（lna，+∞），时，φ（t）为增函数，所以φ（t）≥φ（lna）＝e lna﹣alna﹣a＝﹣alna≥0，即lna≤0，即0＜a≤1；综上0≤a≤1．。
河南省郑州市2019-2020学年高二第一学期期末考试试题理数学【含解析】
河南省郑州市2019-2020学年高二第一学期期末考试试题理数学【含解析】一、选择题：1.已知集合{|10}A x x =->，{}2|20B x x x =-->，则A B =（）A. (,1)-∞-B. (-1,1)C. (1,2)D. (2,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】首先求出集合A 、B ，再根据交集的定义计算可得. 【详解】解：{|10}A x x =->{|1}A x x ∴=>{}2|20B x x x =-->{}|12B x x x ∴=<->或 {}()|22,A B x x ∴=>=+∞故选：D【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，交集的运算，属于基础题. 2.命题“(2,0)x ∀∈-，220x x +<”的否定是（ ）A. 2000(2,0),20x x x ∃∉-+ B. 2000(2,0),20x x x ∀∈-+ C. 2000(2,0),20x x x ∀∉-+<D. 2000(2,0),20x x x ∃∈-+【答案】D【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题解答.【详解】解：(2,0)x ∀∈-，220x x +<为全称命题，故其否定为0(2,0)x ∃∈-，2020o x x +≥故选：D【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.3.已知实数a b c 、、满足a b c <<，且0ac <，那么下列选项中一定成立的是（ ） A. ()0ac a c -> B. ()0c b a -<C. 22cb ab <D. ab ac <【答案】A 【解析】 【分析】先根据a c <，且0ac <，得出a 的符号，再结合b c <，利用不等式的基本性质即可得到结果． 【详解】解：a b c <<，且0ac <，a ac c ac ∴⋅>⋅即()0ac a c ->，故A 正确；0c ∴>，0a <，又a b <，ac bc ∴<，即()0c b a ->，故B 错误；b 可正、可负、可为零，22,cb ab ∴的关系无法确定，故C 错误；b c <，0a <， ab ac ∴>，故D 错误；故选：A ．【点睛】本题主要考查不等关系与不等式应用、不等式的基本性质、实数的性质等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．4.已知,p q 是两个命题，若()p q ⌝∨是假命题，那么（ ） A. p 是真命题且q 是假命题 B. 是真命题且q 是真命题 C. p 是假命题且q 是真命题 D. p 是假命题且q 是假命题【答案】A 【解析】 【分析】利用复合命题的真假判断即可．【详解】解：设p ，q 是两个命题，若()p q ⌝∨是假命题，可知p ⌝与q 都是假命题， 则p 是真命题且q 是假命题． 故选：A ．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，属于基础题．5.设变量x y 、满足约束条件404021x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩，，，，则目标函数23z x y =+的最大值为（ ）A. 7B. 8C. 10D. 12【答案】D 【解析】 【分析】确定不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得最大值．【详解】解：不等式404021x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩，，，，表示的平面区域如图所示：目标函数23z x y =+，即233zy x =-+，则直线过点A 时，纵截距最大， 此时，由4040x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得0x =，4y =∴目标函数23z x y =+的最大值为203412⨯+⨯=故选：D ．【点睛】本题考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．6.已知椭圆的标准方程为22120x y m+=，并且焦距为4，则实数m 的值为（ ）A. 4m =或6m =B. 16m =或24m =C. 2m =或6m =D. 4m =或36m =【答案】B 【解析】 【分析】分焦点在x 轴和y 轴两种情况讨论，计算可得.【详解】解：椭圆的标准方程为22120x y m+=，并且焦距为4，则2c =，当焦点在x 轴，则220a =，2b m =，2c =222a b c =+204m ∴=+，解得16m =当焦点在y 轴，则2a m =，220b =，2c =222a b c =+204m ∴=+，解得24m =故选：B【点睛】本题考查椭圆的标准方程，关键要对焦点所在轴分类讨论，属于基础题. 7.在ABC 中，23,4,3AC BC B π===，则ABC 的面积等于（ ）3 B. 2C. 23D. 3【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理计算出边c ，再由面积公式1sin 2ABC S ac B ∆=计算可得. 【详解】解：23,4,3AC BC B π===2222cos b a c ac B ∴=+-即(22223424cos3c c π∴=+-⨯⨯解得2c =，113sin 422322ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=故选：C【点睛】本题考查余弦定理解三角形以及面积公式的应用，属于基础题.8.已知数列{}n a 中，11a =前n 项和为n S ，且点+1(,)(*)n n P a a n N ∈在直线10x y -+=上，则12111+++=nS S S =（ ） A. (1)2n n +B. 2(1)n n +C. 21n n +D. 2(1)n n +【答案】C 【解析】【详解】试题分析：点*1(,)()n n P a a n N +∈在一次函数上1y x =+的图象上，11n n a a +∴-=，∴数列{}n a 为等差数列，其中首项为11a =，公差为1，n a n ∴=，∴数列{}n a 的前n 项和(1)2n n n S +=， 1(12)n S n n ∴=+1121n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 123111111111122121223111n n S S S S n n n n ⎛⎫⎛⎫∴++++=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭． 故选C ．考点：1、等差数列；2、数列求和．9.A B 、两处有甲、乙两艘船，乙船在甲船的正东方向，若乙船从B 处出发沿北偏西45°方向行驶20海里到达C 处，此时甲船与乙船相距50海里随后甲船从A 处出发，沿正北方向行驶202D 处，此时甲、乙两船相距（ ）海里 A. 252 B. 45C. 50D. 502【答案】C 【解析】 【分析】依题意画出草图，在ABC ∆中，由正弦定理可得sin CAB ∠，由诱导公式可得cos CAD ∠的值，再在ADC ∆中，由余弦定理计算可得DC 的值. 【详解】解：依题意可画图象如图则20BC =，50AC =，202AD =45ABC ∠=︒ 在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin BC ACCAB ABC=∠∠即2050sin sin 45CAB =∠︒，2sin 5CAB ∴∠=90CAB CAD ∠+∠=︒()2cos cos 90sin 5CAD CAB CAB ∴∠=︒-∠=∠=在ADC ∆中，由余弦定理可得2222cos DC AC AD AC AD CAD =+-⋅⋅⋅∠ 即(2222502022502025DC =+-⨯⨯ 解得50DC =【点睛】本题考查解三角形的实际应用，利用正弦定理、余弦定理计算距离，属于基础题. 10.如图四边形ABCD 中，2AB BD DA ===，2BC CD ==，现将ABD △沿BD 折起，当二面角A BD C --的大小为56π时，直线AB 与CD 所成角的余弦值是（ ）5232322【答案】A 【解析】 【分析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 与CD 所成角的余弦值． 【详解】解：取BD 中点O ，连结AO ，CO ，2AB BD DA ===．2BC CD ==CO BD ∴⊥，AO BD ⊥，且1CO =，3AO =AOC ∴∠是二面角A BD C --的平面角，因为二面角A BD C --的平面角为56π， 56AOC π∴∠=以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0B ，1-，0)，(1C ，0，0)，(0D ，1，0)，33(2A -，∴33(2BA =-，(1,1,0)CD =-，设AB 、CD 的夹角为α，则3|1|||522cos 8||||22AB CD AB CD α+===，【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11.已知抛物线24y x =，过点(2,0)的直线交该抛物线于A B ，两点O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点若||5AF =，则AOB 的面积为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，算出抛物线的焦点坐标，从而可设直线AB 的方程为(2)y k x =-，与抛物线方程联解消去x 可得2480y y k--=，利用根与系数的关系算出128y y =-．根据||5AF =利用抛物线的抛物线的定义算出14x =，可得14y =±，进而算出12||6y y -=，最后利用三角形的面积公式加以计算，即可得到AOB ∆的面积．【详解】解：根据题意，抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ． 设直线AB 的斜率为k ，可得直线AB 的方程为(2)y k x =-，由2(2)4y k x y x=-⎧⎨=⎩消去x ，得2480y y k --=，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，由根与系数的关系可得128y y =-． 根据抛物线的定义，得11||152pAF x x =+=+=，解得14x =， 代入抛物线方程得：214416y =⨯=，解得14y =±，当14y =时，由128y y =-得22y =-；当14y =-时，由128y y =-得22y =， 12||6y y ∴-=，即AB 两点纵坐标差的绝对值等于6．因此AOB ∆的面积为： 12121111||||||||||||2662222AOB AON BON S S S ON y ON y ON y y ∆∆∆==+=+=-=⨯⨯=． 故选：B ．【点睛】本题给出抛物线经过焦点F 的弦AB ，在已知AF 长的情况下求AOB ∆的面积．着重考查了抛物线定义与标准方程、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．12.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 是底面ABCD 所在平面内一动点，设1PD ，PE 与底面ABCD 所成的角分别为12θθ，（12θθ，均不为0），若12θθ=，则三棱锥11P BB C -体积的最小值是（ ） A.92B.52C.32D.54【答案】C 【解析】 【分析】通过建系如图，利用12cos cos θθ=，结合平面向量数量积的运算计算即得结论． 【详解】解：建系如图，正方体的边长为3，则(3E ，0，3)2，1(0D ，0，3)，设(P x ，y ，0)(0x ，0)y ，则(3PE x =-，y -，3)2，1(PD x =-，y -，3)，12θθ=，(0z =，0，1)，12cos cos θθ∴=，即11||||||||||||PD z PE z PE z PD z =，代入数据，得：22223299(3)4x y x y =++-++，整理得：228120x y x +-+=， 变形，得：22(4)4(02)x y y -+=， 即动点P 的轨迹为圆的一部分，过点P 作PF BC ⊥，交BC 于点F ，则PF 为三棱锥11P BB C -的高∴点P 到直线AD 的距离的最大值是2．则min 321PF =-=．1111119332212BB C BB B C S ∆=⋅⋅=⨯⨯=1111193132213P BB C BB C V PF S -∆=⨯⨯⋅⋅=∴=故选：C ．【点睛】本题考查平面与圆柱面的截线，建立空间直角坐标系是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：13.401-是等差数列5,9,13---，…的第_____项. 【答案】100 【解析】 【分析】求出首项15a =-，公差(9)(5)4d =---=-，从而5(1)(4)41n a n n =-+-⨯-=--，由此能求出结果． 【详解】解：等差数列5-，9-，13-⋯中， 首项15a =-，公差(9)(5)4d =---=-， 5(1)(4)41n a n n ∴=-+-⨯-=--，41401n a n =--=-，100n ∴=．故401-是等差数列5-，9-，13-⋯的第100项． 故答案为：100．【点睛】本题考查等差数列的某一项的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．14.设0,0,22x y x y >>+=，则xy 的最大值为_____. 【答案】12【解析】 【分析】已知0x >，0y >，22x y +=，直接利用基本不等式转化求解xy 的最大值即可． 【详解】0x >，0y >，222x y xy +，即222xy ， 两边平方整理得12xy， 当且仅当1x =，12y =时取最大值12； 故答案为：12【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，注意基本不等式成立的条件． 15.已知四棱锥S ABCD -底面ABCD 是边长为1的正方形，SD ⊥底面ABCD ，2SD =，M 是AB 的中点，P 是SD 上的动点若//AP 面SMC ，则SP =_____.【答案】1 【解析】 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出//AP 面SMC 时P 的坐标，即可求出SP 的值．【详解】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DS 为z 轴，建立空间直角坐标系， 由题意知11,,02M ⎛⎫⎪⎝⎭， ()0,1,0C ， ()0,0,2S ， ()1,0,0A设()00,0,P y则11,,22MS ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()0,1,2CS =-，()01,0,AP y =-设平面SMC 的法向量(,,)n x y z =，则1·202·20n MS x y z n CS y z ⎧=--+=⎪⎨⎪=-+=⎩， 取1z =，得(1,2,1)n =，//AP 面SMC0n AP ∴⋅=即0110y -⨯+=解得01y =211SP ∴=-=故答案为：1【点睛】本题考查线面平行求其他量，属于中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．16.已知双曲线2222:1(0,0) xyC a ba b-=>>的左、右点分别为12,F F，过1F的直线与C的两条渐近线分别交于A B，两点，若12F A AB=，1F A AO⋅=则C的离心率为______.【答案】6【解析】【分析】由题意画出图形，结合已知可得1F A OA⊥，写出1F A的方程，与by xa=联立求得B点坐标，与by xa=-联立求得A点坐标，再由12F A AB=，得到32BAyy=，即可求得离心率．【详解】解：由题意画出图形，因为双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>所以渐近线为by xa=±，()1,0F c-过1F的直线与C的两条渐近线分别交于A B，两点，1F A AO⋅=则1F A AO⊥及1F A AO⊥，则11F A AOk k⋅=-AObka=-，1F Aakb∴=1:()aF A y x c b∴=+联立()ay x c b b y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得222(a cB b a-，22)abc b a -， 联立()a y x c b b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得222(a cA b a -+，22)abc b a +， 12F A AB =222223abc abcb a b a ∴⨯=⨯-+225b a ∴= 2225c a a ∴-=即226a c =226c a ∴= 6ce a∴==6．【点睛】本题考查直线与双曲线，求双曲线的离心率，属于中档题. 三、解答题： 17.已知命题23:12x p x -<-题2:(2)20x x q ae a e +--<.若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】22a e≤ 【解析】 【分析】设命题p 对应的集合为A ，命题q 对应的集合为B ，由p 是q 的充分条件，则A B ⊆，由2(2)20x x ae a e +--<，得()()210x xae e -+<，即是使20x ae -<，对a 分类讨论可得.【详解】解:由2312x x -<-，得12x <<， 设命题p 对应的集合为{}12A x x =<<设命题q 对应的集合为B ，p 是q 的充分条件，则A B ⊆ 由2(2)20xx aea e +--<，得()()210x xae e -+<，10x e +> 20x ae ∴-<若0a ≤时，20x ae -<，x ∴∈R ，则A B ⊆显然成立；若0a >时，20x ae -<，则2lnx a<， 2ln2a∴≥ 22e a ∴≥ 220a e ∴<≤ 综上：22ea ≤.【点睛】本题考查根据充分条件求参数的取值范围，不等式的解法，属于基础题. 18.如图，三棱锥P ABC -中平面PAC ⊥平面ABC ，PA AB ⊥.（Ⅰ）证明：PA BC ⊥；（Ⅱ）若点E 为PC 中点，2PA AB BC ===，120ABC ︒∠=，求平面ABE 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析，（Ⅱ）57【解析】【分析】（1）过B 作BD AC ⊥于点D ，则BD ⊥平面PAC ，可得PA BD ⊥，又PA AB ⊥，则PA ⊥平面ABC ，即可得证.（2）以A 为坐标原点，过A 作垂直AC 的直线为x 轴，AC 为y 轴正向，AP 为z 轴建立如图所以空间直角坐标系，分别求出平面PBC 、平面ABE 的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值. 【详解】证明：（1）过B 作BD AC ⊥于点D ， 平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC 平面ABC AC =，故BD ⊥平面PAC . 又PA ⊂平面PAC ， ∴PA BD ⊥. 又⊥PA AB ，ABBD B =，AB 平面ABC ，BC ⊂平面ABC所以PA ⊥平面ABC . ∴PA BC ⊥（2）由（1）有PA ⊥平面ABC ，故以A 为坐标原点，过A 作垂直AC 的直线为x 轴，AC 为y 轴正向，AP 为z 轴建立如图所以空间直角坐标系则(0,0,0)A ，3,0)B ，(0,0,2)P ，(0,3,0)C ，3,1)E故(0,3,2)PC =-，(3,0)BC =-，设平面PBC 的法向量(,,)m x y z =则23200030z m PC m BC x ⎧⎧-=⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎩⎩，令1y =有313x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故(3,1,3)m =，同理可得平面ABE 的法向量(3,3n =-，则5cos ,7m n m n m n⋅==，又平面ABE 与平面PBC 所成角为锐角， 所以平面ABE 与平面PBC 所成角的余弦值为57【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19.《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》已经政府常务会议审议通过，自2019年12月1日起施行.垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.所谓垃圾其实都是资源，当你放错了位置时它才是垃圾.某企业在市科研部门的支持下进行研究，把厨余垃圾加工处理为一种可销售的产品.已知该企业每周的加工处理量最少为75吨，最多为100吨.周加工处理成本y （元）与周加工处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为213027003y x x =-+，且每加工处理一吨厨余垃圾得到的产品售价为16元.（Ⅰ）该企业每周加工处理量为多少吨时，才能使每吨产品的平均加工处理成本最低？（Ⅱ）该企业每周能否获利？如果获利，求出利润的最大值；如果不获利，则需要市政府至少补贴多少元才能使该企业不亏损？【答案】（Ⅰ）90，（Ⅱ）故该企业不获利，需要市政府每周至少补贴1125元，才能不亏损． 【解析】 分析】（Ⅰ）由题意，周加工处理成本y （元）与周加工处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：213027003y x x =-+，两边同时除以x ，然后利用基本不等式从而求出最值；（2）设该单位每月获利为S ，则16S x y =-，把y 值代入进行化简，然后运用配方法进行求解. 【详解】解：（Ⅰ）由题意可知，每吨平均加工成本为：22700270030230303130327003y x x x x x x xx -+==+-≥⋅=当且仅当27003x x=即90x =时，才能使每吨的平均加工成本最低．（Ⅱ）设该单位每月获利为S ，则()2211S 1646270069111333x y x x x =-=-+-=---[75,100]x ∈75x ∴=时，max S 1125=-故该企业不获利，需要市政府每周至少补贴1125元，才能不亏损．【点睛】此题是一道实际应用题，考查了函数的最值和基本不等式，及运用配方法求函数的最值，属于基础题．20.在三角形ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B -+=-.（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若3c =b c ，求12b a -的取值范围. 【答案】（Ⅰ）3π，（Ⅱ）33⎣ 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理求出角C ； （2）由正弦定理可得2sin ,2sin b B a A ==，将12b a -转化为关于B 的三角函数，利用三角函数的性质求出取值范围. 【详解】解：（1）()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B -+=-由正弦定理，()()()a c a c b a b -+=-，即222a c ab b -=-由余弦定理，222b c 1cos 2b 2a C a +-==，又C (0,)π∈C .3π∴=（2）因为3c =且b c ≥，由正弦定理得32sin sin sin 3b a cB A C====， 2sin ,2sin b B a A ∴==，23B A π+= 23A B π∴=- b c ≥ B C ∴≥233B ππ∴≤<122sin sin 2sin sin 23b a B A B B π⎛⎫∴-=-=-- ⎪⎝⎭33sin cos 22B B =- 3)6B π=-662B πππ∴≤-<1sin 126B π⎛⎫∴≤-< ⎪⎝⎭ 1332b a ∴-∈⎣ 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，三角恒等变换以及正弦函数的性质，属于中档题. 21.已知椭圆C 的焦点在x 轴上，左、右焦点分别为12F F ，，焦距等于8，并且经过点123,5P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 的左、右顶点分别为12A A ，，点M 在椭圆上，且异于椭圆的顶点，点Q 为直线1A M 与y 轴的交点，若1OM FQ ⊥，求直线1A M 的方程.【答案】（Ⅰ）221259x y +=，（Ⅱ）105x y =±-【解析】【分析】（Ⅰ）根据焦距求出12,F F 两点坐标，利用两点间的距离公式求出1PF ，2PF 的值，即可求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线1A M 的方程为：5x my =-，联立直线与椭圆方程，即可求出M 的坐标，由1OM FQ ⊥则11OM F Q k k ⋅=-求出m 的值即可.【详解】解：（Ⅰ）由题意知28c =，4c ∴=()14,0F ∴-，()24,0F123,5P ⎛⎫- ⎪⎝⎭()22112374355PF ⎛⎫∴=--+=⎪⎝⎭，()22212134355PF ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭1210PF PF ∴+=210a ∴=，5a ∴=222c a b =- 22245b ∴=-29b ∴=∴椭圆的方程为：221259x y +=（Ⅱ）设直线1A M 的方程为：5x my =-， ∴点50Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立直线1A M 与椭圆C 的方程，得221259m 5x y x y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，得()22925900m y my +-=，∴290925M m y m =+，22451255925M M m x my m -=-=+，∴218925M OM M y m k x m ==-，154F Q k m = ∵1OM FQ ⊥，∴11OM F Q k k ⋅=-，∴218519254m m m ⋅=--， 解得10m = ∴直线1A M 的方程为：1056x y =±- 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.22.设数列{}n a 满足()*164n n n a a n a +-=∈-N ，其中11a =. （Ⅰ）证明：32n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列； （Ⅱ）令112n n b a =--，设数列{}(21)n n b -⋅的前n 项和为n S ，求使2019n S <成立的最大自然数n 的值.【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）6【解析】【分析】 （Ⅰ）由递推公式凑出1132n n a a ++--与32n n a a --的关系，即可得证 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2111222n n n n n a b a a --=-==--，即可得到{}(21)n n b -⋅的通项公式，再用错位相减法求和，证明其单调性，可得得解.【详解】解：（Ⅰ）()*164n n n a a n a +-=∈-N 1163346224n n n n n n a a a a a a ++----∴=----6312628n n n n a a a a --+=--+ 2(3)(2)n n a a --=-- 322n n a a -=- 32n n a a ⎧⎫-∴⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，322n n n a a -=-， 即2111222n n n n n a b a a --=-==--， 21212n n n b n ∴-⋅=-⋅（）（）123S 123252...(21)2n n n =⋅+⋅+⋅++-⋅①23412S 123252...(21)2n n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②，①减②得11231142S 122(22...2)(21)222(21)212n n n n n n n +++--=⋅+++--⋅=+⋅--⋅- 1(32)26n n +=-⋅-.1S (23)26n n n +∴=-⋅+ 2111S S (21)2(23)22210n n n n n n n n ++++∴-=-⋅--⋅=+>（），S n ∴单调递增.76S 92611582019=⨯+=<，87S 112628222019=⨯+=>.故使S 2019n <成立的最大自然数6n =.【点睛】本题考查利用递推公式证明函数等比数列，以及错位相减法求和，属于中档题.。
河南省郑州市2019-2020学年高二下学期期末考试理科数学试题含答案
n N*
，
0
c
1 4
，求证：数列 xn
是递增数列．
21．（本小题满分 12 分）
在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病
对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区 1000 名患者的相关信息，得到如下
表格：
潜伏期（单位：天） [0, 2] (2, 4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,14]
13
13
23
13
23
33
13
23
33
43
13
23
33
43
53
……
16．已知函数 f (x) ae x(a 0) 与 g(x) 2x2 m(m 0) 的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切
线相同，当实数 m 变化时，实数 a 的取值范围为________．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 17．（本小题满分 10 分）
19．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) x a ln x(a R) ．
（Ⅰ）当 a 2 时，求曲线 y f (x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程；
3
（Ⅱ）讨论函数 f (x) 的单调性．
20．（本小题满分 12 分）
已知数列xn 满足
x1 0, xn1 xn2 xn c
总计
50 岁以上（含 50 岁）
100
50 岁以下
55
总计
200
（Ⅱ）以这 1000 名患者的潜伏期超过 6 天的频率，代替该地区 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率，每名
河南省郑州市2019_2020学年高二数学下学期期末考试试题文(含参考答案)
河南省郑州市2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 文注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们残差平方和如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）．A ．0.09B ．0.13C ．0.21D ．0.882．用反证法证明“若,a b R ∈，220a b +=，则a ，b 至少有一个为0”时，假设正确的（ ）． A ．a ，b 中只有一个为0 B ．a ，b 全为0 C ．a ，b 至少有一个不为0 D ．a ，b 全不为03．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”．若复数i z e i π=-，则||z =（ ）．A ．2B ．1CD ． 4．下列框图中，可作为流程图的是（ ）．ABCD 5．（选修4-4：极坐标与参数方程）点M 的直角坐标为7sin,cos 66ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则点M 的极坐标为（ ）． A ．111,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．21,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．51,3π⎛⎫⎪⎝⎭（选修4-5：不等式选讲）如果实数a ，b 满足：0a b <<，则下列不等式中不成．．立的是（ ）．A ．||||a b >B ．11a b a >- C ．11b a< D ．220b a -< 6．观察下列各式：553125=，6515625=，7578125=，…，则20205的末四位数字为（ ）． A ．0625 B ．3125 C ．5625 D ．81257．2020年初，新型冠状病毒（COVID 19-）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示： 周数（x ） 1 2 3 4 5 治愈人数（y ）21736103142由表格可得y 关于x 的回归方程为2ˆ6yx a =+，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（ ）．A ．5B ．13-C ．13D ．08．德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国．我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算开创先河．如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式计算π的近似值（其中P 表示π的近似值）”．若输入9n =，输出否的结果P 可以表示为（ ）．A ．11114135711P ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭… B ．11114135713P ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭…C ．11114135715P ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭… D ．11114135717P ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭… 9．（选修4-4：极坐标与参数方程）以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）上的点到曲线cos sin 4ρθρθ+=的最短距离是（ ）．A ．1B ．2C ．22D ．32 （选修4-5：不等式选讲）已知,,0a b c >，且1a b c ++=，则212121a b c +++++的最大值为（ ）．A ．15B ．15C ．18D ．3210．郑州市某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第3届全国青少年科技创新大赛，赛后通知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”．若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（ ）．A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁11．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B ·曼德尔布罗特（Benoit. Mandelbrot ）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照下图的分形规律生长成一个树形图，则第13行的实心圆点的个数是（ ）．A ．55个B ．89个C ．144个D ．233个12．若12x <<，则ln 212+，221x x e+，221x x e +的大小关系正确的是（ ）．A ．2221ln 21212x xx x e e +++>> B ．222121ln 212x x x x e e+++>>C ．222ln 212112x x x x e e +++>> D ．222ln 211212x x x x e e+++>> 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y （2n ≥，1x ，2x ，…，n x 互不相等）的散点图中，若所有样本点(),(1,2,,)i i x y i n =…都在直线2100y x =-+上，则这组样本数据的样本相关系数为________．14．化简：202020191z i i ⎛⎫=+= ⎪ ⎪+⎝⎭________．15．刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛．如数式12122+++…是一个确定值（数式中的省略号表示按此规律无限重复），该数式的值可以用如下方法求得：令原式x =，则12x x+=，即2210x x --=，解得1x =±1x =+=________．16．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，这个数列中的项摆放成如图所示的数阵．记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为________． 123234134521221nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ++++-………………………三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 17．（本小题满分10分）设实部为正数的复数z，满足||z =，且复数(2)i z +在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上．（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）若2(1)4()z m i mi m R +-++∈为纯虚数，求实数m 的值． 18．（本小题满分12分）在新冠肺炎流行期间，为了指导不同人群科学合理选择和使用口罩，现在对N95口罩的使用范围进行调查．现随机抽取40人进行调查，其中45岁以下的有20人．在接受调查的40人中，对于N95这种口罩了解的占50%，在了解的人中45岁以上（含45岁）的人数占14． （Ⅰ）将答题卡上的列联表补充完整；（Ⅱ）判断是否有99%的把握认为对这种N95口罩的了解与否与年龄有关．参考公式：22()()()()()n ad bc K ab c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：19．（本小题满分12分）（选修4-4：极坐标与参数方程）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 42sin4x m y m ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（m为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）过点(3,2)P 作直线l 的垂线，交曲线C 于M ，N 两点，求||||PM PN +． （选修4-5：不等式选讲）函数()|2||21|f x x x =-++． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）若()f x 的最小值为M ，22a b M +=，(0,0)a b >>，求证：1142117a b +≥++． 20．（本小题满分12分）对于命题P ：存在一个常数M ，使得不等式2222a b a bM a b b a a b b a+≤≤+++++对任意正数a ，b 恒成立．（Ⅰ）试给出这个常数M 的值（不需要证明）；（Ⅱ）在（Ⅰ）所得结论的条件下证明命题P ． 21．（本小题满分12分） （选修4-4：极坐标与参数方程）在直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线1l 的极坐标方程为03πθαα⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，射线2l 的极坐标方程为3πθα=-．（Ⅰ）写出曲线C 的极坐标方程，并指出是何种曲线；（Ⅱ）若射线1l 与曲线C 交于O 、A 两点，射线2l 与曲线C 交于O 、B 两点，求ABO 面积的取值范围． （选修4-5：不等式选讲）已知函数()|1||2|f x x x =-++，()|1|||g x x x a a =+-+-． （Ⅰ）当1a =-时，求不等式()()6f x g x +<的解集；（Ⅱ）若存在实数1[3,0]x ∈-，对任意实数2x ，不等式()()12f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围． 22．（本小题满分12分）为了打破国外的技术封锁，某公司很重视芯片的研究．为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x （单位：亿元）对年销售额y （单位：亿元）的影响．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数型：①2y x αβ=+，②x iy eλ+=，其中α，β，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金投入量i x 和年销售额i y 的数据，1,2,,12i =…，并对这些数据作了初步处理，得到了下侧的散点图及一些统计量的值．令2i i u x =，ln i i v y =，(1,2,12)i =…，经计算得如下数据：()1221ii uu =-∑()()121ii i uu y y =--∑()1221ii v v =-∑()()121ii i xx v v =--∑3125000 215000.30814（Ⅰ）设{}i u 和{}i y 的相关系数为1r ，{}i x 和{}i v 的相关系数为2r ，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（Ⅱ）（ⅰ）根据（Ⅰ）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）； （ⅱ）若下一年销售额y 需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？附：①相关系数()()()()12211niii nniii i x x yy r x x yy ===--=--∑∑∑，回归直线ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆnii i ni i xx y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-； ②参考数据：308477=⨯999.4868=， 4.499890e ≈．郑州市2019-2020学年下期期末考试 高中二年级数学（文）评分参考一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ADCCBACDBCCD二、填空题13．1-； 14．1i --； 15．2； 16．10102021．三、解答题17．解：（Ⅰ）设z a bi =+，,a b R ∈，0a >． 由题意：2210a b +=．①()2()2(2)i a bi a b a b i ++=-++，得220a b a b -++=，30a b +=，② 2分①②联立，解得1a =，3b =- 4分 得13z i =-． 5分（Ⅱ）()()()22214143z m i mi m m m i +-++=-++++ 6分由题意可知2210430m m m ⎧-+=⎪⎨++≠⎪⎩ 8分解得1m = 10分18．解：（Ⅰ）由题意可得对于N95这种口罩了解的人数为4050%20⨯=， 则45岁以上的人对N95这种口罩了解的人数为12054⨯=． 2分 故列联表如下：6（Ⅱ）由题意可得，()22401515551020202020K ⨯-⨯==⨯⨯⨯ 11分因为10 6.635>，所以有99%的把握认为对N95这种口罩的了解与否与年龄有关． 12分 19．（选修4-4：极坐标与参数方程）（Ⅰ）直线l 的参数方程为1cos 42sin 4x m y m ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（m为参数），消去参数可得10x y --=， 3分 曲线C 的极坐标方程为2sin4cos ρθθ=，化为24y x =． -6分（Ⅱ）过点(3,2)P 与直线l垂直的直线的参数方程为3222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数）， 代入24y x =，可得2160t +-= 8分设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t∴12t t +=-1216t t =-，1t ，2t 异号 10分 故1212PM PN t t t t +=+=-==分（选修4-5：不等式选讲）解：（Ⅰ）()131,213,2231,2x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩， 3分故当12x =-时()f x 最小值为526分 （Ⅱ）由①可知，25a b +=， 由柯西不等式得：()()21121111211a b a b ⎛⎫++++≥+ ⎪++⎝⎭10分 ∴1142117a b +≥++，当且仅当54a =，52b =时等号成立 12分 20．解：（Ⅰ）令a b =得：2233M ≤≤，故23M =； 4分（Ⅱ）先证明2223a b a b b a +≤++．∵0a >，0b >，要证上式，只要证()()()()3232222a b a b a b a b b a +++≤++， 即证222a b ab +≥，即证()20a b -≥，这显然成立． ∴2223a b a b b a +≤++． 8分再证明2322a ba b b a≤+++． ∵0a >，0b >，要证上式，只要证()()()()3232222a a b b b a a b b a +++≥++， 即证222a b ab +≥，即证()20a b -≥，这显然成立． ∴2322a ba b b a≤+++． 12分 21．（选修4-4：极坐标与参数方程） 解：（Ⅰ）由22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）化为普通方程为()2224x y -+= 2分()()22cos 2sin 4ρθρθ-+=，整理得极坐标方程为4cos ρθ= 5分曲线C 是以()2,0为圆心，2为半径的圆． 6分 （Ⅱ）令14cos OA ρα==，24cos 2cos 3OB πρααα⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭8分)()121sin 4cos 2cos 22346ABOSππρραααα⎛⎫==+=++ ⎪⎝⎭分 ∵0,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52,666πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴1sin 2,162πα⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．ABO 面积的取值范围为⎡⎣ 12分（选修4-5：不等式选讲）解：（Ⅰ）当1a =-时，不等式化为215x x +++<．则1235x x ≥-⎧⎨+<⎩或2115x -≤<-⎧⎨<⎩或2235x x <-⎧⎨--<⎩， 3分即11x -≤<或21x -≤<-或42x -<<-， 所以不等式的解集是()4,1-． -6分（Ⅱ）当[]3,0x ∈-时，21,32()3,20x x f x x ---≤≤-⎧=⎨-<≤⎩∴()max ()35f x f =-= 8分11 ()11g x x x a a a a =+-+-≤--， ∴max ()1g x a a =--． 10分据题意，max max ()()f x g x ≥，则51a a ≥--，解得2a ≥-，所以a 的取值范围是[)2-+∞，． 12分22．解：（Ⅰ）()()1210.86i i uu y y r --===∑，2分 ()()1220.91i ix x v v r --==≈∑ 4分则12r r <，因此从相关系数的角度，模型x ty e λ+=的拟合程度更好 5分 （Ⅱ）（ⅰ）由x t y e λ+=，得ln y t λx =+，即v t x λ=+． 由于()()()1211221140.018770i i i i i x x v v x x λ==--==≈-∑∑．4.200.01820 3.84t v x λ=-=-⨯=， 7分 ∴ˆ0.02 3.84v x =+，所以0.02 3.84ˆx y e += 8分（ⅱ）下一年销售额y 需达到90亿元，即90y =，代入0.02 3.84ˆx y e +=得，0.02 3.8490x e +=， 10分 又 4.499890e ≈，所以4.49980.02 3.84x ≈+，所以32.99x ≈，所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元． 12分。
河南省郑州市2019-2020学年高二下学期期末考试理科数学试题含答案
A．1
B．3
C．5
D．1 或 5
第Ⅱ卷（填空题和解答题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．二项式
x
1 x
6
的展开式中，常数项是________．
14．6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，则任何两人不相邻的坐法种数为________．
15．观察下面的三角形数组，可以推测：该数组第 10 行的和为________．
已知复数 z 满足 (1 2i)z 4 3i （ i 是虚数单位）．求：
（Ⅰ） z ； （Ⅱ） z2 z ．
18．（本小题满分 12 分）
在二项式
3
x
1 23 x
n 的展开式中．
（Ⅰ）若所有二项式系数之和为 64，求展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅱ）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和．
当 x (a, ) 时， f (x) 0 ，函数 f (x) 在 (a, ) 单调递增
11 分
综上，当 a 0 时，函数 f (x) 在 (0, ) 上的单调递增；
当 a 0 时，函数 f (x) 在 (0, a) 上单调递减，在 (a, ) 单调递增
12 分
20．证明：若
0
c
1 4
，要证 xn
总计
50 岁以上（含 50 岁）
100
50 岁以下
55
总计
200
（Ⅱ）以这 1000 名患者的潜伏期超过 6 天的频率，代替该地区 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率，每名
患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了 20 名患者，设潜伏期超过 6
2019-2020学年河南省郑州市高二上期期末考试数学试题(文)
河南省郑州市2019-2020学年高二上期期末考试（文）注意事项：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题；本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.不等式x 2－4x －5>0的解集为A.{x|x≥5或x≤－1}B.{x|x>5或x<－1}C.{x|－1≤x≤5}D.{x|－1<x<5} 2.命题“∀x ∈(－2，0)，x 2＋2x<0”的否定是A.∃x 0∉(－2，0)，x 02＋2x 0≥0B.∀x 0∈(－2，0)，x 02＋2x 0≥0C.∀x 0∉(－2，0)，x 02＋2x 0<0D.∃x 0∈(－2，0)，x 02＋2x 0≥0 3.在△ABC 中，a ＝6，b ＝10，sinA ＝13，则sinB ＝ A.15 B.59D.14.焦点为F 1(0，－2)，F 2(0，2)长轴长为10的椭圆的标准方程为A.22110096x y += B.2212521x y += C.22196100x y += D.2212125x y += 5.已知抛物线y 2＝4x 上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到y 轴的距离为 A.12B.1C.2D.4 6.已知函数f(x)＝xlnx ＋x 2－1，则f'(1)为 A.0 B.1 C.2 D.37.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”.在某种玩法中，用a n 表示解下n(n≤9，n ∈N *)个圆环所需的最少移动次数，{a n }满足a 1＝1，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数，则解下4个环所需的最少移动次数为A.7B.8C.9D.108.已知实数x ，y 满足60220y x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≥⎩，则z ＝2x ＋y 的最小值为A.6B.7C.8D.9.“方程22171x y m m +=--表示的曲线为椭圆”是“1<m<7”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.若函数f(x)的导函数f'(x)的图象如右图所示，则函数y ＝xf'(x)的图象可能是11.等差数列{a n }满足a 1>0，a 2018＋a 2019>0，a 2018·a 2019<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是A.2018B.2019C.4036D.403712.设函数f(x)＝x 3－3x 2＋2x ，若x 1，x 2(x 1<x 2)是函数g(x)＝f(x)＋12λx 的两个极值点，现给出如下结论：①若0<λ<2，则f(x 1)<f(x 2)；②若－4<λ<0，则f(x 1)<f(x 2)； ③若λ<－4，则f(x 1)<f(x 2).其中正确的结论个数为 A.0 B.1 C.2 D.3第Ⅱ卷(填空题和解答题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.－401是等差数列－5，－9，－13，…的第 项.14.某市在进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边分别为700m ，300m ，800m ，这个区域的面积是 m 2.15.已知F 1、F 2是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点，过F 2且垂直于y 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△ABF 1为直角三角形，则该椭圆离心率的值为 . 16.已知a ，b 为正实数，直线y ＝x －a 与曲线y ＝ln(x ＋b)(1y x b'=+)相切于点(x 0，y 0)，则11a b+的最小值是 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.(本小题满分10分)已知{a n }是首项为2的等比数列，各项均为正数，且a 2＋a 3＝12. (I)求数列{a n }的通项公式； (II)设211log n n b n a +=，求数列{b n }的前n 项和T n .18.(本小题满分12分)在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(a －c)(sinA ＋sinC)＝b(sinA －sinB).(I)求角C 的大小；(II)已知c =，求△ABC 面积的最大值.19.(本小题满分12分)已知命题p：方程20x m -+=有两个不相等的实数根；命题q：1m -= (I)若p ⌝为假命题，求实数m 的取值范围；(II)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围.20.(本小题满分12分)《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》已经政府常务会议审议通过.自2019年12月1日起施行.垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.所谓垃圾其实都是资源，当你放错了位置时它才是垃圾.某企业在市科研部门的支持下进行研究，把厨余垃圾加工处理为一种可销售的产品.已知该企业每周的加工处理量最少为75吨，最多为100吨，周加工处理成本y(元)与周加工处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为，213027003y x x =-+，且每加工处理一吨厨余垃圾得到的产品售价为16元.(I)该企业每周加工处理量为多少吨时，才能使每吨产品的平均加工处理成本最低？ (II)该企业每周能否获利？如果获利，求出利润的最大值；如果不获利，则需要市政府至少补贴乡少元才能使该企业不亏损？21.(本小题满分12分)设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，若椭圆C 的离心率为12，△ABF 1的周长为8. (I)求椭圆C 的方程；(II)已知直线l ：y ＝kx ＋2与椭圆C 交于M ，N 两点，是否存在实数k 使得以MN 为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.22.(本小题满分12分) 已知函数1()ln (0),()a f x a x a g x x x x=-≠=--. (I)求f(x)的单调区间；(II)当a>0时，若存在x 0∈[1，e]，使得f(x 0)<g(x 0)成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题（每题5分共60分）1-12、BDBDC DAAAD CB二、填空题13.100；1;16. 4.三、解答题（每题5分共20分）17. （1）设{}n a 的公比为q ，由2312a a +=，得26q q +=2K K K 分32q q ∴=-=或.又{}n a 的各项均为正数，0, 2.q q ∴>∴=2n n a ∴=6K K K 分（2）211111log (1)1n n b n a n n n n +===-++8K K K 分1111112231n T n n ∴=-+-++-+L 1111nn n =-=++10K K K 分 18. （1）由()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B -+=-结合正弦定理得：222()()(),,a c a cb a b a bc ab -+=-+-=4K K K 分所以2221cos .22a b c C ab +-==又0,.3C C ππ<<=6K K K K 分 （2）由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==.8K K K 分又c =,∴2212212ab a b ab =+-≥-. ∴12ab ≤.10K K K K 分当且仅当a b =时取等号,∴ABC ∆的面积1sin 2S ab C =≤.即ABC ∆面积的最大值为.12K K K K 分19.解：(1)p 为真命题,则应有840,m ∆=->,解得 2.m <．4K K K 分 （2）若q 为真命题,则有10m -≥,即1m ≥,因为p q ∨为真命题,p q ∧为假命题, 则p ,q 应一真一假． 当p 真q 假时,有21m m <⎧⎨<⎩,得1m <；7K K K 分当p 假q 真时,有21m m ≥⎧⎨≥⎩,得2m ≥．10K K K 分综上,m 的取值范围是{}|21m m m ≥<或．12K K K 分20.解：（1）由题意可知,每吨平均加工成本为：30302700323027003=-⋅≥-+=xx x x x y. 时，即当且仅当9027003==x xx 才能使每吨的平均加工成本最低,最低成本为30元．6K K 分（2）设该单位每月获利为S,2700463116S 2-+-=-=x x y x 则， 1125-S 75]100,75[max ==∈时，，x x Θ故该企业不获利,需要市政府每周至少补贴1125元,才能不亏损．12K K K 分 21. （1）由题意知222122481c a a a b c a b c ⎧==⎧⎪⎪⎪=∴=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩221443x y ∴+=K K K K 所求椭圆的标准方程为分（2）假设存在这样的实数,k 使得以MN 为直径的圆恰好经过原点.2211221,(x ,)(,),432.x y M y N x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩设、联立方程组消去y 得22(34)1640k x kx +++=6K K K 分1222121222,=(16)12(34)0.11,22416,83434x x k k k k kx x x x k k ∴∆-+>><--∴=+=++K K 由题意知，是此方程的两个实数解,即或分 又=0.MN OM ON ∴⋅u u u u r u u u r Q 以为直径的圆过原点，()()()21212121212120,222410x x y y y y kx kx k x x k x x ∴+==++=+++K K 又分()()212121212222212+4=0.4321+)40.3434x x y y k x x k x x k k k k k MN ∴+=+++-∴++=++∴=K K （故存在这样的直线使得以为直径的圆过原点..12分[]()ln 1,h x a x x e x x=-++在上的最小值小于0, ()'222(1)1+1()15x x a a a h x x x x x +-⎡⎤⎣⎦=--+-=K K K 分 ①[]1+,1()1a e a e h x e ≥>-当即时，在，上单调递减,[]2221()1(),()0111,1,7111ah x e h e h e e a ee e e a e a e e e +∴=+-<+++>>-∴>---Q K K K 在，上的最小值为由得分②当[]11,0()1,a a h x e +≤≤即时，在上单调递增,()(1),(1)11029h x h h a a ∴=++<<-K K K 的最小值为得分 ③当1101()(1),a e a e h x h a <+<<<-+，即时，得的最小值为20(1)1,0ln(1),(1)2ln(1) 2.(1)01.121h a a a a h a a a a h a e a a >e <+<∴<+<+=+-+>+<+-Q K K K K K K 故此时不成立.11分综上讨论可得，所求的范围是分。
2019-2020学年河南省郑州市高二(上)期末数学试卷(理科)
2019-2020学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|10}A x x =->，2{|20}B x x x =-->，则(A B =I ) A ．(,1)-∞-B ．(1,1)-C ．(1,2)D ．(2,)+∞2．（5分）命题“(2,0)x ∀∈-，220x x +<”的否定是( )A ．0(2,0)x ∃∉-，2020x x +… B ．0(2,0)x ∀∈-，2020x x +… C ．0(2,0)x ∀∉-，20020x x +< D ．0(2,0)x ∃∈-，2020x x +… 3．（5分）已知实数a 、b 、c 满足a b c <<，且0ac <，那么下列选项中一定成立的是()A ．()0ac a c ->B ．()0c b a -<C ．22cb ab <D ．ab ac <4．（5分）已知p ，q 是两个命题，若()p q ⌝∨是假命题，那么( ) A ．p 是真命题且q 是假命题 B ．p 是真命题且q 是真命题 C ．p 是假命题且q 是真命题D ．p 是假命题且q 是假命题5．（5分）设变量x 、y 满足约束条件404021x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩„………，则目标函数23z x y =+的最大值为() A ．7B ．8C ．10D ．126．（5分）已知椭圆的标准方程为22120x y m+=，并且焦距为4，则实数m 的值为( )A ．4m =或m = B ．16m =或24m = C ．2m =或6m =D ．4m =或36m =7．（5分）在ABC ∆中，4,3AC BC B π===，则ABC ∆的面积等于( ) AB ．2C．D ．38．（5分）已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，且点(n P a ，1)n a +在直线1y x =+上，则1231111(nS S S S +++⋯+= )A ．21nn + B ．2(1)n n +C ．(1)2n n + D ．2(1)nn +9．（5分）A 、B 两处有甲、乙两艘船，乙船在甲船的正东方向，若乙船从B 处出发沿北偏西45︒方向行驶20海里到达C 处，此时甲船与乙船相距50海里随后甲船从A 处出发，沿正北方向行驶202海里到达D 处，此时甲、乙两船相距( )海里 A ．252B ．45C ．50D ．50210．（5分）如图四边形ABCD 中，2AB BD DA ===，2BC CD ==，现将ABD ∆沿BD 折起，当二面角A BD C --的大小为56π时，直线AB 与CD 所成角的余弦值是( )A ．528B ．328C ．324D ．2411．（5分）已知抛物线24y x =，过点(2,0)的直线交该抛物线于A ，B 两点O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点若||5AF =，则AOB ∆的面积为( )A ．5B ．6C ．7D ．812．（5分）在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 是底面ABCD 所在平面内一动点，设1PD ，PE 与底面ABCD 所成的角分别为1θ，21(θθ，2θ均不为0)，若12θθ=，则三棱锥11P BB C -体积的最小值是( )A ．92B ．52C ．32D ．54二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）401-是等差数列5-，9-，13-，⋯的第 项．14．（5分）已知0x >，0y >，且22x y +=，那么xy 的最大值是 ．15．（5分）已知四棱锥S ABCD -底面ABCD 是边长为1的正方形，SD ⊥底面ABCD ，2SD =，M 是AB 的中点，P 是SD 上的动点若//AP 面SMC ，则SP = ．16．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若12F A AB =u u u r u u u r ，10F A AO =u u u r u u u rg ，则C 的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．（10分）已知命题23:12x p x -<-题2:(2)20x xq ae a e +--<．若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中平面PAC ⊥平面ABC ，PA AB ⊥． （Ⅰ）证明：PA BC ⊥；（Ⅱ）若点E 为PC 中点，2PA AB BC ===，120ABC ∠=︒，求平面ABE 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．19．（12分）《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》已经政府常务会议审议通过，自2019年12月1日起施行．垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法．所谓垃圾其实都是资源，当你放错了位置时它才是垃圾．某企业在市科研部门的支持下进行研究，把厨余垃圾加工处理为一种可销售的产品．已知该企业每周的加工处理量最少为75吨最，多为100吨，周加工处理成本y （元)与周加工处理量x （吨)之间的函数关系可近似地表示为213027003y x x =-+，且每加工处理一吨厨余垃圾得到的产品售价为16元．（Ⅰ）该企业每周加工处理量为多少吨时，才能使每吨产品的平均加工处理成本最低？ （Ⅱ）该企业每周能否获利？如果获利，求出利润的最大值；如果不获利，则需要市政府至少补贴多少元才能使该企业不亏损？20．（12分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B -+=-．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若3c =且b c …，求12b a -的取值范围． 21．（12分）已知椭圆C 的焦点在x 轴上，左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距等于8，并且经过点12(3,)5P -． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，点M 在椭圆上，且异于椭圆的顶点，点Q 为直线1A M 与y 轴的交点，若1OM FQ ⊥，求直线1A M 的方程． 22．（12分）设数列{}n a 满足*16()4n n n a a n N a +-=∈-，其中11a =． （Ⅰ）证明：32n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列；（Ⅱ）令112n n b a =--，设数列{(21)}n n b -g 的前n 项和为n S ，求使2019n S <成立的最大自然数n 的值．2019-2020学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|10}A x x =->，2{|20}B x x x =-->，则(A B =I ) A ．(,1)-∞-B ．(1,1)-C ．(1,2)D ．(2,)+∞【解答】解：{|1}A x x =>，{|1B x x =<-或2}x >， (2,)A B ∴=+∞I ．故选：D ．2．（5分）命题“(2,0)x ∀∈-，220x x +<”的否定是( )A ．0(2,0)x ∃∉-，2020x x +… B ．0(2,0)x ∀∈-，2020x x +… C ．0(2,0)x ∀∉-，20020x x +< D ．0(2,0)x ∃∈-，2020x x +… 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“(2,0)x ∀∈-，220x x +<”的否定是：0(2,0)x ∃∈-，2020x x +…． 故选：D ．3．（5分）已知实数a 、b 、c 满足a b c <<，且0ac <，那么下列选项中一定成立的是()A ．()0ac a c ->B ．()0c b a -<C ．22cb ab <D ．ab ac <【解答】解：Q 实数a 、b 、c 满足a b c <<，且0ac <， 0a c ∴-<，()0ac a c ∴->，A ∴正确；取2a =-，0b =，1c =，可知BCD 错误． 故选：A ．4．（5分）已知p ，q 是两个命题，若()p q ⌝∨是假命题，那么( ) A ．p 是真命题且q 是假命题 B ．p 是真命题且q 是真命题 C ．p 是假命题且q 是真命题D ．p 是假命题且q 是假命题【解答】解：结合复合命题的真假关系，由()p q ⌝∨是假命题可知p ⌝为假，q 是假，故p真q假，故选：A．5．（5分）设变量x、y满足约束条件404021x yx yxy+-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩„………，则目标函数23z x y=+的最大值为()A．7B．8C．10D．12【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由23z x y=+，得233z y x=-+，平移直线233zy x=-+，由图象可知当直线233zy x=-+经过点A时，直线233zy x=-+的截距最大，此时z最大．由440x yx y+=⎧⎨-+=⎩，解得(0,4)A．此时z的最大值为3412z=⨯=，故选：D．6．（5分）已知椭圆的标准方程为22120x ym+=，并且焦距为4，则实数m的值为() A．4m=或26m=B．16m=或24m=C．2m=或6m=D．4m=或36m=【解答】解：Q椭圆的标准方程为22120x ym+=，椭圆的焦距为24c=，2c=，∴当椭圆的焦点在x轴上时，204m-=，解得16m =；当椭圆的焦点在y 轴上时，204m -=， 解得24m =．综上所述，m 的取值是16或24． 故选：B ．7．（5分）在ABC ∆中，4,3AC BC B π===，则ABC ∆的面积等于( ) AB ．2C．D ．3【解答】解：4,3AC BC B π===Q ，∴由余弦定理2222cos AC BC AB BC AB B =+-g g ，可得211216242AB AB =+-g g ，可得2(2)0AB -=，∴解得2AB =，11sin 2422ABC S AB BC B ∆∴==⨯⨯=g g 故选：C ．8．（5分）已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，且点(n P a ，1)n a +在直线1y x =+上，则1231111(nS S S S +++⋯+= ) A ．21nn + B ．2(1)n n +C ．(1)2n n + D ．2(1)nn +【解答】解：因为点(n P a ，1)n a +在直线1y x =+上， 所以11n n a a +=+， 又因为11a =，所以数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列， 所以(1)2n n n S +=，12112()(1)1n S n n n n ==-++， 所以123111*********(1)2(1)223111n nS S S S n n n n +++⋯+=-+-+⋯+-=-=+++， 故选：A ．9．（5分）A 、B 两处有甲、乙两艘船，乙船在甲船的正东方向，若乙船从B 处出发沿北偏西45︒方向行驶20海里到达C 处，此时甲船与乙船相距50海里随后甲船从A 处出发，沿正北方向行驶D 处，此时甲、乙两船相距( )海里A．252B．45C．50D．502【解答】解：如图所示，ABC∆中，由正弦定理得，5020sin45sin BAC=︒∠，解得22022sin505BAC⨯∠==；ACD∆中，2 cos sin5CAD BAC∠=∠=；由余弦定理得，2222(202)5022025025005CD=+-⨯⨯⨯=，解得50CD=，即甲、乙两船相距50海里．故选：C．10．（5分）如图四边形ABCD中，2AB BD DA===，2BC CD==，现将ABD∆沿BD折起，当二面角A BD C--的大小为56π时，直线AB与CD所成角的余弦值是()A．528B．328C．324D．24【解答】解：如图所示，取BD的中点E，连接EA，EC，AB DA=Q，BC CD=，EA BD ∴⊥，EC BD ⊥，AEC ∴∠是二面角A BD C --的平面角，因此56AEC π∠=， 作AO ⊥平面BCD ，垂足为O 点，则O ，E ，C 三点共线． 6AEO π∴∠=．2AB BD DA ===Q ，3AE ∴=，可得：3AO =，32OE =． 2BC CD ==，2222(2)11EC BC BE =-=-=．(0A ∴，0，3)，3(2B ，1-，0)，5(2C ，0，0)，3(2D ，1，0)， ∴3(2BA =-u u u r ，1，3)，(1CD =-u u u r ，1，0)，∴35122BA CD =+=u u u r u u u r g ，||2BA =u u u r ，||2CD =u u u r ，cos BA ∴<u u u r ，5522||||22BA CD CD BA CD >===⨯u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r g ． 故选：A ．11．（5分）已知抛物线24y x =，过点(2,0)的直线交该抛物线于A ，B 两点O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点若||5AF =，则AOB ∆的面积为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：由抛物线的方程可得：准线方程为1x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设A 在x 轴上方，因为||5AF =，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，所以115x +=，解得14x =，代入抛物线24y x =中4A y =， 即A 的坐标为(4,4)，而直线AB还过(2,0)D，所以直线AB的斜率40242k-==-，所以直线AB的方程为：2(2)y x=-，即24y x=-，与抛物线联立2424y xy x⎧=⎨=-⎩，整理得：2540x x-+=，解得：11x=，24x=，代入直线可得12y=-，24y=，即(4,4)A，(1,2)B-，所以1211()2(42)622AOBS OD y y∆=-=+=g g g g，故选：B．12．（5分）在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D-中，E是1AA的中点，P是底面ABCD所在平面内一动点，设1PD，PE与底面ABCD所成的角分别为1θ，21(θθ，2θ均不为0)，若12θθ=，则三棱锥11P BB C-体积的最小值是()A．92B．52C．32D．54【解答】解：以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，Q正方体的边长为3，则(3E，0，3)2，1(0D，0，3)，设(P x，y，0)(0x 0y…，则(3PE x=-u u u r，y-，3)2，1(PD x=-u u u u r，y-，3)，12θθ=Q，(0z=r，0，1)，12cos cosθθ∴=，即11||||||||||||PD zPE zPE z PD z=u u u u ru u u r rrggu u u r u u u u rr rg g，22223299(3)4x yx y=++-++整理得：228120x y x+-+=，即22(4)4(02)x y y -+=剟，则动点P 的轨迹为圆的一部分， ∴点P 到直线AD 的距离的最大值是2，则P 到平面11BB C 的最小距离为1． ∴三棱锥11P BB C -体积的最小值是113331322⨯⨯⨯⨯=． 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）401-是等差数列5-，9-，13-，⋯的第 100 项． 【解答】解：等差数列5-，9-，13-⋯中， 首项15a =-，公差(9)(5)4d =---=-， 5(1)(4)41n a n n ∴=-+-⨯-=--， 41401n a n =--=-Q ，100n ∴=．故401-是等差数列5-，9-，13-⋯的第100项． 故答案为：100．14．（5分）已知0x >，0y >，且22x y +=，那么xy 的最大值是 12． 【解答】解：0x >Q ，0y >，且22x y +=， 211212()2222x y xy x y +∴=⨯=⨯g …（1）212=，当且仅当21x y ==，即1x =，12y =时，取等号， 故xy 的最大值是：12， 故答案为：12． 15．（5分）已知四棱锥S ABCD -底面ABCD 是边长为1的正方形，SD ⊥底面ABCD ，2SD =，M 是AB 的中点，P 是SD 上的动点若//AP 面SMC ，则SP = 1 ．【解答】解：如图所示，取SD 的中点P ，SC 的中点N ，连接PN ，MN ． 则1//2PN CD =，1//2AM CD =，//AM PN =∴．∴四边形AMNP 为平行四边形，//AP MN ∴．AP ⊂/平面SMC ，MN ⊂平面SMC ．//AP ∴面SMC ，因此1SP =． 故答案为：1．16．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若12F A AB =u u u r u u u r ，10F A AO =u u u r u u u rg ，则C 的离心率为6 ．【解答】解：设渐近线方程为b y x a =-，则过1F 引渐近线的垂线斜率为ab ，对应方程为()ay x c b=+， 由()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：2a x c aby c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即A 点的坐标为2(a c -，)ab c ，由()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：22222a cx b a bc y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，即B 点的坐标为222(a c b a -，22)bc b a -，∴221(,)(a ab b F A c c c c =-+=u u u r ，)abc，222222(,)a c a bc ab AB b a c b a c =+---u u u r ，Q 12F A AB =u u u r u u u r ， ∴222222()b a c a c b a c=+-，又222b c a =-Q ， 代入化简得：4224760c a c a -+=，两边同时除以4a 得：42760e e -+=， 解得：21e =或6，又1e >Q ， 6e ∴=，故答案为：6．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．（10分）已知命题23:12x p x -<-题2:(2)20x xq ae a e +--<．若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 【解答】解：由2312x x -<-，得12x <<， 设命题p 对应的集合为{|12}A x x =<<，设命题q 对应的集合为B ，p 是q 的充分条件，则A B ⊆， 由2(2)20x x ae a e +--<，得(2)(1)0x x ae e -+<，10x e +>， 若0a „时，20x ae -<，x R ∴∈，A B ⊆，显然成立； 若0a >时，20x ae -<，则2x ln a<，∴22ln a…， ∴220a e <„， 综上：22a e „． 18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中平面PAC ⊥平面ABC ，PA AB ⊥．（Ⅰ）证明：PA BC ⊥；（Ⅱ）若点E 为PC 中点，2PA AB BC ===，120ABC ∠=︒，求平面ABE 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：()I 过B 作BD AC ⊥于点D ，平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC ⋂平面ABC AC =，故BD ⊥平面PAC ．又PA ⊂平面PAC ，PA BD ∴⊥． 又PA AB ⊥，AB BD B =I ，所以PA ⊥平面ABC ， PA BC ∴⊥；()II 由()I 有PA ⊥平面ABC ，故以A 为坐标原点，垂直AC 的AP 为x 轴，AC u u u r为y 轴正向， AP u u u r为z 轴建立如图所以空间直角坐标系，则(0A ，0，0)，3,0)B ，(0P ，0，2)，(0,23,0)C ，3,1)E （6分） 故(0,23,2)PC =-u u u r ，(3,0)BC =-u u u r，设平面PBC 的法向量(,,)m x y z =r， 则232030m PC y z m BC x y ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ， 令1y =有，故(3,1,3)m =r，同理可得平面ABE 的法向量(3,3)n =-r，则5cos ,||||7m n m n m n 〈〉==r r g r rr r ，又平面ABE 与平面PBC 所成角为锐角，所以平面ABE 与平面PBC 所成角的余弦值为57．19．（12分）《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》已经政府常务会议审议通过，自2019年12月1日起施行．垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法．所谓垃圾其实都是资源，当你放错了位置时它才是垃圾．某企业在市科研部门的支持下进行研究，把厨余垃圾加工处理为一种可销售的产品．已知该企业每周的加工处理量最少为75吨最，多为100吨，周加工处理成本y （元)与周加工处理量x （吨)之间的函数关系可近似地表示为213027003y x x =-+，且每加工处理一吨厨余垃圾得到的产品售价为16元．（Ⅰ）该企业每周加工处理量为多少吨时，才能使每吨产品的平均加工处理成本最低？ （Ⅱ）该企业每周能否获利？如果获利，求出利润的最大值；如果不获利，则需要市政府至少补贴多少元才能使该企业不亏损？ 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知， 每吨平均加工成本为：27002700302303033y x x x x x=+-=g …． 当且仅当27003x x=即90x =时，才能使每吨的平均加工成本最低，最低成本为30元； （Ⅱ）设该单位每月获利为S ，则21164627003S x y x x =-=-+-，[75x ∈Q ，100]，∴当75x =时，1125max S =-，故该企业不获利，需要市政府每周至少补贴1125元，才能不亏损．20．（12分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B -+=-．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若3c =且b c …，求12b a -的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理，()()()ac a c b a b -+=-，即222a c ab b -=-，由余弦定理，2221cos 22a b c C ab +-==，又(0,)C π∈Q ，∴3C π=．（Ⅱ）因为c =，且b c …，由正弦定理得2sin sin sin b c aB C A===， 得2sin b B =，2sin a A =，可得1232sin sin 2sin sin()sin )2326b a B A B B B B B ππ-=-=--=-，b c Q …，∴233B ππ<„，∴12b a -∈， 21．（12分）已知椭圆C 的焦点在x 轴上，左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距等于8，并且经过点12(3,)5P -． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，点M 在椭圆上，且异于椭圆的顶点，点Q 为直线1A M 与y 轴的交点，若1OM FQ ⊥，求直线1A M 的方程． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知28c =，则4c =，则焦点1(4,0)F -，2(4,0)F ， 则12||||10PF PF +=，所以210a =，5a =， 所以3b =，所以椭圆的方程221259x y +=；（Ⅱ）设直线1A M 的方程为5x my =-，所以点5(0,)Q m，联立方程组2251259x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得22(925)900m y my +-=，所以290925M my m =+，22451255925M M m x my m -=-=+，所以218925M OM M y m k x m ==-，154F Q k m=， 因为1OM FQ ⊥，所以11OM F Q k k =-g ，解得m = 所以直线1A M的方程5x y =-． 22．（12分）设数列{}n a 满足*16()4n n n a a n N a +-=∈-，其中11a =．（Ⅰ）证明：32n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列；（Ⅱ）令112n n b a =--，设数列{(21)}n n b -g 的前n 项和为n S ，求使2019n S <成立的最大自然数n 的值．【解答】解：（Ⅰ）11633463122(3)3262628(2)224n n n n n n nnn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++------+---====----+-----， ∴32n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，322n n n a a -=-，即2111222n n n n n a b a a --=-==--， ∴(21)(21)2n n n b n -=-gg ， 123123252(21)2n n S n =+++⋯+-g g g g ， 23412123252(21)2n n S n +=+++⋯+-g g g g ，112311142122(222)(21)222(21)2(32)2612n n n n n n S n n n ++++--=+++⋯--=+--=---g g g g g ．∴1(23)26n n S n +=-+g， 2111(21)2(23)22(21)0n n n n n S S n n n ++++-=---=+>g g ， n S ∴单调递增76.92611582019S =⨯+=<，87112628222019S =⨯+=>． 故使2019n S <成立的最大自然数6n =．。
河南省郑州市2019_2020学年高二数学下学期期末考试试题文含解析
根据 ，所以曲线 的直角坐标方程为 .
A.55个B.89个C.144个D.233个
【答案】C
【解析】
分析：一一的列举出每行的实心圆点的个数，观察其规律，猜想： ，得出结论即可，选择题我们可以不需要完整的理论证明．
详解：
行数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
球数
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
，由此猜想： ，故选C．
点睛：观察规律，把行数看成数列的项数 ，个数看作数列的项 ，尽可能的多推导前面有限项看出规律．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在一组样本数据 ， ，…， （ ， ， ，…， 互不相等）的散点图中，若所有样本点 都在直线 上，则这组样本数据的样本相关系数为________.
【答案】 ；
【解析】
【分析】
由所有样本点都在一条直线上，可知这组样本数据完全负相关，结合相关系数的意义，可得出答案.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
执行给定的程序框图，输入 ，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.
【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入 ，可得：
第1次循环： ；
第2次循环： ；
第3次循环： ；
第9次循环： ，
此时满足判定条件，输出结果 ，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
7.1郑州市2019—2020学年下期期末考试 高二数学(理) 含答案
高中二年级数学（理） 评分参考
一、单选题（每题 5 分，满分 20 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C A B C A D D B D B
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分）
13.20; 14.24;
因而 f(1)＝1，f′(1)＝－1，............4 分
所以曲线 y＝f(x)在点 A(1，f(1))处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋y－2＝0.....6 分
a x−a
（Ⅱ）由 f′(x)＝1－ ＝
，x>0 知：
xx
①当 a≤0 时，f′(x)>0，函数 f(x)为(0，＋∞)上的增函数；....................8 分
X
~
B
20,
2 5
， P( X=
k=)
C2k0
2 5
k
3 5
20−k
，
k
=
0
，1，2，…，20，.........10
分
答案第 2 页，共 3 页
则 E( X ) = 20 × 2 = 8 ，所以， X 的期望为 E( X ) = 8 ．.............12 分 5
22．解：（Ⅰ）
故 z2 − z= 12 + (−5)2= 26 .即 z2 − z =26 .................................10 分
18.试题解析：（1）由已知得 Cn0 + Cn1 +L + Cnn =64 ， 2n = 64 ∴ n =6 ，.......3 分
郑州市2019—2020学年上期期末考试高二数学(文科)参考答案
2019—2020学年上期期末考试 高二数学（文科） 参考答案一、选择题（每题5分共60分） BDBDC DAAAD CB 二、填空题13.100；1; 16. 4. 三、解答题（每题5分共20分）17. （1）设{}n a 的公比为q ，由2312a a +=， 得26q q +=2分32q q ∴=-=或.又{}n a 的各项均为正数，0, 2.q q ∴>∴=2nn a ∴=6分（2）211111log (1)1n n b n a n n n n +===-++8分1111112231n T n n ∴=-+-++-+ 1111nn n =-=++10分 18. （1）由()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B -+=-结合正弦定理得：222()()(),,a c a cb a b a bc ab -+=-+-=4分所以2221cos .22a b c C ab +-==又0,.3C C ππ<<=6分（2）由余弦定理得2221cos22a b c C ab +-==.8分又c =,∴2212212ab a b ab =+-≥-. ∴12ab ≤.10分当且仅当a b =时取等号,∴ABC ∆的面积1sin 2S ab C =≤即ABC ∆面积的最大值为.12分19.解：(1)p 为真命题,则应有840,m ∆=->,解得 2.m <．4分（2）若q 为真命题,则有10m -≥,即1m ≥, 因为p q ∨为真命题,p q ∧为假命题, 则p ,q 应一真一假．当p 真q 假时,有21m m <⎧⎨<⎩,得1m <；7分当p 假q 真时,有21m m ≥⎧⎨≥⎩,得2m ≥．10分综上,m 的取值范围是{}|21m m m ≥<或．12分20.解：（1）由题意可知, 每吨平均加工成本为：30302700323027003=-⋅≥-+=xx x x x y . 时，即当且仅当9027003==x xx 才能使每吨的平均加工成本最低,最低成本为30元．6分（2）设该单位每月获利为S,2700463116S 2-+-=-=x x y x 则， 1125-S 75]100,75[max ==∈时，，x x故该企业不获利,需要市政府每周至少补贴1125元,才能不亏损．12分21. （1）由题意知222122481c a a a b c a b c ⎧==⎧⎪⎪⎪=∴=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩221443x y ∴+=所求椭圆的标准方程为分（2）假设存在这样的实数,k 使得以MN 为直径的圆恰好经过原点.2211221,(x ,)(,),432.x y M y N x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩设、联立方程组 消去y 得22(34)1640k x kx +++=6分1222121222,=(16)12(34)0.11,22416,83434x x k k k k kx x x x k k ∴∆-+>><--∴=+=++由题意知，是此方程的两个实数解,即或分又=0.MN OM ON ∴⋅以为直径的圆过原点，()()()21212121212120,222410x x y y y y kx kx k x x k x x ∴+==++=+++又分()()212121212222212+4=0.4321+)40.3434x x y y k x x k x x k k k k k MN ∴+=+++-∴++=++∴=（故存在这样的直线使得以为直径的圆过原点..12分24）单调递减分）单调递增分成立，即函数[]()ln 1,h x a x x e x x=-++在上的最小值小于0, ()'222(1)1+1()15x x a a a h x x x x x +-⎡⎤⎣⎦=--+-=分①[]1+,1()1a e a e h x e ≥>-当即时，在，上单调递减,[]2221()1(),()0111,1,7111ah x e h e h e e a e e e e a e a e e e +∴=+-<+++>>-∴>---在，上的最小值为由得分②当[]11,0()1,a a h x e +≤≤即时，在上单调递增,()(1),(1)11029h x h h a a ∴=++<<-的最小值为得分③当1101()(1),a e a e h x h a <+<<<-+，即时，得的最小值为20(1)1,0ln(1),(1)2ln(1) 2.(1)01.121h a a a a h a a a a h a e a a >e <+<∴<+<+=+-+>+<+-故此时不成立.11分综上讨论可得，所求的范围是分。
2019-2020学年郑州市高二下学期期末数学试卷(理科)(含答案解析)
2019-2020学年郑州市高二下学期期末数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知函数f(x)=x2+2(a−1)x+2在区间(−∞,4)上是减函数，则a的取值范围是()A. a>−3B. a<−3C. a≥−3D. a≤−32.设x，y，a∈R∗，且当x+2y=1时，3x +ay的最小值为6√3，则当1x+2y=1时，3x+ay的最小值是()A. 6√3B. 6C. 12D. 12√33.对于事件A和事件B，通过计算得到K2的观测值k≈4.526，下列说法正确的是()A. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为事件A和事件B有关B. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A和事件B有关C. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为事件A和事件B无关D. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A和事件B无关4.已知在与直线相切.设，若在区间上，不等式恒成立，则实数m()A. 有最小值B. 有最小值C. 有最大值D. 有最大值5.设随机变量X服从正态分布N(0,9)，则P(3<X<6)=()(附：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.6826，P(μ+σ<X<μ+2σ)=0.9544)A. 0.0456B. 0.1359C. 0.2718D. 0.31746.由曲线y=e−x，直线x=0，x=1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为()A. π2(1−e−2) B. π2C. π2(1−e) D. π2e−27.某班从6名学生干部中(其中男生4人，女生2人)，选3人参加学校的义务劳动．事件A=”男生甲被选中”，事件B=”女生乙被选中”，则P(B|A)=()A. 15B. 14C. 25D. 128.已知随机变量的分布列如下表，随机变量的均值，则的值为()012A.0.3B．C.D.A. AB. BC. CD. D9. 若函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是()A. 且B. 且C. 且D. 且10. 下列说法错误的是()A. 回归直线过样本点的中心(x−,y−)B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C. 对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小D. 在回归直线方程ŷ=0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时预报变量y^平均增加0.2个单位11. 已知函数，集合，现从M中任取两个不同的元素，则的概率为()A. B. C. D.12. 若函数f(x)=14x4+ax3+92x2−b(a,b∈R)仅在x=0处有极值，则a的取值范围为()A. [−2,2]B. [−1,1]C. [2,6]D. [−1,4]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设(5x−1√x)n的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M−N=240，则展开式中x 的系数为______．14. 某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为______ ．15. 观察下列式子：，，，，，则可以归纳出第个式子为16. 函数y=f(x)的图像在点M(1,f(1))处的切线方程为，则=______三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. (1)已知复数z=1−2i，求z+1的值；z−2(2)已知x是复数，解关于x的方程x2−8x+18=0；(3)已知2−3i是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根，求实数m，n的值．18. (1)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+⋯+a5(1+x)5，求a3．(2)三件产品中含有两件正品a，b和一件次品c，每次任取一件，按以下方式连取两次，分别求恰有一件次品的概率．①取后不放回；②取后放回．−ax．19. 设函数f(x)=bxlnx(1)若a=0，求f(x)的单调增区间；(2)当b=1时，若存在x1，x2∈[e,e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立，求实数a的最小值．(其中e为自然对数的底数)20. 在数列{a n}(n∈N∗)中，其前n项和为S n，满足2S n=n−n2．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=n⋅2a n，求数列{b n}的前n项和T n．21. 2020年3月，因为新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能在网上在线学习，为了研究学生在线学习情况，市教研院数学学科随机从市区各高中学校抽取120名学生对线上教学情况进行调查(其中，男生与女生的人数之比为3：1)，结果发现：男生中有40名对于线上教学满意，女生中有10名表示对于线上教学不满意．(1)请完成如表2×2列联表，并回答能否有95%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”；(2)采用分层抽样的方法，从被调查的对线上教学满意的学生中，抽取6名学生，再从这6名学生中抽取2名学生，作线上学习的经验介绍，求所选取的2名学生性别不同的概率．附：参考公式及临界值表K2=n(ad−bc)2，n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)22.已知函数f(x)=e x(a<0)x−a(1)求函数f(x)的定义域及单调区间；(2)若实数x∈(a,0]时，不等式f(x)≥1恒成立，求a的取值范围．2【答案与解析】1.答案：D解析：解：函数f(x)图象的对称轴为：x =1−a ，开口向上， 因为f(x)在(−∞,4)上是减函数， 所以1−a ≥4，解得a ≤−3． 故选：D ．f(x)在区间(−∞,4)上是减函数，则(−∞,4)为f(x)减区间的子集，借助图象可得关于a 的不等式，解出即可．本题考查函数的单调性，考查数形结合思想，属基础题．2.答案：A解析：由题设条件，可在3x +ay 上乘以x +2y 构造出积为定值的形式，由基本不等式求得3x +ay 的最小值为3+2a +2√6a ，从而得到3+2a +2√6a =6√3，同理可得当1x +2y =1时，3x +ay 的最小值是3+2a +2√6a ，即可求得3x +ay 的最小值是6√3．本题考查基本不等式在最值问题中的应用，及构造出积为定值的技巧，解题的关键是由题设条件构造出积为定值的技巧，从而得出3+2a +2√6a =6√3，本题中有一疑点，即两次利用基本不等式时，等号成立的条件可能不一样，此点不影响利用3+2a +2√6a 求出3x +ay 的最小值是6√3，这是因为3+2a +2√6a 是一个常数，本题是一个中档题目．解：由题意x ，y ，a ∈R +，且当x +2y =1时，3x +ay 的最小值为6√3， 由于3x +ay =(3x +ay )(x +2y)=3+2a +6y x+ax y≥3+2a +2√6a ，等号当6yx =ax y时取到．故有3+2a +2√6a =6√3，∴3x +ay =(3x +ay)(1x +2y )=3+2a +ay x+6x y≥3+2a +2√6a =6√3，等号当ayx =6x y时取到．故选A ．3.答案：B解析：比较K 2的观测值k ≈4.526与临界值的大小，可得判断事件有关的可靠性程度． 本题考查了独立性检验思想方法，熟记临界值表是解题的关键． 解：∵K 2的观测值k ≈4.526>3.841， ∴有95%以上的把握认为事件A 和事件B 有关，即在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A 和事件B 有关． 故选：B ．4.答案：D解析：试题分析：本题考查函数的切线方程及函数的单调性问题。