高中数学：1.3.1《单调性与最大(小)值》课件(新人教A版必修1)

利用不等式可求最小值；如何求最大值？ 利用不等式可求最小值；如何求最大值？
x
研究y随 的 研究 随x的变化而变化的规律 16
16平方米 平方米
x
1.3.1 单调性与最 大 (小 )值
上海市年生产总值统计表
生产总值 （亿元）
30 20 10 467 1985 756 1990 1994 1997 1971 3360
在给定区间上任取 x1 , x 2 ,
x1 < x 2 f(x1 ) > f(x 2 )
f(x2)
O
x1
x2
函数f (x)在给定区间 上为减函数。 x
[例1] 证明函数 f ( x ) = 2 x + 1在区间 （ ∞ ， ∞ ）上是增函数。 +
[例2] 判断函数 f ( x ) = x 2 x 的 单调性，并加以证明。
年份
人数 （万人）
15 10 5
上海市高等学校 在校学生数统计表
14.04 10.79 12.13 15.38
1985
1990 1994 1997
年份
人数 （人） 450
350 250 150
上海市日平均 出生人数统计表
423 359 209 176
1985
1990 1994 1997
年份
上海市耕地面积统计表
学校准备建造一个长方形的花坛， 学校准备建造一个长方形的花坛 ， 由于周围环 面积设计为16平方米。 16平方米 面积设计为16平方米。 境的限制， 境的限制 ， 其中一边的长度既不能超 10米 又不能少于2 过10米，又不能少于2米。求花坛长与 宽两边之和的最小值和最大值。 宽两边之和的最小值和最大值。
证明
[引例 的继续：如何应用函数 引例]的继续 引例 的继续：
16 10] f(x) = x + 在[2, 4]和[4 ， x
上的单调性求其最大值 ？
课堂小结： 课堂小结：
（1）函数单调性的概念； ）函数单调性的概念； （2）判断函数单调区间的常用方法； ）判断函数单调区间的常用方法； （3）解决实际问题的数学思想方法。 ）解决实际问题的数学思想方法。
方法一 方法二 方法三
解决实际问题的数学思想方法： 解决实际问题的数学思想方法：
建立数学模型
实际问题
有解吗？ 有解吗？
数学问题
求解
实际问题的解
实践验证
数学问题的解
作业： 作业：
P43 3、4、5 、 、
同学们再见！ 同学们再见！
证明： 证明： 2 ≤ x1 < x 2 ≤ 4 , 设
16 16 f(x 1 ) f(x 2 ) = (x 1 + ) (x 2 + ) x1 x2 16(x 2 x 1 ) = (x 1 x 2 ) + x1 x 2 (x1 x 2 ) (x1 x 2 16) = x1 x 2
方法一：分析函数值大小的变化 方法一：分析函数值大小的变化。
16 f ( x ) = x + , x ∈ [ 2, 10] x
x y 2 10 3 8. 3 4 8 5 8. 2 6 7 8 9 10
8. 7 9. 3
10 10. 8 11.6
猜测： 单调递减区间：[2，4] 单调递增区间：[4，10]
面积 （万公顷） 33.96 34 32.32 32 30.78
30 28 1985 1990 1994 1997
29.80
年份
y y
y
y = x +1
1
1
y = 2x + 2
2
1
x
o
y
O
x x
o o
O
y = x + 2x
2
y
O
1 y = x
O o
1
2
x x
y
y=x
2
f (x 1 )
x1
O
x
y
[例1] 证明函数 f ( x ) = 2 x + 1在区间 （ ∞ ， ∞ ）上是增函数。 + 证明： 证明： 设 x 1 , x 2 是区间 ( ∞ , +∞ )内任意 两个实数，且 x 1 < x 2 。 条件） （条件） f (x1 ) f (x 2 ) = (2x1 + 1) (2x 2 + 1) = 2(x1 x 2 ) Qx1 < x 2 , ∴x1 x 2 < 0 ∴ f (x 1 ) f (x 2 ) < 0 即 f ( x 1 ) < f ( x 2 ) （论证结果） 论证结果） 则函数 f ( x ) = 2 x + 1在区间 ( ∞ , +∞ ) 结论） 是增函数。 （结论）
y
y = f (x)
f (x1 )
f(x2)
x2
x
在给定区间上任取 x1 , x 2 ,
x1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 )
O
x1
函数f (x)在给定区间 上为增函数。
如何用x与 来描述下降的图象？ 如何用 与 f(x)来描述下降的图象？ 来描述下降的图象
y
y=f(x)
f (x1 )
y=x
2
f (x 1 )
x1
O
x
y
y=x
2
f (x 1 )
x1 O
x
y
y=x
2
f (x 1 )
x 1O
x
y
y=x
2
f (x 1 )
O x1
x
y
y=x
2
f (x 1 )
O
x1
x
y
y=x
2
f (x 1 )
O
x1
x
y
y=x
2
f (x 1 )
O
x1
x
y
y=x
2
f (x 1 )
O
x1
x
如何用x与 来描述上升的图象？ 如何用 与 f(x)来描述上升的图象？ 来描述上升的图象
2
y
单调递减区间： 单调递减区间： f (x) = x2 2x ( ∞ , 1] 单调递增区间： 单调递增区间：
1
o
2
x
[1 , +∞ )
[引例 的继续：如何判断函数 引例]的继续 引例 的继续：
16 f ( x ) = x + , x ∈ [ 2, 10 ] 的单调区间？ x
方法一
方法二
方法三
两个值x 都有f 两个值x 1 ,x 2 ,当x 1 < x 2时,都有f(x 1 ) > f(x 2 ),
称函数 f(x)在这个区间上是减函数。 在这个区间上是减函数。
判断函数单调区间的常用方法： 判断函数单调区间的常用方法：
方法一：分析函数值大小的变化 方法一：分析函数值大小的变化。 方法二：分析函数的图象 方法二：分析函数的图象。 方法三：比较大小过程中的数值分析 方法三：比较大小过程中的数值分析。
Q 2 ≤ x1 < x 2 ≤ 4 , ∴ x 1 x 2 < 0 , ∴ 4 < x 1 x 2 < 16 ,即x 1 x 2 - 16 < 0
∴ f(x 1 ) f(x 2 ) > 0 , 即f(x1 ) > f(x 2 ),
16 ∴ f(x) = x + 在 [2, 4] 上单调递减。 上单调递减。 x
y
16 12 8 4
16 y=x+ x
方 法
y=x
二 ： 分 析 和 函
[2
4] 10]
数 的 图 象
16 y= x
[4
O
2 4 6 8 10 12 14 16
x
方法三：比较大小过程中的数值分析 方法三：比较大小过程中的数值分析。
设 x 1 , x 2 ∈ [ 2,10 ] , 且 x 1 < x 2 , (x1 x 2 ) (x1 x 2 16) f (x1 ) f (x 2 ) = x1 x 2 确定f( x 1 ) f ( x 2 )正负号的关键是 确定( x 1 x 2 16) 的正负号。
16平方米 平方米
设长方形受限制一边长为 x 米，2 ≤ x ≤ 10.
16 则另一边长为 米. x 16 ∴ 两边之和为y = x + (2 ≤ x ≤ 10) 两边之和为y x
归结为数学问题 归结为数学问题：
16 的最小值和最大值。 求函数 y = x + (2 ≤ x ≤ 10) 的最小值和最大值。 x
由于x 1 , x 2 在同一区间内， 欲使 x 1 x 2 < 16 , 则需 x 1 , x 2 ∈ [ 2 ， ] , 4
欲使 x 1 x 2 > 16 , 则需 x 1 , x 2 ∈ [ 4 ，0 ] . 1
16 Q 上单调递减, 解： f(x) = x + 在[2, 4]上单调递减, x ∴ f(x)在[2, 4]上最大值为f(2 ) = 10 ; 上最大值为f 16 Q f(x) = x + 10] 递增, 在[4,10]上单调 递增, x 58 ∴ f(x)在 [4, 10] 上最大值为f(10) = 上最大值为f 10) . 5 Q f(10) > f(2) ， 16 ∴ 函数f(x) = x + ， ∈[2,10]的最大值 函数f 10] x x 58 10) 为f(10) = . 5
（1） ）
（2） ）
（3） ）
作业
函数单调性的概念： 函数单调性的概念：
一般地，对于给定区间上的函数 一般地，对于给定区间上的函数f(x)： ： 1. 如果对于属于这个区间的自变量的任意