数学：2.3.2《离散型随机变量的方差》课件(新人教b版选修2-3)

2 2 ( x x ) ( x x ) 平方分别是 1 ， 2 ，…，
( xn x )
2
，那么
n
S2
1 n
2 2 ( x x ) ( x x ) [ 1 ＋ 2
＋…＋ ( x
x )2
]
叫做这组数据的方差
二、离散型随机变量的方差与标准差 对于离散型随机变量X的概率分布如下表， X P x1 p1 x2 p2 … … xn pn
5、射手用手枪进行射击，击中目标就停止， 否则继续射击，他射中目标的概率是0.7,若 枪内只有5颗子弹,求射击次数的期望。 (保留三个有效数字)

p
1
0.7
2
3
4
5
0.34
0.3× 0.32× 0.33× 0.7 0.7 0.7
E() =1.43
甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他 们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示， X1，X2的概率分布下： X1 pk 0 1 2 3 0.7 0.1 0.6 0.2 0.1 1
1 n
2
1 n
… …
n
1 n
求 V (X)
E(X)＝
n
2 n 1 1 n1 2 1 2 2 ) [( n 1) 4 k ( n 1) 4 k ] V(X)＝ ( k 12 n k 1 2 4 n k 1
n
1 n 1 n (1+2+...+n)＝ 2
2 2 2 x p ( x ) p ( x p 2 x p p ) V(X) i i i i i i i i i 2 2 i 1 i 1 i 1
n
n
n
故
V(X)＝
n( n 1)( 2n 1) 1 n 1 2 n2 1 ( ) 6 n 2 12
离散型随机变量的方差
一、复习
1、离散型随机变量的均值的定义 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为 X P x1 p1 x2 p2 … … xn pn
则称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的均值或数学 期望，记为E(X)或μ． 其中pi≥0，i＝1,2,…,n；p1＋p2＋…＋pn＝1 2、两个分布的数学期望 nM 若X~H(n,M,N) 则E(X)＝ N 若X~B(n,p) 则E(X)＝np
考察0－1分布
X P 0 1－ p 1 p E(X)＝0×(1－p)＋1×p ＝p
方差V(X)＝(0－p)2(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p) 标准差σ＝ V ( X ) p(1 p)
nM ( N M )( N n ) 若X~H(n,M,N) 则V(X)＝ N 2 ( N 1)
设μ＝E(X)，则(xi－μ)2描述了xi(i=1,2,...,n)相对于均 值μ的偏离程度，故 (x1－μ)2 p1＋ (x2－μ)2 p2＋...＋ (xn－μ)2pn (其中pi≥0，i＝1,2,…,n；p1＋p2＋…＋pn＝1) 称为离散型随机变量X的方差，记为V(X)或σ2 离散型随机变量X的标准差：σ＝ V ( X )
甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他 们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示， X1，X2的概率分布下： X1 pk 0 1 2 3 0.6 0.2 0.1 0.1 X2 pk 0 1 2 0.5 0.3 0.2 3 0
如何比较甲、乙两个工人的技术？ V(X1)＝0.6×(0-0.7)2＋0.2×(1-0.7)2＋0.1×(2-0.7)2 ＋0.1×(3-0.7)2＝1.01 V(X2)＝0.5×(0-0.7)2＋0.3×(1-0.7)2＋0.2×(2-0.7)2 ＋0×(3-0.7)2＝0.61 乙的技术稳定性较好
练习： 1、已知随机变量 的分布列为

P
0
1
2
3
4
5
0.1
0.2
0.3
0.2
0.1
0.1
2.3 求E( ) 2、抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向
上得－1分，求得分X的数学期望。 0
3、随机抛掷一个骰子，求所得骰子点数X的数学 3.5 期望E(X)。 4、已知100件产品中有10件次品，求任取5件产 品中次品的数学期望。 0.5
若X~B(n,p)
则V(X)＝np(1－p)
练习
P70 1
2
P71 5
8
设事件 A 发生的概率为 p，证明事件A 在一次试验中发生次数ξ的方差不超过 1/4
4．证明：因为ξ 所有可能取的值为 0，1 且 P（ξ =0）=1-p,P(ξ =1)=p, 所以，Eξ =0×(1-p)+1×p=p 则
2
X2 pk
0 1 2 0.5 0.3 0.2
3 0
如何比较甲、乙两个工人的技术？
E(X1)＝0×0.6＋1×0.2＋2×0.1＋3×0.1＝0.7
E(X2)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7
一组数据的方差的概念：设 在一组数据 x1 ， x 2 ，…， x n 中， 各数据与它们的平均值 x 得差的
王新敞
奎屯 新疆
D ξ = （ 0-p ） ×(1-p)+(1-p) ×p=p(1-p)
2
2
1 p (1 p) 2 4
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自家的三个娃儿说：“不是我说你们，也是有点儿不懂事儿呢！吃完了饭，快去给你们“爹”认个错吧，看把他给气得！”李长善也过来劝慰 耿老爹：“耿大哥啊，娃儿们小，还都不懂事儿呢。你就别再生气了！一会儿咱们一起下地去，看到漫山遍野丰收的稻谷，你肯定会很高兴 的！”看到“爹”虽然不再掉眼泪了，但依然还是闷闷不乐的样子，兄妹三个赶快围拢过来，你一言我一语说好听的话，耿老爹很快就重新露 出了笑脸，慈爱地责备他们：“以后可不准再这样了啊！你们都大了，说话做事的，不能没有样子啊！这人常说了，娃儿们必须从小就养成 ‘站要有站相，坐要有坐相’；吃饭的时候，要坐得端端正正的；还要做到吃菜不露齿，喝汤不出声！而你们呢，吃着饭还嘻嘻哈哈连说带笑 的，像什么样子啊！在伯伯和大娘面前，让爹丢脸！”兄妹三人都说：“我们错了！我们保证，以后再不这样了！”耿老爹这才如释重负，轻 松地长出一口气，对兄妹三人说：“好啦，爹不生气了！你们三个听着啊，咱们从今以后都听你们伯伯和大娘的安排，不可以再像前些天一样 无所事事只顾读书学习了！咱父子们必须要尽我们所能，多多地帮着伯伯和大娘做一些事情，多干些活计！你们记住了没有啊？”兄妹三个齐 声说：“记住啦！我们一定会好好干活儿的！”耿老爹放心地笑了。李长善夫妇看到这场风波已经过去，就高兴地开始安排这“父子”四人干 活儿了。也是，家里种了水、旱地三十来亩，眼下秋收还没有全部结束呢！从此以后，耿老爹“父子”四人开始帮着李长善夫妇干各种各样的 活计。接触到外面的世界，做一些庄稼地里的力气活儿，耿老爹的心情和身板儿越来越好了。而更让他高兴的是，尚文和尚英这俩娃儿干起活 儿来都很卖力气，也很会干；尚武虽然年纪小干不了多少，但也一刻不停地跑前跑后忙活着做一些力所能及的小活计。这让耿老爹深深地感到， 他在大恩人李长善夫妇面前很有面子！“爷儿们”私下里时，他对“自己”这仨宝贝赞不绝口！尚文兄妹三人听到“爹”的夸奖，尽管心里非 常想笑，但却不敢再笑出来了。尚文说：“爹，这是我们应该做的啊！我们干这些活儿很高兴呢！”耿老爹高兴地说：“这才是爹的好娃儿啊！ 不过，你们也不能只顾干活儿，有空儿了还得认字、写字和读书啊！这些也是很重要的！”尚英说：“爹你就放心吧，我们都很爱跟你认字呢！ 看你能把一大本书念下来，我们很眼红啊！”耿老爹更高兴了，说：“那爹就好好教，你们就好好学，争取你们也很快就能把一大本书念下 来！”尚武小嘴儿甜甜地说：“爹，我虽然比哥哥和姐姐小，干活儿是比不过他们了，但认字、写字和读书，我一定不会落在他俩后面的！如 若不信，爹你就‘骑驴看书’，走着瞧吧！”耿老