《学案》高中数学人教A选修2-2课件：第二章 阶段复习课
高中数学人教A版选修2-2课件：本章整合2
又设������平行四边形������1 ������������������1 = ������1, ������平行四边形������1 ������������������1 = 猜想把三角形的正弦定理和余弦定理类比到三棱柱中分别为:
2 2 2 2 2 2 ������1 = ������2 + ������3 − 2������������2S3cosS, ������2 = ������1 + ������3 − 2S1S3cos β, 2 2 2 ������3 = ������1 + ������2 − 2������1S2cos γ.
设三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长为 l,
������· ������'������' ������· ������'������' ������· ������'������' 则 = = , sin������ sin������ sin������ ������1 ������2 ������3 即 = = . sin������ sin������ sin������
本 章 整 合
-1-
知识建构
第一章
三角函数
栏目 导引
第一章 综合应用 三角函数
专题1 专题2 专题3
专题一 合情推理和演绎推理在解题中的应用 1.合情推理的应用 归纳和类比是常用的合情推理,都是根据已有的事实,经过观察、 分析、比较、联想,再进行归纳类比,然后提出猜想的推理.从推理 形式上看,归纳推理是由部分特殊的对象得到一般性的结论的推理 方法,它在科学研究或数学学习中有着重要的作用:发现新知识、 探索新规律、检验新结论或预测答案、探索解题思路等;类比推理 是由特殊到特殊的推理,它以比较为基础,有助于启迪思维、触类 旁通、拓宽知识、发现命题等.合情推理的结论不一定正确,有待 于演绎推理的验证,而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的, 合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.
人教版高中数学选修2-2第二章推理与证明复习小结优质课件
现命题等，著名哲学家康德说：“每当理智缺乏可靠论证思
路时，类比法往往能指明前进的方向．”
工具
人教A版数学选修2-2 第二章 推理与证明
栏目导引
特别提醒： (1) 归纳推理是由部分到整体，个体到一般
的推理，其结论正确与否，有待于严格证明．
(2) 进行类比推理时，要合理确定类比对象，不能乱 比，要对两类对象的共同特点进行对比．
[ 思维点击 ] 归纳猜想 ――→ fn推理与证明
栏目导引
1 [规范解答] 因为 an＝ 2， n＋1 f(n)＝(1－a1)(1－a2)„(1－an) 1 3 所以 f(1)＝1－a1＝1－4＝4，
1 1－ f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)· 9
推理与证明章末小结
工具
人教A版数学选修2-2 第二章 推理与证明
栏目导引
一、合情推理和演绎推理
1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事
实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后 提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体， 个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理 是由一般到特殊的推理．
推出结论的线索不够清晰； (2) 如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨 论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
工具
人教A版数学选修2-2 第二章 推理与证明
栏目导引
三、数学归纳法
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是
论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必 须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传 递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不 可，第二步中证明“当n ＝k ＋1 时结论正确”的过程中，必
高中数学选修2-2 第二章 章末复习 学案
章末复习（学案）一、知识梳理一.推理叫推理.从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做 ,一部分是由已知推出的判断,叫 .2、合情推理:合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：1.归纳推理的一般步骤：⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；⑵提出带有规律性的结论，即猜想；⑶检验猜想。
2.类比推理的一般步骤：⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；⑶检验猜想。
3.演绎推理的一般模式：（1）大前提……已知的一般原理（2）小前提……所研究的特殊情况（3）结论………根据一般原理，对特殊情况作出的判断题型：用综合法证明数学命题二．证明三种方法的定义与步骤：1. 是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。
2. 是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。
3.反证法：假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫；它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1) ； (2) ；(3) ；(4)二、情境导学探究任务：反证法问题(1)将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?新知：一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .这种证明方法叫 .试试：证明：5,3,2不可能成等差数列.反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 →矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.三、典例解析题型1 用归纳推理发现规律[例1 ] 观察以下各等式：2020003sin 30cos 60sin 30cos604++= 2020003sin 20cos 50sin 20cos504++= 2020003sin 15cos 45sin15cos 454++=， 分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．题型2 用类比推理猜想新的命题[例2 ]已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.题型3 用演绎推理[例3 ]已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R .(1)若a ＋b ≥0，求证：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．题型4 综合法证明数学命题[例4]证明:若0,>b a ,则2lg lg 2lgb a b a +≥+题型5 用分析法证明数学命题[例5]求证： 6+7>22+5。
高中数学人教a版选修2-2教学课件：2、1-3-1
•
如 内单果调递f′增(x)
＞
0
，
那 么 函 数 y ＝ f(x) 在 这 个 区 间 ；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)
在这单个调递区减间内
．如果f′(x)＝0，那么函
数y＝f(常x数)在函数这个区间内为
．
• 2．求函数单调区间的步骤
• (1)确定f(x)的定义域；
• (2)求导数f′(x)；
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
5．若函数 f(x)＝13x3－32x2＋ax＋4 恰在[－1,4]上递减，
则实数 a 的值为________．
• [答案] －4 • [解析] 因为f′(x)＝x2－3x＋a. • 令x2－3x＋a≤0，由题意知x2－3x＋a≤0的解集恰
为[－1,4]， • 则由韦达定理知a＝－1×4＝－4.
• 三、解答题
• 3．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a)≥0，则在 (a，b)内有
()
• A．f(x)＞0
B．f(x)＜0
• C．f(x)＝0
D．不能确定
• [答案] A
• [解析] ∵在区间(a，b)内有f′(x)>0，且f(a)≥0，
• ∴函数f(x)在区间(a，b)内是递增的，
• ∴f(x)>f(a)≥0.
高二数学人教A版选修2-2第二章2.3 数学归纳法 课件(共37张PPT)
定义及其简单应用
从前有一位画家，为了测试他的三个 徒弟对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫 来，让他们用最少的笔墨，画出最多的马。 第一个徒弟在卷子上密密麻麻地画了一群 马；第二个徒弟为了节省笔墨，只画出许 多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画出两 座山峰，再从山谷中走出一匹马，后面还 有一匹只露出半截身子的马。
（ C ）。
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
3.用数学归纳法证明：1 a a2 ... an1
1 an2 ( a 1 )，在验证n＝1时，左端计算所得项 1a
为 _________
A .1
B .1 a
C .1 a a2
D .1 a a2 a3
3.用数学归纳法证明：1 a a2 ... an1
问题反思
1.数学归纳法的步骤(原理)中关键及难点是什么? 2.有人说：“数学归纳法使无限与有限间实现了平 衡”，你怎样理解这句话？
ห้องสมุดไป่ตู้ 课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
思考
1.这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件 是什么？
可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨 牌就都能倒下：
(1)第一块骨牌倒下； (2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一 块倒下。
2.你认为条件(2)的作用是什么？
知识归纳
数学归纳法的一般步骤(原理)：
知识归纳
数学归纳法的一般步骤(原理)：
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题
人教A版高中数学选修2-2 第二章 2.3 数学归纳法教学课件共20张PPT (共20张PPT)
(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有: k
1
13
24
,不等式成立.
1 1 13 ,
1 k 2 2k 24
则当n=k+1时,我们有:
1 1 1 1 1
(k 1) 1 (k 1) 2
2k 2k 1 2k 2
1 1 1 ( 1 1 1 )
k1 k2ຫໍສະໝຸດ 2k 2k 1 2k 2 k 1
2.求证：凸n边形的内角和为（n-2）·180°
A
A
B
B
C
F
C
ED
（1）验证当n=初1时始结值论n成0时立结。论成立。
（2）假设当n=k(k≥1n)0时)时结结论论成成立立，，证证明明则则当当 n=k+1时结论也成立。
（3）下结论：根据（1）和（2），可知对 任意的正整数n，结论都成立。
2.求证：凸n边形的内角和为（n-2）·180°
an 1 an
n
1, 2, ...
有 如何证明？ 无
限
限
步
对
骤
象
要使得多米诺骨牌 全部倒下，
需要具备哪些基本条件？
（1）最开始的一块骨牌倒下。
（2）若第k块倒下时，k≥1
则相邻的第k+1块也倒下。
已知数列 a n ,a1 =1,a n+1
多米诺骨牌游戏的原理 an
= an (n N *), 11+a这n 个猜想的证明方法
k(k
6
1)( 2k
1)
6(k
1) 2
6
(k 1)(2k 2 7k 6)
6
利用假设
(k 1)(k 2)(2k 3) 6
2018版数学人教A版选修2-2课件：第二章 推理与证明 章末复习课
跟踪训练2 已知x>0，y>0，求证： ( x2 y
1 2 2
)
3 ( x> y )
1 3 3
证明
类型三 反证法
1＋x 1＋y 例 3 若 x，y 都是正实数，且 x＋y>2，求证： y <2 或 x <2 中至少 有一个成立.
解答
反思与感 悟
(1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关 键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各 有多少项，初始n0是多少. (2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用当n＝
k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使
问题得以证明.
1 跟踪训练 4 数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)写出 a2，a3，a4；
17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n 的关系式为f(n)＝n3.
解析
答案
(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b， BC＝a，则 ①a2＋b2＝c2； ②cos2A＋cos2B＝1；
a2＋b2 ③Rt△ABC的外接圆半径为r＝ 2
进行证明.
它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基 n0 )是证当n＝ 时 结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n＝ k 时结论成立，推得 ＋1 k 当n＝ 时结论也成立.
题型探究
类型一 合情推理的应用
例1
(1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一
《学案导学设计》高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】章末复习课(二)
时 栏
猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.
目
开 答案 f(n)＝n3
关
(2)选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对
象．
①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积
为S，则S21＋S22＋S23＝S2.
5
研一研·题型解法、解题更高效
②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则
课
时 (2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较
栏
目 为新颖，也有一定的探索性．
开 关
7
研一研·题型解法、解题更高效
跟踪训练1 (1)下列推理是归纳推理的是____②____，是类比推
理的是___③__④___．
本 ①A、B为定点，若动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则点P的
答案
T8 T4
T12 T8
9
研一研·题型解法、解题更高效
题型二 综合法与分析法 综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法， 但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题
本
课 思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互
时
栏 转换，相互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综
目
开 合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途
课 时
轨迹是椭圆；
栏 目
②由a1＝1，an＋1＝3an－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的通
开 关
项an和Sn的表达式；
③由圆x2＋y2＝1的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab；
④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．
《学案导学设计》高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第二章 2.3(二)
解析 n的最小值为3，
栏 目
所以第一步验证n＝3时是否成立．
开
关
6
试一试·双基题目、基础更牢固
4．用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1) 时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是 (_2_k_＋__2_)＋__(_2_k_＋__3_)．
本
解析 当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，
证明 由bn＝2n，得bnb＋n 1＝2n2＋n 1，
本
课 时 栏
所以b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1＝32·54·76·…·2n2＋n 1.
目
开 下面用数学归纳法证明不等式
关
b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1＝32·54·76·…·2n2＋n 1> n＋1成立．
(1)当n＝1时，左边＝32，右边＝ 2，因为32> 2，所以不
个性品质，培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，
进一步培养思维的严密性．通过相互交流和讨论，增强
团队合作意识，提高语言交流能力．
2
试一试·双基题目、基础更牢固
1．某个命题与正整数n有关，若n＝k (k∈N*)时命题成立，
那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5
本 课
时，该命题不成立，那么可以推得
本
课 整除，则
时 栏
当n＝k＋1时，
目 开
ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1
除”时，第一步验证n＝1时，命题成立，第二步归纳假
设应写成
()
本
A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时命题正确，再推证n＝2k＋3
人教A版高中数学选修2-2课件：第二章 阶段复习课(共86张PPT)
高中数学 第二章 推理与证明 阶段复习课 第2课 推理与证明学案 新人教A版选修2-2
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题第二课推理与证明[核心速填]1．合情推理：(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．2．演绎推理：(1)演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)三段论是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明与间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：①综合法是从条件推导出结论的证明方法；②分析法是由结论追溯到条件的证明方法；(2)间接证明一种方法是反证法，它是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法：数学归纳法主要用于解决与自然数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立．第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立．特别要注意n＝k到n＝k＋1时增加的项数．[体系构建][题型探究](1)1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， ……，据此规律，第n 个等式可为________．(2)类比三角形内角平分线定理：设△ABC 的内角A 的平分线交BC 于点M ，则AB AC ＝BMMC.若在四面体P －ABC 中，二面角B －PA －C 的平分面PAD 交BC 于点D ，你可得到的结论是________，并加以证明.【导学号：31062174】[解析] (1)等式的左边的通项为12n －1－12n ，前n 项和为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；右边的每个式子的第一项为1n ＋1，共有n 项，故为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n. (2)画出相应图形，如图所示．由类比推理得所探索结论为S △BDP S △CDP ＝S △BPAS △CPA. 证明如下：由于平面PAD 是二面角B －PA －C 的平分面，所以点D 到平面BPA 与平面CPA 的距离相等，所以V D BPA V D CPA ＝S △BPAS △CPA. ① 又因为V D BPA V D CPA ＝V A BDP V A CDP ＝S △BDPS △CDP.②由①②知S △BPA S △CPA ＝S △BDPS △CDP成立． [答案] (1)1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n (2)S △BPA S △CPA ＝S △BDPS △CDP[规律方法] 1.归纳推理的特点及一般步骤2．类比推理的特点及一般步骤[跟踪训练]1．(1)观察如图21中各正方形图案，每条边上有n (n ≥2)个点，第n 个图案中圆点的总数是S n .图21按此规律，推出S n 与n 的关系式为________．(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n, 则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．[解析] (1)依图的构造规律可以看出：S 2＝2×4－4， S 3＝3×4－4，S 4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)．……猜想：S n ＝4n －4(n ≥2，n ∈N *)．(2)等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4 ，T 12T 8 ，T 16T 12成等比数列． [答案] (1)S n ＝4n －4(n ≥2，n ∈N *) (2)T 8T 4T 12T 8若a 、b 、c 是△ABC 的三边长，m ＞0，求证：a ＋m ＋b ＋m ＞cc ＋m.【导学号：31062175】[思路探究] 根据在△ABC 中任意两边之和大于第三边，再利用分析法与综合法结合证明不等式成立．[证明] 要证明a a ＋m ＋b b ＋m ＞cc ＋m，只需证明a a ＋m ＋b b ＋m －cc ＋m＞0即可．∵aa ＋m ＋bb ＋m －cc ＋m＝a b ＋mc ＋m ＋b a ＋m c ＋m －c a ＋mb ＋ma ＋mb ＋mc ＋m，∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，m ＞0， ∴(a ＋m )(b ＋m )(c ＋m )＞0，∵a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )＝abc ＋abm ＋acm ＋am 2＋abc ＋abm ＋bcm ＋bm 2－abc －bcm －acm －cm 2＝2abm ＋am 2＋abc ＋bm 2－cm 2＝2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2，∵△ABC 中任意两边之和大于第三边， ∴a ＋b －c ＞0，∴(a ＋b －c )m 2＞0， ∴2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2＞0， ∴aa ＋m ＋bb ＋m ＞cc ＋m.母题探究：1. (改变条件)本例删掉条件“m ＞0”，证明：a ＋b 1＋a ＋b ＞c1＋c .[证明] 要证 a ＋b 1＋a ＋b ＞c1＋c.只需证a ＋b ＋(a ＋b )c >(1＋a ＋b )c . 即证a ＋b >c .而a ＋b >c 显然成立．所以a ＋b 1＋a ＋b ＞c 1＋c.2．(变换条件)本例增加条件“三个内角A ，B ，C 成等差数列”，求证：1a ＋b ＋1b ＋c＝3a ＋b ＋c.[证明] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即证c a ＋b ＋ab ＋c＝1. 即证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 即证c 2＋a 2＝ac ＋b 2.∵△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列． ∴B ＝60°.由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ca cos 60°， 即b 2＝c 2＋a 2－ac .∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立，命题得证． [规律方法] 分析综合法的应用综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.已知x ∈R ，a ＝x 2＋2，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1.[证明] 假设a ，b ，c 均小于1，即a ＜1，b ＜1，c ＜1， 则有a ＋b ＋c ＜3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋12＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3，两者矛盾，所以假设不成立， 故a ，b ，c 至少有一个不小于1.[规律方法] 反证法的关注点反证法的思维过程：否定结论⇒推理过程中引出矛盾⇒否定假设肯定结论，即否定——推理——否定经过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的“否定即肯定原命题反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法.[跟踪训练]2．若x ，y ，z ∈(0,2)，求证：x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不可能都大于1.【导学号：31062176】[证明] 假设x (2－y )>1，且y (2－z )>1，且z (2－x )>1均成立，则三式相乘有xyz (2－x )(2－y )(2－z )>1，①由于0<x <2，所以0<x (2－x )≤ 1， 同理0<y (2－y )≤1,0<z (2－z )≤1，三式相乘得0<xyz (2－x )(2－y )(2－z )≤1，② ②与①矛盾，故假设不成立．所以x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不可能都大于1.设a >0，f (x )＝a ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论． [解] (1)∵a 1＝1， ∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a1＋a； a 3＝f (a 2)＝a 2＋a ；a 4＝f (a 3)＝a3＋a. 猜想a n ＝a n －＋a(n ∈N *)．(2)证明：①易知，n ＝1时，猜想正确． ②假设n ＝k (k ∈N *)时猜想正确， 即a k ＝a k －＋a，则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a ka ＋a k ＝a ·ak －＋a a ＋ak －＋a＝a k －＋a ＋1＝a k ＋－1]＋a.这说明，n ＝k ＋1时猜想正确． 由①②知，对于任何n ∈N *，都有a n ＝a n －＋a.[规律方法] 1.数学归纳法的两点关注关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0是多少关注点二：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明2.与“归纳—猜想—证明”相关的常用题型的处理策略与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法. [跟踪训练]3．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324(n ≥2，n ∈N *) [证明] ①当n ＝2时，12＋1＋12＋2＝712＞1324.②假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时不等式成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＞1324， 那么当n ＝k ＋1时， 1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋1k ＋1－1k ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＞1324＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1324＋12k ＋1－12k ＋2＝1324＋1k ＋k ＋＞1324. 这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立．已知α，β≠k π＋2(k ∈Z )，且sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin 2β.求证：1－tan2α1＋tan 2α＝1－tan 2β＋tan 2β【导学号：31062177】[证明] 要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β＋tan 2β成立，即证1－sin 2αcos 2 α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2βcos 2β，即证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)，即证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)，即证4sin 2α－2sin 2β＝1， 因为sin θ＋cos θ＝2sin α， sin θcos θ＝sin 2β，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝4sin 2α，所以1＋2sin 2β＝4sin 2α， 即4sin 2α－2sin 2β＝1. 故原结论正确．[规律方法] 转化与化归思想转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中的一切问题的解决都离不开转化与化归，转化与化归的原则是将不熟悉的或难解的问题转化为熟知的、易解或已经解决的问题；将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊问题；将实际应用问题转化为数学问题.本章中无论是推理过程还是用分析法、综合法、反证法、数学归纳法证明问题的过程中都用到了转化与化归思想.[跟踪训练]4．已知函数f (x )在R 上是增函数，a ，b ∈R .(1)求证：如果a ＋b ≥0，那么f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )； (2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论． [解] (1)证明：当a ＋b ≥0时，a ≥－b 且b ≥－a . ∵f (x )在R 上是增函数， ∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )， ∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．(2)(1)中命题的逆命题为“如果f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，那么a ＋b ≥0”，此命题成立．用反证法证明如下：假设a ＋b ＜0，则a ＜－b ，∴f (a )＜f (－b )． 同理可得f (b )＜f (－a )．∴f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，这与f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛盾，故假设不成立，∴a ＋b ≥0成立，即(1)中命题的逆命题成立．。
高中数学人教a版选修2-2教学课件：2、2-1-1-1
3．已知 x>0，由不等式 x＋1x≥2，x＋x42＝2x＋2x＋x42≥3，…，
启发我们可以得到推广结论：x＋xan≥n＋1(n∈N＋)，则 a 等
于
()
A．n2
B．nn
C．2n－1
D．(2n)2
• [答案] B
[解析] 由 x＋1x≥2，x＋x42＝2x＋2x＋x42≥3， 可推广 x＋xb3＝3x＋3x＋3x＋xb3≥4，知 b＝33， 所以对于结论 x＋xan＝nx＋nx＋…＋nx＋xan≥n＋1 知 a ＝nn，故应选 B.
• 2．1 合情推理与演绎推理 • 2．1.1 合情推理
• 1．理解合情推理的概念，掌握归纳推理的方 法．
• 2．掌握归纳法的步骤，体会归纳推理在数学发 现中的作用．
• 本节重点：合情推理、归纳推理概念的理解． • 本节难点：运用归纳推理进行一些简单的推理．
• 由某类事物的 该类事物的 或者由 全部对象
• [n分之析间]的规写律出．a1，a2，a3，a4，观察所得数与项数
• [解析] (1)由已知有a1＝3＝22－1， • a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， • a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， • a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. • 猜测出an＝2n＋1－1，n∈N* (n≥2)．
(2)由已知有 a1＝a， a2＝2－1a1＝2－1 a，a3＝2－1a2＝32－－2aa， a4＝2－1 a3＝34－ －23aa. 猜测出 an＝(n－n－1)(－n－(n1－)a2)a.(n≥2)
• [点评] 以上归纳推出一般性结论的方法称作不
完全归纳法，由不完全归纳法推出的结论不一定 正确，必须通过证明才能最后得出正确的结论．