跃峰奥数PPT6组合计数3-5(递归方法之分段递归)
递归算法 ppt课件
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int fib(int n) { if (n==0) return 0; if (n==1) return 1; return (fib(n-1)+fib(n-2)); }
输入 15 输出 fib(15)=610
//满足边界条件，递归返回 //满足边界条件，递归返回 //递归公式，进一步递归
//调用下一层递归
}
int main()
{
int n,k;
cin >> n >> k;
cout << s(n,k);
return 0;
}
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【例6】数的计数(Noip2001)
【问题描述】
我们要求找出具有下列性质数的个数（包括输入的自然数n）。先输入一 个自然数n（n≤1000），然后对此自然数按照如下方法进行处理：
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假设把第3步，第4步，第7步抽出来就相当于N=2的情况（把上面2片 捆在一起，视为一片）：
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所以可按“N=2”的移动步骤设计：
①如果N=0，则退出，即结束程序;否则继续往下执行;
②用C柱作为协助过渡，将A柱上的（N-1）片移到B柱上，调用过程mov(n-1,
a,b,c);
本题是典型的递归程序设计题。 (1)当N=1 时，只有一个盘子，只需要移动一次:A—>C; (2)当N=2时，则需要移动三次：
A------ 1 ------> B, A ------ 2 ------> C, B ------ 1------> C. (3)如果N=3，则具体移动步骤为：
跃峰奥数PPT1代数组合3-4(研究特例建立递归之分拆递归)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创代数组合3-4（研究特例建立递归之分拆递归）●冯跃峰本讲内容本节为第1板块（代数组合）第3专题（研究特例建立递归）的第4小节（分拆递归），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、流畅、简练。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创【代数组合】（研究特例，建立递归）关于自然数n的组合问题，可先考虑n的简单取值，发掘它们之间的递归关系，使问题顺利获解。
它包括三种情形和两个选择：【三种情形】（1）初值递归（穷举初值的所有构造发现递归）（2）“分段”递归（n的不同取值递归方式不同）（3）“分拆”递归（将相关对象分拆成多个对象）【两个选择】（1）选择归纳对象（多元选一、分批归纳）（2）选择递归跨度（通常取1，有时取r）本节介绍“分拆递归”的相关例子。
通过直线y=x上方的点，例如S（2）=6，S（3）=22。
求证：3|S（2n）（n∈N+）。
【题感】从目标看【1】，本题并无需求S（2n）的通式，否则人为地增加了难度。
但可以求“隐式”通式：表现为“求和”形式或方程形式，其中方程形式包括递归方程。
于是，我们立足于建立S（n）的一个递归关系，然后证明初值、及递归关系中每一个项都是3的倍数即可。
为叙述问题方便，称从A0到An的合乎条件的路径【1】为n阶路径■。
通过直线y=x 上方的点，例如S （2）=6，S （3）=22。
06递归算法PPT课件
递归的定义
若一个对象部分地包含它自己, 或用它自己给自 己定义, 则称这个对象是递归的；若一个过程直接地 或间接地调用自己, 则称这个过程是递归的过程。
递归的定义
直接递归 fun_a() {… fun_a() … }
间接递归 fun_a() {… fun_b() …}
fun_b() {… fun_a() …}
c1, c2,……，cm是若干个可以直接（用非递归方法）解决的问题， g是一个非递归函数，反映了递归问题的结构。
递归模型
例如，阶乘函数 递归出口
1,
当n0时
n! n(n1)!, 当n1时
递归体
ห้องสมุดไป่ตู้
递归的执行过程
实际上，递归是把一个不能或不好直接求解的 “大问题”转化为一个或几个“小问题”来解决，再 把这些“小问题”进一步分解成更小的“小问题”来 解决，如此分解，直至每一个“小问题”都可以直接 解决（此时分解到递归出口）。
递归调用执行过程：
... ...
main() x=17
bn=bSearch(a,x,0,7)
...
bn=bSearch(a,x,0,7)
mid=3 bn=bSearch(a,x,4,7)
...
4
...
return(bn=bSearch(a,x,4,7))
mid=5
bn=bSearch(a,x,4,4)
6.1 递归的概念
若一个算法直接地或间接地调用自己本身，则称 这个算法是递归算法。
1.问题的定义是递归的
例如：阶乘函数的定义
1
当n=0时
n=
n*(n-1) 当n>0时
2. 问题的解法存在自调用 例如：折半查找算法
跃峰奥数PPT1代数组合3-5(研究特例建立递归之数阵构造)
【两个 （1）选择归纳对象（多元选一、分批归纳） 选择 】 （2）选择递归跨度（通常取1，有时取r）
本节介绍“初值递归”的 相关例子■。
【代数3-5】证明存在无穷多个正整数n具有以下性 质：数1，2，…，n2可以排成一个n×n正方形数阵， 这些数中任意两个的算术平均不包含在包含它们的最 小矩形中；即aij和akt的算术平均值不是某个已知数ars。 其中 min（i，k）≤r≤max（i，k），min（j，t） ≤s≤max（j，t）。【】 跃峰奥数PPT经典原创
冯跃峰奥数系列讲座——
代数组合3-5（研究特例建立递归之数阵构造）
● 冯跃峰
本讲内容
本节为第1板块（代数组合）第3专题（研究特例建立递归） 的第5小节（数阵构造），包含如下3个部分内容：
第一部分，概述问题涉及的知识方法体系； 第二部分，思维过程剖析。这是课件的核心部分，重在发掘 问题特征，分析如何找到解题方法。按照教师场景授课互动效 果设计，立足于启发思维； 第三部分，详细解答展示。提供笔者重新书写的解答（简称 “新写”），力求严谨、流畅、简练。
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跃峰奥数
即使可以构造，我们也略去，因为它可能构造较复杂，也无法利用 n=2的构造进行递归。
遗而憾我的们是又，无这需一证构明造所并有不n是合好乎的要，求否。则比人如为，地含增有加1、了7难的度最。小当矩然形可是略左 上去角这的一2情×形3数。表【1】，表中包含4【1】，它是1、7的平均值。
但这并不意味着n=4是坏的，我们期望发现其它形式的构造合乎要求。 为了方便建立递归关系，我们将上述构造的M4中除M2外的另外3个子表 都用M2表出【1】。为此，需要引入数表的运算■。
先验证M2k的连续性。 再证M2k是好的。 注意到好数阵满足的条件是“任意型”的（任何两个数的平均数不在 这两数之间），可取“代表”进行验证■。
〖2021年整理〗《递归法概述》精品完整教学课件PPT
处，结束回归阶段，完成递归调用。
递归的过程
程序的实现
• 递推公式 • 边界条件 • 定义函数
程序代码
例题：斐波那契数列
• 斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳 多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为 “兔子数列”。 • 指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…… • 用递归算法求斐波那契数列第n项的值。
递归算法及其实现
教学内容
◊ 递归的定义 ◊ 递归的要素 ◊ 递归的过程 ◊ 程序的实现
《老和尚给小和尚讲故事》的故事
• 从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在讲故事给小和 尚听： • 从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在讲故事给小和 尚听： • 从前座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在讲故事给小和尚 听：
课堂小结
• 把规模较大的问题变成规模较小的、规模较小的问题又变成规模更小的问题， 当问题小到一定程度时，可以直接得出它的解，从而得到原来问题的解。即 采用“大事化小，小事化了”的基本思想。
• 递推公式→边界条件→定义函数
其它程序举例（课后选做） • 汉诺塔游戏
递归的要素
• 递推公式：
•
通常把一个大型复杂的问题通过“递推公式（也叫递归方程）”层层转化为一个与原问题
相同或相似的但规模更小的问题来求解。
• 边界条件：
•
当通过反复的调用，把问题的规模小到一定程度时，必须能直接给出问题的解，即有明确
的结束递归的边界条件（也叫递归出口）。
计算n！（n的阶乘） • 计算过程：（手动推导）
递归的定义（一）
《数据结构与算法》PPT课堂课件-第5章-递归
(2) if(n==1)
(3) move(x,z);
(4) else{
(5)
hanoi(n-1,x,z,y);
(6)
move(x,z);
(7)
hanoi(n-1,y,x,z);
(8) }
(9) }
A
B
C
2BAC 8 3ABC 0
1BCA6 2BAC 8 3ABC 0
A
B
C
2BAC 8 3 A B C 0 15
O(n)。对比循环结构的Fib2(n)和递归结构的Fib(n)可发现，循环结构
的Fib2(n)算法在计算第n项的斐波那契数列时保存了当前已经计算得到
的第n-1项和第n-2项的斐波那契数列，因此其时间复杂度为O(n)；而递
归结构的Fib(n)算法在计算第n项的斐波那契数列时，必须首先计算第n -1项和第n-2项的斐波那契数列，而某次递归计算得出的斐波那契数列， 如Fib(n-1)、Fib(n-2)等无法保存，下一次要用到时还需要重新递归计
{ printf(“参数错！”);
return -1;
}
if(n == 0) return 1;
else {y = Fact(n - 1); /*递归调用*/
return n * y; }
}
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为说明该递归算法的执行过程，设计主函数如下
void main(void) {
long int fn;
fn = Fact(3); }
(1) {
(2) if(n= =1)
(3) move(x,z);
(4) else{
(5)
hanoi(n-1,x,z,y);
(6)
move(x,z);
递归及递归算法分析课件
A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2，故A(n,2)= 2^n 。
2 222
❖ M=3时，类似的可以推出
n
❖ M=4时，A(n,4)的增长速度非常快，以至于没有适当的数 学式子来表示这一函数。
❖
move(a,b);
❖
hanoi(n-1, c, b, a);
❖
}
❖}
❖ T(n)=2T(n-1)+O(1) n≥1
T(n)=2n-1
0
n=0
4
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简单递归式的求解
1.T(n)=T(n-1)+c1 n>1
c2
n=1
2. T(n)=2T(n/2)+c1 n ≥2
c2
n<2
3. T(n)=2T(n/2)+Θ(n) n ≥2
O(1)
n<2
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T( n/2 ) + T( n/2 ) + 1
例1 T(n) =
0
(n = 1)
解 ：T(n)=2T(n/2)+1
=22T(n/22)+2+1
=23T(n/23)+22+2+1
令2r=n =2rT(1)+2r-1+。。。+2+1
=(1-2r)/(1-2)=n-1
∴ T( n ) = n - 1
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递归算法的时间复杂度分析
❖ 递归函数求解
简单递归式求解 master method 递推方程的特征方程求解
跃峰奥数PPT6组合计数3-7(递归方法之局部递归)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
组合计数3-7（递归方法之局部递归）●冯跃峰本讲内容本节为第6板块（组合计数）第3专题（递归方法）的第7小节（局部递归），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、流畅、简练。
【递归方法】所谓递归，就是建立“n”的问题与“小于n”的【1】若干同构子问题之间的等量关系。
通常有如下7种递归方式：七种递归方式（1）增减递归增加（减少）元素，得到“n-1”（或“n+1”）的情形（2）容斥递归an=I n-f（a n-1）（3）分拆递归将存在域分解为若干同构子区域（4）分段递归n属于不同类时，表达式不同（5）分类递归将Xn划分为两类：Xn=A n∪B n，则f（X n）= f（A n∪B n）= f（A n）+ f（B n）-f（A n∩B n）=g（f（X n-1））+φ（f（X n-1））-μ（f （X n-1））。
（6）局部递归某个局部之间存在递归本节介绍“局部递归”跃峰奥数【题感】从目标看，本题属于计数问题，只能从条件入手。
表面上看，有2个条件，但第一个条件仅仅是对题给对象的限定【1】：“颜色互不相同”意义在于方格互异，旋转、翻转后不同，无需剔除重复。
因此，对解题起关键作用的是另一个条件：“任两个邻格的积为0”【1】。
该条件能给我们提供什么信息呢？什么时候两个数的积为0？——需要对【条件转换】由条件可知，任何相邻2个格中至少一个0。
组合数学课件：递归关系
(4) 令S={1, 2, …, n}，对T∈2S，构造函数f: 2S→{0, 1}n，
f(T)=b1b2…bn，i=1, 2, …, n，bi=1, i∈T bi= 0, i T，从而，求无
相邻整数的子集问题转化为求无“11”字样的n位01串问题。
递归关系
P2={(2, i2, i3, …, in)|it≠t, t=2, 3, …, n} P3={(3, j2, j3, …, jn)|jt≠t, t=2, 3, …, n}
… Pn={(n, k2, k3, …, kn)|kt≠t, t=2, 3, …, n} 易知|P2|=|P3|=…=|Pn|都是相同的，令其为dn，于是
1 2
3i
Dn K1r1n K2r2n
递归关系
由初值条件有
D1=K1r1+K2r2=1 D2=K1r21+K2r22=0
解得
K1
r2 r1(r2
r1 )
1 3 3
2
, K2
r1 r2 (r1
r2 )
1
3
3 2
i
最后有
Dn
1 2
3 3
1
2
3i
n
1
3
3 2
i
1
2
3i
n
递归关系
例5
证明 假定an是具有初值的递归关系 -
aa0n
c1an1 d0 , a1
c2an2 d1
0
的任一解。 将初值条件代入 an K1r1n K2r2n
aa10
K1 K2 d0 K1r1 K2r2
d1
递归关系
递归计数的六种方式
中等数学i叙含活劫係歿鉼雇丨递归计数的六种方式中图分类号:〇141.3冯跃峰(广东省深圳市福田区，518038)文献标识码：A文章编号：1005 - 6416(2020)08 - 0002 -10(本讲适合高中）计数是组合中的常见问题，而递归计数 则是其常用方法.所谓递归，就是建立“，的问题与“小于 ，的若干同构子问题之间的等量关系.本文 举例介绍六种数学竞赛中常用的递归方式.1增减元递归在n的情况中减少或增加一个元素，转 化为n_l(或.1+ 1)的情况.一般采用减首项（排在最前的元素或步骤）的方式建立递归:先考虑首项的取值，再 将后面若干项捆绑，看作〃-1的情况处理.但若n的问题必须先完成n- 1的问题 时，则采用减末项递归.例1记[>]表示不超过实数％的最大整数.对给定的正整数〃，计算2k^n-2h3【分析】由代表项C f3"_2A的组合意义想 到构造如下的组合问题:用1、2、3、4可以组 成多少个含有偶数个1的n位数？-方面，设有M 0^彡丨个1.则从n个位置中取2A个位置排1，有C f种方法，剩下的个位置可排2、3、4,均有3种方 法•故含有放个1的W立数的个数为C f3"_-2k注意到，〇彡叫f从而，符合条件的n位数的个数为m= S c f3-2A.k=0另一方面，采用“递归”的方式计算设W立数为，考虑首位a.若首位排1，则后面的n-1位数中只有 奇数个1.由于偶数个1的n - 1位数有a…_, 个，故奇数个1的《- 1位数有个；若首位不排1，则有3种排法，后n - 1位数有偶数个1，有种排法，此时，有 3(^4种排法.故。
… = (4’卜丨-〜，—。
十]。
=4"-' +2^.,.①由式①，知数列- 2^4丨是公比为4 的等比数列.于是，an ~2an-i=4(fln-i -2a n_2)-由此变形得a n ~4a n-l=2(°…-1~4a n-2)=(a2-4a1)2n-2 = (10-4x3)2n'2=-T'\联立式①、②解得a… =2x4n_1 +2n_1②[f]故 S c f3"_2k：2 x4,,_1 +2n_1.t=0收稿日期:2020 - 05 -18当然，解此递归方程还有另外的方法: 式①两端同时除以4"得2020年第8期3a n1,1^a n-lm v，此即常见递归形式心+1可转化为 等比数列求解.2容斥递归为计算《时的计数对象的个数a…,先计 算满足部分条件的“拟对象”个数，再从中 减去不满足余下条件的“坏对象”个数人，有 = 4 _ 人.在计算■/,,时，如果可以转化为原问题在n-1时的计数，则得到Jn =/(〇…-l)-由此建立递归:a… =/… - /(a^)•例2将圆划分为n个扇形，用r种颜色对 扇形染色,每个扇形染一种颜色，且任何两个 相邻的扇形不同色.问:有多少种染色方法？【分析】按圆周排列的n个扇形可记为(皂，…，4)，其中4(1矣与4+1相 邻•染色要求4(14心）与禹+1异色，先适 度“放宽”这一要求，再构造“拟染色”：要求 4(1A d1)与卓+1异色，其中可能含有 疋与岑同色的情况，将这种染色去掉即可，它恰好是时情况与原问题同构的染色问题.设有&种满足条件的染色方法.则Xl =ry X2 =r(r- l).对>3 )，扇形岑有r种染色方法，扇形4与次不同色，有r-1种染色方法; ……扇形4与扇形纪―不同色，有r-1种 染色方法.故共有种染色方法.但其中\可能与岑同色，此时，将扇形 \与扇形岑合并看作一个扇形，它恰是n- 1个扇形满足条件的染色方法，有^^种.于是，= r(r-l广1(ra>3).(这要求n-1 >1，否则无法有岑与人同色扇形的捆绑（尽管有A =「，但无递推式 〜+x2 =r(r-l)).故 +a j… =r(r-l)"_1(n^3).)利用“交错加减”可求通项，但需要讨论 ^的奇偶性.下面介绍一种避免讨论n奇偶性的方法.注意到，%2+x3= r(r - 1 )2,①久：3+ 尤4= /*(/*一 1 ) 3，②xn-i +xn=r(r c〇>式〇(1☆•矣n-2)乘以（-1广1得(-1 ) 2尤2+ ( - 1 )2% = r( 1- r)2，(-1)3% + (-i)'\ = K i -O3，+ (-\)n~X xn=r(l-r)各式相加得^2 + (_ 1)"1：K n= (l-r)2-(l-r)n= (r-l)2+ (-l)n+1(r-l)n.又 x2= r(r - 1 )，贝丨J(-1广、…= (r-l)2+ (-l)n + 1(r-l)n-r(r-l),^= (-l)"'1(/--l)2+ (r-l)n+(-l)V(r-l)= (r-l)"+ (-l)n(r-l)(n^3).又;i = 2时，上式也成立.而n = 1时，a=r,故r(r - 1 )" + (r - 1 ) (- 1 )n, n^2；X n~j r,n =1.3分拆递归将计数对象的存在域分解为若干个与原 区域同构的子区域建立递归.例3(欧拉剖分）用对角线将凸n边形 剖分为n-2个三角形，有多少种不同的方法?【分析】用&表示凸A边形的剖分数，且4中等数学规定A = 1.由于多边形的每一条边都必属于一个剖 分三角形，则考虑〃边形岑毛…圮的边岑七所在的剖分三角形，设为A4岑如图1.4于是，的一侧是一个边形的剖分,另一侧是一个n+ l -/c边形的剖分，它 们分别有&、&+1_A种剖分方式.从而，凸n 边形含有剖分三角形△4岑火的剖分数为^k^n + l-k'注意到A可取2,3,…，n- 1.从而，得到递推式+E3En_2+." +En-tE2.①上述方法的核心步骤是:△纪次火将原多边形分割为两个边数较小的多边形，从而 得到与原问题同构的子问题，由此建立递归，称之为“分割递归下面思考:能否得到原多边形的另一种分割方式？利用原多边形的对角线，比如从 A出发的对角线岑4所不同的是，原来分割 所借用的事实是剖分中一定含有A纪A火，而换成对角线小4进行分割时，并不能保证 “剖分中一定含有对角线4火”.因而，要穷 举更多的分割方式.假定凸〃边形岑4…<的剖分中含有从顶点岑出发的对角线.如图2,设该对角线为 /M t(3矣A矣n-1)•则该对角线的一侧是& 边形的剖分，另一侧是n+2- A边形的剖分. 于是，凸〃边形含对角线皂火的剖分方法数为 EkEn+2_k.A,注意到，A:可取3,4,…，7i-l.故凸n边形含从顶点山出发的对角线的剖分数为A h + E4A n_2 +…+ f 3.由对称性，知含从顶点冷(_/= 1，2,…，ra)出发的对角线的剖分数也为五3^-1 +芯人-2 +…+五n-l芯3-于是，凸n边形的所有剖分总数为n(芯3&-1 +五4人-2 + …+U3).以上计算有重复.因为每条对角线有两个顶点，计算了 2次;又凸《边形的剖分含有 n-2个三角形（由多边形内角和可知），于 是，含有《-3条对角线（A：条不相交对角线将多边形分割为A+ 1块），计算了 n-3次.则每个剖分被计数2(« -3) = 2n-6次.t jC K=2n T6(E3K-' +^^-2 +- +f3). ②利用式①、②，可求出心.其中注意:式①、②“隐含”很多相同处.将式①中的n换 成+ 1得^+i =^2^n+^3^-1 + ■"+En.x E3+En E2.再变形为En+i~2En =E3En_l+E4E n_2+--- +En_x Ey代入式②得依次迭代得2E0^n+i = (4n-6) (4n- 10)----—2020年第8期5_9n-. (2n-3)!!—n\_ t (2n-2)!!-(2n-3)!!一(2/1-2)!!.n!(2n-2)；_C2n；_2(n - 1) ! •几！n故心=4,其中A+2 =c n =4称 为卡特兰数.4分段递归分段递归类似于分段函数，当n属于不 同类时，递归关系表达式不同，表现形式为：A；g(an_l,--,a n_k) , n e B.例4设/(n)是定义在正整数集上的函 数，且对于任何正整数〃，均有/(1)=/(2)=1,/(3n)=/(ra) + 2 020,/(3n + l) = 3/(n) + 2 019,f(3n+2) = 2 019/(n).令人={i l l矣i矣n，/(i)为奇数丨，化=| il K矣n，/(i)为偶数}.(1) 证明:对于任何正整数n，均有14丨>丨5…丨；(2) 试确定/(2 019)的奇偶性.【分析】由I4J的意义，知（1)实际上是 证明数列{/(/i)丨的前n项中为奇数的项多于为偶数的项.由于目标中只关心数列|/(n)丨各项的奇偶性，从而，可用模2来处 理题给的递归关系，有/(1)=/(2)= 1,/(3n) =/(ra) (mod 2),f(3n + 1) =f(n)+ 1 (mod 2),/(3n +2) =f(n) (mod 2).当n = 1，2,…，18时，/(n)的奇偶性如 表1所示，其中，1表示奇数，〇表示偶数.表1n123456789f(n)111011011n101112131415161718f i n)010101011由此发现:〇的分布很“稀疏”—任何 两个0不相邻.为证明这一结论，将表1中的 数都用三进制表示，得到表2.表2n12101112202122100 f(n)111011011n101102110111112120121122200 A n)010101011观察那些使/(«)为偶数的三进制数n 构成的子列：^ = 11,21,101,110,112.可发现:使/(»)为偶数的三进制数n，其 三进制除去首位后，各数字和均为奇数.进一步发现上述性质也适用使/( n)为 奇数的三进制数〜其三进制除去首位后，各 数字和均为偶数.对于〃的三进制数：n = (aka k-l —¥〇)3((^#0)，定义:(«) = %_, +a4_2 + …+ A +a。
跃峰奥数PPT6组合计数3-9(递归方法之二维递归)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
组合计数3-9（递归方法之二维递归）●冯跃峰本讲内容本节为第6板块（组合计数）第3专题（递归方法）的第9小节（二维递归），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、流畅、简练。
【递归方法】所谓递归，就是建立“n”的问题与“小于n”的【1】若干同构子问题之间的等量关系。
通常有如下7种递归方式：七种递归方式（1）增减递归增加（减少）元素，得到“n-1”（或“n+1”）的情形（2）容斥递归an=I n-f（a n-1）（3）分拆递归将存在域分解为若干同构子区域（4）分段递归n属于不同类时，表达式不同（5）分类递归将Xn划分为两类：Xn=A n∪B n，则f（X n）= f（A n∪B n）= f（A n）+ f（B n）-f（A n∩B n）=g（f（X n-1））+φ（f（X n-1））-μ（f（X n-1））。
（6）局部递归某个局部之间存在递归本节介绍“二维递归”跃峰奥数中的n 只棋位于折线的下方，得到棋盘的一个“棋线状态”，若棋所放的位置不同或所画的折线不同，则称为不同的棋线状态，求所有不同的棋线状态的个数。
01P （n-1，n ）3n5246Q （n ，n-1）6425n31A （n ，n ）【题感】从条件看【1】，“棋线状态”包括：棋与线【1】，一种自然的想法是：分别考虑这两种对象有多少取法，然后相乘。
跃峰奥数PPT6组合计数3-8(递归方法之铺垫问题)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
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组合计数3-7（递归方法之铺垫问题）●冯跃峰本讲内容本节为第6板块（组合计数）第3专题（递归方法）的第7小节（铺垫问题），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、流畅、简练。
【递归方法】所谓递归，就是建立“n”的问题与“小于n”的【1】若干同构子问题之间的等量关系。
通常有如下7种递归方式：七种递归方式（1）增减递归增加（减少）元素，得到“n-1”（或“n+1”）的情形（2）容斥递归an=I n-f（a n-1）（3）分拆递归将存在域分解为若干同构子区域（4）分段递归n属于不同类时，表达式不同（5）分类递归将Xn划分为两类：Xn=A n∪B n，则f（X n）= f（A n∪B n）= f（A n）+ f（B n）-f（A n∩B n）=g（f（X n-1））+φ（f（X n-1））-μ（f（X n-1））。
（6）局部递归某个局部之间存在递归【计数3-8】自n ×n 棋盘左上角顶点至右下角顶点沿格径画一条长为2n 的折线，使不经过对角线下方的任何点，求折线的条数。
【题感】组成折线的要素是2n 条单位线段，其中有n 条是横向的，另n 条是纵向的。
但反之，任意n 条是横向线段和n 条纵向线段首尾相接，并不一定组成合乎要求的折线【1】。
它还受到行走方向的约束：长为2n 【1】，只能向右走n 段【1】，向下走n 段【1】，才能达到右下角顶点【1】。
跃峰奥数PPT6组合计数4-5(转换策略)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
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【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创组合计数4-5（转换策略）●冯跃峰本讲内容本节为第6板块（组合计数）第4专题（转换策略）的第5小节，包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、流畅、简练。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创【计数转换策略】当直接对题给对象计数存在困难时，我们需要把计数对象或其满足的条件转换成另一种形式进行计数。
通常有3种转换方式：三种转换方式模型转换（直观化）对应转换（换对象）等价转换（换说法）题中对象的相互关系用模型来刻画用一组新的对象替代原有对象，也称为“对应计数”。
将计数对象满足的条件用方便计数的形式描述■。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创【计数4-5】有n 个箱子对应n 把钥匙，随机将m 把钥匙分别锁在m 个箱子里，留n-m 把在外面。
试问：能全部打开箱子的概率是多少？【题感】从目标看，本质上是计数问题【1】：只需计算能打开全部箱子的放钥匙的方法数。
为了确定计数对象的要素列，需要用适当的符号描述任意一把钥匙放入某个箱子里，自然想到对钥匙和箱子编号。
为了使记号简单，都用1，2，…，n 表示。
现在考虑，如何描述钥匙i 锁在j 号箱子里。
为了直观，可用n 个点同时表示n 把钥匙和n 只箱子（箱子可以看成锁）【1】，但要区分什么时候表示钥匙，什么时候表示箱子，想到用一条由i 指向j 的“有向边”【1】，表示钥匙i 锁在j 号箱子里，得到一个特定有向图G （m ，n ）。
跃峰奥数PPT6组合计数3-12(递归方法之单网染色)
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组合计数3-11（递归方法之单网染色）●冯跃峰本讲内容本节为第6板块（组合计数）第3专题（递归方法）的第11小节（单网染色），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
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【递归方法】所谓递归，就是建立“n”的问题与“小于n”的【1】若干同构子问题之间的等量关系。
通常有如下7种递归方式：七种递归方式（1）增减递归增加（减少）元素，得到“n-1”（或“n+1”）的情形（2）容斥递归an=I n-f（a n-1）（3）分拆递归将存在域分解为若干同构子区域（4）分段递归n属于不同类时，表达式不同（5）分类递归将Xn划分为两类：Xn=A n∪B n，则f（X n）= f（A n∪B n）= f（A n）+ f（B n）-f（A n∩B n）=g（f（X n-1））+φ（f（X n-1））-μ（f（X n-1））。
（6）局部递归某个局部之间存在递归（7）二维递归对两个变量同时递归本节介绍“分拆递归”的相关例子■。
向线段都染为红色或蓝色。
将一种染色方式称为单网的，如果其中不存在两个点A和B，使得既可以沿着红色有向线段，也可以沿着蓝色有向线段，从A走到B。
试求n阶单网染色方式的数目。
（2005年全俄数学奥林匹克试题）【题感】本题条件很多：包含有“箭头【1】”、“染色【1】”、“单网【1】”等，比较复杂，需要先弄清它们的实际意义■。
跃峰奥数PPT6组合计数1-4(要素列之参数计数)
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【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创组合计数1-4（要素列之参数计数）●冯跃峰本讲内容本节为第6板块（组合计数）第1专题（要素列）的第4小节（参数计数），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
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【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创组合计数（要素列）计数最基本的思想是，确定计数对象包含哪些变化因素，我们称之为要素列。
能使计数对象被确定的一些元素称为它的“要素”。
计数对象={要素1，要素2，…，要素r}■【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创利用“要素列”计数，通常包括三个步骤：（1）确定计数对象：（a 1，a 2，…，a n ）（要素列）。
（2）转化约束条件：不等式；穷举可能性：p 1，p 2，…，p t 。
（3）计数：分类（独立完成）、分步（搭配完成）、反面（考察补集）。
【分类计数】固定其中一个要素【1】（使计数对象变简单），对每一个取值分别计数；定元固定（特定值p 0）通式固定（任意值p j ）【分步计数】平行考虑每一个要素的变化。
此时要求每个要素都是“独立的”。
组合计数（要素列）【容斥计数】反面考虑不合乎条件的对象。
此时要求反面对象“容易”计数。
先以“组合数公式推导”为例，介绍要素列的意义■。
【百度文库】跃峰奥数PPT组合数公式的直接推导：!C m m n n mn ）！（！-=我们知道，组合数公式通常是借助排列数公式推导的，过程有点不自然，一些同学难以理解。
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温馨提示
为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
组合计数3-12（递归方法之分段递归）
●冯跃峰
本讲内容
本节为第6板块（组合计数）第3专题（递归方法）的第12小
节（分段递归），包含如下3个部分内容：
第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；
第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘
问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效
果设计，立足于启发思维；
第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称
“新写”），力求严谨、流畅、简练。
【递归方法】
所谓递归，就是建立“n”
的问题与“小于n”的
【1】
若干同构子问题之间的等量
关系。
通常有如下7种递归方式：
七种递归方式（1）增减递归
增加（减少）元素，得到
“n-1”（或“n+1”）的情形
（2）容斥递归a
n
=I n-f（a n-1）
（3）分拆递归将存在域分解为若干同构子区域
（4）分段递归n属于不同类时，表达式不同
（5）分类递归
将X
n
划分为两类：X
n
=A n∪B n，则
f（X n）= f（A n∪B n）= f（A n）+ f（B n）-f（A n∩B n）
=g（f（X n-1））+φ（f（X n-1））-μ（f（X n-1））。
（6）局部递归某个局部之间存在递归本节介绍“分段递归”
跃峰奥数
【建立分段递推】由“计数3-4”一题，我们有
f （4k ）=2k+f （k ），f （4k+1）=2k+1+f （k ），
f （4k+2）=2k+1+f （k ），f （4k+3）=2k+2+f （k ）。
【观察初值】由上述递推式，得到f （n ）若干初值如下表所示：
n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 f(n)
1 1
2
3
4 4
5 5
6 6
7
8
9 9 10 11 12 12 13 14
下面采用归纳通式的技巧，探索f （n ）的表达式。
归纳通式有2个要点：一是将初值用“n”的形式表示；二是各种表示
“同构”，即各个初值表示形式的结构相同。
由此，结合“逐步逼近”策略，通过尝试、修改，发掘通式表达式。
【逐步逼近】（1）当n=1时，f （n ）= f （1）=1还需将其用“n”的形式表示【2】。
=n ■。
（1）当n=1时，f（n）=f（1）=1=n。
（2）当n=2时，f（n）= f（2）=1。
两者似乎都有可能，因为它们都与（1）的情形同构
【1】
：都
是关于n的一次式
【1】
，难以取舍。
先跳过，看看后面的情形再做决定。
（1）当n=1时，f（n）=f（1）=1=n。
（2）当n=2时，f（n）= f（2）=1。
（3）当n=3时，f（n）= f（3）=2。
（1）当n=1时，f（n）=f（1）=1=n。
（2）当n=2时，f（n）= f（2）=1。
（3）当n=3时，f（n）= f（3）=2。
但n=6时，上式不再成立。
为了便于归纳，我们先将上式改写为统一表达式，即常数“0”、“1”也用“n”表示，这通常要借助数论函数。
有趣的是，上式在n=1、2、3时也成立，由此不难归纳一般通式。
证明是很简单的，采用常规的归纳法即可。
当然，为便于利用分
【证明】对n归纳。
当n=1时，f（1）=1，结论成立。
设结论对小于n的正整数成立，考虑n的情形。
【模4分类】（1）若n=4m，则由递归关系有，f（n）= f（4m）=2m+ f（m）。
由于m<n，由归纳假设，有
（2）若n=4m+1，由递归关系有，f（n）= f（4m+1）=2m+1+ f（m）。
由于m<n，由归纳假设，有
【证明】对n归纳。
当n=1时，f（1）=1，结论成立。
设结论对小于n的正整数成立，考虑n的情形。
【模4分类】（1）若n=4m，则由递归关系有，f（n）= f（4m）=2m+ f（m）。
由于m<n，由归纳假设，有
（2）若n=4m+1，由递归关系有，f（n）= f（4m+1）=2m+1+ f（m）。
由于m<n，由归纳假设，有
由上面结论可知，n是平衡的充要条件是a
0+a2+a4+…+a2018=a1+a3+a5+…+a2019。
设a
0+a2+a4+…+a2018=a1+a3+a5+…+a2019=k，则a0，a2，a4，…，a2018与a1，a3，a5，…，
a2019中都分别有k个1，其余都为0。
由于各a i不全为0，从而k≠0，所以1≤k≤1010。
该“和式
【1】”是否可以简化？留给大家思考
■。
【分段递归】
【归纳通式】
【常规归纳法】
■
【带余表示】【平行推理】
【结构联想】
【简化】
■
【问题转化】
【广义二进制表示】
【分步计数】
【分类计数】
■■跃峰奥数。