解析几何公式-大全

解析几何中的基本公式

平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++

则：2

2

21B

A C C d +-=

注意点：x ，y 对应项系数应相等。 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2

2

B

A C

By Ax d +++=

直线与圆锥曲线相交的弦长公式：⎩⎨

⎧=+=0

)y ,x (F b

kx y

消y ：02

=++c bx ax ，务必注意.0>∆ 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+=

若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ，

则⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

+=+=222

121y y y x x x 变形后：y

y y y x x x x --=λ--=

λ21

21或 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2

11

21tan k k k k +-=

α

若l 1与l 2的夹角为θ，则=

θtan 2

1211k k k k +-，]2,0(π

∈θ

注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角=

2

π

。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

（1）倾斜角α，),0(π∈α； （2）]0[,π∈θθ→

→，，夹角b a ；

（3）直线l 与平面]2

0[π∈ββα，，的夹角；

（4）l 1与l 2的夹角为θ，∈θ]2

0[π，，其中l 1//l 2时夹角θ=0； （5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l 1到l 2的角)0(π∈θθ，，

直线的倾斜角α与斜率k 的关系

每一条直线都有倾斜角α，但不一定有斜率。

若直线存在斜率k ，而倾斜角为α，则k=tan α。 直线l 1与直线l 2的的平行与垂直

（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2⇔ k 1=k 2 ②l 1⊥l 2⇔ k 1k 2=－1

（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l

若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零 l 1//l 2⇔

2

1

2121C C B B A A ≠

=； l 1⊥l 2⇔ A 1A 2+B 1B 2=0；

l 1与l 2相交⇔

2

121B B A A ≠ l 1与l 2重合⇔

2

1

2121C C B B A A =

=； 注意：若A 2或B 2中含有字母，应注意讨论字母=0与≠0的情况。 直线方程的五种形式

名称 方程 注意点

斜截式： y=kx+b 应分①斜率不存在 ②斜率存在

点斜式： )( x x k y y -=- （1）斜率不存在： x x =

（2）斜率存在时为)( x x k y y -=- 两点式：

1

21

121x x x x y y y y --=--

截距式：

1=+b

y

a x 其中l 交x 轴于)0,(a ，交y 轴于),0(

b 当直线l 在坐标轴上，截距相等时应分：

（1）截距=0 设y=kx （2）截距=0≠a 设1=+a

y a x 即x+y=a 一般式： 0=++C By Ax （其中A 、B 不同时为零） 11、直线0=++C By Ax 与圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种 若2

2

B

A C Bb Aa d +++=

，0<∆⇔⇔>相离r d

0=∆⇔⇔=相切r d 0>∆⇔⇔<相交r d 13、圆锥曲线定义、标准方程及性质

（一）椭圆

定义Ⅰ：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。 定义Ⅱ：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e （0

标准方程：122

22=+b

y a x )0(>>b a

定义域：}{a x a x ≤≤-值域：}{b y b x ≤≤- 长轴长=a 2，短轴长=2b

焦距：2c

准线方程：c

a x 2

±=

焦半径：

)

(2

1c

a x e PF +=，

)

(2

2x c

a e PF -=，

2

12PF a PF -=，c a PF c a +≤≤-1等（注意涉及焦半径①用点P 坐标表示，②第一定义。）

注意：（1）图中线段的几何特征：=11F A c a F A -=22，=21F A c a F A +=12 =11F B a F B F B F B ===122221 ，222122b a B A B A +==等等。顶点与准线距离、焦点与准线距

离分别与c b a ,,有关。

（2）21F PF ∆中经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．．将有关线段1PF 、2PF 、2c ，有关角21PF F ∠结合起来，

建立1

PF +2PF 、1

PF •

2PF 等关系

（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：⎩⎨

⎧θ

=θ

=sin cos b y a x ；

（4）注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上，请补充当焦点在y 轴上时，其相应的性质。 二、双曲线