北师大版数学必修二同步课件：第一章66.1 垂直关系的判定 (1)
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第一章 立体几何初步
二面角的求解问题 已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，求二面 角 C1BDC 的正切值． [解] 如图，连接 AC，与 BD 相交于点 O，连接 OC1. 由于 ABCD 是正方形，
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第一章 立体几何初步
所以 AC⊥BD，即 OC⊥BD. 又因为 C1B＝C1D，且 O 是 BD 的中点，所以 C1O⊥BD. 因此∠C1OC 就是二面角 C1BDC 的平面角． 在 Rt△C1CO 中，tan∠C1OC＝CO1CC， 而 C1C＝a，OC＝ 22a， 所以 tan∠C1OC＝ 2.
B．2 对 D．5 对
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第一章 立体几何初步
解析：选 D.因为 DA⊥AB，DA⊥PA，所以 DA⊥平面 PAB， 同理 BC⊥平面 PAB，又 AB⊥平面 PAD，所以 DC⊥平面 PAD， 所以平面 PAD⊥平面 AC，平面 PAB⊥平面 AC，平面 PBC⊥ 平面 PAB，平面 PAB⊥平面 PAD，平面 PDC⊥平面 PAD， 共 5 对．故选 D.
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第一章 立体几何初步
易错警示
对定理理解不透彻致误
设 α，β 为不重合的两个平面，给出下列说法： ①若 α 内的两条相交直线分别平行于平面 β，则 α 平行于 β； ②若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行，则 l 和 α 平行； ③设 α 和 β 相交于直线 l，若 α 内有一条直线垂直于 l，则 α 和 β 垂直； ④直线 l 与平面 α 垂直的条件是 l 与 α 内的两条直线垂直． 上面说法中正确的序号是______(写出所有的正确的序号)．
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③二面角的记法
第一章 立体几何初步
以直线 AB 为棱，半平面 α、β 为面的二面角，如图，记作： 二面角__α__-_A_B_-_β____．
④二面角的平面角
以 二 面 角 的 棱 上 _任__一__点__ 为 端 点 ， 在 两 个 半 平 面 内 分 别 作 _垂__直__于__棱_的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平
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第一章 立体几何初步
2．对面面垂直的判定定理的两点说明 (1)定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”，因此要证明平 面与平面垂直，只需在其中一个平面内找另一个平面的垂线， 即证“线面垂直”． (2)两个平面垂直的判定定理，不仅仅是判定两个平面垂直的 依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．
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第一章 立体几何初步
解：(1)选 D.因为 AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B， 所以 AD⊥平面 BCD. 又因为 AD 平面 ADC，
所以平面 ADC⊥平面 DBC. (2)证明：因为底面 ABCD 是菱形，所以 BD⊥AC. 因为 PA⊥底面 ABCD，BD 平面 ABCD，
所以 PA⊥BD.又 PA∩AC＝A，所以 BD⊥平面 PAC. 又因为 BD 平面 PBD，所以平面 PBD⊥平面 PAC.
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第一章 立体几何初步
证明：(1)因为 SA＝SC，D 是 AC 的中点，所以 SD⊥AC.在 Rt△ABC 中，AD＝BD，由已知 SA＝SB， 所以△ADS≌△BDS，所以 SD⊥BD. 又 AC∩BD＝D，所以 SD⊥平面 ABC. (2)因为 AB＝BC，D 为 AC 的中点， 所以 BD⊥AC.由(1)知 SD⊥BD， 因为 SD∩AC＝D，所以 BD⊥平面 SAC.
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第一章 立体几何初步
4．如图 P 是二面角 α-l-β 内的点，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别 为 A，B.若∠APB＝80°，则二面角 α-lβ 的大小为________．
答案：100°
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第一章 立体几何初步
1．对直线与平面垂直的判定定理的三点说明 (1)定理可表述为“线线垂直，则线面垂直”． (2)“两条相交直线”是关键词，一定不要忽视这个条件，否 则将导致结论错误．即“线不在多，相交就行”． (3)要证一条直线与一个平面垂直，只需在平面内找到两条相 交直线都和该直线垂直即可，不必找所有的直线，至于这两 条相交直线与已知直线是否有公共点无关紧要．
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第一章 立体几何初步
求二面角平面角的常用方法 (1)定义法：在二面角的棱上找一特殊点，过该点在两个半平 面内分别作垂直于棱的射线． (2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角 的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角 的平面角． (3)垂线法：过二面角的一个平面内一点作另一个平面的垂线， 过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或 其补角，此种方法通用于求二面角的所有题目，具体步骤为： 一找，二证，三求．
面角．
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第一章 立体几何初步
⑤直二面角：平__面__角__是__直__角__的二面角叫作直二面角． (2)平面与平面的垂直 ①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直__二__面__角__，就 说这两个平面互相垂直． ②画法：把表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水 平平面的平行四边形的横边垂直(如图)，
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第一章 立体几何初步
2．直线 l 与平面 α 内的两条直线都垂直，则直线 l 与平面 α
的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．在平面 α 内
D．无法确定
答案：D已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面(如图)，则图中互相垂 直的平面有( )
A．1 对 C．3 对
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第一章 立体几何初步
ECA 呢？
若本例条件不变，如何证明平面 DEA⊥平面
证明：因为 DM∥BN，BN⊥平面 ECA.所以 DM⊥平面 ECA. 又因为 DM 平面 DEA，所以平面 DEA⊥平面 ECA.
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第一章 立体几何初步
证明面面垂直的三种方法 (1)定义法． (2)判定定理法：在一个平面内找(或作)出一条直线，再证明 该直线与另一个平面垂直． (3)利用结论：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则 另一个也垂直于第三个平面．
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第一章 立体几何初步
3.如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每 条侧棱的长都是底面边长的 2倍，P 为侧棱 SD 上的点．
(1)求证：AC⊥SD； (2)若 SD⊥平面 PAC，求二面角 PACD 的大小．
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第一章 立体几何初步
解：(1)证明：连接 BD，设 AC 交 BD 于 O，连接 SO.由题意 知 SO⊥AC.在正方形 ABCD 中，AC⊥BD，又 SO∩BD＝O， 所以 AC⊥平面 SBD，得 AC⊥SD. (2)设正方形边长为 a，则 SD＝ 2a，又 OD＝ 22a，所以∠SDO ＝60°.连接 OP，由(1)知 AC⊥平面 SBD，所以 AC⊥OP，且 AC⊥OD，所以∠POD 是二面角 P-AC-D 的平面角．由 SD⊥ 平面 PAC，知 SD⊥OP，所以∠POD＝30°， 即二面角 P-AC-D 的大小为 30°.
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第一章 立体几何初步
(2)线面垂直的三种判定方法 ①用定义：证明 l 和平面 α 内任意一条直线都垂直． ②用定理：证明 l 与平面 α 内“两条相交”的直线都垂直， 即线线垂直⇒线面垂直． ③用推论：若 m⊥α，证明 l∥m，即可知 l⊥α.
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第一章 立体几何初步
1.如图，在△ABC 中，∠ABC＝ 90°，D 是 AC 的中点，S 是△ABC 所在平面 外一点，且 SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面 ABC； (2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC.
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第一章 立体几何初步
(2)取 AC 的中点 N，连接 MN，BN，则 MN∥═ CF. 因为 BD∥═ CF，所以 MN∥═ BD，所以 N∈平面 BDM.
因为 EC⊥平面 ABC，所以 EC⊥BN.又因为 AC⊥BN，EC∩ AC＝C，所以 BN⊥平面 ECA. 又因为 BN 平面 BDM，所以平面 BDM⊥平面 ECA.
第一章 立体几何初步
§6 垂直关系
6．1 垂直关系的判定
第一章 立体几何初步
1．直线与平面垂直的判定 (1)定义：如果一条直线和一个平面内的任__何__一__条__直线都_垂__直__， 那么称这条直线和这个平面垂直．
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第一章 立体几何初步
(2)直线与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
如果一条直线和一个平
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第一章 立体几何初步
2.(1)空间四边形 ABCD 中，若 AD⊥BC，BD
⊥AD，那么有( )
A．平面 ABC⊥平面 ADC
B．平面 ABC⊥平面 ADB
C．平面 ABC⊥平面 DBC
D．平面 ADC⊥平面 DBC
(2)如图，四边形 ABCD 是菱形，PA⊥平面
ABCD. 求证：平面 PBD⊥平面 PAC.
记作：__α_⊥__β__．
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第一章 立体几何初步
③两个平面互相垂直的判定定理
文字语言
图形语言
如果一个平面_经__过__另一个 平面的一条_垂__线__，那么这
两个平面互相垂直
符号语言 aa__⊥____β__α__⇒
α⊥β
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第一章 立体几何初步
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂 直于这个平面．( × ) (2)如果一条直线不垂直于一个平面，那么这条直线不垂直于 这个平面内的任意直线．( × ) (3)两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平 行．( × )
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第一章 立体几何初步
平面与平面垂直的判定 如图所示，△ABC 为正三角形，CE⊥平面 ABC，BD ∥CE，且 CE＝AC＝2BD，M 是 AE 的中点． (1)求证：DE＝DA； (2)求证：平面 BDM⊥平面 ECA.
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第一章 立体几何初步
[证明] (1)取 EC 的中点 F，连接 DF. 因为 CE⊥平面 ABC， 所以 CE⊥BC.易知 DF∥BC，所以 CE⊥DF. 因为 BD∥CE， 所以 BD⊥平面 ABC. 在 Rt△EFD 和 Rt△DBA 中， EF＝12CE＝DB，DF＝BC＝AB， 所以 Rt△EFD≌Rt△DBA. 故 DE＝DA.
面内的两条_相__交__直线 都_垂__直__，那么该直线与
此平面垂直
符号语言
__l⊥__a_ a ___a___∩lα⊥___，___bb___＝b____A______α
⇒l⊥α
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第一章 立体几何初步
2.平面与平面垂直的判定 (1)二面角及其平面角 ①半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成__两__部__分_， 其中的_每__一__部__分_都叫作半平面． ②二面角：从一条直线出发的两__个__半__平__面__所组成的图形叫作 二面角，这条直线叫作二面角的_棱__，这两个半平面叫作二面 角的_面__．
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第一章 立体几何初步
[解析] ①平面 α 内的两条相交直线分别平行于平面 β，则两 条相交直线确定的平面 α 平行于平面 β，正确． ②平面 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行，则 l 平行于 α， 正确． ③如图所示，α∩β＝l，a α，a⊥l，但不一
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第一章 立体几何初步
直线与平面垂直的判定 如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直 于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点， AN⊥PM，N 为垂足． (1)求证：AN⊥平面 PBM； (2)若 AQ⊥PB，垂足为 Q，求证：NQ⊥PB.
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第一章 立体几何初步
[证明] (1)因为 AB 为⊙O 的直径， 所以 AM⊥BM. 又 PA⊥平面 ABM，所以 PA⊥BM. 又因为 PA∩AM＝A，所以 BM⊥平面 PAM. 又 AN 平面 PAM，所以 BM⊥AN. 又 AN⊥PM，且 BM∩PM＝M，所以 AN⊥平面 PBM.
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第一章 立体几何初步
(2)由(1)知 AN⊥平面 PBM， PB 平面 PBM，所以 AN⊥PB. 又因为 AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以 PB⊥平面 ANQ. 又 NQ 平面 ANQ，所以 PB⊥NQ.
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第一章 立体几何初步
(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的“三个步骤” ①寻找：在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直． ②确定：确定这个平面内的两条直线是相交的直线． ③判定：根据判定定理得出结论．
第一章 立体几何初步
二面角的求解问题 已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，求二面 角 C1BDC 的正切值． [解] 如图，连接 AC，与 BD 相交于点 O，连接 OC1. 由于 ABCD 是正方形，
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第一章 立体几何初步
所以 AC⊥BD，即 OC⊥BD. 又因为 C1B＝C1D，且 O 是 BD 的中点，所以 C1O⊥BD. 因此∠C1OC 就是二面角 C1BDC 的平面角． 在 Rt△C1CO 中，tan∠C1OC＝CO1CC， 而 C1C＝a，OC＝ 22a， 所以 tan∠C1OC＝ 2.
B．2 对 D．5 对
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第一章 立体几何初步
解析：选 D.因为 DA⊥AB，DA⊥PA，所以 DA⊥平面 PAB， 同理 BC⊥平面 PAB，又 AB⊥平面 PAD，所以 DC⊥平面 PAD， 所以平面 PAD⊥平面 AC，平面 PAB⊥平面 AC，平面 PBC⊥ 平面 PAB，平面 PAB⊥平面 PAD，平面 PDC⊥平面 PAD， 共 5 对．故选 D.
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第一章 立体几何初步
易错警示
对定理理解不透彻致误
设 α，β 为不重合的两个平面，给出下列说法： ①若 α 内的两条相交直线分别平行于平面 β，则 α 平行于 β； ②若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行，则 l 和 α 平行； ③设 α 和 β 相交于直线 l，若 α 内有一条直线垂直于 l，则 α 和 β 垂直； ④直线 l 与平面 α 垂直的条件是 l 与 α 内的两条直线垂直． 上面说法中正确的序号是______(写出所有的正确的序号)．
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③二面角的记法
第一章 立体几何初步
以直线 AB 为棱，半平面 α、β 为面的二面角，如图，记作： 二面角__α__-_A_B_-_β____．
④二面角的平面角
以 二 面 角 的 棱 上 _任__一__点__ 为 端 点 ， 在 两 个 半 平 面 内 分 别 作 _垂__直__于__棱_的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平
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第一章 立体几何初步
2．对面面垂直的判定定理的两点说明 (1)定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”，因此要证明平 面与平面垂直，只需在其中一个平面内找另一个平面的垂线， 即证“线面垂直”． (2)两个平面垂直的判定定理，不仅仅是判定两个平面垂直的 依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．
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第一章 立体几何初步
解：(1)选 D.因为 AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B， 所以 AD⊥平面 BCD. 又因为 AD 平面 ADC，
所以平面 ADC⊥平面 DBC. (2)证明：因为底面 ABCD 是菱形，所以 BD⊥AC. 因为 PA⊥底面 ABCD，BD 平面 ABCD，
所以 PA⊥BD.又 PA∩AC＝A，所以 BD⊥平面 PAC. 又因为 BD 平面 PBD，所以平面 PBD⊥平面 PAC.
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第一章 立体几何初步
证明：(1)因为 SA＝SC，D 是 AC 的中点，所以 SD⊥AC.在 Rt△ABC 中，AD＝BD，由已知 SA＝SB， 所以△ADS≌△BDS，所以 SD⊥BD. 又 AC∩BD＝D，所以 SD⊥平面 ABC. (2)因为 AB＝BC，D 为 AC 的中点， 所以 BD⊥AC.由(1)知 SD⊥BD， 因为 SD∩AC＝D，所以 BD⊥平面 SAC.
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第一章 立体几何初步
4．如图 P 是二面角 α-l-β 内的点，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别 为 A，B.若∠APB＝80°，则二面角 α-lβ 的大小为________．
答案：100°
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第一章 立体几何初步
1．对直线与平面垂直的判定定理的三点说明 (1)定理可表述为“线线垂直，则线面垂直”． (2)“两条相交直线”是关键词，一定不要忽视这个条件，否 则将导致结论错误．即“线不在多，相交就行”． (3)要证一条直线与一个平面垂直，只需在平面内找到两条相 交直线都和该直线垂直即可，不必找所有的直线，至于这两 条相交直线与已知直线是否有公共点无关紧要．
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第一章 立体几何初步
求二面角平面角的常用方法 (1)定义法：在二面角的棱上找一特殊点，过该点在两个半平 面内分别作垂直于棱的射线． (2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角 的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角 的平面角． (3)垂线法：过二面角的一个平面内一点作另一个平面的垂线， 过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或 其补角，此种方法通用于求二面角的所有题目，具体步骤为： 一找，二证，三求．
面角．
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第一章 立体几何初步
⑤直二面角：平__面__角__是__直__角__的二面角叫作直二面角． (2)平面与平面的垂直 ①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直__二__面__角__，就 说这两个平面互相垂直． ②画法：把表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水 平平面的平行四边形的横边垂直(如图)，
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第一章 立体几何初步
2．直线 l 与平面 α 内的两条直线都垂直，则直线 l 与平面 α
的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．在平面 α 内
D．无法确定
答案：D已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面(如图)，则图中互相垂 直的平面有( )
A．1 对 C．3 对
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第一章 立体几何初步
ECA 呢？
若本例条件不变，如何证明平面 DEA⊥平面
证明：因为 DM∥BN，BN⊥平面 ECA.所以 DM⊥平面 ECA. 又因为 DM 平面 DEA，所以平面 DEA⊥平面 ECA.
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第一章 立体几何初步
证明面面垂直的三种方法 (1)定义法． (2)判定定理法：在一个平面内找(或作)出一条直线，再证明 该直线与另一个平面垂直． (3)利用结论：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则 另一个也垂直于第三个平面．
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第一章 立体几何初步
3.如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每 条侧棱的长都是底面边长的 2倍，P 为侧棱 SD 上的点．
(1)求证：AC⊥SD； (2)若 SD⊥平面 PAC，求二面角 PACD 的大小．
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第一章 立体几何初步
解：(1)证明：连接 BD，设 AC 交 BD 于 O，连接 SO.由题意 知 SO⊥AC.在正方形 ABCD 中，AC⊥BD，又 SO∩BD＝O， 所以 AC⊥平面 SBD，得 AC⊥SD. (2)设正方形边长为 a，则 SD＝ 2a，又 OD＝ 22a，所以∠SDO ＝60°.连接 OP，由(1)知 AC⊥平面 SBD，所以 AC⊥OP，且 AC⊥OD，所以∠POD 是二面角 P-AC-D 的平面角．由 SD⊥ 平面 PAC，知 SD⊥OP，所以∠POD＝30°， 即二面角 P-AC-D 的大小为 30°.
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(2)线面垂直的三种判定方法 ①用定义：证明 l 和平面 α 内任意一条直线都垂直． ②用定理：证明 l 与平面 α 内“两条相交”的直线都垂直， 即线线垂直⇒线面垂直． ③用推论：若 m⊥α，证明 l∥m，即可知 l⊥α.
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第一章 立体几何初步
1.如图，在△ABC 中，∠ABC＝ 90°，D 是 AC 的中点，S 是△ABC 所在平面 外一点，且 SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面 ABC； (2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC.
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第一章 立体几何初步
(2)取 AC 的中点 N，连接 MN，BN，则 MN∥═ CF. 因为 BD∥═ CF，所以 MN∥═ BD，所以 N∈平面 BDM.
因为 EC⊥平面 ABC，所以 EC⊥BN.又因为 AC⊥BN，EC∩ AC＝C，所以 BN⊥平面 ECA. 又因为 BN 平面 BDM，所以平面 BDM⊥平面 ECA.
第一章 立体几何初步
§6 垂直关系
6．1 垂直关系的判定
第一章 立体几何初步
1．直线与平面垂直的判定 (1)定义：如果一条直线和一个平面内的任__何__一__条__直线都_垂__直__， 那么称这条直线和这个平面垂直．
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第一章 立体几何初步
(2)直线与平面垂直的判定定理
文字语言
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如果一条直线和一个平
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第一章 立体几何初步
2.(1)空间四边形 ABCD 中，若 AD⊥BC，BD
⊥AD，那么有( )
A．平面 ABC⊥平面 ADC
B．平面 ABC⊥平面 ADB
C．平面 ABC⊥平面 DBC
D．平面 ADC⊥平面 DBC
(2)如图，四边形 ABCD 是菱形，PA⊥平面
ABCD. 求证：平面 PBD⊥平面 PAC.
记作：__α_⊥__β__．
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第一章 立体几何初步
③两个平面互相垂直的判定定理
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如果一个平面_经__过__另一个 平面的一条_垂__线__，那么这
两个平面互相垂直
符号语言 aa__⊥____β__α__⇒
α⊥β
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第一章 立体几何初步
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂 直于这个平面．( × ) (2)如果一条直线不垂直于一个平面，那么这条直线不垂直于 这个平面内的任意直线．( × ) (3)两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平 行．( × )
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平面与平面垂直的判定 如图所示，△ABC 为正三角形，CE⊥平面 ABC，BD ∥CE，且 CE＝AC＝2BD，M 是 AE 的中点． (1)求证：DE＝DA； (2)求证：平面 BDM⊥平面 ECA.
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第一章 立体几何初步
[证明] (1)取 EC 的中点 F，连接 DF. 因为 CE⊥平面 ABC， 所以 CE⊥BC.易知 DF∥BC，所以 CE⊥DF. 因为 BD∥CE， 所以 BD⊥平面 ABC. 在 Rt△EFD 和 Rt△DBA 中， EF＝12CE＝DB，DF＝BC＝AB， 所以 Rt△EFD≌Rt△DBA. 故 DE＝DA.
面内的两条_相__交__直线 都_垂__直__，那么该直线与
此平面垂直
符号语言
__l⊥__a_ a ___a___∩lα⊥___，___bb___＝b____A______α
⇒l⊥α
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第一章 立体几何初步
2.平面与平面垂直的判定 (1)二面角及其平面角 ①半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成__两__部__分_， 其中的_每__一__部__分_都叫作半平面． ②二面角：从一条直线出发的两__个__半__平__面__所组成的图形叫作 二面角，这条直线叫作二面角的_棱__，这两个半平面叫作二面 角的_面__．
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第一章 立体几何初步
[解析] ①平面 α 内的两条相交直线分别平行于平面 β，则两 条相交直线确定的平面 α 平行于平面 β，正确． ②平面 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行，则 l 平行于 α， 正确． ③如图所示，α∩β＝l，a α，a⊥l，但不一
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第一章 立体几何初步
直线与平面垂直的判定 如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直 于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点， AN⊥PM，N 为垂足． (1)求证：AN⊥平面 PBM； (2)若 AQ⊥PB，垂足为 Q，求证：NQ⊥PB.
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第一章 立体几何初步
[证明] (1)因为 AB 为⊙O 的直径， 所以 AM⊥BM. 又 PA⊥平面 ABM，所以 PA⊥BM. 又因为 PA∩AM＝A，所以 BM⊥平面 PAM. 又 AN 平面 PAM，所以 BM⊥AN. 又 AN⊥PM，且 BM∩PM＝M，所以 AN⊥平面 PBM.
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第一章 立体几何初步
(2)由(1)知 AN⊥平面 PBM， PB 平面 PBM，所以 AN⊥PB. 又因为 AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以 PB⊥平面 ANQ. 又 NQ 平面 ANQ，所以 PB⊥NQ.
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(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的“三个步骤” ①寻找：在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直． ②确定：确定这个平面内的两条直线是相交的直线． ③判定：根据判定定理得出结论．