基于有向图的二维约束求解算法研究
二维全约束优化算法的研究
１＝ ，此 时该 图形只能整 体 平 动 ，故认 为 该 图形 为满 约束 ４２ 图形 。在后续的单环之 间的约束求 解中 ，可 以进一步将该 图 形进行整体平移或旋转 。 为 了便 于求解 ，我 们用有 向图Ｇｖ．Ｔ 形式来描 述 图形 Ｃ）
的拓扑结构 。其中Ｖ ｛ ｄ ｔ ，、 ＝ ｖ ｏ｝ ， ． ， ｝ 是Ｇ的组成元 素．ｏ． 元 ｄｆ 是该 素 的剩余 自由度 ；ＣＴ 是Ｖ相关约束 的集合 。Ｃ ＝ ｊ Ｔ ｛ 。
【 ｙｗｏ ｄ 】Ｇｅ ｍｅｒｃ ｏ ｓｒ ｉ ｔ Ｋｅ ｒ ｓ ｏ ｔｉ ｃ ｎ ｔａ ｎ ：Ｎｏ — ｉ ｃｅ ｒ ｐ ｎ ｄ ｒ ｔｄｇ ａ ｈ：Ｄ ｒｏｅ ｒ ｐ ｅ ｉｃ ｔｄｇ ａ ｈ：Ｄ ｇ ｅ ｆ ｒ ｅ ｏ ｅ ｒ ｅ ｆ ｅｄ ｍ ｏ
Ｅ前 ，参 数化 设计 方法在Ｃ ｌ ＡＤ技术领 域的应 用越来 越
为构成 拓扑结构 的几何要素和表 面轮廓要素． 可导 出各 形状 结构 的位置和形状参 数 ，从而 形成参数 化的产品几何模型 。 目前 ，约束 求解算法主要有两种 ：一种是代数法 ，即将
Ｗ ＡＮＧ Ｇａ ｇ，Ｊ ＡＮＧ Ｈｏ ｇ ｈ ｎ，ＹＵ ｒ ｎ，ＺＨＡＯ ａ ｓ ｅ ｎ ｌ ｎ ｃｅ Ｄａ ｅ Ｗ ｎ ｈ ｎｇ
ｆ ｔ ｒ ｉ ｅ ｓ ｙｏ ｃ ｎ ｌｇ Ｈａ ｂ ｎ １ ０ ０ ａ ｂｎ Ｕｎ ｒｉ ｆ Ｔｅｈ ｏ ｙ， ｒ ｉ ５ ０ １） ｌ ｔ ｏ 【 ｓ ｒ ｃ 】 Ｂ ｓ ｄ ｏ ｎ ｌｚｎ ｈ ｒｔ ａ ｄ ｆ ｕ ｔ ｉ ｔ ｅ ｇ ｏ ｔｉ ｅ ｎ ｔａｎ ａ ｉｆｃｉ ｎ ａ ｇ ｒｔ ｍ ｆｒ ｔ ｅ ｐ ｅｅ ｔ ｈｓ ａ ｔ ｌ ｐ ｔ Ａｂ ｔａ ｔ ａ ｅ ｎ ａ ａｙ ｉ ｇ ｔ ｅ ｍｅ ｉ ｎ ａ ｌ ｎ ｈ ｅ ｍｅｒｅ ｏ ｓｒ ｉ ｔ ｔ ａ ｔ ｌ ｏ ｉ ｏ ｈ ｒ ｓ ｎ ，ｔ ｉ ｒｉ ｅ ｕｓ ｓ ｓ ｓ ｓ ｏ ｈ ｅ
求解有界约束二次规划问题神经网络模型的收敛性分析
2003年9月系统工程理论与实践第9期 文章编号:100026788(2003)0920098207求解有界约束二次规划问题神经网络模型的收敛性分析李有梅1,2,彭济根1,徐宗本1(1.西安交通大学理学院信息与系统科学研究所,陕西西安710049;2.山西大学计算机科学系,山东太原030006)摘要: 通过深化L asalle 不变原理,建立了判别一般动力系统全局收敛性的一个准则.应用这一准则,详尽研究了一个求解有界约束二次规划问题神经网络的全局收敛性,给出了当目标函数为一类非凸函数时的全局收敛性条件.特别地利用常微分方程理论,证明了该网络对任意凸函数全局收敛性,所获结果深化和推广了现有文献相关结论的相应结论.这些新的结论都表明了该神经网络在求解有界约束二次规划问题时的有效性.数值模拟与理论分析结果一致.关键词: 神经网络;二次优化;全局收敛;平衡点中图分类号: T P 18 文献标识码: A Convergence A nalysis of a N eu ral N etw o rkfo r Q uadratic Op ti m izati on w ith Bound Con strain tsL I You 2m ei 1,2,PEN G J i 2gen 1,XU Zong 2ben1(1.In stitu te fo r Info rm ati on and System Science ,Schoo l of Science ,X i’an J iao tong U n iversity ,X i’an 710049,Ch ina ;2.D epartm en t of Compu ter Science ,Shanx i U n iversity ,T aiyuan ,030006,Ch ina )Abstract : In th is paper ,w e p resen t a general p rinci p le by sharpen ing lasalle invariance p rinci p le tojudge the convergence of a dynam ic system .Based on th is ,T he global convergence of a neu ral netw o rkfo r quadratic op ti m izati on w ith bound con strain ts is studied in detail ,and som e new conditi on s are ob 2tained on w h ich the neu ral netw o rk can be guaran teed to be globally convergen t fo r a non 2convex ob jec 2tive functi on .Specially u sing o rdinary differen tial equati on theo ry ,the global convergence of the neu ralnetw o rk is p roved w hen ob jective functi on is convex ,th is conclu si on generalizes and deepen s the co rre 2sponding resu lts ob tained in cu rren t literatu ress.A ll these new resu lts show the validity of the netw o rk in so lving quadratic op ti m izati on w ith bound con strain ts.F inally ,tw o num erical examp les are given to demon strate the co rrectness of the theo retical resu lts.Key words : neu ral netw o rk ;quadratic op ti m izati on ;global convergence ;equ ilib rium po in t收稿日期:2001204226资助项目:国家自然科学基金(69975016) 作者简介:李有梅(1965-),女,汉族,山西大同人,副教授,博士研究生,主要研究方向是神经网络和演化计算;徐宗本(1955-),男,汉族,博士生导师,主要研究方向是神经网络和演化计算1 引言考虑有界约束二次规划问题m in{E (x )=12x T Q x -x T q :x ∈8<R N }这里约束集8={(x 1,x 2,…,x N )T ,x i ∈[a i .b i ]}.这类问题广泛出现在科学与工程领域中,例如,机器人运动实时控制问题,就可以描述为对时变的如上二次规划问题的求解Λ神经网络的快速求解能力及其硬件可实现性使之成为求解此类问题的有效方法[1,2].如何有效地求解该类问题一直受到人们的普遍关注.近年来,对求解该类问题的神经网络方法研究异常热烈,且已经取得一系列主要成果.例如,[3-5]提出了基于罚函数法和拉格朗日乘子法的神经网络模型,这些模型虽然具有处理问题广泛的优点,但不保证所生成解的可行性Λ文献[6-8]相继提出并研究下述模型:Σd x d t=-x +P 8(x -ΑQ x +Αq )(1)其中,Σ=diag (Σ1,Σ2,…,Σn ),Α=diag (Α1,Α2,…,Αn )为两个参数正对角矩阵,Q 是N 阶对称矩阵.模型中激活函数P 8(u )=(g 1(u 1),g 2(u 2),…,g n (u n ))T 定义为:g i (x i )=a i , if u i <a ix i , if a i Φu i Φb i ,b i , if b i <u i .u =(u 1,u 2,…,u N )T ,u i 是神经元i 的内部状态变量,x i =g i (u i )是神经元i 的输出状态变量Λ容易看到函数P 8(u )是R N →8上的投影算子,而且由于8是凸集,向量-x +P 8(x -ΑQ x +Αq )是所给二次规划问题的一个可行搜索方向.所以模型(1)可理解作可行下降优化方法的神经网络实现,故它必然保证模型求得问题的可行解.另外,与基于梯度下降法和罚函数法所设计的模型相比,模型(1)在硬件实现上也具有显著优点Λ本文将主要研究神经网络模型(1)的全局收敛性质.熟知,神经网络的全局收敛性是神经网络可用于求解优化问题的前提,它保证从任何初始点起始,网络可正确输出问题的一个可行解.在文献[6,7]中,作者证明了在Q 为对称正定情形模型(1)具有全局指数收敛性,以及在半正定情形下的拟收敛性.但在Q 半正定或不定情形,对网络的全局收敛性没有获得任何有用的结论Ζ注意到,Q 正定对应于目标函数E (x )是一致凸函数,而Q 半正定推出E (x )是一般的凸函数,所以澄清在Q 半正定情形网络(1)的全局收敛性有重要意义与应用价值.本文将通过对L asella 不变原理的深化,建立在一般情形下模型(1)全局收敛的充分性条件,并特别证明在半正定情形模型(1)的全局收敛性Λ所获结果将不仅从理论上推广[6-8]的工作,而且将揭示模型(1)作为求解有界约束二次规划问题算法的可行性与有效性.本文安排如下:第二节我们给出一个收敛判别准则;在第三节中具体给出模型(1)的收敛性分析;第四节给出模型(1)在正半定情形下的收敛性证明;第五节通过模拟实例解释网络的性能,最后在第六节总结全文Λ2 一个一般的收敛性判别准则为了后面准确地表述和理解,我们先确认相关的概念与定义Λ考虑一般的自治系统:d x d t=F (x ), x ∈8<R N(2.1) 我们知道,任意给定初始点x 0,当F (x )是局部L i p sch itz 函数时,系统(2.1)存在唯一的解x (t ,x 0)Λ解x (t ,x 0)也常被称作是一条通过点x 0轨线,记为#(x 0).如果存在点x 3满足F (x 3)=0,称x 3是系统(2.1)的平衡点,(2.1)的全体平衡点的集合记为F -1(0)Λ对于8的一个子集D ,如果x 0∈D 保证#(x 0)∈D ,则称D 为系统的一个不变集Λ点xθ称为是#(x 0)的一个Ξ极限点,是指存在一个子序列{t i }使得x θ=li m i →∞x (t i ,x 0).所有的Ξ极限点组成(2.1)的Ξ极限集,记为Ξ(#(x 0)),已熟知,Ξ极限集是系统的不变集Λ涉及优化问题求解时,我们主要关心的是相应系统的全局收敛性Λ下面给出这一概念的一个准确定义: 定义1 若对任意的x 0∈8,轨线x (t ,x 0)当t →∞时都有极限x 3(x 0),则称系统(2.1)关于8是全局收敛的;若对(2.1)的某个不变子集M ,x (t ,x 0)与集合M 的距离当t →∞时趋于零,则称(2.1)为拟收敛的Λ 根据上述定义,一个全局收敛的神经网络必然保证该网络对任何初值收敛(通常收敛极限点正给出所求解问题的解),但对不同的初值,其收敛极限可以不同.另外,一个拟收敛的网络可以本身是振荡的,因而可以不收敛.应用中,人们自然希望有一个准则能判定一个系统的收敛性.下述L asalle 不变原理提供了这种判定的理论基础Λ La sa lle 不变原理 设D 是一个有界闭集且从D 内出发的(2.1)的解x (t ,x 0)∈D .又设存在一个函数E (x ):D →R ,它具有一阶连续偏导数,且使得:99第9期求解有界约束二次规划问题神经网络模型的收敛性分析E α(x (t ))=d E (x (t ,x 0))d t Φ0记E 0={x , E α(x )=0,x ∈D },则存在常数c 使得Ξ(#(x 0))ΑM ∩E -1(c ),且x (t ,x 0)拟收敛到M .这里M 是包含在E 0中的最大不变子集,E -1(c )={x :E (x )=c }. 函数E (x )称为系统(2.1)的能量函数,它沿着轨线x (t ,x 0)的导数非正,函数值是不增的Λ如果E α(x (t )) x 3=0,当且仅当x 3∈F -1(0),称E (x )为系统(2.1)的严格能量函数ΛL asalle 不变原理虽然提供了系统(2.1)的Ξ极限集的定位信息,断定了系统(2.1)的拟收敛性,但对轨线的收敛性却没有给出任何具体结论.即使在拟收敛的情形下,轨线仍有可能是震荡的Λ以下我们将深化L asalle 不变原理,以得到系统(2.1)的收敛性结论Λ以下我们用<.,.>表示通常的内积,而用∃E (x )表示E (x )在x 处的梯度. 定理1 若自治系统(2.1)对任意初始点x 0存在唯一有界解x (t ,x 0),并满足条件:1) 系统有一个严格的能量函数;2) 集合F -1(0)∩Ξ(#(x 0))的元素 F -1(0)∩Ξ(#(x 0)) 为至多可数无穷;则x (t ,x 0)必收敛到(2.1)的一个平衡点Λ证明 由条件(1)和L asalle 不变原理,我们知道,Ξ(#(x 0))ΑF -1(0)Λ因此,我们只需证明Ξ(#(x 0))是单点集即可Λ采用反证法Λ记x (t ,x 0)=(x 1(t ),x 2(t ),…,x N (t ))T Λ假设至少存在两个元素x 13,x 23∈Ξ(#(x 0))且它们至少有一个分量不同.记x 13=(x 131,x 132,…,x 13N )T ,x 23=(x 231,x 232,…,x 23N )T .且不妨设它们的第一个分量不相等,x 131≠x 231.由极限点的定义可知,存在两个子列{t i },{s i },使得li m i →∞x (t i ,x 0)=x 13,li m i →∞x (s i ,x 0)=x 23,x 1(t i )→x 131,且x 1(s i )→x 231(当i →∞).对任意的Κ∈(0,1),令x 1Κ3=Κx 131+(1-Κ)x 231.由于x (t ,x 0)是连续的,根据介值定理,存在子列Χi 1∈(m in (t i ,s i ),m ax (t i ,s i )),当Χ1i 足够大时,有x 1(Χ1i )=x Κ31,当然有li m i →∞x (Χ1i ,x 0)=x Κ31.对于{Χi 1},由于x (t ,x 0)是有界的,所以x 2(t )有界,当然x 2(Χ1i )有界,故必有Χ1i 的子列Χ2i ,使得x 2(Χ2i )→a ,(i →∞).令x Κ32=a .同理,对x 3(t ),x 4(t ),…,x N (t )逐步抽取收敛子列,并记它们的极限分别为x Κ33,x Κ34,…x Κ3N ,最终我们得到一子列{ΧN i }且x (ΧN i ,x 0)→x Κ3=(x Κ31,x 2Κ3,…,x Κ3N )Λ这表明,对任何Κ∈(0,1),x Κ3都是一个极限点Λ由于x 131≠x 231,且Κ是任意的,故x Κ3有无穷多个.这推出Ξ(#(x 0))包含有不可数个元素,与条件2)矛盾Λ(证毕)定理1是一个一般的全局收敛性判别准则.针对具体的模型(1),我们将在以下几节应用定理1得出它的若干具体的收敛性结论.3 模型(1)的收敛性分析:不定情形本节我们应用上述定理1证明在Q 不定情形下模型(1)的若干收敛性定理.首先我们注意到,投影算子P 8(x )具有下述的性质:‖(P 8(x )-P 8(y )‖2Φ〈(P 8(x )-P 8(y )),(x -y )〉Φ‖x -y ‖2该性质推出P 8(x )是L i p sch itz 连续的,从而模型(1)对任意x 0存在唯一解x (t ,x 0).我们需要下述几个引理:引理1 8是模型(1)的不变集,即对于任何x 0∈8,轨线x (t ,x 0)∈8.证明见[6].引理2 若矩阵Q 满足下述条件C :则模型(1)在8内有且仅有有限个平衡点ΛC : Q 的任意阶主子矩阵非奇异,或下述任一子条件C 1-C 4满足. C 1:‖I -Q ‖<1; C 2: Q ii >m ax 6Nj =1Αi Αj 3 Q ij ,6N j =1Αi Αj 3 Q j i; C 3:Q 或-Q 是非奇异的M 矩阵; C 4:Q 或-Q 是正定矩阵;001系统工程理论与实践2003年9月证明 由于P 8(x -ΑQ x +Αq )显然是映8入自身的连续映射,且8是有界闭凸集,故依熟知的B rouw er 不动点定理,它在8内必存在不动点,从而系统(1)有平衡点存在.下证这样的平衡点只有有限个.我们首先给出8的k 2维面的定义:给定指标集合I k ={i 1,i 2,…,i k },8的一个k -维面定义为:8I k ={(x 1,x 2,…,x N ) Πi ∈I k ,x i =a i o r b i ;Πi ∈N I k ,a i <x i <b i }亦即8I k 中恰有k 个分量固定为端点值Λ显然8的k 2维面的个数是有限的,且k 可取值为0,1,…,N -1.为了证明系统(1)有有限个平衡点,我们以下证明在每个k 2维面上系统(1)最多只有一个平衡点Λ假设不然,在某一个k 2维面8I k 上系统(1)有两个平衡点x 31=(x 311,x 312,…,x 31N )和x 32=(x 321,x 322,…,x 32N ).于是由平衡点的定义,我们有:对于任何i ∈I k ,x 31i =x 32i ;而对于任何i ∈N I k ,x 31i =P 8(x 31i -(ΑQ )i x 31-Αi q i )x 32i =P 8(x 32i -(ΑQ )i x 32-Αi q i )且必存在i 0使得x 31i 0≠x 32i 0.注意到a i <x 31i ,x 32i <b i 以及投影算子的性质,我们于是得出x 31i =(x 31i -(ΑQ )i x 31-Αi q i )x 32i =(x 32i -(ΑQ )i x 23-Αi q i )这里(ΑQ )i 是矩阵ΑQ 的第i 行Λ令J k =N I k ,则上述方程可统一写成矩阵表达式:(ΑQ )J k ×J k (x 31-x 32)J k =0其中(ΑQ )J k ×J k 表示ΑQ 的J k 阶主子式,且(x 31-x 32)J k 是由与J k 中指标相应的(x 31-x 32)中的分量组成的.显然(x 31-x 32)J k ≠0,上式推出(ΑQ )J k ×J k 是奇异的,此与条件C 相矛盾Λ所以引理2结论成立Λ至于条件C 1,C 2,C 3,C 4成立的情形,我们只需验证它们都蕴含条件C 成立.事实上,因为任一主子矩阵的模都不会超过矩阵本身的模,若矩阵I -Q 的模小于1,则Q 是非奇异的.所以C 1蕴含条件C .对于C 2,可以利用矩阵的盖尔园性质验证,此时Q 的任意主子矩阵都没有零特征值,当然是非奇异的.另外,直接依据M 矩阵与正定矩阵的性质,可验证C 3,C 4均蕴含条件C 成立.(证毕)引理3 模型(1)存在严格的能量函数.证明 记y (t )=x (t )-ΑQ x (t )+Αq ,并令E (x )=1 2x T Q x -x T q .则对任意x 0∈8,由引理1知,x (t ,x 0)∈8,从而对轨线上的任一点x 有x =P 8(x ).对E (x )沿轨线x (t ,x 0)的求导可得:d E (x )d t =〈∃E (x ),d x d t〉=〈Α(Q x -q ),Α-1Σ-1(-x +P 8(x -ΑQ x +Αq )〉=〈Α-1Σ-1(P 8(x -ΑQ x +Αq )-P 8(x )),-(x -ΑQ x +Αq )+x 〉=-6Ni =11Αi Σi (g i (y i )-g i (x ))(y i -x i )Φ-m in i1Αi Σi ‖P 8(x -ΑQ x +Αq )-P 8(x )‖2=-m in i1Αi Σi ‖P 8(x -ΑQ x +Αq )-x ‖2Φ0上式即说明:E (x )是系统(1)的一个严格能量函数.(证毕) 由上述引理1-引理3和定理1,我们立即可得下述有关模型(1)的基本收敛性定理:定理2 当Q 满足条件C 或(C 1-C 4),模型1是全局收敛的.定理2的意义在于:它根据问题约束集合本身的特性,给出了模型(1)全局收敛的一般性条件.它不仅包含了已有的有关Q 正定情形模型(1)的收敛性结论的结论,而且它也给出了Q 不定情形下(既非正定,也非负定)模型(1)的收敛性的新结论.然而,值得注意的是,定理2不适用于Q 为半正定(即E (x )为一般凸函数)的情形.我们将在下一节对此作专门分析.4(1)101第9期求解有界约束二次规划问题神经网络模型的收敛性分析这一节中我们将证明如下基本定理Λ定理3 假设矩阵Q 半正定,则模型Σd x (t )d t =-x (t )+P 8(x (t )-ΑQ x (t )+Αq )(4.1)对任何Σ>0是全局收敛的.证明 由引理3,系统(4.1)有一个严格的能量函数,因此系统的极限点都是平衡点.设x 3是轨线的任一极限点.即存在子列{t i }使得li m t i →∞x (t i ,x 0)=x 3.x 3=P 8(x 3-ΑQ x 3+Αq ).记y 3=x 3-ΑQ x 3+Αq ,y (t )=x (t )-ΑQ x (t )+Αq ,利用微分方程理论则有:Σd (x (t )-x 3)d t=-(x (t )-x 3)+(P 8(y )-P 8(y 3))x (t )-x 3=e-Σ-1(t -s )(x (s )-x 3)+Σ-1e -Σ-1t ∫t s e Σ-1Γ(P 8(y (Γ))-P 8(y 3))d Γ‖x (t )-x 3‖Φe-(t -s )Σ‖x (s )-x 3‖+e -t Σ∫t s e ΓΣ‖P 8(y (Γ))-P 8(y 3)‖d Γ(4.2)下面我们证明li m t →∞‖P 8(y (t ))-P 8(y 3)‖=0Λ考虑E (y (t ))=6Ni =1Σ∫y i y i 3[g i (s )-g i (y 3i )]d sg i (y )是一个非降的函数,显然E (y 3)=0,E (y (t )Ε0,且连续有下界.计算E (y )关于系统(4.1)的导数可得:d E (y (t ))d t =〈∃E (y ),d y d x 3d x d t 〉=〈Σ(P 8(y )-P 8(y 3)),(I -ΑQ )Σ-1(-x +P 8(y ))〉=〈P 8(y )-P 8(y 3),Σ(I -ΑQ )Σ-1(-x +P 8(y ))〉=-〈P 8(y )-P 8(y 3),(I -ΑQ )(x -x 3-(P 8(y )-P 8(y 3))〉=-〈P 8(y )-P 8(y 3),y -y 3〉+〈P 8(y )-P 8(y 3),(I -ΑQ )(P 8(y )-P 8(y 3))Φ-〈P 8(y )-P 8(y 3),P 8(y )-P 8(y 3)〉 +〈P 8(y )-P 8(y 3),(I -ΑQ )(P 8(y )-P 8(y 3)〉=-〈P 8(y )-P 8(y 3),ΑQ (P 8(y )-P 8(y 3))〉Φ0 在上面的推导中,我们应用了Q 的半正定性和Σ(I -ΑQ )=(I -ΑQ )Σ.上式说明E (y )是单调下降的,从而极限li m t →∞E (y )存在,进而由于x 3是x (t ,x 0)的一个极限点,我们得出li m t →∞E (y (t ))=li m t i →∞E (x (t i ,x 0)-ΑQ x (t i ,x 0)+Αq )=E (y 3)=0.另外,由g i (x )的定义,不难验证对任何i ,都有∫x x 0(g i (t )-g i (x 0))d t Ε12(g i (x )-g i (x 0))2所以由E (y )的定义有0Φ12Σ‖(P 8(y )-P 8(y 3))‖2ΦE (y )于是我们得出li m t →∞‖P 8(y )-P 8(y 3)‖2=0即li m t →∞‖P 8(y )-P 8(y 3)‖=0.于是存在T >0,使得当t ΕT 时,有‖P 8(y )-P 8(y 3)‖ΦΕ当s ΕT 时,由(4.2)式就推出:‖x (t ,x 0)-x 3‖Φe -(t -s )‖x (s ,x 0)-x 3‖+e -t Σ3Εt s e ΓΣd Γ201系统工程理论与实践2003年9月Φe -(t -s )Σ‖x (s ,x 0)-x 3‖+Ε3[1-e -(t -s ) Σ]0Φli m t →∞sup ‖x (t ,x 0)-x 3‖ΦΕ因为Ε可以任意小,li m t →∞‖x (t ,x 0)-x 3‖=0由极限的唯一性,这即推出模型(4.1)对任何x 0∈8是收敛的.(证毕)上述定理3将[6]中有关模型(1)对一致凸函数的收敛性推广到了对普通凸函数的收敛性.5 数值模拟虽然我们在前两节中证明了模型1的全局收敛性,但网络的平衡点并不一定是优化问题的最优解.为了澄清这一问题,我们引入Xu 等人在文献[1]中提出的正则性,正规性和完备性的概念如下:定义2 设83是优化问题的最优解集,8e 是相应的神经网络模型的平衡点的集合,若83<8e 则称网络是正规的.若83=8e ,称网络是正则的.若两者相等,就称模型是完备的.根据上述定义,一个正规的网络可保证其求解优化问题的可靠性(因为它的全局最优解必然在网络的平衡态中);一个正则的网络保证其求解优化问题的有效性(因为网络的每一个平衡态都给出优化问题的一个解);而一个完备的网络则可保证该网络既有效又可靠地用于求解优化问题.依据上述概念,[6]证明了模型(1)对于任意凸函数的完备性以及对于任何非凸函数的正规性.于是,从定理2与3推出:对于Q 是正定或半正定的情形,模型(1)必然能有效可靠的用于求解有界二次规划问题的全局最优解.而对于Q 不定情形,尽管模型(1)是全局收敛的,但不一定每次必然找到问题的全局最优.下述例1和例2分别模拟了以上两种情形.图1(a)图1(b )图1 不定情形下系统变量和目标函数演化图求解问题m in E (x )=1 2x T Q x -x T q :x ∈8=[-1 1]n.例1 考虑Q =6861823463331352和q =(9,6,4,1)T 的情形.此时,Q 为不定情形.有两个平衡点(-0.6667,1,1,-1)T 和(1,-1,-0.6667,1)T ,对应的目标函数值分别是-11.3333和-10.8333.在图1(b )中,通过随机产生100个初始点,可以看到轨线都是收敛的,这和定理2的结论相吻合.其中,有42次收敛到非最优解的情形.见图1(a ),图1(b ).301第9期求解有界约束二次规划问题神经网络模型的收敛性分析例2 考虑Q=2-20-220002和q=(0,0,1)T的情形.容易验证Q是半正定的.最优解集合{x x1=x2,x3=0.5}.最优目标函数值是0.25.随机产生初始点,观察轨线的演化过程.试验表明定理3的正确性.(图2)给出两种运行实例.图2(a)图2(b)图2 半正定情形下系统变量和目标函数演化图从以上两个例子可以看出,对于任何的凸函数E(x)(即Q半正定),模型(1)确能可靠有效地求出问题的全局最优解.而对于不定情形,虽然模型(1)不能百分之百保证求出问题的最优解,如例1中,有44%的可能收敛到非全局最优解,但仍有相当大的概率求出问题的全局最优解.这一模拟结果,不仅与本文的理论分析一致,也说明了模型(1)确实不失为一种非常好的求解有界二次规划问题的神经网络算法.6 结论本文详尽研究了求解有界二次规划问题投影型神经网络的收敛性,通过深化L asella不变原理,建立了一个一般性的判别系统全局收敛性的判别准则.具体应用到模型(1),我们获得了其全局收敛的一系列充分条件.特别的,对于在半正定情形下所获结果推广了近期文献[6,8]的相应结论.所有的这些新的结论都表明了模型(1)在求解有界约束二次规划问题的有效性.模拟实例也表明了这一点.参考文献:[1] Xu Z B,H u G Q,Kw ong C P.A symm etric hopfield2type netw o rk s:theo ry and app licati on s[J].N eu ral N etw o rk s,1996,9(3):483-501.[2] Xu Z B,Kw ong C P.A ssociative m emo ries[A],ed.by C.T.L eondes,N eu ral N etw o rk s:T echn iques and A pp lica2ti on s[C].N ew Yo rk:A cadem ic P ress,1998.183-258.[3] X ia Y S.A new neu ral netw o rk fo r so lving linear and quadratic p rogramm ing p rob lem s[J].IEEE T ran sacti on s onN eu ral N etw o rk s,1996,7(6):1544-1547.[4] Zhang X S,Con stan tin idesA G.L agrange p rogramm ing neu ral netw o rk[J].IEEE T ran sacti on s on C ircu its and Sys2tem s,1992,39(7):441-452.(下转第128页) 上面网络割矩阵中的常数项列全部为1,共16个,即得到16个割集Ζ割矩阵下边的数字是各弧所对应的弧容量Ζ网络割矩阵第一行对应的割集的割容量为3+5=8;第二行对应的割集的割容量为5+2=7;以此类推,可得他们的割容量8,7,11,13,9,7,16,9,10,15,11,6,14,13,5,10Ζ取m in {8,7,11,13,9,7,16,9,10,15,11,6,14,13,5,10}=5即网络图的最小割容量为5,故该网络图的最大流为5Ζ而割容量5所对应的为第19个方程,割集是由V 1流向Vϖ1的弧为(v s ,v 1),(v 2,v 4),故V 1的点集由{v s ,v 2}组成,V ϖ1的点集由{v 1,v 3,v 4,v t }组成Ζ5 结束语在实际计算时,网络中点集V 1与点集V ϖ1内部存在不相关联的点,此割集的容量可以不计算,因为这类割集的弧包含其他割集的弧(指从点集V 1到点集Vϖ1上的弧)Ζ因此计算还可简便Ζ如上例中点集V 1分别为{v s ,v 2,v 3,v 4},{v s ,v 1,v 3,v 4},{v s ,v 3,v 4},{v s ,v 2,v 3,v 4},{v s ,v 2,v 3},{v s ,v 1,v 4},{v s ,v 4},{v s ,v 3},他们分别对应于方程(7),(8),(11),(13),(14),(17),(18)Ζ在这些割集中,点集V 1与点集Vϖ1内部没有关联的点,因此在计算时可以不考虑这些方程Ζ参考文献:[1] 甘应爱,田丰,等.运筹学[M ].北京:清华大学出版社,1999.[2] 邹豪思,王远志.网络最大流的矩阵算法[J ],内蒙古大学学报,2001,32(4):466-469.[3] 宁宣熙.网络最大流的图单纯形解法[J ].南京,南京航空航天大学学报,1996,28(5):626-630.[4] 卢向华,侯定丕,魏权龄.运筹学教程[M ].北京,高等教育出版社,1991.(上接第104页)[5] W u X Y ,et al .A h igh 2perfo rm ance neu ral netw o rk fo r so lving linear and quadratic p rogramm ing p rob lem s [J ].IEEE T ran sacti on s on N eu ral N etw o rk s ,1996,7(3):643-651.[6] L iang X B ,W ang J .A recu rren t neu ral netw o rk fo r non linear op ti m izati on w itha con tinuou sly differen tiab le ob jec 2tive functi on and bound con strain ts [J ].IEEE T ran sacti on s on N eu ral N etw o rk s ,2000,11(6):1251-1262.[7] L iang X B .A comp lete p roof of global exponen tial convergence ofneu ral netw o rk fo r quadratic op ti m izati on w ithbound con strain ts [J ].IEEE T ran sacti on s on N euarl N etw o rk s ,2001,12(3):636-639.[8] Bouzerdoum A ,Pattison T R .N eu ral netw o rk fo r quadratic op ti m izati on w ith bound con strain ts [J ].IEEE T ran sac 2ti on s on N eu ral N etw o rk s ,1993,4(2):293-303.[9] X ia Y S ,W ang J .O n the stab ility of globally p ro jected dynam ical system s [J ].Jou rnal of Op ti m izati on T heo ry andA pp licati on s ,2000,106:129-150.[10] X ia Y S ,W ang J .A generalm ethodo logy fo r design ing globally convergen t op ti m izati on neu ral netw o rk s [J ].IEEET ran sacti on s on N eu ral N etw o rk ,1998,9(6):1331-1343.[11] Zhang X S .N eu ral N etw o rk in Op ti m izati on [M ].K luw er A cadem ic Pub lisher ,2000.。
运营路线问题模型及算法研究
ｌｌ ，ｌ Ｉｍｎ ， 单位时间， ≤ＹＩ≤ ， ｉ 为 ａ ｌ ｔ Ｉ 。 Ｒ ∑，
若 ｑＣＩ≠ｑＣ ） （ｌ ≤
’
（ Ｙ为任一实数）则 Ｇ中有一 个新权 值 ， ， 对新权值有 向图进行 负 圈检查 ， 可能 出现如下ｉ种情况（ ０） ￡＞ ： 情 形 １ 新 权 值有 向 图 中有 负有 向 圈 ： 在有 向圈 Ｃ 足 ： 存 满
∑ ∑ ＜ ， ｍｎ ＿ ， ０ｔ ｉ ￣ 专 Ｊ ｌ 这说明 太大， 缩小九再进行负有向圈 ，
设 ∑ ＞ ・ ａ一ｔ ｏ令 ０Ｌ ，
ＩＣ）ｑ ：Ｉ ｑ １ （ ）‘ （ ～Ｃ ＞
个， 不妨设边 （ ｊ上赋利润值 为Ｐ． ｉ） ， ． ， 旅行所需 时间为Ｔ 假设货轮
可 自由地按任意顺序访 问图中任意港 口城市 。从 港 口ｉ 到港 口ｉ 可赚取 ｐ美元利润 ， ｉ ． 但需要 ｌ ｉ ｉ 的时间（ 包括在 ｉ 处装货和在 ｊ 处卸货 的时间） 。要使 货船获得每 天的最大利润 ， 只要 货船在单位 时间 内获得 的利益为最大即可。 若在 Ｇ中找到一个有向圈 Ｃ 在这 个 ， 有 向圈上 ， 运行一周所得 的总利益与总时 间的比值 为最 大 ， 则货 船 在单 位时间 内获得 的利益 即为最大 。而货 轮只要在 Ｃ上循环 航行就能获得每天的最大利益 。 因此 ， 这类 问题可 归纳为最优化 问题： 向图 Ｇ中的一个 求有 有 向圈 ｃ在 这个 圈上所得总利润和所需 总时 间的 比值为最大。 ： 若令 ａ＝ Ｐ ， ｌ一 ． Ｃ为 Ｇ中任～有 向圈 ， ｆ － 上述问题变为求 ｊ ． ’ － 则 卜Ｖ； 一
有约束最小二乘图像复原算法设计与实现
本 科 毕 业 论 文（设计）课题名称有约束最小二乘图像复原算法设计与实现 学 院机械与电气工程学院 专 业电气工程及其自动化 班级名称XXXX 学生姓名XXXX 学 号XXXX 指导教师XXXX完成日期 XXXXXXXXXXXX有约束最小二乘图像复原算法设计与实现摘要正则化图像复原方法是通过引入图像先验知识相关的正则项，将不适定问题转化为近似的适定问题，从而获得稳定的近似解的过程。
有约束最小二乘法是解决图像去模糊及加性噪声去除的通用方法。
本文针对常见的图像模糊和高斯噪声两类退化因素进行了图像复原算法的设计。
首先，实现了基于稀疏性约束的梯度投影算法，算法通过选择不同的搜索方式分为GPSR-Basic算法和GPSR-BB算法，实验结果表明GPSR-BB算法具有更优的细节保持能力及更快的求解速度；其次，实现了一种动量梯度投影算法，该算法在梯度下降方向上增加一个动量项，提高了算法的快速性和鲁棒性；最后，设计了一种自适应参数的动量梯度投影算法（A-Momentum），采用Barzila Borwein 的近似方式来获得参数的自适应设置，从而减少迭代次数。
实验结果表明在相同的截止条件下，A-Momentum算法仅需22次迭代即可到达稳定解，而GPSR-Basic算法和GPSR-BB算法则分别需要48次和47次。
关键词图像复原；梯度投影算法；动量梯度下降；自适应ABSTRACT The regularization image restoration methods are to convert the ill-posed problem into an approximate problem by introducing the regular term related to the prior knowledge of the image, so as to obtain a stable approximate solution. Constrained least squares is a general method to solve image de-blur and additive noise removal. In this paper, we design the image restoration algorithm for the common image blur and Gaussian noise degradation factors. Firstly, the gradient projection algorithm based on sparsity constraint is realized. The algorithm is divided into GPSR-Basic algorithm and GPSR-BB algorithm by selecting different search methods. The experimental results show that the GPSR-BB algorithm has better detail retention ability and faster Secondly, a momentum gradient projection algorithm is implemented. The algorithm adds a momentum term to the descending direction of the gradient, which improves the fastness and robustness of the algorithm. Finally, a momentum gradientprojection of adaptive parameters is designed. The algorithm (A-Momentum) uses Barzila Borwein's approximation to obtain the adaptive setting of the parameters, thereby reducing the number of iterations. The experimental results show that the A-Momentum algorithm only needs 22 iterations to reach the stable solution under the same cut-off condition, while the GPSR-Basic algorithm and the GPSR-BB algorithm need 48 times and 47 times respectively.KEY WORDS Image restoration, gradient projection algorithm, momentum gradient descent, adaptive1 前言 (1)1.1 研究背景及意义 (1)1.2 图像复原方法与研究现状 (1)1.3 本文主要内容 (3)2 有约束最小二乘法基础 (4)2.1 图像退化模型 (4)2.2 有约束最小二乘法 (5)2.2.1 图像复原的正则化模型 (5)2.2.2 基于稀疏特性的正则化模型 (6)2.2.3 TV正则化模型 (8)2.2.4 正则化方法的优点 (8)3 梯度投影算法 (10)3.1 梯度投影（GPSR）算法 (10)3.2 GPSR Basic算法 (11)3.3 GPSR BB算法 (13)3.4 实验结果分析 (15)4 动量梯度投影法 (18)4.1 动量梯度下降方向 (18)4.2 动量梯度投影算法 (19)4.3 自适应动量梯度投影算法 (21)4.5 实验结果分析 (24)5 结论 (28)致谢 (29)参考文献 (30)附录 (31)1.1 研究背景及意义人类认识世界大都通过视觉、听觉、触觉等来获得信息，据统计，人类的外界信息大约有百分之七十五来自视觉系统，而视觉信息的来源是图像，图像是通过各种设备和系统采集得到的。
谱方法和边界值法求解二维薛定谔方程硕士学位论文 精品推荐
摘要薛定谔方程是物理系统中量子力学的基础方程，它可以清楚地说明量子在系统中随时间变化的规律。
通过求解微观系统所对应的薛定谔方程，我们能够得到其波函数以及对应的能量，从而计算粒子的分布概率，进一步来了解其性质。
在化学和物理等诸多科学研究领域当中，薛定谔方程求解的结果都与实际很相符。
近年来，很多学者通过各种方法研究具有复杂势函数的薛定谔方程，解释了很多重要的物理现象，因此对薛定谔方程的求解具有相当重要的意义。
本文主要是用Galerkin-Chebyshev谱方法和边界值法求解二维薛定谔方程。
首先运用Galerkin-Chebyshev谱方法来对空间导数进行近似，离散二维薛定谔方程，从而将原问题转化为复数域上的线性常微分方程组。
然后用边界值法求解该方程组，所求得的数值解即为原问题的解，之后进行误差分析。
最后利用Matlab进行数值模拟，给出数值解的图像以及误差曲面图像，结果显示此方法精度高且具有很好的稳定性。
关键词：薛定谔方程；Galerkin-Chebyshev谱方法；边界值法；数值解；精度高；稳定AbstractThe Schrödinger equation is the basic equations of quantum mechanics in the physical system. It can clearly describe the regular of the quantum evolves over time. By solving the Schrödinger equation which the micro system correspond, we can get the wave function and energy, and thus calculate the probability distribution of the particles, further understand the nature of it.In chemistry, physics and other fields of scientific research, the results of solving the Schrodinger equation are basically consistent with the actual.In recent years, many researchers used a variety of methods to investigate the Schrödinger equation with complex potential function, and explained a lot of important phenomena.Thus solving the Schrödinger equation has very important significance.The main purpose of this paper is to solve the two dimensional Schrödinger equation through the Galerkin-Chebyshev spectral method and the boundary value method. First we use the spectral method to approximate the spatial derivation, discretize the two dimensional Schrödinger equation，and transform the original problem into a set of linear ordinary differential equations in the complex number field.Then by using the boundary value method to solve the equations, that the numerical solutions is the solutions of the original problem, and then analyze the error. Finally we use Matlab to conduct the numerical simulation, and give the images of the numerical solutions and errors, which show that the methods have high precision and good stability.Keywords: Schrödinger equation, Galerkin-Chebyshev spectral method, boundary value method, numerical solutions, high precision, stability目录摘要 (I)Abstract (II)第1章绪论 (4)1.1课题研究的背景和意义 (4)1.2国内外研究现状 (5)1.3本文的主要研究内容 (5)第2章预备知识 (7)2.1克罗内克积的简介 (7)2.2Chebyshev多项式介绍及其性质 (8)2.3Chebyshev正交逼近的性质 (9)2.4投影算子的性质 (10)2.5本章小结 (11)第3章Galerkin-Chebyshev谱方法和边界值法 (12)3.1用Galerkin-Chebyshev谱方法求解椭圆型方程 (12)3.2用边界值法求解常微分方程 (13)3.3本章小结 (17)第4章求解二维薛定谔方程 (18)4.1区域和边界条件的处理 (18)4.1.1 区域的处理 (18)4.1.2 边界条件的处理 (20)4.2二维薛定谔方程的求解 (23)4.3误差分析 (24)4.4本章小结 (29)第5章数值模拟 (30)结论 (35)参考文献 (36)哈尔滨工业大学学位论文原创性声明及使用授权说明 .....错误！未定义书签。
二维线性规划的图解法
三、基本解、基本可行解与可行基
1、基本解 假设B为线性规划问题的基，对约束系 数矩阵A、目标函数系数向量C、决策向量X X 进行分块处理，则有： ( B , N )( X ) = b 。
B N
因此得： X B = B−1b − B−1NXN 。令非基变量的取 值等于零，则得： X B = B −1b 。一般称：
七、线性规划的几何意义
1、凸集： 不是凸集：
七、线性规划的几何意义
2、凸组合 设X1，X2，…，Xk是n维欧氏空间中的 k个点 ，若存在非负数λ1,λ2,…,λk, 且λ1+λ2+…+λk=1，使得 X=λ1X1+λ2X2+…+λKXK成立，则称X是X1， X2，…，Xk的凸组合。 如果0＜λ1,λ2,…,λk＜1，则称X是X1， X2，…，Xk的严格凸组合。
三、几个概念
1、法向量 正法向量和负法向量。由目标函数系数组 成的与等值线垂直的向量，称为正法向量 （C=(c1,c2)）。正法向量的反号称为负法向量 （-C）。 2、等值线 使目标函数取相等值的所有点的集合，称 为目标函数的等值线。
三、几个概念
3、可行解 由约束条件和变量取值限制围成的公共 区域中的每一个点都称为线性规划问题的 可行解。 4、可行域 所有可行解的集合，构成线性规划问题 的可行域。
B −1b X = 0
为基B下的基本解。
三、基本解、基本可行解与可行基
2、基本可行解：符合非负性约束的基本解， 称为基本可行解。 3、可行基：基本可行解对应的基，称为可行 基。
四、基本最优解与最优基
1、基本最优解：满足目标函数要求的基本解， 称为基本最优解。 2、最优基：基本最优解对应的基，称为最优 基。
约束法求解方法
约束法求解方法1. 线性规划法是一种常见的约束法求解方法。
它适用于解决线性约束条件下的优化问题，通过线性规划模型来寻找最优解。
2. 二次规划法是一种约束法求解方法，适用于包含二次函数的约束条件下的优化问题，通过寻找二次规划模型的最优解来解决问题。
3. 整数规划法是约束法求解方法的一种，适用于需要在整数集合内寻找最优解的优化问题，通过整数规划模型来求解。
4. 混合整数规划法结合了线性规划和整数规划的方法，适用于同时包含线性约束和整数约束的优化问题，通过混合整数规划模型来求解。
5. 非线性规划法是一种约束法求解方法，适用于包含非线性函数约束的优化问题，通过非线性规划模型来求解最优解。
6. KKT条件是约束法求解方法中常用的优化理论，通过满足Karush-Kuhn-Tucker条件来判断最优解的存在性和求解方法。
7. 拉格朗日乘子法是一种约束法求解方法，通过引入拉格朗日乘子来将带有约束条件的优化问题转化为无约束问题，从而求解最优解。
8. 罚函数法是约束法求解方法的一种，通过将约束条件转化为惩罚项加入目标函数，从而将约束问题转化为无约束问题来求解。
9. 潜变量法是约束法求解方法中的一种难题，适用于存在潜在变量的优化问题，通过引入潜在变量来求解最优解。
10. 内点法是约束法求解方法中的一种，一般用于线性规划和二次规划问题，通过内点法来求解问题，能够有效克服外点法的缺点。
11. 修剪平面法是约束法求解方法中的一种，主要用于整数规划问题，通过修剪平面法来逐步削减解空间，寻找最优解。
12. 单纯形法是约束法求解方法中的一种，广泛应用于线性规划问题，通过单纯形法来逐步移动顶点来寻找最优解。
13. 乘子法是约束法求解方法的一种，在处理约束条件严格且不等式约束非线性时，通过引入乘子来求解优化问题。
14. 动态规划是约束法求解方法中的一种，通过阶段性规划和最优子结构的概念来解决离散形式的约束问题。
15. 离散元法是约束法求解方法的一种，主要用于求解离散情况下的优化问题，通过建立离散模型来求解最优解。
利用有向图求解数据表外键相互约束问题
关键词 ： 有向图； 数据库 ； 外键 ； 约束 中 图分类 号 ： Ｐ １ ． ３ 文献标 识码 ： Ｔ ３ １１８ Ａ
０ 引言
由于历史和市场 的原 因 ， 目前各 大数据库 厂商都有 一套 自己的数据库定义规范 。所提供 的数据库产 品在数据类型定 义 、Ｑ Ｓ Ｌ语义语法 等方 面互 不兼 容 ， 如常 用 的 Ｏ Ａ Ｌ 例 Ｒ Ｃ Ｅ数 据库 ， 采用 Ｐ Ｓ Ｌ语言 ； Ｐ Ｓ Ｇ Ｅ Ｑ ＬＱ 而 Ｏ Ｔ Ｒ Ｓ Ｌ数据 库 ， 用 Ｓ Ｌ 采 Ｑ 语言 ； Ｏ Ｃ Ｅ中的数 据类 型 Ｖ Ｒ Ｈ Ｒ 、 Ｌ Ｂ， 在 Ｒ Ｌ Ａ Ａ Ｃ Ａ ２ Ｃ Ｏ 分别 相
＿ ＿
Ｐ ｒ ｎ ｌ ｍｎ ａ ｅ ｔＣｏ ｕ
ห้องสมุดไป่ตู้Ａ． ａ
＿
・
ａｓｔ ｓｅ
—
ｉ ｄ ｉ ｄ
—
Ａ —Ｃ
Ｂ —Ｅ Ｂ —Ｄ Ｃ —Ｄ Ｅ —Ｃ
Ｃ， ａ ｓ ｉ ａ ｓ ｅｔ ｄ
＿
＿
Ａ． ａ
＿ ＿
ｓ ｅｔ ａｓ
—
Ｅ ｄ ｃ ｉｎ ｉ 、ａ ｌｅ ｔ ｄ
— ＿
Ｂ． ｄ ｃ ｉｎ ｉ ａ ｌｅ ｔ ｄ Ｂ ｄ ｃ ｉｎ ｉ ，ａ ｌｅ ｔ ｄ
一
虑， 常需要将 用户数据在不 同数据库管理系统之间进行移植 。 在此过程 中 ， 如何解决 由于多个数 据表 的多个数据 项之 间存 在外键一致性约束而导 致 的数据 无法 写入 问题 ， 是数 据库移
植 的重点 和难点 。 所谓外键是指表 Ｔ ｂｅＸ中的某些列 Ｃ ｌ 、 ２ ａｌ ｏ ｍｎＮ１Ｎ …被 ｕ 另一表 Ｔ ｂｅＹ引用为 Ｙ的列 ， Ｃ ｌｍ 、 ２ ａｌ 则 ｏ ｎＮ１Ｎ …就是 Ｔ ｂ ｕ ａｌ ｅ Ｙ的外键列 。其 中 Ｔ ｂｅＸ称之 为父项 表 ， ａｌ Ｙ称 之为子 ａｌ Ｔ ｅ ｂ
约束二维排样问题的一种求解算法
约束二维排样问题的一种求解算法I. 研究背景与意义1.1 约束二维排样问题的现状及其应用领域1.2 本文的研究意义与贡献II. 文献综述2.1 排样问题的定义和分类2.2 已有的排样算法及其优缺点2.3 本文算法的创新点与优势III. 模型建立3.1 排样问题的数学模型3.2 约束条件的建立及其对模型的影响IV. 算法设计与实现4.1 算法的整体设计思路4.2 算法流程图及其步骤分析4.3 关键模块算法的原理与实现方法V. 算法验证与实验结果分析5.1 实验数据的来源及其预处理方法5.2 对比实验与结果分析5.3 算法的性能分析及其优化思路VI. 结论与展望6.1 本文算法的总结与评价6.2 本文算法的局限性及其未来研究方向6.3 实际应用中的可能问题与解决途径I. 研究背景与意义在现代强大的计算能力和信息技术的支持下，二维排样问题成为了一个越来越重要的研究领域。
二维排样问题指的是有限数量的长方形零件需要被排列在一个矩形盘面上，使得其面积利用率最大，且不允许相互重叠和超出盘面范围。
这是一个NP难问题，准确求解对于许多领域的生产制造和物流运输都有着重要的应用。
约束二维排样问题是优化多指标下的二维排样问题的一个重要变体，其在满足排样约束的前提下，同时考虑优化不同的指标，比如零件数量、排样面积、切割时间等。
约束二维排样问题在实际生产中使用较为普遍，涉及计算机辅助设计、数字化生产、自动化仓储、智能物流等多个领域。
本文的研究意义与贡献在于，提出一种新的算法求解约束二维排样问题，通过算法设计和实验验证，展示其在优化排样效率和节省生产成本上的显著效果。
II. 文献综述排样问题的定义和分类在本研究领域基础研究中得到了广泛的关注，这部分的研究主要集中在求解算法的设计和改进上。
最常用的算法是基于贪心策略的方法，但其在解题中存在着很大的错误概率和局部最优解问题。
因此，为了克服这些问题，研究者们提出了更加高效且准确的优化算法。
《2024年道路网中基于方向关系约束的范围查询算法研究》范文
《道路网中基于方向关系约束的范围查询算法研究》篇一一、引言随着城市化进程的加速，道路网络日趋复杂，如何高效地处理和查询道路网络中的信息成为了一个重要的研究课题。
在众多查询需求中，基于方向关系约束的范围查询显得尤为重要。
这类查询不仅能够提供更为精准的空间位置信息，同时还可以满足各种实际需求，如路线规划、路径搜索等。
因此，对道路网中基于方向关系约束的范围查询算法的研究具有极高的理论价值和应用意义。
二、研究背景与现状随着地理信息系统（GIS）技术的不断进步，范围查询算法在道路网络中的应用已经得到了广泛的研究和探索。
然而，传统的范围查询算法往往忽略了方向关系约束的重要性，导致查询结果不够精确或无法满足特定需求。
近年来，基于方向关系约束的范围查询算法逐渐成为研究的热点。
这些算法通过引入方向关系约束，提高了查询的准确性和实用性。
三、算法理论基础本文所研究的算法基于空间数据库和图论的理论基础。
首先，利用空间数据库技术对道路网络进行建模和存储，以便进行后续的查询和处理。
其次，通过图论的相关理论，对道路网络中的节点和边进行描述和分析，以实现范围查询的功能。
此外，还涉及到空间关系理论、空间索引技术和数据结构等相关知识。
四、算法描述与实现1. 算法描述本文提出的算法是一种基于方向关系约束的范围查询算法。
该算法首先根据用户的查询需求，确定查询范围和方向关系约束条件。
然后，通过空间数据库技术，在道路网络模型中检索满足方向关系约束的节点和边。
最后，根据一定的策略和算法逻辑，输出符合条件的结果集。
2. 算法实现在实现过程中，我们采用了高效的空间索引技术和数据结构，以提高算法的查询效率。
具体而言，我们利用R树等空间索引结构对道路网络进行索引，以便快速定位到满足方向关系约束的节点和边。
同时，我们还采用了优化算法逻辑和策略，以减少不必要的计算和存储开销。
五、实验与分析为了验证本文所提算法的有效性，我们进行了大量的实验和分析。
首先，我们构建了一个包含大量道路网络的测试环境，以模拟真实的查询场景。
《2024年道路网中基于方向关系约束的范围查询算法研究》范文
《道路网中基于方向关系约束的范围查询算法研究》篇一一、引言随着城市化进程的加速，道路网络日益复杂，如何高效地管理和查询道路网络信息成为了重要的问题。
本文重点研究了在道路网中基于方向关系约束的范围查询算法。
该算法通过对道路的方向关系进行约束，实现更精确的查询范围和路径规划。
本节将概述相关背景，提出研究的目的和意义，以及阐述研究的内容和主要成果。
二、背景与意义道路网作为城市基础设施的重要组成部分，其信息的准确性和查询效率直接影响到城市交通的顺畅性和安全性。
传统的范围查询算法往往忽略了道路的方向性约束，导致查询结果不准确或过于宽泛。
因此，研究基于方向关系约束的范围查询算法，对于提高道路网络信息查询的准确性和效率具有重要意义。
三、研究内容（一）算法理论基础本部分详细介绍了算法的理论基础，包括道路网络数据模型、方向关系约束的表示方法以及范围查询的基本原理。
通过建立合理的数学模型和逻辑框架，为后续的算法设计提供理论支持。
（二）算法设计针对道路网中基于方向关系约束的范围查询问题，本文设计了一种新的算法。
该算法通过结合道路的方向性特征和范围约束，实现了更精确的查询和路径规划。
具体包括：1. 方向性特征的提取与表示：通过对道路的走向、交叉口等信息进行提取和表示，建立道路的方向性特征模型。
2. 范围约束的设定与优化：根据用户的需求，设定合理的范围约束条件，并对这些条件进行优化，以提高查询效率。
3. 算法实现：结合上述理论和方法，设计出具体的算法实现步骤和流程。
（三）算法实现与测试本部分详细描述了算法的实现过程，包括编程语言、开发环境、关键代码等。
同时，通过实际道路网络数据对算法进行测试，验证其准确性和效率。
测试结果表明，该算法在处理大规模道路网络数据时仍能保持较高的查询效率。
四、实验结果与分析（一）实验设计与数据集为了验证算法的有效性，我们设计了多组实验。
实验数据集包括不同规模的道路网络数据，以及不同范围和方向约束的查询需求。
《道路网中基于方向关系约束的范围查询算法研究》范文
《道路网中基于方向关系约束的范围查询算法研究》篇一一、引言在当前的数字化地图与交通导航系统中，对于道路网的准确性和效率性有着越来越高的要求。
这其中，基于方向关系约束的范围查询算法研究尤为重要，因为这类算法不仅能够有效处理复杂的道路网络数据，还能在众多应用场景中提供精确的导航和位置信息。
本文将针对这一主题展开深入的研究和探讨。
二、道路网数据与方向关系约束道路网数据是构成交通网络的基础，包含了丰富的地理信息和空间关系。
其中，方向关系是道路网络中一个重要的空间关系，它描述了道路之间的连接性和可达性。
基于方向关系约束的范围查询算法，就是在道路网数据的基础上，根据一定的方向关系约束，进行范围查询的算法。
三、现有范围查询算法的不足虽然现有的范围查询算法已经能满足大部分需求，但在处理复杂的道路网络数据时，仍存在一些不足。
例如，对于一些具有特殊形状和复杂拓扑结构的区域，现有算法的查询效率和准确性有待提高。
此外，对于具有方向性约束的查询需求，现有算法的满足程度也并不理想。
四、基于方向关系约束的范围查询算法研究针对上述问题，我们提出了一种基于方向关系约束的范围查询算法。
该算法首先通过建立道路网的索引结构，快速定位到查询范围内的道路数据。
然后，根据方向关系约束，对道路数据进行筛选和匹配，最终得到满足条件的结果。
具体而言，我们的算法采用了R-tree索引结构来组织道路网数据。
R-tree是一种用于空间数据索引的树形数据结构，它能够有效地处理多维空间数据，包括道路网的线状数据。
通过R-tree 索引，我们可以快速定位到查询范围内的道路数据，大大提高了查询效率。
在筛选和匹配阶段，我们引入了方向关系矩阵的概念。
方向关系矩阵是一种描述两个道路之间方向关系的矩阵，它能够有效地表达道路之间的连接性和可达性。
通过比较方向关系矩阵和查询中的方向关系约束，我们可以快速筛选出满足条件的结果。
五、实验与分析为了验证我们算法的有效性和准确性，我们进行了大量的实验。
《2024年道路网中基于方向关系约束的范围查询算法研究》范文
《道路网中基于方向关系约束的范围查询算法研究》篇一一、引言随着城市化进程的加速，道路网络日益复杂，对道路网中基于方向关系约束的范围查询算法的需求也日益增加。
这种查询算法在智能交通系统、城市规划、导航系统等领域具有广泛的应用。
本文旨在探讨和研究道路网中基于方向关系约束的范围查询算法，为相关领域提供理论支持和算法优化方案。
二、道路网模型与方向关系定义在道路网模型中，我们采用一种结合地理空间数据和拓扑结构的方式表示道路网络。
每条道路由一系列的节点和边组成，节点代表道路的交叉点或起点、终点，边则代表道路的连接关系。
方向关系是本文研究的关键概念之一。
在道路网中，方向关系指的是两条道路或多条道路之间的相对位置关系。
这种关系包括相交、平行、相邻等，并可以通过角度、距离等参数进行量化描述。
三、范围查询问题描述及算法框架范围查询是基于特定空间范围的查询方式，用于检索满足一定空间条件的道路信息。
在道路网中，基于方向关系约束的范围查询算法旨在根据用户提供的起始点和方向约束条件，快速准确地检索出符合条件的道路范围。
算法框架主要包括以下几个步骤：首先，根据用户输入的起始点和方向约束条件，确定查询范围；其次，利用道路网模型中的拓扑信息和地理空间数据，计算道路与查询范围的相对位置关系；最后，根据方向关系约束条件，筛选出符合条件的道路信息并返回给用户。
四、算法实现及优化策略1. 算法实现：本文提出的算法基于空间索引和图论理论。
首先，通过构建空间索引加速查询速度；其次，利用图论中的最短路径算法计算起始点到目标区域的路径；最后，根据方向关系约束条件筛选出符合条件的道路信息。
2. 优化策略：针对算法执行过程中的瓶颈问题，本文提出以下优化策略：（1）采用高效的空间索引结构，如R树或四叉树等；（2）利用并行计算技术提高计算效率；（3）针对不同方向关系约束条件进行算法优化，如对平行和相交关系的快速判断等。
五、实验与分析本文通过实验验证了所提算法的有效性和优越性。
基于有向图的约束求解新算法
基于有向图的约束求解新算法
易荣庆;李谊;李文辉;袁华;王铎
【期刊名称】《图学学报》
【年(卷),期】2009(030)003
【摘要】针对一般几何约束系统欠约束状态下约束分解的多样性,通过对剩余自由度的分析,提出了几何元素优先级的概念,给出了约束有向图生成算法,实现了对约束系统的优化分解.本算法在AutoCAD 2000提供的二次开发接口ObjectARX上成功实现,运行结果表明具有良好的约束求解效率.对于欠约束系统的分解结果可以最大限度满足用户的需求.
【总页数】6页(P22-27)
【作者】易荣庆;李谊;李文辉;袁华;王铎
【作者单位】吉林大学计算机科学与技术学院符号计算与知识工程教育部重点实验室,吉林,长春,130012;吉林大学计算机科学与技术学院符号计算与知识工程教育部重点实验室,吉林,长春,130012;吉林大学计算机科学与技术学院符号计算与知识工程教育部重点实验室,吉林,长春,130012;吉林大学计算机科学与技术学院符号计算与知识工程教育部重点实验室,吉林,长春,130012;吉林大学计算机科学与技术学院符号计算与知识工程教育部重点实验室,吉林,长春,130012
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.基于有向图的二维约束求解算法研究 [J], 王世平;郭连水
2.一种基于Gr(o)bner基和有向图的几何约束求解方法 [J], 王彦伟;陈立平;常明
3.一种利用有向图优化约束求解的方法 [J], 李海龙;董金祥
4.一个基于关键字有向图的BCNF分解新算法 [J], 刘仁维;岳淑珍
5.利用不等式约束求解病态问题的新算法 [J], 赵邵杰;宋迎春;李文娜
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
基于有向图的网络协议建模 毕业设计论文
摘要网络协议是互联网通信的基本构架，不完备或错误的协议往往给攻击者提供了攻击的机会。
因为协议本身的高并发性以及所处环境的复杂性，网络协议的设计是非常困难的。
我们可以通过对协议设计完毕后进行安全建模，并进行自动化验证，来找到协议设计存在的安全隐患。
在本文中，我们用两种方法分别对BGP协议进行建模。
方法一基于规则推理，对协议进行完全分析，得到协议资源和具有某种推导关系的行为，基本资源可以作为协议行为的参数，通过用AND和OR来表示协议行为的推导关系。
将此方法应用到BGP协议，最终在BGP协议的攻击规则图上得到了29条攻击路径。
方法二用CSP对协议建模，用CSP来表示协议之间各个进程的并发作用，模型包括协议本身、攻击者，以及所要满足的安全约束。
并用FDR检验所建立的模型是否满足约束。
用该方法来对BGP进行建模验证，检验结果为，该模型满足其中一个约束，而另一个没有被满足的约束得到了一个反例序列。
本文提出了两种对协议进行分析以及建模的方法，一种是基于规则的，一种是用形式化的方法来进行建模。
通过这两种方法，我们可以用建立的模型来准确的描述网络协议，使得更好的理解网络协议，并通过对协议的有效分析与验证，得到协议的攻击方法与协议的缺陷。
关键词：CSP；网络协议；规则；安全建模；BGP协议ABSTRACTNetwork protocol is the basic framework of Internet communications, however, the incomplete or incorrect protocol often provides attackers some opportunities. Because of the high concurrency of a network protocol and the complexity of the environment where it works, it is difficult to design a network protocol with a reliable safety. We can find out a network potential’s safety hazard through security modeling and automated verification.In this paper, we’ll use two methods to model on the BGP protocol. The first method bases on the rule-based reasoning approach to analyze the protocol and get protocol resources as well as behaviors which have some kinds of derived relations. The basic resources serve as the parameters of the protocol’s behaviors and indicates the derived relations by “AND” and “OR”. Applying this method to BGP protocol, we successfully get 29 attack paths on the attacking rules diagram. The second method is to model with CSP. We’ll use CSP to indicate the concurrency effect of every process among the protocols. This model contains not only the protocols but also the attackers and the security constraints which need to be satisfied. At the same time, we use FDR to test this model to exam whether it meets the constraints. In this way, we testify the BGP and the result is that one of the two constraints is satisfied while the other is unsatisfied from which we get a counter-example sequence.We propose two methods---one is rule-based, the other is formalized---to model and analyze the protocol. By using the model, we are able to precisely describe the network protocol, and then deepen the comprehension of it. By analyzing the protocol efficiently and testing, we obtain the types of attacks and the protocol’s defects.Key words：CSP；Network Protocol；Rule；Security Protocol；BGP；目录第一章绪论 (1)1.1.研究目的及意义 (1)1.2.国内外发展 (1)1.3.主要工作和贡献 (2)1.4.论文组织结构 (3)第二章相关概念介绍 (4)2.1.网络协议 (4)2.2.通讯顺序进程 (4)2.3.FDR (5)第三章基于有向图的网络协议建模 (6)3.1.网络协议攻击发现和分析架构 (6)3.2.网络协议建模 (7)3.3.攻击路径分析过程 (8)3.4.针对BGP的建模和攻击分析案例 (9)3.4.1.BGP协议资源分析 (10)3.4.2.BGP协议行为分析 (11)3.4.3.BGP协议危害与行为规则分析 (12)3.4.4.规则图以及攻击路径分析 (13)3.4.5.攻击路径的规范描述 (16)3.5.基于规则库的网络协议的攻击发现 (18)第四章基于CSP的网络协议建模 (19)4.1.形式化建模分析 (19)4.2.BGP协议的分析与建模案例 (19)4.2.1.整体模型介绍 (20)4.2.2.BGP协议分析 (21)4.2.3.BGP协议模型介绍 (22)4.2.4.FDR检测结果 (27)第五章总结与展望 (29)5.1.总结 (29)5.2.展望 (29)参考文献 (30)第一章绪论1.1.研究目的及意义随着Internet的不断发展，人们对互联网的依赖已经变得越来越重要。
一种约束求解的两级规划方法
一种约束求解的两级规划方法
罗尚虎;董金祥
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2001(037)021
【摘要】提出了一个基于图构造的几何约束求解方法.基于自由度分析的理论,把整个约束图分解为多个约束子图,各个约束子图之间的共享结点形成一个全局的共享结点集,当共享结点集中的结点确定下来时,相关的约束子图中的结点也相应被确定下来.通过这样的全局到局部的两级求解规划的构造,缩小了约束问题的规模,提高了求解效率.
【总页数】4页(P92-95)
【作者】罗尚虎;董金祥
【作者单位】浙江大学人工智能研究所;浙江大学人工智能研究所
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.72
【相关文献】
1.一种基于Gr(o)bner基和有向图的几何约束求解方法 [J], 王彦伟;陈立平;常明
2.一种基于线性物理规划和两级集成系统综合方法的多目标多学科优化方法 [J], 陶友瑞;韩旭;姜潮;刘迎春
3.一种约束求解的We b应用测试数据生成与筛选方法 [J], 邓志丹;杨海燕;吴际
4.一种基于约束求解的Verilog语言静态分析方法 [J], 黄赛杰;陈铭松;金乃咏
5.一种鲁棒性几何规划新方法设计两级运放 [J], 宋宇;刘学欣;陆伟成;唐璞山
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
基于权图搜索求解约束的研究
论文分类号 ＴＰ３１ 单 位 代 码 １０１８３ 密 级 内部 研究生学号 １９９０６００８ 吉林大学硕士学位论文基于权图搜索求解约束的研究 The Research of Solving Constraints based onSearching Weighting Graph作者姓名： 李 立 刚 专 业： 计算机应用技术 导师姓名 李 文 辉 及 职 称 教 授 论文起止年月： ２０００年７月至２００２年４月 内容提要 约束求解已经应用于许多不同的领域，比如说分子模型构造、计算机辅助设计、几何定理证明等。
本文的主要工作是针对计算机辅助设计（ＣＡＤ）领域，解决其中涉及到的二维图形几何约束的约束满足问题。
求解约束时，我们用到了一些较新的技术，包括参数化技术、变量化技术和特征造型技术。
文中我们在对（１）变量几何法，（２）几何推理法，（３）图形操作法这三种方法分析的基础上，提出了一种基于对加权约束图搜索的策略。
此方法利用实体自由度的衰减进行约束求解，在查找约束求解路径的过程中，引入了图论和人工智能的方法，即结合了图形操作法和几何推理法。
在求解程序中采用了变量几何法中的数值方法，根据对加权约束依赖图搜索得到几何约束的求解路径，列出相应的代数方程组，实现约束的求解。
此方法求解约束速度较快，并能进行约束一致性判断，且能通过用户交互处理过约束与欠约束的情况。
由于是针对普遍意义上的几何约束的，所以它能被推广到三维空间。
目录 第一章 绪论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１ １．１ 约束问题的广泛性．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１ １．２ 研究现状．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１ １．３ 本文工作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２ １．４ 本文结构．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２ 第二章 约束问题研究背景．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４ ２．１ ＣＡＤ的发展．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４ ２．２ ＣＡＤ组成．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．５ ２．３ 智能ＣＡＤ相关技术．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６ ２．３．１ 参数化技术．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．７ ２．３．２ 变量化技术．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．７ ２．３．３ 特征造型技术．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８ 第三章 几何约束求解问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．９ ３．１ 约束．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．９ ３．１．１ 约束的性质与约束的建立．．．．．．．．．．．．．．．．．．９ ３．１．２ 约束满足问题（ＣＳＰ）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１０ ３．２ 基本求解方法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１０ ３．２．１ 变量几何法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１１ ３．２．２ 几何推理法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１１ ３．２．３ 图形操作法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１１ ３．３ 基本方法评价．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２ 第四章 加权约束图搜索策略．．．．．．．．．．．．．．．．．．１４ ４．１ 约束求解依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１４ ４．１．１ 约束求解思想．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１４ ４．１．２ 约束求解相关概念．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１４ ４．１．３ 基本步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１５ ４．２ 加权约束图．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１６ ４．２．１ 约束表示．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１６ ４．２．２ 加权约束图表示．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１７ ４．３ 约束求解过程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２０ ４．３．１ 实体分组．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２０ ４．３．２ 约束求解过程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２２ ４．３．３ 循环约束求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２４ ４．３．４ 循环约束查找．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２７ ４．３．５ 约束的数值求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２８ ４．４ 约束异常处理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３１ 第五章 系统实现．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３３ ５．１ 系统功能．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３３ ５．２ 约束模型建立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３５ ５．２．１ 约束模型．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３５ ５．２．２ 实体存储．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３６ ５．２．３ 关系矩阵．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３７ ５．３ 实现．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３９ ５．３．１ 自由度衰减算法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３９ ５．３．２ 实体分组算法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４０ ５．３．３ 查找方程组算法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４１ ５．４ 系统流程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４１ 第六章 结论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４５ 致谢．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４６ 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４７ 摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．Ｉ ＡＢＳＴＲＡＣＴ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．ＩＶ 第一章 绪论 １．１ 约束问题的广泛性 约束问题存在于人类生活的各个领域，约束问题解决的好坏会直接影响人类的生产活动。
一种基于有向图的几何约束系统分解方法
一种基于有向图的几何约束系统分解方法
彭小波;陈立平;周济
【期刊名称】《计算机科学》
【年(卷),期】2002(029)004
【摘要】@@ 1引言rn约束分解是几何约束满足问题(GCSP)研究的一个重要内容.此前已经有很多工作实现了将GCSP向非线性方程组求解的转化,并研究了约束系统的表达和分解的问题[1-4].特别是Kramer[6]以机构学为背景,提出了几何约束系统的无向图表达.后来,董金祥[10]将约束无向图转换成有向图,为构造全参数化的图形奠定了基础;J.Y Lee[1]则针对尺规构造图形进一步发展了基于自由度分析的图规约方法.但是在上述的研究中,对欠约束几何系统的分析比较欠缺.
【总页数】5页(P41-44,27)
【作者】彭小波;陈立平;周济
【作者单位】华中科技大学国家CAD支撑软件工程研究中心,武汉,430074;华中科技大学国家CAD支撑软件工程研究中心,武汉,430074;华中科技大学国家CAD支撑软件工程研究中心,武汉,430074
【正文语种】中文
【中图分类】TP3
【相关文献】
1.具有非负困难度的符号几何规划的一种分解方法 [J], 张晓梅;王燕军
2.一种新的几何约束系统参数取值范围的计算方法 [J], 张杏莉;胡运红;卢新明
3.一种基于Gr(o)bner基和有向图的几何约束求解方法 [J], 王彦伟;陈立平;常明
4.基于图论和游离自由度的平面几何约束系统建立与求解的研究 [J], 蒋瓅;谢步瀛;胡凯
5.基于有向图的定性模型分解方法 [J], 张文明;刘怀春;白方周
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
收稿日期：作者简介：王世平（3），男，山东昌邑人，硕士研究生，主要研究方向为几何造型技术。
约束求解是CAD 变量化系统草图设计的重要组成部分，用以满足快速交互设计的需要。
国内外学者进行了大量的研究，主要方法有基于数值求解、基于符号求解、基于规则求解和基于图论求解[1]。
其中基于图论的求解方法[2-6]最为直观、严谨，而且可以方便地进行过约束和几何完全定义状态的判断。
J Y Lee 和K Kim 提出的全约束下的图论和数值相结合的方法[1]是目前应用最广泛的方法之一。
赵万生等提出的局部影响域算法[3]给出了一种应用图论解决欠约束问题的方法。
董金祥等提出的基于图论的拓扑排序方法[4]不但适用于欠约2010年工程图学学报2010第1期J OURNAL OF ENG INEERING GRAPHICSNo.1基于有向图的二维约束求解算法研究王世平，郭连水（北京航空航天大学机械工程及自动化学院，北京100191）摘要：针对过约束、几何完全定义状态判定和约束求解效率等问题，提出了基于约束图，利用自由度理论和约束冲突机制，通过反向约束方向平衡约束，进而通过排序进行约束求解的算法。
算法采用约束图记录约束和几何的关系；通过约束平衡的方法进行过约束和几何完全定义的判定；采用排序求解方法，将庞大计算问题转化为一组相对简单的计算问题。
算法已得到初步应用，对过约束和几何完全定义状态的判定有明显的效果，而且提高了约束求解效率。
关键词：计算机应用；几何约束求解；约束图；过约束；完全定义；排序求解中图分类号：TP 391文献标识码：A文章编号：1003-0158(2010)01-0054-072D Geometr ic Constraint Solving with Directed GraphWANG Shi-ping,GUO Lian-shui(School of Mechanical Engineering and Automation,Beijing Universit y of Aeronautics and Astronauti cs,Beijing 100191,China )Abstr act:In order to solve the over-constrained problem and enhance computational efficiency ,an algorithm,which is based on the constructing directed constraint graph,revealing constraint conflict,then reversing the direction of the related constraint to balance the constraint graph,and finally sorting the graph to get the solving sequence of geometric entities,is presented.The method of balancing constraints can help transforming the over-constrained problem into well-constrained.K ey wor ds:computer application;solution of geometric constraint;constraint graph;over-constrained;well-constrained;sort algorithm2008-07-17198-束情况，而且也能处理较简单的过约束问题。
目前的文献对简单的过约束问题（剩余自由度小于零）有一定的探讨，但对于相对复杂的过约束和对几何完全定义状态的确定却少有涉及。
本文从变量化造型系统应用出发，重点讨论约束信息的管理、过约束和几何完全定义状态的判定、排序求解方法等，建立了二维约束求解算法：记录约束图约束和几何的关系，作为约束求解的基础；调整约束图平衡约束，判定过约束和几何完全定义状态；以调整后的约束图为基础，将需要计算的几何元素进行排序，高效完成方程组求解。
1约束模型表示方法在进行复杂草图设计时，常常面临约束关系管理的问题。
本文采用约束图表达约束模型，图的顶点表示几何元素，边表示约束。
约束图将相互关联的所有几何和约束联系在一起。
1.1顶点顶点表示某一几何元素，如点、直线、圆等。
顶点分为前承顶点和传递顶点两种。
两类顶点是相对于约束边来区分的。
如图1(a)，约束e1箭头指向的顶点L1称为e1的传递顶点，约束e1箭头起始的顶点P1称为e1的前承顶点。
1.2约束边约束边用带箭头的约束边（有方向的边）来表示某一约束。
约束边分为前承约束和传递约束两种。
两类约束是相对顶点来区分的。
如图1(a)，指向顶点L1的约束边e1称为L1的前承约束，从顶点L1起始的约束边e2称为L1的传递约束。
1.3约束图建立方法约束图由顶点和约束边组成的图形，称为约束图。
约束图的建立过程就是创建新的顶点和约束边，并将它们联系在一起的过程。
示例如图1所示。
建立由3个点P1、P2、P3和3条直线L1、L2、L3组成的三角形，如图1(a)所示。
在约束图中创建6个几何元素的顶点P1、P2、P3、L1、L2、L3；之后创建6个点在直线上的约束e1~e6；建立这6条约束边与顶点之间的关系：e1是P1与L1之间的约束（e1由P1指向L1），e2~e6类似处理，如图1(b)所示。
(a)几何图(b)约束图图1几何图和约束图新添加两点P1与P2间10mm的距离约束e9。
首先在约束图中创建约束边e9，之后建立约束边e9与顶点P1与P2的关系（e9由P1指向P2）。
新添加点P1的固定约束e7、直线L1的水平约束e8、两直线L1与L3间的30角度约束e10。
约束是有向的。
不同的约束方向表示不同的约束方式和计算方式。
如图1(b)，距离约束e9是由P1指向P2的，这表示点P1通过10mm的距离来约束点P2；在计算P2时，可以通过P1的位置和10mm的距离约束e9来求解P2的位置。
在约束图的建立过程中，约束方向的确定将影响约束求解过程。
本文是先任意选取一个方向，再通过下文约束平衡方法来修改约束的方向，避免因约束方向不当而引起几何的过定义。
2基于约束图的约束平衡方法通过约束图的调整（修改约束的方向）平衡约束关系，无法平衡的约束则为过约束。
在约束求解方程组计算之前平衡约束关系，能够避免几何过定义导致的无解方程组计算，提高求解效率。
第1期王世平等：基于有向图的二维约束求解算法研究552.1过约束的概念几何过定义由于几何的约束冗余导致约束求解失败，称其为几何过定义。
过约束导致约束图存在过定义几何的约束称为过约束。
导致几何过定义的原因主要有2个：①几何的剩余自由度小于零；②约束冲突。
前者是由于约束过多，后者是由于约束彼此相矛盾造成了几何的无解。
剩余自由度某几何的自由度减去其前承约束的约束度之和，其差值称为该几何的剩余自由度。
RDOF(P)=DOF(P)-∑DOC(ei)（1）例如，如图1中，直线L1的剩余自由度RDOF(L1)=DOF(L1)-∑DOC(ei)=2-1-1=0。
约束冲突多个约束相互矛盾而导致约束求解失败，称其为约束冲突。
约束冲突举例：如图1(b)约束图，若反向角度约束e10，则角度约束e10与水平约束e8产生约束冲突。
在计算直线L1时，其方向或水平，或与L3成30°角，二者选其一。
约束e10与e8彼此矛盾，不能同时指向同一个几何。
2.2约束平衡方法从几何过定义的概念知道，过定义的出现实际上是由于几何的约束负担（前承约束）过重。
为了避免几何过定义，需要进行约束平衡，即减少过定义顶点的前承约束。
修改约束方向后，该约束新指向的几何有可能会由原来的非过定义状态转变为过定义状态。
那么，如何选择合适的前承约束进行反向以及反向约束后产生新的过定义几何时的处理方法就成为算法的关键。
算法主要步骤如下：Step1找到过定义顶点P0（剩余自由度小于0的顶点或相冲突的约束的传递顶点）。
Step2在P0的前承约束中挑选一个约束e 进行反向，要求反向e后P0不再是过定义顶点。
反向约束e后进入下一步Step3。
若没有合适的前承约束可以反向，分下列两种情况：若P0是因为反向约束e0导致的过定义顶点，那么恢复e0的方向，重新选择一个合适的前承约束反向（即返回上一个访问顶点转Step2）。
若P0是最初的那个过定义顶点，那么，算法结束，该约束图存在过约束，约束平衡失败。
Step3被反向的约束e的传递顶点P1，若P1不是过定义顶点，则约束图调整成功（约束平衡成功），约束图不存在过约束；若P1是过定义顶点，将P1当作P0，转Step2。
示例在图1(a)几何图中，新添加L2与L1的垂直约束e11，如图2(a)。
过定义顶点可能是新添加约束e11的传递顶点L1。
如图2(a)，L1是过定义顶点，其前承约束e11和e8约束冲突，且L1的剩余自由度小于0。
由于存在约束冲突，只能反向e8或e11（反向其他前承约束无法解除L1的过定义状态）。
反向e8后L1仍是过定义状态，恢复e8的方向（反向e8失败）；反向约束e11，使L1不再是过定义顶点，如图2(b)所示。
反向e11后，e11的传递顶点L2变为过定义顶点，其剩余自由度小于0。
反向L2的前承约束e3，使L2不再是过定义顶点，如图2(c)所示。
反向e3后，e3的传递顶点P2变为过定义顶点，其剩余自由度小于0。
反向P2的前承约束e9，使P2不再是过定义顶点，如图2(d)所示。
反向e9后，e9的传递顶点P1变为过定义顶点。
P1没有合适的前承约束可以反向，恢复e9的方向，如图2(c)所示。
重新选择P2的一个前承约束e2进行反向，使P2不再是过定义顶点，如图2(e)所示。
按照之前的分析方法可得反向e2失败，恢复e2的方向，如图2(c)所示。
P2没有合适的前承约束可以反向，恢复e3的方向，如图2(b)所示。
重新选择L2的一个前承约束e4进行反向，使L2不再是过定义顶点，如图2(f)所示。
反向e4后，e4的传递顶点P3不是过定义顶点，约束图调整成功（约束平衡成功）。
由上例可以看出，约束平衡是由新添加或修改的约束为起始的。
实际上，每次添加或修改新的约束时，都要进行约束平衡。
如此，下次新添加或修改约束就是在平衡约束图基础上的操作，只需要考虑新的约束带来的影响即可。
56工程图学学报2010年(a)(b)(c)(d)(e)(f)图2约束平衡方法示意图2.3过约束判断过约束判断问题不仅需要判断出过约束是否存在，还要判断出过约束的几何对象和过约束的位置。