南通市2014届高三数学学科基地密卷(1)
江苏省南通市2014届高三数学 Word版含答案
A BCD MNO（第14题图）2014年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 .1．已知集合{}lg M x y x ==，{}21N x y x ==-，则M ∩N ＝ ． 2．复数(1i)i z =-(i 为虚数单位)的共轭复数为 ．3．已知函数22,0,(),0x x x f x ax bx x ⎧+≤=⎨+>⎩为奇函数，则a b += ．4．在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为 .5．如图是一个算法的程序框图，其输出的结果是 ．6．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，若()0,()232f f ππ==,则实数ω的最小值为 ．7．数列{}n a 满足11()2n n a a n *++=∈N ,112a =-,n S 是{}n a 的前n 项和,则2011S = .8．若()0,3m ∈，则直线(2)(3)30m x m y ++--=与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为 ．9．若中心在原点、焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线方程 为30x y +=，则此双曲线的离心率为 ．10．若不等式xy y x k29422≥+对一切正数x ，y 恒成立，则整数k 的最大值为 ．11．已知点,,,P A B C 是球O 表面上的四个点，且,,PA PB PC 两两成60角，1cm PA PB PC ===，则球的表面积为 2cm ．12．已知点G 、H 分别为ABC ∆的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若46AC AB ==，，则HG BC ⋅的值为 ．13. 若关于x 的方程43210x ax ax ax ++++=有实数根，则实数a 的取值范围为 ．14. 如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MNBN取最小值时，CN = ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）设函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，函数()2y f x π=+为偶函数．（1）求()f x 的解析式；(第5题图)b ←2b Y 输出b 开始 a ←1,b ←1 a ≤3 a ←a +1结束 N（2）若α为锐角，3()2125f απ+=，求sin 2α的值．16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，060DAB ∠=，平面PCD ⊥底面ABCD ，E 是AB 的中点，G 为PA 上的一点．（1）求证：平面GDE ⊥平面PCD ；（2）若//PC 平面DGE ，求PGGA 的值．17.（本小题满分14分）近日我渔船编队在钓鱼岛附近点A 周围海域作业，在B 处的海监15船测得A 在其南偏东45方向上，测得渔政船310在其北偏东15方向上，且与B 的距离为43海里的C 处．某时刻，海监15船发现日本船向在点A 周围海域作业的我渔船编队靠近，上级指示渔政船310立刻全速前往点A 周围海域执法，海监15船原地监测．渔政船310走到B 正东方向D 处时，测得距离B 为42海里．若渔政船310以23海里/小时的速度航行，求其到达点A 所需的时间．18. (本小题满分16分)已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 是椭圆C 的右焦点，M 为椭圆上一点，以M 为圆心，MF 为半径作圆M ．问点M 的横坐标在什么范围内取值时，圆M 与y 轴有两个交点?B C DAPA B C D E G（3）设圆M 与y 轴交于D 、E 两点，求弦长DE 的最大值．19.（本小题满分16分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有 “一阶比增函数”组成的集合记为A ，所有“二阶比增函数”组成的集合记为B . （1）设函数32()2(2)(1)(0,)f x ax a x a x x a R =--+->∈. ①求证：当0a =时，()f x A B ∈；②若()f x A ∈，且()f x B ∉，求实数a 的取值范围； （2）对定义在(0,)+∞上的函数()f x ，若()f x B ∈，且存在常数k ，使得(0,),()x f x k ∀∈+∞<，求证:()0f x <.20.（本小题满分16分）若数列{}n b 满足：对于N n *∈，都有2n n b b d +-=（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列．（1）若⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n 求准等差数列{}n c 的公差，并求{}n c 的前19项的和19T ；（2）设数列{}n a 满足：1a a =，对于N n *∈，都有12n n a a n ++=．①求证：{}n a为准等差数列，并求其通项公式；②设数列{}n a的前n项和为n S，试研究：是否存在实数a，使得数列{}n S有连续的两项都等于50?若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，2CD =，DE AB ⊥，垂足为E ，且E 是OB 的中点，求BC 的长．B ．（选修４－２：矩阵与变换） 已知矩阵2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，2246B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （1）求矩阵A 的逆矩阵；（2）求满足AX B =的二阶矩阵X ．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知曲线C 的参数方程为2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩，曲线D 的极坐标方程为sin()24πρθ+=-．（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程； （2）曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知x ，y ，z 均为正数．求证：111yx z yzzx xy xy z++?+．22．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是35，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．23．设数集{}121,,,,n A x x x =-，其中120n x x x <<<<，2n ≥，向量集{}(,),,B a a x y x A y A ==∈∈.若12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，则称A 具有性质P .（1）若1a >，数集{}1,1,A a =-，求证：数集A 具有性质P ； （2）若2b >，数集{}1,1,2,A b =-具有性质P ，求b 的值； （3）若数集{}121,,,,n A x x x =-（其中120n x x x <<<<，2n ≥）具有性质P ，11x =，2x q =(q 为常数，1q >)，求数列{}k x 的通项公式k x *(,)k N k n ∈≤.2014年高考模拟试卷(2)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1.(]0,1；2.1i -；3.0；4.50；5. 16；6.3；7. 502；8. 23；9. 10； 10. 3；11.32π； 12. 203-.解析：2211()()()()33HG BC AG AH BC AG BC AC AB AC AB AC AB ⋅=-⋅=⋅=+⋅-=-203=-．另解：注意到题中的ABC ∆形状不确定，因此可取特殊情形90ACB ∠=，则点H 即为点A ，由此可迅速得到答案 ； 13. [)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦； 14.512-. 二、解答题15. 解：（1）由题设：1,22T T ππ=∴=，22Tπω∴==，()2y f x π=+为偶函数，∴函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，s i n()1πϕ∴+=或sin()1πϕ+=-，0ϕπ<<，2πϕ∴=，()sin(2)cos22f x x x π∴=+=；（2）3()2125f απ+=，3cos()65πα∴+=，α为锐角，4sin()65πα∴+=24sin 2()2sin()cos()66625πππααα∴+=++=，27c o s 2()2c o s ()16625ππαα∴+=+-=-， 241732473sin 2sin[2()]()6325225250ππαα+∴=+-=⨯--⨯=．16． （1）证明：设菱形ABCD 的边长为1，E 是AB 的中点，060DAB ∠=，PG211312cos60424DE ∴=+-⨯=， 222DE AE AD ∴+=，DE AE ∴⊥，DE CD ∴⊥，平面PCD ⊥底面ABCD ，平面PCD 底面ABCD CD =，DE ABCD ⊂，DE ∴⊥平面PCD ，又DE GED ⊂平面,∴平面GDE ⊥平面PCD ；（2）解：连接AC ，交DE 于H ，连接GH ，则//PC 平面DGE ，,PC PAC ⊂平面平面PCA 平面GDE GH =，//PC GH∴，2PG CH DCGA HA AB∴===. 17. 解：由题设，43,42,75,45,120,BC BD CBD ABD ABC ==∠=∠=∠= 在CBD ∆中，由余弦定理得，483224342cos752(62)CD =+-⨯⨯=+，在CBD ∆中，由正弦定理得，42sin 752,sin sin sin 7522(62)BD CD C C =∴==+，,090,45,1B D B C C C A <∴<<∴=∴=， 在ABC ∆中，由正弦定理得，sin sin120BC ACA =， s i n 12043s i n 1206(62)s i n s i n 15BC AC A ∴===+∴渔政船310从C 处到达点A 所需的时间为6(62)23+小时．18.解：(1)椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ，2222121914a b a a b ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，即22223401914a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=；(2)易求得(1,0)F ．设00(,)M x y ，则2200143x y +=， 圆M 的方程为22220000()()(1)x x y y x y -+-=-+，令0x =，化简得2002210y y y x -+-=，20044(21)0y x ∆=-->……①．将22003(1)4x y =-代入①，得20038160x x +-<，解出0004442233x x x -<<≤≤∴-≤<，又-2，；(3)设1(0,)D y ，2(0,)E y ，其中12y y <．由(2)，得222210000046444(21)38163()33DE y y y x x x x =-=--=--+=-++，当043x =-时，DE 的最大值为833．19. （1）①证明：当0a =时，2()4(0)f x x x x =->，()41f x y x x ∴==-在(0,)+∞上为增函数，()f x A ∴∈； 2()14f x y x x==-在(0,)+∞上为增函数，()f x B ∴∈，()f x A B ∴∈；②解：32()2(2)(1)(0,)f x ax a x a x x a R =--+->∈，()f x B ∉，∴由①知0a ≠，()f x A ∈，2()2(2)(1)f x y ax a x a x∴==--+-在(0,)+∞上为增函数， 020a a a>⎧⎪∴-⎨≤⎪⎩，02a ∴<≤（*） ()f x B ∉，2()12(2)f x a y ax a x x-==+--在(0,)+∞上不是增函数，2()12(2)f x a y a x a x x-==+--在(0,)+∞上是增函数⇔12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，121212121()()()()0a a x x x x a f x f x x x ----=<， 结合（*）有12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，1210a x x a-->，01a ∴<≤结合（*）有2()12(2)f x a y a x a x x-==+--在(0,)+∞上不是增函数⇔12a <≤，∴实数a 的取值范围是12a <≤； （2）（用反证法）假设0(0,)x ∃∈+∞，0()0f x ≥，则：㈠若0()0f x >，记020()0f x m x =>， ()f x B ∈，2()f x y x∴=在(0,)+∞上为增函数， ∴当0x x >时，0220()()f x f x m x x >=，所以2()f x mx >， ∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与()f x k <矛盾；㈡若0()0f x =，则020()0f x x =，()f x B ∈，在(0,)+∞上为增函数，0x x ∴>时，0220()()0f x f x x x >=，即()0f x >，同㈠可得矛盾；()0f x ∴<.20. 解：（1）数列⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c nn 为奇数时，2[4(2)1](41)8n n c c n n +-=+---=，n 为偶数时，2[4(2)9](49)8n n c c n n +-=++-+=， ∴准等差数列{}n c 的公差为8，19(375)10(1781)983122T +⨯+⨯=+=； （2）①n a a n n 21=++ （*∈N n ）（i ）)1(221+=+++n a a n n （ii ）（ii ）-（i ）得22=-+n n a a （*∈N n ）． 所以，{}n a 为公差为2的准等差数列．当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2122，当n 为奇数时，解法一：12121-+=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-++=a n n a a n ；解法二：()[]11)1(2)1(21-+=----=--=-a n a n n a n a n n ；解法三：先求n 为奇数时的n a ，再用（i ）求n 为偶数时的n a 同样给分．⎩⎨⎧--+=∴为偶数） （为奇数）（n a n n a n a n ,,1②解：当n 为偶数时，()2212212222221222n n n n a n n n a S n =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=；当n 为奇数时，()2212121212221212121⨯⎪⎭⎫⎝⎛---+-⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++⋅=n n n a n n n a S n 21212-+=a n ． 当k 为偶数时，50212==k S k ，得10=k ．由题意，有10502192129=⇒=-+⨯=a a S ；或1050211121211-=⇒=-+⨯=a a S ． 所以，10±=a ．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 解：连接OD ，则OD DC ⊥．在Rt OED ∆中，1122OE OB OD ==，30ODE ∴∠=．在Rt ODC ∆中，30DCO ∴∠=，由2DC =，则23tan 303OB OD DC ===，243cos30332CD OC ===， 所以233BC OC OB =-=． B ．解：（1）2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，21det()243A -∴==-， ∴矩阵A 的逆矩阵131312222422122A --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2）AX B =，1X A B -∴=31221022460221⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． C. 解：（1）由2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩得 21,[1,1]x y x +=∈- （2）由sin()24πρθ+=-得曲线D 的普通方程为20x y ++=2201x y x y ++=⎧⎨+=⎩得230x x --=解得113[1,1]2x ±=∉-,故曲线C 与曲线D 无公共点.D. 证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()y yx x yzzxz xyz+=+ ，同理可得22,yz z x zx xy x xyyz y+? ， 当且仅当x y z ==时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111yx z yzzxxyxy z++?+． 22. 解：（1）设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15,0,15,30-．353101(15)12C P X C =-==； 21553105(0)12C C P X C ===；12553105(15)12C C P X C ===； 353101(30)12C P X C ===．乙得分的分布列如下：X15- 0 15 30P112 512 512 112155115(15)01530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯=．（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B .则 223332381()()()555125P A C =+=，511()12122P B =+=． 故甲乙两人至少有一人入选的概率4411031()1.1252125P P A B =-⋅=-⨯= 23. （1）证明：数集{}1,1,A a =-时，列表如下：1a (1,1)-- (1,1)- (1,)a - (1,1)-(1,1) (1,)a (,1)a - (,1)a (,)a a 2a(1,1)-(1,1)(,1)a(,)a a(1,1)-(,1)a -(1,)a(1,)a -(1,1)-由表知：12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，∴数集A 具有性质P ；（2）选取1(,2)a b =，B 中与1a 垂直的元素必有形式(1,)t -，2b t ∴=，2b >，{}1,1,2,t A b ∈=-，2t ∴=，2(2)2b ∴==；（3）由（1）（2）猜测1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. 记{}21,1,,,m m A x x =-，2,3,,m n =.先证明:若1m A +具有性质P ，则m A 也具有性质P .任取1(,),a s t s =、m t A ∈.当s 、t 中出现1-时,显然有2a 满足120a a ⋅=; 当1s ≠-且1t ≠-时，1s ≥、1t ≥.因为1m A +具有性质P ,所以有211111(,),,m a s t s t A +=∈，使得120a a ⋅=, 从而1s 和1t 中有一个是1-，不妨设11s =-.假设1t ∈1m A +且1t ∉m A ，则11m t x +=.由1(,)(1,)0m s t x +⋅-=， 得11m m s tx x ++=≥，与m s A ∈矛盾.1t ∴∈m A .从而m A 也具有性质P现用数学归纳法证明猜测: 1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. ①当n =1和2时，结论显然成立;②假设n=m 时, {}21,1,,,m m A x x =-有性质P ，则1k k x q -=，1,2,,k m =； 当n=1m +时,若{}1211,1,,,,m m m A x x x ++=-有性质P ，则{}21,1,,,m m A x x =-也有性质P ，{}1111,1,,,,m m m A q q x -++∴=-. 取11(,)m a x q +=，并设2(,),a s t =满足120a a ⋅=，即10m x s qt ++=. 由此可得1s =-或1t =-. 若1t =-，则1m q x q s+=≤矛盾；1s ∴=-，1m x qt +=，又11m m x q -+>，{}1111,1,,,,m m m t A q q x -++∈=-，1q >1m t q -∴=，1m m x q +∴=.综合①②知，1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤.。
南通数学学科基地密卷(3).docx
2014年高考模拟试卷(3)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1. 函数()sin()3f x x πω=-的最小正周期为3π，其中0ω>，则ω= .2. 若复数21(1)z a a i =-++是纯虚数，则实数a = .3. 若{Z |2216},{3,4,5}x A x B =∈≤≤=，则AB = .4. 已知双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>中，若以其焦点为圆心，半实轴长为半径的圆与渐近线相切，则其渐近线方程为 ． 5．如果数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的方差是a ，若数据132x -，232x -，332x -，…，32n x -的方差为9，则a = .6. 执行右边的程序框图，若p ＝80，则输出的n 的值为 .7. 如果投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为x 和y ，则log (1)1x y -=的概率为 . 8．若)(x f 是R 上的增函数，且2)2(,4)1(=-=-f f ，设{}31)(|<++=t x f x P ，{}4)(|-<=x f x Q ，若“P x ∈”是“Q x ∈的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是______.9．正方形铁片的边长为8cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为4π的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于________cm 3.10. 若方程[][]22221,1,5,2,4x y a b a b+=∈∈表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆，则输入P开始结束输出n n ←1, S ←0S < p n ←n + 1S ←S + 2n NY (第6题)z a b =+的最小值为 ．11. 已知22()9,f x x x kx =-++若关于x 的方程()0f x =在（0，4）上有两个实数解，则k 的取值范围是 .12. 已知圆C 过点(1,1)P ，且与圆M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.若Q 为圆C 上的一个动点，则PQ MQ ⋅的最小值为 .13. 已知函数3221()(21) 1.3=++-+-+f x x x a x a a 若函数()f x 在(]1,3上存在唯一的极值点．则实数a 的取值范围为 ．14. 已知函数22 () n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数 ，且()(1)n a f n f n =++，则1232014a a a a +++⋯+=.二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,向量(1,2)m =，2(cos2,cos )2An A =，且1m n ⋅=.(1)求角A 的大小；(2)若223b c a +==,求证：ABC ∆为等边三角形.16.（本小题满分14分）在直三棱柱111ABC A B C -中，AC=4,CB=2,AA 1=2，60ACB ∠=，E 、F 分别是11,AC BC 的中点．（1）证明：平面AEB ⊥平面1B CF ；（2）设P 为线段BE 上一点，且2EP PB =，求三棱锥11P B C F -的体积．P F EC 1B 1A 1CBA17.（本小题满分14分）设椭圆方程22221x y a b+=(0)a b >>，椭圆上一点到两焦点的距离和为4，过焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，AB =2． （1）求椭圆方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，且直线OM 与ON 的斜率之积为12-，是否存在动点00(,)P x y ，若2OP OM ON =+，有22002x y +为定值．18. (本小题满分16分) 某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB 至少长3米，C 为AB 的中点，B 到D 的距离比CD 的长小0.5米，∠BCD=600（1）若,CD x =,BC y =将支架的总长度表示为y 的函数，并写出函数的定义域.（注：支架的总长度为图中线段AB 、BD 和CD 长度之和）（2）如何设计,AB CD 的长，可使支架总长度最短．_ D _ B19.（本小题满分16分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足等式23n n a S +=.（1）能否在数列中找到按原来顺序成等差数列的任意三项，说明理由；（2）能否从数列中依次抽取一个无穷多项的等比数列，且使它的所有项和S 满足9116013S <<，如果这样的数列存在，这样的等比数列有多少个？（注：设等比数列的首项为1,a ，公比为(||1)q q <，则它的所有项的和定义为11a q-）20.（本小题满分16分）已知函数32()(63)x f x x x x t e =-++，t R ∈. （1）若函数()y f x =有三个极值点，求t 的取值范围；（2）若()f x 依次在,,()x a x b x c a b c ===<<处取到极值，且22a c b +=，求()f x 的零点； （3）若存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式()f x x ≤恒成立，试求正整数m 的最大值.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）在ABC ∆中，,=AB AC 过点A 的直线与其外接圆交于点P,交BC 延长线于点D. 求证：⋅=⋅AP AD AB ACB ．（选修４－２：矩阵与变换）ABC ∆的顶点A （1，2），B （3，3），C （2，1），求在矩阵2002⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的变换下所得图形的面积．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知直线11:()53x tl t y t =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数和直线2:230l x y --=的交于点P .（1）求P 点的坐标；（2）求点P 与(1,5)Q -的距离.PDC BAD ．（选修４－５：不等式选讲）设,a b 是正数，证明：3322222a b a b a b+++≥⋅.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点， 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（2）若二面角D -AP -C 的余弦值为63，求PF 的长度．23．数列{}n a 满足2121n n a a +=-，1N a =且11N a -≠，其中{}2,3,4,N ∈（1）求证：1||a ≤1； （2）求证：()12cos2N k a k Z π-=∈． PFEDCAB。
期初江苏省南通市2014届高三第一次调研测试数学
南通市2014届高三第一次调研测试数学Ⅰ参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，则U A =ð ▲ ．【答案】{3，5}．2． 已知复数1z 13i =+，2z 3i =+(i 为虚数单位)．在复平面内，12z z -对应的点在第 ▲ 象限．【答案】二．3． 命题：“x ∃∈R ，0x ≤”的否定是 ▲ ．【答案】x ∀∈R ，||0x >．4． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ▲ ．【答案】3．5． 设实数x ，y 满足0 0 3 24 x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≥，≥，，，则32z x y =+的最大值是 ▲ ． 【答案】7．6． 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是 ▲ ．【答案】32-．7． 抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：则空气质量指数(AQI )较为稳定(方差较小)的城市为 ▲ （填甲或乙）．【答案】乙．8． 已知正三棱锥的侧棱长为1两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ ． 【答案】25．9． 将函数()()sin 2f x x ϕ=+()0ϕ<<π的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对（第6题）称，则ϕ等于 ▲ ． 【答案】π3．10．等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n ．若log 3［12a n (S 4m +1)］=9，则1n +4m的最小值是 ▲ ． 【答案】52．11．若向量()cos sin αα=，a ，()cos sin ββ=，b ，且2+⋅≤a b a b ，则cos()αβ-的值是 ▲ ． 【答案】1．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+是曲线ln y a x =的切线，则当a ＞0时，实数b 的最小值是 ▲ ． 【答案】1-．13．已知集合M ={(,)|3x y x -≤y ≤1}x -，N ={|P PA,(1,0),(1,0)}A B -，则表示M ∩N 的图形面积等于 ▲ ．【答案】43π+14．若函数2()2014(0)f x ax x a =++>对任意实数t ，在闭区间[1 1]t t -+，上总存在两实数1x 、2x ，使得12|()()|f x f x -≥8成立，则实数a 的最小值为 ▲ ．【答案】8．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，1AB BC ⊥，且1AA AB =． （1）求证：AB ∥平面11D DCC ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC ．（1）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AB ⊄平面11D DCC ， CD ⊂平面11D DCC ，所以//AB 平面11D DCC ． ……………………………………………………………………6分A 1B 1C 1CDD 1（第15题）（2）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形11A ABB 为平行四边形，又1AA AB =，故四边形11A ABB 为菱形．从而11AB A B ⊥．…………………………………………………………………………… 9分 又1AB BC ⊥，而1A B I BC B =，1 A B ，BC ⊂平面1A BC ，所以1AB ⊥平面1A BC ． ………………………………………………………………… 14分16．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长，且c =－3b cos A ，tan C =34．（1）求tan B 的值；（2）若2c =，求△ABC 的面积．（1）解：由正弦定理，得 sin 3sin cos C B A =-，………………………………………………2分即sin()3sin cos A B B A +=-． 所以sin cos cos sin 3sin cos A B A B B A +=-． 从而sin cos 4sin cos A B B A =-．因为cos cos 0A B ≠，所以tan 4tan A B =-．……………………………………………………4分又tan tan tan tan()tan tan 1A B C A B A B +=-+=-，由（1）知，23tan 344tan 1B B =+， 解得1tan 2B =．………………………………………………………………………………6分（2）解：由（1），得sin A =sin B =，3sin 5C =． ………………………………10分由正弦定理，得sin sin 35c A a C ===．……………………………………………12分所以△ABC的面积为114sin 2223ac B ==． ………………………………14分17．(本小题满分14分)已知a 为实常数，y =f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x <0时，f (x )=2x －a 3x 2+1．（1）求函数f (x )的单调区间；（2）若f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，求a 的取值范围．（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f (x )在区间(－∞，0)的单调性即可．f ′(x )＝2＋2a 3x 3，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ． …………………………………………………2分①当a ≤0时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(－∞，0)是单调递增． ……………………… 4分②当a ＞0时，x ∈(－∞，－a )，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间(－∞，－a )是单调递增． x ∈(－a ，0)，f ′(x )＜0，所以f (x )在区间(－a ，0)是单调减．……………………… 6分 综上所述：当a ≤0时，f (x )单调增区间为(－∞，0)，(0，+∞)；当a ＞0时，f (x )单调增区间为(－∞，－a )，(a ，+∞)，单调减区间为(－a ，0)，(0，a )．…………………… 7分 （2）解：因为f (x )为奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－(－2 x －a 3x 2＋1)＝2x ＋ a 3x 2－1． …………………… 9分①当a ＜0时，要使f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，即2x ＋ a 3x 2≥a 对一切x ＞0成立．而当x ＝－a2＞0时，有－a +4a ≥a ，所以a ≥0，则与a ＜0矛盾．所以a ＜0不成立．………………………………………………………………………11分 ②当a ＝0时，f (x )＝2x －1＞－1=a －1对一切x ＞0成立，故a ＝0满足题设要求．…12分 ③当a ＞0时，由(1)可知f (x )在(0，a )是减函数，在(a ，+∞)是增函数．所以f min (x )=f (a )＝3a －1＞a －1，所以a ＞0时也满足题设要求． ………………… 13分 综上所述，a 的取值范围是[0,)+∞．…………………………………………………… 14分18．(本小题满分16分)如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为»EF的中点，其所在圆O 的半径为4 dm （圆心O 在弓形EMF 内），∠EOF =23π．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD (不计损耗)， AD ∥EF ，且点A 、D 在»EF上，设∠AOD =2θ． （1）求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式；（2）当矩形铁片ABCD 的面积最大时，求cos θ的值．（1）解：设矩形铁片的面积为S ，AOM θ∠=．当03θπ<<时（如图①），4cos 2AB θ=+，24sin AD θ=⨯，()()()4cos 224sin 16sin 2cos 1S ABAD θθθθ=⨯=+⨯=+．…………………………… 3分当32θππ<≤时（如图②），24cos AB θ=⨯，24sin AD θ=⨯， 故64sin cos 32sin2S AB AD θθθ=⨯==．综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为（第18题）②①()16sin 2cos 1 0 332sin 2 .32S θθθθθπ⎧+<<⎪=⎨ππ⎪<⎩，，，≤……………………………………………………… 7分 （2）解：当03θπ<<时，求导，得 ()()()216cos 2cos 1sin 2sin 164cos cos 2S θθθθθθ'=++-=+-⎡⎤⎣⎦． 令0S '=，得cos θ= 10分记区间(0 )3π，0θ（唯一存在）．列表：又当32θππ<≤时，32sin2S θ=在[ )32ππ，上的单调减函数， 所以当0θθ=即cos θ时，矩形的面积最大．………………………………… 16分19．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>过点(1，又椭圆内接四边形ABCD (点A 、B 、C 、D 在椭圆上)的对角线AC ，BD 相交于点1(1 )4P ，，且2AP PC =u u u r u u u r，2BP PD =u u u r u u u r ．（1）求椭圆的方程；（2）求直线AB 的斜率．（1）解：依题意，22222 1314. c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得2241. a b ⎧⎪⎨⎪⎩=，=所求椭圆的方程为2214x y +=． ………………………………………………………… 6分 （2）解：设()11 A x y ，，则221114x y +=．由2AP PC =u u u r u u u r ，得()1133428x y C --，．…………………………………………………… 8分 （第19题）代入椭圆方程2214x y +=，得()()21213342148x y --+=．整理，得221111319()04216x y x y +-+-=，………………………………………………… 10分即1118x y +=-． ③ …………………………………………… 12分 设()22 B x y ，，同理可得2218x y +=-． ④ …………………………………………… 14分 ③-④，得21211y y x x -=--，即直线AB 的斜率为21211y y k x x -==--． …………………… 16分 20．(本小题满分16分)已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1+a 2＝a 3，b 1b 2＝b 3，且a 3，a 2+ b 1，a 1+ b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列．（1）求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项：第1次从数列{a n }中取a 1， 第2次从数列{b n }中取b 1，b 2， 第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4， 第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， ……第2n －1次从数列{a n }中继续依次取2n －1个项， 第2n 次从数列{b n }中继续依次取2n 个项， ……由此构造数列{c n }：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12，…，记数列{c n }的前n 和为S n ．求满足S n ＜22014的最大正整数n ． （1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，得1112111111112111()2 () (2)()2[() ()(). a a d a d b b q b q a d a b q a d b a d a b q ++=+⎧⎪=⎪⎨+++=++⎪⎪+=⎩，，]，解得a 1=d =1，b 1=q =2．故a n =n ，b n =2n ．…………………………………………………………………………… 6分（2）解：将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2 n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有()22211222nn n n n P +++=+-． ………… 11分222014207120144545(451)222202P +-=+-->，2220141981334444(441)22(21)202P +-=---<．当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22012）时，222014201345(451)22202n S +-=--+<．………………………………………………… 13分当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22013)时，22201445(451)2202n S +-=-+>．可得到符合20142n S <的最大的n =452＋2012=4037．…………………………………… 16分数学Ⅱ（附加题）参考答案与评分标准21．【选做题】A ． 选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ，且BN =2AM ． 求证：AB 2=AC ．证明：如图，在△ABC 中，因为CM 是∠ACM 的平分线，（第21—A 题） ABCMN O所以 AC AM BC BM=，① …………………………… 3分 又因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的割线， 所以BM BA BN BC ⋅=⋅， 即 BA BN BC BM=，…………………………………… 6分 又BN =2AM ，所以2 BA AM BC BM=，②…………………………… 8分 由①②，得AB 2=AC ． ……………………… 10分B ． 选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）设二阶矩阵A ，B 满足11234-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，()11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦BA ，求1-B ． 解：设1a b c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，因为()111---=BA A B ，………………………………………………… 2分 所以10120134a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即21 20 340 341 a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，，…………………………………………… 6分 解得2 1 3 21 2a b c d =-⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩，，，，所以1213122--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦B ．…………………………………………………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）在极坐标系中，已知曲线C ：2sin =ρθ，过极点O 的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点， 3AB =，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为0θθ=(ρ∈R )，() 0A 0，，()10 B ρθ，， …………………………………2分 则1|0|AB =-=ρ0|2sin |θ．………………………………………………………………… 5分 又3AB 03sin =θ …………………………………………………………… 7分解得03π=θ+2k π或03π=-θ+2k π，k ∈Z ．所以直线l 的方程为3π=θ或32π=θ (ρ∈R )． ………………………………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数，求证：111yx z yz zx xy x y z++++≥．证明：因为x ，y ，z 均为正数，所以()12y yx x yz zx z x y z++≥≥．……………………………… 4分同理可得2yz xy zx x+≥，2x z yz xy y +≥． ………………………………………………… 7分当且仅当x =y =z 均时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边左，右两边分别相加，并除以2，得111yx z yz zx xy x y z ++++≥．…………………………………………………………… 10分【必做题】 22．（本小题满分10分）如图，设1P ，2P ，…，6P 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一 个三角形，记该三角形的面积为随机变量S ． （1）求S =的概率；（2）求S 的分布列及数学期望()E S ．解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有36C种不同选法，其中S =的为有一个角是 30o 的直角三角形（如△145P P P ），共6212⨯=种，所以(361235C P S ===． ………………… 3分（2）S．S =的为顶角是120o 的等腰三角形（如△123P P P ），共6种，所以(366310C P S ===． …………………………………………………… 5分4（第22题）S =的为等边三角形（如△135P P P ），共2种，所以(362110C P S ===．…… 7分 又由（1）知(361235C P S ==，故S 的分布列为所以331()10510E S =++=．……………………………………… 10分23．（本小题满分10分）已知1，2，…，n 满足下列性质T 的排列1a ，2a ，…，n a 的个数为()f n （n ≥2，且n ∈N *）． 性质T ：排列1a ，2a ，…，n a 中有且只有一个1i i a a +>（i ∈{1，2，…，1n -}）．（1）求(3)f ；（2）求()f n ． 解：（1）当3n =时，1，2，3的所有排列有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)， (3，1，2)，(3，2，1)，其中满足仅存在一个i ∈{1，2，3}，使得1i i a a +>的排列有 (1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，所以(3)4f =．………………………………………………………………………… 3分 （2）在1，2，…，n 的所有排列1(a ，2a ，…，)n a 中，若(11)i a n i n =-≤≤，从1n -个数1，2，3，…，1n -中选1i -个数按从小到大的顺序 排列为1a ，2a ，…，1i a -，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个数为11C i n --．……………………………………………………………………… 6分若n a n =，则满足题意的排列个数为(1)f n -．……………………………………… 8分 综上，()f n =(1)f n -+1111Cn i n i ---=∑1(1)21n f n -=-+-．从而()33212()(3)(3)2112n n f n n f n --=--+=---． ……………………………… 10分。
南通数学学科基地密卷(5)参考答案
信达信达2014年高考模拟试卷(5)参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1. {3，5}；3. 2；4. 120 ；5. 12；6. 1.45；7.1；8.6π；9.（1，2）；10. 79.依题意，3tan 4A =，[]311343tan tan ()319143B A A B +=--==-⨯，则313493tan 3tan()379313149C A B +=-+=-⨯=-⨯ ； 11. {1-，9}．依题意，22(2)(2)13a b -+-=，且2322b a -=-，联立方程组解得22 23a b -=⎧⎨-=⎩，或22 23a b -=-⎧⎨-=-⎩，，即4 5a b =⎧⎨=⎩，或0 1a b =⎧⎨=-⎩，，从而9a b +=或1a b +=- ； 12. 9.连接DE ，易得11A AED A FED V V --=，又11113A AED E A AD A AD V V S AB --∆==⋅111111119662A ADD ABCD A C D S AB V -=⋅==，所以19A AEFD V -=； 13. 45.易得1123tan tan()1 11123C A B +=-+==-⨯-，sin sin sin A B C ==从而2 1==由得，a c ac 45⋅=则 a c ； 14. 3-.11123344222323424n n n n n n n n n a a a a b a a a a λλλλλμμμμμ++++⎡⎤--+⎢⎥-+--===⎢⎥-+--⎢⎥+--⎢⎥+⎣⎦，因为数列{}nb 为等比数列，所以342λλλ--=-，342μμμ--=-，且公比为22λμ--，故λμ, 为方程342x x x --=-的两不等实根，从而3λμ=-．二、解答题15. 解：（1）由222b a c ac --cos sin C A=得，222cos 2a c b B ac +-=()1sin cos 2cos sin C C A A =-1sin sin cos cos 2sin cos C A C A A A -=⋅()cos sin 2A C A-+=cos sin 2BA =， 因为△ABC 为锐角三角形，所以cos 0B ≠，从而sin 21A =，又()0 A ∈π，，故A π=4； （2）()22()2cos sin sin cos f B B B B B π=+-+6)12cos cos cos22B B B B =++2cos cos cos2B B B B =++1cos 22cos 22B B B+=++()11sin 222B B =+()1232B π=++，由0B B π⎧<<⎪2⎨3ππ⎪0<-<⎩42，得，B ππ<<42，从而542633B ππ<+<π，故()1sin 232B π<+<，所以0()f B <<，所以()f B的值域为(0．信达信达16．证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中， 1C C ⊥平面ABC ， 又AC ，BC ⊂平面ABC ， 所以1C C ⊥AC ，1C C ⊥BC ， 又AC ⊥BE ， 1BE C C E =I ，1 BE C C ⊂，平面11BCC B ，所以AC ⊥平面11BCC B ，又BC ⊂平面11BCC B ，所以AC ⊥BC ，而1AC C C C =I ，1 AC C C ⊂，平面11ACC A ， 所以BC ⊥平面11ACC A ，又1C D ⊂平面11ACC A ，所以1BC C D ⊥； （2）当4BE ME =时，1//C D ⊥平面BFM ，下证之：连结AE ，FM ，在△ABE 中，由4AB AF =，4BE ME =得，//AE MF ，又在平面11ACC A 中，易得1//AE C D ， 所以1//MF C D ， 又1C D ⊄平面BFM ，MF ⊂平面BFM ，所以1//C D ⊥平面BFM ．17.解：（1）如图，设圆心为O ，连结OC ，设BC =x ，法一 易得BC =(0 30)x ∈，，所以矩形ABCD 的面积为()2S x == 22900x x +-≤ 900=（2cm ）（当且仅当22900x x =-，x =cm ）时等号成立）此时BC =cm ； 法二 设COB θ∠=，()0 θπ∈2，； 则30sin BC θ=，30cos OB θ=， 所以矩形ABCD 的面积为()230sin 30cos 900sin 2S θθθθ=⨯⨯=，当sin 21θ=，即θπ=4时，max ()900S θ=（2cm ），此时BC =cm ； （2）设圆柱的底面半径为r ，体积为V ，由2AB r =π得，r =， （第16题图）1A AB C 1C 1B F EMD所以()231900V r x x x =π=-π，其中(0 30)x ∈，，由()2190030V x '=-=π得x =，此时，()31900V x x =-π在(0，上单调递增，在()上单调递减，故当x =cm3cm ，答：（1）当截取的矩形铁皮的一边BC为cm 为时，圆柱体罐子的侧面积最大． （2）当截取的矩形铁皮的一边BC为cm 为时，圆柱体罐子的体积最大．18. 解：（1）易得223121 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=；（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，，①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+，代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， 所以()()2220000022220000284888 (2 )48888y y y y OP OM y y y y y ----⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪++++⎝⎭u u u r u u u u r ，，， ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下：依题意，020200208822828PBy y k y y y +==----+（）， 由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =，所以直线MQ 过定点(0 0)O ，．19. 解：（1）①依题意，s ，t ()s t <为方程2()32()0f x x a b x ab '=-++=的两个实根， 而(0)0f ab '=>，()()0f a a a b '=-<，()()0f b b b a '=-<， 故()0f x '=在区间(0 )a ，和( )a b ，内各有一个实根，信达信达所以0s a t b <<<<；②由①得，2()3a b s t ++=，3ab st =，因为()()3322342()()()()()()273f s f t s t a b s t ab s t a b ab a b +=+-++++=-+++，()()321()()23273s t a b f f a b ab a b ++==-+++，所以()()f s f t +=()22s t f +，即证线段AB 的中点C 在曲线()y f x =上； （2）过原点且与曲线()y f x =相切的两条直线不垂直，理由如下：设过曲线()y f x =上一点()00 P x y ，的切线方程为： 20000 32()()y y x a b x ab x x ⎡⎤-=-++-⎣⎦，因为切线过原点，所以2000032()y x x a b x ab ⎡⎤=-++⎣⎦，又0000()()y x x a x b =--，所以200032()x x a b x ab ⎡⎤-++=⎣⎦000()()x x a x b --，解得00x =，或02a b x +=，当00x =时，切线的斜率为ab ；当02a b x +=时，切线的斜率为2()4a b ab +-； 因为0a b <<，且a b +< 所以两条切线斜率之积为：ab ⋅22222()1()()()2(1)1144a b ab ab ab a b ab ab ab ⎡⎤+-=-+>-=---⎢⎥⎣⎦≥， 所以过原点且与曲线()y f x =相切的两条直线不垂直． 20.证明：（1）①因为11n a +=，所以221114n na a +-=， 故数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为4的等差数列；②由①得211(1)4nn a =+-，又易得0n a >，故n a =因为n a ，所以n S >⋅⋅⋅+=（2）由212211683n nn n T T n n a a ++=+--得，1(43)(41)(43)(41)n n n T n T n n +-=++-+， 即114143n n T Tn n +-=+-，所以数列43n T n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1b 为首项，1为公差的等差数列，从而1143nT b n n =+--， 令2n =，3得，2145b b =+，31413b b =+，若{}n b 为等差数列，则2132b b b =+， 所以()111245413b b b +=++，解得11b =， 此时，243n T n n =-，87n b n =-恰为等差数列，所以，当11b =时，数列{}n b 为等差数列．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 证明：因为△ACD ∽△BCF ，所以∠ACD =∠BCF ， 故∠ACD ACF +∠=∠BCF ACF +∠，即∠DCF =∠BCE ，又∠BDC =∠BAC ，所以△ABC ∽△DFC ．B ．解：因为1()-=AB 11--B A ，所以1-B11014110022⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 解得1-=B 11201⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由逆矩阵公式得，B 11201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． C. 解：如图，设圆上任意一点( )P ρθ，，连结PO ，PC ，OC ，在△POC 中，由余弦定理得()212cos 4ρθπ+--=4， 整理得()27cos 04ρθπ--+=4，故所求圆的极坐标方程为()27cos 04ρθπ--+=4．D. 证明：依题意h a ≤，222b h a b+≤，由不等式的性质，两式相乘得2222ab h a b+≤，因为222a b ab +≥，所以22221ab h a b+≤≤（当且仅当a b =时等号成立），即证．CDB （第21题A ） （第21—C 题）信达信达22.解：（1）依题意，数对（x ，y ）共有16种，其中使x y为整数的有以下8种：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2）， 所以81(0)162P ξ===；（2）随机变量ξ的所有取值为1-，0，1，1ξ=-有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）， 故63(1)168P ξ=-==；1ξ=有以下2种：（3，2），（4，3）， 故21(1)168P ξ===；所以ξ的分布列为：3111()1018284E ξ=-⨯+⨯+⨯=-， 答：ξ的数学期望为14-．23.证明：（1）①当1n =时，cos isin cos isin x x x x +=+，即证；②假设当n k =时，(cos isin )cos isin k x x kx kx +=+成立，则当1n k =+时，()1(cos isin )cos isin (cos isin )k x x kx kx x x ++=++ ()()cos cos sin sin sin cos sin cos i kx x kx x kx x x kx =-++ ()()cos 1isin 1k x k x =+++， 故命题对1n k =+时也成立，由①②得，(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+； （2）由（1）知，[]01(cos isin )C (cos isin )C (cos isin )n nnrrr nn r r x x x x rx rx ==++=+=+∑∑，其实部为121C cos C cos 2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+；[](1cos )isin nx x ++=()()22cos 2isin cos 2cos cos isin 222222nnnnx x xx x x +=+()2cos cos isin 222n n x nx nx =+，其实部为2cos cos 22n n x nx ，根据两个复数相等，其实部也相等可得：121C cos C cos 2C cos n n n n x x nx +++⋅⋅⋅+2cos cos 22n n x nx =．。
南通市2014届高三数学最后一卷参考答案与评分建议
(第10题图)(第9题图) 南通市2014届高三数学参考答案与评分建议 数学I参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．． 1．已知集合A ={1，k -1}，B ={2，3}，且A ∩B ={2}，则实数k 的值为 ▲ ．答案：3． 2．若复数z 满足i z =2(i 为虚数单位)，则z = ▲ ．答案：-2i ． 3．不等式组0,0,2x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积为 ▲ ．答案：2．4．函数y =sin 2x 的最小正周期为 ▲ ．答案：π．5．若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A -BDA 1的体积为 ▲ ．答案：16．6．已知函数23,0,()1,0,x x f x x x ->⎧=⎨+⎩≤若f (x )=5，则x = ▲ ．答案：8或-2．7．设函数f (x )=log 2x (0<x <5)，则f (x )<1的概率为 ▲ ．答案：25． 8．某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为 答案：1200．9．如图是一个算法流程图．若输入A =3，B =5，则输出A ，B 的值分别为▲ ．答案：5，3．10．已知向量a ，b ，c在正方形网格中的位(第8题图)(,)λμλμ=+∈R c a b ，则λμ+= ▲ ．答案：53-．11．已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则2242x y x y +-的最小值为 ▲ ．答案：4．12．设t ∈R ，[t ]表示不超过t 的最大整数．则在平面直角坐标系xOy 中，满足[x ]2+[y ]2=13的点P (x ，y )所围成的图形的面积为 ▲ ．答案：8．13．设函数f (x )满足f (x )=f (3x )，且当x ∈[1,3)时，f (x )=ln x ．若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数x 1，x 2，x 3，使得312123()()()f x f x f x x x x ===t ，则实数t 的取值范围为 答案：ln31(,)93e． 14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为 ▲ ．答案：92．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域内作答．．．．．．．．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，|AB AC -|=3，|BC BA -|=5，|CA CB -|=7． (1)求C 的大小；(2)设D 为AB 的中点，求CD 的长．解：(1)依题意BC =3，CA =5，AB =7．······························1分 由余弦定理，得222cos 2CB CA AB C CB CA+-=⋅⋅=12-． ····················4分因0<C <π，···············6分 故C =23π．·······················8分(2)由余弦定理，得13cos 14A =．··············11分 在△ADC 中，AD =72，CD 2=AC 2+AD 2-2AC ×AD ×cos A =194，于是CD．·· 14分16．（本小题满分14分）如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆上，四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，∠BAF =3π，M 为BD 的中点，平面ABCD ⊥平面ABEF ．求证：(1)BF ⊥平面DAF ； (2)ME ∥平面DAF ．(第15题图)BAC解：(1)因四边形ABCD 为矩形，故DA ⊥AB ．因平面ABCD ⊥平面ABEF ，且DA ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ABEF =AB ， 故DA ⊥平面ABEF ． ·············3分，因BF ⊂平面ABEF ，故DA ⊥BF ． ··········4分 因AB 为直径，故BF ⊥AF ．因DA ，AF 为平面DAF 内的两条相交直线，故BF ⊥平面DAF ．·····················7分 (2)因∠BAF =3π，AB ∥EF ，故EF =12AB ．··················································8分 取DA 中点N ，连NF ，MN ，因M 为BD 的中点， 故MN ∥AB ，且MN =12AB ，于是四边形MNFE 为平行四边形，所以ME ∥NF ．··· 1分 因NF ⊂平面DAF ，ME ⊄平面DAF ，故ME ∥平面DAF ．·····14分注：第(2)问，亦可先证明ME ∥平面MOE ．17．（本小题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设AB =2x ，BC =y ． (1)写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度T 最大．解：(1)易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为πx ． 所以，4=2x +2y +πx ，得4(2)2xy -+π=．····················································4分 依题意，知：0<x <y ，得404x <<+π． 所以，4(2)2x y -+π=(404x <<+π)．·······················································7分 (2)依题意，T =AB S ⋅=212(2)2x xy x -π=238(43)x x -+π． ······························9分令2163(43)T x x '=-+π=0，得16912x =π+∈4(0,)4+π，另一解舍去．··············11分(第17题图)图1图2所以当16912x =π+，凹槽的强度最大．·····················································14分注：x 的范围写为404x <≤+π，不扣分． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(a >b >0)过点(1，1)．(1)，求椭圆的方程； (2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．(2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．①已知命题：“直线PQ 恒与定圆C 相切”是真命题，试直接写出圆C 的方程；(不需要解答过程)②设①中的圆C 交y 轴的负半轴于M 点，二次函数y =x 2-m 的图象过点M ．点A ，B在该图象上，当A ，O ，B 三点共线时，求△MAB 的面积S 的最小值．解：(1)由e =，所以::a b c =．························································2分 设椭圆方程为222212x y b b+=，将(1，1)代入得221112b b +=，所以223,32b a ==，椭圆方程为222133x y +=．··················5分 (2)①221x y +=．··················································································9分 ②由题意，二次函数为y =x 2-1．········· 10分 设直线AB 的方程为y =kx ．由21y x y kx⎧=-⎨=⎩，消去y 得，210x kx --=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x k +=，121x x =-．······································12分所以2112S OM x x =⋅-= ·····························14分 当0k =时，△MAB 的面积S 的最小值为1． ··········16分19．（本小题满分16分）设数列{a n }，a 1=1，1133n n n a a +=+．数列{b n }，13n n n b a -=．正数数列{d n }，2221111n n n d b b +=++． (1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)设数列{b n }，{d n }的前n 项和分别为B n ，D n ，求数列{b n D n +d n B n -b n d n }的前n 项和S n ．解：(1)由1133n n n a a +=+，得11331n n n n a a -+=+． 又13n n n b a -=，所以11n+n b b +=．·······························································3分 又b 1=a 1=1，所以数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．·····················4分 (2)由(1)得1(1)1n b n n =+-⨯=，B n =(1)2n n +．·············································6分 因2221111n n n d b b +=++， 故222221121)111(1)(1)nn n d n n n n ++=++=+++（21[1](1)n n =++． 由d n >0，得11111(1)1n d n n n n =+=+-++．于是，111n D n n =+-+． ·································10分 又当n ≥2时，b n D n +d n B n -b n d n =(B n -B n -1)D n +(D n -D n -1)B n -(B n -B n -1)(D n -D n -1)=B n D n -B n -1D n -1， 所以S n =(B n D n -B n -1D n -1)+(B n -1D n -1-B n -2D n -2)+…+(B 2D 2-B 1D 1)+B 1D 1=B n D n ．··········14分 因S 1=b 1D 1+d 1B 1-b 1d 1=B 1D 1也适合上式，故对于任意的n ∈N *，都有S n =B n D n ． 所以S n =B n D n =(1)2n n +⋅1(1)1n n +-+=321(2)2n n +． ···············16分 20．（本小题满分16分）设函数f (x )=ax 2+e x (a ∈R )有且仅有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)． (1)求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a 满足f (x 1)=231e x ?如存在，求f (x )的极大值；如不存在，请说明理由． 解：(1)()f x '=2ax +e x ．显然a ≠0，x 1，x 2是直线y =12a-与曲线y =g (x )=e x x两交点的横坐标．··············2分由()g x '=1ex x-=0，得x =1．列表：·························································4分 此外注意到： 当x <0时，g (x )<0；当x ∈[0，1]及x ∈(1，+∞)时，g (x )的取值范围分别为[0，1e ]和(0，1e )．于是题设等价于0<12a -<1e⇒a <e 2-，故实数a 的取值范围为(-∞，e2-)．········6分(2)存在实数a 满足题设．证明如下： 由(1)知，0< x 1<1<x 2，1()f x '=2ax 1+1e x =0，故f (x 1)=121+e x ax =111e e 2x x x -=231e x ，故11231e 1e e 02x x x --=．····························8分 记R (x )=23e 1e e 2x x x --(0<x <1)，则()R x '=2e (1)1e 02x x x x --<，于是，R (x )在(0，1)上单调递减． 又R (23)=0，故R (x )有唯一的零点x =23． 从而，满足f (x 1)=231e x 的x 1=23．所以，a=1231e 3e 24x x -=-．·····························12分 此时f (x )=2233e e 4x x -+，()f x '=233e e 2x x -+，又(0)f '>0，(1)f '<0，(2)f '>0，而x 1=23∈(0，1)， 故当a =233e 4-时，f (x )极大=f (x 1)=232e 3．·······················································16分南通市2014届高三数学临门一脚数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，⊙O 是三角形△ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 到点D ，使得CD =AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证BE 平分∠ABC ．解：因CD =AC ，故∠D =∠CAD ．因AB =AC ，故∠ABC =∠ACB ． 因∠EBC =∠CAD ，故∠EBC =∠D ．因∠ABC =∠ABE +∠EBC ，∠ACB =∠D +∠CAD ．故∠ABE =∠EBC ，即BE 平分∠ABC ． ···················································10分B ．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3． (1)求a ，b 的值；(2)求属于2λ的一个特征向量α．解：(1)令2()()(4)(4)4014abf a b a a b λλλλλλλ--==--+=-+++=-，于是 1λ+2λ=a +4，1λ⋅2λ=4a +b ．解得a =1，b =2． ············································5分(2)设α=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则A α=1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=24x y x y +⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=33x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故23,43,x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x =y ．于是，α=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．···············································10分(第21A 题图)C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）圆C 的参数方程为12cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，设P 是圆C 与x 轴正半轴的交点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．解：由题设知，圆心(1C ，(2,0)P ，∠CPO =60°，故过P 点的切线的倾斜角为30°． ····························································3分 设(,)M ρθ是过P 点的圆C 的切线上的任一点，则在△PMO 中， ∠MOP =θ，030OMP θ∠=-，0150OPM ∠=． 由正弦定理得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠，于是002sin150sin(30)ρθ=-， 即0cos(60)1 ρθ+=（或0sin(30)1ρθ-=）即为所求切线的极坐标方程．·········10分D ．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1解：因 a 、b 、c ＞0，故 2 111++)2≤((a +1)+(b +1)+(c +1))(1+1+1)=12，························································3分，a =b =c =13时，取“=”．··········································10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）(1)计算：2013320145C A +；(2)观察下面一组组合数等式：101C C n n n -=；2112C C n n n -=；3213C C n n n -=；…由以上规律，请写出第k (k ∈N *)个等式并证明．解：(1)原式=2074．·····················································································5分(2)等式为：11C C k k n n k n --=，k ∈N *． ····························································7分证明：C k n k =!!()!kn k n k -=(1)!(1)!((1)(1))!n n k n k -----=11C k n n --．·······························10分23．（本小题满分10分）数列{a n }，{b n }满足a 1=b 1，且对任意正整数n ，{a n }中小于等于n 的项数恰为b n ； {b n }中小于等于n 的项数恰为a n ． (1)求a 1；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)首先，容易得到一个简单事实：{a n }与{b n }均为不减数列且a n ∈N ，b n ∈N ． 若a 1=b 1=0，故{a n }中小于等于1的项至少有一项，从而b 1≥1，这与b 1=0矛盾． 若a 1=b 1≥2，则{a n }中没有小于或等于1的项，从而b 1=0，这与b 1≥2矛盾． 所以，a 1=1．························································································4分 (2)假设当n =k 时，a k =b k =k ，k ∈N *．若a k +1≥k +2，因{a n }为不减数列，故{a n }中小于等于k +1的项只有k 项， 于是b k +1=k ，此时{b n }中小于等于k 的项至少有k +1项(b 1，b 2，…，b k ，b k +1)， 从而a k ≥k +1，这与假设a k =k 矛盾．若a k +1=k ，则{a n }中小于等于k 的项至少有k +1项(a 1，a 2，…，a k ，a k +1)， 于是b k ≥k +1，这与假设b k =k 矛盾． 所以，a k +1=k +1．所以，当n =k +1时，猜想也成立．综上，由(1)，(2)可知，a n =b n =n 对一切正整数n 恒成立．所以，a n =n ，即为所求的通项公式．························································10分。
江苏省南通市高三第一次调研测试数学试题 Word版含答案.pdf
即又BN=2AM ②…………………………… 8分
由①②，得ABAC．选修4—2：矩阵与变换
（本小题满分10分），满足，，求．，因为，………………………………………………… 2分
所以，即…………………………………………… 6分
解得所以． 10分
C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）：，过极点O的直线与曲线相交于A、B两点，
结束
Y
N 输入x ② M · （第18题） M F O E · ① M · （第19题） A B C D x P y · O （第2题） B C M N O （第22题） P1
，求直线的方程．的方程为(ρ∈R)，，， …………………………………2分
则．，故．+2kπ或+2kπ，k∈Z．修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知，，均为正数求证：．证明：因为，，均为正数所以．同理可得．当且仅当yz均时，以上三式等号都成立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得．【必做题】
（本小题满分10分），，…，为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．．（1）的概率；
（）的分布列及数学期望．1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共
有种不同选法，其中的为有一个角是
的直角三角形（如△），共种，
所以．（），，．的等腰三角形（如△），共6种，所以．的为等边三角形（如△），共2种，所以．
又
由（1）知，故的分布列为
所以．……………………………………… 10分
23．（本小题满分10分）满足下列性质T的排列，，…，的个数为（n≥2，且n∈，，…，中有且只有一个
（{1，2，…，}）．
（1）求；
（2）求．
解：（1）当时，1，2，3的所有排列有，2，，，3，，，1，，，3，，
南通市2014届高三一模试卷--数学试题
南通市2014届高三一模试卷--数学试题数学Ⅰ参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，则U A =ð ▲ ．【答案】{3，5}．2． 已知复数1z 13i =+，2z 3i =+(i 为虚数单位)．在复平面内，12z z -对应的点在第 ▲ 象限．【答案】二．3． 命题：“x ∃∈R ，0x ≤”的否定是 ▲ ．【答案】x ∀∈R ，||0x >．4． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ▲ ．【答案】3．5． 设实数x ，y 满足0 0 3 24 x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≥，≥，，，则32z x y =+的最大值是 ▲ ． 【答案】7．6． 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是 ▲ ．【答案】32-．7． 抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：城市空气质量指数(AQI)第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 甲109 111 132 118 110 乙110 111 115 132 112 则空气质量指数(AQI )较为稳定(方差较小)的城市为 ▲ （填甲或乙）． 【答案】乙．8． 已知正三棱锥的侧棱长为1随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ ． 【答案】25．9． 将函数()()sin 2f x x ϕ=+()0ϕ<<π的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则ϕ等于 ▲ ．（第6题）【答案】π3．10．等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n ．若log 3［12a n (S 4m +1)］=9，则1n +4m 的最小值是 ▲ ．【答案】52．11．若向量()cos sin αα=，a ，()cos sin ββ=，b ，且2+⋅≤a b a b ，则cos()αβ-的值是 ▲ ．【答案】1．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+是曲线ln y a x =的切线，则当a ＞0时，实数b 的最小值是 ▲ ． 【答案】1-．13．已知集合M ={(,)|3x y x -≤y ≤1}x -，N ={|P PA,(1,0),(1,0)}A B -，则表示M∩N 的图形面积等于 ▲ ．【答案】43π+．14．若函数2()2014(0)f x ax x a =++>对任意实数t ，在闭区间[1 1]t t -+，上总存在两实数1x 、2x ，使得12|()()|f x f x -≥8成立，则实数a 的最小值为 ▲ ．【答案】8．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，1AB BC ⊥，且1AA AB =． （1）求证：AB ∥平面11D DCC ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC ．（1）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AB ⊄平面11D DCC ， CD ⊂平面11D DCC ，所以//AB 平面11D DCC ． ……………………………………………………………………6分（2）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形11A ABB 为平行四边形，又1AA AB =，A 1B 11CDABD 1（第15题）故四边形11A ABB 为菱形． 从而11AB A B ⊥．…………………………………………………………………………… 9分又1AB BC ⊥，而1A B BC B =，1 A B ，BC ⊂平面1A BC ， 所以1AB ⊥平面1A B C． ………………………………………………………………… 14分 16．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长，且c =－3b cos A ，tan C =34．（1）求tan B 的值；（2）若2c =，求△ABC 的面积．（1）解：由正弦定理，得sin 3sin cos C B A =-，………………………………………………2分即sin()3sin cos A B B A +=-． 所以sin cos cos sin 3sin cos A B A B B A +=-． 从而sin cos 4sin cos A B B A =-． 因为c oA B ≠，所以tan 4tan A B=-．……………………………………………………4分 又tan tan tan tan()tan tan 1A B C A B A B +=-+=-，由（1）知，23tan 344tan 1B B =+， 解得1ta 2B =．………………………………………………………………………………6分（2）解：由（1），得sin A =sin B 3sin C =． ………………………………10分由正弦定理，得sin sin 3c A a C ===12分 所以△ABC 的面积为114sin 2223ac B ==． ………………………………14分 17．(本小题满分14分)已知a 为实常数，y =f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x <0时，f (x )=2x－a 3x2+1．（1）求函数f (x )的单调区间；（2）若f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，求a 的取值范围．（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f (x )在区间(－∞，0)的单调性即可．f′(x )＝2＋2a 3x 3，令f′(x )＝，得x＝－a ． …………………………………………………2分①当a ≤0时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(－∞，0)是单调递增． ………………………4分②当a ＞0时，x ∈(－∞，－a )，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间(－∞，－a )是单调递增．x ∈(－a ，0)，f ′(x )＜0，所以f (x )在区间(－a ，0)是单调减．………………………6分综上所述：当a ≤0时，f (x )单调增区间为(－∞，0)，(0，+∞)；当a ＞0时，f (x )单调增区间为(－∞，－a )，(a ，+∞)，单调减区间为(－a ，0)，(0，a )．…………………… 7分 （2）解：因为f (x )为奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－(－2 x －a 3x 2＋1)＝2x ＋ a 3x2－1． …………………… 9分①当a ＜0时，要使f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，即2x ＋ a 3x2≥a 对一切x ＞0成立．而当x ＝－a2＞0时，有－a +4a ≥a ，所以a ≥0，则与a ＜0矛盾．所以a ＜0不成立．………………………………………………………………………11分②当a ＝0时，f (x )＝2x －1＞－1=a －1对一切x ＞0成立，故a ＝0满足题设要求．…12分③当a ＞0时，由(1)可知f (x )在(0，a )是减函数，在(a ，+∞)是增函数． 所以f min (x )=f (a )＝3a －1＞a －1，所以a ＞0时也满足题设要求． …………………13分综上所述，a 的取值范围是[0+∞．…………………………………………………… 14分 18．(本小题满分16分)如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为 EF的中点，其所在圆O 的半径为4 dm （圆心O 在弓形EMF 内），∠EOF =23π．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD (不计损耗)， AD ∥EF ，且点A 、D 在 EF上，设∠AOD =2θ． （1）求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式；（2）当矩形铁片ABCD 的面积最大时，求cos θ的值．（1）解：设矩形铁片的面积为S ，AOM θ∠=．当03θπ<<时（如图①），4cos 2AB θ=+，24sin AD θ=⨯，()()()4cos 224sin 16sin 2cos 1S AB AD θθθθ=⨯=+⨯=+．…………………………… 3分当32θππ<≤时（如图②），24cos AB θ=⨯，24sin AD θ=⨯， 故64sin cos 32sin2S AB AD θθθ=⨯==．综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为()16sin 2cos 1 0 332sin 2 .32S θθθθθπ⎧+<<⎪=⎨ππ⎪<⎩，，，≤……………………………………………………… 7分（2）解：当03θπ<<时，求导，得 ()()()216cos 2cos 1sin 2sin 164cos cos 2S θθθθθθ'=++-=+-⎡⎤⎣⎦．令0S '=，得31c o s θ 10分 记区间(0 )3π，的角为0θ（唯一存在）．列表： θ()00 θ，0θ0( )3πθ，S ' + 0-S 增函数 极大值 减函数又当32θππ<≤时，32sin 2S θ=在[ )32ππ，上的单调减函数，所以当θθ=即cos θ=时，矩形的面积最大．………………………………… 16分 19．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>过点(1，，又椭圆内接四边形ABCD (点A 、B 、C 、D 在椭圆上)的对角线AC ，BD 相交于点1(1 )4P ，，且2AP PC = ，2BP PD = ．（1）求椭圆的方程； （2）求直线AB 的斜率．（1）解：依题意，22222 1314. c a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得224 1. a b ⎧⎪⎨⎪⎩=，=所求椭圆的方程为2214x y +=． ………………………………………………………… 6分（2）解：设()11 A x y ，，则221114x y +=．由2AP PC =，得()11334x y C--，．…………………………………………………… 8分 代入椭圆方程221x y +=，得()()212133421x y --+=．整理，得221111319()04216x y x y +-+-，………………………………………………… 10分 即1118x y +=-． ③ …………………………………………… 12分设()22 B x y ，，同理可得2218x y +=-． ④ ……………………………………………14分③-④，得21211y y x x -=--，即直线AB 的斜率为21211y y k -==-．…………………… 16分20．(本小题满分16分)已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1+a 2＝a 3，b 1b 2＝b 3，且a 3，a 2+ b 1，a 1+ b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列．（1）求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项：第1次从数列{a n }中取a 1， 第2次从数列{b n }中取b 1，b 2， 第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4， 第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， ……第2n －1次从数列{a n }中继续依次取2n －1个项， 第2n 次从数列{b n }中继续依次取2n 个项， ……由此构造数列{c n }：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12，…，记数列{c n }的前n 和为S n ．求满足S n ＜22014的最大正整数n ．（1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，得1112111111112111()2 () (2)()2[() ()(). a a d a d b b q b q a d a b q a d b a d a b q ++=+⎧⎪=⎪⎨+++=++⎪⎪+=⎩，，]，解得a 1=d =1，b 1=q =2． 故a n =n ，b n =2n ．…………………………………………………………………………… 6分（2）解：将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2 n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有()22211222nn n n n P +++=+-． ………… 11分222014207120144545(451)222202P +-=+-->，2220141981334444(441)22(21)202P +-=---<．当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22012）时，222014201345(451)2220n S +-=--+<．………………………………………………… 13分当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22013)时，22201445(451)220n S +-=-+>．可得到符合20142n S <的最大的n =452＋2012=4037．…………………………………… 16分数学Ⅱ（附加题）参考答案与评分标准21．【选做题】A．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N，且BN=2AM．求证：AB2=AC．证明：如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线，所以A C=，B C Array①……………………………3分又因为BA与BC是圆O过同一点B的割线，所以BM BA BN BC ⋅=⋅，即 BA BN BC BM =，…………………………………… 6分又BN =2AM ，所以2 BA AM BC BM=， ②…………………………… 8分由①②，得AB 2=AC ． ……………………… 10分 B ． 选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）设二阶矩阵A ，B 满足11234-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，()11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦BA ，求1-B ． 解：设1a b c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，因为()111---=BA A B ，………………………………………………… 2分所以100134a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即220 340 341 a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，，…………………………………………… 6分 解得2 1 321 a b c d =-⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩，，，，所以1213122--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦B ．…………………………………………………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）在极坐标系中，已知曲线C ：2sin =ρθ，过极点O 的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，AB =l 的方程．解：设直线l 的方程为0θθ=(ρ∈R )，() 0A 0，，()10 B ρθ，， …………………………………2分则1|0|AB =-=ρ0|2sin |θ．………………………………………………………………… 5分又AB =，故0s i n=θ． …………………………………………………………… 7分 解得03π=θ+2k π或03π=-θ+2k π，k ∈Z ．所以直线l 的方程为3π=θ或32π=θ (ρ∈R )． ………………………………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数，求证：111yx z yz zx xy x y z++++≥．证明：因为x ，y ，z 均为正数，所以()12y yx x yz zx z x y z++≥≥．………………………………4分同理可得2y z xy zx x+≥，2x z yz xy y+≥． ………………………………………………… 7分 当且仅当x =y =z 均时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边左，右两边分别相加，并除以2， 得111y x z yz zx xy x y z ++++≥．…………………………………………………………… 10分【必做题】 22．（本小题满分10分）如图，设1P ，2P ，…，6P 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S ． （1）求S 的概率；（2）求S 的分布列及数学期望()E S ．解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有36C种不同选法，其中S 的为有一个角是 30 的直角三角形（如△145PP P ），共6212⨯=种，所以(36123C P S ==． ………………… 3分（2）SS =的为顶角是120 的等腰三角形（如△123PP P ），共6种，所以(366310C P S ===． …………………………………………………… 5分S =（如△135PP P ），共2种，所以(362110C P S ===．…… 7分又由（1）知(361235C P S ===，故S 的分布列为所以333()10510E S =++．……………………………………… 10分 23．（本小题满分10分）已知1，2，…，n 满足下列性质T 的排列1a ，2a ，…，n a 的个数为()f n （n ≥2，且n ∈N *）． 性质T ：排列1a ，2a ，…，n a 中有且只有一个1i i a a +>（i ∈{1，2，…，1n -}）． （1）求(3)f ； （2）求()f n ． 解：（1）当3n =时，1，2，3的所有排列有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，其中满足仅存在一个i ∈{1，2，3}，使得1i i a a +>的排列有(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，SP 310 35 110所以(f =．………………………………………………………………………… 3分（2）在1，2，…，n 的所有排列1(a ，2a ，…，)n a 中，若(11)i a n i n =-≤≤，从1n -个数1，2，3，…，1n -中选1i -个数按从小到大的顺序排列为1a ，2a ，…，1i a -，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个数为11C i n --．……………………………………………………………………… 6分若n a n=，则满足题意的排列个数为(1)f n -．……………………………………… 8分综上，()f n =(1)f n -+1111Cn i n i ---=∑1(1)21n f n -=-+-．从而()33212()(3)(3)2112n n f n n f n --=--+=---． ……………………………… 10分。
江苏省南通市高三数学学科基地密卷2 含答案
N （第14题图） 2014年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 .1．已知集合{}lg M xy x ==，{N x y ==，则M ∩N ＝ ． 2．复数(1i)i z =-(i 为虚数单位)的共轭复数为 ．3．已知函数22,0,(),0x x x f x ax bx x ⎧+≤=⎨+>⎩为奇函数，则a b += ．4．在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的155．如图是一个算法的程序框图，其输出的结果是 ．6．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，若(0,()232f f ππ==, 则实数ω的最小值为 ．7．数列{}n a 满足11()2n n a a n *++=∈N ,112a =-,n S 是{}n a 的前n 项和,则2011S = .8．若()0,3m ∈，则直线(2)(3)30m x m y ++--=与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为 ．9．若中心在原点、焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线方程 为30x y +=，则此双曲线的离心率为 ．10．若不等式xy y x k29422≥+对一切正数x ，y 恒成立，则整数k 的最大值为 ．11．已知点,,,P A B C 是球O 表面上的四个点，且,,PA PB PC 两两成60o 角，1cm PA PB PC ===，则球的表面积为 2cm ．12．已知点G 、H 分别为ABC ∆的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若46AC AB ==，，则HG BC ⋅u u u r u u u r的值为 ．13. 若关于x 的方程43210x ax ax ax ++++=有实数根，则实数a 的取值范围为 ．14. 如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MN BN取最小值时，CN = ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）设函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，函数()2y f x π=+为偶函数． （1）求()f x 的解析式； （2）若α为锐角，3()2125f απ+=，求sin 2α的值． (第5题图)16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，060DAB ∠=，平面PCD ⊥底面ABCD ，E 是AB 的中点，G 为PA 上的一点．（1）求证：平面GDE ⊥平面PCD ；（2）若//PC 平面DGE ，求PGGA 的值．17.（本小题满分14分）近日我渔船编队在钓鱼岛附近点A 周围海域作业，在B 处的海监15船测得A 在其南偏东45o 方向上，测得渔政船310在其北偏东15o 方向上，且与B的距离为里的C 处．某时刻，海监15船发现日本船向在点A 周围海域作业的我渔船编队靠近，上级指示渔政船310立刻全速前往点A 周围海域执法，海监15船原地监测．渔政船310走到B 正东方向D 处时，测得距离B为310以23海里/小时的速度航行，求其到达点A 所需的时间．B C DAPB C D EG18. (本小题满分16分)已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 是椭圆C 的右焦点，M 为椭圆上一点，以M 为圆心，MF 为半径作圆M ．问点M 的横坐标在什么范围内取值时，圆M 与y 轴有两个交点?（3）设圆M 与y 轴交于D 、E 两点，求弦长DE 的最大值．19.（本小题满分16分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有 “一阶比增函数”组成的集合记为A ，所有“二阶比增函数”组成的集合记为B . （1）设函数32()2(2)(1)(0,)f x ax a x a x x a R =--+->∈. ①求证：当0a =时，()f x A B ∈I ；②若()f x A ∈，且()f x B ∉，求实数a 的取值范围； （2）对定义在(0,)+∞上的函数()f x ，若()f x B ∈，且存在常数k ，使得(0,),()x f x k ∀∈+∞<，求证:()0f x <.20.（本小题满分16分）若数列{}n b 满足：对于N n *∈，都有2n n b b d +-=（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列．（1）若⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n 求准等差数列{}n c 的公差，并求{}n c 的前19项的和19T ；（2）设数列{}n a 满足：1a a =，对于N n *∈，都有12n n a a n ++=．①求证：{}n a 为准等差数列，并求其通项公式；②设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试研究：是否存在实数a ，使得数列{}n S 有连续的两 项都等于50?若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，2CD =，DE AB ⊥，垂足为E ，且E 是OB 的中点，求BC 的长．B ．（选修４－２：矩阵与变换） 已知矩阵2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，2246B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （1）求矩阵A 的逆矩阵；（2）求满足AX B =的二阶矩阵X ．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知曲线C 的参数方程为2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩，曲线D 的极坐标方程为sin()24πρθ+=-（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程； （2）曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知x ，y ，z 均为正数．求证：111yx z yzzx xy xy z++?+． 22．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是35，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．23．设数集{}121,,,,n A x x x =-L ，其中120n x x x <<<<L ，2n ≥，向量集{}(,),,B a a x y x A y A ==∈∈r r .若12,a B a B ∀∈∃∈u u r u u r 使得120a a ⋅=u u r u u r，则称A 具有性质P .（1）若1a >，数集{}1,1,A a =-，求证：数集A 具有性质P ；（2）若b >，数集{}A b =-具有性质P ，求b 的值；（3）若数集{}121,,,,n A x x x =-L （其中120n x x x <<<<L ，2n ≥）具有性质P ，11x =， 2x q =(q 为常数，1q >)，求数列{}k x 的通项公式k x *(,)k N k n ∈≤.2014年高考模拟试卷(2)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1.(]0,1；2.1i -；3.0；4.50；5. 16；6.3；7. 502；8. 23；9. 10. 3；11.32π； 12. 203-.解析：2211()()()()33HG BC AG AH BC AG BC AC AB AC AB AC AB ⋅=-⋅=⋅=+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r203=-．另解：注意到题中的ABC ∆形状不确定，因此可取特殊情形90ACB ∠=o ，则点H 即为点A ，由此可迅速得到答案 ； 13. [)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U ；二、解答题15. 解：（1）由题设：1,22T T ππ=∴=，22Tπω∴==， ()2y f x π=+Q 为偶函数，∴函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，sin()1πϕ∴+=或sin()1πϕ+=-，0ϕπ<<Q ，2πϕ∴=，()sin(2)cos22f x x x π∴=+=；（2）3()2125f απ+=Q ，3cos()65πα∴+=，Q α为锐角，4sin()65πα∴+=24sin 2()2sin()cos()66625πππααα∴+=++=，27cos2()2cos ()16625ππαα∴+=+-=-，2417sin 2sin[2()]()6325225ππαα∴=+-=⨯--=． 16． （1）证明：设菱形ABCD 的边长为1， E Q 是AB 的中点，060DAB ∠=，211312cos60424DE ∴=+-⨯=o ， 222DE AE AD ∴+=，DE AE ∴⊥，DE CD ∴⊥，Q 平面PCD ⊥底面ABCD ，平面PCD I 底面ABCD CD =， DE ABCD ⊂，DE ∴⊥平面PCD ，又DE GED ⊂平面,∴平面GDE ⊥平面PCD ；（2）解：连接AC ，交DE 于H ，连接GH ，则//PC Q 平面DGE ，,PC PAC ⊂Q 平面平面PCA I 平面GDE GH =，PB C D EG H//PC GH ∴，2PG CH DCGA HA AB∴===. 17.解：由题设，75,45,120,BC BD CBD ABD ABC ==∠=∠=∠=o o o在CBD ∆中，由余弦定理得，CD ，在CBD ∆中，由正弦定理得，,sin sin sin 75BD CD C C =∴==o ， ,090,45,15BD BC C C A <∴<<∴=∴=o o o o Q ， 在ABC ∆中，由正弦定理得，sin sin120BC ACA =o，sin120sin BC AC A ∴===o∴渔政船310从C 处到达点A小时．18.解：(1)Q 椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ，22121914a b =∴⎨⎪+=⎪⎩，即22223401914a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=；(2)易求得(1,0)F ．设00(,)M x y ，则2200143x y +=，圆M 的方程为22220000()()(1)x x y y x y -+-=-+，令0x =，化简得2002210y y y x -+-=，20044(21)0y x ∆=-->……①．将22003(1)4x y =-代入①，得20038160x x +-<，解出0004442233x x x -<<≤≤∴-≤<Q ，又-2，；(3)设1(0,)D y ，2(0,)E y ，其中12y y <．由(2)，得21DE y y =-=当043x =-时，DE．19. （1）①证明：当0a =时，2()4(0)f x x x x =->，()41f x y x x ∴==-在(0,)+∞上为增函数，()f x A ∴∈；2()14f x y x x==-在(0,)+∞上为增函数，()f x B ∴∈，()f x A B ∴∈I ；②解：32()2(2)(1)(0,)f x ax a x a x x a R =--+->∈，()f x B ∉Q ，∴由①知0a ≠，()f x A ∈Q ，2()2(2)(1)f x y ax a x a x∴==--+-在(0,)+∞上为增函数， 020a a a>⎧⎪∴-⎨≤⎪⎩，02a ∴<≤（*） ()f x B ∉Q ，2()12(2)f x a y ax a x x-==+--在(0,)+∞上不是增函数，2()12(2)f x a y ax a x x-==+--Q 在(0,)+∞上是增函数⇔12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，121212121()()()()0a a x x x x a f x f x x x ----=<，结合（*）有12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，1210a x x a-->，01a ∴<≤结合（*）有2()12(2)f x a y ax a x x-==+--在(0,)+∞上不是增函数⇔12a <≤，∴实数a 的取值范围是12a <≤； （2）（用反证法）假设0(0,)x ∃∈+∞，0()0f x ≥，则：㈠若0()0f x >，记020()0f x m x =>， ()f x B ∈Q ，2()f x y x∴=在(0,)+∞上为增函数，∴当0x x >时，022()()f x f x m x x >=，所以2()f x mx >， ∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与()f x k <矛盾；㈡若0()0f x =，则020()0f x x =， ()f x B ∈Q ，在(0,)+∞上为增函数，0x x ∴>时，0220()()0f x f x x x >=，即()0f x >，同㈠可得矛盾；()0f x ∴<.20. 解：（1）数列⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c nn 为奇数时，2[4(2)1](41)8n n c c n n +-=+---=，n 为偶数时，2[4(2)9](49)8n n c c n n +-=++-+=， ∴准等差数列{}n c 的公差为8，19(375)10(1781)983122T +⨯+⨯=+=； （2）①n a a n n 21=++Θ（*∈N n ）（i ）)1(221+=+++n a a n n （ii ）（ii ）-（i ）得22=-+n n a a （*∈N n ）． 所以，{}n a 为公差为2的准等差数列．当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2122，当n 为奇数时，解法一：12121-+=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-++=a n n a a n ；解法二：()[]11)1(2)1(21-+=----=--=-a n a n n a n a n n ；解法三：先求n 为奇数时的n a ，再用（i ）求n 为偶数时的n a 同样给分．⎩⎨⎧--+=∴为偶数） （为奇数）（n a n n a n a n ,,1②解：当n 为偶数时，()2212212222221222n n n n a n n n a S n =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=；当n 为奇数时，()2212121212221212121⨯⎪⎭⎫⎝⎛---+-⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++⋅=n n n a n n n a S n 21212-+=a n ． 当k 为偶数时，50212==k S k ，得10=k ．由题意，有10502192129=⇒=-+⨯=a a S ；或1050211121211-=⇒=-+⨯=a a S ．所以，10±=a ．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 解：连接OD ，则OD DC ⊥．在Rt OED ∆中，1122OE OB OD ==，30ODE ∴∠=o ．在Rt ODC ∆中，30DCO ∴∠=o ，由2DC =，则tan30OB OD DC ===o，cos30CD OC ===o ，所以BC OC OB =-． B ．解：（1）2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦Q ，21det()243A -∴==-， ∴矩阵A 的逆矩阵131312222422122A --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2）AX B =Q ，1X A B -∴= 31221022460221⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． C. 解：（1）由2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩得 21,[1,1]x y x +=∈- （2）由sin()4πρθ+=D 的普通方程为20x y ++=2201x y x y ++=⎧⎨+=⎩得230x x --=解得1[1,1]2x ±=∉-,故曲线C 与曲线D 无公共点. D. 证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()y yx x yzzxz xyz+=+?，同理可得22,yz z x zx xy x xyyz y+??， 当且仅当x y z ==时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111yx z yzzxxyxy z++?+． 22. 解：（1）设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15,0,15,30-．353101(15)12C P X C =-==； 21553105(0)12C C P X C ===；12553105(15)12C C P X C ===； 353101(30)12C P X C ===．155115(15)01530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯=． （2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B .则 223332381()()()555125P A C =+=，511()12122P B =+=． 故甲乙两人至少有一人入选的概率4411031()1.1252125P P A B =-⋅=-⨯= 23. （1）证明：数集1,1,A a =-时，列表如下：由表知：12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，∴数集A 具有性质P ；（2）选取1(a b =u u r ，B 中与1a u u r垂直的元素必有形式(1,)t -，b ∴，b Q {}t A b ∈=-，t ∴22b ∴==；（3）由（1）（2）猜测1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. 记{}21,1,,,m m A x x =-L ，2,3,,m n =L .先证明:若1m A +具有性质P ，则m A 也具有性质P .任取1(,),a s t s =u u r 、m t A ∈.当s 、t 中出现1-时,显然有2a uu r 满足120a a ⋅=u u r u u r; 当1s ≠-且1t ≠-时，1s ≥、1t ≥.因为1m A +具有性质P ,所以有211111(,),,m a s t s t A +=∈u u r ，使得120a a ⋅=u u r u u r, 从而1s 和1t 中有一个是1-，不妨设11s =-.假设1t ∈1m A +且1t ∉m A ，则11m t x +=.由1(,)(1,)0m s t x +⋅-=， 得11m m s tx x ++=≥，与m s A ∈矛盾.1t ∴∈m A .从而m A 也具有性质P 现用数学归纳法证明猜测: 1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. ①当n =1和2时，结论显然成立;②假设n=m 时, {}21,1,,,m m A x x =-L 有性质P ，则1k k x q -=，1,2,,k m =L ； 当n=1m +时,若{}1211,1,,,,m m m A x x x ++=-L 有性质P ，则{}21,1,,,m m A x x =-L 也有性质P ，{}1111,1,,,,m m m A q q x -++∴=-L .取11(,)m a x q +=u u r ，并设2(,),a s t =u u r 满足120a a ⋅=u u r u u r，即10m x s qt ++=.由此可得1s =-或1t =-. 若1t =-，则1m q x q s+=≤矛盾；1s ∴=-，1m x qt +=，又11m m x q -+>，{}1111,1,,,,m m m t A q q x -++∈=-L ，1q >1m t q -∴=，1m m x q +∴=.综合①②知，1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤.。
南通市2014届高三第一次调研测试
南通市2014届高三第一次调研测试数学Ⅰ参考答案与评分标准讲评建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，则U A =ð ▲ ．【答案】{3，5}．2． 已知复数1z 13i =+，2z 3i =+(i 为虚数单位)．在复平面内，12z z -对应的点在第 ▲ 象限．【答案】二．3． 命题：“x ∃∈R ，0x ≤”的否定是 ▲ ．【答案】x ∀∈R ，||0x >．4． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ▲ ．【答案】3．5． 设实数x ，y 满足0 0 3 24 x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≥，≥，，，则32z x y =+的最大值是 ▲ ． 【答案】7．6． 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是 ▲ ．【答案】32-．7．则空气质量指数(AQI )较为稳定(方差较小)的城市为 ▲ （填甲或乙）．【答案】乙．8． 已知正三棱锥的侧棱长为1两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ ． 【答案】25．9． 将函数()()sin 2f x x ϕ=+()0ϕ<<π的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则ϕ等于 ▲ ． 【答案】π3．（第6题）10．等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n ．若log 3［12a n (S 4m +1)］=9，则1n +4m的最小值是 ▲ ． 【答案】52．11．若向量()cos sin αα=，a ，()cos sin ββ=，b ，且2+⋅≤a b a b ，则cos()αβ-的值是 ▲ ． 【答案】1．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+是曲线ln y a x =的切线，则当a ＞0时，实数b 的最小值是 ▲ ． 【答案】1-．13．已知集合M ={(,)|3x y x -≤y ≤1}x -，N ={|P PA,(1,0),(1,0)}A B -，则表示M ∩N 的图形面积等于 ▲ ．【答案】43π+14．若函数2()2014(0)f x ax x a =++>对任意实数t ，在闭区间[1 1]t t -+，上总存在两实数1x 、2x ，使得12|()()|f x f x -≥8成立，则实数a 的最小值为 ▲ ．【答案】8．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，1AB BC ⊥，且1AA AB =． （1）求证：AB ∥平面11D DCC ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC ．（1）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AB ⊄平面11D DCC ， CD ⊂平面11D DCC ，所以//AB 平面11D DCC ． ……………………………………………………………………6分 （2）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形11A ABB 为平行四边形，又1AA AB =，故四边形11A ABB 为菱形．从而11AB A B ⊥．…………………………………………………………………………… 9分A 1B 1C 1CDD 1（第15题）又1AB BC ⊥，而1A B BC B =，1 A B ，BC ⊂平面1A BC ，所以1AB ⊥平面1A BC ． ………………………………………………………………… 14分16．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长，且c =－3b cos A ，tan C =34．（1）求tan B 的值；（2）若2c =，求△ABC 的面积．（1）解：由正弦定理，得 sin 3sin cos C B A =-，………………………………………………2分即sin()3sin cos A B B A +=-． 所以sin cos cos sin 3sin cos A B A B B A +=-． 从而sin cos 4sin cos A B B A =-．因为cos cos 0A B ≠，所以tan 4tan A B =-．……………………………………………………4分又tan tan tan tan()tan tan 1A B C A B A B +=-+=-，由（1）知，23tan 34tan 1B B =+， 解得1tan 2B =．………………………………………………………………………………6分（2）解：由（1），得sin A =sin B =，3sin C =． ………………………………10分由正弦定理，得sin sin 35c A a C ===．……………………………………………12分 所以△ABC的面积为114sin 2223ac B ==． ………………………………14分17．(本小题满分14分)已知a 为实常数，y =f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x <0时，f (x )=2x －a 3x 2+1．（1）求函数f (x )的单调区间；（2）若f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，求a 的取值范围．（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f (x )在区间(－∞，0)的单调性即可．f ′(x )＝2＋2a 3x 3，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ． …………………………………………………2分①当a ≤0时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(－∞，0)是单调递增． ……………………… 4分 ②当a ＞0时，x ∈(－∞，－a )，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间(－∞，－a )是单调递增． x ∈(－a ，0)，f ′(x )＜0，所以f (x )在区间(－a ，0)是单调减．……………………… 6分 综上所述：当a ≤0时，f (x )单调增区间为(－∞，0)，(0，+∞)；当a ＞0时，f (x )单调增区间为(－∞，－a )，(a ，+∞)，单调减区间为(－a ，0)，(0，a )．…………………… 7分 （2）解：因为f (x )为奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－(－2 x －a 3x 2＋1)＝2x ＋ a 3x 2－1． …………………… 9分①当a ＜0时，要使f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，即2x ＋ a 3x2≥a 对一切x ＞0成立．而当x ＝－a2＞0时，有－a +4a ≥a ，所以a ≥0，则与a ＜0矛盾．所以a ＜0不成立．………………………………………………………………………11分 ②当a ＝0时，f (x )＝2x －1＞－1=a －1对一切x ＞0成立，故a ＝0满足题设要求．…12分 ③当a ＞0时，由(1)可知f (x )在(0，a )是减函数，在(a ，+∞)是增函数．所以f min (x )=f (a )＝3a －1＞a －1，所以a ＞0时也满足题设要求． ………………… 13分 综上所述，a 的取值范围是[0,)+∞．…………………………………………………… 14分18．(本小题满分16分)如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为EF 的中点，其所在圆O 的半径为4 dm （圆心O 在弓形EMF 内），∠EOF =23π．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD (不计损耗)， AD ∥EF ，且点A 、D 在EF 上，设∠AOD =2θ．（1）求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式； （2）当矩形铁片ABCD 的面积最大时，求cos θ的值．（1）解：设矩形铁片的面积为S ，AOM θ∠=．当03θπ<<时（如图①），4cos2AB θ=+，24sin AD θ=⨯，()()()4cos 224sin 16sin 2cos 1S AB ADθθθθ=⨯=+⨯=+．…………………………… 3分 当32θππ<≤时（如图②），24cos AB θ=⨯，24sin AD θ=⨯，故64sin cos 32sin 2S AB AD θθθ=⨯==．综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为()16sin 2cos 1 0 332sin 2 .32S θθθθθπ⎧+<<⎪=⎨ππ⎪<⎩，，，≤……………………………………………………… 7分 （2）解：当03θπ<<时，求导，得()()()216cos 2cos 1sin 2sin 164cos cos 2S θθθθθθ'=++-=+-⎡⎤⎣⎦．令0S '=，得cos θ=．…………………………………………………………… 10分（第18题）②①记区间(0 )π，0θ（唯一存在）．列表：又当θππ<≤时，32sin 2S θ=在[ )ππ，上的单调减函数， 所以当0θθ=即cos θ时，矩形的面积最大．………………………………… 16分19．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>过点(1，又椭圆内接四边形ABCD (点A 、B 、C 、D 在椭圆上)的对角线AC ，BD 相交于点1(1 )4P ，，且2AP P C =，2BP PD =．（1）求椭圆的方程； （2）求直线AB 的斜率．（1）解：依题意，22222 1314. c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得224 1. a b ⎧⎪⎨⎪⎩=，=所求椭圆的方程为2214x y +=． ………………………………………………………… 6分（2）解：设()11 A x y ，，则221114x y +=．由2AP PC =，得()1133428x y C --，．…………………………………………………… 8分 代入椭圆方程2214x y +=，得()()21213342148x y --+=．整理，得221111319()04216x y x y +-+-=，………………………………………………… 10分即111x y +=-． ③ …………………………………………… 12分 设()22 B x y ，，同理可得2218x y +=-． ④ …………………………………………… 14分 ③-④，得21211y y -=-，即直线AB 的斜率为21211y y k -==-． …………………… 16分 20．(本小题满分16分)已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1+a 2＝a 3，b 1b 2＝b 3，且a 3，a 2+ b 1，a 1+ b 2成等差数列，（第19题）a 1，a 2，b 2成等比数列．（1）求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项：第1次从数列{a n }中取a 1， 第2次从数列{b n }中取b 1，b 2， 第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4， 第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， ……第2n －1次从数列{a n }中继续依次取2n －1个项， 第2n 次从数列{b n }中继续依次取2n 个项， ……由此构造数列{c n }：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12，…，记数列{c n }的前n 和为S n ．求满足S n ＜22014的最大正整数n ． （1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，得1112111111112111()2 () (2)()2[() ()(). a a d a d b b q b q a d a b q a d b a d a b q ++=+⎧⎪=⎪⎨+++=++⎪⎪+=⎩，，]，解得a 1=d =1，b 1=q =2．故a n =n ，b n =2n ．…………………………………………………………………………… 6分（2）解：将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2 n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有()22211222nn n n n P +++=+-． ………… 11分222014207120144545(451)222202P +-=+-->，2220141981334444(441)22(21)202P +-=---<．当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22012）时，222014201345(451)22202n S +-=--+<．………………………………………………… 13分 当2245(451)n S +=＋（2＋22＋…＋22013)时，22201445(451)2202n S +-=-+>．可得到符合20142n S <的最大的n =452＋2012=4037．…………………………………… 16分数学Ⅱ（附加题）参考答案与评分标准21．【选做题】A．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N，且BN=2AM．求证：AB2=AC．证明：如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线，（第21—A题）所以AC AMBC BM=，①……………………………3分又因为BA与BC是圆O过同一点B的割线，所以BM BA BN BC⋅=⋅，即BA BNBC BM=，……………………………………6分又BN=2AM，所以2BA AMBC BM=②……………………………8分由①②，得AB2=AC．………………………10分B．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）设二阶矩阵A，B满足11234-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A，()11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦BA，求1-B．解：设1a bc d-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B，因为()111---=BA A B，…………………………………………………2分所以10120134a bc d⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2120340341a cb da cb d+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，，……………………………………………6分解得213212abcd=-⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩，，，，所以1213122--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦B．……………………………………………………10分C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知曲线C：2sin=ρθ，过极点O的直线l与曲线C相交于A、B两点，AB=l的方程．解：设直线l的方程为θθ=(ρ∈R)，() 0A0，，()10Bρθ，，…………………………………2分则1|0|AB=-=ρ|2sin|θ． (5)分又AB=sin=θ．……………………………………………………………7分解得03π=θ+2kπ或03π=-θ+2kπ，k∈Z．所以直线l 的方程为3π=θ或32π=θ (ρ∈R )． ………………………………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数，求证：111yx z yz zx xy x y z++++≥．证明：因为x ，y ，z 均为正数，所以()12y yx x ++≥≥．……………………………… 4分同理可得2yz xy zx x +≥，2x z yz xy y+≥． ………………………………………………… 7分当且仅当x =y =z 均时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边左，右两边分别相加，并除以2，得111yx z yz zx xy x y z ++++≥．…………………………………………………………… 10分【必做题】 22．（本小题满分10分）如图，设1P ，2P ，…，6P 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一 个三角形，记该三角形的面积为随机变量S ． （1）求S =（2）求S 的分布列及数学期望()E S ．解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有36C种不同选法，其中S = 30的直角三角形（如△145P P P ），共6212⨯=种，所以(361235C P S ===． ………………… 3分（2）S．S =的为顶角是120的等腰三角形（如△123P P P ），共6种，所以(366310C P S ===． …………………………………………………… 5分S 的为等边三角形（如△135P P P ），共2种，所以(362110C P S ==．…… 7分4（第22题）又由（1）知(361235C P S ===，故S 的分布列为所以331()10510E S ==……………………………………… 10分23．（本小题满分10分）已知1，2，…，n 满足下列性质T 的排列1a ，2a ，…，n a 的个数为()f n （n ≥2，且n ∈N *）． 性质T ：排列1a ，2a ，…，n a 中有且只有一个1i i a a +>（i ∈{1，2，…，1n -}）．（1）求(3)f ；（2）求()f n ． 解：（1）当3n =时，1，2，3的所有排列有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)， (3，1，2)，(3，2，1)，其中满足仅存在一个i ∈{1，2，3}，使得1i i a a +>的排列有 (1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，所以(3)4f =．………………………………………………………………………… 3分 （2）在1，2，…，n 的所有排列1(a ，2a ，…，)n a 中，若(11)i a n i n =-≤≤，从1n -个数1，2，3，…，1n -中选1i -个数按从小到大的顺序 排列为1a ，2a ，…，1i a -，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个数为11C i n --．……………………………………………………………………… 6分若n a n =，则满足题意的排列个数为(1)f n -．……………………………………… 8分 综上，()f n =(1)f n -+1111Cn i n i ---=∑1(1)21n f n -=-+-．从而()33212()(3)(3)21n n f n n f n --=--+=--． ……………………………… 10分南通市2014届高三第一次调研测试数学Ⅰ讲评建议第1题 考查集合的运算，补集的概念. 第2题 考查复数的减法运算与几何意义.第3题 考查全称量词与存在量词的否定，数学符号语言． 第4题 考查抛物线的几何性质.法一：由y 2=8x 得其焦点F 坐标为(2,0)，设A (1，m )，则m 2=8.AF =(2－1)2+m 2＝3．法二：y 2=8x 的准线方程为x ＝－2. 由抛物线的定义可知点A (1，m )到抛物线焦点的距离等于到准线的距离即为1－(－2)＝3．第5题 考查考线性规划，数形结合思想及估算能力.第6题 考查算法的概念，算法主要考查流程图与伪代码，复习时要求能看懂流程图与伪代码就行，不宜过难过深.第7题 考查期望与方差的求法，总体分布的估计． 第8题 考查古典概型，几何中的线线关系.正三棱锥的对棱相互垂直这样有3对，由三个侧面为等腰直角，三条侧棱相互垂直也有3对．在6条棱中任取两条共有15对，所以其概率为25．第9题 本题考查三角函数图象变换，函数的奇偶性，图象的对称性．()()sin 2f x x ϕ=+()0ϕ<<π图象上每一点向右平移π6个单位后得到g (x )＝()sin 23πϕ+-x 的图象关于原点对称，所以，φ－π3＝k π(k ∈Z)．φ＝k π+π3(k ∈Z)．因为()0ϕ<<π，所以φ＝π3． 第10题 考查等比数列的性质，基本不等式的应用．由log 3［12a n (S 4m +1)］=9，得n +4m =10，1n +4m ＝110(n +4m )(1n +4m )＝110(5+4m n +4nm )≥52．第11题 考查两角和与差的三角函数，向量模与向量积.解法一：2+⋅≤a b a b ⇒2cos 2(α－β)－2cos(α－β)－1≥0，得cos(α－β)≥1，或cos(α－β)≤－12(舍去)．故cos(α－β)＝1．解法二：用向量加法的几何意义解题更简单．第12题 考查导数、最值、函数切线等知识．因为y x b =+是曲线ln y a x =的切线，设切点为(x 0，a ln x 0)，y ′＝a x |x =x 0=ax 0＝1，x 0＝a ，又点(x 0，a ln x 0)在直线y x b =+上，所以a ln a ＝a +b ．即b ＝a ln a －a ，a ∈(0，+∞)， 令g (x )＝x ln x －x ，g ′(x )＝ln x ，当x ∈(0,1)，g ′(x )＜0，g (x )在区间(0,1)单调减，当x ∈(1,+∞)， g ′(x )＞0，g (x )在区间(1,+∞)单调增．故g (x )≥g (1)＝－1．第13题 考查集合的性质，直线方程，圆方程，数形结合，轨迹等数学知识．设P (x ，y )，由P A ≥2PB ，得(x ＋1)2+y 2≥2(x －1)2+y 2，化简得：(x －3)2+y 2≤8．直线y ＝x －3过圆(x －3)2+y 2＝8的圆心，所以M ∩N 的图象是曲边梯形，由两个扇形与一个等腰三角形组成，其面积为23+43π．第14题 考查二次函数，不等式，最值及综合应用数学知识解决问题的能力.2()2014(0)f x ax x a =++>＝a (x ＋10a )2+14－100a ，要使12|()()|f x f x -≥|f (－10a )－f (－10a+1)|＝|a |≥8．第15题 考查线、面的平行与垂直．评讲时可作适当的变形，拓展，加深．如可证明：A 1C ⊥AB 1；一平面A 1ABB 1∥平面D 1DCC 1等．第16题 考查三角函数的恒等变形，两角和与差的三角函数，正弦定理，余弦定理，三角形的面积计算．考查学生代数恒等变形能力，基本计算能力．本题还可以这样解： 解法一：∵tan C =34，且0＜C ＜π．∴sin C ＝35，cos C ＝45．∵c =－3b cos A ，∴sin C ＝－3 sin B cos A ，5sin B cos A ＝－1，⇒5sin B cos(B +C )＝1⇒4sin B cos B －3sin 2B ＝1⇒4tan 2B －4tan B +1=0⇒tan B ＝12．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧c =－3b cos A tan C =34⇒⎩⎪⎨⎪⎧c =－3b cos A cos C =45⇒⎩⎨⎧3a 2=3b 2+5c 28ab =5a 2+5b 2－5c 2⇒a 2－4ab +4b 2＝0，a =2b ，c ＝35b ，cos B ＝a 2+c 2－b 22ac ＝25，所以tan B ＝12．第17题 考查函数的单调性、函数的最值、函数的极值，利用导数研究函数的性质，分类讨论．本题也可以得用函数的单调性定义来求解． 解：由题设得：f (x )=2x + a 3x2－1，(x ＞0)，(1)当a ≤0时，显然f (x )在(0，+∞)为增函数；(2)当a ＞0时，可有定义证明在(0，a )上单调减，( a ，+∞)上为单调增． f (x )=2x + a 3x2－1＝x +x +－1≥33x ·x ·a 3x2－1＝3a －1，当且仅当x ＝a ，f (x )取得最小值．第18题 考查数学实际的应用，分段函数，分段函数的最值． 本题变量设为BC =2x ，(1)当0＜x ≤3)时，AB ＝2+16－x 2，S (x )＝4x +2x16－x 2(0＜x ≤3)．(2)当3＜x ＜2时，AB =216－x 2，S (x )＝4x16－x 2(0＜x ≤3)．然后由导数或基本不等求最值．第19题 考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性，直线与椭圆的位置关系，向量坐标运算，考查学生模块的运算能力．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)可得111x y +=-，221x y +=-，故AB 的斜率为－1．第20题 考查等差数列与等比数列的基本性质，不等式及综合解题能力．第23题．(2)设在1，2，…，n 的所有排列1(a ，2a ，…，)n a 中，符合条件的排列有f (n ），则将n +1添加进去后，方法之一是将它放在上述每个排列的最后，方法之二是放入符合条件1i i a a +>的a i ,a i +1之间，此时共有2f (n ）个。
2014届南通市二模冲刺密卷1
2014高三数学自主练习姓名：___________学号_____得分______一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 设集合{}21A x x x =<∈R ，，{}20B x x =≤≤，则A B = ． 2． 若1i1i im n +=+（m n ∈R ，，i 为虚数单位），则mn 的值为 ． 3． 已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，则a 的值为 ．4． 某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24 名，则在高二年级学生中应抽取的人数为 ．5． 某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：3/g m m ）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为 ．6． 函数222sin 3cos 4y x x =+-的最小正周期为 ．7． 已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ．8． 已知实数x ，y 满足约束条件333x y y x +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，，，则225z x y =--的最大值为 ．9． 若曲线1C ：43236y x ax x =--与曲线2C ：e x y =在1x =处的切线互相垂直，则实数a的值为 ．10．给出下列命题：则其中所有真命题的序号为 ．（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； （2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； （3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； （4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面． 11．已知,66⎛⎫∈- ⎪⎝⎭p p q ，等比数列{}n a 中，11a =，343tan 39a =q ，若数列{}n a 的前2014项的和为0，则q 的值为 ．12．已知函数f (x )＝201,02(1),xx x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⎩≥，，若((2))()f f f k ->，则实数k 的取值范围为 ． 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan 7tan A B =，223a b c-=，则c = ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：2216x y +=，点(1,2)P ，M ，N 为圆O 上不同的两点，且满足0PM PN ⋅=．若PQ PM PN =+ ，则PQ 的最小值为 ． 二、解答题：15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设向量(,)m a c = ，(cos ,cos )n C A =．（1）若m n ∥，3c a =，求角A ；（2）若3sin m n b B ⋅= ，4cos 5A =，求cos C 的值．16．如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB ⊥BC ，E ，F 分别是1A B ，1AC 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求证：平面AEF ⊥平面11AA B B ；（3）若1222A A AB BC a ===，求三棱锥F ABC -的体积．FBCE A1A 1B 1CABM OPQlxy17． 设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，已知35S a =，525S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若p ，q 为互不相等的正整数，且等差数列{}n b 满足p a b p =，q a b q =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的右准线为直线l ，动直线y kx m =+(00)k m <>，交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于P ，Q 两点，如图．若A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点，上顶点时，点Q 的纵坐标为1e（其中e 为椭圆的离心率），且5OQ OM =． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）如果OP 是OM ，OQ 的等比中项，那么mk是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．19．几名毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元．假设该产品的月销售量()t x （件）与销售价格x （元/件）（x *∈N ）之间满足如下关系：①当3460x ≤≤时，2()(5)10050t x a x =-++；②当6070x ≤≤时，()1007600t x x =-+．设该店月利润为M （元），月利润=月销售总额－月总成本． （1）求M 关于销售价格x 的函数关系式；（2）求该打印店月利润M 的最大值及此时产品的销售价格．20．已知函数()ln af x x x x=--，a ∈R ．（1）当0a =时，求函数()f x 的极大值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a >时，设函数()(1)11a g x f x x x =-+-+-，若实数b 满足：b a >且()1b g g a b ⎛⎫=⎪-⎝⎭，()22a b g b g +⎛⎫= ⎪⎝⎭，求证：45b <<．21. 已知直线:0l ax y -=在矩阵A 0112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l '，若直线l '过点（1,1），求实数a 的值．22．在极坐标系中，已知点(23,)6P p ，直线:cos()224l +=p r q ，求点P 到直线l 的距离．23． (本小题满分10分)如图，三棱锥P －ABC 中，已知平面P AB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2a ，点O ，D 分别是AB ，PB 的中点，PO ⊥AB ，连结CD ． （1）若2PA a =，求异面直线P A 与CD 所成角的余弦 值的大小；（2）若二面角A －PB －C 的余弦值的大小为55，求 P A ．24．（本小题满分10分）设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集，满足：A 不是B 的子集，且B 也不是A 的子集．（1）若M=1234{,,,}a a a a ，直接写出所有不同的有序集合对(A ,B )的个数； （2）若M=123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，求所有不同的有序集合对(A ,B )的个数．高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1．[)0,1 2．1- 3． 1 4． 15 5．31.6（写成1585也对） 6．p 7．7108．12 9．13e 10．（1）（2） 11．9-p12．12(log 9,4) 13．4 14．335- 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）∵m n∥，∴cos cos a A c C =．由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C =．化简，得sin2sin2A C =． ………………………………………………2分 ∵,(0,)A C p ∈，∴22A C =或22A C p +=， 从而A C =（舍）或2A C p +=．∴2B p=． ………………………………4分 在Rt △ABC 中，3tan 3a A c ==，6A p=． …………………………………6分 （2）∵3cos m n b B ⋅=，∴cos cos 3sin a C c A b B +=．由正弦定理，得2sin cos sin cos 3sin A C C A B +=，从而2sin()3sin A C B +=． ∵A B C p ++=，∴sin()sin A C B +=． 从而1sin 3B =． ……………8分∵4cos 05A =>，(0,)A p ∈，∴(0,)2A p ∈，3sin 5A =． ……………………10分 ∵sin sin AB >，∴a b >，从而A B >，B 为锐角，22cos 3B =． ………12分 ∴cos cos()cos cos sin sinC A B A B A B =-+=-+=42231382535315--⨯+⨯=． …………………………………14分 16．证明：（1）连结1AC ． ∵直三棱柱111A B C ABC -中，11AAC C 是矩形， ∴点F 在1AC 上，且为1AC 的中点． 在△1A BC 中，∵E ，F 分别是1A B ，1AC 的中点， ∴EF ∥BC ． ……………2分又∵BC ⊂平面ABC ， EF ⊄平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． ………………4分 （2）∵直三棱柱111A B C ABC -中，1B B ⊥平面ABC ，∴1B B ⊥BC ．∵EF ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥EF ，1B B ⊥ EF ． ………………………………6分 ∵1B B AB B = ，∴EF ⊥平面11ABB A ． ………………………………8分 ∵EF ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面11ABB A ． ………………………………10分 （3）11111223F ABC A ABC ABC V V S AA --∆==⨯⨯⨯ ………………………………12分=3211122326a a a ⨯⨯⨯=． ………………………………14分17．解：（1）由已知，得11133451025a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，， 解得11,2.a d =⎧⎨=⎩ …………………4分∴21n a n =-． ……………………………………………………………6分 （2）p ，q 为正整数， 由（1）得21p a p =-，21q a q =-． …………………8分 进一步由已知，得21p b p -=，21q b q -=． ………………………………………10分 ∵{}n b 是等差数列，p q ≠，∴{}n b 的公差1222q p d q p -'==-． ………………12分由211(22)b b b p d p -'=+-=，得11b =．∴21(1)324n n n n nT nb d -+'=+=． …………………………………………14分 18． 解：当A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点和上顶点时，则(,0)A a ，(0,)B b ，(,)22a bM ．∵21(,)a Q c e，∴由O ，M ，Q 三点共线，得21b e a a c=，化简，得1b =．………2分∵5OQ OM =，∴252a c a =，化简，得25a c =．由222125a b c b a c ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩，，，解得225,4.a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩…………………………………………4分（1）椭圆E 的标准方程为2215x y +=． …………………………………………6分（2）把(0,0)y kx m k m =+<>，代入2215x y +=，得222(51)10550k x mkx m +++-=． ……………………………………………8分当△0>，22510k m -+>时，2551M mk x k =-+，251Mmy k =+， 从而点225(,)5151mk mM k k -++． ……………………………………………10分 所以直线OM 的方程15y x k=-． 由221515y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得2222551P k x k =+． ……………………………………………12分∵OP 是OM ，OQ 的等比中项，∴2OP OM OQ =⋅， 从而22252(51)P M Q mkx x x k ==-+． ……………………………………………14分 由2222525512(51)k mk k k =-++，得2m k =-，从而2mk=-，满足△0>． ……………15分∴mk为常数2-． ………………………………………………………………16分 19．解：（1）当60x =时，(60)1600t =，代入2()(5)10050t x a x =-++，解得2a =． ………………………………………………………………2分∴2(22010000)(34)20000,3460,,()(1007600)(34)20000,6070,.x x x x x M x x x x x **⎧--+--<∈⎪=⎨-+--∈⎪⎩ΝΝ≤≤≤即32224810680360000,3460,,()1001100278400,6070,.x x x x x M x x x x x **⎧-++-<∈⎪=⎨-+-∈⎪⎩ΝΝ≤≤≤ ……………4分 （注：写到上一步，不扣分．）（2）设2()(22010000)(34)20000g u u u u =--+--，3460u <≤，u ∈R ，则 2()6(161780)g u u u '=---．令()0g u '=，解得182461u =-（舍去），282461(50,51)u =+∈．……………7分 当3450u <<时，()0g u '>，()g u 单调递增；当5160u <<时，()0g u '<，()g u 单调递减． … ………………………………10分 ∵x *∈Ν，(50)44000M =，(51)44226M =，∴()M x 的最大值为44226．………12分 当6070x ≤≤时，2()100(1102584)20000M x x x =-+--单调递减，故此时()M x 的最大值为(60)216000M =． … ………………………………14分综上所述，当51x =时，月利润()M x 有最大值44226元． ……………………15分 答：该打印店店月利润最大为44226元，此时产品的销售价格为51元/件． ……16分 20．解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞． （1）当0a =时，()ln f x x x =-，1()1f x x'=-，令()0f x '=得1x =． ………1分 列表：x (0,1)1(1,)+∞()f x ' + 0 - ()f x↗极大值↘所以()f x 的极大值为(1)1f =-． …………………………………………3分 (2) 2221()1a x x af x x x x -++'=-+=．令()0f x '=，得20x x a -++=，记14a ∆=+．（ⅰ）当14a -≤时，()0f x '≤，所以()f x 单调减区间为(0,)+∞； …………5分（ⅱ）当14a >-时，由()0f x '=得12114114,22a a x x ++-+==， ①若104a -<<，则120x x >>，由()0f x '<，得20x x <<，1x x >；由()0f x '>，得21x x x <<．所以，()f x 的单调减区间为114(0,)2a -+，114(,)2a+++∞，单调增区间为114114(,)22a a-+++； …………………………………………………………7分②若0a =，由（1）知()f x 单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞；③若0a >，则120x x >>，由()0f x '<，得1x x >；由()0f x '>，得10x x <<．()f x 的单调减区间为114(,)2a +++∞，单调增区间为114(0,)2a ++． ……9分综上所述：当14a -≤时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞；当104a -<<时，()f x 的单调减区间为114(0,)2a -+，114(,)2a +++∞，单调增区间为114114(,)22a a-+++；当0a ≥时，()f x 单调减区间为114(,)2a+++∞，单调增区间为114(0,)2a++． ………………………………………………………10分 （3）()ln(1)g x x =-（1x >）．由()()1bg g a b =-得1lnln(1)1a b =--． ∵1a b <<， ∴11b a -=-(舍)，或(1)(1)1a b --=．∵21(1)(1)(1)a b b =--<-，∴2b >． …………………………………12分 由()2()2a bg b g +=得，1ln(1)2ln(1)2ln [(1)(1)](*)22a b b a b +-=-=-+-⋅⋅⋅， 因为11(1)(1)=12a b a b -+---≥， 所以（*）式可化为1ln(1)2ln [(1)(1)]2b a b -=-+-，即2111[1]21b b b -=+--（）． ………………………………………………14分令1(1)b t t -=>，则211[()]2t t t=+，整理，得4324210t t t -++=，从而32(1)(31)0t t t t ----=，即32310t t t ---=．记32()31,1h t t t t t =--->．2()361h t t t '=--，令()0h t '=得2313t =-（舍），2313t =+，列表： t23(1,1)3+23(1,)3++∞ ()h t ' -+ ()h t↘↗所以，()h t 在23(1,1)3+单调减，在23(1,)3++∞单调增，又因为(3)0,(4)0h h <>，所以34t <<，从而45b <<． ………………………………………………16分高三数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：∵ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ， ∴AD =BC ． 从而AD BC =． ∴∠ACD =∠BAC . ……………………………………………………4分 ∵AE 为圆的切线，∴∠EAD =∠ACD . …………………………………8分 ∴∠DAE =∠BAC . ……………………………………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：设(,)P x y 为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l '上点(,)P x y '''，则0112x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简，得 2,.x x y y x ''=-+⎧⎨'=⎩……………………………………………4分代入0ax y -=，整理，得(21)0a x ay ''-++=． ……………………………8分 将点（1,1）代入上述方程，解得a =-1． ……………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：点P 的直角坐标为(3,3)， …………………………………………………4分直线l 的普通方程为40x y --=， ………………………………………8分从而点P 到直线l 的距离为3342622--+=． …………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：左边-右边=2222()(1)1(1)[(1)1]y y x y x y y yx y x -+--+=--++………4分 =(1)(1)(1)y xy x ---， ………………………………………………………6分 ∵1x ≥，1y ≥，∴0,0,0111y xy x ---≤≥≥． ………………………………………………8分从而左边-右边≤0，∴22221x x y xy y x y ++++≤． ………………………………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：连结OC ．∵平面P AB ⊥平面ABC ，PO ⊥AB ，∴PO ⊥平面ABC ．从而PO ⊥AB ，PO ⊥O C ． ∵AC =BC ，点O 是AB 的中点，∴OC ⊥AB ．且2OA OB OC a ===． ……………2分如图，建立空间直角坐标系O xyz -． （1）2PA a =，2PO a =．(0,2,0)A a -，(0,2,0)B a ，(2,0,0)C a ，(0,0,2)P a ，22(0,,)22a aD ． …………4分从而(02,2)PA a a =-- ，， 22(2,)22CD a a a =- ，．∵223cos ,323PA CD a PA CD a aPA CD ⋅-<>===-⋅， ∴异面直线P A 与CD 所成角的余弦值的大小为33． ……………………………6分 （2）设PO h =，则(0,0,)P h ．∵ PO ⊥O C ，OC ⊥AB ，∴OC ⊥平面P AB ． 从而(2,0,0)OC a =是平面P AB 的一个法向量． 不妨设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，∵(02,)PB a h =- ，，(22,0)BC a a =- ，，0,0.n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴2,.ay hz x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ zyx DOABCP不妨令x =1，则y =1，2a z h =，则2(1,1,)an h = ． ………………………8分由已知，得22525222OC n a OC na a h⋅==+，化简，得2223h a =． ∴2222226233PA PO OA a a a =+=+=． …………………………………10分 23．解：（1）110； ………………………………………………………………3分（2）集合M 有2n个子集，不同的有序集合对(A ,B )有2(21)nn-个．若A ⊂≠B ，并设B 中含有*(1,)k k n k ∈N ≤≤个元素，则满足A ⊂≠B 的有序集合对 (A ,B ) 有1(21)232nn nkkkkkn n nnn k k k CC C ===-=-=-∑∑∑个 ． …………………6分 同理，满足B ⊂≠A 的有序集合对(A ,B )有32n n-个． …………………8分故满足条件的有序集合对(A ,B )的个数为2(21)2(32)4223n n n n n n n ---=+-⨯． ……………………………10分。
南通数学学科基地密卷(5)参考答案.docx
精心制作仅供参考唐玲出品高中数学学习材料唐玲出品2014年高考模拟试卷(5)参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1. {3，5}；2. 10；3. 2；4. 120 ；5. 12；6. 1.45；7.1；8.6π；9.（1，2）；10. 79.依题意，3tan 4A =，[]311343tan tan ()319143B A A B +=--==-⨯，则313493tan 3tan()379313149C A B +=-+=-⨯=-⨯ ； 11. {1-，9}．依题意，22(2)(2)13a b -+-=，且2322b a -=-，联立方程组解得22 23a b -=⎧⎨-=⎩，或22 23a b -=-⎧⎨-=-⎩，，即4 5a b =⎧⎨=⎩，或0 1a b =⎧⎨=-⎩，，从而9a b +=或1a b +=- ； 12. 9.连接DE ，易得11A AED A FED V V --=，又11113A AED E A AD A AD V V S AB --∆==⋅111111119662A ADD ABCD A C D S AB V -=⋅==，所以19A AEFD V -=；13. 45.易得1123tan tan()1 11123C A B +=-+==-⨯-，111sin sin sin 5102A B C ===从而，，，2222 111551025====由得，，a c a c 22214=5552⋅=⨯⨯则 a c ； 14. 3-.11123344222323424n n n n n n n n n a a a a b a a a a λλλλλμμμμμ++++⎡⎤--+⎢⎥-+--===⎢⎥-+--⎢⎥+--⎢⎥+⎣⎦，因为数列{}n b 为等比数列，所以342λλλ--=-，342μμμ--=-，且公比为22λμ--，故λμ, 为方程342x x x --=-的两不等实根，从而3λμ=-．二、解答题15. 解：（1）由222b a c ac --cos sin C A=得，222cos 2a c b B ac +-=()1sin cos 2cos sin C C A A =-1sin sin cos cos 2sin cos C A C A A A -=⋅()cos sin 2A C A-+=cos sin 2BA =， 因为△ABC 为锐角三角形，所以cos 0B ≠，从而sin 21A =，又()0 A ∈π，，故A π=4； （2）()22()2cos sin sin cos f B B B B B π=+-+6()312cos sin cos cos222B B B B =++23sin cos cos cos2B B B B =++31cos 2sin 2cos 222B B B+=++()3113sin 2cos2222B B =++()13sin 232B π=++，由0B B π⎧<<⎪2⎨3ππ⎪0<-<⎩42，得，B ππ<<42，从而542633B ππ<+<π，故()31sin 2232B π-<+<，所以310()2f B +<<，所以()f B 的值域为()310 2+，．16．证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中， 1C C ⊥平面ABC ，又AC ，BC ⊂平面ABC ，（第16题图）1AABC1C1BFEMD精心制作仅供参考唐玲出品所以1C C ⊥AC ，1C C ⊥BC ， 又AC ⊥BE ， 1BE C C E =，1 BE C C ⊂，平面11BCC B ，所以AC ⊥平面11BCC B ，又BC ⊂平面11BCC B ， 所以AC ⊥BC ，而1A C CC C =， 1 AC C C ⊂，平面11ACC A ， 所以BC ⊥平面11ACC A ，又1C D ⊂平面11ACC A ，所以1BC C D ⊥； （2）当4BE M E =时，1//C D ⊥平面BFM ，下证之：连结AE ，FM ，在△ABE 中，由4AB AF =，4BE ME =得，//AE MF ，又在平面11ACC A 中，易得1//AE C D ，所以1//MF C D ， 又1C D ⊄平面BFM ， MF ⊂平面BFM ，所以1//C D ⊥平面BFM ．17.解：（1）如图，设圆心为O ，连结OC ，设BC =x ，法一 易得22900BC x =-，(0 30)x ∈，，所以矩形ABCD 的面积为2()2900S x x x =-()222900x x =- ()22900x x +-≤900=（2cm ）（当且仅当22900x x =-，152x =（cm ）时等号成立）此时152BC = cm ；法二 设COB θ∠=，()0 θπ∈2，； 则30sin BC θ=，30cos OB θ=， 所以矩形ABCD 的面积为()230sin 30cos 900sin 2S θθθθ=⨯⨯=，当sin 21θ=，即θπ=4时，max ()900S θ=（2cm ），此时152BC = cm ； （2）设圆柱的底面半径为r ，体积为V ，由229002AB x r =-=π得，2900x r -=π， 所以()231900V r x x x =π=-π，其中(0 30)x ∈，，由()2190030V x '=-=π得103x =，此时，()31900V x x =-π在()0 103，上单调递增，在()103 30 ，上单调递减，ABCD O （第17题图）故当103x =cm 时，体积最大为60003π3cm ，答：（1）当截取的矩形铁皮的一边BC 为152cm 为时，圆柱体罐子的侧面积最大． （2）当截取的矩形铁皮的一边BC 为103cm 为时，圆柱体罐子的体积最大．18. 解：（1）易得223121 2 2a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，，且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=；（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，，①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+，代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， 所以()()2220000022220000284888 (2 )48888y y y y OP OM y y y y y ----⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪++++⎝⎭，，， ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下：依题意，020200208822828PBy y k y y y +==----+（）， 由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =，所以直线MQ 过定点(0 0)O ，．19. 解：（1）①依题意，s ，t ()s t <为方程2()32()0f x x a b x ab '=-++=的两个实根， 而(0)0f ab '=>，()()0f a a a b '=-<，()()0f b b b a '=-<， 故()0f x '=在区间(0 )a ，和( )a b ，内各有一个实根，所以0s a t b <<<<；②由①得，2()3a b s t ++=，3ab st =，因为()()3322342()()()()()()273f s f t s t a b s t ab s t a b ab a b +=+-++++=-+++，()()321()()23273s t a b f f a b ab a b ++==-+++，精心制作仅供参考唐玲出品所以()()f s f t +=()22s t f +，即证线段AB 的中点C 在曲线()y f x =上； （2）过原点且与曲线()y f x =相切的两条直线不垂直，理由如下： 设过曲线()y f x =上一点()00 P x y ，的切线方程为： 20000 32()()y y x a b x ab x x ⎡⎤-=-++-⎣⎦，因为切线过原点，所以2000032()y x x a b x ab ⎡⎤=-++⎣⎦，又0000()()y x x a x b =--，所以200032()x x a b x ab ⎡⎤-++=⎣⎦000()()x x a x b --，解得00x =，或02a b x +=，当00x =时，切线的斜率为ab ；当02a b x +=时，切线的斜率为2()4a b ab +-； 因为0a b <<，且22a b +<， 所以两条切线斜率之积为：ab ⋅22222()1()()()2(1)1144a b ab ab ab a b ab ab ab ⎡⎤+-=-+>-=---⎢⎥⎣⎦≥， 所以过原点且与曲线()y f x =相切的两条直线不垂直． 20.证明：（1）①因为21114n n a a +=+，所以221114n na a +-=， 故数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为4的等差数列；②由①得211(1)4nn a =+-，又易得0n a >，故143n a n =-， 因为4143122434341n n n a n n n +--=>=--++，所以519541434112222n n n n S --+--+->++⋅⋅⋅+=；（2）由212211683n n n n T Tn n a a ++=+--得，1(43)(41)(43)(41)n n n T n T n n +-=++-+，即114143n n T Tn n +-=+-，所以数列43n T n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1b 为首项，1为公差的等差数列，从而1143nT b n n =+--， 令2n =，3得，2145b b =+，31413b b =+，若{}n b 为等差数列，则2132b b b =+， 所以()111245413b b b +=++，解得11b =， 此时，243n T n n =-，87n b n =-恰为等差数列，所以，当11b =时，数列{}n b 为等差数列．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 证明：因为△ACD ∽△BCF ，所以∠ACD =∠BCF ， 故∠ACD ACF +∠=∠BCF ACF +∠，即∠DCF =∠BCE ，又∠BDC =∠BAC ，所以△ABC ∽△DFC ．B ．解：因为1()-=AB 11--B A ，所以1-B 11014110022⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 解得1-=B 11201⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由逆矩阵公式得，B 11201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． C. 解：如图，设圆上任意一点( )P ρθ，，连结PO ，PC ，OC ， 在△POC 中，由余弦定理得()21222cos 4ρρθπ+--=4， 整理得()2722cos 04ρρθπ--+=4，故所求圆的极坐标方程为()2722cos 04ρρθπ--+=4．D. 证明：依题意h a ≤，222b h a b+≤，由不等式的性质，两式相乘得2222ab h a b+≤，因为222a b ab +≥，所以22221ab h a b+≤≤（当且仅当a b =时等号成立），即证．22.解：（1）依题意，数对（x ，y ）共有16种，其中使x y为整数的有以下8种：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2）， 所以81(0)162P ξ===； （2）随机变量ξ的所有取值为1-，0，1， 1ξ=-有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）， 故63(1)168P ξ=-==；1ξ=有以下2种：（3，2），（4，3），CD AB（第21题A ） E FFCD A B （第21题A ）E FF x OC （第21—C 题）P精心制作仅供参考唐玲出品故21(1)168P ξ===；所以ξ的分布列为：3111()1018284E ξ=-⨯+⨯+⨯=-， 答：ξ的数学期望为14-．23.证明：（1）①当1n =时，cos isin cos isin x x x x +=+，即证；②假设当n k =时，(cos isin )cos isin k x x kx kx +=+成立，则当1n k =+时，()1(cos isin )cos isin (cos isin )k x x kx kx x x ++=++ ()()cos cos sin sin sin cos sin cos i kx x kx x kx x x kx =-++ ()()cos 1isin 1k x k x =+++， 故命题对1n k =+时也成立，由①②得，(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+；（2）由（1）知，[]01(cos isin )C (cos isin )C (cos isin )n nnrrr nn r r x x x x rx rx ==++=+=+∑∑，其实部为121C cos C cos 2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+；[](1cos )isin nx x ++=()()22cos 2isin cos 2cos cos isin 222222nnnnx x xx x x +=+()2cos cos isin 222n n x nx nx =+，其实部为2cos cos 22n n x nx ，根据两个复数相等，其实部也相等可得：121C cos C cos 2C cos n n n n x x nx +++⋅⋅⋅+2cos cos 22n n x nx =．ξ 1- 0 1P381218。
江苏省南通市2014届高三上学期期末考试数学试题(含答案)
2014届南通市高三数学期末考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 复数i 2iz =-（其中i 是虚数单位）的虚部为 ．2. 某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这 7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为 . 3. 函数()221()4x xf x -=的值域为 ．4. 分别在集合A={1，2，3，4}和集合B ={5，6，7，8}中各取一个数相乘，则积为偶数的概率为 ．5. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为0x =，则双曲线C 的 离心率为 . 6． 如图是计算101121k k =-∑的值的一个流程图，则常数a 的取 值范围是 ．7. 函数y =()πsin 23x -的图象可由函数y = sin x 的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y =sin x 的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的．现给出下列四个变换： A. 图象上所有点向右平移π6个单位；B. 图象上所有点向右平移π3个单位；C. 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；D. 图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）.请按顺序写出两次变换的代表字母： .（只要填写一组）8. 记max{a ，b }为a 和b 两数中的较大数．设函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，则“()f x 和()g x都是偶函数”是“函数{}()max ()()F x f x g x =，为偶函数”的 条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个） 9. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：2248190x y x y +--+=关于直线l ：250x y +-=对称的圆C 2的方程为 ．6 7 8 5 5 6 3 4 0 1EADCFP10. 给出以下三个关于x 的不等式：①2430x x -+<，②311x >+，③2220x m x m ++<．若③的解集非空，且满足③的x 至少满足①和②中的一个，则m 的取值范围是 ． 11. 设π02βα<<<，且113cos cos()714ααβ=-=，，则tan β的值为 ．12. 设平面向量a ，b满足3-≤a b a ·b 的最小值为 ．13. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线22491x y+=上的点到原点O 的最短距离为 ． 14. 设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2()1f x x =-；已知函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，，． 则函数()f x 和()g x 的图象在区间[]510-，内公共点的个数为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．设向量a (cos sin )αα=，，b (cos sin )ββ=，，其中0πβα<<<． （1）若⊥a b，求+a 的值；（2）设向量c (0=，且a + b = c ，求αβ，的值．16．如图，在三棱锥P —ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，60BAC ∠=，E ，F 分别是AP ，AC 的中点，点D 在棱AB 上，且AD AC =． 求证：（1）//EF 平面PBC ；（2）平面DEF ⊥平面P AC ．东北17．如图，港口A 在港口O 的正东120海里处，小岛B 在港口O 的北偏东60的方向，且在港口 A北偏西30的方向上．一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东30的OD 方向以20海里/小时 的速度驶离港口O ．一艘给养快艇从港口A 以60海里/小时的速度驶向小岛B ，在B 岛转运补 给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时． （1）求给养快艇从港口A 到小岛B 的航行时间； （2）给养快艇驶离港口A 后，最少经过多少时间能和科考船相遇？18．设公差不为零的等差数列{}n a 的各项均为整数，S n 为其前n 项和，且满足2371574a a S a =-=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试求所有的正整数m ，使得+12m m ma a a +为数列{}n a 中的项．19. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短半轴长为2，椭圆C上1． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且π2AOB ∠=．①求证：原点O 到直线AB 的距离为定值； ②求AB 的最小值．20．设函数()2ln f x a x bx =-，其图象在点()()22P f ，处切线的斜率为3-．（1）求函数()f x 的单调区间（用只含有b 的式子表示）；（2）当2a =时，令()()g x f x kx =-，设1x ，2x ()12x x <是函数()0g x =的两个根，0x 是1x ，2x 的等差中项，求证：0()0g'x <（()g'x 为函数()g x 的导函数）．【填空题答案】1. 252. 723. (]04，4. 345. 26. (]1921，7. BD （DA ） 8. 充分不必要 9. 221x y += 10.[)10-， 11.12. 513. 16- 14. 1515.【解】（1）因为a (cos sin )αα=，，b (cos sin )ββ=，，所以11==，a b ． ……2分 因为⊥a b ，所以a ·b = 0．……………………………4分于是22234=++⋅=a a b b，故2=a ． …………6分（2）因为a + b ()(cos cos sin sin 0αβαβ=++=，，所以cos cos 0sin sin αβαβ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，…………………………8分由此得()cos cos παβ=-，由0πβ<<，得0ππβ<-<，又0πα<<，故παβ=-． ………………………………10分代入sin sin αβ+=sin sin αβ==．…………………12分而0πβα<<<，所以2ππ33αβ==，．…………………14分16. 【证】（1）在△P AC 中，因为E ，F 分别是AP ，AC 的中点，所以EF // PC ．………2分 又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， 所以//EF 平面PBC ．………………5分（2）连结CD ．因为60BAC ∠=，AD AC =，所以△ACD 为正三角形．因为F 是AC 的中点，所以DF AC ⊥．…………………7分因为平面P AC ⊥平面ABC ，DF ⊂平面ABC ，平面P AC I 平面ABC AC =， 所以DF ⊥平面P AC ． ……………………11分因为DF ⊂平面DEF ，所以平面DEF ⊥平面P AC ．…………………………14分 17.【解】（1）由题意知，在△OAB 中，OA =120，3060AOB OAB ∠=∠=o o ，． 于是60AB =，而快艇的速度为60海里/小时，所以快艇从港口A 到小岛B 的航行时间为1小时． ………………………………5分（2）由（1）知，给养快艇从港口A 驶离2小时后，从小岛B 出发与科考船汇合． 为使航行的时间最少，快艇从小岛B 驶离后必须按直线方向航行，设t 小时后恰与科考船在C 处相遇．…………………………………………………………………7分 在△OAB中，可计算得OB =而在△OCB 中，6020(2)30BC t OC t BOC ==+∠=o ，，，………………………9分 由余弦定理，得2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅⋅∠，即([]222(60)20(2)220(2)t t t =++-⨯+亦即285130t t +-=，解得1t =或138t =-（舍去）．……………………………12分故23t +=．即给养快艇驶离港口A 后，最少经过3小时能和科考船相遇？…14分 18.【解】（1）因为{}n a 是等差数列，且77S =，而17747()72a a S a +==，于是41a =．…2分 设{}n a 的公差为d ，则由23154a a a =-得(12)(1)5134d d d --=--， 化简得282790d d -+=，即(3)(83)0d d --=，解得3d =或3d =，但若38d =，由41a =知不满足“数列{}n a 的各项均为整数”，故3d =．………5分于是4(4)311n a a n d n =+-=-．……………………………………………………7分 （2）因为+12(3)(6)189m m m m m m m ma a a a a +++==++，3113(4)1n a n n =-=-+， ……10分 所以要使+12m m ma a a +为数列{}n a 中的项，18m a 必须是3的倍数，于是m a 在1236±±±±，，，中取值，但由于1m a -是3的倍数，所以1m a =或2m a =-．由1m a =得4m =；由2m a =-得3m =． …………………………………………13分 当4m =时，+121347m m m a a a +⨯==；当3m =时，+12314m m m a aa +⨯==． 所以所求m 的值为3和4．…………………………………………………………16分 另解：因为2+12(38)(35)(311)9(311)18m m m a a m m m m +---+-+== 1823332323113(4)1m m m m ⨯⨯=-+=-+--+，所以要使+12m m ma a a +为数列{}n a 中的项，2333(4)1m ⨯⨯-+必须是3的倍数，于是3(4)1m -+只能取1或2-．（后略）19.【解】（1）由题意，可设椭圆C 的方程为22221(0)y x a b a b+=>>，焦距为2c ，离心率为e ．于是2b =．设椭圆的右焦点为F ，椭圆上点P 到右准线距离为d ， 则AFe AF e d d=⇒=⋅，于是当d 最小即P 为右顶点时，PF 取得最小值，所以1a c -=．……………………………………………………………………3分因为2221221a c a b b c a b c ⎧⎧-==⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪==+⎩⎩，，，，所以椭圆方程为22154x y +=．………………………………………………………5分（2）①设原点O 到直线AB 的距离为h ，则由题设及面积公式知OA OB h AB⋅=．当直线OA 的斜率不存在或斜率为0时，2OA OB ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2OB OA ⎧=⎪⎨=⎪⎩．于是d ==．………………………………………………………………7分 当直线OA 的斜率k 存在且不为0时，则22222115454x y xk x y kx⎧⎪+=⇒+=⎨⎪=⎩，，解得222221154154A A x k k y k ⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎪⎩，． 同理22222111541114BB x k k y k ⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎪⎩，．………………………………………9分 在Rt △OAB 中，22222222OA OB OA OB h AB OA OB⋅⋅==+， 则22222222222222111111115544545411111k k k OA OB k h OA OB OA OB k k k k+++++==+=+=+⋅++++ ()()22111145451191k k +++==+=+，所以h =．综上，原点O 到直线AB．……………………………………11分 另解：()()()()()()2222222222222222222111111111554411111111155441115544k kk k OA OB k k h OA OB k k k k k kk k ++⋅++++⋅===+++++++++++22212999920201020k k k k ++==++，所以h ． ②因为h 为定值，于是求AB 的最小值即求OA OB ⋅的最小值．22OA OB⋅()()()()222222221112111411115204k k k k kk k k ++++=⋅=++++，令221t k k =+，则2t ≥， 于是22OA OB ⋅=()220401202011412041204120400t t t t t ++=⋅=-+++， …………………14分 因为2t ≥，所以()22116002018181OA OB ⋅⋅-=≥，当且仅当2t =，即1k =±，OA OB ⋅取得最小值409，因而min 40AB = 所以AB．…………………………………………………………16分 20. 【解】（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，．()2af x bx x'=-，则()2432a f b '=-=-，即86a b =-．于是()()2286bx b f x x-+-'=．……………………………………………………2分①当0b =时，()60f x -'=<，()f x 在()0+∞，上是单调减函数； ②当0b <时，令()0f x '=，得x ， 所以()f x在(0上是单调减函数，在)+∞上是单调增函数； ③当0b >时，若30b <≤，则()0f x '<恒成立，()f x 在()0+∞，上单调减函数；若34b >，令()0f x '=，得x =， 所以()f x在(0上单调增函数，在)+∞上单调减函数； 综上，若0b <，()f x的单调减区间为(0，单调增区间为)+∞； 若30b ≤≤，()f x 的单调减区间为()0+∞，；若34b >，()f x的单调增区间为(0，单调减区间为)+∞．……………………………………8分（2）因为286a a b ==-，，所以1b =，即()22ln g x x x kx =--．因为()g x 的两零点为1x ，2x ，则211122222ln 02ln 0x x kx x x kx ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，，相减得：()()()221212122ln ln 0x x x x k x x -----=， 因为 12x x ≠，所以()()1212122ln ln x x k x x x x -=-+-，于是()()1200012122ln ln 242x x g'x x k x x x x x -=--=-+-C()()()112211212121212221222ln ln ln 1x x x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦． ……………………………………14分令()1201x t t x =∈，，，()()214ln 2ln 11t t t t t t ϕ-=-=--++， 则()()()()222141011t 't t t t t ϕ--=-=<++，则()t ϕ在()01，上单调递减， 则()()10t ϕϕ>=，又1220x x <-，则()00g'x <．命题得证．………………16分附加题：21A. 如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ．若DA = DC ，求证：AB = 2 BC ． 【证】连结OD ，BD ，因为AB 是圆O 的直径，所以902ADB AB OB ∠==o ，． 因为DC 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=o ．因为AD = DC ，所以A C ∠=∠．于是△ADB ≅△CDO ，从而AB = CO ，即2OB = OB + BC ，得OB = BC ．故AB = 2 BC ．……………………………………10分21B. 已知矩阵A 的逆矩阵A ⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-212143411，求矩阵A 的特征值． 【解】因为A1-A =E ，所以A =(A 1-)1-．因为A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-212143411，所以A =(A 1-)1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1232． …………………………………5分 于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)1232----=λλ= λ2－3λ－4， ………………………8分令f (λ) = 0，解得A 的特征值λ1 = －1，λ2 =4 ．………………………………………10分21C. 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）的左焦点，且与直线423x t y t=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，（t 为参数）平行的直线的普通方程．【解】椭圆的普通方程：221x y +=，左焦点(40)F -，………………………………………3分直线的普通方程：220x y -+=. …………………………………………………………6分 设过焦点(40)F -，且与直线220x y -+=平行的直线为20x y λ-+= 将(40)F -，代入20x y λ-+=， 4.λ=所求直线的普通方程为240x y -+=．…………………………………………………10分 21D. 已知实数x ，y 满足：| x + y |1<，1|2|x y -<，求证：| y |5<．【证】3|||3|2()(2)2|||2|y y x y x y x y x y ==+--++-≤．…………………………………5分 由题设知| x + y |31<，1|2|6x y -<， 从而1153||2366y ⨯+=≤．故| y |518<．…………………………………………………10分22．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量ξ是这两点间的距离． （1）求概率(P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ )．【解】（1）从正方体的8个顶点中任取不同2点，共有28C 28=种．因为正方体的棱长为1正方体每个面上均有两条对角线，所以共有2612⨯=条．因此(123P ξ===． ……………………………………………3分（2）随机变量ξ的取值共有1正方体的棱长为1，而正方体共有12条棱，于是()1231287P ξ===．………………………5分从而(()(331111777P P P ξξξ=-=-==--=． …………………………………7分所以随机变量ξ的分布列是…………………………………………………………………8分因此331()1E ξ=⨯+ …………………………………………10分23．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x =，F 为其焦点，点E 的坐标为(2，0)，设M为抛物线C 上异于顶点的动点，直线MF 交抛物线C 于另一点N ，链接ME ，NE 并延长分别交 抛物线C 与点P ，Q ．（1）当MN ⊥Ox 时，求直线PQ 与x 轴的交点坐标；（2）当直线MN ，PQ 的斜率存在且分别记为k 1，k 2时，求证：122k k =． 【解】（1）抛物线C ：24y x =的焦点F (1，0) ．当MN ⊥Ox 时，直线MN 的方程为 1x =．将1x =代入抛物线方程24y x =，得2y =±．不妨设(12)M ，，(12)N -，， 则直线ME 的方程为2+4y x =-，由2244y x y x =-+⎧⎨=⎩，解得1x =或4x =，于是得(44)P -，．同理得(44)Q ，，所以直线PQ 的方程为4x =． 故直线PQ 与x 轴的交点坐标(4，0)．………………………………………………4分 （2）设直线MN 的方程为1x my =+，并设11223344()()()()M x y N x y P x y Q x y ，，，，，，，． 由2214404x my y my y x=+⎧--=⎨=⎩，得，于是124y y =-①，从而221212144y y x x =⋅=②．设直线MP 的方程为2x t y =+， 由2224804x t y y my y x=+⎧--=⎨=⎩，得， 所以138y y =-③，134x x =④． 同理248y y =-⑤，244x x =⑥．由①②③④⑤⑥，得323241412424y y x x y y x x ====，，，．4312122143121222114422y y y y y y k k x x x x x x ---===⋅=---，即122k k =．…………………………………………………………………………10分。
江苏省南通市2014届高三上学期期末考试数学试题(含答案)
2014届南通市高三数学期末考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 复数i z =（其中i 是虚数单位）的虚部为 ．2. 某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这 7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为 . 3. 函数()221()x xf x -=的值域为 ．4. 分别在集合A={1，2，3，4}和集合B ={5，6，7，8}中各取一个数相乘，则积为偶数的概率为 ．5. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为0x =，则双曲线C 的 离心率为 . 6． 如图是计算101121k k =-∑的值的一个流程图，则常数a 的取 值范围是 ．7. 函数y =()πsin 23x -的图象可由函数y = sin x 的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y =sin x 的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的．现给出下列四个变换： A. 图象上所有点向右平移π6个单位；B. 图象上所有点向右平移π3个单位；C. 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；D. 图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）.请按顺序写出两次变换的代表字母： .（只要填写一组）8. 记max{a ，b }为a 和b 两数中的较大数．设函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，则“()f x 和()g x都是偶函数”是“函数{}()max ()()F x f x g x =，为偶函数”的 条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个） 9. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：2248190x y x y +--+=关于直线l ：250x y +-=对称的圆C 2的方程为 ．6 7 8 5 5 6 3 4 0 1EADCFP10. 给出以下三个关于x 的不等式：①2430x x -+<，②311x >+，③2220x m x m ++<．若③的解集非空，且满足③的x 至少满足①和②中的一个，则m 的取值范围是 ． 11. 设π02βα<<<，且113cos cos()714ααβ=-=，，则tan β的值为 ． 12. 设平面向量a ，b满足3-≤a b a ·b 的最小值为 ．13. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线22491x y+=上的点到原点O 的最短距离为 ． 14. 设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2()1f x x =-；已知函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，，． 则函数()f x 和()g x 的图象在区间[]510-，内公共点的个数为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．设向量a (cos sin )αα=，，b (cos sin )ββ=，，其中0πβα<<<． （1）若⊥a b，求+a 的值；（2）设向量c (0=，且a + b = c ，求αβ，的值．16．如图，在三棱锥P —ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，60BAC ∠=，E ，F 分别是AP ，AC 的中点，点D 在棱AB 上，且AD AC =． 求证：（1）//EF 平面PBC ；（2）平面DEF ⊥平面P AC ．东北17．如图，港口A 在港口O 的正东120海里处，小岛B 在港口O 的北偏东60的方向，且在港口 A北偏西30的方向上．一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东30的OD 方向以20海里/小时 的速度驶离港口O ．一艘给养快艇从港口A 以60海里/小时的速度驶向小岛B ，在B 岛转运补 给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时． （1）求给养快艇从港口A 到小岛B 的航行时间； （2）给养快艇驶离港口A 后，最少经过多少时间能和科考船相遇？18．设公差不为零的等差数列{}n a 的各项均为整数，S n 为其前n 项和，且满足2371574a a S a =-=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试求所有的正整数m ，使得+12m m ma a a +为数列{}n a 中的项．19. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短半轴长为2，椭圆C上1． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且π2AOB ∠=．①求证：原点O 到直线AB 的距离为定值； ②求AB 的最小值．20．设函数()2ln f x a x bx =-，其图象在点()()22P f ，处切线的斜率为3-．（1）求函数()f x 的单调区间（用只含有b 的式子表示）；（2）当2a =时，令()()g x f x kx =-，设1x ，2x ()12x x <是函数()0g x =的两个根，0x 是1x ，2x 的等差中项，求证：0()0g'x <（()g'x 为函数()g x 的导函数）．【填空题答案】1. 252. 723. (]04，4. 345. 26. (]1921，7. BD （DA ） 8. 充分不必要 9. 221x y += 10.[)10-， 11.12. 513. 16- 14. 1515.【解】（1）因为a (cos sin )αα=，，b (cos sin )ββ=，，所以11==，a b ． ……2分 因为⊥a b ，所以a ·b = 0．……………………………4分于是22234=++⋅=a a b b，故2=a ． …………6分（2）因为a + b ()(cos cos sin sin 0αβαβ=++=，，所以cos cos 0sin sin αβαβ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，…………………………8分由此得()cos cos παβ=-，由0πβ<<，得0ππβ<-<，又0πα<<，故παβ=-． ………………………………10分代入sin sin αβ+=sin sin αβ==．…………………12分而0πβα<<<，所以2ππ33αβ==，．…………………14分16. 【证】（1）在△P AC 中，因为E ，F 分别是AP ，AC 的中点，所以EF // PC ．………2分 又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， 所以//EF 平面PBC ．………………5分（2）连结CD ．因为60BAC ∠=，AD AC =，所以△ACD 为正三角形．因为F 是AC 的中点，所以DF AC ⊥．…………………7分因为平面P AC ⊥平面ABC ，DF ⊂平面ABC ，平面P AC I 平面ABC AC =， 所以DF ⊥平面P AC ． ……………………11分因为DF ⊂平面DEF ，所以平面DEF ⊥平面P AC ．…………………………14分 17.【解】（1）由题意知，在△OAB 中，OA =120，3060AOB OAB ∠=∠=o o ，． 于是60AB =，而快艇的速度为60海里/小时，所以快艇从港口A 到小岛B 的航行时间为1小时． ………………………………5分（2）由（1）知，给养快艇从港口A 驶离2小时后，从小岛B 出发与科考船汇合． 为使航行的时间最少，快艇从小岛B 驶离后必须按直线方向航行，设t 小时后恰与科考船在C 处相遇．…………………………………………………………………7分 在△OAB中，可计算得OB =而在△OCB 中，6020(2)30BC t OC t BOC ==+∠=o ，，，………………………9分 由余弦定理，得2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅⋅∠，即([]222(60)20(2)220(2)t t t =++-⨯+亦即285130t t +-=，解得1t =或138t =-（舍去）．……………………………12分故23t +=．即给养快艇驶离港口A 后，最少经过3小时能和科考船相遇？…14分 18.【解】（1）因为{}n a 是等差数列，且77S =，而17747()72a a S a +==，于是41a =．…2分 设{}n a 的公差为d ，则由2315a a =-得(12)(1)5134d d d --=--， 化简得282790d d -+=，即(3)(83)0d d --=，解得3d =或3d =，但若38d =，由41a =知不满足“数列{}n a 的各项均为整数”，故3d =．………5分于是4(4)311n a a n d n =+-=-．……………………………………………………7分 （2）因为+12(3)(6)189m m m m m m m ma a a a a a a a +++==++，3113(4)1n a n n =-=-+， ……10分 所以要使+12m m ma a a +为数列{}n a 中的项，18m a 必须是3的倍数，于是m a 在1236±±±±，，，中取值，但由于1m a -是3的倍数，所以1m a =或2m a =-．由1m a =得4m =；由2m a =-得3m =． …………………………………………13分 当4m =时，+1213471m m m a a a a +⨯==；当3m =时，+123142m m m a aa a +⨯==-． 所以所求m 的值为3和4．…………………………………………………………16分 另解：因为2+12(38)(35)(311)9(311)18311311m m m a a m m m m a m m +---+-+==-- 1823332323113(4)1m m m m ⨯⨯=-+=-+--+，所以要使+12m m ma a a +为数列{}n a 中的项，2333(4)1m ⨯⨯-+必须是3的倍数，于是3(4)1m -+只能取1或2-．（后略）19.【解】（1）由题意，可设椭圆C 的方程为22221(0)y x a b a b+=>>，焦距为2c ，离心率为e ．于是2b =．设椭圆的右焦点为F ，椭圆上点P 到右准线距离为d ， 则AFe AF e d d=⇒=⋅，于是当d 最小即P 为右顶点时，PF 取得最小值，所以1a c -=．……………………………………………………………………3分因为2221221a c a b b c a b c ⎧⎧-==⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪==+⎩⎩，，，，所以椭圆方程为22154x y +=．………………………………………………………5分（2）①设原点O 到直线AB 的距离为h ，则由题设及面积公式知OA OB h AB⋅=．当直线OA 的斜率不存在或斜率为0时，2OA OB ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2OB OA ⎧=⎪⎨=⎪⎩．于是d ==．………………………………………………………………7分 当直线OA 的斜率k 存在且不为0时，则22222115454x y xk x y kx⎧⎪+=⇒+=⎨⎪=⎩，，解得222221154154A A x k k y k ⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎪⎩，． 同理22222111541114BB x k k y k ⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎪⎩，．………………………………………9分 在Rt △OAB 中，22222222OA OB OA OB h AB OA OB⋅⋅==+， 则222222222222222111111115544545411111k k k OA OB k h OA OB OA OB k k k k+++++==+=+=+⋅++++ ()()221111454511945201k k +++==+=+，所以h =．综上，原点O 到直线AB．……………………………………11分 另解：()()()()()()2222222222222222222111111111554411111111155441115544k kk k OA OB k k h OA OB k k k k k kk k ++⋅++++⋅===+++++++++++22212999920201020k k k k ++==++，所以h ． ②因为h 为定值，于是求AB 的最小值即求OA OB ⋅的最小值．22OA OB⋅()()()()222222221112111411115204k k k k kk k k ++++=⋅=++++，令221t k k=+，则2t ≥， 于是22OA OB ⋅=()220401202011412041204120400t t t t t ++=⋅=-+++， …………………14分 因为2t ≥，所以()22116002018181OA OB ⋅⋅-=≥，当且仅当2t =，即1k =±，OA OB ⋅取得最小值409，因而min 40AB = 所以AB．…………………………………………………………16分 20. 【解】（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，．()2a f x bx x'=-，则()2432af b '=-=-，即86a b =-．于是()()2286bx b f x x -+-'=．……………………………………………………2分①当0b =时，()60f x -'=<，()f x 在()0+∞，上是单调减函数； ②当0b <时，令()0f x '=，得x ， 所以()f x在(0上是单调减函数，在)+∞上是单调增函数； ③当0b >时，若304b <≤，则()0f x '<恒成立，()f x 在()0+∞，上单调减函数；若34b >，令()0f x '=，得x =， 所以()f x在(0上单调增函数，在)+∞上单调减函数； 综上，若0b <，()f x的单调减区间为(0，单调增区间为)+∞； 若304b ≤≤，()f x 的单调减区间为()0+∞，； 若3b >，()f x的单调增区间为(0，单调减区间为)+∞．……………………………………8分（2）因为286a a b ==-，，所以1b =，即()22ln g x x x kx =--．因为()g x 的两零点为1x ，2x ，则211122222ln 02ln 0x x kx x x kx ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，，相减得：()()()221212122ln ln 0x x x x k x x -----=， 因为 12x x ≠，所以()()1212122ln ln x x k x x x x -=-+-，于是()()1200012122ln ln 242x x g'x x k -=--=-C()()()112211212121212221222ln ln ln 1x x x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦． ……………………………………14分令()1201x t t x =∈，，，()()214ln 2ln 11t t t t t t ϕ-=-=--++， 则()()()()222141011t 't t t t t ϕ--=-=<++，则()t ϕ在()01，上单调递减， 则()()10t ϕϕ>=，又1220x x <-，则()00g'x <．命题得证．………………16分附加题：21A. 如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ．若DA = DC ，求证：AB = 2 BC ． 【证】连结OD ，BD ，因为AB 是圆O 的直径，所以902ADB AB OB ∠==o，．因为DC 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=o ．因为AD = DC ，所以A C ∠=∠．于是△ADB ≅△CDO ，从而AB = CO ，即2OB = OB + BC ，得OB = BC ．故AB = 2 BC ．……………………………………10分21B. 已知矩阵A 的逆矩阵A ⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-212143411，求矩阵A 的特征值． 【解】因为A1-A =E ，所以A =(A 1-)1-．因为A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-212143411，所以A =(A 1-)1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1232． …………………………………5分 于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)1232----=λλ= λ2－3λ－4， ………………………8分令f (λ) = 0，解得A 的特征值λ1 = －1，λ2 =4 ．………………………………………10分21C. 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）的左焦点，且与直线423x t y t=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，（t 为参数）平行的直线的普通方程．【解】椭圆的普通方程：221259x y +=，左焦点(40)F -，………………………………………3分直线的普通方程：220x y -+=. …………………………………………………………6分 设过焦点(40)F -，且与直线220x y -+=平行的直线为20x y λ-+= 将(40)F -，代入20x y λ-+=， 4.λ=所求直线的普通方程为240x y -+=．…………………………………………………10分 21D. 已知实数x ，y 满足：| x + y |31<，1|2|6x y -<，求证：| y |518<．【证】3|||3|2()(2)2|||2|y y x y x y x y x y ==+--++-≤．…………………………………5分 由题设知| x + y |31<，1|2|6x y -<， 从而1153||2366y ⨯+=≤．故| y |518<．…………………………………………………10分22．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量ξ是这两点间的距离． （1）求概率(P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ )．【解】（1）从正方体的8个顶点中任取不同2点，共有28C 28=种． 因为正方体的棱长为1正方体每个面上均有两条对角线，所以共有2612⨯=条．因此(123287P ξ===． ……………………………………………3分正方体的棱长为1，而正方体共有12条棱，于是()1231287P ξ===．………………………5分从而(()(331111777P P P ξξξ=-=-==--=． …………………………………7分所以随机变量ξ的分布列是…………………………………………………………………8分因此331()1777E ξ=⨯． …………………………………………10分23．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x =，F 为其焦点，点E 的坐标为(2，0)，设M为抛物线C 上异于顶点的动点，直线MF 交抛物线C 于另一点N ，链接ME ，NE 并延长分别交 抛物线C 与点P ，Q ．（1）当MN ⊥Ox 时，求直线PQ 与x 轴的交点坐标；（2）当直线MN ，PQ 的斜率存在且分别记为k 1，k 2时，求证：122k k =． 【解】（1）抛物线C ：24y x =的焦点F (1，0) ．当MN ⊥Ox 时，直线MN 的方程为 1x =．将1x =代入抛物线方程24y x =，得2y =±．不妨设(12)M ，，(12)N -，， 则直线ME 的方程为2+4y x =-，由2244y x y x =-+⎧⎨=⎩，解得1x =或4x =，于是得(44)P -，．同理得(44)Q ，，所以直线PQ 的方程为4x =． 故直线PQ 与x 轴的交点坐标(4，0)．………………………………………………4分 （2）设直线MN 的方程为1x my =+，并设11223344()()()()M x y N x y P x y Q x y ，，，，，，，． 由2214404x my y my y x=+⎧--=⎨=⎩，得，于是124y y =-①，从而221212144y y x x =⋅=②．设直线MP 的方程为2x t y =+， 由2224804x t y y my y x=+⎧--=⎨=⎩，得， 所以138y y =-③，134x x =④． 同理248y y =-⑤，244x x =⑥．由①②③④⑤⑥，得323241412424y y x x y y x x ====，，，．4312122143121222114422y y y y y y k k x x x x x x ---===⋅=---，即122k k =．…………………………………………………………………………10分。
江苏省南通市高三数学学科基地密卷(4)苏教版
2014年高考模拟试卷(4)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．=+-ii i 1)1(_________． 2．已知3sin()45x π-=，则sin 2x 的值为 ．3．某校高一、高二、高三三个年级的学生数分别为1000、1200和1500，现采用按年级分层抽样法了解学生的视力状况，已知在高三年级抽查了75人，则这次调查三个年级共抽查了 人． 4.一个算法的流程图如图所示，则输出的S 值为 .、 5. 已知集合{|2}1xM x x =>-，{||21|2}N x x =-<，则M ∩N 等于 ． 6. 函数y =log a (x +3)-1(a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +1=0上，其中mn >0,则nm 21+的最小值为 . 7.设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2=2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，与x 轴正向的夹角为为 ．8. 一个幼儿园的母亲节联谊会上，有5个小孩分别给妈妈画了一幅画作为礼物，放在了5个相同的信封里，可是忘了做标记，现在妈妈们随机任取一个信封，则恰好有两个妈妈拿到了自己孩子的画的概率为 ．9. 过椭圆的左焦点F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于A ，B 两点，若||2||FB AF =，则椭圆的离心率e = ．10．水平桌面α上放有4个半径均为2R 的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R 的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是 ．11．已知函数()sin f x ax x =+的图像在某两点处的切线相互垂直，则a 的值为 .第4题12．已知x ∈N *，f (x )= 235(3)(2)(3)x x f x x ⎧-≥⎨+<⎩，其值域记为集合D ，给出下列数值：-26，-1，9，14，27，65，则其中属于集合D 的元素是__ _______．(写出所有可能的数值)13．已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[0，3]上的最大值为2，则t =__ ． 14．已知数列{} {}n n a b ，的前n 项和分别为n A ，n B ，且A 1000＝2，B 1000＝1007．记n n n n n n n C a B b A a b =⋅+⋅-⋅ （n ∈N *），则数列{C n }的前1000项的和为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）已知向量m =(1，1)，向量n 与向量m 的夹角为43π,且m ·n =-1. (1)求向量n ；(2)设向量a =(1，0)，向量b =(cos x ,2cos 2(2x 3-π)),其中0<x <32π，若n ·a =0,试求｜n +b ｜的取值范围．16.（本小题满分14分）如图,AC ⊥平面α,AB //平面α,CD ⊂平面α,M ,N 分别为AC ,BD 的 中点,若AB =4,AC =2,CD =4,BD =6.(1)求证:AB ⊥平面ACD ; (2)求MN 的长．17.（本小题满分14分）如图所示，直立在地面上的两根钢管AB 和CD，AB =，CD =，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：BA MN D Cα 第16题图（1）如图（1）设两根钢管相距1m ，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处,形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？（2）如图（2）设两根钢管相距，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处，再将钢丝绳依次固定在D 处、B 处和E 处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？18. (本小题满分16分) 已知数列{a n }满足，a n +1+ a n ＝4n －3(n ∈N *) （1）若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； （2）当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n ；（3）若对任意n ∈N *,都有a 2n + a 2n +1≥20n －15成立，求a 1的取值范围．19.（本小题满分16分）P 、Q 、M 、N 四点都在以原点为中心 ，离心率22=e ，左焦点)0,1(-F 的椭圆上，已知0PF FQ MF FN PF MF ⋅=与共线,与共线,，求四边形PMQN 的面积的最大值与最小值．A ED C AE D C B 图1 图220.（本小题满分16分）已知函数f (x )＝(x +1)ln x －a (x －1)在x ＝e 处的切线在y 轴上的截距为2－e ．(1)求a 的值；(2)函数f (x )能否在x ＝1处取得极值？若能取得，求此极值，若不能说明理由．(3)当1<x <2时，试比较2x －1与 1ln x － 1ln(2－x )大小．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，已知AD 为圆O 的直径，直线BA 与圆O 相切于点A ，直线OB 与弦AC 垂直并相交于点G ，与弧AC 相交于M ，连接DC ,10AB =,12AC =. （1）求证：BA DC GC AD ∙=∙; （2）求BM ．B ．（选修４－２：矩阵与变换）设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．（1）求矩阵M 的特征值及相应的特征向量；（2）求逆矩阵1M -以及椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=.（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.D ．（选修４－５：不等式选讲）设1,x y z ++=求22223F x y z =++的最大值. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．已知从“神六”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败.若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值. （1）求随机变量ξ的数学期望E(ξ)；（2）记“函数f (x )= x 2－ξx -1在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率P （A ）．23．过抛物线22y px =(p 为不等于2的素数)的焦点F,作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线于M ,N 两点,线段MN 的垂直平分线交MN 于P 点,交x 轴于Q 点. (1)求PQ 中点R 的轨迹L 的方程;(2).证明:L 上有无穷多个整点,但L 上任意整点到原点的距离均不是整数.2014年高考模拟试卷(4)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题 1．1； 2．725； 3. 185 ; 4. 120 ; 5. 3{|1}2x x << ; 6. 8; 7. 2p ; 8.61 ；9. 23; 10．3R ； 11．0； 12．-26，14，65； 13． 1； 14．2014. 二、解答题15. 解：(1)令n =(x ，y )，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+143cos ·2122πy x y x即22y 110y 0y 1y 1x x x x +=-=-=⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨==-+=⎩⎩⎩或，故n =(-1,0)或n =(0，-1) (2)∵a =(1，0)，n ·a =0 ∴n =(0,-1)， n +b =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 32cos cosx,12x 3cos 2cos 2ππ，x故22241cos 2x 21cos2x 3cos cos 322n b x x ⎛⎫+- ⎪+⎛⎫⎝⎭+=+-=+⎪⎝⎭ππ=1+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+x 23cos x 2cos 211x 234cos x 2cos 21ππ=1+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-x 2sin 23x 2cos 21211x 2sin 23x 2cos 21-cos2x 21=1+⎪⎭⎫⎝⎛+3x 2cos 21π∵0<x <25,2x 3333∴<+<ππππ，则-1≤cos .25b n 22 45b n 21 213x 22<+≤<+≤∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛+故π16．（1）证明：如图,作BG α⊥于G,连接DG, 在Rt △BDG 中,BD=6,BG=2,∴DG=24 又AB=CG=4,CD=4,故△CDG 为等腰直角三角形 ∴GC ⊥CD,又AC α⊥,∴GC ⊥AC,AC∩CD=C ∴GC ⊥平面ACD, ∴AB ⊥平面ACD (2)取AD 的中点H,连接MH,NH,∴NH//AB, ∴NH ⊥平面ACD, ∴NH ⊥MH ∵22,221,221=∴====MN AB NH CD MH ． 17.A ECA ED C B BA M N DCα解：（1）设钢丝绳长为y m ，CFD θ∠=，则11tan cos cos y θθθ+==（其中002πθθ<<<，0tan 7θ=），2sin sin cos y θθθ'=+当tan θ=34=BE 时，min 8y =.（2）设钢丝绳长为y m ，CFD θ∠=，则()1cos sin y θθ=++⎝⎭（其中00θθ<<，0tan 3θ==）.()()22cos sin 1sin cos cos sin sin cos y θθθθθθθθ⎫-'=+++++-⎪⎭⎝⎭令0y '=得sin cos θθ=，当π4θ=时，即36=BE 时)min 2y =.答：按方法（1），34=BE 米时，钢丝绳最短；按方法（2），36=BE 米时，钢丝绳最短.18. 解:（1）若数列{a n }是等差数列，则a n ＝a 1+(n －1)d ，a n +1＝a 1+nd ．由a n +1+ a n ＝4n －3，得(a 1+nd )+[a 1+(n －1)d ] ＝4n －3，即2d ＝4，2a 1－d ＝4－3，解得，d ＝2，a 1＝－12．（2）由a n +1+ a n ＝4n －3，得a n +2+ a n +1＝4n +1(n ∈N *)．两式相减，得a n +2－ a n ＝4．所以数列{a 2n -1}是首项为a 1，公差为4的等差数列， 数列{a 2n }是首项为a 2，公差为4的等差数列， 由a 2+a 1＝1，a 1＝2，得a 2＝－1．所以a n ＝⎩⎨⎧2n ， n 为奇数，2n －5， n 为偶数．①当n 为奇数时，则a n ＝2n ，a n +1＝2n －3．所以S n ＝a 1+a 2+…+a n ＝(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+ …+(a n -2+a n -1)+a n ＝1+9+…+(4n －11)+2n ＝2n 2－3n +52．②当n 为偶数时，S n ＝a 1+a 2+…+a n ＝(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+ …+(a n -1+a n ) ＝1+9+…+(4n －7) ＝2n 2－3n 2．所以S n ＝⎩⎨⎧2n 2－3n +52， n 为奇数， 2n 2－3n 2， n 为偶数．（3）由（2）知，a n ＝1222(23(n a n n a n -+⎧⎨-⎩为奇数）为偶数）①当n 为奇数时，a n ＝2n －2+a 1，a n +1＝2n －1－a 1．由a 2n + a 2n +1≥20n －15，得a 12－a 1≥－4n +16n －10．因为－4n +16n －10＝－4(n －2)2+6≤2，当n ＝1，或3时，［－4(n －2)2+6］max ＝2．所以 a 12－a 1≥2．解得 a 1≥2，或a 1≤－1． ②当n 为偶数时，a n ＝2n －a 1－3，a n ＝2n +a 1．由由a 2n + a 2n +1≥20n －15，得a 12+3a 1≥－4n +16n －12．－4n +16n －12＝－4(n －2)2+4≤4． 当n ＝2时，［－4(n －2)2+4］max ＝4．所以a 12+3≥4，解得a 1≥1，a 1≤4．综合①、②上，a 1的取值范围是(－∞，－4]∪[2，+∞)．19. 解：椭圆方程为2212x y +=. 0·=MF PF , ∴ PQ MN ⊥.设PQ 的方程为1ky x =+，代入椭圆方程消去x 得22(2)210k y ky +--=. 设1122(,),(,)P x y Q x y ,则12PQ y y =-=22)2k k+==+. (Ⅰ)当0k ≠时,MN 的斜率为1k-,同理可得221)12k MN k +=+,故四边形面积222214(2)12252k k S PQ MN k k++=⋅=++. 令221u k k =+,则2u ≥,即4(2)12(1)5252u S u u+==-++当1k =±时,162,9u S ==.且S 是以u 为自变量的增函数,∴1629S ≤<.(Ⅱ) 当0k =时,MN 为椭圆的长轴,MN PQ ==122S PQ MN =⋅= 综合(Ⅰ) (Ⅱ)知,四边形PQMN 面积的最大值为2,最小值为169. 20. 解：(1) f′(x )＝ln x +1x+1－a ．依题设，得f (e)－(2－e)e －0＝f′(e)，即e+1－a (e －1)－(2－e)＝e(1+1e +1－a )，解得a ＝2．(2)不能．因为f′(x )＝ln x +1x －1， 记g (x )＝ln x +1x －1，则g ′(x )＝x －1x2．①当x >1时，g ′(x )>0，所以g (x )在(1，+∞)是增函数，所以g (x )> g (1)＝0，所以f′(x )>0； ②当0<x <1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，1)是减函数，所以g (x )>g (1)＝0，所以f′(x )>0． 由①、②得f (x )在(0，+∞)上是增函数，所以函数f (x )不能在x ＝1处取得极值． (3)当1<x <2时，2x －1>1ln x －1ln(2－x )．证明如下： 当1<x <2时，由(2)得f (x )在(1，2)为增函数，所以f (x )>f (1)＝0． 即(x +1)ln x >2(x －1)，所以 1ln x <x +12(x －1)①当0<x <1时，由(2)得f (x )在(0，1)为增函数，所以f (x )<f (1)＝0． 即(x +1)ln x <2(x －1)，所以1ln x >x +12(x －1)． ②当1<x <2时，0<2－x <1，由②得1ln(2－x )>3－x 2(1－x )，即－1ln(2－x )<3－x2(x －1)③①+③得1ln x －1ln(2－x )<2x －1．得证．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A.（1）因为AC OB ⊥，所以090AGB ∠=又AD 是圆O 的直径，所以090DCA ∠=又因为BAG ADC ∠=∠（弦切角等于同弧所对圆周角） 所以Rt AGB Rt DCA ∆∆和所以BA AGAD DC=又因为OG AC ⊥，所以GC AG =相似所以BA GC AD DC=，即BA DC GC AD ∙=∙ （2）因为12AC =，所以6AG =， 因为10AB =，所以8BG ==由（1）知：Rt AGB ∆～Rt DCA ∆。
南通数学学科基地密卷(2)参考答案.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2014年高考模拟试卷(2)参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1.(]0,1；2.1i -；3.0；4.50；5. 16；6.3；7. 502；8. 23；9. 10； 10. 3；11. 32π； 12. 203-.解析：2211()()()()33HG BC AG AH BC AG BC AC AB AC AB AC AB ⋅=-⋅=⋅=+⋅-=- 203=-．另解：注意到题中的ABC ∆形状不确定，因此可取特殊情形90ACB ∠=，则点H 即为点A ，由此可迅速得到答案 ； 13. [)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦； 14.512-. 二、解答题15. 解：（1）由题设：1,22T T ππ=∴=，22Tπω∴==，()2y f x π=+为偶函数，∴函数()f x 的图象关于直线2x π=对称， sin()1πϕ∴+=或sin()1πϕ+=-，0ϕπ<<，2πϕ∴=，()sin(2)cos22f x x x π∴=+=；（2）3()2125f απ+=，3cos()65πα∴+=，α为锐角，4sin()65πα∴+=24sin 2()2sin()cos()66625πππααα∴+=++=，27cos2()2cos ()16625ππαα∴+=+-=-，241732473sin 2sin[2()]()6325225250ππαα+∴=+-=⨯--⨯=． 16． （1）证明：设菱形ABCD 的边长为1， E 是AB 的中点，060DAB ∠=，211312cos60424DE ∴=+-⨯=，222DE AE AD ∴+=，DE AE ∴⊥，DE CD ∴⊥， 平面PCD ⊥底面ABCD ，平面PCD 底面ABCDCD =， DE ABCD ⊂，DE ∴⊥平面PCD ，又DE GED ⊂平面, ∴平面GDE ⊥平面PCD ； （2）解：连接AC ，交DE 于H ，连接GH ，则//PC 平面DGE ，,PC PAC ⊂平面平面PCA 平面GDE GH =，//PC GH ∴，2PG CH DCGA HA AB∴===.17. 解：由题设，43,42,75,45,120,BC BD CBD ABD ABC ==∠=∠=∠= 在CBD ∆中，由余弦定理得，483224342cos752(62)CD =+-⨯⨯=+，在CBD ∆中，由正弦定理得，42sin 752,sin sin sin 7522(62)BD CD C C =∴==+，,090,45,1B D B C C C A <∴<<∴=∴=， 在ABC ∆中，由正弦定理得，sin sin120BC ACA =， s i n 12043s i n 1206(62)s i n s i n 15BC AC A ∴===+ ∴渔政船310从C 处到达点A 所需的时间为6(62)23+小时．18.解：(1)椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ，2222121914a b a ab ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，即22223401914a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=；(2)易求得(1,0)F ．设00(,)M x y ，则2200143x y +=，PA B C D EG H圆M 的方程为22220000()()(1)x x y y x y -+-=-+，令0x =，化简得2002210y y y x -+-=，20044(21)0y x ∆=-->……①． 将22003(1)4x y =-代入①，得20038160x x +-<，解出0004442233x x x -<<≤≤∴-≤<，又-2，；(3)设1(0,)D y ，2(0,)E y ，其中12y y <．由(2)，得222210000046444(21)38163()33DE y y y x x x x =-=--=--+=-++， 当043x =-时，DE 的最大值为833．19. （1）①证明：当0a =时，2()4(0)f x x x x =->，()41f x y x x ∴==-在(0,)+∞上为增函数，()f x A ∴∈；2()14f x y x x==-在(0,)+∞上为增函数，()f x B ∴∈，()f x A B ∴∈；②解：32()2(2)(1)(0,)f x ax a x a x x a R =--+->∈，()f x B ∉，∴由①知0a ≠，()f x A ∈，2()2(2)(1)f x y ax a x a x∴==--+-在(0,)+∞上为增函数，020a a a>⎧⎪∴-⎨≤⎪⎩，02a ∴<≤（*）()f x B ∉，2()12(2)f x a y ax a x x-==+--在(0,)+∞上不是增函数，2()12(2)f x a y ax a x x-==+--在(0,)+∞上是增函数⇔12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，121212121()()()()0a a x x x x a f x f x x x ----=<，结合（*）有12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，1210a x x a-->，01a ∴<≤结合（*）有2()12(2)f x a y ax a x x-==+--在(0,)+∞上不是增函数⇔12a <≤，∴实数a 的取值范围是12a <≤； （2）（用反证法）假设0(0,)x ∃∈+∞，0()0f x ≥，则：㈠若0()0f x >，记020()0f x m x =>， ()f x B ∈，2()f x y x∴=在(0,)+∞上为增函数，∴当0x x >时，022()()f x f x m x x >=，所以2()f x mx >，∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与()f x k <矛盾；㈡若0()0f x =，则020()0f x x =， ()f x B ∈，在(0,)+∞上为增函数，0x x ∴>时，0220()()0f x f x x x >=，即()0f x >，同㈠可得矛盾；()0f x ∴<.20. 解：（1）数列⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c nn 为奇数时，2[4(2)1](41)8n n c c n n +-=+---=，n 为偶数时，2[4(2)9](49)8n n c c n n +-=++-+=，∴准等差数列{}n c 的公差为8，19(375)10(1781)983122T +⨯+⨯=+=； （2）①n a a n n 21=++ （*∈N n ）（i ）)1(221+=+++n a a n n （ii ）（ii ）-（i ）得22=-+n n a a （*∈N n ）．所以，{}n a 为公差为2的准等差数列． 当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2122， 当n 为奇数时，解法一：12121-+=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-++=a n n a a n ； 解法二：()[]11)1(2)1(21-+=----=--=-a n a n n a n a n n ；解法三：先求n 为奇数时的n a ，再用（i ）求n 为偶数时的n a 同样给分．⎩⎨⎧--+=∴为偶数） （为奇数）（n a n n a n a n ,,1②解：当n 为偶数时，()2212212222221222n n n n a n n n a S n =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=；当n 为奇数时，()2212121212221212121⨯⎪⎭⎫⎝⎛---+-⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++⋅=n n n a n n n a S n21212-+=a n ． 当k 为偶数时，50212==k S k ，得10=k ．由题意，有10502192129=⇒=-+⨯=a a S ； 或1050211121211-=⇒=-+⨯=a a S ．所以，10±=a ．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 解：连接OD ，则OD DC ⊥．在Rt OED ∆中，1122OE OB OD ==，30ODE ∴∠=．在Rt ODC ∆中，30DCO ∴∠=，由2DC =，则23tan303OB OD DC ===，243cos30332CD OC ===， 所以233BC OC OB =-=．B ．解：（1）2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，21det()243A -∴==-， ∴矩阵A 的逆矩阵131312222422122A --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2）AX B =，1X A B -∴= 31221022460221⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． C. 解：（1）由2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩得 21,[1,1]x y x +=∈- （2）由sin()24πρθ+=-得曲线D 的普通方程为20x y ++=2201x y x y ++=⎧⎨+=⎩得230x x --=解得113[1,1]2x ±=∉-,故曲线C 与曲线D 无公共点. D. 证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()y y x xyz zx z x y z+=+?，同理可得22,yz z x zx xy x xyyz y+??， 当且仅当x y z ==时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111yx z yz zx xy xy z++?+．22. 解：（1）设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15,0,15,30-．353101(15)12C P X C =-==； 21553105(0)12C C P X C ===；12553105(15)12C C P X C ===； 353101(30)12C P X C ===．乙得分的分布列如下：X 15- 0 15 30P112 512 512 112155115(15)01530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯=．（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B .则 223332381()()()555125P A C =+=，511()12122P B =+=．故甲乙两人至少有一人入选的概率4411031()1.1252125P P A B =-⋅=-⨯= 23. （1）证明：数集{}1,1,A a =-时，列表如下：1a(1,1)-- (1,1)- (1,)a - (1,1)- (1,1) (1,)a (,1)a - (,1)a (,)a a 2a(1,1)-(1,1)(,1)a(,)a a(1,1)-(,1)a -(1,)a(1,)a -(1,1)-由表知：12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，∴数集A 具有性质P ； （2）选取1(,2)a b =，B 中与1a 垂直的元素必有形式(1,)t -，2b t ∴=，2b >，{}1,1,2,t A b ∈=-，2t ∴=，2(2)2b ∴==；（3）由（1）（2）猜测1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. 记{}21,1,,,m m A x x =-，2,3,,m n =.先证明:若1m A +具有性质P ，则m A 也具有性质P .任取1(,),a s t s =、m t A ∈.当s 、t 中出现1-时,显然有2a 满足120a a ⋅=;当1s ≠-且1t ≠-时，1s ≥、1t ≥.因为1m A +具有性质P ,所以有211111(,),,m a s t s t A +=∈，使得120a a ⋅=, 从而1s 和1t 中有一个是1-，不妨设11s =-.假设1t ∈1m A +且1t ∉m A ，则11m t x +=.由1(,)(1,)0m s t x +⋅-=， 得11m m s tx x ++=≥，与m s A ∈矛盾.1t ∴∈m A .从而m A 也具有性质P现用数学归纳法证明猜测: 1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. ①当n =1和2时，结论显然成立;②假设n=m 时, {}21,1,,,m m A x x =-有性质P ，则1k k x q -=，1,2,,k m =；当n=1m +时,若{}1211,1,,,,m m m A x x x ++=-有性质P ，则{}21,1,,,m m A x x =-也有性质P ，{}1111,1,,,,m m m A q q x -++∴=-.取11(,)m a x q +=，并设2(,),a s t =满足120a a ⋅=，即10m x s qt ++=. 由此可得1s =-或1t =-.若1t =-，则1m qx q s+=≤矛盾；1s ∴=-，1m x qt +=，又11m m x q -+>，{}1111,1,,,,m m m t A q q x -++∈=-，1q >1m t q -∴=，1m m x q +∴=.综合①②知，1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤.。
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2014年高考模拟试卷(1)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1. 设a ，b 是实数，若21a bi i=+-（i 是虚数单位），则a b +的值是 ． 2. 若全集U R =，集合{|31}A x x =-≤≤，{|32}A B x x =-≤≤，则U B A =ð ． 3. 平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点．若在平行四边形ABCD 内部随机取一点M ，则点M取自ABE ∆内部的概率为 ．4. 为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名高三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重（单位：kg ）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是 ．（第5题图）5. 运行如图语句，则输出的结果T = ．6. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若424=S S ，则84S S = ． 7. 若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(),1m ，则实数m = ．8. 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6AB BC ==，O ABCD -的体积为 ．9. 已知锐角A ，B 满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为 ．10. 已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相交，则双曲线C 离心率的取值范围是 ．11. 设函数)102)(36sin(2)(<<-+=x x x f ππ的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数 ()f x 的图像交于另外两点B 、C .O 是坐标原点，则()OB OC OA +⋅= ．12. 当对数函数=log (>0a y x a 且1)a ≠的图像至少经过区域0=(,)+8030x y M x y x y y ⎧-≥⎫⎧⎪⎪⎪-≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎩⎭内的一个点时，实数a 的取值范围为 ．13. 设等差数列{}n a 满足22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-.若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是 ．（第4题图）14. 从x 轴上一点A 分别向函数3()f x x =-与函数332()||g x x x =+引不是水平方向的切线1l 和2l ，两切线1l 、2l 分别与y 轴相交于点B 和点C ，O 为坐标原点，记OAB ∆的面积为1S ，OAC ∆的面积为2S ，则12S S +的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）已知,(0,)2αβπ∈，且7sin(2)sin 5αβα+=．（1）求证：tan()6tan αββ+=；（2）若tan 3tan αβ=，求α的值．16.（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 且AF ACλ=．（1）若EF ∥平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED ．17.（本小题满分14分）某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染．某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为m 个单位的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y （毫克/升）满足（第16题图） E AB C D F()y m f x =，其中()2log (4),046,42x x f x x x +<≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效．．净化．．；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳．．净化．．. （1）如果投放的药剂质量为4=m ，试问自来水达到有效．．净化．．一共可持续几天? （2）如果投放的药剂质量为m ，为了使在7天（从投放药剂算起包括第7天）之内的自来水达到最佳．．净化．．，试确定应该投放的药剂质量m 的取值范围.18. (本小题满分16分) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆:E ()222210x y a b a b=>>+的离心率为12，右焦点为F ，且椭圆E 上的点到点F 距离的最小值为2．（1）求a ，b 的值；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为,A B ，过点A 的直线l 与椭圆E 及直线8x =分别相交于点,N M ．①当过,,A F N 三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；②若cos AMB ∠=，求ABM △的面积．19.（本小题满分16分）已知函数2()(33)x f x x x e =-+，其中e 是自然对数的底数． （1）若[2,],21x a a ∈--<<，求函数()y f x =的单调区间； （2）设2a >-，求证：213()f a e >； （3）对于定义域为D 的函数()y g x =，如果存在区间[,]m n D ⊆，使得[,]x m n ∈时，()y g x =的值域是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数()y g x =的“保值区间”．设()()(2),(1,)x h x f x x e x =+-∈+∞，问函数()y h x =是否存在“保值区间”？若存在，请求出一个“保值区间”； 若不存在，请说明理由．20.（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，数列{}n b ，{}n c 满足2n n na b a +=，21n n n c a a +=． （1）若数列{}n a 为等比数列，求证：数列{}n c 为等比数列；（2）若数列{}n c 为等比数列，且1n n b b +≥，求证：数列{}n a 为等比数列．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在．．．．．．．．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）在ABC ∆中，已知12AC AB =，CM 是ACB ∠的平分线，AMC ∆的外接圆交BC 边于点N ，求证：2BN AM =．B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量113e ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（1）求矩阵M ；高 考 资 源 网（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C'的方程为1xy =，求曲线C 的方程．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，设M 是椭圆22221x y a b+= (0)a b >>上在第一象限的点，(,0)A a 和(0,)B b 是椭圆的两个顶点，求四边形MAOB 的面积的 最大值.D ．（选修４－５：不等式选讲）设,,,a b c d R ∈，求证：ad bc =时成立.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22．福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下： ①该福利彩票中奖率为50%；②每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；③顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p ，获得50元奖金的概率为2%. （1）假设某顾客一次性花50元购买10张彩票,求该顾客中奖的概率；（2）设福彩中心卖出一张彩票获得的资金为X 元，求X 的概率分布（用p 表示）；（3）为了能够筹得资金资助福利事业, 求p 的取值范围.23．（1）设1x >-，试比较ln(1)x +与x 的大小；（2）是否存在常数N a ∈，使得111(1)1n k k a a n k=<+<+∑对任意大于1的自然数n 都成立？若存在，试求出a 的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由．2014年高考模拟试卷(1)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1. 2；2. (1,2]；3.12； 4. 40； 5. 625； 6. 10； 7. 12；8. 9.； 10．； 11. 32；12.； 13.43(,)32ππ；14. 8. 二、解答题15．（1）证明：7sin(2)sin 5αβα+=，7s i n [()]s i n [()]αββαββ∴++=+-，7s i n ()c o sc o s ()s i n[s i n ()c o s c o s ()s i n ]5αββαββαββαββ∴+++=+-+， s i n ()c o s 6c o s (αββαββ∴+=+，①,(0,),(0,)2αβαβπ∈∴+∈π， 若cos()0αβ+=，则由①sin()0αβ+=与(0,)αβ+∈π矛盾，c o s ()0αβ+≠，∴①两边同除以cos()cos αββ+得：tan()6tan αββ+=； （2）解：由（1）得tan()6tan αββ+=，tan tan 6tan 1tan tan αββαβ+=-，t a n 3t a n αβ=，1tan tan 3βα∴=，24tan 32tan 11tan 3ααα∴=-(0,)2απ∈，tan 1α∴=，从而4πα=．16． 解：（1）因为EF ∥平面ABD ，易得EF ⊂平面ABC ，平面ABC 平面ABD AB =， 所以//EF AB ，又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 所以点F 为AC 的中点， 由AF AC λ=得12λ=；（2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点， 所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，又AE DE E =，AE DE ⊂、平面AED ， 所以BC ⊥平面AED ， 而BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面AED ．17．解：（1）由题设：投放的药剂质量为4=m ， 自来水达到有效．．净化．．4()6f x ⇔≥ 3()2f x ⇔≥2043log (4)2x x <≤⎧⎪⇔⎨+≥⎪⎩或46322x x >⎧⎪⎨≥⎪-⎩ 04x ⇔<≤或46x <≤，即06x <≤，亦即，如果投放的药剂质量为4=m ，自来水达到有效．．净化．．一共可持续6天；（2）由题设，(0,7],6()18x mf x ∀∈≤≤，0m >，()2l o g (4),046,42x x f x x x +<≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩， （第16题图）E ABC DF2(0,4],6l o g (4)18x mx ∴∀∈≤+≤，且6(4,7],6182mx x ∀∈≤≤-， 26318m m ≥⎧∴⎨≤⎩且665318m m ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩， 3656m m ≤≤⎧∴⎨≤≤⎩，56m ∴≤≤， 亦即，投放的药剂质量m 的取值范围为[5,6]. 18．解：（1）由已知，12ca =，且2a c -=，所以4a =，2c =，所以22212b ac =-=， 所以，4a =，b =（2）①由⑴，(4,0)A -，(2,0)F ，设(8,)N t ．设圆的方程为220x y dx ey f =++++，将点,,A F N 的坐标代入，得21640,420,6480,d f d f t d et f ⎧-=⎪=⎨⎪=⎩+++++++解得2,72,8,d e t t f =⎧⎪⎪=--⎨⎪=-⎪⎩ 所以圆的方程为22722()80x y x t y t--=+++，即222172172(1)[()]9()24x y t t t t -=+++++，因为2272()t t ≥+，当且仅当72t t=±+故所求圆的方程为22280x y x ±-=++．②由对称性不妨设直线l 的方程为(4)(0)y k x k =>+． 由22(4),1,1612y k x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩++得222121624(,)3434k k M k k -++， 222424(,)3434kMA k k --∴=++，2223224(,)3434k k MB k k -=++，cos 24MA MB AMB MA MB ⋅∴∠===， 化简，得42164090k k --=，解得214k =，或294k =，即12k =，或32k =，此时总有3M y =，所以ABM △的面积为183122⨯⨯=．19．解：（2()()(1),[2,],2x x f x x x e x x e x a a '=-=-∈->-由表知道：①20a -<≤时，(2,)x a ∈-时，()0f x '>，∴函数()y f x =的单调增区间为(2,)a -；②01a <<时，(2,0)x ∈-时，()0f x '>，(0,)x a ∈时，()0f x '<， ∴函数()y f x =的单调增区间为(2,0)-，单调减区间为(0,)a ； （2）证明：2()(33),2a f a a a e a =-+>- 2()()(1),2a a f a a a e a a e a '=-=->-，[(f a 极小值332225()1313132(1)(2)0e f f e e e e----=-=>> (1)(2)f f ∴>- 由表知：[0,)a ∈+∞时，()(1)(2)f a f f ≥>-，(2,0)a ∈-时，()(2)f a f >-， 2a ∴>-时，()(2)f a f >-，即213()f a e >； （3）2()()(2)(21),(1,)x x h x f x x e x x e x =+-=-+∈+∞， 2()(1),(1,)x h x x e x '=-∈+∞， (1,)x ∴∈+∞时，()0h x '>， ()y h x ∴=在(1,)+∞上是增函数，函数()y h x =存在“保值区间”1[,]()()n m m n h m m h n n >>⎧⎪⇔=⎨⎪=⎩⇔关于x 的方程()h x x =在(1,)+∞有两个不相等的实数根， 令2()()(21),(1,)x H x h x x x x e x x =-=-+-∈+∞， 则2()(1)1,(1,)x H x x e x '=--∈+∞，2[()](21),(1,)x H x x x e x ''=+-∈+∞ (1,)x ∈+∞时，2[()](21)0x H x x x e ''=+->，()H x '∴在(1,)+∞上是增函数，2(1)10,(2)310H H e ''=-<=->，且()y H x '=在[1,2]图象不间断， 0(1,2),x ∴∃∈使得0()0H x '=， 0(1,)x x∴∈时，()0H x '<，0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>， ∴函数()y H x =在0(1,)x 上是减函数，在0(,)x +∞上是增函数，(1)10H =-<，0(1,],()0x x H x ∴∈<， ∴函数()y H x =在(1,)+∞至多有一个零点， 即关于x 的方程()h x x =在(1,)+∞至多有一个实数根， ∴函数()y h x =是不存在“保值区间”． 20．解：（1）因为数列{}n a 为等比数列，所以1n na q a +=（q 为常数）， 所以2311221n n n n n n c a a q c a a ++++==为常数，所以数列{}n c 为等比数列； （2）因为数列{}n c 是等比数列，所以1n nc q c +=（q 为常数），所以221122211n n n n n n n n n c a a a q c a a a a ++++++===．则2242231n n n n n n a a a a a a +++++=． 所以2423221n n n n n n a a aa a a +++++=，即221n n nb b b ++=．因为1n n b b +≥，所以21n n b b ++≥，则22211n n n n b b b b +++≥≥．所以21n n b b ++=；1n n b b +=． 所以321n n n n a a a a +++=，即231n n n naa a a +++=⋅． 因为数列{}n c 是等比数列，所以121n n n n c c c c +++=，即2223112n n n n n n a a a a a a +++++=， 把231n n n na a a a +++=⋅代入化简得212n n n a a a ++=，所以数列{}n a 为等比数列． 第Ⅱ卷（附加题，共40分） 21. A. 证明：如图，在ABC ∆中，因为CM 是ACM ∠的平分线，所以AC AMBC BM =． 又12AC AB =，所以2AB AMBC BM=①因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的弦， 所以，BM BA BN BC ⋅=⋅，即AB BNBC BM=② 由①、②可知2AM BNBM BM=， 所以 2BN AM =．B ．解：（1）依题意,得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即31333a b -=-⎧⎨-=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，2130M ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦； （2）设曲线C 上一点),(y x P 在矩阵M 的作用下得到曲线1xy =上一点),(y x P '''，则2130x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即⎩⎨⎧='+='xy y x x 32， 1x y ''=，(2)(3)1x y x ∴+=，整理得曲线C 的方程为2631x xy +=．C. 解：已知椭圆22221x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩.由题设,可令(cos ,sin )M a b ϕϕ，其中02πϕ<<.所以，1122MOA MOB M M MAOB S S S OA y OB x ∆∆=+=⋅+⋅四边形1(sin cos )sin()24ab πϕϕϕ=+=+.所以，当4πϕ=时，四边形MAOB .D. 证明：由柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+a c b d+．将上式两边同时乘以2，再将两边同时加上2222a b c d +++，有222222()()()()a b c d a c b d +++≥+++ ，即22≥，由柯西不等式中等号成立的条件及上述推导过程可知，原不等式中等号当且仅当ad bc = 时成立．22. 解: （1）设至少一张中奖为事件A ，则顾客中奖的概率101023()10.51024P A =-=； （2）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为X 元，则X 可以取5,0,45,145--，X 的分布列为：X为()550%0(50%2%)(45)2%(145)E X p p =⨯+⨯--+-⨯+-⨯1.6145p =-，∴福彩中心能够筹得资金⇔() 1.61450E X p =->，即80725p <<， 所以当80725p <<时，福彩中心可以获取资金资助福利事业. 23. 解：（1）设()ln(1)f x x x =-+，则1'()111xf x x x =-=++， 当(1,0)x ∈-时，'()0f x <，()f x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增；故函数()f x 有最小值(0)0f =，则ln(1)x x +≤恒成立； （2）取1,2,3,4m =进行验算：11(1)21+=， 219(1) 2.2524+==， 3164(1) 2.37327+=≈， 41625(1) 2.444256+=≈， 猜测：①12(1)3m m<+<，2,3,4,5,m =，②存在2a =，使得111(1)1n k k a a n k=<+<+∑恒成立．证明一：对m N ∈，且1m >，有012211111(1)()()()()m k k m mm m m m m C C C C C m mm m m+=+++++++()()()()211112111111()()()2!!!k mm m m m m k m m m k m m m---+-⋅=+++++++11112111121111112!!!k m m k m m m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++---++-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111122!3!!!k m <++++++()()11112213211k k m m <++++++⨯⨯--11111112122311k k m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭133m=-<．又因()1()02,3,4,,k km C k m m >=，故12(1)3m m<+<，从而有112(1)3nk k n n k =<+<∑成立，即111(1)1n k k a a n k =<+<+∑．所以存在2a =，使得111(1)1n k k a a n k=<+<+∑恒成立．证明二：由（1）知：当(0,1]x ∈时，ln(1)x x +<， 设1x k=，1,2,3,4,k =，则11ln(1)k k +<，所以1ln(1)1k k +<，1ln(1)1k k +<，1(1)3k e k+<<， 当2k ≥时，再由二项式定理得：01221111(1)()()()k k k k k k k C C C C k k k k +=++++011()2k k C C k>+=，即12(1)3k k <+<对任意大于1的自然数k 恒成立，从而有112(1)3nk k n n k =<+<∑成立，即111(1)1n k k a a n k =<+<+∑．所以存在2a =，使得111(1)1n k k a a n k=<+<+∑恒成立．。