最新高三数学上学期期末考试试卷含答案
山东省威海市2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案
高三数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{||1|}A x x =-≥1，2{|20}B x x x =--<，则A B = A.(20)-, B.(10)-, C.(20]-, D.(10]-,2.已知向量(22)=,a ，(1)x =,b ，若∥a b ，则||=b A.1D.23.若复数z 满足(1i)|1|z -=+，则z =A .1i- B.1i+ C.22i- D.22i+4.cos 28cos73cos62cos17︒︒︒︒+=A.2B.2-C.2D.2-5.若正实数a ，b ，c 满足235a b c ==，则A.a b c<< B.b a c<< C.b c a<< D.c b a<<6.已知函数()y f x =的图象是连续不断的，且()f x 的两个相邻的零点是1，2，则“0(12)x ∃∈,，0()0f x >”是“(12)x ∀∈,，()0f x >”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知1F ，2F 分别为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>,的左、右焦点，过点1F 的直线与圆222x y a +=相切于点P ，且与双曲线的右支交于点Q ，若2||||PQ QF =，则该双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.58.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA PD ==，二面角P AD B --为60︒，则该四棱锥外接球的表面积为A.163πB.283π C.649π D.20π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三上学期期末考试数学试卷(附答案解析)
高三上学期期末考试数学试卷(附答案解析)班级:___________姓名：___________考号：______________一、单选题1．已知集合12|log (1)0A x ax ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，若1A ∈，则a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,)+∞2．设函数f （x ）=cosx+bsinx （b 为常数），则“b=0”是“f （x ）为偶函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．给出如下几个结论:①命题“R,cos sin 2x x x ∃∈+=”的否定是“R,cos sin 2x x x ∃∈+≠”; ②命题“1R,cos 2sin x x x ∃∈+≥”的否定是“1R,cos 2sin x x x∀∈+<”; ③对于π10,,tan 22tan x x x⎛⎫∀∈+≥ ⎪⎝⎭;④R x ∃∈，使sin cos x x +=其中正确的是（ ） A ．③B ．③④C ．②③④D ．①②③④4．已知a 、b 为正实数，a+b=1，则2134a b+的最小值是（ ） A ．1112 B ．116C ．1112+D ．1112+5．函数2441()2x f x x -+=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．当()0,x ∈+∞时幂函数()2531m y m m x --=--为减函数，则实数m 的值为（ ）A ．2m =B ．1m =-C ．1m =-或2m =D ．m ≠7．若0.110a =与lg0.8b =和5log 3.5c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．a c b >>8．已知函数()f x 是定义在R 上的函数,()11f =.若对任意的1x ,2x R ∈且12x x <有12123f x f x x x ,则不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦的解集为A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．24,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．已知0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，则下列结论正确的是（ ）A ．22παβ-=B ．22παβ+=C ．2παβ+=D ．2παβ-=10．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 为奇函数，则（ ） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 11．函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）A．2,3π-B．2,6π-C．4,6π-D．4,3π12．已知函数()2ln,01,0xxf x xx x⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩若函数()()g x f x k=-有三个零点，则（）A．1ek<≤B．1ek-<<C．1e<<k D．11ek<<二、填空题13．若22x x a++≥对Rx∈恒成立，则实数a的取值范围为___.14．已知实数0a≠，函数2,1()2,1x a xf xx a x+<⎧=⎨--≥⎩，若(1)(1)f a f a-=+，则a的值为________ 15．已知1cos63πα⎛⎫⎪⎝=⎭+，则5cos6πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值为______．三、双空题四、解答题17．已知幂函数()2()294mf x m m x=+-在(,0)-∞上为减函数.(1)试求函数()f x解析式；(2)判断函数()f x的奇偶性并写出其单调区间.18．已知函数()e ln exf x a x=--.（1）当1a=时讨论函数()f x的零点存在情况；（2）当1a>时证明：当0x>时()2ef x>-.19．已知函数2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.20．已知函数()()2112122f x cos x sin x cos x x R ππ⎛⎫⎛⎫=+++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()1求()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；()2若7224f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭2sin α的值． 21．已知函数()||1()f x x x a x =--+∈R .(1)当2a =时试写出函数()()g x f x x =-的单调区间； (2)当1a >时求函数()f x 在[1,3]上的最大值.22．已知函数π()e sin sin ,[0,π]4xf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1)若1a ≤，判断函数()f x 的单调性； (2)证明：e (π)1sin cos x x x x -+≥-.参考答案与解析1．C【详解】1A ∈12log (1)0a ∴-> 011a ∴<-<，即12a <<则实数a 的取值范围是(1,2) 故选:C. 2．C【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断. 【详解】0b = 时()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时()=()f x f x -对任意的x 恒成立()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 3．B【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题可判断①，②；利用基本不等式判断③;结合三角函数恒等变换以及性质判断④,可得答案.【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 知①不正确 命题“1R,cos 2sin x x x ∃∈+≥”的否定是“1R,cos 2sin x x x∀∈+<或sin 0x = ”,故②不正确；因为π10,,tan 22tan x x x ⎛⎫∀∈+≥ ⎪⎝⎭当且仅当1tan tan x x=即π0,2π4x ⎛=∈⎫ ⎪⎝⎭ 时取等号，③正确；由πsin cos [4x x x ⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，比如π4x =时π4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭故R x ∃∈，使sin cos x x += 故选：B 4．D 【分析】将2134a b +与a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2134a b+的最小值.【详解】由已知条件可得()2118318311111113412121212b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝=时等号成立.因此，2134a b +的最小值是1112+故选：D. 5．D【分析】判断函数的奇偶性可排除B ，C ；利用特殊值可判断A,D,即得答案.【详解】因为函数2441()2x f x x -+=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且2441()()2x f x f x x -+-== 故2441()2x f x x -+=是偶函数，排除选项B ，C ；当2x =时15(2)032f -=<，对应点在第四象限，故排除A 故选：D. 6．A【分析】根据幂函数的定义和单调性可得答案.【详解】因为函数()2531m y m m x --=--既是幂函数又是()0,+∞的减函数所以211530m m m ⎧--=⎨--<⎩解得：m=2.故选：A. 7．D【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，判断a,b,c 的范围，即可比较大小，可得答案. 【详解】由函数10x y =为增函数可知0.1110a =>由lg y x =为增函数可得lg0.80b =<，由由5log y x =为增函数可得50log 3.51c <=<0.15101log 3.50lg0.8a c b ∴=>>=>>=a cb ∴>>故选:D 8．C【解析】因为等式12123f x f x x x 可化为()()()12123f x f x x x -<--,即()()112233f x x f x x +<+,令函数()()3F x f x x =+,根据函数()F x 是R 上的增函数,即可求得答案.【详解】 不等式12123f x f x x x 可化为()()()12123f x f x x x -<--即()()112233f x x f x x +<+令函数()()3F x f x x =+,由()()112233f x x f x x +<+ 可得()()21>F x F x ,结合12x x <∴ 函数()()3F x f x x =+是R 上的增函数又()14F =不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦ ∴ ()()2log 321F x F -<⎡⎤⎣⎦ ∴ ()2log 321x -<,即0322x <-< ∴2433x <<不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦的解集为:24,33⎛⎫⎪⎝⎭. 故选:C.【点睛】利用函数性质解抽象函数不等式,解题关键是根据已知构造函数,利用对应函数单调性进行求解函数不等式,考查了转化能力和分析能力,属于中档题. 9．A【分析】用二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式化简()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，由此得出正确结论.【详解】有()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，得()22sin cos cos 2cos 1sin ααβαβ=+sin cos cos sin cos αβαβα-= ()πsin cos sin 2αβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，由于0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ,222αβααβ-=--=，故选A. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式，属于中档题. 10．C【分析】根据函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，得到T π=，易得()()2sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 26g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，再根据()g x 是奇函数，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后逐项验证即可.【详解】因为函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π 所以其最小正周期为T π=，则22Tπω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后 可得()2sin 22sin 2126x x g x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=的图象又因为()g x 是奇函数，令()6k k Z πϕπ+=∈所以()6k k ϕπ=π-∈Z .又2πϕ<所以6πϕ=-.故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当6x π=时()1f x =，故()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误； 当6x π=-时()2f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 错误； 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，故C 正确；在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上3,2262x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．A【分析】根据()f x 的图象求得T π=，求得2ω=，再根据5()212f π=，求得2,3k k Z πϕπ=-+∈，求得ϕ的值，即可求解.【详解】根据函数()f x 的图象，可得353()41234T πππ=--=，可得T π=所以22Tπω== 又由5()212f π=，可得5sin(2)112πϕ⨯+=，即52,62k k Z ππϕπ+=+∈ 解得2,3k k Z πϕπ=-+∈因为22ππϕ-<<，所以3πϕ=-.故选：A. 12．C【分析】将问题转化为()y f x =与y k =图象有三个交点，分析分段函数的性质并画出()f x 图象，即可确定k 的范围.【详解】由题意，()y f x =与y k =图象有三个交点 当0x >时()ln x f x x=，则()21ln xf x x -'=∴在()0,e 上0fx，()f x 递增，在()e,+∞上0fx，()f x 递减∴0x >时()ln x f x x =有最大值()1e ef =，且在()0,e 上()1(,)e f x ∈-∞，在()e,+∞上()1(0,)ef x ∈.当0x ≤时()21f x x =-+单调递增∴()f x 图象如下∴由图知：要使函数()g x 有三个零点，则10e<<k . 故选：C. 13．94a ≥【分析】根据一元二次不等式对R x ∈恒成立，可得Δ14(2)0a =--≤ ，即可求得答案. 【详解】220x x a ++-≥对R x ∈恒成立，9Δ14(2)0,4a a ∴=--≤∴≥ 故答案为：94a ≥14．34-【解析】分当0a >时和当a<0时两种分别讨论求解方程，可得答案. 【详解】当0a >时11,1+>1a a -<，所以(1)(1)f a f a -=+ ()()211+2,a a a a -+=--解得302a =-<，不满足，舍去；当a<0时1>1,1+1a a -<，所以()()1221,a a a a ---=++解得304a =-<，满足.故答案为34-.【点睛】本题考查解分段函数的方程，在分段函数求函数值的时候，要把自变量代入到所对应的解析式中是解本题的关键，属于基础题．15．13-【分析】由已知条件，利用诱导公式化简5cos cos 66ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可求解.【详解】解：因为1cos 63πα⎛⎫ ⎪⎝=⎭+所以51cos cos cos 6663πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=-⎪⎛⎫⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭ 故答案为：13-.16． sin x - 【分析】对()cos f x x '=求导可得()sin f x x ''=-，由正弦函数的图象可知()0f x ''<成立 根据函数的性质123123sin sin sin 3sin 3x x x x x x ++⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，即可求得123sin sin sin x x x ++的最大值. 【详解】设()sin f x x =，()0,πx ∈则()cos f x x '= 则()sin f x x ''=-，()0,πx ∈由于()0f x ''<恒成立 故()f x 有如下性质()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭.则123123πsin sin sin 3sin 3sin 33x x x x x x ++⎛⎫++≤=⨯= ⎪⎝⎭∴123sin sin sin x x x ++故答案为 sin x -17．(1)5()f x x -=(2)奇函数，其单调减区间为(,0)-∞ (0,)+∞【分析】（1）根据幂函数的定义，令22941m m +-=，求解即可； （2）根据幂函数的性质判断函数的单调性，继而可得其单调区间. 【详解】（1）由题意得22941m m +-=，解得12m =或5m =- 经检验当12m =时函数12()f x x =在区间(,0)-∞上无意义所以5m =-，则5()f x x -=. （2）551()f x x x -==，∴要使函数有意义，则0x ≠ 即定义域为(,0)(0,)-∞+∞，其关于原点对称.5511()()()f x f x x x-==-=--∴该幂函数为奇函数.当0x >时根据幂函数的性质可知5()f x x -=在(0,)+∞上为减函数函数()f x 是奇函数，∴在(,0)-∞上也为减函数故其单调减区间为(,0)-∞ (0,)+∞.18．（1）两个零点；（2）证明见解析.【分析】(1)将1a =代入可得(1)0f =，求出函数()f x 的导数，利用导数探讨函数的单调性并借助零点存在性定理即可求解；(2)根据已知条件构造函数()e ln 2x g x x =--，证明()0g x >在0x >时恒成立即可得解.【详解】(1)当1a =时()e ln e x f x x =--，显然(1)0f =，即1是()f x 的一个零点求导得()1e x f x x '=-，()f x '在(0,)+∞上单调递增，且131e 303f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭(1)e 10f '=-> 则()f x '在1(,1)3上存在唯一零点0x ，当00x x <<时()0f x '<，当0x x >时()0f x '> 因此，函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，而()0(1)0f x f <= 31e 31e 3e 0ef ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭ 从而得在()00,x 上函数()f x 存在一个零点所以函数()f x 存在两个零点；(2)令()e ln 2x g x x =--，x>0，则1()e x g x x'=-，由(1)知()g x '在(0,)+∞上单调递增，且在1(,1)3上存在唯一零点0x ，即001x e x = 当()00,x x ∈时()g x 单调递减，当()0,x +∞时()g x 单调递增因此()000000011()e ln 2e ln 220e x x x g x g x x x x ≥=--=--=+->，即ln 2x e x ->，则e ln e 2e x x -->- 而1a >，有e e x x a >，于是得()e ln e>e ln e 2e x x f x a x x =---->-所以当1a >，0x >时()2e f x >-.19．（1）最小正周期为π，最大值为1（2）在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减. 【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值；（2）根据[]20,3x ππ-∈，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得()f x 的单调性. 【详解】（1）2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin cos x x x =11cos 2sin 222x x +=sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭则()f x 的最小正周期为22T ππ== 当22,32x k k Z πππ-=+∈，即25,1ππ=+∈x k k Z 时()f x取得最大值为1； （2）当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时[]20,3x ππ-∈ 则当20,32x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即5,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 为增函数； 当2,32x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时即52,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 为减函数 f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减. 【点睛】本题考查正弦函数的性质，解题的关键是利用三角恒等变换化简函数.20．（1）3()4=max f x()min f x =；（2）2325 【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．()1由x 的范围求得相位的范围，则函数最值可求；()2由已知求得145sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再由诱导公式及倍角公式求2sin α的值． 【详解】解：()2112122f x cos x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212111622222222sin x cos x cos x cos x x π⎛⎫+ ⎪⎛⎫+⎝⎭=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭131222222223cos x x sin x x x π⎛⎫⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ()1,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,22,333x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦23sin x π⎡⎛⎫∴+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦ 则3()4max f x =()min f x = ()2由7224f απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭7123ππα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭145sin πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭． 2123221212242525sin cos sin ππααα⎛⎫⎛⎫∴=-=--=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用,考查()y Asin x ωϕ=+型函数的图象与性质，考查计算能力,属于中档题．21．(1)单调递减区间为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[2,)+∞，单调递增区间为3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)()()max 1(13)103(34)24a f x a a a a ⎧<≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩【分析】（1）当2a =时求出()()()2231(2)12x x x g x f x x x x x ⎧-+<⎪=-=⎨-++≥⎪⎩，利用二次函数的性质确定函数的单调区间； （2）作出函数()f x 的大致图象，数形结合，分类讨论，比较()f x 在[1,3]上的函数值(1)f (3)f ()f a 的大小关系，即可求得答案.（1）当2a =时()()2221(2)21212x x x f x x x x x x ⎧-+<⎪=--+=⎨-++≥⎪⎩所以()()()2231(2)12x x x g x f x x x x x ⎧-+<⎪=-=⎨-++≥⎪⎩当2x <时2()31g x x x =-+，其图象开口向上，对称轴方程为32x =所以()g x 在3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； 当2x ≥时2()1g x x x =-++，其图象开口向下，对称轴方程为12x =所以()g x 在[2,)+∞上单调递减. 综上可知，()g x 的单调递减区间为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[2,)+∞，单调递增区间为3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）由题意知1a >，()()2211()x ax x a f x x ax x a ⎧-++≥=⎨-+<⎩作出大致图象如图：易得(0)()1f f a == 2124a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以可判断()f x 在[1,3]上的最大值在(1)f (3)f ()f a 中取得.当13a 时max ()()1f x f a ==.当3a >时()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,32a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增 又13422a a a ⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以，若34a <<，则max ()(3)103f x f a ==-；若4a ≥，则max ()(1)2f x f a ==-.综上可知，在区间[1,3]上()()max1(13)103(34)24a f x a a a a ⎧<≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩ . 22．(1)在3π[0,]4上，()f x 为增函数；在3π[,π]4上时()f x 为减函数. (2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，判断导数正负，从而判断函数单调性；（2）当1a =时结合（1）可得πe sin 14x x x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，整理为e sin 1sin cos x x x x +≥-，然后构造函数()πsin g x x x =--，利用其导数证明结论.【详解】（1）因为π()e sin sin ,[0,π]4x f x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所以()π()e sin e cos cos()e sin cos )(cos sin )e (sin (cos )4x x x x f x x x x x x a x x a x x '=+-=+-+=-+因为1a ≤，所以在()0,π上e 0x a ->由()0f x '=，解得3π4x =. 当3π04x <<时()0f x '>，故()f x 在3π[0,]4上为增函数； 当3ππ4x <<时()0f x '<，()f x 在3π[,π]4上为减函数. （2）证明：由（1）知，当1a =时π()e sin 4x f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在3π[0,]4上为增函数，在3π[,π]4上为减函数. 因为(0)1,(π)1f f ==-所以()(π)f x f ≥故πe sin 14x x x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以e sin sin cos 1x x x x ≥--所以e sin 1sin cos x x x x +≥-.设()πsin ,()1cos 0g x x x g x x '=--=--≤所以()g x 在[0,π]上为减函数.又(π)0g =，则()(π)0g x g ≥=，所以πsin x x -≥所以e (π)1e sin 1sin cos x x x x x x -+≥+≥-.【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性以及利用导数证明不等式问题，解答时要明确导数与函数的单调性之间的关系，解答的关键是根据题中要证明的不等式合理变式，构造函数，利用导数判断单调性进而进行证明.。
2023-2024学年浙江省湖州市高三上学期数学期末考试试题和答案
2023学年第一学期期末调研测试卷高三数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．作答选择题时，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．不按以上要求作答的答案无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}14A x x =-≤≤，{}3B x x =<，则A B =A ．{}13x x -≤<B ．{}14x x -≤≤C ．{}4x x ≤D ．{}3x x <2．已知复数z 满足(1)i 43i z -=+（i 为虚数单位），则z z +=A ．8B ．6C ．6-D ．8-3．已知向量AB = ，2)AC =- ，则AB 在AC 上的投影向量是A ．1(,)22-B ．1()22C ．1(2D ．1()2-4．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，31，37，m ，42，49；乙组：24，n ，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则m n +=A ．60B ．65C ．70D ．716．记n S 是数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；设乙：12n n S =，则A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7.在正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长为2，PAC ∆为正三角形，点M ，N 分别在PB ，PD 上，且2PM MB =，2PN ND =，若过点A ，M ，N 的截面交PC 于点Q ，则四棱锥P AMQN -的体积是8．已知函数1(e )x f x -=，2()g x ax =，若总存在两条不同的直线与函数()y f x =，()y g x =图象均相切，则实数a 的取值范围是至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列结论中正确的是A ．在22⨯列联表中，若每个数据,,,a b c d 均变为原来的2倍，则2χ的值不变（22()=()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-++++，其中n a b c d =+++）B ．已知随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，若23ξη=+，则()1D η=C ．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点(,)i i x y （1,2,...,i n =）都在直线0.91y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为0.9D ．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M 表示为“第1枚为正面”，事件N 表示为“两枚结果相同”，则事件M ，N 是相互独立事件10．已知正数,a b 满足()1=+b a a ，下列结论中正确的是A ．22a b +的最小值为2B ．2a b +的最小值为2C ．11a b +D -的最大值为111．纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f 的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f ，3f ，4f 等．这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来，所以我们听到的声音函数是⋅⋅⋅+++=x x x y 3sin 312sin 21sin .记()nx nx x x x f n sin 13sin 312sin 21sin +⋅⋅⋅+++=，则下列结论中正确的是A ．x π=为2()f x 的一条对称轴B ．2()f x 的周期为2πC ．3()f x 12+D ．()n f x 关于点(,0)π中心对称三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知4()(1)a x x x--的展开式中含2x 项的系数为8，则实数a =▲．14．已知圆C 的圆心在直线1y x =+上且与y 轴相切．请写出一个同时满足上述条件的圆的标准方程：▲．15．已知一个圆台的上、下底面半径为a ，b （a b <），若球O 与该圆台的上、下底面及侧面均相切，且球O 与该圆台体积比为613，则a b=▲．16．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右顶点分别为A ，B ，点C 满足AC AB λ= （1λ>），点P 为双曲线右支上任意一点（异于点B ），以AC 为直径的圆交直线AP 于点M ，直线BP 与直线CM 交于点N ．若N 点的横坐标等于该圆的半径，则该双曲线的离心率是▲．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．17．（本题满分10分）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a，b ，c ，已知a =3sin sin 4B C =，()()()sinA sin sin sin sin sin sin B C B C A C B C -+-=-．（1）求角A 的大小；（2）求ABC ∆的面积．18．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等差数列，且满足11a =-，230a b +=，2n n n S a b =+（N n *∈）．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足11c b =，且2211n n c c b -=+，212n n n c c a +=+（N n *∈），求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．19．（本题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，且112BD CD ==，BD CD ⊥．DE ⊥平面ABCD ，且12DE BF ==，//DE BF ．点H ，G 分别为线段DC ，EF 上的动点，满足DH EG λ==（02λ<<）．（1）证明：直线//GH 平面BCF ；（2）是否存在λ，使得直线GH 与平面AEF 所成角的正弦值为14？请说明理由．20.（本题满分12分）杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．2023年9月23日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚7点前登录该直播间的前N 名观众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这N 名观众中抽取15名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这N 名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为X （幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为1人）.（1）已知小杭是这前N 名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为59，求N 的值；（2）当(20)P X =取到最大值时，求N 的值.21．（本题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）过点(3,0)A -，且离心率为3．过点3(,0)2B 的直线交C 于P ，Q 两点（异于点A ）．直线AP ,AQ 分别交直线290x y +-=于M ，N 两点．（1）求证：直线AP 与直线AQ 的斜率之积为定值；（2）求AMN ∆面积的最小值．22．（本题满分12分）已知函数()1()ln 1e x f x ax ax a ax -=+---（0a >）．（1）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内单调递增；（2）若函数()f x 存在极大值M ，极小值N ，证明：4M N +<-．（其中e 2.71828≈是自然对数的底数）湖州市2023学年第一学期高三期末教学测试数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案C A A D B C D A二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．题号9101112答案BD AC BCD ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．314．22(1)1x y ++=（答案不唯一，()()2221x a y a a -+--=，任意实数a 均正确.）15．3116．2四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．17．（本题满分10分）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a，b ，c ，已知a =3sin sin 4B C =，()()()sinA sin sin sin sin sin sin B C B C A C B C -+-=-．（1）求角A 的大小；（2）求ABC ∆的面积．解：（1）()()2sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin sin sin A B C B C B C A C A C B C -+-=-由正弦定理可得：2cos cos cos cos ab C ac B bc A ab C bc c -+-=-，2cos cos bc A ac B bc c -=-，-----------------2分由余弦定理：222222222b c a a c b bc ac bc c bc ac+-+-⋅-⋅=-化简得：222b c a bc +-=-----------------4分所以2221cos 22b c a A bc +-==，3A π=.-----------------6分（2）由正弦定理：2sin sin sin a b c A B C===，所以4sin sin 3bc B C ==-----------------8分则13sin 22S bc A ===.-----------------10分18．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等差数列，且满足11a =-，230a b +=，2n n n S a b =+（N n *∈）．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足11c b =，且2211n n c c b -=+，212n n n c c a +=+，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．解：（1）令1n =，则11112S a b a =+=，得11b =，令2n =，则222122S a b a a =+=+，又230a b +=，所以231b b d -=-=-，即1d =．所以n b n =，-------------------------------------3分由2n n S a n =+得，1121n n S a n --=+-．两式相减得121n n a a -=-，即112(1)n n a a --=-，且112a -=-，所以{}1n a -是首项为2-，公比为2的等比数列，所以12n n a -=-，因此21nn a =-+----------------------6分（2）解：由2211n n c c b -=+，212n n n c c a +=+可得212122+-=-+n n n c c ----8分1212322n n n c c ---=-+，2123253122,22n n n c c c c ---=-+=-+ ．累加可得21221n n c n -=-++，----------------------8分()()2135212462n n n T c c c c c c c c -=+++++++++ ()()13521135211111n n c c c c c c c c --=+++++++++++++ ()135212n c c c c n -=+++++ ，----------10分而()()12135212223521n n c c c c n -++++=-++++++++ 12222n n n +=-++，因此2224225n n T n n +=-++.-------------------------------12分19．（本题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，且112BD CD ==，BD CD ⊥．DE ⊥平面ABCD ，且132DE BF ==，//DE BF ．点H ，G 分别为线段DC ，EF 上的动点，满足DH EG λ==（02λ<<）．（1）证明：直线//GH 平面BCF ；（2）是否存在λ，使得直线GH 与平面AEF 所成角的正弦值为4214？请说明理由．解：（1）法一：过点G 作BD 的垂线，交BD 于点Q ，则//GQ BF .连接QH ，则12DQ λ=，且由DH λ=，所以2DH DQ =，//QH BC ，又因为QH BCF ⊄∆，BC BCF ⊂∆，所以，//QH BCF平面且//GQ BCF 平面，GQ QH Q= 所以平面//GQH 平面BCF ，-----------------3分又因为HG HQG ⊂，所以//HG 平面BCF .-----------------5分（1）法二：如图，以D 为原点，分别以,,DC DB DE 方向为,,x y z 轴建立坐标系.()()()()()2,0,0,0,1,0,2,1,0,E 0,0,3,0,1,23C B A F -.()()()()2,1,0,0,0,23,2,1,3,0,1,3BC BF AE EF =-==-= .设平面BCF 的法向量为()1111,,z y x n =，则由110,0BC n BF n ⋅=⋅= ，11120230x y z -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得()11,2,0n = .-------------2分因为2,DC EF EG DH λ====，所以,22DH DC EG EF λλ== 解得()3,0,0,0,,322H G λλλ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，3,,322GH λλλ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭.-----------------4分所以10n GH ⋅= ，且GH ⊄平面BCF ，所以//GH 平面BCF .----------5分（2）设平面AEF 的法向量为()2222,,z y x n =则由220,0AE n EF n ⋅=⋅=，22222200x y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得)21n =- .---------------7分所以2sin cos ,14n GH θ== ，-------------10分解得1λ=.-------------12分20.（本题满分12分）杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．2023年9月23日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚7点前登录该直播间的前N 名观众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这N 名观众中抽取15名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这N 名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为X （幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为1人）.（1）已知小杭是这前N 名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为59，求N 的值；（2）当(20)P X =取到最大值时，求N 的值.解：（1）记“小杭被抽中”为事件A ,“小杭第i 次被抽中”为事件(1,2).i A i =121212()()()()P A P A A P A A P A A =++----------------------------2分2151515529N N N N -⎛⎫⎛⎫=+⋅⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.----------------------------------4分解得45N =.------------------------------------------------6分（2）1551051015151515151515(20),N N N N N NC C C C C P X C C C --===----------------8分记510151515N N N C C a C -=.由5152114155115(14)1,(1)(19)N N N N N N a C C N a C C N N +-+--=⋅=≥+---------------10分解得21.5N ≤，又*N N ∈,所以22N =时(20)P X =取最大值.--------------------------12分21．（本题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点(3,0)A -，过点3(,0)2B 的直线交C 于P ，Q 两点（异于点A ）．直线AP ,AQ 分别交直线290x y +-=于M ，N 两点．（1）求证：直线AP 与AQ 的斜率之积为定值；（2）求AMN ∆面积的最小值．解：（1）由题意得33c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得3a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为22193x y +=.-------------------------------------2分设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线AP ，AQ 的斜率分别为12,k k ，法一：设直线PQ 为32x ty =+，与椭圆联立229233x ty x y +=+=⎧⎪⎨⎪⎩，()22273304t y ty ++-=1221223327143t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，--------------------4分()121212212121219998192224y y y y k k ty ty t y y t y y ⋅=⋅==-+++++，--------------------6分代入可得1219k k ⋅=-，所以直线AP 与AQ 的斜率之积为定值19-.法二：直线PQ 的方程为(3)1m x ny ++=，又点3(,0)2B 在直线PQ 上，得29m =.由22(3)139m x ny x y ⎧⎨++=+=⎩，则23(0336(16)y y x x n m ++--=+，-----4分所以1212121613339y y m k k x x -⋅=⋅==-++.-------------------------------6分（2）设121211,t t k k ==，则129t t =-，又点(3,0)A -到直线290x y +-=的距离是d =分由13290x t y x y ⎧⎨=-+-=⎩解得1122M y t =+，同理2122n y t =+.所以2122MN t =+，-----9分故1149361224921AMN S d MN t t ∆==⨯+-+-，设492492y x x =++-，则225(1)18(2)0y x y x y ⋅----=，由题意得225(1)144(2)0y y ∆=-+-≥，化简得2169338250y y -+≥，解得2513y ≥或113y ≤，故1149121249213t t +-≥+-，故12432361313AMN S ∆≥⨯=等号成立当仅当123,155t t ==-，或者12315,5t t =-=.所以AMN ∆面积的最小值为43213.------------------12分22．（本题满分12分）已知函数()1()ln 1e x f x ax ax a ax -=+---（0a >）．（1）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内单调递增；（2）若函数()f x 存在极大值M ，极小值N ，证明：4M N +<-．（其中e 2.71828≈是自然对数的底数）解：（1）因为0a >，则()f x 的定义域为()0,x ∈+∞，()()11111()11x x x f x ae ax a e a a ax e x x---'=++---=-+------------------1分进一步化简得：()11()1x f x ax e x -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭-----------------3分令()11x g x e x -=-，()121+0x g x e x-'=>，则()g x 在()0,x ∈+∞上单调递增，且()10g =，所以()0,1x ∈时，()0g x <，()1,+x ∈∞时，()0g x >要使得()f x 单调递增，则()0f x '≥在()0,x ∈+∞上恒成立当1a =时，()11()10x f x x e x -⎛⎫'=--≥ ⎪⎝⎭恒成立当01a <<时，11a <，当11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，不合题意当1a >时，11a <，当1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，不合题意综上：1a =.-----------------5分（2）由（1）可得0a >且1a ≠，极值点为1a与1，所以()()111111ln 11ln 2a a M N f f a a a e a a ae a -⎛⎫+=+=--+--=--- ⎪⎝⎭---7分令()11ln 2a h a a a ae -=---，()1111112111111a a a h a e ae e a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=----=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-------9分当01a <<时，()0h a '>，()h a 单调递增当1a ≥时，()0h a '≥，()h a 单调递减，-----------------11分所以()()14h a h ≤=-，即4M N +<-成立.----------------12分。
高等数学上期末考试试题及参考答案
高等数学上期末考试试题及参考答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) 的反函数\( f^{-1}(x) \) 的定义域为（）A. \( (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \)B. \( [0, +\infty) \)C. \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)D. \( (-1, 1) \)答案：C2. 设函数 \( f(x) = \ln(2x - 1) \)，则 \( f'(x) \) 的值为（）A. \( \frac{2}{2x - 1} \)B. \( \frac{1}{2x - 1} \)C. \( \frac{2}{x - \frac{1}{2}} \)D. \( \frac{1}{x - \frac{1}{2}} \)答案：A3. 设 \( f(x) = e^x + e^{-x} \)，则 \( f''(x) \) 的值为（）A. \( e^x - e^{-x} \)B. \( e^x + e^{-x} \)C. \( 2e^x + 2e^{-x} \)D. \( 2e^x - 2e^{-x} \)答案：D4. 下列函数中，哪一个函数在 \( x = 0 \) 处可导但不可微？（）A. \( f(x) = |x| \)B. \( f(x) = \sqrt{x} \)C. \( f(x) = \sin x \)D. \( f(x) = \cos x \)答案：A5. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = 2 \)，则 \( f'(0) \) 的值为（）A. 1B. 2C. 0D. 无法确定答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数 \( f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \) 的导数 \( f'(x) \) 为_________。
河北省唐山市2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题含答案
唐山市2023-2024学年度高三年级第一学期期末考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色钢笔或签字笔将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在笞题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，()()12i 2i -+对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合M ，N 满足M N N ⋂=，则（）A.M N = B.M =∅ C.M N ⊇ D.M N⊆3.已知直线:2l y x b =+与圆()()22:235C x y ++-=有公共点，则b 的取值范围为（）A.[]2,12 B.(][),212,-∞⋃+∞C.[]4,6- D.(][),46,-∞-⋃+∞4.已知函数()sin ,0π,02x x f x m f x x ≤⎧⎪=⎨⎛⎫-+> ⎪⎪⎝⎭⎩.满足()π1f =，则实数m 的值为（）A.14 B.12 C.1 D.25.在正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点中任取4个点，能构成正三棱锥的个数为（）A.16个 B.12个 C.10个 D.8个6.已知函数()lg3x x f x m x +=-是偶函数，则m =（）A.3 B.0 C.-1 D.27.已知函数()()()sin π0,2f x x x =∈的图象与直线()1y a x =-有3个交点，则实数a 的取值范围为（）A.(),0-∞B.()1,0-C.(),π-∞-D.()π,0-8.已知双曲线：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点为1F ，2F ，1222F F a =+，P 为双曲线右支上一点，212PF F F ⊥，12PF F 的内切圆圆心为M ，1MF P 与2MF P 的面积的差为1，则双曲线的离心率e =（）A.2B.3二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.如图，正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都为2，M ，N 分别是AB ，11A C 的中点，则（）A.MN AC⊥ B.1MN BC ∥C.MN =D.MN ∥平面11BCC B 10.已知m ，n 都是正整数，且m n <，下列有关组合数的计算，正确的是（）A.m n m n n C C -= B.1111m m m n n nC C C -+--+=C.11m m n n mC nC --= D.()()()222012n n n n n nC C C C ++⋅⋅⋅+=11.已知函数()f x 的定义域为R ，则以下选项正确的是（）A.若()()1f x f x +=-，则()()2f x f x +=B.若()()2f x f x +=，则()()1f x x f +=-C.若()()2f x f x +=-，且()f x 为奇函数，则()()4f x f x +=D.若()()2f x f x +=-，且()()4f x f x +=，则()f x 为奇函数12.数列{}n a 的通项公式为11n n a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列命题正确的为（）A.{}n a 先递增后递减B.{}n a 为递增数列C.*n ∃∈N ，n a e >D.*n ∀∈N ，n a e<三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(),3a x = ，()2,6b = ，若a 与b 共线，则实数x =______.14.已知圆锥的侧面展开图是半径为8的直角扇形，则此圆锥的表面积为______.15.已知抛物线2:4E y x =，圆()22:11M x y -+=，过点M 的直线l 与E 交于A ，B 两点，与圆M 交于C ，D 两点（A ，C 都在x 轴上方），若AC BD -=l 的斜率为______.16.已知函数()()()cos 0f x x ωϕω=+>，A ，B 是直线12y =与曲线()f x 的两个交点，若AB 的最小值为π6，2π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()00f <，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin cos B a B b c+=+（1）求A ；（2）设AC 边的中线BD =，且2228a c +=，求ABC 的面积S .18.（12分）目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index ，缩写BMI ）来测量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是()()22:kg BMI :m =体重单位身高单位.中国成人的BMI 数值标如下表所示：BMI <18.5[)18.5,24[)24,28≥28体重情况过轻正常超重肥胖为了解某单位职工的身体情况，研究人员从单位职工体检数据中，采用分层随机抽样方法抽取了90名男职工､50名女职工的身高和体重数据，计算得到他们的BMI 值，并进行分类统计，如下表所示：性别BMI 合计过轻正常超重肥胖男106011990女15255550合计25851614140（1）参照附表，对小概率值α逐一进行独立性检验，依据检验，指出能认为职工体重是否正常与性别有关联的α的一个值；（2）在该单位随机抽取一位职工的BMI 值，发现其BMI 值不低于28.由上表可知男女职工的肥胖率都为0.1，视频率为概率，能否认为该职工的性别是男还是女的可能性相同？若认为相同则说明理由，若认为不相同，则需要比较可能性的大小.α0.10.050.010.0050.001x α 2.706 3.841 6.6357.87910.828附：()()()()()22d n ad bc a b c a c b d χ++-=++19.（12分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，当2n ≥时111,,2,.n n n a n a a n --+⎧=⎨⎩为奇数为偶数.且31S =.（1）求1a ，2a ；（2）（i ）当n 为偶数时，求{}n a 的通项公式；（ii ）求2024S .20.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，BC AD ∥，222AD AB BC ===，3PC =，()01PE PD λλ=<< .（1）求证：CD PA ⊥；（2）若平面PAC 与平面EAC 夹角的余弦值为31717，求三棱锥P ACE -的体积.21.（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()2,0F ，点)M 在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+与C 相交于A ，B 两点，若直线AF ，BF 的倾斜角互补，求ABF 面积的最大值.22.（12分）已知函数()()()ln xf x e x m m m R =-+-∈.（1）若1m =，求函数()f x 的极值；f x有两个零点，求m的取值范围.（2）若()唐山市2023—2024学年度第一学期高三年级期末考试数学参考答案一､选择题（单选）：1-4DCAB5-8CADA 二､选择题（多选）：9.CD 10.ACD 11.AC 12.BD 三､填空题：13.114.20π16.2四､解答题：17.解：（1sin cos B a B b c +=+，sin sin cos sin sin A B A B B C +=+，()sin sin cos sin sin A B A B B A B +=++，sin sin cos sin A B B A B =+，因为sin 0B ≠cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以ππ66A -=或5π6（舍），所以π3A =.（2）在ABD 中，由余弦定理得：222cos 2BD AD AB ADB BD AD∠+-=⨯⨯，即2224cos 22b c ADB b ∠+-=，在BDC中，同理可得：2224cos 22b a BDC b ∠+-=，由cos cos 0ADB BDC ∠∠+=，得222b =，解得2b =.在ABD 中，2222cos BD AB AD AB AD A =+-⨯⨯⨯，即221132422b b c c =+-⨯⨯⨯，整理得：2120c c --=，解得：4c =.所以ABC的面积1sin 2S bc A ==.18.解：（1）零假设为0H ：职工体重是否正常与性别相互独立，即二者没有关联.性别BMI合计不正常正常男306090女252550合计5585140将分类统计表简化整理成22⨯列联表，如下表所示.根据列联表中的数据，经计算得到22140(30256025)700 3.74390505585187χ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯.0.13.743 2.706;x >=0.050.010.0050.0013.743 3.841x x x x <=<<<.经过对附表所给的小概率值α逐一进行独立性检验，发现0.1α=时，拒绝了零假设0H ，而附表α的其余取值都不能拒绝零假设0H .因此，能认为职工体重是否正常与性别有关联，则α的一个值可以为0.1.（2）可能性不相同.设事件A ：职工为男职工，事件:B 职工为女职工，事件:C 职工体重情况为肥胖.()()()()()()9595140140,14141414140140P AC P BC P A C P B C P C P C ======∣∣，()()P A C P B C >∣∣.因此，该职工为男职工的可能性要大.19.解：（1）由31S =得1231a a a ++=，又213212,121a a a a a ==+=+，则120,0a a ==.（2）（i ）当n 为偶数时，1n -为奇数，则12n n a a -=，且121n n a a --=+，则()221n n a a -=+故()2222n n a a -+=+，则当n 为偶数时，{}2n a +是一个等比数列，公比为2，首项为22a +，特别要注意，2n a +是第2n 项，则()122222n n a a -+=+，则222nn a =-.（ii ）设S 奇132023242024,a a a S a a a =+++=+++偶，则202413,22S S S S S S ==+=奇奇偶偶偶.S 偶21012101324202422221012221013a a a =+++=+++-⨯=-⨯，则()1012202433210132S S ==-偶.20.解：（1）因为PC ⊥平面,ABCD CD ⊂平面ABCD ，所以PC CD ⊥.取AD 中点M ，连接CM ，因为1,AM BC AM ==∥BC ，所以ABCM 是平行四边形，从而112CM AB AD ===，于是CD AC ⊥.又PC AC C ⋂=，所以CD ⊥平面PAC ，因为PA ⊂平面PAC ，所以CD PA ⊥.（2）如图，以C 为原点，,,CM CB CP分别为x 轴，y 轴，z 轴正向，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,1,0),(1,1,0),(0,0,3),(1,1,0),(0,0,3)C A D P CA CP -== ，(),,3PE PD λλλλ==-- ，(),,33CE CP PE λλλ=+=-- ，由（1）可知，()1,1,0CD =- 为面PAC 的一个法向量.设(),,n x y z = 为面EAC 的法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，即()0,330,x y x y z λλλ+=⎧⎨-+-=⎩取33,33,2x y z λλλ=-=-=，则()33,33,2n λλλ=--，依题意，317cos ,17CD n CD n CD n ⋅== ，得23λ=或2λ=（舍去）.因为23PE PD = ，所以2233P ACE P ACD V V --==.所以三棱锥P ACE -的体积为23.21.解：（1）由已知可得2222611,4a b a b+==+，解得228,4a b ==，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）将y kx m =+代入22184x y +=，整理得()()222124280,*k x kmx m +++-=设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222428,1212km m x x x x k k--+==++，因为直线,AF BF 的倾斜角互补，所以1212022AF BF y y k k x x +=+=--，即()()12122240kx x m k x x m +-+-=，()22228422401412m km k m k m k k--⨯+-⨯-=++，整理得4m k =-，（*）式可化简为()222212163280k x k x k +-+-=，2212122216328,1212k k x x x x k k -+==++，由()2Δ32120k =->，得212k <，点F 到直线:4l y kx k =-的距离d =，则ABF的面积12121122S AB d x k x x ==-=⋅-=当且仅当22412k k =-，即21,66k k==±时等号成立.所以ABF 面积的最大值为.22.解：（1）因为1m =，所以()()e ln 11(1)x f x x x =-+->-.()()1e ,1x f x f x x -+'='在()1,∞-+上单调递增，且()00f '=.当()1,0x ∈-时，()()0,f x f x '<单调递减；当()0,x ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增.所以当0x =时，()f x 有极小值为()()00,f f x =无极大值.（2）由（1）知若1m =，则()f x 有最小值()()00,f f x =有唯一零点0x =.若1m <，则1x m x +<+，()()()e ln e ln 110x x f x x m m x =-+->-+- ，此时，()f x 没有零点.若1m >，则()1e ()x f x x m x m=->-+'，令()()g x f x ='，则()g x 在(),m ∞-+上单调递增，由e 0m m m --<-+<，得()e ee e 0m m m m g m ---+-+=-<，又()1010g m=->，所以()0,0x m ∃∈-，使得()00g x =，当()0,x m x ∈-时，()0g x <，即()()0,f x f x '<单调递减；当()0,x x ∞∈+时，()0g x >，即()()0,f x f x '>单调递增，所以()()001ln 0f x f m m <=--<.取()e 11e 0,e 0m m m x m f x ---+=-+=<>，取()e e ln 222e 0,e 2e e mm m m m m x m f x m -+-+=-+>=-=-.设()e ln2(1)x t x x x x =-+->，()1e 1x t x x=--'，在()1,∞+上单调递增，所以()()1e 20t x t '>=->'，所以()()1e 1ln20t x t >=-->，所以()20f x >.所以()0e ,m m x α-∃∈-+，使()0f α=，()0,e m x m β∃∈-+，使()0f β=，所以()f x 有两个零点时，m 的取值范围为1m >.。
新高三数学上期末试卷(含答案)
新高三数学上期末试卷( 含答案 )一、选择题1． 以下结论正确的选项是（）A ．若 a b ，则 ac 2bc 2B ．若 a 2b2，则 a bCa b,c 0 ，则 a cbc D．若 a b ，则 ab．若2． 已知数列a 的前 n 项和为 S ，且 1a n4nn21 p S4n3 建立，则实数p的取值范围是（nn 1，若对随意nN * ，都有）A ．2,3B ． 2,3C ． 2,9D ． 2,9223． 已知数列 a n 的前 n 项和 S n n 2 ， b nnb n 的前 n 项和 T n 知足1 a n 则数列（）A ． T n1nB ． T n nn为偶数，C ． T nnD ． T nn, n为奇数 .2n, n4． ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 b2 ， B ， C = ，64则ABC 的面积为（）A ．223B ．31C ．232D ．315． 在 ABC 中， AC2, BC2 2,ACB 135o ，过 C 作 CDAB 交AB 于D ，则CD () A ．2 5B ． 2C ． 3D ． 556． “干支纪年法”是中国历法上自古以来就向来使用的纪年方法，干支是天干和地支的总 称，把干支次序相当正好六十为一周，循环往复，循环记录，这就是俗称的“干支表” 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元 1984 年阴历为甲子年，公元 1985年阴历为乙丑年，公元 1986 年阴历为丙寅年，则公元 2047 年阴历为A ．乙丑年B ．丙寅年C ．丁卯年D ．戊辰年7． 数列 a n , b n为等差数列，前 n 项和分别为 S n ,T n S n3n 2 a 7 （ ），若，则b 7T n2n4123 1111A ．B ．C ．D ．2614 768． 已知 ABC 的三个内角 A 、B 、C 所对的边为 a 、b 、c ，面积为 S ，且S(bcc 2 ) tan B ，则 A 等于（）2 3 tan B 2A ．6B ．C ．D ．4329． 数列 { a n } 为等比数列，若 a 11， a 78a 4 ，数列1的前 n 项和为 S n ，则 S 5( a n)B ．15A ． 31C ． 7D ． 31168xy 3 0,102x 上存在点 (x, y) 知足x 2y30, 则实数 m 的最大值为． 若直线 yx m,A ． 2B ． 1C ． 1D ． 311． 已知 0 x 1 ， 0y 1，则x 2 y 2x 21 y 21 x21 x 21y 2y 2的最小值为（）A ． 5B ．2 2C ． 10D ．2 312．设 S 为等差数列a的前 n 项和， (n 1)S ＜ nSn 1 (n N ).若a 81 ，则（ ）nnna 7A ． S n 的最大值为 S 8B ． S n 的最小值为 S 8C ． S n 的最大值为 S 7D ． S n 的最小值为 S 7二、填空题13． 数列 a n 知足： a 1a （ aR 且为常数）， a n 1a n 3 a n 3 n N * ，当4 a n a n3a 100 时，则数列 a n 的前 100项的和 S 100 为________.14． 已知数列a n 知足： a 1 1， a n 1 a n a 1 , a 2 , , a n n N * ，记数列 a n 的前 n项和为 S n ，若对全部知足条件的a n ， S 10 的最大值为 M 、最小值为m，则M m ______.rrx, y 2 ，此中 xr ry的最小值为15． 已知向量 a1, x ,b，若 a 与 b 共线，则x__________．ABC A B C 所对的边分别为 a b c ，若 acosB 5bcosA ， asinA ﹣ bsinB＝ 16．△ 中，角 ， ， ， ， ＝2sinC ，则边 c 的值为 _______． a b ac b c17． 已知 a 、b 、c R ， c 为实常数，则不等式的性质”能够用一个“函数在 R 上的单一性来分析，这个函数的分析式是f ( x) =_________18． 数列11 2 n N * ，则通项公式an 知足a 1，且1 an 11 a na n _______．19． 设正项数列a n 的前 n 项和是 S n ，若 a n和 S n 都是等差数列，且公差相等，则a 1 ＝ _______．20． 已知等比数列S 4an 的公比为2,前n项和为 S n ,则 a 2=______.三、解答题21． 已知 a ， b ， c 分别为ABC 三个内角 A ， B ， C 的对边，且3b sin A acos B 2a0 .（Ⅰ）求 B 的大小；（Ⅱ）若 b 7 ，ABC 的面积为3，求 a c 的值．222． 在ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，且知足b sin A a cosB.6（1）求角 B 的大小；（2）若 D 为 AC 的中点，且 BD1，求 S ABC 的最大值 .23． 已知函数 f x a x x bc.a ＞0，b ＞0，c ＞0， (1) 当 a b c 1 时 , 求不等式 f x ＞3 的解集；(2) 当 fx 的最小值为 3 时,求11 1 的最小值 .a b c24． 已知等差数列n 的前 n 项和为 S n , a 2a 5 12, S 4 16 ．a(1) 求 a n 的通项公式；1， T n 为数列(2)数列b n 知足 b nb n 的前 n项和，能否存在正整数m4S n 1，k 1 mk ，使得 T k3T m 2 ?若存在，求出 m ， k 的值；若不存在，请说明原因．x y 6 025． 已知实数 x 、 y 知足x y 0 ，若 zaxy 的最大值为 3a 9 ，最小值为x 33a3，务实数 a 的取值范围 .26． 在ABC 中， 3a sin C c cos A ．（Ⅰ ）求角 A 的大小；（Ⅱ ）若S ABC3 ， b c 2 2 3 ，求 a 的值．【参照答案】 *** 试卷办理标志，请不要删除一、选择题1．D 分析： D【分析】选项 A 中，当 c=0 时不符，所以 A 错．选项 B 中，当 a2, b 1时，切合 a2知足 ab ，B 错．选项 C 中 , ac bc , 所以 C 错．选项 D 中，因为 0a22b ．选 D.b ，由不等式的平方法例，ab ，即 a 2．B分析： B【分析】11n 1S n 414124221 n1n22 24n114n32132Q 1 p S n4 3nn即 1p2 2 1 33 32对随意 n N * 都建立，当 n 1 时， 1 p 3当 n 2时， 2 p6当 n3时，4p43 概括得： 2 p 3应选 B点睛：依据已知条件运用分组乞降法不难计算出数列a n 的前 n 项和为 S n ，为求值范围则依据 n 为奇数和 n 为偶数两种状况进行分类议论，求得最后的结果3．A分析： A【分析】【剖析】b 2 ，不p的取先依据 S n n 2 ,求出数列 a n的通项公式 ,而后利用错位相减法求出b n的前 n 项和 T n .【详解】解: ∵ S n n 2 ,∴当 n 1 时 , a 1 S 1 1;当 n2 时 , a nS n Sn 1 n 222n 1 ,n 1又当 n 1 时 , a 1 1切合上式 ,∴ a n 2n1,∴1n1n 2 1 ,b n a nn∴ T n 1123n1 3 1 511 2n 1 ①,∴ T n1 1234 n131 5112n 1 ②,①-② ,得 2T n1 22341nn 11112n 11121n 11 212n 11n 11 n112n,∴ T n 1 n n ,∴数列b 的前 n 项和T n1 n n .n应选 :A. 【点睛】本题考察了依据数列的前 n 项和求通项公式和错位相减法求数列的前 n 项和 ,考察了计算能力,属中档题 .4．B分析： B【分析】试题剖析：依据正弦定理，，解得 ， ，而且，所以考点： 1．正弦定理； 2．面积公式．5．A分析： A【分析】【剖析】先由余弦定理获得 AB 边的长度，再由等面积法可获得结果 .【详解】2 22 依据余弦定理获得ACBCAB2.将 AC 2, BC 2 2 ,代入等式获得2 AC BC2AB= 2 5,再由等面积法获得1 25CD 12 2 22 CD 2 52 22 5故答案为 A.【点睛】这个题目考察认识三角形的应用问题，波及正余弦定理，面积公式的应用，在解与三角形 相关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依照.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现ab 及b 2 、 a 2 时，常常用余弦定理，而题设中假如边和正弦、余弦函数交错出现时，常常运用正弦定理将边化为正弦函数再联合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.6．C分析： C【分析】记公元 1984 年为第一年，公元 2047 年为第 64 年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯” , 所以公元 2047 年阴历为丁卯年 . 应选 C.7．A分析： A【分析】a 1 a 13 13S 13412a 72依题意，b13T13.2b 7 b 1132628．C分析： C【分析】【剖析】利用三角形面积公式可得1acsinBbc c 2 tanB2 ，联合正弦定理及三角恒等变换知识23tanB 2可得 3sinA cosA 1，从而获得角A.【详解】bc c 2 tanB∵ S3tanB 22∴1acsinB bc c 2 tanB2 3tanB 22即 asinBb c tanBb c，3tanB 1， acosB3sinB∴3sinAsinB sinAcosB sinB sinC sinB sin A B ∴ 3sinA cosA1∴ sin A1，62∴ A6或5（舍）66∴ A3应选 C【点睛】本题考察了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，娴熟掌握边角的转变是解本题的重点．9．A分析： A【分析】【剖析】先求等比数列通项公式，再依据等比数列乞降公式求结果.【详解】Q 数列a n为等比数列，a11， a78a4，q68q3，解得 q2，a n a1q n 12n 1，Q 数列1的前n项和为na n S ，11 1111131S52514816116．212应选 A．【点睛】本题考察等比数列通项公式与乞降公式，考察基本剖析求解能力，属基础题. 10．B分析： B【分析】【剖析】第一画出可行域，而后联合交点坐标平移直线即可确立实数m 的最大值 .【详解】不等式组表示的平面地区以以下图所示，y 2xx 1 由2 y3 0，得：，x y2即 C 点坐标为（－ 1，－ 2），平移直线 x ＝m ，移到 C 点或 C 点的左侧时，直线 y 2x 上存在点 (x, y) 在平面地区内，所以， m ≤－ 1，即实数 m 的最大值为－ 1.【点睛】本题主要考察线性规划及其应用，属于中等题.11．B分析： B【分析】【剖析】x2y 2x y ，则x2y2x y ， x 21 y2x 1 y ，依据均值不等式，可有22221 2y21 xy ， 1 221 x 1y，再利用不等式的基天性质，两xx1 y2 2边分别相加求解。
北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案
海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}2,4,5,6B ．{}4,6C ．{}2,4,6D ．{}2,5,62．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（）A ．i-B ．1-C ．3i -D ．3-3．已知直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，则a =（）A ．1B ．1-C ．4D ．4-4．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，4MF =，O 为坐标原点，则MO =（）A ．B ．4C ．5D ．5．在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，二面角P CD A --的大小为4π，则该四棱锥的体积为（）A ．4B ．2C ．43D ．236．已知22:210C x x y ++-= ，直线()10mx n y +-=与C 交于A ，B 两点．若ABC △为直角三角形，则（）A ．0mn =B ．0m n -=C ．0m n +=D ．2230m n -=7．若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，则a 的值可以为（）A ．10B ．eC ．2D ．548．已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0->αα”是“120k k >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知{}n a 是公比为q （1q ≠）的等比数列，n S 为其前n 项和．若对任意的*N n ∈，11n a S q<-恒成立，则（）A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．{}n S 是递增数列D ．{}n S 是递减数列10．蜜蜂被誉为“天才的建筑师”．蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构．下图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成．设1BC =，GPI IPK ∠=∠KPG =∠=θ10928'≈︒，则上顶的面积为（）（参考数据：1cos 3=-θ，tan2=θ）A ．B ．2C ．2D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．在51x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为______．12．已知双曲线221x my -=0y -=，则该双曲线的离心率为______．13．已知点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则AB BC ⋅=______；点C 到直线AB 的距离为______．14．已知无穷等差数列{}n a 的各项均为正数，公差为d ，则能使得1n n a a +为某一个等差数列{}n b 的前n 项和（1n =，2，…）的一组1a ，d 的值为1a =______，d =______．15．已知函数()cos f x x a =+．给出下列四个结论：①任意a ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为2；②存在a ∈R ，使得对任意x ∈R ，()()π2f x f x a +-=；③当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝+⎭≠；④当0a =时，存在()0,πT ∈，0x ∈R ，使得对任意n ∈Z ，都有()()00f x f x nT =+．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ABB A 是正方形，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，12AD DC AB ==，M 为线段AB 的中点，1AD B M ⊥．（Ⅰ）求证：1C M ∥平面11ADD A ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值．17．（本小题14分）在ABC △中，2cos 2c A b a =-．（Ⅰ）求C ∠的大小；（Ⅱ）若c =ABC △存在，求AC 边上中线的长．条件①：ABC △的面积为条件②：1sin sin 2B A -=；条件③：2222b a -=．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题13分）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（Ⅰ）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（Ⅱ）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系．19．（本小题15分）已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）过点()3,0A ，焦距为（Ⅰ）求椭圆E 的方程，并求其短轴长；（Ⅱ）过点()1,0P 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆E 于两点C ，D ，连接CO 并延长交椭圆E 于点M ，直线AM 与l 交于点N ，Q 为OD 的中点，其中O 为原点．设直线NQ 的斜率为k ，求k 的最大值．20．（本小题15分）已知函数()2sin f x ax x x b =-+．（Ⅰ）当1a =时，求证：①当0x >时，()f x b >；②函数()f x 有唯一极值点；（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 在某公共点处的切线重合，则称该切线为1C 和2C 的“优切线”．若曲线()y f x =与曲线cos y x =-存在两条互相垂直的“优切线”，求a ，b 的值．21．（本小题15分）对于给定的奇数m （3m ≥），设A 是由m m ⨯个实数组成的m 行m 列的数表，且A 中所有数不全相同，A 中第i 行第j 列的数{}1,1ij a ∈-，记()r i 为A 的第i 行各数之和，()c j 为A 的第j 列各数之和，其中{},1,2,,i j m ∈⋅⋅⋅．记()()()()2212m r r m f r A -++⋅⋅⋅+=．设集合()()(){}{},00,,1,2,,ij ij H i j a r a c j i m i j =⋅<⋅<∈⋅⋅⋅或，记()H A 为集合H 所含元素的个数．（Ⅰ）对以下两个数表1A ，2A ，写出()1f A ，()1H A ，()2f A ，()2H A 的值；1A 2A （Ⅱ）若()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数．求证：()2H A mt ms ts ≥+-；（Ⅲ）当5m =时，求()()H A f A 的最小值．海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A7．D8．B9．B10．D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．5-12．213．1-514．11（答案不唯一）15．②④三、解答题（共6小题，共85分）16．（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD ．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11C D CD ∥，11C D CD =．因为AB CD ∥，12CD AB =，M 为AB 中点，所以CD AM ∥，CD AM =．所以11C D AM ∥，11C D AM =．所以四边形11MAD C 为平行四边形．所以11MC AD ∥．因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1C M ∥平面11ADD A ．（Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥．因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD ．所以1AA AD ⊥．因为1AD B M ⊥，1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，所以AD ⊥平面11ABB A ．所以AD AB ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz -．不妨设1AD =，则()0,0,0A ，()11,2,1C ，()10,2,2B ，()0,0,1M ．所以()11,2,1AC = ，()111,0,1C B =- ，()11,2,0MC =．设平面11MB C 的法向量为(),,n x y z = ，则1110,0,n C B n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩令2x =，则1y =-，2z =．于是()2,1,2n =-．因为1116cos ,9AC n AC n AC n⋅==⋅，所以直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值为69．17．（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==及2cos 2c A b a =-，得2sin cos 2sin sin C A B A =-．①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+．②由①②得2sin sin sin 0A C A -=．因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠．所以1cos 2C =．因为()0,πC ∈，所以π3C =．（Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=．由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠．所以2πsin sin sin sin 3B A A A -=--⎛⎫⎪⎝⎭31cos sin sin 22A A A =+-31cos sin 22A A =-πsin 3A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以π1sin 32A ⎛⎫-=⎪⎝⎭．因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭．所以ππ36A -=，即π6A =．所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形．因为c =2πsin sin 3AB AC C ===．所以AC 边上的中线的长为1．选条件③：2222b a -=．由余弦定理得223a b ab +-=．设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+-⋅2242b ab a =+-2222342b a b a +-=+-1=．所以AC 边上的中线的长为1．18．（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场．设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则()310P A =．（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场．所以X 的所有可能取值为0，1，2．()202426C C 10C 15P X ===，()112426C C 81C 15P X ⋅===，()022426C C 22C 5P X ===．所以X 的分布列为X 012P11581525所以()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）()()()213D Y DY D Y >>．19．（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3a =，2c =．所以c =，2224b a c =-=．所以椭圆E 的方程为22194x y +=，其短轴长为4．（Ⅱ）设直线CD 的方程为1x my =+，()11,C x y ，()22,D x y ，则()11,M x y --．由221941x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()22498320m y my ++-=．所以122849m y y m -+=+．由()3,0A 得直线AM 的方程为()1133y y x x =-+．由()11331y y x x x my ⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩，得11123y y x my -=+-．因为111x my =+，所以12y y =-，112122y my x m ⎛⎫⎭-=⎪⎝- =+．所以112,22my y N --⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为Q 为OD 的中点，所以221x my =+，所以221,22my y Q +⎛⎫⎪⎝⎭．所以直线NQ 的斜率()212212221212884922128112912249m y y y y m m k my my m m y y m m -+++====+--+-+--+．当0m ≤时，0k ≤．当0m >时，因为912m m+≥=，当且仅当2m =时，等号成立．所以281299m k m =≤+．所以当2m =时，k取得最大值9．20．（共15分）解：（Ⅰ）①当1a =时，()()2sin sin f x x x x b x x x b =-+=-+．记()sin g x x x =-（0x ≥），则()1cos 0g x x '=-≥．所以()g x 在[)0,+∞上是增函数．所以当0x >时，()()00g x g >=．所以当0x >时，()()sin f x x x x b b =-+>．②由()2sin f x x x x b =-+得()2sin cos f x x x x x '=--，且()00f '=．当0x >时，()()1cos sin f x x x x x '=-+-．因为1cos 0x -≥，sin 0x x ->，所以()0f x '>．因为()()f x f x ''-=-对任意x ∈R 恒成立，所以当0x <时，()0f x '<．所以0是()f x 的唯一极值点．（Ⅱ）设曲线()y f x =与曲线cos y x =-的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121k k =-．因为()cos sin x x '-=，所以1212sin sin 1x x k k ⋅==-．所以{}{}12sin ,sin 1,1x x =-．不妨设1sin 1x =，则1π2π2x k =+，k ∈Z ．因为()1111112sin cos k f x ax x x x '==--，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin ax x x x x --=．所以1124ππa x k ==+，k ∈Z ．由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-，所以0b =．当24ππa k =+，k ∈Z ，0b =时，取1π2π2x k =+，2π2π2x k =--，则()11cos 0f x x =-=，()22cos 0f x x =-=，()11sin 1f x x ='=，()22sin 1f x x ='=-，符合题意．所以24ππa k =+，k ∈Z ，0b =．21．（共15分）解：（Ⅰ）()110f A =，()112H A =；()212f A ，()215H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变．因为m 为奇数，{}1,1ij a ∈-，所以()1r ，()2r ，…，()r m ，()1c ，()2c ，…，()c m 均不为0．（Ⅱ）当{}0,s m ∈或{}0,t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =⋅⋅⋅．若0t =，结论显然成立；若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则(),i j H ∈，1,2,,i m =⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()H A mt ≥，结论成立．当{}0,s m ∉且{}0,t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =⋅⋅⋅，()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <．因为当1,2,,i s =⋅⋅⋅，1,2,,j t t m =++⋅⋅⋅时，()0r i >，()0c j <，所以()()()()()()20ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅=⋅⋅⋅<⋅．所以(),i j H ∈．同理可得：(),i j H ∈，1,2,,m i s s =++⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-．（Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89．对于如下的数表A ，()()89H A f A =．下面证明：()()89H A f A ≥．设()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数，{},0,1,2,3,4,5s t ∈．①若{}0,5s ∈或{}0,5t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =⋅⋅⋅．所以当1ij a =时，(),i j H ∈．由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且()()()()251252r r r f A +++⋅⋅⋅+=()252252a a a +--==，()H A a ≥．所以()()819H A f A ≥>．②由①设{}0,5s ∉且{}0,5t ∉．若{}2,3s ∈或{}2,3t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥．因为()()()()251250122r r r f A -++⋅⋅⋅+<=≤，所以()()118129H A f A ≥>．③由①②设{}0,2,3,5s ∉且{}0,2,3,5t ∉．若{}{},1,4s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=．因为()012f A <≤，所以()()178129H A f A ≥>．若s t =，{}1,4s ∈，不妨设1s t ==，()10r >，()10c >，且()()1H A f A<，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥．所以()()8f A H A >≥．若数表A 中存在ij a （{},2,3,4,5i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表A '．因为()()1H A H A '=-，()()1f A f A '≥-，所以()()()()()()11H A H A H A f A f A f A '-≤<'-．所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小．所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）．因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤，。
山东省滨州市2024届高三上学期期末数学含答案解析
滨州市2023-2024学年上学期期末考试高三数学试题2024.1本试卷共4页，共22小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号：回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{}2,1,0,1,2,3,4U =--，集合{}Z 14A x x =∈-≤≤，{}2,3B =，则()U A B ⋃=ð（）A.{}2,2,3- B.{}2,1,2,3-- C.{}2,1,0,2,3-- D.∅【答案】A【解析】{}1,0,1,2,3,4A =-，所以(){}{}{}22,3=2,2,3U A B ⋃=-⋃-ð，故选：A 2.平面α与平面β平行的充要条件是（）A .α内有无数条直线与β平行B.α，β垂直于同一个平面C.α，β平行于同一条直线D.α内有两条相交直线都与β平行【答案】D【解析】对于A ，α内有无数条直线与β平行，可得α与β相交或//αβ；对于B ，α与β垂直于同一个平面，可得α与β相交或//αβ；对于C ，α与β平行于同一条直线，可得α与β相交或//αβ；对于D ，α内有两条相交直线平行于β，结合面面平行的判定定理可得//αβ，故选：D ．3.向量()0,1a = ，()2,3b =- ，则b 在a上的投影向量为（）A.()2,0 B.()0,2 C.()3,0- D.()0,3-【答案】D【解析】b 在a 上的投影向量为.()··30,3a b a a a a=-=-，故选：D.4.若不等式240x ax -+≥对任意[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.[]0,4 B.(],4∞- C.13,3∞⎛⎤- ⎥⎝⎦D.(],5-∞【答案】B【解析】不等式240x ax -+≥对任意[]1,3x ∈恒成立，则[]1,3x ∀∈，4a x x≤+成立，而44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时取等号，因此4a ≤，所以实数a 的取值范围是(],4∞-.故选：B5.某学校一同学研究温差x （单位：℃）与本校当天新增感冒人数y （单位：人）的关系，该同学记录了5天的数据：x 568912y1620252836由上表中数据求得温差x 与新增感冒人数y 满足经验回归方程 2.6y bx =+ ，则下列结论不正确．．．的是（）A.x 与y 有正相关关系B.经验回归直线经过点()8,25C. 2.4b= D.9x =时，残差为0.2【答案】C【解析】由表格可知，x 越大，y 越大，所以x 与y 有正相关关系，故A 正确；56891285x ++++==，1620252836255y ++++==，样本点中心为()8,25，经验回归直线经过点()8,25，故B 正确；将样本点中心代入直线方程，得ˆ258 2.6b=+，所以ˆ 2.8b =，故C 错误；ˆ 2.8 2.6yx =+，当9x =时，ˆ27.8y =，ˆ2827.80.2y y -=-=，故D 正确.故选：C 6.已知直线:2l y kx =-与圆22:670C x y x +--=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A. B. C.D.【答案】B【解析】22:670C x y x +--=变形为()22316x y -+=，圆心为()3,0C ，半径为4，:2l y kx =-过定点()0,2D -，当CD 与AB 垂直时，AB 最小，由垂径定理得，最小值为=.故选：B7.已知π02α<<，02βπ<<，()3cos 5αβ+=，()1sin 5αβ-=，则tan tan αβ=（）A.310B.35C.53D.103【答案】C【解析】因为π02α<<，02βπ<<，所以0παβ<+<，ππ22αβ-<-<，又因为()()31cos ,sin 55αβαβ+=-=，所以()4sin 5αβ+==，所以14sin cos cos sin ,sin cos cos sin 55αβαβαβαβ-=+=①②，①+②得2sin cos =1αβ，②-①得32sin cos =5βα，上述两式相除即可得2sin cos 15==32sin cos 35αββα，则tan 5tan 3αβ=，故选：C.8.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……．记第n 层球的个数为n a ，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为（）A.1021B.2021C.4021D.1910【答案】C【解析】根据已知条件有11a =，当2n ≥时，212a a -=，323a a -=，434a a -=，L ，1n n a a n --=，以上各式累加得：1234n a a n -=++++L ，又11a =，所以()112342n n n a n +=+++++= ()2n ≥，经验证11a =符合上式，所以()()1N 2n n n a n *+=∈；所以()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则111111*********n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦221n =-+，所以2024022121S =-=.故选：C 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.已知复数1i z =+（i 为虚数单位），则下列说法中正确的是（）A.z 的共轭复数是1i z =-+B.z =C.z 的辐角主值是4π D.2i1i z=+【答案】BCD【解析】因为1i z =+，所以1i z =-，故A 错误；z ==，故B 正确；ππcos 44z isin ⎫=+⎪⎭，故C 正确；()2i 1i 2i 2i1i 1i 2z -===++，故D 正确.故选：BCD 10.已知函数()()πcos 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，下列选项中正确的有（）A.若()f x 的最小正周期2T =，则πω=B.当2ω=时，函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得到()cos 2g x x =的图象C.若()f x 在区间()0,π上单调递减，则ω的取值范围是20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.若()f x 在区间()0,π上只有一个零点，则ω的取值范围是17,66⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】ACD【解析】对于A ：由()f x 的最小正周期2T =可得2π2ω=，又0ω>，解得πω=，故A 正确；对于B ：当2ω=时，()πcos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将其图象向右平移π3个单位长度后，得()πππcos 2cos 2333g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故B 错误；对于C ：由()0,πx ∈得ππππ333x ωω<+<+，令π3x t ω+=，则cos y t =在区间ππ,π33ω⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递减，于是0πππ3ωω>⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得203ω<≤，即20,3ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故C 正确；对于D ：因为()f x 在区间()0,π上只有一个零点，所以cos y t =在区间ππ,π33ω⎛⎫+⎪⎝⎭只有一个零点，于是0πππ32π3ππ32ωωω⎧⎪>⎪⎪+>⎨⎪⎪+≤⎪⎩，解得1766ω<≤，即17,66ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故D 正确.故选：ACD.11.已知函数()1y f x =-的图象关于直线2x =-对称，且对x ∀∈R ，有()()6f x f x +-=．当(]0,3x ∈时，()3f x x =+，则下列说法正确的是（）A.10是()f x 的周期B.()3f x +为偶函数C.()20241f =D.()f x 在[]6,12上单调递减【答案】BC【解析】函数()1y f x =-的图象由()y f x =向右平移1个单位得到，且其对称轴为2x =-，所以函数()y f x =的对称轴为3x =-，即()()33f x f x -+=--或()()6f x f x =--；又()()6f x f x +-=，所以函数图象关于点()0,3对称.所以()()()()()6666666f x f x f x f x f x ⎡⎤=--=--+=---=-⎣⎦()()()6612f x f x =---=-，所以函数()f x 为周期函数，且周期为12，故A 错误；因为()()6f x f x =-，故函数图象关于3x =对称，把函数图象向左平移3个单位，得函数()3y f x =+，图象关于y 轴对称，所以()3f x +为偶函数，故B 正确；()()()20241681288f f f =⨯+=()68f =-()2f =-()62651f =-=-=，故C 正确；又()81f =，()()()11161642f f f =-=-=-=，()()811f f <，故D 错误.故选：BC12.拋物线的光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线2:4C x y =，O 为坐标原点，一束平行于y 轴的光线1l 从点()4,P m 射入，经过C 上的点()11,A x y 反射后，再经过C 上另一个点()22,B x y 反射，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（）A.124y y =B.254AB =C.延长AO 交直线1y =-于点D ，则D ，B ，Q 三点共线D.若PB 平分ABQ ∠，则414m =【答案】BCD【解析】对于A ，由题意点24,416A P A A x x x y ====，解得4A y =，即点()4,4A ，抛物线焦点()0,1F ，所以直线AF的方程为41140y x --=-，即314y x =+，将其代入2:4C x y =可得241740y y -+=，由韦达定理可得到121y y =，故A 错误；对于B ，由知121y y =，因为14y =，所以214y =，代入314y x =+可得213144x =+，解得：21x =-，所以11,4B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以[]221625254(1)44164AB ⎛⎫=--+-==⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，易得AO 的方程为y x =，联立1y xy =⎧⎨=-⎩，故()1,1D --，又//BQ y 轴，所以,,D B Q 三点的横坐标都相同，则,,D B Q 三点共线，故C 正确；对于D ，若PB 平分ABQ ∠，所以ABP PBQ ∠=∠，又因为//PA y 轴，//BQ y 轴，所以//PA BQ ，故APB PBQ =∠∠，所以APB ABP ∠=∠，则PA AB =，故254AB =，2544PA m =-=，则414m =，故D 正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线()ln 3y x =在点1,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为_______________．【答案】310x y --=【解析】定义域为,()0x ∈+∞，且已知切点为1,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1y x'=，设切线斜率为k ，当13x =时，3k y ='=，故切线方程为310x y --=.故答案为：310x y --=14.()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为__________．（用数字作答）【答案】40-【解析】()62x y -的通项公式为()()66166C 2C 2rrr r rr r r T x y x y --+=-=-，令2r =得，()22424236C 260T x y x y =-=，此时4242602120x y x y ⋅=，令3r =得，()33333346C 2160T x y x y=-=-，此时3342160160xx y x y y-⋅=-，故42x y 的系数为12016040-=-，故答案为：40-15.甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用1A 、2A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则()2P A B =__________【答案】518【解析】由题意得14()10P A =，23()10P A =，33()10P A =，若1A 发生，此时乙箱中有6个红球，2个白球和3个黑球，则16(|)11P B A =，先2A 发生，此时乙箱中有5个红球，3个白球和3个黑球，则25(|)11P B A =，先3A 发生，此时乙箱中有5个红球，2个白球和4个黑球，则35(|)11P B A =．2225315()(|)()1110110P A B P B A P A ∴==⨯=，()()()()11223324151554(|)(|)(|)110110P B P B A P A P B A P A P B A P A ++=++==；()22()155()5418P A B P A B P B ====.故答案为：51816.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长均为4，60ABC ∠=︒，以A 为球心，与侧面11CDD C 的交线长为__________．【解析】如图：取11,,CC DD CD 的中点,,E F G ,连接,,,,,AC AG AE AF FG EG ，结合题意：易得ACD 为等边三角形，因为G 为CD 的中点，所以AG CD⊥因为在直四棱柱1111ABCD A B C D -中有1CC ⊥面ABCD ,且AG ⊂面ABCD ，所以1AG CC ⊥,又因为1= CC CD C ,且1,CC CD ⊂面11CC DD 所以AG ⊥面11CC DD ，结合球的性质可知G 为该截面圆的圆心，因为直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长均为4，60ABC ∠=︒，所以90EGF ∠=︒,AG =,AE AF ==,EG =,故以A为球心，11CDD C 的交线为：以G 为圆心,为半径的圆所成的圆弧 EF .所以112π2π44EFr =⨯=⨯⨯=.故答案为:.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等比数列{}n a 的公比为2，且4a 是3a 与58a -的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设,,21,.n n a n b n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．【解析】（1）由题意，得43528a a a =+-．………………………………………………1分又数列{}n a 的公比为2，所以111164168a a a =+-，解得12a =，………………………………………………3分所以1222n n n a -=⨯=．………………………………………………4分（2）因为,21,n n a n b n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，所以1b ，3b ，21,n b - 是以2为首项，4为公比的等比数列，…………………………………………5分2b ，4b ，2,n b 是以3为首项，4为公差的等差数列．………………………………………………6分所以()()()()21321242214341142nnn n n n Sb b b b b b -⨯-⨯+-=+++++++=+- …………8分2122242222233n n n n n n +⋅--=++=++．………………………………………………10分18.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，已知222433a cb S +-=，2a =．（1）求角B ；（2）若22cos cos210A A +-=，求S 的值．【解析】（1）因为222433a cb S +-=，所以2221sin 32a cb ac B +-=⨯，………………………………………………1分所以222431sin 3222ac B a c b ac ac⨯+-=，………………………………………………2分即cos sin 3B B =，于是tan B =．………………………………………………4分又0πB <<，所以π3B =．………………………………………………5分（2）因为22cos cos210A A +-=，所以2cos 20A =，………………………………………………6分因为2π03A <<，所以π4A =．………………………………………………7分由正弦定理得2sin sin43ππb =，………………………………………………8分解得b =．………………………………………………9分所以11ππππsin 2π224343S ab C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (10)分ππππsin cos cos sin 4343⎫=+⎪⎭332+= (12)分19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，3PA =，四边形ABCD 为直角梯形，90BAD ∠=，//AB CD ，3AB =，1CD AD ==，点M 在线段PD 上，且2PM MD =，点N 在线段PB 上，且3PB PN =．（1）求证：//CN 平面PAD ；（2）求平面CDN 与平面DNM 夹角的余弦值．【解析】（1）证明：在PA 上取一点E ，使13PE PA =，连接DE，EN ．因为13PE PA =，13PN PB =，所以//EN AB ，且113EN AB ==．…………………1分又因为//CD AB ，且1CD =，所以//EN CD ，且EN CD =．所以，四边形DCNE 为平行四边形．………………………………………………2分所以//CN DE ．………………………………………………3分又因为DE ⊂平面PAD ，CN ⊄平面PAD ，所以//CN 平面PAD ．………………………………………………4分（2）以A 为原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，……5分如图所示．则2,0,13M ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0,0D ，()1,1,0C ，()0,1,2N ，所以，()0,1,0DC = ，()1,1,2DN =- ，1,0,13DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ．……6分令平面CDN 的法向量()1111,,n x y z = ，则110,0,n DC n DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11110,20,y x y z =⎧⎨-++=⎩取11z =，则12x =，10y =，即()12,0,1n =．……………………………………………8分令平面DMN 的法向量为()2222,,n x y z = ，则220,0,n DN n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222220,10,3x y z x z -++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩取23x =，则21z =，21y =，即()23,1,1n = ．………………………………………………10分所以121212755cos ,55n n n n n n ⋅==⋅ ．设平面CDN 与平面DNM 夹角为θ，则12755cos cos ,55n n θ==．所以，平面CDN 与平面DNM夹角的余弦值为55．………………………………………………12分20.杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．某经销商提供如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒20元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．（1）小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开．求小明第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率；（2）为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选，方案一：先购买一个盲盒，再直接购买剩余的吉祥物；方案二：先购买两个盲盒，再直接购买剩余吉祥物．若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？【解析】（1）设小明第3次购买是恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率为P ，则分为有空盒和无空盒两种情况，1111123322C C C C C 944432P ⨯+⨯⨯==⨯⨯．……………………………………3分（2）方案一：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为X ．X 的可能取值为80，110．………………………………………………4分则()13C 38044P X ===，()11104P X ==．………………………………………………5分所以()3117580110442E X =⨯+⨯=．………………………………………………6分方案二：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为Y ．依题意，Y 的可能取值为70，100，130，………………………………………………7分则()1132C C 637044168P Y ⨯====⨯，………………………………………………8分()111233C C C 91004416P Y ⨯+===⨯，………………………………………………9分()111304416P Y ===⨯．………………………………………………10分所以()691725701001301616168E Y =⨯+⨯+⨯=．………………………………………………11分因为17572528<．所以小明应该选择方案一．………………………………………………12分21.已知1A ，2A 两点的坐标分别为()0,2-，()0,2，直线1PA ，2PA 相交于点P ，且它们的斜率之积为43-，设点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设点F 的坐标为()0,1-，直线PF 与曲线C 的另一个交点为Q ，与x 轴的交点为M ，若MP PF λ= ，MQ QF μ= ，试问λμ+是否为定值？若是定值，请求出结果，若不是定值，请说明理由．【解析】（1）设点P 的坐标为(),x y ，则直线1PA 的斜率为()120PA y k x x +=≠，……………………1分直线2PA 的斜率为()220PA y k x x -=≠．………………………………………………2分由已知，()22403y y x x x +-⋅=-≠，………………………………………………3分化简，得点P 的轨迹C 的方程为()221043y x x +=≠．……………………………………………5分（2）λμ+为定值83-，………………………………………………6分理由如下：根据题意可知直线PF 的斜率一定存在且不为0，设:1PF y kx =-，则1,0M k ⎛⎫ ⎪⎝⎭．联立221143y kx y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2243690k x kx +--=．……………………………………………7分则2223636(43)1441440k k k ∆=++=+>恒成立，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122643k x x k +=+，122943x x k-⋅=+．……………………8分又因为111,MP x y k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()11,1PF x y =--- ，且MP PF λ= ，所以111kx λ=-+．………………………………………………9分同理211kx μ=-+．………………………………………………10分所以121212121111111122x x kx kx k x x k x x λμ⎛⎫++=-+-+=-++=-+⋅ ⎪⎝⎭2261168432299343kk k k k k +=-+⋅=-+⋅=---+，所以，λμ+为定值83-．………………………………………………12分22.已知函数()()2e x f x a ax =--．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若1a =，求证：()()e ln 11xf x x x ++≤+．【解析】（1）由题知，函数()f x 得定义域为R ，()()22e xf x a ax '=--．…………………1分当0a =时，()2e 0xf x ='>恒成立，即()f x 的增区间为R ，无减区间；…………2分当0a >时，由()0f x '>得22x a <-，由()0f x '<得22x a >-，即()f x 的增区间为2,2a ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭，减区间为22,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；…………………………………………3分当a<0时，由()0f x '>得22x a >-，由()0f x '<得22x a <-，即()f x 的增区间为22,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，减区间为2,2a ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭．……………………………………4分（2）当1a =时，()()1e x f x x =-．………………………………………………5分要证()()e ln 11xf x x x ++≤+，只需证()()1e e ln 11x xx x x -++≤+，只需证()11ln 1ex x x x +-++≤，即证()1ln 110e xx x x +-++-≥．………………………………………………6分令()()1ln 11ex x g x x x +=-++-，()1,x ∞∈-+，()()()()e 11111e 11e x xx x x x g x x x ⎡⎤-+-+⎣⎦=-+=++'．……………………………………………7分令()()e 1x h x x =-+，()1,x ∞∈-+，()e 1x h x '=-．………………………………………8分由()0h x '=得，0x =．列表如下，x ()1,0-0()0,∞+()h x '-0+()h x 单调递减0单调递增由表可得()h x 在0x =时取得最小值()00h =，所以，()0h x ≥恒成立．………………………10分所以，当10x -<<时，()0g x '<，()g x 在()1,0-单调递减；当0x >时，()0g x '>，()g x 在()0,∞+单调递增；当0x =时，()g x 取得最小值()00g =，所以()0g x ≥恒成立．………………………………11分所以()1ln 110ex x x x +-++-≥恒成立，即()()e ln 11x f x x x ++≤+恒成立．………………………………………………12分。
2024届山东省菏泽烟台高三上学期期末考试数学试题及答案
2023～2024学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学参考答案一、选择题A B D B A C C C二、选择题9.AD 10.ACD 11.BCD 12.ABD三、填空题13.200− 14.1 15.e 2a <−16.54π，四、解答题17.解：（1）因为(2)sin tan cos a b A a C B−=， 所以2sin sin cos 2s cos co in s n sin s i A C B A A B C C =−， ··························· 2分所以2sin (sin cos s cos )co in n s 2si A C B B A C C +=， 所以2)sin sin(2sin cos A B A C C +=， 所以22sin 2si c n os C A A =， ······························································· 3分 因为sin 0A ≠，所以1cos 2C =， ·························································· 4分 又因为(0,)C π∈，所以3C π=； ························································ 5分 （2）由余弦定理，2793b b =+−， ·························································· 6分 即2320b b −+=， 解得1b =或2b =，当1b =时，11sin 3122S ab C ==××=， ······························· 8分当2b =时，11sin 3222S ab C ==××= ································ 10分 18.解:（1）因为137,2,S S S −成等比数列，所以2(7)(1)(49)m m m +=++， ························································ 2分 解得0m =，所以2n S n =， ································································ 3分 当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n −=−=−−=−， ································ 5分当1n =时，11a =符合上式，所以21na n =−； ············································································· 6分 （2）2212142n n nn b n −−==， 所以23135214444n n n T −=+++⋅⋅⋅+， 23113232144444n n n T n n +−−=++⋅⋅⋅++， ··················································· 7分 两式相减得23131111212()444444n n n T n +−=+++⋅⋅⋅+−， ······························ 8分 1522156599434994n n n n n n T −−+=−−=−×××， ··············································· 11分 因为当n ∗∈N 时，65094nn +>×， 所以56559949n n n T +=−<×. ··································································· 12分 19.解：（1）证明：因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥， ························ 1分因为平面VBD ⊥底面ABCD ，且平面VBD 底面ABCD BD =，AC ⊂底面ABCD ，所以AC ⊥平面VBD ， ········································· 3分 又因为VD ⊂平面VBD ，所以AC VD ⊥； ············································ 4分（2）设AC BD O = ，点V 到底面ABCD 的距离为h ，则有1223h ×=，解得h =······· 5分在平面VBD 内，过点V 作VO BD ′⊥，因为平面VBD ⊥底面ABCD ，所以VO ′⊥底面ABCD ，VO ′=，在Rt VO B ′ 中，2VB =，VO ′=，可得1BO ′=，所以O ′与点O 重合， ··················································· 6分 故VO ⊥底面ABCD ，以O 为原点，,,OA OB OV 方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −，则有(AB ，(AV ，CV = ，·············· 8分设(,,)x y z =n 为平面VAB 的一个法向量，则有00y += +=，令1x =，可得=n ， ···························· 10分所以cos ,||CV CV CV <>== n n |n |， 故直线VC 与平面VAB······································ 12分 20.解：（1）在一局比赛中，甲投篮命中次数2(3,)3B ξ～， 甲被称为“好投手”需要投中2次或者3次， ······································· 1分所以甲在一局比赛中被称为“好投手”的概率 ······················································· 4分（2）同理，乙在一局比赛中被称为“好投手”的概率························································ 5分 因为每人每次投篮结果互不影响，所以在一局比赛中甲、乙同学获得“神投手组合” ······················································ 6分 设n 局比赛中，甲、乙同学获得“神投手组合”的局数为X ，则10(,)27X B n ～，且3331017(3)()()2727n n P X C −==， ······························ 7分 设3331017()()()2727n n f n C −=，则()(1)f n f n ≥+且()(1)f n f n ≥−， 由333332110171017()()()()27272727n n n n C C −−+≥， 化简得17(2)(1)27n n −≥+，解得7.1n ≥. ··········································· 9分 由333334110171017()()()()27272727n n n n C C −−−≥， 化简得17327n n ≥−，解得8.1n ≤. ····················································· 11分 又*n ∈N ，所以n 的值为8，即总局数为8时，对该小组更有利. ·············· 12分21.解：（1）22221(21)(1)()(12)()1(1)(1)ax x ax x ax a x f x x x x ++−+−+−′=−=+++. ······· 1分 当0a =时，2()(1)x f x x ′=+，当(1,0)x ∈−，()0f x ′<，()f x 单增；当(0,)x ∈+∞， ()0f x ′>，()f x 单增,故()f x 在(1,0)−上单减，在(0,)+∞上单增. ········ 2分当0a ≠时，令212()(12)()a g x ax a x ax x a−=−+−=−−. ····················· 3分 注意到，当01a <<时，121(1)0a a a a−−−−=>， 当102a <<时，120a a −>，()f x 在(1,0)−上递减，在12(0,)a a−上递增， 在12(,)a a−+∞上递减； ······························································· 4分 当112a <<时，1210a a−−<<， ()f x 在12(1,)a a −−上递减， 在12(,0)a a−上递增，在(0,)+∞上递减； ········································ 5分 当12a =时21()02g x x =−≤，所以()f x 在(1,)−+∞上单调递减； ········· 6分 当0a <时，121(1)0a a a a −−−−=<， ()f x 在(1,0)−上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.综上，当0a ≤时，()f x 在(1,0)−上单减，(0,)+∞上单增；当102a <<时，()f x 在(1,0)−上单减，12(0,)a a −上单增，12(,)a a−+∞上单减；当12a =时，()f x 在(1,)−+∞上单减；当112a <<时， ()f x 在12(1,)a a−−上单减，12(,0)a a −上单增，(0,)+∞上单减. ················································································ 7分（2）由（1）可知当0a =时()f x 在[0,)+∞上单增，所以()(0)0f x f ≥=， 即ln(1)1x x x +≥+（当且仅当0x =时等式成立）， ·································· 8分 令1x n =可以得到，11ln()1n n n +>+， ················································· 9分 所以11ln()ln(1)ln 1n n n n n +<=+−+， 1ln(2)ln(1)2n n n <+−++， ，1ln()ln(21)n n n n n <+−−+， ··························································· 11分 累加可得111ln 2ln ln 2122n n n n n+++<−=++ .······························· 12分 22.解：（1）由题意，设11(,)P x y ，22(,)M x y ，当直线PM 斜率不为0时，直线:PM x my t =+因为直线与圆221x y +=1=，即221t m =+ ·················· 2分 联立2214x y n x my t+= =+ 得，222(4)240m n y mnty nt n +++−=， 所以212122224,44mnt nt n y y y y m n m n −−+==++， ················································ 3分 222212*********()()()4t m n x x my t my t m y y mt y y t m n −=++=+++=+， 所以22121224(4)44m n n t n OP OM x x y y m n −++−=+=+ ，因为221t m =+ 所以212122(43)434n m n x x y y m n −+−+=+， ·················································· 5分 所以只需43434n n n −−=,所以4n =或43n =； ········································ 6分 当直线PM 斜率为0时，121243x x y y n +=−+也符合上式. 综上，4n =或43n =. ·········································································· 7分（2）当43n =时，由（1）知,0OP OM •= ,即OP OM ⊥，同理OP ON ⊥. 即,,M O N 三点共线，所以2||||PMN PMO S S PM r PM ==⋅= . ··················· 8分当直线PM 斜率不为0时，由（1）可知212122224,33mt t y y y y m m −−+==++.故||PMN S PM = · 9分因为221t m =+，PMNS ， 令233m k +=≥，所以PMN S === ， ············ 10分所以，当3k =时，PMN S 的最小值为2，当6k =时，PMN S ，当直线PM 斜率为0时，PMN S = 2∈，综上，PMN S 的取值范围为. ······················································· 12分。
最新高三数学上期末试卷附答案
最新高三数学上期末试卷附答案一、选择题1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ）A ．2B ．-4C ．2或-4D ．42．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()1nn n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足（ ） A ．()1nn T n =-⨯ B ．n T n =C ．n T n =-D ．,2,.n n n T n n ⎧=⎨-⎩为偶数，为奇数3．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．14．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,1,3A b π==ABC ∆的面积为3，则a 的值为（ ） A ．2B ．3C ．32D ．15．正项等比数列中，的等比中项为，令，则（ ） A ．6B ．16C ．32D ．646．已知实数,x y 满足0{20x y x y -≥+-≤则2y x -的最大值是( )A ．-2B ．-1C ．1D ．27．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形8．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，，………则2z x y =-的最大值为（ ）.A ．10B ．8C ．3D ．29．在等差数列{}n a 中，若1091a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）A ．15B ．16C ．17D ．1410．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=a ，则A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定11．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（ ） A ．1B ．12C ．34D ．3212．已知数列{}n a 中，()111,21,n n na a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S的值为（ ） A ．63B ．61C ．62D ．57二、填空题13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .2C A π-=，1sin 3A =，3a =，则b =______.14．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-r r ，其中0x >，若a r 与b r 共线，则yx的最小值为__________．15．计算：23lim 123n n nn→+∞-=++++L ________16．已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．17．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足()*12n n n a a n N +=∈，则20a =________．18．设,x y 满足约束条件0{2321x y x y x y -≥+≤-≤，则4z x y =+的最大值为 .19．若ABC ∆的三个内角45A =︒，75B =︒，60C =︒，且面积623S =+形的外接圆半径是______20．已知等比数列{}n a 的公比为2,前n 项和为n S ,则42S a =______. 三、解答题21．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D . 现测得BCD α∠=，BDC β∠=，CD s =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .23．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+.24．已知等差数列{}n a 的所有项和为150，且该数列前10项和为10，最后10项的和为50.（1）求数列{}n a 的项数； （2）求212230a a a ++⋅⋅⋅+的值.25．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-．（1）求角B ；（2）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11a =，5cos()5A C -=，求线段DC 的长．26．已知公比为4的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且485S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{(1)}n n a -的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题解析：B 【解析】 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．A解析：A 【解析】 【分析】先根据2n S n =,求出数列{}n a 的通项公式,然后利用错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T .【详解】解:∵2n S n =,∴当1n =时,111a S ==;当2n ≥时,()221121n n n a S S n n n -=-=--=-, 又当1n =时,11a =符合上式,∴21n a n =-, ∴()()()1121n nn n b a n =-=--,∴()()()()()123113151121nn T n =⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--①,∴()()()()()2341113151121n n T n +-=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--②,①-②,得()()()()()()23412121111211n n n T n +⎡⎤=-+⨯-+-+-+⋅⋅⋅+---⨯-⎣⎦()()()()()()211111122112111n n n n n -+⎡⎤---⎣⎦=-+⨯--⨯-=---,∴()1nn T n =-,∴数列{}n b 的前n 项和()1nn T n =-.故选:A . 【点睛】本题考查了根据数列的前n 项和求通项公式和错位相减法求数列的前n 项和,考查了计算能力,属中档题.3．B解析：B 【解析】试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，把直线l 向上平移，z 增加，当l 过点(3,2)B 时，3227z =+⨯=为最大值．故选B ．考点：简单的线性规划问题．4．B解析：B 【解析】试题分析：由已知条件及三角形面积计算公式得131sin ,2,23c c π⨯⨯=∴=由余弦定理得考点：考查三角形面积计算公式及余弦定理．5．D解析：D 【解析】因为，即，又，所以.本题选择D 选项.6．C解析：C 【解析】作出可行域，如图BAC ∠内部（含两边），作直线:20l y x -=，向上平移直线l ，2z y x =-增加，当l 过点(1,1)A 时，2111z =⨯-=是最大值．故选C ．7．C解析：C 【解析】 【分析】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，得出::5:11:13a b c =，可得出角C 为最大角，并利用余弦定理计算出cos C ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状. 【详解】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，可得出::5:11:13a b c =， 设()50a t t =>，则11b t =，13c t =，则角C 为最大角，由余弦定理得2222222512116923cos 022511110a b c t t t C ab t t +-+-===-<⨯⨯，则角C 为钝角，因此，ABC ∆为钝角三角形，故选C. 【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.8．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：化目标函数为2y x z =-，联立70310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得5,2A（）. 由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.9．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可得90a >，100a <，且9100a a +<，由等差数列的性质和求和公式可得结论． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和有最大值， ∴等差数列{}n a 为递减数列， 又1091a a <-， ∴90a >，100a <， ∴9100a a +<， 又()118181802a a S +=<，()117179171702a a S a +==>，∴0n S >成立的正整数n 的最大值是17， 故选C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．10．A解析：A 【解析】 【分析】由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，进而求得a ﹣b 的表达式，根据表达式与0的大小，即可判断出a 与b 的大小关系． 【详解】解：∵∠C ＝120°，ca ，∴由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，（）2＝a 2+b 2+ab ．∴a 2﹣b 2＝ab ，a ﹣b ，∵a ＞0，b ＞0， ∴a ﹣b ，∴a ＞b 故选A ． 【点睛】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题．11．C解析：C 【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=∴6m n +=∴121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等． （3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．12．D解析：D 【解析】解：由数列的递推关系可得：()11121,12n n a a a ++=++= ， 据此可得：数列{}1n a + 是首项为2 ，公比为2 的等比数列，则：1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ，分组求和有：()5521255712S ⨯-=-=- .本题选择D 选项.二、填空题13．7【解析】【分析】先求出再利用正弦定理求最后利用余弦定理可求【详解】因为所以故且为锐角则故由正弦定理可得故由余弦定理可得故即或因为为钝角故故故答案为：7【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外解析：7 【解析】 【分析】先求出sin 3C =，再利用正弦定理求c ，最后利用余弦定理可求b . 【详解】 因为2C A π-=，所以2C A π=+，故sin sin cos 2C A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 且A为锐角，则cos A =sin C = 由正弦定理可得sin sin a c A C =，故3sin 31sin 3a Cc A⨯=== 由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，故29722b b =+-⨯即7b =或9b =， 因为C 为钝角，故c b >，故7b =. 故答案为：7. 【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量. （1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理.14．【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件写出向量的坐标之间的关系之后得出利用基本不等式求得其最小值得到结果【详解】∵其中且与共线∴即∴当且仅当即时取等号∴的最小值为【点睛】该题考查的是有关向量共线解析：【解析】 【分析】根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出2y x x x=+，利用基本不等式求得其最小值，得到结果. 【详解】∵()1,a x =r ， (),2b x y =-r ，其中0x >，且a r 与b r共线∴()12y x x ⨯-=⋅，即22y x =+∴222y x x x x x+==+≥，当且仅当2x x =即x =时取等号∴yx的最小值为 【点睛】该题考查的是有关向量共线的条件，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，利用基本不等式求最值，属于简单题目.15．【解析】【详解】结合等差数列前n 项和公式有：则： 解析：6【解析】 【详解】结合等差数列前n 项和公式有：()11232n n n +++++=L ，则：()()226231362lim lim lim lim61123111n n n n n n n n n n n n n n n→+∞→+∞→+∞→+∞----====+++++++L . 16．11【解析】试题分析：由题意得作出不等式组所表示的可行域如图所示由得平移直线则由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时有最大值由解得此时考点：简单的线性规划解析：11 【解析】试题分析：由题意得，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由3z x y =+，得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，则由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时，直线3y x z =-+的截距最大，此时z 有最大值，由2{1y x y =-=，解得(3,2)A ，此时33211z =⨯+=．考点：简单的线性规划．17．512【解析】【分析】利用已知将n 换为n+1再写一个式子与已知作比得到数列的各个偶数项成等比公比为2再求得最后利用等比数列的通项公式即可得出【详解】∵anan+1=2n （）∴an+1an+2=2n+解析：512 【解析】 【分析】利用已知将n 换为n +1，再写一个式子，与已知作比，得到数列{}n a 的各个偶数项成等比，公比为2，再求得2=1a ，最后利用等比数列的通项公式即可得出． 【详解】∵a n a n +1=2n ，（*n N ∈） ∴a n +1a n +2=2n +2．（*n N ∈） ∴22n na a +=,（*n N ∈），∴数列{}n a 的各个奇数项513...a a a ，，成等比，公比为2， 数列{}n a 的各个偶数项246...a a a ，，成等比，公比为2， 又∵a n a n +1=2n ，（*n N ∈），∴a 1a 2=2,又12a =，∴2=1a ， 可得：当n 为偶数时，1222nn a a -=⋅∴a 20＝1•29＝512． 故答案为：512． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．【解析】试题分析：约束条件的可行域如图△ABC 所示当目标函数过点A(11)时z 取最大值最大值为1+4×1=5【考点】线性规划及其最优解解析：【解析】 .试题分析：约束条件的可行域如图△ABC 所示.当目标函数过点A(1，1)时，z 取最大值，最大值为1+4×1=5.【考点】线性规划及其最优解.19．【解析】【分析】设三角形外接圆半径R 由三角形面积公式解方程即可得解【详解】由题：设三角形外接圆半径为R （）根据正弦定理和三角形面积公式：即解得：故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应 解析：2【解析】 【分析】设三角形外接圆半径R ，由三角形面积公式21sin 2sin sin sin 2S ab C R A B C ==解方程即可得解. 【详解】由题：232162sin sin 75sin(4530)222B +=︒=︒+︒=+=设三角形外接圆半径为R （0R >），根据正弦定理和三角形面积公式：211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅= 即223623226R ++=， 解得：22R = 故答案为：2【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应用，利用正弦定理对面积公式进行转化求出相关量，需要对相关公式十分熟练.20．【解析】由等比数列的定义S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q ＋a2q2得＋1＋q ＋q2=解析：152【解析】由等比数列的定义，S 4=a 1＋a 2＋a 3＋a 4=2a q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得42S a =1q ＋1＋q ＋q 2=152. 三、解答题21．（1）3π；（2）3. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；（2）由中线向量得出2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆面积的最大值. 【详解】（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由()0,A π∈知sin 0A >， 则31sin cos cos sin 62B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin 3cos B B =，tan 3B ∴=. 又()0,B π∈，因此，3B π=；（2）如下图，由13sin 2ABC S ac B ac ∆==，又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u r u u r ， 所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥u u u r u u u r， 则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆3433=. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题，对于三角形的中线计算，可以利用中线向量进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.22．tan sin sin()s θβαβ⋅+【解析】 【分析】 【详解】 在△BCD 中，CBD παβ∠=--.由正弦定理得,sin sin BC CDBDC CBD=∠∠所以sin sin CD BDCBC CBD∠=∠sin .sin()s βαβ⋅=+在Rt △ABC 中，tan AB BC ACB =∠tan sin .sin()s θβαβ⋅=+塔高AB 为tan sin sin()s θβαβ⋅+.23．（1）n a n =，21n b n =+；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式列1a d ，的方程组求解则n a n =可求，进而得21n b n =+（2）利用()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭分组求和即可证明【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩.整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以()11?n a a n d n =+-=，即n a n =，()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+. （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭，所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题 24．（1）50；（2）30 【解析】 【分析】(1)根据条件结合等差数列的性质可得16n a a +=,再根据{}n a 的所有项和为150,即可求出项数n 的值;(2)根据(1)求出{}n a 的首项1a 和公差d ,然后将212230a a a ++⋅⋅⋅+用1a 和d 表示,再求出其值. 【详解】解:(1)由题意,得1231010a a a a +++⋅⋅⋅+=,12950n n n n a a a a ---+++⋅⋅⋅+=, ∴()()()()1213210960n n n n a a a a a a a a ---++++++⋅⋅⋅++=, 根据等差数列性质,可知12132109n n n n a a a a a a a a ---+=+=+=⋅⋅⋅=+, ∴()11060n a a +=,∴16n a a +=, 又{}n a 的所有项和为150,∴()11502n n a a +=, ∴50n =,即数列{}n a 的项数为50.(2)由(1)知,1501610910102a a a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,即112496292a d a d +=⎧⎨+=⎩,∴11120110a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴()2122233021305a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+()15249a d =+11152492010⎛⎫=⨯+⨯ ⎪⎝⎭30=.【点睛】本题考查了等差数列的性质和前n 项和公式,考查了转化思想和方程思想,属基中档题. 25．（Ⅰ）6B π=;（Ⅱ）5AD =．【解析】【试题分析】（1）运用正弦定理将已知中的222sin sin sin sin A C B A C +-=等式转化为边的关系，再借助运用余弦定理求解；（2）借助题设条件DA DC =，且11a =，()cos A C -=，再运用正弦定理建立方程求解：（Ⅰ）由正弦定理和已知条件，222a c b +-=所以cos 2B =． 因为()0,B π∈，所以6B π=．（Ⅱ）由条件．由()()cos sin 55A C A C -=⇒-=．设AD x =，则CD x =，11BD x =-，在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ADBAD B=∠．故5125xx =⇒=．所以5AD DC ==． 26．（1）14n n a -=，*n N ∈；（2）4(34)49nn n T +-⋅=．【解析】 【分析】（1）设公比为q ，运用等比数列的求和公式，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得1(1)(1)4n n n a n --=-⋅，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和． 【详解】（1）设公比q 为4的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且485S =，可得41(14)8514a -=-，解得11a =，则14n n a -=，*n N ∈；（2）1(1)(1)4n n n a n --=-⋅，前n 项和2310142434(1)4n n T n -=+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅，23440142434(1)4n n T n =+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅，两式相减可得23134444(1)4n nn T n --=+++⋯+--⋅14(14)(1)414n n n --=--⋅-，化简可得4(34)49nn n T +-⋅=．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用、数列的错位相减法，考查化简运算能力，属于中档题．。
北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末考试数学含答案
高三年级（数学）参考答案 第 1 页（共 9 页）海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）D （3）B （4）D （5）C （6）A （7）D （8）B （9）B （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（ 11 ）5-（12）2 （13）1-（14）1 1（答案不唯一） （15）②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD .在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11//C D CD ，11C D CD =.因为//AB CD ，12CD AB =，M 为AB 中点， 所以//CD AM ，CD AM =.所以11//C D AM ，11C D AM =.所以四边形11MAD C 为平行四边形.所以11//MC AD .因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1//C M 平面11ADD A ． （Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥.因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD .所以1AA ⊥AD .因为1AD B M ⊥, 1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，M D 1C 1B 1A 1D C B A高三年级（数学）参考答案 第 2 页（共 9 页）所以AD ⊥平面11ABB A .所以AD ⊥AB .如图建立空间直角坐标系A xyz -.不妨设1AD =，则(0,0,0)A ，1(1,2,1)C ，1(0,2,2)B ，(0,0,1)M . 所以1(1,2,1)AC =，11(1,0,1)C B =-，1(1,2,0)MC =. 设平面11MB C 的法向量为 (,,)x y z =n ，则 1110,0,C B MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩ 令2x =，则1y =-，2z =.于是(2,1,2)=-n .因为111cos ,|||AC AC AC ⋅<>==⋅n n n |， 所以直线1AC 与平面11MB C高三年级（数学）参考答案 第 3 页（共 9 页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及2cos 2c A b a =-，得 2sin cos 2sin sin C A B A =-. ①因为πA B C ++=，所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+. ② 由①②得2sin cos sin 0A C A -=.因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠. 所以1cos 2C =. 因为(0,π)C ∈， 所以π3C =. （Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=. 由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠. 所以2πsin sin sin()sin 3B A A A -=--11sin sin sin 22A A A A A =+-- πsin()3A =-. 所以π1sin()32A -=. 因为2π(0,)3A ∈，所以πππ(,)333A -∈-. 所以ππ36A -=，即π6A =. 所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =所以2sin sin 3AB AC C ==.高三年级（数学）参考答案 第 4 页（共 9 页） 所以AC 边上的中线的长为1.选条件③：2222b a -=.由余弦定理得223a b ab +-=.AC 设边上的中线长为d ，由余弦定理得 2222cos 42b ab d a C =+-⋅ 2242b ab a =+- 2222234a b b a =-+-+1=. 所以AC 边上的中线的长为1.（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则 3()10P A =.（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以X 的所有可能取值为0，1，2．2024261(0)15C C P X C ===，1124268(1)15C C P X C ⋅===，0224262(2)5C C P X C ===. 所以X 的分布列为所以()012151553E X =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）213()()()D Y D Y D Y >>.高三年级（数学）参考答案 第 5 页（共 9 页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3=a，2=c所以c 2224=-=b a c ． 所以椭圆E 的方程为22194+=x y ，其短轴长为4． （Ⅱ）设直线CD 的方程为1=+x my ， 11(,)C x y ，22(,)D x y ，则11(,)--M x y .由221,941⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y x my 得22(49)8320m y my ++-=. 所以122849-+=+my y m .由(3,0)A 得直线AM 的方程为11(3)3=-+y y x x . 由11(3),31⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩y y x x x my 得11123y y x my -=+-.因为111=+x my ， 所以12y y =-，112()122y my x m -=-+=.所以112(,)22my yN --. 因为Q 为OD 的中点，且221=+x my ， 所以221(,)22my y Q +. 所以直线NQ 的斜率21221222121288492212()1812912249m y y y y m m k my my m y y m m m -+++====+-+--+--+. 当0m ≤时，0k ≤.高三年级（数学）参考答案 第 6 页（共 9 页）当0m >时，因为912m m +≥m .所以28129m k m =+.所以当m k（20）（共15分）解：（Ⅰ）①当1=a 时，2()sin (sin )f x x x x b x x x b =-+=-+.记()sin =-g x x x （0x ≥），则'()1cos 0=-≥g x x . 所以()g x 在[0,)+∞上是增函数. 所以当0>x 时，()(0)0>=g x g .所以当0>x 时，()(sin )f x x x x b b =-+>.②由2()sin =-+f x x x x b 得'()2sin cos f x x x x x =--，且'(0)0=f . 当0>x 时，'()(1cos )sin =-+-f x x x x x . 因为1cos 0-≥x ，sin 0->x x ， 所以'()0>f x .因为'()'()-=-f x f x 对任意∈R x 恒成立， 所以当0<x 时，'()0<f x . 所以0是()f x 的唯一极值点.（Ⅱ）设曲线()=y f x 与曲线cos =-y x 的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121=-k k . 因为(cos )'sin x x -=， 所以1212sin sin 1⋅==-x x k k . 所以12{sin ,sin }{1,1}=-x x . 不妨设1sin 1=x ，则122π=π+x k ，∈Z k . 因为111111'()2sin cos ==--k f x ax x x x ，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin --=ax x x x x .高三年级（数学）参考答案 第 7 页（共 9 页）所以1124==π+πa x k ，∈Z k . 由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-， 所以0=b . 当24=π+πa k ，∈Z k ，0=b 时，取122π=π+x k ，222π=-π-x k ，则11()cos 0=-=f x x ，22()cos 0=-=f x x ，11'()sin 1==f x x ，22'()sin 1==-f x x ，符合题意. 所以24=π+πa k ，∈Z k ，0=b .（21）（共15分）解：（Ⅰ）1()10f A =,1()12H A =； 2()12f A =，2()15H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变. 因为m 为奇数，{1,1}ij a ∈-，所以(1),(2),,()r r r m ，(1),(2),,()c c c m 均不为0.（Ⅱ）当{0,}s m ∈或{0,}t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =.若0t =，结论显然成立； 若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =，则(,)i j H ∈，1,2,,i m =，1,2,,j t =.所以()H A mt ≥，结论成立.当{0,}s m ∉且{0,}t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =，()0c j >，1,2,,j t =，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <. 因为当1,2,,i s =，1,2,,j t t m =++时，()0r i >，()0c j <，所以2(())(())()()0ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅⋅⋅=⋅⋅<.高三年级（数学）参考答案 第 8 页（共 9 页）所以(,)i j H ∈.同理可得：(,)i j H ∈，1,2,,i s s m =++，1,2,,j t =.所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-. （Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89. 对于如下的数表A ，()8()9H A f A =. 下面证明：()8()9H A f A ≥. 设(1)r ，(2)r ，…，()r m 中恰有s 个正数，(1)c ，(2)c ，…，()c m 中恰有t 个正数，,{0,1,2,3,4,5}s t ∈.①若{0,5}s ∈或{0,5}t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =.所以当1ij a =时，(,)i j H ∈.由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且25(1)(2)(5)25(25)()22r r r a a f A a +++++--===，()H A a ≥.所以()81()9H A f A ≥>. ②由①设{0,5}s ∉且{0,5}t ∉.若{2,3}s ∈或{2,3}t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥.因为25|(1)(2)(5)|0()122r r r f A -+++<=≤，所以()118()129H A f A ≥>. ③由①②设{0,2,3,5}s ∉且{0,2,3,5}t ∉.若{,}{1,4}s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=. 因为0()12f A <≤， 所以()178()129H A f A ≥>.高三年级（数学）参考答案 第 9 页（共 9 页）若s t =，{1,4}s ∈，不妨设1s t ==，(1)0r >，(1)0c >，且()1()H A f A <，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥.所以()()8f A H A >≥.若数表A 中存在ij a （,{2,3,4,5}i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表'A . 因为(')()1H A H A =-，(')()1f A f A ≥-， 所以(')()1()(')()1()H A H A H A f A f A f A -≤<-. 所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小. 所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）. 因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤， 所以()8()9H A f A ≥.。
北京市西城区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案
北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学（答案在最后）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}13A x x =-<<，{}24B x x =≥，则A B = （）A.()1,-+∞B.(]1,2-C.(](),21,-∞--+∞D.(](),21,3-∞-- 2.在复平面内，复数2i i-对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设a ，b ∈R ，且a b >，则（）A.11a b< B.tan tan a b> C.32a b-<- D.a a b b>4.已知双曲线C 的一个焦点是()10,2F ，渐近线为y =，则C 的方程是（）A.2213y x -= B.2213x y -= C.2213x y -= D.2213y x -=5.已知点()0,0O ，点P 满足1PO =.若点(),4A t ，其中t ∈R ，则PA 的最小值为（）A.5B.4C.3D.26.在ABC △中，60B ∠=︒，b =，2a c -=，则ABC △的面积为（）A.2B.4 C.32D.347.已知函数()1ln1xf x x+=-，则（）A.()f x 在()1,1-上是减函数，且曲线()y f x =存在对称轴B.()f x 在()1,1-上是减函数，且曲线()y f x =存在对称中心C.()f x 在()1,1-上是增函数，且曲线()y f x =存在对称轴D.()f x 在()1,1-上是增函数，且曲线()y f x =存在对称中心8.设a ，b 是非零向量，则“a b <”是“2a b b ⋅< ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.设{}n a 是首项为正数，公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为n S .若存在无穷多个正整数k ，使0k S ≤，则q 的取值范围是（）A.(),0-∞ B.(],1-∞- C.[)1,0- D.()0,110.如图，水平地面上有一正六边形地块ABCDEF ，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板111111A B C D E F .若其中三根柱子1AA ，1BB ，1CC 的高度依次为12m ，9m ，10m ，则另外三根柱子的高度之和为（）A.47mB.48mC.49mD.50m第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.在(4x -的展开式中，2x 的系数为______.（用数字作答）12.设0ω>，函数()sin f x x ω=.若曲线()y f x =关于直线6x π=对称，则ω的一个取值为______.13.已知函数()()222log log 4f x x x =--，则()f x 的定义域是______；()f x 的最小值是______.14.已知抛物线C ：28y x =.①则C 的准线方程为______.②设C 的顶点为O ，焦点为F .点P 在C 上，点Q 与点P 关于y 轴对称若OF 平分PFO ∠，则点P 的横坐标为______.15.设a ∈R ，函数()322,,,.x x a f x x a x a ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩给出下列四个结论：①()f x 在区间()0,+∞上单调递减；②当0a ≥时，()f x 存在最大值；③当0a <时，直线y ax =与曲线()y f x =恰有3个交点；④存在正数a 及点()()11,M x f x （1x a >）和()()22,N x f x （2x a ≤），使1100MN ≤.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题13分）已知函数()22sin cos 2cos f x a x x x =-的一个零点为6π.（Ⅰ）求a 的值及()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()m f x M ≤≤对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求m 的最大值和M 的最小值.17.（本小题13分）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.（Ⅰ）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；（Ⅱ）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人.记X 为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为1x ，2x ，3x ，4x ，其方差为21s ；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为1y ，2y ，3y ，4y ，其方差为22s ；1x ，2x ，3x ，4x ，1y ，2y ，3y ，4y 的方差为23s .写出21s ，22s ，23s 的大小关系.（结论不要求证明）18.（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，平面PAB ⊥平面PAD ，E 为PA 中点，2PD AD ==.（Ⅰ）求证：AB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求直线DE 与平面PBC 所成角的大小；（Ⅲ）求四面体PEBC 的体积.19.（本小题15分）已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，且经过点()2,1C .（Ⅰ）求E 的方程：（Ⅱ）过点()0,1N 的直线交E 于点A ，B （点A ，B 与点C 不重合）.设AB 的中点为M ，连接CM 并延长交E 于点D .若M 恰为CD 的中点，求直线AB 的方程.20.（本小题15分）已知函数()e axf x x=，其中0a >.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）当12x x <且120x x ⋅>时，判断()()12f x f x -与1211x x -的大小，并说明理由.21.（本小题15分）给定正整数3N ≥，已知项数为m 且无重复项的数对序列A ：()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 满足如下三个性质：①{},1,2,,i i x y N ∈⋅⋅⋅，且i i x y ≠（1,2,,i m =⋅⋅⋅）；②1i i x y +=（1,2,,1i m =⋅⋅⋅-）；③(),p q 与(),q p 不同时在数对序列A 中.（Ⅰ）当3N =，3m =时，写出所有满足11x =的数对序列A ；（Ⅱ）当6N =时，证明：13m ≤；（Ⅲ）当N 为奇数时，记m 的最大值为()T N ，求()T N .北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.C2.A3.D4.D5.C6.B7.D8.A9.B10.A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.1213.3（答案不唯一）13.()4,+∞14.2x =-215.①②④三、解答题（共6小题，共85分）16.（共13分）解：（Ⅰ）由题设22sincos 2cos 0666a πππ-=，解得a =所以()2cos 2cos f x x x x=-2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为π.（Ⅱ）因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤.所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，即22sin 2116x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭.当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值1，当266x ππ-=-，即0x =时，()f x 取得最小值2-.由题设2m ≤-，且1M ≥.所以m 的最大值是2-；M 的最小值是1.17.（共13分）解：（Ⅰ）记“这2人都最喜爱使用跑步软件一”为事件A ，则()803032008020P A =⨯=.（Ⅱ）因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为208280⨯=，所以X 的所有可能取值为0，1，2.()3638C 50C 14P X ===，()122638C C 151C 28P X ===，()212638C C 32C 28P X ===.所以X 的分布列为X012P5141528328故X 的数学期望515330121428284EX =⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）222231s s s <<.18.（共14分）解：（Ⅰ）因为PD AD =，E 为PA 中点，所以DE PA ⊥.又因为平面PAB ⊥平面PAD ，平面PAB 平面PAD PA =，且DE ⊂平面PAB .所以DE ⊥平面PAB .所以DE AB ⊥.因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AB ⊥.所以AB ⊥平面PAD .（Ⅱ）因为AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD .又PD⊥平面ABCD ，所以DA ，DC ，DP 两两相互垂直.如图建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2P ，()1,0,1E .所以()2,0,0CB = ，()0,2,2CP =- ，()1,0,1DE =.设平面PBC 的法向量为(),,m x y z = ，则0,0.m CB m CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,220.x y z =⎧⎨-+=⎩令1y =，则1z =.于是()0,1,1m =.设直线DE 与平面PBC 所成角为α，则1sin cos ,2m DE m DE m DE α⋅===⋅ .所以直线DE 与平面PBC 所成角的大小为30°.（Ⅲ）因为()1,0,1EP =-，所以点E 到平面PBC 的距离为22m EP d m⋅==.因为CB CP ⊥，所以四面体PEBC 的体积为11123323PBC V S d CB CP d =⋅=⋅⋅⋅⋅=△.19.（共15分）解：（Ⅰ）由题设，222223,2,411,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得28a =，22b =.所以椭圆E 的方程为22182x y +=.（Ⅱ）若直线AB 与y 轴重合，则点M 与原点重合，符合题意，此时直线AB 的方程为0x =.若直线AB 与y 轴不重合，设其方程为1y kx =+.由221,48y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()2241840k x kx ++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122841kx x k -+=+.所以1224241M x x k x k +-==+，21141M M y kx k =+=+.因为M 是CD 的中点，所以282241D M C k x x x k -=-=-+，222141D M C y y y k =-=-+.因为2248D D x y +=，所以222282241804141k k k -⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.整理得340k k +=.解得0k =.但此时直线AB 经过点C ，不符合题意，舍去.综上，直线AB 的方程为0x =.20.（共15分）解：（Ⅰ）当1a =时，()e x f x x =，所以()()21e xx f x x -='.所以()1e f =，()10f '=.所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为e 0y -=.（Ⅱ）()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞ ，且()()21e ax ax f x x -='.令()0f x '=，得1x a=.()f x '与()f x 的情况如下：x (),0-∞10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '－－＋()f x所以()f x 的单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭；单调递减区间为(),0-∞和10,a ⎛⎫⎪⎝⎭.（Ⅲ）当12x x <且120x x ⋅>时，()()121211f x f x x x -<-，证明如下：令()()1g x f x x=-，则()()211ax ax e g x x -+='.设()()1e 1axh x ax =-+，则()2e axh x a x ='.所以当(),0x ∈-∞时，()0h x '<；当()0,x ∈+∞时，()0h x '>.所以()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增.从而()()00h x h >=，即()0g x '>.所以()g x 的单调递增区间为(),0-∞和()0,+∞.当120x x <<时，()()12g x g x <，即()()121211f x f x x x -<-；当120x x <<时，()()12g x g x <，即()()121211f x f x x x -<-.综上，当12x x <且120x x ⋅>时，()()121211f x f x x x -<-.21.（共15分）解：（Ⅰ）A ：()1,2，()2,3，()3,1，或A ：()1,3，()3,2，()2,1.（Ⅱ）因为(),p q 和(),q p 不同时出现在A 中，故2615m C ≤=，所以1，2，3，4，5，6每个数至多出现5次.又因为1i i x y +=（1,2,,1i m =⋅⋅⋅-），所以只有1x ，m y 对应的数可以出现5次，故()14425132m ≤⨯⨯+⨯=.（Ⅲ）当N 为奇数时，先证明()()221T N T N N +=++.因为(),p q 和(),q p 不同时出现在A 中，所以()()21C 12N T N N N ≤=-.当3N =时，构造A ：()1,2，()2,3，()3,1恰有23C 项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1.对奇数N ，如果可以构造一个恰有2C N 项的序列A ，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么对奇数2N +而言，可按如下方式构造满足条件的序列A '：首先，对于如下21N +个数对集合：()(){}1,1,1,1N N ++，()(){}1,2,2,1N N ++，()(){}2,1,1,2N N ++，()(){}2,2,2,2N N ++，……，()(){},1,1,N N N N ++，()(){},2,2,N N N N ++，()(){}1,2,2,1N N N N ++++每个集合中都至多有一个数对出现在序列A '中，所以()()221T N T N N +≤++.其次，对每个不大于N 的偶数{}2,4,,1i N ∈⋅⋅⋅-，将如下4个数对并为一组：()1,N i +，(),2i N +，()2,1N i ++，()1,1i N ++，共得到12N -组，将这12N -组数对以及()1,1N +，()1,2N N ++，()2,1N +按如下方式补充到A 的后面，即：A ，()1,1N +，()1,2N +，()2,2N +，()2,3N +，()3,1N +，…，()1,1N N +-，()1,2N N -+，()2,N N +，(),1N N +，()1,2N N ++，()2,1N +.此时恰有()21T N N ++项，所以()()221T N T N N +=++.综上，当N 为奇数时，()()()()()()()()()()()224533T N T N T N T N T N T T T =--+---+⋅⋅⋅+-+。
最新高三数学上学期期末考试试卷含答案
一、选择题：(每小题5分，共60分) 1.已知条件p ：2|1|>+x ，条件q ：131>-x，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件2.下列函数图象,经过平移或翻折后不能与函数x y 2log =的图象重合的函数是( )A.xy 2= B.x y 5.0log = C.24xy =D.11log 2+=xy3.若把函数)(x f 的图像按)2,3(--=π平移后得到x y cos =的图像，则)(x f 解析式为( )A.2)3cos(--=πx y B.2)3cos(+-=πx yC.2)3cos(-+=πx y D.2)3cos(++=πx y4.已知{n a }是等差数列,115a =,555S =,则过点2(3,)p a ,4(4,)Q a 的直线的斜率为（ ）A ．4B ．14 C ．－4D ．－145.若2,2,22,x y x y x y ≤⎧⎪≤+⎨⎪+≥⎩则的取值范围是（ ）A ．[2，5]B ．[2，6]C ．[3，6]D ．[3，5]6.已知向量)sin 2,cos 2(θθ=a ，)1,0(),,2(-=∈b ππθ，则向量与的夹角为（ ）A ．θπ-23B ．θπ+2C ．2πθ- D ．θ7.在△ABC 中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边。
如果,,a b c 成等差数列30,B ∠=且△ABC 的面积为23，那么b =（ ）A ．231+B ．31+C ．232+ D ．32+8.51cos sin ,0=+<<ααπα，则ααtan 1tan 1+-的值为（ ）A.71B.7C.71- D.－79.已知等比数列}{n a 中，12=a ，则其前3项的和3S 的取值范围是（ ）A.]1,(--∞B.)0,(-∞∪),1(∞+C.),3[∞+D.]1,(--∞∪),3[∞+ 10.双曲线9322=-x y 的渐近线方程是（ ）A ．y ＝±3xB ．y ＝±31x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33x11.已知互不相等的正数a 、b 、c 满足222a c bc +=，则下列不等式中可能．．成立的是（ ） A ．a>b>c B ．b>a>c C ．b>c>aD ．c>a>b12.已知函数x x f x 2log )31()(-=，正实数a 、b 、c 成公差为正数的等差数列，且满足f (a ) f (b )f (c)<0, 若实数d 是方程f (x )=0的一个解，那么下列四个判断：① d<a ；②d>b ； ③d<c ； ④d>c 中有可能．．．成立的为( ) A ．①③④ B ．②③ C ．①④ D ．①②③二、填空题：(每小题5分，共20分) 13.奇函数)(x f 的反函数是)(1x f-，若aa f -=)(，则)()(1a fa f -+-=___________.14.已知⎩⎨⎧≤<+-<≤---=10 ,101 ,1)(x x x x x f ，则使1)()(->--x f x f 成立的x 的取值范围是.15.椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为____________.16.已知ABC ∆的顶点B )0,3(-、C ()3,0，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，AB 和AC 边上的中线交于G ，且5|GF |+|GE |=，则点G 的轨迹方程为三、解答题：（共70分）17.（本小题满分10分）求函数)62sin(sin 22π++=x x y 的最小正周期和最小值，并求出该函数在],0[π上的单调递减区间。
山东济南市历城第二中学2024年高三数学第一学期期末考试试题含解析
山东济南市历城第二中学2024年高三数学第一学期期末考试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y =-对称的点在()1g x kx =-的图像上，则k 的取值范围是( ) A ．13(,)34 B ．13(,)24 C ．1(,1)3 D ．1(,1)22．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（ ）A ．45B ．45-C ．45±D ．353．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ）A ．1-B ．1C ．i -D ．i4．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．101020215．已知平面向量,,a b c ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+且21λμ+=，若对每一个确定的向量a ，记||c 的最小值为m ，则当a 变化时，m 的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．16．“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ）A ．21,2n n n ∀>>B ．21,2n n n ∃≤≤C ．21,2n n n ∀>≤D ．21,2n n n ∃>≤ 8．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A ．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D ．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格9．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 3，则双曲线的渐近线方程为（）A ．3y x =B ．2y x =±C ．y x =±D ．2y x =±10．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥ 11．若直线不平行于平面，且，则（ ） A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交12．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，117DQ =，则PM PQ +的最小值为（ ）A ．321B ．322C ．251D ．252二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
最新高三数学上学期期末考试卷附答案 (1)
一、选择题（下列各题将你认为正确的结论编号选填在相应的置位上，每小题5分，共40分。
） 1．已知Z=4sin4cos ππi +, i 为虚数单位，那么平面内到点C （1，2）的距离等于Z 的点的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）以点C 为圆心，半径等于1的圆（C ）满足方程122=+y x 的曲线 （D ）满足21)2()1(22=-+-y x 的曲线2．∆ABC 的三边分别为a,b,c 且满足c a b ac b +==2,2,则此三角形是（ ）（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）等边三角形3．某校为了了解课外阅读情况，随机抽查了50名学生，得到他们某一天各自课外阅读的时间数据如下图所示，根据条形图可得到这50名学生该天每人的平均课外阅读时间为（ ） （A ）0.6h (B) 0.9h (C) 1.0h (D) 1.5h4．当⎪⎩⎪⎨⎧+>==≤≤)1(3sin cos 20x y y x ，ααπα由满足时条件的点构成的区域的面积为（ ） （A ） 436-π（B ）233-π （C ）2332+π （D ）33-π5．p ：。
ey R x x 递减2221,-*=∈∀πq ：在R 上，函数1)21(-=x y 递减。
则下列命题正确的是（ ）（A ）p q ∨ （B ）q p ∧ （C ）q p ∧⌝ （D ）q6．如图，直三棱柱的主视图面积为2a 2,则左视图的面积为（ ）（A ）2a 2 (B) a 2 (C) 23a (D) 243a7．已知)0,1(2321,1),(=+===b j i a j i 按向量是一个正交基底平移所扫过平面部分的面积等于（ ） （A ）3 （B ）23 （C ）21（D ）1 8．已知a>0，函数x e ax x x f )2()(2-=的最小值所在区间是（ ） （A ）)11,(2+---∞a a （B ）](0,112+--a a （C ）(]a 2,0 （D ）),2(+∞a2a第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：（本大题每小题5分，共30分. 请把答案填在答题卷中的横线上.）9．右边的程序框图输出结果S=10．已知()51cos +θx 的展开式中的系数与2x，x x 的系数相等的展开式中的3445⎪⎭⎫ ⎝⎛+则=θcos11．已知在直角坐标系中，两定点坐标为AB （4，0），一动点M （x,y ）满足条件=，则点M 的轨迹方程是12．某人在地面A 点处测得高为30m 的铁塔顶点D 的仰角 为 45，又移到地面B 点处测得塔顶点D 的仰角为 60， 塔的底部点C 与AB 的张角为 30，则A 、B 两点 的距离为▲ 选做题：（在下面三道小题中选做两题，三道小题都选的只计算前两面道小题的得分。
最新高三数学上学期期末考试卷附答案 (2)
参考公式：柱体的体积公式Sh V =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．第一部分（选择题，共50分）一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑．1．已知集合}|{},023|{2a x x N x x x M >=>-+=，若N M ⊆，则实数a 的取值范围是A ．),3[+∞B ．),3(+∞C ．]1,(--∞D ．)1,(--∞ 2．函数4sin 1)(2x x f +=的最小正周期是A ．2πB ．πC ．π2 D ．π43．函数xx y 142+=的单调递增区间是A ．),0(+∞B ．),21(+∞ C ．)1,(--∞ D ．)21,(--∞4．若ABC ∆的内角A 满足322sin =A ，则=+A A cos sinA ．315B ．315-C ．35 D ．35-5．已知|a |=3，|b |=5，且12=⋅b a ，则向量a 在向量b 上的投影为A ．512 B ．3 C ．4 D ．56．已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，那么前八项之和等于( )A.15B.21C.19D.177．记等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若||||113a a =，且公差0<d ，则当n S 取最大值时，=nA ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．7或88．若函数123+++=mx x x y 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是A ．),31(+∞ B ．]31,(-∞ C ．),31[+∞ D ．)31,(-∞9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ； ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④ 10．若定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2，且当[]1,0∈x 时，(),x x f =，则函数()x x f y 3log -=的零点个数是A ．多于4个B ．4个C ．3个D ．2个第二部分（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分.（一）必做题：第11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答．OO 'MQP N BA11．记等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若431,,a a a 成等比数列，则3523S S S S --的值为．12．右图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果主视图、侧视图所对应的三角形都是边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为．13．已知点),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域上运动，则y x z -=的最大值是；最小值是．（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能选做一题，二题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）曲线⎩⎨⎧==θθsin cos y x (θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是．15．（几何证明选讲选做题）如下图4，⊙'O 和⊙O相交于A 和B ， PQ 切⊙O 于P ，交⊙'O 于Q 和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3,NQ ＝15，则 PN ＝__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．(本小题满分13分)在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=． （Ⅰ）若ABC △，求a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．17．(本小题满分13分)已知数列}{n a 中，02,311=-=+a a a n n ,数列}{n b 中，())( 1*N n a b n n n ∈-=⋅． （Ⅰ）求数列}{n a 通项公式；（Ⅱ）求数列}{n b 通项公式以及前n 项的和．18．(本小题满分14分)已知二次函数cx bx ax x f ++=2)(，不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(． (Ⅰ)若方程06)(=+a x f 有两个相等的实根，求)(x f 的解析式； (Ⅱ)若)(x f 的最大值为正数，求实数a 的取值范围．19．(本小题满分14分)如图（1），ABC ∆是等腰直角三角形，4AC BC ==，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，将AEF ∆沿EF 折起，使A '在平面BCEF 上的射影O 恰为EC 的中点，得到图（2）． （Ⅰ）求证：EF A C '⊥； （Ⅱ）求三棱锥BC A F '-的体积．20．(本小题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211=a 且)2(021≥=⋅+-n S S a n n n ．(Ⅰ)求证}1{nS 是等差数列，并求出n a 的表达式；(Ⅱ)若)2()1(2≥-=n a n b n n ，求证122322<+++n b b b ．21．(本小题满分12分)已知实数a ≠0，函数()()R x x ax x f ∈-=22)(． (Ⅰ)若函数)(x f 有极大值32，求实数a 的值；(Ⅱ)若对]1,2[-∈∀x ，不等式916)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题CDBAA DCCAB 二、填空题11、21或2； 12、334； 13、2，1-；14、2； 15、 三、解答题16、(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=， ----------2分又因为ABC △所以1sin 2ab C =得4ab =． ----------4分联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =． ----------6分（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =----------7分当cos 0A =时，2A π=，6B π=，3a =3b = 当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =， ----------9分联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得3a =，3b =． ----------12分 所以ABC△的面积1sin 23S ab C ==． ----------13分17、(本小题满分13分) 解：（1）∵021=-+n n a a ∴)1(21≥=+n a a nn -----------2分又31=a∴{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列-----------4分∴*)(231N n a n n ∈⋅=------------6分（2）∵())( 1*N n a b n n n ∈-=⋅∴nn n a b 1)1(⋅-==1231)1(-⨯⋅-n n-----------8分∴n n b b b S +⋅⋅⋅++=211231)1(23131-⨯⋅-+⋅⋅⋅+⨯+-=n n-----------10分=211)21(131+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---n=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n )21(192 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1)21(92n -----------13分18、(本小题满分14分)解：（Ⅰ）∵不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(∴1=x 和3=x 是方程)0(0)2(2<=+++a c x b ax 的两根 -----------1分 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+342ac ab -----------2分∴a c a b 3,24=--= -----------3分又方程06)(=+a x f 有两个相等的实根∴0)6(42=+-=∆a c a b -----------4分∴094)12(42=⨯-+a a a ∴0)1)(15(=-+a a∴51-=a 或1=a （舍） -----------5分∴53,56,51-=-=-=c b a-----------6分∴535651)(2---=x x x f -----------7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知a x a ax x f 3)12(2)(2++-=a aa a a x a 3)12()12(2++-+-=aa a 142---=-----------9分∵0<a ，∴)(x f 的最大值为aa a 142--- -----------11分∵)(x f 的最大值为正数∴⎪⎩⎪⎨⎧>---<01402a a a a ∴⎩⎨⎧>++<01402a a a 解得32--<a 或032<<+-a -----------13分∴所求实数a 的取值范围是)0,32()32,(+----∞ -----------14分19、(本小题满分14分)（Ⅰ）证法一：在ABC ∆中，EF 是等腰直角ABC ∆的中位线，EF AC ∴⊥ -----------2分在四棱锥BCEF A -'中，E A EF '⊥，EC EF ⊥，EF ∴⊥平面A EC'，-----------5分 又⊂'C A 平面A EC ',EF A C'∴⊥-----------7分证法二：同证法一EF EC ⊥ -----------2分A O EF '∴⊥EF ∴⊥平面A EC'，-----------5分又⊂'C A 平面A EC ',EF A C '∴⊥-----------7分（Ⅱ）在直角梯形EFBC 中，4,2==BC EC ,421=⋅=∴∆EC BC S FBC -----------9分 又A O '垂直平分EC ，322=-'='∴EO E A O A -----------11分∴FBC A BC A F V V -''-=O A S FBC '⋅=∆313431⋅⋅= 334=-----------13分∴三棱锥BC A F '-的体积为334-----------14分20、(本小题满分14分) （I ）证明：∵n n a a a S +⋅⋅⋅++=21∴当n ≥2时，a n = S n – S n–1-----------1分又021=+-n n n S S a∴)2(0211≥=+---n S S S S n n n n ， -----------3分若S n = 0，则a n = 0，∴a 1 = 0与a 1 =21矛盾！∴S n ≠0，S n – 1≠0． ∴02111=+--n n S S 即2111=--n n S S -----------5分又21112=-S S ．∴{nS 1}是首项为2，公差为2的等差数列 -----------6分 解：由（I ）知数列{n S 1}是等差数列． ∴n n S n22)1(21=⋅-+=即nS n 21=-----------7分∴当)1(21)1(2121,21--=--=-=≥-n n n n S S a n n n n 时 -----------8分又当21,111===a S n 时∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--==)2()1(21)1(21n n n n a n -----------9分（III ）证明：由（II ）知)2(1)1(21)1(2≥=-⋅-=n nn n n b n-----------10分∴2222232213121nb b b n +++=+++ nn )1(1321211 -++⨯+⨯< -----------12分)111()3121()211(n n --++-+-= 111<-=n-----------14分21、(本小题满分12分)解：（Ⅰ）ax ax ax x ax x f 44)2()(232+-=-=)2)(32(3483)( 2--=+-=∴x x a a ax ax x f -----------2分令f x '()=0得0)2)(32(3=--x x a∴x =23或x =2-----------4分() f x ax x x R ()()=-∈22有极大值32，又f ()20=∴f x ()在32=x 时取得极大值 -----------5分27322732)32(===∴a a f ，-----------6分（Ⅱ）由)2)(32()( --=x x a x f 知：当0>a 时，函数f x ()在]32,2[-上是增函数，在]1,32[上是减函数此时，a f y 2732)32(max ==-----------7分又对]1,2[-∈∀x ，不等式916)(<x f 恒成立∴9162732<a 得23<a ∴230<<a -----------9分当0<a 时，函数f x ()在]32,2[-上是减函数，在]1,32[上是增函数又a f 32)2(-=-，a f =)1(，此时，a f y 32)2(max -=-=-----------11分 又对]1,2[-∈∀x ，不等式916)(<x f 恒成立∴91632<-a 得181->a∴0181<<-a -----------11分故所求实数的取值范围是)23,0()0,181( ------------12分。
高三数学上册期末试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -2B. -1C. 0D. 1答案：C2. 函数 y = x^2 - 4x + 4 的图像的对称轴是（）A. x = 2B. x = 0C. y = 0D. y = 4答案：A3. 已知等差数列 {an} 的首项为 a1，公差为 d，若 a1 + a2 + a3 = 9，则 a1 + a4 + a5 的值为（）A. 12B. 15C. 18D. 21答案：B4. 若sin α = 1/2，cos α = √3/2，则sin 2α 的值为（）A. √3/2B. 1/2C. -√3/2D. -1/2答案：A5. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数 x，都有x^2 ≥ 0B. 对于任意实数 x，都有x^3 ≥ 0C. 对于任意实数 x，都有x^4 ≥ 0D. 对于任意实数 x，都有x^5 ≥ 0答案：A6. 函数 y = log2(x - 1) 的定义域为（）A. x > 1B. x ≥ 1C. x < 1D. x ≤ 1答案：A7. 若 a，b，c 是等差数列，且 a + b + c = 12，a + c = 8，则 b 的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B8. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^4答案：C9. 若sin α = 1/2，cos α = √3/2，则tan α 的值为（）A. √3/2B. 1/2C. -√3/2D. -1/2答案：A10. 已知等比数列 {an} 的首项为 a1，公比为 q，若 a1 + a2 + a3 = 9，则 a1 + a4 + a5 的值为（）A. 12B. 15C. 18D. 21答案：C二、填空题（每题5分，共25分）11. 函数 y = 2x - 3 的图像与 x 轴的交点坐标为 _______。
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一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}101M =-，，，{}2N x x x =≤，则M N =（ ）A ．{}0B ．{}01，C ．{}11-，D ．{}101-，， 2.设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( ) A ．12B ．9C ．6 D ．33. 已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数3, 3.5x y ==，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．^0.4 2.3y x =+B ．^2 2.4y x =-C ．^29.5y x =-+D ．^0.4 4.4y x =-+4. .已知{}n a 为等差数列，48336a a +=，则{}n a 的前9项和9S =（ ）A ．9B ．17C ．81D ．1205.甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有（）A ．2种B ．10种C ．12种D ．14种6.下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（ ）A ．43B ．23C ．13D ．1 7.已知函数)sin()(ϕ-=x x f ，且⎰=320,0)(πdx x f 则函数)(x f 的图象的一条对称轴为（ ）A ．65π=xB ．127π=xC ．3π=xD ．6π=x 8. 设函数x x x f +=1)(，则使得)12()(->x f x f 成立的x 的取值范围是（ ）A ．)0,(-∞B ．)1,(-∞C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,31 9.命题:p “0[0,]4x π∃∈，00sin 2cos 2x x a +>”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a <B ．a <．1a ≥D ．a ≥10.在[]22-，上随机地取两个实数a ，b ，则事件“直线1x y +=与圆()()222x a y b -+-=相交”发生的概率为（） A ．14B ．916C ．34D ．111611.圆222240x y ax a +++-=和圆2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R ∈∈，且0ab ≠，则2211a b +的最小值为（ ） A ．1 B ．3 C ．19 D ．4912. 设函数)(x f 的定义域为R ，2)0(=f ，对任意的1)()(,>'+∈x f x f R x ，则不等式1)(+>x x e x f e 的解集为（ ）A.），（∞+0 B.)0,(-∞ C.),1()1,+∞-∞- （ D.)1,0()1,( --∞ 二、填空题（每题5分，满分20分）13.已知向量()1,2a =，()1,0b =，()3,4c =，若λ为实数，()a b c λ+⊥，则λ的值为．14.已知命题032:2>-+x x p ，命题131:>-xq ，若“p q ∧⌝)(”为真，则x 的取值范围是.15.函数)2(log )(221x x x f -=的单调递减区间是.16. 函数⎩⎨⎧≤-->-=02012)(2x x x x x f x ，若方程0)(=-m x f 有三个实根，则m 的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin b a C C =+. （1）求A ；（2）若2,4a b c =+≥，求ABC ∆的面积.18. （12分）甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13，如果比赛采用“五局三胜”制（先胜三局者获胜，比赛结束）. （1）求甲获得比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时的局数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.19.（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=AA 1，∠BAA 1=60°．（Ⅰ）证明AB ⊥A 1C ；（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．20. （12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()()2,0,0,1A B 两点． （1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．21.（12分）设函数()ln ,k R k f x x x=+∈．（1）若曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线与直线20x -=垂直，求()f x 的单调递减区间和极小值（其中e 为自然对数的底数）； （2）若对任何()()1212120,x x f x f x x x >>-<-恒成立，求k 的取值范围．请在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（10分）22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,0,2πρθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦． （1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()13f x x x =-++．（1）解不等式()8f x ≥；（2）若不等式()23f x a a <-的解集不是空集，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】求出集合N，然后直接求解M∩N即可．【解答】解：因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，M={﹣1，0，1}，所以M∩N={0，1}．故选B．【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题．2．（2015•新课标II）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．3．已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.4x+4.4【考点】线性回归方程．【专题】计算题；试验法；概率与统计．【分析】利用变量x与y负相关，排除选项，然后利用回归直线方程经过样本中心验证即可．【解答】解：变量x与y负相关，排除选项A，B；回归直线方程经过样本中心，把=3，=3.5，代入=﹣2x+9.5成立，代入=﹣0.4x+4.4不成立．故选：C．【点评】本题考查回归直线方程的求法，回归直线方程的特征，基本知识的考查．4．已知{a n}为等差数列，3a4+a8=36，则{a n}的前9项和S9=（）A．9 B．17 C．36 D．81【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列性质得到a1+4d=a5=9，由此能求出{a n}的前9项和．【解答】解：∵{a n}为等差数列，3a4+a8=36，∴3（a1+3d）+a1+7d=4a1+8d=36，解得a1+4d=a5=9，∴S9=×（a1+a9）=9a5=9×9=81．故选：D．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有（）A．2种B．10种C．12种 D．14种【考点】排列、组合的实际应用．【专题】应用题；转化思想；演绎法；排列组合．【分析】把4名同学分为（3，1）或（2，2）两组，再分配到周六周日两天，问题得以解决．【解答】解：把4名同学分为（3，1）或（2，2）两组，再分配到周六周日两天，故有（C41+）•A22=14种，故选：D．【点评】本题考查了分组分配的问题，关键是如何分组，注意平均分组的方法，属于基础题．6．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）A．B．C．1 D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥，根据三视图判断相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥，其中三棱柱的高为2，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，∴几何体的体积V=×1×1×2﹣××1×1×2=．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．7．已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x= D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；定积分．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由f（x）dx=0求得cos（φ+）=0，故有φ+=k π+，k∈z．可取φ=，则f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵函数f（x）=sin（x﹣φ），f（x）dx=﹣cos（x﹣φ）=﹣cos（﹣φ）﹣[﹣cos（﹣φ）]=cosφ﹣sinφ=cos（φ+）=0，∴φ+=kπ+，k∈z，即φ=kπ+，k∈z，故可取φ=，f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，则函数f（x）的图象的一条对称轴为x=，故选：A．【点评】本题主要考查定积分，函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．8．设函数f（x）=，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．D．【考点】分段函数的应用．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】函数f（x）=为奇函数，分析函数的单调性，可将f （x）＞f（2x﹣1）化为：x＞2x﹣1，解得答案．【解答】解：函数f（x）=为奇函数，当x≥0时，f（x）==1+为增函数，故函数f（x）在R上为增函数，故f（x）＞f（2x﹣1）可化为：x＞2x﹣1，解得：x∈（﹣∞，1），故选：B【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数的单调性，难度中档．9．命题p：“∃x0∈[0，]，sin2x0+cos2x0＞a”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＜ C．a≥1 D．a≥【考点】特称命题．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】特称命题转化为全称命题，求出sin（2x+）的最大值，从而求出a的范围即可．【解答】解：“∃x0∈[0，]，sin2x0+cos2x0＞a”是假命题，即∀x∈[0，]，sin2x+cos2x≤a是真命题，由sin2x+cos2x=sin（2x+）≤a，得：sin（2x+）≤，由x∈[0，]得：2x+∈[，]，故sin（2x+）的最大值是1，故只需≥1，解得：a≥，故选：D．【点评】本题考查了特称命题转化为全称命题，考查三角函数问题，是一道中档题．10．（2016秋•红塔区校级月考）在[﹣2，2]上随机地取两个实数a，b，则事件“直线x+y=1与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相交”发生的概率为（）A．B． C．D．【考点】几何概型．【专题】数形结合；数形结合法；直线与圆；概率与统计．【分析】根据题意画出不等式组和≤表示的平面区域，利用面积比求出对应的概率值．【解答】解：根据题意，得，又直线x+y=1与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相交，d≤r，即≤，得|a+b﹣1|≤2，所以﹣1≤a+b≤3；画出图形，如图所示；则事件“直线x+y=1与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相交”发生的概率为P===．故选：D．【点评】本题考查了二元一次不等式组表示平面区域的应用问题，也考查了几何概率的计算问题，是基础题目．11．两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则的最小值为（）A．B．C．1 D．3【考点】圆与圆的位置关系及其判定；基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】由题意可得两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，由=3，得到=1，=+=++，使用基本不等式求得的最小值．【解答】解：由题意可得两圆相外切，两圆的标准方程分别为（x+a）2+y2=4，x2+（y﹣2b）2=1，圆心分别为（﹣a，0），（0，2b），半径分别为2和1，故有=3，∴a2+4b2=9，∴=1，∴=+=++≥+2=1，当且仅当=时，等号成立，故选C．【点评】本题考查两圆的位置关系，两圆相外切的性质，圆的标准方程的特征，基本不等式的应用，得到=1，是解题的关键和难点．12．设f（x）是定义在R上的函数，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x f（x）＞e x+1的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用．【分析】本题构造新函数g（x）=e x f（x）﹣e x，利用条件f（x）+f’（x）＞1，得到g′（x）＞0，得到函数g（x）单调递增，再利用f （0）=2，得到函数g（x）过定点（0，1），解不等式e x f（x）＞e x+1，即研究g（x）＞1，结合函数的图象，得到x的取值范围，即本题结论．【解答】解：令g（x）=e x f（x）﹣e x，则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x，∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，∴g′（x）=e x[f（x）+f′（x）﹣1]＞0，∴函数y=g（x）在R上单调递增．∵f（0）=2，∴g（0）=1．∴当x＜0时，g（x）＜1；当x＞0时，g（x）＞1．∵e x f（x）＞e x+1，∴e x f（x）﹣e x＞1，即g（x）＞1，∴x＞0．故选A．【点评】本题考查了函数的导数与单调性，还考查了构造法思想，本题有一定的难度，计算量适中，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分）13．已知向量()1,2a =，()1,0b =，()3,4c =，若λ为实数，()a b c λ+⊥，则λ的值为．【考点】平面向量的坐标运算．【专题】计算题；规律型；转化思想；平面向量及应用． 【解答】解：由题意可得λa +b =（1+λ，2λ） ∵（λa +）⊥c ，∴（λa +b ）•c =0， 代入数据可得3（1+λ）+4×2λ=0， 解之可得λ=﹣ 故答案为：．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及向量的垂直于数量积的关系，属中档题．14．（2016秋•红塔区校级月考）已知命题p ：x 2+2x ﹣3＞0；命题q ：＞1，若“￢q 且p ”为真，则x 的取值范围是 （﹣∞，﹣3）∪（1，2]∪[3，+∞） ． 【考点】复合命题的真假．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据条件先求出命题p ，q 为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．【解答】解：因为“￢q 且p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，由＞1得﹣1=＞0，即2＜x＜3，所以q假时有x≥3或x≤2；p为真命题时，由x2+2x﹣3＞0，解得x＞1或x＜﹣3，由，得x≥3或1＜x≤2或x＜﹣3，所以x的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，2]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，2]∪[3，+∞）【点评】本题主要考查复合命题真假的应用，根据条件求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．15．（2008•盐田区校级模拟）函数f（x）=log（x2﹣2x）的单调递减区间是（2，+∞）．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】先求函数的定义域，然后分解函数：令t=x2﹣2x，则y=，而函数y=在定义域上单调递减，t=x2﹣2x在（2，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减，根据复合函数的单调性可知函数可求【解答】解：由题意可得函数的定义域为：（2，+∞）∪（﹣∞，0）令t=x2﹣2x，则y=因为函数y=在定义域上单调递减t=x2﹣2x在（2，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为：（2，+∞）故答案为：（2，+∞）【点评】本题主要考查了由对数函数及二次函数复合而成的复合函数的单调区间的求解，解题的关键是根据复合函数的单调性的求解法则的应用，解题中容易漏掉对函数的定义域的考虑，这是解题中容易出现问题的地方．16．（2016秋•红塔区校级月考）函数f（x）=，若方程f（x）﹣m=0有三个实根，则m的取值范围是（0，1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；数形结合；解题方法；函数的性质及应用．【分析】画出函数的图象，利用函数的图象求解即可．【解答】解：画出函数f（x）=，y=m，的图象如图：方程f（x）﹣m=0有三个实根，即y=f（x）与y=m由三个不同的交点，由图象可得m∈（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】不要考查函数的图象的应用，零点个数的判断与应用，考查计算能力．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，b=acosC+asinC．（I）求A；（Ⅱ）若a=2，b+c≥4，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】对应思想；综合法；解三角形．【分析】（1）利用余弦定理将角化边得出b2+c2﹣a2=absinC=2bccosA，再使用正弦定理得出tanA；（2）利用余弦定理和基本不等式可得bc≥4，bc≤4，故bc=4．【解答】解：（1）在△ABC中，∵b=acosC+asinC，∴b=a×+asinC．即b2+c2﹣a2=absinC．又∵b2+c2﹣a2=2bccosA，∴asinC=ccosA，∴sinAsinC=sinCcosA，∴tanA=．∴A=．（2）由余弦定理得：cosA==，∴b2+c2=bc+4≥2bc，∴bc≤4．又b2+c2=bc+4，∴（b+c）2=3bc+4，∵b+c≥4，∴（b+c）2=3bc+4≥16，∴bc≥4．∴bc=4．∴S△ABC==．【点评】本题考查了正余弦定理，基本不等式的应用，属于中档题．18．（12分）（2016•大连二模）甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，如果比赛采用“五局三胜制”（先胜三局者获胜，比赛结束）．（1）求甲获得比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）甲获得比赛胜利包含三种情况：①甲连胜三局；②前三局甲两胜一负，第四局甲胜；③前四局甲两胜两负，第五局甲胜．由此能求出甲获得比赛胜利的概率．（2）由已知得X的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）甲获得比赛胜利包含三种情况：①甲连胜三局；②前三局甲两胜一负，第四局甲胜；③前四局甲两胜两负，第五局甲胜．∴甲获得比赛胜利的概率：p=++C（）2（）2×=．（2）由已知得X的可能取值为3，4，5，P（X=3）==，P（X=4）=+×=，P（X=5）=C（）2（）2×+C（）2（）2×=，∴随机变量X的分布列为：X 3 4 5P数学期望EX==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）取AB中点，连接OC，OA1，得出OC⊥AB，OA1⊥AB，运用AB⊥平面OCA1，即可证明．（Ⅱ）易证OA，OA 1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向建立坐标系，可向量的坐标，求出平面BB1C1C的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点，连接OC，OA1，∵CA=CB，AB=A1A，∠BAA1=60°∴OC⊥AB，OA1⊥AB，∵OC∩OA1=O，∴AB⊥平面OCA1，∵CA1⊂平面OCA1，∴AB⊥A1C；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A 1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），==（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB 1C1C的法向量，则，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞=﹣，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：﹣．【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属中档题．20．（12分）（2016•北京）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可得a=2，b=1，则，则椭圆C的方程可求，离心率为e=；（2）设P（x0，y0），求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得|AN|，|BM|．由，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2．【解答】（1）解：∵椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点，∴a=2，b=1，则，∴椭圆C的方程为，离心率为e=；（2）证明：如图，设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y=，取x=0，得；，PB所在直线方程为，取y=0，得．∴|AN|=，|BM|=1﹣．∴==﹣===．∴四边形ABNM的面积为定值2．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题．21．（12分）设函数，f（x）=lnx+，k∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，求f（x）的单调递减区间和极小值（其中e为自然对数的底数）；（2）若对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，求k 的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）先利用导数的几何意义求出k的值，然后利用导数求该函数单调区间及其极值；（2）由题意可知，函数f（x）﹣x在（0，+∞）上递增，即该函数的导数大于等于零在（0，+∞）恒成立，然后转化为导函数的最值问题来解．【解答】解：（1）由已知得．∵曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，∴此切线的斜率为0．即f′（e）=0，有，解得k=e．∴，由f′（x）＜0得0＜x＜e，由f′（x）＞0得x＞e．∴f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，当x=e 时f（x）取得极小值．故f（x）的单调递减区间为（0，e），极小值为2．（2）条件等价于对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2（*）恒成立．设h（x）=f（x）﹣x=lnx+．∴（*）等价于h（x）在（0，+∞）上单调递减．由在（0，+∞）上恒成立，得恒成立．所以（对k=，h′（x）=0仅在x=时成立），故k的取值范围是[，+∞）．【点评】本题考查了导数的几何意义（切线问题）以及利用导数如何研究函数单调性、极值的基本思路，属于基础题型．请在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2015秋•城关区校级期中）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；坐标系和参数方程．【分析】（I）圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程，利用三角函数基本关系式可得：参数方程．（II）设切点D（1+cosα，sinα），根据CD∥l，可得=，解出即可得出．【解答】解：（I）圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2﹣2x=0，配方为：（x﹣1）2+y2=1，圆心C（1，0）．可得参数方程为：（α∈[0，π]，α为参数）．（II）设切点D（1+cosα，sinα），∵CD∥l，则=，tan α=，解得α=，∴D．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程、圆的切线的性质、斜率计算公式、相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016春•湖南期末）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|．（1）解不等式f（x）≥8；（2）若不等式f（x）＜a2﹣3a的解集不是空集，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【专题】分类讨论；综合法；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出函数f（x）的分段函数的形式，通过解各个区间上的x的范围去并集即可；（2）求出f（x）的最小值，得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以不等式f（x）≥8的解集为{x|x≤﹣5或x≥3}．（2）因为f（x）=|x﹣1|+|x+3|≥4，又不等式f（x）＜a2﹣3a的解集不是空集，所以，a2﹣3a＞4，所以a＞4或a＜﹣1，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，函数恒成立问题，是一道中档题．。