1.3 三角函数的计算 课时练习(含答案解析)
高中数学第五章三角函数5.5.1.3二倍角的正弦余弦正切公式课时作业含解析新人教A版必修第一册
5.5.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、选择题1．已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( ) A.75 B.125C.1225D.2425解析：sin 2α＝2sin αcos α＝2425. 答案：D2．计算2sin 2105°－1的结果等于( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32解析：2sin 2105°－1＝－cos 210°＝cos 30°＝32. 答案：D3．已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( )A ．2B ．－2 C.34 D ．－34解析：因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34. 答案：D4．已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝12，则cos 2α的值为( ) A ．±74 B.74C ．－74 D ．－34 解析：因为sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，所以1＋2sin αcos α＝14， 所以sin 2α＝－34，且sin α>0，cos α<0， 所以cos α－sin α＝－1－2sin αcos α＝－72， 所以cos 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－74.故选C. 答案：C二、填空题5.1－tan 215°2tan 15°等于________． 解析：原式＝1tan 30°＝133＝ 3. 答案： 3 6．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________. 解析：∵sin θ2＋cos θ2＝233， ∴⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22＝43， 即1＋2sin θ2cos θ2＝43，∴sin θ＝13， ∴cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79. 答案：13 797．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝2cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝－79. 答案：－79三、解答题 8．求下列各式的值．(1)2cos 2π12－1；(2)tan 30°1－tan 230°； (3)cos π12cos 5π12； (4)cos π7cos 3π7cos 5π7. 解析：(1)2cos 2π12－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝cos π6＝32.(2)tan 30°1－tan 230°＝12×2tan 30°1－tan 230°＝12tan 60°＝32. (3)cos π12cos 5π12＝cos π12sin π12＝12sin π6＝14. (4)cos π7cos 3π7cos 5π7＝cos π7·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 4π7·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 2π7＝2sin π7cos π7cos 2π7cos 4π72sin π7＝sin 2π7cos 2π7cos 4π72sin π7＝sin 4π7cos 4π74sin π7＝sin 8π78sin π7＝－18.9．化简：(1)11－tan θ－11＋tan θ；(2)2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.解析：(1)原式＝1＋tan θ－(1－tan θ)1－tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝tan2θ(2)原式＝2cos 2α－12sin (π4－α)cos (π4－α)·cos 2(π4－α)＝2cos 2α－12sin (π4－α)cos (π4－α)＝cos 2αsin (π2－2α)＝cos 2αcos 2α＝1[尖子生题库]10．证明：1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ＝tan θ.证明：证法一 左边＝sin 2θ＋(1－cos 2θ)sin 2θ＋(1＋cos 2θ)＝2sin θcos θ＋(1＋1－2cos 2θ)2sin θcos θ＋(1＋2cos2θ－1)＝sin θcos θ＋1－cos 2θsin θcos θ＋cos 2 θ＝sin θcos θ＋sin 2θsin θcos θ＋cos 2θ ＝sin θ(cos θ＋sin θ)cos θ(sin θ＋cos θ)＝tan θ＝右边．∴原式成立．证法二：左边＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin 2θ＋sin 2θ－cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＋sin 2θ＋cos 2θ－sin 2θ＝sin 2θ＋2sin 2θsin 2θ＋2cos 2θ＝2sin θ(sin θ＋cos θ)2cos θ(sin θ＋cos θ) ＝tan θ＝右边．∴原式成立．证法三：左边＝(1＋sin 2θ)－cos 2θ(1＋sin 2θ)＋cos 2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ)－(cos 2θ－sin 2θ)(sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ)＋(cos 2θ－sin 2θ)＝(sin θ＋cos θ)2－(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)(sin θ＋cos θ)2＋(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ) ＝(sin θ＋cos θ)(sin θ＋cos θ＋sin θ－cos θ)(sin θ＋cos θ)(sin θ＋cos θ＋cos θ－sin θ)＝sin θcos θ＝tan θ＝右边．∴原式成立．。
《1.3 三角函数的诱导公式》专题(二)
《1.3 三角函数的诱导公式》专题(二)2017年（ ）月（ ）日 班级 姓名 作为一次经历，失败有时比成功更有价值。
1． 已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为 ( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.322． 若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于( ) A ．－12 B ．12 C.32 D ．－323． 已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于 ( ) A ．－13 B.13 C ．－223 D.2234． 若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为 ( ) A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m 25． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ等于( ) A ．－33 B.33 C ．－ 3 D. 36． 已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( ) A.13 B ．23 C ．－13 D ．－237．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________.8．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.9． 已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.10．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )．11．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值．12．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，求sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值．13．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式⎩⎪⎨⎪⎧ sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．答案1．A 2.A 3.A 4.C 5.C 6.D 7.8928．证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α ＝－tan α＝右边．∴原等式成立．9．210．解 原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＋cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋ cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋ cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋ cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.11．解 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α ＝－sin α.∴sin α·cos α＝60169， 即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169， ②－①得(sin α－cos α)2＝49169. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④ ③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513.12．解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2.∴sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝－sin 3α－cos α5sin α－3sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－(sin 3α＋cos α)5sin α－3cos α＝sin 3α＋cos α3cos α－5sin α＝sin 2α·tan α＋13－5tan α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α·tan α＋13－5tan α＝tan 3α1＋tan 2α＋13－5tan α＝231＋22＋13－5×2＝－1335.13．解 由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β.② ①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4.当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件． 答案1．A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.B 7．－338.－1 9.3 10．解 当n 为偶数时，n ＝2k ，k ∈Z .原式＝sin(2k π－23π)·cos(2k π＋43π)＝sin ⎝⎛⎭⎫－23π·cos ⎝⎛⎭⎫43π＝(－sin 23π)·cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π＝sin 23π·cos π3＝sin π3·cos π3 ＝32×12＝34.当n 为奇数时，n ＝2k ＋1，k ∈Z .原式＝sin(2k π＋π－23π)·cos(2k π＋π＋43π)＝sin ⎝⎛⎭⎫π－23π·cos ⎝⎛⎭⎫π＋43π＝sin π3·cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π3＝sin π3×cos π3＝32×12＝34.∴sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)＝34，n ∈Z .11．解 原式＝－sin (2π－α)－sin (3π＋α)cos (3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α ＝－23，∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角． 当α为第一象限角时，cos α＝23，sin α＝1－cos 2α＝53，∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52.当α为第四象限角时，cos α＝23，sin α＝－1－cos 2α＝－53，∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52.综上，原式＝±52.12．证明 ∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2k π＋π2 (k ∈Z )，∴α＝2k π＋π2－β (k ∈Z )．tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β ＝tan(4k π＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0，∴原式成立．13．解 由条件得sin A ＝2sin B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π.当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去． ∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π.。
1.3 三角函数的计算
【方法总结】当角度在0°<∠A<90°间变化时，0<sinA<1， 1>cosA>0.当角度在45°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞1.
解：(1)由题意得∠ACB＝45°，∠A＝90°， ∴△ABC 是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝610(米)． (2)DE＝AC＝610，在 Rt△ BDE 中，
tan∠BDE＝DBEE，∴BE＝DE·tan39°.
∵CD＝AE， ∴CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116(米)． 答：大楼的高度 CD 约为 116 米．
解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°.
∵∠A＝45°，
∴AF＝DF.
设EF＝x，
∵tan25.6°＝ EF ≈0.5，
BF
∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x，
故tan61.4°＝DF 50 2x ＝1.8，
BF
2x
解得x≈31.
故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．
第一章 直角三角形的边角关系
1.3 三角函数的计算
学习目标
1.复习并巩固锐角三角函数的相关知识. 2.学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算. (重点) 3.学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算.（难点）
导入新课
回顾与思考 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角α
第二种方法：
第一步：按计算器
tan 键，
1.3 三角函数的有关计算(1)A
tan
sin
.
8
.
5
. .
=
8
0.743 144 825 11.430 052 3 =
0.954 450 312
7 2
2
DMS
DMS 3 . . 5 DMS
讨论、更正、点拨1（2分钟）
2. 用计算器求三角函数值时,结果一般有 10个数位.本书约定,如无特别声明,计算 结果一般精确到万分位. 3.对于本节一开始提出的问题,利用科 学计算器可以求得: BC=ABsin160 ≈200×0.2756≈55.12.
（2）-0.2432
3、 大厦高约为105.2 m. 4、 4 2cm 2( 2 6 )cm
4(1 3)cm2
5、 2(1 3)cm
(5)1.0000
(6)4.7544
讨论、更正、点拨（共8分钟，本页3分钟）
1.用科学计算器求锐角的三角 函数值,要用到三个键:
按键的顺序 Sin160 Cos420 tan850 sin720 38′25″ sin cos 1 4 6 2 = =
sin
cos
tan
显示结果 0.275 637 355
2.求图中避雷针CD 的长度(结果精确 到0.01m).
自学检测答案
1.上高约242.8m 2.CD约等于5.82m
讨论、更正、点拨3（2分钟）
1、直角三角形中的三大关系
三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2. 两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+∠B=900. A 边与角之间的关系:锐角三角函数
§1. 3 三角函数的有关计算
（第1课时）
学习目标（1分钟）
1.会用计算器由角度求三角函数值。
1.3三角函数的诱导公式—1学练案及答案
§1.3三角函数的诱导公式—1设计者：杨文锟学习目标1、掌握+πα、α-的三角函数与α的三角函数间的关系；. 学习过程 一、复习准备 复习1：写出2k πα+的三角函数与α的三角函数间的关系式：sin(2)k πα+=sin α；cos(2)k πα+=cos α； tan(2)k πα+=tan α.()k Z ∈结论：（1）终边相同的角的同名三角函数值 相等 ； （2）作用：将任意角的三角函数转化为0~2π(0~360) 间的角的三角函数.复习二：设角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，(,)P x y 为其终边上不同于顶点的任意一点，则sin α=yr；cos α=xr ；tan α=yx（其中22rx y=+.二、新课学习※学习探究一：在同一坐标系中，角πα+的终边与角α的终边有什么关系？(,)P x y α点，则点(,)P x y '--在角πα+的终边上.由此，试计算：sin()πα+=yr-、cos()πα+=x r -、tan()πα+=yx，并分别与sin α、cos α、tan α比较.结论（公式二）：sin()πα+=sin α-、cos()πα+=cos α-、tan()πα+=tan α.※典例选析例1 求值：（1）sin 225； （2）16cos 3π；解：（1）sin 225sin(18045)=+2sin 452=-=-；（2）1644cos cos(4)cos 333ππππ=+=1cos()cos 332πππ=+=-=-变式练习1 将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在横线上（1）13cos9π=4cos 9π-； （2）sin(1)π+=sin1-.※学习探究二：仿照学习探究一的步骤，参照课本第23页图1.31-，推导出α-与α的三角函数间的关系式：sin()α-=sin α-、cos()α-=cos α、tan()α-=tan α-※典例选析例2 求值：（1）34sin()3π-； （2）13tan()4π- 解：（1）3434sin()sin33ππ-=- 44sin(10)sin33πππ=-+=- 3sin()sin 33πππ=-+==（2）1313tan()tan44ππ-=- 55tan(2)tan44πππ=-+=- tan()tan 144πππ=-+== 例3 化简 cos(180)sin(360)sin(180)cos(180)αααα+⋅+--⋅--解：原式化为cos sin cos sin 1sin(180)cos(180)sin cos αααααααα-⋅⋅==-+⋅+⋅o α πα+ xy (,)P x y变式练习2 填空 （1）cos(420)-=12； （2）7sin()6π-=12； （3）tan(1305)-=1-；（4）79cos()6π-=32-； （5）sin(180)cos()sin(180)ααα+--- 2sin cos αα=-；（6）3sin ()cos(2)tan()απααπ-+--=4sin α.小结：运用公式特别注意：（1）公式的格式；（2）三角函数值的符号. 三、总结提升※学习小结 化归思想：任意负角的三角函数−−−→公式三任意正角的三角函数−−−→公式一0~3600~2π （）间角的三角函数→0~900~2π（）间角的三角函数. 当堂检测1、下列式子正确的是（ C ）.A sin()sin 55ππ-= .B 32coscos 55ππ= .C 6tan tan 55ππ= .D cos sin 155ππ+= 2、25tan()4π-=1-3、若1cos()2x π+=，则cos()x -=12-.课后预习1、观察课本第23页图1.31-，角πα-的终边与角α的终边有什么关系？关于y 轴对称.2、设(,)P x y 是角α终边上不同于顶点的一点，试计算：sin()πα-=y r、cos()πα-=x r-、tan()πα-=y x-，并分别与sin α、cos α、tan α比较.你能否得出结论：sin()πα-=sin α、cos()πα-=cos α-、tan()πα-=tan α-.。
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式第1课时三角函数的诱导公式(一)限时规范训练新人教A版
第1课时 三角函数的诱导公式（一）【基础练习】1．化简1－sin 21 180°的结果是( ) A ．cos 100° B ．cos 80° C ．sin 80° D ．cos 10°【答案】B【解析】原式＝1－sin 21 180°＝1－sin 2100°＝cos 2100°＝cos 280°＝cos 80°.故选B ． 2．(2018年福建厦门校级月考)已知sin(π＋α)＝35，α是第四象限的角，则cos(α－2π)＝( )A ．45B ．－45C ．±45D ．35【答案】A【解析】由sin(π＋α)＝35，得sin α＝－35，而cos(α－2π)＝cos α且α是第四象限角，所以cos α＝1－sin 2α＝45.故选A ．3．下列等式恒成立的是( ) A ．cos(－α)＝－cos α B ．si n(360°－α)＝sin α C ．tan(2π－α)＝tan(π＋α) D ．cos(π＋α)＝cos(π－α) 【答案】D【解析】根据诱导公式可得cos(－α)＝cos α，sin(360°－α)＝－sin α，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan(π＋α)，可得A ，B ，C 都不正确，再由cos(π＋α)＝－cos α＝cos(π－α)，可得D 正确．故选D ．4．sin 2(2π－α)＋cos(π＋α)·cos(π－α)＋1的值是( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．2sin 2α【答案】B【解析】原式＝sin 2α＋(－cos α)·(－cos α)＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.故选B ． 5．化简sin 2?α＋π?·cos?π＋α?cos 3?－α－π?·tan 2?α－2π?的结果是( ) A ．1 B ．－1 C ．cos αD ．1cos α【答案】A【解析】sin 2?α＋π?·cos?π＋α?cos 3?－α－π?·tan 2?α－2π?＝sin 2α·?－cos α??－cos 3α?·tan 2α＝sin 2αcos 2α·sin 2αcos 2α＝1.故选A ． 6．(2019年江西南昌模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α的值为________．【答案】32【解析】因为3π4－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32.7．(2019年江苏苏州期末)已知3sin(α－π)＝cos α，则tan(π－α)的值是________． 【答案】13【解析】因为3sin(α－π)＝－3sin (π－α)＝－3sin α，所以－3sin α＝cos α，则tan α＝sin αcos α＝－13.所以tan(π－α)＝－tan α＝13.8．求值：(1)sin 1 650°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－28π3. 【解析】(1)sin 1 650°＝sin(4×360°＋210°)＝sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－28π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π＋2π3＝cos 2π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12.9．已知cos?180°＋α?sin?α＋360°?sin?540°＋α?sin?－α－180°?cos?－180°－α?＝lg 1310，求cos ?π＋α?cos α[cos ?π－α?－1]＋cos?α－2π?cos αcos ?π－α?＋cos?α－2π?的值．【解析】∵cos?180°＋α?sin?α＋360°?sin?540°＋α?sin?－α－180°?cos?－180°－α?＝－cos α?sin αsin?180°＋α?－sin?180°＋α?cos?180°＋α?＝－cos α?sin α?－sin α?sin α?－cos α?＝－sin α＝lg 1310，∴sin α＝－lg1310＝lg 310＝13.∴cos ?π＋α?cos α[cos ?π－α?－1]＋cos?α－2π?cos αcos ?π－α?＋cos?α－2π?＝－cos αcos α?－cos α－1?＋cos αcos α?－cos α?＋cos α＝1cos α＋1＋11－cos α＝?1－cos α?＋?1＋cos α?1－cos 2α ＝2sin 2α＝18. 【能力提升】10．(2018年湖南株洲期中)已知tan(π－α)＝－23，则cos?－α?＋3sin?π＋α?cos?π－α?＋9sin α的值为( )A ．－15B ．－37C ．15D ．37【答案】A【解析】tan(π－α)＝－tan α＝－23，可得tan α＝23，∴cos?－α?＋3sin?π＋α?cos?π－α?＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α9tan α－1＝1－3×239×23－1＝－15.故选A ．11．已知角α与角β终边关于y 轴对称，有四个等式：①sin α＝sin(π＋β)；②sin α＝sin β；③cos α＝cos(π＋β)；④cos α＝cos(－β)，其中恒成立的是( )A ．②③B ．①④C ．①③D ．②④ 【答案】A【解析】设角α终边上一点P (x ，y )，则点P 关于y 轴对称的点为P ′(－x ，y )且点P 与点P ′到原点的距离相等，设为r ，则P ′(－x ，y )在β的终边上，由三角函数的定义得sin α＝y r ，sin β＝y r，cosα＝x r ，cos β＝－xr，∴sin α＝sin β，cos α＝－cos β.故①④错误，②③正确．故选A ．12．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β为非零常数．若f (2 018)＝－1，则f (2 019)＝________.【答案】1【解析】∵f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝a sin(π＋2 018π＋α)＋b cos(π＋2 018π＋β)＝－a sin(2 018π＋α)－b cos(2 018π＋β)＝－f (2 018)，又f (2 018)＝－1，∴f (2 019)＝1.13．化简：1＋2sin 280°·cos 440°sin 260°＋cos 800°.【解析】原式＝1＋2sin?360°－80°?·cos?360°＋80°? sin?180°＋80°?＋cos?720°＋80°?＝1－2sin 80°·cos 80°－sin 80°＋cos 80°＝sin280°＋cos280°－2sin 80°·cos 80°－sin 80°＋cos 80°＝sin 80°－cos 80°2－sin 80°＋cos 80°＝|sin 80°－cos 80°|cos 80°－sin 80°＝sin 80°－cos 80°cos 80°－sin 80°＝－1.。
三角函数的计算 北师大版九年级数学下册
想一想
为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端
修建了40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少?
BC 10 1
如图，在Rt△ABC中，sinA=
，
AC 40 4
那么∠A是多少度呢?
要解决这个问题，我们可以借助科学计算器.
已知三角函数值求角度，要用到
“sin”、“cos”、“tan”键
已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α= 16°，那么缆车垂
直上升的距离 是多少？（结果精确到0.01 m)
新知讲解
合作学习
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,BC=ABsin16°
.
你知道sin16°
等于多少吗?
我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值.
怎样用科学计算器求锐角的三角函数值呢?
tan 键，然后输入三角函数值，最后按
就可求出相应角度．
= 键
课堂练习
1．如图，一个人从山脚下的点出发，沿山坡小路走到山顶
点．已知坡角为°，山高 = 千米．用科学计算器计算小路
的长度，下列按键顺序正确的是(
A．
B．
C．
D．
【详解】在中， = 2 0° = ，
需要用科学计
你知道sin16°等
算器来进行计
于多少吗?
算.
用科学计算器求锐角的三角函数值,要用到以下按键:
例如，求sin16°的按键顺序：
第一步：按计算器
键，
第二步：输入角度值16，再按“=”。
屏幕显示结果sin 16°= 0.2756373558
sin1
sin
0.275 637 355
8
si
1.3 三角函数的诱导公式(知识梳理+练习+答案)
1.3 三角函数的诱导公式知识梳理：1． 当︒<<︒900α即是锐角，是第一象限的角时下列各角与α的关系是什么？απ+的终边与角α终边关于 对称，它是第 象限角。
απ-的终边与角α终边关于 对称，它是第 象限角。
α-的终边与角α终边关于 对称，它是第 象限角。
απ-2的终边与角α终边关于 对称，它是第 象限角。
2.公式二：ααπsin )sin(-=+ααπcos )cos(-=+ααπtan )tan(=+公式三：ααsin )sin(-=-ααcos )cos(=-ααtan )tan(-=-公式四：ααπsin )sin(=-ααπcos )cos(-=-ααπtan )tan(-=-公式五：ααπsin )2sin(-=-ααπcos )2cos(-=-公式六：ααπsin )2sin(-=+ααπcos )2cos(=+概括公式一~四：)(2Z k k ∈⋅+πα, α-,απ±的三角函数值， 概括公式五和六：απ±2的正弦（余弦）函数值， 口诀：奇变偶不变，符号看象限Z k k∈±⋅,2απ 练习题:一、选择题。
1、如果|cos x |=cos （x +π），则x 的取值集合是（ ）A ．－2π+2k π≤x ≤2π+2k π B ．－2π+2k π≤x ≤2π3+2k π C ． 2π+2k π≤x ≤2π3+2k π D ．（2k +1）π≤x ≤2（k +1）π（以上k ∈Z ） 2、sin （－6π19）的值是（ ） A ． 21 B ．－21 C ．23 D ．－23 3、下列三角函数：①sin （n π+3π4）；②cos （2n π+6π）；③sin （2n π+3π）；④cos ［（2n +1）π－6π］； ⑤sin ［（2n +1）π－3π］（n ∈Z ）． 其中函数值与sin3π的值相同的是（ ） A ．①② B ．①③④ C ．②③⑤ D ．①③⑤4、若cos （π+α）=－510，且α∈（－2π，0），则tan （2π3+α）的值为（ ） A ．－36 B ．36 C ．－26 D ．26 5、设A 、B 、C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（ ）A ．cos （A +B ）=cosC B ．sin （A +B ）=sin CC ．tan （A +B ）=tan CD ．sin2B A +=sin 2C 6、函数f （x ）=cos3πx （x ∈Z ）的值域为（ ） A ．{－1，－21，0，21，1} B ．{－1，－21，21，1}C ．{－1，－23，0，23，1} D ．{－1，－23，23，1}二、填空题。
1.3 三角函数的计算 同步训练(含答案)
三角函数的计算基础题知识点1用计算器求非特殊角的三角函数值1.用计算器计算sin24°的值，以下按键顺序正确的是(A)A.sin24＝B.24sin＝C.2ndF sin24＝D.sin242ndF＝2.计算sin20°－cos20°的值是(精确到0.000 1)(C)A.－0.597 6B.0.597 6C.－0.597 7D.0.597 73.用计算器求sin28°，cos27°，tan26°的值，它们的大小关系是(C)A.tan26°<cos27°<sin28°B.tan26°<sin28°<cos27°C.sin28°<tan26°<cos27°D.cos27°<sin28°<tan26°4.下列式子错误的是(D)A.cos40°＝sin50°B.tan15°•tan75°＝1C.sin225°＋cos225°＝1D.sin60°＝2sin30°5.用科学计算器计算：31＋3tan56°≈10.02(结果精确到0.01).6.用计算器求下列各式的值(结果精确到0.01)：(1)cos63°17′；解：原式≈0.45.(2)tan27.35°；解：原式≈0.52.(3)sin39°57′6″；解：原式≈0.64.(4)sin18°＋cos55°－tan59°.解：原式≈－0.78.知识点2用计算器求非特殊锐角的度数7.已知4cosα＝0.975 4，那么锐角α的度数约为(B)A.15°27′B.75°53′10″C.12°44′6″D.42°17′31″8.在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝5，c ＝13，用计算器求∠A 约等于(D )A.14°38′B.65°22′C.67°23′D.22°37′知识点3 三角函数的实际应用9.小明家在某小区买了一套住房，该小区楼房均为平顶式，南北朝向，楼高统一为16米(五层)，小明在冬至正午测得南楼落在北楼上的影子有3.5米高，且已知两楼相距有20米，请你帮小明求此时太阳光与水平线的夹角度数(结果精确到1°).解：∵tanα＝16－3.520＝0.625， ∴α≈32°.∴此时太阳光与水平线的夹角约为32°.10.(教材P 14练习T 4变式)如图，已知墙高AB 为6.5米，将一长为6米的梯子CD 斜靠在墙面，梯子与地面所成的角∠BCD ＝55°，此时梯子的顶端与墙顶的距离AD 为多少米(结果精确到0.1米)?解：在Rt △BCD 中，∵∠DBC ＝90°，∠BCD ＝55°，CD ＝6米，∴BD ＝CD ·sin ∠BCD ＝6×sin 55°≈6×0.82＝4.92(米).∴AD ＝AB －BD ≈6.5－4.92＝1.58≈1.6(米).答：梯子的顶端与墙顶的距离AD 约为1.6米.中档题11.(2018·淄博)一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米.在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是(A )A.2ndF sin 0·15＝B.sin 0·152ndF ＝C.2ndF cos 0·15＝D.tan 0·152ndF ＝12.要使式子sinα－0.4有意义，则α可以取下列数值中的(D )A.17°B.19°C.21°D.24°13.如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，则点B 到CD 的距离为14.1cm (参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ).14.(教材P 15习题T 4变式)如图，甲、乙两建筑物相距120 m ，甲建筑物高50 m ，乙建筑物高75 m ，求俯角α和仰角β的大小.解：∵AB ＝50，CD ＝75，BD ＝120，∴DE ＝50，CE ＝CD －DE ＝75－50＝25，AE ＝120.∴tanα＝ED AE ＝50120≈0.416 67， tanβ＝CE AE ＝25120≈0.208 33. ∴α≈22.6°，β≈11.8°.答：俯角α约为22.6°，仰角β约为11.8°.15.如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，他乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.26米，他乘电梯会有碰头危险吗？(参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51)解：由题意可知AC ∥BD ，∴∠CAB ＝∠ABD ＝27°.过点C 作CE ⊥AC 交AB 于点E .∵在Rt △ACE 中，tan ∠CAE ＝CE AC， ∴CE ＝AC ·tan ∠CAE ＝4×tan 27°≈4×0.51＝2.04.∵2.04＞1.78，∴小敏乘此电梯不会有碰头危险.∵2.04＜2.26，∴姚明乘此电梯会有碰头危险.综合题16.施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行.如图，现测得斜坡上铅垂的两棵树间的水平距离AB ＝4米，斜面距离BC ＝4.25米，斜坡总长DE ＝85米.(1)求坡角∠D 的度数(结果精确到1°)；(2)若这段斜坡用厚度为17 cm 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶(参考数据：cos 20°≈0.94，sin 20°≈0.34，sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95)?解：(1)∵cosD ＝cos ∠ABC ＝AB BC ＝44.25≈0.94，∴∠D ≈20°. (2)EF ＝DE ·sinD ＝85×sin 20°≈85×0.34＝28.9(米)，∴共需铺台阶28.9×100÷17＝170(级).。
1.3 三角函数的计算 课时练习(含答案解析)
北师大版数学九年级下册1.3三角函数的计算课时练习一、单选题（共15题）1.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC=26°，BC =5．若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是（ ）答案：D解析：解答：由tan ∠B=AC BC ，得 AC=BC•tanB =5×tan 26．故选：D ．分析: 本题考查了计算器，利用了锐角三角函数，计算器的应用，熟练应用计算器是解题关键。
2. 下面四个数中，最大的是（ ）A ．53-B ．sin88°C ．tan46°D ．512- 答案：C解析：解答: A.53-≈2.236-1.732≈0.504； B.sin 88°≈0.999；C.tan 46°≈1.036；D.512- ≈2.23612- ≈0.568． 故tan46°最大，故选：C ．分析: 根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可3. 利用计算器求tan 45°时，依次按键则计算器上显示的结果是（ ）A ．0.5B ．0.707C ．0.866D ．1答案：D解析：解答: 依次按键则计算器上显示的tan45°的值，即1．故选D．分析: 本题要求熟练应用计算器4. 用计算器求sin50°的值，按键顺序是（）答案：B解析：解答: 先按键“sin”，再输入角的度数50°，按键“=”即可得到结果．故选B．分析: 根据用计算器算三角函数的方法：先按键“sin”，再输入角的度数，按键“=”即可得到结果5. 用计算器计算cos44°的结果（精确到0.01）是（）A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.66答案：B解析：解答: 用计算器解cos44°=0.72．故选B．分析: 本题要求熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数6.计算sin20°-cos20°的值是（保留四位有效数字）（）A．-0.5976 B．0.5976 C．-0.5977 D．0.5977答案：C解析：解答: 按MODE，出现：DEG，按sin20-cos20，=后，显示：-0.597 7．故本题选C．分析: 本题要求熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数7.用科学记算器计算锐角α的三角函数值时，不能直接计算出来的三角函数值是（）A．cotα B．tanα C．cosα D．sinα答案：B解析：解答：用科学记算器计算锐角α的三角函数值时，只能计算正弦、余弦、正切的值，要计算余切的值，需先计算正切值，在借助倒数进行计算得出答案，故答案为A．分析: 本题要求熟练应用计算器进行计算8.用科学记算器计算，下面结果不正确的是（）A．175=1419857B．19=4.358898944 C．sin35°=0.573576436D．若tanα=12，则α=25°56′50″答案：D解析：解答: 利用计算器分别计算后，只有D是错误的，α应等于26°33′54″．故选D．分析: 本题要求熟练应用计算器9. Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3：4，运用计算器计算，∠A的度数（精确到1°）（）A．30° B．37° C．38° D．39°答案：B解析：解答: ∵a：b=3：4，∴设a=3x，b=4x，由勾股定理知，c=5x．∴sinA=a：c=3：5=0.6，运用计算器得，∠A=37°．故选B．分析: 根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，然后求出∠A．10. 用科学记算器算得①293=24389；②58≈7.615773106；③sin35°≈0.573576436；④若tan a=5，则锐角a≈0.087488663°．其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④答案：A解析：解答: 前3个利用计算器计算可得是正确，最后一个tan45°=1，tana=5，说明α的度数应大于45°，所以错误，故选A分析:前3个用计算器计算即可；最后一个根据45°的正切值与所给正切值比较即可．. 11. 计算cos80°-sin80°的值大约为（）A．0.8111 B．-0.8111 C．0.8112答案：B解析：解答: 原式=sin10°-sin80°A.锐角的正弦随角的度数的增大而增大，sin10°＜sin80°，sin10°-sin80°＜0，故A错误；B.锐角的正弦随角的度数的增大而增大，sin10°＜sin80°，sin10°-sin80°=-0.8111＜0，故B正确；C.锐角的正弦随角的度数的增大而增大，sin10°＜sin80°，sin10°-sin80°＜0，故C错误；故选：B．分析: 根据一个角的余弦等它余角的正弦，可转化成正弦函数，根据锐角的正弦随角的度数的增大而增大，可得答案12. 已知sinA=0.1782，则锐角A的度数大约为（）A．8° B．9° C．10°答案：C解析：解答: ∵sin A=0.1782，∴∠A≈10°．故选：C．分析: 正确使用计算器计算即可．使用2nd键，然后按sin-10.1782即可求出∠A的度数13. 如果tanα=0.213，那么锐角α的度数大约为（）A．8° B．10° C．12°答案：C解析：解答：∵tanα=0.213，∴∠α≈12°．故选C．分析: 正确使用计算器计算即可．使用2nd键，然后按tan-10.213即可求出∠α的度数14. 已知sinα=12，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（）A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT答案：D解析：解答：“SHIET”表示使用该键上方的对应的功能．故选D．分析: 本题要求熟练应用计算器15.四位学生用计算器求sin62°20′的值正确的是（）A．0.8857 B．0.8856 C．0.8852 D．0.8851答案：A解析：解答：sin62°20′≈0.8857，故选A．分析: 本题要求熟练应用计算器，根据计算器给出的结果进行判断．二、填空题（共5题）1.用计算器求tan35°的值，按键顺序是____________答案：先按tan，再按35，最后按=解析：解答: 用计算器求tan35°的值，按键顺序是先按tan，再按35，最后=，故答案为：先按tan，再按35，最后按=．分析: 根据计算器的使用，可得答案2. 用科学计算器比较大小：287_______tan87答案：＜解析：解答: 287≈2×9.3274=18.6548，tan87°≈19.0811，∵18.6548＜19.0811，∴287＜tan87°．故答案为：＜．分析：用计算器分别计算，然后比较大小即可3.用科学计算器计算：8cos31°+35=_________答案：12.77解析：解答: 8cos31°+35=8×0.857+5.916=6.856+5.916=12.772≈12.77，故答案为12.77．分析: 熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据精确度的概念用四舍五入法取近似数．4. 如果cosA=0.8888，则∠A≈_________（精确到″）答案：27°16′38″解析：解答：如果cosA=0.8888，则∠A≈27°16′38″．故答案为：27°16′38″分析: 首先按2ndF键，再按cos键，再输入0.8888，再按DMS即可得出答案5. 已知tanβ=22.3，则β=_________（精确到1″）答案：87°25′56″解析：解答：∵tanβ=22.3，∴β=87°25′56″．故答案为：87°25′56″分析: 利用计算器首先按2ndf，再按tan22.3，即可得出β的角度．三、解答题（共5题）1.用计算器求下列各式的值：（1）sin47°；（2）sin12°30′；（3）cos25°18′；（4）tan44°59′59″；（5）sin18°+cos55°-tan59°答案：：解答: 根据题意用计算器求出：（1）sin47°=0.7314；（2）sin12°30′=0.2164；（3）cos25°18′=0.9003；（4）tan44°59′59″=1.0000；（5）sin18°+cos55°-tan59=-0.7817解析：分析: 本题要求同学们，熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．2. 已知∠A为锐角，求满足下列条件的∠A度数．（1）sinA=0.9816；（2）tanA=0.1890答案：解答：（1）∵sinA=0.9816，∴∠A≈79°；（2）∵tanA=0.1890，∴∠A≈11°解析：分析：（1）正确使用计算器计算即可．使用2nd键，然后按sin-10.9816即可求出∠A 的度数；（2）方法同（1）．3. 用计算器求下列格式的值（结果精确到0.0001）．（1）tan63°27′；（2）cos18°59′27″；（3）sin67°38′24″．答案：解答：（1）tan63°27′≈2.0013；（2）cos18°59′27″≈0.9456；（3）sin67°38′24″≈0.9248．解析：分析: 熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数4. 求满足下列条件的锐角θ的度数（精确到0.1°）：（1）sinθ=0.1426；（2）cosθ=0.7845．答案：解答：（1）∵sinθ=0.1426，∴∠θ≈8.2°；（2）∵cosθ=0.7845，∴∠θ≈38.3°．解析：分析: （1）直接利用计算器求出即可；（2）直接利用计算器求出即可5. 求满足下列条件的∠A的度数（精确到1″）：（1）cosA=0.8607；（2）tanA=56.78．答案：解答：（1）∵cosA=0.8607，∴∠A≈30.605°=30°36′18″；（2）∵tanA=56.78，∴∠A≈88.991°≈88°59′28″解析：分析: （1）熟练应用计算器，使用2nd键，然后按cos-10.8607，即可求出∠A的度数，对计算器给出的结果，用四舍五入法取近似数．（2）方法同（1）．。
1.3 三角函数的计算(教案)-北师大版数九年级下册
第3节三角函数的计算1.经历用计算器由已知锐角求三角函数值及由三角函数值求相应的锐角的过程,进一步体会三角函数的意义.2.能够运用计算器进行有关三角函数的计算.3.能够运用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题.1.借助计算器,解决含三角函数的实际问题,提高用现代工具解决实际问题的能力.2.发现实际问题中的边角关系,提高学生有条理地思考和表达的能力.1.通过积极参与数学活动,体会解决问题后的快乐.2.感悟计算器的计算功能和三角函数的应用价值.【重点】1.用计算器由已知锐角求三角函数值.2.能够用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题.【难点】用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.科学计算器.2.复习三角函数的计算方法.导入一:同学们小的时候都玩过跷跷板吧?如图所示,跷跷板AB的一端B碰到地面时,AB与地面的夹角为15°,且OA=OB=3m.你能求出此时另一端A离地面的高度吗?【问题】要求A离地面的高度,实际上就是求直角三角形的直角边,所以只要求出sin B的值即可,但是15°不是特殊角怎么办呢?可以使用计算器进行解决.[设计意图]用多媒体演示学生熟悉的现实生活中的问题,进而引出非特殊角的三角函数值,自然地引出本节课的课题.导入二:如图所示,已知一商场自动扶梯的长l为13m,高度h为5m,自动扶梯与地面所成的夹角为θ,你能求出夹角θ的度数吗?【教师活动】要求学生注意观察夹角θ,l,h三者之间的关系,确定夹角θ的三角函数.【学生活动】通过观察发现sinθ==,由于不是特殊角的三角函数值,尝试使用科学计算器求夹角θ的方法.[设计意图]通过对非特殊角的三角函数值的分析,让学生初步感知非特殊角的三角函数的计算方法——使用科学计算器,在引出课题的同时,又引导学生初步掌握了利用三角函数值求角度的方法.[过渡语]日常生活中我们经常会遇到含有角度的运算,并且有些角度并非我们上节课所学的30°,45°,60°角等特殊角,对于非特殊角我们如何求出它们的三角函数值呢?一、用计算器计算非特殊角的三角函数值课件出示:如图所示,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°,那么缆车垂直上升的距离是多少?(结果精确到0.01m)教师引导学生回答:1.缆车垂直上升的距离是线段.2.本题的已知条件是,需要求出的条件是.3.这三个量之间的关系是.学生思考并反馈:1.缆车垂直上升的距离是线段BC.2.已知条件是∠α=16°,AB=200m,需要求出的是线段BC的长.3.这三个量之间的关系为sinα=.根据学生分析,师课件出示解题过程:解:在Rt△ABC中,∠α=16°,AB=200m,根据正弦的定义,得sin16°==,∴BC=AB sin16°=200·sin16°.想一想:200·sin16°中的“sin16°”是多少呢?我们需借助于科学计算器求出这个锐角的三角函数值,怎样用科学计算器求三角函数值呢?用科学计算器求三角函数值时,需要用到sin,cos键和tan键.【教师活动】例如,求sin16°,cos72°38'25″,tan85°的按键顺序如下表所示.(课件演示操作步骤)【学生活动】同学们用自己的计算器按上述按键顺序计算sin16°,cos72°38'25″,tan 85°.看显示的结果是否和表中显示的结果相同.【教师强调】1.不同的计算器按键方式可能不同,所以同学们可以利用自己所使用的计算器探索计算三角函数值的具体步骤,也可以和其他同学互相交流其他计算器计算三角函数值的方法.2.用计算器求三角函数值时,计算结果一般精确到万分位.【做一做】下面就请同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题.生得出:BC=200sin16°≈55.12(m).[设计意图]引导学生利用计算器求三角函数值的具体步骤,并注意在使用计算器求值的过程中出现的问题.[知识拓展]用计算器求三角函数值的按键顺序:第一步:按相应的三角函数键,即按下“sin,cos或tan”键;第二步:按下角度;第三步:按“=”键得到相应的三角函数值.【议一议】在本节一开始的问题中,当缆车继续由点B到达点D时,它又走过了200m,缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°,由此你还能算出什么?【教师活动】留出时间和空间让学生思考问题如何解决,不要代替学生思考,进而培养学生的思维能力.【学生活动】生独立思考后,小组交流,代表发言:思路一缆车从A→B→D上升的垂直高度:在Rt△DBE中,∠β=42°,BD=200m,所以缆车上升的垂直高度DE=BD sin42°=200sin42°≈133.83(m),所以缆车从A→B→D上升的垂直高度为BC+DE≈55.12+133.83=188.95(m).思路二缆车从A→B→D移动的水平距离:在Rt△ABC中,∠α=16°,AB=200m,AC=AB cos16°≈192.25(m).在Rt△DBE中,∠β=42°,BD=200m,BE=BD·cos42°≈148.63(m).所以缆车从A→B→D水平移动的距离为AC+BE≈192.25+148.63=340.88(m).[设计意图]让学生学会从数学角度提出问题、分析问题,并能综合运用所学知识解决问题,发展学生的应用意识,让学生进一步体会在实际问题中用计算器求锐角三角函数值的过程.三、利用计算器根据三角函数值求锐角的度数[过渡语]同学们已经掌握了用计算器计算一个锐角的三角函数值.如果知道了一个角的三角函数值,那么我们如何运用计算器求出这个角度呢?道(如图所示).这条斜道的倾斜角是多少?【教师活动】由已知条件如何求出倾斜角∠A的度数?【学生活动】生思考后,展示:解:如图所示,在Rt△ABC中,BC=10m,AC=40m,∴sin A===.【议一议】我们知道,给定一个锐角的度数,这个锐角的三角函数值都唯一确定.给定一个锐角的三角函数值,这个锐角的大小也唯一确定吗?为什么?【教师总结】我们曾学习过两个直角三角形的判定定理——HL定理.在上图中,斜边AC和直角边BC是定值,根据HL定理可知这样的直角三角形形状和大小是唯一确定的,当然∠A的大小也是唯一确定的.【教师点拨】和第一部分探究活动一样,如果已知三角函数值我们同样可以利用计算器求角度.【师生活动】.已知三角函数值求角度,要用到sin,cos,tan键的第二功能“sin-1,cos-1,tan-1”和2ndf键.例如,已知sin A,cos B,tan C,.学生根据课本和说明书,自己探究计算器的操作方法:给学生充分交流的时间和空间,及时引导学生根据自己使用的计算器,探索具体操作步骤.学生按照教师展示的按键顺序,进行练习.【教师强调】1.显示结果是以“度”为单位的.再按°'″键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.2.,计算结果精确到1″即可.【做一做】你能求出上图中∠A的大小吗?【学生展示】sin A==0.25.按键顺序为:2ndf sin0·25=,sin-10.25=14.47751219,再按°'″键可显示14°28'39.04″,即∠A≈14°28'39″.[设计意图]相信学生完全可以通过自学、互助,求出锐角的度数,可由学生讲解调动其主动性,尤其让那些动手能力强的来做这项工作.然后再总结利用计算器由三角函数值求角度的按键顺序,让学生学会及时总结规律,为进一步的学习与应用做好基础.[知识拓展]用计算器根据三角函数值求角度的按键顺序:第一步:按2ndf键;第二步:,即按下“sin,cos或tan”键;第三步:按已知的三角函数值;第四步:;第五步:按°'″键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.1.运用计算器求锐角的三角函数值及根据三角函数值求角度的方法.2.运用三角函数解决实际问题的方法.1.四位学生用计算器求sin62°20'的值正确的是(小数点后保留四位)()A.0.8857B.0.8856C.0.8852D.0.8851解析:根据科学计算器给出的结果进行判断,sin62°20'≈0.8857.故选A.2.在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中,某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°,此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24m,则旗杆的高度约为()A.24mB.20mC.16mD.12m解析:如图所示,∵AB⊥BC,BC=24m,∠ACB=27°,∴AB=BC·tan27°,把BC=24,tan27°≈0.51代入,得AB≈24×0.51≈12(m).故选D.3.利用计算器求下列各角(精确到1').(1)sin A=0.75,求∠A;(2)cos B=0.8889,求∠B;(3)tan C=45.43,求∠C;解:(1)∵sin A=0.75,∴∠A≈48°35'.(2)∵cos B=0.8889,∴∠B≈27°16'.(3)∵tan C=45.43,∴∠C≈88°44'.4.有人说,数学家就是不用爬树或者把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高,如图所示,她测得BC=10m,∠ACB=50°,请你帮助她算出树高AB约为多少米?(注:①树垂直于地面;②供选用数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.2)解:在Rt△ABC中,BC=10,∠ACB=50°,则AB=BC×tan50°≈12,即树高约为12m.3三角函数的计算1.用计算器求锐角的三角函数值2.用计算器根据三角函数值求锐角的度数一、教材作业【必做题】1.教材第14页随堂练习第1~4题.2.教材第15页习题1.4第1~3题.【选做题】教材第15页习题1.4第4,5,6题.二、课后作业【基础巩固】1.(2015·威海中考)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=26°,BC=5,若用科学计算器求边AC的长,则下列按键顺序正确的是()2.用计算器求sin20°+tan54°33'的结果等于(结果精确到0.01)()A.2.25B.1.55C.1.73D.1.753.(2014·陕西中考)用科学计算器计算:+3tan56°≈.(结果精确到0.01)4.如图所示,为测量旗杆AB的高度,在与B距离为8m的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°,那么旗杆的高度约是m(结果保留整数).(参考数据:sin56°≈0.829,cos56°≈0.559,tan56°≈1.483)【能力提升】5.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC∶AC=3∶4,运用计算器计算,则∠A的度数是(精确到1°)()A.30°B.37°C.38°D.39°6.(2015·南昌中考)如下左图所示的是小志同学书桌上的一个电子相框,将其侧面抽象为如下右图所示的几何图形,已知BC=BD=15cm,∠CBD=40°,则点B到CD的距离为cm.(参考数据:sin 20°≈0.342,cos20°≈0.940,sin40°≈0.643,cos40°≈0.766,结果精确到0.1cm,可用科学计算器)7.用计算器求下列各式的值(结果精确到0.0001):(1)sin47°;(2)cos25°18';(3)tan44°59'59″.8.如图所示,在△ABC中,AB=8,AC=9,∠A=48°.求:(1)AB边上的高;(精确到0.01)(2)∠B的度数.(精确到1')9.如图所示,益阳市梓山湖中有一孤立小岛,湖边有一条笔直的观光小道AB,现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD,小张在小道上测得如下数据:AB=80.0m,∠PAB=38.5°,∠PBA=26.5°.请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道AB上的位置(以A,B为参照点,结果精确到0.1m).(参考数据:sin38.5°≈0.62,cos38.5°≈0.78,tan38.5°≈0.80,sin26.5°≈0.45,cos26.5°≈0.89,tan26.5°≈0.50)【答案与解析】1.D(解析:由tan B=,得AC=BC·tan B=5×tan26°.故选D.)2.D(解析:sin20°+tan54°33'≈0.3420+1.4045=1.7465≈1.75.故选D.)3.10.02(解析:≈5.5678,tan56°≈1.4826,则+3tan56°≈5.5678+3×1.4826≈10.02.故填10.02.)4.12(解析:由题意知BC=8,∠C=56°,故AB=BC·tan56°≈8×1.483≈12(m).故填12.)5.B(解析:∵BC∶AC=3∶4,∴设BC=3x,则AC=4x,由勾股定理得AB=5x,∴sin A===0.6,运用科学计算器得∠A≈37°.故选B.)6.14.1(解析:如图所示,作BE⊥CD于E,∵BC=BD,∠CBD=40°,∴∠CBE=20°.在Rt△CBE中,cos∠CBE=,∴BE=BC·cos∠CBE≈15×0.940=14.1(cm).故填14.1.)7.解:(1)sin47°≈0.7314.(2)cos25°18'≈0.9041.(3)tan44°59'59″≈1.0000.8.解:(1)如图所示,过C作AB边上的垂线CH,垂足为H,∵在Rt△ACH中,sin A=,∴CH=AC·sin A=9sin 48°≈6.69.(2)∵在Rt△ACH中,cos A=,∴AH=AC·cos A=9cos48°,∴在Rt△BCH中,tan B===≈3.382,∴∠B≈73°32'.9.解:设PD=x,∵PD⊥AB,∴∠ADP=∠BDP=90°,在Rt△PAD中,tan∠PAD=,∴AD=≈=x,在Rt△PBD中,tan ∠PBD=,∴DB=≈=2x.又∵AB=80.0,∴x+2x=80.0,解得x≈24.6,即PD≈24.6m,∴DB≈2x=49.2(m).答:小桥PD的长度约为24.6m,小桥位于AB上距B点约49.2m处.本节是学习用计算器求三角函数值并加以实际应用的内容,通过本节的学习,使学生充分认识了三角函数知识在现实世界中有着广泛的应用.虽然本节课的知识点不是很多,但是学生通过积极参与课堂活动,提高了分析问题和解决问题的能力,并且在意志力、自信心和理性思维等方面得到了良好的发展.教学时把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位,通过运用各种启发、激励的语言,以及组织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度.对于新知的应用,由于学生缺乏经验和思考能力,容易产生困惑,所以教师要恰当地利用好信息技术,既有利于及时点拨和调控,又有利于学生的“直接体验”,增加学生空间想象能力以及解题能力,有利于学生突破难点、提高学习效率,更有助于减轻学生的压力,进而改善教学的效果.由于学生使用的科学计算器型号不统一,所以按键的顺序不一样,这样就给教学工作带来了麻烦,要分别给学生说明,耽误了一些时间,造成后面的教学环节处理得稍显紧张.第一,力争使用型号统一的科学计算器;第二,对于计算器的使用,再多给学生一些练习的时间,使学生对计算器的操作达到熟练的程度.随堂练习(教材第14页)1.(1)0.8290(2)0.9367(3)1.0000(4)4.75442.∠θ≈56°1″3.山高约242.8m.4.约为51°19'4″习题1.4(教材第15页)1.(1)0.6249(2)0.9097(3)0.8844(4)0.82912.(1)1.5087(2)-0.24323.(1)71°30'2″(2)23°18'35″(3)38°16'46″(4)41°53'54″4.解:如图所示,在Rt△ADB中,BD=AD tan45°=60×1=60(m).在Rt△ADC中,DC=AD tan37°≈60×0.7536≈45.22(m),∴BC=BD+DC≈105.2(m).答:大厦的高度约为105.2m.5.约2°51'58″6.甲、乙两地间的坡角为5°8'34″.本节课学生学习的重点是熟练掌握利用计算器求三角函数值和根据三角函数值求角度的操作步骤,在学习的过程中,一定要通过对计算器的实际操作,体会其操作步骤,并进行及时总结,力求做到熟练运用;在利用非特殊角的三角函数值解决实际问题时,要掌握分析问题的基本步骤和选用合适的三角函数求未知量的方法,锻炼综合分析问题的能力.(2014·荆门中考)钓鱼岛自古以来就是中国的领土.如图所示,我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航,某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B 处,这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务,并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B 处北偏西44°方向.若甲、乙两船分别沿AC,BC方向航行,其平均速度分别是20n mile/h,18n mile/h,试估算哪艘船先赶到C处.(参考数据:cos59°≈0.52,cos44°≈0.72)〔解析〕过点C作CD⊥AB于点D,如图所示,由题意得∠ACD=59°,∠DCB=44°,设CD的长为a n mile,分别在Rt△ACD中和Rt△BCD中,用a表示出AC和BC,然后除以速度即可求得时间,比较即可确定答案.解:如图所示,过点C作CD⊥AB于点D,由题意得∠ACD=59°,∠DCB=44°.设CD的长为a n mile,∵在Rt△ACD中,cos∠ACD=,∴AC=≈≈1.92a.∵在Rt△BCD中,cos∠BCD=,∴BC=≈≈1.39a.∵其平均速度分别是20n mile/h,18n mile/h,∴1.92a÷20=0.096a,1.39a÷18≈0.077a.∵a>0,∴0.096a>0.077a,∴乙船先到达C处.。
三角函数计算练习题及答案详解
三角函数计算练习题及答案详解1．同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α=1sinα=tanα cosαtanαcotα=12．诱导公式sin＝___________ sin＝ ___________cos＝___________ cos＝___________tan＝___________ tan＝___________sin＝___________ sin＝___________cos＝___________ cos＝___________tan＝___________ tan＝___________ππ sin＝____________sin＝____________2ππcos＝____________ +α)＝_____________2ππtan＝____________ +α)＝_____________2 3π3πsin＝____________ sin＝____________2 3π3πcos＝____________ +α)＝____________2 3π3πtan＝____________ +α)＝____________ 2 sin＝－sinα cos=cosα tan=－tanα公式的配套练习5π sin＝___________cos＝___________9πcos＝__________ sin＝____________3．两角和与差的三角函数cos=cosαcosβ－sinαsinβcos=cosαcosβ＋sinαsinβsin =sinαcosβ＋cosαsinβsin =sinαcosβ－cosαsinβtan= tanα+tanβ 1－tanαtanβtanα－tanβ 1＋tanαtanβtan=4．二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α－sin2α＝cos2α－1＝1－sin2α2tanαtan2α= 1－tanα5．公式的变形升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α降幂公式：cos2α＝1＋cos2α1－cos2α sin2α＝2正切公式变形：tanα+tanβ＝tantanα－tanβ＝tan 万能公式2tanα1－tan2α2tanαsin2α＝ tan2α＝ cos2α＝1+tanα1+tanα1－tanα6．插入辅助角公式basinx＋a+b sin a特殊地：sinx±cosx＝sin7．熟悉形式的变形1±sinx±cosx1±sinx 1±cosx tanx＋cotx 1－tanα1＋tanα1＋tanα1－tanα若A、B是锐角，A+B＝2π，则=2nsinn+1αcosαcos2αcos2α?cosα=2sinα8．在三角形中的结论若：A＋B＋C=π A+B+Cπ=2tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCABBCCAtantan ＋tan tan ＋ tan＝122222三角函数计算练习1.已知x∈，cosx=，则tan2x= B． C． D．2.cos240°=A． B． C． D．3.已知cosα=k，k∈R，α∈，则sin= C．± D．﹣k4.已知角α的终边经过点，则cosα=5.cos480°的值为6.已知7.已知sin=，则cos2α等于）为其终边上一点，且cosα=x，则x=.已知α是第二象限角，P=）=．．）=，则cos，且sin，则tan2x===﹣．故选D点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sinx和tanx时注意利用x 的范围判定其符合．2.B考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．解答：解：cos240°=cos=﹣cos60°=﹣，故选：B．点评：本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在化简求值中的应用，属于基本知识的考查．3.A考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解．解答：解：∵cosα=k，k∈R，α∈，∴sinα==，．∴sin=﹣sinα=﹣故选：A．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．4.D考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点，∴x=﹣4，y=3，r=∴cosα==故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．5.D考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：运用诱导公式即可化简求值．解答：解：cos480°=cos=cos120°=﹣cos60°=﹣．故选：D．点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，属于基础题．6.C考点：诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．解答：解：sin=sin=sin=cosα=． =﹣， =5．考点：二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由sin=及诱导公式可得cosα=，由二倍角的余弦公式可得cos2α的+α）=， =﹣，借助于角的终边上的点，解关于x的方程，便可求得所求的横坐标．解答：解：∵cosα===x，或x=﹣．∴x=0或x=故选：D．点评：本题巧妙运用三角函数的定义，联立方程求出未知量，不失为一种好方法．.考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式化简所求后代入已知即可求值．解答：解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sinα=1﹣2×=．故答案为：．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查． 10.考点：二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦函数公式根据已知即可求值．解答：解：cos=2cos﹣1=2×﹣1=．点评：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．11.﹣考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：依题意，可得sinθ﹣cosθ=①，sinθ+cosθ=②，联立①②得：sinθ=，cosθ=，于是可得cos2θ、sin2θ的值，从而可得答案．解答：解：∵sin==，，2sinθcosθ=），，＞0，又=1+sin2θ=∴sinθ+cosθ=，②联立①②得：sinθ=，cosθ=，∴cos2θ=2cosθ﹣1=﹣2，三角函数公式练习题1．1．sin29??A．11．?C． D22C试题分析：由题可知，sin考点：任意角的三角函数．已知sin?sin??；662?4)?772，cos2??，sin??25104343B．? C．?D．555D 试题分析由?7sin??sin??cos??45①，77?cos2??sin2?? 52571所以?cos??sin???cos??sin???②，由①②可得cos??sin??? ③，2553由①③得，sin?? ，故选D5cos2??考点：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式点评：解决本题的关键是熟练掌握两角和与差的三角函数，二倍角公式．cos690?A．1133B．?C． D．?222C试题分析：由cos690?cos2?360?30?cos??30??cos30?，故选C考点：本题考查三角函数的诱导公式点评：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值．tan16?的值为A.?B. C. D.?3C试题分析tanπ=tan=﹣tan=．考点：三角函数的求值，诱导公式．点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值．．若??????1?cos? ???0???，cos?，cos?4243222A．33536B．? C． D．?399C．试题分析：因为????1??3?，且???0???，cos?，所以????2243444?22???；又因为cos?，且????0，所以??)?43422??????6??????，所以．又因为?????，且sin?24424234422cos?cos[?]?coscos?sinsin1322653．故应选C． ?????33339考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角差的余弦公式．．若角?的终边在第二象限且经过点P?，那么sin2x＝518247?? 252525258．已知cos?1??52524考点：二倍角公式，三角函数恒等变形5?1??)?,那么cos?? 52112A．?B．?C．D．55559．已知sin?=sin?cosa,所以选C．52考点：三角函数诱导公式的应用1，则cos2a的值为231177A． B．? C． D．?339910．已知sin?D试题分析：由已知得cos??1272,从而cos2??2cos??1??1??,故选D.99考点：诱导公式及余弦倍角公式.11．已知点P在第三象限，则角?在 A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限B试题分析：由已知得，?考点：三角函数的符号.?tan??0,，故角?在第二象限．cos??0?5，则sin?? 121155A． B．? C． D．?55131312．已知?是第四象限角，tan???D22试题分析：利用切化弦以及sin??cos??1求解即可． tan??sin?5??cos?12，?sin2??cos2??1，?sin2??525sin??0,sin???，13,169又?是第四象限角，2?故选：D.考点：任意角的三角函数的定义 y?sin?xT?213．化简cos?sin2得到A．sin2?B．?sin2?C．cos2?D．?cos2? A 试题分析：cos2?sin2?cos2?sin2?cos2?cos?sin2?考点：三角函数的诱导公式和倍角公式. 14．已知cos?? 3???,0????，则tan?????4??A.11B.C.?1D.?57D3?44?0可知0???，因此sin??，tan??，25354??1tan??tan?由和角公式可知tan????7，故答案为D。
1.3 有关三角函数的计算
A D
4m 400
┌ C
BC tan 35 , AC
0
1 1 AD AC DC BC 0 0 tan35 tan40 1 1 0 BD sin 40 m. 0 0 0.61 tan35 tan40
答:楼梯多占约0.61m一段地面.
2 2 3 2
2. 当锐角A>30°时，cosA的值（
(A)小于 (C) 小于
1 2
）
(B)大于 (D)大于
3 2
1 2 3 2
☆ 应用练习
1 3. 当∠A为锐角，且cosA= 5
1. 确定角的范围
,那么（
D
）
(A)0°＜∠A≤ 30 ° (B) 30°＜∠A≤45°
(C)45°＜∠A≤ 60 ° (D) 60°＜∠A≤ 90 °
BD 解：tan56o= 20
CD=BD-BC
BC tan50o= 20
BD=20tan56o ，BC=20tan50o
=20tan560-20tan500
≈5.82m
2、如图10热气球的探测器显示，从热 气球看一栋高楼顶部的仰角为30°， 看这栋高楼底部的俯角为60°，热气 球与高楼的水平距离为120m，这栋 160 3 高楼的高为_____ 米.
BC 10 1 在Rt△ABC中，sinA＝ AC 40 4
按键顺序为 ， 显示结果为： 键
sin-10.25=14.47751219°， 再按
可显示14°28′39″。 所以∠A=14°28′39″。 （在用计算器求角度时如果无特别说明，结果精确到1″即可。）
试一试
1、如图,根据图中已知数据,求△ABC的BC边上的高.
1.3三角函数的计算
1.3三角函数的计算一．选择题（共10小题）1．下列说法正确的是（）A．求sin30°的按键顺序是、30、=B．求23的按键顺序、2、、3、=C．求的按键顺序是、、8、=D．已知sinA=0.5018，用计算器求锐角A的大小，按键顺序是、、0.5018、=2．用计算器求sin24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是（）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，且3a=4b，则∠A的度数为（）A．53.48°B．53.13°C．53.13′D．53.48′4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5．若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是（）A．5÷tan26°= B．5÷sin26°= C．5×cos26°= D．5×tan26°=5．下面四个数中，最大的是（）A．B．sin88°C．tan46°D．6．利用计算器求sin30°时，依次按键，则计算器上显示的结果是（）A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．17．用计算器计算cos44°的结果（精确到0.01）是（）A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.668．计算sin20°﹣cos20°的值是（保留四位有效数字）（）A．﹣0.5976 B．0.5976 C．﹣0.5977 D．0.59779．Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3：4，运用计算器计算，∠A的度数（精确到1°）（）A．30°B．37°C．38°D．39°10．如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是（）A．B．C． D．二．填空题（共10小题）11．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．一个多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是．B．运用科学计算器计算：3sin73°52′≈．（结果精确到0.1）12．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．A．如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为；B．用科学计算器计算：．（精确到0.1）13．用计算器求tan35°的值，按键顺序是．14．利用计算器求sin20°tan35°的值时，按键顺序是．15．用科学计算器比较大小：4sin44°．16．用科学计算器比较大小：tan87°．17．用科学计算器计算：﹣tan65°≈（精确到0.01）18．用科学计算器计算：×tan26°=．（结果精确到0.01）19．用科学计算器计算：2﹣1﹣sin69°≈（精确到0.01）20．用科学计算器计算：sin87°≈（精确到0.01）三．解答题（共20小题）21．已知∠A为锐角，求满足下列条件的∠A度数．（1）sinA=0.9816；（2）tanA=0.1890．22．已知三角函数值，求锐角（精确到1″）．（1）已知sinα=0.5018，求锐角α；（2）已知tanθ=5，求锐角θ．23．已知：如图，在△ABC中，AB=8，AC=9，∠A=48°．求：（1）AB边上的高（精确到0.01）；（2）∠B的度数（精确到1′）．24．用计算器求下列各式的值：（1）sin47°；（2）sin12°30′；（3）cos25°18′；（4）tan44°59′59″；（5）sin18°+cos55°﹣tan59°．25．计算：﹣2sin45°﹣32．温馨提示：你只需选择下列一种方式来解答本题．如果两种方式都做，我们将根据做得较好的一种来评分，但你有可能会浪费一部分时间！方式一：（用计算器计算）计算的结果是．按键顺序为：方式二：（不用计算器计算）26．用计算器求下列各式的值：（1）cos63°17′；（2）tan27.35°；（3）sin39°57′6″．27．求满足下列条件的锐角θ的度数（精确到0.1°）：（1）sinθ=0.1426；（2）cosθ=0.7845．28．已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角A，B的度数．（1）sinA=0.7，sinB=0.01；（2）cosA=0.15，cosB=0.8；（3）tanA=2.4，tanB=0.5．29．（1）验证下列两组数值的关系：2sin30°•cos30°与sin60°；2sin22.5°•cos22.5°与sin45°．（2）用一句话概括上面的关系．（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．30．已知∠A为锐角，求满足下列条件的∠A的度数（精确到1″）．（1）sinA=0.9816；（2）cosA=0.8607；（3）tanA=0.1890；（4）tanA=56.78．31．求满足下列条件的∠A的度数（精确到1″）：（1）cosA=0.8607；（2）tanA=56.78．32．用计算器求下列格式的值（结果精确到0.0001）．（1）tan63°27′；（2）cos18°59′27″；（3）sin67°38′24″．33．（1）通过计算（可用计算器），比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：①sin30°2sin15°cos15°；②sin36°2sin18°cos18°；③sin45°2sin22.5°cos22.5°；④sin60°2sin30°cos30°；⑤sin80°2sin40°cos40°．猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α2sinαcosα．（2）如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=2α，请根据提示，利用面积方法验证结论．34．已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：（1）sinA=0.7325，sinB=0.0547；（2）cosA=0.6054，cosB=0.1659；（3）tanA=4.8425，tanB=0.8816．35．已知下列各锐角的三角函数值，求这些锐角的大小（精确到1″）（1）sinα=0.5018．（2）cosA=0.6531．（3）tanβ=0.3750．36．用计算器计算：sin12°30′+cos82°17′5″+tan17°48′．（结果保留四个有效数字）37．计算（结果保留小数点后四位）（1）sin23°5′+cos66°45′（2）sin27.8°﹣tan15°8′．38．用计算器求下列各式中的锐角α（精确到1″）：（1）sinα=0.9171．（2）cosα=0.5503．（3）tanα=72.43．39．使用计算器求锐角A（精确到1′）．（1）已知sinA=0.9919；（2）已知cosA=0.6700；（3）已知tanA=0.8012．40．使用计算器求下列三角函数值（精确到0.0001）：（1）sin71°24′（2）cos54°21′18″（3）tan21°17′23″．。
1.3三角函数的诱导公式(二)知识点归纳与练习(含详细答案)
第一章 三角函数§1.3 三角函数的诱导公式(二) 课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．1．诱导公式五～六(1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________；cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________. 以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________；cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________. 2．诱导公式五～六的记忆π2－α，π2＋α的三角函数值，等于α的____________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．知识点归纳总结：1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．诱导公式统一成“k ·π2±α(k ∈Z )”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．一、选择题1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.322．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫72π－α等于( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－323．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13 B.13 C.－223 D.2234．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m 25．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ等于( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3 6．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( ) A.13 B.23 C ．－13 D ．－23二、填空题7．若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝________. 8．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是______．9．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________.10．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.三、解答题11．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.12．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值．能力提升13．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )．14．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式 ⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立． 若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．§1.3 三角函数的诱导公式(二)答案知识梳理1．(1)cos α sin α (2)cos α －sin α2．异名 符号作业设计1．A [f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.] 2．A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12. ∴cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α＝－12.] 3．A [cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13.] 4．C [∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m 2.cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .] 5．C [由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32， 又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3.] 6．D [sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－23.] 7．－13解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. 8．1解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A )＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1. 9.892解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892. 10．2解析 原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2. 11．证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．12．解 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α. ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169. ① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169， ②－①得(sin α－cos α)2＝49169， 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713， ③ sin α－cos α＝713， ④ ③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513. 13．解 原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.14．解 由条件，得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋sin 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知符合． 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。
【课时练习】1.3三角函数的诱导公式
§1.3 三角函数的诱导公式一.选择题1.已知sin(π+α)=45,且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是 （ ）(A)－53 (B)53 (C)±53 (D)542.若cos100°= k ,则tan ( -80°)的值为 （ ）(A)(D)3.在△ABC，则△ABC 必是 （ ） (A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形4.已知角α终边上有一点P (3a ,4a )（a ≠0），则sin(450°-α)的值是 （ ）(A)－45 (B)－35 (C)±35 (D)±455.设A ，B ，C 是三角形的三个内角，下列关系恒等成立的是 （ ）(A)cos(A +B )=cos C (B)sin(A +B )=sin C (C)tan(A +B )=tan C (D)sin 2A B+=sin 2C*6.下列三角函数：①sin(n π+43π) ②cos(2n π+6π) ③sin(2n π+3π) ④cos[(2n +1)π-6π]⑤sin[(2n +1)π-3π](n ∈Z)其中函数值与sin3π的值相同的是 （ ） (A)①②(B)①③④ (C)②③⑤(D)①③⑤二.填空题 7.tan(150)cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)-︒⋅-︒⋅-︒-︒⋅-︒= .8.sin 2(3π－x )+sin 2(6π+x )= . 9.= .*10.已知f (x )=a sin(πx +α)+b cos(πx +β)，其中α、β、a 、b 均为非零常数，下列命题：f (2006) =1516-，则f (2007) = . 三.解答题11.化简23tan()sin ()cos(2)2cos ()tan(2)ππααπααπαπ-⋅+⋅---⋅-. 12. 设f (θ)=3222cos sin (2)cos()322cos ()cos(2)θπθθπθπθ+-+--+++- , 求f (3π)的值.13.已知cos α=13,cos(α+β)=1求cos(2α+β)的值.*14.是否存在角α、β，α∈(-2π,2π)，β∈(0,π)，使等式sin(3π-α2π-β),απ+β)同时成立？若存在，求出α、β的值;若不存在，请说明理由.2.已知sin αcos α=81,且4π<α<2π，则cos α－sin α的值为 （ ）(A)23(B)43(C) (D)±233.设是第二象限角,则sin cos αα ( ) (A) 1 (B)tan 2α (C) - tan 2α (D) 1-4.若tan θ=31,π<θ<32π,则sin θ²cos θ的值为 （ ）(A)±310(B)310 (D)5.已知sin cos 2sin 3cos αααα-+=51,则tan α的值是 （ ）(A)±83 (B)83 (C)83- (D)无法确定*6.若α是三角形的一个内角，且sin α+cos α=32,则三角形为 （ ） (A)钝角三角形(B)锐角三角形 (C)直角三角形(D)等腰三角形二.填空题7.已知sin θ－cos θ=12,则sin 3θ－cos 3θ= ;8.已知tan α=2,则2sin 2α－3sin αcos α－2cos 2α= ;*10.已知cos (α+4π)=13,0<α<2π,则sin(α+4π)= .三.解答题 11.若sin x = 35m m -+,cos x =425mm -+,x ∈(2π,π),求tan x12.化简：22sin sin cos sin cos tan 1+---x x xx x x .13.求证：tan 2θ－sin 2θ=tan 2θ²sin 2θ.*14.已知:sin α=m(|m |≤1),求cos α和tan α的值.§1.3 三角函数的诱导公式答案一、BBCCBC 二、7.23; 8.1 ; 9.1 ; 10. 1516三、11. 112. f (θ)=3222cos 1cos cos 322cos cos θθθθθ+-+-++ = 22(cos 1)(2cos cos 2)2cos cos 2θθθθθ-++++=cos θ-1∴f (3π)=cos 3π-1=-1213.∵cos(α+β)=1, ∴α+β=2k π, k ∈Z. ∴cos(2α+β)= cos(α+α+β)= cos(π+α)=- cos α= -13.14. 由已知条件得：sin α=β①, cos αβ②，两式推出sin α=，因为α∈(-2π,2π)，所以α=4π或-4π；回代②，注意到β∈(0,π)，均解出β=6π，于是存在α=4π，β=6π或α=-4π，β=6π，使两等式同时成立。
1.3三角函数的诱导公式(4课时)
1⋅3三角函数的诱导公式学习目标1、掌握三角函数的“化角”规律，会把任意角三角函数化为锐角三角函数；2、熟练应用公式进行三角函数式的化简或证明。
学习重、难点三角函数的“化角”规律；把任意角三角函数化为锐角三角函数；三角函数式的化简或证明。
一、知识链接1、判定三角函数的符号2、判断下列角的终边0° ；2π；π ；2π-；270° ；360° ；2k π⋅ ()k Z ∈ 。
3、根据三角函数定义求下列角的三角函数值，并把它们的值与60°角的值进行比较。
二、新课导学学习探究1、学习课本P23-25，根据三角函数定义理解公式（三）问题1：把下列负角三角函数化为正角三角函数：16sin()3π-= ； cos(-2040°）= ；tan()5π-= ；cot(-70°6′）= ；sec(-420°）= ；7csc()5π-= 。
新知 1、 负角三角函数一般化为正角三角函数——任意负角α-一律看作第四象限角，再确定化为正角的三角函数的符号。
即：问题2：观察、归纳1）将120°、150°、210°、240°、290°、330°转化为锐角时，写成了“k ⋅90°β±”形式；其中各角使用的“k ⋅90°”有什么不同？它们的不同对化为锐角三角函数有什么影响？2）120°、150°、210°、240°、290°、330°的各个三角函数值的符号．．与所化成的锐角三角函数的符号．．有什么联系？角α化为：2k παβ⋅=±（β为锐角）后： ○1若角2k π⋅终边在 x 轴（即k ．为偶数．．．），则函数名．．． ； 若角2k π⋅终边在 y 轴 （即k ．为．奇数．．），则函数名．．． ；（ 奇变偶不变．．．．．；或：y ．变．x ．不变．．） ○2锐角β的三角函数的符号．．，由 决定。
课时作业20：§1.3 三角函数的诱导公式(二)
§1.3 三角函数的诱导公式(二)层级一 学业水平达标1．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ<0，且cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角2．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)的值是( )A ．15B ．－15C ．－265D ．2653．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( ) A ．－33B ．33C ．－ 3D ．34．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos(π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin(π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0D ．235．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C 2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A26．sin 95°＋cos 175°的值为________．7．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ－sin 2θ＝________. 8．化简：sin(－α－7π)·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝________. 9．已知sin(π＋α)＝－13.求：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α.10．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13，求值：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos π＋α＋sin(π－α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αsin π＋α.层级二 应试能力达标1．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为( ) A ．－23mB ．－32mC ．23mD ．32m2．已知f (x )＝sin x ，下列式子成立的是( ) A ．f (x ＋π)＝sin x B ．f (2π－x )＝sin x C ．f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x D ．f (π－x )＝－f (x )3．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A ．355B ．377C ．31010D ．134．已知cos(60°＋α)＝13，且－180°<α<－90°，则cos(30°－α)的值为( )A ．－223B ．223C ．－23D ．235．tan(45°＋θ)·tan(45°－θ)＝________.6．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________． 7．已知f (α)＝sin(α－3π)cos(2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos(－π－α)sin(－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．参考答案层级一 学业水平达标1．【答案】B【解析】由于sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B. 2．【答案】B【解析】cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－15.3．【答案】C【解析】由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32.又|φ|<π2，∴φ＝－π3， ∴tan φ＝－ 3. 4．【答案】B【解析】sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos(π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin(π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.5．【答案】D【解析】∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 错． ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cos A ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＝sin B2，故C 错． ∵B ＋C ＝π－A ，∴sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2，故D 正确． 6．【答案】0【解析】sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°) ＝cos 5°－cos 5°＝0. 7．【答案】－725【解析】sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ＝35，从而sin 2θ＝1－cos 2θ＝1625，所以cos 2θ－sin 2θ＝－725. 8．【答案】－sin 2α【解析】原式＝－sin(7π＋α)·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·(－sin α) ＝－sin 2α.9．解：∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α＝－13. (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－223. 10．解：原式＝cos αsin α－cos α＋sin αsin α－sin α＝－sin α－sin α＝－2sin α. 又cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13，所以－sin α＝13. 所以原式＝－2sin α＝23.层级二 应试能力达标1．【答案】B【解析】∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ，从而sin α＝m 2，∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m . 2．【答案】C【解析】f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ； f (2π－x )＝sin(2π－x )＝sin(－x )＝－sin x ； f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ； f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )，故选C. 3．【答案】C【解析】由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.∴tan α＝3，又tan α＝sin αcos α，∴9＝sin 2αcos 2α＝sin 2α1－sin 2α，∴sin 2α＝910，∵α为锐角，∴sin α＝31010，选C. 4．【答案】A【解析】由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°，又cos(60°＋α)＝13>0，所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°，所以120°<30°－α<180°，cos(30°－α)<0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－1－cos 2(60°＋α)＝－ 1－⎝⎛⎭⎫132＝－223. 5．【答案】1【解析】原式＝sin(45°＋θ)cos(45°＋θ)·s sin(45°－θ)cos(45°－θ)＝sin(45°＋θ)cos(45°＋θ)·sin[90°－(45°＋θ)]cos[90°－(45°＋θ)] ＝sin(45°＋θ)cos(45°＋θ)cos(45°＋θ)sin(45°＋θ)＝1. 6．【答案】912【解析】∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44， x ∈N)，∴原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎫222＝912. 7．解：(1)f (α)＝sin(α－3π)cos(2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos(－π－α)sin(－π－α)＝(－sin α)·cos α·(－cos α)(－cos α)·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α， 所以sin α＝－15.又α是第三象限的角， 所以cos α＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－152＝－265. 所以f (α)＝265.。
1.3三角函数的计算(教案)2023-2024学年九年级下册数学北师大版(安徽)
举例：已知直角三角形的一个角和一条边，求其他角的三角函数值。
（3）实际问题中的应用：高度、两物体之间的距离等。
2.教学难点
（1）三角函数定义的理解：学生对三角函数定义的理解可能不够深入，难以把握其实质。
举例：如何让学生理解正弦、余弦、正切函数的定义，并将其应用于实际问题。
（2）三角函数的计算方法：学生在运用三角函数进行计算时，可能会出现方法不熟练、容易混淆等问题。
举例：如何指导学生熟练运用特殊角的三角函数值进行计算，以及如何运用三角函数间的基本关系简化计算过程。
（3）实际问题中的应用：学生在解决实际问题时，可能难以将三角函数知识与实际问题有效结合。
举例：如何引导学生运用三角函数知识解决建筑物高度、两物体间距离等问题。
（4）数据处理与分析：学生在处理三角函数值的数据时，可能缺乏有效的数据处理与分析方法。
举例：如何指导学生对三角函数值进行数据处理和分析，以提高数据分析素养。
在教学过程中，针对重点和难点内容，教师应有针对性地进行讲解和强调，通过实例分析、互动讨论等多种教学方法，帮助学生理解和掌握三角函数的计算方法，提高其解决实际问题的能力。同时，关注学生的个体差异，给予不同层次的学生适当的指导，确保他们在本节课中能够理解透彻三角函数的核心知识。
3.优化小组讨论环节，激发学生的讨论兴趣，提高课堂参与度；
4.加强学生动手能力训练，提高实验操作的熟练度。
在实践活动方面，学生们对于运用三角函数解决实际问题的兴趣较为浓厚。但在实验操作过程中，部分学生动手能力较弱，导致实验结果不够理想。针对这一问题，我将在后续教学中加强学生的动手能力训练，提高他们实验操作的熟练度。
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北师大版数学九年级下册1.3三角函数的计算课时练习一、单选题（共15题）1.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC=26°，BC =5．若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是（ ）答案：D解析：解答：由tan ∠B=AC BC ，得 AC=BC•tanB =5×tan 26．故选：D ．分析: 本题考查了计算器，利用了锐角三角函数，计算器的应用，熟练应用计算器是解题关键。
2. 下面四个数中，最大的是（ ）A ．53-B ．sin88°C ．tan46°D ．512- 答案：C解析：解答: A.53-≈2.236-1.732≈0.504； B.sin 88°≈0.999；C.tan 46°≈1.036；D.512- ≈2.23612- ≈0.568． 故tan46°最大，故选：C ．分析: 根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可3. 利用计算器求tan 45°时，依次按键则计算器上显示的结果是（ ）A ．0.5B ．0.707C ．0.866D ．1答案：D解析：解答: 依次按键则计算器上显示的tan45°的值，即1．故选D．分析: 本题要求熟练应用计算器4. 用计算器求sin50°的值，按键顺序是（）答案：B解析：解答: 先按键“sin”，再输入角的度数50°，按键“=”即可得到结果．故选B．分析: 根据用计算器算三角函数的方法：先按键“sin”，再输入角的度数，按键“=”即可得到结果5. 用计算器计算cos44°的结果（精确到0.01）是（）A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.66答案：B解析：解答: 用计算器解cos44°=0.72．故选B．分析: 本题要求熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数6.计算sin20°-cos20°的值是（保留四位有效数字）（）A．-0.5976 B．0.5976 C．-0.5977 D．0.5977答案：C解析：解答: 按MODE，出现：DEG，按sin20-cos20，=后，显示：-0.597 7．故本题选C．分析: 本题要求熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数7.用科学记算器计算锐角α的三角函数值时，不能直接计算出来的三角函数值是（）A．cotα B．tanα C．cosα D．sinα答案：B解析：解答：用科学记算器计算锐角α的三角函数值时，只能计算正弦、余弦、正切的值，要计算余切的值，需先计算正切值，在借助倒数进行计算得出答案，故答案为A．分析: 本题要求熟练应用计算器进行计算8.用科学记算器计算，下面结果不正确的是（）A．175=1419857B．19=4.358898944 C．sin35°=0.573576436D．若tanα=12，则α=25°56′50″答案：D解析：解答: 利用计算器分别计算后，只有D是错误的，α应等于26°33′54″．故选D．分析: 本题要求熟练应用计算器9. Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3：4，运用计算器计算，∠A的度数（精确到1°）（）A．30° B．37° C．38° D．39°答案：B解析：解答: ∵a：b=3：4，∴设a=3x，b=4x，由勾股定理知，c=5x．∴sinA=a：c=3：5=0.6，运用计算器得，∠A=37°．故选B．分析: 根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，然后求出∠A．10. 用科学记算器算得①293=24389；②58≈7.615773106；③sin35°≈0.573576436；④若tan a=5，则锐角a≈0.087488663°．其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④答案：A解析：解答: 前3个利用计算器计算可得是正确，最后一个tan45°=1，tana=5，说明α的度数应大于45°，所以错误，故选A分析:前3个用计算器计算即可；最后一个根据45°的正切值与所给正切值比较即可．. 11. 计算cos80°-sin80°的值大约为（）A．0.8111 B．-0.8111 C．0.8112答案：B解析：解答: 原式=sin10°-sin80°A.锐角的正弦随角的度数的增大而增大，sin10°＜sin80°，sin10°-sin80°＜0，故A错误；B.锐角的正弦随角的度数的增大而增大，sin10°＜sin80°，sin10°-sin80°=-0.8111＜0，故B正确；C.锐角的正弦随角的度数的增大而增大，sin10°＜sin80°，sin10°-sin80°＜0，故C错误；故选：B．分析: 根据一个角的余弦等它余角的正弦，可转化成正弦函数，根据锐角的正弦随角的度数的增大而增大，可得答案12. 已知sinA=0.1782，则锐角A的度数大约为（）A．8° B．9° C．10°答案：C解析：解答: ∵sin A=0.1782，∴∠A≈10°．故选：C．分析: 正确使用计算器计算即可．使用2nd键，然后按sin-10.1782即可求出∠A的度数13. 如果tanα=0.213，那么锐角α的度数大约为（）A．8° B．10° C．12°答案：C解析：解答：∵tanα=0.213，∴∠α≈12°．故选C．分析: 正确使用计算器计算即可．使用2nd键，然后按tan-10.213即可求出∠α的度数14. 已知sinα=12，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（）A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT答案：D解析：解答：“SHIET”表示使用该键上方的对应的功能．故选D．分析: 本题要求熟练应用计算器15.四位学生用计算器求sin62°20′的值正确的是（）A．0.8857 B．0.8856 C．0.8852 D．0.8851答案：A解析：解答：sin62°20′≈0.8857，故选A．分析: 本题要求熟练应用计算器，根据计算器给出的结果进行判断．二、填空题（共5题）1.用计算器求tan35°的值，按键顺序是____________答案：先按tan，再按35，最后按=解析：解答: 用计算器求tan35°的值，按键顺序是先按tan，再按35，最后=，故答案为：先按tan，再按35，最后按=．分析: 根据计算器的使用，可得答案2. 用科学计算器比较大小：287_______tan87答案：＜解析：解答: 287≈2×9.3274=18.6548，tan87°≈19.0811，∵18.6548＜19.0811，∴287＜tan87°．故答案为：＜．分析：用计算器分别计算，然后比较大小即可3.用科学计算器计算：8cos31°+35=_________答案：12.77解析：解答: 8cos31°+35=8×0.857+5.916=6.856+5.916=12.772≈12.77，故答案为12.77．分析: 熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据精确度的概念用四舍五入法取近似数．4. 如果cosA=0.8888，则∠A≈_________（精确到″）答案：27°16′38″解析：解答：如果cosA=0.8888，则∠A≈27°16′38″．故答案为：27°16′38″分析: 首先按2ndF键，再按cos键，再输入0.8888，再按DMS即可得出答案5. 已知tanβ=22.3，则β=_________（精确到1″）答案：87°25′56″解析：解答：∵tanβ=22.3，∴β=87°25′56″．故答案为：87°25′56″分析: 利用计算器首先按2ndf，再按tan22.3，即可得出β的角度．三、解答题（共5题）1.用计算器求下列各式的值：（1）sin47°；（2）sin12°30′；（3）cos25°18′；（4）tan44°59′59″；（5）sin18°+cos55°-tan59°答案：：解答: 根据题意用计算器求出：（1）sin47°=0.7314；（2）sin12°30′=0.2164；（3）cos25°18′=0.9003；（4）tan44°59′59″=1.0000；（5）sin18°+cos55°-tan59=-0.7817解析：分析: 本题要求同学们，熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．2. 已知∠A为锐角，求满足下列条件的∠A度数．（1）sinA=0.9816；（2）tanA=0.1890答案：解答：（1）∵sinA=0.9816，∴∠A≈79°；（2）∵tanA=0.1890，∴∠A≈11°解析：分析：（1）正确使用计算器计算即可．使用2nd键，然后按sin-10.9816即可求出∠A 的度数；（2）方法同（1）．3. 用计算器求下列格式的值（结果精确到0.0001）．（1）tan63°27′；（2）cos18°59′27″；（3）sin67°38′24″．答案：解答：（1）tan63°27′≈2.0013；（2）cos18°59′27″≈0.9456；（3）sin67°38′24″≈0.9248．解析：分析: 熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数4. 求满足下列条件的锐角θ的度数（精确到0.1°）：（1）sinθ=0.1426；（2）cosθ=0.7845．答案：解答：（1）∵sinθ=0.1426，∴∠θ≈8.2°；（2）∵cosθ=0.7845，∴∠θ≈38.3°．解析：分析: （1）直接利用计算器求出即可；（2）直接利用计算器求出即可5. 求满足下列条件的∠A的度数（精确到1″）：（1）cosA=0.8607；（2）tanA=56.78．答案：解答：（1）∵cosA=0.8607，∴∠A≈30.605°=30°36′18″；（2）∵tanA=56.78，∴∠A≈88.991°≈88°59′28″解析：分析: （1）熟练应用计算器，使用2nd键，然后按cos-10.8607，即可求出∠A的度数，对计算器给出的结果，用四舍五入法取近似数．（2）方法同（1）．。