2009-2010(2)高等数学I-2(A)(B)试卷参考答案
(2)高等数学B2试卷参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2009学年第2学期 考试科目： 高等数学B Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业一、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. 试定义函数在点的值的 ，使得函数在该点连续。
2．函数在点处可微分的必要条件是函数在该点处连续或可偏导；充分条件是函数的偏导数在该点处连续。
3．设函数在闭区域上连续，且，则。
4. 判断敛散性：已知且，则是收敛的。
5. 已知某二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为，则该微分方程为。
二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 直线与平面的交点是（B ）。
（A ）（9，2，-3）。
（B ）（2，9，11）。
（C ）（2，11，13）。
（D ）（11，9，2）。
2. 若级数在处收敛，则此级数在处（A ）。
（A ）绝对收敛。
（B ）条件收敛。
（C ）发散。
（D ）收敛性不能确定。
3．二元函数 在点处 （C ）（A ）连续，偏导数存在。
（B ）连续，偏导数不存在。
（C ）不连续，偏导数存在。
（D ）不连续，偏导数不存在。
4. 设是连续的奇函数，是连续的偶函数， ，则以下结论正确的是（ A ）。
（A ） 。
（B ） 。
（C ） 。
（A ） 。
5. 微分方程的一个特解应具有形式（A,B,C 是待定常数）（ B ）。
（A ）。
（B ）。
（C ）。
（D ）。
三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） （1）设，其中和具有连续导数，求。
【解】（2）求由方程所确定的函数的全微分。
【解】方程两边求微分得 整理得（3）交换积分次序。
【解】（4）求差分方程在给定初始条件下的特解。
【解】特征方程为，所以对应的齐次方程的通解为。
又不是特征根，故可令特解为，代入原方程，得比较系数可得，，故非齐次方程的一个特解为，于是非齐次方程的通解为，由所给初始条件，可得，所以方程满足给定初始条件下的特解为。
2009-2010学年度第二学期高等数学期末考试试题A卷
北京科技大学2009--2010学年第二学期高 等 数 学A(II) 试卷（A 卷）院(系) 班级 学号 姓名 考场说明: 1、要求正确地写出主要计算或推导过程, 过程有错或只写答案者不得分； 2、考场、学院、班、学号、姓名均需写全, 不写全的试卷为废卷; 3、涂改学号及姓名的试卷为废卷；4、请在试卷上答题，在其它纸张上的解答一律无效.一、填空题（本题共20分，每小题4分）1．设¶||5, ||3, (,)6a b a b = =r r r r , 则以2a b r r 和3a b r r 为边的平行四边形的面积为 ．2．设函数(,)f x y 可微, (0,0)0,(0,0),(0,0),()(,(,))x y f f m f n t f t f t t = = , 则(0) =．3．设:||||,||1D y x x , 则22()d Dx y + ． 4. 设L 为正向椭圆周22221x y a b + , 则()d (2)d L x y x x y y + + Ñ ．5. 设32e x z y =, 则(2,1)grad z = ．装 订 线 内 不 得 答 题 自 觉 遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊二、选择题（本题共20分，每小题4分）6．已知三平面123:5210,:32580,:42390,x y z x y z x y z + + = + 则必有（ ）.(A) 12// (B) 12 (C) 13 (D) 13//7．设222222221()sin , 0(,)0, 0x y x y x y f x y x y + + += +，则(,)f x y 在(0,0)处（ ）.(A) 两个一阶偏导数不存在 (B) 两个一阶偏导数存在, 但不可微 (C) 可微, 但两个一阶偏导数不连续 (D) 两个一阶偏导数连续 8．二重积分221d x y x y +（ ）.(A) 67 (B) 34 (C) 65 (D) 129．设 为球面2221x y z + +的外侧, 则222d d xy z x y z=+Ò( ).(A)221d y z y z +(B)221d y z y z +(C) 0 (D) 4310． 已知ln x y x =是微分方程y y y x x = 的解, 则y x的表达式为（ ）. (A) 22y x (B) 22y x(C) 22x y (D) 22x y48分，每小题8分）11. 设() 11()()()d 22x atx atu x at x at a + = + + , 其中 与 具有连续的二阶导数, a 是不为零的常数, 求22222u u a t x. 12．设222()()d d ()d d ()d d f t x t y z y t z x z t x y=+ + Ò, 其中积分曲面22:x y 22 (0)z t t + =取外侧, 求()f t .13．设()f x 为连续函数, 1()d ()d t tyF t y f x x =, 求(2)F .14．利用柱坐标计算2222 122()d d x y I x y x z=.15．设函数()f y 具有一阶连续导数, 计算[()e 3]d [()e 3]d x x Lf y y x f y y +, 其中(1)f =(3)0f =, L 为连接(2,3)A , (4,1)B 的任意路线¼AmB , 它在线段AB 的下方且与AB 围成的图形的面积为5.16．计算d S z, 其中 是球面2222x y z a + +被平面(0)z h h a = <所截出的顶部．四、（本题共12分，每小题6分）17．已知曲线()y y x =过原点, 且在原点处的切线垂直于直线210x y + ,()y x 满足微分方程25e cos 2x y y y x +, 求此曲线方程.18．求微分方程21xy ay x + =满足的初始条件(1)1y =的解(,)y x a , 其中a 为参数, 并证明: 0lim (,)a y x a 是方程 21xy x = 的解.。
2010高等数学下试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2009~2010学年第2学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程'220y y x ---=是（ ）A ．齐次方程B ．可分离变量方程C ．一阶线性方程D ．二阶微分方程2．过点(1,2,--且与直线25421x y z +-==-垂直的平面方程是（ ）A ．4250x y z +-+=B ．4250x y z ++-=C ．42110x y z +-+=D ．42110x y z ++-= 3．设(,)ln()2yf x y x x=+，则(1,1)y f =（ ） A ．0 B ．13 C ．12D ．24．若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑（ ）A ．可能收敛，也可能发散B ．一定条件收敛C ．一定收敛D ．一定发散5．下列级数中发散的是（ ）A ．112n n ∞=∑ B ．11(1)n n ∞-=-∑ C ．n ∞= D ．n ∞= 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程"4'50y y y -+=的通解为______。
（今年不作要求）2．设有向量(4,3,0),(1,2,2)a b ==-，则2a b +=____________________。
3．设有向量(1,1,0),a b ==-，它们的夹角为θ，则c o s θ=____________________。
4．设x z y =，则dz =____________________。
5．设L 是圆周229x y +=（按逆时针方向绕行），则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰的值为____________________。
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1．已知arctan x z y =，求2,z z x x y∂∂∂∂∂。
中国传媒大学-高等数学-2009至2010学年第二学期期末考试试卷A卷(含答案)
1，
ns
n1
s 1 时级数
1 收敛； s 1 时，级数
1 发散。
ns
n1
ns
n1
2、（本小题 8 分）
求级数
x 4n 的和函数 S( x) 。
n1 (4n)!
解:由幂级数的分析性质得微分方程
S (4) (x)
x 4n4
1 S( x)
n1 (4n 4)!
（8 分）
且 S(0) S(0) S(0) S(0) 0
1、设 u arcsin x ( y 0) 则 u
x2 y2
y
第1页共6页
x (A)
x2 y2
x (B)
x2 y2
x (C)
x2 y2
x (D)
x2 y2
答（ A ）
2、设 为球面 x2 y2 z2 a2 在 z h 部分， 0 h a ，则
3、若幂级数 an x n 的收敛半径为 R ,那么 n0
6
得分 评卷人
（3 分） （5 分）
四、解答下列各题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，总计 21 分） 1、（本小题 7 分）
改变二重积分
1
2y
dy f ( x, y)dx
3
dy
3 y
f ( x, y)dx的积分次序
0
0
1
0
解：原式
2
dx
0
3 x x
f
( x,
y)dy
。
2
（7 分）
判别级数 a n ， (a 0, s 0) 的敛散性。 n1 n s 解： 由比值判别法
l
i
a m
n1
a n n
数学复习题数二
北京邮电大学2009——2010学年第二学期高等数学复习题一. 填空题（每小题3分，共15分）.1. 设,sin y x e u x-=则yx u∂∂∂2在点)1,2(π的值为_____2)(e π_________. （8章）2. 设方程x y e xycos 2=+确定y 为x 的函数, 则dx dy =___yxe xye xy xy 2sin ++-____（8章）3.设二元函数),1ln()1(y x xe z y x +++=+则._________)0,1(=dz dy e edx )2(2++ （8章）4微分方程20y y y '''+-=的通解为212.x xy C e C e -=+ . （9章） 5微分方程2442x y y y xe '''-+=的一个特解形式可以设为 *222()xy x Ax Bx C e =++（9章6设函数2xy z x e -=-,则z zx y∂∂+=∂∂ 2()xy x x y e -++ . （9章） 7. 定积分dx x ⎰-11||=1 . （5章）8. 微分方程015'2''=-+y y y 的通解是x x e c e c y 3251+=- （8章） 9. 若x dt t f t x xcos 1)()(0-=-⎰，则dt t f )(20⎰π= 1 .10设y xy z )1(+=，则=∂∂)1,1(x z1 . （8章）11设)123ln(222++-=z y x u ，则(0,0,0)|du = 0 . （8章） 12.3111_________.2dx x +∞=⎰（数一考） （5章） 13. 设()22ln y x z +=，则=∂∂==11y x xz， ________________________． （8章）解：由()22ln y x z +=，得222y x xx z +=∂∂，所以，12112211=+=∂∂====y x y x y x xx z ，，14. 微分方程y y y x ln ='的通解为_____________________________．(9章) 解： 这是一个可分离变量的微分方程，由y y y x ln ='，得xdxy y dy =ln ， 两端积分，得⎰⎰=xdxy y dy ln ，得()Cx C x y ln ln ln ln ln =+=． 所以，Cx y =ln ，即Cxe y = （C 为任意常数）．15. 设()()xy xy z 2cos sin +=，则=∂∂yz_____()()()xy xy x xy x sin cos 2cos -__．（8章） 16. 微分方程x x y sin +=''的通解为=y ______213sin 61C x C x x ++-________________． 二．单选题（每小题3分，共15分）.1.抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围图形的面积为（ D ）（6章） A ． 12 B 14 C 16 D 182.已知三点,),,(),,,(,),,(742543321C B A 则三角形 ABC 的面积为（ A ）（7章）A 、14B 、32C 、13D 、4 3. 曲线 )40(2cos 0π≤≤=⎰x dt t y x的弧长为（ A ）. （6章）A. 1B. 2C.21 D. 12-4方程56e x y y y x -'''-+=的一个特解可设为( D ). （9章）（A ） 12()e x yx c x c -=+ （B ） 212()e x y x c x c -=+ （C ） 2312e e x x yc c =+ （D ） 12()e x y c x c -=+ 5. 微分方程x e x y y y 2323-=+'-''的特解*y 的形式为=*y 【 D 】． （微分方程） （A ）．()x e b ax +； （B ）．()x xe b ax +； （C ）．()xce b ax ++； （D ）．()xc x eb ax ++．解：微分方程xe x y y y 2323-=+'-''对应的齐次微分方程是023=+'-''y y y ，因此其特征方程为0232=+-r r ．得其解为2,121==r r ．因此微分方程x e y y y 223-=+'-''有形如x cxe y =*2．的特解．又微分方程x y y y 323=+'-''有形如b ax y +=*1．的特解．所以，微分方程x e x y y y 2323-=+'-''有形如()x cxe b ax y y y ++=+=**21*的特解．6.．函数()y x f ，在点()00y x ，处连续是函数()y x f ，在该点处存在偏导数的【 D 】． （8章） （A ）．充分条件； （B ）．必要条件；（C ）．充分必要条件； （D ）．既不是必要，也不是充分条件．解：由二元函数()y x f ，的可导性与连续性之间的关系，可知：函数()y x f ，在点()00y x ，处连续是函数()y x f ，在该点处存在偏导数的既非必要，也非充分条件．7、可微的充分条件为（ A ）； （8章）A 、 的偏导数均连续B 、连续C 、的偏导数均存在D 、连续且均存在8 的通解为（ A ）；A 、B 、C 、D 、9 的通解为（ D ）； （9章）A 、B 、C 、D 、10、微分方程的通解为（ B ）。
2009-2010学年第二学期高等数学B试卷
2 z 求 . x y
解：
z ( x, xy ) yg 2 ( x, xy ) ---4 分 2 f (2 x y ) g1 x
2 z ( x, xy) g 2 ( x, xy) xyg 21 ( x, xy) ----8 分 2 f (2 x y) xg12 xy
2
2 2 3 2
3 2m 时,水箱所用的材料最省. --8 分
1 展开成 x 的幂级数并求其收敛区间。 x x3 1 1 1 1 1 1 1 1 解： f ( x) ------------1 分 ( ) ( x 1)( x 2) 3 x 1 x 2 6 1 x 3 1 x 2
福建师范大学试卷纸
共 6 页，第 5 页
Y C1 cos x C2 sin x, ------2 分
* * 观察可得, y y x 的一个特解为 y1 x, y y e x 的一个特解为 y2 e x . -----6 分 * * 由非齐次线性微分方程的叠加原理知 y* y1 y2 x ex
D D1 D D1
C. xydxdy 4 xydxdy
D D1
D. x dxdy 4 x 2 dxdy
2 D D1
5、若级数 an 收敛，则下列级数不收敛的是（ B ）
n 1
福建师范大学试卷纸
共 6 页，第 1 页
A.
2 an
n 1
B.
(an 1)
五（10 分）求级数
福建师范大学试卷纸
共 6 页，第 4 页
1 1 1 x dt ln -----------------（8 分） 2 1 t 2 1 x 1 1 1 1 1 2 2 ln(1 2) --------（10 分） 2 s ( ) 2 ln 故 n 1 2 1 2 n 0 (2n 1)2 2
高数期中试题及解答
⾼数期中试题及解答武汉⼤学电信学院2009－2010学年第⼆学期⾼等数学期中考试试卷1．（6分）求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线⽅程。
2．（6分）给出平⾯lx my nz p ++=与⼆次曲⾯2221Ax By Cz ++=相切的条件并说明理由。
3．（12分）设函数arctan ,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),y x y f x y x y ì??1??=í??=，问在原点(0,0)处：（1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？均说明理由。
4．（6分）设()z xy xF u =+，其中F 为可微函数，且yu x=，试证明：z zxy z xy x y抖+=+抖。
5．（6分）设⽅程(,)z xy f xz yz +=确定可微函数(,)z z x y =，求zx。
6．（9分）设函数(,)u x y 满⾜0xx yy u u -=且(,2)u x x x =，2(,2)x u x x x =，求(,2)xx u x x ，(,2)xy u x x ，(,2)yy u x x 。
7．（8分）已知点(1,0,1)P -与(3,1,2)Q ，在平⾯212x y z -+=上求⼀点M ，使得PM MQ +最⼩。
8．（6分）设D 是矩形域：0xp＃，0y p ＃，计算⼆重积分max{,}sin sin d d Dx y x y x y 蝌。
=+++蝌?，其中W 是由平⾯1x y z ++=与三个坐标⾯所围成的空间区域。
10．（6分）设空间区域222:1x y z W ++?，0z 3，求2()x z dxdydz W+蝌?。
11．（6分）计算dDI x y =蝌，其中D 是由曲线4236x y xy 骣÷?+=?÷桫在第⼀象限中所围成的区域。
12．（6分）设(,)f x y 为连续函数,且(,)(,)f x y f y x =，证明：1100(,)(1,1)x x dx f x y dy dx f x y dy =--蝌蝌。
2009-2010(2)期末考试试卷(A)(高等数学)
9. 计算 zdS ，其中∑是上半球面 z 4 x 2 y 2 介于 z 1, z 2 之间的部分
10. 计算 xzdydz yzdzdx 2zdxdy ，其中∑是 x y z 1与三个坐标面围成区域的整个边界面 的外侧。
11. 已知连续函数 fΒιβλιοθήκη (x) 满足 f (x) e x
ds
=____________.
4．设 D: x2+y2≤1, 则 (4 1 x 2 y 2 )dxdy __________.
D
5. 若 y 1, y x, y x 2 为某个二阶线性非齐次微分方程的三个解，则该方程的通解为 。
二、解答下列各题(1-6 小题每个 6 分，7-13 每题 7 分,总计 85 分)
武汉工业学院 2009 –2010 学年第 2 学期 期末考试试卷(A 卷)
课程名称 高等数学 2
学号：
注：1、考生必须在答题纸的指定位置答题，主观题要有必要的步骤。
2、考生必须在答题纸的密封线内填写姓名、班级、学号。
姓名：
班级：
3、考试结束后只交答题纸。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题(每小题 2 分, 共 10 分)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案
2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案2009 至 2010 学年度第 2 期 高等数学（下）课程考试试题册A试题使用对象 ： 2009 级 理科各 专业(本科)命题人： 考试用时 120 分钟 答题方式采用：闭卷说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废．一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1．已知(2,1,),(1,2,4)a mb ==r r，则当m = 时，向量a b⊥r r ．2．(,)(2,0)sin()limx y xy y →= ．3．设区域D 为22y x +≤x 2，则二重积分Dd σ=⎰⎰ ．4．函数(,),(,)P x y Q x y 在包含L 的单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，如果曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰与路径无关，则(,),(,)P x y Q x y 应满足条件 ．5． 当p 时，级数211pn n +∞=∑收敛．二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分）1．直线221:314x y z L -+-==-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是 ．A ．直线L 与平面π平行；B ．直线L 与平面π垂直；C ．直线L 在平面π上；D ．直线L 与平面π只有一个交点，但不垂直．2． 函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的（ ）．A ．充分条件； B. 必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分也不必要条件 3．改变积分次序，则100(,)y dy f x y dx⎰⎰．A ．1(,)xdx f x y dy ⎰⎰； B ．11(,)dx f x y dy ⎰⎰；C ．11(,)x dx f x y dy ⎰⎰；D ．11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4．下列级数中收敛的是 ． A ．∑∞=+1884n n nn B ．∑∞=-1884n n nn C ．∑∞=+1824n n nnD ．1248n nn n ∞=⨯∑．5．级数1...-++A. 发散B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 既绝对收敛又条件收敛 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）． 1．设sin uz e v=，而u xy =，v x y =- 求xz ．2．设22(,tan())u f x y xy =-，其中f 具有一阶连续偏导数，求yz ． 3．求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面方程及法线方程． 4．计算 22Dx d y σ⎰⎰，其中D 是由直线y x =．2x =和曲线1xy =所围成的闭区域． 5．计算L⎰，其中L 是圆周222x y a +=（0a >）．6．计算22()(sin )Lxy dx x y dy--+⎰，其中L 是上半圆周y =x 轴所围区域的边界，沿逆时针方向．7．将函数1()3f x x =+展开成(3)x -的幂级数． 8．计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为1x y z ++=，0,x =y =，0z =所围立体的外侧．9．求抛物面22z xy =+到平面10x y z +++=的最短距离．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题A 参考答案试题使用对象： 2009 级 理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1. 1-； 2. 2； 3. π； 4.y P ∂∂=xQ ∂∂； 5.12p >二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分） 1．B ； 2．A ； ３．D ； ４．C ； ５．C 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂……4分sin cos u u ye v e v=+(sin()cos())xy e y x y x y =-+-……7分 2．2212()(tan())y y uf x y f xy y∂''''=⋅-+∂ ……4分2122sec ()()yyf f xy xy '''=-+2122sec ()yf xf xy ''=-+……7分 3． 令22(,,)1F x y z xy z=+--，则法向量(2,2,1)n x y =-r，(2,1,4)(4,2,1)n=-r ……3分在点(2,1,4)处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=．即4260x y z +--=． (6)分法线方程为214421x y z ---==-． ……8分 4．22Dx d yσ⎰⎰22121xxx dx dy y=⎰⎰……4分221/11()x xx dxy=-⎰……6分231()x x dx =-⎰322111()42x x =-94=……8分5．令cos ,sin x a y a θθ==，则sin ,cos x a y a θθ''=-=，ds θ=ad θ= ……3分20a Le ad πθ=⎰⎰ ……6分＝2aae π ……8分6．2P xy=-，1P y ∂=-∂ ，2(sin )Q x y =-+，1Q x∂=-∂ ， ……4分()0DDQ PI dxdy dxdy x y∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分=……8分 7．1136(3)x x =++-113616x =-+ ……4分 当316x -<，即 39x -<<时，13x +013()66nn x +∞=-=-∑ ……8分8． ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz=()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰……4分 =1110()xx ydx dy x y z dz---++⎰⎰⎰……6分81=……8分9．设抛物面一点(,,)x y z ，它到平面的距离为1d x y z =+++满足条件220x y z +-= ……3分 拉格朗日函数为222(1)()3x y z L x y z λ+++=++- ……5分2(1)203x x y z L x λ+++=+=，2(1)203yx y z Ly λ+++=+=2(1)3z x y z L λ+++=-=，220Lx y z λ=+-=解方程组得，12x y ==-，12z =． 由问题本身知最短距离存在，所以最短距离为0.5,0.5,0.5)d --=6=……8分。
西南交通大学期末真题及答案09-10高等数学IIA卷解答
班 级 学 号 姓 名9．()(3)xyLy e dx x e dy -++=⎰ 2ab π ．其中L 是椭圆22221x y a b +=的正向．三、计算题（每小题8分，共64分）10．已知函数ln(u x =,曲线23:x ty t z t =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩.求(1) 曲线Γ在点(1,1,1)处切线方向的单位向量(沿t 增加方向);(2) 函数ln(u x =在点(1,0,0)处沿(1)所指方向的方向导数的值．解：(1) 切线方向 {}{}211,2,31,2,3t t t == ………………………………2’}1,2,3 …………………………………….4’ (2)ργρβραρρ)cos ,cos ,cos 1(lim 0+=∂∂→u l u ………………….…….….6’ 14131+=…………………………………………….………….8’ 11. 设 sin()0x y e x z ++= 计算,z z x y∂∂∂∂. 解：令(,,)sin()x y F x y z e x z +=+ ………………………….1’(,,)sin()cos()x y x y x F x y z e x z e x z ++=+++ (,,)sin()x y y F x y z e x z +=+ (,,)cos()x y z F x y z e x z +=+..4’1tan()x zF zx z x F ∂=-=--+∂ ………………………….6’tan()zx z y∂=-+∂ ………………………….8’ 12．计算二重积分66cos yxdy dx xππ⎰⎰. 解：66600cos cos x yx x dy dx dx dy x xπππ=⎰⎰⎰⎰ ……………………4’60cos xdx π=⎰601cos 2xdx π==⎰…………………………8’ 13计算三重积分 I zdxdydz Ω=⎰⎰⎰．其中Ω由锥面z =与平面1z =所围成的区域.解：2221x y zI zdxdydz dzzdxdy Ω+≤==⎰⎰⎰⎰⎰⎰…………….4’1304z dz ππ==⎰ ………………8’或解2211x y I zdxdydz dxdy Ω+≤==⎰⎰⎰⎰⎰ …………………..4’()22221112x y x y dxdy +≤=--⎰⎰4π= ………………….8’ 14．设Γ是曲线2222x y z a x y z⎧++=⎨++=⎩,计算 22()x y ds Γ+⎰． 解： 222222()()3x y ds x y z ds ΓΓ+=++⎰⎰ …………………4’ =223a ds Γ⎰ ………………….6’=343a π ………………….8’15．计算32223x dydz xz dzdx y dxdy ∑++⎰⎰，∑为抛物面224z x y =--被平面0z =所截下的部分的下侧.解；作曲面221:0,:4xy z D x y ∑=+≤，朝上。
2009—数二真题标准答案及解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题、选择题： 1〜8小题，每小题 4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要 求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上3X — X(1)函数f X的可去间断点的个数为()sin nxA 1.B 2.C 3.D 无穷多个.(2)当 xr 0时，f x 二 x-sinax 与 g x = x 21n 1-bx 是等价无穷小，则()-. B a=1,b 二丄. C a = —1,b = —】.D a = —1,b=〕 6 6 6 6C 是f x,y 的极大值点.D 是f x,y 的极小值点.2224 今(4)设函数 f x, y 连续，贝V * dx % f x,y dy 亠 i dy * f x, y dx 二()24—24亠A , dx 1f x,y dy . B M dx x f x, y dy .24-y22C J dy 1f x,ydx.D . 1 dy y f x,y dx(5)若「x 不变号，且曲线y = f x 在点1,1上的曲率圆为x 2y^2，则f x 在区间1,2内()A 有极值点，无零点.B 无极值点，有零点C 有极值点，有零点.D 无极值点，无零点(6)设函数y 二f x 在区间〔-1,3 1上的图形为(3)设函数z = f x, y 的全微分为 dz = xdx ydy ，则点 0,0 ( A 不是f x, y 的连续点. B 不是f x,y 的极值点.则函数)x(7)设A , B均为2阶矩阵, B*分别为A , 的伴随矩阵为( )O* <2 A*3BO *QAO* <2B*3AO 3BXB的伴随矩阵若A =2, B = 3，则分块矩阵*2BO*2AOO<BAo」h 0 O '(8)设A, P 均为3阶矩阵，p T 为p 的转置矩阵，且 P T AP= 0 1 0，若 <0 0 2>P =(耳，a 2, a 3), Q =(□ 1+^2,^2, a 3),则 Q T AQ 为( ‘210、■q 1 0A(A ). 1 1 0 (B ). 1 2 0 0 2」 <0 0 2」'2 0 0 ^广 1 0 0、 (C ) 0 1 0 (D ). 0 2 0 1° 0 2」1° 0 2>9-14小题，每小题 、填空题: 4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上 x= 1_t e -u2du (9)曲线 • 0 在(0, 0)处的切线方程为 __________________ 2 2y =t ln(2 -t ) (10) 已知+=1,则 k = _________________ . —oO (11) lim e^ sin nxdx = _______________ .n ^C ^0 (12)设y 二y(x)是由方程xy e^x 1确定的隐函数，则 —y 二 ________________ x =0(13)函数y =x 2x 在区间01 1上的最小值为 ____________ . ‘2 0 (14)设％ B 为3维列向量，P T 为B 的转置，若矩阵T 相似于0 0.0 0三、解答题：15 -23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上 演算步骤. 亠心、卄八 八 亠丄"口 (1—cosx )〔x T n(1+ta nx)】(15)(本题满分9分)求极限lim 4.X T sin x.解答应写出文字说明、证明过程或(16)(本题满分10分) 计算不定积分ln(1 (x 0).(17)(本题满分10分) 设Z — 其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与二(18)(本题满分10 分)设非负函数y = y x ][X _ 0满足微分方程xy ^-^y 2=0 ,当曲线y = y x 过原点时，其与直线 x =1及y =0围成平面区域D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积.- 2 2(19) (本题满分 10 分)计算二重积分 JJ(x —y)dxdy ，其中 D ={(x, y |(x —1) +(y —1)兰 2,D(20) (本题满分12分)原点，当0岂x ：：：-：时，函数y(x)满足目 目x = 0求y(x)的表达式. (21)(本题满分11分)(I)证明拉格朗日中值定理：若函数 f x 在La, b 1上连续，在 a,b 可导，则存在 匚三\ a,b ，使得f b -f a 二f b-a ；，Z1 -1 -1 '(22)(本题满分11分设A =-11 1,_1 _1<0 -4 -2 丿1一2」(【)求满足A 2二1, A 23二1的所有向量2, 3 ；(n)对(I)中的任一向量 2, 3，证明：\, 2, 3线性无关(23)(本题满分 11 分)设二次型 f x 1, x 2, x 3 =axf ax |a-1 x ； 2^x^ 2x ?x 3(I)求二次型f 的矩阵的所有特征值；2 2(n)若二次型f 的规范形为y 1 y 2，求a 的值.设y = y(x)是区间(-二,"：)内过点(-Tt JI2，2)的光滑曲线, 当-二：::x 0时，曲线上任一点处的法线都过(n)证明：若函数f x 在x 二0处连续，在0,「〔心＞ 0内可导，且lim 「x = A ，则f. 0存在,2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.3X — x(1)函数f X 的可去间断点的个数为( )sin nxA 1.B 2.C 3. D无穷多个.【答案】C【解析】3X —Xf x :s i nx则当x取任何整数时，f x均无意义故f (x )的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是x -x3=0的解々2,3 = 0,±1..x —x .. 1 —3x 1lim limx ]0sin 二x x r°二cos二x 二..x —x3广 1 —3x2 2lim limx 1sin 二x x_4 二cos二x ■:..x -x3 1 -3x2 2lim limx-；1sin 二x x_；1二cos二x 二故可去间断点为3个，即0, _1(2)当X—；0时，f x 二x-sinax与g x = x21n 1-bx 是等价无穷小，则( )【答案】A【解析】f(x)二x-sinax,g(x) =x2ln(1-bx)为等价无穷小，则lim 3 x 10g(x)x -sin ax= lim —x 0x2ln(1 -bx)字皿洛讪匕竺^洛limx2(-bx) x io -3bx2x e2 . a sinax-6bxA a=1,b—l6, 1B a",b「.1 1C a 一-1,b.Da- -1,b.6 6另外xm 号空存在，蕴含了 50SaXT°(XTO )故"1.排除D .所以本题选A.A 不是f x,y 的连续点•B 不是f x,y 的极值点•C 是f x, y 的极大值点.D 是f x, y 的极小值点.【答案】 D【解析】因dz = xdx ydy 可得 三二x,—Z = y&dy2 2 2A :： Z …；：z ；：Z c c A 2 = 1, B0, CJ"L.、 L 、 "L.、 L 、x :xy：y ：xAC -B 2 =1 0故(0，0)为函数z 二f (x,y)的一个极小值点.2224 今(4)设函数 f x, y 连续，贝V * dx % f x,y dy 亠 i dy * f x, y dx 二()2 4亠B M dx x f x, y dy .2 2D . 1 dy y f x,ydx【解析】1 dx f(x, y)dy 亠i dy f (x, y)dx 的积分区域为两部分：D =「(x,y) 1 Ex 空2,x 空 y 空2l ，D 2 =「(x, y) 1 空 y 乞 2, y 乞 x 空 4 一 yl将其写成一块 D 」(x, y) 1 y 乞2,1乞x 乞4 一 “24刁故二重积分可以表示为1 dy 十f (x, y)dx ，故答案为C.6ba 2sin ax=1 ax6b.a 3二-6b 故排除 B,C .(3)设函数z = f x, y 的全微分为dz =xdx ydy ，则点 0,0(又在(0，0)处,=024 —A d dx 1 f x,y dy .2 4今C J dy 1f x,y dx.【答案】C2 2(5)若f x 不变号，且曲线y =f x 在点1,1上的曲率圆为【答案】 B而 f'(1) =「1，由此可得，f () = —2在［1,2］上，f'(x)乞f'(1) =「1 ：：：0,即f (x)单调减少，没有极值点 对于f (2) - f(1) =f '「)：：： -1 . - - (1,2)，(拉格朗日中值定理)f(2) <0而 f(1)=1 0由零点定理知，在［1,2］上，f (x)有零点. 故应选(B )A 有极值点，无零点B 无极值点，有零点C 有极值点，有零点D 无极值点，无零点2 2x y =2，则f x 在区间1,2内(【解析】由题意可知,f(x)是一个凸函数，即f ''(x) ： 0 ,且在点(1,1)处的曲率二|yj 1则函数F x = f t dt 的图形为( )x【答案】形的代数面积为所求函数 F(x)，从而可得出几个方面的特征:1-1,01时，F(x)乞0为线性函数，单调递增【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 y = f(x)的图形可见，其图像与 x 轴及y 轴、x =x 0所围的图1-0,11时, F(x) <0，且单调递减. 1,2 时, F(x)单调递增. 12,3 时, F(x)为常函数.x的伴随矩阵为( )* 、 O 3B* \O 2B*(B ). *<2A O 丿<3A O 丿F(x)为连续函数 ⑤由于 结合这些特点，可见正确选项为 D .(7)设A ，B 均为2阶矩阵,A ，B 分别为A ，B 的伴随矩阵若A =2, B =3，则分块矩阵IB O 丿x【答案】BJAZ2 0 0 'G 0 0'(C > 0 1 0(D ). 0 2 0<0 0 2」<0 0 2」【答案】 A'O 3A* ''0 2A* ') *(D ). *<2B0 丿3 0 /C P (% 口2,«3)Q = ：（隅+岷, «2,a ; 3），21 0、1 0X(A ). 1 1 0(B ).1 2 0e 0 2<0 0 2>则Q TAQ 为（【解析】Q = (-：1 2, “2,「3 ) = (-“1,鼻2,鼻3 )2, 'I1 010 =（%叫,叫）巳2（1）,即:1【解析】根据 CC^=C E 若 C*=CC ，,C 」1. ■分块矩阵（0的行列式=(- 12*A|B=2 3=6即分块矩阵可逆'"0 IB-6AB1B 32BB J1BBB(8) 设A, P 均为3阶矩阵，p T 为P 的转置矩阵，且 P TAP 二，若Q = P%(1)Q TAQ =[PE i2(1)]TA[PE i2(1)] = E^(1)[P TAP]E i2(1)1 0 0= E ；i (1) 0 1 0 E i2(1)0 0 2^所以切线方程为y=2x .(10)已知 +「e kx dx =1，则 k 二 ___________________—od【答案】-2因为极限存在所以k ::: 0k = -2(11) lime^ sin nxdx 二 ________________ .n ^C L 0【答案】0【解析】令 l n 二 e^sinnxdx 二-e^sinnx n ecosnxdx•x . .x 2.--e sinnx —ne cosnx —nl n110 10 0 10 0 1 0 0 10 00 1 0 12丄0 2 1 0 0 = 11010 0 2、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上 (9)曲线 x 「°e du在(0, 0)y =t 2ln(2 -t 2)处的切线方程为【答案】y=2x【解析】齐2tln(H2t 2-t 2所以dx —=edt(-D t = _1矽=2 dx【解析】1 kx1--kxedx =2bim ：k即 lim ]e 」sinnxdx = lim(-^^0警空更 e 」n _ -■ 0 n 厂【答案】- 3对 y xy y e y=1 再次求导可得 2y xyy e y(y )2e y= 0，x e y(13)函数y =x 2x 在区间01 1上的最小值为 ___________ .2【答案】e^1【解析】因为 y = x 2x 2ln x • 2，令、二0得驻点为x . e又 y"=x 2x (2ln x+2 f +x 2x 2，得 y' 1 ]=2e >0，x \e )1故x 为y = x 2x的极小值点，此时ey x ・0,故y 在I 0,1上递减，在1,1上递增.I e 丿 l e 丿而 y 1 =1， y 」0 = lim x 2x二 lim eI D 十 x T 0十所以i nn cosnx sin nx x 小e — +Cn 21二lim(n —■■=■.：ncosn s叫n 21(12 )设y = y(x)是由方程xy• e ，= x 1确定的隐函数，则r 2y；x 2n 2 1)【解析】对方程 xy ■ e y = x 1两边关于x 求导有 y xy - ye y =11-y x e y2y ' (y)2e y(*)=o 时,(0)二耳=1，代入(*)得e(0)二2y '(0)(y(0))2e 0(0 e 0)3二-(2 1) = -32ln x2l 巴T2xln xe2lim车21x 0 ■ --2lim -2x=e「=1又当x -y x ：：o ； x 丄1 时, 2」21 rx x -In(1 tan x)h 叫222x 0sin x sin x(16)(本题满分10分)【解析】所以y =x 2x 在区间0,1 ］上的最小值为y 2i'2 0 0A (14)设a , B 为3维列向量，P T 为B 的转置，若矩阵aB T相似于 0 0 0 ，则0 ■二 卫0 0』【答案】2 ‘2 【解析】因为aB T 相似于0 1° 0 0 0 0 ，根据相似矩阵有相同的特征值, 0 0 J 得到：上T 得特征值是2,0,0而］T ：是一个常数，是矩阵：上T 的对角元素之和，贝y =2 0 ^2 三、解答题：15 -23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上 演算步骤. 亠心、卄八 八 亠丄"口 (1 一 cosx)【x_l n(1+ta nx)］ (15)(本题满分9分)求极限lim 4 . X —0 sin x .解答应写出文字说明、证明过程或1「cosx R 「In(1 tanx) I 4sin x-x 2 [x -ln(1 tanx) 1 sin 4x计算不定积分 "n (1+耳(x 0).1,dx = -2tdt (t 2-1)2Jin (1+£^)dx二 ln(1 t)d 1ln(1 t) t 2-1二 Lt 2-1t 1dt JlimXfJtnx) 2 x ：0sin xT 1 Ldt 」( £dtt -1 t 1 4 t -1 t 1 (t 1) 1 1 1 1n(t -1) In(t 1)2 C 4 4 t 1所以cz czdz dx dyexcy= (f i f 2 yf 3)dx (f i 7 Xf 3)dy（18）（本题满分10分）设非负函数y = y x Mx _ 0满足微分方程xy“ - y* 2 = 0 ,当曲线y = y x 过原点时，其与直线 x =1及y = 0围成平面区域 D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积.【解析】解微分方程 肖-讨 2=。
《高等数学》1(2)试题答案
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1、函数 lim f ( x) a(a为常数 ) ,则在处（
x x0
）。 D、以上都不是
A、一定有定义
B、一定无定义
C、有定义且
2、如果 f ( x) e x ，则 A、
1 c x
f (ln x ) （ ）。 dx x B、 1 c C、ln x c x
A、xf ( x 2 ) B、 xf ( x 2 ) C、 xf ( x 2 ) 2
B．大于零 C．等于零 D．不确定 2 (e t 1)dt 0 x 0 在x=0处连续，则a为（ 8、若 f ( x) ）。 x2 x0 a 3 1 A、0 B、1 C、 D、 2 2 ）。 D、 2 xf ( x 2 )
x 0
1 f 2 x f 2 x 1 ，则 f 0 。 x 2
（
）
x0 x0
其中g (x ) 为有界函数，则 f (x) 在x 0 处必可导。
四、解答题：（共22分）
1、求
4
4
1
1 dx （5分） x(1 ຫໍສະໝຸດ )1 dx 4
解：
dx x x (1 x )
（
）
2、y 1 cos2 x 在点x=0处的导数是0。 3、x=1是函数 f ( x)
3 3
1 x 1 1 x 1
1 1
的可去间断点。
（
）
4、设f(x)在x=0处可导，且 lim
ln(1 x 2 ) 5、若 f ( x) x x 2 g ( x) （ ）
）。
sin x sin t 5、设 f ( x) ， ( x) (1 2t ) t dt ，当 x 0 时，则（ dt g 0 t 0 A、f(x)与g(x)是等价无穷小 B、 f(x)是比g(x) 高阶的无穷小
2009-2010高等I答案(A卷)解答
广州大学2009-2010学年第一学期考试卷高等数学Ⅰ1（90学时A 卷）参考解答与评分标准一．填空题(每小题4分,本大题满分20分)1．22212lim ()n n nnn→∞+++= 12,22212lim ()12n n n n n n→∞+++=+++ 12.2．设ln(1),0()2sin 1,0ax x f x xx x +⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩,则0lim ()x f x -→= 1 ,当常数=a 2 时,)(x f 在0x =处连续.3．曲线221xy x =+有斜渐近线y =12x 和铅直渐近线=x 12-.4．曲线323y x x =-的拐点横坐标为=x 1 ，凸区间为(,1]-∞. 5．方程0y y '''-=的特征方程为20r r -=,通解为y =12xC e C +.二．选择题(每小题2分, 本大题满分10分)1. 当0→x 时, 11x +-是2x 的( B )无穷小. (A) 高阶; (B) 低阶; (C) 同阶; (D) 等价.2．1lim (12)x x x →∞+=( D ).(A) 1; (B) e ; (C) e ; (D) 2e .3．函数23()(2)||f x x x x x =+--的不可导点的个数是( C ). (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 3.4．二阶可导函数)(x f 在点0x x =处取得极值的充分条件是( D ). (A) 0)(0='x f ; (B) 0)(0>''x f ;(C) 0()0f x ''<; (D) 0)(0='x f 且0()0f x ''≠. 5. 设)(x f 是连续函数,()F x 是)(x f 的一个原函数,则( A ). (A) 当)(x f 是奇函数时,()F x 必是偶函数;(B) 当)(x f 是偶函数时,()F x 必是奇函数;(C) 当)(x f 是周期函数时,()F x 必是周期函数;(D) 当)(x f 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数.三．解答下列各题(每小题6分，本大题满分18分)1．ln(cos )y x =，求dy .解: 1(cos)cosy x x''=…………………………………………………2分sin ()cosxx x-'=⋅………………………………………………………3分1tan 2x x =-…………………………………………………………4分 1tan2dy x dx x=- ……………………………………………………6分2．求由方程ln 1xy y +=所确定的隐函数()y f x =在0x =处的导数. 解: 把方程两边分别对x 求导数得10y xy y y''++=………………………………………………………4分当0x =时,y e =,代入上式得20|x y e ='=- ……………………………………6分3．求曲线222211t x tty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩上在参数2t =相应的点处的切线方程. 解: 切点坐标为44(,)55……………………………………………………………1分22222(1)dx tdt t -=+,222(1)dy t dtt =+2()()1dy y t tdxx t t'=='- ……………………………………………………4分 切线斜率为 22|3t dyk dx ===-…………………………………………………… 5分切线方程为 424()535y x -=--,即 2340x y +-= ……………………………………………………6分四．解答下列各题(每小题6分，本大题满分12分)1．计算极限011lim ()1xx xe →--.解: 原式01lim(1)xxx e x x e →--=- ………………………………………………………1分 01lim1xxxx e e xe→-=-+ ……………………………………………………3分lim 2xxxx ee xe→=+………………………………………………………5分12= ……………………………………………………………………6分2．设2009()(1)()f x x g x =-,其中()g x 在1x =处连续,且(1)1g =,求(1)f '. 解: 1()(1)(1)lim1x f x f f x →-'=-200911lim()1x xg x x →-=-……………………………3分200911lim1x xx →-=-20081lim 20092009x x→==……………………………6分注: 20082009()2009()(1)()f x x g x x g x ''=+-,(1)2009(1)2009f g '==. 给3分.五．计算下列积分(每小题6分,本大题满分18分)1．21(1)dx x x +⎰. 解: 原积分2221(1)x xdx x x +-=+⎰211xdx dx xx=-+⎰⎰……………………………2分2211ln ||(1)21x d x x=-++⎰………………………………………4分21ln ||ln(1)2x x C =-++ …………………………………………6分2．124x dx -⎰.解: 令2sin x t =,arcsin2x t =,则124x dx -⎰2604cos tdt π=⎰…………………………………………3分60(22cos 2)t dt π=+⎰[]6032sin 232t t ππ=+=+……………………6分3.20xxedx --∞⎰.解: 原积分2021()2xed x --∞=--⎰……………………………………………2分21[]2xe--∞=- ………………………………………………………4分12=-………………………………………………………………6分六．（本题满分5分）证明: 当1>x 时,ln 1x x x >-. 证明: 令1ln )(+-=x x x x f , 则x x f ln )(='当1>x 时, 0ln >x , 从而0)(>'x f因此)(x f 在区间),1[∞+单调增加 ……………………………………………3分 当1>x 时,0)1()(=>f x f ,即得1ln ->x x x ……………………………………………………………5分七．（本大题满分10分）如图所示, 平行于y 轴的动直线被曲线()y f x =与3y x =截下的线段PQ 之长数值上等于曲线()y f x =和x 轴及直线PQ 所围成曲边三角形的面积(阴影部分), 求曲线()y f x =的方程. 解: 由题意可得3()()x f t dt x f x =-⎰……2分 两边求导得2()3()f x x f x '=- ……4分解此微分方程得2()[3]dx dx f x e x e dx C -⎰⎰=+⎰……6分2[3]x xe x e dx C -=+⎰ 2[36]x x xe x e xe dx C -=-+⎰2[366]xxxxe x e xe e C -=-++……9分由0|0x y ==,得6C =-,所求曲线为23666xy x x e-=-+- ……10分3y x=()y f x =POxxyQ八．（本题满分7分）设()f x 在区间[,]a a -上连续, (1)证明: 0()[()()]a a af x dx f x f x dx -=+-⎰⎰;(2)利用(1)的结果计算: 44cos 1xx dx eππ--+⎰.(1）证明: 00()()()a a aaf x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰令t x -=, 则0()a f x dx -⎰0()()a f t dt =--⎰0()a f x dx =-⎰所以 0()[()()]a a af x dx f x f x dx -=+-⎰⎰………………………………4分(2）由(1)得44co s 1xx d x eππ--+⎰40cos cos []11xxx x dx eeπ-=+++⎰40cos xdx π=⎰22=……………………………………………………7分。
09-10高等数学期末试题参考答案(A)
东海科技学院 2009 - 2010学年第 二 学期 《高等数学》课程期末考试卷A 参考答案一、选择题（每小题3分，共计15分）1．二阶齐次线性微分方程06=-'-''y y y 的通解为（ B ） A ．x x e C e C y 3221--+= B ．x x e C e C y 3221+=- C ．x x e C e C y 3221-+= D ．x x e C e C y 3221+=2．过点()10,3-，且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程是（ A ） A ．04573=-+-z y x B ．01573=-+-z y x C ．0423=-+-z y x D ．0123=-+-z y x 3．关于二元函数),(y x f 的下面4条性质：①),(y x f 在),(00y x 处连续；②),(y x f 在),(00y x 处两偏导数连续； ③),(y x f 在),(00y x 处可微；④),(y x f 在),(00y x 处两偏导数存在. 则下面关系正确的是（ A ）A ．②⇒③⇒①B ．③⇒②⇒①C ．③⇒④⇒①D ．③⇒①⇒④ 4. 平面环形区域D 的边界曲线L 中，为正向边界的是（ C ）A B C D5．下列级数中，收敛的是（ D ） A ．∑∞=11i nB ．∑∞=1321i n C ．∑∞=11i n D ．∑∞=-11)1(i n n二、填空题：（每小题3分，共计15分）1. 一阶微分方程02=-'xy y 的通解为=y ．（答案：2x Ce y =）学院专业班级姓名学2.=+→xy yx y x 2lim)2,1(),( ．（答案：2）3. 222y x z +=表示空间曲面 ．（答案：抛物面）4．⎰⎰=1010xydy dx ．（答案：41）5. 若L 表示抛物线2x y =上点)0,0(与点)1,1(的一段弧，则第一类曲线积分⎰Lds y = ．（答案：)155(121-）三、计算题：（每小题6分，共计48分） 1．设2221y x z +=，求全微分dz . 解：x xz=∂∂ ……………………………………………………………….2分 y yz2=∂∂……………………………………………………………….2分 y d y x d x dz 2+=………………………………………………………2分 2．设}2,0,1{-=a ，}1,1,3{-=b ，求b a ⋅和b a ⨯．解：51)2(10)3(1-=⨯-+⨯+-⨯=⋅b a …………………………….3分}1,5,2{52113201=++=--=⨯k j i k j ib a ………………………..3分3．求过点()132,，-且平行于直线⎩⎨⎧=-+=+-025032z y x z y x 的直线方程.解：直线⎩⎨⎧=-+=+-025032z y x z y x 的方向向量为k j i kj i 135251132++=-- …………………………………….4分 所求直线方程为1315312-=-=+z y x ……………………………….2分 4．设z xy x z y x f +-=23),,(，求),,(z y x f 在)0,1,1(0P 的梯度f ∇及f ∇.解：k j i k f j f i f f z y x +-=++=∇22 ………………………………….4分31)2(222=+-+=∇f …………………………………………….2分5．计算二重积分σd xy ⎰⎰D，其中D 是由直线1=y 、2=x 和x y =所围闭区域.解：把D 看成X 型区域{}x y x y x ≤≤≤≤1,21),(………..……………2分89)(21213211D=-==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x xydy dx d xy xσ………………………….4分 6．计算三重积分dV x e y )2sin (2⎰⎰⎰Ω+，其中Ω：10,10,11≤≤≤≤≤≤-z y x .解：注意到积分区域Ω关于YOZ 面对称，x e y sin 2为x 的奇函数…….2分4112212sin )2sin (22=⨯⨯⨯=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩdV dV x e dV x ey y …...4分7．L 为封闭正向圆周曲线122=+y x ，求⎰-Lydx x dy xy 22.解：y x P 2-=，2xy Q =………………………………………………….2分由格林公式⎰-Lydx x dy xy 22σσd y x d y Px Q DD⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂=)()(22 ⎰⎰=⋅=ππρρρθ20122d d …..………………4分8．判断级数πn n n ncos 2)12(12∑∞=+的敛散性. 解：注意到πn n n n cos 2)12(12∑∞=+≤∑∞=+122)12(n nn …………………………….2分 而级数∑∞=+122)12(n nn 利用比值审敛法，得 121lim1<=+∞→nn n u u ………………………....2分则由比较审敛法，级数πn n n ncos 2)12(12∑∞=+收敛.…………………....2分四、解答题（每小题8分，共计16分）1. 求二阶非齐次线性微分方程x e y y y 244-=+'+''的通解.解：注意到右端项为x m e x P x f λ)()(=型（其中2,1)(-==λx P m ）…….2分 且原方程对应的齐次方程的特征方程为0442=++r r ,特征根2-=λ为二重根.......................................................................................2分 设原方程的一个特解为x e ax y 22*-=代入原方程解出21=a ………………....2分 则原方程通解为()xx e x e x C C y 2222121--++=....................................................2分 2．设)(x f 的周期为π2，且在],[ππ-上2)(x x f =，试将)(x f 展开成傅里叶级数. 解：依题)(x f 在],[∞-∞上连续，且满足狄利克雷收敛定理条件，则0=n b ),2,1( =n ,…………………………………………....2分3222020πππ==⎰dx x a ,…………………………………….……2分⎰⎰⎰===ππππππ02020sin 2cos 2cos )(2nx d x n dx nx x dx nx x f a n⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πππππ02002c o s 4s i n 2s i n 2nx xd n dx nx x nx x n 2002)1(4cos cos 4n nxdx nx x n n -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰πππ ),2,1( =n ……2分由收敛性定理可知，∑∞=-+=1222c o s )1(43n n n nx x π …………….……………….……2分 五、应用题（本题6分）某养殖场饲养两种鱼。
【专升本】2009年高等数学(二)及参考答案
2009年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（二）答案必须答在答题卡上的指定位置，答在试卷上无效．．．．．．．。
一、 选择题：1~10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上．．．．．．．．．．．．．。
1. 2tan(1)lim 1x x x →-=-A. 0B. tan1C. 4πD. 22. 设2sin ln 2y x x =++，则y '=A. 2sin x x +B. 2cos x x +C.12cos 2x x ++ D. 2x3. 设函数()ln x f x e x =，则(1)f '=A. 0B. 1C. eD.2e4. 函数()f x 在[0,2]上连续，且在(0,2)内()0f x '>，则下列不等式成立的是A. (0)(1)(2)f f f >>B. (0)(1)(2)f f f <<C. (0)(2)(1)f f f <<D. (0)(2)(1)f f f >>5. (2)x x e dx +=⎰A. 2x x e C ++B. 22x x e C ++C. 2x x xe C ++D. 22x x xe C ++6. A.B. C. 4π D. 07. 若22()x x f x e dx e C =+⎰，则()f x =A. 2xB. 2xC. 2x eD. 18. 设函数tan()z xy =，则zx ∂=∂ A. 2cos ()xxy - B. 2cos ()xxy C. 2cos ()y xy D.2cos ()yxy -9. 设函数()z f u =，22u x y =+且()f u 二阶可导，则2zx y ∂=∂∂A. 4()f u ''B. 4()xf u ''C. 4()yf u ''D.4()xyf u ''10. 任意三个随机事件,,A B C 中至少有一个发生的事件可表示为A. A B CB. A B CC. A B CD.A B C二、 填空题：11~20小题，每小题4分，共40分。
2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案
2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案2009 至2010 学年度第2 期高等数学（下）课程考试试题册A试题使用对象：2009 级理科各专业(本科)命题人：考试用时120 分钟答题方式采用：闭卷说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废．一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分）1．已知(2,1,),(1,2,4)a m b==，则当m=时，向量a b⊥．2．(,)(2,0)sin()lim x yxy y→=．3．设区域D为22yx+≤x2，则二重积分D dσ=⎰⎰．4．函数(,),(,)P x y Q x y在包含L的单连通区域G内具有一阶连续偏导数，如果曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰与路径无关，则(,),(,)P x y Q x y 应满足条件 ．5． 当p 时，级数211pn n +∞=∑收敛．二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分）1．直线221:314x y z L -+-==-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是 ．A ．直线L 与平面π平行；B ．直线L 与平面π垂直；C ．直线L 在平面π上；D ．直线L 与平面π只有一个交点，但不垂直．2． 函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的（ ）．A ．充分条件； B. 必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分也不必要条件 3．改变积分次序，则100(,)y dy f x y dx⎰⎰．A ．1(,)xdx f x y dy ⎰⎰； B ．11(,)dx f x y dy ⎰⎰；C ．11(,)x dx f x y dy ⎰⎰；D ．11(,)xdx f x y dy ⎰⎰6．计算22()(sin )Lxy dx x y dy--+⎰，其中L 是上半圆周y =x 轴所围区域的边界，沿逆时针方向．7．将函数1()3f x x =+展开成(3)x -的幂级数． 8．计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为1x y z ++=，0,x =y =，0z =所围立体的外侧．9．求抛物面22z xy =+到平面10x y z +++=的最短距离．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题A 参考答案试题使用对象： 2009 级 理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1. 1-； 2. 2； 3. π； 4.y P ∂∂=xQ ∂∂； 5.12p >二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分） 1．B ； 2．A ； ３．D ； ４．C ； ５．C 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂……4分sin cos u u ye v e v=+(sin()cos())xy e y x y x y =-+-……7分 2．2212()(tan())y y uf x y f xy y∂''''=⋅-+∂ ……4分2122sec ()()yyf f xy xy '''=-+2122sec ()yf xf xy ''=-+……7分 3． 令22(,,)1F x y z xy z=+--，则法向量(2,2,1)n x y =-，(2,1,4)(4,2,1)n=- ……3分在点(2,1,4)处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=．即4260x y z +--=． (6)分法线方程为214421x y z ---==-． ……8分 4．22Dx d yσ⎰⎰22121xxx dx dy y=⎰⎰……4分221/11()x xx dxy=-⎰……6分231()x x dx =-⎰322111()42x x =-94=……8分5．令cos ,sin x a y a θθ==，则sin ,cos x a y a θθ''=-=，ds θ=ad θ= ……3分20a Le ad πθ=⎰⎰ ……6分＝2aae π ……8分6．2P xy=-，1P y ∂=-∂ ，2(sin )Q x y =-+，1Q x∂=-∂ ， ……4分()0DDQ PI dxdy dxdy x y∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分=……8分 7．1136(3)x x =++-113616x =-+ ……4分 当316x -<，即 39x -<<时，13x +013()66nn x +∞=-=-∑ ……8分8． ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz=()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰……4分 =1110()xx ydx dy x y z dz---++⎰⎰⎰……6分81=……8分9．设抛物面一点(,,)x y z ，它到平面的距离为1d x y z =+++满足条件220x y z +-= ……3分 拉格朗日函数为222(1)()3x y z L x y z λ+++=++- ……5分2(1)203x x y z L x λ+++=+=，2(1)203yx y z Ly λ+++=+=2(1)3z x y z L λ+++=-=，220Lx y z λ=+-=解方程组得，12x y ==-，12z =． 由问题本身知最短距离存在，所以最短距离为0.5,0.5,0.5)d --=6=……8分。
2010年专升本(高等数学二)真题试卷(题后含答案及解析)
2010年专升本（高等数学二）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．A．B．0C．ln2D．-ln2正确答案：A2．A．2+eB．1+eC．D．正确答案：C3．设函数f(x)=cos2x，则f’(x)=A．2sin2xB．-2sin2xC．sin2xD．-sin2x正确答案：B4．下列函数在区间(0，+∞)内单调减少的是A．y=xB．y=exC．y=lnxD．正确答案：D5．A．B．C．D．正确答案：A6．曲线y=1-x2与x轴所围成的平面图形的面积S=A．2B．C．1D．正确答案：B7．A．B．C．D．正确答案：C8．设函数z=xe2y，则A．0B．C．1D．2正确答案：D9．A．B．C．D．正确答案：A10．袋中有8个乒乓球，其中5个白色球，3个黄色球，从中一次任取2个乒乓球，则取出的2个球均为白色球的概率为A．B．C．D．正确答案：B填空题11．正确答案：012．当x→0时，f(x)与sin2x是等价无穷小量，则______. 正确答案：113．设函数在点x=0处的极限存在，则a=______. 正确答案：114．曲线y=x3+3x2+1的拐点坐标为______.正确答案：(-1，3)15．设函数y=ln(1+x)，则y”=______.正确答案：16．设曲线y=axex在x=0处的切线斜率为2，则a=______.正确答案：217．________________正确答案：-e-x+C18．正确答案：e-119．正确答案：20．函数z=2(x-y)-x2-y2的驻点坐标为______. 正确答案：(1，-1)解答题21．计算正确答案：22．设，求dy.正确答案：23．计算正确答案：24．计算正确答案：25．已知离散型随机变量X的概率分布为求常数a.正确答案：2+0.1+0.3+a=1，所以a=0.426．求X的数学期望EX和方差DX.正确答案：EX=0×0.2+1×0.1+2×0.3+3×0.4 =1.9 DX=(0-1.9)2×0.2+(1-1.9)2×0.1+(2-1.9)2×0.3+(3-1.9)2×0.4 =1.2927．在半径为R的半圆内作一内接矩形，其中的一边在直径上，另外两个顶点在圆周上(如图所示)，当矩形的长和宽各为多少时矩形面积最大?最大值是多少?正确答案：如图，设x轴通过半圆的直径，y轴垂直且平分直径.28．证明：当x＞1时，x＞1+lnx.正确答案：证：设f(x)=x-1-lnx，当x＞1时，f’(x)＞0则f(x)单调上升. 所以当x＞1时，f(x)＞f(1)=0. 即x-1-lnx＞0，得x＞1+lnx.29．求二元函数f(x，y)=x2+y2+xy，在条件x+2y=4下的极值.正确答案：设F(x，y，λ)=f(x，y)+λ(x+2y-4) =x2+y2+xy+λ(x+2y-4)，。
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南京信息工程大学2009-2010（2）高等数学I-2(A)一、填空题：1、L 为圆周224x y +=，计算对弧长的曲线积分⎰+Lds y x 22=8π；2、00(,)0x z x y '=和00(,)0y z x y '=是可微函数(,)z z x y =在点00(,)x y 处取得极值的 必要 （充分、必要、充要）条件；3、级数∑∞=+1312n nn的收敛性为 收敛 ； 4、若222222()()()A y z i z x j x y k =+++++ ，则rotA = 2(,,)y z z x x y ---；5、微分方程2444x y y y x e '''-+=+的特解具有形式22x Ax B cx e ++；二、选择题：1、直线2020x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面1x y z ++=的位置关系是 C ；A 、直线在平面内；B 、平行；C 、垂直；D 、相交但不垂直；2、设f 为可微函数，()x az f y bz -=-，则z za b x y ∂∂+=∂∂ A ；A 、1；B 、a ；C 、b ；D 、b a +； 3、若级数∑∞=1n n u 条件收敛，则级数∑∞=1n n u B ；A ．必收敛B ．必发散C ．必绝对收敛D ．不定4、函数2222,0(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩A ；A 、处处连续；B 、处处有极限，但不连续；C 、仅在（0，0）点连续；D 、除（0，0）点外处处连续；5、下列微分方程中，通解为)sin cos (212x C x C e y x+=的方程是 B 。
A 、054=-'-''y y y ； B 、054=+'-''y y y ；C 、052=+'-''y y y ；D 、xe y y y 254=+'-''。
三、解答题：1、判断下列级数是绝对收敛，条件收敛还是发散：（1）∑∞=+-1)1)1((n nn n ； （2）∑∞=+-11)1(n np n n ； （3）∑∞=1)(!n n n xn ； （4） +-++-+n n n 10)1(10210112 .解：（1）∑-nn)1(收敛，∑n 1发散，原级数发散；（2）1>p 时绝对收敛，10≤<p 条件收敛，0≤p 发散； （3）当e x <时绝对收敛，e x ≥时发散；（e x u u nn n =+∞→1lim）（4）交错级数，11101>+=+n u u nn n ，{}n u 单调递减；010lim=∞→nn n，由莱布尼兹定理，级数收敛.2、设(,)u u x y =，(,)v v x y =由方程组222200x y uv xy u v ⎧+-=⎨-+=⎩确定，求u x ∂∂，vx ∂∂。
解：方程组两边关于x 求导，得20220u v x v u x xu v y u v x x ∂∂⎧--=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪-+=⎪∂∂⎩；由Cramer 法则，2242()u xv uy x u v ∂+=∂+；2242()v ux vy x u v ∂-=∂+。
3、求1n n x n∞=∑的收敛域与和函数，并求113nn n ∞=⋅∑. 解：收敛域为：[1,1)-；)1ln(11)()()(0010x dx x dx n x dx x s x s x x n nx--=-='='=⎰⎰∑⎰∞=23ln )31(311==∑∞=s n n n.4、将函数1()(1)(2)f x x x =--展开成x 的幂级数.解：11()12f x x x=---， 10111(1)122(1)2n n n x x x ∞+==-=---∑， 1x <. 5、计算2482(1)I xzdydz yzdzdx z dxdy ∑=-++-⎰⎰，其中∑是由,010z yy x =⎧≤≤⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的下侧曲面.解：∑：z =取下侧，补1∑：222,4z x y =+≤取上侧，则)484(1⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑=-+-=+dxdydz z z z I⎰⎰∑-++--=1d d )1(2d d 8d d )4(2yx z x z yz z y xz I⎰⎰≤+--=422)41(2y x dxdy=π24.6、计算222()x y z ds Γ++⎰ ，其中Γ为螺旋线cos ,sin ,x t y t z kt αα===上相应于t 从0到2π的一段弧。
解：222Q 4P x y xy =-，＝－，在4,L P Qxoy y Pdx Qdy y x∂∂=+∂∂⎰面内，＝－从而在xoy 面内与路径无关，取(0,0)O ,则有AO 0,OB:0,x y ==：2222203(2)4(2)4.3LI x y dx xydyx y dx xydy x dx ππ+=--=--==⎰⎰⎰7、 周期为π2的三角波在),[ππ-上的函数表达式为x x f =)(，试将它展开成 傅里叶级数.解：由系数公式，ππππ=+-=⎰⎰-)(100xdx xdx a ；]1)1[(22--=n n n a π；0=n b ； )5cos 513cos 31(cos 42)(22 +++-=x x x x f ππ. 8、求方程25356x e y y y x +-=+'-''的通解.解：对应齐次方程的特征方程为0562=+-r r ，得11=r ，52=r ； （1）x e y y 356-=+'-''，设x Axe y =*1，代入得43=A ； （2）2556x y y =+'-''，设c bx ax y ++=*22，代入得1=a ，512=b ，2562=c ； 通解为2562512432521+++++=x x xe e C e C y x x x .南京信息工程大学2009-2010（2）高等数学I-2(B)一、填空题：1、L 为圆周122=+y x ，计算对弧长的曲线积分ds e L y x ⎰+22=2e π。
；2、设区域1:12D x y ≤+≤，则积分⎰⎰22Dln(x +y )dxdy 的符号为 > 0； 3、函数u x y z =++在球面2221x y z ++=上点(0,0,1)处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数是 1 ；4、∑∞=⋅14n nnn x 的收敛域为)4,4[- ； 5、若2332y A x yi e zj x zk =++ ，则(1,0,2)divA= 4；二、选择题：1、曲面),(y x f z =上对应于点),,(000z y x 处与z 轴正向成锐角的法向量n可取为 D ； A 、()),(),(10000y x f y x f y x ''； B 、()1),(),(0000y x f y x f y x ''；C 、()1),(),(0000-''y x f y x f y x ；D 、()1),(),(0000y x f y x f y x '-'-；2、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处连续是它在该点偏导数存在的 D ；A 、必要而非充分条件；B 、充分而非必要条件；C 、充分必要条件；D 、既非充分又非必要条件；3、设D 是以原点为圆心，R 为半径的圆围成的闭区域，则σ=⎰⎰Dxy d C ；A 、44R ；B 、43R ；C 、42R ； D 、4R ；4、对级数∑∞=1n n u ，0lim =∞→n n u 是它收敛的 A 条件；A ．必要非充分B ．充分非必要C ．充要D ．即非充分也非必要5、设31,0()1,0x f x x x ππ--≤≤⎧=⎨+<≤⎩以2π为周期，()s x 为()f x 的Fourier 级数的和函数，则 A ；A 、(0)0s =B 、3()1s ππ=+C 、()1s π-=-D 、(4)1s -=-三、解答题：1、判断下列数项级数的敛散性：（1）∑∞=>>+1)0,0(1n b a b na ； （2）∑∞=⋅121n nn ； （3）∑∞=1)sin(ln n n ； （4）∑∞=-+02)1(2n nn. 解：（1）)2(111≥⋅+>+n nb a b na ，由比较原则，原级数发散； （2）121lim1<=+∞→nn n u u ，由比值法，原级数收敛；（3）)sin(ln lim n n ∞→不存在，原级数发散；（4）1212)1(2lim <=-+∞→n n nn ，原级数收敛. 2、求函数2()xF x e d ξξ-=⎰的幂级数展开式.解： +-+++-=-!)1(!212422n enn ξξξξ，逐项积分，得35211(1)()32!5!21n n x x x F x x n n +-=-+⋅++⋅++ . 3、设函数3u x y =，而x 、y 由方程5x y t +=与232x y t +=确定，求dudt。
解：5232x y t x y t ⎧+=⎨+=⎩确定了()()x x t y y t =⎧⎨=⎩， 方程组两边关于x 求导，得：4251232dx dy x dt dtdx dy x y t dtdt ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩；由Cramer 法则，24232152dx y t dt x y x -=-；442102152dy x t xdt x y x -=-； 222342[3(32)2(51)]152du u dx u dy x y y t x x t dt x dt y dt x y x∂∂-+-=+=∂∂-。
4、计算I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是z =1－x 2－y 2在xoy 面上方的部分曲面的上侧.解：补1∑：220,1z x y =+≤取上侧，则10xdydz ydzdx zdxdy ∑++=⎰⎰，由高斯公式，2121101203336(1),2r dxdydz d rdr dz r r dr πθππ-∑+∑Ω===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1132π∑∑+∑∑=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.5、设曲线积分2()Lxy dx y x dy φ+⎰与路径无关, 其中φ具有连续的导数且(0)0φ=，计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy φ+⎰。
解：2(,),P x y xy = (,)(),Q x y y x φ= 2()2,P xy xy y y ∂∂==∂∂ [()](),Q y x y x x x φφ∂∂'==∂∂积分与路径无关P Qy x∂∂=∂∂，由()2y x xy φ'= 2()x x c φ⇒=+ 由(0)0φ=，知0c = 2()x x φ⇒=. 故(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy φ+⎰110dx ydy =+⎰⎰ 12=。