1.4 用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度
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中国矿业大学(北京)《大学物理》课件 第1章 质点运动学
y 0.22 152 9.115 30 57m
r 66i 57 j
r
的大小
r的方向
r 662 (57)2 87m
arctan y arctan 57 41
x
66
（2） 速度沿坐标轴 x、y 的投影为
vx
dx dt
d dt
(0.31t 2
7.2t
28)
0.62t 7.2
物体平动时可视为质点。 物体上任一点的运动都可以代表物体的运动。
➢ 研究汽车突然刹车“前倾”或转弯 涉及转动问题，汽车各部分运动情况不同，各
车轮受力差异很大，不能把汽车作质点处理。
质点是从客观实际中抽象出的理想模型，研 究质点运动可以使问题简化而又不失客观真实性。
二、确定质点位置的方法
静止和运动是相对的 地心学说被日心说取代，让人们明白，判断物体
求 船的运动方程。
解 取坐标系
v
依题意有
l0
l(t) l0 v t
h l(t)
坐标表示为
O
x
x(t) (l0 v t)2 h2
x(t)
说明
质点运动学的基本问题之一 , 是确定质点运动 学方程。 为正确写出质点运动学方程, 先要选定参 考系、坐标系, 明确起始条件等, 找出质点坐标随时 间变化的函数关系。
x 0.31t2 7.2t 28 y 0.22t 2 9.1t 30
试求 t =15s时小田鼠的 （1）位矢;（2）速度; （3）加速度。
解 （1）根据已知条件，小田鼠的位矢可写成
r
(0.31t
2
7.2t
28)i
(0.22t 2 9.1t 30) j
t = 15s 时
2013-01-2自然坐标系下的速度-加速度
a
a
0，an
a
an
0
为匀速率曲线运动（圆 周运动）
dv dt
0
v2
n0
a an
a
a a a 2 an 2 dv dt2 v2 2
加速度总是指向曲线的凹侧
大学物理
自然坐标系中总加速度为：
a a an
改变速度大小
大小 a a 2 an2
加速度
方向 tan 1 an
下面三种情况分别代表那一类运动？
１. ，an＝0， a 0, 2. ＝常量，an 0，a＝0, 3. ＝常量，an 0，a 0,
１. 变速直线运动 ２. 匀速率圆周运动 ３. 变速率圆周运动
大学物理
讨论
质点沿固定的圆形轨道， 若速率 v 均匀增加，at 、an、
a以及加速度与速度间的夹角中哪些量随时间变化？
v lim r
t0 t
ds
dt
vr ds v v v
dt
z
v
p s
s
r q
r(t)
r(t t)
o
y x
自然坐标系下的 速度表达式
大学物理
讨论物理意义：
vr ds v v v
dt
ds v dt
1、 瞬时速率 v：
反映了质点任一时刻沿轨道运动的快 慢。
2、任何时刻质点的速度总沿轨道的 切线方向，速度只有切线分量而无法 向分量。
与切向加速度垂直
大学物理
例题
一质点沿半径为R的圆周按规律 s v0t b运t 2动/ 2，
v0、b 都是正的常量。求：
（1） t 时刻质点的总加速度的大小
（2） t 为何值时，总加速度的大小b
大学物理1.2 质点的位移、速度和加速度
1.3.1 位移
y
A r r1 r2
y
B
yB yA
A r r1 r2
xA xB x A
B
yB yA
o
x
o
xB
x
把 由始点 A 指向终点 B 的有向线段 r 称为点 A 到 B 的位移矢量 , 简称位移. r r2 r1
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化,
1.2 质点的位移、速度和加速度
一、 位移 （反映物体位置的变化）
位移 位矢 r 在t 时间内的增量
O
P
r (t )
s
r
Q
r (t t ) 说明 (1) r是矢量， s 是标量，且大小一般不等 Δr r s r 位矢增量的大小与Δr ( r )位矢大小的增量的区别 (2) 分清
A
r (t )
o
dt
x
三、 加速度
1. 速度增量 v v (t t ) v (t )
v (t )
B
v (t t )
A
2 . 平均加速度
v a t
r (t )
r (t t )
3. 瞬时加速度
a lim v t dv dt
dr dt v
r
r
0
t dr (6i 16t j )dt 0
r0 8k
2 r 6t i 8t j 8k
1.4 用自然坐标表示平面曲线运动中 的速度和加速度
一、 速度
s s (t t ) s (t ) r s r lim ( ) v lim t 0 s t t 0 t r s ( lim )( lim ) t 0 s t 0 t r ds ds τ ( lim ) t 0 s dt dt
y
A r r1 r2
y
B
yB yA
A r r1 r2
xA xB x A
B
yB yA
o
x
o
xB
x
把 由始点 A 指向终点 B 的有向线段 r 称为点 A 到 B 的位移矢量 , 简称位移. r r2 r1
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化,
1.2 质点的位移、速度和加速度
一、 位移 （反映物体位置的变化）
位移 位矢 r 在t 时间内的增量
O
P
r (t )
s
r
Q
r (t t ) 说明 (1) r是矢量， s 是标量，且大小一般不等 Δr r s r 位矢增量的大小与Δr ( r )位矢大小的增量的区别 (2) 分清
A
r (t )
o
dt
x
三、 加速度
1. 速度增量 v v (t t ) v (t )
v (t )
B
v (t t )
A
2 . 平均加速度
v a t
r (t )
r (t t )
3. 瞬时加速度
a lim v t dv dt
dr dt v
r
r
0
t dr (6i 16t j )dt 0
r0 8k
2 r 6t i 8t j 8k
1.4 用自然坐标表示平面曲线运动中 的速度和加速度
一、 速度
s s (t t ) s (t ) r s r lim ( ) v lim t 0 s t t 0 t r s ( lim )( lim ) t 0 s t 0 t r ds ds τ ( lim ) t 0 s dt dt
第2讲 曲线运动的描述
a n g a
2 2
gv0 v ( gt )
2 0 2
O
x
代入数据，得
a
an
9 .8 2 5 302 (9.8 5) 2
9.8 30 302 (9.8 5) 2
an
8.36m s 2
a
g
y
5.12m s 2
例题2 质点在oxy平面内运动,其运动方程为
切向和法向加速度分别为:
dv d d 2 2 2 2 at ( vx vy ) ( 4 (4t ) ) 3.58m s dt dt dt
an a 2 at2 1.79m s 2
1.3 圆周运动及其描述
运动的线量描述：位置 位移 速度 加速度 （直角坐标系，自然坐标系） 运动的角量描述：角位置 角位移 角速度 角加速度 (用极坐标系描述圆周运动）
2 2 v vx v y vz2
tangential acceleration normal acceleration
切向加速度 a dv d s 2
dt
2
2
dt
法向加速度 an v
1 y R
y
O
3 2 2
, y y ( x)
R
2 a a a2 an
Δt 时间内转过的角度.
角位移的方向 右手定则判定 四指沿着质点运动方向弯曲，拇指指向为其正向.
有限大小的角位移Δθ不是矢量[不符合交换律]，无 限小的角位移 d才是矢量. 先绕 x 轴转 π/ 2，再绕 y 轴转 π/ 2.
先绕 y 轴转 π/ 2，再绕 x 轴转 π/ 2.
最后的效果是不一样的.
2 2
gv0 v ( gt )
2 0 2
O
x
代入数据，得
a
an
9 .8 2 5 302 (9.8 5) 2
9.8 30 302 (9.8 5) 2
an
8.36m s 2
a
g
y
5.12m s 2
例题2 质点在oxy平面内运动,其运动方程为
切向和法向加速度分别为:
dv d d 2 2 2 2 at ( vx vy ) ( 4 (4t ) ) 3.58m s dt dt dt
an a 2 at2 1.79m s 2
1.3 圆周运动及其描述
运动的线量描述：位置 位移 速度 加速度 （直角坐标系，自然坐标系） 运动的角量描述：角位置 角位移 角速度 角加速度 (用极坐标系描述圆周运动）
2 2 v vx v y vz2
tangential acceleration normal acceleration
切向加速度 a dv d s 2
dt
2
2
dt
法向加速度 an v
1 y R
y
O
3 2 2
, y y ( x)
R
2 a a a2 an
Δt 时间内转过的角度.
角位移的方向 右手定则判定 四指沿着质点运动方向弯曲，拇指指向为其正向.
有限大小的角位移Δθ不是矢量[不符合交换律]，无 限小的角位移 d才是矢量. 先绕 x 轴转 π/ 2，再绕 y 轴转 π/ 2.
先绕 y 轴转 π/ 2，再绕 x 轴转 π/ 2.
最后的效果是不一样的.
1.4 自然坐标系 曲线运动
r ∆v
v v v ∆τ = τ (t + ∆t ) − τ (t )
v τ (t + ∆t )
3
第1章质点运动学
P
v τ (t )
•
Qv
∆θ
•
r τ (t )
L v n(t )
O
τ (t + ∆t )
∆θ
v τ (t + ∆t )
r ∆τ
r r 夹角为 ∆τ 与τ (t )
(π－∆θ )/2 ，当 r r ∆θ → 0, dτ ⊥ τ
方向
P
v dr
r r 由右手法则确定) ω× r (由右手法则确定)
13
v v v v v r r r r v dv d (ω × r ) dω v v dr a= = = × r + ω× = β × r + ω ×v dt dt dt第1章质点运动学 dt
一质点作半径为0.1 的圆周运动， 例3 一质点作半径为 m 的圆周运动，已知运动学方 3 。 程为 求
∆θ
v
υ (t )
v
υ=const.
2
v an = R
o
指向圆心
R
向心加速度意义： 向心加速度意义： 速度方向的变化率
υ (t + ∆t )
v
∆υ
v
v
υ (t ) ∆θ
2
从加速度定义出发， 练习 ：从加速度定义出发，导出
10 第1章质点运动学
v an = R
2. 变速圆周运动
υ (t )
∆θ
O R
υy = 0
y
∴v = v x = v0 cosθ
dυx Q at = =0 dt ∴ an = g
第1章 质点运动学共48页文档
(2) 位矢法 以O点为参考点
r
x(
t
)i
y(
t
)j
R
cos
t
i
R
sin
t
j
(3) 自然法
以O’点为参考点，逆时为正。
S R t
第一章 质点运动学
7
§1-2 质点的位移、速度和加速度
一、位移 描述质点位置变化的物理量
S
几何描述： 数学描述：
PrQ
r(
t
t
)
r(
t
)
r( t ) r( t t )
2、联系 从数学上看是微分与积分的关系
微分法 r a 积分法
微分法
积分法
ar ra
第一类问题（微分法） 第二类问题（积分法）
第一章 质点运动学
14
例：直杆AB两端可以分别在两固定而 相互垂直的直线导槽上滑动，已知杆 的倾角按φ=ωt 随时间变化，试求杆 上M点的运动规律。（运动方程、轨 迹、速度、加速度）
直角坐标系
j
i
k
i jk
分别是x、y、z方 向的单位矢量
在直角坐标系中可写成：
r xi yj zk
a
x i y axi ay
j
z
k
j azk
(A)
大小
2 x
2 y
2 z
a
ax2
a
2 y
az2
第一章 质点运动学
12
由基本关系式
有：
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt
a
dx
b
2
sin
t
[精品]掌握用自然坐标法求点的速度加速度的方法步骤
![[精品]掌握用自然坐标法求点的速度加速度的方法步骤](https://img.taocdn.com/s3/m/08ccb10d5901020207409c3a.png)
方法二：直角坐标法 ①列动点的运动方程。 建立直角坐标系Oxy，如图所示。 图示几何关系：x=Rsin2φ y=Rcos2φ y 故点M的运动方程为 O' x=Rsin2ωt a 2 a y=Rcos2ωt O ②求点的速度。 vx= dx/dt = 2Rωcos2ωt vy= dy/dt =-2Rωsin2ωt A 点M速度的大小为： v =√vx2+vy2 = 2Rω 速度的方向余弦： cos（v，i）= vx/v= cos2ωt=cos2φ
3、匀变速直线运动 an=0，a = aτ=dv/dt=常量。若已知点的运动的初 始条件，当t=0时，s= s0，v= v0，则积分可得 v = v0 + at s = s0+ v0t +at² /2 由上式消去t 可得 v 2= v0 2+2a（s-s0） 4、匀变速曲线运动 an= v2/ρ， aτ=dv/dt=常量。若已知点的运动 的初始条件，当t=0时，s= s0，v= v0，则积分 可得 v = v0 +aτt s = s0+ v0t +aτt² /2 由上式消去t可得 v2= v02+2aτ（s-s0）
例3：如图a所示：杆AB的A端铰接固定，环M将AB杆 与半径为R的固定圆环套在一起，AB与垂线之夹角为 φ=ωt，求套环M的运动方程、速度、加速度。 方法一：自然坐标法 ①分析动点的运动、建立弧坐标轴。 动点套环M的轨迹为沿固定圆环 的圆周运动。以圆环上的O′点 为弧坐标原点，顺时针为弧坐标 正向，建立弧坐标轴。 ②列动点的运动方程。 图示几何关系：s = R（2φ） 故有： s= 2Rωt
③求点的速度、加速度。 由v = ds/dt得 v = d（2Rωt）/dt=2Rω 速度v的方向沿该点的切线方向，且指向运动的一方。 由an = v2/ρ，aτ=dv/dt得 aτ=dv/dt=0，an = v2/ρ=4Rω2 即点M的全加速度为：a=an=4Rω2 a的方向即 an的方向，自M点半径指向圆心。 （套环M沿固定圆环作匀速圆周运动。）
大学物理力学
求 汽车在 t = 1 s 时的速度和加速度大小。
解 根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式，有
ds v 20 0.4t dt dv aτ 0.4 dt
2 τ 2 n
v (1) 19.6 m/s
v 2 (20 0.4t ) 2 an R R
2 2
(20 0.4t ) a a a 0.4 R (20 0.4 1) a (1) 0.4 200
a (2) t =2s 时 v ，
r2 4i 2 j r1 2i j 解 (1) 由运动方程得 r r2 r1 (4 2)i (2 1) j 2i 3 j 2 dr d r d v (2) v 2i 2t j a 2 2 j dt dt dt a2 2 j 当 t =2s 时 v 2 2 i 4 j
§1.4 用自然坐标表示平面曲线运 动中的速度和加速度
一. 速度
s s(t t ) s(t )
r r s v lim lim ( ) t 0 t t 0 s t r s r ds ( lim )( lim ) ( lim ) t 0 s t 0 t t 0 s dt r ds ds ( lim τ ) τ vτ t 0 s dt dt
O
r
z
y
β
参考物
位矢的大小为：
x
x
r x2 y 2 z 2
y
位矢的方向用方向余弦表示，则有：
x y z cos , cos , cos r r r
解 根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式，有
ds v 20 0.4t dt dv aτ 0.4 dt
2 τ 2 n
v (1) 19.6 m/s
v 2 (20 0.4t ) 2 an R R
2 2
(20 0.4t ) a a a 0.4 R (20 0.4 1) a (1) 0.4 200
a (2) t =2s 时 v ，
r2 4i 2 j r1 2i j 解 (1) 由运动方程得 r r2 r1 (4 2)i (2 1) j 2i 3 j 2 dr d r d v (2) v 2i 2t j a 2 2 j dt dt dt a2 2 j 当 t =2s 时 v 2 2 i 4 j
§1.4 用自然坐标表示平面曲线运 动中的速度和加速度
一. 速度
s s(t t ) s(t )
r r s v lim lim ( ) t 0 t t 0 s t r s r ds ( lim )( lim ) ( lim ) t 0 s t 0 t t 0 s dt r ds ds ( lim τ ) τ vτ t 0 s dt dt
O
r
z
y
β
参考物
位矢的大小为：
x
x
r x2 y 2 z 2
y
位矢的方向用方向余弦表示，则有：
x y z cos , cos , cos r r r
自然坐标系中的速度、加速度
速度的矢量表示
总结词
速度的矢量表示包括大小和方向两个方 面，通常用箭头表示方向，用绝对值表 示大小。
VS
详细描述
矢量表示法是速度最常用的表示方法，它 能够完整地描述速度的大小和方向。在自 然坐标系中，速度的大小由箭头的长度表 示，箭头的指向代表速度的方向。
速度的标量表示
总结词
速度的标量表示只考虑速度的大小，忽略方向，通常用绝对值表示。
特点
自然坐标系与质点运动的具体轨迹相 关，可以直观地描述速度和加速度的 方向和大小。
自然坐标系的应用
描述曲线运动
自然坐标系常用于描述质点在曲线上 的运动，如行星绕太阳的椭圆轨道运 动。
分析动力学
在分析力学中，自然坐标系用于描述 质点的速度和加速度，进而研究其动 力学行为。
自然坐标系与直角坐标系的区别与联系
02
03
健康管理
在健康管理中，个人的速度和加速度 可以用来监测身体的运动状态，从而 进行科学的健身计划和健康管理。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
定义法
根据加速度的定义式计算，即加速度等于速度的变化量除以时间的变化量。
公式法
根据加速度的公式计算，即加速度等于速度的导数或切向加速度。
02
速度在自然坐标系中的 表示
速度的定义
总结词
速度是描述物体运动快慢的物理量，定义为物体在单位时间内通过的位移。
详细描述
速度是矢量，具有大小和方向，通常用符号"v"表示。在自然坐标系中，速度的 大小等于物体在单位时间内通过的直线距离，方向则与物体位移的方向相同。
详细描述
匀速直线运动是指物体在直线轨道上以恒定速度进行的运动，其方程为 $s = v_0t$，其中 $s$ 是位移， $v_0$ 是初始速度，$t$ 是时间。
第一次课-1.1 -1.2确定质点位置的方法
1.2 质点的位移、速度和加速度
一、 位移 （反映物体位置的变化）
r r (t t ) r (t )
P
s
位移 位矢 r 在t 时间内的增量
说明
O
r (t )
r
P
r (t t )
Δr
(1) r是矢量， s 是标量，且大小一般不等 r s r 与Δr ( r)的区别 (2) 分清
x y z
2 2
2
方向
x cos r
y cos r
z cos r
3. 自然坐标法 （用于运动轨迹已知的质点）
• O
s
P
说明 自然坐标 s 是代数量 4. 运动学方程(函数) 直角坐标 自然坐标 位矢法
x x(t )
s f (t )
y y (t )
一、 质点运动学的基本概念
质点 ： 大小和形状可以忽略的物体
z
参照物
O
y
x
参照物 ：为了描述物体运动而被选作参考的物体或物体系
二、确定质点位置的常用方法
1. 直角坐标法 P(x, y, z) 2. 位矢法 （质点位置由位置矢量描述）
z
r
参照物
y
O
x
位置矢量 大小 r
r xi yj zk
v
三、 加速度
1. 速度增量 v v (t t ) v (t )
v (t )
B
v (t t )
A
2 . 平均加速度
a v t
r (t )
r (t t )
第1章 质点运动学
r
dr υ= dt
方向： 方向：切线方向
速度是位置矢量对时间的一阶导数
第一章 质点运动学 9
3) 平均速率和瞬时速率 平均速率
S υ= t
S dS υ = lim = dt 0 t → t
运动路径
P (t1 )
瞬时速率 讨论
υ
r
s
Q(t2 )
速度的矢量性、瞬时性和相对性。 1) 速度的矢量性、瞬时性和相对性。 2) 速度和速率的区别
∫
∫
第一章 质点运动学
18
§1-4 用自然坐标表示平面曲线运 动中的速度和加速度
自然坐标系 （用自然坐标 表示质点位置） 用自然坐标S表示质点位置 表示质点位置）
设质点作曲线运动，且轨迹已知， 设质点作曲线运动，且轨迹已知，则 选参考点和正方向即可建立自然坐标。 选参考点和正方向即可建立自然坐标。运 动方程为： 动方程为： s = s(t) 单位切向量τ ： 长度为 ，沿切向指向运动方向 长度为1， 单位法向量 n： 长度为 ，沿法向指向凹的一侧 长度为1，
S = Rωt
第一章 质点运动学 7
§1-2 质点的位移、速度和加速度 质点的位移、
一、位移
描述质点位置变化的物理量 几何描述： 几何描述： PQ 数学描述： 数学描述： r
= r ( t + t ) r ( t )
r( t )
P S Q r
r ( t + t )
r
讨论 (1) 位移是矢量（有大小，有方向） 位移是矢量（有大小，有方向） 位移不同于路程 r ≠ S (2) 位移与坐标选取无关 (3) 由质点的始末位置确定， 由质点的始末位置确定， 与中间运动过程无关 (4) 分清 r 与r 的区别
dr υ= dt
方向： 方向：切线方向
速度是位置矢量对时间的一阶导数
第一章 质点运动学 9
3) 平均速率和瞬时速率 平均速率
S υ= t
S dS υ = lim = dt 0 t → t
运动路径
P (t1 )
瞬时速率 讨论
υ
r
s
Q(t2 )
速度的矢量性、瞬时性和相对性。 1) 速度的矢量性、瞬时性和相对性。 2) 速度和速率的区别
∫
∫
第一章 质点运动学
18
§1-4 用自然坐标表示平面曲线运 动中的速度和加速度
自然坐标系 （用自然坐标 表示质点位置） 用自然坐标S表示质点位置 表示质点位置）
设质点作曲线运动，且轨迹已知， 设质点作曲线运动，且轨迹已知，则 选参考点和正方向即可建立自然坐标。 选参考点和正方向即可建立自然坐标。运 动方程为： 动方程为： s = s(t) 单位切向量τ ： 长度为 ，沿切向指向运动方向 长度为1， 单位法向量 n： 长度为 ，沿法向指向凹的一侧 长度为1，
S = Rωt
第一章 质点运动学 7
§1-2 质点的位移、速度和加速度 质点的位移、
一、位移
描述质点位置变化的物理量 几何描述： 几何描述： PQ 数学描述： 数学描述： r
= r ( t + t ) r ( t )
r( t )
P S Q r
r ( t + t )
r
讨论 (1) 位移是矢量（有大小，有方向） 位移是矢量（有大小，有方向） 位移不同于路程 r ≠ S (2) 位移与坐标选取无关 (3) 由质点的始末位置确定， 由质点的始末位置确定， 与中间运动过程无关 (4) 分清 r 与r 的区别
曲线运动中速度与加速度的特征
曲线运动中速度与加速度的特征曲线运动是我们日常生活中经常会遇到的一种运动。
在这种运动过程中,物体或者人体移动的轨迹不是直线,而是呈现出曲线的形状。
在曲线运动中,速度和加速度是非常重要的物理量,它们的特征对于我们理解曲线运动的规律和特点具有重要意义。
本文将从速度与加速度的特征出发,探讨曲线运动的规律及其在日常生活中的应用。
首先,让我们来了解一下曲线运动中速度的特征。
在一般情况下,曲线运动的速度是一个矢量量,既有大小又有方向。
针对不同的曲线运动,其速度的大小和方向都是不断变化的。
可以说,曲线运动的速度是具有多变性的。
在运动学中,我们通常使用切线速度和切向加速度来描述曲线运动中的速度特征。
切线速度是指物体在曲线轨迹上某一点的瞬时速度,也可以理解为切线方向上的速度。
切向加速度则是指物体在曲线轨迹上某一点的瞬时加速度,也可以理解为切向方向上的加速度。
在曲线运动中,速度和加速度的方向可能会随着时间不断变化,这与直线运动有着明显的区别。
其次,我们需要了解一下曲线运动中加速度的特征。
在曲线运动中,加速度的大小和方向也是不断变化的。
通常情况下,物体在曲线轨迹上的速度发生改变,则会产生加速度。
正如我们所知,加速度可以分为切向加速度和法向加速度。
切向加速度是指物体在曲线轨迹上速度的改变量,通常导致速度的变化。
而法向加速度则是指物体在曲线轨迹上的速度方向发生改变所产生的加速度。
在曲线运动中,加速度的大小和方向可能会随着时间不断变化,这与直线运动同样有着显著的不同。
在曲线运动中,速度与加速度的特征是紧密关联的。
速度是加速度的积分,加速度是速度的导数。
也就是说,当我们知道了速度随时间的变化规律,就可以求出加速度的大小和方向。
反之,当我们知道了加速度随时间的变化规律,就可以求出速度的大小和方向。
而在实际问题中,有时我们所了解的可能只是速度或者加速度中的一个,那么我们就需要借助速度与加速度的关系,进行相关变量的计算和求解。
这也体现了曲线运动中速度与加速度的紧密关联性。
自然坐标系下的速度-加速度PPT演示课件
an 0，a 0 变速直线运动；
a 0，an 0 为匀速率曲线运动（圆周运动）
a
a
an
dv dt
0
v2
n0
a
a
an
a a a 2 an 2 dv dt2 v2 2
加速度总是指向曲线的凹侧
9
大学物理
解：(1)
x v0t y 1 gt 2
2
17
o
1 x2g
y 2
v02
y
v0
x
an
a
g
大学物理
(2) vx v0 , vy gt
o v0
x
v vx2 vy2 v02 g2t2
arctg gt
y
v0
an
a
g
dv a dt
g2t v02 g2t2
dt
R
即圆周运动的加速度可分解为两个正交分量：
a
dv dt
a n
v2 R
o a
n
a n
P a
aan
切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢 法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的快慢
8
大学物理
a
a0
an ann0
切向加速度、反映速度大小变化， 法向加速度、反映速度方向变化，
v
a
dv dt
d
dt
v
5
大学物理
讨论物理意义：
以圆周运动为例讨论上式中两个分项的物理意义：
1.4 用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度
A2ω2 + B2dt = A2ω2 + B2t
ds v =vτ = τ = A2ω2 + B2 τ dt
将一根光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线， 例 将一根光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线，质点可沿 钢丝向下滑动。已知质点运动的切向加速度为 a = g sinθ 钢丝向下滑动。 τ g 为重力加速度，θ 为切向与水平方向的夹角. 为重力加速度， 为切向与水平方向的夹角. 质点在钢丝上各处的运动速度. 求 质点在钢丝上各处的运动速度. 解 由题意可知
2 2 2
=1.44 m/s2
讨论
在一般情况下 a =
d dv dτ d s v (vτ ) = τ +v = 2τ + n dt dt dt dt ρ
2
2
其中ρ 为曲率半径， 其中ρ 为曲率半径，n的方向指向曲率圆中心 引入曲率圆后， 引入曲率圆后，整条曲线就可看成是由许多不同曲率半 径的圆弧所构成
意义： 意义： 反映速度大小变化的快慢
τ (t)
ds dτ 第二项： 第二项： 叫法向加速度 an dt dt
θ
τ
τ (t + t)
τ =τ (t + t) τ (t)
当 t →0 时
τ (t)
τ = τ (t) θ = θ
τ // n
θ
τ
τ (t + t) τ = θ n dτ τ θ θ s 1 = lim 因而 = lim n = lim n = vn t→0 t→0 dt t t→0 t s t ρ
2 t2
ds =vdt = 2 1+ t dt ∫ ds = ∫ 2 1+ t 2dt 路程有 路程有 s t
大学物理1.4 自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度
解 由题意可知
aτ dv dt dv ds ds dt v dv ds
y
dy
P
aτ g sin
ds
vdv g sin ds dy sin sin ds dy ds
O
2
x
v
v0
vdv gdy
y0
y
v v 0 2 g ( y0 y)
dv v a a an τ n dt R
3. 变速曲线运动
P
an
2
v
aτ
a
dv v a τ n dt
2
曲率圆
例 一汽车在半径R=200 m 的圆弧形公路上行驶，其运动学 方程为s =20t 0.2 t 2 (SI) . 求 汽车在 t = 1 s 时的速度和加速度大小。 解 速度
2
2 例 已知质点运动方程为 r 2t i t j (SI)
求 t1 1s t 2 3s 之间的路程 。 解 速度 速率 路程
d dr 2 v (2ti t j ) 2i 2t j dt dt
2 2
v v x v y
2
ln t 1 t
c
例 已知质点的运动方程为
x A cos t , y A sin t , z Bt
求 在自然坐标系中任意时刻的速度
解
ds v x v y v z dt
2 2 2
s
A 2 cos 2 t A 2 sin 2 t B 2
v
P
s
r
自然坐标系中的加速度分量
任务 自然坐标系中的加速度分量
质点沿已知平面轨道曲线运动,速度 沿轨道切线方向, 则将加速度分解为切向分量和法向分量。
nn
a
dv
d
(v) v v
dt dt
v
vn
v
v
ds
d
n
d v
v2
n
dt ds
dt
任务 自然坐标系中的加速度分量
a
dv
v2
n
dt
a a ann
曲线的曲率半径为：
运动轨迹是空间曲线，在曲线的M点作切线和割线， M点的
切线和割线在空间确定一个平面，当无限趋近时，切线和割
线确定的极限平面称为点的密切面。在密切面内过M点垂直
于切线的直线称为主法线，既垂直于切线又垂直于法线的直
线称为副法线。
b
n
任务 自然坐标系中的加速度分量
按照平面情况的方法，可以得到
aan
dv v2
dt
ab 0
质点的运动轨迹是空间曲线时，加速度总是在密切面内。
任务 自然坐标系中的加速度分量
1）.平面自然坐标系
质点沿着曲线轨道运动时，其速 度和加速度与轨道的几何形状有关。 如果我们以质点的起始位置为坐标原 点，以轨道曲线的弧长为坐标，则弧 坐标s就唯一确定了质点的位置。在 质点的平面运动中，曲线上任意一点 P的切线和法线构成P点的正交坐标系， 称为自然坐标系。
a
dv dt
s v
an
v2
s2
（切向加速度） （法向加速度）
大小
a
a2 an2
v2 ( v2 )2
a 是由于速度的量值改变所引起的
an 是由于速度的方向改变 自然坐标系中的加速度分量
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vn
v2 an an n n r
dv a a τ τ dt
v dv a an n a τ n τ r dt
加速度的大小和方向分别为 an 2 2 t an a an a a
大学物理 第三次修订本
a 反映速度大小变化的快慢 切向加速度
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2
第1章 质点运动学
s v 2 v lim an lim t 0 t r t 0 t r | vτ | v dv aτ lim lim t 0 t t 0 t dt
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9
第1章 质点运动学
三、一般平面曲线运动中的加速度
v an a n n n
2
dv a a τ τ dt 2 v dv a an n a τ n τ dt
ρ为轨迹曲线在任意点的曲率半径。
大学物理 第三次修订本
10
3
2
第1章 质点运动学
例1 一辆汽车在半径为R=200 m的圆弧形公路 2 上行驶，其运动学方程为 s 20t 0.2t ,其中 s以m计，t 以s计，试求汽车在 t =1s 时的速度 和加速度的大小。
解 根据速度和加速度在自然坐标系中的表示 形式，有 ds 速度大小 v 20 0.4t dt 加速度 2 2 dv v (20 0.4t ) a 0.4 an dt R R
-1
2
) 1.96m s -2
5
2
大学物理 第三次修订本
第1章 质点运动学
例2 质点沿半径R=3m的圆周运动，如图。已知 2 切向加速度 a 3m s , t 0 时质点在 O 点, 其 速度 v0 0，试求（1）t =1s 时质点速度和加速 度的大小；（2）第2秒内质点所通过的路程。 解 取t=0时质点的位置O´为自然 坐标原点，以质点运动的方向为 自然坐标正向，并设任意时刻t质 点的速度为v。自然坐标为s。
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4
第1章 质点运动学
(20 0.4t ) a a a (0.4) R 当 t = 1s 时
2 n 2 2
2
)
2
v 20 0.4 19.6m s
(19.6) a (0.4) 200
2
第1章 质点运动学
一 、速度 s s(t t ) s(t )
1.4 用自然坐标表示平面曲线运动中 的速度和加速度
r s r v lim lim ( ) t 0 t t 0 s t r s ( lim )( lim ) t 0 s t 0 t r ds d s ( lim ) τ t 0 s d t dt
s
R
o
o
dv （1）由 a dt
得
v
0
dv a dt
0
6
t
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第1章 质点运动学
大学物理 第三次修订本
7
第1章 质点运动学
积分，得
v aτ t
v 2 aτ2t 2 an R R
法向加速度的大小
加速度的大小
a t a a a ( aτ ) R
v
P
s
Q
r (t )
r
L
r (t t )
O
t 0 时， r 沿切线方向，且 r s
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1
第1章 质点运动学
二、圆周运动中的加速度
v vτ vn
A
v(t ) v n
P
B
v
根据加速度定义 O v v (t t ) v a lim t 0 t v vn lim lim a an t 0 t t 0 t an反映速度方向变化的快慢 法向加速度
2 n 2 τ 2
2 2 τ
2
大学物理 第三次据，得
v a t 3 1 3m/s
a 4.24 m/s 2
ds （2）由 v dt
得
积分，得
1 2 s a t 2
ds a tdt
0 τ 0
s
t
代入数据，得
1 2 2 s 3 (2 1 ) 4.5 m 2