2018届高考数学(文)大一轮复习检测第一章第3讲命题及其关系、充分条件与必要条件Word版含答案

第3讲命题及其关系、充分条件与必要条件,[学生用书P7])1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”为真命题，记作：p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作：p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．1．辨明两个易误点(1)否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．(2)注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)，与A的充分不必要条件是B(B ⇒A且A⇒/B)两者的不同．2．充要条件常用的三种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与¬B⇒¬A，B⇒A与¬A⇒¬B，A⇔B与¬B⇔¬A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．1.教材习题改编命题：若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0有实数根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0有实数根，则m≤0B[解析] 根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若¬q，则¬p”，故选B.2.教材习题改编“x>4”是“x2－2x－3>0”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件B[解析] 因为x2－2x－3>0，所以该不等式的解集为{x|x<－1或x>3}，所以x>4⇒x2－2x－3>0.但x 2－2x －3>0⇒/x >4，所以“x >4”是“x 2－2x －3>0”的充分而不必要条件．3.教材习题改编 命题p 的逆命题为“奇函数的图象关于原点对称”，则p 为( ) A ．奇函数的图象不关于原点对称B ．若一个函数不是奇函数，则它的图象不关于原点对称C ．若一个函数的图象关于原点对称，则它是奇函数D ．若一个函数的图象不关于原点对称，则它不是奇函数C [解析] 命题p 为：若一个函数的图象关于原点对称，则它是奇函数，故选C. 4.教材习题改编 命题：“若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等”的否命题是____________．[答案] “若一个三角形的两条边相等，则这两条边所对的角也相等”5.教材习题改编 命题p ：x 2＝3x ＋4，命题q ：x ＝3x ＋4，则p 是q 的________条件．[解析] 当x 2＝3x ＋4时，x ＝－1或4，当x ＝－1时，x ＝3x ＋4不成立，即p ⇒/q .当x ＝3x ＋4时，x ≥0，3x ＋4≥0，则x 2＝3x ＋4，即q ⇒p ，所以p 是q 的必要不充分条件．[答案] 必要不充分四种命题的相互关系及真假判断[学生用书P8][典例引领](1)原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 (2)若命题“正弦函数不是分段函数”，则( ) A ．其否命题是“正弦函数是分段函数” B ．其逆命题是“分段函数不是正弦函数” C ．其逆否命题是“分段函数是正弦函数” D ．以上都不正确【解析】 (1)a n ＋a n ＋12<a n ，即a n ＋a n ＋1<2a n ， 则a n ＋1<a n ，所以{a n }为递减数列，故原命题为真，则其逆否命题也为真； 若{a n }是递减数列，则a n ＋1<a n ， 所以a n ＋a n ＋1<2a n ， 所以a n ＋a n ＋12<a n ，故其逆命题也是真命题，则其否命题也是真命题．故选A.(2)命题“正弦函数不是分段函数”可写成若一个函数是正弦函数，则该函数不是分段函数，易知A、B、C都是错误的，故选D.【答案】(1)A(2)D判断四种命题间关系、真假的方法(1)写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写，当一个命题有大前提时，写其他三个命题时，大前提需要保持不变；(2)当一个命题直接判断真假不容易进行时，可转而判断其逆否命题的真假．[通关练习]1．命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是()A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D[解析] 将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y ＝0，其否定是x≠0或y≠0.2．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为________(填写所有真命题的序号)．[解析] ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．[答案] ①②③充分条件、必要条件的判断(高频考点)[学生用书P9]充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面．高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性相交汇命题．[典例引领](1)(2016·高考四川卷)设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)给出下列命题：①“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n a n＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．【解析】(1)若x>1且y>1，则有x＋y>2成立，所以p⇒q；反之由x＋y>2不能得到x>1且y>1.所以p是q的充分不必要条件．(2)对于①，当数列{a n}为等比数列时，易知数列{a n a n＋1}是等比数列，但当数列{a n a n＋1}为等比数列时，数列{a n}未必是等比数列，如数列1，3，2，6，4，12，8…显然不是等比数列，而相应的数列3，6，12，24，48，96…是等比数列，因此①正确；对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m＝3，也可能m＝0.因此③不正确；对于④，由题意得ba＝sin Bsin A＝3，若B＝60°，则sin A＝12，注意到b>a，故A＝30°，反之，当A＝30°时，有sin B＝32，由于b>a，所以B＝60°或B＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.[答案](1)A(2)①④充要条件问题的常见类型及解题策略(1)充要条件的三种判断方法有定义法、集合法、等价转化法(见本讲要点整合)．(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件．解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性．(3)充要条件与命题真假性的交汇问题．依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可．[题点通关]角度一判断指定条件与结论之间的关系1．(2016·高考天津卷)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件C[解析] 由x＞y推不出x＞|y|，由x＞|y|能推出x＞y，所以“x＞y”是“x＞|y|”的必要而不充分条件．角度二探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件2．命题“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是() A．a≥1B．a>1C．a≥4 D．a>4D[解析] 命题可化为∀x∈[1，2)，a≥x2恒成立．因为x∈[1，2)，所以x2∈[1，4)．所以命题为真命题的充要条件为a≥4.所以命题为真命题的一个充分不必要条件为a>4，故选D.角度三与命题的真假性相交汇命题3．下列命题中真命题的个数是()①x＝2是x2－4x＋4＝0的充要条件；②α＝β是sin α＝sin β的充分条件；③a>b既不是a2>b2的充分条件也不是必要条件．A ．0B ．1C ．2D ．3D [解析] ①真，②真，③真．故选D. 充分条件、必要条件的应用[学生用书P9][典例引领]已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S的必要条件，求m 的取值范围．【解】 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3. 所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件， 即所求m 的取值范围是[0，3]．若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． [解] 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．根据充要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．(2017·常德一中月考)若“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件，则a的最小值为________．[解析] 由x 2－x －6>0， 解得x <－2或x >3.因为“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件， 所以{x |x >a }是{x |x <－2或x >3}的真子集， 即a ≥3， 故a 的最小值为3. [答案] 3, [学生用书P10])——等价转化思想在充要条件中的应用已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且¬q 的一个充分不必要条件是¬p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]【解析】 由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由¬q 的一个充分不必要条件是¬p ， 可知¬p 是¬q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件． 所以{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，所以a ≥1. 【答案】 A本题将“¬q 的一个充分不必要条件是¬p ”转化为“q 是p 的充分不必要条件”；将p 与q 之间的条件关系转化为相应集合间的包含关系，使抽象问题直观化、复杂问题简单化，体现了等价转化思想的应用．1.给定两个命题p 、q .若¬p 是q 的必要而不充分条件，则p 是¬q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [解析] 由q ⇒¬p 且¬p ⇒/q 可得p ⇒¬q 且¬q ⇒/p ，所以p 是¬q 的充分而不必要条件． 2．已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [解析] (等价法)因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1，或y ≠－1， 所以¬p ：x ＋y ＝－2，¬q ：x ＝－1，且y ＝－1，因为¬q ⇒¬p 但¬p ⇒/¬q ，所以¬q 是¬p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．故选A., [学生用书P237(独立成册)])1．下列命题中的真命题为( )A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2 A [解析] 取x ＝－1，排除B ；取x ＝y ＝－1，排除C ；取x ＝－2，y ＝－1，排除D.2．命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是( ) A ．若a >b ，则a －1≤b －1 B ．若a >b ，则a －1<b －1 C ．若a ≤b ，则a －1≤b －1D ．若a <b ，则a －1<b －1C [解析] 根据否命题的定义可知，命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题应为“若a ≤b ，则a －1≤b －1”． 3．(2017·陕西五校模拟)已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定B [解析] 命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题． 4．(2017·合肥模拟)“x >2”是“x 2＋2x －8>0”成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件C [解析] 由x 2＋2x －8>0，可解得x <－4或x >2，所以“x >2”是“x 2＋2x －8>0”成立的充分不必要条件，故选C.5．a <0，b <0的一个必要条件为( ) A ．a ＋b <0 B ．a －b >0C ．a b >1D ．a b<－1A [解析] 若a <0，b <0，则一定有a ＋b <0，故选A.6．命题“若x 2＋3x －4＝0，则x ＝－4”的逆否命题及其真假性为( ) A ．“若x ＝－4，则x 2＋3x －4＝0”为真命题 B ．“若x ≠－4，则x 2＋3x －4≠0”为真命题 C ．“若x ≠－4，则x 2＋3x －4≠0”为假命题 D ．“若x ＝－4，则x 2＋3x －4＝0”为假命题C [解析] 根据逆否命题的定义可以排除A ，D ，因为x 2＋3x －4＝0，所以x ＝－4或1，故选C.7．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题 B ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题B [解析] 对于选项A ，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故选项A 为假命题；对于选项B ，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知选项B 为真命题；对于选项C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故选项C 为假命题；对于选项D ，命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故选项D 为假命题．8．已知直线l ，m ，其中只有m 在平面α内，则“l ∥α”是“l ∥m ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件B [解析] 当l ∥α时，直线l 与平面α内的直线m 平行、异面都有可能，所以l ∥m不一定成立；当l ∥m 时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l ∥α，即“l ∥α”是“l ∥m ”的必要不充分条件，故选B.9．设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A [解析] 当四边形ABCD 为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC ⊥BD ；当四边形ABCD 中AC ⊥BD 时，四边形ABCD 不一定是菱形，还需要AC 与BD 互相平分．综上知，“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．10．(2017·太原模拟)已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [解析] 法一：若cos α≠12，则α≠2k π±π3(k ∈Z )，则α也必然不等于π3，故p ⇒q ；若α≠π3，但α＝－π3时，依然有cos α＝12，故q ⇒/p .所以p 是q 的充分不必要条件．法二：¬p ：cos α＝12，¬q ：α＝π3，则有¬p ⇒/¬q ，¬q ⇒¬p ，即¬q 是¬p 的充分不必要条件，根据原命题与逆否命题的等价性，可得p 是q 的充分不必要条件．11．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( ) A ．p ：x ＝1，q ：x 2＝x B ．p ：|a |>|b |，q ：a 2>b 2 C ．p ：x >a 2＋b 2，q ：x >2abD ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >dD [解析] A 中，x ＝1⇒x 2＝x ，x 2＝x ⇒x ＝0或x ＝1⇒/x ＝1，故p 是q 的充分不必要条件；B 中，因为|a |>|b |，根据不等式的性质可得a 2>b 2，反之也成立，故p 是q 的充要条件；C 中，因为a 2＋b 2≥2ab ，由x >a 2＋b 2，得x >2ab ，反之不成立，故p 是q 的充分不必要条件；D 中，取a ＝－1，b ＝1，c ＝0，d ＝－3，满足a ＋c >b ＋d ，但是a <b ，c >d ，反之，由同向不等式可加性得a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ，故p 是q 的必要不充分条件．综上所述，故选D. 12．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]B [解析] 由q ：(x ＋1)(2－x )<0，得x <－1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，即实数k 的取值范围是(2，＋∞)，故选B.13．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________．[解析] 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．[答案] 114．在下列三个结论中，正确的是________．(写出所有正确结论的序号) ①若A 是B 的必要不充分条件，则¬B 也是¬A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．[解析] 易知①②正确．对于③，若x ＝－1，则x 2＝1，充分性不成立，故③错误． [答案] ①②15．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． [解析] 由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎨⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. [答案] [－3，0]16．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．[解析] α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }， 因为β：|x －1|<1，所以0<x <2， 所以β可看作集合B ＝{x |0<x <2}． 又因为α是β的必要不充分条件． 所以B A ，所以a ≤0. [答案] (－∞，0]17．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________． [解析] 因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2. [答案] m ＞2 18．已知p ：－2≤x ≤10，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且¬p 是¬q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．[解] 因为¬p 是¬q 的必要而不充分条件， 所以p 是q 的充分而不必要条件， 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)， 得1－m ≤x ≤1＋m ，设q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }， p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为p 是q 的充分而不必要条件，所以PQ ，所以⎩⎨⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎨⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，即m ≥9或m >9.所以m ≥9.19．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．[解] 因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程， 所以m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16（1－m ）≥0，Δ2＝16m 2－4（4m 2－4m －5）≥0，解得m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数， 故其根的和与积也为整数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4m∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z .所以m 为4的约数．又因为m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1， 所以m ＝－1或1.当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数； 而当m ＝1时，两方程的根均为整数， 所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.。