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江苏省无锡市江阴市 九年级(上)月考数学试卷(10月份)

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江苏省无锡市 九年级(上)月考数学试卷(10月份)

江苏省无锡市 九年级(上)月考数学试卷(10月份)

九年级（上）月考数学试卷（10月份题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.若ab=35，则a+bb的值为（ ）A. 85B. 35C. 32D. 582.关于x的方程x2-4=0的根是（ ）A. 2B. −2C. 2，−2D. 2，123.下列说法中正确的是（ ）A. 弦是直径B. 弧是半圆C. 半圆是圆中最长的弧D. 直径是圆中最长的弦4.若⊙O的弦AB等于半径，则AB所对的圆心角的度数是（ ）A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘5.三角形的内心是三角形的（ ）A. 三条高的交点B. 三条角平分线的交点C. 三条中线的交点D. 三条边的垂直平分线的交点6.如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（ ）A. 87∘B. 60∘C. 75∘D. 120∘7.如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数（）A. 25∘B. 30∘C. 40∘D. 50∘8.某县2017年的GDP是250亿元，要使2019年的GDP达到360亿元，求这两年该县GDP年平均增长率．设年平均增长率为x，可列方程（ ）A. 250(1+2x)2=360B. 250(1+2x)=360C. 250(1+x)(1+2x)=360D. 250(1+x)2=3609.如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是（ ）A. 6cmB. 10cmC. 23cmD. 25cm10.如图，圆中有四条弦，每一条弦都将圆分割成面积比为1：3的两个部分，若这些弦的交点恰是一个正方形的顶点，那么这个正方形的外接圆的面积与图中阴影部分面积的比值为（ ）A. 2πB. 2−πC. πD. 2π二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.若方程2x2+x-1=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2=______．12.已知⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则AB=______．13.弧的半径为24，所对圆心角为60°，则弧长为______．14.线段2cm、8cm的比例中项为______cm．15.一只自由飞行的小鸟，将随意地落在如图所示的方格地面上，每个小方格形状完全相同，则小鸟落在阴影方格地面上的概率是______．16.如图是一张电脑光盘的表面，两个圆的圆心都是点O，大圆的弦AB所在直线是小圆的切线，切点为C．已知大圆的半径为5cm，小圆的半径为1cm，则弦AB的长度为______cm．17.如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为______．18.如图，平面直角坐标系中，分别以点A（-2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN 的最小值等于______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.计算：（1）(25+32)(25−32)（2）48÷3−12×12+24．四、解答题（本大题共9小题，共76.0分）20.解方程：（1）（2x-3）2=25（2）x2-4x-3=0 （配方法）21.在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．22.近年来，地震、泥石流等自然灾害频繁发生，造成极大的生命和财产损失．为了更好地做好“防震减灾”工作，我市相关部门对某中学学生“防震减灾”的知晓率采取随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”和“不了解”四个等级．小明根据调查结果绘制了如图统计图，请根据提供的信息回答问题：（1）本次调查中，样本容量是______；（2）扇形统计图中“基本了解”部分所对应的扇形圆心角是______；在该校2000名学生中随机提问一名学生，对“防震减灾”不了解的概率的估计值为______；（3）请补全频数分布直方图．23.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD∥AB．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）24.如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：（1）在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出点D点坐标为______．（2）连接AD、CD，求⊙D的半径及弧AC的长．（3）有一点E（6，0），判断点E与⊙D的位置关系．25.如图，直线y=-x+2与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；（2）若点P在直线y=-x+2上，且S△ACP=S△BDP，请求出此时点P的坐标；（3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．26.某工厂生产一种产品，当产量至少为10吨，但不超过55吨时，每吨的成本y（万元）与产量x（吨）之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如表：x（吨） 10 20 30y（万元/吨） 45 40 35（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当投入生产这种产品的总成本为1200万元时，求该产品的总产量；（注：总成本=每吨成本×总产量）（3）市场调查发现，这种产品每月销售量m（吨）与销售单价n（万元/吨）之间满足如图所示的函数关系，该厂第一个月按同一销售单价卖出这种产品25吨．请求出该厂第一个月销售这种产品获得的利润．（注：利润=售价-成本）27.已知：∠MAN=60°，点B在射线AM上，AB=4（如图）．P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），O是△BPQ的外心．（1）当点P在射线AN上运动时，求证：点O在∠MAN的平分线上；（2）当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP交于点C，设AP=x，AC•AO=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）若点D在射线AN上，AD=2，圆I为△ABD的内切圆．当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时，请直接写出点A与点O的距离．28.如图，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．（1）若m=6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC 的距离等于3，求所有这样的m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵=，∴a=b，即==．故选：A．用b表示a，代入求解即可．本题主要考查了简单的比例问题，能够熟练掌握．2.【答案】C【解析】解：x2-4=0，则x2=4，解得：x1=2，x2=-2，故选：C．直接利用开平方法解方程得出答案．此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确开平方是解题关键．3.【答案】D【解析】解：A、错误．弦不一定是直径．B、错误．弧是圆上两点间的部分．C、错误．优弧大于半圆．D、正确．直径是圆中最长的弦．故选：D．根据弦、直径、弧、半圆的概念一一判断即可．本题考查圆的基本知识，解题的关键是记住弦、弧、半圆、直径等一个概念，属于基础题，中考常考题型．4.【答案】B【解析】解：∵OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°．故选：B．由⊙O的弦AB等于半径，可得△AOB是等边三角形，继而求得AB所对的圆心角的度数．此题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5.【答案】B【解析】解：三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，A、三条高的交点叫垂心；B、三角形的三条角平分线的交点叫内心；C、三条中线的交点叫重心；D、三条边的垂直平分线的交点叫外心．本题考查了三角形三条重要线段交点的问题，明确①内心：三角形的三条角平分线的交点②外心：三条边的垂直平分线的交点③重心：三条中线的交点．6.【答案】A【解析】解：∵两个四边形相似，∴∠1=138°，∵四边形的内角和等于360°，∴∠α=360°-60°-75°-138°=87°，故选：A．根据相似多边形的对应角相等求出∠1的度数，根据四边形内角和等于360°计算即可．本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．7.【答案】C【解析】【分析】本题利用了切线的概念和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．由于CD是切线，可知∠OCD=90°，而∠A=25°，利用圆周角定理可求∠COD，进而可求∠D．【解答】解：连接OC，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，∵∠A=25°，∴∠COD=2∠A=50°，∴∠D=90°-50°=40°．故选：C．8.【答案】D【解析】解：2018年的GDP为250×（1+x），2019年的GDP为250×（1+x）（1+x）=250×（1+x）2，即所列的方程为250（1+x）2=360，故选：D．2019年的GDP360=2017年的GDP250×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．考查列一元二次方程解决实际问题；得到2019年GDP的等量关系是解决本题的关键．9.【答案】B解：以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，则OA=OD，△AOD是等腰直角三角形．易证△ABO≌△OCD，则OB=CD=4cm．在直角△ABO中，根据勾股定理得到OA2=20；在等腰直角△OAD中，过圆心O作弦AD的垂线OP．则OP=OA•sin45°=cm．故选：B．易证△AOD是等腰直角三角形．则圆心O到弦AD的距离等于AD，所以可先求AD的长．此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．10.【答案】C【解析】解：如图用a、b、c表示图中相应部分的面积．由题意：4（a+2b）=4a+4b+c，∴c=4b，∴小正方形的面积=阴影部分面积的2倍，设小正方形的边长为x，则外接圆的面积=x2，∴这个正方形的外接圆的面积与图中阴影部分面积的比值=x2：x2=π．故选：C．根据条件先确定小正方形面积与阴影部分面积的关系，再求出这个正方形的外接圆的面积与图中阴影部分面积的比值即可．本题考查正多边形与圆，圆的面积，正方形的外接圆面积与正方形面积的关系，解题的关键是用方程的思想解决问题，需要掌握正多边形与圆的位置关系．11.【答案】-12【解析】解：∵方程2x2+x-1=0的两根分别是x1，x2，∴x1+x2=-，故答案为：-．直接利用根与系数的关系求解即可．本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键．12.【答案】8【解析】解：如图，连接OA，则OA=5，OC=3，OC⊥AB，∴在Rt△OAC中，AC==4，∴AB=2AC=8．故答案为：8．首先根据题意画出图形，然后连接OA，根据垂径定理得到OC平分AB，即AC=BC，而在Rt△OAC中，根据勾股数得到AC=4，这样即可得到AB的长．此题考查了垂径定理与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．13.【答案】8π【解析】解：∵弧的半径为24，所对圆心角为60°，∴弧长为l==8π．故答案为：8π．直接利用弧长公式得出即可．此题主要考查了弧长公式的应用，熟练记忆公式是解题关键．14.【答案】4【解析】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．设它们的比例中项是x，则x2=2×8，x=±4（线段是正数，负值舍去），故填4．比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．理解比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数．15.【答案】14【解析】解：∵正方形被等分成16份，其中黑色方格占4份，∴小鸟落在阴影方格地面上的概率为：=．故答案为：．首先确定在阴影的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出小鸟落在阴影方格地面上的概率．此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．16.【答案】46【解析】解：连接OA、OC；∵AB切小圆于C，∴OC⊥AB；∴∠OCA=90°，AC=BC=AB；Rt△OCA中，OA=5cm，OC=1cm；由勾股定理，得：AC==2cm；∴AB=2AC=4cm．欲求AB，可连接OC、OA；由切线的性质知△OCA是直角三角形，从而在本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．17.【答案】6cm【解析】解：∵圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，∴2πr=×2π×10，解得r=6．故答案为：6cm．直接根据弧长公式即可得出结论．本题考查的是圆锥的计算，熟记弧长公式是解答此题的关键．18.【答案】74-3【解析】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（-2，3），∴点A′坐标（-2，-3），∵点B（3，4），∴A′B==，∴MN=A′B-BN-A′M=-2-1=-3，∴PM+PN的最小值为-3．故答案为-3．作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，根据两点之间线段最短得到此时PM+PN最小，再利用对称确定A′的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出A′B的长，然后用A′B的长减去两个圆的半径即可得到MN的长，即得到PM+PN的最小值．本题考查了圆的综合题：掌握与圆有关的性质和关于x轴对称的点的坐标特征；会利用两点之间线段最短解决线段和的最小值问题；会运用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形性质．19.【答案】解：（1）原式=（25）2-（32）2=20-18=2；（2）原式=48÷3-12×12+26=4-6+26=4+6．【解析】本题主要考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．（1）利用平方差公式计算；（2）先根据二次根式的乘除法则进行计算，然后化简后合并即可．20.【答案】解：（1）2x-3=±5，x1=4，x2=-1，（2）x2-4x=3，x2-4x+4=7，（x-2）2=7，x=2±7；【解析】（1）直接开方法即可求出答案；（2）利用配方法即可求出答案．本题考查一元二次方程的解法，要注意灵活选择方法求解，本题属于基础题型．21.【答案】解：∵关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，∴△=（b+2）2-4（6-b）=0，即b2+8b-20=0；解得b=2，b=-10（舍去）；①当a为底，b为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情况不成立；②当b为底，a为腰时，则5-2＜5＜5+2，能够构成三角形；此时△ABC的周长为：5+5+2=12；答：△ABC的周长是12．【解析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=0，据此可求出b的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．此题考查了根与系数的关系、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．22.【答案】400 144° 120【解析】解：（1）根据题意得：80÷20%=400（人），则样本容量是400，故答案为：400；（2）“基本了解”部分所对应的扇形圆心角是：×360°=144°，对“防震减灾”不了解的概率的估计值为：=；故答案为：144°，；（3）“比较了解”的人数为：400×35%=140人，补全频数分布直方图如图：（1）根据“非常了解”的人数与所占的百分比列式计算即可求出参与问卷调查的学生人数；（2）求出“基本了解”的学生所占的百分比，再乘以360°，计算即可得解；求出“不了解”的学生所占的百分比即可；（3）根据学生总人数，乘以比较了解的学生所占的百分比，求出比较了解的人数，补全频数分布直方图即可．本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．23.【答案】解：（1）直线CD与⊙O相切．理由如下：如图，连接OD∵OA=OD，∠DAB=45°，∴∠ODA=45°∴∠AOD=90°∵CD∥AB∴∠ODC=∠AOD=90°，即OD⊥CD又∵点D在⊙O上，∴直线CD与⊙O相切；（2）∵⊙O的半径为1，AB是⊙O的直径，∴AB=2，∵BC∥AD，CD∥AB∴四边形ABCD是平行四边形∴CD=AB=2∴S梯形OBCD=(OB+CD)×OD2=(1+2)×12=32；∴图中阴影部分的面积等于S梯形OBCD-S扇形OBD=32-14×π×12=32-π4．【解析】（1）直线与圆的位置关系无非是相切或不相切，可连接OD，证OD是否与CD 垂直即可．（2）阴影部分的面积可由梯形OBCD和扇形OBD的面积差求得；扇形的半径和圆心角已求得，那么关键是求出梯形上底CD的长，可通过证四边形ABCD 是平行四边形，得出CD=AB，由此可求出CD的长，即可得解．此题主要考查了切线的判定、平行四边形的判定和性质以及扇形的面积计算方法．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．24.【答案】（2，0）【解析】解：（1）如图，D点坐标为（2，0），故答案为：（2，0）；（2）AD==2；作CE⊥x轴，垂足为E．∵△AOD≌△DEC，∴∠OAD=∠CDE，又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠CDE+∠ADO=90°，∴扇形DAC的圆心角为90度，∴的长为=π；（3）点E到圆心D的距离为4，∴点E在⊙D内部．（1）找到AB，BC的垂直平分线的交点即为圆心坐标；（2）利用勾股定理可求得圆的半径；易得△AOD≌△DEC，那么∠OAD=∠CDE，即可得到圆心角的度数为90°，根据弧长公式可得；（3）求出DE的长与半径比较可得．本题主要考查点与圆的位置关系、垂径定理、弧长公式等，用到的知识点为：非直径的弦的垂直平分线经过圆心．25.【答案】解：（1）∵直线y=-x+2与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于A（a，3），B （3，b）两点，∴-a+2=3，-3+2=b，∴a=-1，b=-1，∴A（-1，3），B（3，-1），∵点A（-1，3）在反比例函数y=kx上，∴k=-1×3=-3，∴反比例函数解析式为y=-3x；（2）设点P（n，-n+2），∵A（-1，3），∴C（-1，0），∵B（3，-1），∴D（3，0），∴S△ACP=12AC×|x P-x A|=12×3×|n+1|，S△BDP=12BD×|x B-x P|=12×1×|3-n|，∵S△ACP=S△BDP，∴12×3×|n+1|=12×1×|3-n|，∴n=0或n=-3，∴P（0，2）或（-3，5）；（3）设M（m，0）（m＞0），∵A（-1，3），B（3，-1），∴MA2=（m+1）2+9，MB2=（m-3）2+1，AB2=（3+1）2+（-1-3）2=32，∵△MAB是等腰三角形，∴①当MA=MB时，∴（m+1）2+9=（m-3）2+1，∴m=0，（舍）②当MA=AB时，∴（m+1）2+9=32，∴m=-1+23或m=-1-23（舍），∴M（-1+23，0）③当MB=AB时，（m-3）2+1=32，∴m=3+31或m=3-31（舍），∴M（3+31，0）即：满足条件的M（-1+23，0）或（3+31，0）．【解析】（1）利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a，b，最后用待定系数法求出反比例函数解析式；（2）设出点P坐标，用三角形的面积公式求出S△ACP=×3×|n+1|，S△BDP=×1×|3-n|，进而建立方程求解即可得出结论；（3）设出点M坐标，表示出MA2=（m+1）2+9，MB2=（m-3）2+1，AB2=32，再三种情况建立方程求解即可得出结论．此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的求法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．26.【答案】解：（1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b，将（10，45）（20，40）代入解析式得：10k+b=4520k+b=40，解得：k=−0.5b=50∴y=-0.5x+50，（10≤x≤55）．（2）当投入生产这种产品的总成本为1200万元时，即x（-0.5x+50）=1200，解得：x1=40，x2=60，∵10≤x≤55，∴x=40，∴该产品的总产量为40吨．（3）设每月销售量m（吨）与销售单价n（万元/吨）之间的函数关系式为m=k1n+b1，把（40，30），（55，15）代入解析式得：40k1+b1=3055k1+b1=15解得：k1=−1b1=70，∴m=-n+70，当m=25时，n=45，在y=-0.5x+50，（10≤x≤55）中，当x=25时，y=37.5，∴利润为：25×（45-37.5）=187.5（万元）．【解析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为10吨，但不超过55吨时，得出x的取值范围；（2）根据总成本=每吨的成本×生产数量，利用（1）中所求得出即可．（3）先利用待定系数法求出每月销售量m（吨）与销售单价n（万元/吨）之间的函数关系式，再分别求出对应的销售单价、成本，根据利润=售价-成本，即可解答．此题主要考查了一次函数的应用，根据总成本=每吨的成本×生产数量得出等式方程求出是解题关键．27.【答案】（1）证明：如图1，连接OB，OP．∵O是等边三角形BPQ的外心，∴圆心角∠BOP=360°3=120°．当∠MAN=60°，不垂直于AM时，作OT⊥AN，则OB=OP．由∠HOT+∠A+∠AHO+∠ATO=360°，且∠A=60°，∠AHO=∠ATO=90°，∴∠HOT=120度．∴∠BOH=∠POT．∴Rt△BOH≌Rt△POT．∴OH=OT．∴点O在∠MAN的平分线上．当OB⊥AM时，∠APO=360°-∠A-∠BOP-∠OBA=90°．即OP⊥AN，∴点O在圆I的平分线上．综上所述，当点P在射线AN上运动时，点O在∠MAN的平分线上．（2）解：如图2，∵AO平分∠MAN，且∠MAN=60°，∴∠BAO=∠PAO=30°．由（1）知，OB=OP，∠BOP=120°，∴∠CBO=30°，∴∠CBO=∠PAC．∵∠BCO=∠PCA，∴∠AOB=∠APC．∴△ABO∽△ACP．∴ABAC=AOAP．∴AC•AO=AB•AP．∴y=4x．定义域为：x＞0．（3）解：①如图3，当BP与圆I相切时，AO=23；②如图4，当BP与圆I相切时，AO=433；③如图5，当BQ与圆I相切时，AO=0．【解析】（1）证O在∠MAN的平分线上，可证O到角两边的距离相等，分两种情况：①OB不与AM垂直，过O作OT⊥AN，OH⊥AM，可通过构建全等三角形来求解．连接OB，OP，则OB=OP，只需证明△OHB与△OTP全等即可．这两个三角形中，已知的条件有OB=OP，一组直角．只需再证得一组角对应相等即可，∠HOT和∠BOP都等于120°，因此∠BOH=∠TOP，则两三角形全等，OT=OH．由此得证．②当OB⊥AM时，由于OB=OP，只需证明OP⊥AN即可．由于∠BOP=120°，而∠ABO=90°，∠MAN=60°，根据四边形的内角和为360°，即可求得OP⊥AN，由此可得证．（2）本题要通过相似三角形ACP和ABO来求解．这两个三角形中，已知了∠BAO=∠CAP（在1题中已经证得）．只需再找出一组对应角相等即可，在△ACP和△OBC中，∠CAP=∠OBC=30°，∠ACP=∠BCO，因此∠APC=∠AOB，由此证得两三角形相似，可得出关于AB，AC，AO，AP的比例关系式，据此可求出y，x的函数关系式．（3）本题分三种情况：①圆I在△BPQ外，且与BP边相切，此时D、P重合，AD=AP=2，AB=4，∠MAN=60°，因此△ABP为直角三角形，不难得出△ABO也是直角三角形，因此可得出△ABO≌△APB，AO=BP=2；②圆I在△BPQ内，与BP，PQ边相切时，此时P与A重合，可在直角三角形ODA中，根据AD=2，∠DAO=30°，求得AO=；③圆I在△BPQ内，与BQ边相切时，A，O重合，因此AO=0．本题考查了相似三角形、全等三角形、角平分线定理、等边三角形的性质、直线与圆的位置关系等知识点．本题考点较多，难度较大．28.【答案】解：（1）如图1中，设PD=t．则PA=6-t．∵P、B、E共线，点D与点E关于直线PC的对称，∴∠BPC=∠DPC，∵AD∥BC，∴∠DPC=∠PCB，∴∠BPC=∠PCB，∴BP=BC=6，在Rt△ABP中，∵AB2+AP2=PB2，∴42+（6-t）2=62，∴t=6-25或6+25（舍弃），∴PD=6-25，∴t=（6-25）s时，B、E、P共线．（2）分两种情况讨论：①如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3．作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M．则EQ=3，CE=DC=4，易证四边形EMCQ是矩形，∴CM=EQ=3，∠M=90°，∴EM=EC2−CM2=42−32=7，∵∠DAC=∠EDM，∠ADC=∠M，∴△ADC∽△DME，ADDM=DCEM，∴AD7=47，∴AD=47，（当AD=47时，直线BC上方还有一个点满足条件，见图2）．②如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3．作EQ⊥BC于Q，延长QE交AD于M．则EQ=3，CE=DC=4，在Rt△ECQ中，QC=DM=42−32=7，由△DME∽△CDA，∴DMCD=EMAD，∴74=1AD，∴AD=477．综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，这样的m的取值范围477≤m＜47．【解析】（1）如图1中，设PD=t．则PA=6-t．首先证明BP=BC=6，在Rt△ABP中利用勾股定理即可解决问题；（2）分两种情形求出AD的值即可解决问题：①如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3；②如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3．本题考查四边形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。

2022-2023学年江苏省无锡市江阴市徐霞客中学九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含解析)

2022-2023学年江苏省无锡市江阴市徐霞客中学九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含解析)

2022-2023学年江苏省无锡市江阴市徐霞客中学九年级第一学期月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，每题3分，满分30分）1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．ax2+bx+c＝0B．x2﹣2＝（y+3）2C．x2+−5＝0D．x2＝02．已知x＝0是关于x的一元二次方程2x2+3x+k﹣4＝0的一个根，则k的值为（）A．4B．﹣4C．±1D．±43．用配方法解一元二次方程x2﹣10x+11＝0，此方程可化为（）A．（x﹣5）2＝14B．（x+5）2＝14C．（x﹣5）2＝36D．（x+5）2＝36 4．已知⊙O的半径是4，OP＝7，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定5．如图，⊙O的直径AB＝8，弦CD⊥AB于点P，若BP＝2，则CD的长为（）A．B．C．D．6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径长为（）A．B．2C．3D．47．如图，在⊙O中，CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，连接AC、OD，∠A＝26°，则∠D的度数是（）A．26°B．38°C．52°D．64°8．已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定9．如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为（）A．4B．4C．4D．410．如图，矩形OABC，B（﹣4，3），点M为△ABC的内心，将矩形绕点C顺时针旋转90°，则点M的对应点坐标为（）A．（﹣2，6 ）B．（6，﹣1）C．（1，1 ）D．（﹣1，6）二、填空题（本大题共8小题，每题3分，满分24分）11．一元二次方程3x（x+1）＝3x+3的解是．12．若关于x的一元二次方程x2+4x+2k＝0有实数根，则k的取值范围是．13．某种药品原来售价200元，连续两次降价后售价为162元．若平均每次下降的百分率相同，则这个百分率是．14．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为16米，拱的半径为10米，则拱高CD为米．15．如图，点A在半圆O上，BC是直径，．若AB＝2，则BC的长为．16．如图所示，点B，D，C是⊙A上的点，∠BCD＝130°，则∠BAD＝．17．如图，在每个小正方形边长都为1的5×5网格中，有四个点A，B，C，D，以其中任意三点为顶点的三角形的外接圆半径长是．18．如图，菱形ABCD中，AB＝2，DE⊥BC于点E，F为CD的中点，连接AE，AF，EF．若∠AFE＝90°，则△AEF的外接圆半径为．三、解答题（本大题共10小题，满分96分）19．解下列方程：（1）x2+2x﹣2＝0．（配方法）（2）x（x﹣1）＝x；20．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．21．如图，为建设美丽校园，学校准备利用一面围墙和旁边的空地，建一个面积为160m2的长方形花坛，另三边用木质围栏围成，木栏总长36m，若围墙足够长，则花坛垂直于墙的一边长应安排多少米？22．（1）如图1，请只用无刻度直尺找出△ABC的外心点O；并直接写出其外接圆半径；（2）如图2，请用直尺和圆规将图中的弧补成圆；并标记圆心P．23．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，连结OD，DE．（1）求证：BD＝DC．（2）若∠BAC＝50°，求∠ODE的度数．24．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径．（2）有一艘宽为7.8m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由．25．今年大德福超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，四、五月份的销售量达到400件．（1）求四、五这两个月的月平均增长率．（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？26．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AE⊥OC于点D，交BC于F，与过点B的直线交于点E，且BE＝EF．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为10，OD＝6，求BE的长．27．阅读以下材料：若x2﹣4x+y2﹣10y+29＝0，求x、y的值．思路分析：一个方程求两个未知数显然不容易，考虑已知等式的特点，将其整理为两个完全平方式的和，利用其非负性转化成两个一元一次方程，进而求出x、y．解：∵x2﹣4x+y2﹣10y+29＝0，∴（x2﹣4x+4）+（y2﹣10y+25）＝0，∴（x﹣2）2+（y ﹣5）2＝0，∴x＝2，y＝5．请你根据上述阅读材料解决下列问题：（1）若m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m+n的值；（2）求证：无论x、y取何值，代数式x2﹣4xy+5y2+2y+5的值始终为正．28．如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．（1）若m＝6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，求所有这样的m的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，满分30分）1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．ax2+bx+c＝0B．x2﹣2＝（y+3）2C．x2+−5＝0D．x2＝0【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．解：A．a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，所以A选项不符合题意；B．x2﹣2＝（y+3）2为二元二次方程，所以B选项不符合题意；C．x2+﹣5＝0为分式方程，所以C选项不符合题意；D．x2＝0为一元二方程，所以D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．2．已知x＝0是关于x的一元二次方程2x2+3x+k﹣4＝0的一个根，则k的值为（）A．4B．﹣4C．±1D．±4【分析】把x＝0代入方程2x2+3x+k﹣4＝0得k﹣4＝0，然后解关于k的方程即可．解：把x＝0代入方程2x2+3x+k﹣4＝0得k﹣4＝0，解得k＝4．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．3．用配方法解一元二次方程x2﹣10x+11＝0，此方程可化为（）A．（x﹣5）2＝14B．（x+5）2＝14C．（x﹣5）2＝36D．（x+5）2＝36【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．解：∵x2﹣10x+11＝0，∴x2﹣10x＝﹣11，则x2﹣10x+25＝﹣11+25，即（x﹣5）2＝14，故选：A．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．4．已知⊙O的半径是4，OP＝7，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定【分析】根据题意得⊙O的半径为4，则点P到圆心O的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点P在⊙O外．解：∵OP＝7，r＝4，∴OP＞r，则点P在⊙O外，故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．5．如图，⊙O的直径AB＝8，弦CD⊥AB于点P，若BP＝2，则CD的长为（）A．B．C．D．【分析】连接OC，如图，先根据垂径定理得到CP＝DP，再计算出OP＝2，然后利用勾股定理计算出PC，从而得到CD的长．解：连接OC，如图，∵CD⊥AB，∴CP＝DP，∵AB＝8，∴OC＝OB＝4，∴PB＝2，∴OP＝2，∴PC＝＝＝2，∴CD＝2PC＝4．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径长为（）A．B．2C．3D．4【分析】连接OA，OB，可得∠AOB＝90°，进而利用等腰直角三角形的性质解答即可．解：如图，连接OA，OB，∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，在Rt△OAB中，OA2+OB2＝AB2，AB＝6，∴2OA2＝36，∴OA＝3，即⊙O的半径是3，故选：C．【点评】此题考查三角形外接圆与外心，关键是根据圆周角与圆心角的关系得出∠AOB ＝90°．7．如图，在⊙O中，CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，连接AC、OD，∠A＝26°，则∠D的度数是（）A．26°B．38°C．52°D．64°【分析】根据垂径定理得出，根据弧与圆心角关系得出∠COB＝∠BOD，利用圆周角定理得出∠COB＝2∠A＝52°，然后利用直角三角形两锐角互余性质求解即可．解：连接OC，∵CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，∴，∴∠COB＝∠BOD，∵∠A＝26°，∴∠COB＝2∠A＝52°，∴∠BOD＝52°，∴∠D＝90°﹣∠BOD＝90°﹣52°＝38°．故选：B．【点评】本题考查垂径定理，弧与圆心角关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余性质，掌握垂径定理，弧与圆心角关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余性质是解题关键．8．已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【分析】根据“若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离”即可得到结论．解：∵⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，3＜5，∴直线l与⊙O相离．故选：C．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l 的距离为d，当d＞r时，直线l和⊙O相离是解答此题的关键．9．如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为（）A．4B．4C．4D．4【分析】连接OC、OA，AO的延长线交CD于E点，如图，先根据切线的性质得到OA ⊥AB，则利用平行线的性质得到AE⊥CD，再根据垂径定理得到CE＝DE＝4，然后利用勾股定理先计算出OE，再计算AC的长．解：连接OC、OA，AO的延长线交CD于E点，如图，∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，∵CD∥AB，∴AE⊥CD，∴CE＝DE＝CD＝4，在Rt△OCE中，OE＝＝＝3，∴AE＝OA+OE＝5+3＝8，在Rt△ACE中，AC＝＝＝4．故选：A．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和勾股定理．10．如图，矩形OABC，B（﹣4，3），点M为△ABC的内心，将矩形绕点C顺时针旋转90°，则点M的对应点坐标为（）A．（﹣2，6 ）B．（6，﹣1）C．（1，1 ）D．（﹣1，6）【分析】根据题意画出旋转后的图形，根据点M为△ABC的内心，可得点M为△ABC 角平分线的交点，过点M作三边的高线DM，EM，FM，垂足分别为D，E，F，所以DM ＝EM＝FM，设DM＝EM＝FM＝r，根据S△ABM+S△BCM+S△ACM＝S△ABC，列式求出r的值，进而可以解决问题．解：将矩形绕点C顺时针旋转90°，如图所示：∵点M为△ABC的内心，∴点M为△ABC角平分线的交点，过点M作三边的高线DM，EM，FM，垂足分别为D，E，F，∴DM＝EM＝FM，设DM＝EM＝FM＝r，在矩形OABC中，∵B（﹣4，3），∴AC＝＝5，∵S△ABC＝3×4＝6，∴S△ABM+S△BCM+S△ACM＝S△ABC，∴r×3+r×4+r×5＝6，∴r＝1，∴DM＝EM＝FM＝r＝1，∴M′（﹣1，6）．则点M的对应点坐标为（﹣1，6）．故选D．【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，矩形的性质，坐标与图形变化﹣旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．二、填空题（本大题共8小题，每题3分，满分24分）11．一元二次方程3x（x+1）＝3x+3的解是x1＝﹣1，x2＝1．【分析】先提公因式，然后移项，再提公因式，即可解答本题此方程．解：3x（x+1）＝3x+3，3x（x+1）＝3（x+1），3x（x+1）﹣3（x+1）＝0，（x+1）（3x﹣3）＝0，∴x+1＝0或3x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝1，故答案为：x1＝﹣1，x2＝1．【点评】本题考查解一元二次方程—因式分解法，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．12．若关于x的一元二次方程x2+4x+2k＝0有实数根，则k的取值范围是k≤2．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+2k＝0有实数根，∴Δ＝42﹣4×1×2k≥0，故答案为：k≤2．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”是解题的关键．13．某种药品原来售价200元，连续两次降价后售价为162元．若平均每次下降的百分率相同，则这个百分率是10%．【分析】设平均每次下降的百分率为x，利用经过两次降价后的售价＝原价×（1﹣平均每次下降的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．解：设平均每次下降的百分率为x，依题意得：200（1﹣x）2＝162，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），∴平均每次下降的百分率为10%．故答案为：10%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为16米，拱的半径为10米，则拱高CD为4米．【分析】先构建直角三角形，再利用勾股定理和垂径定理计算．解：因为跨度AB＝16m，拱所在圆半径为10m，所以找出圆心O并连接OA，延长CD到O，构成直角三角形，利用勾股定理和垂径定理求出DO＝6（m），进而得拱高CD＝CO﹣DO＝10﹣6＝4（m）．故答案为：4．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用．可通过作辅助线建立模形，利用垂径15．如图，点A在半圆O上，BC是直径，．若AB＝2，则BC的长为．【分析】连接OA，由圆心角，弦，弧的关系可得OA⊥BC，结合等腰直角三角形的性质可求解OB的长，进而可求解BC的长．解：连接OA，∵，BC是直径，∴OA⊥BC，∵OA＝OB，AB＝2，∴OA＝OB＝，∴BC＝2OA＝．故答案为：．【点评】本题主要考查圆周角，弦，弧的关系，等腰直角三角形的性质，求解OA，OB 的长是解题的关键．16．如图所示，点B，D，C是⊙A上的点，∠BCD＝130°，则∠BAD＝100°．【分析】首先在优弧上取点E，连接BE，CE，由点B、C、D是⊙A上的点，∠BCD ＝130°，即可求得∠E的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案．解：在优弧上取点E，连接BE，CE，∵∠BCD＝130°，∠E+∠BCD＝180°，∴∠E＝180°﹣∠BCD＝50°，∴∠BAD＝2∠E＝100°．故答案为：100°．【点评】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．17．如图，在每个小正方形边长都为1的5×5网格中，有四个点A，B，C，D，以其中任意三点为顶点的三角形的外接圆半径长是．【分析】连接BC，CD，作BC，CD的垂直平分线，两直线相交于O，即可找到四点共圆的圆心，再利用勾股定理可求解该圆的半径．解：连接BC，CD，作BC，CD的垂直平分线，两直线相交于O，则O为△BCD的外接圆的圆心，OB为外接圆的半径，由勾股定理得OB＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，找到圆心是解题的关键．18．如图，菱形ABCD中，AB＝2，DE⊥BC于点E，F为CD的中点，连接AE，AF，EF．若∠AFE＝90°，则△AEF的外接圆半径为．【分析】延长EF交AD的延长线于G，由菱形的性质得出AD＝CD＝AB＝2，AD∥BC，证明△DFG≌△CFE（ASA），得出DG＝CE，GF＝EF，由线段垂直平分线的性质得出AE＝AG，设CE＝DG＝x，则AE＝AG＝2+x，由直角三角形斜边上的中线性质得出GF ＝EF＝CD＝1，得出EG＝2EF＝2，在Rt△ADE和Rt△GDE中，由勾股定理得出方程，解方程求出x，进而求出AE，即可得到△AEF的外接圆半径．【解答】解答】解：延长EF交AD的延长线于G，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝AB＝2，AD∥BC，∴∠GDF＝∠C，∵F是CD的中点，∴DF＝CF，在△DFG和△CFE中，，∴△DFG≌△CFE（ASA），∴DG＝CE，GF＝EF，∵∠AFE＝90°，∴AE＝AG，设CE＝DG＝x，则AE＝AG＝2+x，∵AG∥BC，DE⊥BC，F是CD的中点，∴DE⊥AG，GF＝EF＝CD＝1，∴EG＝2EF＝2，在Rt△ADE和Rt△GDE中，由勾股定理得：DE2＝AE2﹣AD2＝EG2﹣DG2，即（2+x）2﹣22＝22﹣x2，解得：x＝﹣1，或x＝﹣﹣1（舍去），∴DG＝﹣1，∴AE＝AG＝AD+DG＝+1，∵∠AFE＝90°，∴AE是△AEF的外接圆的直径，∴△AEF的外接圆半径为，故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．三、解答题（本大题共10小题，满分96分）19．解下列方程：（1）x2+2x﹣2＝0．（配方法）（2）x（x﹣1）＝x；【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．解：（1）x2+2x﹣2＝0，x2+2x+1＝3，即（x+1）2＝3，∴x＝，∴x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+；（2）x（x﹣1）＝x，x（x﹣1）﹣x＝0，x（x﹣1﹣1）＝0，∴x＝0或x﹣2＝0，∴x1＝0，x2＝2．【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用因式分解法以及配方法，本题属于基础题型．20．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．【分析】（1）先计算出Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×2k＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；（2）依题意方程x2﹣（k+2）x+2k＝0一个根为5，代入方程求得k＝5，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长．【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×2k＝（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴无论k取任何实数值，方程总有实数根；（2）解：∵等腰三角形一腰长为5，∴另外一边长度为5，∴方程x2﹣（k+2）x+2k＝0一个根为5，∴25﹣5（k+2）+2k＝0，解得k＝5，∴方程为x2﹣（5+2）x+2×5＝0，∴（x﹣5）（x﹣2）＝0，解得x1＝5，x2＝2，故△ABC的周长＝5+5+2＝12．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：①当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0，方程没有实数根．21．如图，为建设美丽校园，学校准备利用一面围墙和旁边的空地，建一个面积为160m2的长方形花坛，另三边用木质围栏围成，木栏总长36m，若围墙足够长，则花坛垂直于墙的一边长应安排多少米？【分析】根据“木栏总长36m，长方形花坛的面积为160m2”可得相应的一元二次方程．解：设花坛垂直于墙的一边长应安排x米，根据题意得：x×（36﹣2x）＝160，解得：x1＝8，x2＝10．答：花坛垂直于墙的一边长应安排8米或10米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题干信息找出等量关系并据此列式计算是解题的关键．22．（1）如图1，请只用无刻度直尺找出△ABC的外心点O；并直接写出其外接圆半径；（2）如图2，请用直尺和圆规将图中的弧补成圆；并标记圆心P．【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点O；（2）在弧上任取三点A，C，C，连接AB，BC，分别作弦AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心P，于是得到结论．解：（1）如图（1）所示，点O即为所求；外接圆半径＝＝；故答案为：；（2）如图（2）所示：⊙P即为所求．【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，勾股定理，正确地作出图形是解题的关键．23．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，连结OD，DE．（1）求证：BD＝DC．（2）若∠BAC＝50°，求∠ODE的度数．【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠ODB，∠B＝∠C，再判断OD∥AC，然后利用平行线分线段成比例得到BD＝DC；（2）利用三角形内角和计算出∠B＝∠C＝65°，则∠ODB＝∠B＝65°，再利用圆内接四边形的性质得到∠EDC＝∠A＝50°，然后利用平角定义可计算出∠ODE的度数．【解答】（1）证明：∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴＝＝1，∴BD＝DC；（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣50°）＝65°，∴∠ODB＝∠B＝65°，∵∠EDC＝∠A＝50°，∴∠ODE＝180°﹣∠ODB﹣∠EDC＝180°﹣65°﹣50°＝65°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．24．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径．（2）有一艘宽为7.8m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由．【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）连接ON，OB，根据勾股定理即可得到结论．解：（1）如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝12m，∴BD＝AB＝6m．又∵CD＝4m，设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝（r﹣4）m.在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，解得r＝6.5．∴拱桥的半径为6.5m；（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，∴CE＝4﹣3＝1（m），∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣1＝5.5（m），在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.52＝12，∴EN＝2≈3.4（m）．∴MN＝2EN≈6.8m＜7.8m．∴此货船不能顺利通过这座拱桥．【点评】此题考查了垂径定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．25．今年大德福超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，四、五月份的销售量达到400件．（1）求四、五这两个月的月平均增长率．（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？【分析】（1）设四、五这两个月的月平均增长率为x，利用五月份的销售量＝三月份的销售量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设商品降价m元，则每件获利（40﹣m﹣25）元，月销售量为（400+5m）件，利用商场销售该商品月销售利润＝每件的销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．解：（1）设四、五这两个月的月平均增长率为x，依题意得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：四、五这两个月的月平均增长率为25%；（2）设商品降价m元，则每件获利（40﹣m﹣25）元，月销售量为（400+5m）件，依题意得：（40﹣m﹣25）（400+5m）＝4250，解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意舍去）．答：当商品降价5元时，商场月获利4250元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．26．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AE⊥OC于点D，交BC于F，与过点B的直线交于点E，且BE＝EF．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为10，OD＝6，求BE的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质，对顶角的性质得出∠OCB＝∠OBC，∠CFD＝∠EBF，由垂线的性质得出∠OCB+∠CFD＝90°，进而得出∠EBA＝90°，即可证明BE是⊙O 的切线；（2）先由勾股定理求出AD＝8，再证明△DAO∽△BAE，由相似三角形的性质即可求出BE＝15．【解答】（1）证明：∵BE＝EF，∴∠EFB＝∠EBF，∵∠CFD＝∠EFB，∴∠EBF＝∠CFD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵AE⊥OC，∴∠OCB+∠CFD＝90°，∴∠OBC+∠EBF＝90°，即∠EBA＝90°，∵AB是直径，∴BE是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为10，∴OA＝10，AB＝20，∵AE⊥OC，OD＝6，∴AD＝＝＝8，∵∠ADO＝∠EBA＝90°，∠DAO＝∠BAE，∴△DAO∽△BAE，∴，即，∴BE＝15．【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，掌握等腰三角形的性质，垂线的性质，切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．27．阅读以下材料：若x2﹣4x+y2﹣10y+29＝0，求x、y的值．思路分析：一个方程求两个未知数显然不容易，考虑已知等式的特点，将其整理为两个完全平方式的和，利用其非负性转化成两个一元一次方程，进而求出x、y．解：∵x2﹣4x+y2﹣10y+29＝0，∴（x2﹣4x+4）+（y2﹣10y+25）＝0，∴（x﹣2）2+（y ﹣5）2＝0，∴x＝2，y＝5．请你根据上述阅读材料解决下列问题：（1）若m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m+n的值；（2）求证：无论x、y取何值，代数式x2﹣4xy+5y2+2y+5的值始终为正．【分析】（1）根据材料完成配方即可求解；（2）把已知代数式配方成为两个完全平方式和一个正数的和的形式，然后利用完全平方式的非法性即可求解．【解答】（1）解：∵m2+2m+n2﹣6n+10＝0，∴m2+2m+1+n2﹣6n+9＝0，∴（m+1）2+（n﹣3）2＝0，∴m＝﹣1，n＝3，∴m+n＝2；（2）证明：x2﹣4xy+5y2+2y+5＝x2﹣4xy+4y2+2y+1+y2+4＝（x﹣2y）2+（y+1）2+4，∵（x﹣2y）2≥0，（y+1）2≥0，∴（x﹣2y）2+（y+1）2+4＞0，∴无论x、y取何值，代数式x2﹣4xy+5y2+2y+5的值始终为正．【点评】此题主要考查了配方法的应用，同时也利用了完全平方式的非负性．28．如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．（1）若m＝6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，求所有这样的m的取值范围．【分析】（1）如图1中，设PD＝t．则PA＝6﹣t．首先证明BP＝BC＝6，在Rt△ABP 中利用勾股定理即可解决问题；（2）分两种情形求出AD的值即可解决问题：①如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3．②如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3；解：（1）如图1中，设PD＝t．则PA＝6﹣t．∵P、B、E共线，∴∠BPC＝∠DPC，∵AD∥BC，∴∠DPC＝∠PCB，∴∠BPC＝∠PCB，∴BP＝BC＝6，在Rt△ABP中，∵AB2+AP2＝PB2，∴42+（6﹣t）2＝62，∴t＝6﹣2或6+2（舍弃），∴PD＝6﹣2，∴t＝（6﹣2）s时，B、E、P共线．（2）如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3．作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M．则EQ＝3，CE＝DC＝4易证四边形EMCQ是矩形，∴CM＝EQ＝3，∠M＝90°，∴EM＝＝＝，∵∠DAC＝∠EDM，∠ADC＝∠M，∴△ADC∽△DME，＝，∴＝，∴AD＝4，（当AD＝4时，直线BC上方还有一个点满足条件，见图2）如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3．作EQ⊥BC于Q，延长QE交AD于M．则EQ＝3，CE＝DC＝4在Rt△ECQ中，QC＝DM＝＝，由△DME∽△CDA，∴＝，∴＝，∴AD＝，综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，这样的m的取值范围≤m＜4．【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。

无锡市江阴10月九年级上月考数学试卷含答案解析

无锡市江阴10月九年级上月考数学试卷含答案解析

江苏省无锡市江阴二中学2022-2023九年级（上）月考数学试卷（10月份）(解析版)一、选择题1．若2m=3n，则下列比例式中不正确的是（）A．B．C．D．2．若=，则的值为（）A．1 B．C．D．3．如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（）A．3 B．4 C．6 D．84．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是（）A．①与②相似B．①与③相似C．①与④相似D．②与④相似5．如图，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC∥AD，DE∥BC，若S△BEC =1，S△ADE=3，则S△CDE等于（）A．B．C．D．26．在△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么sinB的值等于（）A．B．C．D．7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）8．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：99．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE ：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：2510．如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE=45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE 、BE分别交于点G 、H ，∠CBE=∠BAD ．有下列结论：①FD=FE ；②AH=2CD ；③BC •AD=AE 2；④S △ABC =4S △ADF ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4个二、填空题11．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 ．12．如图，△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD=∠C ，AB=6，BD=4，则CD 的长为 ．13．如图，△ABC 中∠A=30°，tanB=，AC=，则AB= ．14．若方程x 2﹣3x +m=0的一个根是另一个根的2倍，则m= ．15．如图所示，在△ABC 中，BC=6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ=CE 时，EP +BP= ．16．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3，上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是．17．已知：在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE=AD，连接CE交BD于点F，则EF：FC的值是．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与坐标轴交于A、B两点，坐标平面内有一点P（m，3），若以P、B、O三点为顶点的三角形与△AOB相似，则m=．三、解答题19．（12分）（1）计算：（﹣）﹣1﹣2÷+（3.14﹣π）0×sin30°．（2）先化简，再求值：÷（﹣a﹣2b）﹣，其中a，b满足（3）解方程：﹣=0．20．（6分）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．21．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．22．（10分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．23．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ACD∽△BFD；（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．（1）求证：=；（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．25．（10分）学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为1.6m的小明（AB）的影子BC长是3m，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6m．（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；（3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点B1处时，其影子长为B1C1；当小明继续走剩下路程的到B2处时，其影子长为B2C2；当小明继续走剩下路程的到B3处，…，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到B n处时，其影子B n C n 的长为m．（直接用n的代数式表示）26．（16分）如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y 轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根（1）求线段BC的长度；（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．2022-2023江苏省无锡市江阴二中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题1．若2m=3n，则下列比例式中不正确的是（）A．B．C．D．【考点】比例的性质．【分析】根据比例的性质内项之积等于外项之积，即可判断．【解答】解：∵2m=3n，∴=或=或=，故选C．【点评】本题考查比例的性质，记住比例的性质内项之积等于外项之积是解题的关键．2．若=，则的值为（）A．1 B．C．D．【考点】比例的性质．【分析】根据合分比性质求解．【解答】解：∵=，∴==．故选D．【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．3．如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（）A．3 B．4 C．6 D．8【考点】平行线分线段成比例．【分析】首先由DE∥BC可以得到AD：AB=AE：AC，而AD：AB=3：4，AE=6，由此即可求出AC．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB=AE：AC，而AD：AB=3：4，AE=6，∴3：4=6：AC，∴AC=8．故选D．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理，对应线段一定要找准确，有的同学因为没有找准对应关系，从而导致错选其他答案．4．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是（）A．①与②相似B．①与③相似C．①与④相似D．②与④相似【考点】相似三角形的判定．【分析】根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得①与③相似．【解答】解：∵OA：OC=OB：OD，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD，故选：B ．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定定理．5．如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，EC ∥AD ，DE ∥BC ，若S △BEC =1，S △ADE =3，则S △CDE 等于（ ）A ．B ．C ．D ．2【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】由题意在四边形ABCD 中延长AD 、BC 交于F ，则BECF 为平行四边形，然后根据相似三角形面积之比等于边长比的平方来求解．【解答】解：延长AD 、BC 交于F ，则DECF 为平行四边形，∵EC ∥AD ，DE ∥BC ，∴∠ADE=∠DEC=∠BCE ，∠CBE=∠AED ，∴△CBE ∽△DEA ，又∵S △BEC =1，S △ADE =3， ∴==，∵CEDF 为平行四边形，∴△CDE ≌△DCF ，∴S ▭CEDF =2S △CDE ，∵EC ∥AD ，∴△BCE ∽△BFA ， ∴=，S △BCE ：S △BFA =（）2，即1：（1+3+2S △CDE ）=， 解得：S △CDE =． 故选C ．【点评】解答此题的关键是根据平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似及相似三角形的性质来解答．6．在△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么sinB的值等于（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】先根据题意设出直角三角形的两直角边，根据勾股定理求出其斜边；再根据直角三角形中锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，tanA=，∴设BC=5x，则AC=12x，∴AB=13x，sinB==．故选B．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行求解．【解答】解：∵A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标为（﹣3×，6×）或[﹣3×（﹣），6×（﹣）]，即A′点的坐标为（﹣1，2）或（1，﹣2）．故选D．【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．8．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9【考点】正方形的性质．【分析】设小正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案．【解答】解：设小正方形的边长为x，根据图形可得：∵=，∴=，∴=，∴S1=S，正方形ABCD1∵=，∴=，∴S2=S正方形ABCD，∴S2=x2，∴S1：S2=x2：x2=4：9；故选D．【点评】此题考查了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式，关键是根据题意求出S1、S2与正方形面积的关系．9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE ：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到=，==，结合图形得到=，得到答案．【解答】解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE ：S△COA=1：25，∵DE ∥AC ， ∴==， ∴=，∴S △BDE 与S △CDE 的比是1：4，故选：B ．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．10．如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE=45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE 、BE分别交于点G 、H ，∠CBE=∠BAD ．有下列结论：①FD=FE ；②AH=2CD ；③BC •AD=AE 2；④S △ABC =4S △ADF ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4个【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=AB ，证明△ABE 是等腰直角三角形，得出AE=BE ，证出FE=AB ，延长FD=FE ，①正确；证出∠ABC=∠C ，得出AB=AC ，由等腰三角形的性质得出BC=2CD ，∠BAD=∠CAD=∠CBE ，由ASA 证明△AEH ≌△BEC ，得出AH=BC=2CD ，②正确；证明△ABD ～△BCE ，得出=，即BC •AD=AB •BE ，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BC •AD=AE 2；③正确；由F 是AB 的中点，BD=CD ，得出S △ABC =2S △ABD =4S △ADF ．④正确；即可得出结论．【解答】解：∵在△ABC 中，AD 和BE 是高，∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，∵点F是AB的中点，∴FD=AB，∵∠ABE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=BE，∵点F是AB的中点，∴FE=AB，∴FD=FE，①正确；∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠C，∴AB=AC，∵AD⊥BC，∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，在△AEH和△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA），∴AH=BC=2CD，②正确；∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，∴△ABD～△BCE，∴=，即BC•AD=AB•BE，∵AE2=AB•AE=AB•BE，BC•AD=AC•BE=AB•BE，∴BC•AD=AE2；③正确；∵F是AB的中点，BD=CD，∴S△ABC =2S△ABD=4S△ADF．④正确；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．二、填空题11．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是4：9．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比是4：9．故答案为：4：9．【点评】本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．12．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，则CD的长为5．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】易证△BAD∽△BCA，然后运用相似三角形的性质可求出BC，从而可得到CD的值．【解答】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，∴=．∵AB=6，BD=4，∴=，∴BC=9，∴CD=BC﹣BD=9﹣4=5．故答案为5．【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，由角等联想到三角形相似是解决本题的关键．13．如图，△ABC中∠A=30°，tanB=，AC=，则AB=5．【考点】解直角三角形．【分析】过C作CD⊥AB于D，根据含30度角的直角三角形求出CD，解直角三角形求出AD，在△BDC中解直角三角形求出BD，相加即可求出答案．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°，∵∠A=30°，AC=2，∴CD=AC=，由勾股定理得：AD=CD=3，∵tanB==，∴BD=2，∴AB=2+3=5，故答案为：5．【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质的应用，关键是能正确构造直角三角形．14．若方程x2﹣3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m=2．【考点】根与系数的关系．【分析】设方程的两个为a、b，且a=2b，根据a+b=3可求出a、b的值，将其代入m=ab即可得出结论．【解答】解：设方程的两个为a、b，且a=2b，∵a+b=3b=3，∴b=1，a=2，m=ab=2．故答案为：2．【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出a+b=3、ab=m是解题的关键．15．如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=12．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE 求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴==2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案为：12．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ 构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．16．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3，上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；等腰直角三角形．【分析】过A、C点作l3的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等和勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理即可求出．【解答】解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBE=90°，又∵∠DAB+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠CBE，又∵AB=BC，∠ADB=∠BEC，在△ABD与△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（AAS），∴BE=AD=3，CE=2+3=5，在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC=，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=，故答案为：【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．17．已知：在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE=AD，连接CE交BD于点F，则EF：FC的值是或．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】分两种情况：①当点E在线段AD上时，由四边形ABCD是平行四边形，可证得△EFD∽△CFB，求出DE：BC=2：3，即可求得EF：FC的值；②当点E在射线DA上时，同①得：△EFD∽△CFB，求出DE：BC=4：3，即可求得EF：FC的值．【解答】解：∵AE=AD，∴分两种情况：①当点E在线段AD上时，如图1所示∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△EFD∽△CFB，∴EF：FC=DE：BC，∵AE=AD，∴DE=2AE=AD=BC，∴DE：BC=2：3，∴EF：FC=2：3；②当点E在线段DA的延长线上时，如图2所示：同①得：△EFD∽△CFB，∴EF：FC=DE：BC，∵AE=AD，∴DE=4AE=AD=BC，∴DE：BC=4：3，∴EF：FC=4：3；综上所述：EF：FC的值是或；故答案为：或．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题难度不大，证明三角形相似是解决问题的关键；注意分情况讨论．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与坐标轴交于A、B两点，坐标平面内有一点P（m，3），若以P、B、O三点为顶点的三角形与△AOB相似，则m=±4或±．【考点】相似三角形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】由在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与坐标轴交于A、B两点，可求得A 与B的坐标，又由坐标平面内有一点P（m，3），可得∠AOB=∠OBP=90°，然后分别从当=时，△AOB∽△PBO，与当=时，△AOB∽△OBP，去分析求解即可求得答案．【解答】解：∵直线y=x+3与坐标轴交于A、B两点，∴点A（﹣4，0），点B（0，3），∵P（m，3），∵∠AOB=∠OBP=90°，∴当=时，△AOB∽△PBO，∴BP=OA=4，∴m=±4；当=时，△AOB∽△OBP，∴BP==，∴m=±．故答案为：±4或±．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．三、解答题19．（12分）（•江阴市校级月考）（1）计算：（﹣）﹣1﹣2÷+（3.14﹣π）0×sin30°．（2）先化简，再求值：÷（﹣a﹣2b）﹣，其中a，b满足（3）解方程：﹣=0．【考点】解分式方程；实数的运算；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；解二元一次方程组；特殊角的三角函数值．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，同时利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，求出方程组的解得到a与b 的值，代入计算即可求出值；（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式=﹣3﹣+=﹣3；（2）原式=÷﹣=•﹣=﹣﹣==﹣，方程组，①+②得：2a=6，即a=3，①﹣②得：2b=2，即b=1，则原式=﹣；（3）去分母得：3x﹣6﹣x﹣2=0，解得：x=4，经检验x=4是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，实数的运算，以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．【考点】作图-位似变换；作图-平移变换．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2坐标（﹣2，﹣2）．【点评】此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键．21．（10分）（•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，解得m≤4；（2）根据题意得x1+x2=6，x1x2=2m+1，而2x1x2+x1+x2≥20，所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根与系数的关系．22．（10分）（•岳阳）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF ⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=16.9，∴DE=AE﹣AD=4.9．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．23．（10分）（•齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ACD∽△BFD；（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可证明．（2）先证明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得==1，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠DBF=∠DAC，∴△ACD∽△BFD．（2）∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°∴=1，∴AD=BD，∵△ACD∽△BFD，∴==1，∴BF=AC=3．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．24．（10分）（•泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．（1）求证：=；（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的判定．【分析】（1）利用相似三角形的判定得出△ABE∽△ACB，进而求出答案；（2）首先证明AD=BF，进而得出AD∥BF，即可得出四边形ABFD是平行四边形，再利用AD=AB，得出四边形ABFD是菱形．【解答】证明：（1）∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABE，又∵∠ADB=∠ACB，∴∠ABE=∠ACB，又∵∠BAE=∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴=，又∵AB=AD，∴=；（2）设AE=x，∵AE：EC=1：2，∴EC=2x，由（1）得：AB2=AE•AC，即AB2=x•3x∴AB=x，又∵BA⊥AC，∴BC=2x，∴∠ACB=30°，∵F是BC中点，∴BF=x，∴BF=AB=AD，连接AF，则AF=BF=CF，∠ACB=30°，∠ABC=60°，又∵∠ABD=∠ADB=30°，∴∠CBD=30°，∴∠ADB=∠CBD=∠ACB=30°，∴AD∥BF，∴四边形ABFD是平行四边形，又∵AD=AB，∴四边形ABFD是菱形．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，得出△ABE∽△ACB是解题关键．25．（10分）（•江阴市校级月考）学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为1.6m的小明（AB）的影子BC长是3m，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6m．（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；（3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点B1处时，其影子长为B1C1；当小明继续走剩下路程的到B2处时，其影子长为B2C2；当小明继续走剩下路程的到B3处，…，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到B n处时，其影子B n C n 的长为m．（直接用n的代数式表示）【考点】相似三角形的应用；中心投影．【分析】（1）确定灯泡的位置，可以利用光线可逆可以画出；（2）要求垂直高度GH可以把这个问题转化成相似三角形的问题，图中△ABC∽△GHC由它们对应成比例可以求出GH；（3）的方法和（2）一样也是利用三角形相似，对应相等成比例可以求出，然后找出规律．【解答】解：（1）如图：形成影子的光线，路灯灯泡所在的位置G．（2）解：由题意得：△ABC∽△GHC，∴=，∴=，解得：GH=4.8（m），答：路灯灯泡的垂直高度GH是4.8m．（3）同理△A1B1C1∽△GHC1，∴=，设B1C1长为x（m），则=，解得：x=（m），即B1C1=（m）．同理=，解得B2C2=1（m），∴=，解得：B n C n=．故答案为：．【点评】本题主要考查相似三角形的应用及中心投影，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例解题．26．（16分）（•齐齐哈尔）如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根（1）求线段BC的长度；（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】三角形综合题．【分析】（1）解出方程后，即可求出B、C两点的坐标，即可求出BC的长度；（2）由A、B、C三点坐标可知OA2=OC•OB，所以可证明△AOC∽△BOA，利用对应角相等即可求出∠CAB=90°；（3）容易求得直线AC的解析式，由DB=DC可知，点D在BC的垂直平分线上，所以D 的纵坐标为1，将其代入直线AC的解析式即可求出D的坐标；（4）A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为以下三种情况：①AB=AP；②AB=BP；③AP=BP；然后分别求出P的坐标即可．【解答】（1）∵x2﹣2x﹣3=0，∴x=3或x=﹣1，∴B（0，3），C（0，﹣1），∴BC=4，（2）∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），∴OA=，OB=3，OC=1，∴OA2=OB•OC，∵∠AOC=∠BOA=90°，∴△AOC∽△BOA，∴∠CAO=∠ABO，∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAC=90°，∴AC⊥AB；（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣1，∵DB=DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上，∴D的纵坐标为1，∴把y=1代入y=﹣x﹣1，∴x=﹣2，∴D的坐标为（﹣2，1），（4）设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，把B（0，3）和D（﹣2，1）代入y=mx+n，∴，解得，∴直线BD的解析式为：y=x+3，令y=0代入y=x+3，∴x=﹣3，∴E（﹣3，0），∴OE=3，∴tan∠BEC==，∴∠BEO=30°，同理可求得：∠ABO=30°，∴∠ABE=30°，当PA=AB时，如图1，此时，∠BEA=∠ABE=30°，∴EA=AB，∴P与E重合，∴P的坐标为（﹣3，0），当PA=PB时，如图2，此时，∠PAB=∠PBA=30°，∵∠ABE=∠ABO=30°，∴∠PAB=∠ABO，∴PA∥BC，∴∠PAO=90°，∴点P的横坐标为﹣，令x=﹣代入y=x+3，∴y=2，∴P（﹣，2），当PB=AB时，如图3，∴由勾股定理可求得：AB=2，EB=6，若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，过点P1作P1F⊥x轴于点F，∴P1B=AB=2，∴EP1=6﹣2，∴sin∠BEO=，∴FP1=3﹣，令y=3﹣代入y=x+3，∴x=﹣3，∴P1（﹣3，3﹣），若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2，过点P2作P2G⊥x轴于点G，∴P2B=AB=2，∴EP2=6+2，∴sin∠BEO=，∴GP2=3+，令y=3+代入y=x+3，∴x=3，∴P2（3，3+），综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及一元二次方程的解法，相似三角形的判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定等知识，内容较为综合，需要学生灵活运用所知识解决．。

无锡市江阴市青阳初级中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题(解析版)

无锡市江阴市青阳初级中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题(解析版)

2022年秋青阳初级中学初三数学检测试卷一、选择题1.下列方程是一元二次方程的是（）A.320x -= B.235x -= C.212x x += D.24x y +=【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且最高次项的次数是2次，并且是整式方程，即可判断．【详解】解：A ．是一元一次方程，故本选项不合题意；B ．符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；C ．是分式方程，故本选项不合题意；D ．含有两个未知数，不是一元二次方程的定义，故本选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是()200ax bx c a ++=≠特别要注意0a ≠的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2.下列四组线段中，是成比例线段的一组是（）A.3，6，4，7B.5，6，7，8C.2，4，6，8D.10，15，8，12【答案】D【解析】【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【详解】解：A 、∵3×7≠4×6，∴四条线段不成比例；B 、∵5×8≠6×7，∴四条线段不成比例；C 、∵2×8≠4×6，∴四条线段不成比例；D 、∵8×15=10×12，∴四条线段成比例．故选：D ．【点睛】本题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．3.在平面内与点P 的距离为1cm 的点的个数为（）A.无数个B.3个C.2个D.1个【答案】A【解析】【分析】根据在平面内到定点的距离等于定长的点组成的图形为圆进行求解即可．【详解】解：∵在平面内与点P 的距离为1cm 的点在以P 为圆心，以1cm 长为半径的圆上，∴在平面内与点P 的距离为1cm 的点的个数为无数个，故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆的定义，熟知圆的定义是解题的关键．4.已知O 的半径为3，5OA =，则点A 和O 的位置关系是（）A.点A 在圆上B.点A 在圆外C.点A 在圆内D.不确定【答案】B【解析】【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断，OA 小于半径则在圆内，OA 等于半径则在圆上，OA 大于半径则在圆外．【详解】解：∵⊙O 的半径为3，5OA =，即A 与点O 的距离大于圆的半径，所以点A 与⊙O 外．故选：B ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．5.若关于x 的一元二次方程()22390m x x m -++-=的常数项等于0，则m 的值为（）A.0B.3C.－3D.－3或3【答案】C【解析】【分析】利用一元二次方程的定义及常数项为0，确定出m 的值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()22390m x x m -++-=的常数项等于0，∴m -3≠0，290m -=，解得：m =-3．故选：C ．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数且a ≠0）．6.已知x m =是一元二次方程210x x --=的一个根，则代数式22021m m -+的值为（）A.2021B.2022C.2023D.2024【答案】B【解析】【分析】把m 代入一元二次方程210x x --=得到21m m -=，再利用整体代入法解题即可．【详解】解：把m 代入一元二次方程210x x --=得，210m m --=，21m m ∴-=，∴22021120212022m m -+=+=，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．7.下列说法正确的是（）A.弧长相等的弧是等弧B.直径是最长的弦C.三点确定一个圆D.相等的圆心角所对的弦相等【答案】B【解析】【分析】利用圆的有关性质、等弧的定义、确定圆的条件及圆心角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、能够完全重合的弧是等弧，故错误，是假命题，不符合题意；B 、直径是圆中最长的弦，正确，是真命题，符合题意；C 、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，是假命题，不符合题意；D 、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质、等弧的定义、确定圆的条件及圆心角定理，难度不大．8.如图，已知AB CD EF∥∥，那么下列结论正确的是（）A.CE ADCB DF= B.DF BCAD CE= C.AD BEAF BC= D.AD BCDF CE=【答案】D【解析】【分析】根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”进行判断即可．【详解】解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，∵BC和AD对应，CE和DF对应，BE和AF对应，∴CE DFCB AD=，AD BCAF BE=，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，确定出对应线段是解题的关键．9.2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却持续蔓延，此肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据题意可列出方程（）A.x（1＋x）＝256B.x＋（1＋x）2＝256C.x＋x（1＋x）＝256D.1＋x＋x（1＋x）＝256【答案】D【解析】【分析】分别计算出每轮的人数，然后求和即可得出方程．【详解】解：第一轮传染x 个人，一轮后的人数为（1+x ）人；第二轮的人数为x (1+x )，两轮的总人数为：1+x +x (1+x )=256，故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出相应方程是解题关键．10.如图，O 是等边ABC 的外接圆，点D 是弧AC 上一动点（不与A ，C 重合），下列结论：①ADB BDC ∠=∠；②DA DC =；③当DB 最长时，2DB DC =；④DA DC DB +=，其中一定正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得 AB BC =，从而得到∠ADB =∠BDC ，故①正确；根据点D 是 AC 上一动点，可得 AD 不一定等于 CD，故②错误；当DB 最长时，DB 为圆O 的直径，可得∠BCD =90°，再由O 是等边ABC 的外接圆，可得∠ABD =∠CBD =30°，可得2DB DC =，故③正确；延长DA 至点E ，使AE =AD ，证明△ABE ≌△CBD ，可得BD =AE ，∠ABE =∠DBC ，从而得到△BDE 是等边三角形，可得到DE =BD ，故④正确；即可求解．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC ，∠ABC =60°，∴ AB BC=，∴∠ADB =∠BDC ，故①正确；∵点D 是 AC 上一动点，∴ AD 不一定等于 CD，∴DA =DC 不一定成立，故②错误；当DB 最长时，DB 为圆O 的直径，∴∠BCD =90°，∵O 是等边ABC 的外接圆，∠ABC =60°，∴BD ⊥AC ，∴∠ABD =∠CBD =30°，∴2DB DC =，故③正确；如图，延长DA 至点E ，使AE =DC ，∵四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，∴∠BCD +∠BAD =180°，∵∠BAE +∠BAD =180°，∴∠BAE =∠BCD ，∵AB =BC ，AE =CD ，∴△ABE ≌△CBD ，∴BD =AE ，∠ABE =∠DBC ，∴∠ABE +∠ABD =∠DBC +∠ABD =∠ABC =60°，∴△BDE 是等边三角形，∴DE =BD ，∵DE =AD +AE =AD +CD ，∴DA DC DB +=，故④正确；∴正确的有3个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识是解题的关键．二、填空题11.假期，爸爸带小明去A地旅游，小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1：500000的地图上测得所居住的城市距A地10cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为_____km．【答案】50【解析】【分析】小明所居住的城市与A地的实际距离为x cm，根据比例尺的定义得到10：x＝1：500000，然后利用比例的性质计算出x，最后把单位换算成km即可．【详解】解：设小明所居住的城市与A地的实际距离为x cm，根据题意得10：x＝1：500000，解得x＝5000000，所以x＝5000000cm＝50km．故答案为：50．【点睛】本题考查了比例线段，正确理解比例尺的定义是解决问题的关键．12.下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是_________【答案】②③⑤【解析】【分析】根据正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形的性质、圆的性质逐一进行判断即可．【详解】①所有的等腰三角形都相似，错误，如等腰锐角三角形与等腰直角三角形不相似；②所有的正三角形都相似，正确；③所有的正方形都相似，正确；④所有的矩形都相似，错误；⑤所有的圆都相似，正确，故答案为：②③⑤．【点睛】本题考查了相似图形的知识，熟练掌握各特殊图形的性质是解题的关键，难度一般．13.如果4a ＝5b ，那么b ：a ＝____：____．【答案】①.4②.5【解析】【分析】由4a ＝5b ，结合比例的基本性质即可求出ba 的值．【详解】解：∵4a ＝5b ，∴b ：a =4：5．故答案为：①4；②5．【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握比例的基本性质是解题的关键．14.已知m n ，是方程2250x x +-=的两个实数根，则mn m n ++=_________．【答案】7-【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出5,2mn m n =-+=-，代入代数式即可求解．【详解】解：∵m n ，是方程2250x x +-=的两个实数根，∴5,2mn m n =-+=-，∴mn m n ++=527--=-．故答案为：7-．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若12,x x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根，12b x x a +=-，12c x x a =．15.如图，△ABC 中，点D 在边AB 上，要使△ABC ∽△ACD ，添加一个条件是_______．（一种即可）【答案】∠ACD =∠B 或∠ADC =∠ACB 或AD AC AC AB=．【解析】【分析】已知有一对角对应相等，根据两对角对应相等的两个三角形相似，和根据两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似添加条件即可．【详解】解：∵∠CAD =∠BAC ，根据两对角对应相等的两个三角形相似，可添加∠ACD =∠B 或∠ADC =∠ACB ，∵∠CAD =∠BAC ，∠ACD =∠B ；∴△ACD ∽△ABC ．∵∠CAD =∠BAC ，∠ADC =∠ACB ；∴△ACD ∽△ABC ．根据两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，可添加AD AC AC AB=，∵AD AC AC AB =，∠CAD =∠BAC ，∴△ACD ∽△ABC ．∴当∠ACD =∠B 或∠ADC =∠ACB 或AD AC AC AB =时，△ACD ∽△ABC ．故答案为：∠ACD =∠B 或∠ADC =∠ACB 或AD AC AC AB=．【点睛】此题主要考查了学生对相似三角形的判定定理的理解和掌握，此题答案不唯一，属于开放型，大部分学生能正确做出，对此都要给予积极鼓励，以激发他们的学习兴趣．16.已知点P 是线段AB 的黄金分割点，AP PB >，若4AB =，则AP 的值为_________【答案】2-##2-+【解析】【分析】根据点P 是线段AB 的黄金分割点，知AP 是较长线段；则12AP AB -=，代入数据即可得出AP 的长．【详解】解：因为P 为线段4AB =的黄金分割点，且AP PB >，所以51422AP -=⨯=，故答案为：2-．【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割比是解题的关键．17.如图，BE 是△ABC 的中线，点F 在BE 上，延长AF 交BC 于点D ，若3BF FE =，3BD =，则DC =__________．【答案】2【解析】【分析】过点E 作//EG DC 交AD 于G ，可得ΔΔAGE ADC ∽，所以12GE AE DC AC ==，得到2DC GE =；再根据ΔΔGFE DFB ∽，得13GE EF DB BF ==，所以23DC DB =，即32BD DC =，即可求解．【详解】解：如图，BE 是ABC ∆的中线，∴点E 是AC 的中点，∴12AE AC =，过点E 作//EG DC 交AD 于G ，AGE ADC ∴∠=∠，AEG C ∠=∠，AGE ADC ∴∆∆∽，∴12GE AE DC AC ==，2DC GE ∴=，3BF FE = ，∴13=EF BF ，//GE BD ，GEF FBD ∴∠=∠，EGF BDF ∠=∠，ΔΔGFE DFB ∴∽，∴13GE EF DB BF ==，∴23DC DB =，∴32BD DC =，∵BD =3，∴DC =2，故答案为：2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点E 作//EG DC ，构造相似三角形是解题的关键．18.如图，在第一象限内作与x 轴的正半轴成60︒的射线OC ，在射线OC 上截取2OA =，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，在坐标轴上取一点P （不与点B 重合），使得以P ，O ，A 为顶点的三角形与AOB 相似，则所有符合条件的点P 的坐标为_________．【答案】()0,3或()4,0或430,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】分P 在x 轴和y 轴上两种情况进行讨论，利用相似三角形的性质，对应边对应成比例进行求解即可．【详解】∵,6090AOB ABC ==︒︒∠∠，∴当P 在x 轴上，,6090AOP OAP ︒︒==∠∠时，PAO ABO △∽△，此时24OP OA ==，则P (4，0)；当P 在y 轴上，若,6090APO OAP ︒︒==∠∠时，PAO OBA △∽△，此时，12AP OP =，∴2221()22OP OP =+，解得：433OP =，则：43(0,)3P ；若,6090PAO APO ︒︒==∠∠时，APO OBA △∽△，此时112AP OA ==，33OP AP ==则3)P ；综上所述，P 点坐标为：(4，0)或43)3或3)；故答案为：(3或()4,0或430,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质及勾股定理．熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键．三、解答题19.解下列方程．（1）()223250x +-=．（2）22720x x --=．（3）()()2232x x +=+．（4）2890x x +-=．【答案】（1）11x =，24x =-（2）172x =，272x =（3）12x =-，21x =（4）11x =，29x =-【解析】【分析】（1）先移项，再用直接开平方法进行求解即可；（2）用公式法即可进行求解；（3）先移项，再用因式分解法进行求解即可；（4）用配方法进行求解即可．【小问1详解】解：()22325x +=，235x +=±，22x =或28x =-，11x =，24x =-．【小问2详解】解：2a =，7b =-，2c =-，24491665b ac -=+=，72x =，172x =，272x =．【小问3详解】解：()()22320x x +-+=，()()2230x x ++-=，20x +=或10x -=，12x =-，21x =．【小问4详解】解：281625x x ++=，()2425x +=，45x +=±，11x =，29x =-．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的各种方法和步骤．20.平面直角坐标系中，点A （2，9）、B （2，3）、C （3，2）、D （9，2）在⊙P 上．（1）在图中清晰标出点P 的位置；（2）点P 的坐标是_________.【答案】（1）见解析；（2）（6，6）.【解析】【分析】点P 的坐标是弦AB ，CD 的垂直平分线的交点，据此可以得到答案．【详解】解：弦AB 的垂直平分线是y=6，弦CD 的垂直平分线是x=6，因而交点P 的坐标是（6，6）．【点睛】考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，理解圆心是圆的垂直平分线的交点，是解决本题的关键．21.已知关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=．（1）当m 取何范围时，这个方程有两个不相等的实数根？（2）若1x =是这个方程的一个根，求m 的值和另一根．【答案】（1）2m <（2）m 的值为2，另一根为1【解析】【分析】（1）求出根的判别式，令根的判别式大于0，解不等式即可；（2）将1x =代入2210x x m -+-=求出m 的值，再解一元二次方程即可．【小问1详解】解：一元二次方程2210x x m -+-=，∵()()224184m m ∆=---=-，当0∆>时，840m ->，解得2m <，∴当2m <时，这个方程有两个不相等的实数根；【小问2详解】解：将1x =代入2210x x m -+-=，得212110m -⨯+-=，解得2m =，∴22210x x -+-=，∴()210x -=，解得121x x ==，∴m 的值为2，另一根为1．【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式与根的个数之间的关系．一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-有如下关系：（1）0∆>时，方程有两个不相等的实数根；（2）0∆=时，方程有两个相等的实数根；（3）Δ0<时，方程没有实数根．22.（1）已知235x y z ==，20x y +≠，求32x y z x y +-+的值．（2）已知a b b c c a x c a b+++===，求x 的值．【答案】（1）107-；（2）=1x -或2x =【解析】【分析】（1）设235x y z k ===，将x 、y 、z 都用k 表示，再将其代入32x y z x y +-+即可解答；（2）根据比例得基本性质可得a b cx +=，b c ax +=，c a bx +=，联立相加后进行分类讨论即可．【详解】解（1）设235x y z k ===，则2x k =，3y k =，5z k =，32315101024377x y z k k k k x yk k k +-+--===-++．（2）∵a b b c c a x c a b+++===，∴a b cx +=，b c ax +=，c a bx +=，联立得：a b cx b c ax c a bx+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，∴()()2a b c x a b c ++=++当0a b c ++=时，a b c +=-，=1x -当0a b c ++≠时，2x =∴=1x -或2x =．【点睛】本题主要考查了比例得基本性质，解题的关键是熟练掌握比例的各个基本性质：内项之积等于外项之积，合比性质，分比性质以及等比性质．23.如图，A 、B 、C 三点均在边长为1的小正方形网格的格点上．（1）请在BC 上标出点D ，连接AD ，使得△ABD ∽△CBA ；（2）试证明上述结论：△ABD ∽△CBA ．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据相似三角形的定义作图即可．（2）借助勾股定理求出AB 的长度，根据相似三角形的判定定理证明．【小问1详解】如图，点D 是所求作的点，【小问2详解】证明：22125AB =+= ，BC ＝5，BD ＝1，1555BD AB ∴==，55AB BC=，BD AB AB BC ∴=，∵∠DBA ＝∠ABC ，∴△ABD ∽△CBA ．【点睛】本题考查相似三角形的判定、勾股定理，解决本题的关键是熟悉相似三角形的判定定理．24.如图，O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ，连接EC ，若24AB =，8CD =，求O 的半径及EC 的长．【答案】13；261【解析】【分析】先根据垂径定理得出1122AC BC AB ===，设半径为r ，根据勾股定理列出关于r 的方程，解方程即可得出r 的值；连接BE ，得出90ABE ∠=︒，根据勾股定理求出10BE =，再求出EC 的长即可．【详解】解：∵OD AB ⊥，∴11241222AC BC AB ===⨯=，设半径为r ，则8OC r =-，根据勾股定理得：222OC AC AO +=，即()222128r r =+-，1614464r =+，解得：13r =，∴O 半径为13．连接BE ，如图所示：∵AE 为O 直径，∴90ABE ∠=︒，∴()222132410BE =⨯-=，∴22101224461EC =+==．【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，勾股定理，垂径定理，根据勾股定理列出关于r 的方程，是解题的关键．25.公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【答案】（1）20%（2）50元/个【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x ，根据“从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程，求解即可；（2）设该品牌头盔的实际售价为y 元/个，“月销售利润达到10000元”列方程，求解即可．【小问1详解】设该品牌头盔销售量的月增长率为x ，依题意得：()21501216x +=，解得10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；【小问2详解】设该品牌头盔的实际售价为y 元/个，依题意得：[](3)600(40)1010000y y ---⨯=，整理得213040000y y -+=，解得180y =（不合题意，舍去），250y =，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握知识点是解题的关键．26.等腰△ABC 的直角边AB=BC=10cm ，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P 沿射线AB 运动，Q 沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线AC 相交于点D ．设P 点运动时间为t ，△PCQ 的面积为S ．（1）求出S 关于t 的函数关系式；（2）当点P 运动几秒时，S △PCQ =S △ABC ？（3）作PE ⊥AC 于点E ，当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度是否改变？证明你的结论．【答案】（1）S=21-52t t +（t<10），21=52S t t -（t>10）；（2）；（3）不变，理由参见解析．【解析】【分析】（1）由题可以看出P 沿AB 向右运动，Q 沿BC 向上运动，且速度都为1cm/s ，S=12QC×PB ，所以求出QC 、PB 与t 的关系式就可得出S 与t 的关系，(2)根据s △ABC =12AB•BC ＝50，设P 运动的时间为t 秒，分别分析当t ＜10秒时，以及当t ＞10秒时得出t 的值即可；(3)根据当t ＜10秒时，P 在线段AB 上，得出△APE ≌△QCF ，以及当t ＞10秒时，P 在线段AB 的延长线上，得出DE 的长．【详解】解：（1）当t ＜10秒时，P 在线段AB 上，如图1，此时CQ=t ，PB=10-tS △PCQ =12CQ•PB ．∴s=12×t×(10−t)=12(10t−t 2)当t ＞10秒时，P 在线段AB 得延长线上如图2，此时CQ=t ，PB=t-10S △PCQ =12CQ•PB ．∴s=12×t×(t−10)=12(t 2−10t)（2）∵S△ABC=12AB•BC=50∴当t＜10秒时，S△PCQ=12(10t−t2)=50整理得t2-10t+100=0无解当t＞10秒时，S△PCQ=12(t2−10t)=50整理得t2-10t-100=0解得x=5±55（舍去负值）∴当点P运动5+55秒时，S△PCQ=S△ABC.（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M在Rt△APE和Rt△QCM中∵∠A=45°，∠QCM=∠ACB=45°∴∠A=∠QCM∵AP=QC=t,∠QMC=∠AEP=90°∴△APE≌△QCMt，∴AE=PE=CM=QM=2∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半又∵∴∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变同理，当点P在点B右侧时，DE=5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．。

江苏省无锡市江阴市高新区实验中学2024-2025学年九年级上学期10月限时训练数学试题

江苏省无锡市江阴市高新区实验中学2024-2025学年九年级上学期10月限时训练数学试题

江苏省无锡市江阴市高新区实验中学2024-2025学年九年级上学期10月限时训练数学试题一、单选题1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．2x +3x +y ＝0B ．x +y +1＝0C ．2x ＝0D ．2x 1x ++5＝0 2．已知O e 的半径为3，当5OP =时，点P 与O e 的位置关系为（ ）A ．点P 在圆内B ．点P 在圆外C ．点P 在圆上D ．不能确定 3．若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有实数根，则k 的取值范围是（） A ．1k < B ．1k ≤ C ．2k < D ．1k ≤且0k ≠ 4．如图，直线123l l l ∥∥，两直线AC 和DF 与1l ，2l ，3l 分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．下列各式中，不一定成立的是（）A ．AB DE BC EF = B ．AB DE AC DF = C ．AD BE BE CF = D ．EF BC FD CA = 5．如图，在ABCD Y 中，E 为CD 上一点，连接AE BD 、，且AE BD 、交于点F ，:4:25DEF ABF S S =V V ， 则:DF BF 为（ ）A ．2:5B ．2:3C ．3:5D ．3:26．下列说法正确的是（ ）A ．有一个角是70︒两个等腰三角形一定相似B ．两个矩形一定相似C ．等弧所对的圆心角相等D ．相等的圆心角所对的弧相等7．如图，AB 是O e 的直径，弦CD AB ⊥于点,2,8E BE CD ==，则O e 半径为( )A ．2B ．3C ．5D ．88．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A ．()2501182x +=B ．()()250501501182x x ++++= C ．()5012182x += D ．()()505015012182x x ++++= 9．我国古代数学家赵爽（公元34~世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程22350x x +-=即(2)35x x +=为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是2(2)x x ++．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24352⨯+，因此5x =．则在下面四个构图中，能正确说明方程2560x x --=解法的构图是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，CB ＝CA ，∠ACB ＝90°，点D 在边BC 上(与B ，C 不重合)，四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG ⊥CA ，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论：①AC ＝FG ；②S △FAB ∶S 四边形CBFG ＝1∶2；③∠ABC ＝∠ABF ；④AD 2＝FQ·AC ，其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．若23x y =，则x y y +的值为． 12．在比例尺为1：80000的上海市城区地图上，量得中山北路的长度约为25cm ，那么它的实际长度约为km ．13．若x ＝1是关于x 的一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是．14．已知点C 为线段AB 的黄金分割点，AC BC >．若6cm AC =，则AB 的长为cm ． 15．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，测得AB =2米，BP =3米，PD =12米，那么该古城墙的高度CD 是米．16．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B=度．17．如图，在△ABC 中，45BAC BD CE ∠=︒，、分别是AC AB 、边上的高，连接DE ，若2BC =，则DE 的长为．18．如图，ABC V 中，AC BC CD =，是ABC V 的高，83AB CD ==，，则BC =；若以点C 为圆心，半径为2作C e ，点E 是C e 上一动点，连接AE ，点F 是AE 的中点，则线段DF 的最小值是．三、解答题19．解方程:(1)()2350x +-=；(2)213x x +=（配方法）；(3)22760x x -+=（公式法）；(4)()()2444x x x -=-．20．如图，在平面直角坐标系中，OAB △的顶点坐标分别为O 0,0 ，()2,1A ，()1,2B -．(1)以原点O 为位似中心，在y 轴的右侧画出OAB △的一个位似11OA B V，使它与OAB △的位似比为2:1；(2)画出将OAB △向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的222O A B V； (3)判断11OA B V和222O A B V 是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M ，并写出点M 的坐标．21．如图，D 是ABC V 的边AC 上的一点，连接BD ，已知ABD C ∠=∠，6AB =，4AD =，(1)证明ABD ACB V V ∽；(2)求线段CD 的长．22．已知关于x 的方程220x ax a ++-=，问：(1)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；(2)若该方程的两个根为12,x x ，且满足22124x x +=，求a 的值．23．如图，在⊙O 中，»AC ＝»CB，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ．(1)求证：CD ＝CE ；(2)若∠AOB ＝120°，OA ＝2，求四边形DOEC 的面积．24．如图，已知AB 为O e 的直径，CD 是O e 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E ，且2A B D E =．(1)若25E ∠=︒，求AOC ∠的度数；(2)若»AC 的度数是»BD的度数的m 倍，则m ＝． 25．如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．26．一商店销售某种商品，规定：不超过60件，每件售价120元．如果购买商品件数超过60件，每增加一件，所售出的商品每件售价均降低0.5元，但每件商品价格不得少于100元．(1)若购买商品63件，则每件商品的价格为______元；(2)若小明在此商店购买该商品共支付8800元，请问小明共买了多少件商品？27．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，4BC =，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线BC 方向运动，动点Q 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段CD方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t>）．t秒（0(1)用含t的代数式表示线段CP的长；(2)当PQ与矩形的对角线平行时，求t的值；(3)若点M为DQ的中点，求以M、P、C为顶点的三角形与ABCV相似时t的值；(4)直接写出点B关于直线AP的对称点B'落在ACDV边上时t的值．。

江苏省无锡市 九年级(上)月考数学试卷(10月份)

江苏省无锡市 九年级(上)月考数学试卷(10月份)

九年级（上）月考数学试卷（10月份）题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.若yx=34，则x+yx的值为（ ）A. 1B. 47C. 54D. 742.已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c长（ ）A. 18cmB. 5cmC. 6cmD. ±6cm3.已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（ ）A. 25−2B. 2−5C. 25−1D. 5−24.在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（ ）A. 不变B. 扩大5倍C. 缩小5倍D. 不能确定5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，则tan B的值为( )A. 1213B. 512C. 1312D. 1256.如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A. B.C. D.7.小兵身高1.4m，他的影长是2.1m，若此时学校旗杆的影长是12m，那么旗杆的高度（ ）A. 4.5mB. 6mC. 7.2mD. 8m8.Rt△ABC中，∠C=90°，cos A=35，AC=6cm，那么BC等于（ ）A. 8cmB. 245cmC. 185cmD. 65cm9.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（ ）A. 312B. 36C. 33D. 3210.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=2．其中正确的结论有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则tan A=______．12.如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是______千米．13.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB=4cm，则线段BC=______cm．14.如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2m，长臂长为8m，当短臂端点下降0.6m时，长臂端点升高______m（杆的粗细忽略不计）．15.下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯次点B到点C上升的高度h是______m．16.如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为______㎡．17.在△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，AC=5，则BC=______．18.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大32倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形A n OC n B n的对角线交点的坐标为______．三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）19.计算：（1）cos230°+tan45°•sin30°；（2）（13）-2+（π-2014）0+sin60°+|3-2|；（3）若α是锐角，sin（α+15°）=32，求8-4cosα-（π-3.14）0+tanα+（13）-1的值．20.如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．（1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；（2）如果灯杆高PO=12m，小亮的身高AB=1.6m，小亮与灯杆的距离BO=13m，请求出小亮影子的长度．四、解答题（本大题共7小题，共64.0分）21.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（-3，-3），点B（-1，-3），点C（-1，-1）．（1）画出△ABC；（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标：______；（3）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并写出A2点的坐标：______．22.如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ACD∽△BFD；（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．23.某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h（即503m/s）．交通管理部门在离该公路100 m处设置了一速度监测点A，在如图所示的坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．（1）请在图中画出表示北偏东45°方向的射线AC，并标出点C的位置；（2）点B坐标为______，点C坐标为______；（3）一辆汽车从点B行驶到点C所用的时间为15 s，请通过计算，判断该汽车在限速公路上是否超速行驶？（本小问中3取1.7）24.如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝120m，山坡坡度i＝1︰2，且O、A、B 在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及所在位置点P的铅直高度．（测角仪高度忽略不计，结果保留根号形式）25.甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为45m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cos A=1213，cos C=35．（1）求索道AB的长；（2）若乙游客在C处等了甲游客3分钟，求乙步行的速度．26.如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，AC=42，点P为线段BE延长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE 与CD相交于点F（1）求证：PCCD=CECB；（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由；（3）设PE=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．27.如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（-3，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根（1）求线段BC的长度；（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵=，∴==．故选：D．根据合分比性质求解．考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．2.【答案】C【解析】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2=4×9，解得c=±6（线段是正数，负值舍去），故选：C．由c是a、b的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段c的长，注意线段不能为负．此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．3.【答案】A【解析】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=4×=2-2．故选：A．根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=AB，代入数据即可得出AP的长．本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．熟记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：∵各边都扩大5倍，∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，∴两三角形相似，∴∠A的三角函数值不变，故选：A．易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．用到的知识点为：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关．5.【答案】D【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，∴tanB==，故选：D．根据锐角三角函数的定义得出tanB=，代入求出即可．本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．6.【答案】C【解析】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选：C．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．7.【答案】D【解析】解：设旗杆的高度为xm，根据题意得：，解得：x=8，即旗杆的高度为8m，故选：D．由于光线是平行的，影长都在地面上，那么可得身高与影长构成的三角形和旗杆和影长构成的三角形相似，利用对应边成比例可得旗杆的高度．本题考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．8.【答案】A【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA==，AC=6cm，∴AB=10cm，∴BC==8cm．故选：A．首先利用锐角三角函数的定义求出斜边的长度，再运用勾股定理即可求解．本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边，同时考查了勾股定理．9.【答案】B【解析】解：如图所示：设BC=x，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，在Rt△AEM中，cos∠EAD===；故选：B．设BC=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB=BC=x，根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出AM=AD=x，在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果．本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数；通过作辅助线求出AM是解决问题的关键．10.【答案】B【解析】解：过D作DM∥BE交AC于N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴，∵AE=AD=BC，∴，∴CF=2AF，故②正确，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE=BC，∴BM=CM，∴CN=NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF=DC，故③正确；设AD=a，AB=b由△BAE∽△ADC，有．∵tan∠CAD=，CD与AD的大小不知道，于是tan∠CAD的值无法判断，故④错误，故选：B．①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；②由AE=AD=BC，又AD∥BC，所以，故②正确；③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；④CD与AD的大小不知道，于是tan∠CAD的值无法判断，故④错误．本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确作出辅助线是解题的关键．11.【答案】33【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴tanA=．故答案为：．直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．12.【答案】34【解析】解：根据题意，3.4÷=3400000厘米=34千米．即实际距离是34千米．故答案为：34．实际距离=图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离．本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换．13.【答案】12【解析】解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴，即，∴BC=12cm．故答案为：12．过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．14.【答案】4【解析】解：如图，∵AB⊥AD，CD⊥AD，∠COD=∠AOB，∴△AOB∽△DOC，即=，即=，CD==4m．如下图所示，两侧所组成的两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例可得，长短臂之比应该等于下降和上升高度比，根据题意列出比例式即可．此题难易程度适中，主要考查相似三角形的相似比，为常见题型．15.【答案】4【解析】解：过C作CE⊥AB，交AB的延长线于E；在Rt△CBE中，∠CBE=180°-∠CBA=30°；已知BC=8m，则CE=BC=4m，即h=4m．过C作CE⊥AB，交AB的延长线于E，在Rt△BCE中，易求得∠CBE=30°，已知了斜边BC为8m，根据直角三角形的性质即可求出CE的长，即h的值．正确地构造出直角三角形，然后根据直角三角形的性质求解，是解决此题的关键．16.【答案】0.81π【解析】解：如图设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，CB∥AD，∴△OBC∽△OAD∴，∵OD=3米，CD=1米，∴OC=OD-CD=3-1=2（米），BC=×1.2=0.6（米），∴，∴AD=0.9S⊙D=π×0.92=0.81πm2，这样地面上阴影部分的面积为0.81πm2．故答案为：0.81π．如图设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，依题意可以得到△OBC∽△OAD，然后由它们的对应边成比例可以求出地面影子的半径，这样可以求出阴影部分的面积．此题主要考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例求出地面影子的半径，就可以求出阴影部分17.【答案】43±3【解析】解：如图，过A作AD⊥BC（或BC的延长线）于D点．（1）如图①，Rt△ABD中，AB=8，∠ABC=30°，∴AD=4，BD=4．在Rt△ACD中，AC=5，AD=4，由勾股定理，得：CD==3．∴BC=CD+BD=4+3；（2）如图②，同（1）可求得：CD=3，BD=4．则BC=BD-CD=4-3．综上，BC=4±3．故答案为：4±3．过A作BC的垂线，设垂足为D．首先在Rt△ABD中，求出AD的长，进而可在两个直角三角形中求出CD、BD的长；由于∠C可能是锐角也可能是钝角，因此要分类求解．此题主要考查了解直角三角形中三角形函数定义、勾股定理的应用及分类讨论的思想．在两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路．18.【答案】（-3n2n，3n2n+1）【解析】解：∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，∵OA=2，OC=1．∵点B的坐标为（-2，1），∴点B1的坐标为（-2×，1×），∵将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，∴B2（-2××，1××），∴B n（-2×，1×），∵矩形A n OC n B n的对角线交点（-2××，1××），即（-，），故答案为：（-，）．根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得B n的坐标，然后根据矩形的性质即可求得对角线交点的坐标．本题考查的是矩形的性质、位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等19.【答案】解：（1）cos230°+tan45°•sin30°=(32)2+1×12=34+12=54；（2）（13）-2+（π-2014）0+sin60°+|3-2|=9+1+32+2−3=12-32；（3）∵α是锐角，sin（α+15°）=32，sin60°=32，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴8-4cosα-（π-3.14）0+tanα+（13）-1=22-4×cos45°-1+tan45°+3=22-4×22-1+1+3=22-22-1+1+3=3．【解析】（1）根据特殊角的三角函数值可以解答本题；（2）根据负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值可以解答本题；（3）根据α是锐角，sin（α+15°）=，可以求得α的度数，从而可以求得所求式子的值．本题考查实数的运算、负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．20.【答案】解：（1）连接PA并延长交地面于点C，线段BC就是小亮在照明灯（P）照射下的影子．（2）在△CAB和△CPO中，∵∠C=∠C，∠ABC=∠POC=90°∴△CAB∽△CPO∴ABPO=CBCO∴1.612=CB13+BC∴BC=2m，∴小亮影子的长度为2m【解析】（1）直接连接点光源和物体顶端形成的直线与地面的交点即是影子的顶端；（2）根据中心投影的特点可知△CAB∽△CPO，利用相似比即可求解．本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段．21.【答案】（-3，3）（6，6）【解析】解：（1）△ABC如图所示；（2）△A1B1C1如图所示；A1（-3，3），（3）△A2B2C2如图所示；A2（6，6）．故答案为（-3，3），（6，6）．（1）根据A、B、C三点坐标画出图形即可；（2）作出A、B、C关于轴的对称点A1、B1、C1即可；（3）延长OC到C2，使得OC2=2OC，同法作出A2，B2即可；本题考查作图-位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠DBF=∠DAC，∴△ACD∽△BFD．（2）∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°∴ADBD=1，∴AD=BD，∵△ACD∽△BFD，∴ACBF=ADBD=1，∴BF=AC=3．【解析】（1）由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可证明．（2）先证明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得==1，即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．23.【答案】解：（1）如图所示，射线为AC，点C为所求位置；（2）（-1003，0），（100，0）；（3）BC=BO+OC=1003+100≈270（m），∵18＞503，∴这辆车在限速公路上超速行驶了.【解析】【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用的知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线求点的坐标就是求OB、OC的长度，求出BC的长，除以时间就得到汽车的速度，就可以判断是否超速.【解答】解：（1）如图所示，射线为AC，点C为所求位置；（2）在直角三角形ABO中，AO=100，∠BAO=60度，则OB=OA•tan60°=100，因而点B的坐标是（-，0）；直角△AOC是等腰直角三角形，因而OC=OA=100，因而C的坐标是（100，0），故答案为（-100，0），（100，0）；（3）BC=BO+OC=100+100≈270（m）．270÷15=18（m/s）．∵18＞，∴这辆车在限速公路上超速行驶了.24.【答案】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，在Rt△AOC中，OA=120m，∠CAO=60°，∴CO=AO•tan60°=1203（米）．设PE=x米，∵tan∠PAB=PEAE=12，∴AE=2x．在Rt△PCF中，∠CPF=45°，CF=1203-x，PF=OA+AE=100+2x，∵PF=CF，∴120+2x=1203-x，解得x=403-40（米）．答：电视塔OC高为1203米，点P的铅直高度为（403-40）米．【解析】考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题以及坡度坡角问题，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．在直角△AOC中，利用三角函数即可求得OC的长度；在图中共有三个直角三角形，即Rt△AOC、Rt△PCF、Rt△PAE，利用60°、45°以及坡度比，分别求出CO、CF、PE，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决．25.【答案】解：（1）∵cos A=1213，cos C=35，∴sin A=1−cos2A=513，sin C=1−cos2C=45，∴sin B=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C=6365，∵ABsinC=ACsinB，∴AB=ACsinB•sin C=12606365×45=1040m，答：索道AB的长为1040米；（2）∵BCsinA=ACsinB，甲共用时间：126045=28，乙索道所用时间：1040130=8，设乙的步行速度为vm/min，由题意得28-（2+1+8+500v）=3，整理得500v=14，解得v=2507．答：乙步行的速度为2507m/min．【解析】（1）利用同角三角函数的关系，可求得sinA与sinC，从而得到sinB．再在△ABC中利用正弦定理加以计算，即可得到索道AB的长；（2）先由正弦定理得=，求得BC=500m，再分别求出甲共用时间与乙索道所用时间，设乙的步行速度为 vm/min，依题意，解方程28-（2+1+8+）=3即可．本题给出实际应用问题，求索道的长并研究甲乙二人到达时间的问题．着重考查了同角三角函数的基本关系、正余弦定理解三角形和解三角形的实际应用等知识，属于中档题．26.【答案】（1）证明：∵△BCE和△CDP均为等腰直角三角形，∴∠ECB=∠PCD=45°，∠CEB=∠CPD=90°，∴△BCE∽△DCP，∴PCDC=ECCB；（2）解：AC∥BD，理由：∵∠PCE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=45°，∴∠PCE=∠BCD，又∵PCDC=ECCB，∴△PCE∽△DCB，∴∠CBD=∠CEP=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠CBD，∴AC∥BD；（3）解：如图所示：作PM⊥BD于M，∵AC=42，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，∴BE=CE=4，∵△PCE∽△DCB，∴ECCB=PEBD，即442=xBD，∴BD=2x，∵∠PBM=∠CBD-∠CBP=45°，BP=BE+PE=4+x，∴PM=sin45°•（4+x）=2(4+x)2，∴△PBD的面积S=12BD•PM=12×2x×2(4+x)2=12x2+2x．【解析】（1）直接利用相似三角形的判定方法得出△BCE∽△DCP，进而得出答案；（2）首先得出△PCE∽△DCB，进而求出∠ACB=∠CBD，即可得出AC与BD的（3）首先利用相似三角形的性质表示出BD，PM的长，进而表示出△PBD的面积．此题主要考查了相似形综合、平行线的判定方法以及相似三角形的判定与性质等知识，正确表示出PM的长是解题关键．27.【答案】（1）∵x2-2x-3=0，∴x=3或x=-1，∴B（0，3），C（0，-1），∴BC=4，（2）∵A（-3，0），B（0，3），C（0，-1），∴OA=3，OB=3，OC=1，∴OA2=OB•OC，∵∠AOC=∠BOA=90°，∴△AOC∽△BOA，∴∠CAO=∠ABO，∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAC=90°，∴AC⊥AB；（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，把A（-3，0）和C（0，-1）代入y=kx+b，∴−1=b0=−3k+b，解得：k=−33b=−1，∴直线AC的解析式为：y=-33x-1，∵DB=DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上，∴D的纵坐标为1，∴把y=1代入y=-33x-1，∴x=-23，∴D的坐标为（-23，1），（4）设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，把B（0，3）和D（-23，1）代入y=mx+n，∴n=31=−23m+n，解得m=33n=3，∴直线BD的解析式为：y=33x+3，令y=0代入y=33x+3，∴x=-33，∴E（-33，0），∴OE=33，∴tan∠BEC=OBOE=33，∴∠BEO=30°，同理可求得：∠ABO=30°，∴∠ABE=30°，当PA=AB时，如图1，此时，∠BEA=∠ABE=30°，∴P与E重合，∴P的坐标为（-33，0），当PA=PB时，如图2，此时，∠PAB=∠PBA=30°，∵∠ABE=∠ABO=30°，∴∠PAB=∠ABO，∴PA∥BC，∴∠PAO=90°，∴点P的横坐标为-3，令x=-3代入y=33x+3，∴y=2，∴P（-3，2），当PB=AB时，如图3，∴由勾股定理可求得：AB=23，EB=6，若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，过点P1作P1F⊥x轴于点F，∴P1B=AB=23，∴EP1=6-23，∴sin∠BEO=FP1EP1，∴FP1=3-3，令y=3-3代入y=33x+3，∴x=-3，∴P1（-3，3-3），若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2，过点P2作P2G⊥x轴于点G，∴P2B=AB=23，∴EP2=6+23，∴sin∠BEO=GP2EP2，∴GP2=3+3，令y=3+3代入y=33x+3，∴x=3，∴P2（3，3+3），综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（-33，0），（-3，2），（-3，3-3），（3，3+3）．【解析】（1）解出方程后，即可求出B、C两点的坐标，即可求出BC的长度；（2）由A、B、C三点坐标可知OA2=OC•OB，所以可证明△AOC∽△BOA，利用对应角相等即可求出∠CAB=90°；（3）容易求得直线AC的解析式，由DB=DC可知，点D在BC的垂直平分线上，所以D的纵坐标为1，将其代入直线AC的解析式即可求出D的坐标；（4）A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为以下三种情况：①AB=AP；②AB=BP；③AP=BP；然后分别求出P的坐标即可．本题考查二次函数的综合问题，涉及一元二次方程的解法，相似三角形的判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定等知识，内容较为综合，需要学生灵活运用所知识解决．。

江苏省无锡市 九年级(上)月考数学试卷(10月份)

江苏省无锡市 九年级(上)月考数学试卷(10月份)

九年级（上）月考数学试卷（10月份）题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.若yx=34，则x+yx的值是（ ）A. 73B. 74C. −74D. 72.在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sin A=35，则BC的长为（ ）A. 6B. 7.5C. 8D. 12.53.下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ）A.B.C.D.4.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 45.若关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）A. k≥−1B. k>−1C. k≥−1且k≠0D. k≠06.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cos A的值为（ ）A. 133B. 155C. 255D. 2337.下列命题中：①所有的等腰三角形都相似②有一对锐角相等的直角三角形相似③四个角对应相等的两个四边形相似④两个正方形相似正确的命题个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（ ）A. 3：2B. 4：3C. 9：4D. 16：99.一块含30°角的直角三角板（如图），它的斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各边与△ABC的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm，那么△DEF的周长是（ ）A. 5cmB. 6cmC. (6−3)cmD. (3+3)cm10.如图，已知正比例函数y=kx（k＞0）的图象与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为（0，8），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kx（k＞0）的图象上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为（ ）A. 4B. 43C. 8sin40∘D. 8sin20∘(1+cos20∘+sin20∘cos20∘)二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.在比例尺为1：300000的地图上，量得无锡三阳广场到江阴文明广场的距离为14cm，则两地的实际距离为______km．12.若方程x2-3x-1=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值为______．13.若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为______．14.在△ABC中，|cos A-12|+（1-tan B）2=0，则∠C的度数是______．15.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=4，BC=3，则∠DCB的正切值为______．16.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为______．17.如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，这样△EFG∽△BDG，△AEF∽△ACD，那么FGAG=______．18.矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.解方程：（1）（3x-1）2-25=0（2）x2-2x-6=0四、解答题（本大题共9小题，共76.0分）20.（1）计算：（12）-1-3cos30°+（2018-π）0；（2）化简：a（3-2a）+2（a+1）（a-1）．21.已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是______；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；（3）四边形AA2C2C的面积是______平方单位．22.如图，在矩形ABCD中，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）若DE=23，F为AD的中点，求BD的长度．23.如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α其中tanα=23，无人机的飞行高度AH为5003米，桥的长度为1255米．①求点H到桥左端点P的距离；②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB．24.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sin B=13，AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．25.如图，直线AB分别与两坐标轴交于点A（4，0）．B（0，8），点C的坐标为（2，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）在线段AB上有一动点P．①过点P分别作x，y轴的垂线，垂足分别为点E，F，若矩形OEPF的面积为6，求点P的坐标．②连结CP，是否存在点P，使△ACP与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．（1）如图①，对△ABC作变换[40°，7]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC=______；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为______度；（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC作变换[θ，n]得△AB'C'，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；（3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=2，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值．27.阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P，求APPD的值．小昊发现，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，通过构造△AEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：APPD的值为______．参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图 3，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE 的延长线交于点P，DC：BC：AC=1：2：3．（1）求APPD的值；（2）若CD=2，则BP=______．28.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．动点P从点A开始沿折线AC-CB-BA运动，点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5个单位．直线l从与AC重合的位置开始，以每秒43个单位的速度沿CB方向移动，移动过程中保持l∥AC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动．（1）当t=5秒时，点P走过的路径长为______；当t=______秒时，点P与点E重合；（2）当点P在AC边上运动时，连结PE，并过点E作AB的垂线，垂足为H．若以C、P、E为顶点的三角形与△EFH相似，试求线段EH的值；（3）当点P在折线AC-CB-BA上运动时，作点P关于直线EF的对称点Q．在运动过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，求t的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：，则==，故选：B．根据合比性质计算即可．本题考查的是比例的性质，掌握比例的合比性质是解题的关键．2.【答案】A【解析】解：如图，在Rt△ACB中，∵sinA==，∴BC=×10=6．故选：A．根据正弦的定义得到sinA==，然后利用比例性质求BC．本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．3.【答案】B【解析】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．故选：B．本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．4.【答案】B【解析】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC=2，故选：B．根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根，∴△=b2-4ac≥0，即：4+4k≥0，解得：k≥-1，∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0中k≠0，故选：C．根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k 的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．6.【答案】C【解析】解：连接BD，∵BD2=12+12=2，AB2=12+32=10，AD2=22+22=8，2+8=10，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，∴cosA====．故选：C．连接BD，根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．本题考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7.【答案】B【解析】解：①所有的等腰三角形不一定都相似，故错误；②有一对锐角相等的直角三角形相似，正确；③四个角对应相等的两个四边形相似，错误；④两个正方形相似，正确，正确的有2个，故选：B．利用相似多边形的定义进行判定后即可确定正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似多边形的定义，难度不大．8.【答案】D【解析】解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=∠D=90°；DC=AB=2；由题意得：BF=B′F（设为λ），∠GB′F=90°；∴∠CFB′+∠FB′C=∠FB′C+∠DB′G，∴∠CFB′=∠DB′G，而∠C=∠D，∴△CFB′∽△DB′G；∵∠C=90°，CF=3-λ，CB′=DB′=DC=1，∴由勾股定理得：λ2=（3-λ）2+12，解得：，CF=3-=；∵△CFB′∽△DB′G，∴，故选：D．如图，证明△CFB′∽△DB′G；运用勾股定理求出CF的长度；运用相似三角形的性质即可解决问题．该题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是深入观察图形结构特点，准确找出图形中隐含的数量关系．9.【答案】B【解析】解：∵斜边AB=8cm，∠A=30°，∴BC=4cm，AC=4cm，周长是12+4cm，连接BE，过E作EM⊥BC于M，∵点E到边AB，BC的距离均为1，∴∠ABE=∠EBC=∠ABC=30°（在角内部，到角两边距离相等的点在角平分线上），EM=1cm，∴BM=cm．则EF=4-1-=3-cm．∴△ABC∽△DEF，相似比是=，相似三角形周长的比等于相似比，因而=，解得△DEF的周长是6cm．故选：B．根据相似三角形的周长的比等于相似比可求△DEF的周长，求出EF的长是解决本题的关键．本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比．10.【答案】B【解析】解：作y轴关于直线y=kx对称的对称直线OC，作直线y=kx关于y轴对称的对称直线OD，点A′是点A关于直线y=kx的对称点．作A′E⊥OD垂足为E，交y轴于点P，交直线y=kx于M，作PN⊥直线y=kx垂足为N，如图，∵PN=PE，AM=A′M，∴AM+PM+PN=A′M+PM+PE=A′E，∴此时AM+MP+PN值最小，在Rt△A′EO中，∵∠A′EO=90°，OA′=OA=8，∠A′OE=3∠AOM=60°，∴OE=OA′=4，∴A′E=OE=4，即AM+MP+PN的最小值为4．故选：B．作y轴关于直线y=kx对称的对称直线OC，作直线y=kx关于y轴对称的对称直线OD，点A′是点A关于直线y=kx的对称点．作A′E⊥OD垂足为E，交y 轴于点P，交直线y=kx于M，作PN⊥直线y=kx垂足为N，如图，利用对称的性质得到AM+PM+PN=A′E，则根据垂线段最短可判定此时AM+MP+PN值最小，然后计算出∠A′OE=3∠AOM=60°，再利用含30度的直角三角形三边的关系计算A′E即可．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了轴对称的性质和最短路径的求法．11.【答案】42【解析】解：14×300000=4200000cm=42km．故答案为42．图上距离除以比例尺，算出实际距离，进而把厘米换算成千米即可．考查有关比例线段的计算；注意厘米换算成千米应缩小100000倍．12.【答案】-1【解析】解：∵方程x2-3x-1=0的两根为x1、x2，∴x1•x2=-1．故答案为：-1．根据根与系数的关系得x1•x2=-1，直接填空即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=．13.【答案】1：9【解析】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：3，∴△ABC与△DEF的面积比为1：9，故答案为：1：9根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．14.【答案】75°【解析】解：∵|cosA-|+（1-tanB）2=0，∴cosA-=0，1-tanB=0，∴cosA=，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-60°-45°=75°．故答案为：75°．根据题意得出cosA-=0，1-tanB=0，进而得出∠A=60°，∠B=45°，再利用三角形内角和定理得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值以及绝对值的性质和偶次方的性质，正确记忆相关数据是解题关键．15.【答案】34【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∴∠CDA=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，tanA=，∴tanA=，∴tan∠BCD=，故答案为：．根据在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，可以得到∠B与∠ACD的关系，由AC=4，BC=3，可以求得∠A的正切值，从而可以得到∠DCB的正切值．本题考查解直角三角形，解题的关键是找出与所求角相等的角，然后根据相等的角的正切值相等，进行等量代换解答本题．16.【答案】1：16【解析】解：∵S△BDE：S△CDE=1：3，∴BE：EC=1：3；∴BE：BC=1：4；∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，∴=，∴S△DOE：S△AOC=（）2=；故答案为：1：16．证明BE：EC=1：3，得出BE：BC=1：4；证明△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，得到=，由相似三角形的性质即可解决问题．本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．17.【答案】14【解析】解：∵线段AD、BE是△ABC的中线，∴=，=，∵EF∥BC，∴=，∴=．故答案为：．由三角形的重心定理得出=，=，由平行线分线段成比例定理得出=，即可得出结果．本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形的重心定理；熟练掌握三角形的重心定理，由平行线分线段成比例定理得出FG：DG=1：2是解决问题的关键．18.【答案】65或3【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=90°，∴BD==10，当PD=DA=8时，BP=BD-PD=2，∵△PBE∽△DBC，∴=，即=，解得，PE=，当P′D=P′A时，点P′为BD的中点，∴P′E′=CD=3，故答案为：或3．根据勾股定理求出BD，分PD=DA、P′D=P′A两种情况，根据相似三角形的性质计算．本题考查的是相似三角形的性质、勾股定理和矩形的性质，掌握相似三角形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．19.【答案】解：（1）∵（3x-1）2-25=0，∴（3x-1）2=25，则3x-1=±5，解得：x1=2，x2=-43；（2）∵x2-2x-6=0，∴a=1，b=-2，c=-6，则△=4-4×1×（-6）=28＞0，∴x=2±272=1±7，即x1=1+7，x2=1-7．【解析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）利用公式法求解可得．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．20.【答案】解：（1）（12）-1-3cos30°+（2018-π）0；=2-3×32+1=32；（2）a（3-2a）+2（a+1）（a-1）=3a-2a2+2a2-2=3a-2．【解析】（1）直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和零指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用平方差公式以及单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．此题主要考查了整式的混合运算以及实数运算，正确运用公式是解题关键．21.【答案】（2，-2） 7.5【解析】解：（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，-2）；（2）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，（3）四边形AA2C2C的面积是=；故答案为：（1）（2，-2）；（2）7.5（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，如图所示，找出所求点坐标即可；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，如图所示，找出所求点坐标即可．（3）根据四边形的面积等于两个三角形面积之和解答即可．此题考查了作图-位似变换与平移变换，熟练掌握位似变换与平移变换的性质是解本题的关键．22.【答案】证明：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，∴△DEC∽△FDC；（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，∴△FDE∽△CBE，∴DEBE=DFBC=12，由DE=23，得BE=43∴BD=63．【解析】（1）由矩形的性质可知∠FDC=∠DEC=90°，结合公共角可证明△DEC∽△FDC；（2）由DF∥BC可知==，可求得BE，进一步可求出BD．本题主要考查相似三角形的判定及平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．23.【答案】解：①在Rt△AHP中，∵AH=5003，由tan∠APH=tanα=AHHP=5003PH=23，可得PH=250米．∴点H到桥左端点P的距离为250米．②设BC⊥HQ于C．在Rt△BCQ中，∵BC=AH=5003，∠BQC=30°，∴CQ=BCtan30∘=1500米，∵PQ=1255米，∴CP=245米，∵HP=250米，∴AB=HC=250-245=5米．答：这架无人机的长度AB为5米．【解析】本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，锐角三角函数，矩形判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．①在Rt△AHP中，由tan∠APH=tanα=，即可解决问题；②设BC⊥HQ于C．在Rt△BCQ中，求出CQ==1500米，由PQ=1255米，可得CP=245米，再根据AB=HC=PH-PC计算即可.24.【答案】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1．在△ADB中，∵∠ADB=90°，sin B=13，AD=1，∴AB=ADsinB=3，∴BD=AB2−AD2=22，∴BC=BD+DC=22+1；（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=12BC=2+12，∴DE=CE-CD=2+12-1=2-12，∴tan∠DAE=DEAD=2−121=2-12．【解析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=2，然后根据BC=BD+DC即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE-CD，然后在Rt△ADE 中根据正切函数的定义即可求解．本题考查了解直角三角形，三角形的高、中线的定义，勾股定理，难度中等，分别解Rt△ADC与Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解题的关键．25.【答案】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，如图1：依题意，4k+b=0b=8，∴k=−2b=8，∴y=-2x+8；（2）①设动点P（x，-2x+8），则PE=x，PF=-2x+8，∴S▭OEPF=PE•PF=x（-2x+8）=6，∴x1=1，x2=3；经检验x1=1，x2=3都符合题意，∴点P（1，6）或（3，2）；②存在，分两种情况第一种：CP∥OB，∴△ACP∽△AOB，而点C的坐标为（2，0），∴点P（2，4 ）；第二种CP⊥AB，∵∠APC=∠AOB=90°，∠PAC=∠BAO，∴△APC∽△AOB，∴APOA=ACAB，∴AP4=242+82，∴AP=255，如图2，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，∴PH∥OB，∴△APH∽△ABO，∴PHOB=APAB=AHOA，∴PH8=25545=AH4，∴PH=45，AH=25∴OH=OA-AH=185，∴点P（185，45）．∴点P的坐标为（2，4）或点P（185，45）．【解析】（1）由于A（4，0）、B（0，8），利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（2）①可以设动点P （x，-2x+8），由此得到PE=x，PF=-2x+8，再利用矩形OEPF的面积为6即可求出点P的坐标；②存在，分两种情况：第一种由CP∥OB得△ACP∽△AOB，由此即可求出P的坐标；第二种CP⊥AB，根据已知条件可以证明APC∽△AOB，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求出PA，再过点P作PH⊥x轴，垂足为H，由此得到PH∥OB，进一步得到△APH∽△ABO，然后利用相似三角形的对应边成比例就可以求出点P的坐标．本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用相似三角形的性质与判定与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．26.【答案】7 40【解析】解：（1）如图①中，设直线BC与直线B′C′的交点为H，AB′交BH于O．∵△ABC∽△AB′C′，AB：AB′=，∴S△ABC：S△AB′C′=7，∵∠B=∠B′，∠AOB=∠HOB′，∴∠OHB=∠BAO=40°，故答案为：7，40．（2）如图②中，∵四边形ABB′C′是矩形，∴∠BAC′=90°．∴θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=90°-30°=60°．在Rt△ABB′中，∠ABB′=90°，∠BAB′=60°，∴n==2．（3）如图③中，∵四边形ABB′C′是平行四边形，∴AC′∥BB′，又∵∠BAC=36°，∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°∴∠C′AB′=∠AB'B=∠BAC=36°，∴θ=∠BAB′=72°，又∵∠B=∠B，∴△ABC∽△B′BA，∴AB2=CB•B′B=CB•（BC+CB′），∵CB′=AC=AB=B′C′，BC=2，∴AB2=2•（2+AB）∴AB=1+或1-（舍），∵AB＞0，∴B'C'=AB=1+，∴n==．（1）根据变换[40°，]的定义，即可解决问题．（2）想办法求出∠CAC′，以及的值即可．（3）想办法求出∠BAB′，以及的值即可本题考查四边形综合题、相似三角形的性质、一元二次方程、变换[θ，n]的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．27.【答案】32 6【解析】解：的值为．提示：易证△AEF≌△CEB，则有AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，即可得到==．故答案为：；解决问题：（1）过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，如图，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．∵E是AC中点，∴AE=CE．∵AF∥DB，∴∠F=∠1．在△AEF和△CEB中，，∴△AEF≌△CEB，∴EF=BE，AF=BC=2k．∵AF∥DB，∴△AFP∽△DBP，∴====．∴的值为；（2）当CD=2时，BC=4，AC=6，∴EC=AC=3，EB==5，∴EF=BE=5，BF=10．∵=（已证），∴=，∴BP=BF=×10=6．故答案为6．易证△AEF≌△CEB，则有AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，然后根据相似三角形的性质就可求出的值；解决问题：（1）过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．易证△AEF≌△CEB，则有EF=BE，AF=BC=2k．易证△AFP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质就可求出的值；（2）当CD=2时，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根据的值求出，就可求出BP的值．本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，结合中点，作平行线构造全等三角形是解决本题的关键．28.【答案】19 3【解析】解：（1）∵AC=6，点P在AC上运动的速度为每秒3个单位，∴6÷3=2秒．∵BC=8，点P在CB上运动的速度为每秒4个单位，∴8÷4=2秒．当t=5秒时，点P运动的路程=6+8+5=19．当运动时间为t秒时，点P与点E重合．根据题意得：4（t-2）=．解得：t=3．故答案为：19；3．（2）∵l∥AC，∴∠A=∠EFH．∴tan∠EFH=tan∠A=．∵△CPE∽EFH，∴或∵CP=6-3t，CE=t，∴=或=．解得：t=或t=．∵当t=时，CE===2．∴BE=BC-EC=8-2=6．在Rt△EHB中，EH=EB×=6×=．∴EH=．∵当t=时，EC===，∴EB=8-=．在Rt△EHB中，EH=EB×=×=．∴EH=．（3）如图1所示：当点P在AC上时，连结PQ．∵四边形PEQF为菱形，∴PQ垂直平分EF．∴∠EOP=90°．∵l∥AC，∠C=90°，∴∠CEO=90°∵∠C=∠CEO=∠EOP=90°，∴四边形CEOP为矩形．∴PC=EO．∴EF=2CP．∵CE=，∴EB=8-．∵在△EFB中，tan∠B=，∴EF=BE=．∵AP=3t，AC=6，∴PC=6-3t．∴（8-t）=2（6-3t）．解得t=＜2，符合题意．当点 P在CB上运动时，点P、Q、E在一条直线上，点P、Q、E、F不能构成四边形．如图2所示：当点 P在BA上运动时．∵四边形PEQF为菱形，∴PE=PF．∴∠PFE=∠PEF．∵∠EFP+∠B=90°，∠FEP+∠PEB=90°，∴∠PEB=∠PBE．∴PB=PE．∴BF=2BP．∵CE=，BC=8，∴BE=8-．在Rt△EFB中，FB==（8-）．由题意可知：PB=5（t-4）．∴（8-t）=2×5（t-4），解得t=．综上所述，当t=秒或t=秒时，四边形PEQF为菱形．（1）由题意可知点P从A到C需要2秒，从C到B需要2秒，从而可求得t=5时，点P运动的路程，点P与点重合，则点P运动的距离-点E运动的距离=AC，从而可求得点t=3；（2）由l∥AC可知∠A=∠EFH，故tan∠EFH=，由相似三角形的性质可知或，从而求得t=或t=，然后由t的值可求得CE的长，从而可求得BE的长，最后在Rt△EHB中由EH=EB×可求得EH的长；（3）当点P在AC上时，连结PQ．由菱形的性质可知PQ垂直平分EF，从而得到EF=2CP，由题意可知PC=6-3t，在△EFB中，tan∠B=，于是可求得EF=BE=，可求得t=＜2，符合题意；当点P在CB上运动时，点P、Q、E在一条直线上，点P、Q、E、F不能构成四边形；当点P在BA上运动时，由菱形的性质可知PE=PF，然后根据等角的余角相等可知PB=PE，故此可知BF=2BP，由题意可知PB=5（t-4）在Rt△EFB中，FB==（8-），故此可第21页，共22页解得t=．本题主要考查的是一次函数的综合应用、相似三角形的性质、轴对称图形的性质、菱形的性质、锐角三角函数的定义，依据点P运动的速度以及特殊锐角三角函数值表示相关线段的长度是解题的关键．第22页，共22页。

江苏省江阴市九年级上学期数学10月月考试卷

江苏省江阴市九年级上学期数学10月月考试卷

九年级上学期数学10月月考试卷一、单项选择题x 的方程中，一定是一元二次方程的为〔 〕A. ax 2+bx +c ＝0B. x 2﹣2＝〔x +3〕2C.D. x 2﹣1＝0 2.以以下列图形中不一定是相似图形的是( )A. 两个等边三角形B. 两个等腰直角三角形C. 两个正方形D. 两个长方形3.如果 ，那么以下各式中不正确的选项是．．．．．．．〔 〕A.B. C. D. 2﹣2x ﹣3=0，配方后的方程可以是〔 〕A. 〔x ﹣1〕2=4B. 〔x+1〕2=4C. 〔x ﹣1〕2=16D. 〔x+1〕2=16 2﹣7x+12=0的两根，那么第三边长为〔 〕A. 7B. 5C.D. 5或6.如图，点E 在▱ABCD 的边BC 延长线上，连AE ，交边CD 于点F ，在不添加辅助线的情况下，图中相似三角形有( )A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，假设AC ＝2a ，那么AD 的长是〔 〕A. ( －1)aB. ( ＋1)aC. aD. a8.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ， ，那么以下结论中正确的选项是〔 〕A. B. C. D.9.直角坐标系中四点A(－2，4)、B(－2，0)、C(2，－3)、D(2，0).假设点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，那么所有符合上述条件的点P的个数是〔〕A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个10.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG= S△FGH；④AG+DF=FG．那么以下结论正确的有〔〕A. ①②④B. ①③④C. ②③④D. ①②③二、填空题2﹣3x+1=0的两根为x1和x2，那么x1+x2=________．12.在比例尺为1∶50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB＝3cm，那么A、B两地的实际距离为________km.13.东东和爸爸到广场散步，爸爸的身高是176cm，东东的身高是156cm，在同一时刻爸爸的影长是88cm，那么东东的影长是________cm.14.假设关于x的一元二次方程(k-1)x2－4x＋1＝0有实数根，那么k的取值范围是________.15.为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么所列方程是________16.如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF=2，那么AC的长为________．17.如图，△ABC两边的中线BE，CF相交于点G，假设S△ABC＝10，那么图中阴影局部面积是________.18.如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，假设点M、N分别是线段AB、AC上的两个动点，那么CM＋MN 的最小值为________.三、解答题19.解方程〔1〕；〔2〕x2－5x＋1＝0〔用配方法〕；〔3〕x2＋5＝－4x；〔4〕.20.化简再求值：，其中x满足方程：x2－2x＝0.21.：如图，AE2=AD·AB，且∠ABE=∠ACB，求证：DE∥BC.22.如图，O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，－1)，(2，1).〔1〕以O点为位似中心，在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形；〔2〕如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，写出B，C，M的对应点B′，C′，M′的坐标.23.关于x的方程.〔1〕试说明方程总有两个不相等的实数根；〔2〕假设此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的等腰三角形的周长. 24.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点.〔1〕求证：AC2＝AB•AD；〔2〕假设AD＝8，AB＝12，求的值.25.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，那么平均每天的销售可增加20千克，假设该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请答复：〔1〕每千克核桃应降价多少元？〔2〕在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？26.如图，直线AB分别与两坐标轴交于点A〔4，0〕，B〔0，8〕，点C的坐标为〔2，0〕.〔1〕求直线AB的解析式；〔2〕在线段AB上有一动点P.①过点P分别作x，y轴的垂线，垂足分别为点E，F，假设矩形OEPF的面积为6，求点P的坐标.②连结CP，是否存在点P，使△ACP与△AOB相似？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由.27.看图：〔1〕〔探究证明〕：某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出以下问题，请你给出证明.如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证：；〔2〕〔结论应用〕：如图2，在满足〔1〕的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，假设，那么的值为________；〔3〕〔联系拓展〕：如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=8，BC=CD=4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，那么=________.28.如图①，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在轴的正半轴上，点C 在轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4.〔1〕在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，那么E点的坐标为________；D点的坐标为________.〔2〕如图②，假设AE上有一动点P〔不与A、E重合〕自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒，过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE 的平行线交DE于点N.求四边形PMNE的面积S与时间之间的函数关系式；〔3〕在〔2〕的条件下，当为何值时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M 的坐标.答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】A中应标明a≠0，故本选项不一定是一元二次方程；B中去括号合并同类项后x2没有了，故本选项一定不是一元二次方程；C是分式方程，故本选项一定不是一元二次方程；D是一元二次方程，故本选项符合题意．故答案为：D．【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可．2.【解析】【解答】等边三角形的三个内角都是，所以任意两个等边三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等边三角形一定相似，故A选项错误；等腰直角三角形的三个内角分别为，所以任意两个等腰直角三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等腰直角三角形一定相似，故B选项错误；正方形可以看作是两个全等的直角三角形拼接而成，故任意两个正方形也相似，故C选项错误；任意两个长方形的长和宽对应比例不确定，长之比和宽之比不一定相等，所以任意两个长方形不一定相似，故正确答案为D选项.【分析】根据相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似来分析解答此题.3.【解析】【解答】解：∵∴设，那么∴，故A选项正确，不符合题意；，故B选项错误，符合题意；，故C选项正确，不符合题意；，故D选项正确，不符合题意；故答案为：B.【分析】根据比例关系，设，那么，依次代入即可判断.4.【解析】【分析】在此题中，把常数项-3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方．【解答】把方程x2-2x-3=0的常数项移到等号的右边，得到x2-2x=3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-2x+1=3+1，配方得〔x-1)2=4．应选A．【点评】此题考查了配方法的一般步骤：〔1)把常数项移到等号的右边；〔3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数5.【解析】【解答】解：x2﹣7x+12=0，〔x﹣3〕〔x﹣4〕=0，x﹣3=0，x﹣4=0，解得：x1=3，x2=4，即直角三角形的两边是3和4，当3和4是两直角边时，第三边是=5；当4是斜边，3是直角边时，第三边是= ，即第三边是5或，应选D．【分析】求出方程的解，得出直角三角形的两边长，分为两种情况：①当3和4是两直角边时，②当4是斜边，3是直角边时，根据勾股定理求出第三边即可．6.【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△ADF∽△ECF，△ABE∽△FCE，∴△ABE∽△FDA.即图中共有3对相似三角形.故答案为：C.【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，得出△ADF∽△ECF，△ABE∽△FCE，从而得出△ABE∽△FDA，即可得出答案.7.【解析】【解答】解：∵在中，，，∴，∵BD平分，∴，∴，，∴，，∴，∴，，∴，∴，设，那么，∴，解得，故答案为：A.【分析】利用两组对应角相等证明，设，再根据相似三角形的性质列式求解.8.【解析】【解答】∵，∴，∵DE∥BC，∴，△ADE∽△ABC，∴，，，故A，B，D错误，故答案为：C.【分析】根据平行线分线段成比例得出，再证出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得出，，，逐项进行判断，即可求解.9.【解析】【解答】解：如图，P有四种情况，①∵，∴，设，，，〔舍去〕，；②∵，设，，，；③∵，∴，设，，，〔舍去〕，；④∵，∴，设，，，.故答案为：B.【分析】画出平面直角坐标系，把点标出来，找到符合条件的点P，通过相似三角形的判定去证明是否成立.10.【解析】【解答】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，在Rt△ABF中，∵AB=6，BF=10，∴AF= =8，∴DF=AD﹣AF=10﹣8=2，设EF=x，那么CE=x，DE=CD﹣CE=6﹣x，在Rt△DEF中，∵DE2+DF2=EF2，∴〔6﹣x〕2+22=x2，解得x= ，∴ED= ，∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，∴∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，∴∠2+∠3= ∠ABC=45°，所以①正确；HF=BF﹣BH=10﹣6=4，设AG=y，那么GH=y，GF=8﹣y，在Rt△HGF中，∵GH2+HF2=GF2，∴y2+42=〔8﹣y〕2，解得y=3，∴AG=GH=3，GF=5，∵∠A=∠D，= = ，= ，∴≠ ，∴△ABG与△DEF不相似，所以②错误；∵S△ABG= •6•3=9，S△FGH= •GH•HF= ×3×4=6，∴S△ABG= S△FGH，所以③正确；∵AG+DF=3+2=5，而GF=5，∴AG+DF=GF，所以④正确．∴①③④正确．应选B．【分析】由折叠性质得∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，那么在Rt△ABF中利用勾股定理可计算出AF=8，所以DF=AD﹣AF=2，设EF=x，那么CE=x，DE=CD﹣CE=6﹣x，在Rt△DEF中利用勾股定理得〔6﹣x〕2+22=x2，解得x= ，即ED= ；再利用折叠性质得∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，易得∠2+∠3=45°，于是可对①进行判断；设AG=y，那么GH=y，GF=8﹣y，在Rt△HGF中利用勾股定理得到y2+42=〔8﹣y〕2，解得y=3，那么AG=GH=3，GF=5，由于∠A=∠D和≠ ，可判断△ABG与△DEF不相似，那么可对②进行判断；根据三角形面积公式可对③进行判断；利用AG=3，GF=5，DF=2可对④进行判断．二、填空题11.【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1=0的两根为x1和x2，∴x1+x2=3．故答案为：3．【分析】此题要求算出x1+x2的结果，x1+x2正好与两根之和公式一致，根据两根之和公式〔韦达定理〕可以求出x1+x2的值．12.【解析】【解答】解：设实际距离为xcm，那么3：x=1：50000，解得x=150000，150000cm=1．5km．【分析】根据图上距离比实际距离等于比例尺，建立方程求解即可。

2023—2024学年江苏省无锡市江阴市华西实验学校九年级上学期10月月考数学试卷

2023—2024学年江苏省无锡市江阴市华西实验学校九年级上学期10月月考数学试卷

2023—2024学年江苏省无锡市江阴市华西实验学校九年级上学期10月月考数学试卷一、单选题1. 下列方程中，是一元二次方程是（）A．B．C．D．2. 用配方法解一元二次方程x2﹣4 x﹣6＝0时，配方后的方程是（）A．（x＋2）2＝2B．（x﹣2）2＝2C．（x＋2）2＝10D．（x﹣2）2＝103. 已知⊙O的直径为4，若，则点与⊙O的位置关系是（）A．点在⊙O上B．点在⊙O内C．点在⊙O外D．无法判断4. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上点A，B 的读数分别为86°，30°，则∠ACB的大小为（）A．56°B．34°C．29°D．28°5. 如图，线段是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，若，则的长是（）A．B．4C．6D．6. 电影《长津湖》以抗美援朝战争第二次战役中的长津湖战役为背景，讲述了一段波澜壮阔的历史：71年前，中国人民志愿军赴朝作战，在极寒严酷环境下，东线作战部队凭着钢铁意志和英勇无畏的战斗精神一路追击，奋勇杀敌，扭转了战场态势，打出了军威国威．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x，则可以列方程为（）A．B．C．D．7. 若菱形的一条对角线长为8，边的长为方程的一个根，则菱形的周长为（）A．24B．12C．20D．12或208. 如图，是的直径，若，∠D=60°，则长等于（）A．4B．5C．D．9. 如图所示，为的直径，C、D是上的点，，垂足为点G，，过点C作的切线交延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，角度为的角的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个10. 如图，正方形中，，点为边上一个动点，连接，点为CD上一点，且，在上截取点使，交于点，连接，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题11. 已知关于x的一元二次方程有两根为和，则的值是 ________ ．12. 如图，正方形四个顶点都在⊙O上，点P是在弧上的一点（P 点与C点不重合），则的度数是 _____ ．13. 若正六边形的内切圆半径为1，则其外接圆半径为 ________ ．14. 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为16米，拱高为4米，则拱的半径为 _____ 米．15. 已知圆的一条弦把圆周分成两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是________ ．16. 如图，四边形内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，若，则 ________ °．17. 如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为 ________ ．18. 如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是 ___________ ．三、解答题19. 用适当的方法解下列方程：(1)(2)(3)(4)20. 已知，求的值．21. 如图，在平面直角坐标系中，有三点．(1)在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；(2)圆心M的坐标为_______；(3)点D坐标为，连接，判断直线与的位置关系，并说明理由．22. 如图，四边形内接于，为的直径，平分．(1)试判断的形状，并给出证明；(2)若，求的长度．(3)在（2）的条件下，求点到的距离．23. 已知关于x的一元二次方程x2+2 mx﹣n2+5＝0．（1）当m＝1时，该一元二次方程的一个根是1，求n的值；（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根．①求m、n满足的关系式；②在x轴上取点H，使得OH＝| m|，过点H作x轴的垂线l，在垂线l上取点P，使得PH＝| n|，则点P到点（3，4）的距离最小值是．24. 如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD于点C．（1）若∠DAB=50°，求∠ATC的度数；（2）若⊙O半径为5，CT=3，求AD的长．25. 已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB= AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．26. 如图，在中，，点P从A点出发，以的速度向B点移动，点Q从B点出发，以的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发．请回答：(1)经过几秒后的面积等于？(2) 的面积能否等于，并说明理由？27. 嘉海学校八年级开展社会实践活动，下表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题．王嘉、马俊、张地点宁调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实青菜售价为元/千克时，每天可销售千克．每千克每涨价元，每天少销售5千克．某天超市正好销售千克的青菜，则获利多少元？问题2若超市想一天销售青菜获利元，则青菜的售价为多少元/千克？28. 综合探究如图1，在矩形中（），对角线相交于点O，点A关于BD的对称点为，连接交于点E，连接．(1)求证：；(2)以点O为圆心，为半径作圆，①如图2，与相切，求证：；②如图3，与相切，，求的面积．。

江苏省无锡市 九年级(上)月考数学试卷(10月份)

江苏省无锡市 九年级(上)月考数学试卷(10月份)

九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列方程为一元二次方程的是（）A. x−2=0B. x2−2x−3C. x2−4x−1=0D. xy+1=02.两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A. 2：3B. 2：3C. 4：9D. 8：273.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sin A等于（）A. 35B. 45C. 34D. 434.若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2-10x+21=0的一根，则这个三角形的周长为（）A. 7B. 3或7C. 15D. 11或155.若Rt△ABC的各边都扩大4倍，得到Rt△A′B′C′，那么锐角A、A′的正弦值的关系为A. sinA′=sinAB. 4sinA′=sinAC. sinA′=4sinAD. 不能确定6.某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（）A. 2%B. 5%C. 10%D. 20%7.如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'=1，则A'D等于（）A. 2B. 3C. 23D. 328.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A. tanαtanβB. sinβsinαC. sinαsinβD. cosβcosα9.欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a2，AC=b，再在斜边AB上截取BD=a2．则该方程的一个正根是（）A. AC的长B. AD的长C. BC的长D. CD的长10.如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC=∠AED=90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD=2BE；③MP•MD=MA•ME；④2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A. ①②B. ①②③C. ①②③④D. ①③④二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.一元二次方程x2-2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为______．12.若xy=32，则2x−yx+3y=______．13.如图∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：______，使△ABC∽△ADE．14.已知一元二次方程一次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为______15.若某人沿坡度i=1：43的斜坡前进10m，则他所在的位置比原来的位置升高______m．16.如图，△ABC中，点D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=1：2，若DE=2，则BC的长为______．17.如图所示，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan B=43，AC上有一点E，满足AE：CE=2：3，则tan∠ADE的值是______．18.已知在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A、B、C的坐标分别为（a，4）、（b，0）、（c，6），且a＜b＜c，则等边△ABC的边长为______．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19.计算或化简：（1）tan60°-12-（3-2）0（2）a（3-2a）+2（a+1）（a-1）．20.解方程：（1）（x-1）2=4；（2）3（x-2）2=x（x-2）；（3）（x-3）2=2x+5．21.已知关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+2k+2=0（1）求证：方程有两个实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．22.如图，AD是△ABC的中线，tan B=15，cos C=22，AC=2．求：（1）BC的长；（2）∠ADC的正弦值．23.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，-4），B（3，-2），C（6，-3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；（3）若每一个方格的面积为1，则△A2B2C2的面积为______．24.已知：△ABC中，∠C=90°．（1）如图1，若AC=4，BC=3，DE⊥AC，且DE=DB，求AD的长；（2）如图2，请利用没有刻度的直尺和圆规，在线段AB上找一点F，使得点F到边AC的距离等于FB（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）25.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为______件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？26.问题呈现如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN 就变换到Rt△DMN中．问题解决（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为______；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；思维拓展（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．27.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB延长线上一点，连接CD，且满足∠DCB=∠A，tan∠DCB=12．（1）如图1，若BC=2，求CD的长．（2）如图2，延长CB到E，使BC=BE．过C作AB的垂线，垂足为F，交AE于G．若设BD长为a，请你用含a的代数式表示△DBC的面积，并直接写出△DBC与△CGE面积的比值．28.定义：如果两个全等的三角形有一条公共边且位于公共边的异侧，我们称这两个三角形成轴全等，公共边所在直线称为全等轴．（1）已知在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B、C的坐标分别为（4，7）、（0，4）、（4，2），若△ACD与△ABC成轴全等，全等轴为直线AC，请直接写出D点坐标．（2）如图，在平面直角坐标系中，△ABC两个顶点B、C坐标分别为（-14，0）、（503，0），∠ABC=45°，AC与y轴交于点E，点E的坐标为（0，252），点F 是OC上一点，坐标为（10，0）．如果M、N为△ABC的边上的两点，是否存在△OMN 与△OFM以OM所在直线为全等轴的轴全等？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、x-2=0是一元一次方程，不合题意；B、x2-2x-3是二次三项式，不合题意；C、x2-4x-1=0，是一元二次方程，符合题意；D、xy+1=0是二元二次方程，不合题意，故选：C．根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．逐一判断即可．本题主要考查一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义是解题关键．2.【答案】C【解析】解：∵两三角形的相似比是2：3，∴其面积之比是4：9，故选：C．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，∴BC===6，∴sinA===，故选：A．先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．4.【答案】C【解析】解：x2-10x+21=0，（x-3）（x-7）=0，则x-3=0，x-7=0，解得：x=3或7，当x=3时，2+3=5＜6，不能组成三角形，故x=3不合题意舍去，当x=7时，2+6=8＞7，可以组成三角形，则三角形的周长为2+6+7=15，故选：C．首先利用因式分解法计算出x的值，再根据三角形的三边关系确定出x的值，然后再计算出周长即可．此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，以及三角形的边角关系，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化两个一次方程来求解．5.【答案】A【解析】解：Rt△ABC的各边都扩大4倍，得到Rt△A′B′C′与Rt△ABC相似，∴∠A=∠A′，∴sinA′=sinA，故选：A．根据相似三角形的判定和性质定理、正弦的定义判断即可．本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．6.【答案】D【解析】【分析】此题为运用方程解决实际问题的应用题型，同学们应加强训练，培养解题能力．设平均每月增长率为x，根据等量关系“一月份生产零件的个数×（1+平均每月增长的百分率）2=三月份生产零件的个数”，列出方程即可求解．【解答】解：设平均每月增长的百分率为x，根据题意，得50（1+x）2=72，解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）故选：D．7.【答案】A【解析】解：如图，∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且AD为BC边的中线，∴S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，则（）2=，即（）2=，解得A′D=2或A′D=-（舍），故选：A．由S△ABC=9、S△A′EF=4且AD为BC边的中线知S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，根据△DA′E∽△DAB知（）2=，据此求解可得．本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．8.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，AB=，在Rt△ACD中，AD=，∴AB：AD=：=，故选：B．在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．9.【答案】B【解析】解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=，设AD=x，根据勾股定理得：（x+）2=b2+（）2，整理得：x2+ax=b2，则该方程的一个正根是AD的长，故选：B．表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．10.【答案】C【解析】解：∵在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∴∠BAC=∠ADE=45°，∴AC∥DE，∴△CAM∽△DEM，故①正确；∵AC=AB，AD=AE∴=，∵∠BAC=∠EAD=45°，∴∠BAE=∠CAD，∴△BAE∽△CAD，∴=，∴CD=BE，故②正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA=∠CDA，∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴，∴MP•MD=MA•ME故③正确由③知MP•MD=MA•ME，∠PMA=∠DME，∴△PMA∽△EMD，∴∠APD=∠AED=90°，∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°，∴△CAP∽△CMA，∴AC2=CP•CM，∵AC=AB，∴2CB2=CP•CM，所以④正确，故选：C．根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=∠ADE=45°，根据平行线的判定定理得到AC∥DE，于是得到△CAM∽△DEM，故①正确；根据等腰直角三角形的性质得到AC=AB，AD=AE推出△BAE∽△CAD，根据相似三角形的性质得到CD=BE，故②正确；由相似三角形的性质得到∠BEA=∠CDA，推出△PME∽△AMD得到，于是得到MP•MD=MA•ME故③正确推出△PMA∽△EMD，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．解：∵x2-2x=0的两根分别为x1和x2，∴x1x2=0，故答案为：0．根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．12.【答案】49【解析】解：由，得y=x，==．故答案为：．根据等式的性质，可用x表示y，根据分式的性质，可得答案．本题考查了比例的性质，利用了分式的性质，等式的性质．13.【答案】∠D=∠B（答案不唯一）【解析】解：∵∠DAB=∠CAE∴∠DAE=∠BAC∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE时两三角形相似．故答案为：∠D=∠B（答案不唯一）．根据相似三角形的判定方法，已知一组角相等则再添加一组相等的角可该角的两个边对应成比例即可推出两三角形相似．此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．解：把x=1代入方程x2+kx-3=0得1+k-3=0，解得k=2．故答案为2．把x=1代入方程x2+kx-3=0得1+k-3=0，然后解关于k的方程即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15.【答案】6【解析】解：设BC=x，AB=x，则AC2=AB2+BC2，AC==x=10，解得：x=6．故所在的位置比原来的位置升高了6m．故答案为：6．根据题意作出图形，可得BC：AB=1：，设BC=x，AB=x，根据勾股定理可得AC2=AB2+BC2，代入求出x的值．本题考查了坡度和坡角的知识，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．16.【答案】6【解析】解：∵AD：DB=1：2，∴AD：AB=1：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴==，∵DE=2，∴BC=6，故答案为6．由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，可得==，由此即可解决问题；本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17.【答案】12【解析】解：作EF⊥AD于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，AD为高，∴∠B=∠C，∴tanC==设AD=4t，DC=3t，∴AC==5t，而AE：CE=2：3，∴AE=2t，∵EF∥CD，∴△AEF∽△ACD，∴==，即==，∴AF=t，EF=t，∴FD=AD-AF=t，在Rt△DEF中，tan∠FDE===，∴tan∠ADE=．故答案为：．作EF⊥AD于F，根据等腰三角形的性质得∠B=∠C，则tanC==，设AD=3t，DC=4t，利用勾股定理计算出AC=5t，由AE：CE=2：3得AE=2t，然后利用EF∥CD得到△AEF∽△ACD，根据相似比可得到AF=t，EF=t，则，所以tan∠ADE=．本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了三角形相似的判定与性质．18.【答案】4321【解析】解：作CK⊥y轴于K，AE⊥CK于E，延长AB到D，使得BD=AB，连接CD，作DF⊥KC交KC的延长线于F．∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=BD，∠BAC=60°，∴∠ACD=90°，∴∠ADC=30°，∴DC=AC，∵∠AEC=∠ACD=∠F=90°，∴∠ACE+∠DCF=90°，∠DCF+∠CDF=90°，∴∠ACE=∠CDF，∴△ACE∽△CDF，∴===，∵A（a，4）、B（b，0）、C（c，6），∴AE=2，DF=10，∴=，∴EC=，∴AC===．故答案为．作CK⊥y轴于K，AE⊥CK于E，延长AB到D，使得BD=AB，连接CD，作DF⊥KC交KC的延长线于F．利用相似三角形的性质解决问题即可；本题考查等边三角形的性质，直角三角形的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．19.【答案】解：（1）原式=3-23-1=-3-1；（2）a（3-2a）+2（a+1）（a-1）=3a-2a2+2a2-2=3a-2．【解析】（1）先求出每一部分的值，再代入求出即可；（2）先算乘法，再合并同类项即可．本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的化简，整式的混合运算等知识点，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能正确运用整式的运算法则进行化简是解（2）的关键．20.【答案】解：（1）（x-1）2=4，开方得：x-1=±2，解得：x1=3，x2=-1；（2）3（x-2）2=x（x-2），3（x-2）2-x（x-2）=0，（x-2）[3（x-2）-x]=0，x-2=0，3（x-2）-x=0，x1=2，x2=3；（3）（x-3）2=2x+5，整理得：x2-8x+4=0，b2-4ac=（-8）2-4×1×4=48，x=8±482，x1=4+23，x2=4-23．【解析】（1）开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．21.【答案】（1）证明：∵△=[-（k+3）]2-4×（2k+2）=k2-2k+1=（k-1）2≥0，∴方程有两个实数根；（2）解：当BC为腰时：方程有一个根为5，把x=5代入方程得52-5（k+3）+2k+2=0，解得k=4；当BC为底时：AB=AC，方程有两个相等实数根，△=（k-1）2=0，解得k=1，此时AB=AC=2，不满足三边关系，舍去．综上所述：k的值为4．【解析】（1）先计算出△=（k-1）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）分类讨论：当BC为腰时；当BC为底时；求出k的值．本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形三边关系，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）代入x=5求出k值．22.【答案】解：（1）如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵cos C=22=CHAC，AC=2，∴CH=1，AH=AC2−CH2=1，在Rt△ABH中，∵tan B=AHBH=15，∴BH=5，∴BC=BH+CH=6．（2）∵BD=CD，∴CD=3，DH=2，AD=AD2+DH2=5在Rt△ADH中，sin∠ADH=AHAD=55．∴∠ADC的正弦值为55．【解析】（1）如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，求出AH=CH=1，在Rt△ABH中，求出BH即可解决问题；（2）在Rt△ADH中，求出DH，AD即可解决问题；本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考中考常考题型．23.【答案】14【解析】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；（3）△A2B2C2的面积为：4×8-×2×4-×2×6-×2×8=14．故答案为：14．（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用△A2B2C2所在矩形的面积减去周围三角形面积进而得出答案．此题主要考查了轴对称变换和位似变换以及三角形面积求法，根据题意得出对应点位置是解题关键．24.【答案】解：（1）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵DE⊥AC，∠C=90°，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB，即5−AD3=AD5，解得AD=258，故AD的长为258．（2）如图2所示，作∠B的平分线BG，交AC于G，作BG的垂直平分线MN，交AB 于F，则点F即为所求，【解析】（1）根据DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，进而得到=，据此可得AD的长；（2）作∠B的平分线BG，交AC于G，作BG的垂直平分线MN，交AB于F，则FG=FB，而FG∥BC，故FG⊥AC，即点F到边AC的距离等于FB．本题主要考查了复杂作图以及相似三角形的判定与性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．25.【答案】26【解析】解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．故答案为26；（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得：x1=10，x2=20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2=20应舍去，解得：x=10．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．26.【答案】2【解析】解：（1）如图1中，∵EC∥MN，∴∠CPN=∠DNM，∴tan∠CPN=tan∠DNM，∵∠DMN=90°，∴tan∠CPN=tan∠DNM===2，故答案为2．（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．∵CD∥AN，∴∠CPN=∠DCM，∵△DCM是等腰直角三角形，∴∠DCM=∠D=45°，∴cos∠CPN=cos∠DCM=．（3）如图3中，如图取格点H，连接AN、HN．∵PC∥HN，∴∠CPN=∠ANH，∵AH=HN，∠AHN=90°，∴∠ANH=∠HAN=45°，∴∠CPN=45°．（1）连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．那么∠CPN就变换到等腰Rt△DMC 中．（3）利用网格，构造等腰直角三角形解决问题即可；本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．27.【答案】解：（1）△ABC中，∠ACB=90°，∴tan∠A=BCAC，∵∠DCB=∠A，BC=2，∴tan∠DCB=12=2AC，∴AC=4，由勾股定理得：AB=22+42=25，∵∠DCB=∠A，∠D=∠D，∴△DBC∽△DCA，∴DCAD=BDDC=BCAC=24，∴DC=2BD，设BD=x，则DC=2x，∴2x25+x=12，∴x=253，∴CD的长为453；（2）如图2，∵tan∠DCB=tan∠CAB=12，∴BCAC=12，设BC=x，AC=2x，∵tan∠CAF=CFAF=12，∴CF=255x，∵△DCB∽△DCA，∴BDCD=CDAD，∴a2a=2a5x+a，∴5x=3a，x=3a5，∴S△BCD=12BD⋅CF=12a⋅25x5=55ax=a5⋅3a=3a25，过B作BM⊥CD于M，过G作GH⊥CE于H，S△CBD=12CD•BM=3a25，12⋅2a⋅BM=3a25，BM=35a，∵∠CAB+∠ABC=∠ECG+∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ECG，tan∠CAB=tan∠ECG=12=GHCH，∵BC=BE=x，AC=2x，∴AC=EC，∵∠ACE=90°，∴∠E=45°，∴GH=EH，∴GH=2x3，∴S△BDCS△CGE=35a212CE⋅GH=35a212⋅2x⋅23x=12．【解析】（1）先根据三角函数定义可得AC=4，由勾股定理计算得AB=2，证明△DBC∽△DCA，得DC=2BD，设BD=x，则DC=2x，可得CD的长；（2）设BC=x，AC=2x，根据同角的三角函数可得CF=x，由△DCB∽△DCA，得x=3a，x=，可得△DBC的面积，过B作BM⊥CD于M，过G作GH⊥CE于H，由三角函数表示tan∠CAB=tan∠ECG==，BC=BE=x，AC=2x，代入面积公式可得△DBC与△CGE面积的比值．本题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．28.【答案】解：（1）①当△ACD与△ABC成轴对称时，点D的坐标为（8，4）；②当△ACD与△ABC成中心对称时，点D的坐标为（8，5）；∴点D的坐标为（8，4）或（8，5）；（2）存在，理由如下：由定义可知：△OMN与△OFM关于OM成轴对称或△OMN与△OFM关于OM的中点成中心对称，当△OMN与△OFM关于关于OM成轴对称时：ON=OF=10，①N在AC上时，ON⊥AC，如图1所示：∵△OMN≌△OFM，∴∠OFM=∠ONM=90°，∴点M的横坐标为10，设AC的解析式为y=kx+b，则503k+b=0b=252，解得：k=−34b=252，∴AC解析式为：y=-34x+252，∵当x=10时，y=5，∴M1（10，5）；②N在AB上时，ON=10，过N作NH⊥BC，垂足为H，如图2所示：设OH=x，则BH=NH=14-x，由勾股定理可得：x2+（14-x）=102，解得：x=6或8；∴N（-6，8）或（-8，6），∴N，F中点G为（2，4）或（1，3），∴OG解析式为：y=2x或y=3x，∴M2（5011，10011）或M3（103，10）；③N在BC上时，M与E重合，如图3所示：∴M4（0，252）；当△OMN与△OFM关于OM的中点成中心对称时，MN∥OF，MN=OF=10时，N在AB上，M在AC上，设M的坐标为（a，-34a+252），则N的坐标为（a-10，-34a+252），将N代入AB解析式：y=x+14，解得：a=347，∴-34a+252=627，∴M5（347，627）；∴所有符合条件的点M的坐标为：（10，5）、（5011，10011）、（103，10）、（0，252）、（347，627）．【解析】（1）分两种情况：①当△ACD与△ABC成轴对称时；②当△ACD与△ABC成中心对称时；容易得出点D的坐标；（2）由定义可知：△OMN与△OFM关于OM成轴对称，或△OMN与△OFM关于OM的中点成中心对称；当△OMN与△OFM关于关于OM成轴对称时：ON=OF=10，分情况讨论；①N在AC上时，ON⊥AC，②N在AB上时，ON=10，过N作NH⊥BC，垂足为H；③N在BC上时，M与E重合；当△OMN与△OFM关于OM的中点成中心对称时，MN∥OF，MN=OF=10时，N在AB上，M在AC上，设M的坐标为（a，-a+），则N的坐标为（a-10，-a+），将N坐标代入AB解析式：y=x+14，求出a的值，即可的结果．本题考查了新定义、轴对称的性质、中心对称的性质、坐标与图形性质、直线解析式的求法、全等三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．。

江苏省无锡市 九年级(上)月考数学试卷(10月份)

江苏省无锡市 九年级(上)月考数学试卷(10月份)

九年级（上）月考数学试卷（10月份一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列方程中是一元二次方程的为（）A. x2+y=3B. x2−2x+5=0C. x2−1x=4D. x−2y=92.若一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A. m≥1B. m≤1C. m>1D. m<13.下列说法正确的是（）A. 三点确定一个圆B. 一个三角形只有一个外接圆C. 和半径垂直的直线是圆的切线D. 三角形的内心到三角形三个顶点距离相等4.某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（）A. 300(1+x)=507B. 300(1+x)2=507C. 300(1+x)+300(1+x)2=507D. 300+300(1+x)+300(1+x)2=5075.如图，点A．B．C在⊙D上，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为（）A. 110∘B. 140∘C. 35∘D. 130∘6.如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A=40°，那么∠C等于（）A. 50∘B. 40∘C. 30∘D. 25∘7.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠B=135°，则劣弧AC的长（）A. 82B. 42C. 2πD. π8.正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（）A. 60∘B. 120∘C. 60∘或120∘D. 30∘或150∘9.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=5，BC=4，以AC所在的直线为轴旋转一周所成几何体的表面积为（）A. 845πB. 365πC. 485πD. 12π10.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是（）A. 1B. 54C. 127D. 94二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.方程x2-5x=0的解是______．12.设x1，x2是方程x2-4x+3=0的两根，则x1+x2=______．13.若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是______．14.如果圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么它的侧面积______cm2．15.一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为______．16.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=4，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧点D、E，则阴影部分的面积为______．17.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为______．18.射线PN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点E，F，且BC∥EF，AE=BE=2cm，PF=4cm．动点Q从点P出发，沿射线PN以每秒2cm的速度向左移动，同时△ABC 也沿射线PN以每秒1cm的速度向左移动，经过t秒，以点Q为圆心，3cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值______．（单位：秒）三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.解下列方程：（1）（x-1）2=9；（2）x2-5x+3=0；（3）x2-2x-4=0；（4）（2x-3）2=（x-2）2四、解答题（本大题共6小题，共46.0分）20.如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于E，且BE=DE，求证：AD=BC．21.已知：关于x的方程x2-4mx+4m2-1=0．（1）不解方程：判断方程的根的情况；（2）若△ABC为等腰三角形，BC=5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．22.如图，点A、B、C在⊙O上，且四边形OABC是一平行四边形．（1）求∠AOC的度数；（2）若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．23.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为______件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？24.如图△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD=5，求⊙O的直径．25.如图直角坐标系中，以M（3，0）为圆心的⊙M交x轴负半轴于A，交x轴正半轴于B，交y轴于C、D．（1）若C点坐标为（0，4），求点A坐标．（2）在（1）的条件下，在⊙M上，是否存在点P，使∠CPM=45°，若存在，求出满足条件的点P．（3）过C作⊙M的切线CE，过A作AN⊥CE于F，交⊙M于N，当⊙M的半径大小发生变化时．AN的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、x2+y=3，是二元二次方程，故此选项错误；B、x2-2x+5=0，是一元二次方程，故此选项正确；C、x2-=4是分式方程，故此选项错误；D、x-2y=9是二元一次方程，故此选项错误；故选：B．直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．2.【答案】D【解析】解：∵方程x2-2x+m=0有两个不相同的实数根，∴△=（-2）2-4m＞0，解得：m＜1．故选：D．根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：A、不共线的三点确定一个圆，所以A选项错误；B、一个三角形只有一个外接圆，所以B选项正确；C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C选项错误；D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D选项错误．故选：B．根据确定圆的条件对A、B进行判断；根据切线的判定定理对C进行判断；根据三角形内心的性质对D进行判断．本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了确定圆的条件和切线的判定．4.【答案】B【解析】解：设这两年的年利润平均增长率为x，根据题意得：300（1+x）2=507．故选：B．设这两年的年利润平均增长率为x，根据2018年初及2020年初的利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：由圆周角定理得，∠ADC=2∠ABC=140°，故选：B．根据圆周角定理计算即可．本题考查的是圆周角定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：连接OB，如图，∵边AB与⊙O相切，切点为 B，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∴∠AOB=90°-∠A=90°-40°=50°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠C，∴∠AOB=∠OBC+∠C=2∠C，∴∠C=∠AOB=25°．故选：D．连接OB，如图，利用切线的性质得∠ABO=90°，再利用互余得到∠AOB=50°，然后根据三角形外角性质和等腰三角形的性质计算∠C的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．7.【答案】C【解析】解：连接OA、OC，如图．∵∠B=135°，∴∠D=180°-135°=45°，∴∠AOC=90°，则劣弧AC的长==2π．故选：C．连接OA、OC，然后根据圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解．本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．8.【答案】D【解析】解：圆内接正六边形的边所对的圆心角=360°÷6=60°，根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，边所对的圆周角的度数是60×=30°或180°-30°=150°．故选：D．作出图形，求出一条边所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答．本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，属于基础题，要注意分两种情况讨论．9.【答案】A【解析】解：作BH⊥AC于H，如图，AB==3，∵BH•AC=AB•BC，∴BH==，∴以AC所在的直线为轴旋转一周所成几何体的表面积=•2π••4+•2π••3=π．故选：A．作BH⊥AC于H，如图，利用勾股定理计算出AB=3，利用面积法计算出BH=，由于以AC所在的直线为轴旋转一周所成几何体为AB、CB为母线，HB 为底面圆的半径的两个圆锥，然后利用扇形面积计算两圆锥的侧面积即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．10.【答案】A【解析】解：设AC与⊙O相切于点D，连接OD，AO，⊙O的半径是r，∵∠C=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6，∵PC=8-2=6，∴BC=PC；∴∠BPC=45°，∴S△APB=S△APO+S△AOB=S△ABC-S△BCP，×2r+×10r=×6×8-×6×62r+10r=12，解得r=1．故选：A．设AC与⊙O相切于点D，连接OD，AO．在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得BC=6，再证明BC=PC，所以可求∠BPC=45°．设⊙O的半径是r，根据三角形ABP的面积的两种表示方法，得2r+10r=12，解方程即可求解．熟练运用勾股定理，根据已知条件发现特殊直角三角形，运用三角形面积的不同表示方法列方程求解．11.【答案】x1=0，x2=5【解析】解：直接因式分解得x（x-5）=0，解得x1=0，x2=5．在方程左边两项中都含有公因式x，所以可用提公因式法．本题考查了因式分解法解一元二次方程，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．12.【答案】4【解析】解：根据题意得x1+x2==4．故答案为4．直接根据根与系数的关系求解．本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．13.【答案】相离【解析】解：∵⊙O的直径是4，∴⊙O的半径r=2，∵圆心O到直线l的距离为3，3＞2，∴直线l与⊙O相离．故答案为：相离．先求出⊙O的半径，再根据圆心O到直线l的距离为3即可得出结论．本题考查的是直线与圆的位置关系，若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，d＞r时，圆和直线相离；d=r时，圆和直线相切；d＜r时，圆和直线相交．14.【答案】20π【解析】解：底面圆的半径为4cm，则底面周长=8cm，侧面面积=×8π×5=20πcm2．圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．15.【答案】2【解析】解：如图，⊙O内切于直角△ABC中，切点分别为D、E、F；其中AC=8，BC=6；连接OD、OF；则OD⊥BC，OF⊥AC；OD=OF；∵∠C=90°，∴四边形ODCF为正方形，∴CD=CF=R（R为⊙O的半径）；由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=36+64=100，∴AB=10；由切线的性质定理的：AF=AE，BD=BE；∴CD+CF=AC+BC-AB=6+8-10=4，∴R=2，它的内切圆半径为2．如图，作辅助线，首先证明四边形ODCF为正方形；求出AB的长度；证明AF=AE，BD=BE问题即可解决．该题主要考查了三角形的内切圆的性质、勾股定理等几何知识点的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、解答．16.【答案】53π-23【解析】解：连接OE，如图，∵CE∥OA，∴∠BCE=90°，∵OE=4，OC=2，∴CE=OC=2，∴∠CEO=30°，∠BOE=60°，∴S阴影部分=S扇形BOE-S△OCE-S扇形BCD=-×2×2-=π-2．故答案为π-2连接OE，如图，利用OE=4，OC=2得到∠CEO=30°，∠BOE=60°，CE=OC=2，然后根据扇形面积公式，利用S阴影部分=S扇形BOE-S△OCE-S扇形BCD进行计算．本题考查了扇形面积的计算：S扇形=πR2或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长）；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．17.【答案】2【解析】解：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在Rt△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC==5，∴PC=OC-OP=5-3=2．∴PC最小值为2．故答案为2．首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．18.【答案】t=2或3≤t≤7或t=8【解析】解：⊙Q以每秒2cm的速度向左移动，△ABC也沿射线PN以每秒1cm的速度向左移动，相当于△ABC静止，Q以每秒1cm的速度向左移动，①当⊙Q与AC相切时，因为半径为，所以QF=2，则PQ=2，即t=2，②作CD⊥PN，BH⊥PN，∵BE=2，∴BH=，HE=1，同理，CD=，DF=1，∴当⊙Q在由D到H的过程中与BC相切，此时3≤t≤7，③当⊙Q与AB相切时，因为半径为，所以GE=2，即t=8，故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．根据⊙Q以每秒2cm的速度向左移动，△ABC也沿射线PN以每秒1cm的速度向左移动，确定⊙Q的相对速度，根据已知条件结合图形，求出t可取的一切值．本题考查的是直线与圆的位置关系，能够分析出所有相切的情形是解题的关键，解答过程中注意圆心到直线距离与圆的半径相等时，直线与圆相切．19.【答案】解：（1）x-1=±3，x=1±3，∴x1=4，x2=-2；（2）△=b2-4ac=25-12=13，x=5±132，∴x1=5+132，x2=5−132；（3）移项，得x2-2x=4，配方，得x2-2x+1=5，∴（x-1）2=5，x-1=±5，∴x=1±5，∴x1=1+5，x2=1-5；（4）移项，得（2x-3）2-（x-2）2=0，∴（2x-3+x-2）（2x-3-x+2）=0，即（3x-5）（x-1）=0，∴x1=53，x2=1．【解析】（1）用直接开平方法比较简便；（2）运用公式法求解；（3）运用配方法或公式法；（4）移项后运用因式分解法比较简便．本题考查了一元二次方程的解法．根据题目特点，选择合适的解法，可使求解简便．20.【答案】证明：在△AED和△CEB中，∠A=∠C∠D=∠BDE=BE，∴△AED≌△CEB（AAS）．∴AD=BC，∴AD=BC．【解析】由圆周角定理很快确定∠A=∠C，∠B=∠D，进而得出△AED≌△CEB，问题就迎刃而解了．此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是得出△AED≌△CEB．21.【答案】解：（1）∵△=（-4m）2-4（4m2-1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2-4mx+4m2-1=0的根．将x=5代入原方程，得：25-20m+4m2-1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2-8x+15=0，解得：x1=3，x2=5，∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m=3时，原方程为x2-12x+35=0，解得：x1=5，x2=7，∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．【解析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2-4mx+4m2-1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值．22.【答案】解：（1）如图，连结OB，∵四边形OABC是一平行四边形，∴AB=OC，∵OA=OB=OC，∴AB=OA=OB，即△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，同理∠BOC=60°，∴∠AOC=120°；（2）S阴影=扇形OAB的面积-三角形OAB的面积=16π×32-34×32=6π−934．【解析】（1）连结OB，证明△OAB是等边三角形，求出∠AOC的度数；（2）根据阴影面积=扇形OAB的面积-三角形OAB的面积计算即可．本题考查的是扇形面积的计算，掌握平行四边形的性质、等边三角形的判定和扇形面积公式是解题的关键．23.【答案】26【解析】解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．故答案为26；（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得：x1=10，x2=20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2=20应舍去，解得：x=10．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．24.【答案】解：（1）证明：连接OA，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．（2）在Rt△OAP中，∵∠P=30°，∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，∴PD=OA，∵PD=5，∴2OA=2PD=25．∴⊙O的直径为25．【解析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30°，再由AP=AC得出∠P=30°，继而由∠OAP=∠AOC-∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论；（2）利用含30°的直角三角形的性质求出OP=2OA，可得出OP-PD=OD，再由PD=，可得出⊙O的直径．本题考查了切线的判定及圆周角定理，解答本题的关键是掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30°直角三角形的性质．25.【答案】解：（1）根据题意，连接CM，又M（3，0），C（0，4）；故CM=5，即⊙M的半径为5；所以MA=5，且M（3，0）；即得A（-2，0）；（2）假设存在这样的点P（x，y），结合题意，可得△CMP为等腰直角三角形，且CM=PM=5，故CP=52；结合题意有，(x−3)2+y2=25x2+(y−4)2=50；解之得：x1=7y1=3、x2=−1y2=−3即存在两个这样的点P；P1（7，3），P2（-1，-3）；（3）AN的长不变为6．证明：连接CM，作MH⊥AN于H，易证△AMH≌△MCO，故AH=MO=3．即AN=HN+AH=3+3=6．【解析】（1）结合题意，连接CM，根据点M和点C的坐标可得出⊙M的半径，即MA 的长，利用M的坐标即可得出A的坐标；（2）假设存在这样的点P，根据题意，可知△CMP为等腰直角三角形，且CM=MP=5．根据圆的方程和两点直接的距离公式列出方程组，解之即可得出点P的坐标；（3）作MH⊥AN于H，则AH=NH，易证△AMH≌△MCO，故AH=MO．从而可证AH为一定值．本题主要考查的是垂径定理的应用和切线与圆之间的性质关系，要求学生能够熟练掌握并运用．。

江苏省无锡市江阴市南菁高中实验学校2019-2020学年九年级(上)月考数学试卷(10月份)

江苏省无锡市江阴市南菁高中实验学校2019-2020学年九年级(上)月考数学试卷(10月份)

2019-2020学年九年级（上）月考数学试卷一．选择题（共10小题）1．﹣3的相反数是（）A．B．C．3 D．﹣32．下列各式中，是3a2b的同类项的是（）A．2x2y B．﹣2ab2C．a2b D．3ab3．点A（3，﹣1）关于x轴的对称点是（）A．（﹣1，3）B．（﹣3，﹣1）C．（3，﹣1）D．（3，1）4．若双曲线y＝过点（2，6），则该双曲线一定过点（）A．（﹣3，﹣4）B．（4，﹣3）C．（﹣6，2）D．（4，4）5．某市6月上旬前5天的最高气温如下（单位：℃）：28，29，31，29，32．对这组数据，下列说法正确的是（）A．平均数为30 B．众数为29 C．中位数为31 D．极差为56．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．7．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M8．有一根长40mm的金属棒，欲将其截成x根7mm长的小段和y根9mm长的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为（）A．x＝1，y＝3 B．x＝3，y＝2 C．x＝4，y＝1 D．x＝2，y＝3 9．如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝120°，点P是底边AC上一个动点，M，N分别是AB，BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是（）A．2 B．2+C．4 D．4+210．已知，如图，AD、BE分别是△ABC的中线，AD⊥BE，AB＝3，BC＝5，则AC的长等于（）A．4 B．2C．3D．2二．填空题（共8小题）11．9的平方根是．12．分解因式（x+2）2﹣3（x+2）的结果是．13．函数y＝中，自变量x的取值范围是．14．贵州FAST望远镜是目前世界第一大单口径射电望远镜，反射面总面积约250000m2，这个数据用科学记数法可表示为．15．若x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝．16．在半径为5cm的圆中，有一点P满足OP＝3cm，则过点P的最短弦长为cm．17．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则sin∠BOD的值等于．18．已知，在平面直角坐标系中，点A（a，a+2），B（b，﹣b+3），点P（m，0）为x轴上的动点，当PA+PB取得最小值时，m的取值范围是．三．解答题（共10小题）19．计算：（1）|﹣5|﹣（﹣3）2﹣（cos30°+2）0．（2）（a﹣b）2﹣a（a﹣2b）．20．（1）解方程：（x+3）2＝2（x+3）；（2）解不等式2x﹣（x+1）＞，并把解集在数轴上表示出来．21．已知⊙O的半径为12cm，弦AB＝16cm．（1）求圆心O到弦AB的距离；（2）如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成什么样的图形？22．2019年5月31日，在“六一”国际儿童节来临之际，某初中开展了向山区对口友好学校捐赠图书活动．该初中所有学生每人都捐赠了一定数量的图书．已知各年级学生人数的扇形统计图如图所示，且初三共有210名学生．学校为了了解各年级捐赠情况，从各年级中随机抽查了部分学生，进行了捐赠情况的统计调查，得知初一人均捐赠2.5册；初二人均捐赠4册；初三人均捐赠3册．根据以上信息解答下列问题：（1）扇形统计图中，初三年级学生数所对应的圆心角为°；（2）该初中三个年级共有名学生；（3）估计全校大约共捐赠图书多少册．23．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口．（1）试用画树状图或列表法中的一种列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；（2）求至少有一辆汽车向左转的概率．24．某超市销售一种新鲜“酸奶”，此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出．这种“酸奶”的保质期不超过一天，对当天未售出的“酸奶”必须全部做销毁处理．（1）该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售．若设售出酸奶的瓶数为x（瓶），销售酸奶的利润为y（元），写出这一天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式．为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少应售出多少瓶？（2）小明在社会调查活动中，了解到近10天当中，该超市每天购进酸奶20瓶的销售情况统计如下：每天售出瓶数17 18 19 20 频数 1 2 2 5 根据上表，求该超市这10天每天销售酸奶的利润的平均数；（3）小明根据（2）中，10天酸奶的销售情况统计，计算得出在近10天当中，其实每天购进19瓶总获利要比每天购进20瓶总获利还多．你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明．25．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：＝1.73，＝1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．26．如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B 作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．27．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图1．（1）若BD是AC的中线，如图2，求的值；（2）若BD是∠ABC的角平分线，如图3，求的值；（3）若AD＝5DE，求的值．28．在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）．（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC的长；（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：①的值是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．﹣3的相反数是（）A．B．C．3 D．﹣3【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．【解答】解：（﹣3）+3＝0．故选：C．2．下列各式中，是3a2b的同类项的是（）A．2x2y B．﹣2ab2C．a2b D．3ab【分析】运用同类项的定义判定即可【解答】解：A、2x2y，字母不同，故A选项错误；B、﹣2ab2，相同字母的指数不同，故B选项错误；C、a2b是3a2b的同类项，故C选项正确；D、3ab，相同字母的指数不同，故D选项错误．故选：C．3．点A（3，﹣1）关于x轴的对称点是（）A．（﹣1，3）B．（﹣3，﹣1）C．（3，﹣1）D．（3，1）【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求解即可．【解答】解：点A（3，﹣1）关于x轴的对称点A1的坐标是（3，1）．故选：D．4．若双曲线y＝过点（2，6），则该双曲线一定过点（）A．（﹣3，﹣4）B．（4，﹣3）C．（﹣6，2）D．（4，4）【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点可得m2﹣2m＝2×6＝12，再把四个选项中横纵坐标相乘，等于12的就在函数图象上，否则不在．【解答】解：∵双曲线y＝过点（2，6），∴m2﹣2m＝2×6＝12，A、﹣3×（﹣4）＝12，则该双曲线一定过此点，故此选项正确；B、4×（﹣3）＝﹣12≠12，则该双曲线一定不过此点，故此选项错误；C、﹣6×2＝﹣12≠12，则该双曲线一定不过此点，故此选项错误；D、4×4＝16≠12，则该双曲线一定不过此点，故此选项错误；故选：A．5．某市6月上旬前5天的最高气温如下（单位：℃）：28，29，31，29，32．对这组数据，下列说法正确的是（）A．平均数为30 B．众数为29 C．中位数为31 D．极差为5【分析】分别计算该组数据的平均数，众数，中位数及极差后找到正确的答案即可．【解答】解：＝＝29.8，∵数据29出现两次最多，∴众数为29，中位数为29，极差为：32﹣28＝4．故选：B．6．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．7．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M【分析】作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点，根据弦的垂直平分线经过圆心，即可确定这条圆弧所在圆的圆心为Q点．【解答】解：连结BC，作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点．故选：B．8．有一根长40mm的金属棒，欲将其截成x根7mm长的小段和y根9mm长的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为（）A．x＝1，y＝3 B．x＝3，y＝2 C．x＝4，y＝1 D．x＝2，y＝3 【分析】根据金属棒的长度是40mm，则可以得到7x+9y≤40，再根据x，y都是正整数，即可求得所有可能的结果，分别计算出省料的长度即可确定．【解答】解：根据题意得：7x+9y≤40，则x≤，∵40﹣9y≥0且y是正整数，∴y的值可以是：1或2或3或4．当y＝1时，x≤，则x＝4，此时，所剩的废料是：40﹣1×9﹣4×7＝3mm；当y＝2时，x≤，则x＝3，此时，所剩的废料是：40﹣2×9﹣3×7＝1mm；当y＝3时，x≤，则x＝1，此时，所剩的废料是：40﹣3×9﹣7＝6mm；当y＝4时，x≤，则x＝0（舍去）．则最小的是：x＝3，y＝2．故选：B．9．如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝120°，点P是底边AC上一个动点，M，N分别是AB，BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是（）A．2 B．2+C．4 D．4+2【分析】本题首先要明确P点在何处，通过M关于AC的对称点M′，根据勾股定理就可求出MN的长，根据中位线的性质及三角函数分别求出AB、BC、AC的长，从而得到△ABC 的周长．【解答】解：作M点关于AC的对称点M′，连接M'N，则与AC的交点即是P点的位置，∵M，N分别是AB，BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN∥AC，∴，∴PM′＝PN，即：当PM+PN最小时P在AC的中点，∴MN＝AC∴PM＝PN＝1，MN＝∴AC＝2，AB＝BC＝2PM＝2PN＝2∴△ABC的周长为：2+2+2＝4+2 ．故选：D．10．已知，如图，AD、BE分别是△ABC的中线，AD⊥BE，AB＝3，BC＝5，则AC的长等于（）A．4 B．2C．3D．2【分析】如图，设OE＝x，OD＝y，利用重心的性质得到OA＝2y，BO＝2x，根据勾股定理得到在4x2+4y2＝AB2＝32，4x2+y2＝，通过解方程组得到x2＝，y2＝，然后在Rt △AOE中利用勾股定理计算出AE，从而得到AC的长．【解答】解：如图，设OE＝x，OD＝y，∵AD、BE分别是△ABC的中线，∴OA＝2OD＝2y，BO＝2OE＝2x，∵AD⊥BE，∴∠AOB＝∠BOD＝∠AOE＝90°，在Rt△AOB中，4x2+4y2＝AB2＝32，则x2+y2＝①，在Rt△BOB中，4x2+y2＝BD2＝（）2＝②，②﹣①得3x2＝4，则x2＝，∴y2＝，在Rt△AOE中，AE2＝x2+4y2＝+4×＝5，∴AE＝，∴AC＝2AE＝2．故选：B．二．填空题（共8小题）11．9的平方根是±3 ．【分析】直接利用平方根的定义计算即可．【解答】解：∵±3的平方是9，∴9的平方根是±3．故答案为：±3．12．分解因式（x+2）2﹣3（x+2）的结果是（x+2）（x﹣1）．【分析】直接提取公因式（x+2），进而得出答案．【解答】解：（x+2）2﹣3（x+2）＝（x+2）（x+2﹣3）＝（x+2）（x﹣1）．故答案为：（x+2）（x﹣1）．13．函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠2 ．【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2．14．贵州FAST望远镜是目前世界第一大单口径射电望远镜，反射面总面积约250000m2，这个数据用科学记数法可表示为 2.5×105．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将250000用科学记数法表示为：2.5×105．故答案为：2.5×105．15．若x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝﹣2 ．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2＝﹣直接代入计算即可．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两根，∴x1+x2＝﹣2；故答案为：﹣2．16．在半径为5cm的圆中，有一点P满足OP＝3cm，则过点P的最短弦长为8 cm．【分析】根据勾股定理和垂径定理即可求得．【解答】解：在过点P的所有⊙O的弦中，最短的弦长为垂直于OP的弦，即OP⊥AB，连接OA，在Rt△AOP中，OA＝5cm．OP＝3cm．根据勾股定理可得：AP＝4cm，根据垂径定理可得：AB＝2AP，所以AB＝8cm．故答案为8．17．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则sin∠BOD的值等于．【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得sin∠BOD的值，本题得以解决．【解答】解：连接AE、EF，如图所示，则AE∥CD，∴∠FAE＝∠BOD，设每个小正方形的边长为a，则AE＝，AF＝，EF＝a，∵，∴△FAE是直角三角形，∠FEA＝90°，∴sin∠FAE＝＝，即sin∠BOD＝，故答案为：．18．已知，在平面直角坐标系中，点A（a，a+2），B（b，﹣b+3），点P（m，0）为x轴上的动点，当PA+PB取得最小值时，m的取值范围是﹣2≤m≤3 ．【分析】先求出点A，点B所在直线，再求出点A对称点A'所在直线，画出图形，由函数图象可求解．【解答】解：∵点A（a，a+2），B（b，﹣b+3），∴点A所在直线为y＝x+2，点B所在直线为y＝﹣x+3，∴直线为y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0），直线y＝﹣x+3与x轴的交点为（3，0），如图，作A关于x轴的对称点A'，连接BC交x轴于点P，则此时PA+PB取得值最小，∴点A'所在直线为y＝﹣x﹣2，由图象可得点P在点（﹣2，0）与点（3，0）之间，∴﹣2≤m≤3，故答案为：﹣2≤m≤3．三．解答题（共10小题）19．计算：（1）|﹣5|﹣（﹣3）2﹣（cos30°+2）0．（2）（a﹣b）2﹣a（a﹣2b）．【分析】（1）根据绝对值，偶次方，零指数幂进行计算，再求出即可；（2）先算乘法，再合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝5﹣9﹣1＝﹣5；（2）原式＝a2﹣2ab+b2﹣a2+2ab＝b2．20．（1）解方程：（x+3）2＝2（x+3）；（2）解不等式2x﹣（x+1）＞，并把解集在数轴上表示出来．【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：（1）∵（x+3）2﹣2（x+3）＝0，∴（x+3）（x+1）＝0，则x+3＝0或x+1＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1；（2）12x﹣2（x+1）＞3（x﹣3），12x﹣2x﹣2＞3x﹣9，12x﹣2x﹣3x＞﹣9+2，7x＞﹣7，x＞﹣1，将解集表示在数轴上如下：21．已知⊙O的半径为12cm，弦AB＝16cm．（1）求圆心O到弦AB的距离；（2）如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成什么样的图形？【分析】（1）连接OB，过O作OC⊥AB于C，则线段OC的长就是圆心O到弦AB的距离，求出BC，再根据勾股定理求出OC即可；（2）弦AB的中点形成一个以O为圆心，以4cm为半径的圆周．【解答】（1）解：连接OB，过O作OC⊥AB于C，则线段OC的长就是圆心O到弦AB的距离，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴AC＝BC＝AB＝8cm，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝4（cm），答：圆心O到弦AB的距离是4cm．（2）解：如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点到圆心O的距离都是4cm，∴如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成一个以O 为圆心，以4cm为半径的圆周．22．2019年5月31日，在“六一”国际儿童节来临之际，某初中开展了向山区对口友好学校捐赠图书活动．该初中所有学生每人都捐赠了一定数量的图书．已知各年级学生人数的扇形统计图如图所示，且初三共有210名学生．学校为了了解各年级捐赠情况，从各年级中随机抽查了部分学生，进行了捐赠情况的统计调查，得知初一人均捐赠2.5册；初二人均捐赠4册；初三人均捐赠3册．根据以上信息解答下列问题：（1）扇形统计图中，初三年级学生数所对应的圆心角为126 °；（2）该初中三个年级共有600 名学生；（3）估计全校大约共捐赠图书多少册．【分析】（1）根据扇形统计图中的数据可以计算出扇形统计图中，初三年级学生数所对应的圆心角的度数；（2）根据初三的学生人数和所占的百分比，可以求得初中三个年级共有多少名学生；（3）根据题目中的数据和扇形统计图中的数据可以计算出全校大约共捐赠图书多少册．【解答】解：（1）扇形统计图中，初三年级学生数所对应的圆心角为：360°×（1﹣35%﹣30%）＝126°，故答案为：126；（2）该初中三个年级共有：210÷（1﹣35%﹣30%）＝600（名），故答案为：600；（3）600×35%×2.5+600×30%×4+210×3＝525+720+630＝1875（册），答：全校大约共捐赠图书1875册．23．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口．（1）试用画树状图或列表法中的一种列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；（2）求至少有一辆汽车向左转的概率．【分析】此题可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有9种情况，至少有一辆车向左转有5种情况，根据概率公式求解即可．【解答】解法l：（1）画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示：∴这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果；（2）由（1）中“树形图”知，至少有一辆汽车向左转的结果有5种，且所有结果的可能性相等∴P（至少有一辆汽车向左转）＝．解法2：根据题意，可以列出如下的表格：左直右左（左，左）（左，直）（左，右）直（直，左）（直，直）（直，右）右（右，左）（右，直）（右，右）∴P（至少有一辆汽车向左转）＝．24．某超市销售一种新鲜“酸奶”，此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出．这种“酸奶”的保质期不超过一天，对当天未售出的“酸奶”必须全部做销毁处理．（1）该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售．若设售出酸奶的瓶数为x（瓶），销售酸奶的利润为y（元），写出这一天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式．为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少应售出多少瓶？（2）小明在社会调查活动中，了解到近10天当中，该超市每天购进酸奶20瓶的销售情况统计如下：每天售出瓶数17 18 19 20 频数 1 2 2 5 根据上表，求该超市这10天每天销售酸奶的利润的平均数；（3）小明根据（2）中，10天酸奶的销售情况统计，计算得出在近10天当中，其实每天购进19瓶总获利要比每天购进20瓶总获利还多．你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明．【分析】（1）根据此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出，该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售，即可得出y与x的函数关系式，再利用y大于0得出x的取值范围；（2）根据频数分布表得出总数，进而得出平均数即可；（3）利用每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式，得出在10天当中，利润为28元的有1天.33元的有2天.38元的有7天，进而得出总利润比较即可得出答案．【解答】解（1）由题意知，这一天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式为：y＝5x﹣60，当5x﹣60≥0时．x≥12，故当天至少应售出12瓶酸奶超市才不亏本．（2）在这10天当中，利润为25元的有1天，30元的有2天，35元的有2天，40元的有5天，故这10天中，每天销售酸奶的利润的平均数为：（25+30×2+35×2+40×5）÷10＝35.5；（3）小明说的有道理．∵在这10天当中，每天购进20瓶获利共计355元．而每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式为：y ＝5x﹣57，在10天当中，利润为28元的有1天.33元的有2天.38元的有7天．总获利为28+33×2+38×7＝360＞355，∴小明说的有道理．25．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：＝1.73，＝1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．【分析】（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．【解答】解：（1）由題意得，在Rt△ADC中，AD＝＝≈36.33（米），…2分在Rt△BDC中，BD＝≈12.11（米），…4分则AB＝AD﹣BD＝36.33﹣12.11＝24.22≈24.2（米）…6分（2）超速．理由：∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为24.2÷2＝12.1（米/秒），∵12.1×3600＝43560（米/时），∴该车速度为43.56千米/小时，…9分∵大于40千米/小时，∴此校车在AB路段超速．…10分26．如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B 作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．【分析】（1）根据已知条件得出∠BEC＝∠ACB，以及∠BCE＝∠ABC，得出△BCE∽△ABC，即可得出结论；（2）①根据作一角等于已知角即可得出△ABC的自相似点；②根据∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝∠2∠PBC＝2∠A，∠ACB＝2∠BCP＝4∠A，即可得出各内角的度数．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴CD＝AB，∴CD＝BD，∴∠BCE＝∠ABC，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB，∴△BCE∽△ABC，∴E是△ABC的自相似点；（2）①如图所示，作法：①在∠ABC内，作∠CBD＝∠A，②在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC，BD交CE于点P，则P为△ABC的自相似点；②∵P是△ABC的内心，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵△ABC的内心P是该三角形的自相似点，∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠A，∠ACB＝2∠BCP＝4∠A，∴∠A+2∠A+4∠A＝180°，∴∠A＝，∴该三角形三个内角度数为：，，．27．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图1．（1）若BD是AC的中线，如图2，求的值；（2）若BD是∠ABC的角平分线，如图3，求的值；（3）若AD＝5DE，求的值．【分析】（1）先设AB＝AC＝2a，BD是AC的中线，CD＝a，则BC＝a，AD＝a．求出BD，又求得Rt△ABD∽Rt△ECD，可得结论；（2）延长CE、BA相交于点F，由全等三角形的判定定理可知△BEC≌△BEF，故可得出CE＝EF，再由∠ABD+∠ADB＝∠CDE+∠ACF＝90°，且∠ADB＝∠CDE，由ASA定理可知△ABD≌△ACF，故BD＝CF，BD＝2CE，由此即可得出结论；（3）如图4，根据AD＝5DE，设DE＝x，则AD＝5x，CD＝a，BD＝4a，由（1）知：△BAD ∽△CED，表示AB和BD，根据勾股定理得：AB2+AD2＝BD2，列方程可得a和x的关系，表示CE和BD的长，可得结论．【解答】解：设AD＝a，（1）如图2，则CD＝AD＝a，AB＝AC＝2a．在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝a，∵∠A＝∠E＝90°，∠ADB＝∠EDC，∴△BAD∽△CED，∴，∴＝，解得：CE＝，∴＝＝；（2）如图3，延长CE、BA相交于点F，∵BE是∠ABC的角平分线，且BE⊥CF，在△BEC和△BEF中，，∴△BEC≌△BEF（ASA），∴CE＝EF，∴CF＝2CE，又∵∠ABD+∠ADB＝∠CDE+∠ACF＝90°，且∠ADB＝∠CDE，∴∠ABD＝∠ACF，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAF＝90°，在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD＝CF，∴BD＝2CE，∴＝2；（3）如图4，∵AD＝5DE，∴设DE＝x，则AD＝5x，由（1）知：△BAD∽△CED，∴，即＝4，∴设CD＝a，BD＝4a，∴AB＝AC＝5a+a，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2+AD2＝BD2，∴（5x+a）2+（5x）2＝（5a）2，25x2+5ax﹣12a2＝0，（5x﹣3a）（5x+4a）＝0，x1＝，x2＝﹣a（舍），∴5x＝3a，∴＝＝．28．在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）．（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC的长；（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：①的值是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长．【分析】（1）证明△APE∽△DFP，利用相似比可计算出PC的长；（2）①如图1，作FH⊥AD于H，则FH＝AB＝2，同理可证明△APE∽△HFP，利用相似可得到＝2；②如图1，点Q为EF的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得PQ＝EF，BQ＝EF，则可判定点Q在线段PB的垂直平分线上，如图2，点F点与C点重合时，点Q在BC的中点M处；当点E点点A重合时，点Q在线段PB的中点N处，利用相似比计算出PD＝2AB＝4，则BC＝5，然后利用勾股定理计算出MN，从而得到线段EF的中点经过的路线长．【解答】解：（1）如图2，在Rt△AEP中，PE＝＝，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，DF＝AE＝2，∵∠EPF＝90°，∴∠APE+∠DPF＝90°，而∠PEA+∠APE＝90°，∴∠PEA＝∠DAF，∴△APE∽△DFP，∴＝，即＝，解得PF＝2，即PC＝2；（2）①的值不变．理由如下：如图1，作FH⊥AD于H，则FH＝AB＝2，同理可证明△APE∽△HFP，∴＝＝＝2；②如图1，点Q为EF的中点，则PQ＝EF，BQ＝EF，∴QP＝QB，∴点Q在线段PB的垂直平分线上，如图2，点F点与C点重合时，点Q在BC的中点M处；当点E点点A重合时，点Q在线段PB的中点N处，∵△APE∽△DFP，∴PD＝2AB＝4，∵MN垂直平分PB，∴BN＝PB＝，而BM＝BC＝，在Rt△BMN中，MN＝＝，即线段EF的中点经过的路线长为．。

江苏省无锡市江阴市山观二中2021-2021学年九年级第一学期10月月考数学试卷(含解析)

江苏省无锡市江阴市山观二中2021-2021学年九年级第一学期10月月考数学试卷(含解析)

江苏省无锡市江阴市山观二中2021-2021学年九年级〔上〕月考数学试卷〔10月份〕一、选择题〔30分〕1．⊙O的半径为6，点P在⊙O内，那么OP的长可能是〔〕A．5 B．6 C．7 D．82．一个圆心角为36°，半径为20的扇形的面积为〔〕A．40π B．20π C．4πD．2π3．以下四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆．其中正确命题的个数为〔〕A．1 B．2 C．3 D．44．某班6个同学体育课三步上篮的投篮数如下：5、5、6、7、7、8．这组数据的中位数是〔〕A．7 B．6 C．6.5 D．55．如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．假设∠BCD=50°，那么∠AOC的度数为〔〕A．40° B．50° C．80° D．100°6．圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，那么此圆锥的侧面积为〔〕A．12πcm2B．15πcm2C．20πcm2D．30πcm27．在平面直角坐标系中，以点〔2，3〕为圆心，2为半径的圆必定〔〕A．与x轴相离，与y轴相切B．与x轴，y轴都相离C．与x轴相切，与y轴相离D．与x轴，y轴都相切8．如图，扇形的圆心角为60°，半径为，那么图中弓形的面积为〔〕A．B． C．D．9．如图，AB为⊙O的直径，作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在下半圆上移动时，〔不与点A、B重合〕，以下关于点P描述正确的选项是〔〕A．到CD的距离保持不变B．到D点距离保持不变C．等分D．位置不变10．如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从O点出发，沿0CDO的路线匀速运动，设点P运动的时间为x〔单位：秒〕，∠APB=y〔单位：度〕，那么表示y与x之间关系的图象是〔〕A．B．C．D．二、填空题〔共8小题，每空3分，总分值27分〕11．一组数据7、8、9、10、10的平均数是，众数是．12．如图，点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，那么∠ACB= 度．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=68°，那么∠BOC的大小是．14．如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1：5，那么CD的长为．15．如图，EB，EC是⊙O的两条切线，与⊙O相切于B，C两点，点A，D在圆上．假设∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A的度数是°．16．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为〔0，3〕、〔4，3〕、〔0，﹣1〕，那么△ABC外接圆的圆心坐标为．17．如图，△ABC中，AB=8，BC=5，AC=7，那么它的内切圆的半径为．18．如图，圆心O恰好为正六边形ABCDEF的中心，AB=2，⊙O的半径为1，现将⊙O在正六边形内部沿某一方向平移，当它与正六边形ABCDEF的某条边相切时停顿平移，设此时平移的距离为d，那么d的取值范围是．三、解答题〔共8小题，总分值66分〕19．〔8分〕作为某市政府民生实事之一的公共自行车建立工作已根本完成，某部门对2021年九月份中的7天进展了公共自行车日租车量的统计，结果如图：〔1〕求这7天日租车量的众数、中位数和平均数；〔2〕用〔1〕中的平均数估计九月〔30天〕共租车多少万车次；〔3〕市政府在公共自行车建立工程中共投入7650万元，假设 2021年各月份的租车量与九月份的租车量根本一样，每车次平均收入租车费0.1元，请估计2021年租车费收入占总投入的百分率．20．〔7分〕如图，在△ABC中，∠A=90°，请用圆规和直尺作⊙P，使圆心P在AC上，且与AB、BC两边都相切．〔要求保存作图痕迹，不必写出作法和证明〕21．〔8分〕如图，四边形ABCD是平行四边形，∠C=45°，以AB为直径的⊙O经过点D，求证：CD是⊙O的切线．22．〔8分〕如图，△ABC是⊙O的内接三角形，CE是⊙O的直径，CF是⊙O的弦，CF⊥AB，垂足为D，假设∠BCE=20°，求∠ACF的度数．23．〔7分〕如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且∠DAE=∠DAC．求证：DB=DC．24．〔8分〕如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=120°，点E在上．〔1〕求∠AED的度数；〔2〕假设⊙O的半径为2，那么的长为多少？〔3〕连接OD，OE，当∠DOE=90°时，AE恰好是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．25．〔10分〕如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，F是BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O．〔1〕求证：AE∥FD；〔2〕试判断AF和AB的数量关系，并证明你的结论．26．〔10分〕设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的圆的圆心O在直线l上运动，A、O两点之间的距离为d．〔1〕如图①，当r＜a时，填表：d，a，r之间的关系⊙O与正方形的公共点个数d＞a+r 0d=a+r 1a﹣r＜d＜a+rd=a﹣r0≤d＜a﹣r〔2〕如图②，⊙O与正方形有5个公共点B、C、D、E、F，求此时r与a之间的数量关系．〔3〕由〔1〕可知，d、a、r之间的数量关系和⊙O的与正方形的公共点个数密切相关，当r=a时，请根据d、a、r之间的数量关系，判断⊙O与正方形的公共点个数．〔4〕当r与a之间满足〔2〕中的数量关系，⊙O与正方形的公共点个数为．2021-2021学年江苏省无锡市江阴市山观二中九年级〔上〕月考数学试卷〔10月份〕参考答案与试题解析一、选择题〔30分〕1．⊙O的半径为6，点P在⊙O内，那么OP的长可能是〔〕A．5 B．6 C．7 D．8【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进展判断．【解答】解：∵⊙O的半径为6，点P在⊙O内，∴OP＜6．应选A．【点评】此题考察了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，那么有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．2．一个圆心角为36°，半径为20的扇形的面积为〔〕A．40π B．20π C．4πD．2π【考点】扇形面积的计算．【分析】根据扇形公式S扇形=，代入数据运算即可得出答案．【解答】解：由题意得，n=36°，r=20，故S扇形===40π．应选：A．【点评】此题考察了扇形的面积计算，解答此题的关键是熟练掌握扇形的面积公式，另外要明白扇形公式中，每个字母所代表的含义．3．以下四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆．其中正确命题的个数为〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【考点】圆的认识；圆周角定理；确定圆的条件．【分析】根据圆周角的性质，圆的对称性，以及圆周角定理即可解出．【解答】解：A、是圆周角定理的推论，故正确；B、根据轴对称图形和中心对称图形的概念，故正确；C、根据圆周角定理的推论知：同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，再根据等弧对等弦，故正确；D、应是不共线的三个点，故错误．应选C．【点评】熟练掌握圆中的有关定理，特别注意条件的严格性．4．某班6个同学体育课三步上篮的投篮数如下：5、5、6、7、7、8．这组数据的中位数是〔〕A．7 B．6 C．6.5 D．5【考点】中位数．【分析】根据中位数的概念求解．【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：5、5、6、7、7、8，那么中位数为： =6.5．应选：C．【点评】此题考察了中位数的知识，将一组数据按照从小到大〔或从大到小〕的顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，那么中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．5．如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．假设∠BCD=50°，那么∠AOC的度数为〔〕A．40° B．50° C．80° D．100°【考点】切线的性质．【分析】根据切线的性质得出∠OCD=90°，进而得出∠OCB=40°，再利用圆心角等于圆周角的2倍解答即可．【解答】解：∵在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，∴∠OCD=90°，∵∠BCD=50°，∴∠OCB=40°，∴∠AOC=80°，应选C．【点评】此题考察了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．6．圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，那么此圆锥的侧面积为〔〕A．12πcm2B．15πcm2C．20πcm2D．30πc m2【考点】圆锥的计算．【分析】首先求得圆锥的底面周长，即展开图中，扇形的弧长，然后利用弧长公式即可求解．【解答】解：底面周长是：2×3π=6π，那么圆锥的侧面积是：×6π×5=15πcm2．应选B．【点评】此题考察了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决此题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．7．在平面直角坐标系中，以点〔2，3〕为圆心，2为半径的圆必定〔〕A．与x轴相离，与y轴相切B．与x轴，y轴都相离C．与x轴相切，与y轴相离D．与x轴，y轴都相切【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．【分析】此题应将该点的横纵坐标分别与半径比照，大于半径的相离，等于半径的相切．【解答】解：∵是以点〔2，3〕为圆心，2为半径的圆，如下图：∴这个圆与y轴相切，与x轴相离．应选A．【点评】直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．8．如图，扇形的圆心角为60°，半径为，那么图中弓形的面积为〔〕A．B． C．D．【考点】扇形面积的计算．【分析】过A作AD⊥CB，首先计算出BC上的高AD长，再计算出三角形ABC的面积和扇形面积，然后再利用扇形面积减去三角形的面积可得弓形面积．【解答】解：过A作AD⊥CB，∵∠CAB=60°，AC=AB，∴△ABC是等边三角形，∵AC=，∴AD=AC•sin60°=×=，∴△ABC面积：=，∵扇形面积： =，∴弓形的面积为：﹣=，应选：C．【点评】此题主要考察了扇形面积的计算，关键是掌握扇形的面积公式：S=．9．如图，AB为⊙O的直径，作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在下半圆上移动时，〔不与点A、B重合〕，以下关于点P描述正确的选项是〔〕A．到CD的距离保持不变B．到D点距离保持不变C．等分D．位置不变【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】首先连接OP，由∠OCD的平分线交⊙O于点P，易证得CD∥OP，又由弦CD⊥AB，可得OP⊥AB，即可证得点P为的中点不变．【解答】解：不发生变化．连接OP，∵OP=OC，∴∠P=∠OCP，∵∠OCP=∠DCP，∴∠P=∠DCP，∴CD∥OP，∵CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴=，∴点P为的中点不变．应选D．【点评】此题考察了圆周角定理以及垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．10．〔2021 秋•秦淮区期中〕如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从O点出发，沿0CDO的路线匀速运动，设点P运动的时间为x〔单位：秒〕，∠APB=y〔单位：度〕，那么表示y与x之间关系的图象是〔〕A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据图示，分三种情况：〔1〕当点P沿O→C运动时；〔2〕当点P沿C→D运动时；〔3〕当点P沿D→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x 〔单位：秒〕的关系图是哪个即可．【解答】解：〔1〕当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°，当点P在点C的位置时，∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐渐减小到45°；〔2〕当点P沿C→D运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；〔3〕当点P沿D→O运动时，当点P在点D的位置时，y=45°，当点P在点0的位置时，y=90°，∴y由45°逐渐增加到90°．应选：B．【点评】此题主要考察了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图．此题还考察了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．二、填空题〔共8小题，每空3分，总分值27分〕11．一组数据7、8、9、10、10的平均数是8.8 ，众数是10 ．【考点】众数；算术平均数．【分析】根据平均数和众数的定义求解即可．【解答】解：数据7、8、9、10、10的平均数是=8.8，众数是10，故答案为：8.8，10．【点评】此题主要考察众数和平均数的计算，熟练掌握平均数和众数的定义是关键．12．如图，点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，那么∠ACB= 150 度．【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质．【分析】根据AO=AB，且OA=OB，得出△OAB是等边三角形，再利用圆周角和圆心角的关系得出∠BAC+∠ABC=30°，解答即可．【解答】解：∵点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠BAC+∠ABC=30°，∴∠ACB=150°，故答案为：150【点评】此题考察了圆心角、圆周角定理问题，关键是根据AO=AB，且OA=OB，得出△OAB 是等边三角形．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=68°，那么∠BOC的大小是136°．【考点】圆周角定理．【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，∠A=68°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A=68°，∴∠BOC=2∠A=136°．故答案为：136°．【点评】此题考察了圆周角定理．注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1：5，那么CD的长为．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】先根据⊙O的直径AB=12求出OB的长，再根据BP：AP=1：5得出BP的长，进而得出OP的长，连接OC，根据勾股定理求出PC的长，再根据垂径定理即可得出结论．【解答】解：∵⊙O的直径AB=12，∴OB=AB=6，∵BP：AP=1：5，∴BP=AB=×12=2，∴OP=OB﹣BP=6﹣2=4，连接OC，∵CD⊥AB，∴CD=2PC，∠OPC=90°，∴PC===2，∴CD=2PC=4．故答案为：4．【点评】此题考察的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．15．如图，EB，EC是⊙O的两条切线，与⊙O相切于B，C两点，点A，D在圆上．假设∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A的度数是99 °．【考点】切线的性质．【分析】先根据切线长定理得到EB=EC，那么∠ECB=∠EBC，于是可根据三角形内角和定理可计算出∠ECB=〔180°﹣∠E〕=67°，接着利用平角的定义可计算出∠BCD=180°﹣∠ECB ﹣∠DCF=81°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠A的度数．【解答】解：∵EB，EC是⊙O的两条切线，∴EB=EC，∴∠ECB=∠EBC，∴∠ECB=〔180°﹣∠E〕=×〔180°﹣46°〕=67°，∴∠BCD=180°﹣∠ECB﹣∠DCF=180°﹣67°﹣32°=81°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠A=180°﹣81°=99°．故答案为99．【点评】此题考察了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；从圆外一点引圆的切线，切线长相等．也考察了圆内接四边形的性质．16．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为〔0，3〕、〔4，3〕、〔0，﹣1〕，那么△ABC外接圆的圆心坐标为〔2，1〕．【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质．【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心〞，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．【解答】解：根据垂径定理的推论，那么作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，∵点A、B、C的坐标分别为〔0，3〕、〔4，3〕、〔0，﹣1〕，∴O1的坐标是〔2，1〕．故答案为：〔2，1〕．【点评】此题考察了垂径定理的推论以及三角形的外心的性质，利用垂径定理的推论得出是解题关键．17．如图，△ABC中，AB=8，BC=5，AC=7，那么它的内切圆的半径为．【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】作AD⊥BC于D，根据直角三角形的性质和勾股定理求出AD、DC的长，根据三角形的面积=×〔AB+BC+AC〕×r计算即可．【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．设AD=x，那么BD=8﹣x．由勾股定理得：CD2=AC2﹣AD2，CD2=BC2﹣BD2．∴72﹣x2=52﹣〔8﹣x〕2．解得：x=5.5．∴CD==．由△ABC的面积=×〔AB+BC+AC〕×r可知：．解得：r=．故答案为：．【点评】此题主要考察的是勾股定理的定义、三角形的内心，明确三角形的面积=×〔AB+BC+AC〕×r是解题的关键．18．如图，圆心O恰好为正六边形ABCDEF的中心，AB=2，⊙O的半径为1，现将⊙O在正六边形内部沿某一方向平移，当它与正六边形ABCDEF的某条边相切时停顿平移，设此时平移的距离为d，那么d的取值范围是2≤d≤．【考点】正多边形和圆．【分析】当圆O运动到圆P处时，运动距离最短，当圆O运动到圆Q处时，运动距离最长，分别求得PO和OQ的长即可得出d的取值范围．【解答】解：连接OB、OE，如下图：根据题意得：OB=OE=AB=2，当圆O运动到圆P处时，运动距离最短，由正六边形的性质得：PO=OM﹣PM=OB•sin60°﹣1=3﹣1=2，；当圆O运动到与DE、EF相切时，运动距离最长，由正六边形的性质得：OQ=OE﹣QE=2﹣=2﹣=；∴2≤d≤．故答案为：2≤d≤．【点评】此题主要考察的是正六边形的性质和直线和圆的位置关系，利用正六边形的性质、直线和圆相切，确定出平移后圆心的位置是解题的关键．三、解答题〔共8小题，总分值66分〕19．作为某市政府民生实事之一的公共自行车建立工作已根本完成，某部门对2021年九月份中的7天进展了公共自行车日租车量的统计，结果如图：〔1〕求这7天日租车量的众数、中位数和平均数；〔2〕用〔1〕中的平均数估计九月〔30天〕共租车多少万车次；〔3〕市政府在公共自行车建立工程中共投入7650万元，假设 2021年各月份的租车量与九月份的租车量根本一样，每车次平均收入租车费0.1元，请估计2021年租车费收入占总投入的百分率．【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；众数．【分析】〔1〕根据众数、中位数以及平均数公式即可求解；〔2〕利用平均数乘以30即可求解；〔3〕首先求得九月份的租车费，然后利用百分比的意义求解．【解答】解：〔1〕众数为8万车次，中位数为8万车次，平均数为〔9+8+8++8+9+10〕=8.5〔万车次〕；×30=255〔万车次〕；〔3〕租车费收入是：255×0.1=25.5〔万元〕，那么估计2021年租车费收入占总投入的百分率是：×100%=48%．【点评】此题考察的是条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据．20．如图，在△ABC中，∠A=90°，请用圆规和直尺作⊙P，使圆心P在AC上，且与AB、BC 两边都相切．〔要求保存作图痕迹，不必写出作法和证明〕【考点】作图—复杂作图．【分析】与AB、BC两边都相切．根据角平分线的性质可知要作∠ABC的角平分线，角平分线与AC的交点就是点P的位置．【解答】解：如下图，那么⊙P为所求作的圆．【点评】此题主要考察了角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等．21．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠C=45°，以AB为直径的⊙O经过点D，求证：CD 是⊙O的切线．【考点】切线的判定．【分析】连结OD，如图，根据平行四边形的性质得∠A=∠C=45°，AB∥CD，加上∠ODA=∠A=45°，那么可判断OD⊥AB，再根据平行线的性质得OD⊥CD，然后根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】证明：连结OD，如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C=45°，AB∥CD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠A=45°，∴∠AOD=90°，∴OD⊥AB，∵CD∥AB，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线．【点评】此题考察了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，此线过圆上某点，连接圆心与这点〔即为半径〕，再证垂直即可．也考察了平行四边形的性质．22．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，CE是⊙O的直径，CF是⊙O的弦，CF⊥AB，垂足为D，假设∠BCE=20°，求∠ACF的度数．【考点】圆周角定理．【分析】由CE是⊙O的直径，得到∠CBE=90°，根据垂直的定义得到∠ADC=90°，然后根据圆周角定理即可得到结论．【解答】解：∵CE是⊙O的直径，∴∠CBE=90°，∵CF⊥AB，∴∠ADC=90°，∵∠A=∠E，∴∠ACF=∠BCE=20°．【点评】此题考察了圆周角定理，垂直的定义，熟记圆周角定理是解题的关键．23．如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且∠DAE=∠DAC．求证：DB=DC．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角得到∠DAE=∠DCB，由圆周角定理得到∠DAC=∠DBC，等量代换得到∠DCB=∠DBC，根据等腰三角形的性质得到答案．【解答】证明：∵∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，∴∠DAE=∠DCB，又∠DAE=∠DAC，∴∠DCB=∠DAC，又∠DAC=∠DBC，∴∠DCB=∠DBC，∴DB=DC．【点评】此题考察的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．24．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=120°，点E在上．〔1〕求∠AED的度数；〔2〕假设⊙O的半径为2，那么的长为多少？〔3〕连接OD，OE，当∠DOE=90°时，AE恰好是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．【考点】正多边形和圆；圆内接四边形的性质；弧长的计算．【分析】〔1〕连接BD，根据圆的内接四边形的性质得出∠BAD的度数，由AB=AD，可证得△ABD是等边三角形，求得∠ABD=60°，再利用圆的内接四边形的性质，即可求得∠E的度数；〔2〕连接OA，由圆周角定理求出∠AOD的度数，由弧长公式即可得出的长；〔3〕首先连接OA，由∠ABD=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOD的度数，继而求得∠AOE的度数，即可得出结果．【解答】解：〔1〕连接BD，如图1所示：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠BAD=60°，∵AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD=60°，∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠AED+∠ABD=180°，∴∠AED=120°；〔2〕∵∠AOD=2∠ABD=120°，∴的长==；〔3〕连接OA，如图2所示：∵∠ABD=60°，∴∠AOD=2∠ABD=120°，∵∠DOE=90°，∴∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°，∴n==12．【点评】此题考察了圆的内接四边形的性质、圆周角定理以及等边三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．25．〔10分〕〔2021 秋•建湖县期中〕如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，F是BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O．〔1〕求证：AE∥FD；〔2〕试判断AF和AB的数量关系，并证明你的结论．【考点】圆的综合题；平行四边形的判定与性质；菱形的性质．【分析】〔1〕根据圆周角定理可得∠FDE=90°，根据菱形的性质可得∠AEB=90°，即可得到∠AEB=∠FDE，问题得以解决；〔2〕由于AB=DC，要证AF=AB，只需证AF=DC，只需证四边形ACDF是平行四边形即可．【解答】解：〔1〕∵EF是⊙O的直径，∴∠FDE=90°；∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AEB=90°，又∵∠FDE=90°，∴∠AEB=∠FDE，∴AE∥FD；〔2〕AF=AB；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，CD=AB，又∵AC∥DF∴四边形FACD是平行四边形，故AF=DC=AB．【点评】此题主要考察了圆周角定理、菱形的性质、平行四边形的判定与性质．26．〔10分〕〔2021 秋•秦淮区期中〕设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的圆的圆心O在直线l上运动，A、O两点之间的距离为d．〔1〕如图①，当r＜a时，填表：d，a，r之间的关系⊙O与正方形的公共点个数d＞a+r 0d=a+r 1a﹣r＜d＜a+r 2d=a﹣r 10≤d＜a﹣r 0〔2〕如图②，⊙O与正方形有5个公共点B、C、D、E、F，求此时r与a之间的数量关系．〔3〕由〔1〕可知，d、a、r之间的数量关系和⊙O的与正方形的公共点个数密切相关，当r=a时，请根据d、a、r之间的数量关系，判断⊙O与正方形的公共点个数．〔4〕当r与a之间满足〔2〕中的数量关系，⊙O与正方形的公共点个数为 5 ．【考点】圆的综合题．【分析】〔1〕当r＜a时，⊙A的直径小于正方形的边长，⊙A与正方形中垂直于直线l的一边相离、相切、相交，三种情况，故可确定⊙O与正方形的交点个数；〔2〕如图②，当⊙O与正方形有5个公共点时，连接OC，用a、r表示△COG的各边长，在Rt△OCG中，由勾股定理求a、r的关系；〔3〕当r=a时，⊙O的直径等于正方形的边长，此时会出现⊙A与正方形相离，与正方形一边相切，相交，与正方形四边相切，四种情况，故可确定⊙O与正方形的交点个数；〔4〕当r与a之间满足〔2〕中的数量关系，即5a=4r，⊙O与正方形的公共点个数为5个．【解答】解：〔1〕如图①，d，a，r之间的关系⊙O与正方形的公共点个数d＞a+r 0d=a+r 1a﹣r＜d＜a+r 2d=a﹣r 10≤d＜a﹣r 0所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有2、1、0个；〔2〕如图②所示，连接OC．那么OE=OC=r，OG=EG﹣OE=2a﹣r．在Rt△OCG中，由勾股定理得：OG2+GC2=OC2即〔2a﹣r〕2+a2=r2，4a2﹣4ar+r2+a2=r2，5a2=4ar，5a=4r；〔3〕如下图：d、a、r之间关系公共点的个数d＞a+r 0d=a+r 1a≤d＜a+r 2d＜a 4所以，当r=a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个；〔4〕由〔2〕可知当5a=4r时，⊙O与正方形的公共点个数为5个．故答案为5．【点评】此题是一道较为新颖的几何压轴题．考察圆、相似、正方形等几何知识，综合性较强，有一定的难度，试题的区分度把握非常得当，是一道很不错的压轴题．。

江苏省无锡市江阴市祝塘第二中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

江苏省无锡市江阴市祝塘第二中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

江苏省无锡市江阴市祝塘第二中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．()()12x x --6．如图，ABC ∆中，A．1B．3二、填空题11．在比例尺为1:200000的江阴城市交通地图上，霞客大道的长为实际长度是km．12．如果35xx y=+，那么xy13．已知点P是线段AB的黄金分割点，14．写出一个以3-和7为根且二次项系数为形式表示）15．长方形ABCD面积为1217．如图，在△ABC 中，AB=AC =518．如图，在ABC 中，90B Ð=AC 上，且AD DE AB BC=，则AE 的长为三、解答题19．解方程：(1)()21250x --=(2)()()251351x x -=-(3)2430x x --=(4)22620x x ++=20．已知235x y z ==，20x y +≠21．已知关于x 的一元二次方程(1)求k 的取值范围；(2)若方程的一个根是2-，求方程的另一个根．22．如图，矩形ABCD 中，AB ＝20，BC ＝10，点P 为AB 边上一动点，DP 交AC 于点Q.(1)求证：△APQ ∽△CDQ ；(2)P 点从A 点出发沿AB 边以每秒1个单位长度的速度向B 点移动，移动时间为t 秒．当t 为何值时，DP ⊥AC?23．已知关于x 的一元二次方程()()220a b x cx b a +++-=，其中a 、b 、c 分别为ABC三边的长．(1)如果=1x -是方程的根，试判断ABC 的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状，并说明理由；(3)如果ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．24．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边BC ，AC 上，AD 与BE 相交于点O ，且AB AD =，2AE OE BE =⋅．(1)求证：BE EC =；(2)若:4:3BD CD =，8CE =，求线段AE 的长．25．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜欢．某商店销售亚运会吉祥物，在销售过程中发现，当每件获利125元时，每天可出售50件，为了扩大销售量增加利润，该商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件吉祥物降价5元，平均可多售出1件．(1)若每件吉祥物降价20元，商家平均每天能盈利多少元？(2)每件吉祥物降价多少元时，能尽量让利于顾客并且让商家平均每天盈利5980元？26．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式2x bx c ++变形为2()x m n ++的形式，然后由2()0x m +≥就可求出多项式2x bx c ++的最小值．例题：求多项式245x x -+的最小值．解：22245441(2)1x x x x x -+=-++=-+．因为2(2)0x -≥所以2(2)11x -+≥当2x =时，2(2)11x -+=因此2(2)1x -+有最小值，最小值为1，即245x x -+的最小值为1．通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：(1)【理解探究】已知代数式21020A x x =++，则A 的最小值为__________；(2)【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是()32a +米、()25a +米，乙菜地的两边长分别是5a 米、()5a +米，试比较这两块菜地的面积S 甲和S 乙的大小，并说明理由；(3)【拓展升华】如图，ABC 中，90C ∠=︒，5cm AC =，10cm BC =，点M 、N 分别是线段AC 和BC 上的动点，点M 从A 点出发以1cm /s 的速度向C 点运动；同时点N 从C 点出发以2/cm s 的速度向B 点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t ，则当t 的值为多少时，MCN △的面积最大，值为多少？。

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九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A. x2+1x=1B. ax2+bx+c=0C. (x+1)(x+2)=1D. 3x2−2xy−5y=02.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sin A等于（）A. 35B. 45C. 34D. 433.关于x的一元二次方程3x2=2x-1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A. 3，−2，−1B. 3，2，−1C. −3，−2，1D. 3，−2，14.下列说法错误的是（）A. 长度相等的两条弧是等弧B. 直径是圆中最长的弦C. 面积相等的两个圆是等圆D. 半径相等的两个半圆是等弧5.在比例尺是1：40000的地图上，若某条道路长约为5cm，则它的实际长度约为（）A. 0.2kmB. 2kmC. 20kmD. 200km6.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A. 3cmB. 4cmC. 4.5cmD. 5cm7.如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（）A. 100sin35∘米B. 100sin55∘米C. 100tan35∘米D. 100tan55∘米8.用总长10m的铝合金型材做一个如图所示的窗框（不计损耗），窗框的外围是矩形，上部是两个全等的正方形，窗框的总面积为3.52m2（材料的厚度忽略不计）．若设小正方形的边长为xm，下列方程符合题意的是（）A. 2x(10−7x)=3.52B. 2x⋅10−7x2=3.52C. 2x(x+10−7x2)=3.52D. 2x2+2x(10−9x)=3.529.如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法，其中正确说法的个数是（）（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）DG=AG；（4）DE＞DG，A. 0B. 1C. 2D. 310.如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（12，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动．设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（）A. −14≤b≤1B. −54≤b≤1C. −94≤b≤12D. −94≤b≤1二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.若sinα=12，α是锐角，则α=______度．12.关于x的方程（a-1）x|a|+1-3x+2=0是一元二次方程，则a=______．13.若m是方程2x2-3x-1=0的一个根，则6m2-9m+2018的值为______．14.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度为______cm．15.如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，交半圆于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为45°，70°，160°，∠B的度数为______．16.如图，⊙A过点O（0，0），C（3，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO、BD，则∠OBD的度数是______．17.如图，在△ABC中，∠A=60°，BC=53cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是______cm．18.如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）19.请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．x2+6x+5=x2+2•x•3+32-32+5=（x+3）2-4，∵（x+3）2≥0∴当x=-3时，x2+6x+5有最小值-4．请根据上述方法，解答下列问题：（Ⅰ）x2+4x-1=x2+2•x•2+22-22-1=（x+a）2+b，则ab的值是______；（Ⅱ）求证：无论x取何值，代数式x2+26x+7的值都是正数；（Ⅲ）若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）20.解方程：（1）x2-6x-1=0；（2）x（x-3）=10（x-3）21.计算：（1）2sin30°+3cos60°-4tan45°（2）（-2）2-（2-3）0+2cos45°22.已知：如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，DE与AB不平行．添加一个条件______，使得△CDE∽△CAB，然后再加以证明．23.已知：矩形ABCD的两边AB，BC的长是关于x的方程x2-mx+m2−14=0的两个实数根．（1）当m为何值时，矩形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；（2）若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？24.在5×5的方格纸中，每个小格的顶点叫做格点．以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．（1）请你在图1的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1，使△A1B1C1与一个格点三角形ABC相似（相似比不为1）．（2）请你在图2的方格纸中，画一个格点三角形A2B2C2，使△A2B2C2与一个格点三角形ABC相似，面积最大，并求最大值是多少．（3）与△ABC的相似比不是1的格点三角形共有几个（相似比相同时只算1个）？25.如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD．（2）如果⊙O的半径为5，DE＝1，求AE的长．26.为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？27.自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选．如图1是某品牌自行车的实物图，图2是它的简化示意图．经测量，车轮的直径为66cm，车座B到地面的距离BE为90cm，中轴轴心C到地面的距离CF为33cm，车架中立管BC的长为60cm，后轮切地面L于点D．（参考数据：sin72≈0.95，cos18°≈0.95，tan43.5°≈0.9 5）（1）求∠ACB的大小（精确到1°）（2）如果希望车座B到地面的距离B'E′为96.8cm，车架中立管BC拉长的长度BB′应是多少？（结果取整数）28.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=m（m＞1），点E是AD边上一定点，且AE=1．（1）当m=3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度．（2）如图②，当m=3.5时．用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F．（不写作法，保留作图痕迹）（3）对于每一个确定的m的值，AB上存在几个点F，使得△AEF与△BCF相似？答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、x2+=1是分式方程，故此选项错误；B、ax2+bx+c=0（a≠0），故此选项错误；C、（x+1）（x+2）=1是一元二次方程，故此选项正确；D、3x2-2xy-5y=0是二元二次方程，故此选项错误．故选：C．直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．2.【答案】A【解析】解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，∴BC===6，∴sinA===，故选：A．先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．3.【答案】D【解析】解：一元二次方程3x2=2x-1变为一般形式为：一元二次方程3x2-2x+1=0，二次项系数是3、一次项系数是-2、常数项1，故选：D．要确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，首先把方程化为一般式，然后再找出答案．此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．4.【答案】A【解析】解：A、长度相等的弧的度数不一定相等，故错误；B、直径是圆中最长的弦，正确；C、面积相等的两个圆是等圆，正确；D、半径相等的两个半圆是等弧，正确，故选：A．利用等弧的定义、等圆的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了圆的认识的知识，了解圆的有关定义是解答本题的关键，难度不大．5.【答案】B【解析】解：设这条道路的实际长度为x，则：=，解得x=200000cm=2km．∴这条道路的实际长度为2km．故选：B．根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．本题考查比例线段问题，解题的关键是能够根据比例尺的定义构建方程，注意单位的转换．6.【答案】C【解析】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得：=，解得：x=4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C．根据相似三角形的对应边成比例求解可得．本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．7.【答案】C【解析】解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．故选：C．根据正切函数可求小河宽PA的长度．考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．8.【答案】B【解析】解：设小正方形的边长为xm，则小矩形的宽为2xm，长为：m，依题意得：．故选：B．设该窗框的宽为xm，则长：m，利用窗框的面积为3.52m2列出方程求解即可．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是表示出矩形的宽，难度不大．9.【答案】D【解析】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，∵G是BC的中点，∴AG=DG，∴=；∴HG⊥AD，∵OG=OD，∴点O不是HG的中点，∴圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，∴AF与DE的交点是圆O的圆心；∵∠DAB=90°，∴DE是⊙的直径，∴DE＞DG，∴（1）错误，（2）（3）（4）正确．故选：D．连接DG、AG，作GH ⊥AD于H，连接OD，如图，先确定AG=DG，则=；接着利用OG=OD可判断圆心O不是AC与BD的交点；然后根据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心，根据圆周角定理得到DE是圆的直径，于是可判断DE＞DG．本题考查了圆心角、弧、弦的关系，矩形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：如图，延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．在△PAB与△NCA中，，∴△PAB∽△NCA，∴=，设PA=x，则NA=PN-PA=3-x，设PB=y，∴=，∴y=3x-x2=-（x-）2+，∵-1＜0，≤x≤3，∴x=时，y有最大值，此时b=1-=-，x=3时，y有最小值0，此时b=1，∴b的取值范围是-≤b≤1．故选：B．延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．证明△PAB∽△NCA，得出=，设PA=x，则NA=PN-PA=3-x，设PB=y，代入整理得到y=3x-x2=-（x-）2+，根据二次函数的性质以及≤x≤3，求出y的最大与最小值，进而求出b的取值范围．本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键．11.【答案】30【解析】解：∵sinα=，α是锐角，∴α=30°．根据特殊角的三角函数值解答．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．12.【答案】-1【解析】解：由题意可知：，解得a=-1．故答案为：-1．根据一元二次方程的定义即可求出答案．本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．13.【答案】2021【解析】解：由题意可知：2m2-3m-1=0，∴2m2-3m=1∴原式=3（2m2-3m）+2018=2021．故答案为：2021．根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．14.【答案】（15-55）【解析】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP=AB=×10=5-5，∴PB=AB-PA=10-（5-5）=（15-5）cm．故答案为（15-5）．先利用黄金分割的定义计算出AP，然后计算AB-AP即得到PB的长．本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．15.【答案】20°【解析】解：连结OD，如图，则∠DOC=70°-45°=25°，∠AOD=160°-70°=90°，∵OD=OA，∴∠ADO=45°，∵∠ADO=∠B+∠DOB，∴∠B=45°-25°=20°．故答案为：20°．连结OD，如图，根据题意得∠DOC=25°，∠AOD=90°，由于OD=OA，则∠ADO=45°，然后利用三角形外角性质得∠ADO=∠B+∠DOB，所以∠B=45°-25°=20°本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．16.【答案】30°【解析】解：连接DC，在Rt△DOC中，tan∠OCD==，则∠OCD=30°，由圆周角定理得，∠OBD=∠OCD=30°，故答案为：30°．连接DC，根据正切的定义求出∠OCD，根据圆周角定理解答．本题考查的是圆周角定理，坐标与图形性质，正切的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．17.【答案】10【解析】解：设圆的圆心为点O，能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆，∵在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm，∴∠BOC=120°，作OD⊥BC于点D，则∠ODB=90°，∠BOD=60°，连接OB，OC，∴BD=，∠OBD=30°，∴OB=，得OB=5，∴2OB=10，即△ABC外接圆的直径是10cm，故答案为：10．根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得△ABC外接圆的直径，本题得以解决．本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．18.【答案】322或355【解析】解：如图，由翻折的性质，得AB=AB′，BE=B′E．①当MB′=2，B′N=1时，设EN=x，得B′E=．△B′EN∽△AB′M，=，即=，x2=，BE=B′E==．②当MB′=1，B′N=2时，设EN=x，得B′E=，△B′EN∽△AB′M，=，即=，解得x2=，BE=B′E==，故答案为：或．根据勾股定理，可得EB′，根据相似三角形的性质，可得EN的长，根据勾股定理，可得答案．本题考查了翻折的性质，利用翻折的性质得出AB=AB′，BE=B′E是解题关键，又利用了相似三角形的性质，要分类讨论，以防遗漏．19.【答案】-10【解析】解：（Ⅰ）∵x2+4x-1=x2+2•x•2+22-22-1=（x+2）2-5=（x+a）2+b，∴a=2，b=-5，∴ab=2×（-5）=-10．故答案是：-10；（Ⅱ）证明：x2+2x+7=x2+2x+（）2-（）2+7=（x+）2+1．∵（x+）2≥0，∴x2+2x+7的最小值是1，∴无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；（Ⅲ）2x2+kx+7=（x）+2•x•+（k）2-（k）2+7=（x+k）2-k2+7．∵（x+k）2≥0，∴（x+k）2-k2+7的最小值是-k2+7，∴-k2+7=2，解得k=±2．（Ⅰ）根据配方的过程求得a、b的值代入求值即可；（Ⅱ）先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解；（Ⅲ）先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解．考查了配方法的应用和非负数的性质．配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．20.【答案】解：（1）x2-6x=1，x2-6+9=10，（x-3）2=10，x-3=±10，所以x1=3+10，x2=3-10；（2）x（x-3）-10（x-3）=0，（x-3）（x-10）=0，x-3=0或x-10=0，所以x1=3，x2=10．【解析】（1）利用配方法得到（x-3）2=10，然后利用直接开平方法解方程；（2）先变形得到x（x-3）-10（x-3）=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．21.【答案】解：（1）2sin30°+3cos60°-4tan45°=2×12+3×12-4×1=-32；（2）（-2）2-（2-3）0+2cos45°=4-1+2×22=3+2．【解析】（1）直接利用特殊角的三角函数值化简得出答案；（2）直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．22.【答案】∠CDE=∠A【解析】解：添加条件为：∠CDE=∠A，理由：∵∠C=∠C，∠CDE=∠A，∴△CDE∽△CAB．故答案为：∠CDE=∠A．由本题图形相似已经有一个公共角，再找一组对应角相等或公共角的两边对应成比例即可．本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．23.【答案】解：（1）当矩形ABCD为正方形时，可知AB=BC，∴关于x的方程x2-mx+m2−14=0有两个相等实数根，∴△=0，即（-m）2-4（m2−14）=0，解得m1=m2=1，此时方程为x2-x+14=0，解得x1=x2=12，即正方形的边长为12；（2）当AB=2时，即x=2是方程的根，∴22-2m+m2−14=0，解得m=52，此时方程为x2-52x+1=0，解得x=2或x=12，∴BC=12，∴矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2×（2+12）=5．【解析】（1）由正方形的四边相等可知方程有两个相等的实数根，由根的判别式可得到关于m的方程，则可求得m的值，进一步求得方程的根即可求得正方形的边长；（2）由条件可知x=2是方程的根，代入方程则可求得m的值，进一步可求得方程的根，则可求得该方程的另一个根，即可求得矩形的另一边长，则可求得周长．本题主要考查一元二次方程根的判别式及矩形、正方形的性质，利用根的判别式或根的定义求得m的值是解题的关键．24.【答案】解：（1）如图所示：（2）如图所示：最大格点三角形三边分别为：10，25，52；根据相似比为：110，∴三角形面积比为：110，∴最大值为：12×1×1×10=5．（3）根据三角形最大边长以及最小边长即可得出答案：4个．【解析】（1）使△A1B1C1与格点三角形ABC相似，根据对应边相似比相等，对应角相等，可知要画一个135°的钝角，因为要在5×5的方格纸中，所以钝角的两边扩大，又要在格点上，所以要扩大为2和2，画出这样的两边长后，三角形的三点就确定了．顺次连接即可．（2）根据三角形的边长最长为5，进而求出其他两边即可；（3）根据相似三角形的性质得出，不同三角形即可．此题主要考查了相似三角形的画法以及相似三角形的判定与性质，根据的主要是相似三角形的性质，注意此题已知条件，不要漏解．25.【答案】（1）证明：如图，∵AD=BC，∴AD=BC，∴AD-BD=BC-BD，即AB=CD，∴AB=CD；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．则AF=FD，BG=CG．∵AD=BC，∴AF=CG．在Rt△AOF与Rt△COG中，AF=CGOA=OC，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF=OG，∴四边形OFEG是正方形，∴OF=EF．设OF=EF=x，则AF=FD=x+1，在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2=52，解得x =3．则AF=3+1=4，即AE=AF+3=7．【解析】（1）欲证明AB=CD，只需证得=；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．构建正方形EFOG，利用正方形的性质，垂径定理和勾股定理来求AF的长度，则易求AE的长度．本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关系．注意（2）中辅助线的作法．26.【答案】解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：40k+b=60045k+b=550，解得：k=−10b=1000，∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=-10x+1000．（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x-30）万元，销售数量为（-10x+1000）台，根据题意得：（x-30）（-10x+1000）=10000，整理，得：x2-130x+4000=0，解得：x1=50，x2=80．∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴x=50．答：该设备的销售单价应是50万元/台．【解析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x-30）万元，销售数量为（-10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论．本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．27.【答案】解：（1）∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l∴AD∥CF∥HE，∵AD=33cm，CF=33cm，∴AD=CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∵∠ADF=90°，∴四边形ADFC是矩形，∴HE=AD=33cm，∵BE=90cm，∴BH=57cm，在Rt△HCB中，sin∠BCH=BHBC=5760=1920=0.95，∴∠ACB=72°．（2）如图所示，B'E'=96.8cm，设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，∴△B'H'C∽△BHC，得B′H′BH=B′CBC．即96.8−3357=B′C60，∴B'C=67cm．故BB'=B'C-BC=67-60=7（cm）．∴车架中立管BC拉长的长度BB'应是7cm．【解析】（1）根据上题证得的结论分别求得BH和BC的长，利用正弦函数的定义求得有关角的度数即可；（2）设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，得到△B'H'C∽△BHC，利用相似三角形的性质求得BB'的长即可．本题考查了相似三角形的应用、切线的性质解解直角三角形的应用，解题的难点在于从实际问题中抽象出数学问题，难度较大．28.【答案】解：（1）当∠AEF=∠BFC时，要使△AEF∽△BFC，需AEBF=AFBC，即14−AF=AF3，解得AF=1或3；当∠AEF=∠BCF时，要使△AEF∽△BCF，需AEBC=AFBF，即13=AF4−AF，解得AF=1；综上所述AF=1或3．（2）延长DA，作点E关于AB的对称点E′，连结CE′，交AB于点F1；连结CE，以CE为直径作圆交AB于点F2、F3．（3）当1＜m＜4且m≠3时，有3个；当m=3时，有2个；当m=4时，有2个；当m＞4时，有1个．【解析】（1）分两种情形，分别构建方程即可解决问题；（2）利用对称性或辅助圆解决问题即可；（3）根据交点个数分类讨论即可解决问题；本题考查作图-相似变换，矩形的性质，圆的有关知识等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．第21页，共21页。

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