7th数字图像处理_傅里叶变换
图像傅里叶变换
图像傅里叶变换
傅里叶变换（Fourier Transformation）是一种重要的数学工具，用于分析正弦波、矩形波和其他不同类型的函数。
最初，傅里叶变换
是用来解决热力学方程的，但是后来发展成多种多样的应用，其中之
一就是图像处理。
图像傅里叶变换是把图像中的所有信息转换为一组与波频成正比
的数字。
它通过傅里叶公式，把一副图像分割成它的频率和振幅组成
的多个部分，每一部分都表示图像中的一个特征。
图像傅里叶变换的
最重要的应用之一就是进行图像压缩，在这种压缩技术中，可以利用
傅里叶变换将某些低频成分合并，而抛弃某些高频成分，进而减小图
像的数据量，而且没有太多损失。
另外，图像傅里叶变换还可以用来
识别图像中的不同特征，可以用于图像检索、图像处理、图像分类等。
图像傅里叶变换是解决图像处理问题的一种重要手段，它能够使
我们提取图像像素、压缩图像数据和检测图像特征的能力大大提高，
已成为当今图像处理的重要工具。
数字像处理中的离散傅里叶变换
数字像处理中的离散傅里叶变换数字图像处理中的离散傅里叶变换数字图像处理是指利用计算机或其他数字设备对图像进行处理、分析和改良的过程。
而数字信号处理中的离散傅里叶变换是一种常用的图像处理工具，它能将图像从时域转换到频域，分析图像的频谱特征，从而实现一系列的图像处理操作。
本文将介绍数字图像处理中的离散傅里叶变换原理、应用以及一些常见的变换方法。
一、离散傅里叶变换的原理离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是对离散信号进行频域分析的一种数学工具。
离散傅里叶变换可以将一个长度为N的离散序列变换成一个长度为N的频谱序列。
其离散傅里叶变换的数学表达式如下：X(k) = Σ(x(n)*e^(-j2πkn/N)) (n=0,1,...,N-1; k=0,1,...,N-1)其中，X(k)为频谱序列，x(n)为原始信号序列，e为自然对数的底，j为虚数单位。
离散傅里叶变换可以将时域上的图像转换为频域上的频谱图，进而分析图像的频谱特征。
二、离散傅里叶变换的应用离散傅里叶变换在数字图像处理中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 图像滤波：通过离散傅里叶变换可以实现图像频域上的滤波操作，对图像进行降噪、增强边缘等处理。
例如，可以利用傅里叶变换将图像转换到频谱域，通过频谱的阈值处理去除高频噪声，然后再将图像转换回时域。
2. 图像压缩：离散傅里叶变换常被用于图像数据的压缩。
通过将图像转换到频域，可以利用频域的统计特性进行数据的压缩。
例如，可以通过选择合适的频率分量进行舍弃或者量化，以减少图像数据的存储空间。
3. 图像识别：离散傅里叶变换可以提取图像的频谱特征，用于图像识别和模式匹配。
例如，可以通过傅里叶变换得到图像的频谱图，并提取频谱的主要特征进行分类和识别。
4. 彩色图像处理：离散傅里叶变换可用于彩色图像处理。
可以将彩色图像的每个通道分别进行离散傅里叶变换，然后进行频域上的处理操作，最后再将变换后的通道合成为最终的彩色图像。
图像处理中的傅里叶变换
FFT是DFT的一种高效实现，它广 泛应用于信号处理、图像处理等 领域。
频域和时域的关系
频域
频域是描述信号频率特性的区域，通过傅里叶变换可以将 时域信号转换为频域信号。在频域中，信号的频率成分可 以被分析和处理。
时域
时域是描述信号时间变化的区域，即信号随时间的变化情 况。在时域中，信号的幅度和时间信息可以被分析和处理。
其中n和k都是整数。
计算公式
X(k) = ∑_{n=0}^{N-1} x(n) * W_N^k * n，其中W_N=exp(-
2πi/N)是N次单位根。
性质
DFT是可逆的，即可以通过DFT 的反变换将频域信号转换回时域
信号。
快速傅里叶变换（FFT）
定义
快速傅里叶变换（FFT）是一种高 效计算DFT的算法，它可以将DFT 的计算复杂度从O(N^2)降低到 O(NlogN)。
通过傅里叶变换，我们可以方便地实现图像的滤波操作，去除噪声或突出某些特 征。同时，傅里叶变换还可以用于图像压缩，通过去除高频成分来减小图像数据 量。此外，傅里叶变换还可以用于图像增强和图像识别，提高图像质量和识别准 确率。
PART 02
傅里叶变换的基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
离散傅里叶变换（DFT）是一种 将时域信号转换为频域信号的方 法。它将一个有限长度的离散信 号x(n)转换为一个复数序列X(k)，
傅里叶变换的物理意义是将图像中的每个像素点的灰度值表 示为一系列正弦波和余弦波的叠加。这些正弦波和余弦波的 频率和幅度可以通过傅里叶变换得到。
通过傅里叶变换，我们可以将图像中的边缘、纹理等高频成 分和背景、平滑区域等低频成分分离出来，从而更好地理解 和处理图像。
数字图像处理中的快速傅里叶变换算法
数字图像处理中的快速傅里叶变换算法数字图像处理是一门非常重要的学科，它主要关注如何对数字图像进行处理和分析。
在数字图像处理中，傅里叶变换是一种非常重要的工具，在很多领域都有广泛的应用。
特别是在数字信号处理和图像处理领域，傅里叶变换是一种重要的工具，它可以将时域信号转化成频域信号，进行频域分析和处理，帮助我们从中获取更多的信息。
在数字图像处理中，快速傅里叶变换算法是一种非常重要的算法，它拥有很高的计算效率和精度，被广泛应用于数字图像处理中。
一、傅里叶变换傅里叶变换是数学中的一种重要的工具，它可以将任意一个函数分解为一系列正弦波的加权和。
在数字图像处理中，傅里叶变换可以将图像表示为一个二维函数，其中每个分量代表着不同的频率。
通过傅里叶变换，我们可以了解图像中不同颜色和亮度的分布状况，从而帮助我们更好地进行图像处理和分析。
二、快速傅里叶变换算法快速傅里叶变换算法是对传统傅里叶变换进行优化得到的一种算法。
传统的傅里叶变换算法计算复杂度很高，需要进行许多乘法和加法运算，运算时间很长，难以满足实时处理的要求。
为了解决这个问题，人们开发出了快速傅里叶变换算法，它可以有效地缩短傅里叶变换的运算时间，提高计算效率。
快速傅里叶变换算法的基本思想是将傅里叶变换的计算分解为多个较小的傅里叶变换，从而实现快速计算。
这样就可以通过迭代的方式，逐步将傅里叶变换的计算分解为多个较小的傅里叶变换，从而获得更高的计算效率。
快速傅里叶变换算法一般采用分治的思想，将二维傅里叶变换分解为两个一维傅里叶变换，从而实现二维傅里叶变换的计算。
三、应用领域快速傅里叶变换算法被广泛应用于数字图像处理领域。
在图像去噪、图像压缩、图像增强、图像分割等领域，傅里叶变换都有着很广泛的应用。
特别是在数字信号处理和通信领域，傅里叶变换被广泛应用于信号的频域分析和处理，帮助我们了解信号的频域特性和频谱分布状况，从而更好地进行信号处理和分析。
四、总结快速傅里叶变换算法是数字图像处理中非常重要的一种算法，它可以快速、高效地实现傅里叶变换的计算，提升计算效率，满足实时处理的要求。
数字图像处理的傅里叶变换
数字图像处理的傅里叶变换1.课程设计目的和意义(1)了解图像变换的意义和手段(2)熟悉傅里叶变换的基本性质(3)热练掌握FFT的方法反应用(4)通过本实验掌握利用MATLAB编程实现数字图像的傅里叶变换通过本次课程设计，掌握如何学习一门语言，如何进行资料查阅搜集，如何自己解决问题等方法，养成良好的学习习惯。
扩展理论知识，培养综合设计能力。
2.课程设计内容(1)熟悉并掌握傅立叶变换(2)了解傅立叶变换在图像处理中的应用(3)通过实验了解二维频谱的分布特点(4)用MATLAB实现傅立叶变换仿真3.课程设计背景与基本原理傅里叶变换是可分离和正交变换中的一个特例，对图像的傅里叶变换将图像从图像空间变换到频率空间，从而可利用傅里叶频谱特性进行图像处理。
从20世纪60年代傅里叶变换的快速算法提出来以后，傅里叶变换在信号处理和图像处理中都得到了广泛的使用。
3.1课程设计背景数字图像处理（Digital Image Processing）又称为计算机图像处理，它是指将图像信号转换成数字信号并利用计算机对其进行处理的过程。
是通过计算机对图像进行去除噪声、增强、复原、分割、提取特征等处理的方法和技术。
3.2傅里叶变换(1)应用傅里叶变换进行数字图像处理数字图像处理（digital image processing）是用计算机对图像信息进行处理的一门技术，使利用计算机对图像进行各种处理的技术和方法。
20世纪20年代，图像处理首次得到应用。
20世纪60年代中期，随电子计算机的发展得到普遍应用。
60年代末，图像处理技术不断完善，逐渐成为一个新兴的学科。
利用数字图像处理主要是为了修改图形，改善图像质量，或是从图像中提起有效信息，还有利用数字图像处理可以对图像进行体积压缩，便于传输和保存。
数字图像处理主要研究以下内容：傅立叶变换、小波变换等各种图像变换；对图像进行编码和压缩；采用各种方法对图像进行复原和增强；对图像进行分割、描述和识别等。
图像处理技术中的傅里叶变换原理与应用
图像处理技术中的傅里叶变换原理与应用傅里叶变换是一种重要的数学工具，被广泛应用于图像处理领域。
图像处理技术中的傅里叶变换可以将图像从空域转换到频域，从而实现图像的频谱分析、滤波、图像增强等操作。
本文将详细介绍傅里叶变换的原理以及在图像处理中的应用。
傅里叶变换的原理傅里叶变换是基于信号的频谱分析理论，它可以将一个函数在时域上的表示变为在频域上的表示。
在图像处理中，我们可以将图像看作二维函数，将图像灰度值作为函数的值。
傅里叶变换可以将图像从空域转换到频域，通过分析图像的频谱，我们可以获取到图像中各个频率成分的信息。
傅里叶变换通过将图像分解为一系列正弦和余弦函数的和，来描述图像中的各个频率成分。
它的数学形式可以表示为以下公式：F(u, v) = ∫∫ f(x, y) * e^(-j2π(ux+vy)) dx dy其中，F(u, v)为频域中的函数，f(x, y)为空域中的函数。
傅里叶变换将函数f(x, y)转换为了频域中的函数F(u, v)。
傅里叶变换的应用图像的频域分析：通过对图像进行傅里叶变换，我们可以将图像从空域转换到频域，得到图像的频谱信息。
通过分析图像的频谱，我们可以了解图像中各个频率成分的强弱，从而对图像进行分析和处理。
例如，我们可以通过频谱分析来检测图像中的噪声，并对其进行滤波处理。
图像的滤波处理：傅里叶变换可以对图像进行频域滤波，从而实现图像的去噪、增强等操作。
频域滤波是通过对图像的频谱进行操作，再进行逆变换得到处理后的图像。
通过选择合适的滤波器函数，我们可以实现不同的滤波效果。
例如，利用傅里叶变换可以实现低通滤波，通过去除图像中的高频成分来实现图像的模糊效果。
图像的压缩：傅里叶变换在图像压缩中也有着重要的应用。
通过对图像进行傅里叶变换，我们可以将图像的能量集中在频域的少数主要频率上，从而实现对图像的压缩。
在傅里叶变换后，我们可以对频域系数进行量化和编码，以减小数据量。
在解码时，通过傅里叶逆变换可以将压缩后的数据还原为原始图像。
数字图像处理及应用：第三章 傅里叶变换(32学时新)
目前，在图像处理技术中正交变换被广泛 地运用于图像特征提取、图像增强、图像 复原、图像识别以及图像编码等处理中。 本章将对几种主要的正交变换进行较详细 地讨论。
第一节 傅里叶变换 第二节 离散余弦变换 第三节 沃尔什变换
3. 1 傅里叶变换
傅里叶变换是大家所熟知的正交变换。在 一维信号处理中得到了广泛应用。把这种 处理方法推广到图像处理中是很自然的事。
(3—5)
或写成指数形式
F () F () e j()
(3—6)
F() R2 () I 2 ()
(3—7)
() arctg I () R()
(3—8)
把 F() 叫做 f (x) 的傅里叶谱，而 ()
叫相位谱。
傅里叶变换广泛用于频谱分析。
例：求图3—1所示波形f(x)的频谱。
f(x) A
（８） 卷积定理
如果f(x)和g(x)是一维时域函数，f (x, y) 和 g (x, y)是
二维空域函数，那么，定义以下二式为卷积函数，
即
f (x) g(x) f ()g(x )d
f (x, y) g(x, y)
f (, )g(x , y )dd
由此，可得到傅里叶变换的卷积定理如下
第三章
图像处理中的正交变换
第一讲
第3章 图像处理中的正交变换
数字图像处理的方法主要分为两大类： 一个是空间域处理法(或称空域法)， 一个是频域法(或称变换域法)。 在频域法处理中最为关键的预处理便是变 换处理。
这种变换一般是线性变换，其基本线性 运算式是严格可逆的，并且满足一定的 正交条件，因此，也将其称作酉变换。
F y{F x[ f (x, y)]}
（２） 线性
图像处理傅里叶变换
傅里叶变换在图像处理中的应用(2011-03-31 17:18:55)转载▼标签：杂谈1、为什么要进行傅里叶变换，其物理意义是什么？傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。
要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。
傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。
而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。
该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。
因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。
最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。
从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。
它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。
"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;5. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;４. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。
图像傅里叶变换ppt课件
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傅里叶变换定义
为什么要在频率域研究图像增强
✓ 可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一 些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非
常普通 ✓ 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的 某些性质
假设M的形式是
M 2n
n为正整数。因此，M可以表示为
M2K
将M=2K带入上式
Fu
1 2K 1
f x W2uxK
2K x0
1 1 K1 图像傅里叶2变换K
u2x 1 K1
u2x1
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快速傅里叶变换(FFT)
推导：因为
WM ej2/M
所以
W e e W 22 K ux
j2 (2ux)/2K
✓ u=0,1,2,…图,M像傅-里1叶,变换
v=0,1,2,…,N-132
傅里叶变换
F(0,0)表示
F0,0
1 M 1 N 1
f x, y
MN x0 y0
这说明：假设f(x,y)是一幅图像，在原点的傅 里叶变换等于图像的平均灰度级
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傅里叶变换
如果f(x,y)是实函数，它的傅里叶变换是 对称的，即
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傅里叶变换
自相关理论
fx,y fx,yFu,2v Ru2,v Iu2,v fx,y2 Fu,v Fu,v
注：复数和它的复共轭的乘积是复数模的平方
图像傅里叶变换
图像处理技术中的傅里叶变换方法介绍
图像处理技术中的傅里叶变换方法介绍傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，图像处理中广泛应用的一种数学工具。
傅里叶变换将图像转换为频域信号，使我们能够观察和分析图像中不同频率的成分。
在图像处理领域，傅里叶变换常用于图像的滤波、去噪、增强等任务。
本文将介绍傅里叶变换的原理和在图像处理中的应用。
让我们了解一下傅里叶变换的原理。
傅里叶变换基于傅里叶级数展开的思想，将函数分解成一组正弦和余弦函数的和。
对于一维信号，傅里叶变换可以表示为以下公式：F(u) = ∫ f(x) * e^(-2πiux) dx其中，F(u)表示信号在频域中的复数表示，f(x)表示输入信号在时域中的复数表示，u表示频率，i为虚数单位。
在图像处理中，傅里叶变换可以应用于二维信号，即图像。
图像可以通过对其在两个方向上进行傅里叶变换，得到其在频率域上的表示。
图像的傅里叶变换可以表示为以下公式：F(u,v) = ∬ f(x,y) * e^(-2πi(ux+vy)) dx dy其中，F(u,v)表示图像在频率域中的复数表示，f(x,y)表示输入图像在空域中的灰度值，u和v表示频率，i为虚数单位。
在图像处理中，我们经常使用的是傅里叶变换的逆变换，即将图像从频域转换回空域。
逆傅里叶变换可以表示为以下公式：f(x,y) = ∬ F(u,v) * e^(2πi(ux+vy)) du dv通过逆傅里叶变换，我们可以将对图像进行频域操作后的图像恢复到原始的空域。
在图像处理中，傅里叶变换有着广泛的应用。
其中之一是频域滤波。
通过将图像转换到频域，在频域中对图像进行滤波操作，可以实现一些空域中难以实现的效果。
傅里叶变换后的频域图像中较低频率成分代表图像的平滑部分，较高频率成分代表图像的细节和边缘。
通过选择不同的滤波器，在频域中滤除或增强不同频率的成分，可以实现图像的模糊、锐化、边缘检测等效果。
傅里叶变换还可以用于图像的压缩和去噪。
在图像压缩中，通过对图像进行傅里叶变换，并保留较低频率成分来实现图像的压缩。
数字图像处理之采样量化插值傅里叶变换 ppt课件
维信号g（t）的最大截止频为w，以，则T<=1/2w为采 样间隔进行采样，则能够根据采样结果g(nt)完全恢复 g(t).
数字图像处理之采样量化插值傅里叶变换
采样的时域表达
数字图像处理之采样量化插值傅里叶变换
—模数转换技术。
数字图像处理之采样量化插值傅里叶变换
▪ (1) 采样孔： 使数字化设备实现对特定图像元素的观测
，不受图像其它部分的影响。
▪ (2) 图像扫描机构： 使采样孔按照预先定义的方式在图
像上移动，从而按顺序观测每一个像素。
▪ (3) 光传感器： 通过采样检测图像每一个像素的亮度。
通常采用CCD阵列。
▪ 离散图像：是指用一个数字阵列表示的图像。
该阵列中每一个元素称为像素。离散图像又称 为数字图像。
数字图像处理之采样量化插值傅里叶变换
▪ 像素：组成数字图像的基本元素。
▪ 连续图像可以认为是由无数个像素组成的，而且
没一点的灰度值都是从黑到白有无限多个可能取 值。
▪ 数字图像可以认为是按某种规律（如模拟/数字
▪ 扫描分辨率：表示一台扫描仪输入图像的细微程度。指每英寸（1英
寸=2.5cm）扫描所得到的点。单位DPI。数值越大表示被扫描的图 像转化为数字化图像越逼真，扫描仪质量越好。
数字图像处理之采样量化插值傅里叶变换
▪ 无论采用那种评价参数，都反映采样点间隔的选取是一
个很重要的问题。显然，想要获得更加清晰的图像质量 ，就要提高图像采样像素点。数，也就是要使用更多的像 素点来表示该图像，但是相对要付出更大存储空间的代 价
图像处理中的傅里叶变换
二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为
|F(u，v)∣=[R2(u，v)+I2 (u，v)]1/2
φ(u，v)=tan-1 [I(u，v)／R(u，v)] E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)
离散函数的傅立叶变换 1.一维离散函数的傅立叶变换
假定取间隔△x单位的抽样方法将一个连续函数f(x)离散化为一 个序列{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}，如图所示。
设f(x,y) ←→F(x,y)，g(x,y) ←→G(x,y)，则
• 离散函数卷积定理 设
其二维离散卷积形式为
二维离散卷积定理可用下式表示
此形式与连续的基本一样，所不同的是所有变量 x， y ，u ，v 都是离散量
例如
数字图像的傅立叶变换
原图
离散傅立叶变换后的频域图
二维离散傅立叶变换的性质
1）线性
设 F1(u,v)和 F2(u,v)分别为二维离散函数 f1(x,y)和f2(x,y)的DFT，则 式中a，b是常数
2）可分离性
将式 分成两部分乘积
设式后面的求和项为：
此式表示对每一个 x 值，f(x,y)先沿每一行进行一次一维 傅立叶变换
f ( x) F (u )e j 2ux du
这里f(x)是实函数，它的傅立叶变换F(u)通常是复函 数。F(u)的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如 下：
实部
虚部
R(u) f ( x) cos(2 ux)dx I (u ) f ( x) sin(2ux)dx
-1
-j
2.二维离散函数的傅立叶变换 在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为 F(u，v)=
傅里叶变换在数字图像处理中的应用课件
• 由欧拉公 式
f (t)
F (n1 )e jn1t
• 其中 n
F (0) a0
F (n1 )
1 2
(an
jbn )
引入了负频率
F (n1 )
1 2
(an
jbn )
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非周期信号的频谱分析
当周期信号的周期T1无限大时,就演变成 了非周期信号的单脉冲信号
T1
频率也变成连续变量
1
2
T1
0 d
n1
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非周期函数傅立叶变换分析式
F (w) f (t )e jwt dt f(t) Nhomakorabea1
2
F ().e jtd
频谱演变的定性观察
1
2
T1
F (n1)
-T/2
T/2
F (n1) 1
F (n1 )
-T/2
T/2
1
2
2
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三.从物理意义来讨论FT
(a) F(ω)是一个密度函数的概念 (b) F(ω)是一个连续谱 (c) F(ω)包含了从零到无限高
傅里叶变换
连续时间信号 的傅里叶变换
号周 期 性 信
信非 号周
期 性
离散时间信号 的傅里叶变换
号周 期 性 信
信非 号周
期
性
连续函数的 傅立叶变换
一、三角函数的傅里叶级数:
f1(t) a0 (an cos n1t bn sin n1t) n1
直流 分量
基波分量 n =1
谐波分量 n>1
N 1
j 2 mn
X (m) x(n)e N , m 0,1, 2,3, 4,...N 1
傅里叶变换与数字图像处理
傅里叶变换与数字图像处理(2012-05-24 20:06:24)转载▼标签：it傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦和/余弦和的形式。
傅里叶变换是数字图像处理技术的基础，其通过在时域和频域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析。
一维傅里叶变换及其反变换单变量连续函数，f(x)的傅里叶变换F(u)定义为等式：u=0，1，2，…，M一1同样，给出F(u)，能用反DFT来获得原函数：其中，u=0，1，2，…，M一1。
因此，我们看到傅里叶变换的每项[即对于每个u 值，F(u)的值由f(x)函数所有值的和组成。
f(x)的值则与各种频率的正弦值和余弦值相乘。
F(u)值的范围覆盖的域(u的值)称为频率域，因为u决定了变换的频率成分(x 也作用于频率，但它们相加，对每个u值有相同的贡献)。
F(u)的M项中的每一个被称为变换的频率分量。
使用术语“频率域”和“频率成分”与“时间域”和“时间成分”没有差别，如果x是一个时间变量，可以用它来表示f(x)的域和值。
二维DFT及其反变换一维离散傅里叶变换及其反变换向二维扩展是简单明了的。
一个图像尺寸为M×N 的函数f(x，y)的离散傅里叶变换由以下等式给出：像在一维中的情形一样，此表达式必须对u值(u=0，1，2，…，M-1)和v值(v=0，1，2，…，N-1)计算。
同样，给出F(u,v)，可以通过反傅里叶变换获得，f(x，y)，由表达式给出：其中，x=0，1，2，…，M-1，y=0，1，2，…，N-1。
变量u和v是变换或频率变量，x和y是空间或图像变量。
正如在一维中的情形那样，常量1／MN的位置并不重要，有时它在反变换之前。
其他时候，它被分为两个相等的常数1/根号MN，分别乘在变换和反变换的式子前。
定义傅里叶谱、相角和频率谱：并且其功率谱为：其中，R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部。
通常在进行傅里叶变换之前用(-1)x+y乘以输入的图像函数。
数字图像处理图像的傅里叶变换实验报告南昌大学
实验报告五姓名：胡文松学号：6103413007 班级：生医131实验日期：2016.5.16 实验成绩：实验题目：图像的傅里叶变换一．实验目的（1）熟练掌握图像的快速傅里叶变换及其逆变换。
（2）熟练掌握图像的radon变换及其逆变换。
二．实验原理傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。
傅里叶变换是将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。
一般可称函数f （t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。
图像傅里叶变换，谱对图像的平移是不敏感的，但它随旋转图像以相同的角度旋转。
图像平移后，他们的频谱不变，但旋转后，其频谱也以以相同的角度旋转。
三．实验内容及结果（1）任意选择一副图像，对图像进行旋转，显示原始图像和旋转后的图像，分别对其进行傅里叶变换，分析原图的傅里叶频谱与旋转后的傅里叶频谱的对应关系。
（2）选择一副图像boy.jpg，使用radon函数和iradon函数构建一个简单图像的投影并重建图像。
源程序和结果：I=phantom(256);figure;subplot(2,2,1);imshow(I);title('原始图像')J=fft2(I);F=abs(J);J1=fftshift(F);subplot(2,2,2);imshow(J1,[5 50]);title('原始图像的傅里叶频谱')K=imrotate(I,315,'bilinear','crop');subplot(2,2,3);imshow(K);title('原始图像进行旋转')K1=fft2(K);M=abs(K1);J2=fftshift(M);subplot(2,2,4);imshow(J2,[5 50]);title('旋转后图像的傅里叶频谱')theta=0:1:179;[R1,xp]=radon(I,theta);figure;subplot(2,2,1);imagesc(theta,xp,R1);xlabel('\theta');ylabel('x\prime' );title('18度');I1=iradon(R1,1);subplot(2,2,2);imshow(I1);title('18度');2.用MATLAB中的iradon函数对获得的投影数据进行滤波反投影重建，获得Shepp-Logan 模型的重建图像I1=iradon(R1,10);I2=iradon(R2,5);I3=iradon(R3,2);I4=iradon(R4,1);figure;subplot(2,2,1);imshow(I1);title('18 angles');subplot(2,2,2);imshow(I2);title('36 angles');subplot(2,2,3);imshow(I3);title('90 angles');subplot(2,2,4);imshow(I4);title('180 angles');四．结果分析从实验结果可知（1）图像旋转后，相应的傅里叶频谱也跟着做相应的旋转，且旋转角度是一样的，时域中信号被压缩，到频域中被拉伸。
数字图像处理-傅里叶变换
(u,v)=arctan(I(u,v)/R(u,v)) • 能量谱: E=|F(u,v)|2
11
e j 2 xu yv/ N
12
F ( x)
二维傅立叶变换
•傅立叶谱：
|F(u,v)|= [R2(u,v)+I2(u,v)]1/2
1
x N 1 y N 1
f ( x, y)e j 2 (uxvy ) / N
N x0 y0
f ( x, y)
1
u N 1 v N 1
F (u, v)e j 2 (uxvy ) / N
N u0 v0
• 变换对 f ( x, y ) F (u, v)
10
二维傅立叶变换
• 傅立叶变换：F(u,v)=|F(u,v)|ej(u,v) • 傅立叶谱：
f ( , 0 ) F (, 0 )
34
傅立叶变换性质 6 线性
• 如果f1(x,y)F1(u,v), f2(x,y)F2(u,v),则
af1(x,y)+ bf2(x,y) aF1(u,v)+bF2(u,v)
35
傅立叶变换性质 7 比例性
• 如果f(x,y)F(u,v),则
f (ax,by) 1 F (u , v ) | a || b | a b
30
傅立叶变换性质 4 共轭对称性
• 如果f(x,y)F(u,v), F*(-u,-v)是共轭复数，则 –F(u,v)= F*(-u,-v) –|F(u,v)|= |F*(-u,-v)|
31
傅立叶变换性质 5 旋转
32
33
• 设f(x,y)F(u,v),
数字图像处理-傅立叶变换
第5章 图像变换
➢ 加法定理
第5章 图像变换
第5章 图像变换
➢ 位移定理
第5章 图像变换
➢ 相似性定理
结论：一个“窄”的函数有一个“宽”的频谱
第5章 图像变换
第5章 图像变换
➢
旋转不变性
由旋转不变性可知，如果时域中离散函数旋转θ角度，
首先，我们来看Fourier变换后的图像， 中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。
因此，我们可以在Fourier变换图中，选 择所需要的高频或是低频滤波。
第5章 图像变换
傅立叶变换在卷积中的应用
直接进行时域中的卷积运算是很复杂的。 傅立叶变换将时域的卷积变换为频域的乘 积。
f (i, j)
G(S)
第5章 图像变换
(4)可分离性
M 1N1
j 2 ( ux vy )
F(u,v)
f (x, y)e M N
x0ห้องสมุดไป่ตู้y0
M 1 N1
j2 vy j2 ux
{[ f (x, y)e M ]e N }
x0 y0
u 0,1,2, , M 1 v 0,1,2, , N 1
第5章 图像变换
结论: ex2 与 eu2 为傅立叶变换函数对。
即，高斯函数的傅立叶变换依然是高斯函数
第5章 图像变换
例2. 矩形函数
矩形函数形式如下:
f
(x)
A
0
| x | T 2
| x | T 2
第5章 图像变换
根据傅立叶变换的定义，其傅立叶变换如下：
F (u) f (x)e j2uxdx
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
数字图像的傅里叶变换
数字图像的傅里叶变换一. 课程设计目的（1）了解图像变换的意义和手段（2）熟悉傅里叶变换的基本性质（3）热练掌握FFT的方法反应用（4）通过本实验掌握利用MATLAB编程实现数字图像的傅里叶变换二.课程设计要求（1）熟悉并掌握傅立叶变换（2）了解傅立叶变换在图像处理中的应用（3）通过实验了解二维频谱的分布特点（4）用MATLAB实现傅立叶变换仿真三.设计思路1.相关知识原理（1）应用傅里叶变换进行数字图像处理数字图像处理（digital image processing）是用计算机对图像信息进行处理的一门技术，使利用计算机对图像进行各种处理的技术和方法。
20世纪20年代，图像处理首次得到应用。
20世纪60年代中期，随电子计算机的发展得到普遍应用。
60年代末，图像处理技术不断完善，逐渐成为一个新兴的学科。
利用数字图像处理主要是为了修改图形，改善图像质量，或是从图像中提起有效信息，还有利用数字图像处理可以对图像进行体积压缩，便于传输和保存。
数字图像处理主要研究以下内容：傅立叶变换、小波变换等各种图像变换；对图像进行编码和压缩；采用各种方法对图像进行复原和增强；对图像进行分割、描述和识别等。
随着技术的发展，数字图像处理主要应用于通讯技术、宇宙探索遥感技术和生物工程等领域。
傅里叶变换在数字图像处理中广泛用于频谱分析，傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它使我们能够定量地分析诸如数字化系统，采样点，电子放大器，卷积滤波器，噪声，显示点等地作用（效应）。
傅里叶变换（FT）是数字图像处理技术的基础，其通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析，简化了计算工作量，被喻为描述图像信息的第二种语言，广泛应用于图像变换，图像编码与压缩，图像分割，图像重建等。
因此，对涉及数字图像处理的工作者，深入研究和掌握傅里叶变换及其扩展形式的特性，是很有价值得。
（2）关于傅里叶（Fourier）变换在信号处理中，傅里叶变换可以将时域信号变到频域中进行处理，因此傅里叶变换在信号处理中有着特殊重要的地位。
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1 v Ny
二维DFT的性质 3
周期性
傅里叶级数(DFS)有周期性M×N，反变换也是 周期性的。DFT 是其中的一个周期。
二维DFT的性质 4
分配性
傅里叶变换对加法有分配性，而乘法没有。 傅里叶反变换适用于相同的结论。
二维DFT的性质 5
比例变换性
对于比例因子a,b
旋转性
引入极坐标
f ( x, y)e j 2 (u0 x / M v0 y / N ) e j ( x y ) (1) x y
通常在变换前用(-1)x+y 乘以输入图像函数，实现中心化变换：
M N x y ~ [ f ( x, y )( 1) ] F (u ,v ) 2 2
离散傅里叶变换是对区间[0,M-1] 中的u 值表述的，变换结果是 关于原点对称的两个半周期，要显示完全的周期，需要将变换的 原点移到u=M/2，二维图像中心化同理
一个图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的离散傅立叶变换F(u,v):
F (u, v ) f ( x, y )e
x 0 y 0
M 1 N 1
j 2 ( ux / M vy / N )
F(u,v)的反变换:
1 f ( x, y ) MN
M 1 N 1 u 0 v 0
f ( x) F (u )e
x 0
M 1
j 2ux / M
计算F(u)： 1) 在指数项中代入 u=0，然后将所有x 值 相加，得到F(0)； 2) u=1，复对所有x 的 相加，得到F(1)； 3) 对所有M 个u 重复 此过程，得到全部完 整的FT。
离散傅里叶变换及其反变换总存在。 用欧拉公式得 e j cos j sin
第四章 频域图像增强
主要内容
傅里叶变换和频率域的介绍 频率域平滑滤波器 频率域锐化滤波器
频域滤波原理
空域—图像所在的空间； 频域—图像的变换域。 频域图像处理是将图像通转换到“变换 空间”而进行的相关操作。
最常用的变换空间是频域空间，也就是 傅里叶变换空间。
频域处理是通过改变图像中不同频率分量 来实现的。 由于图像频谱给出的是图像全局的性质， 所以频域处理不对应于空域中的单个像素。 频域处理是让某个范围的分量或某些频率 的分量受到抑制或改变，从而改变输出图 像的频率分布，达到应用目的。
傅里叶
法国数学家傅立叶(生于1768年)在1822年出版的 《热分析理论》一书中指出:任何周期函数都可以表 达为不同频率的正弦和或余弦和的形式,即傅立叶级 数。
20世纪50年代后期,快速傅立叶变换算法出现,得到 了广泛的应用。
傅里叶级数
f ( x)
n
j 2 n x c e n
4.计算(3)中结果的反DFT。
5. 得到(4)中结果的实部。 6. 用(-1)x+y乘以(5)中的结果。
频率域中滤波步骤
傅里叶变换 滤波函数 傅里叶反变换
前处理
后处理
输入 图像
前处理、后处理： 1.中心变换 2.输入图像向其最接近的偶数维转换 增强后 3.灰度级标定 的图像 4.输入向浮点的转换 5.输出向8比特整数的转换
的上下黑白边沿形成。
频率域的基本性质
频率域的基本性质：频域的中心邻域对应
图像中慢变化部分，较高的频率开始对应
图像中变化较快的部分（如：物体的边缘、
线条等）。
频率域滤波步骤
1. 用(-1)x+y乘以输入图像来进行中心变化。
2. 由(1)计算图像的DFT，即F(u,v)； 3. 用滤波函数H(u,v)乘以F(u,v)。 H(u,v)称为滤 波器：抑制某些 频率，其他频率 不受影响
1 F (u ) M
M 1 x 0
f ( x)[cos2ux / M j sin 2ux / M ]
每个F(u) 由f(x)与对应频率的正弦和余弦乘积和组成； u 值决定了变换的频率成份，因此，F(u) 覆盖的域 (u值) 称为频率域，其中每一项都被称为FT 的频率 分量。与f(x) 的“时间域”和“时间成份”相对应。
n
c (cos 2n x sin 2n x )
n
n
c
n
sin(2n x n )
傅里叶变换和频率域的介绍
一维傅立叶变换及其反变换
二维DFT变换及其反变换 二维DFT变换性质
一维FT及其反变换
连续函数f(x)的傅立叶变换F(u):
F (u) f ( x)e
傅里叶变换的作用
傅里叶变换将信号分成不同频率成份。类似光学 中的分色棱镜把白光按波长(频率)分成不同颜色， 称数学棱镜。
傅里叶变换的成份：直流分量和交流分量 信号变化的快慢与频率域的频率有关。噪声、边 缘、跳跃部分代表图像的高频分量；背景区域和 慢变部分代表图像的低频分量
二维DFT傅里叶变换
二维DFT的性质 1
平移特性
f ( x, y ) e
j 2 ( u 0 x / M v 0 y / N )
F (u u0 , v v0 )
f ( x x0 , y y0 ) F (u, v)e j 2 (ux0 / M v0 y / N )
当u0=M/2, v0=N/2时
常用频域滤波方法有:
低通滤波 高通滤波 带通和带阻滤波 同态滤波
35
j 2 ( ux / M vy / N ) F ( u , v ) e
二维DFT傅里叶变换
(u,v)=(0,0)位置的傅里叶变换值为
1 M 1 N 1 F (0,0) f ( x, y) f ( x, y) MN x 0 y 0
即f(x,y) 的均值，原点(0,0) 的傅里叶变换是图像的 平均灰度。F(0,0) 称为频率谱的直流分量(系数)， 其它F(u,v) 值称为交流分量(交流系数)。
28
频率域滤波思路
设计一个滤波器用点操作的方法加工频谱数据,
然后再进行反变换，即完成处理工作。
关键在于设计频域（变换域）滤波器的传递函数
H(u,v)。
29
图为一幅集成电路的扫描电
子显微镜(SEM)图像，放大
将近2500倍。注意图中
±45°的强边缘，和两个
因热感应不足而产生的白色 氧化突起 图是上图的傅里叶频谱，沿 着±45°方向对应上图边缘 突起部分。沿垂直轴偏左部 分有垂直分量，由氧化突起
二维DFT的性质 2
共轭对称性
如果f(x,y) 是实函数，其傅里叶变换必然对称： F(u,v) = F*(-u,-v)
|F(u,v)| = |F (-u,-v)|
傅里叶变换的频率谱是对称的。共轭对称和中心
对称的性质简化了频率域内循环对称滤波器的技术
条件。
空间域和频率域抽样点之间的关系如下：
1 u Mx
27
在具体增强应用中，f (x, y)是给定的（所以 F(u, v)可利用变换得到），需要设计的是H(u, v)，g(x, y)就可由式G(u, v)=H(u, v)F(u, v)算出G(u, v)而得到 ：
g( x, y) IDFT H (u, v)F (u, v)
•频域空间的增强方法的步骤： (1) 将图像从图像空间转换到频域空间; (2) 在频域空间对图像进行增强; (3) 再将图像从频率空间转换回图像空间
f(x,y) 旋转角度θ0，F(u,v) 将转过相同的角度。 类似, 旋转F(u,v) ， f(x,y)也将转过相同的角度。
二维DFT的性质 6
微分性质
二维DFT的性质 7、8
拉普拉斯算子
线性
某些有用的FT 变换对
频域滤波方法
线性系统
f(x,y) h(u,v) g(x,y)
g ( x, y) h( x, y) f ( x, y)
G(u, v) H (u, v) F (u, v)
步骤：
g ( x, y) F 1[ H (u, v) F (u, v)]
1、计算图像的傅里叶变换。 2、图像傅里叶变换与滤波器转移函数相乘。 3、结果进行傅里叶反变换,得到增强的图像。
设函数f (x, y)与线性移位不变算子h(x, y)的卷积结果是g(x, y) 即g(x, y) = h(x, y) * f (x, y)，那么根据卷积定理在频域有：
G (u, v) H (u, v) F (u, v) 卷积在频域变成点积
• G(u, v),H(u, v),F(u, v)分别是g(x, y),h(x, y),f (x, y)的傅里叶变换
• G(u, v)是处理后图像的傅里叶变换;
• H(u, v)为频域滤波函数(传递函数 H); • F(u, v)为原图像的傅里叶变换（频域）；
j 2ux
dx
傅立叶变换F(u)的反变换:
f ( x) F (u )e
j
离散函数f(x)(其中x，u=0,1,2,…,M-1)的傅立叶变换:
1 F (u ) M
M 1 x 0
f ( x )e
j 2ux / M
•F(u)的反变换的反变换: