河北省2021届高三年级11月份联合考试数学试卷答案

河北省廊坊市2021届新高考第三次大联考数学试卷含解析

河北省廊坊市2021届新高考第三次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}{}2340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =I ð( ) A ．()1,3- B ．[]1,3- C ．[]1,4- D ．()1,4-【答案】B 【解析】【分析】先由2340x x -->得4x >或1x <-，再计算R ()ðA B I 即可. 【详解】由2340x x -->得4x >或1x <-，()(),14,A ∴=-∞-⋃+∞，[]R 1,4ðA =-,又{}13B x x =-≤≤，[]R ()1,3A B ∴=-I ð. 故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.2．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用22()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A ．134B ．866C ．300D ．500【答案】A 【解析】分析：设三角形的直角边分别为13.解析：设三角形的直角边分别为12，故而大正方形的面积为4，小正方形的面积为)214=-∴=.∴落在黄色图形内的图钉数大约为210001342⨯≈.故选：A.点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量． (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．3．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y ==，则U A B =I ð( )A ．[)0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】A 【解析】【分析】求得集合B 中函数的值域，由此求得U B ð，进而求得U A B ⋂ð. 【详解】由11y =≥，得[)1,B =+∞，所以()U ,1B =-∞ð，所以[)U 0,1A B =I ð.故选：A 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题. 4．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（）m ．A ．1B ．43C ．494D ．2【答案】C 【解析】【分析】由图像用分段函数表示()v t ，该物体在1s~6s 2间的运动路程可用定积分612()d s v t t =⎰表示，计算即得解【详解】由题中图像可得，2,01()2,1311,363t t v t t t t ⎧⎪≤<⎪=≤≤⎨⎪⎪+<≤⎩由变速直线运动的路程公式，可得61311132621()d 22d 1d 3s v t t tdt t t t ⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰6132211231492(m)64tt t t ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭．所以物体在1s~6s 2间的运动路程是49m 4．故选：C 【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 5．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1 B ．-3C ．1或53D ．-3或173【答案】D 【解析】【分析】4=，解方程即得k 的值.【详解】4=，解方程即得k=-3或173.故答案为：D 【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d =.6．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+，所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7．已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（） A ．(2,)+∞ B．2)C．D．【答案】A 【解析】双曲线22x a﹣22y b =1的渐近线方程为y=b a ±x ，不妨设过点F 1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=ba（x ﹣c ），与y=﹣b a x 联立，可得交点M （2c ，﹣2bc a）， ∵点M 在以线段F 1F 1为直径的圆外，∴|OM|＞|OF 1|，即有24c +2224b c a ＞c 1， ∴22b a＞3，即b 1＞3a 1， ∴c 1﹣a 1＞3a 1，即c ＞1a ．则e=ca＞1． ∴双曲线离心率的取值范围是（1，+∞）．故选：A ．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（）A ．37B ．47C ．57D ．67【答案】D 【解析】【分析】由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解. 【详解】由题,窗花的面积为21241140-⨯=,其中小正方形的面积为5420⨯=, 所以所求概率1402061407P -==,故选:D 【点睛】本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.9．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【解析】【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值．【详解】解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩表示的平面区域（如图示：阴影部分）由200x y x y +-=⎧⎨-=⎩得(1,1)A ，由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-，易知过点A 时直线在y 上截距最小，所以3114min z =⨯+=．故选：A ．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题． 10．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】A 【解析】【分析】根据()1f x +图象关于y 轴对称可知()f x 关于1x =对称，从而得到()f x 在(),1-∞上单调递增且()()31f f =-；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】()1f x +Q 为偶函数 ()1f x ∴+图象关于y 轴对称()f x ∴图象关于1x =对称()1,x ∈+∞Q 时，()f x 单调递减 (),1x ∈-∞∴时，()f x 单调递增又()()31f f =-且1102-<-< ()()1102f f f ⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭，即b a c << 本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果. 11．设实数满足条件则的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.12．已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（） A ．[2,)+∞ B ．(1,2),C ．(2,)+∞D ．(1,2]【答案】A 【解析】【分析】若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【详解】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ba， ∴3b a (2222)4a b e a +=…， 2e ∴…，故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届河北省邢台市第二中学高三上学期11月月考数学试题(解析版)

2021届河北省邢台市第二中学高三上学期11月月考数学试题（解析版）考试范围：一轮复习第一章——第七章；考试时间：120分钟一､单选题1. 下列命题中错误的是（）A. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题B. 命题“()00,x ∃∈+∞00ln 1x x =-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-”C. 若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题D. 00x ∃>使“00ax bx >”是“0a b >>”的必要不充分条件【答案】C 【解析】【分析】由原命题与逆否命题真假性相同判断A ，由特称命题的否定形式判断B,由复合命题的真假判断C ，由充分性必要性条件判断D.【详解】A.“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，则其逆否命题为真命题，A 正确. B.特称命题的否定需要将存在量词变为全称量词，再否定其结论，故B 正确.C.p q ∨为真命题，包含,p q 有一个为真一个为假和,p q 均为真，p q ∧为真则需要两者均为真，故若p q ∨为真命题，p q ∧不一定为真.C 错.D.若0a b ＞＞，00x ∃＞，使00ax bx ＞成立，反之不一定成立.故D 正确．故本题选C.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，充分必要条件的判断方法，全称命题与特称命题的否定，以及逆否命题等基础知识，是基础题. 2. 函数31()ln 13f x x x =-+的零点个数为( ) A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】21()01f x x x x =-=⇒'= ,所以当(0,1)x ∈ 时2()0,()(,)3f x f x ∈-∞'> ; 当(1,)x ∈+∞ 时2()0,()(,)3f x f x ∈-∞'< ;因此零点个数为2,选C.3. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c，则C = A.π12B.π6C.π4D.π3【答案】B 【解析】【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ， ∵sinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC ﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC≠0， ∴cosA=﹣sinA ， ∴tanA=﹣1，∵π2＜A ＜π， ∴A= 3π4，由正弦定理可得c sin sin aC A=， ∵a=2，，∴sinC=sin c A a=12=22， ∵a ＞c ， ∴C=π6，故选B ．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.4. 已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=-，则a 在a b +上的投影为（）A.13B.C.D.3【答案】C 【解析】【分析】由题意结合平面向量数量积的运算可得13a b ⋅=，进而可得()b a a +⋅、a b +，代入投影表达式即可得解.【详解】因为a ，b 为单位向量，所以1==a b ，又2a b a b +=-，所以()()222a ba b +=-所以22222242a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即121242a b a b +⋅+=-⋅+，所以13a b ⋅=，则()2263a b a b+=+=，()243a a b a a b ⋅+=+⋅=，所以a 在a b +上的投影为()4326a a b a b⋅+==+故选：C.【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了一个向量在另一个向量上投影的求解，属于中档题. 5.ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等差数列，且2C A =，若AC 边上的中线BD =ABC 的周长为（） A. 15 B. 14C. 16D. 12【答案】A 【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质及二倍角公式，正弦定理及余弦定理进行化简，即可求得结果. 【详解】由a ，b ，c 成等差数列可知，2b a c =+，因为2C A =，所以sin sin 22sin cos C A A A ==，由正弦定理及余弦定理可得，22222b c a c a bc+-=⋅，所以2223bc ab ac a =+-，所以32c a =，54b a =，若AC 边上的中线2BD =，所以2225379242a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解可得4a =，5b =，6c =，故△ABC 的周长为15. 故选：A.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，等差数列的条件，以及边角关系，属于简单题目.6. 设2{|430}A x x x =-+，{|(32)0}B x ln x =-<，则A B =（）A. 3(1,)2B. (1，3]C. 3(,)2-∞D. 3(2，3]【答案】A 【解析】【分析】求出集合,A B 后可得AB .【详解】13{|}A x x =≤≤，3{|0321}{|1}2B x x x x =<-<=<<；∴3(1,)2A B ⋂=，故选：A .【点睛】本题考查一元二次不等式的解、对数不等式的解及集合的交，解对数不等式时注意真数恒为正，本题属于中档题.7. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（）A.35B.35C.92D.98【答案】C 【解析】【详解】【分析】设1AA 的中点为N ，则1MNBC ，连接11,,MN NB BC MC ，，则梯形1MNBC 就是过1C ，B ，M 正方体的截面，其面积为()13292+22=222⨯⨯，故选 C.8. 已知(12)z i i -=，则下列说法正确的是（） A. 复数z 的虚部为5iB. 复数z 对应的点在复平面的第二象限C. 复数z 的共轭复数255i z =- D. 15z =【答案】B 【解析】【分析】由复数除法求出复数z ，然后可判断各选项．【详解】由已知得1(121)212(12)(12)55i i z i i i +===-+--+，所以复数z 的虚部为15，而不是5i，A 错误；在复平面内，复数z 对应的点为21,55⎛⎫-⎪⎝⎭，在第二象限，B 正确. 255iz =--，C 错误；215||2255z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查复数的除法，考查复数的几何意义，共轭复数的概念及模的定义，属于基础题．二､多选题9. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，截面BDE 与直线PC 平行，与PA 交于点E ，则下列判断正确的是（）A. E 为PA 的中点B. BD ⊥平面PACC. PB 与CD 所成的角为3π D. 三棱锥C BDE -与四棱锥P ABCD -的体积之比等于1:4. 【答案】ABD 【解析】【分析】采用排除法，根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角的求法，锥体体积公式的计算，可得结果.【详解】对于A ，连接AC 交BD 于点M ，连接EM ，如图所示，PC //面BDE ，PC ⊂面APC ，且面APC 面=BDE EM ，PC ∴//EM ，又四边形ABCD 是正方形，∴M 为AC 的中点，∴E 为PA 的中点，故A 正确.对于B ，PA ⊥面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，∴PA BD ⊥，又AC BD ⊥，AC PA A ⋂=，,AC PA ⊂面PAC∴BD ⊥面PAC ，故B 正确.对于C ，//AB CD ，∴PBA ∠为PB 与CD 所成的角，PA ⊥面ABCD ，AB 面ABCD ，∴PA AB ⊥，在Rt PAB 中，PA AB =，4PBA=π∴∠，故C 错误.对于D ，由等体积法可得1.3C BDE E BCD BCD V V S EA --==⋅，13-=⋅⋅P ABCD ABCD V S PA又1,22BCD ABCD S S PA EA ==，∴14--=P ABC C BD DE V V ，故D 正确. 故选：ABD .【点睛】本题考查立体几何的综合应用，熟练线线、线面、面面之间的位置关系，审清题意，考验分析能力，属中档题. 10. 已知函数31()423f x x x =-+，下列说法中正确的有（） A. 函数()f x 的极大值为223，极小值为103- B. 当[]3,4x ∈时，函数()f x 的最大值为223，最小值为103-C. 函数()f x 的单调减区间为[]22-,D. 曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为42y x =-+ 【答案】ACD 【解析】【分析】利用导数研究函数()f x 的极值、最值、单调性，利用导数的几何意义可求得曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程，根据计算结果可得答案. 【详解】因为31()423f x x x =-+ 所以2()4f x x =-'，由()0f x '>，得2x <-或2x >，由()0f x '<，得22x -<<，所以函数()f x 在(,2)-∞-上递增，在[]22-,上递减，在(2,)+∞上递增，故选项C 正确，所以当2x =-时，()f x 取得极大值3122(2)(2)4(2)233f -=⨯--⨯-+=，在2x =时，()f x 取得极小值3110(2)242233f =⨯-⨯+=-，故选项A 正确，当[]3,4x ∈时，()f x 为单调递增函数，所以当3x =时，()f x 取得最小值31(3)343213f =⨯-⨯+=-，当4x =时，()f x 取得最大值3122(4)444233f =⨯-⨯+=，故选项B 不正确，因为(0)4f '=-，所以曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为24(0)y x -=--，即42y x =-+，故选项D 正确. 故选：ACD.【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值、最值、单调区间，考查了导数的几何意义，属于基础题. 11. 已知(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，如下四个结论正确的是（） A. AB AC ⊥；B. 四边形ABCD 为平行四边形；C. AC 与BD 夹角的余弦值为145； D. 85AB AC +=【答案】BD 【解析】【分析】求出向量,,,AB AC DC BD 坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一判断. 【详解】由(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，所以()2,3AB =-，()7,1AC =，()2,3DC =-， ()3,7BD =, 对于A ，143110AB AC ⋅=-=≠，故A 错误；对于B ，由()2,3AB =-，()2,3DC =-，则AB DC =，即AB 与DC 平行且相等，故B 正确；对于C ，cos ,50AC BD AC BD AC BD⋅===C 错误；对于D ，()||9,2AB AC +=-=D 正确；故选：BD【点睛】本题考查了向量的坐标运算、向量的数量积、向量模的坐标表示，属于基础题. 12. 下面命题正确的是（） A. “1a > ”是“11a<”的充分不必要条件 B. 命题“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”. C. 设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥ ”是“224x y +≥”的必要而不充分条件 D. 设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件【答案】ABD 【解析】【分析】分别判断充分性与必要性，即可得出选项ACD 的正误；根据全称命题的否定是特称命题，判断选项B 的正误．【详解】对于A ，()1110100a a a a a a -<⇔>⇔->⇔<或1a >，则“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，故A 对；对于B ，全称命题的否定是特称命题，“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”，故B 对；对于C ，“2x ≥且2y ≥” ⇒ “224x y +≥”， “2x ≥且2y ≥” 是 “224x y +≥”的充分条件，故C 错；对于D ，00ab a ≠⇔≠且0b ≠，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，故D 对；故选：ABD ．【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查充分条件与必要条件的判断，考查不等式的性质与分式不等式的解法，属于易错的基础题．三､填空题13. 已知函数2()ln f x ax x x =-在1[,)e+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是_____. 【答案】12a≥ 【解析】()2ln 10f x ax x =--≥',解得ln 12a x x +≥在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立,构造函数()()()221·ln 1ln 1ln ,0x x x x x g x g x x x x -++-='===,解得x=1, ()g x ∴在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在()1,+∞上单调递减,g(x)的最大值为g(1)=1, 21a ∴≥,12a ≥,故填12a ≥. 点睛:本题考查函数导数与单调性.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.14. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos ,60a C c A b B -==︒，则A 的大小为__________．【答案】75︒ 【解析】由()3acosC ccosA b -=，根据正弦定理得()3sinAcosC sinCcosA sinB -=，即()33sin A C -=， ()1sin ,?3026A C A C π-=-==︒，又因为180B 120A C +=︒-=︒，所以2150,A 75A =︒=︒，故答案75︒．15. 如图所示，,OA OB 为两个不共线向量，M 、N 分别为OA 、OB 的中点，点C 在直线MN 上，且(,)OC xOA yOB x y R =+∈则22x y +的最小值为________.【答案】18【解析】【分析】首先根据平面向量的基本定理得到12x y +=，利用基本不等式得到()21416+≤=x y xy ，再根据()2222x y x y xy +=+-求最小值即可.【详解】因为M 、N 分别为OA 、OB 的中点，所以22=+=+OC xOA yOB xON yOM .又因为M 、N 、C 三点共线，所以221x y +=，即12x y +=.因为0x >，0y >，所以()21416+≤=x y xy ，当且仅当14x y ==时取等号.所以()2221111224488+=+-=-≥-=x y x y xy xy . 故答案为：18【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，同时考查了平面向量的基本定理，属于中档题.16. 设cos2(sin cos )=++z i θθθ，若z 为实数，则θ=________；若z 为纯虚数，则θ=________. 【答案】 (1). 4-k ππ，k Z ∈ (2). 4k ππ+，k Z ∈【解析】【分析】根据复数分类的定义结合三角函数的性质，即可得出答案.【详解】若z 为实数，则sin cos 0θθ+=，即tan 1θ=-，解得,4k k Z πθπ=-+∈若z 为纯虚数，则cos 20sin cos 0θθθ=⎧⎨+≠⎩，即(cos sin )(cos sin )0sin cos 0θθθθθθ-+=⎧⎨+≠⎩即cos sin 0θθ-=，tan 1θ=，解得,4k k Z πθπ=+∈故答案为：4-k ππ，k Z ∈；4k ππ+，k Z ∈【点睛】本题主要考查了由复数的类型求参数的范围，涉及了三角函数的化简求值，属于中档题.四､解答题17. 已知函数()2()log log 2(0,1)a a f x x x a a =-->≠. （1）当2a =时，求(2)f ；（2）求解关于x 的不等式()0f x >；（3）若[2,4],()4x f x ∀∈≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2-；（2）当1a >时，()0f x >的解集为()210,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，当01a <<时；()210,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）(31,22⎫⎤⎪⎦⎪⎣⎭.【解析】【分析】（1）将2a =直接代入解析式计算即可.（2）将()2()log log 20a a f x x x =-->整理为()()log 2log 10a a x x -+>，解得log 1<-a x 或log 2a x >，再对a 讨论即可解不等式.（3）将问题转化为min ()4f x ≥，分别分1a >和01a <<讨论，求()f x 最小值，令其大于4，即可求解. 【详解】（1）当2a =时，()()222log log 2f x x x =--()21122f ∴=--=-（2）由()0f x >得：()()()2log log 2log 2log 10a a a a x x x x --=-+>log 1a x ∴<-或log 2a x >当1a >时，解不等式可得：10x a<<或2x a > 当01a <<时，解不等式可得：1x a>或20x a << 综上所述：当1a >时，()0f x >的解集为()210,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当01a <<时，()0f x >的解集为()210,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）由()4f x ≥得：()()()2log log 6log 3log 20a a a a x x x x --=-+≥log 2a x ∴≤-或log 3a x ≥①当1a >时，()max log log 4a a x =，()min log log 2a a x =2log 42log a a a -∴≤-=或3log 23log a a a ≥=，解得：1a <≤②当01a <<时，()max log log 2a a x =，()min log log 4a a x =2log 22log a a a -∴≤-=或3log 43log a a a ≥=，解得：12a ≤< 综上所述：a的取值范围为(3,11,22⎫⎤⎪⎦⎪⎣⎭【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性、考查函数的最值和恒成立问题、考查分类讨论的思想，属于中档题.18. 己知向量(),cos 2a m x =，()sin 2,b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-. （1）当63x ππ-≤≤时，求函数()y f x =的最大值和最小值及相应的x 的值；（2）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若()g x m =在[]0,2π有两个不同的解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）最大值为2，此时6x π=；最小值为－1，此时6x π=-. （22m ≤<【解析】【分析】（1）根据向量数量积坐标公式，列出函数()sin 2cos 2f x a b m x n x =⋅=+，再根据函数图像过定点，求解函数解析式，当63x ππ-≤≤时，解出26x π+的范围，根据三角函数性质，可求最值；（2）根据三角函数平移伸缩变换，写出()y g x =解析式，画出()y g x =在[]0,2π上的图象，根据图像即可求解参数取值范围.【详解】解：（1）由题意知()sin 2cos 2f x a b m x n x =⋅=+.根据()y f x =的图象过点12π⎛ ⎝和2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭，得到sin cos 66442sin cos33m n m n ππππ=+⎨⎪-=+⎪⎩，解得3m =，1n =.()3sin 2cos 22sin 26f x a b x x x π⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭当63x ππ-≤≤时，52666x πππ-≤+≤，12sin 226x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，()f x 最大值为2，此时6x π=，()f x 最小值为－1，此时6x π=-.（2）将函数()y f x =的图象向右平移一个单位得2sin 22sin 2463y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得()2sin 23x g x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 令23x t π=-，2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，如图当3sin 1t ≤<时，()g x m =在[]0,2π有两个不同的解∴32sin 223x π⎛⎫≤-<⎪⎝⎭，即32m ≤<.【点睛】本题考查（1）三角函数最值问题（2）三角函数的平移伸缩变换，考查计算能力，考查转化与化归思想，考查数形结合思想，属于中等题型. 19. 在①1a ，14，2a 成等差数列，②1a ，21a +，3a 成等比数列，③334S =，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，()*132,n n S a a n =+∈N ，10a ≠ ，且________.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记22n log n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）n (1)T n n =-.【解析】【分析】（1）由132n n S a a =+可得出数列{}n a 是等比数列，且得出公比，由选择的条件可求出首项为1，即可写出通项公式；（2）求出n b ，再由等差数列的前n 项和求出n T .【详解】（1）由已知132n n S a a =+，2n ≥时，11132n n S a a --=+.两式相减得到13-=-n n n a a a ，即112n n a a -=-，因为10a ≠，所以数列{}n a 是公比为12-的等比数列，从而1112n n a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 选①1a ，14，2a 成等差数列，由1a ，14，2a 成等差数列，可得12124a a +=⨯，即111122a a -=，解得11a =，所以112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.选②1a ，21a +，3a 成等比数列，1a ，21a +，3a 成等比数列，即1a ，1112a -+，114a 成等比数列，221111124a a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得11a =，所以112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.选③334S =， 334S =，即111113244a a a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，解得11a =，所以112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）2222222222211log log log log 22222n n n n n b a n ---⎛⎫⎛⎫=-=--=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()n 123022(1)2n n n T b b b b n n +-=+++⋅⋅⋅+==-.【点睛】本题考查等比数列的判断和通项公式的求法，考查等差数列的前n 项和的求法，属于基础题.20. 已知函数()2sin cos f x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，x ∈R . （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若α为锐角且7129f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，β满足()3cos 5αβ-=，求sin β. 【答案】（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）624±. 【解析】【分析】（1）利用正弦型函数的单调增区间求()f x 的单调递增区间即可；（2）由已知条件可知1cos 3α=，22sin 3α=，结合()3cos 5αβ-=即可求sin β；【详解】（Ⅰ）()2233sin cos sin cos 22f x x x x x =-+13sin 2cos 222x x =+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可知222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈为单调增区间，解得51212x k k ππππ-+≤≤，k Z ∈， ∴函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）得7sin 2cos 21229f ππααα⎛⎫⎛⎫+=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，227cos 22cos 112sin 9ααα=-=-=- 因α为锐角，所以1cos 3α=，22sin 3α=，又因为()3cos 5αβ-=，所以()4sin 5αβ-=±，由()()()624sin sin sin cos cos sin 15βααβααβααβ±=--=⋅--⋅-=⎡⎤⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，结合三角恒等变换、同角三角函数关系求正弦值；注意应用了复合函数的单调性求单调区间；21. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PB PD =．（1）证明:BD ⊥平面PAC ；（2）若PA 与底面ABCD 所成的角为30°，PA PC ⊥，求二面角B PC D --的余弦值．【答案】（1）见解析，（2）17- 【解析】【分析】（1）连接BD 交AC 于O ，连接PO ，则有AC BD ⊥，O 为BD 的中点，再由PB PD =可得BD PO ⊥，由线面垂直的判定定理可证得结论；（2）由（1）可知，平面PAC ⊥平面ABCD ，两平面的交线为AC ，所以过P 作PE 垂直AC 于E ，则PE ⊥平面ABCD ，从而可知平面30PAC ∠=︒，若设PC =2，由可把其它边求出来，然后以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角B PC D --的余弦值.【详解】（1）证明：连接BD 交AC 于O ，连接PO ，因四边形ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，O 为BD 的中点，因为PB PD =，所以BD PO ⊥，因为ACPO O =，所以BD ⊥平面PAC ；（2）解：因为BD ⊥平面PAC ，BD 在平面ABCD 内，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，过P 作PE 垂直AC 于E ，则PE ⊥平面ABCD ，所以PAC ∠为PA 与底面ABCD 所成的角，即30PAC ∠=︒，设PC =2，因为PA PC ⊥，所以23,3,3,4,22PA PE AE AC AD =====如图，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则3232(0,0,0),(22,0,0),(22,22,0),(0,22,0),(3)22A B C D P ,22(0,22,0),(,,3)(22,0,0)22BC CP DC ==--=，, 设平面PBC 法向量为(,,)n x y z =，则220223022n BC y n CP x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1z =，则(6,0,1)n =，设平面PDC 的法向量为(,,)m a b c =，则220223022n DC a n CP a b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1c =，则(0,6,1)m =，所以1cos ,777m n m n m n⋅===⨯，由图可知二面角B PC D --的平面角为钝角，所以二面角B PC D --的余弦值为17-【点睛】此题考查线面垂直的证明，考查二面欠余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识，考查运算能力，属于中档题. 22. 已知函数()(2)(2)x f x ax e e a =---. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1x >时，()0f x >，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析;（2）[1)+∞，. 【解析】试题分析：（1）先求导数，再讨论2ax a -+符号，根据符号确定对应单调性，（2）由于()10f =，所以1得右侧附近函数单调递增，再结合（1）可得0a >且21aa-≤，即得a 的取值范围.试题解析：解：（1）()()2xf x ax a e =-+'，当0a =时，()20xf x e '=-<，∴()f x 在R 上单调递减.当0a >时，令()0f x '<，得2a x a -<；令()0f x '>，得2ax a->. ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 当0a <时，令()0f x '<，得2a x a ->；令()0f x '>，得2ax a-<. ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）当0a =时，()f x 在()1,+∞上单调递减，∴()()10f x f <=，不合题意. 当0a <时，()()()()22222222220f a e e a a e e e e =---=--+<，不合题意.当1a ≥时，()()20xf x ax a e '=-+>，()f x 在()1,+∞上单调递增，∴()()10f x f >=，故1a ≥满足题意.当01a <<时，()f x 在21,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增， ∴()()min 210a f x f f a -⎛⎫=<=⎪⎝⎭，故01a <<不满足题意. 综上，a 的取值范围为[)1,+∞.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。

河北省“五个一”名校联盟2021届高三数学上学期第一次联考试题【含答案】

数学答案
1． C 因为 A x | 2x 1 x | x 0， B x | x2 5x 6 0 x | 6 x 1，所以
A B {x | 0 x 1) ．
2．B
2
i
1
1 i
2
i
1 i
1
1
3i
．
3．A 由题意知 0．1．1．0．1．4 0 4m 0 4n 2 5 ，可得 m n 5 ．
A．（0）,
B．（1）,
C．（- , 0）
D．（0，1）
8．蹴鞠（如图所示），又名“蹋鞠”“蹴球”“蹴圆”“筑球”“踢圆”等，“蹴”有用脚蹴、蹋、踢的含义，
“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球．因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006 年 5 月 20 日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产
则（）
A． a0 0
B． a3 20
C． a1 a5 0 D． | a0 +a2 a4 a6 a1 a3 a5 |
12．已知 f x是定义在 R 上的奇函数，且 f 1 x f 1 x，当 0 x 1时， f x x ，关于函数
g x f x f | x |，下列说法正确的是（）
f
x
sinx
的图象得到函数
g(x)
cos
3
2
x
的图象的过程中，下列表述正确的是（
）
A．先将 f x sinx 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 （纵坐标不变），再向左平移个单位长度
2
12
B．先将
f
x
sinx 的图象上各点的横坐标缩短到原来的
1

2021届河北省高三上学期11月联合考试数学试题

21届河北省高三年级11月份联合考试数学考生注意：1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数，导数，三角函数，向量，数列，不等式，立体几何．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{ln(2)0}A x x =-，{}22950B x x x =--<，则A B ⋂=（） A ．(2,5) B ．[2,5) C ．[3,5) D ．(3,5)2．在公比为q 的正项等比数列{}n a 中，已知1339,210a a a q =+=，则q =（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．函数1()1f x x =+的图象在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为（） A ．4 B ．4- C ．2 D ．2-4．设,x y ∈R ，则“1x 且1y ”是“221x y +≥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是正方形11CDD C 的中心，点Q 在线段1AA 上，且113AQ AA =，E 是BC 的中点，则异面直线,PQ DE 所成角的大小为（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°6．已知2sin 22sin 1,(0,)1tan 3αααπα+=-∈+，则cos sin αα-=（）A ．3-B ．3C ．3-D ．37．如图，战国商鞅铜方升是公元前344年商鞅督造的标准量器．秦始皇统中国后，仍以商鞅所规定的制度和标准统一全国的度量衡．经测量，该铜方升内口（长方体）深1寸，内口长是宽的1.8倍，内口的表面积（不含上底面）为33平方寸，则该铜方升内口的容积为（）A ．5.4立方寸B ．8立方寸C ．16立方寸D ．16.2立方寸8．已知ABC 所在的平面内一点P （点P 与点A ，B ，C 不重合），且523AP PO OB OC =++，则ACP 与BCP 的面积之比为（）A ．2:1B ．3:1C ．3:2D ．4:3二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知函数()cos()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，且直线12x π=是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（） A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．3182f π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．函数()f x 在区间,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．点7,024π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 10．下列函数有两个零点的是（） A ．()e 1xf x x =--B ．1()|1|12f x x x =+-- C ．32()331f x x x x =++-D ．()ln 2f x x x =-+11．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形12AB ABCD BC⎛⎫=⎪⎝⎭中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作弧BE ；然后在黄金矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作弧EG ；……；如此继续下去，这些弧就连接成了斐波那契螺线．记弧,,BE EG GI 的长度分别为l ，m ，n ，则下列结论正确的是（）A ．l m n =+B ．2m l n =⋅C ．2m l n =+D ．111m l n=+ 12．设0.34log 0.5,log 0.5a b ==，则下列结论正确的是（） A ．0ab <B ．0a b +>C ．2(1)ab a +<D ．22116a b +> 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知正数a ，b 满足1ab =，则49a b +的最小值为______．14．在ABC 中，90,3,2,C AC BC D ︒∠===为BC 的中点，E ，F 都在线段AB 上，且AE EFFB ==，则DE CF ⋅=_______．15．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点H 在棱1AA 上，且11HA =，P 是侧面11BCC B 内一动点，HP =CP 的最小值为_______．16．已知数列{}n a 满足{}1112,(1),n n n n a a a n a ++=+-=的前n 项和为n S ，则61S =______．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①224,6n n a a S +-==，②353516,42a a S S +=+=，③222n n S a n =+三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．问题：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，__________，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（12分）已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当91,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()(3)y f x x =++的最值． 19．（12分）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，124AA AB ==，M ，N ，P 分别是11,,AD DD CC 的中点．（1）证明：平面//MNC 平面1AD P ．（2）求直线DP 与平面MNC 所成角的正弦值． 20．（12分）如图，在三棱锥A BCD -中，122AB AD CD BC ====，E 为BC 的中点BD CD ⊥，且AE =．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABD ．（2）求平面ABC 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值． 21．（12分）已知函数()|3|f x x a x =++，[1,2]x ∈，1()421xx g x a +=+⋅+，[1,2]x ∈．（1）若3,()a f x -在[1,2]上的最大值与最小值之和为10，求a 的值；（2）若对任意的1[1,2]x ∈，总存在2[1,2]x ∈，能使()()120f x g x +，求实数a 的取值范围． 22．（12分）已知函数2()e xf x ax =-．（1）设函数()()g x f x '=，讨论()g x 的单调性；（2）当(1,)x ∈+∞时，()2ef x >恒成立，求a 的取值范围． 21届河北省高三年级11月份联合考试数学参考答案1．C 本题考查集合的运算，考查运算求解能力．因为1{3},52A x x B x x ⎧⎫==-<<⎨⎬⎩⎭，所以{35}A B x x ⋂=<． 2．A 本题考查等比数列的性质，考查运算求解能力．因为21329a a a ==，所以23a =．又3210a q +=，所以3210q q +=，解得2q =．3．B 本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．因为1()1f x x =+，所以211(),42f x f x ''⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．4．A 本题考查常用逻辑用语的知识，考查推理论证能力．因为1x 且1y 所以21x且21y 1，所以2221x y +≥>；若221x y +，可取0,1x y ==-，不满足1x 且1y ，所以前者是后者的充分不必要条件，选A ． 5．D 本题考查异面直线所成角的大小，考查空间想象能力．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，PQ 在底面ABCD 的射影为AM ，可证DE ⊥平面AMPQ ，而PQ ⊂平面AMPQ ，那么DE PQ ⊥，则异面直线,PQ DE 所成角的大小为90°．6．C 本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力．因为2sin 22sin 2sin cos (cos sin )2sin cos 1tan cos sin a αααααααααα++==++，所以12sin cos 3αα=-，且,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，又24(cos sin )12sin cos 3αααα-=-=，所以cos sin αα-=7．D 本题考查数学文化与空间几何体的表面积与体积，考查空间想象能力．设内口宽为a 寸，则长为1.8a 寸，由22( 1.8) 1.833a a a ++=，整理得29281650a a +-=，解得3a =（559a =-舍去），故所求的容积为3(1.83)116.2⨯⨯⨯=立方寸． 8．A 本题考查平面向量的线性表示，考查运算求解能力．由523AP PO OB OC =++化简得1132AP AB AC =+，故2E APC P CS S =．9．ACD 本题考查三角函数的性质，考查运算求解能力．因为()f x 图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，即()f x 的最小正周期为242ππ⨯=，所以4ω=，即()cos(4)f x x ϕ=+，A 正确；又直线12x π=是其中一条对称轴，所以,3k k πϕπ+=∈Z ，即,3k k πϕπ=-∈Z ，由||2πϕ<，得3πϕ=-，所以()cos 43f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而33cos 8232f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 错误：由242,3k x k k ππππ--∈Z ，解得单调递增区间为,,26212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，取0k =可知C 正确：由4,32x k k πππ-=-∈Z ，解得,424k x k ππ=-∈Z ，取1k =-可知D 正确．10．BD 本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想．对于选项A ，函数xy e =与1y x =+的图象相切于点(0,1)，因此()1xf x e x =--只有一个零点：对于选项B ，画出|1|y x =+和112y x =+的图象（图略）可知它们有两个交点；对于选项C ，22()3633(1)0f x x x x '=++=+≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，所以()f x 在(,)-∞+∞上最多只有一个零点；对于选项D ，因为1()xf x x'-=，易知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max ()(1)1f x f ==，所以()f x 有两个零点．故答案为BD ． 11．AB 本题考查弧长的计算，考查运算求解能力．不妨设1AB =，则2BC =，所以121)4l π=⨯⨯-=．因为3ED =1(32(342m ππ-=⨯⨯-=．同理可得14)24)42n ππ=⨯⨯=．所以2111,,2,l m n m l n m l n m l n=+=⋅≠+≠+，所以A ，B 正确，C ，D 错误． 12．ABD 本题考查指数、对数的运算及比较大小，考查推理论证能力．易知0,0a b ><，所以A 正确：因为0.50.50.511log 0.3log 4log 1.20a b +=+=<，即0a bab+<，又0ab <，所以0a b +>，B 正确；又0.5411log 0.31,log 0.52b a =>==-，所以111122b a a +=->，从而2(1)ab a +>，C 错误；又()()2260.50.522221110log 0.3log 44log log 263a b+=+>>=，可知D 正确，综上，A ，B ，D 正确，C 错误．13．12本题考查均值不等式的知识，考查运算求解能力．4924912a b a b +⋅==．14．149本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力．如图，建立直角坐标系xOy ，则2414(0,1),2,,1,,2,,(1,)3333D E F DE CF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以414299DE CF ⋅=-=．152本题考查立体几何的有关知识，考查空间想象能力．如图，作1HG BB ⊥交1BB 于点G ，则11B G =．因为HP =2GP =，所以点P 的轨迹是以G为圆心，2为半径的圆弧，所以CP 的最小值为22CG -=-．16．962本题考查数列的有关知识，考查逻辑推理能力．由题知，当n 为奇数时，1n n a a n ++=，于是1234561,3,5,a a a a a a +=+=+=，所以606030135599002S ⨯=++++==．又因为当n 为偶数时，1n n a a n +-=，且11n n a a n -+=-，所以两式相加可得1121n n a a n +-+=-，于是3123n n a a n +++=+两式相减得314n n a a +--=．所以61215462a =+⨯=，故6190062962S =+=．17解：选①由24n n a a +-=，可知数列{}n a 的公差为2， 2分又26S =，可得1126a a ++=，得12a =， 4分所以2n a n =，2n S n n =+． 6分可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++， 8分数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-++-=-++． 10分选②设数列{}n a 的公差为d ，则由353516,42a a S S +=+=，得112616,81342,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 2分解得12,2,a d =⎧⎨=⎩ 4分所以2n a n =，2n S n n =+， 6分可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++， 8分数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-++-=-++． 10分选③当1n =时，12a =， 2分当2n =时，2228S a =+，解得2d =， 4分所以22,n n a n S n n ==+， 6分可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++， 8分数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-++-=-++． 10分评分细则：（1）不管补充的条件是哪个，只要算出22,n n a n S n n ==+这一步都得6分；写出1111n S n n =-+累计得8分，直到算出最后的正确答案得10分．（2）其他解法根据评分标准依步骤给分． 18．解：（1）由图可知，3,34T A ==，所以26T ππω==， 2分所以()3sin 6f x x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭．因为332f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以32,622k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，则2,4k k πϕπ=+∈Z ． 4分因为0ϕπ<<，所以4πϕ=． 5分故()3sin 64f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭． 6分（2）函数()(3)3sin (3)6464y f x x x x ππππ⎛⎫⎡⎤=++=++++⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦73sin 6sin 6464612x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 9分因为91,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以72,61263x ππππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦． 10分所以当76122x πππ+=，即12x =-时，y 取最大值6；当76126x πππ+=-，即92x =-时，y 取最小值3-． 12分评分细则：（）第一问中，写出6πω=得2分，写出2,4k k πϕπ=+∈Z ，累计得4分，求出4πϕ=，累计得5分，正确写出函数的解析式累计得6分；（2）第二问中，写出76sin 612y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，累计得9分，写出72,61263x ππππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，累计得10分，最后正确求出结果得满分；（3）其他情况根据评分标准酌情给分．19．（1）证明：因为M ，N ，P 分别是11,,AD DD CC 的中点，所以11//,//MN AD CN PD ． 1分又1AD ⊄平面MNC ，MN ⊂平面MNC ，所以1//AD 平面 MNC ， 3分同理1//PD 平面MNC ， 4分又111AD PD D ⋂=，所以平面//MNC 平面1AD P ． 5分（2）解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，(0,2,2)P ，(1,0,0)M ，(0,0,2)N ，(0,2,0)C ，(0,2,2),(1,0,2),(1,2,0)DP MN MC ==-=-． 6分设平面 MNC 的法向量为(,,)n x y z =，则20,20,MN n x z MC n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 8分令1z =，得(2,1,1)n =． 9分设直线DP 与平面MNC 所成角为θ，则||3sin |cos ,|3||||DP n DP n DP n θ⋅===， 11分所以直线DP 与平面MNC 所成角的正弦值为3， 12分评分细则：（1）第一问中，也可以先建立空间直角坐标系，用向量方法证明，不管用哪种方法，证出得5分；（2）第二问中，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，得1分，计算出平面的法向量得3分，整个题解答完全正确得满分；（3）若用传统做法，作出直线与平面所成的角得1分，简单证明得2分，整个题解答完全正确得满分．20．（1）证明：取BD 的中点为O ，连接OA ，OE ，因为,4,2BD CD BC CD ⊥==，所以BD OB ==1分又2AB AD ==，所以BD AO ⊥，且1AO =． 2分在AOE 中，11,2EO CD AE === 所以222AO OE AE +=，即OE AO ⊥，从而CD AO ⊥， 3分又,CD BD BD AO O ⊥⋂=，所以CD ⊥平面ABD ． 4分因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面ABD ． 5分（2）解：由（1）知OB ，OE ，OA 两两垂直，如图，分别以OB ，OE ，OA 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则B ，(C ，(D ，(0,0,1)A ，(1)AC =--，(BC =-． 6分设(,,)m x y z =是平面ABC的法向量，可得20,20,y z y ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩令1x =，得(1,3,m =． 8分设()111,,n x y z =是平面ACD 的法向量，因为(0,2,0),(3,2,1)DC AC ==--，则111120,20,y y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩令11x =，得(1,0,n =．10分设平面ABC 与平面ACD 所成的锐二面角为θ，则1cos |cos ,|7m mθ=〈〉==ABC 与平面ACD ． 12分评分细则：（1）第一问中，也可以先建立空间直角坐标系，用向量方法证明，不管用哪种方法，证出得5分；（2）第二问中，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，得1分，计算出相关向量坐标，得1分，计算出平面的法向量各得2分，整个题完全正确得满分；（3）若用传统做法，作出二面角的平面角得1分，简单证明得2分，整个题解答完全正确得满分．21．解：（1）因为3a -，33x ，所以30x a +≥．从而()4f x x a =+． 2分由于()f x 在[1,2]上是增函数，所以(1)(2)10f f +=，即4810a a +++=，解得1a =-， 4分（2）由题知min max ()()0f x g x +． 5分易知()|3|f x x a x =++在,3a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 6分令2x t =，则当[1,2]x ∈时，[2,4]t ∈，且1242121x x y a t at +=+⋅+=++． 7分若记2()21h t t at =++，[2,4]t ∈，则max max ()()h t g x =，且知函数()h t 的开口向上，对称轴是t a =-． 8分①当3a -，即3a ≥-时，min ()(1)|3|14f x f a a ==++=+,max ()(2)178g x g a ==+,所以41789210a a a +++=+，解得73a -，又因为3a -，所以73a -； 9分②当6a -≥，即6a -时，min ()(2)|6|24f x f a a ==++=--，max ()(1)54g x g a ==+，所以454310a a a --++=+，解得13a -，又因为6a -，所以此时a 无解； 10分 ③当36a <-<，即63a -<<-时，min ()33a a f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，max ()(1)54g x g a ==+，所以11545033a a a -++=+≥，解得1511a -，又因为63a -<<-，所以此时a 无解． 11分综上所述，实数a 的取值范围是7,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 12分评分细则：（1）第一问中，会去掉绝对值得到()4f x x a =+给2分，全部正确的得4分；（2）第二问中，写到min max ()()0f x g x +这一步累计得5分，会判断()f x 的单调性，累计得6分，通过换元法写出；221y t at =++，累计得7分，第一次分类讨论正确写出73a -，累计得9分，第二次分类讨论判断a 无解，累计得10分，第三次分类讨论判断a 无解．累计得11分，正确写出a 的取值范围得满分；（3）其他情况根据评分标准依步骤给分．22．解：（1）由已知得2()()2g x f x e ax '==-，所以2()2g x e a '=-． 1分①当0a 时，()0g x '>，()g x 在R 上单调递增． 2分②当0a >时，令()0g x '>，则ln2x a >；令()0g x '<，则ln2x a <．所以()g x 在(,ln 2)a -∞上单调递减，在(ln 2,)a +∞上单调递增．综上所述，当0a 时，()g x 在R 上单调递增；当0a >时，()g x 在(,ln 2)a -∞上单调递减，在(ln 2,)a +∞上单调递增． 4分（2）()22,(1,)2x xe f x e ax x a x x '⎛⎫=-=-∈+∞ ⎪⎝⎭．令()0f x '=，得2xe a x =． 5分设()2x e h x x =，则2(1)()2x x e h x x '-=． 6分当1x >时，()0h x '>，()h x 在(1,)+∞上单调递增，所以()h x 的值域是,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 7分当2e a 时，()0f x '=没有实根，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)2e f x f e a>=-，符合题意． 9分当2e a >时，(1)2e h a =<，所以()h x a =有唯一实根()001x x >，即()0f x '=有唯一实根0x ， 10分当()01,x x ∈时，()0,()f x f x '<在()01,x 上单调递减，所以()(1)2e f x f e a <=-<，不符合题意． 11分综上所述，2e a，即a 的取值范围是,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 12分评分细则：（1）第一问中，求出()2xg x e a '=-得1分，正确讨论0a 的情形得1分，正确讨论0a >的情形累计得4分：（2）第二问中，只要得到2(1)()2x x e h x x '-=，得2分，求出()h x 的值域是,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，得1分，讨论2e a 的情形．累计得9分，讨论2e a >的情形，累计得11分．正确解完本题得满分；（3）采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分．。

河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试(II卷)数学(文)试题含答案

绝密★启用前河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试文科数学本试卷4页．总分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,3,5,7},{2,3,4,5}A B ==，则()UA B ⋂=（）A ．{3,5}B ．{2,4}C ．{3,7}D ．{2,5} 2，已知复数21(2)z i =-，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的日标至少需要的天数为（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．94．已知向量(1,2),||2,||13a b a b ==-=，则a 与b 的夹角为（） A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π5．甲、乙、丙、丁4人在某次考核中的成绩只有一个人是优秀，他们的对话如下，甲：我不优秀；乙：我认为丁优秀；丙：乙平时成绩较好，乙背定优秀；丁：乙的说法是错误的若四人的说法中只有一个是真的，则考核成绩优秀者为（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C 两焦点间的距离为2，且C 上的点到两焦点的距离之积为1，则C 上的点到其对称中心距离的最大值为（）A ．1BCD ．27．MOD 函数是一个求余函数，格式为MOD(,)M N ，其结果为两个数M ，N 作除法运算MN后的余数，例：MOD(36,10)6=，如图，该程序框图给出了一个求余的实例．若输入的6,1n v ==，则输出的u 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若过点2F 作渐近线的垂线，垂足为P ，且12F PF 的面积为2b ，则该双曲线的离心率为（）A ．1+B ．1+C D9．已知函数()sin()(0,||)g x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，函数()sin 2f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（）A ．1()22g x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．1()22x g x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．1()22x g x f ⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．()(21)g x f x =- 10．中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t 期中药材资源的再生量()1t t t x f x rx N⎛⎫=-⎪⎝⎭，其中t x 为t 期中药材资源的存量，r ，N 为正常数，而t 期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t 期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（） A ．2r B ．3r C ．4r D ．5r 11．已知圆22:1C x y +=，直线:2l x =，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,2)C ．(2,1)D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭12．已知函数)()ln3sin 2f x x x x =+-+，则不等式2(1)41f f x ⎛⎫+-< ⎪+⎝⎭的解集是（） A ．{|11}x x x <->或 B ．{|1}x x > B ．{|1}x x <- D ．{|11}x x -<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角α的终边上有一点(2,3)P ，则cos2α的值为___________．14．若x ，y 满足约束条件1,36,24,x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩则4z x y =+的最小值为__________．15．已知直线:l y x b =+为曲线()xf x e =的切线，若直线l 与曲线217()22g x x mx =-+-也相切，则实数m 的值为__________．16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若sin sin B C =c =，则ABC 外接圆半径的最小值为______________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知在公比为2的等比数列{}n a 中，234,,4a a a -成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()2125log 1,,,?,n n n a n b a n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n b 的前2n 项和2n S ． 18．（12分）某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查．得到的数据如下：从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是13．（1）求22⨯列联表中p ，q ，x ，y 的值；（2）是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？（3）若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，2PA AB ==，PB =，60ABC ∠=︒，且平面PAC ⊥平面ABCD ．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）若M 是PC 上一点，且BM PC ⊥，求三棱锥M BCD -的体积． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，M 是椭圆E 上一点，M 关于x 轴的对称点为N ，且14MA NB k k ⋅=．（1）求椭圆E 的离心率；（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，斜率为1的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，在y 轴上存在点R ，使得以线段PQ 为直径的圆经过点R ，且()0RQ RP PQ +⋅=，求直线l 的方程． 21．（12分）已知函数()(0)xa xf x a xe-=>．（1）求函数()y f x =的单调区间；（2）在区间,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上，()f x 是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为2,x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数）以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求圆C 的普通方程及极坐标方程；（2）过点A 的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，当MCN 面积最大时，求直线l 的直角坐标方程． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）设函数()1|21|f x x x =---．（1）求不等式()1f x -的解集；（2）若不等式()1f x ax <-恒成立，求实数a 的取值范围．河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试·文科数学一、选择题1．B 【解析】由题意得{2,4,6,8}UA =，所以(){2,4}U AB ⋂=．2．D 【解析】复数21134(2)342525z i i i ===+--，则342525z i =-，所以在复平面内z 对应的点位于第四象限．3．C 【解析】设第n 天募捐到n a 元，则数列{}n a 是以1000为首项，500为公差的等差数列，所以其前n 项和250(3)n S n n =+．因为7817500,22000S S ==，所以至少需要8天可完成募捐目标．4．D 【解析】因为||13a b -=，所以2()13a b -=，即22213a a b b -⋅+=．设a 与b 的夹角为θ，则32cos 413θ-⨯+=，解得cos 2θ=-，所以a 与b 的夹角为56π． 5．A 【解析】假设甲优秀，则甲、乙、丙说法错误，丁说法正确，满足题设要求；假设乙优秀，则乙说法错误，甲、丙、丁说法正确，不满足题设要求；假设丙优秀，则乙、丙说法错误，甲、丁说法正确，不满足题设要求；假设丁优秀，则丙、丁说法错误，甲、乙说法正确，不满足题设要求综上，优秀者为甲． 6．B 【解析】设左、右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 的中点为坐标原点，12,F F 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则12(1,0),(1,0)F F -．设曲线上任意一点(,)P x y ，1=，化简得该卡西尼卵形线的方程为()()222222x yx y +=-，显然其对称中心为(0,0)．由()()222222xy x y +=-得()()222222240x y x y y +-+=-，所以()()222222x y x y ++，所以2202x y +2．当且仅当0,y x ==时等号成立，所以该卡西尼卵形线上的点．7．A 【解析】当1i =时，1v =；当2i =时，2v =；当3i =时，4v =…当7i =时，64v =，所以MOD(64,7)1u ==．8．D 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，在2OPF 中，122222,,||,2F PF OPF PF b OF c OP a SS ab b ======，所以a b =，离心率c e a === 9．C 【解析】由题图可得()sin2g x x π=，所以由()sin 2f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象得()g x 的图象，只需将()f x 图象上的所有点向左平移12个单位长度得到12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得1()sin 222x g x f x π⎛⎫=+=⎪⎝⎭．10．A 【解析】由题意得()22124t t t t t t x rx r N rN f x rx rx x N N N ⎛⎫⎛⎫=-=-+=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当2t N x =时，()t f x 有最大值4rN，所以当利用量与最大再生量相同时，采挖强度为422rNr N =． 11．A 【解析】因为P 为直线l 上的动点，所以可设(2,)P t ，由题意可得圆心C 的坐标为(0,0)，以线段PC 为直径的圆N 的方程为2220x y x ty +--=．两圆方程作差，即得两圆公共弦AB 的方程为210x ty +-=，所以直线AB 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭．12．D【解析】构造函数)()()2ln 3sin g x f x x x x =-=-+-．因为()()0g x g x -+=，所以()gx 是奇函数，因为)ln3lnx -=，(sin )cos 10x x x '-=-，所以()g x 在区间(0,)+∞上是减函数．因为()g x 是奇函数且(0)0g =，所以()g x 在R 上是减函数．不等式2(1)41f f x ⎛⎫+-< ⎪+⎝⎭等价于22(1)201f f x ⎛⎫-+--< ⎪+⎝⎭，即2(1)(1)1g g g x ⎛⎫<--= ⎪+⎝⎭，所以211x >+，解得11x -<<．二、填空题13．513- 【解析】由题意得sin α==，则225cos212sin 121313αα⎛=-=-⨯=- ⎝⎭． 14．325【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，所以当目标函数过直线36,24x y x y +=-=-的交点224,55⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取最小值，所以min 224324555z =⨯+=．15．4或2- 【解析】设直线:l y x b =+与曲线()xf x e =相切于点()00,xx e ，由()001xf x e '==，得00x =，所以切点坐标为(0,1)，所以直线l 的方程为1y x =+．又由直线l 与曲线()g x 相切，得217122x mx x -+-=+，化简得222(1)90,4(1)360x m x m --+=∆=--=，解得4m =或2m =-．16．1 【解析】由sinsin B C =，得sin cos 2sin sin cos B B C C C B +=-，即sin 2sin A B C =，所以由正弦定理得2a c=．所以22262cos 2a b c C ab +--==，所以62sin C +，设ABC 外接圆半径为R ，因此22(31)sin cR C=-，所以31R -1．三、解答题17．解：（1）因为数列{}n a 的公比q 为2，所以2131412,4,484a a a a a a ==-=-．因为234,,4a a a -成等差数列，所以1118284a a a =+-，解得12a =，所以2nn a =．（6分）（2）由（1）可得51,?,.?n nn n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数（8分）所以奇数项是以6为首项，10为公差的等差数列，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，所以()()21321242n n n S b b b b b b -=+++++++()(616104)242n n =+++-++++()212(6104)212nn n -+-=+- 21522n n n +=++-12252n n n +=++-．（12分）18．解：（1）由题意得1163p p =+，解得8p =，所以40832q =-=，（2分）所以16824,443276x y =+==+=．（4分）（2）由列联表中的数据可得2K 的观测值2100(1632844)0.585 2.70660402476k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯．（5分）所以没有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关．（7分）（3）由（1）得“健康达人”共有24人，其中男性16人，女性8人，所以抽样比61244k ==．（7分）因此按性别分层抽样抽取的6人中有男性11644⨯=人，记为1234,,,A A A A ，女性1824⨯=人，记为12,B B ，（9分）从这6人中抽取2人的所有方式为()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()24,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()34,A A ，()31,A B ，()32,A B ，()41,A B ，()42,A B ，()12,B B ，共15种情况，其中符合题目要求的是6种情况，所以抽取的全是男性的概率为62155P ==．（12分）19．（1）证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥．因为平面PAC ⊥平面ABCD ，平面PAC ⋂平面,ABCD AC BD =⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAC ．（2分）因为PA ⊂平面PAC ，所以PA BD ⊥．（3分）又因为2,PA AB PB === 所以222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥．（5分）又因为,AB BD ⊂平面,ABCD AB BD B ⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ．（6分）（2）解：由（1）得PA ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥，（8分）所以PC ==，所以PBC 为等腰三角形．在PBC 中，由余弦定理得2223cos 24PB PC BC BPC PB PC +-∠==⋅．因为BM PC ⊥，所以34PM PB =，所以34PM PC =．易得14CM PC =，（10分）又1sin1202BCDSBC CD =⋅︒=，所以111112443436BCDM BCD P BCDV V S PA--==⨯⨯=⨯=三棱锥三棱锥．（12分）20．解：（1）由椭圆E的方程可得(,0),(,0)A aB a-．设()00,M x y，则()00,N x y-，所以200022000.MA NBy y yk kx a x a x a-⋅=⋅=-+--．又点()00,M x y在椭圆E上，所以2200221x ya b+=，所以22220002221y x a xb a a-=-=，所以2222214MA NBy bk kx a a⋅=-==-，所以椭圆E的离心率e====．（4分）（2）由题意知椭圆E的一个焦点为，所以椭圆E的标准方程为2214xy+=．（5分）设直线l的方程为()()1122,(0,),,,,y x m R t P x y Q x y=+，线段PQ的中点为(),S SS x y，联立221,4,xyy x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y，得2258440x mx m++-=，则()()2226420441650m m m∆=--=->，解得25m<，所以21212844,55m mx x x x-+=-=，（7分）所以124,255S S Sx x m mx y x m+==-=+=，所以4,55m mS⎛⎫- ⎪⎝⎭．（8分）由()0RQ RP PQ +⋅=，得RS PQ ⊥，（9分）所以511405m t m -⨯=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得35mt =-．（10分）又因为以线段PQ 为直径的圆过点R ，所以PR QR ⊥，所以12121y t y tx x --⋅=-．又1122,y x m y x m =+=+，代入上式整理得()212122()()0x x m t x x m t +-++-=，即()222244880555m m m -⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1m =±．所以直线l 的方程为1y x =±．（12分）21．解：（1）由题意得函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞，（1分）则22()xx ax af x x e --'=．（3分）令()0f x '=，得12x x ==．因为0a >，所以120,0x x <>．当x 在定义域上变化时，()f x '的变化情况如下表：所以函数()y f x =的单调递增区间为,,22a a ⎛⎛⎫-+-∞+∞⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为,0,22a a ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（6分）（2）令()0xa xf x xe -==，得x a =，则a 是函数()f x 的唯一零点．（7分）因为20a x a -=-=<，所以20a x <<，所以202aa x <<<．当0x a <<时，()0f x >；当x a >时，()0f x <．（9分）由（1）可知函数()f x 在区间2,2ax ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增，（10分）所以()f x 在区间,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最大值为22a a f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小值为()2222x a x f x x e -=，其中2x = （12分）22．解：（1）圆C 的直角坐标方程为22(2)8x y -+=，（2分）极坐标方程为24cos 4ρρθ-=．（4分）（2）4A π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(4,4)A ．（5分） 111||||sin ||||84222MCNSCM CN MCN CM CN =∠=⨯=，当90MCN ∠=︒时，面积最大，此时，圆心C 到直线l 的距离22d =⨯=．（6分）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为4x =，满足题意；（7分）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k -+-=，圆心C 到直线l的距离2d ==，解得34k =，即3440x y -+=．（9分）综上，直线l 的方程为4x =或3440x y -+=．（10分）23．解：（1）由题意得1,,2()132,,2x x f x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩ （2分）当12x时，令1x --，解得112x ；当12x <时，令321x --，解得1132x <．（4分）综上所述，()1f x -的解集为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（5分）（2）由（1）得1,,2()132,,2x x f x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩当12x，-1x ax -<-，即(1)10a x +->，（6分）此时，应有10,1(1)10,2a a +>⎧⎪⎨+->⎪⎩解得1a >；（7分）当12x <时，321x ax -<-，即(3)10a x -+>，（8分）此时，应有30,1(3)10,2a a -⎧⎪⎨-+⎪⎩解得13a ．（9分）综上所述，实数a 的取值范围是(1,3]．（10分）。

2021届河北省高三上学期11月考英语试题(解析版)

21届河北省高三年级11月份联合考试英语注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题1. 5分，满分7. 5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B, C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例：How much is the shirt?A.￡19. 15.B.￡9. 18.C.￡9. 15. 答案是C.1. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】What does the woman plan to do first?A. Find a better job.B. Go travelling.C. Get more information.【答案】B【解析】【原文】M: Jenny, there's a post for an assistant manager in our company. You should give it a try.W: Thank you. George. But I've decided to travel a bit before finding another job.2. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】How will the woman go back home?A. By taxi.B. By bike.C. By bus.【答案】C【解析】【原文】W: I'll be back this evening. John can't take me to the bus station in his car, so I'll walk down and get a later one than usual.M. OK. I'll wait for you.3. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】Where does the conversation probably take place?A. At a clothing store.B. At a cleaner's.C. At a restaurant.【答案】B【解析】【原文】M: Good morning, madam. Can I help you?W: Yes. I have some wool pants that need to be cleaned. I spilled wine on them at a restaurant. I really hope they are not ruined.4. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】When will the woman go back to Nanjing?A. This noon.B. This evening.C. This afternoon.【答案】C【解析】【原文】W: Hi, Mike. Listen. I'm coming back to Nanjing this afternoon, and I'll take a bus from the railway station. So, you don't need to come and pick me up.M: OK. Take care, and see you soon.5. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】What does the woman think of the kitchen?A. Modern.B. Convenient.C. Small.【答案】A【解析】【原文】M: Would it be convenient to see the apartment now?W: Yes. Come this way, please. This is the kitchen. It is completely modern.第二节（共15小题；每小题1. 5分，满分22. 5分）听下面5段对话或独白。

河北省张家口市2021届高三数学11月阶段检测试题文(含解析).doc

河北省张家口市2021届高三数学11月阶段检测试题文（含解析）考试说明：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 2.考试时因为120分钟，满分150分.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|9A x N x =∈≤，{1,2,4,8}B =，用图中阴影部分所表示的集合为（）A. {3,2,1,3,4,8}---B. {3,2,1,0,3,4,8}---C. {3,4,8}D. {0,3,4,8}【答案】D 【解析】【分析】化简集合A ，阴影部分表示()A BC A B ，根据补集的定义，即可得结果.【详解】{}2|9{0,1,2,3}A x N x =∈≤=，{1,2,4,8}B =，{}0,1,2,3,4,,{1,28}A B A B ∴==，图中阴影部分所表示的集合(){0,3,4,8}A BC A B =.故选:D【点睛】本题考查集合的韦恩图，以及集合间的运算，属于基础题. 2.已知向量()1,,a x =()2,4b =-，()//a a b -，则x =（） A. 2- B. 1-C. 3D. 1【答案】A 【解析】【分析】先求出a b -的坐标，再根据向量平行的坐标表示，列出方程，求出x .【详解】(3,4)a b x -=- 由()//a a b -得，1(4)30x x ⨯--=解得2x =-，故选A ．【点睛】本题主要考查向量的加减法运算以及向量平行的坐标表示． 3.设数列{}n a 满足()*1535n n a a n ++=∈N 且21a =，则17a =（） A. 10 B. 11C. 12D. 13【答案】A 【解析】【分析】由已知可得{}n a 是等差数列，求出通项，即可得出结果.【详解】115333,555n n n n n a a a a a +++==+=-， ∴数列{}n a 是公差为35的等差数列，21a =，173131,17105555n a n a ∴=-∴=⨯-=.故选:A【点睛】本题考查等差数列的定义，通项公式，属于基础题.4.已知242,1()log ,1a x ax x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩，对任意12,(,)x x ∈-∞+∞，12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，那么实数a 的取值范围是（）A. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】由条件可得()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，()f x 在区间(,1),(1,)-∞+∞都是减函数，且左段的最低点不低于右段的最高点,得到关于a 的不等式组，即可求出a 的取值范围.【详解】任意12,(,)x x ∈-∞+∞，12x x ≠，不妨设12x x <，()()()()12121212()0f x f x f x f x x x x x --=⨯->-，()f x ∴在(,)-∞+∞上单调递减，2101340a a a ≥⎧⎪∴<<⎨⎪-≥⎩解得，1324a ≤≤，a ∴的取值范围是13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选:D【点睛】本题考查分段函数的单调性，涉及到二次函数的单调性和对数函数的单调性，要注意分段函数各段有相同的单调性合并后也具有相同单调性的限制条件，是解这类题容易忽略的点，属于中档题. 5.已知sin 6πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，那么cos 22αα+=（） A.109B. 109-C. 59-D.59【答案】A 【解析】【分析】由两角和的余弦公式，化简得cos 222cos 26πααα⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再由二倍角的余弦公式，代入即可求解，得到答案．【详解】由题意，可得cos 222cos 22cos 236ππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦221024sin 24(639πα⎛⎫=--=-⨯= ⎪⎝⎭．故选A.【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦、余弦公式的化简求值问题，其中解答中熟记两角和与差的公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 6.等比数列{}n a 的各项均为正数，且54a =，则212922log log log a a a ++⋯+=（） A. 4 B. 8 C. 9 D. 18【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列的性质，把所求的式子转化为用5a 表示，即可得出答案. 【详解】由等比数列{}n a 的各项均为正数，所以2192837465a a a a a a a a a ====，9182********log log log log log 218a a a a ∴++⋯+===.故选:D【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题. 7.函数f (x )＝2|x |－x 2的图象大致为()A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】当0x >时，分析函数2()2x f x x =-在靠近0x =区域内的增减性，即可区分出选项. 【详解】由题意知，当x ＞0时，f ′(x )＝2x ln2－2x ，当x →0时，2x →1，2x →0，f ′(x )＞0，说明函数f (x )的图象在y 轴右侧开始时是递增的，故排除选项A ，B ，D ，选C.. 【点睛】本题主要考查了函数图象的增减性，利用函数导数研究图象，属于中档题. 8.若22log log 1x y +=，则2x y +的最小值为（） A. 1B. 2C. 22D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据对数运算可求得2xy =且0x >，0y >，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】由222log log log 1x y xy +==得：2xy =且0x >，0y >24x y ∴+≥=（当且仅当2x y =时取等号）本题正确选项：D【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够利用对数运算得到积的定值，属于基础题.9.已知奇函数()f x 是定义在R 上的减函数，且31log 10a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 9.1b f =，()0.82c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D.c a b >>【答案】D 【解析】【分析】有条件可得()3lo 10g a f =，先比较自变量的大小，再由()f x 是定义在R 上的减函数，即可比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】由()f x 是奇函数可得33311log (log )(log 11100)0a f f f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，而 320.82log 103log 912.<<<<，由函数()f x 是定义在R 上的减函数，所以()0.8322(log 10)(log9.1)f f f >>，即c a b >>. 故选:D【点睛】本题考查用函数的性质比较数的大小，属于基础题.10.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”111ABC A B C -，AC BC ⊥，若122A A B A ==，当“阳马”11B A ACC -体积最大时，则“堑堵”111ABC A B C -的表面积为（）A. 682+B. 882+C. 1282+D.1262+【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件可得11BC A ACC ⊥平面，1113A B ACC BC A BC V S ∆-=⨯，由22AB =理结合基本不等式求出面积最大时,AC BC 的值，即可求出表面积. 【详解】11,CC ABC CC BC ∴⊥⊥平面，AC BC ⊥，11,ACCC C AC CC =⊂、平面11A ACC ，11BC A ACC ∴⊥平面， 111111122333A ACCB A ACC BC S BC CC AC BC V AC -=⨯=⨯⨯=⨯矩形 222,82AC BC AB AC BC AC BC ⊥∴==+≥⨯，4AC BC ∴⨯≤，1123B A ACC V -∴≤ 当且仅当2AC BC ==时等号成立，此时111ABC A B C -的表面积为1222(2222)2212822⨯⨯⨯+++⨯=+故选:C【点睛】本题考查多面体的体积、表面积，考查线面垂直和基本不等式，属于中档题. 11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数；②最小正周期为2π；③()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；④()f x 的值域为[2,2]-.其中所有正确结论的编号是（） A. ①④ B. ①③ C. ①②③ D. ②④【答案】B 【解析】【分析】根据偶函数的定义可判断①正确，作出图像判断②④错误，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭化简()f x 可判断③正确.【详解】()sin |||sin()|sin |||sin |()f x x x x x f x -=-+-=+=，故①正确；作出函数的图像如下图所示，②④不正确；,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2sin f x x =为单调递减，故③正确.故选:B【点睛】本题考查函数的性质，涉及奇偶性、周期性、单调性、值域，考查数形结合思想，是中档题.12.已知函数()xf x e =，()g x x =()()f m g n =，则m n -的最大值是（）A. 1ln22- B. 11ln24- C.11ln 222+ D. 1e -【答案】A 【解析】【分析】令()(),,f m g n t m n ==用t 表示，转化为求关于t 的函数最大值，用求导方法，即可得出结果.【详解】令2()(),,ln m f m g n t e t m t t n t ===∴==∴=，则2ln m n t t -=-，令2()ln ,0h t t t t =->，2112()2t h t t t t -'=-=，令()0,h t t t '===或（舍去），(0,()0,(),()022t h t t h t ''∈>∈+∞<，当2t =时，()h t 取得极大值，亦为最大值，所以()h t 最大值为1ln22-，m n -最大值为1ln22-. 故选:A【点睛】本题考查用导数的方法求函数的最值，关键在于把所求的量转化为函数关系，属于中档题.第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每题5分，共计20分.请把正确答案填写在答题纸相应的位置上.13.已知()()24C 13AB A ==，，，，则AB BC ⋅=________．【答案】6- 【解析】【分析】利用向量内积的坐标运算以及向量模的坐标表示，准确运算，即可求解．【详解】由题意，向量()()24C 13AB A ==，，，，则214314AB AC ⋅=⨯+⨯=，2222420AB =+=，所以()214206AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=-．故答案为6-【点睛】本题主要考查了向量内积的坐标运算，以及向量模的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14.已知x 、y 满足约束条件10101x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-的最小值为________.【答案】－3 【解析】【分析】作出可行域，目标函数过A 点时，取得最小值. 【详解】作出可行域如图表示：目标函数2z x y =-，化为2y x z =-，当2y x z =-过点A 时，z -取得最大值，则z 取得最小值，由11y x y =+⎧⎨=-⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩，即(2,1)A --，2z x y ∴=-的最小值为3-.故答案为:3-【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，以及线性目标函数的最值，属于基础题. 15.大学生甲某利用业余时间在网上开了一家文具店，为积累客户，甲某决定开展一次促销活动：每个订单总价达到100元，客户就少付x 元.已知根据网站协议，每笔订单客户网上支付成功后，店家会得到支付款的80%.现为保证甲某每笔订单得到的支付款金额不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________. 【答案】12.5 【解析】【分析】求出每笔订单得到的支付款金额，即可列出不等式.【详解】依题意，甲某每笔订单得到的支付款金额为(100)0.8x -⨯，(100)0.81000.7,0.810x x -⨯≤⨯≤，解得012.5x <≤.所以x最大值为12.5. 故答案为:12.5【点睛】本题考查利用一元一次不等式解决实际问题，读懂题目意思，找到问题中的不等量关系是解题的关键，属于基础题.16.在四面体ABCD 中，ABD ∆与BDC ∆都是边长为2的等边三角形，且平面ABD ⊥平面BDC ，则该四面体外接球的体积为_______．【解析】【分析】先确定球心的位置，结合勾股定理可求球的半径，进而可得球的面积.【详解】取BDC ∆的外心为1O ，设O 为球心，连接1OO ，则1OO ⊥平面BDC ，取BD 的中点M ，连接AM ，1O M ，过O 做OG AM ⊥于点G ，易知四边形1OO MG 为矩形，连接OA ，OC ，设OA R =，1OO MG h ==.连接MC ，则1O ，M ，C 三点共线，易知3MA MC ==，所以13OG MO ==，123CO =.在Rt AGO ∆和1Rt OO C ∆中，222GA GO OA +=，22211O C O O OC +=，即()22233h R ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，22223h R ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以33h =，253R =，得153R =.所以342015==327O V R ππ球.【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，外接球的半径的求解一般有两个思路：一是确定球心位置，利用勾股定理求解半径；二是利用熟悉的模型求解半径,比如长方体外接球半径是其对角线的一半.三、解答题：本题共6小题，其中17题10分，其他每题12分，共计70分.17.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，2n S n n λ=+，且1a ，41a -，81a +构成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}n b 的的n 项和n T . 【答案】（1）23n a n =+；（2）()32413n nT -=.【解析】【分析】（1）根据n S 与n a 的关系，求出148,,a a a ，由已知条件求出λ，进而求出公差，即可求出数列{}n a 的通项公式；（4）求出{}n b 的通项公式，证其为等比数列，按等比数列的前n 项和公式，即可求出结论.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，111a S λ==+，4437a S S λ=-=+，88715a S S λ=-=+则2(6)(1)(16)λλλ+=++，得4λ=，所以15a =，41153a d ==+，得公差2d =.所以23n a n =+.（2）23284n nn b +==⨯，所以14n n b b +=，且132b =，所以数列{}n b 是以32为首项，以4为公比的等比数列，所以()()32143241143n n n T --==-.【点睛】本题考查数列的前n 项和与通项的关系，考查等差数列通项、等比数列的性质、等比数列的前n 项和，考查计算能力，属于中档题.18.已知函数2()sin cos f x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，x ∈R . （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若角A 为ABC 的一个内角，且1()2f A =-，求角A 的大小. 【答案】（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）512A π=或34π. 【解析】【分析】（1）化简()f x ，根据周期公式求出最小正周期，结合sin y x =的单调递增区间，即可求出()f x 的单调递增区间；（2）1()2f A =-结合角A 的范围，可求出角A . 【详解】（1）由题意得22()sin cos f x x x x x =+1sin 22sin 2223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.可得：函数()f x 的最小正周期22||2T πππω=== 由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，所以函数()f x 的单调递增区间5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）1sin 232A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，(0,)A π∈ 72,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以7236A ππ+=或116π 解得512A π=或34π. 【点睛】本题考查三角函数化简，涉及到二倍角公式、辅助角公式，考查三角函数的性质，以及特殊角的三角函数值，属于中档题.19.在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .【答案】（1；（2）5. 【解析】【分析】（1）根据正弦定理可以得到sin sin BD AB A ADB =∠∠，根据题设条件，求得sin 5ADB ∠=，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得cos ADB ∠==（2）根据题设条件以及第一问结论可以求得cos sin BDC ADB ∠=∠=，之后在BCD ∆中，用余弦定理得到BC 所满足的关系，从而求得结果.【详解】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =∠∠. 由题设知，52sin45sin ADB =∠，所以2sin ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<，所以223cos 1255ADB ∠=-=；（2）由题设及（1）知，2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD ∆中，由余弦定理得22222cos 2582522255BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯= 所以5BC =. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.20.如图，已知ABC 是正三角形，EA ，CD 都垂直于平面ABC ，且2EA AB ==，二面角D AB C --的平面角大小为30︒，F 是BE 的中点，求证：（1）FD ∥平面ABC ；（2）AF ⊥平面EDB ；（3）求几何体ED BAC -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（33【解析】【分析】（1）取BA 的中点M ，连结CM ，通过证明四边形FMCD 是平行四边形，证得FD MC ∥，从而证得结论；（2）先证CM ⊥面EAB ，CM FD ∥，得到FD AF ⊥，再由已知可得AF EB ⊥，即可得出结论；（3）几何体ED BAC -为四棱锥B ACDE -，取AC 中点N ，连接BN ，可证BN ⊥平面ACDE ，即可求出体积.【详解】（1）CD ⊥平面ABC ，CD AB ∴⊥，取BA 的中点M ，连结CM ，DM ，CM AB ⊥，AB ⊥平面,CDM DM AB ∴⊥，DMC ∠为二面角D AB C --的平面角，所以30DMC ︒∠=，∵2AB =，3MC ∴=，则1CD =.∵F ，M 分别是BE ，AB 的中点，∴FM EA ∥，112FM EA == ∵EA 、CD 都垂直于平面ABC ，∴CD EA ∥，∴CD FM ∥，又CD FM =∴四边形FMCD 是平行四边形，∴FD MC ∥，FD ⊄平面ABC ，MC ⊂平面ABC ，∴FD ∥平面ABC .（2）因M 是AB 的中点，ABC 是正三角形，所以CM AB ⊥又EA 垂直于平面ABC ∴CM AE ⊥，又AE AB A =，所以CM ⊥面EAB ，∵AF ⊂面EAB∴CM AF ⊥，又CM FD ∥，从而FD AF ⊥，因F 是BE 的中点，EA AB =所以AF EB ⊥.EB ，FD 是平面EDB 内两条相交直线，所以AF ⊥平面EDB .（3）几何体ED BAC -的体积等于B ACDE V -N 为AC 中点，连接BNNB AC ⊥，BN AE BN ⊥⇒⊥平面ACDE 11(12)233332B ACDE ACDE V S BN -+⨯=⨯=⨯⨯=，所以几何体ED BAC -的体积为3.【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，以及多面体的体积，关键要对空间中有关平行、垂直判断定理要熟练掌握，属于中档题.21.如图1，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AB AE BE CD ====，4BC ED ==，O 为BE 中点，F 为BC 中点.将ABE △沿BE 折起到A BE '的位置，如图2.（1）证明：CD ⊥平面AOF '；（2）若平面A BE '⊥平面BCDE ，求点F 到平面A EC '的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）32. 【解析】【分析】（1）先证CD EC ⊥，接着证CD OF ⊥，根据已知条件得AO CD '⊥，即可得结论；（2）点F 到平面A EC '的距离转化为点B 到平面A EC '的距离的一半，取A E '的中点记为H ，证明BH ⊥平面A EC '，求出BH ，即可得结论.【详解】（1）23EC =222BE EC BC +=，即BE EC ⊥，∵CD BE ，∴CD EC ⊥O 为BE 中点，F 为BC 中点.∴OF EC ∥，∴CD OF ⊥∵A B A E ''=，O 为BE 中点，∴AO BE '⊥，∴AO CD '⊥而AO OF O '⋂=，∴CD ⊥平面AOF'.（2）OF EC ∥∴点F 到平面AEC 的距离即为点O 到平面A EC '的距离，即点B 到平面A EC '的距离的一半.取A E '的中点记为H ，连结BH ，则BH A E '⊥∵平面A BE '⊥平面BCDE ，且交线为BE ，由（1）知EC BE ⊥，∴EC ⊥平面A BE '，∴EC BH ⊥，又EC A E E '⋂=∴BH ⊥平面A EC '，3BH =∴B 到平面A EC '3∴点F 到平面A EC '的距离为32. 【点睛】本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图像，考查线面垂直以及点的面的距离，解题的关键是对空间直线与平面的位置关系定理要熟练，属于中档题.22.已知函数()2sin cos f x x x x =-，()f x '为()f x 的导数.（1）求函数()f x 在0x =的切线方程；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）y x =；（2）(,1]-∞.【解析】【分析】（1）对函数求导求出(),(0),(0)f x f f ''，即可求出切线方程；（2）构造函数()()g x f x ax =-,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，转化为min ()0g x ≥,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，用求导数的方法结合对a 分类讨论，通过讨论()g x 单调性，即可求出a 的取值范围.【详解】（1）()2cos cos sin cos sin f x x x x x x x x '=-+=+ (0)1f '=，(0)0f =∴()f x 在0x =处的切线方程为y x =（2）令()()2sin cos g x f x ax x x x ax =-=--则()cos sin g x x x x a '=+-，令()()cos sin h x g x x x x a '==+- 则()cos 00,2h x x x x π'⎛⎫⎡⎤=≥∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∴()()cos sin h x g x x x x a '==+-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， (0)1h a =-（i ）若10a -≥，即1a ≤，则()0g x '≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则()(0)0g x g ≥=，满足()f x ax ≥，符合条件；（ii ）若10a -<，即1a >，(0)10g a '=-<，而()g x '在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，∴必存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00,x x ∈时，()0g x '<，此时()g x 在()00,x 单调递减，()(0)0g x g <=，不符合条件.综上所述：(,1]a ∈-∞【点睛】本题考查了切线方程的求法，考查了利用导数研究函数的单调区间和函数恒成立问题，将问题转化为函数的最值是关键，属于中档题.。

2021年高三数学11月第二次联考试题理新人教A版

2021年高三数学11月第二次联考试题理新人教A版（满分150分）考试时间：120分钟一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡相应位置）1．已知集合,,则A. FB. RC. (0，1)D. (-¥，1)2．命题：“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，3．设是等差数列的前项和，已知49，则的等差中项是A. B. 7 C. D.4．函数在点(0，1)处的切线的斜率是A. B. C. 2 D. 15. 已知等边的边长为1，则A． B． C． D．6. 已知角终边上一点的坐标是，则A. B. C. D.7．数列中，(N*，是常数)，则是数列成等比数列的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.不充分也不必要条件8. 已知向量不共线，向量，则下列命题正确的是A. 若为定值，则三点共线.B. 若，则点在的平分线所在直线上.C. 若点为的重心，则.D. 若点在的内部（不含边界），则.二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共计30分.）9．已知函数，则＝．Array10. 已知函数是定义在上的奇函数，则= .11. 右图是函数的部分图象，则 .12． .13. 已知，且依次成等比数列，设，则这三个数的大小关系为 .14.给出下列命题：(1)设是两个单位向量，它们的夹角是，则；(2)已知函数，若函数有3个零点，则0<<1；(3)已知函数的定义域和值域都是，则＝1；(4)定义在R 上的函数满足(2)[1()]1()(1)2f x f x f x f +⋅-=+-=+，.其中，正确命题的序号为 .参考答案1、C ；2、B ；3、B ；4、C ；5、A ；6、A ；7、D ；8、D9、；10、0；11、；12、；13、；14、(1)(2)(3)三、解答题（本大题共六个小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）15.（本小题满分12分）在中，设角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，，求边的大小．解：(1)因为，所以………………………………4分即，又因为，所以，所以，又因为所以． ………………………………8分(2) 因为，即所以，解得（舍），． ………………………………12分16.（本小题满分12分）已知正项等比数列中，，且成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n 项和.解：设等比数列的公比为q ，由成等差数列知，，∴∵∴ ………………………………4分(1)∵ ∴ ………………………………6分(2)∵，∴∴.2)12(2)32(2523212132n n n n n T ⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=- ……………8分∴.2)12()2222(21132n n n n T ⨯--+++++=--.32)32(2)12(322)12(21)21(22111-⨯--=⨯---=⨯----⋅+=+-n nn nn n n n∴ ………………………………12分17．（本小题满分14分）已知函数1sin 2)62sin()62sin()(2-+-++=x x x x f ππ．（1）求的值；（2）求函数的最小正周期和单调增区间；（3）说明的图像是如何由函数的图像变换所得. 17．解： ∵1sin 2)62sin()62sin()(2-+-++=x x x x f ππ………………………4分（1） ………………………6分（2）的最小正周期为 ………………………8分当(Z)，即(Z)时，函数单调递增，故所求单调增区间为每一个(Z). ………………………11分（3）解法1：把函数的图像上每一点的向右平移个单位，再把所得图像上的每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把所得图像上的每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，就得到函数的图像. .………………………14分解法2：把函数的图像上每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把所得图像上的每一点的向右平移个单位，再把所得图像上的每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，就得到函数的图像. .………………………14分18.（本小题满分14分）已知数列的首项，其前和为，且满足(N*)．(1)用表示的值；(2)求数列的通项公式；(3)对任意的N*，，求实数的取值范围．解析：(1)由条件得， . ………………………2分(2)由条件得， ………………………3分两式相减得，解法1：故，两式再相减得，构成以为首项，公差为6的等差数列；构成以为首项，公差为6的等差数列；………………………………5分由(1)得；由条件得，得，从而，………………………………9分解法2：设，即则有时，即………………………………9分(3)对任意的N*，，当时，由，有得………①；当时，由，有123(1)(62)(1)3(62)(1)n n n a n a --++-⋅->+-⋅-，即若为偶数，则得………②；若为奇数，则得………③.由①、②、③得 . …………………………………………14分19.（本小题满分14分）已知函数，设曲线过点，且在点处的切线的斜率等于，为的导函数，满足．（1）求；（2）设，，求函数在上的最大值；（3）设，若对恒成立，求实数的取值范围．解：（1）求导可得 ………………………………………1分∵， ∴的图像关于直线对称，∴ ……………2分又由已知有：∴ ………………………………4分∴ ………………………………………5分（2），22,1,()1, 1.x x x g x x x x x x ⎧-≥⎪==-=⎨-<⎪⎩其图像如图所示．当时，，根据图像得：（ⅰ）当时，最大值为；（ⅱ）当时，最大值为；（ⅲ）当时，最大值为． …………………………………10分（3）t x x t x x f x h )12()1()12()()(2++-=++'=，记，有 …………………………………………11分当时，，只要21223104)1(1204)1(0)1(0)0(22<<-⇔⎩⎨⎧<<-<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<--++<--⇔⎩⎨⎧<<x x x x x x g g ，实数的取值范围为， …………………………………………14分20.（本小题满分14分）设函数R ，且为的极值点．（1）当时，求的单调递减区间；（2）若恰有两解，试求实数的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，证明：．解：由已知求导得：，为的极值点，，． ………………2分（1）当时，，进而21231(21)(1)()23x x x x f x x x x x -+--'=+-==，函数的定义域为，的单调减区间为． ………………………………4分（2）由，得，则，，，，（ⅰ）当时，在递减，在递增，则的极小值为，，22()(1)(2)2f x a x x a x x x a ∴≥-+-+=--，则当时，，又当时，，要使恰有两解，须，即．因此，当时，恰有两解．（ⅱ）当时，在、递增，在递减，则的极大值为，的极小值为．2222()ln ()(1)()(8)22422424a a a a a a a a f a a a a a =+-+≤-+-+=-，当时，，此时不可能恰有两解．（ⅲ）当时，在、递增，在递减，则的极大值为，的极小值为．，当时，不可能恰有两解．（ⅳ）当时，在单调递增，不可能恰有两解．综合可得，若恰有两解，则实数的取值范围是． ………………9分（3）当时，，即证：．（方法一）先证明：当时，．设，，当时，，则在递减，，，，即，，，即．．令，得，则211111111352()2(1)ln(1)2212(1)(2)n nk kn nk k k n n n n==+>-=+--=++++++∑∑．…………14分（方法二）数学归纳法：1.当时，左边=，右边=，，，，即时，命题成立．2.设时，命题成立，即．当时，左边=21111351ln2ln3ln(1)ln(2)(1)(2)ln(2)k kk k k k k+++++>++++++右边=，要证，即证，即证，也即证．令，即证：，（证法见方法一）因此，由数学归纳法可得命题成立．…………………………………………14分/34954 888A 袊52[Y28703 701F 瀟K:20220 4EFC 仼 h29065 7189 熉'。

河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试数学试题附答案

绝密★启用前 2021.3.2 15：00-17：00河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试数学试卷总分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共4分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}12A x x =-≤≤，{}0,2,4B =，则A B =（）A.{}0,2,4B.{}0,2C.{}04x x ≤≤D.{}124x x x -=≤≤或 2.已知复数32i32i+=-z ，则z 在复平面内对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()4,3A ，(B -，则AOB ∠的余弦值为（）4.已知a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（） A.若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a b B.若a α⊂，b β⊂，//a b ，则//αβ C.若a αβ=，b β⊂，b a ⊥，则αβ⊥D.若l αβ=，αβ⊥，a α⊂，a l ⊥，//a b ，则b β⊥5.在五边形ABCDE 中EB a =，AD b =，M ，N 分别为AE ，BD 的中点，则MN =（） A.3122a b + B.2133a b + C.1122a b + D.3144a b + 6.命题:p 关于x 的不等式210ax ax x +--＜的解集为()1,1,a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭的一个充分不必要条件是（）A.1a -≤B.0a ＞C.20a -＜＜D.2a -＜7.面对全球蔓延的疫情，疫苗是控制传染的最有力技术手段.科研攻关组第一时间把疫苗研发作为重中之重，对灭活疫苗､重组蛋白疫苗､腺病毒载体疫苗､减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫苗5个技术路线并行研发，组织了12个优势团队进行联合攻关.其中有5个团队已经依据各自的研究优势分别选择了灭活疫苗､重组蛋白疫苗､腺病毒载体疫苗､减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫苗这5个技术路线，其余团队作为辅助技术支持进驻这5个技术路线.若保障每个技术路线至少有两个研究团队，则不同的分配方案的种数为（） A.14700 B.16800 C.27300 D.504008.若不等式1cos cos308m x x --≤对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.9,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B.(],2-∞-C.9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知11220log log 1a b ＜＜＜，则下列说法正确的是（）A.22114a b ＞＞＞B.1121a b＞＞＞C.11a bb a --＞ 1e e b -＞ 10.将函数()2cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的图象向左平移π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的有（） A.()g x 为奇函数 B.()g x 的周期为4πC.x ∀∈R ，都有()()g x g x +π=π-D.()g x在区间24,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且是小值为11.提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列{}n a ：0.4，0.7，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太阳系第n 颗行星与太阳的平均距离(以天文单位A.U.为单位).现将数列{}n a 的各项乘以10后再减4，得到数列{}n b ，可以发现数列{}n b 从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（）A.数列{}n b 的通项公式为232n n b -=⨯B.数列{}n a 的第2021项为20200.320.4⨯+C.数列{}n a 的前n 项和10.40.320.3n n S n -=+⨯-D.数列{}n nb 的前n 项和()1312n n T n -=-⋅12.在一张纸上有一圆()()222:20C x y r r ++=＞与点()(),02M m m ≠-，折叠纸片，使圆C 上某一点M '好与点M 重合，这样的每次折法都会留下一条直线折痕PQ ，设折痕PQ 与直线M C '的交点为T ，则下列说法正确的是（）A.当22r m r ---+＜＜时，点T 的轨迹为椭圆B.当1r =，2m =时，点T 的轨迹方程为2213y x -=C.当2m =，12r ≤≤时，点T 的轨迹对应曲线的离心率取值范围为[]2,4D.当r =2m =时，在T 的轨迹上任取一点S ，过S 作直线y x =的垂线，垂足为N ，则SON △(O 为坐标原点)的面积为定值三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象､生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.在某次大型联考中，所有学生的数学成绩()~100,225X N .若成绩低于10m +的同学人数和高于220m -的同学人数相同，则整数m 的值为_______.14.已知抛物线24x y =，其准线与y 轴交于点P ，则过点P 的抛物线的切线方程为_______. 15.在ABC △中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，其中3A π=，4b c +=，M 为线段BC 的中点，则AM 的最小值为_______.16.已知四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA PB PC PD ===，2AB =，若四棱锥P ABCD -的体积为43，则以点P 为球心，PAB 交线的长度约为_______，该四棱锥P ABCD -外接球的体积为_______.(参考数据tan35︒≈)(本题第一空3分，第二空2分). 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在①ABC △的外接圆面积为3π②ADC △，③BDC △的周长为5补充在下面的问题中，并给出解答.问题：在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 是AB 边上一点.已知13AD AB =，3sin sin 4A C =，cos23cos 1B B +=，若_______，求CD 的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4520.S S ==-（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列{}n a 与{}n b 的公共项为m a ，记m 由小到大构成数列{}n c ，求{}n c 的前n 项和n T . 19.(本小题满分12分)如图，已知圆台1O O 的下底面半径为2，上底面半径为1，母线与底面所成的角为3π，1AA ，1BB 为母线，平面11AAO O ⊥平面11,BB O O M 为1BB 的中点，P 为AM 上的任意一点.（1）证明：1BB OP ⊥；（2）当点P 为线段AM 的中点时，求平面OPB 与平面OAM 所成锐二面角的余弦值. 20.(本小题满分12分)国务院办公厅印发了《关于防止耕地“非粮化”稳定粮食生产的意见》，意见指出要切实稳定粮食生产，牢牢守住国家粮食安全的生命线.为了切实落实好稻谷､小麦､玉米三大谷物种植情况，某乡镇抽样调查了A 村庄部分耕地(包含永久农田和一般耕地)的使用情况，其中永久农田100亩，三大谷物的种植面积为90亩，棉､油､蔬菜等的种植面积为10亩；一般耕地50亩，三大谷物的种植面积为30亩，棉､油､蔬菜等的种植面积为20亩.（1）以频率代替概率，求A 村庄每亩耕地(包括永久农田和一般耕地)种植三大谷物的概率；（2）上级有关部门要恪促落实整个乡镇三大谷物的种植情况，现从本乡镇抽测5个村庄，每个村庄的三大谷物的种植情况符合要求的概率均为A 村庄每亩耕地(永久农田和一般耕地)种植三大谷物的概率.若抽测的村庄三大谷物的种植情况符合要求，则为本乡镇记1分，若不符合要求，记-1分.X 表示本乡镇的总积分，求X 的分布列及数学期望；（3）目前在农村的劳动力大部分是中老年人，调查中发现，80位中老年劳动力中有65人种植三大谷物，其余种植棉､油､蔬菜等农作物；20位青壮年劳动力中有15人种植需要技术和体力，短期收益大的棉､油､蔬菜等农作物，其余种植三大谷物.请完成下表，并判断是否有99.9%的把握认为种植作物的种类与劳动力的年龄层次有关？附：()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=＞＞的左､右焦点分别为1F ，2F ，P ⎛ ⎝⎭满足12PF PF +2a =，且以线段12F F 为直径的圆过点.P （1）求椭圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，若直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，直线OM 的斜率为1k ，直线ON 的斜率为2k ，当OMN △的面积为定值1时，12k k 是否为定值？若是，求出12k k 的值；若不是，请说明理由.22.(本小题满分12分)设函数()2ln f x x x x =++，()e x g x x=.（1）若()()()e xh x mf x g x x==-，m ∈R ，试判断函数()h x 的极值点个数；（2）设()()()222x x g x f x kx x xϕ=--++，若()1x ϕ≥恒成立，求实数k 的取值范围. 参考答案及解析河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试·数学1.B【解析】集合B 中的元素在区间[1,2]-内的只有0，2，所以{0,2}A B ⋂=. 2.D【解析】232(32)51232(32)(32)1313i i z i i i i ++===+--+，所以5121313z i =- 所以其在复平面内对应的点位于第四象限. 3.C【解析】作出平面直角坐标系，如图.设,,xOB xOA ∠α∠β==则.sin AOB ∠αβα=-=134cos ,sin ,cos .255αββ=-==所以()cos αβ-=143cos cos sin sin 255αβαβ+=-⨯+=4.104.D【解析】对于,A 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，平面1111//A B C D 平面11,ABCD A B ⊂平面1111,A B C D AC ⊂平面,ABCD 但11A B 与AC 不平行，故A 错误；对于,B 如图11,A B ⊂平面11,A B BA DC ⊂平面11,//,ABCD A B DC 但平面11A B BA 与平面ABCD 不平行，故B 错误；对于,C 如图，平面11ABC D ⋂平面,ABCD AB BC =⊂平面,ABCD 且,BC AB ⊥但平面ABCD 与平面11ABC D 不互相垂直，故C 错误；对于D ，由平面与平面垂直的性质定理，得,a β⊥又//,a b 所以,b β⊥故D 正确.5.C【解析】12MN MA AB BN EA AB =++=++ ()()11112222BD EA AB AB BD EB =+++=+111222AD a b =+ 6.D【解析】由题意知命题p 即()()110ax x -+<的解集为()1,1,,a ∞∞⎛⎫--⋃+⎪⎝⎭其充要条件为 0,11,a a <⎧⎪⎨-⎪⎩得 1.a -因为(),2∞-- (],1∞-- 所以2a <-是1a -的一个充分不必要条件. 7.B【解析】将其余的7个团队分成5个组，然后再分配给各技术路线.第一类方案：按3，1，1，1，1分组，先从7个队中选择3个队，然后全排，有3575C A 种.第二类方案：按2，2，1，1，1分组，先分组再分配，共有22575522C C A A 种. 综上，由分类加法计数原理知，共有223557575522C C C A A A +=16800种分配方案. 8.A【解析】因为0,,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以()cos 0,1,x ∈原不等式可变形为()11cos3cos 288cos cos x x x mx x +++== 21cos cos2sin sin2184cos 3.cos 8cos x x x x x xx-+=+-令()cos 0,1,t x =∈则()()2143,8g t t g t t='+-= 33322211641488888t t t t t t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭-==⨯=⨯22114416t t t t⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时(),0,g t '<()g t 单调递减;当1,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()(),0,g t g t >'单调递增，所以()19.44g t g ⎛⎫=-⎪⎝⎭又min (),m g t 所以9.4m - 二､选择题 9.ACD【解析】已知11220log log 1,a b <<<因为y =12log x 在区间()0,∞+上单调递减，所以12b a <<<1,所以2211,4b a <<<故A 正确;因为函数1y x=在区间()0,∞+上单调递减，因为11,2b a <<<所以2>111,b a>>故B 错误; 因为11a bb a -=--()()()()()()()()22111111a b a b a a b b b a b a ------==----()()()()1.11a b a b b a -+---又11,2b a <<<所以1,a b +> ()()()()10,11a b a b b a -+->--故C 正确;因为12b ->->1,a ->-函数xy e =为单调递增函数，所以1e<a be e --<<故D 正确. 10.ABC【解析】将函数()2cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得y =2cos,2x再将得到的图象向左平移π个单位长度，得()()2cos 2sin ,22x x g x g x π+⎛⎫==-⎪⎝⎭为奇函数，故A 正确;4π为()g x 的周期，故B 正确;又()g x =2sin2x-的图象关于直线x π=对称，故C 正确；令322,222x k k ππππ++解得43k x πππ++4,,k k Z π∈ 所以()g x 在区间[]4,34(k k k ππππ++∈Z )上单调递增，取0,k =得[],3,ππ所以()g x 在区间2,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间4,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以最小值为()2,g π=-故D 错误.11.CD【解析】数列{}n a 各项乘以10再减4得到数列{}:0,3,6,12,24,48,96,192,,n b故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以n b =20,1,32,2,n n n -=⎧⎨⨯⎩故A 错误；从而410n n b a +==20.4,1,0.320.4,2,n n n -=⎧⎨⨯+⎩所以201920210.320.4,a =⨯+ 故B 错误;当1n =时11,0.4S a ==；当2n 时,n S =()012120.40.3222n n a a a -+++=+++++()11120.410.40.30.40.3212n n n n n ----=+⨯=+⨯--0.3.当1n =时1,0.4S =也符合上式，所以n S =10.40.320.3,n n -+⨯-故C 正确;因为n nb =20,1,32,2,n n n n -=⎧⎨⨯⎩所以当1n =时11,0,T b ==当n 2时(0123,230322n n T b b b nb =++++=+⨯+)(122132422.23223n n n T -⨯+⨯++⨯=⨯+⨯ )2312422,n n -+⨯++⨯所以03(2n T -=++)112212222223212n n n n n ---⎛-+++-⨯=+-⨯ -⎝)()112312,n n n --=-⨯所以()1312.n n T n -=-⨯又当1n =时1,T 也满足上式，所以()31n T n =-⨯12n -，故D 正确.12.ACD【解析】当22r m r --<<-+时，点M 在圆C 内，此时有,TM TC CM r CM '+==>故T 的轨迹是以,C M 为焦点的椭圆，故A 正确;当1,r =2m =时，点M 在圆C 外，此时有|||||TM TC CM r CM -==<'故T 的轨迹是以,C M 为焦点的双曲线，其中21,24,a r c CM ====故双曲线方程为221,11544x y -=故B 错误;当2m =时,12r 时,T 的轨迹是以,C M 为焦点的双曲线，方程为2222444x y r r-=-1,所以离心率24,2c e r a r ===当12r 时,2e 4，故C 正确; 当2r m ==时,T 的轨迹方程为222,x y -=设(),,S p q 则222,p q -=直线SN 的方程为(),y q x p -=--它与y x =的交点N 的坐标为,,22p q p q ++⎛⎫ ⎪⎝⎭所以,ON p q SN=+=所以22124SNOp q SON SN -=⨯⋅==12为定值，故D 正确. 三､填空题 13.70【解析】由题意(10)(2P x m P x m <+=>-20).又()100,225,X N ~所以10220m m ++-=200，所以70.m =14.10,x y --=或10x y ++=【解析】抛物线2x =4y 的准线方程为1,y =-所以()0,1.P -设切点坐标为200,,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭切线斜率为200014,2x x k x +==解得0 2.x =±当02x =时,1,k =切线方程为1x y --=0;当02x =-时,1,k =-切线方程为10.x y ++=【解析】AM AM ⎛===2=因为4b c += 4,4,bcbc --当且仅当2b c ==时，1642-=；92π 【解析】42,3P ABCD AB V -==四棱锥所以四棱锥P ABCD -的高 1.h =易知侧面PAB 底边AB ，所以球面与侧面PAB 的交线为弧线，如图，且长度352.180l π⨯≈=设四棱锥 P ABCD -外接球的球心为,O 则O 在四棱锥P ABCD -的高线上，设外接球的半径为,R 则22(1)R -+=2,R 解得33439,.2322O R V ππ⎛⎫===⎪⎝⎭球四､解答题17.解：因为cos23cos 1B B +=，所以22cos 3cos 20B B +-=解得1cos 2B =或cos 2(B =-舍去)，所以在ABC 中,3B π=.因为23sin sin sin ,4A CB ==所以2.b ac = 所以由余弦定理得22222cos b a c ac B a =+-=+2c ac -又2,b ac =所以2220,a c ac +-=即a c =，所以ABC 为等边三角形.因为1,3AD AB =所以在ADC 中，由余弦定理得CD =3a =选择条件①：由ABC 的外接圆面积为3,π得2R =所以sin3aπ=所以 3.a =故CD =.选择条件②：由ADC的面积为4，得ABC，2=解得 3.a =故CD =. 选择条件③：由BDC的周长为5+得253a a ++=+ 所以 3.a =故CD =.18.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为4520,S S ==-所以5540.a S S =-= 因为53520,S a ==-所以34,a =- 所以53253a a d -==-，所以()55210.n a a n d n =+-=-（2）由题意知1444.n nn b -=⨯=因为210,m a m =-所以4102104,2n nm m +-==. 因此4104 5.22n nn c +==+所以123444455552222nn T =++++++++= ()4142214545.233n n n n --+=⨯+-19.（1）证明：过点1B 作平面AOB 的垂线，垂足为C ，如图，则C 是OB 的中点，所以 1.BC = 又1,3OBB π∠=所以1 2.BB =连接1,OB 因为12BB OB ==，所以1OBB 为等边三角形.因为点M 为1BB 的中点，所以1.BB OM ⊥因为平面11AA O O ⊥平面11BB O O ，平面11AA O O ⋂平面111,BB O O OO =且1,AO OO ⊥AO ⊂平面11,AA O O所以AO ⊥平面11.BB O O因为1BB ⊂平面11,BB O O 所以1AO BB ⊥.又因为,AO OM O AO ⋂=⊂平面,OMA OM ⊂平面OMA ，所以1BB ⊥平面.OMA因为OP ⊂平面,OMA 所以1.BB OP ⊥（2）解：以O 为坐标原点，OA ，OB ，OO 1所在直线分别为x 轴､y 轴､z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()(132,0,0,0,2,0,,0,,2A B B M ⎛⎝()333,1,,,1,,,0,2,024444P OP OB ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭设平面OPB 的一个法向量为(),,n x y z =则0,OP n OB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即30,420x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩取z =得3,0x y =-=，所以(3,0,,n =-因为1BB ⊥平面OAM ，所以平面OAM 的一个法向量为(10,,BB =-所以111cos ,19BB n BB n BB n ⋅===所以平面OAM 与平面OPB 所成锐二面角的余弦值为1920.解：（1）设事件M 为“耕地(包括永久农田和一般耕地)种植三大谷物”，则()90304100505P M +==+.所以A 村庄每亩耕地种植三大谷物的概率为4.5（2）由（1）知，每个村庄的三大谷物的种植情况符合要求的概率均为45由题意知,X 的所有可能取值为5,3,1,1,3,5---则()5415153125P X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，()4154443155625P X C ⎛⎫=-=⨯-=⎪⎝⎭ ()232544321155625P X C ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()3235441281155625P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()445442563155625P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()55541024553125P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭则该乡镇的总积分X 的分布列为()()()()5313125625625E X =-⨯+-⨯+-⨯+ 128256102413536256253125⨯+⨯+⨯=2K 的观测值2100(6515155)24.107.80207030k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 因为24.10710.828>所以有99.9%的把握认为种植作物的种类与劳动力的年龄层次有关. 21.解：（1）设()()12,0,,0F c F c -以线段12F F 为直径的圆过点P ，所以12PF PF ⊥.所以12PF PF c c ⎛⎛⋅=-+⋅+ ⎝⎭⎝0,=⎭所以c =所以22 3.a b -=将P ⎛ ⎝⎭代人22221(0),x y a b a b +=>>解得224,1,a b ==所以椭圆C 的标准方程为22 1.4x y +=（2）当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为x m =，设()()00,,,,M m y N m y -则22014m y +=①.又0121,2OMNSy m =⨯=所以221m y =②. 由①②得22012,,2m y ==所以0012y y k k m m -=⋅=2021.4y m -=- 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y =()()1122,,,,,kx m M x y N x y +联立221,4x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222418440k x kmx m +++-=，22Δ6416160k m =-+>所以2121222844,1414km m x x x x k k--+==++，所以()()(21212121y y kx m kx m k x x km x =++=++)222224,14m k x m k-+=+ 所以221212212444y y m k k k x x m -==-③.又MN ===点O到直线MN的距离d=所以12OMNS d MN=⨯=.21,14k==+即()()242224441410m k m k-+++=解得22142km+=，代入③式，得221212212444y y m kk kx x m-===-22214412144442kkk+-=-+⨯-综上可知，当OMN的面积为定值1时，12k k是定值14-.22.解：（1）由题意得()2ln(0),xeh x m x x xx x⎛⎫=++->⎪⎝⎭则()22121x xxe eh x mx x x-⎛⎫=+--=⎪⎝⎭'()()()() 2222121,x xm x x e x m x e xx x⎡⎤+---+--⎣⎦=①当0m时(),20xm x e+-<，当()0,1x ∈时()(),0,h x h x >'单调递增，当()1,x ∞∈+时()(),0,h x h x <'单调递减.所以()h x 在1x =处取到极大值，有唯一的极大值点1x = ②当0m >时，()h x 极值点的个数与关于x 的方程 ()20x m x e +-=的正实数根有关，即与函数y m =与函数()()0,2x e y x x ∞=∈++的图象的交点个数有关.令(),2xe q x x =+则()()210,(2)x e x q x x +=>+' 所以()q x 在区间()0,∞+上单调递增(),q x >()102q = 结合图象知，（i ）当102m <时(),20x m x e +-< 恒成立，当()0,1x ∈时()(),0,h x h x >'单调递增，当()1,x ∞∈+时()(),0,h x h x <'单调递减.所以()h x 在1x =处取到极大值，有唯一的极大值点1x = （ii ）当12m >时，存在唯一的()00,x ∞∈+，使得0.2xe m x -=+ 若01,x =则,3e m =方程()()2(2x e x m x x ⎡⎤+--⎢⎥+⎢⎥⎣⎦1)0=有两个相等的实数根1. 当()0,1x ∈时()(),0,h x h x <'单调递减，当()1,x ∞∈+时()(),0,h x h x <'单调递减，所以()h x 没有极值.若01,x ≠则,3e m ≠方程()()2(1)02x e x m x x ⎡⎤+--=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦有两个不相等的实数根1和0,x 此时()h x 有两个极值点. 综上，当12m 时，函数()h x 有一个极值点，当12m >且3e m ≠时,函数()h x 有两个极值点，当3e m =时，函数()h x 无极值点. （2）由题意知(),1x ϕ恒成立即ln x xe x x -+-1kx 恒成立，等价于min ln 1x xe x x k x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭. 令()ln 1,x xe x x m x x--+= 则()22ln x x e x m x x+='令()2ln xx x e x μ=+ 易知()x μ在区间()0,∞+上单调递增，当11x e =时1122111,110e ee e e e μ-⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，当21x =时(),10e μ=>所以()x μ在区间(0，1)上存在唯一的零点0,x 且()02000ln 0xx x e x μ=+= 在区间()00,x 上，()()0,x m x μ<单调递减，在区间()0,x ∞+上()(),0,x m x μ>单调递增所以()0000min 00ln 1()x x e x x m x m x x --+==. 又因为()00,x μ=所以00001ln ,x x e x x =-即001ln 001ln x x x e e x =⋅. 令()()(0),0x x x p x xe x p x e xe '=>=+> 所以()p x 在区间()0,∞+上单调递增，所以001ln ,x x =即001,x e x =所以()0000112x x m x x +-+==，所以2k ，即(],2.k ∞∈-。

河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试数学试题含答案

河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合A ＝{}2430x x x −+≤，B ＝{}15x Z x ∈<<，则AB ＝A ．{2}B ．{3}C ．{2，3}D ．{1，2，3} 2．若复数1i z =−，则1zz−＝A ．1BC ．D ．43．某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为A ．19B ．38C ．55D ．654．数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．在该数列的前2020项中，偶数的个数为 A ．505 B ．673 C ．674 D ．1010 5．已知非零向量a ，b 满足a b =，且2a b a b +=−，则a 与b 的夹角为A ．23π B ．2π C ．3π D ．6π 6．现对20名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为p ，且检测次数的数学期望为20，则p 的值为A ．12011()20− B ．12111()20− C ．12011()21− D ．12111()21−7．已知未成年男性的体重G （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）的关系可用指数模型G ebxa =来描述，根据大数据统计计算得到a ＝2.004，b ＝0.0197．现有一名未成年男性身高为110cm ，体重为17.5kg ．预测当他体重为35kg 时，身高约为(ln2≈0.69)A ．155cmB ．150cmC ．145cmD ．135cm8．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为CC 1的中点，点N 在侧面ADD 1A 1内，若BM ⊥A 1N ．则△ABN 面积的最小值为A B C ．1 D ．5二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知3cos()55πα+=，则3sin(2)5πα−＝ A ．2425−B ．1225−C ．1225D ．2425 10．已知抛物线C ：y 2＝4x ，焦点为F ，过焦点的直线l 与抛物线C 相交于A(1x ，1y )，B(2x ，2y )两点，则下列说法定正确的是A ．AB 的最小值为2 B ．线段AB 为直径的圆与直线x ＝﹣1相切C ．12x x 为定值D ．若M(﹣1，0)，则∠AMF ＝∠BMF 11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x ＝1对称，则A ．(4)()f x f x +=B ．()f x 在区间(﹣2，0)上单调递增C ．()f x 有最大值D ．()sin2xf x π=是满足条件的一个函数12．若存在实数t ，对任意的x ∈(0，s ]，不等式2(2)(1)0x x t t x −−−−≤恒成立．则s 的值可以为A ．12 B ．12 C ．32 D ．32三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知F 1，F 2为双曲线2214y x −=的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，且12PF 2PF =，则△PF 1F 2的面积为．14．已知实数a ，b ∈+∞)，且满足2211ln ba b a−>，则a ，b 的大小关系是． 15．数学多选题有A ，B ，C ，D 四个选项，在给出选项中，有多项符合题目要求全都选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的不得分，已知某道数学多选题正确答案为B ，D ，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为．16．在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥AB ，PA ＝4，AB ＝3，二面角P —AB —C 的大小为30°，在侧面△PAB 内（含边界）有一动点M ，满足M 到PA 的距离与M 到平面ABC 的距离相等，则M 的轨迹的长度为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在①对任意n ＞1，满足112(1)n n n S S S +−+=+，②12n n n S S a +−=+，③1n n S na +=−(1)n n +这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．问题：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，，若数列{}n a 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式；若数列{}n a 不一定是等差数列，说明理由．（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分）18．（本小题满分12分）振华大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数，记录了某天所有工人每人的制造件数，并对其进行了简单随机抽样统计，统计结果如下：（1）若去掉[70，80)内的所有数据，则件数的平均数减少2到3（即大于等于2，且小于3），试求样本中制造电子产品的件数在[70，80)的人数x 的取值范围；（同一区间数据用该组区间数据的中点值作代表）（2）若电子厂共有工人1500人，且每位工人制造电子产品的件数X~N(70，112)，试估计制造电子产品件数小于等于48件的工人的人数．附：若X~N(μ，2σ)，则P(x μσμσ−<≤+)≈0.68，P(22x μσμσ−<≤+)≈0.96．19．（本小题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，OB ·sin ∠ABD ＝OD ·sin ∠ADB ，∠ABC ＝3π，AB ＝3BC ＝3．（1）求sin ∠DAC ；（2）若∠ADC ＝23π，求四边形ABCD 的面积． 20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，平面PAC ⊥底面ABCD ，PA ＝PC ＝AC ．（1）证明：AC ⊥PB ；（2）若PB 与底面所成的角为45°，求二面角B —PC —A 的余弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆C 的焦点在x 轴上，并且经过点(0，1)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切于点M ，与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D ，求△OMD 面积的最大值，并求此时点D 的坐标．22．（本小题满分12分）已知函数1()ln ex x f x x x −=−．（1）求函数()y f x =在x ＝1处的切线方程；（2）证明：（i ）()2f x <；（ii ）任意N n *∈，1e (2ln )n n n n −<−．。

河北省廊坊市2021届新高考第三次大联考数学试卷含解析

河北省廊坊市2021届新高考第三次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}{}2340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =I ð( )A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．[]1,4-D ．()1,4-【答案】B 【解析】【分析】先由2340x x -->得4x >或1x <-，再计算R ()ðA B I 即可. 【详解】由2340x x -->得4x >或1x <-，()(),14,A ∴=-∞-⋃+∞，[]R 1,4ðA =-,又{}13B x x =-≤≤，[]R ()1,3A B ∴=-I ð. 故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力. 2．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用22()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A ．134B ．866C ．300D ．500【答案】A 【解析】分析：设三角形的直角边分别为1，3，利用几何概型得出图钉落在小正方形内的概率即可得出结论.解析：设三角形的直角边分别为1，3，则弦为2，故而大正方形的面积为4，小正方形的面积为()231423-=-.∴图钉落在黄色图形内的概率为4232342--=. ∴落在黄色图形内的图钉数大约为2310001342-⨯≈.故选：A.点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量． (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型． 3．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y x ==+，则U A B =I ð( )A ．[)0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】A【解析】【分析】求得集合B 中函数的值域，由此求得U B ð，进而求得U A B ⋂ð. 【详解】由11y x =+≥，得[)1,B =+∞，所以()U ,1B =-∞ð，所以[)U 0,1A B =I ð.故选：A 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.4．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（）m ．A ．1B ．43C ．494D ．2【答案】C 【解析】【分析】由图像用分段函数表示()v t ，该物体在1s~6s 2间的运动路程可用定积分612()d s v t t =⎰表示，计算即得解【详解】由题中图像可得，2,01()2,1311,363t t v t t t t ⎧⎪≤<⎪=≤≤⎨⎪⎪+<≤⎩由变速直线运动的路程公式，可得61311132621()d 22d 1d 3s v t t tdtt t t ⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰6132211231492(m)64tt t t ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭．所以物体在1s~6s 2间的运动路程是49m 4．故选：C 【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 5．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1 B ．-3C ．1或53D ．-3或173【答案】D 【解析】【分析】由题得222512645(12)k ⨯-+=+-，解方程即得k 的值.【详解】由题得222512645(12)k ⨯-+=+-，解方程即得k=-3或173. 故答案为：D 【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离0022Ax By Cd A B++=+.6．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+，所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 7．已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（） A ．(2,)+∞ B ．(3,2)C ．(2,3)D ．(1,2)【答案】A 【解析】双曲线22x a ﹣22y b=1的渐近线方程为y=b a ±x ，不妨设过点F1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=ba（x﹣c），与y=﹣ba x联立，可得交点M（2c，﹣2bca），∵点M在以线段F1F1为直径的圆外，∴|OM|＞|OF1|，即有24c+2224b ca＞c1，∴22ba＞3，即b1＞3a1，∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a．则e=ca＞1．∴双曲线离心率的取值范围是（1，+∞）．故选：A．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（）A．37B．47C．57D．67【答案】D【解析】【分析】由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解. 【详解】由题,窗花的面积为21241140-⨯=,其中小正方形的面积为5420⨯=,所以所求概率1402061407 P-==,故选:D 【点睛】本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.9．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于（） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】A 【解析】【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值．【详解】解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩表示的平面区域（如图示：阴影部分）由20x y x y +-=⎧⎨-=⎩得(1,1)A ，由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-，易知过点A 时直线在y 上截距最小，所以3114min z =⨯+=．故选：A ．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．10．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】A 【解析】【分析】根据()1f x +图象关于y 轴对称可知()f x 关于1x =对称，从而得到()f x 在(),1-∞上单调递增且()()31f f =-；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】()1f x +Q 为偶函数()1f x ∴+图象关于y 轴对称 ()f x ∴图象关于1x =对称()1,x ∈+∞Q 时，()f x 单调递减(),1x ∈-∞∴时，()f x 单调递增又()()31f f =-且1102-<-<()()1102f f f ⎛⎫∴-<-<⎪⎝⎭，即b a c << 本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果. 11．设实数满足条件则的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键. 12．已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（） A ．[2,)+∞ B ．(1,2),C ．(2,)+∞D ．(1,2]【答案】A 【解析】【分析】若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【详解】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，若过点F且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ba， ∴3b a …，离心率22224a b e a +=…， 2e ∴…，故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省衡水市安平县安平中学2021届高三数学上学期11月月考试题理(含解析).doc

河北省衡水市安平县安平中学2021届高三数学上学期11月月考试题理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上. 1.已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()RA B =（）A. {}13x x -≤<B. {}19x x -≤≤C. {}13x x -<≤ D. {}19x x -<<【答案】C 【解析】【分析】解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()RA B ⋂.【详解】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤，因此，(){}13RA B x x ⋂=-<≤，故选：C.【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题. 2.已知复数121iz i-=+，则其共轭复数z 的虚部为 A.32 B. 32-C.32i D. 3i 2-【答案】A 【解析】【分析】利用复数的代数形式的运算法则，求出z ，再利用共轭复数和复数的定义即可求出。

【详解】因为()()()()12112131112i i i i z i i i -----===++-，所以z 的共轭复数z 为1322i -+，虚部为32，故选A 。

【点睛】本题主要考查复数的代数形式的运算法则以及共轭复数、复数的定义应用。

3.若sin 78m =，则sin 6=（）D.【答案】B 【解析】【分析】由三角函数的诱导公式，求得12sin 78cos m ==，再由余弦的倍角公式，即可求解，得到答案.【详解】由三角函数的诱导公式，可得12sin(9012)sin 78cos m =-==，又由余弦的倍角公式，可得2126sin m -=，所以1sin 6=B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的化简求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.已知3log ,0()4,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，若角α的终边经过点(1,P ，则()()cos f f α的值为（） A.14B. 14-C. 4D. -4【答案】A 【解析】【分析】先通过终边上点的坐标求出cos α，然后代入分段函数中求值即可.【详解】解：因为角α的终边经过点(1,P所以1cos 3α==所以()31cos 13f log α==- 所以()()1cos 4f f α=故选： A.【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，分段函数的计算求值，属于基础题. 5.两个非零向量,a b 满足||||2||a b a b a +=-=，则向量b 与a b -夹角（）A. 56π B.6π C.23π D.3π 【答案】A 【解析】【分析】根据条件计算得到0a b ⋅=，3b a =，再利用夹角公式计算得到答案.【详解】()()22||||=0a b a b a ba b a b +=-∴+-∴⋅=()2222||2||243a b a a ba b a b a b a +=∴+=++⋅=∴=()25cos 2cos cos 6b a b b b a b b a θθθθπ⋅-=-=⋅-=⋅∴== 故选：A【点睛】本题考查了向量的夹角，意在考查学生的计算能力，也可以建立直角坐标系求解. 6.标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列数据最接近36152310000的是（lg30.477≈） A. 3710- B. 3610- C. 3510- D. 3410-【答案】B【解析】【分析】根据题意，对36152310000取对数可得36136152523310000361352435.810000lg lg lg lg =-=⨯-⨯≈-，即可得36135.8523 1010000-≈，分析选项即可得答案．【详解】据题意，对36152310000取对数可得36136152523310000361352435.810000lg lg lg lg =-=⨯-⨯≈-，即可得36135.8523 1010000-≈ 分析选项：B 中3610-与其最接近，故选B.【点睛】本题考查对数的计算，关键是掌握对数的运算性质．7.双曲线222:1(0)x C y a a-=>的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点，若PO PF =，则OPF S ∆的最小值为（）A.14B.12C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】求得双曲线222:1(0)x C y a a-=>的一条渐近线为1y x a =，由PO PF =，得到点P 的坐标为,22c c a ⎛⎫⎪⎝⎭，利用三角形的面积公式和基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，双曲线222:1(0)x C y a a-=>的一条渐近线为1y x a =，设0F c （，），因为PO PF =，可得点P 的横坐标为2x c =，代入渐近线1y x a =，可得2y c a =，所以点P 的坐标为,22c c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22112244OPFc c a Sc a a a+=⨯⨯===111244442a a a a +≥⨯=，当且仅当144a a =时，即1a =时，等号成立，即OPF S ∆的最小值为12. 故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，利用基本不等式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项。

河北省石家庄市行唐县三中2021届高三数学11月第一次考试试题理.doc

河北省石家庄市行唐县三中2021届高三数学11月第一次考试试题理时量：120分钟满分:150分一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={3|),(x y y x =}，A={x y y x =|),(}，则B A 的元素个数是 A. 4B. 3C. 2D. 12.已知i 为虚数单位，R a ∈，若复数i a a z )1(-+=的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且5=⋅z z ,则=z A. 2-i B.-l + 2i C.-1-2i D.-2+3i3.设R x ∈，则“1<2x ”是“1<lg x ”的（ ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量a=(l ，0)，b=(-3,4)的夹角为θ,则θ2sin 等于 A. 257-B. 257C. 2524-D. 25245.设43432,24log ,18log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系是A. a<b<cB. a<c<bC. b<c<aD. c<b<a6.函数||lg )33()(x x f xx-+=的图象大致为（ )7.运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为101，则判断框中可以填A. i>200?B. i>201?C. i>202?D. i>203?8.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物 (鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有 A. 50 种 B. 60 种 C. 70 种D. 90 种9.将函数)62sin(2)(π-=x x f 的图象向左平移6π个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是(C)A.函数)(x g 的最小正周期是2π B.函数)(x g 的图象关于直线12π-=x 对称C.函数)(x g 在)2,6(ππ上单调递减函数)(x g 在)6,0(π上的最大值是110.若函数x x f ln )(=与a x x x g ++=3)(2两个函数的图象有一条与直线x y =平行的公共切线，则=aA.-1B. 0C. 1D. 311.设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f ,0,1)(，则关于函数)(x f 有以下五个命题：①1))((,=∈∀x f f R x ;②)()()(,,y f x f y x f R y x +=+∈∃; ③函数)(x f 是偶函数； ④函数)(x f 是周期函数；⑤函数)(x f 的图象是两条平行直线.12.已知三棱锥D —ABC 的四个顶点在球0的球面上，若AB=AC=BC=DS = DC=1，当三棱锥 D-ABC 的体积取到最大值时，球0的表面积为A.35π B. π2 C. π5 D. 320π二、填空题:本大题共4小题.每小题5分，共20分。

河北省保定市史家寨中学2021年高三数学理联考试题含解析

河北省保定市史家寨中学2021年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数z满足，则A. B.C. D.参考答案：A2. 已知函数，若存在正实数，使得方程在区间（1，+）上有三个互不相等的实数根，则的取值范围是A． B． C． D．参考答案：D3. 设方程2x+2x=10的根为,则（）A．（0, 1） B．（1, 2） C．（2, 3） D．（3, 4）参考答案：C4. 若正项数列满足,且，则的值为( )A． B． C． D．参考答案：A5. 定义在(1,+∞)上的函数满足下列两个条件：（1）对任意的恒有成立；（2）当时，；记函数，若函数g(x)恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据题中条件可得的解析式，又的函数图像过点（1，0）点直线，结合函数的图像，根据题意可得参数的范围.【详解】解：因为恒有成立，所以.所以当时，有，从而.画出的图象如图所示.从图中可以看出，要使有两个零点，只要函数的图象与的图象有两个交点，当函数的图象经过点时，这时，函数恰有两个零点，当函数的图象经过点时，，函数只有一个零点，当时，或时，都不符合题意，故实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查函数零点的判定定理，解決此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质数形结合思想是高中数学的一个重要数学数学是解决数学问题的必备的解题工具，属于基础题.6. 若是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线，；②存在一个平面，；③存在两条平行直线∥∥；④存在两条异面直线∥∥．那么可以是∥的充分条件有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个参考答案：C略7. 已知函数，的零点分别为，则的大小关系是 ( ）A． B． C． D．参考答案：A8. 函数的大致图像是（）A．B．C．D．参考答案：A考点：1.函数的奇偶性；2.函数的图象；3.函数的极限.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、图象特征，属中题；在研究函数与函数图象的对应关系时，应从函数的定义域、奇偶性、单调性、最值、渐近线等性质去考查，把握函数的整体趋势，才能准确作图或找到函数对应的图象.如本题就是先考查函数的奇偶性，再研究在与时趋势选出正确答案的.9. 设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数f p（x）=，则称函数f p（x）为f（x）的“p界函数”若给定函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，则下列结论不成立的是（）A．f p=f B．f p=f C．f p=f D．f p=f参考答案：B考点：分段函数的应用．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：由于函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，求出f2（x）=，再对选项一一加以判断，即可得到答案．解答：解：∵函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，∴f2（x）=，∴A．f p=f2（﹣1）=2，f=f（﹣1）=1+2﹣1=2，故A成立；B．f p=f2（﹣2）=2，f=f（﹣2）=4+4﹣1=7，故B不成立；C．f=f（﹣1）=2，f p=f2（﹣1）=2，故C成立；D．f=f（2）=﹣1，f p=f2（2）=﹣1，故D成立．故选：B．点评：本题考查新定义的理解和运用，考查分段函数的运用：求函数值，属于中档题．10. 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？A. B. C. D.参考答案：D 【分析】根据题意可知，羊马牛的三主人应偿还的量构成了公比为2的等比数列，而前3项和为50升，即可利用等比数列求和公式求出，进而求出马主人应该偿还的量.【详解】因为斗=升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为，由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且则，解得，所以马主人要偿还的量为：，故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列基本量求解，以及数学文化，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数f （x ）满足，当x∈[﹣1，0]时，f （x ）=x ，若在区间[﹣1，1]上，g（x ）=f （x ）﹣mx+m 有两个零点，则实数m 的取值范围为．参考答案：（0，]【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据，当x∈[﹣1，0]时，f （x ）=x ，求出x∈（0，1）时，f （x ）的解析式，由在区间（﹣1，1]上，g （x ）=f （x ）﹣mx+m 有两个零点，转化为两函数图象的交点，利用图象直接的结论．【解答】解：∵x∈（﹣1，0）时，f （x ）=x ，∴当x∈（0，1]时，x ﹣1∈（﹣1，0），，可得x ﹣1=，所以f （x ）=，作出f （x ）在[﹣1，1）上的图象，如图：因为g （x ）=f （x ）﹣mx ﹣m 有两个零点，所以y=f （x ）的图象与直线y=mx ﹣m 有两个交点，由图象可知m∈（0，]．故答案为：（0，]．【点评】此题是个中档题．本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入法求函数解析式，体现了转化的思想，以及利用函数图象解决问题的能力，体现了数形结合的思想．也考查了学生创造性分析解决问题的能力． 12. 如图，是半径为1的圆的直径，△ABC 是边长为1的正三角形，则的最大值为．参考答案：略13. 已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA⊥平面ABC ，AB⊥BC，AS=AB=1，，则球O 的表面积为．参考答案：5π．【考点】球的体积和表面积．【分析】四面体S ﹣ABC 的外接球半径等于以长宽高分别SA ，AB ，BC 三边长的长方体的外接球的半径，由此有求出球O 的表面积．【解答】解：∵SA⊥平面ABC ，AB⊥BC，∴四面体S ﹣ABC 的外接球半径等于以长宽高分别SA ，AB ，BC 三边长的长方体的外接球的半径， ∵SA=AB=1，BC=，∴2R==，即R=，∴球O的表面积S=4πR2=5π．故答案为：5π．14. 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数，如．则．参考答案：3815. 已知函数，则；若，则．参考答案：或16. 已知函数f（x）满足xf′（x）=（x﹣1）f（x），且f（1）=1，若A为△ABC的最大内角，则f[tan（A﹣）]的取值范围为．参考答案：（﹣，0）∪[1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】根据条件构造函数g（x）=xf（x），求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系求函数的极值和单调性即可得到结论．【解答】解：∵xf′（x）=（x﹣1）f（x），∴f（x）+xf′（x）=xf（x）设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），即g′（x）=g（x），则g（x）=ce x，∵f（1）=1，∴g（1）=f（1）=1，即g（1）=ce=1，则c=，则g（x）=xf（x）=?e x，则f（x）=，（x≠0），函数的导数f′（x）==，由f′（x）＞0得x＞1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得x＜0或0＜x＜1，此时函数单调递减，即当x=1时，函数f（x）取得极小值，此时f（1）==1，即当x＞0时，f（x）≥1，当x＜0时，函数f（x）单调递减，且f（x）＜0，综上f（x）≥1或f（x）＜0，∵A为△ABC的最大内角，∴≤A＜π，则0≤A﹣＜，则设m=tan（A﹣），则m≥0或m＜﹣，∴当m≥0时，f（m）≥1，当m＜﹣，f（m）∈（f（﹣），0），即f（m）∈（﹣，0），即f[tan（A﹣）]的取值范围为的值域为（﹣，0）∪[1，+∞），故答案为：（﹣，0）∪[1，+∞）17. 已知分别为内角的对边, 成等比数列,当取最大值时,的最大值为.参考答案：.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

河北省保定市七峪乡中学2021年高三数学理联考试卷含解析

河北省保定市七峪乡中学2021年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合则A．B．C．D．参考答案：C2. 给定性质: ①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的是（）A．y = sin(2x－) B．y = sin(+) C．y = sin(2x+) D．y = sin|x|参考答案：A略3. 6件产品中，有2件二等品，从中任抽取2件，则抽不到二等品的概率为A． B． C．D．参考答案：A4. 3名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）.A. B. C. D.参考答案：D【分析】求得位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【详解】位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有种情况周六、周日都有同学参加公益活动，共有种情况所求概率为本题正确选项：【点睛】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.5. 若复数是纯虚数，则实数的值为A. 或B.C.D. 或参考答案：C略6. 若函数满足且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为A． B． C．D．参考答案：C略7. 命题p：“a=﹣2”是命题q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】直线与圆；简易逻辑．【分析】根据直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若“直线ax+3y ﹣1=0与直线6x+4y ﹣3=0垂直”，则6a+3×4=0，解得a=﹣2，故p 是q 成立的充要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件是解决本题的关键．8. 四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2009次互换座位后，小兔的座位对应的是（）开始第一次第二次第三次A ．编号1B ．编号2C ．编号3D ．编号4 参考答案： A9. 数列{a n }满足a n+1+(-1)n a n =2n-1,则{a n }的前60项和为( ) (A)3690(B)3660(C)1845(D)1830参考答案：D10. 已知函数，其中的最小正周期为，且当时，取得最大值，则（）A ．在区间上是增函数 B ．在区间上是增函数C ．在区间上是减函数 D ．在区间上是减函数参考答案： A本题考查了三角函数的图象性质，考查了正弦波的周期性、最值性，难度中等。

2021年河北省衡水市西半屯中学高三数学理联考试卷含解析

2021年河北省衡水市西半屯中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 直线 l与直线y=1和x﹣y﹣7=0分别交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），那么直线l的斜率是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】直线的斜率；中点坐标公式．【分析】设出P、Q两点坐标，根据重点公式求出P、Q两点的坐标，利用两点表示的斜率公式计算直线l的斜率．【解答】解：设P（a，1），Q（b，b﹣7），∵线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），∴1=，﹣1=解得，a=﹣2，b=4∴P（﹣2，1），Q（4，﹣3），直线l的斜率为： =﹣故选B2. 已知点，若动点的坐标满足，则的最小值为（）A．B． 1 C. D．参考答案：A3. 已知集合，，则（）A．B． C．D．参考答案：A依题意得，．4. 在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于（）A．4B．4C．4D．参考答案：A【考点】正弦定理．【分析】先根据已知求得∠A的值，从而由正弦定理即可求值．【解答】解：∵在△ABC中，∠B=60°，∠C=75°，∴∠A=180°﹣60°﹣75°=45°∴由正弦定理可得：b===4．故选：A．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值和正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．5. 已知等差数列的前项和为，且，则A. B. C. D.参考答案：D6. 在下列条件下，可判断平面α与平面β平行的是A. α、β都垂直于平面γB. α内不共线的三个点到β的距离相等C. l,m是α内两条直线且l∥β,m∥βD. l,m是异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β参考答案：D7. ＝( )(A) 2 (B) 4 (C) (D)0参考答案：答案：C8. 函数的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】由题意，函数在（﹣1，1）上单调递减，在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，即可得出结论．【解答】解：由题意，函数在（﹣1，1）上单调递减，在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，故选A．9. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的的值为（）（A）15 （B）105（C）245 （D）945参考答案：B10. 将一枚骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，则复数P1＋P2i所对应的点P与直线l2：x＋2y＝2的位置关系是A．P在直线l2上 B．P在直线l2的左下方C．P在直线l2的右上方 D．无法确定参考答案：B易知当且仅当≠时两条直线只有一个交点，而＝的情况有三种：a＝1，b＝2(此时两直线重合)，a＝2，b＝4(此时两直线平行)，a＝3，b＝6(此时两直线平行)，而投掷两次的所有情况有6×6＝36种，所以两条直线相交的概率P2＝1－＝；两条直线平行的概率为P1＝＝，P1＋P2i所对应的点为P(，)，易判断P(，)在l2：x＋2y＝2的左下方，选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知sinα＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则。

2020-2021学年河北省邯郸市第十一中学高三数学文联考试卷含解析

2020-2021学年河北省邯郸市第十一中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若集合A={1，2}，B={1，3}，则集合A∪B的真子集的个数为（）A．7 B．8 C．15 D．16参考答案：A【考点】子集与真子集．【分析】由根据集合的定义得到：集合A∪B={1，2，3}，由此能求出集合A∪B的真子集个数．【解答】解：∵A={1，2}，B={1，3}，∴集合A∪B={1，2，3}，∴集合A∪B的真子集个数为23﹣1=7．故选：A．【点评】本题考查并集的运算和求集合的真子集的个数．若集合A中有n个元素，则集合A有2n﹣1个真子集．2. 已知点，若动点的坐标满足，则的最小值为（）A．B．1 C. D．参考答案：A3. 已知正方形ABCD的边长为1，等于（）A．0 B．3 C． D．参考答案：答案：D4. 如图：M（x M，y M），N（x N，y N）分别是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与两条直线l1：y=m，l2：y=﹣m（A≥m≥0）的两个交点，记S=|x N﹣x M|，则S（m）图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】从已知条件及所给函数的图象出发，图象从M点到N点的变化正好是半个周期，故x N﹣x M=，则在一个周期内S=|x N﹣x M|=常数，只有C符合．【解答】解：由已知条件及所给函数的图象知，图象从M点到N点的变化正好是半个周期，故x N﹣x M=，则在一个周期内S=|x N﹣x M|=常数，只有C符合，故选：C．5. 设是虚数单位，复数（）(A) (B) (C) (D)参考答案：D6. 函数y＝log2sin x在x∈时的值域为()A．[－1,0] B. C．[0,1) D．[0,1]参考答案：B7. 设函数，若方程恰好有三个根，分别为，则的值为（）A．B．C．D．参考答案：D8. 已知数列{｝是公差为3的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，则a10等于A. 30B. 27C.24D.33参考答案：A9. 同时满足以下4个条件的集合记作：（1）所有元素都是正整数；（2）最小元素为1；（3）最大元素为2014；（4）各个元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列．那么中元素的个数是( )A．96 B．94 C．92 D．90参考答案：B10. 在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（）A．B． C． D．参考答案：B因为，，所以，故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设；，若是的充分条件，则实数m的取值范围是__________．参考答案：【分析】先令，，由命题间的关系，得到集合之间关系，进而可求出结果.详解】解：令，，因为是的充分条件，则，∴．故答案为【点睛】本题主要考查由充分条件求参数，熟记充分条件的概念，以及命题间的关系即可，属于常考题型.12. 不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则参考答案：或分两种情形：1）直角由与形成，则；2）直角由与形成，则.13. 复数(是虚数单位)的模为．参考答案：14. 设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为参考答案：15. 如果（3x ﹣）n 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是．参考答案：21【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】先通过给x 赋值1得到展开式的各项系数和；再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x 的指数为﹣3得到展开式中的系数．【解答】解：令x=1得展开式的各项系数和为2n ∴2n =128解得n=7∴展开式的通项为T r+1=令7﹣=﹣3，解得r=6∴展开式中的系数为3C 76=21 故答案为：21．【点评】本题考查求展开式的各项系数和的方法是赋值法，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．16. 已知是自然对数的底数，若函数的图象始终在轴的上方，则实数的取值范围______________.参考答案：略17. 若，且,则．参考答案：因为，所以为第三象限，所以，即。

河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试(II卷)数学(文)试题含答案

绝密★启用前河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试文科数学本试卷4页．总分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,3,5,7},{2,3,4,5}A B ==，则()UA B ⋂=（）A ．{3,5}B ．{2,4}C ．{3,7}D ．{2,5} 2，已知复数21(2)z i =-，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的日标至少需要的天数为（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．94．已知向量(1,2),||2,||13a b a b ==-=，则a 与b 的夹角为（） A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π5．甲、乙、丙、丁4人在某次考核中的成绩只有一个人是优秀，他们的对话如下，甲：我不优秀；乙：我认为丁优秀；丙：乙平时成绩较好，乙背定优秀；丁：乙的说法是错误的若四人的说法中只有一个是真的，则考核成绩优秀者为（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C 两焦点间的距离为2，且C 上的点到两焦点的距离之积为1，则C 上的点到其对称中心距离的最大值为（）A ．1BCD ．27．MOD 函数是一个求余函数，格式为MOD(,)M N ，其结果为两个数M ，N 作除法运算MN后的余数，例：MOD(36,10)6=，如图，该程序框图给出了一个求余的实例．若输入的6,1n v ==，则输出的u 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若过点2F 作渐近线的垂线，垂足为P ，且12F PF 的面积为2b ，则该双曲线的离心率为（）A ．1+B ．1+C D9．已知函数()sin()(0,||)g x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，函数()sin 2f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（）A ．1()22g x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．1()22x g x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．1()22x g x f ⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．()(21)g x f x =- 10．中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t 期中药材资源的再生量()1t t t x f x rx N⎛⎫=-⎪⎝⎭，其中t x 为t 期中药材资源的存量，r ，N 为正常数，而t 期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t 期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（） A ．2r B ．3r C ．4r D ．5r 11．已知圆22:1C x y +=，直线:2l x =，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,2)C ．(2,1)D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭12．已知函数)()ln3sin 2f x x x x =+-+，则不等式2(1)41f f x ⎛⎫+-< ⎪+⎝⎭的解集是（） A ．{|11}x x x <->或 B ．{|1}x x > B ．{|1}x x <- D ．{|11}x x -<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角α的终边上有一点(2,3)P ，则cos2α的值为___________．14．若x ，y 满足约束条件1,36,24,x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩则4z x y =+的最小值为__________．15．已知直线:l y x b =+为曲线()xf x e =的切线，若直线l 与曲线217()22g x x mx =-+-也相切，则实数m 的值为__________．16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若sin sin B C =c =，则ABC 外接圆半径的最小值为______________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知在公比为2的等比数列{}n a 中，234,,4a a a -成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()2125log 1,,,?,n n n a n b a n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n b 的前2n 项和2n S ． 18．（12分）某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查．得到的数据如下：从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是13．（1）求22⨯列联表中p ，q ，x ，y 的值；（2）是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？（3）若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，2PA AB ==，PB =，60ABC ∠=︒，且平面PAC ⊥平面ABCD ．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）若M 是PC 上一点，且BM PC ⊥，求三棱锥M BCD -的体积． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，M 是椭圆E 上一点，M 关于x 轴的对称点为N ，且14MA NB k k ⋅=．（1）求椭圆E 的离心率；（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，斜率为1的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，在y 轴上存在点R ，使得以线段PQ 为直径的圆经过点R ，且()0RQ RP PQ +⋅=，求直线l 的方程． 21．（12分）已知函数()(0)xa xf x a xe-=>．（1）求函数()y f x =的单调区间；（2）在区间,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上，()f x 是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为2,x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数）以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求圆C 的普通方程及极坐标方程；（2）过点A 的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，当MCN 面积最大时，求直线l 的直角坐标方程． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）设函数()1|21|f x x x =---．（1）求不等式()1f x -的解集；（2）若不等式()1f x ax <-恒成立，求实数a 的取值范围．河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试·文科数学一、选择题1．B 【解析】由题意得{2,4,6,8}UA =，所以(){2,4}U AB ⋂=．2．D 【解析】复数21134(2)342525z i i i ===+--，则342525z i =-，所以在复平面内z 对应的点位于第四象限．3．C 【解析】设第n 天募捐到n a 元，则数列{}n a 是以1000为首项，500为公差的等差数列，所以其前n 项和250(3)n S n n =+．因为7817500,22000S S ==，所以至少需要8天可完成募捐目标．4．D 【解析】因为||13a b -=，所以2()13a b -=，即22213a a b b -⋅+=．设a 与b 的夹角为θ，则32cos 413θ-⨯+=，解得cos 2θ=-，所以a 与b 的夹角为56π． 5．A 【解析】假设甲优秀，则甲、乙、丙说法错误，丁说法正确，满足题设要求；假设乙优秀，则乙说法错误，甲、丙、丁说法正确，不满足题设要求；假设丙优秀，则乙、丙说法错误，甲、丁说法正确，不满足题设要求；假设丁优秀，则丙、丁说法错误，甲、乙说法正确，不满足题设要求综上，优秀者为甲． 6．B 【解析】设左、右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 的中点为坐标原点，12,F F 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则12(1,0),(1,0)F F -．设曲线上任意一点(,)P x y ，1=，化简得该卡西尼卵形线的方程为()()222222x yx y +=-，显然其对称中心为(0,0)．由()()222222xy x y +=-得()()222222240x y x y y +-+=-，所以()()222222x y x y ++，所以2202x y +2．当且仅当0,y x ==时等号成立，所以该卡西尼卵形线上的点．7．A 【解析】当1i =时，1v =；当2i =时，2v =；当3i =时，4v =…当7i =时，64v =，所以MOD(64,7)1u ==．8．D 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，在2OPF 中，122222,,||,2F PF OPF PF b OF c OP a SS ab b ======，所以a b =，离心率c e a === 9．C 【解析】由题图可得()sin2g x x π=，所以由()sin 2f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象得()g x 的图象，只需将()f x 图象上的所有点向左平移12个单位长度得到12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得1()sin 222x g x f x π⎛⎫=+=⎪⎝⎭．10．A 【解析】由题意得()22124t t t t t t x rx r N rN f x rx rx x N N N ⎛⎫⎛⎫=-=-+=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当2t N x =时，()t f x 有最大值4rN，所以当利用量与最大再生量相同时，采挖强度为422rNr N =． 11．A 【解析】因为P 为直线l 上的动点，所以可设(2,)P t ，由题意可得圆心C 的坐标为(0,0)，以线段PC 为直径的圆N 的方程为2220x y x ty +--=．两圆方程作差，即得两圆公共弦AB 的方程为210x ty +-=，所以直线AB 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭．12．D【解析】构造函数)()()2ln 3sin g x f x x x x =-=-+-．因为()()0g x g x -+=，所以()gx 是奇函数，因为)ln3lnx -=，(sin )cos 10x x x '-=-，所以()g x 在区间(0,)+∞上是减函数．因为()g x 是奇函数且(0)0g =，所以()g x 在R 上是减函数．不等式2(1)41f f x ⎛⎫+-< ⎪+⎝⎭等价于22(1)201f f x ⎛⎫-+--< ⎪+⎝⎭，即2(1)(1)1g g g x ⎛⎫<--= ⎪+⎝⎭，所以211x >+，解得11x -<<．二、填空题13．513- 【解析】由题意得sin α==，则225cos212sin 121313αα⎛=-=-⨯=- ⎝⎭． 14．325【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，所以当目标函数过直线36,24x y x y +=-=-的交点224,55⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取最小值，所以min 224324555z =⨯+=．15．4或2- 【解析】设直线:l y x b =+与曲线()xf x e =相切于点()00,xx e ，由()001xf x e '==，得00x =，所以切点坐标为(0,1)，所以直线l 的方程为1y x =+．又由直线l 与曲线()g x 相切，得217122x mx x -+-=+，化简得222(1)90,4(1)360x m x m --+=∆=--=，解得4m =或2m =-．16．1 【解析】由sinsin B C =，得sin cos 2sin sin cos B B C C C B +=-，即sin 2sin A B C =，所以由正弦定理得2a c=．所以22262cos 2a b c C ab +--==，所以62sin C +，设ABC 外接圆半径为R ，因此22(31)sin cR C=-，所以31R -1．三、解答题17．解：（1）因为数列{}n a 的公比q 为2，所以2131412,4,484a a a a a a ==-=-．因为234,,4a a a -成等差数列，所以1118284a a a =+-，解得12a =，所以2nn a =．（6分）（2）由（1）可得51,?,.?n nn n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数（8分）所以奇数项是以6为首项，10为公差的等差数列，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，所以()()21321242n n n S b b b b b b -=+++++++()(616104)242n n =+++-++++()212(6104)212nn n -+-=+- 21522n n n +=++-12252n n n +=++-．（12分）18．解：（1）由题意得1163p p =+，解得8p =，所以40832q =-=，（2分）所以16824,443276x y =+==+=．（4分）（2）由列联表中的数据可得2K 的观测值2100(1632844)0.585 2.70660402476k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯．（5分）所以没有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关．（7分）（3）由（1）得“健康达人”共有24人，其中男性16人，女性8人，所以抽样比61244k ==．（7分）因此按性别分层抽样抽取的6人中有男性11644⨯=人，记为1234,,,A A A A ，女性1824⨯=人，记为12,B B ，（9分）从这6人中抽取2人的所有方式为()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()24,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()34,A A ，()31,A B ，()32,A B ，()41,A B ，()42,A B ，()12,B B ，共15种情况，其中符合题目要求的是6种情况，所以抽取的全是男性的概率为62155P ==．（12分）19．（1）证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥．因为平面PAC ⊥平面ABCD ，平面PAC ⋂平面,ABCD AC BD =⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAC ．（2分）因为PA ⊂平面PAC ，所以PA BD ⊥．（3分）又因为2,PA AB PB === 所以222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥．（5分）又因为,AB BD ⊂平面,ABCD AB BD B ⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ．（6分）（2）解：由（1）得PA ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥，（8分）所以PC ==，所以PBC 为等腰三角形．在PBC 中，由余弦定理得2223cos 24PB PC BC BPC PB PC +-∠==⋅．因为BM PC ⊥，所以34PM PB =，所以34PM PC =．易得14CM PC =，（10分）又1sin1202BCDSBC CD =⋅︒=，所以111112443436BCDM BCD P BCDV V S PA--==⨯⨯=⨯=三棱锥三棱锥．（12分）20．解：（1）由椭圆E的方程可得(,0),(,0)A aB a-．设()00,M x y，则()00,N x y-，所以200022000.MA NBy y yk kx a x a x a-⋅=⋅=-+--．又点()00,M x y在椭圆E上，所以2200221x ya b+=，所以22220002221y x a xb a a-=-=，所以2222214MA NBy bk kx a a⋅=-==-，所以椭圆E的离心率e====．（4分）（2）由题意知椭圆E的一个焦点为，所以椭圆E的标准方程为2214xy+=．（5分）设直线l的方程为()()1122,(0,),,,,y x m R t P x y Q x y=+，线段PQ的中点为(),S SS x y，联立221,4,xyy x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y，得2258440x mx m++-=，则()()2226420441650m m m∆=--=->，解得25m<，所以21212844,55m mx x x x-+=-=，（7分）所以124,255S S Sx x m mx y x m+==-=+=，所以4,55m mS⎛⎫- ⎪⎝⎭．（8分）由()0RQ RP PQ +⋅=，得RS PQ ⊥，（9分）所以511405m t m -⨯=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得35mt =-．（10分）又因为以线段PQ 为直径的圆过点R ，所以PR QR ⊥，所以12121y t y tx x --⋅=-．又1122,y x m y x m =+=+，代入上式整理得()212122()()0x x m t x x m t +-++-=，即()222244880555m m m -⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1m =±．所以直线l 的方程为1y x =±．（12分）21．解：（1）由题意得函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞，（1分）则22()xx ax af x x e --'=．（3分）令()0f x '=，得12x x ==．因为0a >，所以120,0x x <>．当x 在定义域上变化时，()f x '的变化情况如下表：所以函数()y f x =的单调递增区间为,,22a a ⎛⎛⎫-+-∞+∞⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为,0,22a a ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（6分）（2）令()0xa xf x xe -==，得x a =，则a 是函数()f x 的唯一零点．（7分）因为20a x a -=-=<，所以20a x <<，所以202aa x <<<．当0x a <<时，()0f x >；当x a >时，()0f x <．（9分）由（1）可知函数()f x 在区间2,2ax ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增，（10分）所以()f x 在区间,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最大值为22a a f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小值为()2222x a x f x x e -=，其中2x = （12分）22．解：（1）圆C 的直角坐标方程为22(2)8x y -+=，（2分）极坐标方程为24cos 4ρρθ-=．（4分）（2）4A π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(4,4)A ．（5分） 111||||sin ||||84222MCNSCM CN MCN CM CN =∠=⨯=，当90MCN ∠=︒时，面积最大，此时，圆心C 到直线l 的距离22d =⨯=．（6分）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为4x =，满足题意；（7分）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k -+-=，圆心C 到直线l的距离2d ==，解得34k =，即3440x y -+=．（9分）综上，直线l 的方程为4x =或3440x y -+=．（10分）23．解：（1）由题意得1,,2()132,,2x x f x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩ （2分）当12x时，令1x --，解得112x ；当12x <时，令321x --，解得1132x <．（4分）综上所述，()1f x -的解集为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（5分）（2）由（1）得1,,2()132,,2x x f x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩当12x，-1x ax -<-，即(1)10a x +->，（6分）此时，应有10,1(1)10,2a a +>⎧⎪⎨+->⎪⎩解得1a >；（7分）当12x <时，321x ax -<-，即(3)10a x -+>，（8分）此时，应有30,1(3)10,2a a -⎧⎪⎨-+⎪⎩解得13a ．（9分）综上所述，实数a 的取值范围是(1,3]．（10分）。

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