安徽省2019-2020学年度第一学期芜湖市中小学校教育教学质量监控高三年级数学试题卷(文科)

芜湖市高三年级数学（文）试卷第４页（共４页）
２０１９—２０２０学年度第一学期芜湖市中小学校教育教学质量监控
高三数学（文科）参考答案
一、选择题：本题共 １２小题，每小题 ５分，共 ６０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．
题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２
Ａ７６Ｂ→Ａ－１２Ｂ→Ｃ Ｂ１ ６Ｂ→Ａ－１ ２Ｂ→Ｃ
Ｃ７６Ｂ→Ａ＋１２Ｂ→Ｃ Ｄ１ ６Ｂ→Ａ＋１ ２Ｂ→Ｃ
９．已知一个几何体的三视图如右图所示，俯视图为正三
角形，则该几何体的体积为
Ａ２
Ｂ６
Ｃ槡３
Ｄ３槡３
第 ９题图
１０已知函数 ｆ（ｘ） ＝ｘ２ ＋２ｃｏｓｘ，若 ｆ′（ｘ）是 ｆ（ｘ）的导函数，则函数 ｆ′（ｘ）的图象大致是
＝２ｘ０
解得 ｘ０ ＝２，ｐ＝４，∴ 抛物线的方程为 ｙ２ ＝８ｘ．………………………………… ４分
（２）设直线 ｌ的方程为 ｘ＝ｍｙ＋ｎ，Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）
{ｙ２ ＝８ｘ
联立
，消 ｘ得：ｙ２ －８ｍｙ－８ｎ＝０，Δ ＝３２（２ｍ２ ＋ｎ） ＞０，
ｘ＝ｍｙ＋ｎ
∴ｙ１ ＋ｙ２ ＝８ｍ，ｙ１ｙ２ ＝－８ｎ， ……………………………………………………… ６分
１９．（本小题满分 １２分） （１）连接 ＢＣ１交 Ｂ１Ｃ于点 Ｆ，连接 ＥＦ，则 Ｆ为 ＢＣ１的中点， 又 ∵Ｅ为 ＡＢ的中点，∴ＥＦ为 △ＡＢＣ１的中位线， ∴ＡＣ１∥ ＥＦ， …………………………………………… ３分 又 ＡＣ１ 平面 ＥＣＢ１，ＥＦ 平面 ＥＣＢ１， ∴ＡＣ１∥ 平面 ＥＣＢ１；…………………………………… ５分 （２）连接 Ｄ１Ｆ，可以证明 ＡＣ１⊥ 平面 Ｄ１Ｂ１Ｃ，……………… ８分 由（１）得：ＡＣ１∥ ＥＦ，∴ＥＦ⊥ 平面 Ｄ１Ｂ１Ｃ， ∴ 直线 Ｄ１Ｅ与平面 Ｄ１Ｂ１Ｃ所成的角为 ∠ＥＤ１Ｆ，
Ｂ２∶槡２∶槡３
Ｃ２∶槡２∶１
Ｄ２∶槡２∶３
１２．已知函数 ｆ（ｘ） ＝｜ｃｏｓ２ｘ｜＋ｃｏｓ｜ｘ｜，ｘ∈ ［－π，π］，则下列说法错误的为
Ａｆ（ｘ）有 ２个零点
Ｂｆ（ｘ）最小值为 －槡２２
Ｃｆ（ｘ）在区间（０，π４）单调递减
Ｄｆ（ｘ）的图象关于 ｙ轴对称
二、填空题：本题共 ４小题，每小题 ５分，共 ２０分．
（２）由余弦定理得：ｃ２ ＝ａ２ ＋ｂ２ －２ａｂｃｏｓＣ ＝（ａ＋ｂ）２ －３ａｂ，……………………… ９分
∴ａｂ＝３，∴Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ａｂｓｉｎＣ ＝３４槡３．…………………………………………… １２分 １８．（本小题满分 １２分）
（１）第一步：分组 将 ２０００名学生分成 ５０组，每组 ４０人，编号是 ０００１～００４０的为第 １组， 编号为 ００４１～００８０的为第 ２组，…，编号为 １９６１～２０００为第 ５０组； 第二步：抽样 在第 １组中用简单随机抽样方法（抓阄）抽取一个编号为 ｍ的学生，则 在第 ｋ组抽取编号为 ４０（ｋ－１）＋ｍ的学生．每组抽取一人，共计抽取 ５０名学生． （说明：步骤合理酌情给分．） ……………………………………………………… ６分
（２）记该班 ３个 １档的学生为 Ａ１，Ａ２，Ａ３，２个 ２档的学生为 Ｂ１，Ｂ２，１个 ３档的学生为 Ｃ１，从 该班获得助学金的同学中选择 ２名同学不在同一档为事件 Ａ． 基 本 事 件：Ａ１Ａ２，Ａ１Ａ３，Ａ１Ｂ１，Ａ１Ｂ２，Ａ１Ｃ１，Ａ２Ａ３，Ａ２Ｂ１，Ａ２Ｂ２，Ａ２Ｃ１，Ａ３Ｂ１，Ａ３Ｂ２，Ａ３Ｃ１，Ｂ１Ｂ２， Ｂ１Ｃ１，Ｂ２Ｃ１，共计 １５个． 事件 Ａ包含的基本事件共有 １１个，则 Ｐ（Ａ） ＝１１１５．……………………………… １２分 芜湖市高三年级数学（文）参考答案第１页（共３页）
{ 在直角坐标系 ｘＯｙ中，曲线 Ｃ的参数方程为 ｘ＝ｃｏｓθ－槡３ｓｉｎθ （θ为参数），以坐标原 ｙ＝ｓｉｎθ＋槡３ｃｏｓθ＋２ 点为极点，ｘ轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （１）求曲线 Ｃ的极坐标方程； （２）若直线 ｌ１，ｌ２的极坐标方程分别为 θ＝ π６（ρ∈ Ｒ），θ＝２３π（ρ∈ Ｒ），设直线 ｌ１，ｌ２与曲
考生都必须作答．第 ２２、２３题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 ６０分
１７．（本小题满分 １２分）
在
△ＡＢＣ中，内角
Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为
ａ，ｂ，ｃ，且满足
ａ ｂ
－１
＝
ｂｃｃｏｓＢ－ｃｏｓＣ．
（１）求角 Ｃ的大小；
（２）若 ｃ＝２，ａ＋ｂ＝ 槡１３，求 △ＡＢＣ的面积．
１８．（本小题满分 １２分） 为了减轻家庭困难的高中学生的经济负担，让更多的孩子接受良好的教育，国家施行高中 生国家助学金政策，普通高中国家助学金平均资助标准为每生每年 １５００元，具体标准由各 地结合实际在 １０００元至 ３０００元范围内确定，可以分为两或三档．各学校积极响应政府号 召，通过各种形式宣传国家助学金政策．为了解某高中学校对国家助学金政策的宣传情况， 拟采用随机抽样的方法抽取部分学生进行采访调查． （１）若该高中学校有 ２０００名在校学生，编号分别为 ０００１，０００２，０００３，…，２０００，请用系统抽 样的方法，设计一个从这 ２０００名学生中抽取 ５０名学生的方案．（写出必要的步骤） （２）该校根据助学金政策将助学金分为 ３档，１档每年 ３０００元，２档每年 ２０００元，３档每年 １０００元，某班级共评定出 ３个 １档，２个 ２档，１个 ３档，若从该班获得助学金的学生中 选出 ２名写感想，求这 ２名同学不在同一档的概率．
线 Ｃ的交点分别为 Ｍ，Ｎ（除极点外），求 △ＯＭＮ的面积
２３［选修 ４—５：不等式选讲］
（本小题满分 １０分）
已知函数 ｆ（ｘ） ＝｜ｘ－４｜－２｜ｘ－１｜的最大值为 ｍ．
（１）解不等式 ｆ（ｘ） ＞１；
（２）若
ａ，ｂ，ｃ均为正数，且满足
ａ＋ｂ＋ｃ＝ｍ，求证：ｂａ２
＋ｃ２ ｂ
＋ａｃ２ ≥
３．
{ｘ≤ ２
１３．若 ｘ，ｙ满足约束条件 ｘ－ｙ＋２≥ ０，则 ｚ＝３ｘ－ｙ的最小值为
．
ｘ＋ｙ－２≥ ０
芜湖市高三年级数学（文）试卷第２页（共４页）
１４．函数 ｆ（ｘ） ＝ｘｌｎｘ在 ｘ＝１处的切线方程为
．
１５．已知数列｛ａｎ｝是等差数列，且公差 ｄ＜０，ａ１ ＝ｆ（ｘ＋１），ａ２ ＝０，ａ３ ＝ｆ（ｘ－１），
答案
ＣＢＤＣＢＤＡＤＣＡＢＡ
二、填空题（本大题共 ４小题，每小题 ５分，共 ２０分）
１３．－２ １４．ｘ－ｙ－１＝０ １５．－７０ １６．槡５１０
三、解答题（本大题共 ８小题，共 ７０分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
１７．（本小题满分 １２分ｃｏｓＢ－ｃｏｓＣ得：ａ－ｂ＝ｃｃｏｓＢ－ｂｃｏｓＣ，
其中 ｆ（ｘ） ＝ｘ２ －４ｘ＋２，则｛ａｎ｝的前 １０项和 Ｓ１０ ＝
．
１６．已知
Ｆ１，Ｆ２是椭圆
ｘ２ ａ２
＋ｙ ｂ２ ２
＝１（ａ＞ｂ＞０）的左、右焦点，过左焦点
Ｆ１的直线交椭圆于
Ａ，
Ｂ两点，且满足 ｜ＡＢ｜＝｜ＢＦ２｜＝４｜ＢＦ１｜，则该椭圆的离心率是
．
三、解答题：共 ７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 １７～２１题为必考题，每个试题
一、选择题：本题共 １２小题，每小题 ５分，共 ６０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
１．已知集合 Ａ＝｛ｘ｜０＜ｘ＜３｝，集合 Ｂ ＝｛ｘ｜｜ｘ｜＜２｝，则 Ａ∪ Ｂ ＝
Ａ（－２，０）
Ｂ（０，２）
Ｃ（－２，３）
Ｄ（２，３）
２．已知 ｚ＝３１＋－ｉｉ，其中 ｉ是虚数单位，则 ｜ｚ｜＝
２０１９—２０２０学年度第一学期芜湖市中小学校教育教学质量监控
高 三 年 级 数 学 （文科）
本试卷共 ４页，２３小题，满分 １５０分 考试用时 １２０分钟
注意事项： １答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卷上 将条形码横贴 在答题卷右上角“条形码粘贴处” ２作答选择题时，选出每小题答案后，用 ２Ｂ铅笔在答题卷上对应题目选项的答案信息点涂 黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 答案不能答在试卷上 ３非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液 不 按以上要求作答无效 ４考生必须保证答题卷的整洁 考试结束后，将试卷和答题卷一并交回
设正方体的棱长为 ａ，则 Ｄ１Ｅ ＝ ３ ２ａ，ＥＦ ＝槡２３ａ，
∴ｓｉｎ∠ＥＤ１Ｆ
＝ ＥＦ Ｄ１Ｅ
＝槡３３．…………………………………………………………
１２分
∴ 直线 Ｄ１Ｅ与平面 Ｄ１Ｂ１Ｃ所成角的正弦值为槡３３
２０．（本小题满分 １２分）
{１６＝２ｐｘ０，
（１）由题可得：
｜ＰＦ｜＝ｘ０
＋
ｐ ２
Ａ槡３
Ｂ槡５
Ｃ２
３．某学校组织学生参加宪法日答题活动，成绩的频率
Ｄ３
分 布 直 方 图 如 图 所 示， 数 据 的 分 组 区 间 是：
［２０，４０），［４０，６０），［６０，８０），［８０，１００］，该校参与答
题活动的学生共 １０００人，则答题分数不低于 ８０分的
人数为
Ａ１５
Ｂ３０
Ｃ１５０
Ｄ３００
４．双曲线
ｘ２ ９
－ｙ２ １６
＝１的左顶点到其渐近线的距离为
第 ３题图
Ａ２
Ｂ９ ５
Ｃ１５２
Ｄ３
５．记 Ｓｎ为等比数列｛ａｎ｝的前 ｎ项和，且 ａｎ ＞０，若 Ｓ２ ＝６，Ｓ４ ＝１２５，则 ａ２ ＝
Ａ１
Ｂ２
Ｃ４
６．已知 ａ＝２０．１，ｂ＝０．８０．１，ｃ＝ｌｏｇ４８，则 ａ，ｂ，ｃ的大小关系为
１１．如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形，而且每个顶点都引出相同数目的棱，那 么这个凸多面体叫做正多面体 古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》的卷 １３中系 统地研究了正多面体的作图，并证明了每个正多面体都有外接球．若正四面体、正方体、正 八面体的外接球半径相同，则它们的棱长之比为
Ａ槡２∶１∶槡３
由正弦定理可得：ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢ ＝ｓｉｎＣｃｏｓＢ－ｓｉｎＢｃｏｓＣ，
又 Ａ＝π－（Ｂ＋Ｃ），
∴ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）－ｓｉｎＢ ＝ｓｉｎＣｃｏｓＢ－ｓｉｎＢｃｏｓＣ，
故：－ｓｉｎＢ ＝－２ｓｉｎＢｃｏｓＣ，
又 ∵ｓｉｎＢ ＞０，∴ｃｏｓＣ ＝ １ ２，∵Ｃ∈ （０，π），∴Ｃ ＝ π３． ………………………… ６分
２１．（本小题满分 １２分） 已知函数 ｆ（ｘ） ＝ａｅｘ －２ｘ，ａ∈ Ｒ． （１）求函数 ｆ（ｘ）的极值； （２）当 ａ≥ １时，证明：ｆ（ｘ）－ｌｎｘ＋２ｘ＞２．
（二）选考题：共 １０分 请考生在第 ２２、２３题中任选一题作答 如果多做，则按所做的第一题计分 ２２［选修 ４—４：坐标系与参数方程］ （本小题满分 １０分）
∴ｋＡＰ
＝ｙ１ ｘ１
＋４ －２
＝
ｙ１ ｙ２ １
＋４ －２
＝ｙ１８－４，同理
ｋＢＰ
＝ｙ２８－４，……………………………
８分
８
又 ｋＡＰ ＋ｋＢＰ ＝－２，∴ｙ１ｙ２ －１６＝０，∴ｎ＝－２， ∴ 直线 ｌ的方程为：ｘ＝ｍｙ－２，过定点（－２，０）． ……………………………… １２分
２１．（本小题满分 １２分） （１）ｆ′（ｘ） ＝ａｅｘ －２，
Ａａ＞ｂ＞ｃ
Ｂａ＞ｃ＞ｂ
Ｃｃ＞ｂ＞ａ
Ｄ１２ Ｄｃ＞ａ＞ｂ
芜湖市高三年级数学（文）试卷第１页（共４页）
７．“ｍ ＝１”是“直线 ｌ１：ｘ＋ｍｙ＋１＝０与直线 ｌ２：ｘ－ｍｙ－１＝０垂直”的
Ａ充分不必要条件
Ｂ必要不充分条件
Ｃ充分必要条件
Ｄ既不充分也不必要条件
８．在 △ＡＢＣ中，Ｂ→Ｄ ＝ １ ２Ｄ→Ａ，Ｃ→Ｅ ＝Ｅ→Ａ，则Ｄ→Ｅ为
１９．（本小题满分 １２分） 如图，在正方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，点 Ｅ是 ＡＢ中点． （１）证明：ＡＣ１∥ 平面 ＥＣＢ１； （２）求直线 Ｄ１Ｅ与平面 Ｄ１Ｂ１Ｃ所成角的正弦值．
芜湖市高三年级数学（文）试卷第３页（共４页）
２０．（本小题满分 １２分） 已知抛物线 Ｃ：ｙ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）上一点 Ｐ（ｘ０，－４）到焦点 Ｆ的距离 ｜ＰＦ｜＝２ｘ０． （１）求抛物线 Ｃ的方程； （２）设直线 ｌ与抛物 Ｃ交于 Ａ，Ｂ两点（Ａ，Ｂ异于点 Ｐ），且 ｋＡＰ ＋ｋＢＰ ＝－２，试判断直线 ｌ是 否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．