2.121212函数的极限
lim极限运算公式总结
lim极限运算公式总结好的，以下是为您生成的关于“lim 极限运算公式总结”的文章：在数学的奇妙世界里，极限可是个相当重要的概念。
咱今天就来好好唠唠 lim 极限运算的那些公式。
先来说说极限的定义吧。
想象一下，有一个数列或者一个函数，当自变量无限趋近于某个值的时候，对应的函数值也会无限趋近于一个确定的数，这个确定的数就是极限。
比如说，当 x 无限趋近于 1 的时候，函数 f(x) = x + 1 的值就无限趋近于 2，那 2 就是这个函数在 x 趋近于 1 时的极限。
接下来，咱们瞅瞅几个常见又实用的极限运算公式。
第一个就是常数的极限，lim C = C （C 为常数）。
这就好比你兜里有 10 块钱，不管啥时候，它就是 10 块钱，不会变。
然后是幂函数的极限，lim x^n = a^n （当 x 趋近于 a 时）。
比如说，lim x^2 （当 x 趋近于 3 时），那极限就是 3^2 = 9 。
再说说指数函数的极限，lim a^x = a^a （当 x 趋近于 a 时）。
还有对数函数的极限，lim loga x = loga a （当 x 趋近于 a 时）。
这些公式看起来可能有点枯燥，但在解题的时候可好用啦！我记得有一次给学生们讲这部分内容，有个学生特别较真儿。
那是一道求极限的题目，他用了各种方法，可就是算不对。
我就带着他一步一步来，从最基础的公式入手，一点点分析。
我发现他老是在一些细节上出错，比如把指数的运算搞错了。
我就跟他说：“你可别小看这小小的指数，它能决定你这道题的生死呢！”最后，他终于搞明白了，那种恍然大悟的表情，让我觉得特有成就感。
咱们继续说极限运算的公式哈。
还有两个重要的极限公式也得记住。
一个是 lim (1 + 1/x)^x = e （当x 趋近于无穷大时），另一个是 lim (1 + x)^(1/x) = e （当 x 趋近于 0 时）。
这两个公式在很多难题里都会派上用场。
在运用这些公式的时候，一定要注意条件和适用范围。
极限的公式总结
极限的公式总结极限是高等数学中的重要概念，它在数学、物理和工程等领域中都有着广泛的应用。
极限的公式可以帮助我们求解一些复杂的问题和优化计算。
在本文中，我们将总结一些常见的极限公式，包括函数极限、无穷极限和级数极限等。
一、函数极限公式1. 一次函数极限：若 f(x) = ax + b（a≠0），则当x→a 时，f(x) 的极限为f(a)=a*a+b。
2. 二次函数极限：若 f(x) = ax² + bx + c（a≠0），则当x→a 时，f(x) 的极限为f(a)=a*a²+b*a+c。
3. 幂函数极限：若 f(x) = x^a（a为实数），则当x→∞ 或x→-∞ 时，f(x) 的极限为：- 若 a > 0，则极限为∞ 或 -∞，具体取决于 x 的正负；- 若 a = 0，则极限为 1；- 若 a < 0，则极限为 0。
4. 指数函数极限：α 为常数，若f(x) = α^x，则当x→∞ 或x→-∞ 时，f(x) 的极限为：- 若α > 1，则极限为∞ 或 0，具体取决于 x 的正负；- 若0 < α < 1，则极限为 0 或∞，具体取决于 x 的正负； - 若α = 1，则极限为 1。
5. 对数函数极限：若f(x) = logₐ(x)（a>0 且a≠1），则当x→0 或x→∞ 时，f(x) 的极限为：- 当 a > 1 时，极限为 -∞ 或∞，具体取决于 x 的趋势；- 当 0 < a < 1 时，极限为∞ 或 -∞，具体取决于 x 的趋势。
6. 三角函数极限：- sin(x) 的极限为 1，当x→0 时；- cos(x) 的极限为 1，当x→0 时；- tan(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→(nπ/2)(n为整数) 时；- cot(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→nπ(n为整数) 时；- sec(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→(2n+1)(π/2)(n为整数) 时； - csc(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→nπ(n为整数) 时。
第一极限和第二极限公式
第一极限和第二极限公式极限是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点上的趋势和变化规律。
在计算极限时，我们常常使用第一极限和第二极限公式来简化计算过程。
一、第一极限公式第一极限公式是计算函数在某一点上的极限的常用方法之一。
它的表达式为：lim(x→a) f(x) = f(a)这个公式的意思是当自变量x无限接近于a时，函数f(x)的值趋近于f(a)。
也就是说，在函数图像上，当x的取值无限接近于a时，函数图像上的点也无限接近于点(a, f(a))。
举个例子来说明，我们考虑函数f(x) = x^2，在点x=2处计算极限。
根据第一极限公式，我们可以得到：lim(x→2) x^2 = 2^2 = 4这个结果意味着当x无限接近于2时，函数f(x)的值无限接近于4。
可以通过绘制函数图像来验证这一结论，我们会发现当x越来越接近2时，函数图像上的点也越来越接近于点(2, 4)。
第一极限公式的应用范围非常广泛，可以用于计算各种类型的函数在某一点上的极限。
二、第二极限公式第二极限公式是计算函数在无穷远点上的极限的常用方法之一。
它的表达式为：li m(x→∞) f(x) = L其中L为常数。
这个公式的意思是当自变量x趋向于无穷大时，函数f(x)的值趋近于常数L。
举个例子来说明，我们考虑函数f(x) = 1/x，在x趋向于无穷大时计算极限。
根据第二极限公式，我们可以得到：lim(x→∞) 1/x = 0这个结果意味着当x趋向于无穷大时，函数f(x)的值趋近于0。
通过绘制函数图像，我们会发现当x趋向于无穷大时，函数图像逐渐趋近于x轴，与x轴越来越接近。
第二极限公式也可以用于计算其他类型的函数在无穷远点上的极限，只需要根据函数的表达式进行相应的计算即可。
第一极限和第二极限公式是在计算函数极限时常用的工具。
通过这些公式，我们可以简化计算过程，得到函数在某一点或无穷远点上的极限值。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的极限公式进行计算，从而得到准确的结果。
极限 公式
极限公式极限，是数学中一个重要的概念。
它描述了一种趋向于某个值的过程，即当某个变量趋于无穷大或无穷小时，另一个变量的值也趋于某个特定的值。
极限的概念在微积分中起到了至关重要的作用，它帮助我们理解函数的性质和变化规律。
在计算极限时，我们经常使用一些常见的极限公式。
这些公式是通过推导和证明得到的，可以简化计算过程，提高效率。
下面我将介绍几个常见的极限公式。
首先是函数的极限。
对于一个函数f(x)，当x趋近于某个特定的值a 时，我们可以通过计算f(x)的极限来确定函数在该点的性质。
常见的函数极限公式包括：1. 常数函数的极限：对于常数c，lim(x→a) c = c。
这意味着当x趋近于a时，常数函数的值保持不变。
2. 幂函数的极限：对于幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，lim(x→a) x^n = a^n。
这意味着当x趋近于a时，幂函数的值趋近于a的n次方。
3. 指数函数的极限：对于指数函数f(x) = a^x，其中a为正常数且不等于1，li m(x→a) a^x = a^a。
这意味着当x趋近于a时，指数函数的值趋近于a的a次方。
4. 对数函数的极限：对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为正常数且不等于1，lim(x→a) log_a(x) = 1。
这意味着当x趋近于a时，对数函数的值趋近于1。
除了函数的极限，还有一些常见的数列极限公式。
数列是一列有序的数值，我们可以通过计算数列的极限来确定数列的性质。
常见的数列极限公式包括：1. 等差数列的极限：对于等差数列{a_n}，其中a_1为首项，d为公差，lim(n→∞) a_n = a_1。
这意味着当n趋近于无穷大时，等差数列的值趋近于首项。
2. 等比数列的极限：对于等比数列{a_n}，其中a_1为首项，q为公比，lim(n→∞) a_n = 0 (|q|<1) 或lim(n→∞) a_n = ∞ (|q|>1)。
这意味着当n趋近于无穷大时，等比数列的值趋近于0或无穷大，取决于公比的大小。
数学极限公式知识点总结
数学极限公式知识点总结极限的数学定义是非常严格和精确的，它可以在多种情况下应用，比如在求导和积分中。
极限是微积分基本概念之一，也是微积分的核心内容之一。
所以，掌握极限的概念和计算方法对于学习微积分课程非常重要。
下面我将对极限的基本概念、常见的极限计算方法以及一些常见的极限公式进行总结和归纳，希望对大家学习极限有所帮助。
一、极限的基本概念1. 自变量趋于无穷大时的极限当自变量趋于无穷大时，函数的极限情况是我们经常遇到的一种情况。
在这种情况下，我们可以利用一些方法来求解函数的极限。
比如，可以利用函数的单调性和有界性来求解函数的极限值。
在计算自变量趋于无穷大时函数的极限值时，我们通常使用无穷小量的代换法，可以将函数化简成一个易于求解的形式。
此外，我们还可以利用夹逼定理来求解自变量趋于无穷大时函数的极限值。
2. 自变量趋于有限数值时的极限当自变量趋于有限数值时，函数的极限情况也是我们经常遇到的一种情况。
在这种情况下，我们可以利用函数的特性来求解函数的极限。
比如，可以利用函数的连续性和可导性来求解函数的极限值。
在计算自变量趋于有限数值时函数的极限值时，我们通常使用洛必达法则，可以将函数化简成一个易于求解的形式。
此外，我们还可以利用泰勒展开式和极坐标系等方法来求解自变量趋于有限数值时函数的极限值。
3. 无穷小量与极限无穷小量是微积分中一个非常重要的概念，它是用来描述函数在某一点附近的行为的。
在数学中，无穷小量是指在某一点附近（通常是无穷小范围内）取得非常小的值的变量。
无穷小量可以用来描述函数在某一点附近的变化情况，也可以用来求解函数的极限值。
在计算函数的极限值时，我们通常使用无穷小量的代换法，可以将函数化简成一个易于求解的形式。
此外，我们还可以利用函数的单调性和有界性来求解函数的极限值。
二、常见的极限计算方法1. 无穷大与无穷小的比较法在计算自变量趋于无穷大时函数的极限值时，我们可以利用无穷大与无穷小的比较法来求解。
L22122极限Limit的定义用图例说明极限左极限和右极限极限从
極限從研究一個問題(函數)開始We begin to study the limit by looking at some function f(x)=x2. Question:What happens to f(x) when x get to close 2 ?口語：當x靠近2的時後，f(x)會怎麼樣？Def(Definition):將此問題記成lim(x→2)f(x)=?這個問題是一個極限的問題，limit極限，對函數考慮極限，對自變數x靠近2，對f(x)的考慮？口語跟數學如何銜接，把口語寫成一個式子，這個式子代表這個問題，像lim(x→c)g(x)?，當x靠近c的時後，g(x)會怎麼樣？極限本身是一個式子，是一個事情一個現象。
研究這個答案我們從圖形看起，先從概念開始。
第一個圖形當x走到2時，有兩種走法，可以從2的右邊(x→2+)，或2的左邊(x →2-)，其函數值f(x)會趨近4，(趨近的意思，跟4要多靠近有多靠近)，趨近是一個概念。
Def:將此問題與此答案(其函數值f(x)跟4有多靠近，是走出來的)，記成lim(x→2)f(x)=4eg.lim(x→√−√5，這是一個永不停止現象，跟−√5要多靠近有多靠近，它永遠不會走到這個數，卻跟這個數不可分離。
第二個圖形，圖形不包含(2,4)，在x=2沒有定義，換句話說此函數只定義在不等於2By the way什麼叫函數(function)？構成函數三大要素：定義域x、對應域f(x)、如何對應。
定義域上的每一個點，在對應域可以找到一個點跟它對應。
f:A→B by f(x)= f(x)是函數值、f(x)的集合是值域。
Q:lim(x→2)f(x)=? A:lim(x→2)f(x)=4為什麼這兩個圖形不一樣，答案一樣？原因是，是問x逼到2，它從來不會走到，拿掉x=2沒關係。
討論x→2的極限時與函數在該點x=2時，有無定義無關。
函數在2沒有定義，還是可以問lim(x→2)f(x)=?第三個圖形請問這個圖形在講什麼？在x=2時，定義成8。
2-1,2-2极限的定义
x x0
lim f ( x ) A或 f ( x 0 0 ) A.
x x0
时,函数极限的直观定义
当x x0 时 , 若 f ( x)无限接近与常数A, 则称A为函数 f ( x)在x0处的左极限,记为
x x0
lim f ( x ) A或 f ( x 0 0 ) A.
函数在点 x0 处的左、右极限可能出现 以下三种情况之一：
(1) 左、右极限均存在, 且相等； (2) 左、右极限均存在, 但不相等；
(3) 左、右极限中至少有一个不存在.
找找例题！
例
x2 1 求 f ( x) 2 x 1
x 1 x 1 在 x = 1 处的左、右极限. x 1
n1
, ;
n1
{( 1)
{
n 1
}
n 1
1 4 n ( 1) 2, , , , 2 3 n
3, 3
, ;
3
n ( 1) n
3 ,
}
3 , , 3
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x 1 , x 2 , , x n , .
例10
设
x 2 1, f ( x) x 1,
x 1 , x 1
2
求 lim f ( x ) 。
x 1
解
x 1
lim f ( x ) lim ( x 1) 2
x 1
x 1
lim f ( x ) lim ( x 1) 2
x 1
lim f ( x ) 2
f ( x ) 在点 x0= 0 处有定义.
2.2 函数极限
一
y g( x ) x 1
x=1时， g(x)有定义，当x从左从右 无限趋近于1时， g(x) 无限接近于2。 问题1：函数y=g(x)在x → x0的过程中， 对应函数值g(x)无限接近于确定值A。
f ( x ) A 表 f ( x ) A 任意小;
2 1 O
x2 1 f ( x) x 1
x x0
lim f ( x ) A
f ( x 或 0 ) A．
x x0
lim f ( x ) A
或 f ( x0 ) A ．
x从左侧无限趋近 x0 , 记作x x0 (或x x0 0 ) ;
x从右侧无限趋近 x0 , 记作x x0 (或x x0 0 ) .
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小;
x X 表示x 的过程.
定义4: 如果当|x|大于某一正数时 f(x)无限接近于某一常 数A 则常数A叫做函数f(x)当x时的极限 记为
x
lim f (x)A
函数 极限
arctan x 是否存在？ 例 讨论极限 lim x 题 解 由函数 f ( x) arctan x 的图形知 六
x 0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0
当 x 0 时， f ( x) x 1 ，则函数 f ( x) 的右极限
x 0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0
因为左极限和右极限存在但不相等，所以当 x 0 时 f ( x) 的极限不存在．
x
lim arctan x ， x 2 2 arctan x ， lim arctan x 都存在，但不相等， 由于极限 xlim x
函数的24种极限总结
函数的24种极限总结在数学中，函数的极限是一个非常重要的概念，它在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用。
本文将总结函数的24种极限，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
1. 常数函数的极限。
当函数f(x) = c为常数时，其极限为lim(x→a) f(x) = c。
这是因为常数函数在任意点的取值都是常数c，因此其极限也等于c。
2. 幂函数的极限。
对于幂函数f(x) = x^n，当n为正整数时，其极限为lim(x→a) f(x) = a^n。
当n 为负整数时，其极限为lim(x→a) f(x) = 1/a^n。
当n为分数时，其极限需要根据具体情况进行计算。
3. 指数函数的极限。
指数函数f(x) = a^x的极限为lim(x→a) f(x) = a^a。
其中a为常数且大于0。
4. 对数函数的极限。
对数函数f(x) = log_a(x)的极限为lim(x→a) f(x) = log_a(a) = 1。
其中a为常数且大于0且不等于1。
5. 三角函数的极限。
三角函数sin(x)和cos(x)在其定义域内的极限都存在，分别为lim(x→0) sin(x) = 0和lim(x→0) cos(x) = 1。
6. 反三角函数的极限。
反三角函数arcsin(x)和arccos(x)在其定义域内的极限也都存在，分别为lim(x→0) arcsin(x) = 0和lim(x→0) arccos(x) = 1。
7. 双曲函数的极限。
双曲函数sinh(x)和cosh(x)在其定义域内的极限分别为lim(x→0) sinh(x) = 0和lim(x→0) cosh(x) = 1。
8. 反双曲函数的极限。
反双曲函数arcsinh(x)和arccosh(x)在其定义域内的极限也都存在，分别为lim(x →0) arcsinh(x) = 0和lim(x→0) arccosh(x) = 1。
9. 指数对数函数的极限。
指数对数函数f(x) = x^a和f(x) = log_a(x)在其定义域内的极限分别为lim(x→a) f(x) = a^a和lim(x→a) f(x) = log_a(a) = 1。
函数极限的基本公式详解
函数极限的基本公式详解函数极限是微积分中的重要概念，用于描述自变量趋向于某一特定值时函数取的极限值。
在实际应用中，函数极限广泛地应用于计算、物理、经济等领域。
本文将详细解析函数极限的基本公式，以帮助读者更好地理解和运用这一概念。
一、极限定义函数极限是指当自变量无限接近于某一特定值时，函数的取值趋近于一个确定的值。
数学上，我们用极限符号来表示函数极限，即：lim f(x) = L (x→a)其中，f(x)为函数，L为极限值，x→a表示x趋向于a。
二、常用的函数极限公式无论是基础的或是复杂的函数，都有一些常用的极限公式。
下面将详解几个常用的函数极限公式。
1. 常函数的极限当函数为常数函数时，其极限值为该常数值。
例如，对于函数f(x)=3，当x趋向于任意值a时，函数的极限值为3。
2. 多项式函数的极限多项式函数包括线性函数、二次函数等。
对于一个n次多项式函数，当x趋向于无穷大时，其极限值为无穷大或无穷小。
例如，对于函数f(x)=2x^2+3x+1，当x趋向于无穷大时，函数的极限值为正无穷。
3. 幂函数的极限幂函数是指以x为底的指数函数，常见的幂函数有平方函数、立方函数等。
对于幂函数f(x)=x^n（n为常数），当x趋向于无穷大时，极限值根据幂指数n的奇偶性分为两种情况：- 当n为正偶数时，极限值为正无穷大；- 当n为正奇数时，极限值为负无穷大。
例如，对于函数f(x)=x^4，当x趋向于正无穷大时，函数的极限值为正无穷大。
4. 指数函数和对数函数的极限指数函数和对数函数在极限的运算中具有特殊的性质。
例如，对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数且大于0且不等于1，当x趋向于无穷大时，函数的极限值为无穷大；对于对数函数f(x)=log_a(x)，当x趋向于无穷大时，函数的极限值为正无穷大。
5. 三角函数和反三角函数的极限三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，而反三角函数则包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
2.2 函数的极限
x 例8 验证 lim 不存在. x0 x x x 证 lim lim x 0 x x 0 x
lim ( 1) 1
x0
y
1
o
1
x
x x lim 1 1 lim lim x0 x 0 x x 0 x
f ( x ) 不存在. 左右极限存在但不相等, lim x0
3
y
1 y x2 2
2
1 当x 2时, 函数f ( x ) x 2的值 2 无限接近于3.
O
x 2时,f ( x ) 的变化趋势
2
x
1 x2 2
定义3 设函数f ( x)在点x0的左右近旁有定义(点x0可除外), 如果 当x x0时, 函数f ( x )无限接近于一个确定的常数A, 那么A就叫作 函数f ( x)当x x0时的极限,记作 lim f ( x) A或当x x0时, f ( x )
二、函数极限的性质
1.唯一性
定理 若 lim f ( x )存在,则极限唯一.
2.局部有界性
x x0
几何解释:
sin x lim 0. x x
sin x x
y
A
X
X
当x X或x X时, 函数 y f ( x )图形完全落在以 直线y A 0为中心线, 宽为2的带形区域内.
例2：观察反正切函数的图像
y
/2
y=arctanx
O
x
-/2
写出自变量三种变化情况下函数的极限.
x
lim f ( x ) A
0, X 0, 使当 x X时 , 恒有 f ( x ) A .
2.2 函数的极限
| f ( x) A |
恒成立，则称 A 为函数 f ( x) 在自变量 x 从点 x0 的右边无
限靠近点 x0 （记作 x x0 ）时的极限， 也称 A 为函数 f ( x)
在点 x0 处的右极限，记作
lim f ( x) A 或 x x
0
f ( x0 ) A.
x x0
定理2.5 （极限存在的必要条件 ）
若 lim f ( x ) 存在，则函数 f ( x) 在点 x0 的去心邻域
x x0
U 0 ( x0 , ) 内有界．
定理2.6 （极限的局部保号性）
若 lim f ( x) A, 且 A 0（或 A 0 ）， 则存在正数 , x x
若对于任意给定无论怎么小的正数 , 总存在 A 是常数． 正数 X , 使当一切 x :| x | X 时，不等式
| f ( x) A |
恒成立，则称 记作
lim f ( x) A
x
A 为函数 f ( x) 在自变量 x 时的极限，
或
f ( x) A( x ).
0
当 x U 0 ( x0 , ) 时，有
f ( x) 0 （或 f ( x) 0 ）．
推论 若 lim f ( x ) A 且存在正数 , 当 x U ( x0 , ) x x
0
o
时，有 f ( x) 0 （或 f ( x) 0 ）， 则
A 0（或 A 0 ）．
o
| f ( x) A |
恒成立，则称 A 为函数 f ( x) 在自变量 x x0 时的极限， 也称
A 为函数
x x0
f ( x) 在点
高中数学中的函数极限计算详细解析与计算
高中数学中的函数极限计算详细解析与计算函数极限在高中数学学习中占据非常重要的地位。
它不仅是理解数学概念的基础，还在应用数学和其他学科中起到重要的作用。
本文将详细解析和计算高中数学中的函数极限，帮助读者深入理解和掌握相关知识。
1. 极限的定义函数极限是指当自变量趋于某一值时，函数值的变化趋势。
根据定义，对于函数 f(x)，它的极限可以用以下方式表示：lim(x→a)f(x) = L其中，x→a表示x趋近于a，L表示函数f(x)在x趋近于a时的极限值。
2. 极限的性质函数极限具有以下基本性质：- 唯一性：函数在某一点的极限是唯一确定的。
- 有界性：如果函数在某一点的极限存在，则函数在该点附近有界。
- 保号性：如果函数在某一点的极限为正（负），则函数在该点的右邻域（左邻域）内的函数值也为正（负）。
3. 极限的计算方法在计算函数极限时，可以运用以下的计算方法：- 直接代入法：当函数在某一点连续时，可以直接将该点的值代入函数并计算函数值，得到极限值。
- 合并因子法：将复杂的函数分解为简单的因子，然后运用极限的性质进行化简和计算。
- 夹逼准则法：对于一个函数，如果它夹在两个极限已知的函数之间，那么它的极限也可以简单地确定。
- 等价无穷小代换法：当函数的极限形式无法直接计算时，可以通过等价无穷小的代换将其转化为可以计算的形式。
4. 函数极限的应用函数极限在图像的分析和应用问题中有着重要的作用。
以下是一些常见的应用：- 导数和微分的计算：导数的定义本质上就是一个函数极限，通过计算函数在某一点的极限，可以得到该点的导数。
- 泰勒展开和函数逼近：利用函数的极限，可以将一个复杂的函数逼近为一个多项式函数，用于简化计算和分析。
- 无穷级数和收敛性分析：通过函数的极限，可以判断无穷级数是否收敛，并计算其收敛值。
5. 实例解析为了更好地理解函数极限的计算和应用，我们通过以下实例进行解析。
例题：计算函数lim(x→2)(3x^2 - 8x + 4) / (x - 2)解析：首先，我们可以应用直接代入法。
极限的概念专题知识
课堂练习
观察下列极限是否存在，如存在请写出极限：
［Ａ］（1）lim x
1 x2
＝０（2）x
lim
10
x
＝０
（3）lim ( 1 ) x＝０ 3 x
［Ｂ］（4）limarccotx x
不存在（5）xlimcosx
不存在
［Ｃ］
（6）设
f(x)
2,x 0 2,x 0
（１）y = c (c为常数)
（２）y = x ２
解： (1)limcc x2
(2)lim x2224 x 2
1.2 极限的概念
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当之处，请联系本人或网站删除。
1.2.２ 函数的极限
２.当 x x0 时，函数 f ( x ) 的极限
1.2.２ 函数的极限
１.当 x时，函数 f ( x ) 的极限
定义1·3 x的极限定义
1.2 极限的概念
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1.2.２ 函数的极限
１.当 x时，函数 f ( x ) 的极限
例3
解：
作Байду номын сангаас
1 图象
2345
n
n1 xn 0
23 4 .
1.5 0.66 1.25
5 10 0.8 1.1
11 ..
0.9090
100 101
. ... 1.01 0.9900
24 7 3
35
62
0
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2.1-2.2极限-s
1 1 1 （1） 1， , ,..., ,... 2 3 n 1 1 1+（ − 1 ） （2） 1，0， , 0， , 0，， ... ,... 2 3 n
n
（3） 1,-1,1, −1,..., − 1 ,... （ ）
n
（4） 1，4，9，16,..., n ,...
2
数列的简单性质 1、 有界性 定义 若∃M > 0, ∀n ∈ N, xn ≤ M , 则称{xn }为有界数列， 否则, ∀M > 0, ∃n ∈ N， n > M , 称{xn }为无界数列. x
等差数列与等比数列
(1)等差数 列 若 an +1 − an = d 为常数 ( n ∈ N ), 则称 {an } 为等差数列. 通项公式:an = a1 + ( n − 1) d 前 n项 和 : ( n − 1) d n Sn = ∑ ai = n ( a1 + ) = ( a1 + an ) 2 2 i =1
例如， 例如，数列
1 有界。 有界。 n 2 1 1 Q xn = n ≤ 2 2
上有界、下有界： 定义 若存在实数A, 对一切n都满足xn ≥ A, 则称{xn }为下有界数列， 若存在实数B, 对一切n都满足xn ≤ B, 则称{xn }为上有界数列。
n 2 1 1 Q0 < n ≤ 2 2 显然， n }有界 ⇔ 有上界且有下界. {x
例如，数列 1 例如，
上有界B= ,且 上有界 且 下有界A=0。 下有界 。
1 2
1 n n 1 例如，数列 , （-1 n 是有界数列， ） 2 n n +1 nπ 数列{n }，n sin 是无界数列. 2
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2.3函数的极限教学目标：1.使学生掌握当0x x →时函数的极限；2.了解A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0.教学重点：掌握当0x x →时函数的极限.教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解.教学过程：数列{}n a 的项n a 可以看作n 的函数，即()n a f n =，n N ∈*.对于一般的函数()f x ，自变量x 的取值并不一定是正整数.下面我们讨论一般函数的极限.1．当∞→x 时，函数()f x 的极限 （1） 画出函数xy 1=的图像，观察当自变量x 取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于正无穷大时，的极限是0，记作：01lim=+∞→x x .当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数()f x 无限趋近于一个常数a ，就是当x 趋向于正无穷大时，函数()f x 是a ，记作lim ()x f x a →+∞=，也可记作：当x →+∞时，()f x → （2）从图中还可以看出，当自变量x 取负值而x 无限增大时，函数xy 1=的值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于负无穷大时，函数xy 1=的极限是0，记作：01lim=-∞→x x当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数()f x 无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向竽负无穷大时，函数()f x 的极限是a ，记作lim ()x f x a →-∞=，也可记作当x →-∞时，()f x →a .（3）从上面的讨论可以知道，当自变量x 的绝对值无限增大时，函数xy 1=的值都无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于无穷大时，函数xy 1=的极限是0，记作01lim=∞→x x .如果lim ()x f x a →+∞=，且lim ()x f x a →-∞=，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数()f x 的极限是a ，记作lim ()x f x a →∞=，也可记作：当x →∞，()f x →a .上述的等价说法是:当自变量x 的绝对值无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =∞→)(lim .也可以记作，当x ∞→时，A x f →)(.特例：对于函数C x f =)(（C 是常数），当自变量x 的绝对值无限增大时，函数C x f =)(的值保持不变，所以当x 趋向于无穷大时，函数C x f =)(的极限就是C ，即 C C x =∞→lim .当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ，就是当x 趋向于正无穷大时，函数f （x ）的极限是a ，记作lim ()x f x a →+∞=，也可记作：当x →+∞时，f （x ）→a.当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向竽负无穷大时，函数f （x ）的极限是a ，记作lim ()x f x a →-∞=，也可记作当x→-∞时，f （x ）→a.如果lim ()x f x a →+∞=，且lim ()x f x a →-∞=，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f （x ）的极限是a ，记作lim ()x f x a →∞=，也可记作：当x →∞，f （x ）→a.说明（Ⅰ）上述定义是描述性的定义，严格的定量的ε-N 定义将在高等数学中学习. （Ⅱ）lim ()x f x →∞存在，意味着lim ()x f x →+∞与lim ()x f x →-∞都存在，且两者相等，即∞既有+∞，又有-∞之意.（Ⅲ）函数y=f （x ）的极限a 仅与函数f （x ）在点∞附近的函数值的变化有关，而与函数f （x ）在点∞的值无关.（Ⅳ）常值函数)()(R x C x f ∈=的极限lim ()x f x C →∞=.例1 分别就自变量x 趋向于+∞和-∞的情况，讨论下列函数的变化趋势： （1）1()2xy = （2）2x y = （3）1(0)()0(0)1(0).x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩时，时，时解 （1）当x →+∞时，1()2xy =无限趋向于0，即1lim ()02xx →+∞=；当x →-∞时，1()2xy =无限趋向于+∞.(2) 当x →+∞时，2x y =无限趋向于+∞；当x →-∞时，2xy =无限趋向于0，即lim 20xx →+∞=.(3) 当x →+∞时，1(0)()0(0)1(0).x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩时，时，时的值保持为1,即lim ()1x f x →+∞=;当x →-∞时，()f x 的值保持为-1.2．当0x x →时，函数()f x 的极限就问题（3）展开讨论：函数2x y =当x 无限趋近于2时的变化趋势 当x 从左侧趋近于2时 （-→2x ）当x 从右侧趋近于2时 （+→2x ） 发现_______lim 22=→x x . 我们再继续看112--=x x y 。
当x 无限趋近于1（1≠x ）时的变化趋势；函数的极限的概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是A ，记作A x f x x =→)(lim 0.也可记作当0x x →时, ()f x a →.lim ()x x f x →也可叫做函数()f x 在点0x x =处的极限.特别地，设C 为常数,则C C x x =→0lim ；00lim x x x x =→.说明（Ⅰ）上述定义是描述性定义，严格的定量的ε-N 定义将在高等数学中学习. （Ⅱ）定义中x 无限趋近于0x ，不包含0x x =，有两层涵义：一是点0x 可不属于函数()f x 的定义域；二是虽然点0x 属于函数()f x 的定义域，但函数()f x 的极限与函数值0()f x 无关.（Ⅲ）0lim ()x x f x a →=是双侧极限，即x 可从大于0x 和小于0x 两个方向无限趋近于0x .例2 当2x π→时,写出下列函数的极限:(1) 2y x =; (2) sin y x = ; (3) y x =; (4) 5y =. 解 (1) 222lim 4x x ππ→=.(2) 2lim sin 1x x π→=.(3) 2lim 2x x ππ→=.(4) 5y =是常数函数,函数值始终等于常数5.由函数极限的定义,容易得出2lim 55x π→=.3．函数的左、右极限对于极限表达式0lim ()x x f x a →=中的0x x →,应理解为x 可以用任何方式无限趋近于0x ,即可以从表示0x 的左边无限趋近于0x ,也可以从表示0x 的右边无限趋近于0x , 还可以从表示0x 的点的两侧交错地无限趋近于0x ,只要0x x →,就有()f x a →.如果当x 从点x=x 0左侧（即x<x 0）无限趋近于x 0，函数()f x 无限趋近于常数a ，就说a 是函数()f x 在点x 0处的左极限，记作0lim ()x x f x a -→=.如果当x 从点x=x 0右侧（即x<x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a ，就说a 是函数()f x 在点x 0处的右极限，记作0lim ()x x f x a +→=.函数极限与左、右极限的关系:lim ()x x f x a →=⇔0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.这是函数极限存在的一个充要条件.四．小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。
五．练习及作业：1．对于函数12+=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于1时的变化趋势，说出当1→x 时函数12+=x y 的极限2．对于函数12-=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于3时的变化趋势，说出当3→x 时函数12-=x y 的极限3．* 121lim221---→x x x x 3232)31()1(limx x x x x +-+-→ )cos (sin 2lim 22x x x x --→π2321lim4--+→x x x xax a x -+→2lim（0>a ） xx 1lim→.函数x →+∞，x →-∞，x →∞，0x x +→，0x x -→，0x x →极限定义的区别和联系，讨论变量极限的定义具体如下表变化 方式 自变量x 的变化趋势 函数值()f x 的变化趋势 极限 表示从数值上看 从数轴 x 上看 从图象表 格上看 从||y a -上看x →+∞ x 取正值且无限增大单方向向右无限增大 ()f x 无限趋近于常数a 差式||y a -无限趋近于0 lim ()x f x a →+∞=x →-∞x 取负值且绝对值无限增大 单方向向左绝对值无限增大()f x 无限趋近于常数a差式||y a -无限趋近于0 lim ()x f x a →-∞=x →∞x 取正值且无限增大 x 取负值且绝对值无限增大 双方向向右无限增大和向左绝对值无限增大 ()f x 无限趋近于常数a差式||y a -无限趋近于0lim ()x f x a →∞=0x x +→x 从0x 右侧0()x x >无限趋近于0x单方向向左无限趋近于0x()f x 无限趋近于常数a差式||y a -无限趋近于0lim ()x x f x a +→=0x x -→x 从0x 左侧0()x x <无限趋近于0x单方向向右无限趋近于0x()f x 无限趋近于常数a差式||y a -无限趋近于0lim ()x x f x a -→=0x x →0x x >无限趋近于0x ，0x x <无限趋近于0x双方向向左无限趋近于0x 和向右无限趋近于0x()f x 无限趋近于常数a差式||y a -无限趋近于0lim ()x x f x a →=。